solocionari mates edebe segon batxiilerat 1-6
TRANSCRIPT
BATXILLERAT
Matemàtiques IIOrientacions i solucionari
BATXILLERAT
Matemàtiques II Orientacions i solucionari
C M
Y K
Matemàtiques IIBATXILLERAT
Matèria de
Projecte i edició: grup edebé
Direcció general: Antoni Garrido González
Direcció editorial: Josep Lluís Gómez Cutillas
Direcció d’edició de text: Maria Banal Martínez
Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Rosa Comabella Bernat
Direcció pedagògica: Santiago Centelles Cervera
Direcció de producció: Joan López Navarro
Equip d’edició d’edebé:
Edició: Josep Estela Herrero, Núria Lorente Pla, Pau Barberá Fábregas i Ferran Monsó Ferré
Pedagogia: Elsa Escolano Lumbreras
Il·lustració: Robert Maas Olives
Correccions: Núria Casals Campmany i Rosana Rodríguez Marzo
Coberta: Lluís Vilardell Panicot
Col·laboradors:
Text: Carolina Estudillo Pérez, Raquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierra
Dibuixos: Luis Bogajo Peñarroya
Preimpressió: Tecfa
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública otransformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorit-zació dels seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei.Adreceu-vos a CEDRO (www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar oescanejar cap fragment d’aquesta obra.
És propietat de grup edebé
© grup edebé, 2009
Passeig Sant Joan Bosco, 62
08017 Barcelona
www.edebe.com
ISBN 978-84-236-9522-5
Dipòsit Legal. B. 28.753-2009Imprès a Espanya
Printed in Spain
Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.
Aquest llibre forma part del projecte editorial Edebé i ha estat elaborat segons les disposicions inormes curriculars que desenvolupen la Llei Orgànica d’Educació (LOE) de 3 de maig de 2006.
Modalitat de Ciències i TecnologiaSegon curs de Batxillerat
Orientacions i solucionari
ÍNDEX
Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Àlgebra lineal
Unitat 1. Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Unitat 2. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Unitat 3. Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Geometria
Unitat 4. Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Unitat 5. Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Unitat 6. Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Unitat 7. Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Anàlisi
Unitat 8. Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Unitat 9. Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Unitat 10. Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Unitat 11. Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Unitat 12. Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3ÍNDEX
Orientacions didàctiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Solucionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Àlgebra lineal
Unitat 1.Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Unitat 2.Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Unitat 3.Sistemes d'equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Geometria
Unitat 4.Vectors en l'espai (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
Unitat 5.Vectors en l'espai (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Unitat 6.Geometria afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Unitat 7.Geometria mètrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Anàlisi
Unitat 8.Límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Unitat 9.Continuïtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
Unitat 10.Derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
Unitat 11.Aplicacions de les derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
Unitat 12.Integrals i aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230
Propostes d’avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
Treball de recerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
3
C M
Y K
11
1. Matrius
Hem transformat B en una matriu esglaonada amb unaúnica fila no nul.la. Aleshores, rang (B) � 1.
C no és esglaonada i, per tant, hem de transformar-laen esglaonada:
— L’element a11 ja és igual a 1.
— Fem 0 els altres elements de la primera columna su-mant a cada fila la primera multiplicada pel nom-bre real apropiat:
— Posem les files nul.les al final perquè la matriu pu-gui ser esglaonada:
Com que hem obtingut una matriu esglaonada ambdues files no nul.les, rang (C) � 2.
2. OPERACIONS AMB MATRIUS
4. a)
b) A B C A B C+ + = + + =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
( )
6 11 8
3 18 7
1 3 0
1 2 1==
=− + ++ + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠
6 1 11 3 8 0
3 1 18 2 7 1
5 14 8
4 20 8⎟⎟
A B+ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=+ + ++
2 5 1
3 9 0
4 6 7
0 9 7
2 4 5 6 1 7
3 0 99 9 0 7
6 11 8
3 18 7+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1 2 3
0 8 10 17
0 0 0 0
0 0 0 0
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 ↔ F4
———�
1 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 8 10 17
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 8 10 17
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1
F3 → F3 + F1
F4 → F4 − 5 F1
——————�
1 1 2 3
2 2 4 6
1 1 2 3
5 3 0 2
−−
− − −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1. MATRIUS NUMÈRIQUES
1. La matriu A té 3 files i 4 columnes. Per tant, la seva di-mensió és 3 � 4.
L’element aij és el que ocupa la fila i-èsima i la colum-na j-èsima, d’on:
2. Resposta suggerida:
a)
b)
c)
d)
3. A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul.les. Ales-hores, rang (A) � 3.
B no és esglaonada i, per tant, hem d’aplicar-li trans-formacions elementals fins a convertir-la en esglaonada.
— L’element a11 ja és igual a 1.
— Sumem a cada fila k-èsima, k � 1, i multipliquem laprimera per �ak1 perquè els elements de la prime-ra columna, excepte a11, siguin 0:
1 1 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 + (−a21 F1) = F2 − 2 F1
F3 → F3 + (−a31 F1) = F3 + F1
——————————————�
1 1 4 3
2 2 8 6
1 1 4 3
−−
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0 0 0 0
0 0 0 0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 0 0
0 0 0 6
0 0 0 0
0
0
0
0
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜ −
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
2 0 0 0
0 1 0 0
312
1 0
1 0 2 3
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1 3 2
0 1 0
0 0 3
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
a a a13 34 23023
2= = =; ;
Matrius1
11
1. M
atriu
s
Hem transformat B en una matriu esglaonada amb unaúnica fila no nul.la. Aleshores, rang (B) �1.
C no és esglaonada i, per tant, hem de transformar-laen esglaonada:
—L’element a11ja és igual a 1.
—Fem 0 els altres elements de la primera columna su-mant a cada fila la primera multiplicada pel nom-bre real apropiat:
—Posem les files nul.les al final perquè la matriu pu-gui ser esglaonada:
Com que hem obtingut una matriu esglaonada ambdues files no nul.les, rang (C) �2.
2.OPERACIONS AMB MATRIUS
4.a)
b)ABCABC ++=++=
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
()
6118
3187
130
121==
=−+++++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠
6111380
3118271
5148
4208⎟⎟
AB +=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=++++
251
390
467
097
245617
3099907
6118
3187 ++⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1123
081017
0000
0000
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2↔F4
———�
1123
0000
0000
081017
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1123
0000
0000
081017
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1
F3→F3+F1
F4→F4−5 F1
——————�
1123
2246
1123
5302
−−
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1.MATRIUS NUMÈRIQUES
1.La matriu A té 3 files i 4 columnes. Per tant, la seva di-mensió és 3 �4.
L’element aijés el que ocupa la fila i-èsima i la colum-na j-èsima, d’on:
2.Resposta suggerida:
a)
b)
c)
d)
3.A és una matriu esglaonada i té 3 files no nul.les. Ales-hores, rang (A) �3.
B no és esglaonada i, per tant, hem d’aplicar-li trans-formacions elementals fins a convertir-la en esglaonada.
—L’element a11ja és igual a 1.
—Sumem a cada fila k-èsima, k �1, i multipliquem laprimera per �ak1perquè els elements de la prime-ra columna, excepte a11, siguin 0:
1143
0000
0000
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2+(−a21F1) =F2−2 F1
F3→F3+(−a31F1) =F3+F1
——————————————�
1143
2286
1143
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0000
0000⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2000
0500
0000
0006
0000
0
0
0
0
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜−
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
2000
0100
312
10
1023
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
132
010
003
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
aaa 133423 023
2 === ;;
Matrius 1
C M
Y K
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)BACBAC −−=−−=
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
−66
216
3076
130
1
()
221
216
307
6180
6126
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
==−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8176
9121 –
545251
3904
467
097
10255
1
AB +=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=55450
162428
03628
264933
158128⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎝⎜
⎞⎠⎟
()()
()
−=−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−⋅−−⋅−⋅
−
44130
121
414340
4
C
⋅⋅−⋅−⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−
−−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
14241
4120
484
33467
097
343637
303937B=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
==⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
121821
02721
22251
390
222521
232920A=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
==⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4102
6180
BCCB −=−−=
=−−−−
−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
−⎛
⎝⎜
()
537
176
537
176
⎞⎞
⎠⎟
CBCB −=+−=
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
−−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
()
130
121
467
097==
=−−−−
+−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−−−−−
⎛
⎝⎜
143607
102917
537
176
⎞⎞
⎠⎟
BABA −=+−=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
−−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
()
467
097
251
390
==−−−−−+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
426571
039970
216
307
ABAB −=+−=
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
−−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
()
251
390
467
097
==−−−+−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
245617
309907
216
307
l)
5.a)
b)
c)
d)
6.és la matriu identitat d’ordre 3,
A = I; per tant, per a tota matriu B d’ordre 3 es com-pleix:
A ⋅B =B ⋅A =B
En particular, per a B = I (= A) es compleix:
A ⋅I =I ⋅A =I
Per tant: A−1=I =A
A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
001
2
250
23
34
76
98
21
() BAC +⋅=
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
250
23
39423841
796227861
250
23
3528
756
⋅+⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
22
2535028
2753622
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
=++++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
44028
7565
240228
277265
805
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=⋅⋅⋅⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
66
154130⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ABCABC ⋅⋅=⋅⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=
()34
76
4540
2419
3345424340419
745624740619
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟==
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
231196
459394
BC⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=⋅+⋅⋅+⋅⋅
50
23
98
21
59025801
299322831
4540
2419 +⋅⋅+⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
AB⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=⋅+⋅⋅+⋅⋅
34
76
50
23
35423043
755627063
2312
4718 +⋅⋅+⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
523
55223
782
()() CBCAB
CBCAB
CBA
−+−−==−+−−=
=−−=77130
121
8467
0972
251
3–
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
990
7210
7147
324856
07256
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−−−−−−−
4102
6180
732421481005622
7061472187560
433758
176
−−−−−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−−−
−−449
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
1. Matrius
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i)
j)
k) B A C B A C− − = − − =
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−6 6
2 1 6
3 0 76
1 3 0
1
( )
22 1
2 1 6
3 0 7
6 18 0
6 12 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
==−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8 17 6
9 12 1–
5 4 52 5 1
3 9 04
4 6 7
0 9 7
10 25 5
1
A B+ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=55 45 0
16 24 28
0 36 28
26 49 33
15 81 28⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎝⎜
⎞⎠⎟
( ) ( )
( )
− = −−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− ⋅ − − ⋅ − ⋅
−
4 41 3 0
1 2 1
4 1 4 3 4 0
4
C
⋅⋅ − ⋅ − ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−
− − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 4 2 4 1
4 12 0
4 8 4
3 34 6 7
0 9 7
3 4 3 6 3 7
3 0 3 9 3 7B =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
==⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12 18 21
0 27 21
2 22 5 1
3 9 0
2 2 2 5 2 1
2 3 2 9 2 0A =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
==⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4 10 2
6 18 0
B C C B− = − − =
= −− − −
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−⎛
⎝⎜
( )
5 3 7
1 7 6
5 3 7
1 7 6
⎞⎞
⎠⎟
C B C B− = + − =
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
− − −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )
1 3 0
1 2 1
4 6 7
0 9 7==
=− − − −
+ − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
− − −− −
⎛
⎝⎜
1 4 3 6 0 7
1 0 2 9 1 7
5 3 7
1 7 6
⎞⎞
⎠⎟
B A B A− = + − =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
− − −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( )
4 6 7
0 9 7
2 5 1
3 9 0
==− − −− − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4 2 6 5 7 1
0 3 9 9 7 0
2 1 6
3 0 7
A B A B− = + − =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
− − −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( )
2 5 1
3 9 0
4 6 7
0 9 7
==− − −+ − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
− − −−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 4 5 6 1 7
3 0 9 9 0 7
2 1 6
3 0 7
l )
5. a)
b)
c)
d)
6. és la matriu identitat d’ordre 3,
A = I; per tant, per a tota matriu B d’ordre 3 es com-pleix:
A ⋅ B = B ⋅ A = B
En particular, per a B = I (= A) es compleix:
A ⋅ I = I ⋅ A = I
Per tant: A−1 = I = A
A =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
25 0
2 3
3 4
7 6
9 8
2 1
( )B A C+ ⋅ =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅
25 0
2 3
3 9 4 2 3 8 4 1
7 9 6 22 7 8 6 1
25 0
2 3
35 28
75 6
⋅ + ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+22
25 35 0 28
2 75 3 622
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
=+ ++ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=440 28
75 65
2 40 2 28
2 77 2 65
80 5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=⋅ ⋅⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=66
154 130⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
( )3 4
7 6
45 40
24 19
33 45 4 24 3 40 4 19
7 45 6 24 7 40 6 19
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
==
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
231 196
459 394
B C⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅
5 0
2 3
9 8
2 1
5 9 0 2 5 8 0 1
2 99 3 2 2 8 3 1
45 40
24 19+ ⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A B⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅
3 4
7 6
5 0
2 3
3 5 4 2 3 0 4 3
7 55 6 2 7 0 6 3
23 12
47 18+ ⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 2 3
5 5 2 2 3
7 8 2
( ) ( )C B C A B
C B C A B
C B A
− + − − == − + − − =
= − − = 771 3 0
1 2 1
84 6 7
0 9 72
2 5 1
3–
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
99 0
7 21 0
7 14 7
32 48 56
0 72 56
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− − − − − − −
4 10 2
6 18 0
7 32 4 21 48 10 0 56 22
7 0 6 14 72 18 7 56 0
43 37 58
1 76
− − − − − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− − −
− −449
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
1. M
atriu
s
CM
YK
Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions:
La solució és:
La inversa de B és:
Calculem C�1 pel mètode de Gauss-Jordan.
La matriu ampliada és:
L’element a11 ja és igual a 1.
Anul.lem els altres elements de la primera colum-na:
Transformem en 1 l’element a22:
1 0 3 3
0 1 2 2
0 1 1 1
0 1 9 14
1 0 0 0
12
12
0 0
1 0 1 0
3 0 0 1
− − − −
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F F2 212
→
1 0 3 3
0 2 4 4
0 1 1 1
0 1 9 14
1 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
3 0 0 1
− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 + F1
F3 → F3 − F1
F4 → F4 + 3 F1
——————�
1 0 3 3
1 2 1 1
1 1 2 2
3 1 0 5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
B− =
− −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1
38
118
12
032
12
18
98
12
c f i= − = =12
12
12
b e h= − = =118
32
98
a d g= = = −38
018
g h i
g h i
− + =+ − =
3 3 0
2 2 4 0
gg h i− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪3 9 1
3 3 1
2 2 4 0
3 9 0
3 3 0
2
a b c
a b c
a b c
d e f− + =+ − =
− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
− + =dd e f
d e f
+ − =− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2 4 1
3 9 0
Calculem B�1 a partir de la definició:
= a ⋅ 3 + b ⋅ (−1) + c ⋅ 3 = 1
= a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ (−4) = 0
= a ⋅ 1 + b ⋅ (−3) + c ⋅ 9 = 0
= d ⋅ 3 + e ⋅ (−1) + f ⋅ 3 = 0
= d ⋅ 2 + e ⋅ 2 + f ⋅ (−4) = 1
= d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0
= g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0
= g ⋅ 2 + h ⋅ 2 + i ⋅ (−4) = 0
= g ⋅ 1 + h ⋅ (−3) + i ⋅ 9 = 1
F C g h i3 3
1
3
9
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C g h i3 2
2
2
4
⋅ = ⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C g h i3 1
3
1
3
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C d e f2 3
1
3
9
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C d e f2 2
2
2
4
⋅ = ⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C d e f2 1
3
1
3
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C a b c1 3
1
3
9
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C a b c1 2
2
2
4
⋅ = ⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
F C a b c1 1
3
1
3
⋅ = ⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( )
, és a dir:=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B B B B
a b c
d e f
g h i
⋅ = ⋅ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
− −−
− −1 1
3 2 1
1 2 3
3 44 9
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
és la matriu que compleix:B
a b c
d e f
g h i
− =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
13
1. Matrius
————�
Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d’equacions:
La solució és:
La inversa de B és:
Calculem C�1pel mètode de Gauss-Jordan.
La matriu ampliada és:
L’element a11ja és igual a 1.
Anul.lem els altres elements de la primera colum-na:
Transformem en 1 l’element a22:
1033
0122
0111
01914
1000
12
12
00
1010
3001
−−−−
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
FF 2212
→
1033
0244
0111
01914
1000
1100
1010
3001
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→F2+F1
F3→F3−F1
F4→F4+3 F1
——————�
1033
1211
1122
3105
1000
0100
0010
0001
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
B−=
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1
38
118
12
032
12
18
98
12
cfi =−==12
12
12
beh =−==118
32
98
adg ===−38
018
ghi
ghi
−+=+−=
330
2240
gghi −+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪ 391
331
2240
390
330
2
abc
abc
abc
def −+=+−=
−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−+=ddef
def
+−=−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
241
390
Calculem B�1a partir de la definició:
=a⋅3 +b ⋅(−1) +c⋅3 =1
=a ⋅2 +b ⋅2 +c ⋅(−4) =0
=a ⋅1 +b ⋅(−3) +c ⋅9 =0
=d ⋅3 +e ⋅(−1) +f ⋅3 =0
=d ⋅2 +e ⋅2 +f ⋅(−4) =1
=d ⋅1 +e ⋅(−3) +f ⋅9 =0
=g ⋅3 +h ⋅(−1) +i ⋅3 =0
=g ⋅2 +h ⋅2 +i ⋅(−4) =0
=g ⋅1 +h ⋅(−3) +i ⋅9 =1
FCghi 33
1
3
9
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
FCghi 32
2
2
4
⋅=⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ()
FCghi 31
3
1
3
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
FCdef 23
1
3
9
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
FCdef 22
2
2
4
⋅=⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ()
FCdef 21
3
1
3
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
FCabc 13
1
3
9
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
FCabc 12
2
2
4
⋅=⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ()
FCabc 11
3
1
3
⋅=⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟= ()
, és a dir: =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
001
BBBB
abc
def
ghi
⋅=⋅=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−−−
−− 11
321
123
3449
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
és la matriu que compleix: B
abc
def
ghi
−=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
13
1. M
atriu
s
————�
C M
Y K
Anul.lem els altres elements de la segona columna:
L’element a33ja és 1.
Anul.lem els altres elements de la tercera columna:
Fem que l’element a44sigui 1:
Anul.lem els altres elements de la quarta columna:
La inversa de C és:
C−=
−−
−−
−−
−−
1
52
32
30
32
12
20
1710
1310
125
15
65
45
75
115
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
100052
32
30
010032
12
20
00101710
1310
125
15
−−
−−
−−
0000165
45
75
15
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3→F3−F4
——————�
100052
32
30
010032
12
20
001112
12
10
000165
4
−−
−−
−
−55
75
15
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
FF 4415
→
100052
32
30
010032
12
20
001112
12
10
000564
−−
−−
−
−−771
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1→F1−3 F3
F2→F2−2 F3
F4→F4−7 F3
——————�
10331000
012212
12
00
001112
12
10
0071252
−
−112
01
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3→F3+F2
F4→F4−F2
—————�
7.
8.Per veure que (At)�1�(A�1)t, calcularem (At)�1i(A�1)t, i veurem que són iguals.
•Càlcul de (At)�1:
Calculem (At)�1usant el mètode de Gauss-Jordan:
•Càlcul de (A�1)t:
Calculem A�1a partir de la definició:
,
és a dir:
La solució d’aquest sistema és:
. A−=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
0
14
12
Per tant:
abcd ===−=12
014
12
;;;
21
20
20
21
ab
b
cd
d
+==
⎫⎬⎭
+==
⎫⎬⎭
,
AAab
cd
ab
−⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=⋅+⋅
120
12
21102
2102
1 ab
cdcd
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
00
01⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ha de complir: Aab
cd−=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
() At−=
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
14
012
Aleshores,
1012
14
01012
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FFF 11212
→−
112
12
0
01012
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
112
12
0
01012
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF
FF
11
22
1212
→
→2110
0201⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
At
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
21
02és A=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
20
12La transposada de
At
t
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
200
122
351
213
025
021
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ B
tt
240
131
21
43
01⎟⎟
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ C
t
t10
12
11
111
021
14
1. Matrius
————�
——————�————�
Anul.lem els altres elements de la segona columna:
L’element a33 ja és 1.
Anul.lem els altres elements de la tercera columna:
Fem que l’element a44 sigui 1:
Anul.lem els altres elements de la quarta columna:
La inversa de C és:
C− =
− −
− −
− −
− −
1
52
32
3 0
32
12
2 0
1710
1310
125
15
65
45
75
115
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 0 0 052
32
3 0
0 1 0 032
12
2 0
0 0 1 01710
1310
125
15
− −
− −
− −
00 0 0 165
45
75
15
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 − F4
——————�
1 0 0 052
32
3 0
0 1 0 032
12
2 0
0 0 1 112
12
1 0
0 0 0 165
4
− −
− −
−
−55
75
15
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F F4 415
→
1 0 0 052
32
3 0
0 1 0 032
12
2 0
0 0 1 112
12
1 0
0 0 0 5 6 4
− −
− −
−
− −77 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1 → F1 − 3 F3
F2 → F2 − 2 F3
F4 → F4 − 7 F3
——————�
1 0 3 3 1 0 0 0
0 1 2 212
12
0 0
0 0 1 112
12
1 0
0 0 7 1252
−
− 112
0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 + F2
F4 → F4 − F2
—————�
7.
8. Per veure que (At)�1 � (A�1)t, calcularem (At)�1 i(A�1)t, i veurem que són iguals.
• Càlcul de (At)�1:
Calculem (At)�1 usant el mètode de Gauss-Jordan:
• Càlcul de (A�1)t:
Calculem A�1 a partir de la definició:
,
és a dir:
La solució d’aquest sistema és:
.A − =−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
0
14
12
Per tant:
a b c d= = = − =12
014
12
; ; ;
2 1
2 0
2 0
2 1
a b
b
c d
d
+ ==
⎫⎬⎭
+ ==
⎫⎬⎭
,
A Aa b
c d
a b
− ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=⋅ + ⋅
1 2 0
1 2
2 11 0 2
2 1 0 2
1a b
c d c d
⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=00
0 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ha de complir:Aa b
c d− =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
( )At − =−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
14
012
Aleshores,
1 012
14
0 1 012
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F F1 1 212
→ −
112
12
0
0 1 012
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
112
12
0
0 1 012
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F
F F
1 1
2 2
1212
→
→2 1 1 0
0 2 0 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
At =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 1
0 2és A =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 0
1 2La transposada de
At
t
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
2 0 0
1 2 2
3 5 1
2 1 3
0 2 5
0 2 1
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟Bt
t2 4 0
1 3 1
2 1
4 3
0 1⎟⎟
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Ct
t1 0
1 2
1 1
1 1 1
0 2 1
14
1. M
atriu
s
————�
——————�————�
CM
YK
b ) El producte de la matriu associada al graf per ellamateixa és tal que cada component aij ens indica elnombre de connexions que hi ha entre l’antena cor-responent a la fila i i la corresponent a la j passantper una altra antena, que és el que ens demanen:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
11. Ho resoldrem a partir de les definicions de les opera-cions:
tal que A2 ⋅ X − B = C.
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
Efectuem les operacions:
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 4
0 1
2−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠
1 2
0 1
1 4
0 1
2a b
c d⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a b
c d
a c b d
c d
4 4
1 2
0 1
2
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− − − +
−
a b
c d
a c b d
c
2 1
1 1
4 2 4 1
1 dd −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1 2
0 1
2 1
1 1
3 12
0
2−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−a b
c d 55
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Xa b
c d=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Busquem la matriu
A2
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅00 0 0
1 1 0 0
3 1 0 1
1 2 1 1
0 1 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=
A B C D
11 1 1 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
A B C D
A⇒ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
⇒
Nombre de connexions
A → A (0) A → B (1) A → C (1) A → D (1)B → A (1) B → B (0) B → C (0) B → D (1)C → A (1) C → B (0) C → C (0) C → D (0)D → A (1) D → B (1) D → C (0) D → D (0)
.
Finalment, comprovem que
Nota: La igualtat (At)�1 � (A�1)t és certa per a tota ma-triu invertible.
3. APLICACIONS
9. En un graf, els elements es representen amb punts, i larelació d’un element amb un altre, mitjançant una cor-ba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aques-ta relació és:
La matriu associada a un graf té tantes files i tantescolumnes com punts tingui el graf, cadascuna associa-da a un dels punts. L’element aij de la matriu és:
— 1 si l’element (del conjunt) corresponent a la fi-la i està relacionat amb el corresponent a la columnaj.
— 0 en cas contrari.
La matriu associada al nostre graf és:
10. a) Al graf de la figura podem associar-li una matriu A en què cada element indica el nombre de con-nexions entre dos elements que formen un sistemade radiocomunicació.
−− ⎛
⎝
10 0 4 9
10
0
4
9
0 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
–10 9
40
( ) ( )A At t− −=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=1 1
12
14
012
( )A t− =−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
14
012
La transposada de A−1 és
15
1. Matrius
b)El producte de la matriu associada al graf per ellamateixa és tal que cada component aijens indica elnombre de connexions que hi ha entre l’antena cor-responent a la fila i i la corresponent a la j passantper una altra antena, que és el que ens demanen:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
11.Ho resoldrem a partir de les definicions de les opera-cions:
tal que A2⋅X −B =C.
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
Efectuem les operacions:
12
01
12
01
12
01
14
01
2− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− ⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠
12
01
14
01
2ab
cd⎟⎟⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ab
cd
acbd
cd
44
12
01
2
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−−−+
−
ab
cd
acbd
c
21
11
4241
1dd−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
12
01
21
11
312
0
2− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− ab
cd55
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Xab
cd=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ Busquem la matriu
A2
0111
1001
1000
1100
0111
1001
1=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅0000
1100
3101
1211
0111
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=
ABCD
11112
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
ABCD
A ⇒=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
0111
1001
1000
1100 ⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
⇒
Nombre de connexions
A →A (0)A →B (1)A →C (1)A →D (1)B →A (1)B →B (0)B →C (0)B →D (1)C →A (1)C →B (0)C →C (0)C →D (0)D →A (1)D →B (1)D →C (0)D →D (0)
.
Finalment, comprovem que
Nota:La igualtat (At)�1�(A�1)tés certa per a tota ma-triu invertible.
3.APLICACIONS
9.En un graf, els elements es representen amb punts, i larelació d’un element amb un altre, mitjançant una cor-ba del primer al segon. Per tant, un graf associat a aques-ta relació és:
La matriu associada a un graf té tantes files i tantescolumnes com punts tingui el graf, cadascuna associa-da a un dels punts. L’element aij de la matriu és:
—1 si l’element (del conjunt) corresponent a la fi-la i està relacionat amb el corresponent a la columnaj.
—0 en cas contrari.
La matriu associada al nostre graf és:
10.a)Al graf de la figura podem associar-li una matriu A en què cada element indica el nombre de con-nexions entre dos elements que formen un sistemade radiocomunicació.
−−⎛
⎝
10049
10
0
4
9
0000
1000
1100
1110
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
–109
4 0
()() AAtt −− =
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=11
12
14
012
() At −=
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
12
14
012
La transposada de A−1és
15
1. M
atriu
s
C M
Y K
Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que:
Per definició d’igualtat de matrius:
Els sistemes tenen com a solució:
a =9 b =11 c =1 d =6
12.Usarem les definicions de les operacions entre matrius.
que compleixi A2⋅X +B =0.
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
Si operem el membre de l’esquerra:
Hem de resoldre, doncs:
Per definició d’igualtat entre matrius:
Els sistemes tenen com a solució:
a =2 b =−1 c =−2 d =2
La matriu buscada és, doncs:
Xab
cd=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
21
22
a
ac
b
bd
−=+−=
⎫⎬⎭
+=++=
⎫⎬⎭
20
6100
10
640
ab
acbd
−++−++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
21
61064
00
00
10
31
10
31
10
31
10
61
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
10
31
10
61
2ab
cd
abb
cd
ab
acbd
a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=++
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
66
10
31
2bb
cd
ab
acbd
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−+
+−+
21
104
21
6106++⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 4
10
31
21
104
00
0
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
ab
cd00
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Xab
cd=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ Busquem una matriu
Xab
cd=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
911
16La matriu buscada és
ac
c
bd
d
−−=−=
⎫⎬⎭
−+=−−=
⎫⎬⎭
423
10
4112
15
acbd
cd
−−−+−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4241
11
312
05
13.Usarem les propietats de les operacions entre ma-trius.
Si A té inversa, A�1, i multipliquem per l’esquerra perA�1els dos membres de la igualtat, obtenim:
Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius,A�1�4 C �4 A�1�C; aleshores, queda l’equa-ció:
X ⋅B =4 A−1⋅C
Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta elsdos membres de la igualtat anterior per la inversa deB, B�1:
Per tant, la matriu buscada és X �4 A�1�C �B�1.
Per efectuar aquestes operacions, calculem A�1i B�1
pel mètode de Gauss-Jordan:
1014
18
0114
38
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
− IB�
11�
FFF 11213
→−
113
13
0
0114
38
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF 2238
→
113
13
0
083
23
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2+2 F1
——————�
113
13
0
2201 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF 1113
→
BI ��3110
2201 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1012
14
01012
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
− IA�
11�
FFF 11212
→−
112
12
0
01012
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF
FF
11
22
1212
→
→−
2110
0201 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
AI��
XBBI
ACB ⋅⋅=⋅⋅ −−− 1114 �����
AAI
XBAC −− ⋅⋅⋅=⋅11
4 �����
16
1. Matrius
—————�
——————�
————�
——————�
————�
Hem de trobar els nombres reals a, b, c, d tals que:
Per definició d’igualtat de matrius:
Els sistemes tenen com a solució:
a = 9 b = 11 c = 1 d = 6
12. Usarem les definicions de les operacions entre matrius.
que compleixi A2 ⋅ X + B = 0.
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
Si operem el membre de l’esquerra:
Hem de resoldre, doncs:
Per definició d’igualtat entre matrius:
Els sistemes tenen com a solució:
a = 2 b = −1 c = −2 d = 2
La matriu buscada és, doncs:
Xa b
c d=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 1
2 2
a
a c
b
b d
− =+ − =
⎫⎬⎭
+ =+ + =
⎫⎬⎭
2 0
6 10 0
1 0
6 4 0
a b
a c b d
− ++ − + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 1
6 10 6 4
0 0
0 0
1 0
3 1
1 0
3 1
1 0
3 1
1 0
6 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅1 0
3 1
1 0
6 1
2 a b
c d
a bb
c d
a b
a c b d
a
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=+ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
6 6
1 0
3 1
2 bb
c d
a b
a c b d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=− +
+ − +
2 1
10 4
2 1
6 10 6 ++⎛⎝⎜
⎞⎠⎟4
1 0
3 1
2 1
10 4
0 0
0
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
a b
c d 00
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Xa b
c d=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Busquem una matriu
Xa b
c d=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
9 11
1 6La matriu buscada és
a c
c
b d
d
− − =− =
⎫⎬⎭
− + = −− =
⎫⎬⎭
4 2 3
1 0
4 1 12
1 5
a c b d
c d
− − − +− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
4 2 4 1
1 1
3 12
0 5
13. Usarem les propietats de les operacions entre ma-trius.
Si A té inversa, A�1, i multipliquem per l’esquerra perA�1 els dos membres de la igualtat, obtenim:
Per l’associativitat entre el producte d’escalars i matrius,A�1 � 4 C � 4 A�1 � C; aleshores, queda l’equa-ció:
X ⋅ B = 4 A−1 ⋅ C
Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta elsdos membres de la igualtat anterior per la inversa deB, B�1:
Per tant, la matriu buscada és X � 4 A�1 � C � B�1.
Per efectuar aquestes operacions, calculem A�1 i B�1
pel mètode de Gauss-Jordan:
1 014
18
0 114
38
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−I B�
11�
F F F1 1 213
→ −
113
13
0
0 114
38
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F2 238
→
113
13
0
083
23
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 + 2 F1
——————�
113
13
0
2 2 0 1−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F1 113
→
B I� �3 1 1 0
2 2 0 1−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 012
14
0 1 012
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−I A�
11�
F F F1 1 212
→ −
112
12
0
0 1 012
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F
F F
1 1
2 2
1212
→
→ −
2 1 1 0
0 2 0 1−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A I� �
X B BI
A C B⋅ ⋅ = ⋅ ⋅− − −1 1 14��� ��
A AI
X B A C− −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 1 4��� ��
16
1. M
atriu
s
—————�
——————�
————�
——————�
————�
CM
YK
A3 = A ⋅ A ⋅ A = A2 ⋅ A =
.
Comprovem-ho amb el mètode d’inducció completa.
— Demostrem que és certa per a n � 1:
Això, efectivament, es compleix.
— Suposem que és certa per a n � k (hipòtesi d’in-ducció):
— Comprovem que, si és certa per a n � k, és certa pera n � k � 1:
Ak + 1 = Ak ⋅ A =
Efectivament, hem obtingut el resultat que prete-níem demostrar.
16. Si I és la matriu identitat d’ordre 3,
podem expressar A = k I.
Busquem una candidata a expressió general de An temp-tejant:
A2 = A ⋅ A = (k I) ⋅ (k I) = k ⋅ k I ⋅ I = k2 I
A3 = A2 ⋅ A = (k2 I) ⋅ (k I) = k2 ⋅ k I ⋅ I = k3 I
Proposem que l’expressió general de An és
An = kn I
Demostrem que aquesta identitat és certa per inducciósobre n:
— És certa per a n = 1:
A1 = A = k I = k1 I
I =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=1 0 0
0 1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 0
k
00
0 1 0
1 0 1k +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
k
k =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 1
A A1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
A
n
n =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
0 1Així, proposem com a solució
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=1 0 0
0 1 0
2 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 0 00
0 1 0
3 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A A A2
1 0 0
0 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
= ⋅ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 1 0
2 0 1
Ja podem efectuar els càlculs que ens donaran la ma-triu X:
X = 4 �−1 ⋅ C ⋅ B−1 =
14. Usarem les propietats de les operacions amb matrius.
Si A és invertible, podem multiplicar la igual-tat A � X � A � I per la inversa de A, A�1, per tots doscostats:
X = A−1 ⋅ A−1 = (A−1)2
Per tant, per a calcular X n’hi ha prou de calcular la in-versa de A, per exemple amb el mètode de Gauss-Jor-dan, i multiplicar-la per ella mateixa:
Així, X = A−1 ⋅ A−1 =
15. Calculem les tres primeres potències de A:
A A1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
= =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 0 2
0 0 1
0 1 0
1 0 2
0 0 1
0 1 0⎟⎟=
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 2
0 1 0
0 0 1
1 0 0 1 0 2
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
I���� �� � �� ��
A−1
F1 → F1 − 2 F2
——————�
1 2 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 ↔ F3
———�
A I�� � �� �1 2 0 1 0 0
00 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A AI
X A AI
A I− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1 1 1��� �� ��� �� A −1
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−4
12
14
012
1 1
0 4
14
188
14
38
4
12
14
012
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
12
14
132
40
14
122
34
0 1
2 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
17
1. Matrius
A3=A ⋅A ⋅A =A2⋅A =
.
Comprovem-ho amb el mètode d’inducció completa.
—Demostrem que és certa per a n �1:
Això, efectivament, es compleix.
—Suposem que és certa per a n �k (hipòtesi d’in-ducció):
—Comprovem que, si és certa per a n �k, és certa pera n �k �1:
Ak +1=Ak⋅A =
Efectivament, hem obtingut el resultat que prete-níem demostrar.
16.Si I és la matriu identitat d’ordre 3,
podem expressar A =k I.
Busquem una candidata a expressió general de Antemp-tejant:
A2=A ⋅A =(k I) ⋅(k I) =k ⋅k I ⋅I =k2I
A3=A2⋅A =(k2I) ⋅(k I) =k2⋅k I ⋅I =k3I
Proposem que l’expressió general de Anés
An=knI
Demostrem que aquesta identitat és certa per inducciósobre n:
—És certa per a n =1:
A1=A =k I =k1I
I=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
001
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=100
010
01
100
010
101
10
k
00
010
101 k+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
k
k=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
01
AA1
100
010
101
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
A
n
n=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
01Així, proposem com a solució
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=100
010
201
100
010
101
1000
010
301
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
AAA2
100
010
101
100
010
101
=⋅=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
010
201
Ja podem efectuar els càlculs que ens donaran la ma-triu X:
X =4 �−1⋅C ⋅B−1=
14.Usarem les propietats de les operacions amb matrius.
Si A és invertible, podem multiplicar la igual-tat A �X �A �I per la inversa de A, A�1, per tots doscostats:
X =A−1⋅A−1=(A−1)2
Per tant, per a calcular X n’hi ha prou de calcular la in-versa de A, per exemple amb el mètode de Gauss-Jor-dan, i multiplicar-la per ella mateixa:
Així, X =A−1⋅A−1=
15.Calculem les tres primeres potències de A:
AA1
100
010
101
==⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
102
001
010
102
001
010⎟⎟=
−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
122
010
001
100102
010001
001010
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
I�����������
A−1
F1→F1−2 F2
——————�
120100
010001
001010
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2↔F3
———�
AI ������120100
0001010
010001
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
AAI
XAAI
AI −−− ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅111
����������A−1
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
−4
12
14
012
11
04
14
188
14
38
4
12
14
012
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
12
14
132
40
14
122
34
01
23
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
17
1. M
atriu
s
C M
Y K
—Suposem que és certa per a n �m, Am�kmA,(hipò-tesi d’inducció), i vegem que ho és per a n �m �1:
Am+1=Am⋅A =(kmI) ⋅(k I) =↑
Hipòtesi d’inducció
=km⋅k I ⋅I =km+1I
Queda provat el que volíem demostrar.
ACTIVITATS
Abans de començar
•Matriu de dimensió m �n (pàg. 8); rang d’una matriu(pàg. 11); matriu inversa (pàg. 16); matriu transposada(pàg. 18).
•Transformacions elementals (pàg. 10).
•Addició de matrius (pàg. 12); multiplicació d’una matriuper un nombre real (pàg. 13).
Qüestions
17.No, ja que no està definida la diagonal principal d’unamatriu que no sigui quadrada.
18.En fer transformacions elementals per esglaonar-la, ladimensió no canvia i, per tant, obtindrem una matriuesglaonada de dimensió 3 �5.
Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files nonul.les.
Com que el rang de la matriu de partença és per defi-nició el nombre de files no nul.les de la matriu obtin-guda en esglaonar-la, aquest rang pot ser 3, 2, 1 o 0.
19.Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la ma-teixa dimensió, m �n.
Dues matrius es poden multiplicar l’una per l’altra sii només si la primera té tantes columnes com files té lasegona, és a dir, si tenen dimensions m �h i h �n, res-pectivament.
20.No. Considerem el contraexemple següent:
Sigui A �(0). Si A es pot invertir, existiria una matriuB tal que B �A �A �B �I però B �A �(0) �A �B;així, I �(0). Però això no és cert i, per tant, A �(0)no es pot invertir.
21.Que una matriu tingui dimensió m �n significa queté m files i n columnes.
Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m co-lumnes, és a dir, tindrà dimensió n �m.
Per tant, la matriu transposada d’una matriu de di-mensió 3 �5 tindrà dimensió 5 �3.
22.Si tenim una equació A �X �B i A és invertible, po-dem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A�1, però com que el producte de matriusno és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat.
En aquest cas, és útil de multiplicar per A�1per l’es-querra:
L’error és, doncs, el pas deA ⋅X =B a A−1⋅A ⋅X ==B ⋅A−1.
EXERCICIS I PROBLEMES
23.Diem que una matriu té dimensió m �n si té m files in columnes.
La matriu A té 2 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 2 �4.
La matriu B té 4 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 4 �4 (és a dir, és una matriu quadradad’ordre 4).
24.a)
b)
c)
d)
25.
,
amb a11=a22=a33=0.
26.Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar-hi trans-formacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglao-nada i comptar el nombre de files no nul.les de la ma-triu ja esglaonada.
•Esglaonem la matriu A:
—Fem 1 l’element a11:
1243
3521
2035
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1↔F2
———�A=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3521
1243
2035
a
a
a
11
22
33
00
00
00
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ Sí, ja que és de la forma
1000
0100
0010
0001
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
És la matriu I4�
1000
0100
0010
0001
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
1000
1100
1110
1111
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
1111
0111
0011
0001
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
AXBAAI
XABXA , ⋅=⇒⋅⋅=⋅=⋅ −−− 111�����B
18
1. Matrius
— Suposem que és certa per a n � m, Am � km A, (hipò-tesi d’inducció), i vegem que ho és per a n � m � 1:
Am + 1 = Am ⋅ A = (km I) ⋅ (k I) =↑
Hipòtesi d’inducció
= km ⋅ k I ⋅ I = km + 1 I
Queda provat el que volíem demostrar.
ACTIVITATS
Abans de començar
• Matriu de dimensió m � n (pàg. 8); rang d’una matriu(pàg. 11); matriu inversa (pàg. 16); matriu transposada(pàg. 18).
• Transformacions elementals (pàg. 10).
• Addició de matrius (pàg. 12); multiplicació d’una matriuper un nombre real (pàg. 13).
Qüestions
17. No, ja que no està definida la diagonal principal d’unamatriu que no sigui quadrada.
18. En fer transformacions elementals per esglaonar-la, ladimensió no canvia i, per tant, obtindrem una matriuesglaonada de dimensió 3 � 5.
