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Software R: Revisão do Planejamento

de Changeover na Experimentação

Agropecuária

23 de Julho de 2015

Presidente Prudente - SP

Tatiane Carvalho Alvarenga ([email protected])

Renato Ribeiro de Lima ([email protected])

Lucas Monteiro Chaves ([email protected])

1

Delineamento Rotacional ou de Reversão;

Regras pré-estabelecidas e restrições na casualização

dos tratamentos são necessárias no planejamento de tais

ensaios.

Minicurso: apresentar e avaliar possíveis formas de se

planejar experimentos rotacionais (changeover) utilizando-

se conceitos de matemática e auxílio de recursos

computacionais (Software R).

Resumo...

Estatística ExperimentalTabela 1: Apresentação dos Conceitos básicos de Estatística

Experimental

Variedades Níveis de

Adubo

Tratamentos Produção/

hectares

A 30 A30 75,1 toneladas

A 60 A60 60,5 toneladas

B 30 B30 57,6 toneladas

B 60 B60 30,25 toneladas

C 30 C30 55,5 toneladas

C 60 C60 78,5 toneladas

Fonte: Dados fictícios.

Os princípios básicos da experimentação

Segundo Banzatto e Kronka (2006), a experimentação tem

por objetivo o estudo dos experimentos, ou seja, o seu

planejamento, execução, análise de dados e interpretação dos

resultados obtidos.

Fisher (1925 citado por BANZATTO; KRONKA, 2006)

sugeriu os princípios básicos da experimentação que são:

repetição,

casualização e

controle local.

Relações entre os princípios básicos da experimentação e os

delineamentos experimentais

De acordo com Banzatto e Kronka (2006, p. 1)

"delineamento experimental é o plano utilizado na

experimentação e implica na forma como os tratamentos

serão designados às parcelas, além de um amplo

entendimento das análises a serem feitas quando todos os

dados estiverem disponíveis”.

Relações entre os princípios básicos da experimentação e os

delineamentos experimentais

Delineamentos experimentais:

Delineamento inteiramente casualizado (DIC),

Delineamento em blocos casualizados (DBC) e

Delineamento em quadrado latino (DQL).

Revisão de conceitos básicos utilizados no planejamento de ensaios

rotacionais

"Um quadrado latino de ordem n é identificado como

um quadrado n x n, as n2 células de que são ocupadas

por n símbolos distintos de tal forma que cada símbolo

ocorre uma vez em cada linha e uma vez em cada coluna",

Bose e Manvel (1984).


rotacionais

Para n ≥ 2, quantos quadrados latinos distintos existem

de ordem n ?

Dois quadrados latinos de ordem n serão

considerados diferentes se eles diferem em pelo

menos uma posição.

Denota-se de Ln o número total de quadrados

latinos distintos de ordem n.

Para calcular Ln, será utilizado o número de

quadrados na forma padrão, denotado por In.


rotacionais

Teorema: Para cada n ≥ 2 o número total Ln de

quadrados latinos de ordem n é dada por:

Ln = n!(n - 1)!I n

(LAYWINE; MULLEN, 1998)


rotacionais

n Quadrados latinos

reduzidos de tamanho n

Todos os quadrados latinos

de tamanho n

1 1 1

2 1 2

3 1 12

4 4 576

5 56 161280

6 9408 812851200

7 16942080 61479419904000

8 535281401856 108776032459082956800

9 377597570964258816 >5,52×1027

10 >7,5×1024 >9,9×1036

11 >5,3×1033 >7,7×1047

Tabela 2: Número de quadrados latinos de tamanho n

n Quadrados latinos na

forma padrão

Todos os quadrados

latinos

2 1 2

3 1 12

4 4 576

5 56 161280

6 9408 812851200

7 16942080 61479419904000

8 > 5,35×1011 > 1,09×1020

9 > 3,77×1017 > 5,52×1027

10 > 7,5×1024 > 9,9×1036

11 > 5,3×1033 > 7,7×1047

11 >5,3×1033 >7,7×1047

Fonte: (LAYWINE; MULLEN, 1998)


rotacionais

Os valores de L n para n≥12 não são conhecidos. O que

se tem é um limitante inferior dado por:

Teorema: O número quadrados latinos de

ordem n satisfaz:

(Van Lint e Wilson,1998).


rotacionais: Teoria dos números: aritmética modular

A teoria dos números é a área da matemática que

lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto

Z = {...,-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;...}.

