Slido de revolucin

Un slido de revolucin es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operacin geomtrica de rotacin de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetra axial o cilndrica es un slido de revolucin.

Contenido

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianosEl volumen de los slidos generados por revolucin alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.Rotacin paralela al eje de abscisas (eje x)El volumen de un slido generado por el giro de un rea comprendida entre dos grficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresin y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente frmula genrica:

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del slido de revolucin viene generado por la frmula:

Rotacin paralela al eje de ordenadas (Eje y)ste es otro mtodo que permite la obtencin de volmenes de slidos generados por el giro de un rea comprendida entre dos grficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolucin paralelo al eje de ordenadas cuya expresin es x=K siendo K constante. La frmula general del volumen de estos slidos es:

Esta frmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del slido de revolucin viene generado por:

===TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS=== 'Existen dos teoremas ampliamente utilizados por los ingenieros de todo el mundo que permiten calcular el volumen y el area de un solido de revolucion si se conoce el centroide del mismo. Estos teoremas son conocidos como teoremas del centroide de Pappus-Guldinus. '

VOLUMENES DE SLIDOS DE REVOLUCION Los slidos de revolucin son slidos que se generan al girar una regin plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar un tringulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Calculo de volmenes Mtodo del disco. Si giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El volumen de este disco de radio R y de anchura es: Volumen del disco = wR2 Para ver

Mtodo del disco. Si giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El volumen de este disco de radio R y de anchura es: Volumen del disco = wR2

Para ver cmo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un slido de revolucin general, se hacen n particiones en la grafica.

Definicin

Sea una funcin definida en el intervalo .Recibe el nombre de slido de revolucin, el slido generado al girar alrededor del eje , la regin limitada por la grfica de , el eje y las grficas de y . El eje es un eje de simetra de dicho slido y una seccin recta perpendicular al eje es un crculo.

Para determinar el volumen de este tipo de slidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el rea de una regin, aproximando el ``volumen'' de un slido de revolucin por medio de una suma de volmenes de slidos ms elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los slidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definicin, el producto del rea de la base por el espesor (o altura).

Consideremos una particin del intervalo determinada por el conjunto de nmeros

donde , con . Sea un aumento de . Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y cuyas bases tienen radios .

El volumen del simo disco es:

La suma

de los volmenes de los discos nos da una aproximacin al volumen del slido de revolucin. Podemos suponer que mientras ms delgados sean los discos, mayor ser la aproximacin de la suma anterior al volumen del slido. Se tiene entonces la siguiente definicin:

Si existe un nmero tal que dada exista para la cual

para toda particin de y todo aumento de , y con , este nmero es el volumen del slido obtenido por revolucin del rea limitada por las grficas de alrededor del eje . Si es la funcin dada por para , entonces la suma de aproximacin:

utilizada en la definicin del volumen del slido de revolucin, puede escribirse como:

donde . Luego, de la definicin de integral y de la definicin de dada, se tiene que

Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado , tales que para . Sea la regin del plano limitada por las curvas con ecuaciones y las rectas con ecuaciones .

Deseamos determinar el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin alrededor del eje (note que en este caso no giramos la regin alrededor de una de sus fronteras). El slido generado se muestra en la siguiente figura:

Sea una particin del intervalo determinada por el conjunto de nmeros con para , y sea un aumento de . En este caso, los slidos elementales usados para obtener una suma de aproximacin del volumen del slido de revolucin, sern anillos circulares. Se muestra a continuacin el simo rectngulo y el simo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .

Luego, el rea del anillo circular es:

por lo que el volumen del simo elemento slido ser:

Entonces, la suma de aproximacin para el volumen del slido de revolucin es:

Puede suponerse que mientras ms delgados sean los anillos circulares, mayor ser la aproximacin de la suma anterior al volumen del slido. Definicin

Si existe un nmero tal que dada exista para la cual

para toda particin de y todo aumento de , y con , este nmero de es el volumen del slido obtenido por revolucin del rea limitada por las grficas de , , , , alrededor del eje .

