soal-aljabar-matriks-its.pdf

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modulajar ini dapat terselesaikan.

Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak jauh. Se-jalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokok-pokok aljabar matriks sebagai bahan penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi ma-hasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti kuliah sesuai materi dalam modul ajar ini, di-harapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan.

Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu se-mester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana dan contohsingkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peser-ta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakansoal-soal.

Penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hing-ga tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnakan modul inisangat diharapkan.

Surabaya, Januari 2007

Penyusun

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

1 Sistem Persamaan Linear 11.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers . . . . . . . . . . 51.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris . . . . . . . . . 6

2 Determinan 72.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan . . . . . . . . . . . . 82.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Vektor dan Operasinya 113.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Soal-Soal Latihan Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Soal-Soal Latihan Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Transformasi Linear dan Sifat 144.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Ruang Vektor 175.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun . . . . . . . . . . . . 18

iii

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong . . . . . 195.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

iv

Modul 1Sistem Persamaan Linear

1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya ban-dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan.

1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear?

(a) 2x+ 3y + 2z = 6 (b) 2xy + 3y + 2z = 6 (c) 2x+ 3y = 2z + 6(d) 12x+ 3y2 = 6 (e) 1x + 3y z = 6 (f) 14x 23y = 6

2. Jika p adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear

(a) 2x+ 3y = sin p (b) py + 3x+ 2z = pi (c) px+ 1py = 6

3. Buatlah matriks A, x dan b yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini

2x+ 3y + 4z = 6

3x+ 3y 6z = 12

4. Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini

3x+ 4y 3z = 12x+ 2y + 9z = 213y + 2x+ 6z = 22

1

1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL 2

5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen

3x+ 2y = 3z

x+ 9z = 2y3y + 11z = 2x

6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini

3 4 13 1 813 22 12 2 324 3 33 3 32

1 12 11 7 34

2 1 3 23 55

1.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL


1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselontereduksi, atau bukan keduanya

(a).

1 2 1

0 1 2

0 0 1

(b).

1 0 1

0 1 0

0 0 1

(c).

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(d).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(e).

0 0 0

0 1 0

0 0 1

(f).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(g).

1 0 0

0 0 1

0 1 0

(h).

1 1 0

0 1 0

0 0 0

2. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss

2x+ 2y + 2z = 12

x+ 2y + 3z = 14

3x+ y + 2z = 11

3. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan

x+ 2y + 2z = 9

x+ y 3z = 23x y + 2z = 9

Modul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya 3

4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang

x+ 2y + 2z = 0

x+ y 3z = 03x y + 2z = 0

5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang

x1 + 2x2 + 2x3 = x4

x1 + x2 3x4 = 2x32x1 2x3 + 2x4 = x2

6. Carilah nilai a, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian,banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian

x1 + 2x2 3x3 = 43x1 x2 + 5x4 = 2

4x1 + x2 + (a2 14)x3 = a+ 2

1.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya


1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaitu A34, B34, C42, D32, dan E43, ten-tukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar

(a) B A (b) A C +D (c) A E +B (d) A B +B(e) E(B +A) (f) E(A C) (g) ET A (h) (AT +E) D

2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini(a-b b+c

3d+c 2a-4d

)=

(16 2

14 12

)carilah nilai a, b, c dan d

3. Pandang matriks-matriks dibawah ini

X =

1 2

3 6

4 3

Y =(

4 12 2

)Z =

(2 3 10 2 2

)W =

1 2 13 2 06 2 5

Hitung operasi matriks dibawah (jika memungkinkan)


1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers 4

(a) XY (b) Y Z (c) ZW (d) WX(e) Y X Z (f) ZX 2Y (g) 3Y + ZX (h) XZ 2W

4. Carilah matriks A berukuran 44, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan

(a) aij = i+ j (b) aij = ij1 (c) aij ={

1, |i j| > 11, |i j| 1

5. Jika matriks A berukuran p q, maka

tr(AAT ) = tr(ATA) = s

dimana s adalah jumlah kuadrat anggota-angota A.

1.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya ban-dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. Diketahui empatmatriks, yaitu

A =

(2 3

3 5

)B =

(5 33 2

)C =

(4 35 4

)D =

(4 3

5 4

)

1. Hitunglah

(a) AB (b) AC (c) AD(d) BA (e) BC (f) BD(g) CA (h) CB (i) CD(j) DA (k) DB (l) DC

Apa yang dapat saudar simpulkan ?

