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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

ESTIMACIÓN Y VARIACIÓN DEL PERIODO FUNDMENTAL DE VIBRACION DE EDIFICIOS DE

CONCRETO REFORZADO INFERIDAS A PARTIR DE EDIFICIOS INSTRUMENTADOS UBICADOS EN LA CIUDAD DE MÉXICO Y CALIFORNIA

Mosquera Rivera, Juliana1, Miranda Mijares, Eduardo2 y Reinoso Angulo, Eduardo3

RESUMEN Se presenta un estudio de la estimación de periodos fundamentales de vibración en edificios de concreto. Los periodos fundamentales de vibración se infirieron a partir de registros acelerométricos obtenidos en sismos de diferentes intensidades en edificios instrumentados en la ciudad de México y en el estado de California en los Estados Unidos, por medio de una identificación de sistemas paramétrica usando un modelo continuo. Se presentan expresiones simplificadas para estimar el periodo de vibración en función de la altura del edificio y otras para estimarlo en función del número de pisos. Se concluye que las expresiones no lineales son sólo ligeramente superiores a las expresiones lineales. Los resultados indican que la rigidez lateral de edificios de concreto en la ciudad de México, los cuales en su mayoría fueron rigidizados después del sismo del 85, es ligeramente menor que la de edificios de concreto a base de marcos en el estado de California los cuales son sumamente flexibles. Se estudia también la variación del periodo fundamental de vibración en función del nivel de distorsión de azotea, el cual representa una medida global de la demanda de deformación lateral en el edificio. Se observa que a medida que aumenta la distorsión de azotea se producen alargamientos del periodo importantes y que, aún en casos en que la estructura permanece en rango elástico lineal, se puede llegar a alcanzar un 50% de alargamiento respecto a los periodos medidos en movimientos de baja intensidad. Se proponen expresiones sencillas que permiten estimar periodos de vibración efectivos en función del nivel de distorsión de azotea.

ABSTRACT A study of fundamental periods of vibration of reinforced concrete buildings is presented. The periods of vibrations used in this study were inferred from acceleration records obtained during earthquakes of different intensities in instrumented buildings in Mexico City and the state of California, by means of a parametric system identification using a continuous building model. Simplified expressions are presented to estimate the fundamental period of vibration as a function of the building’s height and as a function of the number of stories. It is concluded that nonlinear equations are only slightly better than linear equations. Results also indicate that the lateral stiffness of instrumented buildings in Mexico City, most of which were strengthened after the 1985 earthquake, is smaller than reinforced concrete moment resisting frames in California which are quite flexible. The variation of the fundamental period of vibration with increasing roof drift ratio, which is a global measure of lateral deformation demand in the building, is also studied. It is observed that the period elongates as the roof drift ratio increases and that, even in cases in which the structure remains elastic, the fundamental period of vibration may increase up to 50% with respect to periods obtained under small amplitude vibrations. Simplified expressions to estimate the period lengthening as a function of the roof drift ratio are proposed.

1 Estudiante de maestría, Instituto de Ingeniería, UNAM, Edificio 2, Oficina 104, Circuito Escolar, México, D.F., 04510. Teléfono: (55) 5623-3600 Ext. 8430. [email protected]. 2 Investigador titular, Dept. of Civil & Envir. Engrg., Stanford University, Stanford, CA 94305-4020. Teléfono: (55) 5623-3500. [email protected]. 3 Investigador titular, Instituto de Ingeniería, UNAM, Torre de Ingeniería, Piso 2, Circuito Escolar, México D.F., 04510. Teléfono: (55) 5623-3500 Ext. 1268. [email protected]

XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006

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INTRODUCCIÓN Uno de los parámetros más importantes para estimar la respuesta sísmica de un edificio es el periodo fundamental de vibración. Sin embargo su estimación a partir de modelos analíticos es complicada debido a las incertidumbres en la estimación de la rigidez de miembros estructurales y de sus conexiones con otros elementos de este tipo, en la participación de elementos no estructurales, así como en la estimación de la flexibilidad de la cimentación y su interacción con el suelo. Por otra parte, para llevar a cabo el diseño preliminar de edificios no se cuenta aún con el dimensionamiento ni detallado final de la estructura. De ahí que con frecuencia se recurra a métodos empíricos simplificados para estimar los periodos de vibración de los edificios. Si bien se han llevado a cabo varios estudios de los periodos de vibración de edificios instrumentados en otros países, ese tipo de estudios en México son mucho más limitados debido al bajo número de estructuras instrumentadas. Debido a la alta sismicidad que existe en México y en particular al alto peligro sísmico de la zona blanda de la ciudad de México, es de interés estudiar el comportamiento de estructuras típicas para tener una base que permita predecir su comportamiento ante sismos de gran magnitud como el ocurrido en septiembre de 1985. Con este fin, fueron instrumentados varios edificios de la ciudad en la década de los 90, lo cual ha permitido registrar una cantidad importante de sismos de intensidad baja y moderada durante los últimos 15 años. Con la información obtenida de los diferentes eventos que se han presentado, con sus diversas intensidades, se ha podido ver la evolución de las propiedades dinámicas de los edificios y ha sido posible identificar mediante los registros, los sismos que más los han afectado y la presencia de nuevos componentes estructurales empleados en sus rehabilitaciones. El objetivo de este trabajo es presentar los resultados más importantes de una investigación de los periodos de vibración de estructuras de concreto en la ciudad de México y compararla con estudios semejantes de estructuras instrumentadas en el estado de California en los Estados Unidos. Por una parte se llevó a cabo un estudio de la estimación del periodo de vibración a partir de la altura del edificio y del número de pisos, y por otra, se estudio la variación del periodo de vibración de un sismo a otro en función del nivel de deformación lateral máximo en el edificio.

EDIFICIOS ESTUDIADOS EN MEXICO En este trabajo se estudiaron los registros acelerográficos obtenidos en 5 edificios instrumentados en la ciudad de México, localizados en la zona de terreno blando y uno en zona de transición. La instrumentación de los edificios MJ, PC y JAL está bajó la responsabilidad del Instituto de Ingeniería de la UNAM, la del SEC3 es supervisada por el CIRES, la del IMSS por el CIS y el CIRES, y la del IMP por el CENAPRED. Tres de los edificios tienen uso de oficinas (PC, JAL e IMP), uno de ellos es un hospital (IMSS), otro es de uso comercial (IMP) y otro es un colegio (SEC3). En cuanto a alturas, los edificios estudiados tienen entre 9.10 m y 58.0 m, mientras que en número de pisos varían entre 3 y 17 niveles. Los sismos utilizados para el estudio son de dos tipos: falla normal y subducción, los cuales son los de mayor influencia en la ciudad. Se tienen registros de sismos de magnitudes entre 4.7 (11/07/98) y 7.6 (22/01/03). Los edificios cuentan con varios acelerógrafos en su altura, conformando ejes verticales que permiten registrar las aceleraciones en diferentes niveles de entrepiso. Algunos también tienen instrumentos ubicados en el terreno próximo al edificio o en pozos profundos. EDIFICIO MJ El edificio MJ consta de 6 pisos de altura y 2 sótanos. Tiene marcos en concreto reforzado en ambas direcciones y una losa maciza de 8 cm conformando el sistema de piso. Las fachadas del lado más corto son de mampostería confinada y en su azotea tienen un apéndice de 6.0 m x 6.30 m donde se encuentra el cuarto de máquinas de los elevadores.