Si es la funcin dada por para , entonces la suma de aproximacin

utilizada en la definicin 8, puede escribirse como:

donde , . Luego se tiene que:

IMGENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

Calculo de volmenes de slidos con los mtodos de rebanadas,Discos y anillos1. Encuentre el volumen del solido S descrito.a) Un cono circular recto con altura h y radio r de la baseb) Una pirmide con altura h y base rectangular con dimensiones b y2b.c) Un tetraedro con 3 caras mutuamente perpendiculares y tres aristasMutuamente perpendiculares con longitudes de 3 cm, 4 cm y 5 cm .d) La base de S es una regin elptica con la curva frontera9x2+4y2 = 36.Las secciones transversales perpendiculares al eje x son tringulosRectngulo issceles con la hipotenusa en la base.2. La base de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversalesParalelas, perpendiculares a la base, son tringulos issceles con altura hy lado desigual en la base.a) Establezca una integral para obtener el volumen de S.b) Interprete la integral como un rea y encuentre el volumen de S.3. Halle el volumen comn a dos esferas, cada una con radio r, si el centroDe cada una se encuentra sobre la superficie de la otra.4. Un tazn tiene una forma semejante a un hemisferio con un dimetro de30 cm. Se coloca una pelota con dimetro de 10 cm dentro del tazn y seVierte agua en este hasta una profundidad de h centmetros. Encuentre elvolumen del agua en el tazn.15. Algunos de los pioneros del clculo, Kepler y Newton por ejemplo, pensaronen el problema de determinar los volmenes de las barricas de vino.(Kepler de hecho en 1715 publico un libro dedicado a los mtodos para calcularesos volmenes con el ttulo Estereometra Doliorum.) En ocasionesAproximaban el perfil lateral con parbolas.a) Una barrica de altura h y radio mximo R se construye haciendogirar alrededor del eje de abscisas, la parbola y = R cx2,h2 _ x _h2, donde c es una constante positiva. Muestre que elRadio en los extremos del tonel es r = R d, con d = ch24.b) Muestre que el volumen comprendido esV = _h(2R2 + r2 25d2)6. Consideremos una regin R que tiene rea A situada arriba del eje x. AlGirar R alrededor del eje x, barrera un slido con volumen V1. Cuando RGira alrededor de la recta y = k (donde k es un numero positivo),barreUn slido de volumen V2. Exprese V2 en trminos V1,k y A.7. Obtenga la frmula del volumen de una esfera generada al hacer girarAlrededor del eje x la regin acotada por el crculo x2 +y2 = r2 y el eje x.8. Obtenga la frmula del volumen de un cono circular recto de altura h y unRadio de base a, generado al hacer girar la regin acotada por un triangulRectngulo alrededor de uno de los catetos.9. Calcule el volumen del slido generado cuando la regin limitada por laCurva y = csc x, el eje x y las rectas x = _6y x = _3Se gira alrededor delEje x.10. La regin acotada por la curva y = cot x, la recta x = _6, y el eje x giraAlrededor del eje x. Calcule el volumen del slido que se genera.11. Un tanque de aceite (de forma esfrica) tiene 20 cm de dimetro. CuntoAceite contiene si la profundidad del aceite es 8 metros?12. Un paraboloide de revolucin se obtiene por la rotacin de la parbolay2 = 4px alrededor del eje x. Encuentre el volumen limitado por unParaboloide de revolucin y un plano perpendicular a su eje si el planoSe encuentra a 10 cm del vrtice, y si la seccin plana de la interseccin esun circunferencia de 6 cm de radio.13. La base de un slido es la regin encerrada por una circunferencia conradio de 4 cm y todas las secciones planas perpendiculares a un dimetroFijo de la base, son tringulos issceles con altura de 10 cm y una cuerdaDel crculo como base. Obtenga el volumen del slido.214. La base de un slido es la regin acotada por una circunferencia con radioDe r unidades, y todas las secciones planas perpendiculares a un dimetroFijo de la base son tringulos issceles rectos, cuya