Sobre o comportamento endogendo do mercadode acoes: simulacoes e experimentos

Wilson Freitas

Departamento de Fısica — PUC–Rio

2 de novembro de 2012

Agenda

Motivacao

Modelagem Endogena

Algoritmo

Resultados

Experimentos

Conclusoes e extensoes

Motivacao

Porque modelos baseados em agentes?

I Modelar o comportamento dos investidores em um mercadode acoes atraves de uma representacao idealizada que leve emconta o processo complexo de decisao.

I Extrair informacoes do mercado artifical e compararqualitativamente com dados obtidos em mercados reais, paraque se entenda quais fatores sao relevantes na dinamica domercado.

I Gerar uma serie artificial que contenha as principaiscaracterısticas observadas nas series empıricas no regimenormal do mercado.

Pressupostos basicos I

I Carteira de investimentos

wi (t) = Ci (t) + Ri (t)

= Ci (t) + ptSi (t)

I Vınculos

Ci (t) > 0

Si (t) > 0

para qualquer t.

I Quantidades conservadas

N∑i=0

Ci (t) = CN∑i=0

Si (t) = S

para qualquer t.

Pressupostos basicos II

I Agentes possuem aversao ao risco

I Agentes sao heterogeneos

I Estrategias fixas de investimento

I Mercado centralizado

I Nao ha troca de informacao direta entre os agentes

Tipos de agentes do mercado

Agentes sao dividos de acordo com suas estrategias deinvestimentos:

Agentes Aleatorios: nao tem estrategia de investimentos bemdefinida podem negociar por necessidade, instinto ouignorancia. Representam a maioria dos agentes.

Agentes Tecnicos: utilizam indicadores baseados na serie passadados precos.

Agentes Fundamentalistas: avaliam diversas informacoes a respeitodo ativo para estimar o preco fundamental de umativo.

Os agentes fundamentalistas nao foram considerados na modelagem.

Flutuacoes estocasticas e heterogeneidade endogena

Flutuacoes estocasticas

I os agentes atuam no regime normal do mercado

I as informacoes externas de menor impacto sao tratadas comoruıdos estocasticos

I atuacao dos agentes aleatorios

Heterogeneidade endogena

I diferentes estrategias de investimento que caracterizam ostipos de agentes do mercado: aleatorios (indecisos) e tecnicos

I diferentes graus de aversao ao risco

A diversidade se da apenas por fatores inerentes aos agentes.

Aversao ao Risco

I taxa de capital em relacao ao investimento em risco do agentei

γi (t) =Ci (t)

Ri (t)

I cada agente possui um valor otimo γ∗i

Aversao ao Risco

Compra:

Φ(γi (t + 1), γ∗i ) = 1− exp

(− γi (t + 1)

γ∗i

)Venda:

Φ(γi′(t + 1), γ∗i

′) = 1− exp

(− γi

′(t + 1)

γ∗i′

)onde

γi′(t + 1) ≡ 1

γi (t + 1), γ∗i

′ ≡ 1

γ∗i

A aversao ao risco regula como as ordens de mercado seraoatenuadas.

Estrategias

I Os agentes processam informacoes e constroem suasestrategias

Xi (t) = F [Ci (t),Si (t),pt , It , ηi (t)]

I Xi (t) define a fracao do patrimonio do agente que ele estadisposto a negociar no instante t

Xi (t) > 0 −→ COMPRAXi (t) = 0 −→ NEUTROXi (t) < 0 −→ VENDA

EstrategiasTimming – Quando e como?

Xi (t) = σi (t)Λi (t)

I σi (t) = τi (t)si (t) e o termo de ativacao da estrategia

τi (t) si (t) σi (t) Acao

0 +1 0 NEUTRO1 +1 +1 COMPRA0 -1 0 NEUTRO1 -1 -1 VENDA

I σi (t) e definido por uma estrategia de investimento.

Agentes Aleatorios: τi (t) e si (t) sao variaveis aleatorias deBernoulli com p = 0.5.

