soal dan pembahasan mcshs babak penyisihan
TRANSCRIPT
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Soal Babak Penyisihan MCSHS
(Mathematics Competition for Senior High School)
Olimpiade Matematika SMA
1. Bilangan - merupakan bilangan . . .
a. Bulat negatif c. Pecahan e. Irrasional negatif
b. Bulat positif d. Irrasional positif
2. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah cepat 40% dibandingkan
dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini
paling sedikit ada . . .
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. Tidak bisa ditentukan
3. Jika = dengan x > 0dan x , maka + sama dengan . . .
a. -7 b. -5 c. -3 d. -2 e. -1
4. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian
dari H yang tidak kosong adalah . . .
a. 6 b. 31 c. 32 d. 63 e. 64
5. Misalkan N sebuah bilangan asli dua-angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh
dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N-
M adalah . . .
a. 2 b. 3 c. 7 d. 9 e. 11
6. Diketahui = dan F = + , maka nilai F adalah . . .
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
7. Sebuah kapur barus berbentuk tabung dengan diameter lingkaran alasnya sama dengan
tinggi tabung. Kapur barus tersebut menyublim sedemikian rupa sehingga bentuknya
selalu berbentuk tabung yang diameter alasnya sama dengan tinggi tabung. Laju
perubahan volum kapur barus terhadap tingginya pada saat tingginya 2 satuan adalah . . .
a. b. c. d. e.
8. Nilai x yang memenuhi = adalah . . .
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
a. 1 + 6 c. 1 + 6 e. 1 + 6
b. 1 + 4 d. 1 + 4
9. dan adalah akar-akar dari persamaan . Jika p
bilangan asli dan maka . . .
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 7
10. Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada
pukul 09.00 lebih . . .
a. menit c. menit e. menit
b. menit d. menit
11. Peluang menemukan di antara 3 orang ada paling sedikit 2 orang yang lahir dalam bulan
yang sama adalah . . .
a. b. c. d. . e.
12. Pertidaksamaan mempunyai sifat . . .
a. a dan b positif c. a positif dan b negatif e.
b. a dan b berlawanan tanda d.
13. Jika dan = , maka . . .
a. c. e.
b. d.
14. Diketahui dan . Nilai adalah . . .
a. c. e. .
b. d.
15. Persamaan garis singgung kurva di titik adalah . . .
a. c. e.
b. d.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
16. Deret Geometri terdiri dari 8 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 210 dan jumlah tiga
suku terakhir adalah 6720. Jumlah deret geometri tersebut adalah ....
a. 6930 c. 7170 e. 7410
b. 7650 d. 5970
17. Jumlah bilangan-bilangan antara 150 dan 1000 yang habis dibagi 9 adalah ....
a. 53535 c. 66661 e. 53568
b. 53578 d. 54396
18. 56215 + = ....
a. 7 - 8 c. 9 + 6 e. 10 + 5
b. 7 + 8 d. 9 - 6
19. Jumlah dua bilangan adalah 40. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kali
bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum. . .
a.3
40 dan3
80 c. 30 dan 10 e.370 dan
350
b. 20 dan 50 d.3
100 dan3
20
20. Nilai dari dxxx∫ +2
0
2 4318 = . . .
a. 72 b. 86 c. 112 d. 124 e. 128
21. Nilai dari 2)1(9
1∑
=
−p
p adalah . . .
a. 2− b. 2 c. 3 d. 3− e. 8
22. Garis dengan persamaan 042 =++ yx dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan
dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks
1021
. Tentukan persamaan
bayangannya adalah ....
a. 04 =−x c. 042 =−y e. 042 =+xb. 04 =+x d. 042 =+y
23. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah....a. 62 b. 63 c. 36 d. 33 e. 34
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
24. Jika 64===fe
dc
ba , maka 322
322
4545
ffddbeecca
+−+− = ….
