sol. sotelo cap. 4 y 8

CAPITULO 4

a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P+++=++

γγ

Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P1=0; Z1=0; P2=0

Sustituyendo en la Ec. de Bernuolli:

( )( ) ( )81.92

60.481.92

12 22

2 V+=

De donde obtenemos: V2 = 7.33 m/seg

El gasto en la boquilla esta dado por:Q1 = V1 A1 = (12 m/seg)(π · 0.025²/4) = 0.0589 m3/seg

Y además sabemos que Q1 = Q2, de donde V2 = Q2 /A2 = Q1 /A1

smDD

V /33.70075.0

4/·

0589.0222 ==

=

π

Problema 2. Un chorro de agua es descargado por una boquilla, de 2.5 cm de diámetro, en dirección vertical y ascendente; suponemos que el chorro permanece circular y que se desprecian las pérdidas de energía durante el ascenso.

a) Calcular el diámetro de chorro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla , si la velocidad del agua al salir es de 12 m/seg.b) Determinar la presión que debe de leerse en el manómetro M, si el diámetro en la tubería es de 0.10 m y el desnivel (Z1-Z2) es de 0.4 m. Considere despreciable la pérdida de energía entre las secciones 0 y 1.c) Si el chorro forma con la horizontal un ángulo de 45° y se desprecia la fricción con el aire, determinar la altura máxima que alcanzará y la magnitud de la velocidad en ese punto.

Problema 1. Por el interior de un gran conducto circular de 0.3 m de diámetro fluye agua con velocidad que siguen la distribución señalada en la figura, según la ley V=0.0225-r2

(en m/seg. ). Determinar la velocidad media con que el agua sale por las tuberías de 0.05 m de diámetro.

Sabemos: ν = 0.0225 – r2, r = 0.15 m., dA = 2 r π dr

( )( ).

000795.020225.0315.0

0

2

0 Seg

mdrrrQ

r

Ad =−== ∫∫ πν

Dado que la tubería se bifurca en dos, el gasto equivale: Q = 2V·A

La velocidad en los tubos es:

( ) .2024.0

4

05.0

1

2 2 Seg

mQV =

=

π

dA=2πrdr

Figura del problema 1


Despejando el diámetro obtenemos: D2 = 0.032 mts.

b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abajo de ella, puntos 1 y 0

11

2−=

CvK

Donde: P1 = 0, Z1-Z0 = 0.40

Sustituyendo:

( )( ) ( )81.9281.92

1240.0

200

2 VP +=+γ

V0 = V1 · (D1/ D0)² = 12 (0.025 / 0.10)² = 0.75 m/s

Sustituyendo en la ecuación V0

( )( )

( )( )81.92

75.0

81.92

1240.0

220 −+=

γP

aguadecolumnademtsP

.71.70 =γ

c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcanza la altura máxima el chorro, puntos 1 y 2.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P+++=++

γγ

VEn el punto máximo = (12m/seg)(cos 45º) = 8.48 m/seg

Problema 3. En una tubería de 0.30 m de diámetro escurre agua; para medir la velocidad se ha instalado un tubo de Pitot -como se muestra en la figura- donde el líquido empleado el la medición tiene un γ = 850 Kg/m3, Calcular la velocidad V para ∆h=0.25m y el gasto en la tubería.

Planteamos una Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para conocer el gasto, donde el punto 1 se selecciona debajo del manómetro y sobre del eje del tubo, y el punto 2 se selecciona en la entrada del tubo de pitot.

donde: P1 = 0, Z1 = 0, P2 = 0

La velocidad en el punto más alto se obtiene: V2 = Vcos θSustituyendo:

( )( )

( )( )81.92

4512

81.92

12 2

2

2 °+= CosZ

Despejando obtenemos: Z2 = 3.67 mts


12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: Z1 = Z2; V2 = 0 ya que es una zona de estancamiento y las h12 ≅ 0, por lo tanto nos queda la ecuación de la siguiente manera:

Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la regla de los manómetros, esto es de la siguiente manera:

P1 – γh1- γhg∆h + γh2 = P2

P2 – P1 = γ (h2-h1) -γhg∆h = γ∆h - γhg∆h

Resultando:

Despejando V1 nos queda que es .85 m/s y el gasto seriaQ = A · V

Q = [(π · 0.30²)/4] · .85 ]QTubo= 0.06 m3/seg

Donde : P1 = 0; V1 = 0; z3 = 0; P3 = 0; h13 ≈ 0.

Sustituyendo: g

V

260.3

23= ⇒ V3 = 8.4 m/seg

Problema 4. Para el sifón -mostrado en la figura- calcular la velocidad del agua, el gasto y la presión en la sección 2, en el supuesto de que las perdidas fuesen despreciables.

Planteamos una Bernoulli entre el deposito y la salida de sifón, puntos 1 y 3.

13

23

33

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

γ12

21

2

PP

g

V −=

γγγ

γ)(

12 hghPP −∆=−

1000

)8501000()(

2

21 −∆=

−∆= hh

g

V hg

γγγ


Calculando el área del tubo:

22

031416.04

20.0·mA ==

π

Evaluando el gasto con los datos anteriores obtenemos que: Q= 8.4(0.031426) = 0.2639 m3/seg

Para conocer la presión en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y 3.

23

23

33

22

22

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: P3 = 0; Z3 = 0; 013 ≅h

Sustituyendo:

( )( )

( )( )81.92

4.8

81.92

4.84.5 22

=+γ

BP

De la Ec. anterior botemos:

aguadecolumnademtsPB .4.5−=γ

En la ecuacion anterior, salvo las cotas que son iguales (Z1=Z2), y las perdidas que son despreciables, aparentemente las demás variables son incógnitas, quedando nuestra ecuacion de la siguiente manera:

g

VPEp

g

VP

22

222

211 +=++

γγ

Ahora, por otra parte las velocidades se pueden expresar de la siguiente manera

y la potencia de la bomba quedaría de la siguiente manera

y la diferencia de presiones la calculamos con la regla de los manómetros

Problema 5. Si la bomba -de la figura- desarrolla 5CV sobre el flujo, ¿cuál es el gasto?

Para dar solución al problema, seria plantear una bernoulli entre los puntos 1 y 2 que están en la entrada y en la salida del manómetro.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

PEp

g

VZ

P +++=+++γγ

42

222

41

221 826.0

2;

826.0

2 D

Q

g

V

D

Q

g

V ==

γγγ

·

)/·

75)(5(

···

QCV

segmkgCV

Q

PotEpEpQPot ==⇒=


P1+ γh1+γHg(0.9) - γh2 = P2

P2 – P1 = γHg + 0.9 + γ(h1-h2) = γHg · 0.9 - γ · 0.9

Por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera:( )γ

γγγ

−=

− HgPP )9.0(12

−=

−1

1000

1360090.012

γPP

aguadecolumnademtsPP

.34.1112 =−γ

Sustituyendo todos los términos anteriores en nuestra bernoulli original nos quedaría de la siguiente manera:

quedándonos finalmente un polinomio de tercer grado en términos del gasto

por ultimo dando solución a este polinomio, el gasto seria Q=0.032m3/seg.

./456.2545

18segm

CosVBoquilla =

°=

Planteamos una Bernoulli entre 1 y 2, para conocer la presión en 2.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

En donde: P1 = 0; Z2 = 0; 012 ≅h

V2 = VBoquilla · (DBoquilla/ DB)² = 25.456 ( 0.10 / 0.25 )² = 4.073 m/seg

Sustituyendo:

( )( )

( )( )81.92

073.4

81.92

1820

22

2

+=+γP

aguadecolumnademtsP

.67.352 =γ

Problema 6. La velocidad en el punto 1, de la figura, es de 18m/seg ¿Cuál es la presión en el punto 2, si se desprecia la fricción?