Aquesta matriu esglaonada pot tenir 3, 2, 1 o 0 files nonul.les.
Com que el rang de la matriu de partença és per defi-nició el nombre de files no nul.les de la matriu obtin-guda en esglaonar-la, aquest rang pot ser 3, 2, 1 o 0.
19. Dues matrius es poden sumar si i només si tenen la ma-teixa dimensió, m � n.
Dues matrius es poden multiplicar l’una per l’altra sii només si la primera té tantes columnes com files té lasegona, és a dir, si tenen dimensions m � h i h � n, res-pectivament.
20. No. Considerem el contraexemple següent:
Sigui A � (0). Si A es pot invertir, existiria una matriuB tal que B � A � A � B � I però B � A � (0) � A � B;així, I � (0). Però això no és cert i, per tant, A � (0)no es pot invertir.
21. Que una matriu tingui dimensió m � n significa queté m files i n columnes.
Com que transposar consisteix a intercanviar files i columnes, la matriu transposada tindrà n files i m co-lumnes, és a dir, tindrà dimensió n � m.
Per tant, la matriu transposada d’una matriu de di-mensió 3 � 5 tindrà dimensió 5 � 3.
22. Si tenim una equació A � X � B i A és invertible, po-dem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A�1, però com que el producte de matriusno és commutatiu, hem de fer-ho pel mateix costat.
En aquest cas, és útil de multiplicar per A�1 per l’es-querra:
L’error és, doncs, el pas de A ⋅ X = B a A−1 ⋅ A ⋅ X == B ⋅ A−1.
EXERCICIS I PROBLEMES
23. Diem que una matriu té dimensió m � n si té m files in columnes.
La matriu A té 2 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 2 � 4.
La matriu B té 4 files i 4 columnes. Aleshores, la sevadimensió és 4 � 4 (és a dir, és una matriu quadradad’ordre 4).
24. a)
b)
c)
d)
25.
,
amb a11 = a22 = a33 = 0.
26. Per calcular el rang d’una matriu, hem d’aplicar-hi trans-formacions elementals fins a obtenir-ne una d’esglao-nada i comptar el nombre de files no nul.les de la ma-triu ja esglaonada.
• Esglaonem la matriu A:
— Fem 1 l’element a11:
1 2 4 3
3 5 2 1
2 0 3 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1 ↔ F2
———�A =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3 5 2 1
1 2 4 3
2 0 3 5
a
a
a
11
22
33
0 0
0 0
0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Sí, ja que és de la forma
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
És la matriu I4 �
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
La resposta suggerida és:
A X B A AI
X A B X A,⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅− − −1 1 1��� �� B
18
1. M
atriu
s
CM
YK
— Simplifiquem adequadament les files 2, 3 i 4:
— Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22 (és a dir, esglaonem la segona co-lumna):
— Esglaonem la tercera columna:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (B) � 3.
• Esglaonem la matriu C:
— Fem 1 l’element a11:
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
3 3 7 11 1
2 2 4 8 1
5 5 21 9 3
− − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1 ↔ F2
———�
C = − − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞0 1 5 1 1
1 1 5 1 2
3 3 7 11 1
2 2 4 8 1
5 5 21 9 3⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 2 3 1 7
0 2 5 1 8
0 0 6 0 6
0 0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F F F4 4 316
→ −
1 2 3 1 7
0 2 5 1 8
0 0 6 0 6
0 0 1 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 2 3 1 7
0 2 5 1 8
0 0 6 0 6
0 0 1 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 + F2
F4 → F4 + F2
—————�
1 2 3 1 7
0 2 5 1 8
0 2 1 1 2
0 2 4 1 7
− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1 2 3 1 7
0 2 5 1 8
0 2 1 1 2
0 2 4 1 7
− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F F
F F
2 2
4 4
12
14
→ −
→
1 2 3 1 7
0 4 10 2 16
0 2 1 1 2
0 8 16 4 28
− − − −− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
— Fem 0 els altres elements de la primera colum-na, a21 i a31:
— Fem 1 l’element a22:
— Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (A) � 3.
• Esglaonem la matriu B:
— Fem 1 l’element a11:
— Fem 0 els altres elements de la primera colum-na per sota de a11:
1 2 3 1 7
0 4 10 2 16
0 2 1 1 2
0 8 16 4 28
− − − −− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − 4 F1
F4 → F4 − 7 F1
——————�
1 2 3 1 7
4 4 2 2 12
0 2 1 1 2
7 6 5 3 21
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1 2 3 1 7
4 4 2 2 12
0 2 1 1 2
7 6 5 3 21
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1 ↔ F4
———�
B =− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
7 6 5 3 21
4 4 2 2 12
0 2 1 1 2
1 2 3 1 7
1 2 4 3
0 1 10 8
0 0 35 31
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 + 4 F2
——————�
1 2 4 3
0 1 10 8
0 4 5 1− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 4 3
0 1 10 8
0 4 5 1− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → −F2
————�
1 2 4 3
0 1 10 8
0 4 5 1
− − −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 4 3
0 1 10 8
0 4 5 1
− − −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 3 F1
F3 → F3 − 2 F1
——————�
1 2 4 3
3 5 2 1
2 0 3 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
19
1. Matrius
—————�
——————�
—Simplifiquem adequadament les files 2, 3 i 4:
—Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22(és a dir, esglaonem la segona co-lumna):
—Esglaonem la tercera columna:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (B) �3.
•Esglaonem la matriu C:
—Fem 1 l’element a11:
11512
01511
337111
22481
552193
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1↔F2
———�
C=−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞ 01511
11512
337111
22481
552193⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
12317
02518
00606
00000
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
FFF 44316
→−
12317
02518
00606
00101
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
12317
02518
00606
00101
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F3→F3+F2
F4→F4+F2
—————�
12317
02518
02112
02417
−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
12317
02518
02112
02417
−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
FF
FF
22
44
12
14
→−
→
12317
0410216
02112
0816428
−−−−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
—Fem 0 els altres elements de la primera colum-na, a21i a31:
—Fem 1 l’element a22:
—Fem 0 els elements de la segona columna persota de a22:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb tres fi-les no nul.les. Aleshores, rang (A) �3.
•Esglaonem la matriu B:
—Fem 1 l’element a11:
—Fem 0 els altres elements de la primera colum-na per sota de a11:
12317
0410216
02112
0816428
−−−−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F2→F2−4 F1
F4→F4−7 F1
——————�
12317
442212
02112
765321
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
12317
442212
02112
765321
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1↔F4
———�
B=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
765321
442212
02112
12317
1243
01108
003531
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3+4 F2
——————�
1243
01108
0451 −−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1243
01108
0451 −−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→−F2
————�
1243
01108
0451
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1243
01108
0451
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−3 F1
F3→F3−2 F1
——————�
1243
3521
2035
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
19
1. M
atriu
s
—————�
——————�
C M
Y K
—Esglaonem la primera columna:
—Esglaonem la segona columna:
—Esglaonem la tercera columna:
—Esglaonem la cinquena columna:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 filesno nul.les. Aleshores, rang (C) �4.
11512
01511
00881
000014
00000
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F5→F5−26 F4
——————�
11512
01511
00881
000014
0000132
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
11512
01511
00881
000014
0000132
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
FFF
FFF
443
553
3412
→+
→+
11512
01511
00881
00661
00447
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
11512
01511
00881
00661
00447
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3→F3+6 F2
F4→F4−4 F2
——————�
11512
01511
0622145
0414103
00447
−−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
11512
01511
0622145
0414103
00447
−−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3→F3−3 F1
F4→F4+2 F1
F5→F5−5 F1
——————�
11512
01511
337111
22481
552193
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
27.N’hi ha prou d’aplicar la definició de cada operació:
a)A �B �
b)A −B =A +(−B) =
c)B −A =−(A −B) =
d)55
0232
2154
4110
50525
⋅=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=⋅⋅
A
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
⋅−⋅−⋅()
()()
352
52515554
54515150
0101510
1052520
20550
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−−
3224
3155
1515
3224
31−−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
55
1515
=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+
+−−−−−
−
0232
2154
4110
3012
5201
34425
03203122
251
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=+−++−++−
()()
()++−+−+−−+−+−+−+−
⎛
⎝
⎜⎜()()
()()()
25041
43141205 ⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3224
3155
1515
=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−
−
⎛
⎝
0232
2154
4110
3012
5201
3425
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=++++−+++−+
−+
03203122
25125041
4
()
(−−−+++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−
⎛
⎝
⎜
3141205
3240
7353
7335
)
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
20
1. Matrius
——————�
— Esglaonem la primera columna:
— Esglaonem la segona columna:
— Esglaonem la tercera columna:
— Esglaonem la cinquena columna:
Hem obtingut una matriu esglaonada amb 4 filesno nul.les. Aleshores, rang (C) � 4.
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 0 8 8 1
0 0 0 014
0 0 0 0 0
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F5 → F5 − 26 F4
——————�
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 0 8 8 1
0 0 0 014
0 0 0 0132
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 0 8 8 1
0 0 0 014
0 0 0 0132
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F F F
F F F
4 4 3
5 5 3
3412
→ +
→ +
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 0 8 8 1
0 0 6 6 1
0 0 4 4 7
−− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 0 8 8 1
0 0 6 6 1
0 0 4 4 7
−− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 + 6 F2
F4 → F4 − 4 F2
——————�
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 6 22 14 5
0 4 14 10 3
0 0 4 4 7
− − − −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
0 6 22 14 5
0 4 14 10 3
0 0 4 4 7
− − − −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 − 3 F1
F4 → F4 + 2 F1
F5 → F5 − 5 F1
——————�
1 1 5 1 2
0 1 5 1 1
3 3 7 11 1
2 2 4 8 1
5 5 21 9 3
− − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
27. N’hi ha prou d’aplicar la definició de cada operació:
a) A � B �
b) A − B = A + (−B) =
c) B − A = −(A − B) =
d) 5 5
0 2 3 2
2 1 5 4
4 1 1 0
5 0 5 2 5
⋅ = −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=⋅ ⋅
A
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅( )
( ) ( )
3 5 2
5 2 5 1 5 5 5 4
5 4 5 1 5 1 5 0
0 10 15 10
10 5 25 20
20 5 5 0
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
= −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −−− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=− − −
3 2 2 4
3 1 5 5
1 5 1 5
3 2 2 4
3 1 −−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
5 5
1 5 1 5
= −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+
+− −− − −
−
0 2 3 2
2 1 5 4
4 1 1 0
3 0 1 2
5 2 0 1
3 44 2 5
0 3 2 0 3 1 2 2
2 5 1
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=+ − + + − ++ −
( ) ( )
( ) ++ − + − + −− + − + − + − + −
⎛
⎝
⎜⎜ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 5 0 4 1
4 3 1 4 1 2 0 5⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−− − −− − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3 2 2 4
3 1 5 5
1 5 1 5
= −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−
−
⎛
⎝
0 2 3 2
2 1 5 4
4 1 1 0
3 0 1 2
5 2 0 1
3 4 2 5
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=+ + + + −+ + + − +
− +
0 3 2 0 3 1 2 2
2 5 1 2 5 0 4 1
4
( )
(−− − + + +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
= −−
⎛
⎝
⎜
3 1 4 1 2 0 5
3 2 4 0
7 3 5 3
7 3 3 5
)
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
20
1. M
atriu
s
——————�
CM
YK
30. Per veure que es compleix la identitat de l’enunciat,desenvoluparem el membre de l’esquerra usant les definicions i propietats de les operacions amb ma-trius i veurem que, si es compleix la hipòtesi (M � N �� N � M), obtenim el membre de la dreta:
(M + N)3 = (M + N) ⋅ (M + N) ⋅ (M + N) =
= [(M + N) ⋅ (M + N)] ⋅ (M + N) =
= [M ⋅ (M + N) + N ⋅ (M + N)] ⋅ (M + N) =
= [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ (M + N) =
= [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ M +
+ [M2 + M ⋅ N + N ⋅ M + N2] ⋅ N =
= M3 + M ⋅ N ⋅ M + N ⋅ M2 + N2 ⋅ M + M2 ⋅ N +
+ M ⋅ N2 + N ⋅ M ⋅ N + N3 =
= M3 + M2 ⋅ N + M ⋅ N ⋅ M + N ⋅ M2 + M ⋅ N2 +
+ N ⋅ M ⋅ N + N2 ⋅ M + N3
Ara bé, si M i N commuten, es compleix:
N ⋅ M2 = (N ⋅ M) ⋅ M = (M ⋅ N) ⋅ M = M ⋅ N ⋅ M =
= M ⋅ (N ⋅ M) = M ⋅ (M ⋅ N) = M2 ⋅ N
Canviant les lletres:
N2 ⋅ M = N ⋅ M ⋅ N = M ⋅ N2
Per tant, la igualtat anterior equival a:
(M + N)3 = M3 + M2 ⋅ N + M2 ⋅ N + M2 ⋅ N +
+ M ⋅ N2 + M ⋅ N2 + M ⋅ N2 + N3 =
= M3 + 3 M2 ⋅ N + 3 M ⋅ N2 + N3
que és el que volíem demostrar.
29. Abans d’operar, simplificarem les expressions usant lespropietats de les operacions amb matrius:
a) A = M + N − (2 M − 3 N) =
= M + N − 2 M + 3 N =
= (M − 2 M) + (N + 3 N) = −M + 4 N =
b) B M N M I N I
M N M N I I
= ⋅ + ⋅ − == ⋅ ⋅ − + ⋅
– ( ) ( )
– ( ( ) (( ))
– ( )
N I
M N M N M I N IN I
− =
= ⋅ ⋅ − ⋅ + − ==
−�
� �� ��
MM N M N M I N I
M N
M
(
⋅ − ⋅ + ⋅ − + =
= + − +
� �� ��� ��� �
0
0 II M N I M N I) ( )= − + = − + =
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−−1 0 4
2 4 3
2 1 6
0 1 33
2 3 0
5 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
+⎛
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+1 1 1
4 1 3
7 4 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2 1 1
4 2 3
7 4 5
=− −− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−
−−
1 0 4
2 4 3
2 1 6
0 4 12
8 12 0
220 12 8
1 4 8
10 8 3
22 13 2
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=− −
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
e)
f)
28. N’hi ha prou d’usar la definició:
— No és possible calcular el producte B � A, ja que el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent delnombre de files de la segona, A, que és 2.
A B⋅ =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=1 3 2
2 0 1
3 0 1
5 2 0
3 4 2
11 3 3 5 2 3 1 0 3 2 2 4 1 1 3( )⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ +( )
0 2 2
2 3 0 5 1 3 2 0 0 2 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−
⎛
⎝⎜
⎞
4 2 1 0 0 1 2
12 14 5
9 4 0⎠⎠⎟
( ) ( )− = − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
3 3
0 2 3 2
2 1 5 4
4 1 1 0
0 6
A
−− −− − −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
9 6
6 3 15 12
12 3 3 0
4 4
3 0 1 2
5 2 0 1
3 4 2 5
4 3 4 0 4
B =−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⋅ ⋅ ⋅ ( )
( )
1 4 2
4 5 4 2 4 0 4 1
4 3 4
⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ − ⋅ 44 4 2 4 5
12 0 4 8
20 8 0 4
12 16 8 20⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−
⎛
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
21
1. Matrius
30.Per veure que es compleix la identitat de l’enunciat,desenvoluparem el membre de l’esquerra usant les definicions i propietats de les operacions amb ma-trius i veurem que, si es compleix la hipòtesi (M �N ��N �M), obtenim el membre de la dreta:
(M +N)3=(M +N) ⋅(M +N) ⋅(M +N) =
=[(M +N) ⋅(M +N)] ⋅(M +N) =
=[M ⋅(M +N) +N ⋅(M +N)] ⋅(M +N) =
=[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅(M +N) =
=[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅M +
+[M2+M ⋅N +N ⋅M +N2] ⋅N =
=M3+M ⋅N ⋅M +N ⋅M2+N2⋅M +M2⋅N +
+M ⋅N2+N ⋅M ⋅N +N3=
=M3+M2⋅N +M ⋅N ⋅M +N ⋅M2+M ⋅N2+
+N ⋅M ⋅N +N2⋅M +N3
Ara bé, si M i N commuten, es compleix:
N ⋅M2=(N ⋅M) ⋅M =(M ⋅N) ⋅M =M ⋅N ⋅M =
=M ⋅(N ⋅M) =M ⋅(M ⋅N) =M2⋅N
Canviant les lletres:
N2⋅M =N ⋅M ⋅N =M ⋅N2
Per tant, la igualtat anterior equival a:
(M +N)3=M3+M2⋅N +M2⋅N +M2⋅N +
+M ⋅N2+M ⋅N2+M ⋅N2+N3=
=M3+3M2⋅N +3M ⋅N2+N3
que és el que volíem demostrar.
29.Abans d’operar, simplificarem les expressions usant lespropietats de les operacions amb matrius:
a)A =M +N −(2M −3N) =
=M +N −2M +3N =
=(M −2M) +(N +3N) =−M +4N =
b)BMNMINI
MNMNII
=⋅+⋅−==⋅⋅−+⋅
–()()
–(()(())
–()
NI
MNMNMININI
−=
=⋅⋅−⋅+−==
−�
�����
MMNMNMINI
MN
M
(
⋅−⋅+⋅−+=
=+−+
���� ��� ���
0
0IIMNIMNI )() =−+=−+=
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−− 104
243
216
0133
230
532
100
010
001
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
+⎛
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+111
413
744
100
010
001
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
211
423
745
=−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−
−−
104
243
216
0412
8120
220128
148
1083
22132
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
e)
f)
28.N’hi ha prou d’usar la definició:
— No és possible calcular el producte B �A, ja que el nombre de columnes de la primera, B, que és 3, és diferent delnombre de files de la segona, A, que és 2.
AB⋅=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=132
201
301
520
342
1133523103224113 () ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−−⋅+⋅+ ()
022
23051320021⋅−⋅+⋅+⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−
⎛
⎝⎜
⎞
4210012
12145
940⎠⎠⎟
()() −=−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
33
0232
2154
4110
06
A
−−−−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
96
631512
12330
44
3012
5201
3425
43404
B=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⋅⋅⋅()
()
142
45424041
434
⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅444245
12048
20804
1216820 ⋅⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−
⎛
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
21
1. M
atriu
s
C M
Y K
32.a)Hem de veure si es compleix la igualtat M �N �N �M:
Intercanviant i :
Comprovem que el producte de M per N és commutatiu.
b)La inversa de N és una matriu N�1tal que N �N�1�N�1�N �I.
Observem que si considerem ��en l’apartat a,tenim:
Per tant, N−1=Nt.
N−=−−
−−−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
1cossin
sincos
cos ()()
()()
ββββ
βββββ
ββββ
−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− sin
sincos
cossin
sincos ()
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=N
taleshores
MNNM()()
()⋅=⋅=
−+−+−−+cossin
sincos
ββββββ(() −+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
⎛ββ
cossin
sincos
00
00
10
01 ⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟=I
NMsin
⋅=−+ coscossincossinsincos βαβαβαβαα
βαβαβαβα −−−+⎛
sincoscossinsinsincoscos ⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟=
++−++
⎛
⎝⎜
cossin
sincos
()()
()()
βαβαβαβα
⎞⎞
⎠⎟
MN⋅=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
−cossin
sincos
cossin
si
αααα
ββnncos
coscossincossin
ββ
αβαβαβ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−sin++
−−−+sincos
sincoscossinsinsinc
αβαβαβαβooscos
cossin
sinco αβαβαβαβ
()()
()
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
++−+ss() αβ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
31.Hem de calcular M �N, (M �N)�1, T�1i (T �M �N)�1:
Calculem les inverses pel mètode de Gauss-Jordan:
IT ��−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
10012
01112
F1→F1+F2
—————�
1110
01112
−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
FF 2212
→
1110
0221
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ F2→F2−2 F1
——————�
TI ��1110
2001
− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ •T−1:
MN⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
=
123
211
10
22
11
1⋅⋅−+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−+⋅+()()()
()
12231102231
21121⋅⋅−⋅+⋅+⋅−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
()() 1201211
01
11
TM⋅⋅=− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ N
11
20
01
11
10
11
Finalment:
per tant, la igualtat no es compleix.
TMN −− +⋅=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
110
12
112
11
10()==
=− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
≠−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=+⋅−
112
012
10
11() TMN
11
1010
0111 −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⋅−
() ITMN�11 �
F2→F2−F1
—————�
1010
1101⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+⋅ TMNI��
•(T +M ⋅N)−1:
() IMN ��⋅−
− ⎛⎝⎜
⎞⎠
1
1011
0110⎟⎟F1→F1+F2
—————�
1101
0110
−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F1→−F1
————�
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1101
0110F1↔F2
———�
MNI ⋅
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
��0110
1101•(M ⋅N)−1:
22
1. Matrius
————�
32. a) Hem de veure si es compleix la igualtat M � N � N � M:
Intercanviant i :
Comprovem que el producte de M per N és commutatiu.
b) La inversa de N és una matriu N�1 tal que N � N�1 � N�1 � N � I.
Observem que si considerem � � en l’apartat a, tenim:
Per tant, N−1 = Nt.
N− =− −
− − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1 cos sin
sin cos
cos( ) ( )
( ) ( )
β ββ β
ββ ββ β
β ββ β
−− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−sin
sin cos
cos sin
sin cos( )
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = Ntaleshores
M N N M( ) ( )
( )⋅ = ⋅ =
− + − +− − +cos sin
sin cos
β β β ββ β (( )− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛β β
cos sin
sin cos
0 0
0 0
1 0
0 1⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟ = I
N Msin
⋅ =− +cos cos sin cos sin sin cosβ α β α β α β αα
β α β α β α β α− − − +⎛
sin cos cos sin sin sin cos cos⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+ +− + +
⎛
⎝⎜
cos sin
sin cos
( ) ( )
( ) ( )
β α β αβ α β α
⎞⎞
⎠⎟
M N⋅ =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−cos sin
sin cos
cos sin
si
α αα α
β βnn cos
cos cos sin cos sin
β β
α β α β α β
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=− sin ++
− − − +sin cos
sin cos cos sin sin sin c
α βα β α β α β oos cos
cos sin
sin coα βα β α βα β
( ) ( )
( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+ +− + ss( )α β+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
31. Hem de calcular M � N, (M � N)�1, T�1 i (T � M � N)�1:
Calculem les inverses pel mètode de Gauss-Jordan:
I T� �−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1 0 012
0 1 112
F1 → F1 + F2
—————�
1 1 1 0
0 1 112
−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
F F2 212
→
1 1 1 0
0 2 2 1
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟F2 → F2 − 2 F1
——————�
T I� �1 1 1 0
2 0 0 1
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
• T−1:
M N⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
1 2 3
2 1 1
1 0
2 2
1 1
1 ⋅⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −⋅ − + ⋅ +( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 3 1 1 0 2 2 3 1
2 1 1 2 1 ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
( ) ( )1 2 0 1 2 1 1
0 1
1 1
T M ⋅⋅ =−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
N1 1
2 0
0 1
1 1
1 0
1 1
Finalment:
per tant, la igualtat no es compleix.
T M N− −+ ⋅ =−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
1 10
12
112
1 1
1 0( ) ==
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
≠−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + ⋅ −1
12
012
1 0
1 1( )T M N 11
1 0 1 0
0 1 1 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ −( )I T M N�
11�
F2 → F2 − F1
—————�
1 0 1 0
1 1 0 1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅T M N I� �
• (T + M ⋅ N)−1:
( )I M N��⋅ −
−⎛⎝⎜
⎞⎠
1
1 0 1 1
0 1 1 0⎟⎟F1 → F1 + F2
—————�
1 1 0 1
0 1 1 0
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F1 → −F1
————�
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1 0 1
0 1 1 0F1 ↔ F2
———�
M N I⋅
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
� �0 1 1 0
1 1 0 1• (M ⋅ N)−1:
22
1. M
atriu
s
————�
CM
YK
Imposant que es compleixi A � S � T:
Per definició d’igualtat de matrius:
a11 = s11 a12 = s12 + t12 a13 = s13 + t13
a21 = s12 − t12 a22 = s22 a23 = s23 + t23
a31 = s13 − t13 a23 = s23 − t23 a33 = s33
Resolent aquest sistema, obtenim:
s11 = a11
s22 = a22 s33 = a33
Així, les matrius buscades són:
35. Calculem At i A−1:
A I
A
� �
− =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1 2 1 0
1 4 0 1
Att
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2
1 4
1 1
2 4
T
a a a a
a a a a
a a
=
− −
− −
−
02 2
20
2
12 21 13 31
21 12 23 32
31 13
22 20
2
32 23a a
A At
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
= −
S
aa a a a
a aa
a a
a
=
+ +
+ +
1112 21 13 31
12 2122
23 32
13
2 2
2 2++ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
= +
a a aa
A At
31 23 32332 2
2
ta a
2323 32
2=
−t
a a13
13 31
2=
−t
a a12
12 21
2=
−
sa a
2323 32
2=
+
sa a
1313 31
2=
+sa a
1212 21
2=
+
a a a
a a a
a a a
s s
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=112 13
12 22 23
13 23 33
12 130s
s s s
s s s
t t⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+ −tt t
t t
s s t s
12 23
13 23
11 12 12 13
0
0− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=+ + tt
s t s s t
s t s t s
13
12 12 22 23 23
13 13 23 23 33
− +− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
33. Busquem una matriu simètrica S i una matriu anti-simètrica T, d’ordre 3, tals que A � S � T.
Com que S és simètrica, serà de la forma:
Com que T és antisimètrica, serà de la forma:
Imposant la igualtat A � S � T:
Per definició d’igualtat de matrius, això significa que:
a = 9 b + g = 8 c + h = 7
b − g = 6 d = 5 e + i = 4
c − h = 3 e − i = 2 f = 1
i, resolent aquest sistema, obtenim:
a = 9 ; b = 7 ; c = 5 ; d = 5 ; e = 3
f = 1 ; g = 1 ; h = 2 ; i = 1
Les matrius buscades són:
34. Considerem una matriu 3 � 3 genèrica:
Volem expressar-la de la forma A � S � T, en què S ésuna matriu simètrica 3 � 3 i T una matriu antisimètri-ca 3 � 3.
Com que S és simètrica, serà de la forma:
Com que T és antisimètrica, serà de la forma:
T
t t
t t
t t
= −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0
0
0
12 13
12 23
13 23
S
s s s
s s s
s s s
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
11 12 13
12 22 23
13 23 33
A
a a a
a a a
a a a
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
11 12 13
21 22 23
31 32 33
S y T=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −− −
⎛
⎝
⎜9 7 5
7 5 3
5 3 1
0 1 2
1 0 1
2 1 0⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
9 8 7
6 5 4
3 2 1
0⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+a b c
b d e
c e f
g h
−−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
+ +− +− −
⎛
g i
h i
a b g c h
b g d e i
c h e i f
0
0
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
T
g h
g i
h i
= −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0
0
0
S
a b c
b d e
c e f
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
23
1. Matrius
Imposant que es compleixi A �S �T:
Per definició d’igualtat de matrius:
a11=s11a12=s12+t12a13=s13+t13
a21=s12−t12a22=s22a23=s23+t23
a31=s13−t13a23=s23−t23a33=s33
Resolent aquest sistema, obtenim:
s11=a11
s22=a22s33=a33
Així, les matrius buscades són:
35.Calculem Ati A−1:
AI
A
��
−=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11210
1401
At
t
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
14
11
24
T
aaaa
aaaa
aa
=
−−
−−
−
022
20
2
12211331
21122332
3113
2220
2
3223 aa
AAt
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=−
S
aaaaa
aaa
aa
a
=
++
++
1112211331
122122
2332
13
22
22+++
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=+
aaaa
AAt
31233233
22
2
taa
232332
2=
−t
aa13
1331
2=
− taa
121221
2=
−
saa
232332
2=
+
saa
131331
2=
+ saa
121221
2=
+
aaa
aaa
aaa
ss
111213
212223
313233
11
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=11213
122223
132333
1213 0 s
sss
sss
tt ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−ttt
tt
ssts
1223
1323
11121213
0
0 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=++tt
stsst
ststs
13
1212222323
1313232333
−+−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
33.Busquem una matriu simètrica S i una matriu anti-simètrica T, d’ordre 3, tals que A �S �T.
Com que S és simètrica, serà de la forma:
Com que T és antisimètrica, serà de la forma:
Imposant la igualtat A �S �T:
Per definició d’igualtat de matrius, això significa que:
a =9b +g =8c +h =7
b −g =6d =5e +i =4
c −h =3e −i =2f =1
i, resolent aquest sistema, obtenim:
a =9 ; b =7 ; c =5 ; d =5 ; e =3
f =1 ; g =1 ; h =2 ; i =1
Les matrius buscades són:
34.Considerem una matriu 3 �3 genèrica:
Volem expressar-la de la forma A �S �T, en què S ésuna matriu simètrica 3 �3 i T una matriu antisimètri-ca 3 �3.
Com que S és simètrica, serà de la forma:
Com que T és antisimètrica, serà de la forma:
T
tt
tt
tt
=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0
0
0
1213
1223
1323
S
sss
sss
sss
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
111213
122223
132333
A
aaa
aaa
aaa
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
111213
212223
313233
SyT =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−−
⎛
⎝
⎜975
753
531
012
101
210⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
987
654
321
0 ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟+
abc
bde
cef
gh
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
++−+−−
⎛
gi
hi
abgch
bgdei
cheif
0
0
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
T
gh
gi
hi
=−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
0
0
0
S
abc
bde
cef
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
23
1. M
atriu
s
C M
Y K
Calculem At�A�1:
Finalment, calculem (At�A�1)2:
36.Sigui la matriu buscada.
Si imposem que compleixi la igualtat:
Per la definició d’igualtat de matrius:
La solució d’aquests sistemes és:
a =16 c =−6 b =−32 d =13
Per tant, la matriu M és:
M=−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1632
613
42
225
62
125
=+=+
⎫⎬⎭
−=+=+
⎫⎬⎭
ac
ac
bd
bd
46
21
12
25
22 − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
++ ab
cd
acbdd
acbd 2525 ++⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Mab
cd=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
() AAt
⋅=− ⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⋅− ⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠
−1232
12
20
32
12
20
⎟⎟⎟
=
=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟⋅⋅−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+
32
12
232
12
2
−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⋅+⋅⋅−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛12
0
232
02212
02
⎝⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
54
34
31
AAt
⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
=⋅
−111
24
21
12
12
1() 2112
11112
224
+⋅−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅−+⋅
⋅+⋅−112
21412
32
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅−+⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
()
220
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
IA ��−
−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
1
1021
0112
12
F1→F1−2 F2
——————�
1210
0112
12
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
FF 2212
→
1210
0211 −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2→F2−F1
—————�37.Si A�1és la matriu inversa de, multi-
plicant la igualtat que volem demostrar per la ma-triu A�1per l’esquerra, obtenim la igualtat equiva-lent:
Calculem la matriu A�1pel mètode de Gauss-Jor-dan:
Operant, podem obtenir X:
X=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
100
012
0
13
013
3
111
230
3455
012
230
418
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−−
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
100
012
0
13
013
333
6690
91215
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
100100
010012
0
00113
013
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
IA����������−1
FF 3313
→
100100
010012
0
003101 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
FF 2212
→
100100
020010
003101 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3−F1
——————�
AI ������100100
0020010
103001
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
AX
A
I
−
−
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅=
=
1
1
100
020
103
3
�� ��� ��
1111
230
345
012
230
418
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−−
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
100
020
103
24
1. Matrius
————�
————�
————�
Calculem At � A�1:
Finalment, calculem (At � A�1)2:
36. Sigui la matriu buscada .
Si imposem que compleixi la igualtat:
Per la definició d’igualtat de matrius:
La solució d’aquests sistemes és:
a = 16 c = −6 b = −32 d = 13
Per tant, la matriu M és:
M =−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
16 32
6 13
4 2
2 2 5
6 2
1 2 5
= += +
⎫⎬⎭
− = += +
⎫⎬⎭
a c
a c
b d
b d
4 6
2 1
1 2
2 5
2 2−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+ +a b
c d
a c b dd
a c b d2 5 2 5+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ma b
c d=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( )A At ⋅ =−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⋅−⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠
−1 232
12
2 0
32
12
2 0
⎟⎟⎟
=
=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+32
12
232
12
2
−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
⋅ + ⋅ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
⎛ 12
0
232
0 2 212
02
⎝⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
54
34
3 1
A At ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
=⋅
−1 1 1
2 4
2 1
12
12
1 ( )2 112
1 1 112
2 2 4
+ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ − + ⋅
⋅ + ⋅ − 112
2 1 412
32
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ − + ⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=−
( )
22 0
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
I A� �−
−
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
1
1 0 2 1
0 112
12
F1 → F1 − 2 F2
——————�
1 2 1 0
0 112
12
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
F F2 212
→
1 2 1 0
0 2 1 1−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2 → F2 − F1
—————� 37. Si A�1 és la matriu inversa de , multi-
plicant la igualtat que volem demostrar per la ma-triu A�1 per l’esquerra, obtenim la igualtat equiva-lent:
Calculem la matriu A�1 pel mètode de Gauss-Jor-dan:
Operant, podem obtenir X:
X =
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
1 0 0
012
0
13
013
3
1 1 1
2 3 0
3 4 55
0 1 2
2 3 0
4 1 8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+− −
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
1 0 0
012
0
13
013
3 3 3
66 9 0
9 12 15
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
1 0 0 1 0 0
0 1 0 012
0
0 0 113
013
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
I A��� �� � �� ��
−1
F F3 313
→
1 0 0 1 0 0
0 1 0 012
0
0 0 3 1 0 1−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F F2 212
→
1 0 0 1 0 0
0 2 0 0 1 0
0 0 3 1 0 1−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 − F1
——————�
A I�� � �� �1 0 0 1 0 0
00 2 0 0 1 0
1 0 3 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A X
A
I
−
−
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅ =
=
1
1
1 0 0
0 2 0
1 0 3
3
� ��� ���
11 1 1
2 3 0
3 4 5
0 1 2
2 3 0
4 1 8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+− −
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 0 0
0 2 0
1 0 3
24
1. M
atriu
s
————�
————�
————�
CM
YK
Aleshores, la fórmula és vàlida.
• Calculem les primeres potències de B:
Proposem l’expressió general:
Demostrem-la per inducció sobre n:
— És certa per a n � 1:
— Suposem que és certa per a n � m i vegem queho és per a n � m � 1:
↑Hipòtesi d’inducció
Queda demostrada la validesa de la fórmula.
39. a) N’hi ha prou de representar cada localitat amb unpunt i cada carretera amb una línia:
La matriu associada indica si la localitat correspo-nent a cada fila està relacionada amb la corres-ponent a cada columna:
A B C D E
M =
⎛
⎝
⎜⎜
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
E
A B
E
C
D
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 0
1
1 0
1 1m k k m k( )
B B Bm k k
m m+ = ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=1 1 0
1
1 0
1
B Bk k
1 1 0
1
1 0
1 1= =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Bn k
n =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 0
1
B B Bk k k
2 1 0
1
1 0
1
1 0
2 1= ⋅ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
= ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=⎛
B B Bk k k
3 2 1 0
2 1
1 0
1
1 0
3 1⎝⎝⎜⎞⎠⎟
= +
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
1 0 0
1 1 0
1 0 1
1
1
( )
( )
m k
m k
38. • Calculem les primeres potències de A per proposaruna expressió general de An:
Proposem que:
Vegem per inducció sobre n que aquesta fórmulaés vàlida:
— És certa per a n � 1:
— Suposem que és certa per a n � m i vegemque ho és per a n � m � 1:
Am + 1 = Am ⋅ A =↑
Hipòtesi d’inducció
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅
⎛−
−
−
−
1 0 0
1 0
0 1
1 0 0
1 0
0 1
1
1
1
1
m k
m k
k
k⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
= +
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟− −
− −
1 0 0
1 0
0 1
1 1
1 1
m k k
m k k⎟⎟⎟
=
A A k
k
k1 1
1
1
1 0 0
1 0
0 1
1 0 0
1 1 0
1
= =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= ⋅−
−
−
⋅⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟−k 1 0 1
A n k
n k
n =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
1 0 0
1 0
0 1
1
1
A A A k
k
k
k
2 1
1
1
1 0 0
1 0
0 1
1 0 0
1 0= ⋅ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅−
−
−
−11
1
1
3
0 1
1 0 0
2 1 0
2 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
k
k
A == ⋅ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅−
−
−A A k
k
k2 1
1
1
1 0 0
2 1 0
2 0 1
1 0 0
1 0
kk
k
k
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1
1
0 1
1 0 0
3 1 0
3 0 1
+− −
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
−
0 1 2
2 3 0
4 1 8
1 0 0
012
0
13
0013
3 2 1
4 6 0
5 11 7
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=33 2 1
2 3 0
23
3 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
25
1. Matrius
Aleshores, la fórmula és vàlida.
•Calculem les primeres potències de B:
Proposem l’expressió general:
Demostrem-la per inducció sobre n:
—És certa per a n �1:
—Suposem que és certa per a n �m i vegem queho és per a n �m �1:
↑Hipòtesi d’inducció
Queda demostrada la validesa de la fórmula.
39.a)N’hi ha prou de representar cada localitat amb unpunt i cada carretera amb una línia:
La matriu associada indica si la localitat correspo-nent a cada fila està relacionada amb la corres-ponent a cada columna:
ABCDE
M=
⎛
⎝
⎜⎜
00100
00010
10011
01101
00110
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
A
B
C
D
E
AB
E
C
D
=+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
10
1
10
11 mkkmk ()
BBBmkk
mm +=⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
110
1
10
1
BBkk
110
1
10
11==
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Bnk
n=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
10
1
BBBkkk
210
1
10
1
10
21=⋅=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
=⋅=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
⎛BBB
kkk3210
21
10
1
10
31 ⎝⎝⎜⎞⎠⎟
=+
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
100
110
101
1
1
()
()
mk
mk
38.•Calculem les primeres potències de A per proposaruna expressió general de An:
Proposem que:
Vegem per inducció sobre n que aquesta fórmulaés vàlida:
—És certa per a n �1:
—Suposem que és certa per a n �m i vegemque ho és per a n �m �1:
Am+1=Am⋅A =↑
Hipòtesi d’inducció
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅
⎛−
−
−
−
100
10
01
100
10
01
1
1
1
1
mk
mk
k
k⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=+
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟ −−
−−
100
10
01
11
11
mkk
mkk⎟⎟⎟
=
AAk
k
k11
1
1
100
10
01
100
110
1
==
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⋅ −
−
−
⋅⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ − k
101
Ank
nk
n=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
100
10
01
1
1
AAAk
k
k
k
21
1
1
100
10
01
100
10 =⋅=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅ −
−
−
−11
1
1
3
01
100
210
201
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
−
k
k
A==⋅=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅ −
−
− AAk
k
k21
1
1
100
210
201
100
10
kk
k
k
−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1
1
01
100
310
301
+−−
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
−
012
230
418
100
012
0
13
0013
321
460
5117
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=3321
230
23
32
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
25
1. M
atriu
s
C M
Y K
b)Sabem que l’element aijde Mnens dóna el nombrede camins en n etapes entre la localitat corresponenta la fila i i la corresponent a la columna j.
Per obtenir els camins en dues etapes entre A i B,calculem M2i mirem quin és l’element a12:
Entre A i B hi ha a12�0 camins en dues etapes.
Per obtenir els camins en tres etapes entre A i B,n’hi ha prou de calcular l’element a12de M3, queés:
a12=(M3)12=(M2⋅M)12=
=⋅=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= FC 1210011
0
0
0
1
0
()11
MMM2
00100
00010
10011
01101
00110
=⋅=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
00100
00010
10011
01101
00110⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
10011
01101
01311
10131
11112
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Entre A i B hi ha a12�1 camí en tres etapes.
40.La matriu que busquem ha de tenir 3 entrades per alsanys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar lesvendes brutes corresponents a l’any i al país que el lo-calitzen en la matriu.
D’altra banda, les vendes brutes s’obtenen multiplicantel nombre d’unitats exportades de cada electro-domèstic, corresponents a l’any i al país considerats,pel seu preu i sumant per als diversos electrodomèstics.
De tot això, se’n desprèn que la matriu que ens inte-ressa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens do-narà les vendes brutes de cada any a cada país, en mi-lions d’unitats monetàries (ja que els elements de A iC indiquen milers).
El valor del que s’ha exportat l’últim any a cada país vedonat per l’última columna de la matriu A �C.
Com que 39990 �41175, en concloem que el valordel que s’ha exportat al segon país l’últim any és mésgran que el valor del que s’ha exportat al primer.
41.Activitat TIC.
42.Activitat TIC.
AC⋅=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
125275230
250104375
354039
7075775
606263
374253988539990
3853041
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=005041175
1
2
200620072008
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P
P
26
1. Matrius
b) Sabem que l’element aij de Mn ens dóna el nombrede camins en n etapes entre la localitat corresponenta la fila i i la corresponent a la columna j.
Per obtenir els camins en dues etapes entre A i B,calculem M2 i mirem quin és l’element a12:
Entre A i B hi ha a12 � 0 camins en dues etapes.
Per obtenir els camins en tres etapes entre A i B,n’hi ha prou de calcular l’element a12 de M3, queés:
a12 = (M3)12 = (M2 ⋅ M)12 =
= ⋅ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=F C1 2 1 0 0 1 1
0
0
0
1
0
( ) 11
M M M2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
= ⋅ =
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
1 0 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 3 1 1
1 0 1 3 1
1 1 1 1 2
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Entre A i B hi ha a12 � 1 camí en tres etapes.
