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Sobre Sistemas de Tipo Gentzen
Jose de Jesus Lavalle Martınez1
Jose Ramon Arrazola Ramırez2
Francisco Javier Ponciano Carmona1
Hugo Salinas Ramırez1
tcho [email protected]
[email protected] de Ciencias de la Computacion2Facultad de Ciencias Fısico Matematicas
Benemerita Universidad Autonoma de Puebla
3 de septiembre de 2012Facultad de Ciencias Fısico Matematicas BUAP
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Contenido
1 Motivacion
2 Sistema G ′
3 Sistemas LK y LJ
4 Interpretacion del calculo proposicional intuitivo
5 Logicas subestructurales
6 Cierre
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Ejemplo de razonamiento matematico
1 La interesaba mas la relacion de deducibilidad entre formulas que laverdad de las formulas;
2 Gentzen deseaba definir un formalismo que reflejara lo mas exactoposible el razonamiento logico real involucrado en las pruebasmatematicas.
Example
Para establecer que (A ∨ (B ∧ C )) ⊃ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C )) es verdadera,procedemos como sigue: suponga que A se cumple o que B ∧C se cumple.Distinguimos dos casos:
1 Si A se cumple se sigue que A ∨ B se cumple, y tambien A ∨ C secumple; ası (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) tambien se cumple;
2 Si es el caso que B ∧ C se cumple, significa que tanto B como C secumplen. De B se sigue A ∨ B; de C se sigue A ∨ C .Ası (A∨B)∧ (A∨C ) tambien se sigue, con lo que concluye la prueba.
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Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico
Definition
El sistema de Gentzen G ′ se define a continuacion:
Las expresiones basicas del sistema son inferencias de la formaΓ→ ∆, llamadas secuentes y se leen como ∆ “se sigue de”, o “esderivable de”Γ, a Γ se le llama antecedente y a ∆ sucedente,
Γ, ∆ representan conjuntos arbitrarios, posiblemente vacıos, deformulas,
A, B representan proposiciones arbitrarias,
El secuente A1, . . . ,An → B1, . . . ,Bm tiene informalmente el mismosignificado que la formula (A1 ∧ . . . ∧ An) ⊃ (B1 ∨ . . . ∨ Bm),
El unico axioma es:
Γ,A→ A,∆ Ax ′
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Sistema de Gentzen G ′ para el calculo proposicional clasico
Definition
Las reglas de inferencia son:
Γ→ A,∆
Γ,¬A→ ∆ ¬′ →
Γ,A→ ∆
Γ→ ¬A,∆ → ¬′
Γ,A,B → ∆
Γ,A ∧ B → ∆ ∧′ →
Γ→ A,∆ Γ→ B,∆
Γ→ A ∧ B,∆ → ∧′
Γ,A→ ∆ Γ,B → ∆
Γ,A ∨ B → ∆ ∨′ →Γ→ A,B,∆
Γ→ A ∨ B,∆ → ∨′
Γ→ A,∆ Γ,B → ∆
Γ,A ⊃ B → ∆⊃′→
Γ,A→ B,∆
Γ→ A ⊃ B,∆→⊃′
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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico
Definition
Un secuente en LK es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;
Axiomas:A→ A
Ax
Reglas estructurales
Intercambio
Γ,A,B,Π→ ∆
Γ,B,A,Π→ ∆I →
Γ→ Π,A,B,∆
Γ→ Π,B,A,∆→ I︸ ︷︷ ︸
6LJ
Debilitamiento
Γ→ ∆A, Γ→ ∆
D → Γ→ ∆Γ→ ∆,A
→ D
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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico
Definition
Reglas estructurales, continuacion
Contraccion
A,A, Γ→ ∆
A, Γ→ ∆C →
Γ→ ∆,A,A
Γ→ ∆,A→ C︸ ︷︷ ︸
6LJ
CorteΓ→ ∆,A A,Π→ Σ
Γ,Π→ ∆,ΣCut
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Sistema de Gentzen LK para el calculo proposicionalclasico
Definition
Reglas operacionales
Γ→ ∆,A
¬A, Γ→ ∆¬ → A, Γ→ ∆
Γ→ ∆,¬A → ¬
A, Γ→ ∆
A ∧ B, Γ→ ∆
B, Γ→ ∆
A ∧ B, Γ→ ∆∧ →
Γ→ ∆,A Γ→ ∆,B
Γ→ ∆,A ∧ B→ ∧
Γ→ ∆,A
Γ→ ∆,A ∨ B
Γ→ ∆,B
Γ→ ∆,A ∨ B→ ∨
A, Γ→ ∆ B, Γ→ ∆
A ∨ B, Γ→ ∆∨ →
Γ→ ∆,A B,Π→ Σ
A ⊃ B, Γ,Π→ ∆,Σ⊃→ A, Γ→ ∆,B
Γ→ ∆,A ⊃ B→⊃
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Sistema de Gentzen LJ para el calculo proposicionalintuitivo
Definition
Un secuente en LJ es una expresion de la forma Γ→ ∆, donde Γ y ∆son secuencias finitas, posiblemente vacıas, de formulas;
El sucedente ∆ puede contener a lo mas una formula, por lo cual lasreglas dadas para LK se deben adaptar adecuadamente;
Por la restriccion anterior las reglas → I y → C no pueden apareceren LJ porque solo se pueden aplicar a secuentes con mas de unaformula en el sucedente (las marcadas con 6 LJ, tienen relacion directacon la ley del tercero excluido).