Debido a que la trayectoria del fluido es de tipo parabólico, la velocidad en el punto más alto (1) solo presenta componente en el eje X la cuál es constante durante el recorrido. En base a lo anterior y por métodos trigonométricos, obtenemos la velocidad en la boquilla

QD

Q

D

Q 375.826.0826.034.11

42

2

41

2

+−=

375.34.1179.304 3 =+ QQ


Q = 0.114 m3/segγAceite = 770 Kg/m3

P1 = 0.56 Kg/cm² = 5600 Kg/m²P2 = 0.35 Kg/cm² = 3500 Kg/m²

Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo V1 = V2

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Sustituyendo valores:

1210.6770

35005.1

770

5600h++=+

8.77 = 10.64 + h12

h12 = -1.87 → Las perdidas salen negativas ya que se considero que el flujo es en sentido contrario, entonces:

h21 = 1.87 La dirección del flujo siempre será de los puntos de mayor a menor energía. El propósito del problema es manejar este concepto ya que en redes es indispensable.

E2 = E1 + h21

21

21

11

22

22

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: P1 = 0, Z1 = 15, V1 = 0, P2 = 0, Z2 = 60, V2 = 0, y h12 es la suma de las perdidas de h13 + h34 = 2.5 + 6.5. Para este tipo de problemas de conexiones en serie es muy común la suma de perdidas.

Problema 7. Un aceite fluye por el tubo circular de 0.20 m de diámetro, que se muestra en la figura; el flujo es permanente y el gasto es de 0.114 m3/seg . El peso específico del aceite es 770 Kg/m3. La presión y condiciones de elevación son P1 = 0.56 Kg/cm² ; h1 = 1.5 m P2 = 0.35 Kg/cm² ; h2 = 6.10 m. Determinar la dirección del flujo y la disipación de energía entre los puntos 1 y 2. (Las presiones son manométricas)

Problema 8. En el sistema mostrado la bomba 3-4 debe de producir un caudal de 160 lt/seg. de aceite -cuyo peso específico es 762 Kg/m3- hacia el recipiente 2. Suponiendo que la pérdida de energía entre 1 y 3 es de 2.5 Kg. m / Kg. y entre 4 y 2 es de 6.5 Kg. m / Kg., determinar la potencia en CV que debe suministrar la bomba al flujo.

Planteamos una Ecuación de Bernoulli entre los dos depósitos (puntos 1 y 2).

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

PEp

g

VZ

P +++=+++γγ



Sustituyendo encontramos:Ep = 54 mts. de columna de aceite.

Pot = Q γ Ep = (0.160 m3/seg)(762 Kg/m3)(54 m) = 6583.68 Kg. m/seg.Pot = 6583.68 / 75 = 87.78 CVPot = 87.78 CV

Vx = V cos ß Vy = V sen ß

22yx VVV +=

Planteamos una Bernoulli entre los puntos 3 y 2

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Sustituyendo los datos y empleando las formulas del tiro parabólico tenemos: P1=0; P2=0; Z1=0

g

V

g

VVxyx

2

6

2

22

21

21 +

=+

Nota: en el tiro parabólico la componente de la velocidad en X siempre es constante, por lo tanto; V 1x = V2x, resultando:

62

21 =g

V Y

Despejando obtenemos que V1y = (2 · g · 6)1/2 = 10.85 m/seg La velocidad en la boquilla es igual a:

V1y = VBoquilla sen ß ==> VBoquilla = V1y / Sen β = 10.85 / Sen 45° = 15.344 m/seg

Planteamos una Bernoulli de la boquilla hasta un punto anterior a la bomba (codo).

13

23

33

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde : P1 = 0; Z3 =0; 013 ≅h

La velocidad en la tubería es:

V3 = VBoquilla(DBoquilla / DTubo)² = (15.344) (0.10 / 0.20)² = 3.835 m/seg

Problema 9. El agua de un gran depósito, como se muestra en la figura, tiene su superficie libre 5 m arriba del tubo de salida. Según se muestra es bombeada y expulsada en forma de chorro libre mediante una boquilla. Para los datos proporcionados, ¿Cuál es la potencia en caballos de vapor requerida por la bomba?

Dado que la trayectoria del agua es movimiento de tiro parabólico usamos las componentes de la velocidad x y y las cuales son expresadas de la siguiente manera: Figura del problema 9

( )( )

( )( )81.92

835.3

91.92

344.155.1

23

2

+=+γP

; aguadecolumnademtsP

.75.123 =γ

Por último planteamos una Bernoulli entre el depósito y un punto posterior a la bomba (codo).

43

23

33

24

44

22h

g

VZ

PEp

g

VZ

P +++=+++γγ

En donde: P4 = 0; V4 = 0; Z3 = 0

( )( )81.92

835.375.125

2

+=+ Ep ; Ep = 8.5 mts.

Pot = (1000 Kg/m3) (0.12 m3)(8.5m) = 1020 Kg-m / seg.

Pot = (1020/75) = 13.6 CV

Donde: P1 = 0, V1 ≅ 0, P2 = 0, Z2 = 0, h12 ≅ 0

g

V

23.3

22=

Despejando V2 obtenemos:

3.3··22 gV =V2 = 8.05 m/seg.Q1 = (8.05 m/seg.) ( 0.29 m2 ) = 2.33 m3/seg.

Planteamos otra ecuación de Bernoulli entre 1 y 3 para conocer el gasto en 3. El punto 3 esta situado en el centro del canal y por debajo de una lamina que le ejerce presión.

13

23

33

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: P1 = 0, V1 ≅ 0, Z3 = 0, h13 ≅ 0

Problema 10. En la figura del problema se descarga aceite de una ranura bidimensional en el aire como se indica en 2. En 3 el aceite se descarga por debajo de una puerta al piso. Despreciando las perdidas, determínese las descargas en 2 y 3 por pie de ancho. ¿ Por que difieren?

Planteamos una ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, para conocer el gasto en 2. El punto 2 esta situado en la mitad del orificio y por fuera de este

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ Figura del problema 10

g

VP

23.3

233 +=

γ

Además: P3 = ( D3 / 2 ) · γ ( esto es debido a que el punto se encuentra a la mitad de la altura del canal).Despejando V3:

3.3··23 gV =

V3 = 8.4 m/seg.

Q3 = ( 8.4 m/seg. ) ( 0.29 m2 ) = 2.44 m3 / seg.

Las descargas difieren debido a que en el orificio se descarga a la atmósfera por lo cual la presión es cero, mientras que en el otro punto, se descarga sobre un canal donde se presenta una lamina que ejerce presión sobre el mismo.

Analizando el punto 3 encontramos que:

( )yHgV += 23 , ( )yHgrQ += 223π

Igualando gastos obtenemos:

Hgr 222π ( )yHgr += 22

3π

( )

2

1

22

23

2

2

+

=+

=yH

H

yHg

Hg

r

r

2

1

22

23

1

1

+=

H

yrr

4

12

3

1

+

=

H

y

rr

Problema 11. Despreciándose todas las perdidas y los efectos de tensión superficial, dedúzcase una ecuación para la superficie del agua r del chorro en términos de y/H

Mediante el teorema de Torricelli encontramos la velocidad en 2.

HgV 22 =

El gasto en 2 es: HgrQ 222π=

Problema 12. En la figura H = 6 m y h = 5.75 m. Calcúlese la descarga y las pérdidas locales.

1) Planteamos una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, para encontrar las pérdidas que se producen en el orificio. Para este motivo se coloco el tubo de pitot.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Comprobación: con y = 0 obtenemos: r3 = r2



Donde: P1 = 0, V1 ≅ 0, Z2 = 0, V2 = 0 y P2/γ=5.75 1275.56 h+=

h12 = 6 – 5.75 = 0.25 = 25 cms

2) Como las perdidas en el orificio ya se conocen planteamos otra ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 3, para determinar la velocidad de salida considerando que las perdidas son de 25cm.

13

23

33

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: P1 = 0, V1 ≅ 0, P3 = 0, Z3 = 0

25.062

23 −=g

V

V3 = 10.62 m/seg.