40. La matriu que busquem ha de tenir 3 entrades per alsanys i 2 per als països, i cada element ha d’indicar lesvendes brutes corresponents a l’any i al país que el lo-calitzen en la matriu.
D’altra banda, les vendes brutes s’obtenen multiplicantel nombre d’unitats exportades de cada electro-domèstic, corresponents a l’any i al país considerats,pel seu preu i sumant per als diversos electrodomèstics.
De tot això, se’n desprèn que la matriu que ens inte-ressa és l’obtinguda en multiplicar A per C, que ens do-narà les vendes brutes de cada any a cada país, en mi-lions d’unitats monetàries (ja que els elements de A iC indiquen milers).
El valor del que s’ha exportat l’últim any a cada país vedonat per l’última columna de la matriu A � C.
Com que 39 990 � 41 175, en concloem que el valordel que s’ha exportat al segon país l’últim any és mésgran que el valor del que s’ha exportat al primer.
41. Activitat TIC.
42. Activitat TIC.
A C⋅ =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
125 275 230
250 104 375
35 40 39
70 75 775
60 62 63
37 425 39 885 39 990
38 530 41
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=0050 41175
1
2
2006 2007 2008
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P
P
26
1. M
atriu
s
CM
YK
27
2. Determ
inants
1. DETERMINANTS D’ORDRE U, DOS I TRES
1.
+ 7 ⋅ 7 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−2) ⋅ (−4) − [(−1) ⋅ 9 ⋅ 2 ++ (−4) ⋅ 7 ⋅ (−5) + (−5) ⋅ (−2) ⋅ 7] = 0 ;
+ 0 ⋅ (−7) ⋅ (−4) − [2 ⋅ 2 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 0 ⋅ 5 ++ 9 ⋅ (−7) ⋅ 0] = 90 ;
⋅ 5 + 5 ⋅ (−1) ⋅ (−2) − [5 ⋅ 3 ⋅ 5 ++ (−2) ⋅ (−2) ⋅ 3 + 4 ⋅ (−1) ⋅ (−1)] = −35 ;
+ (−2) ⋅ (−4) ⋅ (−1) − [2 ⋅ 2 ⋅ (−2) ++ (−1) ⋅ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ (−4) ⋅ 1] = 30
2. DETERMINANTS D’ORDRE N
2. • Desenvolupant per la primera fila:
A =− −
− −
=−
− −−
1 2 1 0
1 3 2 3
1 1 4 2
5 1 1 2
1
3 2 3
1 4 2
1 1 2
I =−
−−
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +0 4 2
1 2 1
2 3 6
0 2 6 1 3 2
H =−
− −−
= ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅3 1 5
1 3 2
5 2 4
3 3 4 1 2( ) ( )
G =−
− = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +5 7 2
0 2 4
0 0 9
5 2 9 0 0 2
5 2 1
7 9 4
2 7 5
5( )=− − −
−−
= −F ⋅⋅ ⋅ − +( )9 5
5 1
2 3(E =
−−
= −55 3 1 2 13) ( ) ;⋅ − − ⋅ =
2 0
1 52 5 0 1 10( ) ;D =
−= ⋅ − − ⋅ = −
C =−
= ⋅ − ⋅ − =3 4
2 33 3 4 2 1( ) 77 ;
A B= = = − = −5 5 3 3; ;
= 1 ⋅ 47 − 2 ⋅ (−89) + 1 ⋅ 2 − 0 = 227
• Desenvolupant per la primera columna:
= 5 ⋅ (−64) − 0 + 0 + 7 ⋅ 36 = −68
• Desenvolupant per la tercera columna:
= 3 ⋅ 53 + 1 ⋅ 9 + 0 − 1 ⋅ 55 = 113
C =−
−−
= −−
−
1 0 3 4
2 5 1 3
2 1 0 2
3 2 1 1
3
2 5 3
2 1 2
3 2 1
1
–
– ( )
11 0 4
2 1 2
3 2 1
0
1 0 4
2 5 3
3 2 1
1
1 0 4
2 5 3
2 1 2
−−
+−
−
− ⋅−
=
B =
−−
− −
5 2 2 3
0 0 4 6
0 2 1 3
7 4 0 −−
=
=−
− −−
−−
1
5
0 4 6
2 1 3
4 0 1
0
2 2 3
2 11 3
4 0 1
0
2 2 3
0 4 6
4 0 1
(
− −+
−−
− −−
− −77
2 2 3
0 4 6
2 1 3
)
−− =
−− −
−+
−
−−
−− −
2
1 2 3
1 4 2
5 1 2
1
1 3 3
1 1 2
5 1 2
0
1 3 2
1 1 4
55 1 1− −=
Determinants2
27
2. D
eter
min
ants
1.DETERMINANTS D’ORDRE U, DOS I TRES
1.
+7 ⋅7 ⋅(−1) +2 ⋅(−2) ⋅(−4) −[(−1) ⋅9 ⋅2 ++(−4) ⋅7 ⋅(−5) +(−5) ⋅(−2) ⋅7] =0 ;
+0 ⋅(−7) ⋅(−4) −[2 ⋅2 ⋅0 +(−4) ⋅0 ⋅5 ++9 ⋅(−7) ⋅0] =90 ;
⋅5 +5 ⋅(−1) ⋅(−2) −[5 ⋅3 ⋅5 ++(−2) ⋅(−2) ⋅3 +4 ⋅(−1) ⋅(−1)] =−35 ;
+(−2) ⋅(−4) ⋅(−1) −[2 ⋅2 ⋅(−2) ++(−1) ⋅3 ⋅0 +6 ⋅(−4) ⋅1] =30
2.DETERMINANTS D’ORDRE N
2.•Desenvolupant per la primera fila:
A=−−
−−
=−
−−−
1210
1323
1142
5112
1
323
142
112
I=−
−−
=⋅⋅+⋅⋅+042
121
236
026132
H=−
−−−
=⋅⋅+−⋅−⋅315
132
524
33412 ()()
G=−
−=⋅⋅+⋅⋅+572
024
009
529002
521
794
275
5 () =−−−
−−
=− F⋅⋅⋅−+ () 95
51
23( E=
−−
=−5531213 )(); ⋅−−⋅=
20
15250110 (); D=
−=⋅−−⋅=−
C=−
=⋅−⋅−=34
2333421 ()77;
AB ===−=− 5533 ;;
=1 ⋅47 −2 ⋅(−89) +1 ⋅2 −0 =227
•Desenvolupant per la primera columna:
=5 ⋅(−64) −0 +0 +7 ⋅36 =−68
•Desenvolupant per la tercera columna:
=3 ⋅53 +1 ⋅9 +0 −1 ⋅55 =113
C=−
−−
=−−
−
1034
2513
2102
3211
3
253
212
321
1
–
–()
1104
212
321
0
104
253
321
1
104
253
212
−−
+−
−
−⋅−
=
B=
−−
−−
5223
0046
0213
740−−
=
=−
−−−
−−
1
5
046
213
401
0
223
2113
401
0
223
046
401
(
−−+
−−
−−−
−−77
223
046
213
)
−−=
−−−
−+
−
−−
−−−
2
123
142
512
1
133
112
512
0
132
114
5511 −−=
Determinants 2
C M
Y K
28
2. Determ
inants
��
�
��
��
�
��
�
�
3.PROPIETATS DELS DETERMINANTS I APLICACIONS
3.a)Si multipliquem la tercera columna per xyz, el de-terminant quedarà multiplicat per xyz. Així:
D2D6
b)Suposem que x �0:
=y2z3y3z2
=yz (yz2y2z) =y2z3y3z2
Anàlogament, la igualtat es compleix si y �0 o siz �0.En el cas restant, (x �0, y �0 i z �0):
Considerem la matriu:
Si multipliquem la primera fila per x, la segona fi-la per y i la tercera fila per z, el determinant que-darà multiplicat per totes tres, és a dir, per xyz; ales-hores:
D2
D2D1
4.Utilitzarem el mètode de Gauss:
a)2314
5623
4252
2423
2314
0272
92
7
08310
01
=
111
=
FFF
FFF
332
442
16272
27
+
+
FFF
FFF
FFF
221
331
441
522 +
===xyzxyz
xx
yy
zz
xyz
xyz
1
1
1
11123
23
23
222
333
yzxx
xzyy
xyzzxyz
xyzxx
yxzyy
zxyzz
2
2
2
23
23
23
1==
yzxx
xzyy
xyzz
2
2
2
yzxx
xzyy
xyzz
yz
yy
zz
yzyy
zz
2
2
2
2
2
2
2
00
0
0
===
111111
0
0
222
333
22
33
22
33 xyz
xyz
yz
yz
yz
yz===
yzxx
xzyy
xyzzxyz
yzxyz
xzyxz
xyzxy
==
1
1
1
10
b)
=x (y x) (z y) (t z)
c)
F2F2+2 F1F3F33 F1F4F4+4 F1F5F55 F1
11022
22133
33244
44355
55466
=
==
tz
zyzy
yxyxyx
xxxx
000
00
0
F1F1F2
==
tyzy
zyzy
yxyxyx
xxxx
00
00
0
F1F1F3F2F2F3
F1F1F4F2F2F4F3F3F4
tzyx
zzyx
yyyx
xxxx
txzxyx
zxzxyx
yxyx=
0
0
yyx
xxxx
=0
== 2272
173
381459
127
==
2314
0272
92
7
00173
15827
000381459
==
2314
0272
92
7
00173
15827
0023
4127
FFF 4432
17+
28
2. D
eter
min
ants
� �
�
� �
� �
�
� �
�
�
3. PROPIETATS DELS DETERMINANTS I APLICACIONS
3. a) Si multipliquem la tercera columna per xyz, el de-terminant quedarà multiplicat per xyz. Així:
D2 D6
b) Suposem que x � 0:
= y2z3 y3z2
= yz (yz2 y2 z) = y2z3 y3z2
Anàlogament, la igualtat es compleix si y � 0 o siz � 0.En el cas restant, (x � 0, y � 0 i z � 0):
Considerem la matriu:
Si multipliquem la primera fila per x, la segona fi-la per y i la tercera fila per z, el determinant que-darà multiplicat per totes tres, és a dir, per xyz; ales-hores:
D2
D2 D1
4. Utilitzarem el mètode de Gauss:
a) 2 3 1 4
5 6 2 3
4 2 5 2
2 4 2 3
2 3 1 4
0272
92
7
0 8 3 10
0 1
=
11 1
=
F F F
F F F
3 3 2
4 4 2
16272
27
+
+
F F F
F F F
F F F
2 2 1
3 3 1
4 4 1
522+
== =xyzxyz
x x
y y
z z
x y z
x y z
1
1
1
1 1 12 3
2 3
2 3
2 2 2
3 3 3
yz x x
xz y y
xy z zxyz
xyz x x
yxz y y
zxy z z
2
2
2
2 3
2 3
2 3
1= =
yz x x
xz y y
xy z z
2
2
2
yz x x
xz y y
xy z z
yz
y y
z z
yzy y
z z
2
2
2
2
2
2
2
0 0
0
0
= = =
1 1 1 1 1 1
0
0
2 2 2
3 3 3
2 2
3 3
2 2
3 3x y z
x y z
y z
y z
y z
y z= = =
yz x x
xz y y
xy z zxyz
yz x yz
xz y xz
xy z xy
= =
1
1
1
10
b)
= x (y x) (z y) (t z)
c)
F2 F2 + 2 F1F3 F3 3 F1F4 F4 + 4 F1F5 F5 5 F1
1 1 0 2 2
2 2 1 3 3
3 3 2 4 4
4 4 3 5 5
5 5 4 6 6
=
= =
t z
z y z y
y x y x y x
x x x x
0 0 0
0 0
0
F1 F1 F2
= =
t y z y
z y z y
y x y x y x
x x x x
0 0
0 0
0
F1 F1 F3F2 F2 F3
F1 F1 F4F2 F2 F4F3 F3 F4
t z y x
z z y x
y y y x
x x x x
t x z x y x
z x z x y x
y x y x=
0
0
yy x
x x x x
=0
= =2272
173
381459
127
= =
2 3 1 4
0272
92
7
0 0173
15827
0 0 0381459
= =
2 3 1 4
0272
92
7
0 0173
15827
0 023
4127
F F F4 4 32
17+
CM
YK
29
2. Determ
inants
D7
4. CÀLCULS AMB DETERMINANTS
5. •
= 15 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3
Com que la matriu té dimensió 4 � 3, rang (A) � 3.
•
= 69 ≠ 0 ⇒ rang (B) ≥ 3
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 443 44
1 2 5 10
0 2 1 5
4 3 9 15
2 8 1 21
1
2 1 5
3 9 15
8
a
=
−
−−
=
= −−11 21
0
2 5 10
3 9 15
8 1 21
−−
−−
+
a B
a a
a a
11
11 12
21 22
1 1 0 1
1 2
0 22 0
= = ≠ ⇒ ≥
= = ≠ ⇒
rang
ra
( )
nng ( )B
a a a
a a a
a a a
≥
=−
2
1 2 5
0 2 111 12 13
21 22 23
31 32 33 44 3 9−=
a A
a a
a a
11
11 12
21 22
2 2 0 1
2 1
1 25 0
= = ≠ ⇒ ≥
=−
= ≠ ⇒
rang
r
( )
aang ( )A
a a a
a a a
a a a
≥
=−
2
2 1 4
1 211 12 13
21 22 23
31 32 33
33
1 2 0− −=
=−
− −−
=
1 1 0 2 2
0 4 1 1 7
0 0 2 2 2
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0
0
F F F
F F F
4 4 3
5 5 3
122
→ +
→ −
=−
− −− −
− −
=
1 1 0 2 2
0 4 1 1 7
0 0 2 2 2
0 0 1 1 1
0 0 4 4 4
F4 → F4 − 2 F2
=−
− −−
− −
=
1 1 0 2 2
0 4 1 1 7
0 0 2 2 2
0 8 3 3 13
0 0 4 4 4
D2
= 3 ⋅ 82 + 8 ⋅ (−19) − 30 ⋅ 25 = −656 ≠ 0 ⇒⇒ rang (B) ≥ 4
Com que la matriu té dimensió 4 � 4, rang (B) � 4.
•
= −1 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 3
= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 + 0 = 2 ≠ 0 ⇒ rang (C) ≥ 4
Com que C té dimensió 4 � 5, rang (C) � 4.
6. Observem que quan una matriu té dimensió 1, no estàdefinida la seva matriu d’adjunts i, per tant, no
podem usar la fórmula .
Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com anombres reals; aleshores:
• A − −= = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1515
( )
AA
At− = ⋅1 1Adj ( )
=−
−−
−−
+− −
=13 8
2 61
4 8
3 60
4 3
3 2
F2 → F2 − F1F3 → F3 + 3 F1F4 → F4 − 2 F1
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 443 44
1 1 0 1
1 2 1 1
3 1 3 11
2 1 2 8
1 1 0 1
0 1 1 0
0 4 3
a
=− −
− −
=
=−88
0 3 2 6
1
1 1 0
4 3 8
3 2 6− −
= −− −
=
a C
a a
a a
11
11 12
21 22
1 1 0 1
1 1
1 21 0
= = ≠ ⇒ ≥
= = ≠ ⇒
rang
ra
( )
nng ( )C
a a a
a a a
a a a
≥
=−
2
1 1 0
1 2 111 12 13
21 22 23
31 32 33 33 1 3
=
+−
−−
−
−=
= −
4
2 5 10
2 1 5
8 1 21
2
2 5 10
2 1 5
3 9 15
3
2 1 5
1 33 5
8 1 21
0 4 2
1 5 10
1 1 5
4 1 21
2 5 3
−− + ⋅
−
−−
− ⋅ ⋅2 5 2
2 1 1
1 3 1
−
−=
�
�
�
�
�
29
2. D
eter
min
ants
D7
4.CÀLCULS AMB DETERMINANTS
5.•
=15 ≠0 ⇒rang (A) ≥3
Com que la matriu té dimensió 4 �3, rang (A) �3.
•
=69 ≠0 ⇒rang (B) ≥3
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
11121314
21222324
31323334
414244344
12510
0215
43915
28121
1
215
3915
8
a
=
−
−−
=
=−−1121
0
2510
3915
8121
−−
−−
+
aB
aa
aa
11
1112
2122
1101
12
0220
==≠⇒≥
==≠⇒
rang
ra
()
nng() B
aaa
aaa
aaa
≥
=−
2
125
021111213
212223
3132334439 −=
aA
aa
aa
11
1112
2122
2201
21
1250
==≠⇒≥
=−
=≠⇒
rang
r
()
aang() A
aaa
aaa
aaa
≥
=−
2
214
12111213
212223
313233
33
120 −−=
=−
−−−
=
11022
04117
00222
00002
00000
0
FFF
FFF
443
553
122
→+
→−
=−
−−−−
−−
=
11022
04117
00222
00111
00444
F4→F4−2 F2
=−
−−−
−−
=
11022
04117
00222
083313
00444
D2
=3 ⋅82 +8 ⋅(−19) −30 ⋅25 =−656 ≠0 ⇒⇒rang (B) ≥4
Com que la matriu té dimensió 4 �4, rang (B) �4.
•
=−1 ≠0 ⇒rang (C) ≥3
=1 ⋅2 −1 ⋅0 +0 =2 ≠0 ⇒rang (C) ≥4
Com que C té dimensió 4 �5, rang (C) �4.
6.Observem que quan una matriu té dimensió 1, no estàdefinida la seva matriu d’adjunts i, per tant, no
podem usar la fórmula .
Però les matrius de dimensió 1 es multipliquen com anombres reals; aleshores:
•A−− ==⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
115
15
()
AA
At −=⋅
11Adj()
=−
−−
−−
+−−
= 138
261
48
360
43
32
F2→F2−F1F3→F3+3 F1F4→F4−2 F1
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
11121314
21222324
31323334
414244344
1101
1211
31311
2128
1101
0110
043
a
=−−
−−
=
=−88
0326
1
110
438
326−−
=−−−
=
aC
aa
aa
11
1112
2122
1101
11
1210
==≠⇒≥
==≠⇒
rang
ra
()
nng() C
aaa
aaa
aaa
≥
=−
2
110
121111213
212223
3132333313
=
+−
−−
−
−=
=−
4
2510
215
8121
2
2510
215
3915
3
215
1335
8121
042
1510
115
4121
253
−−+⋅
−
−−
−⋅⋅252
211
131
−
−=
�
�
�
�
�
C M
Y K
30
2. Determ
inants
•
•
—Determinant de C: �C�=17
—Transposada de C:
—Adjunta de Ct:
—Inversa de C:
•
—Determinant de D: �D�=−10
—Transposada de D:
—Adjunta de Dt:
—Inversa de D:
•
—Determinant de E: �E�=13
—Transposada de E:
Et
t
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
51
23
52
13
E−−
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
51
23
DD
Dt −==
−−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−
⎛
11110
50
12
12
0
110
15
Adj()
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Adj() Dt
=−−
−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
50
12
50
12
Dt
t
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
20
15
21
05
D−−
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
20
15
CC
Ct −==
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−
11117
34
23
317
417
217
3
() Adj
117
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Adj() Ct
=−
−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
34
23
34
23
Ct
t
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
34
23
32
43
C−−
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
34
23
B−− =−=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
113
13
()—Adjunta de Et:
—Inversa de E:
•
—Determinant de F: �F��0 ⇒F no és inverti-ble.
•
—Determinant de G: �G�=90
—Transposada de G:
—Adjunta de (Gt):
—Inversa de G:
GG
Gt −==
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
11190
186324
04520
0010
Adj()==
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
15
710
415
012
29
0019
Adj() Gt
=−
−−
−−−
−−
−
20
49
70
29
72
24
00
49
50
29
50
24
000
20
50
70
50
72
186324
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=004520
0010
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Gt
t
=−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
572
024
009
500
720
249
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
G−
−
=−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1572
024
009
F−
−
=−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1521
794
275
EE
Et −==
−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=
−−
−
11113
31
25
313
113
Adj()
2213
513−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Adj() Et
=−−
−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
31
25
31
25
30
2. D
eter
min
ants
•
•
— Determinant de C: �C � = 17
— Transposada de C:
— Adjunta de Ct:
— Inversa de C:
•
— Determinant de D: �D� = −10
— Transposada de D:
— Adjunta de Dt:
— Inversa de D:
•
— Determinant de E: �E� = 13
— Transposada de E:
Ett
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 1
2 3
5 2
1 3
E−−
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
115 1
2 3
DD
Dt− = =−
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=−
⎛
1 1 110
5 0
1 2
12
0
110
15
Adj ( )
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Adj ( )Dt =− −
−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5 0
1 2
5 0
1 2
Dtt
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 0
1 5
2 1
0 5
D−−
=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
112 0
1 5
CC
Ct− = =−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−
1 1 117
3 4
2 3
317
417
217
3
( )Adj
117
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Adj ( )Ct =−
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 4
2 3
3 4
2 3
Ctt
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 4
2 3
3 2
4 3
C−−
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1
13 4
2 3
B− −= − =−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1313
( )— Adjunta de Et:
— Inversa de E:
•
— Determinant de F: �F � � 0 ⇒ F no és inverti-ble.
•
— Determinant de G: �G � = 90
— Transposada de G:
— Adjunta de (Gt):
— Inversa de G:
GG
Gt− = =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 190
18 63 24
0 45 20
0 0 10
Adj ( ) ==
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
15
710
415
012
29
0 019
Adj ( )Gt = −
−−
− −−
−−
−
2 0
4 9
7 0
2 9
7 2
2 4
0 0
4 9
5 0
2 9
5 0
2 4
0 00
2 0
5 0
7 0
5 0
7 2
18 63 24
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
= 00 45 20
0 0 10
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Gt
t
=−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
5 7 2
0 2 4
0 0 9
5 0 0
7 2 0
2 4 9
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟
G−
−
=−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
15 7 2
0 2 4
0 0 9
F−
−
=− − −
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
15 2 1
7 9 4
2 7 5
EE
Et− = =− −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=
− −
−
1 1 113
3 1
2 5
313
113
Adj ( )
2213
513−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Adj ( )Et =− −
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
− −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 1
2 5
3 1
2 5
CM
YK
31
2. Determ
inants
•
— Determinant de H: �H � = −35
— Transposada de H:
— Adjunta de Ht:
— Inversa de H:
•
— Determinant de I: �I � = 30
— Transposada de I:
— Adjunta de It:
Adj ( )It =
= −
−−
− −−
−−
−−
2 3
1 6
4 3
2 6
4 2
2 1
1 2
1 6
0 2
2 6
0 1
2 −−
−−
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=1
1 2
2 3
0 2
4 3
0 1
4 2
It
t
=−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−−
⎛
⎝
⎜0 4 2
1 2 1
2 3 6
0 1 2
4 2 3
2 1 6⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
I−
−
=−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
10 4 2
1 2 1
2 3 6
HH
Ht− = =−
− −− −
−
⎛
⎝
⎜1 1 135
8 6 13
6 13 1
13 1 8
Adj ( ) ⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
−
−
− −
835
635
1335
635
1335
135
1335
135
8355
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Adj ( )Ht = −
−−
−− − −
−
−−
3 2
2 4
1 2
5 4
1 3
5 2
1 5
2 4
3 55
5 4
3 1
5 2
1 5
3 2
3 5
1 2
3 1
1 3
−−−
−−
−− −
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=− −
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟8 6 13
6 13 1
13 1 8⎟⎟⎟
Ht
t
=−
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
− −−
⎛3 1 5
1 3 2
5 2 4
3 1 5
1 3 2
5 2 4⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
H−
−
=−
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
13 1 5
1 3 2
5 2 4
— Inversa de I:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
7. Els elements de totes les files de la matriu sumen el mateix.
Per tant, procedirem com en l’exercici resolt:
— Sumem a la primera columna les altres:
— Traiem el factor (k � 1) k � 1 � k2 � k � 1 fora deldeterminant:
— Restem l’última fila a totes les altres:
�A� =
= (k2 − k + 1) (1 − k)k − 1
8. El menor és d’ordre 2. Aleshores
rang (A) ≥ 2.
Com que la matriu A té dimensió 3 � 4, rang (A) �� 3 ⇔ algun orlat del menor anterior és no nul.
− −= − ≠
1 1
1 21 0
= − +
−−
−=( )k k
k
k
k
k k k
2 1
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1
��
� ��
A k k
k k
k k
k k
= − +( )2 1
1 1
1 1
1 1
1
��
� �
k k k�
A
k k k k
k k k k
k
=
− +− +
−
( )
( )
(
1 1 1
1 1 1
1
��
� ))
( )
k k k
k k k k k
+− +
1 1
1 1
��
II
It− = = −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
1 1 130
15 30 0
4 4 2
7 8 4
1
Adj ( )
221 0
215
215
115
730
415
215
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
15 30 0
4 4 2
7 8 4
31
2. D
eter
min
ants
•
—Determinant de H: �H�=−35
—Transposada de H:
—Adjunta de Ht:
—Inversa de H:
•
—Determinant de I: �I�=30
—Transposada de I:
—Adjunta de It:
Adj() It
=
=−
−−
−−−
−−
−−
23
16
43
26
42
21
12
16
02
26
01
2−−
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=1
12
23
02
43
01
42
It
t
=−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−−
⎛
⎝
⎜042
121
236
012
423
216⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
I−
−
=−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1042
121
236
HH
Ht −==
−
−−−−
−
⎛
⎝
⎜ 11135
8613
6131
1318
Adj()⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
=
−
−
−−
835
635
1335
635
1335
135
1335
135
8355
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Adj() Ht
=−
−−
−−−−
−
−−
32
24
12
54
13
52
15
24
355
54
31
52
15
32
35
12
31
13
−−−
−−
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟8613
6131
1318⎟⎟⎟
Ht
t
=−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
−−−
⎛ 315
132
524
315
132
524 ⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
H−
−
=−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1315
132
524
—Inversa de I:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
7.Els elements de totes les files de la matriu sumen el mateix.
Per tant, procedirem com en l’exercici resolt:
—Sumem a la primera columna les altres:
—Traiem el factor (k �1) k �1 �k2�k �1 fora deldeterminant:
—Restem l’última fila a totes les altres:
�A�=
=(k2−k +1) (1 −k)k−1
8.El menor és d’ordre 2. Aleshores
rang (A) ≥2.
Com que la matriu A té dimensió 3 �4, rang (A) ��3 ⇔algun orlat del menor anterior és no nul.
−−=−≠
11
1210
=−+
−−
−= () kk
k
k
k
kkk
21
0001
0010
0100
1
��
� ��
Akk
kk
kk
kk
=−+ ()2
1
11
11
11
1
��
� �
kkk �
A
kkkk
kkkk
k
=
−+−+
−
()
()
(
111
111
1
��
� ))
()
kkk
kkkkk
+−+
11
11
��
II
It −==−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
11130
15300
442
784
1
Adj()
2210
215
215
115
730
415
215
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
15300
442
784
C M
Y K
32
2. Determ
inants
Calculem tots els orlats del menor anterior:
=1 +a2−2 −(−1 +2a +a) =a2−3a
=a −a −2 −(−1 +2a2−1) =−2a2
Els valors de a que anul.len els orlats anteriors són:
a2−3a =0 , a(a −3) =0 ⇒⇒a =0 o a =3 , −2a2=0 ⇒a =0
Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nulperquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3:
a =0 ⇒rang (A) =2
a ≠0 ⇒rang (A) =3
9.•�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=−11 ≠0 ⇒ rang (A) ≥3
Com que l’únic menor d’ordre 4 de la matriu a ésel determinant de la mateixa matriu, el rang de Aserà 4, si �A��0, i 3, si �A��0.
Calculem, doncs, �A�:
D4
=−1 ⋅1 ⋅11 ⋅(k −10) =−11k +110
Finalment, 0 ��A���11 k �110 ⇔k �10,alesho-res:
k =10 ⇒rang (A) =3
k ≠10 ⇒rang (A) =4
=
−
−−−
=−
−
–
1113
0144
0231
0146
1113
0144
00117
00 k0010 k−
=
F3→F3+2 F2F4→F4−F2
A
kk
=
−−
=
−−−
−
=
1113
1122
0144
232
1113
0231
0144
0146
F2→F2−F1F4→F4−2 F1
aa
aa1112
2122
11
1120 =
−=−≠⇒rrang() A
aaa
aaa
aaa
≥
=−
2
111
1111213
212223
313233
−−= 12
014
a
a
1
11
12
11
−−=
111
12
11
−−−
= a
a
•Estudiem primerament els casos en què rang (B) ��4, és a dir, �B��0:
D4
=1 ⋅1 ⋅(2 −k) ⋅(4 −2k) =2 ⋅(2 −k)2
Ara, 0 =�B�=2 ⋅(2 −k)2⇔k =2
Per tant, k ≠2 ⇒rang (B) =4
Estudiem el cas particular de k =2:
Calculem els menors d’ordre 3 que s’ obtenen or-
lant el menor no nul d’ordre 2,, i veiemsi n’hi ha algun de no nul:
Com que tots els orlats són nuls, rang (B) �2.
En resum, hem obtingut:
k ≠2 ⇒rang (B) =4
k =2 ⇒rang (B) =2
ACTIVITATS
Abans de començar
•Menor complementari (pàg. 30); adjunt d’un element d’u-na matriu (pàg. 30).
•Mètode de Gauss (pàg. 37).
•Rang d’una matriu per determinants (pàg. 39); matriu in-versa d’una matriu per determinants (pàg. 40).
10
21
2
5
324
0;
−−=
10
21
1
3
321
0;
−−=
10
21
2
5
011
0 =;
10
21
1
3
011
0 =;
10
21
B=
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1012
2135
0111
3214
F3→F3−k F2F4→F4−F2
=−
−
=−−
101
0111
0234
01152
101
0111
00224
00
k
kk
k
k
kk
0042 −
=
k
F2→F2−2 F1F4→F4+3 F1
B
k
k
k
k
kk
=
−−−
=−
−
101
2135
0111
314
101
01152
0111
02344
=
��
�
��
�
32
2. D
eter
min
ants
Calculem tots els orlats del menor anterior:
= 1 + a2 − 2 − (−1 + 2 a + a) = a2 − 3 a
= a − a − 2 − (−1 + 2 a2 − 1) = −2 a2
Els valors de a que anul.len els orlats anteriors són:
a2 − 3 a = 0 , a (a − 3) = 0 ⇒⇒ a = 0 o a = 3 , −2 a2 = 0 ⇒ a = 0
Com que n’hi ha prou que un dels orlats sigui no nulperquè el rang de la matriu no sigui 2 sinó 3:
a = 0 ⇒ rang (A) = 2
a ≠ 0 ⇒ rang (A) = 3
9. • �a11 � = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= −11 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3
Com que l’únic menor d’ordre 4 de la matriu a ésel determinant de la mateixa matriu, el rang de Aserà 4, si �A � � 0, i 3, si �A � � 0.
Calculem, doncs, �A �:
D4
= −1 ⋅ 1 ⋅ 11 ⋅ (k − 10) = −11 k + 110
Finalment, 0 � �A� � �11 k � 110 ⇔ k � 10, alesho-res:
k = 10 ⇒ rang (A) = 3
k ≠ 10 ⇒ rang (A) = 4
=
−
− −−
= −
−
–
1 1 1 3
0 1 4 4
0 2 3 1
0 1 4 6
1 1 1 3
0 1 4 4
0 0 11 7
0 0k 00 10k −
=
F3 → F3 + 2 F2F4 → F4 − F2
A
k k
=
−−
=
−− −
−
=
1 1 1 3
1 1 2 2
0 1 4 4
2 3 2
1 1 1 3
0 2 3 1
0 1 4 4
0 1 4 6
F2 → F2 − F1F4 → F4 − 2 F1
a a
a a11 12
21 22
1 1
1 12 0=
−= − ≠ ⇒ rrang ( )A
a a a
a a a
a a a
≥
=−
2
1 1 1
111 12 13
21 22 23
31 32 33
−− =1 2
0 1 4
a
a
1
1 1
1 2
1 1
− −=
1 1 1
1 2
1 1
−− −
=a
a
• Estudiem primerament els casos en què rang (B) �� 4, és a dir, �B � � 0:
D4
= 1 ⋅ 1 ⋅ (2 − k) ⋅ (4 − 2 k) = 2 ⋅ (2 − k)2
Ara, 0 = �B � = 2 ⋅ (2 − k)2 ⇔ k = 2
Per tant, k ≠ 2 ⇒ rang (B) = 4
Estudiem el cas particular de k = 2:
Calculem els menors d’ordre 3 que s’ obtenen or-
lant el menor no nul d’ordre 2, , i veiemsi n’hi ha algun de no nul:
Com que tots els orlats són nuls, rang (B) � 2.
En resum, hem obtingut:
k ≠ 2 ⇒ rang (B) = 4
k = 2 ⇒ rang (B) = 2
ACTIVITATS
Abans de començar
• Menor complementari (pàg. 30); adjunt d’un element d’u-na matriu (pàg. 30).
• Mètode de Gauss (pàg. 37).
• Rang d’una matriu per determinants (pàg. 39); matriu in-versa d’una matriu per determinants (pàg. 40).
1 0
2 1
2
5
3 2 4
0 ;
− −=
1 0
2 1
1
3
3 2 1
0 ;
− −=
1 0
2 1
2
5
0 1 1
0= ;
1 0
2 1
1
3
0 1 1
0= ;
1 0
2 1
B =
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
1 0 1 2
2 1 3 5
0 1 1 1
3 2 1 4
F3 → F3 − k F2F4 → F4 − F2
=−
−
=− −
1 0 1
0 1 1 1
0 2 3 4
0 1 1 5 2
1 0 1
0 1 1 1
0 0 2 2 4
0 0
k
k k
k
k
k k
00 4 2−
=
k
F2 → F2 − 2 F1F4 → F4 + 3 F1
B
k
k
k
k
k k
=
− − −
=−
−
1 0 1
2 1 3 5
0 1 1 1
3 1 4
1 0 1
0 1 1 5 2
0 1 1 1
0 2 3 44
=
� �
�
� �
�
CM
YK
33
2. Determ
inantsQüestions
10. Efectuem el producte A � B:
Calculem els determinants de les matrius que ens in-teressen:
En efecte, �A��B � = −2 ⋅ 13 = −26 = �A ⋅ B �.
11. Utilitzarem que:
Per a tot parell de matrius quadrades del mateix ordre,A i B, es compleix:
�A ⋅ B � = �A� �B �
a) Suposem que es compleix C2 = C.
Si prenem determinants: �C2 � = �C �
Ara bé, �C2 � = �C ⋅ C � = �C � �C � = �C �2
Així, substituint en la igualtat anterior:
�C �2 = �C � ⇒ �C � (�C � − 1) = 0 ⇒
⇒ �C � = 0 o �C � = 1
Per tant, l’afirmació és certa.
b) Suposem que C ⋅ Ct = I.
Si prenem determinants: �C ⋅ Ct � = �I �
Ara bé,
�C ⋅ Ct � = �C � �Ct � = �C � �C � = �C �2 y �I � = 1.↑D1
Aleshores:
�C �2 = 1 ⇒ �C � = 1 o �C � = −1
Per tant, l’afirmació és certa.
c) Per definició d’inversa, C ⋅ C−1 = I.
Prenent determinants: �C ⋅ C −1 � = �I �
Ara bé, �C ⋅ C −1� = �C � �C −1� i �I � = 1, aleshores:
12. Per la propietat D4, en permutar les files F1 i F3, el de-terminant canvia de signe.
En multiplicar la segona fila per 3, el determinant que-da multiplicat per 3.
C C CC
− −= ⇒ =1 111
A B
A B
=−
= − =−
=
⋅ =−
= −
1 3
0 22
4 5
1 213
1 11
2 426
;
A B⋅ =−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=⋅ + ⋅
1 3
0 2
4 5
1 2
1 4 3 (( )
(– ) ( ) (–
− ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ − ⋅ +
1 1 5 3 2
0 4 2 1 0 5 2)) ( )⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
1 11
2 4
Finalment, en sumar a la tercera fila una combinaciólineal de les anteriors, el determinant no canvia.
Així:
�A� −�A� −3 �A� −3 �A�
Per tant, el determinat de la nova matriu és −3 �A�.
13. És vertadera, ja que:
A és invertible ⇔ �A� � 0 ⇔ A té un menor no nuld’ordre màxim, n (que és �A�) ⇔ rang A � n.
EXERCICIS I PROBLEMES
14. a)
b)
c)
d)
e)
f )
15. a)
b)
c)
d)
1 2 0
1 3 2
0 4 1
1 3 1 1 4 0
0
− − − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ +
+
( ) ( )
⋅⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ++
( ) [ ( ) ( )2 2 0 3 0 4 2 1
1 ⋅⋅ ⋅ − =( )]2 1 7
4 1 2
3 0 1
2 1 4
4 0 4 3 1 2
2 1
−= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ +
+ ⋅ ⋅
( )
[ ( )
]
1 2 0 2 1 1 4
4 1 3 1
− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ++ ⋅ ⋅ = − 22
−− = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅
1 2 0
0 1 2
3 5 3
1 1 3 0 5 0
3 2 (( ) [ ( ) ( )− − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ++ ⋅ ⋅
2 0 1 3 2 5 1
3 2 00 25] = −
3 2 1
5 2 3
2 4 4
3 2 4 5 4 1
2
− −−
= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ −
( )
( ) ⋅⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ++ − ⋅ ⋅
( ) [ ( ) ( )
( )
2 3 1 2 2
3 4 3 ++ ⋅ ⋅ =4 2 5 0]
−= − ⋅ − ⋅ = −
4 3
2 14 1 3 2 10
0 5
11 40 4 5 11 55
−= ⋅ − ⋅ − =( )
2 1
6 32 3 1 6 12
−= ⋅ − − ⋅ =( )
5 2
7 35 3 2 7 29
−= ⋅ − ⋅ − =( )
−−
= − ⋅ − − ⋅ =4 2
1 24 2 2 1 6( ) ( )
1 0
3 21 2 0 3 2
−= ⋅ − ⋅ − =( )
F3 → F3 + 2 F1——————�
F2 → 3 F2————�
F1 ↔ F3———�
33
2. D
eter
min
ants
Qüestions
10.Efectuem el producte A �B:
Calculem els determinants de les matrius que ens in-teressen:
En efecte, �A��B�=−2 ⋅13 =−26 =�A⋅B�.
11.Utilitzarem que:
Per a tot parell de matrius quadrades del mateix ordre,A i B, es compleix:
�A⋅B�=�A��B�
a)Suposem que es compleix C2=C.
Si prenem determinants: �C2�=�C�
Ara bé, �C2�=�C ⋅C�=�C��C�=�C�2
Així, substituint en la igualtat anterior:
�C�2=�C�⇒�C�(�C�−1) =0 ⇒
⇒�C�=0 o �C�=1
Per tant, l’afirmació és certa.
b)Suposem que C ⋅Ct=I.
Si prenem determinants: �C ⋅Ct�=�I�
Ara bé,
�C ⋅Ct�=�C��Ct�=�C��C�=�C�2y �I�=1.↑D1
Aleshores:
�C�2=1 ⇒�C�=1 o �C�=−1
Per tant, l’afirmació és certa.
c)Per definició d’inversa, C ⋅C−1=I.
Prenent determinants: �C ⋅C−1�=�I�
Ara bé, �C ⋅C−1�=�C��C−1�i �I�=1, aleshores:
12.Per la propietat D4, en permutar les files F1i F3, el de-terminant canvia de signe.
En multiplicar la segona fila per 3, el determinant que-da multiplicat per 3.
CCCC
−− =⇒=11
11
AB
AB
=−
=−=−
=
⋅=−
=−
13
022
45
1213
111
2426
;
AB⋅=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=⋅+⋅
13
02
45
12
143(()
(–)()(–
−⋅+⋅⋅+⋅−⋅+
11532
0421052))() ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
111
24
Finalment, en sumar a la tercera fila una combinaciólineal de les anteriors, el determinant no canvia.
Així:
�A�−�A�−3 �A�−3 �A�
Per tant, el determinat de la nova matriu és −3 �A�.
13.És vertadera, ja que:
A és invertible ⇔�A��0 ⇔A té un menor no nuld’ordre màxim, n (que és�A�) ⇔rang A �n.