a. 8 b. 16 c. 64 d. 512 e. 642
25. Dua orang gadis, Linda dan Yuli, menjual sari buah lemon. Untuk setiap gelas sari buah
lemon, Linda digaji 10% lebih sedikit dibanding Yuli. Tetapi setiap harinya Linda
mempersiapkan 10% sari buah jeruk lebih banyak dari Yuli. Kesimpulan yang paling tepat
adalah …
a. Linda mendapat gaji 10% lebih sedikit dari Yuli
b. Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli
c. Linda dan Yuli mendapatkan gaji yang sama banyaknya
d. Linda mendapat gaji 1% lebih banyak dari Yuli
e. Linda mendapat gaji 10% lebih banyak dari Yuli
26. Nilai x yang memenuhi persamaan24
241
2
−−
=−
−x
xxx
adalah ….
a. 3 atau -2 c. -2 e. 3
b. 3 atau 2 d. 2
27. Nilai z yang memenuhi ( )( )( )[ ] 10loglogloglogloglogloglog 22222222 =−−−− Lzzzz adalah
….
a. 111 52 × c. 110 52 × e. 19 52 ×
b. 011 52 × d. 010 52 ×
28. Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat ; n
1 adalah 2. Nilai 3n adalah …
a. b. c. d. e.
29. Suatu lingkaran diputar dengan R( ,90o) kemudian dicerminkan
terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …
a.
b.
c.
d.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
e.30. Hitunglah 17761492! (mod 2000) dengan kata lain berapakah sisa jika 17761492! dibagi 2000 ?
a. 1286 b. 1267 c. 1376 d. 1497 e. 1455
31. Determine the value of( )
....2
81
133
2
=∫+−
dxx
x
a.2732 b.
2736 c.
279 d.
274 e.
2740
32. Nilai x yang memenuhi persamaan
=−=+
8253
yx
yx
adalah....
a. 3log1 5+ c. 3log4 5+ e. 5log4 3+
b. 3log2 5+ d. 5log6 3+
33. Terdapat kubus tanpa alas dan tutup, panjang rusuk kubus = 1 cm. Tentukan jarak terpendek
yang ditempuh semut dari A ke B dengan mengelilingi seluruh sisi kubus adalah . . .
a. 1 b. c. d. 2 e.
34. A positive integer is to be placed in each box. The product of any four adjacent integers is
always 120. What is the value of x?
2 4 x 3
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
A
B
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
35. Henri scored a total of 20 points in his basketball team’s first three games. He scored of
these points in the first game and of these points in the second game. How many points
did he score in the third game?
a. b. 10 c. 11 d. e. 8
36. In the sequence of fractions . . .fractions equivalent to any given
fraction occur many times. For example, fractions equivalent to occur for the first two
times in positions 3 and 14. In which position is the fifth occurrence of a fraction equivalent
to ?
a. c. 1209 e.1211
b. 1208 d.
37. The 50th term in the sequence 5, 6x, 7x2, 8x3, 9x4, … is. . .
a. 54x49 c. 45x50 e. 46x51
b. 54x50 d. 55x49
38. When 12 345 678 is divided by 10, the remainder is. . .
a. 0 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8
39. In a school, 500 students voted on each of two issues. Of these students, 375 voted in favour
of the first issue, 275 voted in favour of the second, and 40 students voted against both
issues. How many students voted in favour of both issues?
a. 95 b.110 c. 150 d. 190 e. 230
40. Evaluate (–50)+(–48)+(–46)+...+54+56 .
a. 10 b. 56 c. 110 d. 156 e. 162
41. A triangle can be formed having side lengths 4, 5 and 8. It is impossible, however, to
construct a triangle with side lengths 4, 5 and 9. Ron has eight sticks, each having an integer
length. He observes that he cannot form a triangle using any three of these sticks as side
lengths. The shortest possible length of the longest of the eight sticks is . . .
a. b. 21 c. 22 d. e. 24
42. Jika diketahui sin A = , maka nilai dari cos2A adalah …
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
a. b. c. d. e.
43. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-10) dan menyinggung garis adalah
….
a.
b.
c.
d.
e.44. Tentukan bilangan dengan tepat yang memiliki 8 pembagi positif yang hasil kali pembagi-
pembaginya sama dengan 331776.
a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27
45. Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3,
5, dan 7, = . . .
a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24
46. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang
bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …
a. b. c. d. e.
47. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi : FPB(a, b) + KPK(a,
b) = a + b + 6
a. (2, 7), (2, 5), (5, 2), (6, 9), (7, 2), (9, 6)
b. (2, 8), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (8, 2), (9, 6)
c. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6)
d. (2, 7), (3, 5), (5, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6)
e. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 8), (7, 2), (8, 6)
48. Jumlah 5 suku pertama dari suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali
suku ke-3 dan suku ke-6 adalah …
a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
49. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan log (3x2 + 5x +11) = 1. Tentukan22
11βα
+ ….
a. 6 b. 16 c. 25 d. 19 e. 9
50. Sebuah garis l1 mempunyai kemiringan -2 dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lain, l2 ,
tegak lurus terhadap l1, di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a =
….
a. b. c. d. e.a25
23
+ a25
− a45
− a45 a
25
23
−
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Pembahasan Soal Babak Penyisihan MCSHS
(Mathematics Competition for Senior High School)
Olimpiade Matematika SMA
1. Misal : = a dan = b
Jadi bilangan itu a – b = x
a3 – b3 = ( + 2) – ( - 2) = 4
ab= =1
= - 3ab(a-b) -
= 4 - 3x
+ 3x – 4 = 0
Dengan aturan horner akan didapat x=1(bulat positif)
Jawaban : b
2. 40% =
Hari ini lebih banyak 40% dari kemarin, jadi yang dikerjakan hari ini:1 + = kali yang
dikerjakan kemarin. Karena jumlah soal yang dikerjakan selalu berupa bilangan asli, maka
jumlah soal yang dikerjakan hari ini paling sedikit ada x 5 = 7(dikali 5 karena 5 adalah
bilangan asli terkecil yang habis dibagi 5)
Jawaban : c
3. Dipunyai =
Jelas, + = +
= +
= +
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
= +
= +
=
= -1
Jawaban : e
4. 2007 = 3 x 3 x 223 x 1
Faktor-faktor positif dari 2007 adalah:1, 3, 9, 223, 669 dan 2007 (ada 6 buah)
Jadi banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah:
+ + + + + = 6 +15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
Jawaban : d
5. Misal : N = 10x + y dan M = 10y + x dengan x,y bilangan asli yang lebih besar atau sama
dengan 1,dan lebih kecil atau sama dengan 9
N – M = 10x + y - 10y – x = 9x – 9y = 9(x-y)
Jadi N - M selalu habis dibagi 9, 1 dan 3.
Di antara 9, 1 dan 3 hanya 3 yang prima
Jawaban : b
6. F = +
= +
= - +
= 1
Jawaban : b
7. d = t
V Tabung = t
= t
= d
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
=
Laju perubahan volum = = d = t
=
= 4 =
Jawaban : b
8. =
=
(x + 1)log 8 = (x-1)(log 3 + log 8)
(x + 1)log 8 - (x-1)log 8 = (x-1)log 3
2log 8 = (x-1)log 3
x – 1 =
x = 1 +
x = 1 +
x = 1 + 6
Jawaban : c
9.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jawaban : d
10. Lebihnya
menit
Jawaban : b
11. Peluang menemukan 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : =
Peluang menemukan 3 orang lahir dalam bulan yang sama : =
Jadi peluang menemukan sedikitnya 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : +
=
Jawaban : a
12.
Oleh karena pangkatnya ganjil, maka
Jawaban : d
13.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jawaban : c
14.
,
Jawaban : a
15.