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El edificio fue rehabilitado después de la alta flexibilidad que mostró tener durante los sismos de junio de 1992. La rehabilitación consistió en el encamisado de algunas columnas, arriostramiento con diagonales de acero en la fachada más larga y la inclusión de muros de concreto reforzado de 15 cm de espesor. EDIFICIO JAL El edificio JAL es un edificio de concreto reforzado de 13 pisos de altura sobre el terreno y un sótano. El sistema estructural consiste en columnas de concreto con una losa aligerada de 45 cm de espesor como sistema de entrepiso y algunas crujías con muros de concreto y mampostería en su altura. Debido a los daños sufridos durante el sismo de 1985, donde se presentaron varias evidencias de fluencia en algunas columnas y en el sistema de piso, el edificio fue rehabilitado por primera vez mediante el encamisado de algunas columnas de los primeros pisos y la adición de muros de concreto en las fachadas del sentido largo de éste. Con el sismo de 10/12/94 también sufrió algunos daños que se vieron con mayor claridad durante los sismos de 1995, que aunque fueron de menor intensidad, hicieron más evidente el daño presente. Esto motivó la segunda rehabilitación en la que se aumentó la sección de las vigas en el sentido corto del edificio, se introdujo un arriostrado en acero y se cubrieron algunas columnas con placas de acero. EDIFICIO PC Esta estructura de concreto reforzado tiene 17 pisos sobre la superficie del terreno con una irregularidad en altura. Su sistema estructural principal consta de columnas en concreto y losas aligeradas de 50 cm de espesor como sistema de piso. La cimentación es un cajón de concreto conformado por muros de concreto, apoyado sobre 266 pilotes de fricción. Durante el sismo de 1985 sufrió daños localizados en la transición entre estacionamientos y los niveles de oficina, justo donde se da la irregularidad en elevación. Los daños se repararon y además se construyeron muros de concreto reforzado en toda la altura del edificio. EDIFICIO SEC3 Este edificio consiste de tres niveles con un sistema estructural híbrido; las columnas y vigas son de acero y las primeras están embebidas en concreto reforzado. En el sentido corto existe una cantidad importante de muros de concreto de 15 cm de espesor. El SEC3 tiene dos cuerpos muy similares, separados por una junta de construcción de 10 cm. EDIFICIO IMSS El edificio IMSS consiste de tres cuerpos separados de 12 pisos cada uno. El cuerpo central tiene una forma regular, al contrario de los dos cuerpos laterales. Las columnas de concreto tienen secciones rectangulares y circulares y varían de dimensiones cada dos pisos. Las dimensiones de las vigas de concreto también varían cada dos o tres pisos y el sistema de piso está conformado por losas macizas de 10 cm de espesor. La estructura original, construida en la década de los cuarentas, está basada en marcos de concreto reforzado. Aunque no sufrió daños importantes durante los sismos de 1985, fue reforzada para cumplir con los reglamentos del código de diseño por sismo de 1993. La rehabilitación consistió en adicionar dispositivos de disipación de energía ADAS entre las diagonales de acero y las vigas de concreto existentes. EDIFICIO IMP El edificio IMP consta de 5 niveles y su estructura se basa en columnas y vigas de concreto pre-esforzado. Las columnas son de una sola pieza desde su comienzo hasta la azotea y tienen ménsulas sobre las cuales descansan las vigas de concreto. Su planta tiene una geometría regular y la relación largo/ancho es de 4.5.


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Figura 1 Fotografías de algunos de los edificios instrumentados en la ciudad de México empleados en este estudio

EDIFICIOS ESTUDIADOS EN CALIFORNIA

Al contrario del caso mexicano, en el estado de California se tiene una cantidad importante de edificios instrumentados que han registrado pocos sismos, aunque éstos han sido de magnitudes significativas. En este estudio se consideraron 19 edificios de concreto que han registrado sismos de magnitudes entre 5.3 (03/10/87) y 7.3 (28/06/92) en la escala de Richter. Los usos de estos edificios son de oficinas, hoteles, comerciales y de almacenamiento. El sistema estructural de todos ellos es de marcos de concreto reforzado y se caracterizan por ser muy flexibles debido a que no tienen elementos que los rigidizan en su interior. Los edificios en estudio tienen alturas que varían entre los 9.10 m (2 pisos de altura) hasta 91.40 m (30 pisos).

IDENTIFICACION DE SISTEMAS Para la identificación de sistemas se utilizó un método paramétrico utilizando el modelo propuesto por Miranda y Taghavi (2005) para obtener la respuesta dinámica de un sistema de varios grados de libertad. El modelo consiste en una combinación de una viga de flexión con una viga de corte, unidas por elementos biarticulados axialmente rígidos (ver figura 3). Miranda y Taghavi (2005) mostraron que si bien la rigidez lateral de los edificios casi nunca es constante en la altura del edificio, muchas de las propiedades dinámicas de la estructura no se ven fuertemente

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Figura 2 Fotografías de algunos de los edificios instrumentados a base de marcos de concreto reforzado en el estado de California que se utilizaron en este estudio

influenciadas y es posible obtener estimaciones relativamente buenas de la respuesta de edificios con comportamiento elástico o prácticamente elástico a partir de las propiedades dinámicas del modelo continuo con rigidez uniforme. Con dicha simplificación es posible definir por completo al modelo con sólo tres parámetros y de manera muy rápida y eficiente, se logra reproducir en muy buena medida, las historias de aceleración en cada entrepiso de interés del edificio, los espectros de piso y las amplificaciones de aceleración en la altura. Existen trabajos en los que ha sido validado este modelo mediante la comparación de la respuesta calculada con el modelo simplificado con la medida en edificios instrumentados en la ciudad de México (Arredondo et al., 2004), (Arredondo et al., 2005) y en el estado de California (Miranda y Taghavi, 2005), (Reinoso y Miranda, 2006). Así mismo, el modelo ha sido utilizado para realizar análisis paramétricos de los edificios instrumentados. Los tres parámetros que definen al modelo son: el periodo fundamental de vibración (T), la fracción de amortiguamiento crítico (ζ) y un coeficiente α que define el grado de participación de la deformación a cortante y a flexión del edificio.