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Interpretacion BHK para el calculo proposicional intuitivo
Esta interpretacion se debe a Brouwer, Heyting y Kolmogorov. Paraentender la logica proposicional intuitiva debemos olvidar la nocion clasicade “verdad”. Ahora nuestros juicios sobre una proposicion logica ya no sebasan en los valores de verdad asignados a dicha proposicion, sino ennuestra habilidad para justificarla vıa una prueba explıcita o“construccion”.
Definition
Una construccion de A1 ∧ A2 consiste de una construccion de A1 yuna construccion de A2;
Una construccion de A1 ∨ A2 consiste de un indicador i ∈ 1, 2 y unaconstruccion de Ai ;
Una construccion de A1 ⊃ A2 es un metodo (funcion) que transformatoda construccion de A1 en una construccion de A2;
No existe construccion para ⊥;
¬A es una abreviacion de A ⊃ ⊥.
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∧′ → es derivable en LK
Demostracion.
A,B, Γ→ ∆
A ∧ B,B, Γ→ ∆∧ →
B,A ∧ B, Γ→ ∆I →
A ∧ B,A ∧ B, Γ→ ∆∧ →
A ∧ B, Γ→ ∆C →
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∧ → es derivable dada ∧′ → y el resto de LK
Demostracion.
A, Γ→ ∆
B,A, Γ→ ∆D →
A,B, Γ→ ∆I →
A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →
B, Γ→ ∆
A,B, Γ→ ∆D →
A ∧ B, Γ→ ∆ ∧′ →
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∨′ → es derivable en LK
Demostracion.
Γ→ ∆,A,B
Γ→ ∆,A,A ∨ B→ ∨
Γ→ ∆,A ∨ B,A→ I
Γ→ ∆,A ∨ B,A ∨ B→ ∨
Γ→ ∆,A ∨ B→ C
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→ ∨ es derivable dada → ∨′ y el resto de LK
Demostracion.
Γ→ ∆,A
Γ→ ∆,A,B→ D
Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′
Γ→ ∆,B
Γ→ ∆,B,A→ D
Γ→ ∆,A,B→ I
Γ→ ∆,A ∨ B → ∨′
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Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales
Example
Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);
Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);
Algunas cuantas razones mas.
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Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales
Example
Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);
Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);
Algunas cuantas razones mas.
Jose de Jesus Lavalle Martınez Jose Ramon Arrazola Ramırez Francisco Javier Ponciano Carmona Hugo Salinas Ramırez (BUAP)Sobre Sistemas de Tipo Gentzen 8GSNM 2012 15 / 16
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Ejemplos de por que es deseable quitar las reglasestructurales
Example
Por $50 puedes comprar una cajetilla de Camel y una cajetilla deMarlboro (conjuncion concurrente o conjuncion estatica);
Juan abrio la puerta y salio del cuarto (conjuncion secuencial);
Algunas cuantas razones mas.
Jose de Jesus Lavalle Martınez Jose Ramon Arrazola Ramırez Francisco Javier Ponciano Carmona Hugo Salinas Ramırez (BUAP)Sobre Sistemas de Tipo Gentzen 8GSNM 2012 15 / 16
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Finalmente,
¡Muchas gracias!
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Finalmente,
¡Muchas gracias!
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