Garis singgung kurva melalui titik maka
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jadi
Persamaan garis yang melalui dengan
Jawaban : d
16. Tulis deret geometri = 765432 ararararararara +++++++
Jelas 2102 =++ arara
765 ararar ++ = 6720 6720)( 25 =++⇔ ararar
2
25 )(araraararar
++++ =
2106720
5r = 32
5r = 25
r = 2
2102 =++ arara
aaa 42 ++ = 210
a7 = 210
a = 30
∑ deret geometri = 384019209604802401206030 +++++++
= 7650
Jadi jumlah derat geometri tersebut adalah 7650.
Jawaban : b
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
17. Deret bilangan yang habis dibagi 9 antara 150 – 1000 adalah 153, 162, 171, ..., 999.
Maka jumlah bilangannya adalah )(2 nn UanS += .
bnaU n )1( −+=
846999)1(153999
=−−+=
nn
n9 = 837
n = 93
)999153(293
+=nS
= 53568.
Jawaban : e
18. Ingat rumus baba ×++ 2)( = ba +
Misal : 15=+ ba
56=×ba
Jelas ba −= 15
56=×ba 56)15( =−⇔ bb
5615 2 =−⇔ bb
056152 =+−⇔ bb
( )( ) 078 =−−⇔ bb
8=⇔ b atau 7=b
Untuk 8=b maka 7=a
Untuk 7=b maka 8=a
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jadi diperoleh 56215 + = 7 + 8 atau 56215 + = 78 + .
Jawaban : b
19. Misal bilangan I = x
bilangan II = )40( x−
)40()( 2 xxxf −=
= 3240 xx −
Untuk mencari nilai x yang mencapai nilai maksimum adalah
2' 380)( xxxf −=
0 = )380( xx −
0=x atau3
80=x
syarat untuk mencapai nilai maksimum adalah 0)(" <xf
xxf 680)(" −=
Untuk 80)0("0 =⇒= fx
803
80"80 −=
⇒= fx
Sehingga untuk mencapai maksimum nilai3
80=x
Jadi diperoleh bilangan I =3
80 dan bilangan II =3
403
8040 =− .
Jawaban : a
20. Misal 43 2 += xu
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
xdxdu 6=
dxxdu ⋅= 6
xdudx6
=
Jelas dxxx∫ +2
0
2 4318 =x
duux6
182
0
21
∫ ⋅
=2
0
23
2u
=2
0
2 43)43(2 ++ xx
= ( ) ( )4)40(216)412(2 +−+x
= 128 – 16
= 112
Jadi nilai dari dxxx∫ +2
0
2 4318 adalah 112.
Jawaban : c
21. Jelas
2)1(9
1∑
=
−p
p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121212121 5432 −+−+−+−+−
( ) ( ) ( ) ( ) 21212121 9876 −+−+−+−
= 2)1( 9−
= 21−
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
= 2− .
Jadi 2)1(9
1∑
=
−p
p adalah 2− .
Jawaban : a
22. Garis dengan persamaan 042 =++ yx dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan
dengan trasformasi dengan matriks
1021
Jelas pencerminan terhadap garis y = x bersesuaian dengan matriks
0110
Sehingga 2M 1M =
1021
0110
=
0112
=
'
'
yx
0112
yx
yx
=
−
−− 21
101
1
'
'
yx
−
=
''
2110
yx
yx
yx
=
− '2'
'yx
y
Diperoleh 042 =++ yx
04'2''2 =+−+⇔ yxy
04' =+⇔ x
04 =+⇔ x
Jadi persamaan bayangan yang terbentuk adalah 04 =+x .
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jawaban : b23.
E 1 = tengah-tengah HF
AE1 = 21
2 EEAE +
= 22 )26()12( +
= 72144 +
= 216
= 66
EE2 =1
1
AEEEAE ⋅
=66
2612 ⋅
= 34
Jadi panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah 34 .
Jawaban : e
A B
CD
EF
GH
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
24. 64===fe
dc
ba , maka a = 64b, c = 64d, dan e = 64f.
Jelas 322
322222
322
322
45.64.64..64.4.64..64.5
4545
ffddbffddb
ffddbeecca
+−+−
=+−+−
( ) 512226445
4564 9183322
3223
====+−
+−=
ffddbffddb .