hipotenusa est en elPlano de la base. Encuentre el volumen del slido.15. Resuelva el ejercicio anterior si los tringulos issceles rectos tienen unCateto en el plano de la base.16. Dos cilindros circulares rectos, ambos con radio r unidades, tienen ejesQue se cortan con ngulos rectos. Obtenga el volumen del slido comn aLos dos cilindros.17. Se corta una cua de un slido con forma de cilindro circular recto y radior cm, por medio de un plano a travs de un dimetro de la base, inclinado45o con respecto al plano de esta. Obtenga el volumen de la cua.18. Se corta una cua de un slido con forma de cono circular recto con baseDe radio igual a 5 m y una altura de 20 m, por medio de dos semiplanosQue contienen los ejes del cono. El Angulo entre los dos planos mide 30o.Determine el volumen de la cua.2. Clculo de volmenes mediante cascarones cilndricos1. Emplee cascarones cilndricos para calcular el volumen de los slidos queSe describen a continuacin.a) Una esfera de radio r.b) Un cono circular recto, con altura h y base de radio r.2. La regin limitada por las curvas x = y2 2yx = 6y2 gira alrededor deLos ejes indicados. Determine el volumen del slido generado.a) El eje x.b) El eje y.c) La recta x = 2.d) La recta y = 2.3. Halle el volumen del slido generado por el giro de la regin delimitadaPor la grafica de y = 4x x48, el eje y y la recta y = 6, con respecto a laRecta x = 2. .4. Obtenga el volumen del slido generado por la revolucin de la regin delEjercicio anterior con respecto al eje y.5. Obtenga el volumen del slido generado por la revolucin alrededor deleje y de la regin limitada por la grfica y = 3x x3, el eje x y la rectax = 1.36. Encuentre el volumen del slido generado por la rotacion, alrededor de laRecta y = 1, de la regin limitada por dicha recta y la parbola x2 = 4y.Considere elementos rectangulares de rea paralelos al eje de revolucin.7. Determine el volumen del slido generado por la rotacin, alrededor delEje, de la regin acotada por las curvas = x3 y x = y3. ConsidereElementos rectangulares de rea paralelos al eje de revolucin.8. Encuentre el volumen del slido generado por la rotacin, alrededor deleje y, de la regin limitada por la curva y = sen x2, el eje x y las rectasx =p_2y x =p_9. Calcule el volumen del slido generado por la rotacin, alrededor del eje,De la regin acotada por la curva x2/3 + y2/3 = a2/3.10. La regin del primer cuadrante delimitada por la curva x = cos y2, el eje yY el eje x, 0 _x_ 1, se hace girar alrededor del eje x. Obtenga el volumenDel slido de revolucin que se genera.11. A travs de un slido de forma esfrica de 6 cm de radio, se produce unOrificio de 2 cm de radio, y el eje del hueco es un dimetro de la esfera.Obtenga el volumen de la parte de la esfera que queda despus de laPerforacin.12. En un slido de forma esfrica de 4 plg de dimetro se hace un orificio de2p3 plg de radio. Halle el volumen de la porcin hueca del slido.13. Obtenga el volumen del slido generado por la revolucin con respecto alEje y de la regin delimitada por la grfica de y = |x 3|, y las rectasx = 1,x = 5 y y = 0. Considere elementos rectangulares de rea paralelosal eje de revolucin.14. Un slido de revolucin se forma al hacer girar alrededor del eje y laRegin delimitada por la curva y = 3px, el eje x y la recta x = c(c > 0).Tome elementos rectangulares de rea paralelos al eje de revolucin paraDeterminar un valor de c que produzca un volumen de 12 unidades cubicas.15. Calcule el volumen del slido generado por la revolucin alrededor del ejey, de la regin externa a la curva y = x2 situada entre las rectas y = 2x1y y = x + 2.16. Una esfera con radio de 10 cm es cortada por dos planos paralelos en elMismo lado del centro de la esfera. La distancia del centro de la esferaa uno de los planos es 1cm y la distancia entre los dos planos es 6 cm.Calcule el volumen de la porcin solida de la esfera entre los dos planos.