EXERCICIS I PROBLEMES
14.a)
b)
c)
d)
e)
f)
15.a)
b)
c)
d)
120
132
041
131140
0
−−−=⋅−⋅+−⋅⋅+
+
()()
⋅⋅⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅++
()[()() 22030421
1⋅⋅⋅−= ()] 217
412
301
214
404312
21
−=⋅⋅+⋅−⋅+
+⋅⋅
()
[()
]
1202114
4131
−⋅⋅+⋅−⋅++⋅⋅=−22
−−=−⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅
120
012
353
113050
32(()[()() −−⋅⋅+−⋅⋅−++⋅⋅
2013251
320025 ]=−
321
523
244
324541
2
−−−
=⋅−⋅+⋅⋅+
+−
()
()⋅⋅⋅−−⋅−⋅−++−⋅⋅
()[()()
()
23122
343++⋅⋅= 4250 ]
−=−⋅−⋅=−
43
21413210
05
1140451155
−=⋅−⋅−= ()
21
63231612
−=⋅−−⋅= ()
52
73532729
−=⋅−⋅−= ()
−−
=−⋅−−⋅=42
1242216 ()()
10
3212032
−=⋅−⋅−= ()
F3→F3+2 F1——————�
F2→3 F2————�
F1↔F3———�
C M
Y K
34
2. Determ
inants
16.a)Desenvolupem per la primera fila:
b)Desenvolupem per la primera fila:
17.a)
D1D4
b)
D3
D6 i D4D2
c)
D2D4
bac
edf
hgi
bac
edf
hgi
23
23
23
23
−−−
=⋅−= ()
abac
dedf
ghgi
aac
ddf
ggi
bac
edf
h
+−+−+−
=−−−
+
+−−
ggi
abc
def
ghi
abc
def
ghi
k
−=−
−−−
=
==
0
dag
ebh
fci
def
abc
ghi
abc
def
ghi
k ==−=−
5320
3213
1113
1224
5
213
113
224
3
31
−−−−−
=−−
−−−
−−−−−
−+−−
−−
−−−
−−=
=
3
113
124
2
323
113
124
0
321
111
122
5() ⋅−−⋅+⋅−=− 303222190178
1111
2211
3221
1141
1
211
221
141
1
211
3
−−
−−
=−−
−−−
−−−−
−+
−−−
−−−
−=
=⋅
21
141
1
221
321
111
1
221
322
114
11−−⋅+⋅−⋅−= 16111117 ()
D3
d)
D4 i D5D2
18.Les propietats dels determinants són:
D1.El determinant d’una matriu i el de la seva trans-posada coincideixen.
D2.Si es multipliquen per un nombre tots els elementsd’una línia d’una matriu, el seu determinant que-da multiplicat per aquest nombre.
D3.Si els elements d’una línia d’una matriu es des-componen en dos sumands, el seu determinant ésigual a la suma dels dos determinants obtinguts enconsiderar separadament cada sumand d’aquestalínia, i la resta de les línies, iguals a les del deter-minant inicial.
D4.Si s’intercanvien dues línies paral.leles d’una ma-triu, el seu determinant canvia de signe.
D5.Si una matriu té dues línies paral.leles proporcio-nals, el seu determinant és igual a zero.
D6.Si una matriu té dues línies paral.leles iguals, el seudeterminant és igual a zero.
D7.Si una matriu té una línia amb tots els elementsnuls, el seu determinant és igual a zero.
D8.Si una de les línies d’una matriu és combinació li-neal d’unes altres línies paral.leles, el seu deter-minant és igual a zero.
D9.Si a una línia de la matriu se li suma una combi-nació lineal d’unes altres línies paral.leles, el seudeterminant no varia.
—
C1→C1+C3−C2
D3
D2 i D5
+=+=2
2
2
202
aba
ded
ghg
abc
def
ghi
abc
def
ghi
abca
defd
ghig
abc
def
ghi
2
2
2
2
2
2
=+++
=++
CCCC 223112
→−+
abbcca
deeffd
ghhiig
abcca
deff
+++++++++
=++++
2
2dd
ghiig 2++=
caab
fdde
iggh
cab
fde
igh
aab
+−+−+−
=−−−
+
+−
2
2
2
2
2ddde
ggh
abc
def
ghi
abc
def
ghi
k
−−
=−−−
+=
=−=−
2
0
=−⋅−= 236 ()
abc
def
ghi
k
��
�
�
��
�
�
��
��
�
�
34
2. D
eter
min
ants
16. a) Desenvolupem per la primera fila:
b) Desenvolupem per la primera fila:
17. a)
D1 D4
b)
D3
D6 i D4 D2
c)
D2 D4
b a c
e d f
h g i
b a c
e d f
h g i
2 3
2 3
2 3
2 3
−−−
= ⋅ − =( )
a b a c
d e d f
g h g i
a a c
d d f
g g i
b a c
e d f
h
+ −+ −+ −
=−−−
+
+−−
gg i
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
k
−= −
−−−
=
= =
0
d a g
e b h
f c i
d e f
a b c
g h i
a b c
d e f
g h i
k= = − = −
5 3 2 0
3 2 1 3
1 1 1 3
1 2 2 4
5
2 1 3
1 1 3
2 2 4
3
3 1
− − −− −
=− −
− − −
−− − −−
− +− −
− −
−− −
− − =
=
3
1 1 3
1 2 4
2
3 2 3
1 1 3
1 2 4
0
3 2 1
1 1 1
1 2 2
5 ( )⋅ − − ⋅ + ⋅ − = −30 3 22 2 19 0 178
1 1 1 1
2 2 1 1
3 2 2 1
1 1 4 1
1
2 1 1
2 2 1
1 4 1
1
2 1 1
3
−−
− −
=−−
− −−
−−−−
−+
− −−
−−−
−=
= ⋅
2 1
1 4 1
1
2 2 1
3 2 1
1 1 1
1
2 2 1
3 2 2
1 1 4
1 1 −− ⋅ + ⋅ − ⋅ − =1 6 1 1 1 11 7( )
D3
d)
D4 i D5 D2
18. Les propietats dels determinants són:
D1. El determinant d’una matriu i el de la seva trans-posada coincideixen.
D2. Si es multipliquen per un nombre tots els elementsd’una línia d’una matriu, el seu determinant que-da multiplicat per aquest nombre.
D3. Si els elements d’una línia d’una matriu es des-componen en dos sumands, el seu determinant ésigual a la suma dels dos determinants obtinguts enconsiderar separadament cada sumand d’aquestalínia, i la resta de les línies, iguals a les del deter-minant inicial.
D4. Si s’intercanvien dues línies paral.leles d’una ma-triu, el seu determinant canvia de signe.
D5. Si una matriu té dues línies paral.leles proporcio-nals, el seu determinant és igual a zero.
D6. Si una matriu té dues línies paral.leles iguals, el seudeterminant és igual a zero.
D7. Si una matriu té una línia amb tots els elementsnuls, el seu determinant és igual a zero.
D8. Si una de les línies d’una matriu és combinació li-neal d’unes altres línies paral.leles, el seu deter-minant és igual a zero.
D9. Si a una línia de la matriu se li suma una combi-nació lineal d’unes altres línies paral.leles, el seudeterminant no varia.
—
C1 → C1 + C3 − C2
D3
D2 i D5
+ = + =2
2
2
2 0 2
a b a
d e d
g h g
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
a b c a
d e f d
g h i g
a b c
d e f
g h i
2
2
2
2
2
2
=+++
= ++
C C C C2 2 3 112
→ − +
a b b c c a
d e e f f d
g h h i i g
a b c c a
d e f f
+ + ++ + ++ + +
=+ ++ +
2
2 dd
g h i i g2 + +=
c a a b
f d d e
i g g h
c a b
f d e
i g h
a a b
+ −+ −+ −
=−−−
+
+−
2
2
2
2
2 dd d e
g g h
a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
k
−−
=−−−
+ =
= − = −
2
0
= − ⋅ − =2 3 6( )
a b c
d e f
g h i
k
� �
�
�
� �
�
�
� �
� �
�
�
CM
YK
35
2. Determ
inants
19. a)
b)
D3
20. a)
Si calculem el valor de cada sumand:
= 1 ⋅ b ⋅ c = b ⋅ cD3
F2 → F2 − F1
= a [1 ⋅ c + b + bc] =
= ac + ab + abc
a
b
c
ab
c
ac
b
c
1 1
0 1 1
0 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
0 1
++
=+
+=
=+
++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎦⎥ =
=+
+ +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
= + +⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
ac
b c
ac
b bc
1 1
1 11
1 1
0
( )
==
F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0
0 0
++
= =b
c
b
c
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
0 1 1
0 1 1
++
+=
= ++
+ ++
a
b
c
b
c
a
b
cc
=− −
= ⋅ − ⋅ ⋅ =
1 2 4 2
0 3 0 3
0 0 0 0
0 0 0 0
1 3 0 0 0( )
F3 → F3 − 2 F2F4 → F4 − F2
F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − F1
F4 → F4 + 2 F1
1 2 4 2
3 3 12 3
1 4 4 4
2 7 8 7
1 2 4 2
0 3 0 3
0 6 0 6
0 3
− −− − − −
=− −− −− 00 3−
=
1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 1
=−
=
=− 00 1
0 0 1 1
0 0 0 2
1 1 1 2 2= ⋅ − ⋅ ⋅ = −( )
F3 → F3 + F2F4 → F4 + F2F2 → F2 − F1
Finalment:
= (bc) + (ac + ab + abc) = abc + ab + ac + bc
b)
= 1 ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) = (a − 1)3
D2
21. a)
D6
b)
C1 → C1 + C2 + C3 D2D6
22. Desenvolupem el determinant:
F1 → F1 − x F4 D2
F2 → F2 + F4
F1 → F1 + F3 D2
F2 → F2 − F3
=
− −
−−
=
−−
−x
x x
x
x
x
x x
x
x
0 1 1
0 1 0 1
0 1 1
1 0 1
0 0 2
0 0 2
0 1 1
2 2
11 0 1−
=
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
−−
−−
=
− −
−−
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0
0 1 1
1 0 1
2
==
a b c
b c a
a c b
a b c c
a b c a
a b c b
+++
=+ + ++ + ++ + +
1
1
1
1 1
1 1
1 1
==
= + + + =( )1
1 1
1 1
1 1
0a b c
c
a
b
a bc a
b ca b
c ab ca b c
a abc
b bca
−
−
−
= ⋅ ⋅
1
1
1
2
21 1 11
1
cc cab
abcabc
a
b
c
2
2
2
2
1
11 1
1 1
1 1
0
=
= ⋅ =
F1 → a F1F2 → b F2F3 → c F3
F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
a
a
a
a
a
a
=−
−−
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
++
+=
a
b
c
� �
��
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
� �
� �
35
2. D
eter
min
ants
19.a)
b)
D3
20.a)
Si calculem el valor de cada sumand:
=1 ⋅b ⋅c =b ⋅cD3
F2→F2−F1
=a [1 ⋅c +b +bc] =
=ac +ab +abc
a
b
c
ab
c
ac
b
c
11
011
011
11
11
11
11
1
01
++
=+
+=
=+
++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎦⎥=
=+
++⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
=++⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
ac
bc
ac
bbc
11
111
11
0
()
==
F2→F2−F1F3→F3−F1
111
111
111
111
00
00
++
== b
c
b
c
111
111
111
111
111
111
11
011
011
++
+=
=++
+++
a
b
c
b
c
a
b
cc
=−−
=⋅−⋅⋅=
1242
0303
0000
0000
13000 ()
F3→F3−2 F2F4→F4−F2
F2→F2−3 F1F3→F3−F1
F4→F4+2 F1
1242
33123
1444
2787
1242
0303
0606
03
−−−−−−
=−−−−−003−
=
1100
1001
0110
0101
1100
0101
0110
0101
1100
01
=−
=
=−001
0011
0002
11122 =⋅−⋅⋅=− ()
F3→F3+F2F4→F4+F2 F2→F2−F1
Finalment:
=(bc) +(ac +ab +abc) =abc +ab +ac +bc
b)
=1 ⋅(a −1) ⋅(a −1) ⋅(a −1) =(a −1)3
D2
21.a)
D6
b)
C1→C1+C2+C3D2D6
22.Desenvolupem el determinant:
F1→F1−x F4D2
F2→F2+F4
F1→F1+F3D2
F2→F2−F3
=
−−
−−
=
−−
−x
xx
x
x
x
xx
x
x
011
0101
011
101
002
002
011
22
1101−
=
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
−−
−−
=
−−
−−
101
110
011
101
011
00
011
101
2
==
abc
bca
acb
abcc
abca
abcb
+++
=+++++++++
1
1
1
11
11
11
==
=+++= () 1
11
11
11
0 abc
c
a
b
abca
bcab
cabcabc
aabc
bbca
−
−
−
=⋅⋅
1
1
1
2
2 1111
1
cccab
abcabc
a
b
c
2
2
2
2
1
111
11
11
0
=
=⋅=
F1→a F1F2→b F2F3→c F3
F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1
1111
111
111
111
1111
0100
0010
0001
a
a
a
a
a
a
=−
−−
=
111
111
111
++
+=
a
b
c
��
��
�
�
�
�
�
��
�
��
�
��
��
C M
Y K
36
2. Determ
inants
�
�
Per tant, hem de resoldre l’equació x2�(4 �x2) �0, lessolucions de la qual són:
Vegem que els valors x �0, x �2 i x ��2 són solucióde l’equació:
x =0:F4→F4+F2
D7
x =2:
F1→F1+F3
x =−2:
F1→F1+F3
=−−
−−−−
−+
+−−−
−−
−=
=−
2
210
121
012
0
2
120
011
102
0 ()
224240 ()() ⋅−+−⋅=
−−−−
−−−−
=
−−−−
−−
2101
1210
0121
1012
2020
1210
0121
11012 −−
=−−
−+−
−−=
=⋅+⋅
2
210
121
012
02
120
011
102
0
242(−−= 40 )
2101
1210
0121
1012
2020
1210
0121
1012
−−
−−
=−
−−
=
=
−−
−=
0101
1010
0101
0000
0
0101
1010
0101
1010
−−
−−
=
xxxx
xx22
2
2 4000
402() ⋅−=⇔
=⇔=
−=⇔=±
⎧⎨⎪
⎩⎪
=⋅
−−
−−
=
=⋅⋅−
−
xx
x
x
x
x
xx
x
002
002
011
101
112 2
224
22=− xx ()
C2→C2+C1�
Cn→Cn+C1
23.a)
b)
C2→C2−C1�
Cn→Cn−C1
=n ⋅1 ⋅2 ⋅3 ⋅... ⋅(n −1) =n!
24.Calcularem el rang per determinants:
a)�a11�=�3�=3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
i com que l’únic menor d’ordre 2 és �A�, això sig-nifica que rang (A) �1.
b)�a11�=�−3�=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=−5 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
Com que l’únic menor d’ordre 3 és �A��0, rang (A) �2.
A=−−−−=
324
112
324
0
aa
aa1112
2122
32
11=
−−−
=
A=−
−=
31
223
0
=
………………………………
n0000
11000
10200
1
1
0
0
0
0
330
01
…………
……−
=
n
=
……………………
nnnnn
12111
11311
1
1
1
1
1
1
41 1……
=
n
=
……………………
10000
11000
12100
1
1
2
2
2
2
10 21
1111
……
=⋅⋅== …..n
11111
10111
11011
1
1
1
−−−……−−−……−
−……−
.
.
.
11
1
1
01
10
……−
………
=.
�
�
�
�
36
2. D
eter
min
ants
�
�
Per tant, hem de resoldre l’equació x2 � (4 � x2) � 0, lessolucions de la qual són:
Vegem que els valors x � 0, x � 2 i x � �2 són solucióde l’equació:
x = 0:F4 → F4 + F2
D7
x = 2:
F1 → F1 + F3
x = −2:
F1 → F1 + F3
= −−
− −− −
− +
+ −− −
−−
− =
= −
2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
0
2
1 2 0
0 1 1
1 0 2
0( )
22 4 2 4 0( ) ( )⋅ − + − ⋅ =
− −− −
− −− −
=
− −− −
− −
2 1 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1 0 1 2
2 0 2 0
1 2 1 0
0 1 2 1
11 0 1 2− −
= −−
− +−
− − =
= ⋅ + ⋅
2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
0 2
1 2 0
0 1 1
1 0 2
0
2 4 2 (−− =4 0)
2 1 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1 0 1 2
2 0 2 0
1 2 1 0
0 1 2 1
1 0 1 2
−−
−−
=−
−−
=
=
−−
−=
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
−−
−−
=
x xx x
x x2 2
2
24 0
0 0
4 0 2( )⋅ − = ⇔
= ⇔ =
− = ⇔ = ±
⎧⎨⎪
⎩⎪
= ⋅
−−
−−
=
= ⋅ ⋅−
−
x x
x
x
x
x
xx
x
0 0 2
0 0 2
0 1 1
1 0 1
1 122
2242 2= −x x( )
C2 → C2 + C1�
Cn → Cn + C1
23. a)
b)
C2 → C2 − C1�
Cn → Cn − C1
= n ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) = n!
24. Calcularem el rang per determinants:
a) �a11� = �3 � = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
i com que l’únic menor d’ordre 2 és �A �, això sig-nifica que rang (A) � 1.
b) �a11� = �−3 � = −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= −5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
Com que l’únic menor d’ordre 3 és �A � � 0, rang (A) � 2.
A =− − −− =
3 2 4
1 1 2
3 2 4
0
a a
a a11 12
21 22
3 2
1 1=
− −−
=
A =−
−=
3 1
223
0
=
………………………………
n 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 0 2 0 0
1
1
0
0
0
0
33 0
0 1
…………
…… −
=
n
=
……………………
n n n n n
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1
1
1
1
1
1
4 1 1……
=
n
=
……………………
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1
1
2
2
2
2
1 0 2 1
1 1 1 1
……
= ⋅ ⋅ = =…. .n
1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1
1
1
− − − …… −− − …… −
− …… −
.
.
.
11
1
1
0 1
1 0
…… −
………
=.
�
�
�
�
CM
YK
37
2. Determ
inantsc) �a11� = �3 � = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) 4.
A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre4 és �A �.
Per tant, rang (A) � 4 ⇔ �A� � 0.
Vegem, doncs, si rang (A) � 4:
D4
d) �a21� = �1� = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= −3 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
Com que la dimensió de A és 2 � 3, rang (A) � 2.
e) �a11� = �5� = 5 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= 22 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el me-nor anterior:
Per tant, rang (A) � 2.
5 2
1 4
9
1
2 8 2
0
−
− − −=
5 2
1 4
9
1
3 10 7
0
−
−=
a a
a a11 12
21 22
5 2
1 4=
−=
a a
a a11 12
21 22
0 3
1 6= =
= − −− −
= ≠ ⇒ =1
3 1 4
2 2 0
5 3 3
8 0 4rang ( )A
= −−− −
=
1 3 2 6
0 3 1 4
0 2 2 0
0 5 3 3
F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1
= −
−
=
1 3 2 6
1 6 3 10
1 1 4 6
1 2 5 3
A =
−
=
3 1 2 6
6 1 3 10
1 1 4 6
2 1 5 3
a a
a a11 12
21 22
3 1
6 1= =
f ) �a11� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= −2 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
= −12 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 3
Si calculem els dos menors que es poden obtenirorlant el menor anterior:
D2
D5
Per tant, rang (A) � 3.
g) El mètode que estem utilitzant és massa llarg i, pertant, calcularem el rang per Gauss:
− − −− − −− − −− − −− − −
⎛
⎝
⎜1 0 4 4 1
0 2 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 1 1 1
0 3 3 9 9
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1
F5 → F5 − 2 F1
——————�
− − −− − − − −− − − −
− − −− −
1 0 4 4 1
1 2 2 2 7
1 1 3 1 4
0 1 1 1 1
2 3 −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟5 1 11
F2 → F2 − 7 F1F3 → F3 − F1
F4 → F4 − 3 F1
1 0 4
7 2 12
1 1 2
7
21
3
3 3 6 9
1 0 4 7
0 2 16 28
0 1 2
−−
−
=− − −− − −−− − −
=4
0 3 6 12
0
=− −
=− −
=
= ⋅
2
1 8 14
1 2 4
1 10 16
2
0 18 30
0 12 20
1 10 16
2 1188 30
12 200=
F1 → F1 − F3F2 → F2 − F3
=− − −− − −
− −=1
2 16 28
1 2 4
1 10 16
F2 → F2 − 7 F1F3 → F3 − F1
F4 → F4 − 3 F1
1 0 4
7 2 12
1 1 2
7
21
3
3 1 2 5
1 0 4 7
0 2 16 28
0 1 2
−−
=− − −− − −−
− −
=4
0 1 10 16
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 4
7 2 12
1 1 2
= −−
=
a a
a a11 12
21 22
1 0
7 2=
−=
� �
�
�
�
�
�
37
2. D
eter
min
ants
c)�a11�=�3�=3 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
Com que la matriu A és d’ordre 4, rang (A) 4.
A més, com que és quadrada, l’únic menor d’ordre4 és �A�.
Per tant, rang (A) �4 ⇔�A��0.
Vegem, doncs, si rang (A) �4:
D4
d)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=−3 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
Com que la dimensió de A és 2 �3, rang (A) �2.
e)�a11�=�5�=5 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=22 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
Si calculem els dos menors obtinguts en orlar el me-nor anterior:
Per tant, rang (A) �2.
52
14
9
1
282
0
−
−−−=
52
14
9
1
3107
0
−
−=
aa
aa1112
2122
52
14=
−=
aa
aa1112
2122
03
16==
=−−−−
=≠⇒= 1
314
220
533
804 rang() A
=−−−−
=
1326
0314
0220
0533
F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1
=−
−
=
1326
16310
1146
1253
A=
−
=
3126
61310
1146
2153
aa
aa1112
2122
31
61==
f)�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=−2 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
=−12 ≠0 ⇒rang (A) ≥3
Si calculem els dos menors que es poden obtenirorlant el menor anterior:
D2
D5
Per tant, rang (A) �3.
g)El mètode que estem utilitzant és massa llarg i, pertant, calcularem el rang per Gauss:
−−−−−−−−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜10441
02266
01133
01111
03399
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−F1
F5→F5−2 F1
——————�
−−−−−−−−−−−−
−−−−−
10441
12227
11314
01111
23−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 5111
F2→F2−7 F1F3→F3−F1
F4→F4−3 F1
104
7212
112
7
21
3
3369
1047
021628
012
−−
−
=−−−−−−−−−−
=4
03612
0
=−−
=−−
=
=⋅
2
1814
124
11016
2
01830
01220
11016
2118830
12200 =
F1→F1−F3F2→F2−F3
=−−−−−−
−−= 1
21628
124
11016
F2→F2−7 F1F3→F3−F1
F4→F4−3 F1
104
7212
112
7
21
3
3125
1047
021628
012
−−
=−−−−−−−
−−
=4
011016
aaa
aaa
aaa
111213
212223
313233
104
7212
112
=−−
=
aa
aa1112
2122
10
72=
−=
��
�
�
�
�
�
C M
Y K
38
2. Determ
inants
Així, rang (A) �3.
25.•—Determinant de A:
—Transposada de A:
—Adjunta de At:
—Inversa de A:
•—Determinant de B:
—Transposada de B:
—Adjunta de Bt:
AdjBt
()=
=
−−
−−−
−−−−
−−
33
02
13
32
13
30
25
02
05
32
02
300
25
33
05
13
02
13
−−−
−−
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
==
Bt
t
=−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
−−⎛ 013
230
532
025
133
302 ⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
B=−
−−−
=013
230
532
59
AA
AdjAt −==
−−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
=
⎛
⎝
1114
13
22
14
34
12
12
()
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
AdjAt
()=−−
−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
−−−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
13
22
13
22
At
t
=−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
23
21
22
31
A=−
−=−
23
214
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
10441
02266
00022
00000
00000
⎟⎟⎟⎟⎟
F4↔F3
———�
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
10441
02266
00000
00022
00000
⎟⎟⎟⎟⎟
FFF
FFF
FFF
332
442
552
121232
→−
→−
→−—Inversa de B:
•—Determinant de C:
=cos2+sin2=1
Teorema fonamental de la trigonometria
—Transposada de C:
—Adjunta de Ct:
—Inversa de C:
•—Determinant de D:
—Transposada de D:
Dt
t
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
1100
0100
1111
0001
1010
1110
00110
0011
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
D===
==
1100
0100
1111
0001
1
110
010
111
110
111
CC
AdjCCtt −==
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
11()
cossin
sincos
αααα
AdjCt
()=−
−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
=−
cossin
sincos
coss
αααα
αiin
sincos
ααα
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ct
t
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
− cossin
sincos
cossin
sinc
αααα
αααoosα
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
C=−
=cossin
sincos
αααα
BB
AdjBt −==
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=111
59
679
4156
2152
()
==
−−
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
659
759
959
459
1559
659
2159
559
259
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎝⎠
=−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
679
4156
2152
——————�
�
38
2. D
eter
min
ants
Així, rang (A) � 3.
25. • — Determinant de A:
— Transposada de A:
— Adjunta de At:
—Inversa de A:
• — Determinant de B:
— Transposada de B:
— Adjunta de Bt:
Adj Bt( ) =
=
−−
− − −
−− − −
−−
3 3
0 2
1 3
3 2
1 3
3 0
2 5
0 2
0 5
3 2
0 2
3 00
2 5
3 3
0 5
1 3
0 2
1 3
− −−
−−
− −−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
==
Bt
t
=−
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− −
− −⎛0 1 3
2 3 0
5 3 2
0 2 5
1 3 3
3 0 2⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
B =−
−− −
=0 1 3
2 3 0
5 3 2
59
AA
Adj At− = =−
− −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
=
⎛
⎝
1 1 14
1 3
2 2
14
34
12
12
( )
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
Adj At( ) =− −
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
− −− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 3
2 2
1 3
2 2
Att
=−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 3
2 1
2 2
3 1
A =−
−= −
2 3
2 14
− − −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 0 4 4 1
0 2 2 6 6
0 0 0 2 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎟⎟⎟⎟⎟
F4 ↔ F3
———�
− − −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 0 4 4 1
0 2 2 6 6
0 0 0 0 0
0 0 0 2 2
0 0 0 0 0
⎟⎟⎟⎟⎟
F F F
F F F
F F F
3 3 2
4 4 2
5 5 2
121232
→ −
→ −
→ − — Inversa de B:
• — Determinant de C:
= cos2 + sin2 = 1
Teorema fonamental de la trigonometria
— Transposada de C:
— Adjunta de Ct:
— Inversa de C:
• — Determinant de D:
— Transposada de D:
Dt
t
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 1 1
0 0 0 1
1 0 1 0
1 1 1 0
0 0 11 0
0 0 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
D = = =
= =
1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 1 1
0 0 0 1
1
1 1 0
0 1 0
1 1 1
11 0
1 11
CC
Adj C Ct t− = =−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =1 1
( )cos sin
sin cos
α αα α
Adj Ct( ) =−
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
=−
cos sin
sin cos
cos s
α αα α
α iin
sin cos
αα α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ctt
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−cos sin
sin cos
cos sin
sin c
α αα α
α αα oos α
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
C =−
=cos sin
sin cos
α αα α
BB
Adj Bt− = =− −
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=1 1 159
6 7 9
4 15 6
21 5 2
( )
==
− −
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
659
759
959
459
1559
659
2159
559
259
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎝ ⎠
=− −
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
6 7 9
4 15 6
21 5 2
——————�
�
CM
YK
39
2. Determ
inants— Adjunta de Dt:
— Inversa de D:
26. a) �a21� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, noméshi ha un menor d’ordre 2, �A �; aleshores:
rang (A) � 2 ⇔ �A � � 0
Si calculem el determinant:
Per tant:
m = ± 1 ⇒ rang (A) = 1
m ≠ ± 1 ⇒ rang (A) = 2
b) �a21� = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquestmenor són:
L’únic valor de m que anul.la tots aquests orlats ésm � 1. Aleshores, en aquest cas, rang (A) � 1.
Si m � 1, podem considerar el menor:
= 1 − m ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
L’únic menor d’ordre tres de A és �A �:
a a
a a
m21 22
31 32
1
1 1= =
m
mm
mm
mm
mm
1
11
1
1 11
1
1 11
1 1
11
2= − = −
= − = −
Am
mm m= = − = ⇔ = ±
1
11 0 12
DD
Adj Dt− = =
=
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
1 1
11
1 1 0 0
0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1
( )
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 1 0 0
0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1
Adj Dt( ) =
−
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 1 0 0
0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1
= m3 + 1 + 1 − [m + m + m] = m3 − 3 m + 2
Així, �A � = m3 − 3 m + 2 =
Com que rang (A) � 3 ⇔ �A � � 0, podem resumir:
m = 1 ⇒ rang (A) = 1
m = −2 ⇒ rang (A) = 2
m ≠ 1, −2 ⇒ rang (A) = 3
c) Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) 4 i rang (A) � 4 ⇔ �A � � 0.
Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:
C1 → C1 + C2 + C3 + C4 D2
F2 → F2 − F1
F3 → F3 − F1
F4 → F4 − F1
= (m + 3) ⋅ (m − 1)3
Així, �A � = 0 ⇔ m = −3 o m = 1.
Calculem el rang de A per a aquests valors de m:
m � 1: Utilitzant el mètode de Gauss per a deter-minar el rang:
⇒ rang (A) = 1
m = −3:
A =
−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
,
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⇒F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1F4 → F4 − F1
—————�
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= +−
−−
=( )mm
m
m
3
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
= + =( )mm
m
m
3
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
m
m
m
m
m
m m
m m
m m
= =
++++
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
3 1 1 1
3 1 1
3 1 1
3 1 1
==
= − ⋅ + = ⇔== −
⎧⎨⎩
( ) ( )m mm
m1 2 0
1
22
A
m
m
m
= =1 1
1 1
1 1
� �
�
39
2. D
eter
min
ants
—Adjunta de Dt:
—Inversa de D:
26.a)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
Com que la matriu A és quadrada d’ordre 2, noméshi ha un menor d’ordre 2, �A�; aleshores:
rang (A) �2 ⇔�A��0
Si calculem el determinant:
Per tant:
m =±1 ⇒rang (A) =1
m ≠±1 ⇒rang (A) =2
b)�a21�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
Els menors d’ordre 2 que s’obtenen orlant aquestmenor són:
L’únic valor de m que anul.la tots aquests orlats ésm �1. Aleshores, en aquest cas, rang (A) �1.
Si m �1, podem considerar el menor:
=1 −m ≠0 ⇒rang (A) ≥2
L’únic menor d’ordre tres de A és �A�:
aa
aa
m 2122
3132
1
11==
m
mm
mm
mm
mm
1
11
1
111
1
111
11
11
2=−=−
=−=−
Am
mmm ==−=⇔=±
1
1101
2
DD
AdjDt −==
=
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
11
11
1100
0100
1011
0001
()
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟
=
=
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1100
0100
1011
0001
AdjDt
()=
−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1100
0100
1011
0001
=m3+1 +1 −[m +m +m] =m3−3m +2
Així, �A�=m3−3m +2 =
Com que rang (A) �3 ⇔�A��0, podem resumir:
m =1 ⇒rang (A) =1
m =−2 ⇒rang (A) =2
m ≠1, −2 ⇒rang (A) =3
c)Com que la matriu A és quadrada d’ordre 4, rang (A) 4 i rang (A) �4 ⇔�A��0.
Vegem per a quins valors de m el rang de A és 4:
C1→C1+C2+C3+C4D2
F2→F2−F1
F3→F3−F1
F4→F4−F1
=(m +3) ⋅(m −1)3
Així, �A�=0 ⇔m =−3 o m =1.
Calculem el rang de A per a aquests valors de m:
m �1: Utilitzant el mètode de Gauss per a deter-minar el rang:
⇒rang (A) =1
m =−3:
A=
−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3111
1311
1131
1113
,
1111
0000
0000
0000
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⇒F2→F2−F1F3→F3−F1F4→F4−F1
—————�
1111
1111
1111
1111
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=+−
−−
= () mm
m
m
3
1111
0100
0010
0001
=+= () mm
m
m
3
1111
111
111
111
A
m
m
m
m
m
mm
mm
mm
==
++++
111
111
111
111
3111
311
311
311
==
=−⋅+=⇔==−
⎧⎨⎩
()() mmm
m120
1
22
A
m
m
m
==11
11
11
��
�
C M
Y K
40
2. Determ
inants
i com que:
Apartat b)
⇒rang (A) �3, i com que rang (A) �4, ha de serrang (A) �3.
Resumint:
m =1 ⇒rang (A) =1
m =−3 ⇒rang (A) =3
m ≠1, −3 ⇒rang (A) =4
d)�a14�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
=21 ≠0 ⇒rang (A) ≥2
Calculem els dos orlats del menor anterior:
Perquè els dos menors siguin nuls:
−m2−2m +15 =0 ⇒m =3 o m =−5
3m −9 =0 ⇒m =3
Així, com que A té dimensió 3 �4, rang (A) 3;i com que sabem que rang (A) �2, en concloemque rang (A) �2 o rang (A) �3.
Concretament, en funció de m:
m =3 ⇒rang (A) =2
m ≠3 ⇒rang (A) =3
27.Una matriu quadrada A té inversa si i només si �A��0.
Determinarem, doncs, per a quins valors de m és �A��0:
=−8 −m2+0 −[6m +0 +0] =−m2−6m −8
aleshores, �A�=0 ⇔−m2−6m −8 =0 ⇔m =−2 o m =−4.
Per tant, A té inversa si i només si m ��2, �4.
Calculem A�1en el cas particular m �2.
Am
m
=−−
=113
02
04
1
5
101
12
21
39 −=−m
m
6101
12
11
2152 −−=−−+ m
m
mm
aa
aa1314
2324
101
12=
−=
aaa
aaa
aaa
111213
212223
313233
311
131
113
=−
−−
≠
—Determinant de A:
�A�=−22−6 ⋅2 −8 =−24
—Transposada de A:
—Adjunta de At:
—Inversa de A:
28.Primerament efectuem les operacions del membre dela dreta:
Calculem ara la inversa de la matriu que multipli-ca X:
102
213
111
2
110
012
311
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅=
=− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
X
⎠⎠
⎟⎟⎟
−−−
−−−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−−
172
461
713
152
485
111
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
AA
AdjAt −==
−
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
11124
848
4102
422
()⎟⎟
=
=
−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
13
16
13
16
512
112
16
112
112
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
AdjtAt
()=
=
−−−
−−
−−
20
24
10
34
12
32
02
24
12
34
10
32
02
220
12
10
10
12
848
4
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=−
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
102
422
At
t
=−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞ 113
022
204
102
120
324⎠⎠
⎟⎟⎟
�
40
2. D
eter
min
ants
i com que:
Apartat b)
⇒ rang (A) � 3, i com que rang (A) � 4, ha de serrang (A) � 3.
Resumint:
m = 1 ⇒ rang (A) = 1
m = −3 ⇒ rang (A) = 3
m ≠ 1, −3 ⇒ rang (A) = 4
d) �a14 � = �1 � = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
= 21 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 2
Calculem els dos orlats del menor anterior:
Perquè els dos menors siguin nuls:
−m2 − 2 m + 15 = 0 ⇒ m = 3 o m = −5
3 m − 9 = 0 ⇒ m = 3
Així, com que A té dimensió 3 � 4, rang (A) 3;i com que sabem que rang (A) � 2, en concloemque rang (A) � 2 o rang (A) � 3.
Concretament, en funció de m:
m = 3 ⇒ rang (A) = 2
m ≠ 3 ⇒ rang (A) = 3
27. Una matriu quadrada A té inversa si i només si �A� � 0.
Determinarem, doncs, per a quins valors de m és �A� � 0:
= −8 − m2 + 0 − [6 m + 0 + 0] = −m2 − 6 m − 8
aleshores, �A � = 0 ⇔ −m2 − 6 m − 8 = 0 ⇔ m = −2 o m = −4.
Per tant, A té inversa si i només si m � �2, �4.
Calculem A�1 en el cas particular m � 2.
A m
m
=− −
=1 1 3
0 2
0 4
1
5
10 1
1 2
2 1
3 9− = −m
m
6 10 1
1 2
1 1
2 152− − = − − +m
m
m m
a a
a a13 14
23 24
10 1
1 2=
−=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3 1 1
1 3 1
1 1 3
=−
−−
≠
— Determinant de A:
�A� = −22 − 6 ⋅ 2 − 8 = −24
— Transposada de A:
— Adjunta de At:
— Inversa de A:
28. Primerament efectuem les operacions del membre dela dreta:
Calculem ara la inversa de la matriu que multipli-ca X:
1 0 2
2 1 3
1 1 1
2
1 1 0
0 1 2
3 1 1
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅ =
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
X
⎠⎠
⎟⎟⎟
−− −
− − −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=− −
1 7 2
4 6 1
7 1 3
1 5 2
4 8 5
1 1 1
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
AA
Adj At− = =−
−−
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
1 1 124
8 4 8
4 10 2
4 2 2
( )⎟⎟
=
=
− −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
13
16
13
16
512
112
16
112
112
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Adjt At( ) =
=
−− −
−−
−−
2 0
2 4
1 0
3 4
1 2
3 2
0 2
2 4
1 2
3 4
1 0
3 2
0 2
22 0
1 2
1 0
1 0
1 2
8 4 8
4
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=−
−−− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
10 2
4 2 2
At
t
=− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞1 1 3
0 2 2
2 0 4
1 0 2
1 2 0
3 2 4⎠⎠
⎟⎟⎟
�
CM
YK
41
2. Determ
inants— Determinant:
— Transposada:
— Adjunta de la transposada:
1 1
3 1
0 1
2 1
0 1
2 3
2 1
3 1
1 1
2 1
1 2
2 3
2 1
1 1
1 1
0 1
1 2
0
−−
−
− −
−−
− 11
4 2 2
1 1 1
3 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=− −−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟
1 0 2
2 1 3
1 1 1
1 2 1
0 1 1
2 3 1−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
t
1 0 2
2 1 3
1 1 1
2
−= −
— Inversa:
Multiplicant per l’esquerra els dos membres de la igual-tat per aquesta inversa, obtenim la matriu X:
29. Activitat TIC.
30. Activitat TIC.
X =
−
− −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
2 1 1
12
12
12
32
12
12
1 5 2
4 8 5
1 1 1
1 1 0
2 1 2
0 3 1
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 0 2
2 1 3
1 1 1
12
4 2 2
1 1 1
3 1 1
1
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
− −−
−
⎛
⎝
⎜⎜
−
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=
−
− −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2 1 1
12
12
12
32
12
12
⎟⎟⎟⎟
41
2. D
eter
min
ants
—Determinant:
—Transposada:
—Adjunta de la transposada:
11
31
01
21
01
23
21
31
11
21
12
23
21
11
11
01
12
0
−−
−
−−
−−
−11
422
111
311
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
=−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟
102
213
111
121
011
231 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
t
102
213
111
2
−=−
—Inversa:
Multiplicant per l’esquerra els dos membres de la igual-tat per aquesta inversa, obtenim la matriu X:
29.Activitat TIC.
30.Activitat TIC.
X=
−
−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⋅
211
12
12
12
32
12
12
152
485
111
110
212
031
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
102
213
111
12
422
111
311
1
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜
−
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
=
−
−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
211
12
12
12
32
12
12
⎟⎟⎟⎟
C M
Y K
42
3. Sistem
es d’equacions lineals
1.EQUACIONS LINEALS
1.a)
•Els coeficients són 3, 5, −1, .
•El terme independent és 2.
b)
•Els coeficients són 2, −1, 7, 1, .
•El terme independent és −3.
c)x +y +z =0
•Els coeficients són 1, 1, 1.
•El terme independent és 0.
2.Una terna (a, b, c) és solució de 3 x �y �2 z �0 sies compleix la igualtat 3 a �b �2 c �0; aleshores:
a)3 ⋅1 −(−1) +2 ⋅3 =10 ≠0 ⇒(1, −1, 3) no és so-lució.
b)3 ⋅(−4) −8 +2 ⋅10 =0 ⇒(−4, 8, 10) és solució.
c)3 ⋅7 −0 +2 ⋅(−8) =5 ≠0 ⇒(7, 0, −8) no és solu-ció.
3.Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus
a1x +a2y +a3z +a4t =b
Perquè (3, 1, �2, 0) sigui solució, s’ha de complir:
a1⋅3 +a2⋅1 +a3⋅(−2) +a4⋅0 ==3a1+a2−2a3=b
Si fixem, per exemple, a1�a2�a3�a4�1, el valorde b que fa certa la igualtat anterior és:
b =3 ⋅1 +1 −2 ⋅1 =2
La resposta suggerida és x �y �z �t �2.
2.SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
4.a)Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:
−2
2723 12345 xxxxx −++−=−
12
3512
2 xyzt +−+=
•Recta 2x −3y =1:
•Recta 3x +5y =0:
Tot i que el punt de tall no es veu de manera exac-ta, està clar que n’hi ha un i és únic. Aleshores, estracta d’un sistema compatible determinat.
b)Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:
•Recta −5x +2y =3:
•Recta 5x −2y =8:x
y
02
41 −
x
y
−−
11
14
x
y
05
03 −
x
y
−−
12
11
123 –2
1
2
3
–2
X
Y2x – 3y = 1
–1 –34
–33x + 5y = 0
–1
123 –2
1
2
3
–2
X
Y
–1 –34
–3
–4
–5x + 2y = 3
5x – 2y = 8
–1
Sistemesd’equacions lineals 3
42
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
1. EQUACIONS LINEALS
1. a)
• Els coeficients són 3, 5, −1, .
• El terme independent és 2.
b)
• Els coeficients són 2, −1, 7, 1, .
• El terme independent és −3.
c) x + y + z = 0
• Els coeficients són 1, 1, 1.
• El terme independent és 0.
2. Una terna (a, b, c) és solució de 3 x � y � 2 z � 0 sies compleix la igualtat 3 a � b � 2 c � 0; aleshores:
a) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 3 = 10 ≠ 0 ⇒ (1, −1, 3) no és so-lució.
b) 3 ⋅ (−4) − 8 + 2 ⋅ 10 = 0 ⇒ (−4, 8, 10) és solució.
c) 3 ⋅ 7 − 0 + 2 ⋅ (−8) = 5 ≠ 0 ⇒ (7, 0, −8) no és solu-ció.
3. Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus
a1x + a2y + a3z + a4t = b
Perquè (3, 1, �2, 0) sigui solució, s’ha de complir:
a1 ⋅ 3 + a2 ⋅ 1 + a3 ⋅ (−2) + a4 ⋅ 0 == 3 a1 + a2 − 2 a3 = b
Si fixem, per exemple, a1 � a2 � a3 � a4 � 1, el valorde b que fa certa la igualtat anterior és:
b = 3 ⋅ 1 + 1 − 2 ⋅ 1 = 2
La resposta suggerida és x � y � z � t � 2.
2. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
4. a) Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:
− 2
2 7 2 31 2 3 4 5x x x x x− + + − = −
12
3 512
2x y z t+ − + =
• Recta 2 x − 3 y = 1:
• Recta 3 x + 5 y = 0:
Tot i que el punt de tall no es veu de manera exac-ta, està clar que n’hi ha un i és únic. Aleshores, estracta d’un sistema compatible determinat.
b) Representem gràficament les rectes a partir delspunts de pas:
• Recta −5 x + 2 y = 3:
• Recta 5 x − 2 y = 8: x
y
0 2
4 1−
x
y
−−
1 1
1 4
x
y
0 5
0 3−
x
y
−−
1 2
1 1
1 2 3–2
1
2
3
–2
X
Y2x – 3y = 1
–1–3 4
–33x + 5y = 0
–1
1 2 3–2
1
2
3
–2
X
Y
–1–3 4
–3
–4
–5x + 2y = 3
5x – 2y = 8
–1
Sistemesd’equacions lineals3
CM
YK
43
3. Sistem
es d’equacions linealsEs tracta de dues rectes paral.leles, i això compor-ta que el sistema no té solució. Aleshores, és un sis-tema incompatible.
c) Representem gràficament les rectes:
• Recta 3 x + 3 y = 3:
• Recta 2 x + 2 y = 2:
Resulten ser dues rectes coincidents i, per tant, elsistema té infinites solucions. Aleshores, es tractad’un sistema compatible indeterminat.
3. RESOLUCIÓ I CLASSIFICACIÓ DE SISTEMES
5. a) Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resol-dre per substitució regressiva:
— Resolem la tercera equació, que ens dóna el va-lor de z:
— Substituïm el valor de z en la segona equació iobtenim el valor de y:
— Substituïm els valors de z i y en la primera equa-ció i obtenim el valor de x:
Per tant, la solució del sistema és .
b) — Sumem a la segona equació la primera multi-plicada per –3, i sumem a la tercera la primeramultiplicada per �4:
13
1 0, ,−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
131
0
x
y
z
=
= −=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎭⎪⎪
→3 1 5 0 2
1
0
x
y
z
− − + ⋅ == −=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
( )
3 5 2
7 0 7
0
3 5 2
1
0
x y z
y
z
x y z
y
z
− + =− + =
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→− + =
= −=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪
3 5 2
7 7
2 0
3 5 2
7 7
x y z
y z
z
x y z
y z
z
− + =− + =
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→− + =
− + ===
⎫
⎬⎪
⎭⎪0
x
y
0 1
1 0
x
y
0 1
1 0— Multipliquem la segona equació per
perquè el coeficient de y sigui l:
— Sumem a la tercera equació la segona multipli-cada per 8:
— Resolem el sistema esglaonat, equivalent al departida, per substitució regressiva:
La solució del sistema és (2, 0, �1).
6. La matriu ampliada associada al sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss amb notació matricial:
Resolent per substitució regressiva:
La solució és .−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
53
53
23
, ,
z
y z
x y z
= =
= + = + =
= − + + = − ⋅ + + =
69
23
123
153
2 1 253
23
1 −− 53
− − + = −− + = −
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
x y z
y z
z
2 1
1
9 6
———�
− − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1 1
0 1 1 1
0 0 9 6
F3 → F3 − 3 F2
——————�
− − −− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1 1
0 1 1 1
0 3 12 3
F2 → F2 + 2 F1F3 → F3 + 3 F1
——————�
− − −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1 1
2 3 1 1
3 3 9 6
′ =− − −
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 2 1 1
2 3 1 1
3 3 9 6
z
y z
x y z
= −= + = + − == − + = − ⋅ + − =
1
1 1 1 0
4 3 2 4 3 0 2 1
( )
( ) 22
x y z
y z
y z
x y z
y z
+ − =− =
− + = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+ − =
−3 2 4
1
8 10 10
3 2 4
=== −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
2 2z
x y z
y z
y z
x y z+ − =− + = −
− + = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+ − =3 2 4
7 7 7
8 10 10
3 2 44
1
8 10 10
y z
y z
− =− + = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
− 17
x y z
x y z
x y z
x y z+ − =+ + =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+ − =3 2 4
3 2 5
4 4 2 6
3 2 4
−− + = −− + = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
7 7 7
8 10 10
y z
y z
1 2 3–2
1
2
3
–2
X
Y
3x + 3y = 3
–1–3 4
–3
–1
2x + 2y = 2
43
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
Es tracta de dues rectes paral.leles, i això compor-ta que el sistema no té solució. Aleshores, és un sis-tema incompatible.
c)Representem gràficament les rectes:
•Recta 3x +3y =3:
•Recta 2x +2y =2:
Resulten ser dues rectes coincidents i, per tant, elsistema té infinites solucions. Aleshores, es tractad’un sistema compatible indeterminat.
3.RESOLUCIÓ I CLASSIFICACIÓ DE SISTEMES
5.a)Es tracta d’un sistema esglaonat que podem resol-dre per substitució regressiva:
—Resolem la tercera equació, que ens dóna el va-lor de z:
—Substituïm el valor de z en la segona equació iobtenim el valor de y:
—Substituïm els valors de z i y en la primera equa-ció i obtenim el valor de x:
Per tant, la solució del sistema és .
b)—Sumem a la segona equació la primera multi-plicada per –3, i sumem a la tercera la primeramultiplicada per �4:
13
10 ,, − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
131
0
x
y
z
=
=−=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎭⎪⎪
→31502
1
0
x
y
z
−−+⋅==−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
()
352
707
0
352
1
0
xyz
y
z
xyz
y
z
−+=−+=
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→−+=
=−=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪
352
77
20
352
77
xyz
yz
z
xyz
yz
z
−+=−+=
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→−+=
−+===
⎫
⎬⎪
⎭⎪ 0
x
y
01
10
x
y
01
10—Multipliquem la segona equació per
perquè el coeficient de y sigui l:
—Sumem a la tercera equació la segona multipli-cada per 8:
—Resolem el sistema esglaonat, equivalent al departida, per substitució regressiva:
La solució del sistema és (2, 0, �1).
6.La matriu ampliada associada al sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss amb notació matricial:
Resolent per substitució regressiva:
La solució és . −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
53
53
23
,,
z
yz
xyz
==
=+=+=
=−++=−⋅++=
69
23
123
153
21253
23
1−−53
−−+=−−+=−
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
xyz
yz
z
21
1
96
———�
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1211
0111
0096
F3→F3−3 F2
——————�
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1211
0111
03123
F2→F2+2 F1F3→F3+3 F1
——————�
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1211
2311
3396
′=−−−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
1211
2311
3396
z
yz
xyz
=−=+=+−==−+=−⋅+−=
1
1110
43243021
()
()22
xyz
yz
yz
xyz
yz
+−=−=
−+=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+−=
−324
1
81010
324
===−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
22 z
xyz
yz
yz
xyz +−=−+=−
−+=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+−= 324
777
81010
3244
1
81010
yz
yz
−=−+=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−17
xyz
xyz
xyz
xyz +−=++=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
→+−= 324
325
4426
324
−−+=−−+=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
777
81010
yz
yz
123 –2
1
2
3
–2
X
Y
3x + 3y = 3
–1 –34
–3
–1
2x + 2y = 2
C M
Y K
44
3. Sistem
es d’equacions lineals
7.a)La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:
Aplicant el mètode de Gauss:
Aquesta matriu està associada a un sistema amb elmateix nombre d’equacions que d’incògnites:
Així, tenim un sistema compatible determinat.
Per substitució regressiva:
La solució és (�1, 4).
b)La matriu associada al sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss:
23115
04218
0015
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF 3343
→−
23115
04218
003
4154
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
FFF 33258
→−
23115
04218
05
212
152
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→F2−F1
——————�
′=−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
23115
2113
1100
y
x
=⋅=
=−+⋅=−
22211
4
732
41
xy
y
−=−
=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
32
7
112
22
132
7
0112
22
−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−5 F1
——————�
132
7
5213
−−
−−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
FF 1114
→
′=−−−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
4628
5213
Obtenim la matriu associada a un sistema amb lesmateixes equacions que incògnites:
El sistema és compatible determinat i, fent substi-tució regressiva, obtenim:
Així, la solució és (2, 2, �5).
c)La matriu ampliada associada al sistema és:
Aplicant el mètode de Gauss:
Aquesta és la matriu associada a un sistema amb mésincògnites que equacions:
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeter-minat dependent de 3 �2 �1 paràmetre.
Prenent com a paràmetre la variable z, tenim:
Les solucions són , λ∈�.
d)La matriu ampliada associada a aquest sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss:
La segona fila correspon a l’equació
0x +0y =−7
−−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
242
007F2→F2−4 F1
——————�
′=−−−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
242
8161
152
52
,, + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ λλ
z
y
x
=
=+=+
=−+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+=
λ
λλ
λλ
12
2552
1052
152
[]
xyz
yz
+−=−+=−
⎫⎬⎭
10
225
11110
0225
−−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2→F2−F1
—————�
′=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
11110
1115
z
y
x
=−
=⋅⋅−+=
=−⋅+−
5
14
25182
12
15325
(())
(()))=2
2315
4218
5
xyz
yz
z
+−=−+=−
=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
——————�
————�
————�
FFF 33112
→−
44
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
7. a) La matriu ampliada associada a aquest sistema d’equacions és:
Aplicant el mètode de Gauss:
Aquesta matriu està associada a un sistema amb elmateix nombre d’equacions que d’incògnites:
Així, tenim un sistema compatible determinat.
Per substitució regressiva:
La solució és (�1, 4).
b) La matriu associada al sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss:
2 3 1 15
0 4 2 18
0 0 1 5
−− −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F3 343
→ −
2 3 1 15
0 4 2 18
0 03
4154
−− −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F F F3 3 258
→ −
2 3 1 15
0 4 2 18
05
212
152
−− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1
——————�
′ =−
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
2 3 1 15
2 1 1 3
1 1 0 0
y
x
= ⋅ =
= − + ⋅ = −
22211
4
732
4 1
x y
y
− = −
=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
32
7
112
22
132
7
0112
22
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 5 F1
——————�
132
7
5 2 13
− −
− −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
F F1 114
→
′ =− −− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A4 6 28
5 2 13
Obtenim la matriu associada a un sistema amb lesmateixes equacions que incògnites:
El sistema és compatible determinat i, fent substi-tució regressiva, obtenim:
Així, la solució és (2, 2, �5).
c) La matriu ampliada associada al sistema és:
Aplicant el mètode de Gauss:
Aquesta és la matriu associada a un sistema amb mésincògnites que equacions:
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible indeter-minat dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre.
Prenent com a paràmetre la variable z, tenim:
Les solucions són , λ ∈ � .
d) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:
Si apliquem el mètode de Gauss:
La segona fila correspon a l’equació
0 x + 0 y = −7
− −−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 4 2
0 0 7F2 → F2 − 4 F1
——————�
′ =− −− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A2 4 2
8 16 1
152
52
, ,+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
λ λ
z
y
x
=
= + = +
= − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ =
λ
λ λ
λ λ
12
2 552
1052
152
[ ]
x y z
y z
+ − =− + = −
⎫⎬⎭
10
2 2 5
1 1 1 10
0 2 2 5
−− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2 → F2 − F1
—————�
′ =−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A1 1 1 10
1 1 1 5
z
y
x
= −
= ⋅ ⋅ − + =
= − ⋅ + −
5
14
2 5 18 2
12
15 3 2 5
( ( ) )
( ( ))) = 2
2 3 15
4 2 18
5
x y z
y z
z
+ − =− + = −
= −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
——————�
————�
————�
F F F3 3 112
→ −
CM
YK
45
3. Sistem
es d’equacions linealsque no té solucions. Per tant, el sistema és incom-patible.
e) La matriu ampliada associada al sistema és:
Hi apliquem el mètode de Gauss:
Aquesta és la matriu associada a un sistema esglao-nat amb el mateix nombre d’equacions que d’incòg-nites:
Es tracta d’un sistema compatible determinat.
Podem obtenir la solució per substitució regressi-va:
La solució és .
f ) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:
Aplicant el mètode de Gauss:
L’última fila correspon a l’equació
0 x + 0 y = 0
que és redundant, ja que es compleix per a tot va-lor de x i y.
1 4 5
0 1 1
0 0 0
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F2 219
→
1 4 5
0 9 9
0 0 0
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 2 F1
——————�
′ =− −
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 4 5
2 1 1
2 8 10
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1918
209
0, ,
z
y
x
=
= ⋅ − = −
= + ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
19
26 0 20209
12
9 5209
[ ]
−− ⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = −12 0
1918
2 5 12 9
9 26 20
24 0
x y z
y z
z
− + =− = −
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2 5 12 9
0 9 26 20
0 0 24 0
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 − F2
—————�
2 5 12 9
0 9 26 20
0 9 2 20
−− −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − F1
——————�
′ =−− − −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
2 5 12 9
4 1 2 2
2 4 10 11
Per tant, el sistema de partida és equivalent al se-güent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 in-cògnites:
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible deter-minat.
Podem obtenir-ne la solució per substitució re-gressiva:
La solució és (�1, 1).
8. a) Podem escriure el sistema matricialment:
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular; és a dir, �A� � 0:
Per tant, podem resoldre el sistema pel mètode dela matriu inversa:
La solució del sistema és x � 2, y � �2, z � 1.
b) Escrivim el sistema en notació matricial:
Comprovem que la matriu de coeficients és re-gular:
Multipliquem per l’esquerra els dos membres del’equació matricial anterior per la inversa de la ma-triu de coeficients:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
16 0−−
= − ≠
1 1 1
1 2 3
2 2 2
2
8
4
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
⎛x
y
z ⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
x
y
z
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅ −⎛−
2 4 5
1 3 3
3 3 2
1
1
2
1
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−
⋅− −
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
18
3 7 3
7 11 1
6 6 2
⋅ −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1
2
2
2
1
A = = − ≠2 4 5
1 3 3
3 3 2
8 0
2 4 5
1 3 3
3 3 2
1
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −⎛
⎝
⎜x
y
z⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
y
x
== − + ⋅ = −
1
5 4 1 1
x y
y
− = −=
⎫⎬⎭
4 5
1
45
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
que no té solucions. Per tant, el sistema és incom-patible.
e)La matriu ampliada associada al sistema és:
Hi apliquem el mètode de Gauss:
Aquesta és la matriu associada a un sistema esglao-nat amb el mateix nombre d’equacions que d’incòg-nites:
Es tracta d’un sistema compatible determinat.
Podem obtenir la solució per substitució regressi-va:
La solució és .
f)La matriu ampliada associada a aquest sistema és:
Aplicant el mètode de Gauss:
L’última fila correspon a l’equació
0x +0y =0
que és redundant, ja que es compleix per a tot va-lor de x i y.
145
011
000
−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF 2219
→
145
099
000
−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1F3→F3−2 F1
——————�
′=−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
145
211
2810
−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1918
209
0 ,,
z
y
x
=
=⋅−=−
=+⋅−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
19
26020209
12
95209
[]
−−⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=− 120
1918
25129
92620
240
xyz
yz
z
−+=−=−
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
25129
092620
00240
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3−F2
—————�
25129
092620
09220
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1F3→F3−F1
——————�
′=−−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
25129
4122
241011
Per tant, el sistema de partida és equivalent al se-güent sistema esglaonat amb 2 equacions i 2 in-cògnites:
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible deter-minat.
Podem obtenir-ne la solució per substitució re-gressiva:
La solució és (�1, 1).
8.a)Podem escriure el sistema matricialment:
Comprovem que la matriu de coeficients, A, és re-gular; és a dir, �A��0:
Per tant, podem resoldre el sistema pel mètode dela matriu inversa:
La solució del sistema és x �2, y ��2, z �1.
b)Escrivim el sistema en notació matricial:
Comprovem que la matriu de coeficients és re-gular:
Multipliquem per l’esquerra els dos membres del’equació matricial anterior per la inversa de la ma-triu de coeficients:
111
123
222
160 −−
=−≠
111
123
222
2
8
4
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−
⎛ x
y
z⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
x
y
z
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⋅−
⎛−
245
133
332
1
1
2
1
⎝⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
=−
⋅−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
18
373
7111
662
⋅−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
1
2
2
2
1
A==−≠245
133
332
80
245
133
332
1
1
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=−
⎛
⎝
⎜x
y
z⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
y
x
==−+⋅=−
1
5411
xy
y
−=−=
⎫⎬⎭
45
1
C M
Y K
46
3. Sistem
es d’equacions lineals
La solució del sistema és x �1, y �2, z ��1.
9.a)Les matrius associades al sistema són:
El rang de A és 2, ja que:
•La dimensió de A és 2 �2 ⇒rang (A) 2.
•
Per tant, el rang de A�també és 2, ja que:
•rang (A�) �rang (A) �2
•La dimensió de A�es 2 �3 ⇒rang (A�) 2.
Per tant:
rang (A) �rang (A�) �2 ⇒Sistema compatible
i, com que n �2, és un sistema compatible deter-minat.
b)Les matrius associades al sistema són:
El rang de A és 1, ja que:
•�a11�=�1�=1 ≠0 ⇒rang (A) ≥1
•L’únic menor d’ordre 2 de A és
El rang de A�és també 1, ja que:
•rang (A�) �rang (A) �1.
•Els únics orlats de �a11�són:
Per tant:
rang (A) �rang (A�) �1 ⇒Sistema compatible
i, com que n �2 �1, és indeterminat.
, aleshores, rang (A�) <211
110
−−= �A�=0 i
AA =−
−=⇒<
11
1102 rang()
′=−
−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
111
111A=
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11
11
AA =−
=−≠⇒≥12
11302 rang()
′=−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
121
112A=
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
11
x
y
z
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⋅
−
−111
123
222
2
8
1
44
116
245
804
641
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
=−
⋅−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⋅
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2
8
4
1
2
1
c)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de A:
•
•
Per tant, rang (A) �2.
Calculem el rang de A�:
•
⇒rang (A�) �2
•Els únics orlats del menor anterior són:
Aleshores, rang (A�) �3.
Per tant, rang (A�) �2.
Així, rang (A)�2�rang (A�)⇒Sistema compatible
i, com que n �3 �2, és un sistema indeterminat.
d)Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de cadascuna:
•
•
Per tant, rang (A) �2.
•
⇒rang (A�) �2
és un menor no nul de A�⇒−11
51
aa
aa
A
1112
2122
11
5160
2
=−
=−≠⇒
⇒≥ rang()
AA =−−
=⇒<111
512
421
03 rang()
′=−−−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
1111
5123
4210
A=−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
111
512
421
A=−−
= 0
21
11
3
0
253
0
també és un menor no nul de A�⇒21
11
−
aa
aaA
1112
2122
21
11302 =
−=≠⇒≥ rang()
AA =−
=⇒<213
111
251
03 rang()
′=−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
2133
1110
2513A=
− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
213
111
251
46
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
La solució del sistema és x � 1, y � 2, z � �1.
9. a) Les matrius associades al sistema són:
El rang de A és 2, ja que:
• La dimensió de A és 2 � 2 ⇒ rang (A) 2.
•
Per tant, el rang de A� també és 2, ja que:
• rang (A�) � rang (A) � 2
• La dimensió de A� es 2 � 3 ⇒ rang (A�) 2.
Per tant:
rang (A) � rang (A�) � 2 ⇒ Sistema compatible
i, com que n � 2, és un sistema compatible deter-minat.
b) Les matrius associades al sistema són:
El rang de A és 1, ja que:
• �a11� = �1� = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A) ≥ 1
• L’únic menor d’ordre 2 de A és
El rang de A� és també 1, ja que:
• rang (A�) � rang (A) � 1.
• Els únics orlats de �a11� són:
Per tant:
rang (A) � rang (A�) � 1 ⇒ Sistema compatible
i, com que n � 2 � 1, és indeterminat.
, aleshores, rang (A�) < 21 1
1 10
− −=�A� = 0 i
A A=−
−= ⇒ <
1 1
1 10 2rang ( )
′ =−
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A1 1 1
1 1 1A =
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 1
1 1
A A=−
= − ≠ ⇒ ≥1 2
1 13 0 2rang ( )
′ =−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A1 2 1
1 1 2A =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1 2
1 1
x
y
z
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⋅−
−1 1 1
1 2 3
2 2 2
2
8
1
44
116
2 4 5
8 0 4
6 4 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=−
⋅− − −−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2
8
4
1
2
1
c) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de A:
•
•
Per tant, rang (A) � 2.
Calculem el rang de A�:
•
⇒ rang (A�) � 2
• Els únics orlats del menor anterior són:
Aleshores, rang (A�) � 3.
Per tant, rang (A�) � 2.
Així, rang (A)�2� rang (A�) ⇒ Sistema compatible
i, com que n � 3 � 2, és un sistema indeterminat.
d) Les matrius associades al sistema són:
Calculem el rang de cadascuna:
•
•
Per tant, rang (A) � 2.
•
⇒ rang (A�) � 2
és un menor no nul de A� ⇒−1 1
5 1
a a
a a
A
11 12
21 22
1 1
5 16 0
2
=−
= − ≠ ⇒
⇒ ≥rang ( )
A A=− −
= ⇒ <1 1 1
5 1 2
4 2 1
0 3rang ( )
′ =− − −
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 1 1 1
5 1 2 3
4 2 1 0
A =− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1
5 1 2
4 2 1
A =− −
=0
2 1
1 1
3
0
2 5 3
0
també és un menor no nul de A� ⇒2 1
1 1
−
a a
a aA11 12
21 22
2 1
1 13 0 2=
−= ≠ ⇒ ≥rang ( )
A A=−
= ⇒ <2 1 3
1 1 1
2 5 1
0 3rang ( )
′ =− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
2 1 3 3
1 1 1 0
2 5 1 3A =
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2 1 3
1 1 1
2 5 1
CM
YK
47
3. Sistem
es d’equacions lineals• Els únics orlats d’aquest menor en A� són:
Aleshores, rang (A�) � 3.
• La dimensió de A� és 3 � 4 ⇒ rang (A�) 3
Per tant, rang (A�) � 3.
Així, rang (A) � 2 � 3 � rang (A�) ⇒ Sistema in-compatible
e) Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat ante-rior una equació (l’última, 3 x � 3 y � �1).
Aquell sistema era incompatible, i això comportaque cap terna de valors no satisfà simultàniamentles tres primeres equacions.
Per tant, cap terna de valors no satisfarà les quatreequacions d’aquest sistema.
Així, el sistema és incompatible.
10. a) La matriu de coeficients i el seu determinant són:
És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites ambla matriu de coeficients regular. Aleshores, és reso-luble per Cramer:
b) La matriu de coeficients i el seu determinant són:
És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites lamatriu de coeficients del qual és regular. Aleshores,és resoluble per Cramer:
A
A
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −−
= − ≠
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 1 1
1 2 3
2 2 2
16 0
zA
= =−
− =1 18
2 4 1
1 3 1
3 3 2
13Δ
yA
= =−
− = −1 18
2 1 5
1 1 3
3 2 2
22Δ
xA
= =−
− =1 18
1 4 5
1 3 3
2 3 2
21Δ
A A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= = − ≠2 4 5
1 3 3
3 3 2
2 4 5
1 3 3
3 3 2
8 0,
A =− −
− = − ≠0
1 1
5 1
1
3
4 2 0
24 0
11. a) Segons la classificació de l’exercici 9 de la pàgina58, els sistemes compatibles indeterminats que cal re-soldre corresponen als apartats b i c.b) Tenim el sistema
Que té associada una matriu de rang 1, prenent el me-nor M11, amb determinant diferent de zero. Per tant,el sistema es redueix a l’equació:
D’on, considerant la columna 1 del sistema, prenem laincògnita y com a paràmetre λ. D’on
La solució del sistema és, doncs:
c) Tenim el sistema
Amb la matriu associada
Amb
Sabem que és compatible indeterminat per l’exercici9, i el menor que hem utilitzat per a classificar-lo ha es-tat:
De determinant diferent de zero.Considerem la incògnita z com a paràmetre λ, i rees-crivim el sistema com:
2 3 3x y
x y
− = − −+ = −
⎫⎬⎭
λλ
2 1
1 1
−
A = 0
A =−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2 1 3
1 1 1
2 5 1
2 3 3
0
2 5 3
x y z
x y z
x y z
− + = −+ + =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
x
y
= +=
1 λλ
x
x
− == +
λλ
1
1
x y− = 1
x y
x y
− =− + =
⎫⎬⎭
1
1
zA
= =−
− −= −1 1
16
1 1 2
1 2 8
2 2 4
13Δ
yA
= =−
−−
=1 116
1 2 1
1 8 3
2 4 2
22Δ
xA
= =−
−− −
=1 116
2 1 1
8 2 3
4 2 2
11Δ
47
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
•Els únics orlats d’aquest menor en A�són:
Aleshores, rang (A�) �3.
•La dimensió de A�és 3 �4 ⇒rang (A�) 3
Per tant, rang (A�) �3.
Així, rang (A) �2 �3 �rang (A�) ⇒Sistema in-compatible
e)Aquest sistema s’obté afegint al de l’apartat ante-rior una equació (l’última, 3 x �3 y ��1).
Aquell sistema era incompatible, i això comportaque cap terna de valors no satisfà simultàniamentles tres primeres equacions.
Per tant, cap terna de valors no satisfarà les quatreequacions d’aquest sistema.
Així, el sistema és incompatible.
10.a)La matriu de coeficients i el seu determinant són:
És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites ambla matriu de coeficients regular. Aleshores, és reso-luble per Cramer:
b)La matriu de coeficients i el seu determinant són:
És un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites lamatriu de coeficients del qual és regular. Aleshores,és resoluble per Cramer:
A
A
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
=−≠
111
123
222
111
123
222
160
zA
==−
−=11
8
241
131
332
1 3 Δ
yA
==−
−=−11
8
215
113
322
2 2 Δ
xA
==−
−=11
8
145
133
232
2 1 Δ
AA =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟==−≠
245
133
332
245
133
332
80 ,
A=−−
−=−≠ 0
11
51
1
3
420
240
11.a)Segons la classificació de l’exercici 9 de la pàgina58, els sistemes compatibles indeterminats que cal re-soldre corresponen als apartats b i c.b)Tenim el sistema
Que té associada una matriu de rang 1, prenent el me-nor M11, amb determinant diferent de zero. Per tant,el sistema es redueix a l’equació:
D’on, considerant la columna 1 del sistema, prenem laincògnita y com a paràmetre λ. D’on
La solució del sistema és, doncs:
c)Tenim el sistema
Amb la matriu associada
Amb
Sabem que és compatible indeterminat per l’exercici9, i el menor que hem utilitzat per a classificar-lo ha es-tat:
De determinant diferent de zero.Considerem la incògnita z com a paràmetre λ, i rees-crivim el sistema com:
233 xy
xy
−=−−+=−
⎫⎬⎭
λλ
21
11
−
A=0
A=− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
213
111
251
233
0
253
xyz
xyz
xyz
−+=−++=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
x
y
=+=
1λλ
x
x
−==+
λλ
1
1
xy −=1
xy
xy
−=−+=
⎫⎬⎭
1
1
zA
==−
−−=−
1116
112
128
224
1 3 Δ
yA
==−
−−
=11
16
121
183
242
2 2 Δ
xA
==−
−−−
=11
16
211
823
422
1 1 Δ
C M
Y K
48
3. Sistem
es d’equacions lineals
El determinant de la matriu associada al nou sistemaés no nul:
Per tant, el podem resoldre per Cramer:
La solució del sistema és:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
12.a)
————————�
Si 9 (k �3) �0, és a dir, k ��3, el sistema és com-patible determinat.
1122
0594
009348 ()() kk ++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→−5 F3
—————�
1122
0594
0095
345
8 −+−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟ ()() kk
FFk
F 3322
5→−
−
1122
0594
0298 k−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2↔F3
———�
1122
0298
0594
k−−−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1F3→F3+3 F1
——————�
1122
254
3232
k−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1↔F3
———�
′=−−
−−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ Ak
3232
254
1122
z=λ
y=+ 113
λ
x=−− 143
λ
y=+=+13
3113
() λλ
yA
=Δ=−−
−11
3
233
12
λλ
x=−−=−−13
34143
() λλ
xA
=Δ=−−−
−11
3
31
11
λλ
A=−
=≠21
1130
Si k ��3, la forma esglaonada de la matriu am-pliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0 x �0 y ��0 z �20, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.
En resum:
k ��3 ⇒Sistema compatible determinat
k ��3 ⇒Sistema incompatible
b)
El determinant de la matriu de coeficients esglao-nada és:
=1 (k −1)(−k2−k +2)
Si aquest determinant és no nul, el sistema és com-patible determinat. Vegem per a quins valors de kno succeeix això:
0 =(k −1) (−k2−k +2) ⇔
Així, si k �1 i k ��2, el sistema és compatible de-terminat.
Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos va-lors de k descartats:
•k �1.La forma esglaonada de la matriu ampliadaés:
1111
0000
0000
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇔−=⇔=
−−+=⇔==−
⎧⎨⎪
⎩⎪
kk
kkkok
101
20122
11
011
0022
k
kk
kk
−−
−−+
=
11
0110
00212
kk
kk
kkkk
−−
−−+−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ ()
F3→F3+F2
—————�
11
0110
01122
kk
kk
kkkk
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−k F1
——————�
11
11
11
kk
kk
kk
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1↔F3
———�
′=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
kk
kk
kk
11
11
11
1122
0594
00020
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
48
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
El determinant de la matriu associada al nou sistemaés no nul:
Per tant, el podem resoldre per Cramer:
La solució del sistema és:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
12. a)
————————�
Si 9 (k � 3) � 0, és a dir, k � �3, el sistema és com-patible determinat.
1 1 2 2
0 5 9 4
0 0 9 3 4 8( ) ( )k k+ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → −5 F3
—————�
1 1 2 2
0 5 9 4
0 095
345
8− + − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟( ) ( )k k
F Fk
F3 3 22
5→ −
−
1 1 2 2
0 5 9 4
0 2 9 8k − − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 ↔ F3
———�
1 1 2 2
0 2 9 8
0 5 9 4
k − − −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 + 3 F1
——————�
1 1 2 2
2 5 4
3 2 3 2
k − −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1 ↔ F3
———�
′ =− −
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A k
3 2 3 2
2 5 4
1 1 2 2
z = λ
y = +113
λ
x = − −143
λ
y = + = +13
3 113
( )λ λ
yA
= Δ =− −
−1 1
3
2 3 3
12λ
λ
x = − − = − −13
3 4 143
( )λ λ
xA
= Δ =− − −
−1 1
3
3 1
11λ
λ
A =−
= ≠2 1
1 13 0
Si k � �3, la forma esglaonada de la matriu am-pliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0 x � 0 y �� 0 z � 20, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.
En resum:
k � �3 ⇒ Sistema compatible determinat
k � �3 ⇒ Sistema incompatible
b)
El determinant de la matriu de coeficients esglao-nada és:
= 1 (k − 1)(−k2 − k + 2)
Si aquest determinant és no nul, el sistema és com-patible determinat. Vegem per a quins valors de kno succeeix això:
0 = (k − 1) (−k2 − k + 2) ⇔
Així, si k � 1 i k � �2, el sistema és compatible de-terminat.
Classifiquem els sistemes obtinguts per als dos va-lors de k descartats:
• k � 1. La forma esglaonada de la matriu ampliadaés:
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⇔− = ⇔ =
− − + = ⇔ = = −
⎧⎨⎪
⎩⎪
k k
k k k o k
1 0 1
2 0 1 22
1 1
0 1 1
0 0 22
k
k k
k k
− −
− − +
=
1 1
0 1 1 0
0 0 2 12
k k
k k
k k k k
− −
− − + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟( )
F3 → F3 + F2
—————�
1 1
0 1 1 0
0 1 1 2 2
k k
k k
k k k k
− −
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − k F1
——————�
1 1
1 1
1 1
k k
k k
k k
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1 ↔ F3
———�
′ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
k k
k k
k k
1 1
1 1
1 1
1 1 2 2
0 5 9 4
0 0 0 20
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
CM
YK
49
3. Sistem
es d’equacions linealsLes dues últimes files són redundants i l’equaciórestant és:
x + y + z = 1
Obtenim un sistema d’una equació amb 3 incòg-nites. Aleshores, el sistema inicial és compatibleindeterminat (dependent de 3 � 1 � 2 paràme-tres).
• k � �2. La forma esglaonada de la matriu am-pliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0 x + 0 y ++ 0 z = −6, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.
En resum:
k � 1, �2 ⇒ Sistema compatible determinat
k � 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat
k � �2 ⇒ Sistema incompatible
c)
Per continuar, hem de distingir dos casos:
• Si �k � 1 � 0, és a dir, k � �1, podem dividirla segona fila per �k � 1:
——————�
Si observem l’última fila, veurem que si 1 � k �� 0, és a dir, si k � 1, tenim un sistema compati-ble determinat.
1 1 1 2
0 1 0 1
0 0 1 32
k
k k k
+
− − − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 − (1 − k) F2
—————————�
1 1 1 2
0 1 0 1
0 1 1 2 42
k
k k k k
+
− − − − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Fk
F2 21
1→
− −
1 1 1 2
0 1 0 1
0 1 1 2 42
k
k k
k k k k
+− − − −
− − − − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1 2
0 1 0 1
0 1 1 2 42
k
k k
k k k k
+− − − −
− − − − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − k F1
——————�
′ =+
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
k
k
k
1 1 1 2
1 1 1
1 1 4
1 1 2 2
0 3 3 0
0 0 0 6
− −−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Si no és així, és a dir, si k � 1, la forma esglaona-da de la matriu ampliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0 x � 0 y �� 0 z � 1, que no té solució. Aleshores, el siste-ma és incompatible.
• Si �k � 1 � 0, el paràmetre és k � �1, per tant:
La segona fila correspon a una equació redun-dant i, per tant, el sistema inicial és equivalent aun sistema esglaonat de dues equacions amb 3incògnites.
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible inde-terminat (dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre).
En resum:
k � 1, �1 ⇒ Sistema compatible determinat
k � 1 ⇒ Sistema incompatible
k � �1 ⇒ Sistema compatible indeterminat
13. — Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i999 significa que té exactament tres xifres.
Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes iz la de les unitats.
D’aquesta manera, el nombre buscat és:
100 x + 10 y + z
— Per determinar els valors x, y, z, imposarem les con-dicions de l’enunciat:
• La suma de les seves xifres és 6:
x � y � z � 6
• El triple de la xifra de les desenes és igual a la deles unitats:
3 y � z
• Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 99:
100 z � 10 y � x � 100 x � 10 y � z � 99
Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
x y z
y z
z y x x y z
+ + ==
+ + = + + +
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
3
100 10 100 10 99
1 1 1 2
0 1 0 1
0 1 1 2 42
k
k k
k k k k
+− − − −
− − − − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=11 1 1 1
0 0 0 0
0 2 2 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1 3
0 1 0 1
0 0 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
49
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
Les dues últimes files són redundants i l’equaciórestant és:
x +y +z =1
Obtenim un sistema d’una equació amb 3 incòg-nites. Aleshores, el sistema inicial és compatibleindeterminat (dependent de 3 �1 �2 paràme-tres).
•k ��2.La forma esglaonada de la matriu am-pliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0x +0y ++ 0z =−6, que no té solució. Aleshores, el sistemaés incompatible.
En resum:
k �1, �2 ⇒Sistema compatible determinat
k �1 ⇒Sistema compatible indeterminat
k ��2 ⇒Sistema incompatible
c)
Per continuar, hem de distingir dos casos:
•Si �k �1 �0, és a dir, k ��1, podem dividirla segona fila per �k �1:
——————�
Si observem l’última fila, veurem que si 1 �k ��0, és a dir, si k �1, tenim un sistema compati-ble determinat.
1112
0101
00132
k
kkk
+
−−−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3−(1 −k) F2
—————————�
1112
0101
011242
k
kkkk
+
−−−−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Fk
F 221
1→
−−
1112
0101
011242
k
kk
kkkk
+−−−−
−−−−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1112
0101
011242
k
kk
kkkk
+−−−−
−−−−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−k F1
——————�
′=+
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
k
k
k
1112
111
114
1122
0330
0006
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Si no és així, és a dir, si k �1, la forma esglaona-da de la matriu ampliada és:
L’última fila correspon a l’equació 0 x �0 y ��0 z �1, que no té solució. Aleshores, el siste-ma és incompatible.
•Si �k �1 �0, el paràmetre és k ��1, per tant:
La segona fila correspon a una equació redun-dant i, per tant, el sistema inicial és equivalent aun sistema esglaonat de dues equacions amb 3incògnites.
Es tracta, doncs, d’un sistema compatible inde-terminat (dependent de 3 �2 �1 paràmetre).
En resum:
k �1, �1 ⇒Sistema compatible determinat
k �1 ⇒Sistema incompatible
k ��1 ⇒Sistema compatible indeterminat
13.—Que el nombre buscat estigui comprès entre 100 i999 significa que té exactament tres xifres.
Sigui x la xifra de les centenes, y la de les desenes iz la de les unitats.
D’aquesta manera, el nombre buscat és:
100x +10y +z
—Per determinar els valors x, y, z, imposarem les con-dicions de l’enunciat:
•La suma de les seves xifres és 6:
x �y �z �6
•El triple de la xifra de les desenes és igual a la deles unitats:
3 y �z
•Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 99:
100 z �10 y �x �100 x �10 y �z �99
Hem de resoldre, doncs, el sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
xyz
yz
zyxxyz
++==
++=+++
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
3
100101001099
1112
0101
011242
k
kk
kkkk
+−−−−
−−−−+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
=11111
0000
0225
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1113
0101
0001
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
C M
Y K
50
3. Sistem
es d’equacions lineals
que podem expressar de la manera habitual:
i si dividim l’última equació per 99:
—La matriu de coeficients és:
Es tracta, doncs, d’un sistema que podem resoldreamb la regla de Cramer:
—El nombre buscat és 213.
Comprovem que compleix les condicions:
•La suma de les seves xifres és 2 �1 �3 �6.
•El triple de la xifra de les desenes, 3 �1, és igual ala xifra de les unitats, 3.
•Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 312 �213 �99.
14.—Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa iz el d’un barret.
—Hem de determinar el valor de x, y, z imposant leshipòtesis de l’enunciat:
•L’Anna paga 135 €per 3 pantalons, 2 bruses i1 barret:
3x +2y +z =135
•La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per 100 €:
x +3y +z =100
•La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per 155 €:
2x +3y +2z =155
zA
==−
=11
7
116
030
101
3 3 Δ
yA
==−−
=11
7
161
001
111
1 2 Δ
xA
==−=11
7
611
031
101
2 1 Δ
A=−−
=≠111
031
101
70
, i el seu determinant és: A=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
111
031
101
xyz
yz
xz
++=−=
−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
30
1
xyz
yz
xz
++=−=
−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
30
999999
Hem de resoldre el següent sistema d’equacionsamb tres incògnites:
—La matriu de coeficients del sistema és quadrada:
Es tracta d’un sistema que es pot resoldre per Cra-mer:
—Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €.
Comprovem que se satisfan les hipòtesis de l’enun-ciat:
•L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barretper:
3 �25 �2 �15 �1 �30 �135 €
•La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per:
1 �25 �3 �15 �1 �30 �100 €
•La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per:
2 �25 �3 �15 �2 �30 �155 €
ACTIVITATS
Abans de començar
•Equació lineal (pàg. 48); sistema d’equacions lineals (pàg.49).
•Mètode de Gauss (pàg. 50).
•Teorema de Rouché-Frobenius (pàg. 57).
Qüestions
15.Sí. Per exemple:
zA
===11
6
32135
13100
23155
30 3 Δ
yA
===11
6
31351
11001
21552
15 2 Δ
xA
===11
6
13521
10031
15532
25 1 Δ
A==≠321
131
232
60
,i el seu determinant és: A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
321
131
232
32135
3100
232155
xyz
xyz
xyz
++=++=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
50
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
que podem expressar de la manera habitual:
i si dividim l’última equació per 99:
— La matriu de coeficients és:
Es tracta, doncs, d’un sistema que podem resoldreamb la regla de Cramer:
— El nombre buscat és 213.
Comprovem que compleix les condicions:
• La suma de les seves xifres és 2 � 1 � 3 � 6.
• El triple de la xifra de les desenes, 3 � 1, és igual ala xifra de les unitats, 3.
• Si invertim l’ordre de les xifres, el nombre aug-menta en 312 � 213 � 99.
14. — Sigui x el preu d’uns pantalons, y el d’una brusa iz el d’un barret.