Jawaban : d
25. Tulis A: jumlah gelas sari jeruk yang dibuat Yuli setiap harinya dan B: jumlah pembayaran
untuk setiap gelas sari jeruk. Jelas gaji Yuli per hari adalah A × B. Linda menerima 10%
lebih sedikit dari Yuli, berarti 90% dari B atau B × 90%, tetapi Linda membuat 10% lebih
banyak dari Yuli, berarti 110% dari A atau A × 110%. Jadi gaji Linda per hari adalah A ×
110% × B × 90% = 99% × A × B. Jadi Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli.
Jawaban : b
26. Jelas24
241
2
−−
=−
−x
xxx
24
26 2
−−=
−−⇔
xxx
xx
)4()6( 2 xxx −=−⇔
0652 =+−⇔ xx
0)2)(3( =−−⇔ xx
⇔ (x – 3) = 0 atau (x – 2) = 0
⇔ x = 3 atau x = 2.
Lakukan pengecekan. Untuk x = 2 tidak memenuhi persamaan karena menghasilkan
penyebut 0.
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.
Jawaban : e
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
27. Jelas ( )( )( )[ ] 10loglogloglogloglogloglog 22222222 =−−−− Lzzzz
102
2
2
2
2
2
2
2
2 2log
loglog
loglog10
loglog
loglog =⇔=⇔
LL
zz
zz
zz
zz
10
2
2
2
210
2
2
2 2
loglog
loglog2
loglog
log
z
zz
zz
zz
zz
=⇔=⇔
LL
522
10 1110 ×=⇔=⇔ zz .
Jawaban : a
28. Misalkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah a dan b. maka
Jawaban : e
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
29. Persamaan lingkaran
Pusat = ( , B) = (3,-2)
Jari-jari =
R( ,90o)
Jadi, pusat lingkaran bayangannya adalah (2,-3)
Persamaan lingkaran bayangan:
Jawaban: a
30. 17761 = 1776 (mod 2000)
17762 = 176 (mod 2000)
17763 = 576 (mod 2000)
17764 = 976 (mod 2000)
17765 = 1376 (mod 2000)
17766 = 1776 (mod 2000)
17767 = 176 (mod 2000)
dan seterusnya.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Karena 17766 = 17761 = 1776 (mod 2000), maka 1776n = 1776n-5 (mod 2000) untuk n > 5.
Jelas bahwa 1492! habis dibagi 5.
17761492! = 17765 (mod 2000) = 1376 (mod 2000)
Maka sisa jika 17761492! dibagi 2000 adalah 1376.
Jawaban : c
31. Misal: 23 += xu
Maka 23xdxdu
=
23xdudx =
Jelas( )
dxx
x∫− +
1
133
2
28 = ∫
−
− ⋅⋅1
12
32
38
xduux
= ∫−
−1
1
3
38 duu
=1
1
2
34
−
−⋅− u
=( )
1
123 23
4−+
−x
=( ) ( )
+−−−
+− 2323 2)1(3
4213
4
=
⋅−−
⋅−
134
934
=34
274
+−
=27
364 +−
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
=2732 .
Jadi nilai dari( )
dxx
x∫− +
1
133
2
28 =
2732 .
Jawaban : a
32. Jelas yxyx +=⇔=+ 25log253 3 ....(1)
88 −=⇔=− xyyx ....(2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2):
)8(25log3 −+= xx 8225log3 −=⇔ x
825log2 3 +=⇔ x
85log2 23 +=⇔ x
85log22 3 +=⇔ x
( )2
85log23 +=⇔ x
45log3 +=⇔ x
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan
=−=+
8253
yx
yx
adalah 5log4 3+
Jawaban : e
33. Karena kenaikannya , maka diperoleh
4 AO = 4 x
= 4 x
= 4 x
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
=
Jawaban : c
34. Since the product of any four integers is 120, = =120 where an
represents the number in the nth box. Therefore, = and similarly = , = =
, or more generally, = Thus the boxes can be filled as follows:
x 4 2 3 x 4 2 3 x 4 2 3 x 4
Therefore, (4)(2)(3)(x)= 120
Jawaban : e
35. Henri scored or 10 points in his first game. In his second game, he scored or
2 points. In the third game, this means that he will score 20 – (2 or 8 points.