Na aritmética modular Zn = {0,1,2,3,4,....., n-1}.


rotacionais: Teoria dos números: aritmética modular

Congruência

Exemplos:

1 ≡ 1(mod 4)

2 ≡ 2(mod 4)

7 ≡ 3(mod 4)

8 ≡ 0(mod 4)

10 ≡ 2(mod 4)

Planejamento de Experimentos com animais

O que são planejamentos?

O que visam os experimentos?


Quando se tratam de delineamentos experimentais com

animais eles são classificados em dois tipos:

contínuo

alternativos.


No caso mais comum dos ensaios alternativos:

Rotacional (changeover ou crossover).

Reversão (switch-back).


OS ensaios em changeover, geralmente, são realizados

através de um delineamento em quadrado latino.

Denota-se o delineamento em changeover com t

tratamentos, n animais e p períodos por COD(t, n, p)

(HINKELMANN; KEMPTHORNE, 2005).


Problemas dos delineamentos changeover:

carryover

Formas de se evitar carryover:

washout

sequência balanceada dos tratamentos.


O que são ensaios changeover balanceados?

Ordem dos tratamentos a serem atribuídos às unidades

experimentais não pode ser de forma totalmente

aleatória.


Williams (1949) apresenta um método para a obtenção

de ensaios changeover balanceados, tanto para número par

quanto para um número ímpar de tratamentos.

Seja cada tratamento representado por uma das classes

de resíduos módulo t incluindo zero, ou seja, o conjunto

de t tratamentos representados pelo grupo Zt de inteiros

módulo t.


Número par de tratamentos: A ideia básica é: Os

tratamentos são indexados pelas classes de congruência

módulo t, isto é pelos elementos do Zt. A primeira linha

deve ser de tal forma que as diferenças entre termos

consecutivos sejam todos os elementos de Zt. Para t

tratamentos uma solução é a primeira linha ser dada por:

0 1 t - 1 2 t -2 3 t - 3 .............t/2 (1)


Períodos

Vacas 1 2 3 4

1 0 1 3 2 linha 1

2 1 2 0 3 (linha1+1)(mod4)

3 2 3 1 0 (linha2+1)(mod4)

4 3 0 2 1 (linha3+1)(mod4)

A construção balanceada também pode ser feita

acrescentando ou subtraindo um número inteiro de cada linha

em módulo t.

.

Tabela 3: Balanceamento com quatro tratamentos


Número de tratamentos ímpar: Quando o número de

tratamentos é ímpar, o balanceamento não é possível apenas

com um quadrado latino de ordem (t x t). O balanceamento

é obtido com dois quadrados latinos de ordem (t x t).

A ideia aqui é que nas duas primeiras linhas as diferenças

entre termos consecutivos sejam todos os elementos e que

cada valor ocorra duas vezes.


Para t tratamentos uma solução é a primeira linha ser dada

por:

Linha do primeiro quadrado latino balanceado

0 1 t - 1 2 t -2 3 t - 3 .............(t+1)/2(2)

Linha do segundo quadrado latino balanceado; utiliza-se

do espelho da linha dada em (2)

(t+1)/2............t - 3 3 t - 2 2 t - 1 1 0

(3)


Tabela 4: Quadrados latinos com cinco tratamentos

QL1

Período

Vacas 1 2 3 4 5

1 0 1 4 2 3

2 1 2 0 3 4

3 2 3 1 4 0

4 3 4 2 0 1

5 4 0 3 1 2

QL2

Período

Vacas 1 2 3 4 5

1 3 2 4 1 0

2 4 3 0 2 1

3 0 4 1 3 2

4 1 0 2 4 3

5 2 1 3 0 4

Foi utilizado o software R (R Core Team, 2015), mais

especificamente a função williams do pacote randomizeBE

(LABES, 2012).

Caso sejam considerados apenas dois tratamentos,

basta digitar na linha de comando do R:

> williams(2)

obtendo-se como saída:

[1] “AB” “BA”

Planejamento de Experimentos no Software R

A qual corresponde ao quadrado latino apresentado na

Tabela 5.