Q = (10.62 m/seg.) (0.005 m2) = 0.053 m3/segQ = 0.053 m3/seg

Problema 12.1. Para el problema anterior las perdidas se suelen expresar en términos de un coeficiente K que se utiliza en las perdidas locales. Determine cual es el valor de este coeficiente.

Para encontrar el valor de K retomamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 3.

g

VK

g

V

226

23

23 +=

Pero sabemos que las pérdidas equivalen a 0.25 por lo que:

25.02

23 =g

VK

Despejando g

V

2

23 y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli obtenemos:

KK

K

25.025.06 += ⇒ K = 0.04347

Problema 12.2. Para el caso de orificios la velocidad real se suele expresar en términos de un coeficiente Cv:

HgCvVreal 2= .a) Determine cual es el valor de Cv para el problema 12.b) Demuestre si:

a) Para encontrar el coeficiente Cv partimos de la siguiente Ecuación

HgCvVreal 2=

Sustituyendo 10.62 = Cv 62 g

11

2−=

CvK

De donde: Cv = 0.9788

b) Para la determinación y comprobación de los valores de K y de Cv nos apoyamos en las ecuaciones 6.2,

16.16, 16.17, del libro Hidráulica General de Sotelo Avila, y esto nos queda de la siguiente manera.

g

VY

g

VZY

22

22

2

21

11 +=++

Como la V2 no se conoce el valor se sustituye por V2= Q / A, con A = b · Y; quedando 22

2

222

··22 Ybg

Q

g

V =

Q = V·A = 16.1 ft/seg. (40 ft2) = 644 ft3/seg

Sustituyendo los valores en la ecuación de Bernoulli tenemos:

( ) ( )2

22

2

2

2

·10·2

644

2

1.1684

YgY

g+=++

22

2

8.6405.16

YY +=

008.6405.16 22

32 =+− YY

Resolviendo la ecuación obtenemos las dos profundidades posibles del flujoY2 = 2.14 ft Y2 = 15.79 ft

.

Problema 13. En un canal fluye agua, como se muestra en la figura. Despreciando las pérdidas, determínese las dos profundidades posibles del flujo Y1 y Y2.

Planteamos una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: P1 = P2 = 0, 012 ≅h

Problema 14. Fluye agua a alta velocidad hacia arriba del plano indicado como se muestra en la figura. Despreciando las pérdidas, calcúlese las dos profundidades posibles del flujo en la sección 2


12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

043.0

109782.

11

12

=

−=⇒−=

K

KCv

K


Donde: P1 = P2 = 0, 012 ≅h

g

VYZ

g

VY

22

22

22

21

1 ++=+

Como la V2 no se conoce el valor se sustituye por V2= Q / A quedando 22

2

222

··22 Ybg

Q

g

V =

Q = V·A = 9.806 m/seg. (0.5 m · 2 m ) = 9.806 m3/seg

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli obtenemos:

( ) ( )2

22

2

2

2

·2·2

806.95.2

2

806.95.0

YgY

g++=+

22

2

23.15.24.5

YY ++=

008.6405.16 22

32 =+− YY

Resolviendo la ecuación obtenemos las dos profundidades posibles del flujo

Y2 = 0.76 mts. Y2 = 2.74 mts.

Donde: P1 = P2 = 0, 012 ≅h

g

VY

g

VZY

22

22

2

21

11 +=++

Como la V2 no se conoce el valor se sustituye por V2 = Q / A quedando 22

2

222

··22 Ybg

Q

g

V =

Q = V·A = 16.1 ft/seg. (40 ft2) = 644 ft3/seg

Sustituyendo los valores en la ecuación de Bernoulli tenemos:

( ) ( )2

22

2

2

2

·6·2

644

2

1.1684

YgY

g+=++

11

2−=

CvK

Problema 15. Despreciando todas las pérdidas, determínese las dos profundidades posibles del flujo; cuando el canal se angosta en la caída a 6 ft de ancho en la sección 2


12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ



22

2

18005.16

YY +=

018005.16 22

32 =+− YY

Resolviendo la ecuación obtenemos las dos profundidades posibles del flujoY2 = 3.84 ft Y2 = 15.28 ft

Donde: P1 = 0, P2 = 0, h12 ≅ 0 (Las presiones presentan valor cero ya que estamos trabajando con puntos sobre la superficie de un canal)

Pero sabemos que: 22

222

22 Ybg

Q

g

V = y además Y2 = Z2

( ) ( )( ) 2

2

2

2

2

12

12.1

2

03027.3

YgY

g+=+

0064.07046.3 22

32 =+− YY

Y2 = 0.134 m

La fuerza hidráulica esta dada por: F = γ Y A Senθ

Sobre el muro se aplican dos fuerzas, una por cada cara.∑F = Fp1 + Fp2 + Fmuro

Fp1 = γ (3.70 / 2) (1 · 3.70) Sen90° = 6845 Kg. Sobre X Fp2 = γ (0.134 / 2) (1· 0.134) Sen90° = 8.978 Kg. Sobre X

∑F = ϕQ (V2 – V1) Fmuro = - Fp1 - Fp2 + ϕQ (V2 – V1) Fmuro = (-6845, 0, 0) + (8.978, 0, 0) + (1000 / 9.81)(1.12) [ (1.12 / 0.134, 0,0) – (1.12 / 3.7, 0, 0)] Fmuro = (- 5915.4 Kg., 0, 0)

Problema 16. El tirante de un río, aguas arriba de una presa, es de 3.70 m, como se ve en la figura; el gasto es de 1.12 m3/seg. por cada metro de ancho de la presa. Determinar:a) El tirante y2 al pie de la presa suponiendo despreciables las perdidas;La fuerza horizontal resultante del empuje dinámico del agua, por cada metro de ancho, sobre la cara aguas arriba de la presa.

a) Planteamos una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 sobre la superficie del canal

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ Figura del problema 16

Si planteamos una Bernoulli entre 0 y 1 o entre 0 y 2 podemos comprobar que V0 = V1 = V2.

V0 = ( 20, 0, 0)V1 = ( 0, 0, 20) Q = (20 m/s)( π · 0.5²)/4 = 0.04 m3/segV2 = ( 0, 0,-20)

Sustituyendo valores encontramos:∑F = ρ (0.02)(0, 0, 20) + ρ (0.02)(0, 0, -20) - ρ (0.04)(20, 0, 0)

= ρ [ (0.20)(0, 0, 20) + (0.02)(0, 0, -20) - (0.04)(20, 0, 0) ] = ρ [ (-0.04)(20, 0, 0) ] = ( 1000 / 9.81 ) [ (-0.8, 0, 0) ] = (-81.55, 0, 0 )

∑ Fx = -81.55 Kgs.

Esta es la única fuerza que se requiere para sostener la placa, ya que las fuerzas de presión a la entrada y salidas no existen por ser puntos sobre la superficie.

NOTA: Si el chorro incide en dirección normal a la placa, ß = 90º también se obtiene la fuerza de la siguiente ecuación:

g

VAVQ

gFxF

22

20

000 ⋅=⋅== γγ

Con la cuál podemos comprobar el resultado

Fx = 2(1000)(π · 0.05² / 4)(20² / 2g) = 80.06 Kgs

Problema 18. Determinar la fuerza que ejerce un viento de 80 Km./h sobre cada metro de un cable de transmisión de energía eléctrica, de 2.54 cm de diámetro (1 pulg), suponiendo que la temperatura del aire es de 10ºC.

Solución. Para l0ºC la viscosidad cinemática del aire es v=0.155 stokes = 15.5 x 10-6 m2/seg; y la densidad ρ = 0.127 Kg. seg2/m4. La velocidad del flujo libre es v0 = 80 Km./h = 22.2 m/seg. y el número de Reynolds vale:

Problema 17. ¿ Qué fuerza F se requiere para sostener la placa que se muestra en la figura con un flujo de agua a una velocidad V0 = 20 m/seg. ?