Viga de flexión

Viga de corte

HConectores rígidosaxialmente

Viga de flexión

Viga de corte

HConectores rígidosaxialmente

Figura 3 Modelo continuo que acopla lateralmente una viga de flexión con una viga de corte


6

üg(t) = Movimientoregistrado en la base

Modelo continuodefinido por T1, ξ, α

Cálculo de respuestaf( üg(t), T1, ξ, α )

El error es

minimo?

FIN

SI

NO

üg(t) = Movimientoregistrado en la base

Modelo continuodefinido por T1, ξ, α

Cálculo de respuestaf( üg(t), T1, ξ, α )

El error es

minimo?

FIN

SI

NO

El proceso de identificación de sistemas de tipo paramétrico se ilustra esquemáticamente en la figura 4, el cual consiste en calcular una respuesta sísmica utilizando el modelo simplificado definido por los parámetros T, ζ y α. Al ser sometido al movimiento registrado en la base del edificio. Una vez calculada la respuesta del edificio ésta se compara con la respuesta medida y se modifican los parámetros del modelo simplificado hasta minimizar la diferencia entre la respuesta calculada y la respuesta medida. El proceso de modificación de parámetros se lleva a cabo minimizando una función objetivo dada por:

(1)

donde ( )tui&& es la aceleración medida en el sensor i en el tiempo t, ( )tuci&& es la aceleración calculada en el sensor i en el tiempo t, td es la duración del movimiento registrado y NS es el número de sensores. La respuesta del modelo simplificado se calcula a partir de la siguiente expresión

(2)

donde ),( tzu t

ci&& es la aceleración calculada en el modelo simplificado en la altura correspondiente al sensor i

(en la altura z) en el tiempo t, )(tug&& es la aceleración del terreno, jΓ es el factor de participación del modo j

del modelo simplificado, )(zjiφ es la forma modal del modo j en la altura correspondiente al sensor i del

modelo simplificado del edificio, )(tDj&& es la aceleración absoluta de un sistema de un grado de libertad con

periodo y amortiguamiento modal correspondiente al modo j, y m es el número de modos a incluir en el análisis, el cual se tomó como igual a 6 en este estudio. Las propiedades dinámicas del modelo simplificado,

jΓ , )(zjiφ , así como los periodos de vibración de los modos superiores de vibración se calculan en función

del parámetro α y el periodo fundamental de vibración T1. Se puede consultar a Miranda y Taghavi (2005) para obtener mayor información sobre el cálculo de estos parámetros.

Figura 4 Representación esquemática de una identificación de sistemas paramétrica

∑=

Γ+≅m

ijjijg

tci tDztutzu

1

)()()(),( &&&&&& φ

( ) ( )[ ]2

1 0∑ ∫

=

−=NS

i

t

cii

d

tutuZ &&&&

7


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 20 40 60 80Altura [m]

Periodo [s]

Edificios en México

T=0.042H (R^2=0.68)

EVALUACIÓN DE RESULTADOS ESTIMACIÓN DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN A partir de los resultados obtenidos de la identificación paramétrica de sistemas para todos los sismos registrados en los edificios fue posible estudiar la estimación del periodo a partir de la altura del edificio en metros y del número de pisos. Esto se llevó a cabo en las dos direcciones ortogonales de los edificios, razón por la cual se contó con el doble de puntos del número de edificios para realizar los ajustes. Aunque la estructura principal de los seis edificios mexicanos es de marcos de concreto reforzado, algunos han tenido que ser rehabilitados en su historia, y como se pudo ver en secciones anteriores, cada una es distinta. A pesar de esto, siguen la tendencia de incrementar su periodo al incrementarse su altura, o bien su número de pisos. Se obtuvieron expresiones sencillas que permiten estimar el periodo fundamental de vibración en función de la altura del edificio. Se trabajó con modelos tanto lineales como no lineales para ver si existía una diferencia importante entre ellos, ya que muchos reglamentos de diseño proponen una expresión potencial. Se obtuvieron tendencias usando un modelo lineal y otro potencial, sin restringir los coeficientes a ningún valor específico. Para el caso de los edificios de México en el que se graficó el periodo contra su altura en metros, ambos modelos resultaron ser muy similares ya que la potencia del segundo modelo fue de 0.93, haciéndolo muy cercano al modelo lineal (ver figura 5). En la figura 5 se puede ver la dispersión existente de los datos alrededor de los modelos propuestos y se encuentra que el coeficiente de determinación (R2) varía tan solo de 0.68 a 0.69 del modelo lineal al no lineal, lo que implica que el modelo no lineal es tan solo ligeramente superior al modelo lineal.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 20 40 60 80Altura [m]