2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah

(a) A3 (b) B3 (c) C3 (d) D3(e) (A1)3 (f) (B1)3 (g) (C1)3 (h) (D1)3(a) (AB)3 (b) (AB)1 (c) (CD)1 (d) (DC)3

3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung

(a) A2 2A+ I


1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers 5

(b) B2 2B + I(c) (A2 2A+ I)(B2 2B + I)

4. Hitunglah

(a) AT (b) BT (c) CT (d) DT(e) (A1)T (f) (B1)T (g) (C1)T (h) (D1)T(a) (ATBT )1 (b) (B1A1)T (c) (CTDT )T (d) (DC)T

5. Matriks

A =

1 0 1

1 1 0

0 1 1

Tentukan apakah A mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya (petun-juk selesaikan AX = I)

1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers


1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer

a.

(1 0

3 1

)b.

(3 11 0

)c.

(1 0

05

)d.

(0 1

1 0

)

2. Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut

a.

(0 1

1 0

)b.

(3 00 1

)c.

(1 0

0 52

)d.

(1 0

3 1

)

3. Diketahui matriks

A =

3 2 1

3 6 38 1 2

B =

8 1 2

3 6 33 2 1

C =

3 2 1

3 6 32 3 0

Carilah matriks elementer E1, E2, E3 dan E4, sedemikian hinggaa. E1A = B b. E2B = A c. E3A = C d. E4C = A

4. Pandang matriks

A =

(1 0

3 3

)


1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris 6

(a) Cari matriks elementer E1 dan E2 sedemikian hingga E2E1A = I(b) Tulis A1 sebagai perkalian dua matriks elementer(c) Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer

5. Carilah invers dari

B =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

1.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris


1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya

(a)

(2 00 5

)(b)

2 0 0

0 0 0

0 0 5

(c)2 0 00 3 0

0 0 4

2. Hitunglah A2, A2, dan Al dari

(a) A =

(2 00 3

)(b) A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

(c) A =

12 0 0

0 13 0

0 0 14

3. Cari semua nilai a, b dan c, jika matriks A adalah simetris

A =

2 a 2b+ 2c 2a+ b+ c3 5 a+ c

0 2 7

4.


Modul 2Determinan

2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan


1. Carilah jumlah pembalikan dari permutasi {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(a) (1, 2, 3, 6, 4, 5) (b) (6, 5, 4, 3, 2, 1) (c) (4, 3, 5, 6, 1, 2) (d) (3, 2, 1, 5, 4, 6)

2. Hitung determinan berikut

(a)

2 36 1 (b)

3 25 3 (c)

2 36 4 (d)

3 32 4

3. Hitung determinan berikut

(a)

1 2 2

3 5 1

2 2 3

(b)1 3 20 2 3

2 2 1

(c)0 2 1

1 0 1

2 2 0

(d)0 2 1

1 0 1

0 2 1

4. carilah nilai sehingga determina dari matriks berikut bernilai nol

(a)

2 51 + 4 (b)

4 0 00 2

0 3 1

7

2.2. Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan 8

5. Gunakan aturan yan gsudah diperoleh unutk mendapat nilai determian dari matriksberikut

2 1 1 0

3 2 2 0

2 5 1 1

1 2 4 2

2.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan


1. Hitung determinan berikut dengan cepat

(a).

1 2 1

0 1 2

0 0 1

(b).1 0 1 3

0 2 0 2

0 0 1 30 0 0 3

(c).

1 4 1

3 1 3

6 6 6

(d).1 2 310 1 9

1 2 3

2. Hitung determinan berikut dengan mencongak

(a).

1 2 3

4 1 6

2 4 6

(b).1 4 02 1 0

4 5 0

(c).1 0 0 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(d).

1 1 0

0 0 9

0 1 0

3. Dengan melakukan reduksi, hitung determinan berikut

(a).

1 2 3

4 9 6

2 4 7

(b).1 4 02 1 5

4 5 3

(c).1 0 0 2

2 1 1 0

3 3 1 0

4 2 0 1

(d).