Planteamos la ecuación de Impulso y Cantidad de Movimiento∑F = ρQ(VSalida - VEntrada)

Para este ejemplo contamos con una entrada y dos salidas.∑F = (ρQ1V1 + pQ2V2 ) - (ρQ0V0) Figura del problema 17

46

0 1064.3105.15

0254.0·2.22Re x

xv

DV ===

El coeficiente de arrastre para este caso es CD = 1.2

AV

CF D 2

20ρ=

F = (1.2)(0.127)[(22.2)2 / 2] (0.0254) = 0.954 Kg./m

F = 0.954 Kg./m

Problema 19. En una chimenea cilíndrica de 0.92 m de diámetro, expuesta a un viento con una velocidad de 58 Km./h, determínese el momento flexionante en su base --en función de la altura de la misma-- suponiendo despreciables los cambios de velocidad debidos al efecto de la capa límite turbulenta en toda altura. Supóngase la temperatura del aire es de 10ºC.

Solución. Para una temperatura de l0º C la viscosidad cinemática del aire es v = 0.155 stokes = 15.5x10-6 m2/seg; y la densidad ϕ = 0.127 Kg. seg2 / m4. La velocidad del flujo libre es v0 = 58 Km./h = 16.1 m/seg. y le número de Reynolds vale:

56

0 1056.9105.15

)92.0)(1.16(Re x

xv

DV ===

El coeficiente de arrastre para este caso es CD = 0.39

AV

CF D 2

20ρ= Ecuación (11.6) Sotelo Avila

F = (0.39) (0.127)[(16.1)2 / 2] (0.92) = 5.906 Kg./m El momento flexionante en la base de la chimenea, en función de la altura h, resulta ser:

M = ( 5.906 h2 ) / 2 = 2.953 h2 (kg. m) M= 2.953 h2 (kg. m)

Problema 20. Calcular la fuerza de arrastre de un viento de 80 Km./h, sobre un anuncio comercial de 3 x 15 m, a una altura suficiente para despreciar los cambios de velocidad por efecto de la capa límite. Suponer que la temperatura del aire es de 15ºC.

Solución. Como para el aire a 15ºC, ϕ = 0.125 Kg. seg2/seg, el número de Reynolds vale entonces:

Re = ( 22.2 · 3 ) / 16x10 –6 = 4.6 x 106

Para una placa de longitud infinita CD = 2 y para la relación ancho/longitud = 3/15 = 0.2, el coeficiente de correlación vale 0.6. De lo anterior se deduce que el verdadero coeficiente de arrastre es:

CD = (0.6)(2) = 1.2

La fuerza de arrastre resulta:

AV

CF D 2

20ρ=

F = (1.2)(0.125)[(22.2)2 / 2] (3)(15) = 1663 Kg.

F = 1663 Kg.

Donde: P1 = 0, Z1 = 0, V1 ≅ 0, P2 = 0, h12 = 0

24

222 0826.0

2Z

D

Q

g

VEp +==

Y además:( )

QQ

CV

Q

PotEp

9.0

1000

7512 ===γ

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli obtenemos:

214.0

0826.09.0 2

+= Q

Q

826Q3 + 2Q - 0.9 = 0

Resolviendo el polinomio obtenemos Q = 0.0951 m3/seg

Resolviendo solo para el eje X∑ F = ϕQ(V2 - V1) donde V1 ≅ 0∑ F = Fp1 + Fp2 + FD = ϕQV2

Donde: Fp1= Fp2 = 0FD = ϕQ(Q/A2) = ϕQ2/A2

( )( ) 2

2

4

1.0

0951.0·

81.9

1000

π=FD

Problema 21. Una bomba extrae agua de un recipiente como se muestra en la figura. La bomba añade, al flujo 12 CV, ¿ Cuál es la fuerza horizontal que desarrolla el flujo sobre el soporte D? Despreciar las pérdidas.

Planteamos una ecuación de Bernoulli entre el recipiente y Boquilla. Entre los puntos 1 y 2.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ


FD = 117.38 Kg.

El término de energía de la turbina (ET), se coloca al lado derecho de la ecuación de Bernoulli, debido a que la turbina le quita la energía al agua, la cuál se transforma en electricidad a través de un generador eléctrico.

Donde: Z1 = Z2, V1 = V2, P2 = 0, h12 ≅ 0

Sustituyendo30 = ETPot = Q γ ET

En este problema se nos da el gasto en forma indirecta para el calculo de la potencia∑Fx = 100 Kg.∑Fx = -100 = ϕQ(VSal x - VEnt x) VSal x = 0

-100 = - ϕQ(Q/A) = - ϕQ2/A

( )0100

4

15.0 2

2

=+π

γ Qx

g

- 5768.44 Q2 + 100 =0

Q = 0.132 m3/seg

Pot = Q γ ET = (0.132)(1000)(30) = 3960 Kg. m/seg.

PotTurbina = 52.8 CV

Problema 22. El agua entra en una tubería desde un recipiente de grandes dimensiones y después de abandonarla incide sobre un álabe deflector que desvía el chorro a 90ºC, según se muestra en la figura. Si sobre el álabe deflector se desarrolla un empuje horizontal de 100 Kg., ¿ Cuál es la potencia en caballos de Vapor, desarrollada por la turbina si antes de la misma la presión es de 3 Kg/cm2?


12

22

22

21

11

22hEt

g

VZ

P

g

VZ

P ++++=++γγ

Problema 23. Calcular la fuerza que produce el flujo de agua sobre la curva y la boquilla mostrados en la figura; el agua abandona la boquilla como un chorro libre. El volumen interior del conjunto del codo y la boquilla es de 115 lt. y todo el conjunto está contenido en el plano horizontal.

Para conocer la respuesta del problema es necesario conocer V1, P1, V2, P2;Sabemos que: V1 = 1.5 m/seg.

( ).

106.04

3.05.1

32

11 seg

mAVQ =

== π



Por lo tanto:

( ) .6

4

15.0

106.022 seg

mV ==

π

P1 = 1 Kg./cm2 = 1x104 Kg./m2

( ).85.706

4

30.0101

24

111 KgxAPF =

== π

F2 = P2.A2 = 0, esto es debido a que P2 = 0, ya que el punto 2 se encuentra bajo la presión atmosférica. ∑F = Fp1 + Fp2 + Fcodo + WFcodo = - Fp1 – Fp2 + ϕQ(V2 – V1) - W

Fcodo = (-706.85, 0, 0) + (0, 0, 0) + (γ/g) (424.11) [(33.74Cos45°, 0, 33.74Sen45°) – (15, 0, 0)] – (0, 115, 0)

Fcodo = (-787.9Kg, -115Kg, 0)

Donde: Z1 = 0, Z2 = 0, h12 ≅ 0

( ) ( )6.19

74.33

6.19

15

1000

101 2252 −+= xP

γ

P2 = 53410 Kg./m2

El gasto esta dado por:

( ).

11.4244

615

32

seg

mQ =

= π

Por lo tanto:

Problema 24. Una tubería horizontal de 6 m de diámetro tiene un codo reductor que conduce el agua a una tubería de 4 m. de diámetro, unida a 45° de la anterior. La presión a la entrada del codo es de 10 Kg./cm2 y la velocidad de 15 m/seg. Determinar las componentes de la fuerza que han de soportar los anclajes del codo y el peso del líquido dentro del mismo.

Para resolver este problema necesitamos conocer V1, P1, V2, P2, por lo que planteamos una ecuación de Bernoulli para determinar P2:

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

( ) .74.33

4

4

11.42422 seg

mV ==

π


( ).39.2827433

4

6101

25

1 KgxF =

= π

( ).85.671169

4

453410

2

2 KgF =

= π

Fcodo = - Fp1 – Fp2 + ϕQ(V2 – V1)Fcodo = (-2827433.39, 0, 0) + (671169.85Cos45°, 0, 671169.85Sen45°) +

(γ/g)(424.11)[(33.74Cos45°, 0, 33.74Sen45°) – (15, 0, 0)]

Fcodo = (-1969901 Kg., 0 Kg., 1506018.34 Kg.)Fcodo = (-1969.9 Ton, 0 Ton, 1506.02 Ton.)