— Hem de determinar el valor de x, y, z imposant leshipòtesis de l’enunciat:
• L’Anna paga 135 € per 3 pantalons, 2 bruses i1 barret:
3 x + 2 y + z = 135
• La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per 100 €:
x + 3 y + z = 100
• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per 155 €:
2 x + 3 y + 2 z = 155
zA
= =−
=1 17
1 1 6
0 3 0
1 0 1
33Δ
yA
= = −−
=1 17
1 6 1
0 0 1
1 1 1
12Δ
xA
= = − =1 17
6 1 1
0 3 1
1 0 1
21Δ
A = −−
= ≠1 1 1
0 3 1
1 0 1
7 0
, i el seu determinant és:A = −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1
0 3 1
1 0 1
x y z
y z
x z
+ + =− =
− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
3 0
1
x y z
y z
x z
+ + =− =
− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
6
3 0
99 99 99
Hem de resoldre el següent sistema d’equacionsamb tres incògnites:
— La matriu de coeficients del sistema és quadrada:
Es tracta d’un sistema que es pot resoldre per Cra-mer:
— Per tant, el preu d’uns pantalons és de 25 €; el d’una brusa, de 15 €; el d’un barret, de 30 €.
Comprovem que se satisfan les hipòtesis de l’enun-ciat:
• L’Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barretper:
3 � 25 � 2 � 15 � 1 � 30 � 135 €
• La Roser compra uns pantalons, 3 bruses i 1 bar-ret per:
1 � 25 � 3 � 15 � 1 � 30 � 100 €
• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 bar-rets per:
2 � 25 � 3 � 15 � 2 � 30 � 155 €
ACTIVITATS
Abans de començar
• Equació lineal (pàg. 48); sistema d’equacions lineals (pàg.49).
• Mètode de Gauss (pàg. 50).
• Teorema de Rouché-Frobenius (pàg. 57).
Qüestions
15. Sí. Per exemple:
zA
= = =1 16
3 2 135
1 3 100
2 3 155
303Δ
yA
= = =1 16
3 135 1
1 100 1
2 155 2
152Δ
xA
= = =1 16
135 2 1
100 3 1
155 3 2
251Δ
A = = ≠3 2 1
1 3 1
2 3 2
6 0
, i el seu determinant és:A =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
3 2 1
1 3 1
2 3 2
3 2 135
3 100
2 3 2 155
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
CM
YK
51
3. Sistem
es d’equacions lineals
té solució:
16. No, ja que x1 � 0, x2 � 0, …, xn � 0 sempre és solu-ció (és l’anomenada solució trivial).
17. No, ja que si un sistema té n incògnites, la matriu delsistema solament tindrà n columnes i, per tant, el seurang serà menor o igual que n.
18. Pel teorema de Rouché-Frobenius, perquè el sistemasigui compatible determinat, s’ha de complir:
rang (A) � rang (A�) � n � 3
en què n � 3 és el nombre d’incògnites.
Ara bé, la matriu A és 3 � 3, ja que el sistema té 3 equa-cions i 3 incògnites; aleshores:
rang (A) � 3 ⇔ �A� � 0
En aquest cas, com que rang (A�) � rang (A) � 3 i A� no-més té 3 files, s’ha de complir rang (A�) � rang (A) �� 3.
Per tant, és condició necessària i suficient perquè el sis-tema sigui compatible determinat que �A� � 0.
EXERCICIS I PROBLEMES
19. Una terna és solució d’un sistema si i només si és so-lució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:
a) 3 ⋅ 4 − 0 + 2 ⋅ 3 = 18 ≠ 1 ⇒ (4, 0, 3) no és solució.
b) 3 ⋅ 1 − (−1) + 2 ⋅ 2 = 8 ≠ 1 ⇒ (1, −1, 2) no és solució.
c)
⇒ (1, 2, 0) és solució.
20. Usarem la notació matricial:
a)
———–——�
Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:
La solució del sistema és (1, 1, 1).
x y z
y
z
x
y
z
+ + ===
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒= − ⋅ − ===
2 4
1
1
4 2 1 1 1
1
1
1 2 1 4
0 1 0 1
0 0 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F
F F
1 1
3 312
→ −
→ −
− − − −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1 4
0 1 0 1
0 0 2 2
F3 → F3 + 6 F2
——–————�
− − − −
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1 4
0 1 0 1
0 6 2 8
F2 → F2 + F1F3 → F3 + 4 F1
——–————�
′ =− − − −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 2 1 4
1 3 1 5
4 2 2 8
3 1 2 2 0 1
1 2 0 3
2 1 2 2 3 0 2
⋅ − + ⋅ =+ + =⋅ − ⋅ − ⋅ = −
⎫
⎬⎬⎪
⎭⎪
x y= =1 1,
x y
x y
y x
+ =− =− =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2
0
0
b)
——–———�
Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:
La solució del sistema és (0, 2, 1).
21. — Si hi afegim una equació que sigui incompatibleamb qualsevol de les equacions donades del siste-ma, tindrem un sistema incompatible.
Per tant, la resposta suggerida és:
— Observem que si z � 0 el sistema queda:
que és compatible determinat. Així, si hi afegim l’e-quació z � 0, obtenim el sistema:
que és compatible determinat.
— Com que el sistema de partida és compatible inde-terminat, si hi afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equiva-lent al de partida i, per tant, compatible indeter-minat.
Així, la resposta suggerida és:
22. Utilitzarem la notació matricial:
a) ′ =− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
3 2 1 3
1 1 1 1
2 3 1 1
3 2 0
5 1
5 1
x y z
x y z
x y z
+ + =+ − =+ − =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
3 2 0
5 1
0
x y z
x y z
z
+ + =+ − =
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
3 0
5 1
x y
x y
+ =+ =
⎫⎬⎭
3 2 0
5 1
5 0
x y z
x y z
x y z
+ + =+ − =+ − =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
x y z
y
z
x
y
z
+ + ===
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒= − − ===
3
2
1
3 2 1 0
2
1
1 1 1 3
0 1 0 2
0 0 1 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 + 2 F2
——–————�
1 1 1 3
0 1 0 2
0 2 1 3− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F F2 213
→ −
1 1 1 3
0 3 0 6
0 2 1 3
− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 2 F1
———––——�
′ = −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 1 1 3
2 1 2 0
2 0 3 3
51
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
té solució:
16.No, ja que x1�0, x2�0, …, xn�0 sempre és solu-ció (és l’anomenada solució trivial).
17.No, ja que si un sistema té n incògnites, la matriu delsistema solament tindrà n columnes i, per tant, el seurang serà menor o igual que n.
18.Pel teorema de Rouché-Frobenius, perquè el sistemasigui compatible determinat, s’ha de complir:
rang (A) �rang (A�) �n �3
en què n �3 és el nombre d’incògnites.
Ara bé, la matriu A és 3 �3, ja que el sistema té 3 equa-cions i 3 incògnites; aleshores:
rang (A) �3 ⇔�A��0
En aquest cas, com que rang (A�) �rang (A) �3 i A�no-més té 3 files, s’ha de complir rang (A�) �rang (A) ��3.
Per tant, és condició necessària i suficient perquè el sis-tema sigui compatible determinat que �A��0.
EXERCICIS I PROBLEMES
19.Una terna és solució d’un sistema si i només si és so-lució de totes i cadascuna de les equacions del sistema:
a)3 ⋅4 −0 +2 ⋅3 =18 ≠1 ⇒(4, 0, 3) no és solució.
b)3 ⋅1 −(−1) +2 ⋅2 =8 ≠1 ⇒(1, −1, 2) no és solució.
c)
⇒(1, 2, 0) és solució.
20.Usarem la notació matricial:
a)
———–——�
Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:
La solució del sistema és (1, 1, 1).
xyz
y
z
x
y
z
++===
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=−⋅−===
24
1
1
42111
1
1
1214
0101
0011
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF
FF
11
3312
→−
→−
−−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1214
0101
0022
F3→F3+6 F2
——–————�
−−−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1214
0101
0628
F2→F2+F1F3→F3+4 F1
——–————�
′=−−−− ⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
1214
1315
4228
312201
1203
2122302
⋅−+⋅=++=⋅−⋅−⋅=−
⎫
⎬⎬⎪
⎭⎪
xy == 11 ,
xy
xy
yx
+=−=−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2
0
0
b)
——–———�
Aquesta és la matriu ampliada associada al sistema:
La solució del sistema és (0, 2, 1).
21.—Si hi afegim una equació que sigui incompatibleamb qualsevol de les equacions donades del siste-ma, tindrem un sistema incompatible.
Per tant, la resposta suggerida és:
—Observem que si z �0 el sistema queda:
que és compatible determinat. Així, si hi afegim l’e-quació z �0, obtenim el sistema:
que és compatible determinat.
—Com que el sistema de partida és compatible inde-terminat, si hi afegim una equació que sigui redundant, el sistema que obtindrem serà equiva-lent al de partida i, per tant, compatible indeter-minat.
Així, la resposta suggerida és:
22.Utilitzarem la notació matricial:
a)′=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
3213
1111
2311
320
51
51
xyz
xyz
xyz
++=+−=+−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
320
51
0
xyz
xyz
z
++=+−=
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
30
51
xy
xy
+=+=
⎫⎬⎭
320
51
50
xyz
xyz
xyz
++=+−=+−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
xyz
y
z
x
y
z
++===
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=−−===
3
2
1
3210
2
1
1113
0102
0011
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3+2 F2
——–————�
1113
0102
0213 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
FF 2213
→−
1113
0306
0213
−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1F3→F3−2 F1
———––——�
′=−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
1113
2120
2033
C M
Y K
52
3. Sistem
es d’equacions lineals
La matriu ampliada esglaonada correspon al siste-ma:
que té tantes equacions com incògnites. Aleshores,és un sistema compatible determinat.
Resolem per substitució regressiva i obtenim la so-
lució: .
b)
La matriu ampliada esglaonada correspon al sis-tema:
que té 3 equacions i 2 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat dependent de 3 �2 �1 paràmetre.
Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és (1, �, �), �� �.
1111
0206
0000
0000
0206
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F2→F2−2 F1F3→F3−3 F1F4→F4−4 F1F5→F5−5 F1
——————�
1111
2424
3333
4444
5751
−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1↔F2
———�
′=
−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
2424
1111
3333
4444
5751
⎟⎟⎟⎟
c)
xyz
yz
−+=−=
⎫⎬⎭
221
330
1221
0330
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2→F2−F1
—————�
′=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ A
1221
1111
23
23
13
,,− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
xyz
yz
z
++=−−=
=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
20
93
1111
0120
0093
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3−5 F2
——————�
1111
0120
0513
−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−3 F1F3→F3−2 F1
——————�
1111
3213
2311 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1↔F2
———�
Les tres últimes files corresponen a les equacionsredundants 0 x �0 y �0 z �0; aleshores, podemconsiderar com a sistema equivalent al de partida:
Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites. Ales-hores, és un sistema compatible indeterminat quedepèn de 3 �2 �1 paràmetre.
Prenent z com a paràmetre, tenim que la soluciódel sistema és (4 ��, �3, �).
d)
L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x �0 y �0 z �0; aleshores, el sistema de parti-da és equivalent a:
que té 2 equacions i 3 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat que depèn de 3 �2 �1 paràmetre.
Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és:
e)
1105
0023
0111
0117
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−2 F1
——————�
′=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
1105
1122
21111
0117
−−−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3113
111313
2313
λλλ ,,
xyz
yz
−+=+=−
⎫⎬⎭
528
1323
1528
013123
0000
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−3 F1F3→F3+2 F1
——————�
1528
3271
210416
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1↔F2
———�
′=−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
3271
1528
210416
xyz
y
+−==−
⎫⎬⎭
1
26
1111
0206
0000
0000
0000
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F5→F5−F2
—————�
52
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
La matriu ampliada esglaonada correspon al siste-ma:
que té tantes equacions com incògnites. Aleshores,és un sistema compatible determinat.
Resolem per substitució regressiva i obtenim la so-
lució: .
b)
La matriu ampliada esglaonada correspon al sis-tema:
que té 3 equacions i 2 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat dependent de 3 � 2 � 1 paràmetre.
Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és (1, �, �), � � � .
1 1 1 1
0 2 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 6
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − 2 F1F3 → F3 − 3 F1F4 → F4 − 4 F1F5 → F5 − 5 F1
——————�
1 1 1 1
2 4 2 4
3 3 3 3
4 4 4 4
5 7 5 1
−− −−−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F1 ↔ F2
———�
′ =
− −−−−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟A
2 4 2 4
1 1 1 1
3 3 3 3
4 4 4 4
5 7 5 1
⎟⎟⎟⎟
c)
x y z
y z
− + =− =
⎫⎬⎭
2 2 1
3 3 0
1 2 2 1
0 3 3 0
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
F2 → F2 − F1
—————�
′ =−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A1 2 2 1
1 1 1 1
23
23
13
, , −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x y z
y z
z
+ + =− − =
= −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
2 0
9 3
1 1 1 1
0 1 2 0
0 0 9 3
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 − 5 F2
——————�
1 1 1 1
0 1 2 0
0 5 1 3
− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − 2 F1
——————�
1 1 1 1
3 2 1 3
2 3 1 1− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1 ↔ F2
———�
Les tres últimes files corresponen a les equacionsredundants 0 x � 0 y � 0 z � 0; aleshores, podemconsiderar com a sistema equivalent al de partida:
Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites. Ales-hores, és un sistema compatible indeterminat quedepèn de 3 � 2 � 1 paràmetre.
Prenent z com a paràmetre, tenim que la soluciódel sistema és (4 � �, �3, �).
d)
L’última fila correspon a l’equació redundant 0 x � 0 y � 0 z � 0; aleshores, el sistema de parti-da és equivalent a:
que té 2 equacions i 3 incògnites. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat que depèn de 3 � 2 � 1 paràmetre.
Prenent la variable z com a paràmetre, tenim quela solució del sistema és:
e)
1 1 0 5
0 0 2 3
0 1 1 1
0 1 1 7
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − 2 F1
——————�
′ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
1 1 0 5
1 1 2 2
2 1 1 11
0 1 1 7
− − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3113
1113 13
2313
λ λ λ, ,
x y z
y z
− + =+ = −
⎫⎬⎭
5 2 8
13 23
1 5 2 8
0 13 1 23
0 0 0 0
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 + 2 F1
——————�
1 5 2 8
3 2 7 1
2 10 4 16
−−
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F1 ↔ F2
———�
′ =−−
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
3 2 7 1
1 5 2 8
2 10 4 16
x y z
y
+ − == −
⎫⎬⎭
1
2 6
1 1 1 1
0 2 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
F5 → F5 − F2
—————�
CM
YK
53
3. Sistem
es d’equacions lineals
L’última fila correspon a l’equació
0 x � 0 y � 0 z � �11
que no té solució. Aleshores, el sistema és incom-patible.
23. a) Les matrius associades al sistema són:
En calculem els rangs:
•
i �A� � 0, tenim que 2 rang (A) � 3; per tant,rang (A) � 2.
•
i els orlats d’aquest en A� són nuls, tenim que rang (A�) � 2.
Pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema éscompatible, ja que rang (A) � 2 � rang (A�).
A més, com que n � 3 � 2, el sistema és indeter-minat.
b) La matriu de coeficients i l’ampliada són:
A
A
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
′ =−
3 2 1
2 3 2
1 5 3
4 6 4
3 2 1 4
2 3 2 0
1 5 3 11
4 6 4 3− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1 2
2 10≠Com que
a a
a a11 12
21 22
1 2
2 13 0= = − ≠Com que
′ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 2 1 0
2 1 2 1
5 7 5 1A =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 1
2 1 2
5 7 5
1 1 0 5
0 1 1 7
0 0 2 8
0 0 0 11−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F4 → F4 − F3
—————�
1 1 0 5
0 1 1 7
0 0 2 8
0 0 2 3−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F3 → F3 + F2
—————�
1 1 0 5
0 1 1 7
0 1 1 1
0 0 2 3
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 ↔ F4
———�
En calculem els rangs:
•
i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) � 2.
•
� �39 � 0, tenim que rang (A�) � 3.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A�) � 3 � 2 � rang (A) ⇒⇒ Sistema incompatible
c) Les matrius associades al sistema són:
•
• Com que �A�� = − 64 ≠ 0, rang (A�) = 4.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) � 3 � 4 � rang (A�) ⇒ Sistema incom-patible
24. a) La matriu de coeficients i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
A
A
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
= − ≠
2 4 6
4 5 5
3 1 2
2 4 6
4 5 5
3 1 2
4 0
, tenim que rang (A) � 3.
1 2
3 2
3
2
1 1 4
25 0
−= − ≠
i a a
a a11 12
21 22
1 2
3 24 0= = − ≠Com que
A
A
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
′ =−
1 2 3
3 2 2
1 1 4
2 1 1
1 2 3 2
3 2 2 2
1 1 4 11
2 1 1 3−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3 2
2 3
4
0
1 5 1
− =i a a
a a11 12
21 220≠Com que
a a
a a11 12
21 22
3 2
2 313 0=
−= ≠Com que
53
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
L’última fila correspon a l’equació
0 x �0 y �0 z ��11
que no té solució. Aleshores, el sistema és incom-patible.
23.a)Les matrius associades al sistema són:
En calculem els rangs:
•
i �A��0, tenim que 2 rang (A) �3; per tant,rang (A) �2.
•
i els orlats d’aquest en A�són nuls, tenim que rang (A�) �2.
Pel teorema de Rouché-Frobenius, el sistema éscompatible, ja que rang (A) �2 �rang (A�).
A més, com que n �3 �2, el sistema és indeter-minat.
b)La matriu de coeficients i l’ampliada són:
A
A
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
′=−
321
232
153
464
3214
2320
15311
4643 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
12
210 ≠ Com que
aa
aa1112
2122
12
2130 ==−≠ Com que
′=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
1210
2121
5751A=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
121
212
575
1105
0117
0028
00011 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F4→F4−F3
—————�
1105
0117
0028
0023−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F3→F3+F2
—————�
1105
0117
0111
0023
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2↔F4
———�
En calculem els rangs:
•
i els seus orlats en A són 0, tenim que rang (A) �2.
•
��39 �0, tenim que rang (A�) �3.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A�)�3 �2 �rang (A) ⇒⇒Sistema incompatible
c)Les matrius associades al sistema són:
•
•Com que �A��=−64 ≠0, rang (A�) =4.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) �3 �4 �rang (A�) ⇒Sistema incom-patible
24.a)La matriu de coeficients i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
A
A
=−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−
=−≠
246
455
312
246
455
312
40
, tenim que rang (A) �3.
12
32
3
2
114
250
−=−≠
i aa
aa1112
2122
12
3240 ==−≠ Com que
A
A
=−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
′=−
123
322
114
211
1232
3222
11411
2113 −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
32
23
4
0
151
−= i aa
aa1112
21220 ≠ Com que
aa
aa1112
2122
32
23130 =
−=≠ Com que
C M
Y K
54
3. Sistem
es d’equacions lineals
b)La matriu de coeficients i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
c)La matriu del sistema i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
xA
yA
==−
−−−
=
==−
−−
116
111
813
120
3
116
011
183
1
1
2
Δ
Δ110
2
116
011
118
121
1 3
=
==−
−−=− z
AΔ
A
A
=−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
=−
011
113
120
011
113
120
6
xA
yA
==−−
−−−
=−
==−−
1164
137
546
724
1
1164
217
3
1
2
Δ
Δ556
574
5
1164
231
345
527
2 3
−−
=
==−
−−= z
AΔ
A
A
=−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
−=≠
237
346
524
237
346
524
640
xA
yA
==−
−=
==−
114
1846
2155
412
4
114
2186
4215
3
1
2
Δ
Δ442
2
114
2418
4521
314
3 3
−=−
==−
= zA
Δ
25.a)Classifiquem el sistema usant el teorema de Rou-ché-Fröbenius:
Les matrius associades al sistema són:
En calculem el rang:
•
i l’únic menor d’ordre tres de A és �A��0, tenimrang (A) �2.
•
menor en A�són nuls, es compleix que rang (A�)�2.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) �2 �rang (A�) ⇒Sistema compatible
i, com que n �3 �2, el sistema és indeterminat.
Fent x ��i resolent el sistema per Cramer:
tenim que:
Així, la solució és (�, 0, 1 �2 �).
b)Classifiquem el sistema per Gauss:
1322
0455
0512
0455
−−−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→F2−3 F1F3→F3−2 F1F4→F4−2 F1
——————�
1322
3511
2152
2211 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F1↔F3
———�
′=
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
2152
3511
1322
2211
y
z
=−−
=
=−−
=−
131
21
121
1210
131
21
312
21212
λλ
λλ
λ
312
212
yz
yz
+=−+=−
⎫⎬⎭
λλ
ielsorlatsd’aquest31
210 ≠ Com que
aa
aa1213
2223
31
2110 ==≠ Com que
AA =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟′=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞ 231
221
452
2311
2211
4522
,
⎠⎠
⎟⎟⎟
54
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
b) La matriu de coeficients i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
c) La matriu del sistema i el seu determinant són:
Com que aquesta matriu és regular, el sistema és re-soluble per Cramer:
xA
yA
= =−
−− −
=
= =−
−−
1 16
1 1 1
8 1 3
1 2 0
3
1 16
0 1 1
1 8 3
1
1
2
Δ
Δ11 0
2
1 16
0 1 1
1 1 8
1 2 1
13
=
= =−
− −= −z
AΔ
A
A
= −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= −−
= −
0 1 1
1 1 3
1 2 0
0 1 1
1 1 3
1 2 0
6
xA
yA
= =− −
−− −
= −
= =− −
1 164
1 3 7
5 4 6
7 2 4
1
1 164
2 1 7
3
1
2
Δ
Δ 55 6
5 7 4
5
1 164
2 3 1
3 4 5
5 2 7
23
−−
=
= =−
− −=z
AΔ
A
A
=−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=−−
−= ≠
2 3 7
3 4 6
5 2 4
2 3 7
3 4 6
5 2 4
64 0
xA
yA
= =−
−=
= =−
1 14
18 4 6
21 5 5
4 1 2
4
1 14
2 18 6
4 21 5
3
1
2
Δ
Δ44 2
2
1 14
2 4 18
4 5 21
3 1 4
33
−= −
= =−
=zA
Δ
25. a) Classifiquem el sistema usant el teorema de Rou-ché-Fröbenius:
Les matrius associades al sistema són:
En calculem el rang:
•
i l’únic menor d’ordre tres de A és �A� � 0, tenimrang (A) � 2.
•
menor en A� són nuls, es compleix que rang (A�) � 2.
Pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) � 2 � rang (A�) ⇒ Sistema compatible
i, com que n � 3 � 2, el sistema és indeterminat.
Fent x � � i resolent el sistema per Cramer:
tenim que:
Així, la solució és (�, 0, 1 � 2 �).
b) Classifiquem el sistema per Gauss:
1 3 2 2
0 4 5 5
0 5 1 2
0 4 5 5
− − −− −− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → F2 − 3 F1F3 → F3 − 2 F1F4 → F4 − 2 F1
——————�
1 3 2 2
3 5 1 1
2 1 5 2
2 2 1 1− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F1 ↔ F3
———�
′ =
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A
2 1 5 2
3 5 1 1
1 3 2 2
2 2 1 1
y
z
=−−
=
=−−
= −
13 1
2 1
1 2 1
1 2 10
13 1
2 1
3 1 2
2 1 21 2
λλ
λλ
λ
3 1 2
2 1 2
y z
y z
+ = −+ = −
⎫⎬⎭
λλ
i els orlats d’aquest3 1
2 10≠Com que
a a
a a12 13
22 23
3 1
2 11 0= = ≠Com que
A A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
′ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞2 3 1
2 2 1
4 5 2
2 3 1 1
2 2 1 1
4 5 2 2
,
⎠⎠
⎟⎟⎟
CM
YK
55
3. Sistem
es d’equacions lineals
——————�
Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associa-da al sistema:
Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incòg-nites. Aleshores, és un sistema compatible deter-minat.
x y z
y z
z
+ + =+ =
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
3 2 2
4 5 5
29 17
1 3 2 2
0 4 5 5
0 0 29 17
0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2 → −F2F3 → 4 F3
———�
1 3 2 2
0 4 5 5
0 0294
174
0 0 0 0
− − −⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F F F
F F F
3 3 2
4 4 2
54
→ −
→ −
La matriu de coeficients és regular, ja que:
Aleshores, és un sistema resoluble per Cramer:
xA
yA
= = = −
= =
1 1116
2 3 2
5 4 5
17 0 29
2129
1 1116
1 2 2
0
1
2
Δ
Δ 55 5
0 17 29
1529
1 1116
1 3 2
0 4 5
0 0 17
17293
=
= = =zA
Δ
A = = ⋅ ⋅ = ≠1 3 2
0 4 5
0 0 29
1 4 29 116 0
26. a) Apliquem el mètode de Gauss:
—
• rang (A) = 3
•
Per tant, en aquest cas, pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) � 3 � rang (A�) ⇒ Sistema compatible
i, com que n � 3, el sistema és determinat.
Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució és:
(−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1)
— Si �A� = −k2 (k + 3) = 0, pot ser:
rang rang
.rang
nom s t 3 files
( ) ( )(
′ ≥ =′
⎫⎬⎭
⇒ ′A A
A é é
3AA ) = 3
= 1 ⋅ k (−k2 − 3 k) = −k2 (k + 3) ≠ 0, és a dir, k ≠ 0 y k ≠ −3:A
k
k k
k k
=+
−
− −
1 1 1
0
0 0 32
Si
1 1 1 3
0 2 3
0 0 3 5 5
4 3
4 3 2
2 5 4
k k k
k k k k k
k k k k
+ +
− − − +
− − − − − kk k k3 24 3+ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 + F2
—————�
1 1 1 3
0 2 3
0 2 4
4 3
4 3 2
2 5 4
k k k
k k k k k
k k k k k
+ +
− − − +
− − − − − − 33 33 2k k k+ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − (k + 1) F1
—————————�
′ =
+ +
+ +
+ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟A
k k k
k k k
k k k
1 1 1 3
1 1 1 3
1 1 1 3
4 3
3 2
2
⎟⎟⎟
55
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
——————�
Aquesta és la matriu ampliada esglaonada associa-da al sistema:
Aquest sistema esglaonat té 3 equacions i 3 incòg-nites. Aleshores, és un sistema compatible deter-minat.
xyz
yz
z
++=+=
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
322
455
2917
1322
0455
002917
0000
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
F2→−F2F3→4 F3
———�
1322
0455
00294
174
0000
−−−⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
FFF
FFF
332
442
54
→−
→−
La matriu de coeficients és regular, ja que:
Aleshores, és un sistema resoluble per Cramer:
xA
yA
===−
==
11116
232
545
17029
2129
11116
122
0
1
2
Δ
Δ555
01729
1529
11116
132
045
0017
1729
3
=
=== zA
Δ
A==⋅⋅=≠132
045
0029
14291160
26.a)Apliquem el mètode de Gauss:
—
•rang (A) =3
•
Per tant, en aquest cas, pel teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) �3 �rang (A�) ⇒Sistema compatible
i, com que n �3, el sistema és determinat.
Resolem per substitució regressiva i tenim que la solució és:
(−k2+2, 2k −1, k3+2k2−k −1)
—Si �A�=−k2(k +3) =0, pot ser:
rangrang
.rang
nomst3files
()()(
′≥=′
⎫⎬⎭
⇒′AA
Aéé
3AA)=3
=1 ⋅k (−k2−3 k) =−k2(k +3) ≠0, és a dir, k ≠0 y k ≠−3: A
k
kk
kk
=+
−
−−
111
0
0032
Si
1113
023
00355
43
432
254
kkk
kkkkk
kkkk
++
−−−+
−−−−−kkkk32
43 ++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3+F2
—————�
1113
023
024
43
432
254
kkk
kkkkk
kkkkk
++
−−−+
−−−−−−33332
kkk ++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−(k +1) F1
—————————�
′=
++
++
++
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟A
kkk
kkk
kkk
1113
1113
1113
43
32
2
⎟⎟⎟
C M
Y K
56
3. Sistem
es d’equacions lineals
•k �0.La matriu ampliada esglaonada és:
associada a un sistema d’una equació amb 3incògnites: x �y �z �0
És, doncs, un sistema compatible indetermi-nat, dependent de 3 �1 �2 paràmetres.
Per resoldre’l, prenem dues de les incògni-tes com a paràmetres (per exemple, y i z) i aï-llem la tercera en funció d’aquelles:
x =−τ −λ, y =τ, z =λ
•k ��3.La matriu ampliada esglaonada és:
que està associada al sistema:
Com que és un sistema amb 2 equacions i 3incògnites, és compatible indeterminat, de-pendent de 3 �2 �1 paràmetre.
Per resoldre’l, prenem una incògnita com aparàmetre (per exemple, z) i aïllem les altresen funció d’aquesta:
Resumint:
k �0, �3 ⇒Sistema compatible determinat, desolució:
(−k2+2, 2k −1, k3+2k2−k −1)
k �0 ⇒Sistema compatible indeterminat, de so-lució:
(−τ− λ, τ, λ) , τ, λ ∈�
k ��3 ⇒Sistema compatible indeterminat, desolució:
(λ, λ, λ) , λ∈�
b)Apliquem el mètode de Gauss:
′=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
A
kkkk
kkk
kk
k
23
22
3
4
1
11
111
z
y
x
=
=⋅=
=−+=
⎫
⎭
λ
λλ
λλλ
13
3
2
xyz
yz
+−=−+=
⎫⎬⎭
20
330
1120
0330
0000
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1110
0000
0000
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
—Si k �k3�0, l’última fila té tots els elementsnuls menys el terme independent. Aleshores, elsistema és incompatible.
Això té lloc per a tot valor de k, excepte:
k −k3=k (1 −k2) =0 ⇔k =0 o k =±1
—Si k �k3�0, és a dir, k �0 o k �1 o k ��1,l’última fila és redundant i, per tant, podem eli-minar-la.
Estudiem cada cas separadament:
•k �0.La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
Aleshores, és compatible determinat.
Com que té solució única i és homogeni, la so-lució és la trivial:x �y �z �0.
•k �1.La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema d’una equació amb3 incògnites: x �y �z �1. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat, dependentde 3 �1 �2 paràmetres.
Per resoldre’l, prenem com a paràmetres duesincògnites i aïllem l’altra en funció d’aquelles:
x = 1−τ −λ, y =τ, z =λ
1111
0000
0000
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
xyz
yz
z
++=−−=
−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0
0
0
1110
0110
0010
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
111
011
001
000
4
224
34
3
k
kkkk
kkk
kk
−−−
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F4→F4−k F2
——————�
111
011
001
1
4
224
34
235
k
kkkk
kkk
kkkkkk
−−−
−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1↔F4
———�
0
011
001
111
235
224
34
4
kkkkkk
kkkk
kkk
k
−−−
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1→F1−k F4F2→F2−F4F3→F3−F4
——————�
56
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
• k � 0. La matriu ampliada esglaonada és:
associada a un sistema d’una equació amb 3incògnites: x � y � z � 0
És, doncs, un sistema compatible indetermi-nat, dependent de 3 � 1 � 2 paràmetres.
Per resoldre’l, prenem dues de les incògni-tes com a paràmetres (per exemple, y i z) i aï-llem la tercera en funció d’aquelles:
x = −τ − λ, y = τ, z = λ
• k � �3. La matriu ampliada esglaonada és:
que està associada al sistema:
Com que és un sistema amb 2 equacions i 3incògnites, és compatible indeterminat, de-pendent de 3 � 2 � 1 paràmetre.
Per resoldre’l, prenem una incògnita com aparàmetre (per exemple, z) i aïllem les altresen funció d’aquesta:
Resumint:
k � 0, �3 ⇒ Sistema compatible determinat, desolució:
(−k2 + 2, 2 k − 1, k3 + 2 k2 − k − 1)
k � 0 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de so-lució:
(−τ − λ, τ, λ) , τ, λ ∈ �
k � �3 ⇒ Sistema compatible indeterminat, desolució:
(λ, λ, λ) , λ ∈ �
b) Apliquem el mètode de Gauss:
′ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
A
k k k k
k k k
k k
k
2 3
2 2
3
4
1
1 1
1 1 1
z
y
x
=
= ⋅ =
= − + =
⎫
⎭
λ
λ λ
λ λ λ
13
3
2
x y z
y z
+ − =− + =
⎫⎬⎭
2 0
3 3 0
1 1 2 0
0 3 3 0
0 0 0 0
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
— Si k � k3 � 0, l’última fila té tots els elementsnuls menys el terme independent. Aleshores, elsistema és incompatible.
Això té lloc per a tot valor de k, excepte:
k − k3 = k (1 − k2) = 0 ⇔ k = 0 o k = ±1
— Si k � k3 � 0, és a dir, k � 0 o k � 1 o k � �1,l’última fila és redundant i, per tant, podem eli-minar-la.
Estudiem cada cas separadament:
• k � 0. La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
Aleshores, és compatible determinat.
Com que té solució única i és homogeni, la so-lució és la trivial: x � y � z � 0.
• k � 1. La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema d’una equació amb3 incògnites: x � y � z � 1. Aleshores, és unsistema compatible indeterminat, dependentde 3 � 1 � 2 paràmetres.
Per resoldre’l, prenem com a paràmetres duesincògnites i aïllem l’altra en funció d’aquelles:
x = 1 −τ − λ, y = τ, z = λ
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
x y z
y z
z
+ + =− − =
− =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0
0
0
1 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 0
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
4
2 2 4
3 4
3
k
k k k k
k k k
k k
− − −
− −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F4 → F4 − k F2
——————�
1 1 1
0 1 1
0 0 1
1
4
2 2 4
3 4
2 3 5
k
k k k k
k k k
k k k k k k
− − −
− −
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1 ↔ F4
———�
0
0 1 1
0 0 1
1 1 1
2 3 5
2 2 4
3 4
4
k k k k k k
k k k k
k k k
k
− − −
− − −
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
F1 → F1 − k F4F2 → F2 − F4F3 → F3 − F4
——————�
CM
YK
57
3. Sistem
es d’equacions lineals• k � �1. La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
Aleshores, és compatible determinat.
Si el resolem per substitució regressiva:
En resum:
k � 0, 1, �1 ⇒ Sistema incompatible
k � 0 ⇒ Sistema compatible determinat, de solu-ció: (0, 0, 0)
k � 1 ⇒ Sistema compatible indeterminat, de so-lució: (1 − τ − λ, τ, λ) , τ, λ ∈ �
k � �1 ⇒ Sistema compatible determinat, de so-lució: (0, 0, 1)
27. — Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantadesactualment, y el nombre de pomeres del tipus B, iz el nombre de pomeres del tipus C.
— Hem d’obtenir x, y, z de manera que se satisfacin lesdades de l’enunciat:
• S’obtenen 230 t � 230 000 kg de pomes per colli-ta:
50 x + 30 y + 40 z = 230 000
• Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es co-llirien 250 t � 250 000 kg de pomes:
50 (x + y) + 40 z = 250 000
• Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es co-llirien 200 t � 200 000 kg de pomes:
50 x + 30 (y + z) = 200 000
— Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions li-neals:
50 30 40 230 000
50 40 250 000
50 30
x y z
x y z
x
+ + =+ + =
+( )
(yy z+ =
⎫
⎬⎪
⎭⎪) 200 000
z
y
x
= −−
=
=−
=
= − − =
22
1
02
0
1 0 1 0
x y z
y
z
+ + =− =− = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
2 0
2 2
1 1 1 1
0 2 0 0
0 0 2 2
−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equa-cions:
Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss:
Fent substitució regressiva, obtenim la solució:
x � 1 600 , y � 1 000 , z � 3 000
— El pagès té plantades:
1 600 pomeres del tipus A, 1 000 del tipus B i 3 000del tipus C.
30. Els nombres d’exemplars de cada espècie (p, q, r) hande ser tals que la massa consumida, en una setmana, decada tipus d’aliment coincideixi exactament amb la ques’ha abocat:
• S’han de consumir 25 t de J:
1 p � 3 q � 2 r � 25
• S’han de consumir 20 t de K:
1 p � 4 q � 1 r � 20
• S’han de consumir 55 t de L:
2 p � 5 q � 5 r � 55
Els nombres d’exemplars de cada espècie han de ser,doncs, solució del sistema:
N’obtenim les solucions pel mètode de Gauss:
1 3 2 25
0 1 1 5
0 0 0 0
− −⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3 → F3 + F2
—————�
1 3 2 25
1 1 1 5
0 1 1 5
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − 2 F1
——————�
′ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
1 3 2 25
1 4 1 20
2 5 5 55
p q r
p q r
p q r
+ + =+ + =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
3 2 25
4 20
2 5 5 55
5 3 4 23 000
0 2 0 2 000
0 0 1 3 000− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2 → F2 − F1F3 → F3 − F1
—————�
′ =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A
5 3 4 23 000
5 5 4 25 000
5 3 3 20 000
5 3 4 23 000
5 5 4 25 000
5 3 3 20 000
x y z
x y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
⎫
⎬⎬⎪
⎭⎪
57
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
•k ��1.La matriu ampliada esglaonada és:
que correspon a un sistema de 3 equacionsamb 3 incògnites:
Aleshores, és compatible determinat.
Si el resolem per substitució regressiva:
En resum:
k �0, 1, �1 ⇒Sistema incompatible
k �0 ⇒Sistema compatible determinat, de solu-ció:(0, 0, 0)
k �1 ⇒Sistema compatible indeterminat, de so-lució:(1 −τ− λ, τ, λ) , τ, λ ∈�
k ��1 ⇒Sistema compatible determinat, de so-lució:(0, 0, 1)
27.—Sigui x el nombre de pomeres del tipus A plantadesactualment, y el nombre de pomeres del tipus B, iz el nombre de pomeres del tipus C.
—Hem d’obtenir x, y, z de manera que se satisfacin lesdades de l’enunciat:
•S’obtenen 230 t �230000 kg de pomes per colli-ta:
50x +30y +40z =230000
•Si les pomeres del tipus B fossin del tipus A, es co-llirien 250 t �250000 kg de pomes:
50 (x +y) +40z =250000
•Si les pomeres del tipus C fossin del tipus B, es co-llirien 200 t �200000 kg de pomes:
50x +30 (y +z) =200000
—Hem de resoldre, doncs, el sistema d’equacions li-neals:
503040230000
5040250000
5030
xyz
xyz
x
++=++=
+()
(yyz +=
⎫
⎬⎪
⎭⎪ )200000
z
y
x
=−−
=
=−
=
=−−=
22
1
02
0
1010
xyz
y
z
++=−=−=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
20
22
1111
0200
0022
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equa-cions:
Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss:
Fent substitució regressiva, obtenim la solució:
x �1600 , y �1000 , z �3000
—El pagès té plantades:
1600 pomeres del tipus A, 1000 del tipus B i 3000del tipus C.
30.Els nombres d’exemplars de cada espècie (p, q, r) hande ser tals que la massa consumida, en una setmana, decada tipus d’aliment coincideixi exactament amb la ques’ha abocat:
•S’han de consumir 25 t de J:
1 p �3 q �2 r �25
•S’han de consumir 20 t de K:
1 p �4 q �1 r �20
•S’han de consumir 55 t de L:
2 p �5 q �5 r �55
Els nombres d’exemplars de cada espècie han de ser,doncs, solució del sistema:
N’obtenim les solucions pel mètode de Gauss:
13225
0115
0000
−−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F3→F3+F2
—————�
13225
1115
0115
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−2 F1
——————�
′=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
13225
14120
25555
pqr
pqr
pqr
++=++=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
3225
420
25555
53423000
0202000
0013000 −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
F2→F2−F1F3→F3−F1
—————�
′=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟ A
53423000
55425000
53320000
53423000
55425000
53320000
xyz
xyz
xyz
++=++=++=
⎫
⎬⎬⎪
⎭⎪
C M
Y K
58
3. Sistem
es d’equacions lineals
L’última fila és redundant i, per tant, la matriu es-glaonada és l’associada al sistema:
Com que té 2 equacions i 3 incògnites, és un siste-ma compatible indeterminat, dependent de 3 �2 ��1 paràmetre.
Si prenem la variable r com a paràmetre, la soluciódel sistema és:
, λ∈�
r
q
p
==−+=−=−−−=−+
λλλ
λλλ55
25352540 ()
pqr
qr
++=−=−
⎫⎬⎭
3225
5
—Com que p, q, r han de ser nombres naturals, s’hade complir:
Per tant, perquè es verifiquin les tres condicions,el paràmetre ha de ser 6 o 7.
Així, les possibles solucions són:
(10, 1, 6) i (5, 2, 7).
29.Activitat TIC.
30.Activitat TIC.
r
q
p
=∈=−∈=−+∈
⇒=…⇒=
λλ
λ
λλ
�
�
�
5
540
1234
6
,,,,
,,,,
,,,,
789
4567
…⇒=… λ
58
3. S
iste
mes
d’e
quac
ions
line
als
L’última fila és redundant i, per tant, la matriu es-glaonada és l’associada al sistema:
Com que té 2 equacions i 3 incògnites, és un siste-ma compatible indeterminat, dependent de 3 � 2 �� 1 paràmetre.
Si prenem la variable r com a paràmetre, la soluciódel sistema és:
, λ ∈ �
r
q
p
== − + = −= − − − = − +
λλ λ
λ λ λ5 5
25 3 5 2 5 40( )
p q r
q r
+ + =− = −
⎫⎬⎭
3 2 25
5
— Com que p, q, r han de ser nombres naturals, s’hade complir:
Per tant, perquè es verifiquin les tres condicions,el paràmetre ha de ser 6 o 7.
Així, les possibles solucions són:
(10, 1, 6) i (5, 2, 7).