Periodo [s]

Edificios en México

T=0.055H^0.93 (R^2=0.69)

Figura 5 Variación del periodo fundamental de edificios instrumentados de concreto reforzado en la ciudad de México en función de la altura del edificio

Al graficar el periodo de los edificios mexicanos contra el número de pisos se obtuvo una correlación con los periodos medidos mejor que la obtenida a partir de la altura del edificio, lo cual fue un resultado inesperado ya que no todos los edificios tienen alturas de entrepiso iguales y por lo tanto comparar número de pisos entre uno y otro edificio, no necesariamente da una directa idea de su rigidez lateral. Un claro ejemplo se ve entre los edificios IMSS y PC, ya que el primero tiene 58.0 m de altura y consta de 12 pisos, mientras que el segundo tiene una altura de 51.40 m y tiene 17 pisos. En la figura 6 se muestra el mejor ajuste que hay entre los datos y los modelos. Es de destacar que según los edificios estudiados en la ciudad de México, una estimación más adecuada del periodo a partir del número de pisos es de 0.15N, en lugar al tradicional 0.10N que se usa comúnmente, la cual subestima el periodo (y sobreestima la rigidez lateral) en forma muy importante. Sin embargo ambos modelos tienen el mismo coeficiente de determinación igual a 0.94.


8

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 5 10 15 20Nº de pisos

Periodo [s]

Edificios en México T=0.15N (R^2=0.94)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 5 10 15 20Nº de pisos

Periodo [s]

Edificios en México T=0.078N^1.264 (R^2=0.94)

Figura 6 Variación del periodo fundamental de edificios instrumentados de concreto reforzado en la ciudad de México en función del número de pisos

En el estudio de los edificios de California, donde la muestra de edificios estudiados fue mucho mayor que la de los edificios mexicanos, también se obtuvieron las tendencias basadas en el modelo lineal y en el no lineal. De igual manera, al relacionar el periodo de los edificios con su altura en metros se encontró que los ajustes lineal y potencial conducen a resultados muy semejantes con un mismo coeficiente de determinación igual a 0.53. Como se puede ver en la tabla 1, los errores estándar y los coeficientes de correlación son muy similares, que si bien dan mejor para el modelo potencial, no es significativo para que amerite una mayor complejidad de la expresión a utilizar. Al comparar los periodos de los edificios californianos con su número de pisos, las tendencias mostraron una mayor dispersión y coeficientes de correlación menores que al compararlos con su altura en metros. En la figura 7 es posible ver el comportamiento esperado del periodo en el modelo potencial, donde éste sí crece a medida que aumenta el número de pisos del edificio, pero a una menor razón, dada por la potencia menor a 1.0, la cual es igual a 0.541.

Tabla 1 Parámetros obtenidos a partir de regresión y medidas cuantitativas del error

Tipo de regresión Tendencia SE ρ σln(x)

Lineal T=0.042H 0.541 0.827 0.352

Potencial T=0.055H0.93 0.565 0.831 0.377

Lineal T=0.038H 0.472 0.728 0.334

Potencial T=0.112H0.72 0.446 0.732 0.325

Lineal T=0.115N 0.274 0.970 0.316

Potencial T=0.078N1.264 0.230 0.971 0.228

Lineal T=0.123N 0.577 0.679 0.392

Potencial T=0.429N0.541 0.470 0.698 0.348

Altu

raN

º de

piso

s

México

California

México

California

9


EDIFICIOS DE CALIFORNIA

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 20 40 60 80 100Altura [m]

Periodo [s]

Edificios en California T=0.038H (R 2̂=0.53)


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 8 16 24 32Nº de pisos

Periodo [s]

Edificios en California T=0.123N (R^2=0.46)


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 20 40 60 80 100Altura [m]

Periodo [s]

Edificios en California T=0.112H 0̂.72 (R 2̂=0.54)

Figura 7 Variación del periodo fundamental de edificios instrumentados de marcos de concreto reforzado en el estado de California (E.U.) en función de la altura del edificio

En general se puede ver en las figuras que aunque los edificios mexicanos han sido rehabilitados y reforzados, tienen un comportamiento muy similar al de los edificios californianos los cuales son todos a base de marcos y son sumamente flexibles. Para edificios en la ciudad de México el factor de correlación entre el periodo calculado con un modelo lineal y el periodo inferido a partir de registros acelerográficos es de 0.83 cuando el periodo se estima a partir de la altura del edificio y de 0.97 cuando el periodo se estima a partir del número de pisos. Para edificios a base de marcos en el estado de California, el factor de correlación entre el periodo calculado con un modelo lineal y el periodo inferido a partir de registros es de 0.73 cuando el periodo se estima a partir de la altura del edificio y de 0.68 cuando el periodo se estima a partir del número de pisos.