Jawaban : e
36. In analyzing this sequence of fractions, we start by observing that this large sequence is
itself made up of smaller sequences. Each of these smaller sequences is of the form
with the denominators increasing from 1 to n and the numerators
decreasing from n to 1. We observe that there is 1 term in the first of these smaller
sequences, 2 terms in the second of these, and so on. This can be seen in the following
grouping:
A
B
1
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
( ), ( ), ( ), ( ), ..., ( ), ...
If we take any fraction in any of these smaller sequences, the sum of the numerator and
denominator is 1 greater than the number of terms in this smaller sequence. For example, if
we take the first occurrence of , it would occur in the sequence with 9 terms. This implies
that the fifth occurrence of a fraction equivalent to , namely , would occur in the
sequence with 49 terms, and would be the term in that sequence.Since the smaller
sequences before this particular sequence have 1, 2, 3, …, 48 terms, so the term is term
number
Jawaban : e
37. If we start by looking at the numerical coefficient of each term we make the observation
that if we add 1 to 5 to get the second term and 2 to 5 to get the third term we will then add
49 to 5 to get the fiftieth term. Thus the fiftieth term has a numerical coefficient of 54.
Similarly, if we observe the literal coefficient of each term, the first term has a literal
coefficient of x0 which has an exponent of 0. The second term has an exponent of 1, the
third an exponent of 2 so that the exponent of the fiftieth term is 49 which gives a literal
part of 54x49 . Thus the fiftieth term is 54x49.
Jawaban : a
38. Applying the standard division algorithm we would have
The remainder is 8.
Jawaban : e
39.
Let x be the number of students who voted in favour of both issues. We construct a Venn
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
diagram of the results of the vote: Since the total number of students is 500, then
=190
So 190 students voted in favour of both.
Jawaban : d
40. If we add some terms to this series, we would have the following:
( –50)+(–48)+(–46)+...+48+50+52+54+56 .
Each of the negative integers has its opposite included in the sum and each pair of these
sums is 0.
This implies that, (–50)+(–48)+(–46)+...+46+48+50 is 0. The overall sum is now just
52+54+56 or 162.
Jawaban : e
41. If Ron wants the three smallest possible lengths with which he cannot form a triangle, he
should start with the lengths 1, 1 and 2. (These are the first three Fibonacci numbers). If he
forms a sequence by adding the last two numbers in the sequence to form the next term, he
would generate the sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Notice that if we take any three lengths
in this sequence, we can never form a triangle. The shortest possible length of the longest
stick is 21.
Jawaban : b
42. sin A = maka cos A =
cos 2A = 1 - 2sin2A
cos 2A = 1 – 2 = 1 - = -
cos 2A = 2 cos2A-1
ó- = 2 cos2A-1
ó 2cos2A= ó cos2A =
Jawaban: d
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
43. Diketahui persamaan garis singgung
Jari-jari lingkaran = = = = 5
Persamaan lingkaran:
Jawaban : a
44. Misalkan bilangan tersebut = n dengan d1, d2 , d3 ,…., d8 adalah pembagi-pembaginya
serta berlaku
bahwa d1 < d2 < d3 < d4 < .... < d8. Jelas bahwa d1 = 1 dan d8 = n.
Ingat bahwa d1 . d8 = d2 . d7 = d3 . d6 = d4 . d5 = n. Maka :
d1d2d3d4d5d6d7d8 = n4 = 331776 = 212 . 34
n = 23 . 3
Maka bilangan tersebut adalah 24.
Jawaban : b
45. Untuk n = 3à nn – n = 24
Maka bilangan terbesar yang membagi nn – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24.
nn – n = n(nn-1 – 1)
Karena n ganjil maka n-1 genap.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
nn – n = n(n2k – 1)à n2k adalah bilangan genap.