29. Activitat TIC.
30. Activitat TIC.
r
q
p
= ∈= − ∈= − + ∈
⇒ = …⇒ =
λλ
λ
λλ
�
�
�
5
5 40
1 2 3 4
6
, , , ,
, , , ,
, , , ,
7 8 9
4 5 6 7
…⇒ = …λ
CM
YK
3. Els vectors fixos són els parells ordenats de punts:
Hem agrupat els vectors fixos equipol.lents en llistarels vectors fixos i, per tant, tenim 21 vectors lliures di-ferents.
4. Tenim tants vectors fixos com parells ordenats depunts; és a dir:
VR4, 2 = 42 = 16
D’aquests, solament són equipol.lents els nuls, ,, i , ja que tots els altres difereixen en
la direcció o en el sentit.
Així, hi ha 16 � (4 � 1) � 13 vectors lliures diferents.
2. OPERACIONS AMB VECTORS LLIURES
5. a) Per la regla del paral.lelogram:
F
A
w
u
u + w
� � � ���u w AF+ = [ ]
DD� ���
CC� ���
BB� ��� AA
� ���
B
D
C
A
AA BB CC DD EE FF
A
� ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ��, , , , , ;
BB DE BA ED
AC DF C
� ��� � ��� � ��� � ���
� ��� � ���, ; , ;
, ; AA FD
BC EF CB FE
AD
� ��� � ���
� ��� � �� � ��� � ��
�
, ;
, ; , ;���� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���
�, , ; , , ;BE CF DA EB FC
AE���� � ��� � ��� � ���
� ��� � ��� �; ; ; ;
; ;
EA BD DB
AF FA CD���� � ���
� ��� � �� � ��� � ���; ;
; ; ; .
DC
BF FB CE EC
1. VECTORS
1. Són vectors fixos equipol.lents els que tenen el mateixmòdul, direcció i sentit; aleshores:
, , són equipol.lents. , són equipol-lents. , són equipol.lents. , són equi-pol·lents. no és equipol.lent a cap altre.
2. Un vector fix és un parell ordenat de punts. Per tant,tindrem tants vectors fixos com parells ordenats pu-guem formar amb els quatre vèrtexs, que són varia-cions amb repetició de 4 elements presos de 2 en 2:
VR4, 2 = 42 = 16
Els vectors fixos equipol.lents defineixen el mateix vectorlliure i, per tant, hi haurà com a màxim 16 vectors lliures.
Per cada vector fix que forma un costat del rectangle,n’hi ha un d’equipol.lent que forma el costat oposat.
Aleshores, n’hem de restar vectors.
Els vectors fixos que formen la diagonal no són equi-pol.lents a cap altre. Aleshores, cadascun dóna lloc aun vector lliure.
Els vectors fixos que formen els extrems són tots equi-pol.lents. Aleshores, n’hem de restar 4 � 1 � 3 vectors.
Tenim, doncs, 16 � 4 � 3 � 9 vectors lliures.
82
4=
D C
BA
AE� ��� CG
� ���AE� ���
GF� ���
CB� ��� EH
� ���AD� ���
HG� ����
DC� ���
AB� ���
59
4. Vectors en l’espai (I)
Vectors en l’espai (I)43.Els vectors fixos són els parells ordenats de punts:
Hem agrupat els vectors fixos equipol.lents en llistarels vectors fixos i, per tant, tenim 21 vectors lliures di-ferents.
4.Tenim tants vectors fixos com parells ordenats depunts; és a dir:
VR4, 2=42=16
D’aquests, solament són equipol.lents els nuls,,, i , ja que tots els altres difereixen en
la direcció o en el sentit.
Així, hi ha 16 �(4 �1) �13 vectors lliures diferents.
2.OPERACIONS AMB VECTORS LLIURES
5.a)Per la regla del paral.lelogram:
F
A
w
u
u + w
������uwAF +=[]
DD�� ��
CC����
BB����AA
�� ��
B
D
C
A
AABBCCDDEEFF
A
�� �������� ����� ���������,,,,,;
BBDEBAED
ACDFC
����������������
��������,;,;
,;AAFD
BCEFCBFE
AD
�� ������
��������������
�
,;
,;,;�� ������������ ����������
�,,;,,; BECFDAEBFC
AE����������������
���������;;;;
;;
EABDDB
AFFACD�� ���� ��
���������������;;
;;;.
DC
BFFBCEEC
1.VECTORS
1.Són vectors fixos equipol.lents els que tenen el mateixmòdul, direcció i sentit; aleshores:
, , sónequipol.lents. , són equipol-lents. , són equipol.lents. , són equi-pol·lents. no és equipol.lent a cap altre.
2.Un vector fix és un parell ordenat de punts. Per tant,tindrem tants vectors fixos com parells ordenats pu-guem formar amb els quatre vèrtexs, que són varia-cions amb repetició de 4 elements presos de 2 en 2:
VR4, 2=42=16
Els vectors fixos equipol.lents defineixen el mateix vectorlliure i, per tant, hi haurà com a màxim 16 vectors lliures.
Per cada vector fix que forma un costat del rectangle,n’hi ha un d’equipol.lent que forma el costat oposat.
Aleshores, n’hem de restar vectors.
Els vectors fixos que formen la diagonal no són equi-pol.lents a cap altre. Aleshores, cadascun dóna lloc aun vector lliure.
Els vectors fixos que formen els extrems són tots equi-pol.lents. Aleshores, n’hem de restar4 �1 �3 vectors.
Tenim, doncs, 16 �4 �3 �9 vectors lliures.
82
4 =
DC
B A
AE����CG
�� ��AE����
GF����
CB����EH
�� ��AD�� ��
HG�� ���
DC�� ��
AB����
59
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
Vectors en l’espai (I) 4
C M
Y K
b)Si I és el punt mitjà del costat DH, és un re-
presentant deamb origen en l’extrem,
representant de .
Per tant,és un representant de :
c)
és un representant de i de . Per laregla del paral.lelogram, és un representant dela suma:
d)Com que i ,
e)Si anomenem J el punt mitjà de l’aresta BF, tenim
que , aleshores:
�����������uwEFFJEJ =+=
12
[][][]
=12����wFJ []
H
E
D
v
–w
v – w
���� ���� ������vwEHHDED == [][][]
= ��� ��wHD [] ��� ��
vEH =[]
A
G
u + w
v
u + v + w
B
F
����� ��uvwAG ++=[]
AG�� ��
�v AB���� �� uw + AF
������������� uvwuwvuwv ++=++=++ ()
A
D
I
H
w12
v
v+w 12
���� ��������vwADDIAI +=+=
12
[][][]
�� vw +12
AI���
�v
AD�� �� 1
2�w
DI���
f)
Com que i ,
g)
Hem vist que .
Si K és el punt mitjà de l’aresta CG, és un re-presentant de , aleshores:
h)
Per la regla del paral.lelogram:
�������� ������uvABADAC +=+= [][][]
12
12
12
12
12
������
��
uvwuvw
uv
++=++=
=++ ()��w
A
u
u + v +
IK
w12 v +w 1
2
����������� ��uvwAIIKAK ++=+=
12
[][][]
�uIK���
�����vwAI +=
12
[]
��������� uvwuvwvw ++=++=++12
12
12
uu
E
DC u
u + v – w
v – w
��������� ������uvwEDDCEC +=+= [][][]
��� ��uDC =[] ������
vwED =[]
��������� uvwuvwvwu +=+=+ ()()
EF
J
u
u – w 12
– w 12
60
4. Vectors en l’espai (I)
b) Si I és el punt mitjà del costat DH, és un re-
presentant de amb origen en l’extrem ,
representant de .
Per tant, és un representant de :
c)
és un representant de i de . Per laregla del paral.lelogram, és un representant dela suma:
d) Com que i ,
e) Si anomenem J el punt mitjà de l’aresta BF, tenim
que , aleshores:
� � � �� ��� ���u w EF FJ EJ= + =
12
[ ] [ ] [ ]
=12� ���w FJ[ ]
H
E
D
v
–w
v – w
� � � ��� � ��� � ���v w EH HD ED= =[ ] [ ] [ ]
=� � ���w HD[ ]� � ���
v EH= [ ]
A
G
u + w
v
u + v + w
B
F
� � � � ���u v w AG+ + = [ ]
AG� ���
�vAB� ���� �u w+AF
� ���� � � � � � � � �u v w u w v u w v+ + = + + = + +( )
A
D
I
H
w12
v
v + w12
� � � ��� � �� � ��v w AD DI AI+ = + =
12
[ ] [ ] [ ]
� �v w+12
AI� ��
�v
AD� ���1
2�w
DI� ��
f )
Com que i ,
g)
Hem vist que .
Si K és el punt mitjà de l’aresta CG, és un re-presentant de , aleshores:
h)
Per la regla del paral.lelogram:
� � � ��� � ��� � ���u v AB AD AC+ = + =[ ] [ ] [ ]
12
12
12
12
12
� � � � � �
� �
u v w u v w
u v
+ + = + + =
= + +( ) ��w
A
u
u + v +
I K
w12v + w1
2
� � � � �� � �� � ���u v w AI IK AK+ + = + =
12
[ ] [ ] [ ]
�uIK� ��
� � � ��v w AI+ =
12
[ ]
� � � � � � � � �u v w u v w v w+ + = + + = + +12
12
12
uu
E
D Cu
u + v – w
v – w
� � � � ��� � ��� � ���u v w ED DC EC+ = + =[ ] [ ] [ ]
� � ���u DC= [ ]� � � ���
v w ED= [ ]
� � � � � � � � �u v w u v w v w u+ = + = +( ) ( )
E F
J
u
u – w12
– w12
60
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
aleshores, , essent L el punt mit-
jà de la cara ABCD.
Si M és el punt mitjà de la cara EFGH, és unrepresentant de amb origen en l’extrem de
; aleshores:
i)
Com que i EC és una diagonal,si N denota el centre del prisma:
6. Escollim com a representants de , i els de la fi-gura, que tenen origen comú en el punt A.
Vector :
El representant de amb origen en A és .
La recta que passa per l’extrem de , C, i té la di-recció del vector talla la cara de l’ortoedre generadaper i en el punt Q � C.
Per tant:
i com que
resulta: [ ]AC u v w u v� ��� � � � � �
= + + = +2 0 2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
AQ AC u v
QC CC
� ���� � ��� � �� ��� � ���
= = +
= =
2�� �0 0= w
[ ] [ ] [ ]AC AQ QC� ��� � ���� � ���
= +
�v�u
�wAC� ���
AC� ���
[ ]AC� ���
[ ]AC� ���
�w�v�u
E
C
u +12
12
v w12
–
u + v – wN
12
12
12
� � � � ���u v w EN+ = [ ]
� � � � ���u v w EC+ = [ ]
12
12
12
12
� � � � � �u v w u v w+ = +( )
M
A
u + v + w12
12
u
L
u + v12
12
12
12
� � � � ��� � ��� � ����u v w AL LM AM+ + = + =[ ] [ ] [ ]
AL� ���
�wLM� ���
12
( ) [ ]� � � ���u v AL+ =
Vector :
El representant de amb origen en A és .
La recta que passa pel seu extrem, I, i té la direcció detalla la base de l’ortoedre, generada per i , en el
punt mitjà, que anomenem Q.
Tenim:
i com que Q és el punt mitjà de la base:
aleshores:
Vector :
El representant de amb origen en A és .
La recta que passa pel seu extrem, J, i té la direcció de talla la base de l’ortoedre en el seu punt mit-jà, Q.
Per tant:
i com que Q és el punt mitjà de la base:
aleshores:
— El vector no es pot expressar com a combinaciólineal de i perquè , i són no coplanarisi, per tant, linealment independents.
7. a) , són linealment independents, ja que no estanalineats.
Per tant, rang .
b) , són linealment dependents, ja que estan ali-neats.
Així, rang , ja que .
c) , , són linealment dependents, ja que són co-planaris.
D’altra banda, i són independents; per tant,rang .
d) , , són linealment independents, ja que no sóncoplanaris.
Així, doncs, rang .
e) , , són linealment dependents, ja que són co-planaris.
No obstant això, els vectors , , per exemple, són linealment independents. I això vol dir que,rang = 2.
f) , , , són linealment dependents, ja que sónmés de tres vectors de V3.
Ara bé, com que , , són linealment indepen-dents, tenim que rang = 3.{ , , , }
� � � �a b c d
�d
�b
�a
�d
�c
�b
�a
{ , , }� � �a c e
�c
�a
�e
�c
�a
{ , , }� � �a b d = 3
�d
�b�a
{ , , }� � �a b c = 2
�b
�a
�c
�b
�a
{ , } { }� � �a e 0{ , }
� �a e = 1
�e
�a
{ , }� �a b = 2
�b
�a
�w�v�u�w�v
�u
[ ]AJ u v w� �� � � �
= + +12
2
[ ]
[ ]
AQ u v
QJ w
� ���� � �
� �� �
= +
=
12
2
[ ] [ ] [ ]AJ AQ QJ� �� � ���� � ��
= +
�w
AJ� ��
[ ]AJ� ��
[ ]AJ� ��
[ ]AI u v w� �� � � �
= + +12
[ ]
[ ]
AQ u v
QI w
� ���� � �
� �� �
= +
=
12
[ ] [ ] [ ]AI AQ QI� �� � ���� � ��
= +
�v�u�w
AI� ��
[ ]AI� ��
[ ]AI� ��
61
4. Vectors en l’espai (I)aleshores, , essent L el punt mit-
jà de la cara ABCD.
Si M és el punt mitjà de la cara EFGH, és unrepresentant de amb origen en l’extrem de
; aleshores:
i)
Com que i EC és una diagonal,si N denota el centre del prisma:
6.Escollim com a representants de , i els de la fi-gura, que tenen origen comú en el punt A.
Vector :
El representant de amb origen en A és .
La recta que passa per l’extrem de , C, i té la di-recció del vector talla la cara de l’ortoedre generadaper i en el punt Q �C.
Per tant:
i com que
resulta:[] ACuvwuv��������� =++=+ 202
[][]
[][]
AQACuv
QCCC
�� ����������� ������
==+
==
2��� 00 =w
[][][] ACAQQC������ ����� ��
=+
�v �u
�wAC����
AC����
[] AC����
[] AC����
�w �v �u
E
C
u + 12
12
vw 12
–
u + v – w N
12
12
12
�������uvwEN +=[]
�������uvwEC +=[]
12
12
12
12
������ uvwuvw +=+ ()
M
A
u + v + w 12
12
u
L
u + v 12
12
12
12
��������� ���� ���uvwALLMAM ++=+= [][][]
AL����
�wLM�� ��
12
()[] ������uvAL +=Vector :
El representant de amb origen en A és .
La recta que passa pel seu extrem, I, i té la direcció detalla la base de l’ortoedre, generada per i , en el
punt mitjà, que anomenem Q.
Tenim:
i com que Q és el punt mitjà de la base:
aleshores:
Vector :
El representant de amb origen en A és.
La recta que passa pel seu extrem, J, i té la direcció de talla la base de l’ortoedre en el seu punt mit-jà, Q.
Per tant:
i com que Q és el punt mitjà de la base:
aleshores:
—El vector no es pot expressar com a combinaciólineal de i perquè , i són no coplanarisi, per tant, linealment independents.
7.a), són linealment independents, ja que no estanalineats.
Per tant, rang .
b), són linealment dependents, ja que estan ali-neats.
Així, rang , ja que .
c), , són linealment dependents, ja que són co-planaris.
D’altra banda, i són independents; per tant,rang .
d), , són linealment independents, ja que no sóncoplanaris.
Així, doncs, rang .
e), , són linealment dependents, ja que són co-planaris.
No obstant això, els vectors , , per exemple, són linealment independents. I això vol dir que,rang =2.
f), , , són linealment dependents, ja que sónmés de tres vectors de V3.
Ara bé, com que , , són linealment indepen-dents, tenim que rang =3. {,,,} ����
abcd
�d
�b
�a
�d
�c �b
�a
{,,} ��� ace
�c �a
�e �c �a
{,,} ���abd=3
�d
�b�a
{,,} ���abc=2
�b
�a
�c �b
�a
{,}{} ���ae0 {,} �� ae=1
�e �a
{,} ��ab=2
�b
�a
�w �v �u �w �v
�u
[] AJuvw������ =++
12
2
[]
[]
AQuv
QJw
�� �����
����
=+
=
12
2
[][][] AJAQQJ����� ������
=+
�w
AJ���
[] AJ���
[] AJ���
[] AIuvw������ =++
12
[]
[]
AQuv
QIw
�� �����
����
=+
=
12
[][][] AIAQQI����� ������
=+
�v �u �w
AI���
[] AI���
[] AI���
61
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
8.Hem d’expressar cadascun dels vectors com una com-binació lineal de cada base i quedar-nos els coeficients.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
•, aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
•, aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
•, aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
•, aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
9.a)
b)
c)213
220131213
4
��� uvw −+=
=−−−+− (,,)(,,)(,227
222021312
,)
(,,())(,,)
=
=⋅⋅⋅−−−++
+⋅⋅−⋅ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=
13
413
213
7
40
,(),
(,,−−−−+− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−−+
231243
23
73
434
)(,,),,
()33
0123
2273
253
53
53
,,
,,
−−−−+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−− ⎛⎝⎜
⎞⎞⎠⎟
��� uvw +−=−+−−−==
(,,)(,,)(,,) 201312427
(((),(),)
(,,)
234012127
536
+−−+−−−+−==−−
5652016312
525
�� uv +=−+−==⋅
(,,)(,,)
(,⋅⋅⋅−+⋅−⋅⋅==
,())((),,)
(
051636162
1100518612
101806
,,)(,,)
((),,
−+−==+−+−5512867 +=− )(,,)
[](,,) AH�� ��
=001
[](,,) AH�� ��
=− 012
[] AHxyzxyt�� ��������
=+−=++ 012001
[](,,) AG�� ��
=101
[](,,) AG�� ��
=− 112
[] AGxyzxyt�� ��������
=+−=++ 112101
[](,,) AF����
=− 111
[](,,) AF����
=− 102
[] AFxyzxyt����������
=+−=−+ 102111
[](,,) AE����
=− 011
[](,,) AE����
=− 002
[] AExyzxyt����������
=+−=−+ 00201
[](,,) AD�� ��
=010
[] ADyxyzxyt�� ���������
==++=++ 010010
[](,,) AC����
=110
[] ACxyzxyt����������
=++=++ 110110
[](,,) AB����
=100
[] ABxxyzxyt�����������
==++=++ 100100
[](,,) AA�� ��
=000
[] AAxyzxyt�� ���������
==++=++ 0000000
10.Hem de trobar tres nombres reals a, b, c tals que.
Prenent components:
(−2, −1, −2) ==a (1, 2, 3) +b (−4, 1, 7) +c (0, −2, −5) ==(a, 2a, 3a) +(−4b, b, 7b) +(0, −2c, −5c) ==(a −4b, 2a +b −2c, 3a +7b −5c) ⇔
L’expressió decom a combinació lineal de, ,és.
11.a)1.Escrivim l’equació:
k1(4, 1, −5) +k2(2, 3, −8) ++k3(10, 0, −7) =(0, 0, 0)
2.Igualem component a component i resolem:
3.Com que el sistema té solucions no trivials, elsvectors , i són linealment dependents.
b)1.Hem de resoldre l’equació:
k1(2, 0, 9) +k2(3, −1, 2) +k3(5, −1, 4) ==(0, 0, 0)
2.Igualem component a component i obtenimun sistema:
3.Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.
c)1.Considerem l’equació:
k1(3, −2, 5) +k2(−3, 5, 2) +k3(1, 1, 6) ==(0, 0, 0)
2.Igualant component a component i resolent elsistema:
3.L’única solució del sistema anterior és la trivial.Aleshores, , , són linealment indepen-dents.
d)1.Plantegem l’equació:
k1(1, −2, −3) +k2(−2, 4, 4) +k3(−6, 3, 0) ==(0, 0, 0)
�w �v �u
330
250
5260
123
123
123
kkk
kkk
kkk
−+=−++=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔⇔=== kkk 1230
�w �v �u
2350
0
9240
123
23
123
1
kkk
kk
kkk
k
++=−−=
++=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔=kkk 230 ==
�w �v �u
42100
30
5870
123
12
123
kkk
kk
kkk
k ++=+=
−−−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔11
2
3
3 =−==
λλλ
k
k
���� suvw =++ 23
�w �v �u �s
⇔−=−−=+−−=+−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔==24
122
2375
21
ab
abc
abc
ab,,,c=3
���� saubvcw =++
62
4. Vectors en l’espai (I)
8. Hem d’expressar cadascun dels vectors com una com-binació lineal de cada base i quedar-nos els coeficients.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
•
aleshores en les dues bases.
• , aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
• , aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
• , aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
• , aleshores:
en la base B1.
en la base B2.
9. a)
b)
c) 213
2 2 0 1 3 1 213
4
� � �u v w− + =
= − − − + −( , , ) ( , , ) ( , 22 7
2 2 2 0 2 1 3 1 2
, )
( , , ( )) ( , , )
=
= ⋅ ⋅ ⋅ − − − ++
+ ⋅ ⋅ − ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
13
413
213
7
4 0
, ( ),
( , , −− − − + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= − − +
2 3 1 243
23
73
4 34
) ( , , ) , ,
( )33
0 123
2 273
253
53
53
, ,
, ,
− − − − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= − −⎛⎝⎜
⎞⎞⎠⎟
� � �u v w+ − = − + − − − ==
( , , ) ( , , ) ( , , )2 0 1 3 1 2 4 2 7
(( ( ) , ( ), )
( , , )
2 3 4 0 1 2 1 2 7
5 3 6
+ − − + − − − + − == − −
5 6 5 2 0 1 6 3 1 2
5 2 5
� �u v+ = − + − == ⋅
( , , ) ( , , )
( , ⋅⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ ==
, ( )) ( ( ), , )
(
0 5 1 6 3 6 1 6 2
110 0 5 18 6 12
10 18 0 6
, , ) ( , , )
( ( ), ,
− + − == + − + − 55 12 8 6 7+ = −) ( , , )
[ ] ( , , )AH� ���
= 0 0 1
[ ] ( , , )AH� ���
= −0 1 2
[ ]AH x y z x y t� ��� � � � � � �
= + − = + +0 1 2 0 0 1
[ ] ( , , )AG� ���
= 1 0 1
[ ] ( , , )AG� ���
= −1 1 2
[ ]AG x y z x y t� ��� � � � � � �
= + − = + +1 1 2 1 0 1
[ ] ( , , )AF� ���
= −1 1 1
[ ] ( , , )AF� ���
= −1 0 2
[ ]AF x y z x y t� ��� � � � � � �
= + − = − +1 0 2 1 1 1
[ ] ( , , )AE� ���
= −0 1 1
[ ] ( , , )AE� ���
= −0 0 2
[ ]AE x y z x y t� ��� � � � � � �
= + − = − +0 0 2 0 1
[ ] ( , , )AD� ���
= 0 1 0
[ ]AD y x y z x y t� ��� � � � � � � �
= = + + = + +0 1 0 0 1 0
[ ] ( , , )AC� ���
= 1 1 0
[ ]AC x y z x y t� ��� � � � � � �
= + + = + +1 1 0 1 1 0
[ ] ( , , )AB� ���
= 1 0 0
[ ]AB x x y z x y t� ��� � � � � � � �
= = + + = + +1 0 0 1 0 0
[ ] ( , , )AA� ���
= 0 0 0
[ ]AA x y z x y t� ��� � � � � � � �
= = + + = + +0 0 0 0 0 0 0
10. Hem de trobar tres nombres reals a, b, c tals que.
Prenent components:
(−2, −1, −2) == a (1, 2, 3) + b (−4, 1, 7) + c (0, −2, −5) == (a, 2 a, 3 a) + (−4 b, b, 7 b) + (0, −2 c, −5 c) == (a − 4 b, 2 a + b − 2 c, 3 a + 7 b − 5 c) ⇔
L’expressió de com a combinació lineal de , , és.
11. a) 1. Escrivim l’equació:
k1 (4, 1, −5) + k2 (2, 3, −8) ++ k3 (10, 0, −7) = (0, 0, 0)
2. Igualem component a component i resolem:
3. Com que el sistema té solucions no trivials, elsvectors , i són linealment dependents.
b) 1. Hem de resoldre l’equació:
k1 (2, 0, 9) + k2 (3, −1, 2) + k3 (5, −1, 4) == (0, 0, 0)
2. Igualem component a component i obtenimun sistema:
3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.
c) 1. Considerem l’equació:
k1 (3, −2, 5) + k2 (−3, 5, 2) + k3 (1, 1, 6) == (0, 0, 0)
2. Igualant component a component i resolent elsistema:
3. L’única solució del sistema anterior és la trivial.Aleshores, , , són linealment indepen-dents.
d) 1. Plantegem l’equació:
k1 (1, −2, −3) + k2 (−2, 4, 4) + k3 (−6, 3, 0) == (0, 0, 0)
�w�v�u
3 3 0
2 5 0
5 2 6 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
k k k
k k k
k k k
− + =− + + =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔⇔ = = =k k k1 2 3 0
�w�v�u
2 3 5 0
0
9 2 4 0
1 2 3
2 3
1 2 3
1
k k k
k k
k k k
k
+ + =− − =
+ + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔ = kk k2 3 0= =
�w�v�u
4 2 10 0
3 0
5 8 7 0
1 2 3
1 2
1 2 3
k k k
k k
k k k
k+ + =+ =
− − − =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔11
2
3
3= −==
λλλ
k
k
� � � �s u v w= + +2 3
�w�v�u
�s
⇔− = −− = + −− = + −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔ = =2 4
1 2 2
2 3 7 5
2 1
a b
a b c
a b c
a b, ,, c = 3
� � � �s a u b v c w= + +
62
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
2. Hem d’igualar component a component i re-soldre:
3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.
12. a) 1. La matriu formada per les components delsvectors , , , col.locades verticalment és:
2.
dre 3, i no hi ha menors d’ordre més gran; ales-hores:
3. Un subconjunt de que tingui el mà-xim nombre de vectors linealment indepen-dents és , ja que els corresponen les co-lumnes del menor no nul d’ordre màxim quehem trobat.
b) 1. La matriu formada per les components delsvectors , , , disposades verticalment és:
2. El menor � �3 és no nul, i tots els me-
nors d’ordre 3 que el contenen són nuls.
Així, .
3. Podem trobar com a màxim 2 vectors lineal-ment independents entre , , , ; per exem-ple , ja que la matriu de les seves compo-nents té un menor no nul d’ordre màxim.
3. COORDENADES D’UN PUNT DE L’ESPAI
13. • Punt I:
En el sistema de referència R1:
[ ] , ,AI x y I� �� � �= + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
112
0
{ , }� �u v
�s�w
�v�u
rang rang{ , , , } ( )� � � �u v w s A= = 2
1 2
4 5
A =⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 2 3 1
4 5 6 3
7 8 9 5
�s�w
�v�u
{ , , }� � �u v w
{ , , , }� � � �u v w s
rang rang{ , , , } ( )� � � �u v w s A= = 3
� 17 és un menor no nul d’or-
2 3 4
5 2 1
3 2 4
−
A =−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2 3 4 1
5 2 1 6
3 2 4 2
�s�w
�v�u
�w�v�u
k k k
k k k
k k
k1 2 3
1 2 3
1 2
2 6 0
2 4 3 0
3 4 0
− − =− + + =
− + =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔ 11 2 3 0= = =k k
En el sistema de referència R2:
• Punt J:
En el sistema de referència R1:
En el sistema de referència R2:
• Punt K:
En el sistema de referència R1:
En el sistema de referència R2:
A
AK
FK
F
[ ] , ,FK u v w K� ��� � � �= + + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
12
12
112
[ ] , ,AK x y z K� ��� � � �= + + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
112
1
A
AJ FJ
F
J
[ ] , ,FJ u v w J��� � � �= + + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
212
12
212
[ ] , ,AJ y z J� �� � �= + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
012
1
A
AI I
FI
F
[ ] , ,FI u v w I��� � � �= + + ⇒ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
12
1 1
63
4. Vectors en l’espai (I)2.Hem d’igualar component a component i re-
soldre:
3.Com que l’única solució és la trivial, els vectors, , són linealment independents.
12.a)1.La matriu formada per les components delsvectors , , , col.locades verticalment és:
2.
dre 3, i no hi ha menors d’ordre més gran; ales-hores:
3.Un subconjunt de que tingui el mà-xim nombre de vectors linealment indepen-dents és, ja que els corresponen les co-lumnes del menor no nul d’ordre màxim quehem trobat.
b)1.La matriu formada per les components delsvectors, , , disposades verticalment és:
2.El menor ��3 és no nul, i tots els me-
nors d’ordre 3 que el contenen són nuls.
Així, .
3.Podem trobar com a màxim 2 vectors lineal-ment independents entre , , , ; per exem-ple , ja que la matriu de les seves compo-nents té un menor no nul d’ordre màxim.
3.COORDENADES D’UN PUNT DE L’ESPAI
13.•Punt I:
En el sistema de referència R1:
[],, AIxyI����� =+⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
112
0
{,} �� uv
�s �w �v �u
rangrang {,,,}() ���� uvwsA ==2
12
45
A=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1231
4563
7895
�s �w �v �u
{,,} ��� uvw
{,,,} ���� uvws
rangrang {,,,}() ���� uvwsA ==3
�17 és un menor no nul d’or-
234
521
324
−
A=−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2341
5216
3242
�s �w �v �u
�w �v �u
kkk
kkk
kk
k123
123
12
260
2430
340
−−=−++=
−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔11230 === kk
En el sistema de referència R2:
•Punt J:
En el sistema de referència R1:
En el sistema de referència R2:
•Punt K:
En el sistema de referència R1:
En el sistema de referència R2:
A
AK
FK
F
[],, FKuvwK������� =++⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
12
12
112
[],, AKxyzK�� ����� =++⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
112
1
A
AJFJ
F
J
[],, FJuvwJ������ =++⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
212
12
212
[],, AJyzJ����� =+⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
012
1
A
AII
FI
F
[],, FIuvwI������ =++⇒=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
12
12
11
63
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
14.
Per obtenir l’extrem D d’un representant de l’o-rigen del qual sigui el punt C, imposem que:
, és a dir:
Igualant component a component:
−6 =d1−3 ⇒d1=−3
4 =d2−4 ⇒d2=8
−2 =d3+5 ⇒d3=−7
L’extrem d’aquest vector és D =(−3, 8, −7).
15.Es compleix que:
(1)
(2)
Si imposem la igualtat (1), component a component:
4 (m1−a1, m2−a2, m3−a3) ==(b1−a1, b2−a2, b3−a3)
Així,
Per tant,
Finalment, si apliquem (2):
[][][][][ ONOMMNOMAM�� ���� ����� ����� ����
=+=+�� ���]
,,,,
=
=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+−− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
112
332
32
112
==− (,,) 442
[](,,)
,
AMmamama�� ���
=−−−=
=−−
112233
112
732,,(),, −−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=−− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
32
132
112
Mbababa
=+++ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟=
=+⋅
112233 34
3
43
4
1374
,,
,,,()
,,
6324
3314
112
33
+⋅−+⋅− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=−22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
4
4
1111
2222
3333
()
()
()
maba
maba
maba
−=−
−=−
−=−
⎫
⎬⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⇒
=+
=+
=+
mba
mba
mba
111
222
333
34
343
4
A
M
N
P
B
[][][][] AMMNNPPB�� ����� ����������
===
4[][] AMAB�� �������
=
(,,)[][]
(,
−−===−==
642
1
ABCDdc
dd
������ ����
223123 345345 ,)(,,)(,,()) dddd −−=−−−−
[][] CDAB�� ������
=
[] AB����
[](,,)(,,)(, ABba������ =−=−−−=− 16372164,,) −2
Les coordenades dels punts M, N, P són:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
16.La força resultant que actua sobre la partícula és lasuma vectorial de les forces que s’hi exerceixen:
Efectuem la suma geomètricament, amb la regla delparal.lelogram:
17.Sigui B =una base de V2i un vectorqualsevol.
Com que B és base, és un sistema de generadors.Aleshores, ∃k1, k2reals tals que:
Vegem que k1, k2són únics:
Suposem que ∃h1, h2∈�, tals que:
En aquest cas:
L’altra condició perquè sigui base és que, són linealment independents i, per tant, l’única
possibilitat perquè es doni la igualtat anterior és que:
k1−h1=k2−h2=0, és a dir: h1=k1, h2=k2
�y �xBxy ={,} ��
��������
01212
11
=−=+−+==−
uukxkyhxhy
khx
()()
()++− () khy 22�
��� uhxhy =+ 12
��� ukxky =+ 12
{,} �� xy
�uV ∈2 {,} �� xy
F212
–2F1
FR3F3
F212
+ 3F3
����FFFF R=−++ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ 2
12
3 123
����FFFF R=−++ 2
12
3 123
MNP =− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=−=−
112
332
44252
5 ,,,(,,),,,552
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[][][][][ OPONNPONAM�� ���� �������� ���� ��
=+=+��
]
(,,),,,,
=
=−+−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=− 442
32
112
52
5522
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
64
4. Vectors en l’espai (I)
14.
Per obtenir l’extrem D d’un representant de l’o-rigen del qual sigui el punt C, imposem que:
, és a dir:
Igualant component a component:
−6 = d1 − 3 ⇒ d1 = −3
4 = d2 − 4 ⇒ d2 = 8
−2 = d3 + 5 ⇒ d3 = −7
L’extrem d’aquest vector és D = (−3, 8, −7).
15. Es compleix que:
(1)
(2)
Si imposem la igualtat (1), component a component:
4 (m1 − a1, m2 − a2, m3 − a3) == (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
Així,
Per tant,
Finalment, si apliquem (2):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ON OM MN OM AM� ��� � ���� � ���� � ���� �
= + = +�����]
, , , ,
=
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
112
332
32
112
== −( , , )4 4 2
[ ] ( , , )
,
AM m a m a m a� ����
= − − − =
= − −
1 1 2 2 3 3
112
7 3 2,, ( ) , ,− − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
32
132
112
Mb a b a b a
=+ + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=
= + ⋅
1 1 2 2 3 334
3
43
4
1 3 74
, ,
,, ,( )
, ,
6 3 24
3 3 14
112
33
+ ⋅ − + ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= −22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
4
4
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
( )
( )
( )
m a b a
m a b a
m a b a
− = −
− = −
− = −
⎫
⎬⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⇒
= +
=+
= +
mb a
mb a
mb a
11 1
22 2
33 3
34
343
4
A
M
N
P
B
[ ] [ ] [ ] [ ]AM MN NP PB� ���� � ���� � ��� � ��
= = =
4[ ] [ ]AM AB� ���� � ���
=
( , , ) [ ] [ ]
( ,
− − = = = − ==
6 4 2
1
AB CD d c
d d
� ��� � ��� � �
22 3 1 2 33 4 5 3 4 5, ) ( , , ) ( , , ( ))d d d d− − = − − − −
[ ] [ ]CD AB� ��� � ���
=
[ ]AB� ���
[ ] ( , , ) ( , , ) ( ,AB b a� ��� � �= − = − − − = −1 6 3 7 2 1 6 4,, )− 2
Les coordenades dels punts M, N, P són:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
16. La força resultant que actua sobre la partícula és lasuma vectorial de les forces que s’hi exerceixen:
Efectuem la suma geomètricament, amb la regla delparal.lelogram:
17. Sigui B = una base de V2 i un vectorqualsevol.
Com que B és base, és un sistema de generadors.Aleshores, ∃ k1, k2 reals tals que:
Vegem que k1, k2 són únics:
Suposem que ∃ h1, h2 ∈ �, tals que:
En aquest cas:
L’altra condició perquè sigui base és que, són linealment independents i, per tant, l’única
possibilitat perquè es doni la igualtat anterior és que:
k1 − h1 = k2 − h2 = 0, és a dir: h1 = k1, h2 = k2
�y�xB x y= { , }� �
� � � � � � ��
0 1 2 1 2
1 1
= − = + − + == −
u u k x k y h x h y
k h x
( ) ( )
( ) ++ −( )k h y2 2�
� � �u h x h y= +1 2
� � �u k x k y= +1 2
{ , }� �x y
�u V∈ 2{ , }� �x y
F212
–2F1
FR 3F3
F212
+ 3F3
� � � �F F F FR = − + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
212
31 2 3
� � � �F F F FR = − + +2
12
31 2 3
M N P= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = −112
332
4 4 252
5, , , ( , , ) , , ,552
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[ ] [ ] [ ] [ ] [OP ON NP ON AM� ��� � ��� � ��� � ��� � ���
= + = +��
]
( , , ) , , , ,
=
= − + − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −4 4 232
112
52
5522
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
64
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
18. a) Sigui
són linealment dependents
rang (A) < 3 �A� = 0
0 = �A� = 4 k + 3 k 1 = k 1 k = 1
Així, , , són linealment dependents si i noméssi k � �1.
b)
Desenvolupant el determinant:
0 = �A� = k + 2 k2 + k k k3 2 =
= k3 + 2 k2 + k 2
Si desenvolupem aquest polinomi per Ruffini:
0 = (k 1) (k + 1)(2 k)
k = 1 , k = 1 o k = 2
Així, els vectors , , són linealment depen-dents si i només si k � 1, k � �1 o k � 2.
19.
Com que �A� = 24 + 3 20 = 7 0, rang (A) = 3, Ales-hores, rang = rang (A) = 3, i per tant, , , són linealment independents.
Com que , , són base de V3, podem expressar de manera única com a combinació lineal de
, , , és a dir:
k1, k2, k3 � únics tals que:
Si expressem cada valor en la base de l’enunciat, i ope-rem i igualem component a component, obtenim:
Les components de en la base , , són, doncs, = ( 2, 5, 1).
20. Com que M i N divideixen el segment AB en tres partsiguals, s’ha de complir:
[ ] [ ] , [ ] [ ]AM AB AN AB� ���� � ��� � ��� � ���
= =13
23
�d
�c
�b�a
�d
k k
k k
k k k
k
k2 3
1 2
1 2 3
1
2
3 2
4 13
2 5 3
2+ =
=
+ + =
=
==
=
5
13k
� � � �d k a k b k c= + +1 2 3
�c
�b�a
�d V3
�c
�b�a
�c
�b�a{ , , }
� � �a b c
0 1 3
4 1 0
1 2 5
Sigui A =
�w�v�u
; aleshores, rang (A) < 3 �A� = 0.A
k
k
k k
=
1 1
1 2
1
�w�v�u
{ , , }� � �u v w
A k k
k
=
2 0 1
1
1 3
Si M � (m1, m2, m3) i N � (n1, n2, n3), les componentsdels vectors que intervenen en les igualtats anteriorssón:
Substituint en les igualtats anteriors:
Per tant, i .
21. Si M, N, P, Q divideixen el segment AB en cinc partsiguals, s’ha de complir:
[ ] [ ] ; [ ] [ ]
[
AM AB AN AB
AP
� ���� � ��� � ��� � ���= =
15
25
�� ��� � ��� � ���� � ���] [ ] ; [ ] [ ]= =
35
45
AB AQ AB
N =113
253
, ,M =163
073
, ,
n n
n n
n n
1 1
2 2
3 3
7103
113
2 4 2
343
53
= =
+ = =
= =
[ ] [ ]
( , , ) (
AN AB
n n n
� ��� � ���=
+ =
23
7 2 3231 2 3 5 6 2, , )
m m
m m
m m
1 1
2 2
3 3
753
163
2 2 0
323
73
= =
+ = =
= =
[ ] [ ]
( , , )
AM AB
m m m
� ���� � ���=
+ =
13
7 2 3131 2 3 (( , , )5 6 2
[ ] ( , ( ), ) ( , , )AB� ���
= =2 7 4 2 1 3 5 6 2
[ ] ( , ( ), )
( ,
AN n n n
n n
� ���= =
= +
1 2 3
1 2
7 2 3
7 2,, )n3 3
[ ] ( , ( ), )
( ,
AM m m m
m m
� ����= =
= +
1 2 3
1 2
7 2 3
7 22 33, )m
5 10
5
A = (7, –2, 3)B = (2, 4, 1)
M N
X
Z
Y
5
65
4. Vectors en l’espai (I)
18.a)Sigui
són linealment dependents
rang (A) <3 �A�=0
0 =�A�=4k +3k 1 =k 1 k =1
Així,, , són linealment dependents si i noméssi k ��1.
b)
Desenvolupant el determinant:
0 =�A�=k +2k2+k k k32 =
=k3+2k2+k 2
Si desenvolupem aquest polinomi per Ruffini:
0 =(k 1) (k +1)(2 k)
k =1 , k =1 o k =2
Així, els vectors , , són linealment depen-dents si i només si k �1, k ��1 o k �2.
19.
Com que �A�=24 +3 20 =7 0, rang (A) =3, Ales-hores, rang =rang (A) =3, i per tant, , , són linealment independents.
Com que , , són base de V3, podem expressar de manera única com a combinació lineal de
, , , és a dir:
k1, k2, k3�únics tals que:
Si expressem cada valor en la base de l’enunciat, i ope-rem i igualem component a component, obtenim:
Les components de en la base , , són, doncs, =(2, 5, 1).
20.Com que M i N divideixen el segment AB en tres partsiguals, s’ha de complir:
[][],[][] AMABANAB�� ��������� ������
==13
23
�d
�c �b �a �
d
kk
kk
kkk
k
k23
12
123
1
2
32
413
253
2 +=
=
++=
=
==
=
5
1 3 k
���� dkakbkc =++ 123
�c �b �a
�dV3
�c �b �a
�c �b �a {,,} ���
abc
013
410
125
Sigui A =
�w �v �u
; aleshores, rang (A) <3 �A�=0. A
k
k
kk
=
11
12
1
�w �v �u
{,,} ��� uvw
Akk
k
=
201
1
13
Si M �(m1, m2, m3) i N �(n1, n2, n3), les componentsdels vectors que intervenen en les igualtats anteriorssón:
Substituint en les igualtats anteriors:
Per tant, i .