Problema 25. Determinar la velocidad media y los coeficientes α y β en un conducto cilíndrico donde se produce: a) un escurrimiento laminar cuya distribución de velocidades sigue la ley

v = vmax [1-(r/R)²] b) Un escurrimiento turbulento cuya distribución de velocidades sigue la ley

v = vmax (1-r/R)1/7 = vmax (y/R)1/7

En ambos casos vmax es la velocidad en el eje del tubo; R el radio del mismo y y = R - r la distancia a la pared de los puntos de radio r y la velocidad v como se muestra en la figura.

Solución a) La velocidad media es

221

1

0

2

2MAX

R

MAX

vrdr

R

rv

xRV =

−= ∫ π

π

La ley de distribución de velocidades se escribe en la forma:

−=

2

12R

r

V

v

El coeficiente α

∫ ∫ =

−

−−=

−=

R R

R

rdr

R

rrdr

R

r

R 02

3

0

22

22

21821

8 ππ

α


El valor aproximado de β es

β = 1 + (2 – 1)/3 = 1.33

Solución b) La velocidad media V, resulta de su definición, a saber:

∫=R

vrdrVR0

2 2ππ

donde r = R - y, dr = -dy. Haciendo caso omiso del signo menos, se tiene que:

( )∫ ∫

−=

−=

R R

MAXMAX dyR

yyRvdy

R

yyRvVR

0 07/1

7/87/17/6

7/12 22 πππ

resolviendo la integral resulta así:

V= (49/60) vmax

La ecuación de distribución de velocidades puede expresarse como7/1

49

60

=

R

y

V

v

El coeficiente de Coriolis α resulta de

( )∫ ∫

−

=

=

R R

dyR

yyR

Rrdr

R

y

R 0 0

7/3

2

37/33

2

1

49

6022

49

601 ππ

α

α = 1.06

Esto es, un valor próximo a 1. el valor aproximado de β es

β = 1 + ( 1.06 – 1 ) / 3 = 1.02

Problema 26. El empuje D en la dirección del flujo sobre la pila cilíndrica de diámetro d, construida en un canal de ancho a donde el flujo tiene una velocidad uniforme V0 en la sección 1-2, se puede determinar indirectamente midiendo la distribución de velocidades en una sección 2-4, aguas abajo y próxima a la pila, tal como se muestra en la Figura. La energía (sin considerar pérdidas) se supone constante al pasar de la sección 1-3 a 2-4

a) Determinar la magnitud de ese empuje D sobre la pila por unidad de longitud de la misma, atendiendo a las modificaciones que sufre la distribución de velocidades.

b) Definido e coeficiente de arrastre por la ecuación:

CD = D / (½ ρ v0² d)

Calcular su magnitud en términos de d/a y el valor que tendría sí d/a --> 0.


Solución a) De acuerdo con la ecuación de continuidad se debe satisfacer que v 0 a = v 1 (a- 4d) + 2 v 1 d

a

dv

v2

1

01

−=

Obviamente, la velocidad media en las secciones 1-3 y 2-4 debe ser la misma, es decir:

V = v o

y el gasto por unidad de profundidad: v0 a

Para la sección 1-3 la presión media es p0 y lo coeficientes α = β = 1. por tener la distribución uniforme de velocidades. Para la sección 2-4 la presión media es p y los coeficientes α y β, distintos de uno, por lo cual es necesario calcular el valor. Para la zona central la velocidad se distribuye según la ley lineal siguiente:

−

=

a

dd

xvv

212

00

y para las zonas laterales es constante, es decir, de valor:

a

d

vv

21

0

−=

.

Resulta más sencillo calcular primero ß como veremos:

Efectuada la integración con los límites señalados, resulta entonces que

−

+

−

= ∫ ∫d a

ddx

a

dv

vdx

a

ddv

xv

a

2

0

2/

2

2

0

0

2

0

0

21

212

2β

+

−

= ∫ ∫d a

ddxdxx

d

a

da

2

0

2/

2

222 4

1

21

2β

por lo tanto el valor aproximado de α es: α = 3β - 2

Usando la ecuación de la energía (con la ∑ hr = 0), aplicada entre las dos ecuaciones, se tiene a

y de aquí : Finalmente, de la ecuación de la cantidad de movimiento, aplicada en la dirección del flujo y al mismo VC, se tiene lo siguiente:

sustituyendo el valor de p, calculado anteriormente, resulta

o bien

y con alfa = 3ß - 2, se obtiene

Substituyendo ahora ß, calculado anteriormente, y haciendo las simplificaciones necesarias, se tiene finalmente el empuje"

Solución b) De acuerdo con la definición indicada para el coeficiente de arrastre, éste vale

22

13

83

−

−=

a

da

d

β

g

vp

g

vpo

22

20

20 α

γγ+=+

( )αρ −+= 12

20

0

vpp

( )0000 vvavpaap F D−=−− βρ

( ) ( )112

20

20

00 −=−−−− βραρ avav

apap F D

−−=−

2

1

22

0

αβρ avF D

−=− βρ

2

1

2

120 avF D

−

−=

2

20

21

31

3

2

a

da

d

dvF Dρ

Si d/a --> 0, esto es, si el ancho a es muy grande, entonces

3

4→CD dvF D

203

2 ρ→

−

−=

22

1

31

3

4

a

da

d

CD

CAPITULO 8Problema 1. Agua a 10°C es forzada a fluir en un tubo capilar D=0.8mm y 70m de longitud. La diferencia de presiones entre los extremos del tubo es de 0.02 Kg/cm2. Determinar la velocidad media, el gasto y el numero de Reynolds para ν = 0.0133 cm2/seg.

En este problema se maneja un tubo horizontal de diámetro constante, implica que Z1=Z2, por lo tanto V1=V2.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el coeficiente de fricción, y como se nos da viscosidad se usara Darcy.

ahora bien el coeficiente de friccion se calculara con f = 64/NR debido a que se supone que es un flujo laminar es decir con numero de Reynolds menor de 2000. Por otra parte el NR se calculara con la formula NR = (VD) / ν. Entonces sustituyendo en nuestra ecuación de perdidas lo pasado tenemos que:

sustituyendo valores obtenemos

despejando la velocidad no queda que es V=4.2x10-4 m/s o bien 0.042 cm/s.

Por ultimo el gasto y el numero de Reynolds se calculan con V=0.042 cm/s.

Problema 2. Un enfriador de aceite consiste de tubos de 1.25 cm de diámetro interior y 3.65 m de longitud. El aceite, con un peso específico de 900 Kg/m3, es forzado a una velocidad de 1.83 m/seg. El coeficiente de

aguadecolumnademts

mkg

mkg

PPh 2.0

1000

200

3

221

12 ==−=γ

mtsg

V

D

Lf 2.0

2

2

=

2

2

2

·2

···642.0

2

64

2.02

64

Dg

vLV

g

V

D

LVD

g

V

D

L

Nr

==

=

ν

2.0)62.19()108.0(

)70)(1033.1(6423

6

=−

−

x

Vx

2526.00133.0

)08.0)(042.0(

.

/0002.0042.0·4

·08.0· 3

2

===

=

==

υ

π

VDNr

scmVAQ

viscosidad a la entrada es 0.28 poises y, a la salida, de 1 poise; puede considerarse que dicho coeficiente varía como una función lineal de la longitud. Determinar la potencia requerida para forzar el aceite a través de un grupo de 200 tubos semejantes en paralelo.