Agentes Tecnicos: σi (t) e definido por estrategias baseadasem indicadores da analise tecnica deinvestimento.

EstrategiasVolume – Quer pagar quanto?

I Λi (t) ∈ (0, 1), determina a fracao do patrimonio que serautilizada pelo agente em uma negociacao.

Λcomprai (t; γ∗i ) = fc

[1 − exp

(− γi (t + 1)

γ∗i

)]

Λvendai (t; γ∗i

′) = fv

[1 − exp

(− γi

′(t + 1)

γ∗i′

)]I fc e fv sao respectivamente fracoes do capital e das acoes que

os agentes tem intencao de negociar, de acordo com o sinal deσi (t).

I Essas fracoes sao governadas por novas informacoes sobre oativo que chegam ao mercado. Devido ao carater aleatoriodessas informacoes:

fc , fv ∼ U(0, 1)

Estrategias de Analise TecnicaMedia movel

I O indicador e a media movel da serie de precos para umperıodo τ .

Mτ (t) =τ−1∑i=0

p(t − i)

τ

I A estrategia de ativacao e definida a partir de duas mediasmoveis:

1. Media movel curta Mc de perıodo τc2. Media movel longa Ml de perıodo τl3. τc < τl

σi (t) =

+1 quando Mc ⊗Ml

−1 quando Ml ⊗Mc

0 para qualquer outro estado

I Objetivo: Acompanhar a tendencia no movimento passadodos precos

a(t)⊗ b(t) ≡ a(t − 1) ≤ b(t − 1) ∧ a(t) > b(t)

Estrategias de Analise TecnicaMedia movel

20

25

30

35

Yahoo INC.

-1

0

1

Mar/97Fev/97Jan/97Dez/96Nov/96Out/96Set/96Ago/96Jul/96

Estrategias de Analise TecnicaMedia movel exponencial

I O indicador e a media movel exponencial (EWMA) da serie deprecos.

Eα(t) = αp(t) + (1− α)Eα(t − 1)

onde α = 2τ+1

I A estrategia de ativacao e definida a partir de duas mediasmoveis:

1. Media movel curta Ec de coeficiente αc

2. Media movel longa El de coeficiente αl

3. αc > αl ⇒ τc < τl

σi (t) =

+1 quando Ec ⊗ El

−1 quando El ⊗ Ec

0 para qualquer outro estado

I Objetivo: Acompanhar a tendencia no movimento passadodos precos

Estrategias de Analise TecnicaMedia movel exponencial

20

25

30

35

Yahoo INC.

-1

0

1

Mar/97Fev/97Jan/97Dez/96Nov/96Out/96Set/96Ago/96Jul/96

Estrategias de Analise TecnicaMomento

I O indicador Momento mede a velocidade do movimentopassado dos precos

Rτ (t) =p(t)− p(t − τ)

τ

I A estrategia de ativacao e definida como:

σi (t) =

+1 quando Rτ (t)⊗ 0−1 quando 0⊗ Rτ (t)

0 para qualquer outro estado

I Objetivo: Informar os pontos de inflexao no comportamentodos precos

Estrategias de Analise TecnicaMomento

20

25

30

35

Yahoo INC.

-10

0

10

20

-1

0

1

Mar/97Fev/97Jan/97Dez/96Nov/96Out/96Set/96Ago/96Jul/96

Estrategias de Analise TecnicaIndice de forca relativa – RSI

I O indicador RSI e calculado a partir de:

RSIτ (t) = 100− 100

1 + RSτ (t)

I RSτ (t) e a razao entre a media de retornos positivos enegativos em um perıodo τ

RSτ (t) =

∑τi=1(xt−i−xt−i−1)I (xt−i>xt−i−1)∑τ

i=1 I (xt−i>xt−i−1)∑τi=1(xt−i−1−xt−i )I (xt−i≤xt−i−1)∑τ

i=1 I (xt−i≤xt−i−1)

I A estrategia de ativacao e definida como:

σi (t) =

+1 quando RSIτ (t) < Linf

−1 quando RSIτ (t) > Lsup

0 quando Linf < RSIτ (t) < Lsup

onde RSIτ (t), Linf , Lsup ∈ [0, 100] e Linf < Lsup

Estrategias de Analise TecnicaIndice de forca relativa – RSI

I Objetivo: Medir a forca entre compradores e vendedoresinformando o potencial crescimento do ativo.