1 1 0

2 4 9

3 1 0

4. Dengan menggunakan reduksi baris, buktikan

1 1 1

x y z

x2 y2 z2

= (y z)(z x)(z y)


2.3. Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan 9

5. Tunjukan bahwa determinan dibawah ini benar

(a)

0 0 z

0 y z

x y z

= xyz (b)0 0 0 z

0 0 y z

0 x y z

t x y z

= txyz

2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan


1. Periksalah bawha det(kA) = kndet(A)

(a) A =(1 22 3

); k = 2 (b)

1 2 5

2 3 4

7 9 11

; k = 22. Periksalah bahwa det(AB) = det(A)det(B)

1 2 0

4 3 0

0 0 2

dan B =1 1 31 7 2

0 5 1

3. Periksa matriks-matriks dibawah ini, apakah mempunyai invers atau tidak

X =

1 0 19 1 48 9 1

Y =

4 2 8

2 1 43 1 6

Z =

2 7 06 21 05 9 0

4. Pandang

Z =

a d h

b e i

c f j

dengan mengasumsikan bahwa det(Z) = 5, maka hitung

(a) det(3A) (b) det(A1 (c) det(2A1) (d) det(2A)1)

5. Berapa nilai k agar matriks A mempunyai invers

(a) A =(

k 3 22 k 2

)(b)

1 2 4

3 1 6

k 3 2


2.4. Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers 10

2.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers


1. Pandang matriks

A =

4 1 1 60 0 3 34 1 0 14

4 1 3 2

Hitung semua Minor, Kofaktor dari matriks A?

2. Dengan menggunakan matriks soal pertama, hitung perluasan kofaktor untuk

(a) baris pertama (b) kolom pertama (c) baris ketiga (d) kolom kedua

3. Pandang 1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

(a) Hitung A1 dengan menggunakan teorema yang ada(b) Hitung A1 dengan menggunakan OBE(c) Manakah yang lebih efisien

4. Dengan aturan Cramer, hitunglah, x1, x2 dan x3

4x1 + 5x2 = 2

11x1 + x1 + 2x3 = 3

x1 + 5x1 + 2x3 = 1


Modul 3Vektor dan Operasinya

3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor


1. Sketsa vektor-vektor berikt dengan titik pangkal pada titik asal

(a) v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6) (d) v4 = (6,3)(e) u1 = (1, 2, 6) (f) u2 = (3, 4, 2) (g) u3 = (2, 8, 6) (h) u4 = (6,3,2)

2. Carilah vektor tak-nol v dengan titik pangkal pada titik P (1, 2, 3) sedemikian hingga

(a) v mempunyai arah yang sama dengan u = (3, 2, 1)(b) v berlawanan arah dengan u = (3,2, 3)

3. Carilah semua skalar k1, k2 dan k3 sedemikian hingga

k1(1, 2, 0) + k2(2, 1, 1) + k3(1, 7, 5) = (0, 5, 4)

4. Jika x = (1, 2, 3), y = (1, 4, 3) dan z = (1,2, 5), hitunglah(a) x+ y (b) z 2y (c) z x+ y (d) x 2x+ 3y

5. Carilah u sehingga memenuhi

2u x+ y = 2z 3y + 5u

11

3.2. Soal-Soal Latihan Panjang Vektor 12

3.2 Soal-Soal Latihan Panjang VektorKerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya ban-dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan.

1. Hitung panjang vektor-vektor dibawah ini(a) v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6)(d) u1 = (1, 2, 6) (e) u2 = (3, 4, 2) (f) u3 = (2, 8, 6)(g) w1 = (1,2, 8, 6) (h) w2 = (6,3, 6,3) (i) w3 = (2, 6,3,2)

2. Carilah jarak antara titik P dan Q, jika(a) P (2, 6) dan Q(4, 2) (b) P (8, 6) dan P (2, 3)(c) P (1, 2, 6) dan Q(3, 4, 2) (d) P (1, 8, 6) dan P (3,2, 3)(e) P (1,2, 8, 6) dan Q(6,3, 6,3) (f) P (2, 6,3,2) dan Q(2, 6,3,2)

3. Jika u = (3, 2, 1), v = (3,2, 3) dan w = (3, 2,3) hitungkah ekspresi dibawah ini(a) u v (b) u v (c) u+ v(d) u+ 2v + 3w (e) 1uv (f)

1uv

Dot Product, Proyeksi

3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi


1. Hitung u v, jika(a) u = (2, 6) dan v = (4, 2) (b) u = (8, 6) dan v = (3, 2)(c) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2) (d) u = (2, 8, 6) dan v = (3,3, 2)(e) u = (1, 2, 8, 6) dan v = (6, 3, 6, 3) (f) u = (2, 6,3, 2) dan v = (2, 3, 2, 3)