Para empezar debemos convertir las unidades al sistema técnico:

2

.·002854.0

1.98

28.028.0

m

segKgpoises ===µ

2

.·.010193.0

1.98

11

m

segKgpoise ===µ

Estimación de la densidad:

4

2

2

3 .·.743.91

/81.9

/.900

m

segKg

segm

mKg

g=== γρ

Calculamos las viscosidades cinemáticas de entrada y salida ρµν =

.101108.3

743.91

002854.0 25

seg

mxEntrada

−==ν

.10111.1

743.91

010193.0 24

seg

mxSalida

−==ν

Obtenemos el coeficiente de fricción de entrada y de salida DVDVNrf

·

64·6464 ν

ν

===

Debido a que la viscosidad va cambiando junto con la trayectoria, nos vemos obligados a usar diferenciales para

obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que g

V

D

Lfh

2

2

= :

∫∫ ==65.3

0

265.3

0 2)(

g

V

D

dLLgdhh f

∫+=

65.3

0

2

)62.19()0125.0(

)83.1()·06132.008703.0(dL

Lh

h = 9.9153 mts

08703.00125.0·83.1

101108.3·64 5

==−x

fEntrada

31084.0125.0·83.1

10111.1·64 4

==−x

fSalida

f = g (L) = f Entrada + [( f Salida - f Entrada) / 3.65 ] L Numéricamente resulta: f = g (L) = 0.08703 + 0.06132 L

Q = A V = ( 1.2272 x 10-4 ) (1.83) = 2.2457x10-4 m3/seg.

Ep = h

seg

mKgxEpQPot

·.8022.400)9153.9()900()102457.2(200···200 4 === −γ

Pot = 5.239 H. P.

Problema 3. Agua a 5° C es bombeada a un tubo de cobre, liso, a una velocidad de 1.53 m/seg. Si el tubo tiene 2.5 cm. De diámetro y 46 m. de longitud, calcular la diferencia de presiones requeridas entre los extremos del tubo; use la fórmula de Nikuradse, para tubos lisos.

Primero calculamos el número de Reynolds y posteriormente el coeficiente de fricción:

( )( )07.29423

./0000013.0

025.0./53.12

===segm

msegmDVNr

υ

0235.0

74.5ln

325.12

9.0

=

−

=

f

Nr

f

De donde f = 0.0236, sustituyendo en Darcy:

( )m

g

segm

m

mh 18.5

2

./53.1

025.0

460236.0

2

==

h = 5.18 mts.

Problema 4. Aceite, con peso especifico de 800 Kg/m3 y con una viscosidad cinemática de 0.1858 cm2/seg., se bombea a un tubo de 0.15 m de diámetro y 3050 m de longitud. a) Encontrar la potencia requerida para bombear 127 m3/h . b) si el aceite se calienta hasta que su viscosidad cinemática sea de 0.01858 cm2/seg, determinar la potencia –ahora requerida- para bombear la misma cantidad de aceite que antes.

Para resolver este problema es necesario determinar primero el número de Reynolds, mediante el gasto podemos determinar la velocidad:

V = Q / A = [(127 m3/h)(1 h / 3600seg.)] / 0.018 = 1.99 m /seg.

( )( )66.16065

./00001858.0

15.0./99.12

===segm

msegmDVNr

υ

Dado la magnitud del número de Reynolds utilizamos la formula de Swamme para encontrar f :

51.2log2

1 fNr

f=

sustituyendo valores:( )

51.2

66.16065log2

1 f

f=

De donde f = 0.0273Sustituyendo en Darcy:

( )m

g

segm

m

mh 04.112

2

./99.1

15.0

30500273.0

2

==

Pot = Q γ h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(112.04 m) = 3164.01 Kg . m/seg.

Pot = (3164.01 Kg. m/seg.)(1 Hp / 76.5 Kg. m /seg.) = 41.36 Hp

Pot = 41.36 Hp

Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:( )( )

6.160656./000001858.0

15.0./99.12

===segm

msegmDvNr

υ( )

51.2

6.160656log2

1 f

f=

De donde f = 0.0163

( )m

g

segm

m

mh 08.67

2

./99.1

15.0

30500163.0

2

==

Pot = Q γ h = ( 0.0353 m3/seg.)(800 Kg/m3)(67.08 m) = 1894.34 Kg.m/seg.

Pot = 24.76 Hp.

Problema 5. Determinar el diámetro de la tubería vertical necesaria para que fluya un líquido, de viscosidad cinemática v = 1.5 x 10-6 m2/seg, con número de Reynolds de 1800.

Planteando una Bernoulli obtenemos que las pérdidas son:

g

V

D

LDV

h2·

64 2

ν

=

Tomando en cuenta que h = L y simplificando todo lo anterior resulta:

2··2

··641

Dg

V

L

h ν==

en donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que Nr = 1800 y por lo tanto la velocidad la dejamos en términos del Nr.

DD

NrV

DVNr

ννν

1800·;

· ===

Sustituyendo la velocidad en la ecuacion anterior tenemos: 1 = (115200 v ²) / (2 · g · D3)

Despejando el diámetro tenemos

D = 2.36 x 10-3 m

D = 0.236 cm

Problema 6. Calcular el gasto que fluye en el sistema indicado en la figura, despreciando todas las pérdidas excepto las de fricción

62

642

==Dg

VLvh

Es necesario determinar el valor de v para poder obtener el valor de la V, y para ello conocemos lo siguiente:v = µ/ϕ y que ϕ = γ/g

Sustituyendo valores:ϕ = 800/9.81 = 81.55 y además µ = 0.1 / 98.1 = 0.001

Por lo que:v = 0.001/81.55 = 0.0000122

Sustituyendo en la ecuación de pérdidas:( )( )( )

( )( ) 2006.062.19

8.4000012.064 Vh =

Despejando: V = 1.132 m/seg.

Por lo que el gasto: Q = 0.032 lps

Problema 7. Cuando el gasto de agua en un tubo liso dado es de 114 lt/seg., el factor de fricción es f = 0.06 ¿ Qué factor de fricción se esperaría si el gasto aumenta a 684 lt/seg.

f = 64 / Nr ==> NR = 64 / f = 64 / 0.06 = 1067 < 2000 ∴flujo laminar Si el gasto es seis veces mayor: 114 x 6 = 684 lpsPodemos esperar que: Nr = 6400, es decir, seis veces mayor que el original.

Con el diagrama de Moody para tubos lisos: f = 0.035

. 12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

En donde: P1 = P2 = 0, V1 = V2 = 0, Z2 = 0

Por lo que: h12 = 6

Usando la ecuación de Darcy: g

V

D

Lfh

2

2

=

Sabemos que: f = 64 / Nr y además Nr = V.D / v

Sustituyendo en la ecuación de Darcy obtenemos: Figura del problema 6

Otra manera de calcularlo es utilizando la formula de Blasiss:

035.06400

3164.03164.025.025.0

===Nr

f

Problema 8. Agua sale de un tubo horizontal nuevo (fierro fundido) de 0.305m de diametro. Para determinar la magnitud del gasto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141 kg/cm2. Estimar el gasto.

Para poder estimar el gasto, se tiene que las perdidas serian las siguientes:

h = 1.41m

Ahora planteando la ecuacion de perdidas por Hazen Williams, se tiene el gasto siguiente:

En donde h=1.41m, CH=130, D=0.305 y L=610, por lo tanto el gasto seria Q = 0.0602 m3/s.

Problema 9. El flujo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61 m/seg. Determinar la velocidad máxima al centro del tubo con: a) NR=1000. b) NR = 105

a) Debido a que en este inciso nos encontramos con un flujo laminar usaremos la siguiente ecuacion expuesta con anterioridad:

2MAXv

V =

Por lo tanto:./22.1./61.0·2·2 segmsegmVvMAX ===

b) Para este caso, dado el número de Reynolds, es necesario recurrir a la siguiente formula:

R

rRLn

ff

V

vMAX −++= ·8

5.28

75.31

y = R-r es decir, es el complemento de rcon r = 0, observamos que y = R

R

RLn

ff

V

vMAX 0·

85.2

875.31

−++=

3

221

/1000

/1410

mkg

mkgPPPh =∆=−=

γγ

852.1

87.4852.1 .

.645.10Q

DC

Lh

H

=

852.1

187.4852.1

.645.10

..