Karena n2k genap maka n2k akan berbentuk 3p atau 3p + 1
Jika n2k = 3p maka 3 membagi n2kà 3 membagi nà n(n2k – 1) habis dibagi 3.
Jika n2k = 3p - 1 maka n2k – 1 habis dibagi 3à n(n2k – 1) habis dibagi 3.
Maka nn – n habis dibagi 3.
Karena bilangan kuadrat berbentuk 8q, 8q + 1, atau 8q + 4 tetapi n2k tidak mungkin
berbentuk 8qatau 8q + 4 sebab n ganjil. Maka n2k berbentuk 8q + 1à n2k – 1 habis dibagi 8
Maka nn – n habis dibagi 8.
Karena nn – n habis dibagi 3 dan 8 maka nn – n habis dibagi 24.
Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3, 5, 7, ...
adalah 24
Jawaban : e
46. Misalkan deretnya a, ra, r2a, r3a, …
Deret untuk yang bernomor genap : ra, r3a, …
Dari 1) dan 2) diperoleh
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Dari persamaan 1)
Jadi, suku pertamanya adalah .
Jawaban : b
47. Misal FPB(a,b) = x maka a = xp dan b = xq untuk x, p, q bilangan asli dan FPB (p,q) = 1
KPK (a,b) = xpq.
x + xpq = xp + xq + 6
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
x(p - 1)(q - 1) = 6
Ada beberapa kasus :
v x = 1 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 6
x = 1, p = 2 dan q = 7à (a, b) = (2, 7)
v x = 1 ; p - 1 = 6 ; q - 1 = 1
x = 1, p = 7 dan q = 2à (a, b) = (7, 2)
v x = 1 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 3
x = 1, p = 3 dan q = 4à (a, b) = (3, 4)
v x = 1 ; p - 1 = 3 ; q - 1 = 2
x = 1, p = 4 dan q = 3à (a, b) = (4, 3)
v x = 2 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 3
x = 2, p = 2 dan q = 4 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1)
v x = 3 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 2
x = 3, p = 2 dan q = 3à (a, b) = (6, 9)
v x = 3 ; p - 1 = 2 ; q - 1 = 1
x = 3, p = 3 dan q = 2à (a, b) = (9, 6)
v x = 6 ; p - 1 = 1 ; q - 1 = 1
x = 6, p = 2 dan q = 2 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) 1).
Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6).
Jawaban : c
48. Misalkan suku pertama deret tersebut adalah a.
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
U3 = ar2
U6 = ar5
U3. U6 = ar2. ar5 = 9.27 = 1.152
Jawaban : c
49. Jelas log (3x2 + 5x +11) = 1 ⇔ log (3x2 + 5x +11) = log 10
⇔ 3x2 + 5x +11= 10
⇔ 3x2 + 5x +1= 0
Jadi akar-akar persamaannya adalah35
−=−=+ab
βα dan31
==⋅ac
βα
Jelas untuk 22
22
22
11βαβα
βα+
=+
( )( )2
2 2αβ
αββα −+=
2
2
31
312
35
−
−
=
91
32
925
−=
91
96
925
−=
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
919
19
=
19= .
Jawaban : d
50. Persamaan garis l1
y - y = m(x - x)
y + 3 = -2 (x – p)
y = -2x – p – 3.
Persamaan garis l2
y – y = m(x – x)
y – p = (x – 6)
y = x – 3 + p.
Garis l1 dan garis l2 tegak lurus di (a,b)
(a,b) y = -2x – p – 3
b = -2a – p – 3,
(a,b) y = x – 3 + p
b = a – 3 + p.
⇔
⇔
⇔21
⇔21
⇒
⇔
⇒21
⇔21
Babak Penyisihan
Mathematics Competition for Senior High SchoolForum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009
Jadi -2a – p – 3 = a – 3 + p
- p – p = a + 2a
- 2p = a
p = - a.
Jawaban : c
21
⇔21
⇔25
⇔45