sol graf caso agro tech inc

UCIL MGN 2/a. Generación

Proceso de Solución

El proceso de solución de problemas de investigación de operaciones puede describirse en

una estructura de seis etapas, como sigue:

1.- Identificación, observación y planteamiento del problema.

2.- Construcción del modelo

3.- Generación de una solución

4.- Prueba y evaluación de la solución

5.- Implante

6.- Evaluación

Para ayudarnos en el análisis y desarrollo de los modelos lineales, utilizaremos un

ejemplo. El caso es simplista, pero de manera realista hace énfasis en un problema

representativo que existe en la práctica.

CASO

Agro-Tech Inc.

Samuel Peralta, gerente de producción de la Agro-Tech Inc. necesita planear la

combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para

elaborar el plan. La Agro-Tech es una compañía pequeña de productos químicos que

fabrica, entre otros artículos, dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando

ingredientes que se compran en proveedores externos. Cada mes, Samuel tiene que planear

la cantidad de cada fertilizante que debe producirse.

Su plan debe tomar en consideración el costo de los ingredientes, el precio de ventas de

los fertilizantes, cualquiera de los pedidos que deban surtirse y las restricciones impuesta al

uso de los recursos de la compañía: mano de obra, materias primas o tiempo de máquina. El

proceso de planeación para este mes es más difícil que lo normal. Por lo general la Agro-

Tec fabrica fertilizantes de acuerdo con los pedidos de los clientes, pero este mes los

fertilizantes van a venderse a través de un mayorista. Esto complica las cosas porque

PROCESO DE SOLUCIÓN JLTA


Samuel tiene que elaborar un programa de producción que conduzca a las mayores

utilidades posibles para la Agro-Tech, al mismo tiempo que se utiliza sólo la cantidad de

ingredientes que están disponibles para el mes.

Consideraciones de Producción

Los dos fertilizantes que la Agro-Tech fabrica son las mezclas denominadas 5 - 5 - 10 y

5 - 10 - 5. En cada caso, el primar valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene

de nitrato químico, el segundo valor se refiere al porcentaje de fosfato que aparece en el

producto final y el tercer valor da el porcentaje de potasio. El fertilizante se estabiliza con

un material de relleno como podría se barro. Por ejemplo el 5 – 5 – 10 está elaborado con

5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante en barro. El mayorista

comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la Agro-Tec pueda fabricar. Está

dispuesto a pagar $71,50 por tonelada del 5 - 5 - 10 y $69 por tonelada del 5 - 10 - 5.

Este mes, la disponibilidad y costos de materias primas son 1100 toneladas de nitrato a

$200 por toneladas, 1800 toneladas de fosfato a $80 cada una y 2000 toneladas de potasio a

$160 cada una. El relleno esta disponible en cantidad ilimitada al precio de $10 por

tonelada, pero para los otros tres ingredientes sólo se dispone de la cantidad mencionadas

antes. No hay restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco para el empleo de la

maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por concepto de

mezclado de fertilizantes. La pregunta que Samuel debe resolver es: ¿Cómo utilizar los

recursos escasos (nitratos, fosfatos y potasio) de que dispone la Agro-Tec, de manera que se

obtengan las mayores utilidades para la compañía?



Características del Caso

En primer lugar, Samuel tiene un solo objetivo, la maximización de las utilidades

provenientes de la fabricación de los dos fertilizantes.

En segundo lugar, el objetivo que debe lograrse está sujeto a la disponibilidad y uso de

recursos escasos: los ingredientes.

En tercer lugar, tanto las utilidades como el uso de los recursos son directamente

proporcionales a la cantidad que se fabrique de los dos fertilizantes. Es decir, puede

sumarse las utilidades de los productos para calcular las utilidades totales.

Por último no es posible fabricar una cantidad negativa de ninguno de los productos.

Las características de este caso son comunes a un tipo importante de modelos matemáticos

que se conoce como Programación Lineal (PL).

Características de los problemas de programación lineal.

Un solo objetivo. Para la Agro-Tec, el objetivo es la maximización de las utilidades. Esta

maximización de las utilidades se denomina función objetivo del

problema.