=

L

DChQ H

Si r = R:

R

RRLn

ff

V

vMAX −++= ·8

5.28

75.31

R = 0, lo cual nos indica el lugar donde se presenta la velocidad máxima ( V = vMAX ), por lo que obtenemos finalmente:

875.31

f

V

vMAX +=

donde: 2

9.0

74.5

·7.3

325.1

+∈−

=

NrDLn

f

El valor de ∈ se tomó como cero, debido a que se esta trabajando con un tubo liso.

f = 0.0116

Sustituyendo:

8

0116.075.31

61.0+=MAXv

Vmax = 0.697 m/seg

Problema 10. En una prueba realizada con una tubería de 15cm de diámetro se ha medido una diferencia manometrica de 350mm, en un manómetro de mercurio conectado a dos anillos piezometricos, separados 50m. El gasto era de 3000 lt/min, esto equivale a 0.05 m3/s. ¿Cuál es el factor de fricción f?

Para dar solución a este problema se tiene que la ecuación de perdidas es la siguiente:

donde L=50m, D=.15m, y la velocidad y las perdidas se calcularían de la siguiente manera:

Como el gasto es de 0.05 m3/s y el D=.15m, se tiene que la velocidad seria V=Q/A y esto seria igual a 2.82m/s.

Ahora, si sabemos que el peso especifico es igual a 13600 kg/m3, la presión del mercurio seria la siguiente:P = (13600 kg/m3)(.350m) = 4760 kg/m2

por lo que se tiene que P/γ = 4.76m = h estas serian las perdidas.

sustituyendo y despejando la ecuación de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que

Problema 11. Determinar la pérdida de energía que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una

velocidad de 5 m/seg en una tubería de 12 mm de diámetro, v = 4 x 10-6 m2/seg.

g

V

D

Lfh

2

2

=

035.0)82.2)(50(

)62.19)(15.0)(76.4(2.22

===LV

ghDf

El número de Reynolds esta dado por:

NR = ( V · D ) / v = (5 m/seg · 0.012 m) / 4 x 10-6 = 15000

Calculo del factor de fricción:

2

9.0

74.5

·7.3

325.1

+∈−

=

NrDLn

f

Para la obtención del valor del factor de fricción, con la anterior ecuacion, se tomó la siguiente consideración: ∈ = 0, ya que se trataba de un tubo liso.

2

9.0

74.5

325.1

−

=

NrLn

f

f = 0.028

Sustituyendo en la ecuacion de pérdidas de Darcy:

mg

V

D

Lfh 16.2973

62.19

5

012.0

1000028.0

2

22

===

h = 2973.16 m

Problema 12. ¿ Qué diámetro de tubería de fierro galvanizado para que sea hidraulicamente lisa para un número de Reynolds de 3.5 x 105, la tubería de fierro galvanizado tiene una rugosidad absoluta de ∈ = 0.15 mm?

En el Diagrama de Moody para un Nr = 3.5 x 105, y para un tubo liso obtenemos:

0002.0=∈D

Sustituyendo y despejando:

mmmm

D 7500002.0

15.0 ==

D = 750 mm

Problema 13. ¿ Cuál será el diámetro de una tubería nueva de fierro galvanizado, para que tenga el mismo factor de fricción para Re = 10 5, que una tubería de fierro fundido de 30cm. de diámetro?

Para una tubería nueva de fierro fundido: ∈ = 0.25 mm; con los datos anteriores calcularemos el factor de fricción:

+∈−=

fNrDf

51.2

·71.3log2

1

( )

+−=

ff 510

51.2

3.071.3

00025.0log2

1

f = 0.019

Con el valor obtenido y la rugosidad absoluta (0.15 mm) del fierro galvanizado obtenemos el tamaño del diámetro:

+−=

019.010

51.2

·71.3

00015.0log2

019.0

15D

D = 0.185 m.

Problema 14. Calcular el factor de fricción para el aire, a presión atmosférica y a 15 ° C, que fluye por una tubería galvanizada de 1.2 m de diámetro, a velocidad de 25 m/seg.La viscosidad cinemática del agua a 15 °C es 16 x 10 –6, la cual, es necesaria para la estimación del número de Reynolds.

( )( )1875000

./000016.0

2.1./5.2·2

===segm

msegm

v

DVNr

La rugosidad absoluta presenta una magnitud de 0.15 mm, sustituyendo:

+∈−=

fNrDf

51.2

·71.3log2

1

( )

+−=

ff 187500

51.2

2.171.3

00015.0log2

1

f = 0.0137

Problema 15. Calcular el diámetro de una tubería nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar 300 lt/seg. de agua a 25 ° C, a un km. de longitud y con una perdida de energía de 1.20 m.Para este problema utilizaremos la ecuación de Hazen-williams

852.187.4852.1

675.10Q

D

L

Chh =

El coeficiente Ch para una tubería nueva de fierro fundido es de 130, sustituyendo encontramos:

( ) 852.1

87.4852.1300.0

1000

130

675.102.1

D=

Despejando:D = 0.64 m.

Problema 16. Aceite, de viscosidad cinemática v = 2.79 cm2/seg, fluye en un ducto cuadrado de 5 x 5 cm. con una velocidad media de 3.66 m/seg. a) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud del conducto. b) Determinar la caída de presión por cada 100 m de longitud, si las dimensiones del ducto cambian a 2.5 x 10 cm. c) Determinar la misma caída de presión, si el ducto tiene una sección triangular equilátera de 2.5 cm. de lado.Planteamos una ecuación de Bernoulli entre un punto a la entrada y otro a la salida:

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

Donde: Z1 = Z2 y V1 = V2

Sustituyendo:h12 = (P1 – P2) / γ

Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el diámetro y el radio hidráulico: D = 4 RH

Donde: mojado

ducto

P

ARH =

a) Para solucionar este inciso calcularemos el área y perímetro con los datos proporcionados.Aducto = (0.05m) (0.05m) = 0.0025 m2 Pmojado = 4 (0.05) = 0.2 m

Sustituyendo:

mm

mRH 0125.0

2.0

0025.0 2

== y D = 4 (0.0125m) = 0.05 m

Estimación del número de Reynolds:( )( )

91.655./000279.0

05.0./66.3·2

===segm

msegm

v

DVNr


0976.091.655

6464 ===Nr

f

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para pérdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12 =

( )m

gh 23.133

2

66.3

05.0

1000976.0

2

12 ==

h12 = 123.23

b) Para este inciso sólo cambiamos las magnitudes de los ladosAducto = (0.025m) (0.1m) = 0.0025 m2 Pmojado = 2 (0.025 + 0.1) = 0.25 m

Sustituyendo:

mm

mRH 01.0

25.0

0025.0 2

== y D = 4 (0.01m) = 0.04 m

El número de Reynolds:( )( )

73.524./000279.0

04.0./66.3·2

===segm

msegm

v

DVNr


122.073.524

6464 ===Nr

f

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12 =

( )m

gh 18.208

2

66.3

04.0

100122.0

2

12 ==

h12 = 208.18 m

c) En este caso varia la forma en que se calcula el área y perímetro, ya que se trata de un triángulo equiláteroAducto = (0.025m) (0.15m) = 0.000375 m2 Pmojado = 3 (0.025) = 0.075 m

mm

mRH 005.0

075.0

000375.0 2

== y D = 4 (0.005m) = 0.02 m

El número de Reynolds esta dado por:( )( )

37.262./000279.0

02.0./66.3·2

===segm

msegm

v

DVNr


244.037.262

6464 ===Nr

f

Sustituyendo en la ecuación de Darcy para perdidas: g

V

D

Lfh

2

2

12 =

( )m

gh 73.832

2

66.3

02.0

100244.0

2

12 ==

h12 = 832.73 m

Problema 17. Utilizando el diagrama universal de Moody dar respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿ Para que tipo de flujo la pérdida de fricción varia con el cuadrado de la velocidad? b) ¿ Cuál es el factor de fricción para Re = 10 5 –en un tubo liso- para ∈/D = 0.001 y para ∈/D = 0.0001? c) ¿ Para qué rango del número de Reynolds, es constante el factor de fricción, en un tubo de fierro fundido y de 152 mm de diámetro? d) Suponiendo que la rugosidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de 3 años, a tres veces su valor inicial, ¿ tendría ello mayor efecto en la pérdida en flujo turbulento, para números de Reynolds altos o bajos? e) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de Re? f) ¿ Para qué tipo de flujo f depende únicamente de Re y ∈/D? g) Si el factor de fricción es 0.06, para un tubo liso, ¿ Cuál sería el factor de fricción para un tubo de rugosidad relativa ∈/D = 0.001, con el mismo número de Reynolds? h) Lo mismo para f = 0.015.