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 8 16 24 32Nº de pisos

Periodo [s]

Edificios en California

T=0.429N^0.541 (R^2=0.49)

Figura 8 Variación del periodo fundamental de edificios instrumentados de marcos de concreto reforzado en el estado de California (E.U.) en función del número de pisos

Se hizo una comparación de los modelos obtenidos para ambos grupos de datos, como se puede ver en la figura 9. Para la relación entre el periodo y la altura en metros, se ve un comportamiento muy similar en los edificios de México y California, y no difieren mucho los modelos lineales de los no lineales en cada caso. En la relación del periodo con el número de pisos sí se ve una diferencia más notoria entre los dos grupos de datos. Así mismo, los modelos lineales y potenciales difieren más en este caso. Lo que es común en ambas comparaciones es que las curvas correspondientes a los edificios mexicanos se encuentran por encima de las curvas de los edificios de California, indicando que a pesar de sus rehabilitaciones y rigidizaciones, los edificios mexicanos resultan ser más flexibles que los californianos que sólo cuentan con los marcos en concreto para aportar la rigidez lateral.


10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 20 40 60 80 100Altura [m]

Periodo [s]

Edificios en Mexico

Edificios en California

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 8 16 24 32Nº de Pisos

Periodo [s]

Edificios en Mexico Edificios en California

Figura 9 Comparación de expresiones simplificadas lineales y no lineales para estimar el periodo de edificios de concreto en función de la altura del edificio y en función del número de pisos

A partir de los cocientes de periodos calculados con expresiones aproximadas y periodos inferidos a partir de los registros obtenidos en edificios instrumentados se encontró que los periodos de vibración pueden suponerse como distribuidos con una distribución de probabilidad lognormal (ver figura 10). La desviación estándar del logaritmo natural de los cocientes de periodo calculado entre periodo medido representa una medida de la dispersión de los puntos alrededor de las curvas obtenidas. Este valor se encuentra tabulado en la última columna de la tabla 1. VARIACIÓN DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN Existen varios trabajos que han documentado que el periodo de vibración durante sismos es por lo general significativamente mayor al medido a partir de vibraciones ambientales o bien al medido a partir de vibraciones forzadas de pequeña amplitud (Miranda, 1991), (Celebi et al., 1993), (Clinton, 2006). Estos estudios han documentado que aún si la estructura permanece elástica se observan alargamientos importantes del periodo fundamental de vibración. Sin embargo, estos estudios no han determinado si el alargamiento es semejante para diferentes sismos o bien si el incremento del periodo de vibración es función del nivel de respuesta estructural. Un estudio previo donde sí se estableció que la elongación del periodo de vibración es función del nivel de respuesta es el estudio de Durán y Miranda (1996) en donde se documentó un alargamiento muy importante del periodo fundamental de vibración de una estructura prefabricada de cinco pisos en función de la deformación lateral del edificio. En este trabajo se estudiaron las variaciones del periodo fundamental de vibración calculándolo en diferentes sismos con la finalidad de estudiar sus cambios en función de la distorsión máxima de azotea alcanzada en cada sismo. La distorsión máxima de azotea está definida como el desplazamiento relativo máximo de azotea (con respecto al terreno o la base de la estructura) normalizada por la altura del edificio sobre el terreno. La distorsión máxima de azotea representa una medida de la demanda de deformación lateral máxima que en promedio (promediada en la altura) se tuvo en un edificio durante un sismo. Para ello se trabajó con todos los edificios instrumentados en la ciudad de México, los cuales han registrado muchos sismos en los últimos 15 años, así como los edificios de California que han registrado más de un sismo. En la figura 10 se muestra la variación del periodo de cuatro de los edificios estudiados de México en la cual se nota el cambio rápido del periodo en demandas bajas de distorsión. En esta figura los periodos de vibración han sido normalizados respecto al periodo inferido en el sismo que generó una menor respuesta en el edificio.