Restricciones. La maximización (o minimización) de un objetivo está sujeto a

restricciones. Para la Agro-Tec, la disponibilidad de recursos escasos

limita la producción a niveles que puedan alcanzarse con los recursos

disponibles. Esas limitaciones de los niveles de producción se

denominan restricciones.

Proporcionalidad. La función objetivo y las restricciones deben ser proporcionales al

nivel de fabricación de cada producto. Esta restricción de linealidad



separa este modelo de otros que buscan maximizar una función

objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.

Divisibilidad. La característica de divisibilidad significa que son posible asignaciones

fraccionales de productos. Esta es una consideración importante en

los casos en que ase trabaja con la producción o asignación de

artículos discretos, dado que no es posible garantizar que las

soluciones de programación lineal sean enteras.

Aditividad. Las contribuciones de los productos individuales son aditivas.

Expresado en otras palabras, esto simplemente significa que el total

es igual a la suma de las partes y que no hay efecto de interacción

entre niveles de producción.

No negatividad

de los productos Esta es la consideración más fácil de comprender, porque no

esperaríamos fabricar menos de cero unidades de un producto.

Además de estos requerimientos, por lo general también se considera que todos los

parámetros se conocen con certidumbre, es decir, que las utilidades, la disponibilidad de

recursos escasos y las relaciones entre los niveles de producción y los usos de los recursos

no están sujetos a incertidumbre.

Aplicación de la programación lineal a la Agro-Tech Inc.

Debemos plantear el problema de programación lineal, para ello debemos representar por

símbolos matemáticos las cantidades físicas observadas.

En nuestro caso, las cantidades físicas que interesan (es decir, las cantidades que pueden

variarse) son las cantidades de los dos fertilizantes que pueden fabricarse.

X1 = Toneladas de fertilizante 5 – 5 – 10 que se fabrican.



X2 = Toneladas de fertilizante 5 – 10 – 5 que se fabrican.

Estas son las variables de decisión para el problema.

El modelo debe describir la relación entre las utilidades y el nivel de producción de cada

tipo de fertilizante.

Para determinar la relación apropiada de utilidades para cada nivel de producción, es

necesario determinar la Contribución a las Utilidades, en vez de considerar simplemente

las utilidades totales.

Para el fertilizante 5 – 5 – 10

Costo del Nitrato por tonelada del 5 – 5 – 10: (0.05)*($200) = $10.00

Costo del fosfato por tonelada del 5 – 5 – 10: (0.05)*($80) = $ 4.00

Costo del Potasio por tonelada 5 – 5 – 10: (0.10)*($160) = $16.00

Costo ingr. inertes por tonelada 5 – 5 – 10: (0.80)*($10) = $ 8.00

Costo total de los ingredientes del 5 – 5 – 10 = $38.00

Costo de mezclado = $15.00

Costo Total = $53.00

Dado que la contribución a las utilidades

= Ingresos – Costos variables, se tiene

= $ 71.50 - $ 53.00

= $ 18.50 por tonelada que se fabrica de 5 – 5 – 10.

En forma similar para 5 – 10 – 5 se tiene que la contribución a las utilidades es

= $ 20 por tonelada que se fabrique de 5 – 10 – 5.



Usando estos valores de las contribuciones a las utilidades se puede plantear una función

objetivo para la Agro-Tec.

Por cada tonelada de 5 – 5 – 10 que se fabrique, la utilidad es de $18.50; se fabrican X1

toneladas, la contribución total a las utilidades es 18.50X1. De manera similar por 5 – 10 –

5 se tiene que la contribución a las utilidades es 20X2. Por lo tanto, la función de utilidades

es:

Z = 18.5X1 +20X2

Ahora es necesario considerar las restricciones del problema.

Para el nitrato existen disponibles 1100 toneladas.

Por cada tonelada de 5 – 5 – 10 que se fabrique se utilizan 0.05 toneladas de Nitrato. Por

ello si se fabrican X1 toneladas de 5 – 5 – 10, se utilizarán 0.05X1 toneladas de nitrato. De

manera similar se tiene para los demás productos y materias primas.