a) Turbulentob) Tubo liso con ∈/D = 0.001⇒ f = 0.0185; con ∈/D = 0.0001⇒ f = 0.022c) Re > 6.8 x 10 5

d) No tendría ningún efecto, por tratarse de un flujo turbulentoe) Para flujo laminar y turbulento para tubos lisosf) Para el flujo en zona de transicióng) No existeh) f = 0.02 según el diagrama de Moody

Problema 18. Aire a 15ºC fluye en un conducto rectangular de 61x 122 cm, fabricado con una lamina de aluminio liso a un gasto de 274 m3/mina) Determinar la caída de presión en 100 mts.

b) Determinar el diámetro necesario de un conducto cilíndrico del mismo material para transportar este gasto con las mismas perdidas.

Para la solución se supone que el tubo es colocado horizontalmente, entonces se procede a plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales hay 100mts de longitud.

12

22

22

21

11

22h

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++γγ

donde: Z1 = Z2, V1 = V2

γ21

12

pph

−=

En este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la única ecuación de pérdidas que podemos utilizar es la de Darcy

g

V

RH

Lf

g

V

D

Lf

pph

242

2221

12 ==−=γ

Donde debemos reemplazar el diámetro por el radio hidráulico (RH), D = 4 RH.

ADucto= (1.22) (0.61) = 0.744 m2 Perímetro = 2 ( 1.22 + 0.61 ) = 3.66 m

El radio hidráulico está definido como el cociente del área y el perímetro mojado.

mm

m

PERIMETRO

ARH DUCTO 213.0

66.3

744.0 2

===

4RH = 0.852

( )./13.6

)60)(744.0(

./2742

3

segmsegm

minm

A

QV ===

La viscosidad cinemática del aire a 15ºC es v = 16 x 10-6

Nr = VD / v = V( 4RH ) / v = [(6.13) (0.852)] / 16 x 10 –6 = 326,422.5

Obtenemos el coeficiente de fricción usando el valor de f para tubo liso

0132.05.326422

3164.03164.025.025.0

===Nr

f

A continuación calculamos las pérdidas:

( )mts

gh 98.2

2

14.6

852.0

1000132.0

2

12 ==

( P1 - P2 ) / γAIRE = 2.98 mts ahora bien, como el aire se encuentra a 15°C, según la tabla de la pagina 23 del Sotelo, el peso especifico del aire a esa temperatura es de 1.225 Kg/m3, lo que nos quedaría de la siguiente manera,

P1 - P2 = (1.225 Kg/m3)(2.98mts)= 3.65 Kg/m2

P1 - P2 = 3.65 Kg/m2

Para poder dar solución al inciso b, se tiene lo siguiente, el tubo esta horizontal, por lo tanto la diferencia de presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por Darcy nos queda la siguiente ecuación,

Como se debe de tener el mismo gasto y las mismas perdidas tenemos que

Donde se conoce, el gasto, las perdidas, la longitud y el coeficiente de fricción seria,

Por ultimo sustituyendo y resolviendo para D obtenemos que,

D = 0.94 mts

Problema 19. Agua fluye con un gasto de 17.1 lps en un tubo horizontal de 150mm de diámetro, el cual se ensancha hasta un diámetro de 300mm. a) Estimar la perdida la perdida de energia entre dos tubos en el caso de ampliación brusca.

Para la solución del inciso A de este problema, de la ecuación de continuidad se despeja la velocidad para encontrarla.

por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliación seria la siguiente:

esta surge de la ecuación 8.17 de la pagina 299 del Sotelo Avila.Por lo tanto nuestras perdidas serian:

segm

D

Q

A

QV 242.0

)3.0(

)0171.0(4422

====ππ

g

V

D

Dh

21

22

2

21

22

−=

mh 0269.062.19

)242.0(1

)15.0(

)31.0( 22

2

2

=

−=

g

V

D

Lf

PPh

2

221

12 =−=γ

5

2

12

)0826.0(

D

LQfh =

25.0

25.0

··

4

3164.0

··

43164.0

=

==⇒=

D

Qf

D

QVDNR

NRf

υπ

υπυ

5

225.0

12

·

··

4

3164.0)0826.0(

D

QL

D

Q

h

=υπ ( )

5

225.0

6

)56.4)(100(

1016

)56.4(4

3164.0)0826.0(

98.2D

Dx

=π

ECUACION DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli se desarrolla como una aplicación particular de la tercera ley de Newton sobre una tubería cilíndrica, analizando las fuerzas que intervienen en el deslizamiento de agua en este segmento del tubo.Al hacer un corte del tubo en la sección 1 y 2 debemos considerar las fuerzas de presión que actúan en las tapas del cilindro además, tenemos el peso del agua, en particular la componente del peso paralela al eje del cilindro; y por último la fuerza de rozamiento del agua contra las paredes del cilindro, esto se muestra en la siguiente figura:

El análisis dinámico de las fuerzas nos indican:F1 – F2 + Wsinθ - Ff = m · a

F1 = P1 · A , F2 = P2 · AWsinθ = Vol. · γ · Sinθ = A · dL · γ · SinθdL · Sinθ = Z1 – Z2

WSinθ = A · γ (Z1 – Z2)Ff = τ · Ac

τ : esfuerzo de rozamientoAc : es la área donde el agua contacta con la pared del tubo

Ac = Per · dL

Per = Perímetro = π · D

Ff = τ · Per · dL

m = W / g = masa del agua Sustituyendo en (1)

P1 · A – P2 · A + A · γ (Z1 – Z2) - τ · Per · dL = W/g · a

Si multiplicamos por dL la Ec. 2 obtenemos el trabajo para mover el bloque.Y si dividimos entre el peso W = A · L · γ, obtenemos el trabajo por unidad de peso; trabajo unitario.

( )W

dLagW

dLA

dLdLPer

dLA

dLZZA

dLA

dLAP

dLA

dLAP ··

··

···

·

·

·

··

··

·· 2121 =−−+−γ

τγ

γγγ

( ) dLg

a

A

dLPerZZ

PP·

·

··221

1 =−−+−γ

τγγ

la aceleración es:

t

VV

t

Va

∆−

=∆∆= 12

y la velocidad es:

V

dLt

t

dLV =∆

∆= ,

Como la velocidad toma valores de V1 y V2 para un dL, tomamos la velocidad media: V = (V1+V2) / 2.

Sustituyendo en (4)

( ) ( ) ( )dL

VVVV

dL

VVV

dL

VV

V

dLVV

t

VVa

22··

21

221212121212 −

=+−

=−

=−

=∆−

=

Sustituyendo en (3)

dLdL

VV

gPer

AdL

ZZPP

·2

·1

·

· 21

22

2121 −

=−−+−γ

τγγ

Eliminando variables, sustituyendo a A/Per = RH (radio hidráulico) y agrupando las variables 1 a la izquierda, 2 a la derecha tenemos:

γτ

γγ ·

·

22

22

22

21

11

RH

dL

g

VZ

P

g

VZ

P +++=++

El valor de τ lo podemos obtener de la ecuación de arrastre:

g

VC

A

F

g

VACF DD 2

··,2

···22

γτγ ===

g

V

RH

dLC

RH

dL

g

VC

RH

dLDD 2

···

·2

···

· 22

==γ

γγ

τ

g

V

RH

dLC

g

VZ

P

g

VZ

PD 2

·22

222

22

21

11 +++=++

γγ

sol. sotelo cap. 4 y 8

Documents