11


Figura 10 Ejemplos de variación del periodo fundamental con incrementos en el nivel de distorsión lateral del edificio en edificios instrumentados en la ciudad de México

En los edificios de California también se observa obtener una tendencia logarítmica para expresar la relación entre el periodo inferido a partir de los registros sísmicos y los periodos asociados a bajas demandas de distorsión, con la distorsión de azotea. Sin embargo, como estos edificios han registrado tres sismos cuando mucho, no es posible tener una tendencia tan clara como en los edificios mexicanos. Por otro lado, los sismos que se han registrado en California han producido distorsiones mayores en los edificios lo cual no permite ver el comportamiento antes distorsiones pequeñas como en el caso de México. Al normalizar los periodos obtenidos para todos los edificios y todos los sismos registrados en ellos, con sus respectivos periodos asociados a demandas de distorsión bajas, y relacionarlos con las distorsiones de entrepiso se obtuvo una gráfica con todos los puntos, de donde resultó una expresión logarítmica similar a las obtenidas en cada edificio, aunque con un coeficiente de determinación de 0.35. Al hacer la misma relación, pero esta vez con respecto a las frecuencias, también se obtiene una expresión logarítmica con un coeficiente de determinación de 0.26.

IMP L-C

0.0

0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.4

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020Distorsión de azotea

T1/T0

y = 0.0615Ln(x) + 1.6745R2 = 0.7363

JAL L-E

0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8


T1/T0

y = 0.1106Ln(x) + 2.114R2 = 0.7171

MJ T-E

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005Distorsión de azotea

T1/T0

y = 0.0851Ln(x) + 1.9696R2 = 0.8136

PC L-C

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4


T1/T0

y = 0.527Ln(x) + 1.5051R2 = 0.865


12

EDIFICIOS EN CALIFORNIA

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Tcalc/Ti

P(Tcalc/Ti < x)

Datos de California (Altura)Distribución Lognormal

EDIFICIOS EN MÉXICO

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Tcalc/Ti

P(Tcalc/Ti < x)

Datos de México (Altura)Distribución Lognormal

Sherman Oaks

y = 0.029Ln(x) + 1.2266R2 = 0.3694

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Distorsión de azotea

T1/T0

EDIFICIOS EN CALIFORNIA

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Tcalc/Ti

P(Tcalc/Ti < x)

Datos de California (Nº de pisos)Distribución Lognormal


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3Tcalc/Ti

P(Tcalc/Ti < x)

Datos de México (Nº de pisos)Distribución Lognormal

Figura 11 Distribución de probabilidad de los cocientes de periodo calculado a periodo inferido a partir de registros y comparado con una distribución de probabilidad lognormal

Hollywood Storage

y = 0.159Ln(x) + 2.4422R2 = 0.8717

0.00.20.40.60.81.01.21.41.6

0 0.0003 0.0006 0.0009 0.0012Distorsión de azotea

T1/T0

Figura 12 Ejemplos de variación del periodo fundamental con incrementos en el nivel de distorsión lateral del edificio en edificios instrumentados en el estado de California

13


Figura 13 Elongación del periodo fundamental de vibración y reducción de la frecuencia natural de vibración de edificios instrumentados en la ciudad de México en función del nivel de deformación

lateral del edificio

CONCLUSIONES Para edificios con alturas menores a 65 m, se puede estimar el periodo fundamental de vibración con una expresión lineal en función de la altura o bien en función del número de pisos. En el caso de 6 edificios en la ciudad de México se encontró que la estimación a partir del número de pisos es superior (produce un error menor) que la estimación a partir de la altura del edificio. Sin embargo, se recomienda cautela en esta observación pues el número de edificios es relativamente pequeño. En el caso de edificios a base de marcos en California, en que el tamaño de la muestra es mucho mayor se encontró lo contrario. Esto es, que la estimación a partir de la altura es superior (produce un error menor) que la estimación a partir del número de pisos. Por lo tanto se recomienda que mientras no se tenga mayor información, se estime el periodo tanto a partir de la altura del edificio como a partir del número de pisos. No existe una ventaja significativa al utilizar una ecuación no lineal para estimar el periodo fundamental (i.e., el error sólo es ligeramente menor cuando se emplea una ecuación no lineal), sobretodo si se toma en cuenta que existe una dispersión significativa en los datos, de ahí que se recomienda se use una ecuación lineal, la cual es más sencilla y conduce a un nivel de precisión semejante. La expresión comúnmente utilizada para estimar el periodo de vibración como un décimo del número de pisos subestima significativamente los periodos de vibración de los edificios de concreto que se encuentran instrumentados en la ciudad de México, la mayoría de los cuales han sido reforzados con diagonales de acero. Una aproximación más adecuada es estimar el periodo de vibración como T1=0.15N donde N es el número de pisos. Es de suponer que la subestimación del periodo usando la expresión de un décimo del número de pisos (y sobreestimación de la rigidez lateral) para edificios a base de marcos sea aún mayor. La dispersión en la estimación del periodo fundamental de vibración para edificios de concreto calculada en este estudio, ya sea utilizando modelos lineales o no lineales, son mucho mayores que las reportadas por Goel y Chopra (1997), aún si sólo se usan datos de edificios en California. Esto implica que la estimación del periodo fundamental de edificios de concreto a partir del número de pisos o bien a partir de la altura es menos precisa de lo reportado anteriormente en la literatura. Se encontró que la variación del periodo fundamental de vibración puede ser modelada con una distribución de probabilidad lognormal. Se recomienda se tome en cuenta esta incertidumbre durante el proceso de diseño o bien en la evaluación sísmica de estructuras existentes. La mayoría de los edificios mexicanos que se estudiaron en este trabajo son edificios de concreto reforzado que fueron rigidizados con diagonales de acero utilizando el reglamento de 1987. A pesar de dicha