Vacas

Período

1 2

1 A B

2 B A

Tabela 5: Quadrado latino de ordem 2.


No caso de três tratamentos tem-se:

> williams(3)

obtendo-se como saída:

[1] "ABC" "ACB" "BAC" "BCA" "CAB" "CBA"

a qual corresponde ao quadrado latino apresentado na Tabela

6.


Período

Quadrado Animais 1 2 3

QL1

1 A B C

2 B C A

3 C A B

QL2

4 A C B

5 B A C

6 C B A

Tabela 6: Quadrados latinos de ordem 3.


Na literatura foi encontrado o número de possíveis quadrados

latinos balanceados apenas para experimentos com no máximo

quatro tratamentos. A demonstração algébrica não é trivial.

Assim, foi desenvolvido no software R (R Core Team, 2015)

uma rotina para a determinação do número médio de

quadrados latinos balanceados de uma ordem n.

Executando a rotina para os casos de dois a sete tratamentos

obtiveram-se os resultados apresentados na Tabela 7.


N Quadrados latinos

na forma padrão

Todos os quadrados

latinos

Quadrados latinos

balanceados

2 1 2 1

3 1 12 1

4 4 576 6

5 56 161280 12

6 9408 812851200 120

7 16942080 61479419904000 360

8 > 5,35×1011 > 1,09×1020 Não calculado

9 > 3,77×1017 > 5,52×1027 Não calculado

10 > 7,5×1024 > 9,9×1036 Não calculado

11 > 5,3×1033 > 7,7×1047 Não calculado

Tabela 7: Número de Quadrados latinos


A função williams do pacote randomizeBE (LABES, 2013) do

software R e a rotina desenvolvida, é bem simples e eficaz,

que garante o planejamento de changeover.

Considerações Finais

BANZATTO, David Ariovaldo; KRONKA, Sérgio do Nascimento. Experimentação

Agrícola. 4. ed. Jaboticabal: Funep, 2006. 237 p.

BOSE, R; B. MANVEL. Introduction to Combinatorial Theory. New Jersey: John

Wiley & Sons, 1984.

CHENG, C.S., WU, C.F. Balanced repeated measurements designs. Ann. Statist.

Corrigendum, v. 8, n. 11, p. 1272–1283, 1983.

D. Labes. RandomizeBE: Function to create a random list for crossover

studies. R package version 0.3-1.

http://CRAN.R project.org/package=randomizeBE.2012.

HINKELMANN, K., KEMPTHORNE, O. Design and Analysis of Experiments. New

Jersey: John Wiley & Sons, 2005.

Referências

LINT, J. H., WILSON, R. M. A Course in Combinatorics. Cambridge University Press,

1992.

LAYWINE, C., G. MULLEN. Discrete Mathematics Using Latin Squares. New

Jersey: John Wiley & Sons. 1998.

PETTERSON, H. D., LUCAS, H.L. Change-over designs. North Carolina Agricultural

Experimental Station Technical Bulletin. n. 147, 1962.

PIMENTEL-GOMES, Frederico. Curso de Estatística Experimental. 15.ed. Piracicaba:

Fealq, 2009. 451 p.

R Development Core Team. R: A language and environment for statistical

computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.http://www.R-

project.org. 2015.

Referências

SAMPAIO, I. B. M. Estatística Aplicada à Experimentação Animal. 3 ed. Belo Horizonte:

reimpressão, 2010. 264 p.

SANTOS, J. P. de O. Introdução à teoria dos números. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.

198 p.

WANG, B.; WANG, X.; GONG, L. The Construction of a Williams Design and

Randomization in Cross-Over Clinical Trials Using SAS. Journal of Statistical Software, vol

29. 2009.

WILLIAMS, E.J. Experimental designs for the estimation of residual e_ects of treatments.

Australian Journal of Scientic Research, Series A: Physical Sciences, v.2, p.149-168, 1949.

Referências

Agradecimentos:

Prof. Dr. Júlio Silvio de Sousa Bueno Filho (DEX - UFLA)

Obrigada pela presença!

Tatiane Carvalho Alvarenga (DEX - UFLA)

Doutoranda em Estatística e Experimentação Agropecuária

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