20

25

30

35

Yahoo INC.

10

20

30

40

50

60

70

80

-1

0

1

Mar/97Fev/97Jan/97Dez/96Nov/96Out/96Set/96Ago/96Jul/96

Estrategias de Analise TecnicaParametros utilizados nas estrategias

Indicador EstrategiaMedia movel MA(5,21)

Media movel exponencial EMA(5,21)

Indice de Forca Relativa RSI(21,30,70)Momento MO(21)

Estrategias de Analise TecnicaHeterogeneidade dos sinais

O grafico mostra a heterogeneidade na emissao de sinais pelasestrategias tecnicas no mercado artificial.

Estrategias de Analise TecnicaHeterogeneidade dos sinais

Histograma do numero de agentes que atuam simultaneamenteno mercado artificial, com N = 1000 e φ = 0.3.N e o numero de agentes no mercado e φ e o percentual de agentes no mercado que utiliza estrategias tecnicas.

Algoritmo

AlgoritmoInicializacao do mercado

I utilizacao de uma serie real na inicializacao dos indicadores deanalise tecnica

I definicao do preco inicial p0

I definicao do capital total e da quantidade total de acoesexistentes no mercado: C = p0S

AlgoritmoInicializacao dos agentes

I Os N agentes do mercado sao inicializados com as mesmasquantidades de capital e de acoes, Ci ,t=0 = C

N , Si ,t=0 = SN .

I Agentes sao divididos em duas populacoes: φN agentestecnicos e (1− φ)N agentes aleatorios. Os agentes tecnicossao subdivididos igualmente em n = 4 grupos de acordo coma estrategia tecnica utilizada.

I Os valores de γ∗i sao distribuıdos segundo uma distribuicaoGama

AlgoritmoEmissao ordens e limpeza do mercado

I As ordens de mercado emitidas pelos agentes:

∆Si (t) =

Xi (t)Ci (t)

p(t) , σi (t) > 0

Xi (t)Si (t), σi (t) < 00, σi (t) = 0

I Demanda: D(t) =∑

i :∆Si (t)>0 ∆Si (t)

I Oferta: O(t) =∑

i :∆Si (t)<0 ∆Si (t)

I Limpeza do mercado:

Ordem ∆Si (t) ∆Si (t)VENDA < 0 ∆Si (t)

D(t) > O(t)COMPRA > 0

O(t)D(t)

∆Si (t)

COMPRA > 0 ∆Si (t)D(t) < O(t)

VENDA < 0D(t)O(t)

∆Si (t)

AlgoritmoRegra de formacao de preco

Requisitos

I e funcao do excesso de demanda: D(t)− O(t)

Calculo do novo preco

p(t + 1) = p(t)

[1 + ζ(t)

(D(t)− O(t)

V (t)

)]I V (t) = min(D(t),O(t)) e o volume negociado

I ζ(t) = ζ0 + κVτ (t)

I Vτ (t) e a volatilidade na escala τ

ResultadosParametros utilizados

Parametro Run-02 Run-03 Run-21

N 103 103 103

C 4× 106 4× 106 4× 106

S 4× 105 4× 105 4× 105

ζ 0.02 0.02 0.02κ 0 0 1φ 0.3 0.2 0.3p0 40.0 40.0 40.0

A tabela mostra os parametros que foram utilizados nassimulacoes.

ResultadosComparacao com series reais

Series de precos recosntruıdas a partir dos retornos normalizados.