2. Cari proyeksi ortogonal u terhadap a

(a) u = (2, 6) dan a = (4, 2) (b) u = (8, 6) dan a = (3, 2)(c) u = (1, 2, 6) dan a = (3, 4, 2) (d) u = (2, 8, 6) dan a = (3,3, 2)(e) u = (1, 2, 8, 6) dan a = (6, 3, 6, 3) (f) u = (2, 6,3, 2) dan a = (2, 3, 2, 3)

3. Carilah komponen vektor dari u yang ortogonal terhadap a dari Soal 2

4. Hitunglah Proyau dari Soal 2


3.4. Soal-Soal Latihan Cross Product 13

3.4 Soal-Soal Latihan Cross Product


1. Hitung u v, jika(a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2) (b) u = (2, 8, 6) dan v = (3,3, 2)(c) u = (1, 2, 8) dan v = (6, 3, 6) (d) u = (2, 6,3) dan v = (2, 3, 2)

2. Cari vektor yang ortogonal baik terhadap u dan v

(a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2) (b) u = (2, 8, 6) dan v = (3,3, 2)

3. Carilah luas yang dibangun oleh u dan a

(a) u = (1, 2, 6) dan v = (3, 4, 2) (b) u = (2, 8, 6) dan v = (3,3, 2)

4. Carilah hasil kali ganda tiga u (v w)(a) u = (1, 2, 4), v = (3, 4,2), w = (1, 2, 5)(b) u = (3,1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5,1, 2)


Modul 4Transformasi Linear dan Sifat

4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear


1. Carilah matriks standar dari transformasi linear yang didefinisikan dibawah ini

a. w1 = 2x+ 3y + 2z, w2 = x+ 3y + 2z

b. w1 = 2x+ 3y + 2z, w2 = 2x+ 3y + 2z, w3 = 2x 3y + 4zc. w1 = 2x+3y+2z2t, w2 = 2x+3y+2z+ t, w3 = 2x3y+4z2t

2. Carilah matriks standar untuk transformasi linear T : R3 R3 yang diberikan oleh

w1 = 3x1 + 5x2 x3w2 = 2x1 5x2 + 3x3w3 = x1 5x2 + 2x3

dan hitung T (1,2, 3) dengan secara langusng mensubstitusikan pada persamaantersebut dan dengan perkalian matriks.

3. Carilah matriks standar transformasi linear yang diberikan rumus seperti dibawah ini

a. T (x1, x2) = (x1 + x2, x1 3x2, 4x1 + 2x2)b. T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 x3, x1 3x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 4x3)c. T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 x3, x1 3x2 +2x3 x4, 4x1+ 2x2 4x3 2x4)d. T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0)

14

4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 15

4. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = (1, 2) jika di-lakukan pencerminan terhadap

a. sumbu-x

b. sumbu-y

c. garis-y = x

d. sumbu-x kemudian garis-y = x

e. garis-y = x kemudian sumbu-x

5. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = (1, 2, 3) jika di-lakukan pencerminan terhadap

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

d. bidang-xy kemudian bidang-y = x

e. bidang-y = x kemudian bidang-xy

6. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-nal pada

a. sumbu-x

b. sumbu-y

7. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-nal pada

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

8. Carilah matriks transformasi untuk rotasi pada R2

4.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear


1. Cari matriks standar untuk operator linear yang sesuai dari persamaan-persamaan berikutini


4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 16

a.

w1 = 2x1 + 3x2

w2 = 3x1 4x2

b.

w1 = 2x1 + 3x2 2x3w2 = 3x1 4x2 + x3w3 = x1 + 2x2 + 2x3

2. Tunjukan bahwa daerah hasil dari operator linear dengan pesamaan dibawah ini

w1 = x1 2x2 + x3w2 = 4x1 + x2 + 2x3

w3 = 5x1 x2 + 3x3

tidqk berada di R3 dan cari sebuah vektor yang tidak berada di daerah hasil.

3. Anggal l adalah garis pada bidang-xyyang melalui titik asal dan membentuk sudut dengan sumbu-x positif dengan 0 < pi, dan T : R2 R2 adalah operator linearyang memetakan setipa vektor ke proyeksi ortogonalnya ke garis l.

a. Cari matriks standar untuk T

b. cari proyeksi ortogonal vektor x = (1, 5) pada garis yang melalui titik asal yangmembentuk sudut = pi6 dengan sumbu-x positif.