Dado que no estamos obligadas a usar toda la cantidad disponible de cualquier recurso, las

restricciones las escribiremos de la siguiente manera:

0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

Uso de nitrato en Uso de nitrato Nitrato

X1 toneladas en X2 Toneladas disponible.



Las otras restricciones quedan de la siguiente forma

Para el fosfato:

0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800

Para el potasio:

0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000

En cada una de estas restricciones los coeficientes de las variables X1 y X2 son tasa física

de sustitución. Es decir, esos coeficientes señalan la tasa a la cual las materias primas se

convierten en el producto final que se desea.

Para resumir, la programación lineal se basa en seis consideraciones, que son:

1.- Una función objetivo única sujeta a restricciones

2.- Proporcionalidad de todas las relaciones

3.- Aditividad de todas las variables

4.- Divisibilidad de las variables

5.- Certidumbre en todos los parámetro y

6.- No negatividad de las variables.

Método Gráfico para Resolver Problemas de Programación Lineal

Pasos del procedimiento.

1.- Plantear en forma matemática el problema. 2.- Graficar o trazar las restricciones. 3.- Graficar la función objetivo. 4.- Determinar los valores de las variables en el punto que arroje las máximas

utilidades.

Paso 1: Plantear el problema en términos matemáticos.

a) Definir las variables de decisión.

b) Plantear en términos matemáticos la función objetivo o de utilidad.

c) Plantear en términos matemáticos las restricciones sobre los recursos.



Plantear la función objetivo

Maximizar: Z = 18.5X1 + 20X2

Esta función está sujeta a las restricciones sobre los recursos: nitrato, fosfato y potasio.

Nitrato: 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

Fosfato: 0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800

Potasio: 0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000

Como no son posibles niveles negativos de producción, debe incluirse restricciones de no

negatividad.

X1 , X2 ≥ 0

En conjunto, el problema puede plantearse de la siguiente manera:

Maximizar: 18.5X1 + 20X2 (1)

Sujeto a : 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100 (2)

0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800 (3)

0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000 (4)

X1 ≥ 0 ; X2 ≥ 0 (5)



Paso 2: Graficar las restricciones

X2 X1 ≥ 0

0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

X2 ≥ 0

0 X1

Si se grafican las otras dos restricciones se tiene:

(valores X2

en miles) 50

0.10X1 + 0.05X2 = 2000 40

30 0.05X1 + 0.05X2 = 1100

20 Región Factible

10 0.05X1 + 0.10X2 = 1800

0 X1 0 10 20 30 40 50



Paso 3.- Graficar la función objetivo.

Para graficar la función objetivo es necesario considerar diversos niveles de utilidad.

X2

(Valoresen miles)

20 3 B (0,18)

C (8,14)

2 10

1 D (18,4)

0 E (20,0) X1 A 0 10 20

Para 1 P = 185.000 X1 = 10.000 X2 = 9.250



Paso 4 : Encontrar el punto con más altas utilidades

Del proceso de solución es posible observar algunos resultados importantes:

- los puntos que resultan necesarios considerar para buscar el óptimo son los que se encuentran en la frontera.

- los únicos puntos sobre la frontera que es necesario considerar son las esquinas A, B , C, D y E.

- Una solución óptima para un problema de PL siempre ocurre en un vértice de la región factible.

-

Vértices factibles

Vértice Producción Producción Utilidad de X1 de X2 $

A 0 0 0 B 0 18000 360000

C 8000 14000 428000 *

D 18000 4000 413000 E 20000 0 370000

Comentarios

Si Samuel utiliza nuestro análisis de programación lineal para resolver este problema de

planeación de la producción, fabricaría:

• 8000 toneladas del fertilizante 5 – 5 – 10 y

• 14000 toneladas del fertilizante 5 – 10 – 5.

• con lo cual tendría una contribución a las utilidades de $ 428000.



Debemos observar también que en la producción se utiliza todo el nitrato y el fosfato, pero

quedan sin utilizar 500 toneladas de potasio.


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