ResultadosSerie de retornos normalizados

-6

-4

-2

0

2

4

6

Yah

oo

-6

-4

-2

0

2

4

6

Run

-02

t

ResultadosHistograma dos retornos normalizados

ResultadosHistograma acumulados das caudas

ResultadosHistograma acumulados das caudas

ResultadosCorrelacao linear dos retornos

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação dos retornos

Run−02Yahoo

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação dos retornos

Run−21Yahoo

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação dos retornos

Run−02Run−21

I presenca de correlacaoresidual em escala detempo da ordem da janeladas estrategias tecnicas

IRun-02 κ = 0

Run-21 κ = 1

ResultadosCorrelacao nao-linear dos retornos

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação do módulo dos retornos

YahooRun−02

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação do módulo dos retornos

YahooRun−21

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

!(")

"

Autocorrelação do módulo dos retornos

Run−02Run−21

I correlacao nao linearsomente para κ = 1

I agentes tecnicos naointroduzem correlacaonao linear significativa

ResultadosMercado com agentes aleatorios

1e−04

0.001

0.01

0.1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

Fre

quên

cia

σ

Distribuição de retornos

Run−41Gaussiana

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

ρ(τ)

τ

Run−41 − Autocorrelação dos retornos

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

ρ(τ)

τ

Run−41 − Autocorrelação do módulo dos retornos

Nao apresenta correlacao egrandes flutuacoes

ResultadosEquilıbrio na dinamica do preco

Preco converge rapidamente para o valor de equilıbrio: p(t) = CS

ExperimentosMercado aberto

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

p(t)

t

ResultadosRiqueza × Estrategias

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

11000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

wi(t

) m

édio

t

Run−03 − Evolução da riqueza

AleatórioMA(5,21)

EMA(5,21)RSI(21,30,70)

MO(21)

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

wi(t

) m

édio

t

Run−02 − Evolução da riqueza

AleatórioMA(5,21)

EMA(5,21)RSI(21,30,70)

MO(21)

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

wi(t

) m

édio

t

Run−98 − Evolução da riqueza

AleatórioMA(5,21)

EMA(5,21)RSI(21,30,70)

MO(21)

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

wi(t

) m

édio

t

Run−21 − Evolução da riqueza

AleatórioMA(5,21)

EMA(5,21)RSI(21,30,70)

MO(21)

RSI na grande maioria das vezes apresenta o melhor desempenho.

ExperimentosVariando φ

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

Run

−07

0 0.03

0.06 0.09

0.12 0.15

0.18

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

Run

−02

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1 0.12 0.14

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

Run

−03

Número de Agentes

1e−04

0.001

0.01

0.1

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

Fre

quên

cia

σ

Distribuição de retornos

Run−02Run−03Run−07

Gaussiana

I a distribuicao de retornosdepende da atividadesimultanea dos agentes.

I

Run-03 0.2

Run-02 0.3

Run-07 0.5

ExperimentosVariando numero de agentes

0 0.05

0.1 0.15

0.2 0.25

0.3 0.35

1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000

Run

−06

0 0.03

0.06 0.09

0.12 0.15

0.18

300 350 400 450 500 550

Run

−02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

20 25 30 35 40 45 50 55 60

Run

−01

Número de Agentes

1e−04

0.001

0.01

0.1

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

Fre

quên

cia

σ

Distribuição de retornos

Run−01Gaussiana

Run−02Run−06

I distribuicao de retornosapresenta comportamentonao realista quando Ncresce.

I

Run-01 100

Run-02 1000

Run-06 5000

Conclusoes e Extensoes

Conclusoes

I Os agentes tecnicos tem um desempenho superior aos agentes aleatorios.

I A introducao de agentes tecnicos induz memoria no sistema e esta eexplorada pelos mesmos.

I A presenca de agentes tecnicos faz com que as grandes flutuacoes nopreco aparecam espontaneamente.

I Na condicao de mercado fechado e reversao a media a estrategia tecnicaRSI apresentou melhor desempenho.

Extensoes

I Explorar a diversidade das estrategias.

I Modelagem mais realista para o processo de formacao de precos domercado.

I Analisar o desempenho das estrategias em novas condicoes do mercado.