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Distorsión de azotea

T1/T0

y = 0.0463Ln(x) + 1.5304R2 = 0.3544

EDIFICIOS EN MEXICO

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00Log(Distorsión de azotea)

f1/f0

y = -0.0328Ln(x) + 0.6073R2 = 0.2614


14

rigidización, se encontró que en general los edificios instrumentados de concreto en la ciudad de México son más flexibles que los edificios a base de marcos que se encuentran instrumentados en el estado de California, los cuales son considerados como estructuras muy flexibles. Ello implica que los edificios en la ciudad de México, aún si han sido diseñados con reglamentos después del sismo del 85, siguen siendo muy flexibles lateralmente y por lo tanto son susceptibles a ser dañados en sismos moderados o intensos. El periodo fundamental de la estructura es función del nivel de deformación lateral a que sea sometida la estructura. Aún para casos en los que la estructura permanece elástica existen elongaciones del periodo fundamental de vibración que pueden ser 50% mayores que los inferidos a partir de movimientos de muy pequeña intensidad. La relación entre el alargamiento del periodo fundamental y el nivel de deformación lateral medido a partir de la distorsión máxima de azotea es fuertemente no lineal. Para casos en que la estructura permanece elástica, la mayor parte del alargamiento ocurre para distorsiones de azotea menores que 0.08% (0.0008) y por lo tanto periodos de vibración medidos a partir de vibraciones ambientales o a partir de pruebas de vibración forzada de baja intensidad NO deben utilizarse directamente en el diseño de estructuras. En este trabajo se han propuesto expresiones sencillas que permiten estimar periodos de vibración efectivos en función del nivel de distorsión de azotea. Estas expresiones indican que el periodo fundamental de vibración para distorsiones de 0.5% (0.005) en las cuales se espera que edificios a marcos de concreto aún no alcancen la fluencia, es aproximadamente 30% mayor que el medido a partir de vibraciones de baja intensidad.

AGRADECIMIENTOS Se agradece al Instituto de Ingeniería de la UNAM por el apoyo económico en forma de una beca a la primera autora de este trabajo. Cesar Arredondo y Carlos Machado participaron en parte del proceso de obtención de periodos de vibración de los edificios de la ciudad de México y del estado de California, respectivamente. Finalmente se agradece al Instituto de Ingeniería de la UNAM, al Centro Nacional de Prevención de Desastres (CENAPRED), al Centro de Instrumentación y Registro Sísmico (CIRES) y al California Strong Motion Instrumentation Program del estado de California por facilitarnos los registros acelerográficos que fueron utilizados en este estudio. Ésta investigación no hubiera sido posible sin el interés y esfuerzo de muchos años de estas instituciones por instalar y por mantener instrumentación sísmica en edificios.

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Goel G.K., Chopra A.K. (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”, Journal of Structural Engineering, noviembre, pp.1454-1461. Miranda E. (1991), “Seismic evaluation and upgrading of existing structures”, Tesis doctoral, University of California at Berkeley, Berkeley, CA. Miranda E. (1999), “Approximate lateral deformation demands in multi-story buildings subjected to earthquakes”, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 125, No. 4, pp. 417-425. Miranda E., Taghavi S. (2005), “Approximate floor acceleration demands in multi-story buildings. I: Formulation”, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 131, No. 2, pp. 203–211. Reinoso E., y Miranda E. (2005), “Estimation of floor acceleration demands in high-rise buildings during earthquakes”, Structural Design of Tall and Special Buildings, Vol. 14, pp. 107-130.

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