4. Carilah operator linear balikan T1 dari soal nomor 1


Modul 5Ruang Vektor

5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real


1. Himpunan semua pasangan dua bilangan (x, y) dengan operasi

(x, y) + (x, y) = (x+ x, y + y), k(x, y) = (3kx, 3ky)

2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan (x, y, z) dengan operasi

(x, y, z) + (x, y, z) = (x+ x, y + y, z + z), k(x, y, z) = (kx, y, z)

3. Himpunan semua pasangan bilangan real yang berbentuk (x, 0) dengan operasi-operasistandar pada R2

4. Himpunan semua matriks 2 2 berbentuk(a 1

1 b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

5. Himpunan semua matriks 2 2 berbentuk(a a+ b

a+ b b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

6. Gunakan Teorema ?? untuk menentukan manakah yang termasuk sub-ruang dari R3

17

5.2. Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun 18

(a) semua vektor berbentuk (x, 0, 0)(b) semua vektor berbentuk (x, 1, 1)(c) semua vektor berbentuk (x, y, z) dengan x = y + z(d) semua vektor berbentuk (x, y, z) dengan y = x+ z + 1

5.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun


1. Nyatakan vektor-vektor dibawah ini merupakan kombinasi linear dari p = (1,1, 3),q = (2, 1, 4) dan r = (3, 2, 5)(a) (6, 11, 6) (b) (0, 0, 0) (c) (5, 6, 7)

2. Nyatakan matriks-matriks dibawah ini merupakan kombinasi linear dari matriks

p =

(1 12 3

)q =

(0 1

2 4

)q =

(4 0

2 2

)

(a)(

0 0

0 0

)(b)(

6 0

3 8

)(c)(

5 11 7

)

3. Apakah vektor-vektor dibawah ini membangun R3

(a) p = (1,1, 3), q = (2, 1, 4) dan r = (3, 2, 5)(b) p = (1, 1, 1), q = (0, 1, 1) dan r = (0, 0, 1)(c) p = (1, 2, 6), q = (3, 4, 1), r = (3, 2, 5) dan s = (1, 2, 5)

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear


1. Apakah himpunan vektor dibawah ini yang bebas linear atau tak bebas linear

(a) {(8, 1, 3), (2, 3, 5)}(b) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4)}(c) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 2, 7)}


5.4. Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi 19

2. Untuk nilai real berapakah vektor berikut ini membentuk suatu himpunan vektor yangbebas linear

v1 = (,1,1), v2 = (1, ,1), v3 = (1,1, ),

3. Tunjukan bahwa vektor-vektor u1 = (4,7, 1, 3), u2 = (6, 0, 5, 1) dan u3 = (0, 3, 1,1)merupakan himpunan vektor yang tak bebas linear di R4

4. Nyatakan setiap vektor pada soal 3 sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang lain-nya.

5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi


1. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R2

(a) (1, 2), (3, 0) (b) (4, 1), (7, 8) (c) (3,9), (4, 12)

2. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R3

(a) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) (b) (3, 1,4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) (c) (1, 6, 4), (1, 2, 5), (2, 4, 1)

3. Carilah koordinat vektor v relatif terhadap basis S = {v1, v2, v3}(a) v = (2, 1,3), v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3)(b) v = (5,12, 3), v1 = (3, 1,4), v2 = (2, 5, 6), v3 = (1, 4, 8

4. Carilah basis dan dimensi dari ruang penyelesaian dari sistem linear berikut(a) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 5x1 x2 + x3 x4 = 0(b) x1 4x2 + 3x3 x4 = 0, 2x1 8x2 + 6x3 2x4 = 0

5.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan RuangKosong


1. Carilah basis ruang kosong dari matriks dibawah ini

(a)

1 1 34 3 33 3 2

(b)1 4 5 5 93 2 1 4 12 3 5 7 8

1 0 1 2 1


5.6. Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas 20

2. Carilah basis ruang baris dari matriks-matriks pada Soal 1

3. Carilah basis ruang kosong dari matriks-matriks pada Soal 1

5.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas


1. Tunjukan bahwa rank(A) = rank(AT ) dari matriks dibawah ini

(a) A =

1 2 2 2 03 2 3 5 25 1 2 4 1

(b) A =

2 1 2 1 24 3 4 1 36 5 6 1 28 7 8 1 2

2. Carilah jumlah parameter yang dibutuhkan pada soal 1

3. Carilah null(A) dari soal 1


Daftar Pustaka

[1] Howard Anton, 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam.

[2] Steven J. Leon, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta.

21

soal-aljabar-matriks-its.pdf

Documents