21.Si M, N, P, Q divideixen el segment AB en cinc partsiguals, s’ha de complir:
[][];[][]
[
AMABANAB
AP
�� ��������� ������==
15
25
����������� �������][];[][] ==
35
45
ABAQAB
N=113
253
,, M=163
073
,,
nn
nn
nn
11
22
33
7103
113
242
343
53
==
+==
==
[][]
(,,)(
ANAB
nnn
�� ������=
+=
23
72323
123562 ,,)
mm
mm
mm
11
22
33
753
163
220
323
73
==
+==
==
[][]
(,,)
AMAB
mmm
�� �������=
+=
13
72313
123((,,) 562
[](,(),)(,,) AB����
== 274213562
[](,(),)
(,
ANnnn
nn
�� ��==
=+
123
12
723
72,,) n33
[](,(),)
(,
AMmmm
mm
�� ���==
=+
123
12
723
7223 3 ,) m
510
5
A = (7, –2, 3)B = (2, 4, 1)
MN
X
Z
Y
5
65
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
Si M �(m1, m2, m3), N �(n1, n2, n3), P �(p1, p2, p3),Q �(q1, q2, q3) són les coordenades dels punts quebusquem, les components dels vectors que intervenenen les igualtats anteriors són:
Substituint en les igualtats anteriors i igualant compo-nent a component, obtenim:
[][]
(,,)(
APAB
ppp
��������=⇔
⇔+−−=
35
14135
1233352 ,,)
nn
nn
nn
11
22
33
165
15
426
145
95
+=⇒=
−=⇒=
−=⇒=
[][]
(,,)(
ANAB
nnn
�� ������=⇔
⇔+−−=
25
14125
1233352 ,,)
mm
mm
mm
11
22
33
135
25
415
125
75
+=⇒=−
−=⇒=
−=⇒=
[][]
(,,)
AMAB
mmm
�� �������=⇔
⇔+−−=
15
14115
123((,,) 352
[]((),,)(,,) AB����
=−−−−= 219431352
[](,,) AQqqq�� ���
=+−− 123 141
[](,,) APppp����
=+−− 123 141
[](,,) ANnnn�� ��
=+−− 123 141
[]((),,)
(,
AMmmm
mm
�� ���=−−−−==+−
123
12
141
1441 3 ,) m−
510
5
2
A = (–1, 4, 1)
B = (2, 9, 3) MNPQ
X
Y
Z
Per tant,
i .
22.Hem d’obtenir les components dels vectors , queverifiquen el sistema:
Podem resoldre el sistema vectorial per reducció:
Sumant les dues equacions, obtenim,ales-hores:
Si ara considerem la segona equació, prenent compo-nents per a operar:
Les components dels vectors , buscades són:
23.Resolem per substitució el sistema vectorial:
Aïllant �y en la primera equació i substituint en la se-gona, obtenim:
i efectuant aquesta operació en components:
�x=−+−−=−17
373514513124 [(,,)(,,)](,,))
������ xuxvxuv −−==+ 3217
3 (),()
2
3
������
xyu
xyv
+=−=
⎫⎬⎭
�� xy == (,,),(,,) 102111
�y �x
������ xyvxvy +=⇒=−==−=
22
3242111 (,,)(,,)(1102 ,,)
��� yuv =+=+=
=
15
15
231324
15
5
()[(,,)(,,)]
(,,)(,,) 55111 =
5��� yuv =+
3
2
������
yxu
xyv
−=+=
⎫⎬⎭
�y �x
Q=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
75
8135
,, P=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
45
7115
,,
MN =−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
25
575
15
695
,,,,,,
11
22
33
1125
75
448
185
135
+=⇒=
−=⇒=
−=⇒=
[][]
(,,)
AQAB
qqq
�� �������=⇔
⇔+−−=
45
14145
123((,,) 352
pp
pp
pp
11
22
33
195
45
437
165
115
+=⇒=
−=⇒=
−=⇒=
66
4. Vectors en l’espai (I)
Si M � (m1, m2, m3), N � (n1, n2, n3), P � (p1, p2, p3),Q � (q1, q2, q3) són les coordenades dels punts quebusquem, les components dels vectors que intervenenen les igualtats anteriors són:
Substituint en les igualtats anteriors i igualant compo-nent a component, obtenim:
[ ] [ ]
( , , ) (
AP AB
p p p
� ��� � ���= ⇔
⇔ + − − =
35
1 4 1351 2 3 33 5 2, , )
n n
n n
n n
1 1
2 2
3 3
165
15
4 2 6
145
95
+ = ⇒ =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
[ ] [ ]
( , , ) (
AN AB
n n n
� ��� � ���= ⇔
⇔ + − − =
25
1 4 1251 2 3 33 5 2, , )
m m
m m
m m
1 1
2 2
3 3
135
25
4 1 5
125
75
+ = ⇒ = −
− = ⇒ =
− = ⇒ =
[ ] [ ]
( , , )
AM AB
m m m
� ���� � ���= ⇔
⇔ + − − =
15
1 4 1151 2 3 (( , , )3 5 2
[ ] ( ( ), , ) ( , , )AB� ���
= − − − − =2 1 9 4 3 1 3 5 2
[ ] ( , , )AQ q q q� ����
= + − −1 2 31 4 1
[ ] ( , , )AP p p p� ���
= + − −1 2 31 4 1
[ ] ( , , )AN n n n� ���
= + − −1 2 31 4 1
[ ] ( ( ), , )
( ,
AM m m m
m m
� ����= − − − − == + −
1 2 3
1 2
1 4 1
1 44 13, )m −
5 10
5
2
A = (–1, 4, 1)
B = (2, 9, 3)M N P Q
X
Y
Z
Per tant,
i .
22. Hem d’obtenir les components dels vectors , queverifiquen el sistema:
Podem resoldre el sistema vectorial per reducció:
Sumant les dues equacions, obtenim , ales-hores:
Si ara considerem la segona equació, prenent compo-nents per a operar:
Les components dels vectors , buscades són:
23. Resolem per substitució el sistema vectorial:
Aïllant �y en la primera equació i substituint en la se-gona, obtenim:
i efectuant aquesta operació en components:
�x = − + − − = −17
3 7 3 5 14 5 13 1 2 4[ ( , , ) ( , , )] ( , , ))
� � � � � �x u x v x u v− − = = +3 217
3( ) , ( )
2
3
� � �� � �
x y u
x y v
+ =− =
⎫⎬⎭
� �x y= =( , , ) , ( , , )1 0 2 1 1 1
�y�x
� � � � � �x y v x v y+ = ⇒ = − == − =
2 2
3 2 4 2 1 1 1( , , ) ( , , ) (11 0 2, , )
� � �y u v= + = + =
=
15
15
2 3 1 3 2 4
15
5
( ) [( , , ) ( , , )]
( , , ) ( , , )5 5 1 1 1=
5 � � �y u v= +
3
2
� � �� � �
y x u
x y v
− =+ =
⎫⎬⎭
�y�x
Q = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
75
8135
, ,P = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
45
7115
, ,
M N= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
25
575
15
695
, , , , , ,
q q
q q
q q
1 1
2 2
3 3
1125
75
4 4 8
185
135
+ = ⇒ =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
[ ] [ ]
( , , )
AQ AB
q q q
� ���� � ���= ⇔
⇔ + − − =
45
1 4 1451 2 3 (( , , )3 5 2
p p
p p
p p
1 1
2 2
3 3
195
45
4 3 7
165
115
+ = ⇒ =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
66
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
Per tant:
La solució del sistema és:
24. D’acord amb l’exercici resolt, el baricentre del tetrae-dre és el punt H que verifica:
essent G el baricentre de la cara oposada al vèrtex A,és a dir, del triangle BCD.
Les coordenades del baricentre H són les incògnites:
H = (h1, h2, h3)
Les coordenades del baricentre G del triangle BCDsón:
Per tant, les components dels vectors i són:
Ja podem expressar la igualtat vectorial en compo-nents:
El baricentre del tetraedre és el punt H � (1, 3, 2).
25. Sabem que el baricentre del tetraedre és el punt H queverifica:
essent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèr-tex A.
Les coordenades del baricentre G del triangle BCDsón:
Per tant, si H � (h1, h2, h3) són les coordenades quebusquem, les components dels vectors que intervenenen l’equació inicial són:
[ ] ( , , )
[ ] ( ,
AH h h h
HG h
� ���
� ����= − − −
= −1 2 3
1
1 5 1
1 , )1 12 3− −h h
G = − + + + + − + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
1 4 03
2 2 13
1 1 13
1 1
,( )
,
( , , 11)
[ ] [ ]AH HG� ��� � ����
= 3
h h h
h h h
h h h
1 1 1
2 2 2
3 3 3
3 1 3 1
5 7 3 3
2 6 3
− = − ⇒ =− = − ⇒ =− = − ⇒ == 2
( , , )
, ,
h h h
h h h
1 2 3
1 2 3
3 5 2
313
73
2
− − − =
= − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎠⎟
[ ] ( , , )
[ ] ,
AH h h h
HG h
� ���
� ����
= − − −
= −
1 2 3
1
3 5 2
13
,73
22 3− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
h h
[ ]HG� ���� [ ]AH
� ���
G = + − + − + + + − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
1 2 23
1 7 13
6 4 43
13
( ), ,
( )
,773
2,⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[ ] [ ]AH HG� ��� � ����
= 3
� �x y= − = −( , , ) , ( , , )1 2 4 5 1 3
� � �y u x= − = − − − = −2 7 3 5 2 1 2 4 5 1 3( , , ) ( , , ) ( , , )Si expressem aquesta equació en components:
(h1 − 1, h2 − 5, h3 − 1) = 3 (1 − h1, 1 − h2, 1 − h3) == (3 − 3 h1, 3 − 3 h2, 3 − 3 h3)
Igualant component a component:
Les coordenades del baricentre del tetraedre són:
H = (1, 2, 1)
ACTIVITATS
Abans de començar
• Vector fix (pàg. 72); vector lliure (pàg. 73); combinació li-neal de vectors (pàg. 76); vectors linealment dependents ivectors linealment independents (pàg. 77); rang d’un con-junt de vectors (pàg. 77); base de V3 (pàg. 78); componentsd’un vector en una base (pàg. 78); sistema de referència(pàg. 82).
• Suma de dos vectors i producte d’un vector per un nom-bre real, gràficament (pàg. 74) o amb components (pàg.79).
• Dependència o independència lineal d’un conjunt de vec-tors (pàg. 80); rang d’un conjunt de vectors (pàg. 81).
Qüestions
26. El mòdul, la direcció i el sentit no determinen com-pletament un vector fix, ja que per a això hem deconèixer-ne a més l’origen o l’extrem.
En canvi, sí que determinen completament un vectorlliure, ja que aquest està format pels vectors fixos quetenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateixsentit.
27. Que , , siguin linealment dependents significaque algun d’aquests es pot expressar com una combi-nació lineal dels altres o, de manera equivalent, que ∃ k1, k2, k3, ∈ � tal que:
essent algun dels coeficients diferent de 0.
Si ara considerem els vectors , , , , tenim que:
i algun dels coeficients és diferent de 0, la qual cosa sig-nifica que , , i són linealment dependents.
28. Sigui un conjunt de vectors.
Sabem que són linealment dependents si i només si al-gun es pot expressar com a combinació lineal dels al-tres.
Ara bé, el vector nul sempre es pot expressar com acombinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:
Aleshores, són linealment dependents.� � �0 1, , ...,u un
� � � �0 0 0 01 2= + + +u u un...
� � �0 1, , ...,u un
�d
�c
�b�a
k a k b k c d1 2 3 0 0� � � � �
+ + + =
�d
�c
�b�a
k a k b k c1 2 3 0� � � �
+ + =
�c
�b�a
h h h
h h h
h h h
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 3 3 1
5 3 3 2
1 3 3
− = − ⇒ =− = − ⇒ =− = − ⇒ == 1
67
4. Vectors en l’espai (I)Per tant:
La solució del sistema és:
24.D’acord amb l’exercici resolt, el baricentre del tetrae-dre és el punt H que verifica:
essent G el baricentre de la cara oposada al vèrtex A,és a dir, del triangle BCD.
Les coordenades del baricentre H són les incògnites:
H =(h1, h2, h3)
Les coordenades del baricentre G del triangle BCDsón:
Per tant, les components dels vectors i són:
Ja podem expressar la igualtat vectorial en compo-nents:
El baricentre del tetraedre és el punt H �(1, 3, 2).
25.Sabem que el baricentre del tetraedre és el punt H queverifica:
essent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèr-tex A.
Les coordenades del baricentre G del triangle BCDsón:
Per tant, si H �(h1, h2, h3) són les coordenades quebusquem, les components dels vectors que intervenenen l’equació inicial són:
[](,,)
[](,
AHhhh
HGh
�� ��
�� ���=−−−
=−123
1
151
1,) 11 23 −− hh
G=−++++−++ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=
1403
2213
1113
11
,()
,
(,,11)
[][] AHHG�� ���� ���
=3
hhh
hhh
hhh
111
222
333
3131
5733
263
−=−⇒=−=−⇒=−=−⇒==2
(,,)
,,
hhh
hhh
123
123
352
313
73
2
−−−=
=−−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎠⎟
[](,,)
[],
AHhhh
HGh
�� ��
�� ���
=−−−
=−
123
1
352
13
,73
2 23 −− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ hh
[] HG�� ���[] AH
�� ��
G=+−+−+++−+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=
1223
1713
6443
13
(),,
()
,773
2, ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[][] AHHG�� ���� ���
=3
�� xy =−=− (,,),(,,) 124513
��� yux =−=−−−=− 27352124513 (,,)(,,)(,,)Si expressem aquesta equació en components:
(h1−1, h2−5, h3−1) =3 (1 −h1, 1 −h2, 1 −h3) ==(3 −3h1, 3 −3h2, 3 −3h3)
Igualant component a component:
Les coordenades del baricentre del tetraedre són:
H=(1, 2, 1)
ACTIVITATS
Abans de començar
•Vector fix (pàg. 72); vector lliure (pàg. 73); combinació li-neal de vectors (pàg. 76); vectors linealment dependents ivectors linealment independents (pàg. 77); rang d’un con-junt de vectors (pàg. 77); base de V3(pàg. 78); componentsd’un vector en una base (pàg. 78); sistema de referència(pàg. 82).
•Suma de dos vectors i producte d’un vector per un nom-bre real, gràficament (pàg. 74) o amb components (pàg.79).
•Dependència o independència lineal d’un conjunt de vec-tors (pàg. 80); rang d’un conjunt de vectors (pàg. 81).
Qüestions
26.El mòdul, la direcció i el sentit no determinen com-pletament un vector fix, ja que per a això hem deconèixer-ne a més l’origen o l’extrem.
En canvi, sí que determinen completament un vectorlliure, ja que aquest està format pels vectors fixos quetenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateixsentit.
27.Que , , siguin linealment dependents significaque algun d’aquests es pot expressar com una combi-nació lineal dels altres o, de manera equivalent, que ∃k1, k2, k3, ∈�tal que:
essent algun dels coeficients diferent de 0.
Si ara considerem els vectors , , , , tenim que:
i algun dels coeficients és diferent de 0, la qual cosa sig-nifica que, , i són linealment dependents.
28.Siguiun conjunt de vectors.
Sabem que són linealment dependents si i només si al-gun es pot expressar com a combinació lineal dels al-tres.
Ara bé, el vector nul sempre es pot expressar com acombinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:
Aleshores, són linealment dependents.��� 01 ,,..., uun
���� 0000 12 =+++ uuun ...
��� 01 ,,..., uun
�d �c �
b �a
kakbkcd 12300 �����+++=
�d �c �
b �a
kakbkc 1230 ����++=
�c �b �a
hhh
hhh
hhh
111
222
333
1331
5332
133
−=−⇒=−=−⇒=−=−⇒==1
67
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
29.Sí. Per exemple, un punt qualsevol P té les mateixes co-ordenades en els dos sistemes de referència
i , que són diferents
si , o .Les coordenades de P són:
P =(0, 0, 0)
EXERCICIS I PROBLEMES
30.a)
b)
c)
d)
e)
A12
u
12
u + v
12
u + v + w 12
12
w
v
12
u + 2v + w12
u + 2v
2v
w
u A
A
12
u + v
12
u + v + w
12uv
w
Av
wu + v + w
u + v
u
A
u + vv
u
�� wz �� vy �� ux
RPuvw 2={;,,} ��� RPxyz 1={;,,} ���
31.a)
b)
c)
d)
A
Q
u
vuv +
12w
[] APuvw������� =++
A
P
uvuv +
w
[] ANuv�� ���� =+
A
N
v
u
[] AMuw�� ����� =+
12
12
A
M 12w
12u
68
4. Vectors en l’espai (I)
29. Sí. Per exemple, un punt qualsevol P té les mateixes co-ordenades en els dos sistemes de referència
i , que són diferents
si , o . Les coordenades de P són:
P = (0, 0, 0)
EXERCICIS I PROBLEMES
30. a)
b)
c)
d)
e)
A 12
u
12
u + v
12
u + v + w12
12
w
v
12
u + 2v + w12
u + 2v
2v
w
uA
A
12
u + v
12
u + v + w
12 u v
w
A v
wu + v + w
u + v
u
A
u + vv
u
� �w z� �v y� �u x
R P u v w2 = { ; , , }� � �R P x y z1 = { ; , , }� � �
31. a)
b)
c)
d)
A
Q
u
v u v+
12 w
[ ]AP u v w� ��� � � �
= + +
A
P
uv u v+
w
[ ]AN u v� ��� � �
= +
A
N
v
u
[ ]AM u w� ���� � �
= +12
12
A
M12 w
12 u
68
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
e)
32. Els vectors , , són base, ja que són tres vectors deV3 no coplanaris.
Per obtenir les components de qualsevol vector en labase , hem d’expressar aquest vector coma combinació lineal dels vectors de la base:
, aleshores: en labase B.
, aleshores: en la base B.
G
vE
u
[ ] ( , , )EG� ���
= 1 1 0[ ]EG u v� ��� � �= +
A u v
G
2w
[ ] ( , , )AG� ���
= 1 1 2[ ]AG u v w� ��� � � �= + + 2
B u v w= { , , }� � �
�w�v�u
[ ] ( )GJ u v u v� �� � � � �= + = +2 2 2
G u
vu v+
J
[ ]AQ u v w� ���� � � �= + + 1
2, aleshores: en la base B.
33. a)
b)
c)
34. Resolem aquest sistema vectorial per reducció:
Restem la segona equació de la primera i tenim:
Prenent components:
Aïllant en la segona equació i prenent components:
Per tant, .
35. a) Busquem una expressió del tipus:� � � �x a u b v c w a b c= + + ∈, , , .�
� �x y= =( , , ), ( , , )1 1 1 4 3 2
� � �y v x= + = + =( , , ) ( , , ) ( , , )3 2 1 1 1 1 4 3 2
�y
�x = − =14
7 6 5 3 2 1 1 1 1[( , , ) ( , , )] ( , , )
44
� � � �� �
x u v xu v= − = −
;
� � � �z u v w= − − =
= − − − −
212
15
2 1 3 212
1 2 5( , , ) ( , , )115
0 4 3
2 6 412
152
( , , )
( , , ) , ,
− =
= − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− 0045
35
52
215
5910
, ,
, ,
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
� � �y u v= + = − + − =
=
12
13
12
1 3 213
1 2 5
12
( , , ) ( , , )
, , , , , ,32
113
23
53
16
136
2−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=33
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
� � � �x u v w= + − == − + − −
2 3
1 3 2 2 1 2 5 3 0( , , ) ( , , ) ( , 44 3
1 3 2 2 4 10 0 12 9
, )
( , , ) ( , , ) ( , , )
− == − + − − − === − −( , , )1 5 17
F
w
B
[ ] ( , , )BF� ���
= 0 0 2[ ]BF w� ��� �= 2
69
4. Vectors en l’espai (I)
e)
32.Els vectors , , són base, ja que són tres vectors deV3no coplanaris.
Per obtenir les components de qualsevol vector en labase , hem d’expressar aquest vector coma combinació lineal dels vectors de la base:
, aleshores: en labase B.
, aleshores: en la base B.
G
vE
u
[](,,) EG�� ��
=110 [] EGuv�� ���� =+
Auv
G
2w
[](,,) AG�� ��
=112 [] AGuvw�� ����� =++2
Buvw ={,,} ���
�w �v �u
[]() GJuvuv������� =+=+ 222
Gu
vuv +
J
[] AQuvw�� ������ =++
12
, aleshores: en la base B.
33.a)
b)
c)
34.Resolem aquest sistema vectorial per reducció:
Restem la segona equació de la primera i tenim:
Prenent components:
Aïllant en la segona equació i prenent components:
Per tant, .
35.a)Busquem una expressió del tipus:���� xaubvcwabc =++∈ ,,,. �
�� xy == (,,),(,,) 111432
��� yvx =+=+= (,,)(,,)(,,) 321111432
�y
�x=−=14
765321111 [(,,)(,,)](,,)
44
������
xuvxuv
=−=− ;
���� zuvw =−−=
=−−−−
212
15
213212
125 (,,)(,,)115
043
26412
152
(,,)
(,,),,
−=
=−−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−00
45
35
52
215
5910
,,
,,
− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
��� yuv =+=−+−=
=
12
13
12
13213
125
12
(,,)(,,)
,,,,,,32
113
23
53
16
136
2− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟=
33⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
���� xuvw =+−==−+−−
23
132212530 (,,)(,,)(,443
13224100129
,)
(,,)(,,)(,,)
−==−+−−−===−− (,,) 1517
F
w
B
[](,,) BF����
=002 [] BFw����� =2
69
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
Prenent components:
(13, 3, −17) =a (1, 5, −2) +b(4, 0, −9) ++c (0, −1, 6) =(a, 5a, −2a) ++(4b, 0, −9b) +(0, −c, 6c) =
=(a +4b, 5a −c, −2a −9b +6c)
Así,
b)Volem obtenir dos nombres reals, a i b, tals que:
Prenent components:
(2, −10, −5) =a (1, 5, −2) +b (4, 0, −9) ==(a, 5 a, −2 a) +(4 b, 0, −9 b) ==(a +4 b, 5 a, −2 a −9 b)
Així,
c)Hem de resoldre l’equació vectorial:
en les incògnites a, b, ∈�.
Expressem els vectors en la base de l’enunciat ioperem:
(0, −1, 6) =a (1, 5, −2) +b (4, 0, −9) ==(a, 5a, −2a) +(4b, 0, −9b) ==(a +4b, 5a, −2a−9b)
Dos vectors són iguals si i només si les seves com-ponents homòlogues coincideixen. Aleshores,això equival al sistema:
que és incompatible. Per tant, no es pot expres-sar com a combinació lineal de i .
36., , sónlinealment dependents si i només si:
En el nostre cas:
Aleshores, , , sí que són linealment dependents. �w �v �u
822
5311
411
42898140
−−
−=⋅−++= ()
uvw
uvw
uvw
111
222
333
0 =
�wwww =(,,) 123�vvvv =(,,) 123
�uuuu =(,,) 123
�v �u
�w
04
15
629
=+−=
=−−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
ab
a
ab
��� waubv =+
��� yuv =−+ 21
24
105
529
2
1
=+−=
−=−−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=−=
ab
a
ab
a
b
��� yaubv =+
���� xuvw =++ 132
134
35
17296
1
3
2
=+=−
−=−−+
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒===
ab
ac
abc
a
b
c
37.Vegem que, i són linealment independents.
Així, són independents i, per tant, no pot ser com-binació lineal de i .
38.Sabem que tres vectors de V3són linealment depen-dents si i només si el determinant de la matriu que técom a columnes les components d’aquests vectors enuna certa base és 0.
En el nostre cas:
0 =k3+2k2−5k −6 =(k +1) (k −2) (k +3) ⇔⇔k =−1, k =2 o k =−3
Per expressar com una combinació lineal de , hem d’obtenir dos nombres reals a i b, tals que:
Prenent components:
(3, 5, k) =a (k, −2, 0) +b(k, k, 1) ==(ka, −2a, 0) +(kb, kb, b) ==(ka +kb, −2a +kb, b)
,
Si k =−1, la solució és a =−2, b =−1, aleshores:
Si k =2, la solució és , b =2, aleshores:
Si k =−3, la solució és a =2, b =−3, aleshores:
39.Els vectors , , sónlinealment dependents si i només si:
0 =3 k2−7 k +2 ; k =2 o . k=13
0
22
133
11
3646 ==−−+−k
k
kkk ()(),
�c=(,,) 231�bk =(,,) 31 �ak =(,,) 21
��� wuv =− 23
��� wuv =−+12
2
a=−12
��� wuv =−− 2
3
52
2
2
=
=−
=−
bk
kak
ak
⎫⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
3
52
=+
=−+
=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
kakb
akb
kb
��� waubv =+
�v �u �w
0
3
25
01
05622
=−=−+++kk
k
k
kkkk ()(),
�v �u
�w
124
112
124
48448200
−−−=+−++=≠
�w �v �u
70
4. Vectors en l’espai (I)
Prenent components:
(13, 3, −17) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) ++ c (0, −1, 6) = (a, 5 a, −2 a) ++ (4 b, 0, −9 b) + (0, −c, 6 c) =
= (a + 4b, 5a − c, −2a − 9b + 6c)
Así,
b) Volem obtenir dos nombres reals, a i b, tals que:
Prenent components:
(2, −10, −5) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) == (a, 5 a, −2 a) + (4 b, 0, −9 b) == (a + 4 b, 5 a, − 2 a − 9 b)
Així,
c) Hem de resoldre l’equació vectorial:
en les incògnites a, b, ∈ �.
Expressem els vectors en la base de l’enunciat ioperem:
(0, −1, 6) = a (1, 5, −2) + b (4, 0, −9) == (a, 5 a, −2 a) + (4 b, 0, −9 b) == (a + 4 b, 5 a, −2 a − 9 b)
Dos vectors són iguals si i només si les seves com-ponents homòlogues coincideixen. Aleshores,això equival al sistema:
que és incompatible. Per tant, no es pot expres-sar com a combinació lineal de i .
36. , , sónlinealment dependents si i només si:
En el nostre cas:
Aleshores, , , sí que són linealment dependents.�w�v�u
8 2 2
5 3 11
4 1 1
4 28 98 14 0
−−
−= ⋅ − + + =( )
u v w
u v w
u v w
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0=
�w w w w= ( , , )1 2 3�v v v v= ( , , )1 2 3
�u u u u= ( , , )1 2 3
�v�u
�w
0 4
1 5
6 2 9
= +− =
= − −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
a b
a
a b
� � �w a u b v= +
� � �y u v= − +2 1
2 4
10 5
5 2 9
2
1
= +− =
− = − −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒= −=
a b
a
a b
a
b
� � �y a u b v= +
� � � �x u v w= + +1 3 2
13 4
3 5
17 2 9 6
1
3
2
= += −
− = − − +
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒===
a b
a c
a b c
a
b
c
37. Vegem que , i són linealment independents.
Així, són independents i, per tant, no pot ser com-binació lineal de i .
38. Sabem que tres vectors de V3 són linealment depen-dents si i només si el determinant de la matriu que técom a columnes les components d’aquests vectors enuna certa base és 0.
En el nostre cas:
0 = k3 + 2k2 − 5k − 6 = (k + 1) (k − 2) (k + 3) ⇔⇔ k = −1, k = 2 o k = −3
Per expressar com una combinació lineal de , hem d’obtenir dos nombres reals a i b, tals que:
Prenent components:
(3, 5, k) = a (k, −2, 0) + b (k, k, 1) == (k a, −2 a, 0) + (k b, k b, b) == (k a + k b, −2 a + k b, b)
,
Si k = −1, la solució és a = −2, b = −1, aleshores:
Si k = 2, la solució és , b = 2, aleshores:
Si k = −3, la solució és a = 2, b = −3, aleshores:
39. Els vectors , , sónlinealment dependents si i només si:
0 = 3 k2 − 7 k + 2 ; k = 2 o .k = 13
0
2 2
1 3 3
1 1
3 6 4 6= = − − + −k
k
k k k( ) ( ),
�c = ( , , )2 3 1
�b k= ( , , )3 1
�a k= ( , , )2 1
� � �w u v= −2 3
� � �w u v= − +12
2
a = − 12
� � �w u v= − −2
3
52
2
2
=
= −
= −
b k
k a k
ak
⎫⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
3
5 2
= +
= − +
=
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
k a k b
a k b
k b
� � �w a u b v= +
�v�u�w
0
3
2 5
0 1
0 5 6 22= − = − + + +k k
k
k
k k k k( ) ( ),
�v�u
�w
1 2 4
1 1 2
1 2 4
4 8 4 4 8 20 0
−− − = + − + + = ≠
�w�v�u
70
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
Així, són linealment dependents k = 2 o
.
40. Els vectors , , són linealment dependents si i només si:
= (k2 + 6) (2 k 9) ( 4 3 k),
0 = k2 + k + 19 �, aleshores:
no són linealment dependents per a cap valorde k, és a dir, són linealment independents per a tot va-lor de k �.
41. Els vectors , i són linealment dependents si i només si:
i com que aquesta igualtat és sempre falsa, indepen-dentment del valor de a, b, c, en concloem que , i
són sempre linealment independents.
42. a) Considerem la matriu que té com a columnes lescomponents dels vectors :
Sabem que rang = rang (A).
La matriu A, per la seva banda, té un menor no nul
d’ordre 2, per exemple i tots
els menors d’ordre 3 que el contenen són nuls.Aleshores, rang (A) = 2.
Així, rang = 2.
b) Com que les components de i donen lloc a unmenor no nul d’ordre màxim de la matriu A, elsvectors , són linealment independents i el sub-conjunt conté el màxim nombre de vectorslinealment independents entre ells que es pot tro-bar en .
43. Com que la dimensió de V3 és 3, , , formen basesi i només si són linealment independents.
Per veure si , , són linealment independents:
= 3 + 14 + 60 ( 2 36 + 35) = 80 0
1 6 1
2 1 5
2 7 3
=
�w�v�u
�w�v�u
{ , , , }� � � �a b c d
{ , }� �a b
�b
�a
�b
�a
{ , , , }� � � �a b c d
3 2
4 15 0=
{ , , , }� � � �a b c d
A =
3 2 1 5
4 1 3 5
3 5 2 8
� � � �a b c d, , ,
�w
�v�u
0
1 0 0
2 0
3
6= =a
b c
�w = ( , , )0 0 3�v c= ( , , )0 2�u a b= ( , , )1
� � �x y z, ,
k =±1 75
2
0
2 3 1
2 1
3 1
= =k
k
�z = ( , , )1 1 1�y k= ( , , )3 2�x k= ( , , )2 3
k =13
� � �a b c, , per la qual cosa concloem que formen base.
— Busquem els coeficients a, b, c � � tals que:
Expressem els vectors en la base implícita en l’e-nunciat:
( 3, 1, 9) =
= a (1, 2, 2) + b ( 6, 1, 7) + c (1, 5, 3) =
= (a, 2 a, 2 a) + ( 6 b, b, 7 b) + (c, 5 c, 3 c) =
= (a 6 b + c, 2 a + b + 5 c, 2 a + 7 b + 3 c)
Les components del vector en la base són = (5, 1 2).
44. a) Tres vectors de V3 formen base si i només si són li-nealment independents.
Els vectors , , són linealment independents rang = 3 �A� 0, essent A la matriu lescolumnes de la qual són les components dels vec-tors , , .Com que
tenim que , , són base.
b) Busquem les components (a, b, c) de en la base, , , és a dir, els nombres reals a, b, c que com-
pleixen:
Si treballem amb aquesta igualtat en components:
(3, 6, 9) = a (1, 4, 7) + b (2, 5, 8) + c (1, 1, 2) =
= (a, 4 a, 7 a) + (2 b, 5 b, 8 b) + (c, c, 2 c) =
= (a + 2 b + c, 4 a + 5 b + c, 7 a + 8 b + 2 c)
Les components del vector en la base són = ( 1, 2, 0).
45. Perquè tres vectors de V3 no formin base, han de ser li-nealment dependents, és a dir, el determinant de lamatriu A les columnes de la qual són les componentsdels vectors ha de ser 0.
En el nostre cas: ; aleshores:A
k
k k
k
=
2 0
0
1 2
�w{ , , }� � �u v t�w
3 2
6 4 5
9 7 8 2
1
2
0
= + +
= + +
= + +
=
=
=
a b c
a b c
a b c
a
b
c
� � � �w a u b v c t= + +
�t�v�u
�w
�t�v�u
A = = + =
=
1 2 1
4 5 1
7 8 2
3 6 2 3
3 0
( ) ( )
�t�v�u
{ , , }� � �u v t
�t�v�u
�x{ , , }� � �u v w�x
= +
= + +
= + +
=
=
3 6
1 2 5
9 2 7 3
5
1
a b c
a b c
a b c
a
b
c == 2
� � � �x a u b v c w= + +
71
4. Vectors en l’espai (I)Així, són linealment dependents k =2 o
.
40.Els vectors , , són linealment dependents si i només si:
=(k2+6) (2k 9) (4 3k),
0 =k2+k +19 �, aleshores:
no són linealment dependents per a cap valorde k, és a dir, són linealment independents per a tot va-lor de k �.
41.Els vectors , i són linealment dependents si i només si:
i com que aquesta igualtat és sempre falsa, indepen-dentment del valor de a, b, c, en concloem que, i
són sempre linealment independents.
42.a)Considerem la matriu que té com a columnes lescomponents dels vectors:
Sabem que rang =rang (A).
La matriu A, per la seva banda, té un menor no nul
d’ordre 2, per exemple i tots
els menors d’ordre 3 que el contenen són nuls.Aleshores, rang (A) =2.
Així, rang =2.
b)Com que les components de i donen lloc a unmenor no nul d’ordre màxim de la matriu A, elsvectors , són linealment independents i el sub-conjunt conté el màxim nombre de vectorslinealment independents entre ells que es pot tro-bar en.
43.Com que la dimensió de V3és 3, , , formen basesi i només si són linealment independents.
Per veure si, , són linealment independents:
=3 +14 +60 (2 36 +35) =80 0
161
215
273
=
�w �v �u
�w �v �u
{,,,} ����abcd
{,} ��ab
�b
�a
�b
�a
{,,,} ����abcd
32
4150 =
{,,,} ����abcd
A=
3215
4135
3528
����abcd ,,,
�w
�v �u
0
100
20
3
6 == a
bc
�w=(,,) 003 �vc =(,,) 02�uab =(,,) 1
��� xyz ,,
k=± 175
2
0
231
21
31
== k
k
�z=(,,) 111 �yk =(,,) 32 �xk =(,,) 23
k=13
���abc ,,per la qual cosa concloem que formen base.
—Busquem els coeficients a, b, c � �tals que:
Expressem els vectors en la base implícita en l’e-nunciat:
(3, 1, 9) =
=a (1, 2, 2) +b (6, 1, 7) +c (1, 5, 3) =
=(a, 2a, 2a) +(6b, b, 7b) +(c, 5c, 3c) =
=(a 6b +c, 2a +b +5c, 2a +7b +3c)
Les components del vector en la base són =(5, 1 2).
44.a)Tres vectors de V3formen base si i només si són li-nealment independents.
Els vectors , , són linealment independents rang =3 �A�0, essent A la matriu lescolumnes de la qual són les components dels vec-tors , , .Com que
tenim que , , són base.
b)Busquem les components (a, b, c) de en la base, , , és a dir, els nombres reals a, b, c que com-
pleixen:
Si treballem amb aquesta igualtat en components:
(3, 6, 9) =a (1, 4, 7) +b (2, 5, 8) +c (1, 1, 2) =
=(a, 4a, 7a) +(2b, 5b, 8b) +(c, c, 2c)=
=(a +2b +c, 4a +5b +c, 7a +8b +2c)
Les components del vector en la base són =(1, 2, 0).
45.Perquè tres vectors de V3no formin base, han de ser li-nealment dependents, és a dir, el determinant de lamatriu A les columnes de la qual són les componentsdels vectors ha de ser 0.
En el nostre cas: ; aleshores: A
k
kk
k
=
20
0
12
�w{,,} ���uvt �w
32
645
9782
1
2
0
=++
=++
=++
=
=
=
abc
abc
abc
a
b
c
����waubvct =++
�t �v �u
�w
�t �v �u
A==+=
=
121
451
782
3623
30
()()
�t �v �u
{,,} ���uvt
�t �v �u
�x{,,} ��� uvw �x
=+
=++
=++
=
=
36
125
9273
5
1
abc
abc
abc
a
b
c==2
���� xaubvcw =++
71
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
Així, �A�=0 ⇔k2(k −2) =0 ⇔k =0 o k =2.
Per tant, , , no són base si i només si k �0 o k �2.
46.Considerem . Perquè, i
siguin linealment independents, hem d’imposar �A�≠0.
Ara,
�A�=0 ⇔2k2−7k +3 =0 ⇔o k =3
Per tant,
�A�≠0 ⇔i k ≠3 ⇔k ∈� −
En concloem que, ,són base∀k ∈� −.
47.L’origen del vector fix és el punt A, i el seu extrem,el punt B.
Si les coordenades d’aquests punts són A =(a1, a2, a3)iB =(b1, b2, b3), sabem que les components del vector
són:
=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)
D’acord amb l’enunciat:
B =(3, 2, −7) i =(5, −4, 1).
Aleshores:
(5, −4, 1) =(3 −a1, 2 −a2, −7 −a3)
L’origen del vector és, doncs, A =(−2, 6, −8).
48.Dos vectors fixos són equipol.lents si i només si són re-presentants del mateix vector lliure.
Així, és equipol.lent a ⇔=.
Si D �(d1, d2, d3), podem expressar i d’a-cord amb les coordenades dels seus orígens i els seusextrems:
=(1 −1, −1 −2, 1 −3) =(0, −3, −2)
=(d1−0, d2−2, d3−(−5)) =
=(d1, d2−2, d3+5)
[] CD�� ��
[] AB����
[] CD�� ��
[] AB����
[] CD�� ��
[] AB����
CD�� ��
AB����
AB����
53
42
17
2
6
8
1
2
3
1
2
3
=−−=−
=−−
⇒=−⇒=⇒=−
a
a
a
a
a
a
[] AB����
[] AB����
[] AB����
AB����
12
3, ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
�w �v �u
12
3, ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
k≠12
k=12
A
k
k
kkk
kk
==−−−+−=
=−+
11
212
23
1624
2732
()()
�w �v �u A
k
k
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
11
212
23
�w �v �u
A
k
kk
k
kk
kkkkk
kk
===−=
=−
20
0
12
22
2
2
2
()
()
Si expressem en components la igualtat =:
(0, −3, −2) =(d1, d2−2, d3+5)
Les coordenades del punt D són D =(0, −1, −7).
49.Com que A, B i C són tres extrems consecutius d’un pa-ral.lelogram, tenim que:
=, on:
=(1 −2, 3 −1, 5 −4) =(−1, 2, 1)
=(d1−(−3), d2−0, d3−1) =
=(d1+3, d2, d3−1)
Substituint en la igualtat vectorial:
(−1, 2, 1) =(d1+3, d2, d3−1)
amb la qual cosa D =(−4, 2, 2).
Si M és el punt mitjà del paral.lelogram, es compleix:
Així:
Per tant:
50.Si anomenem P =(p1, p2, p3) les coordenades de P:
=(p1−1, p2−5, p3−0) =(p1−1, p2−5, p3)
=(1 −1, −4 −5, 9 −0) =(0, −9, 9)
Substituint en l’equació de l’enunciat:
(p1−1, p2−5, p3) =(0, −4, 4)
El punt P buscat és P =(1, 1, 4).
p
p
p
p
p
p
1
2
3
1
2
3
10
54
4
1
1
4
−=−=−
=
⇒=⇒=⇒=
[][] APAB��������
=49
[] AB����
[] AP����
M=−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 1
32
3 ,,
m
m
m
m
m
m
1
2
3
1
2
3
12
332
52
1
323
−=−
−=−
−=−
⇒=−
⇒=
⇒=
(,,)(,,) mmm 123 13512
310315 −−−=−−−−
[][] AMAC�� �������
=12
−=+==−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=−==
13
2
11
4
2
2
1
2
3
1
2
3
d
d
d
d
d
d
[] CD�� ��
[] BA����
[] CD�� ��
[] BA����
0
32
25
0
1
7
1
2
3
1
2
3
=−=−−=+
⇒=⇒=−⇒=−
d
d
d
d
d
d
[] CD�� ��
[] AB����
72
4. Vectors en l’espai (I)
Així, �A� = 0 ⇔ k2 (k − 2) = 0 ⇔ k = 0 o k = 2.
Per tant, , , no són base si i només si k � 0 o k � 2.
46. Considerem . Perquè , i
siguin linealment independents, hem d’imposar �A� ≠ 0.
Ara,
�A� = 0 ⇔ 2 k2 − 7 k + 3 = 0 ⇔ o k = 3
Per tant,
�A� ≠ 0 ⇔ i k ≠ 3 ⇔ k ∈ � −
En concloem que , , són base ∀ k ∈ � − .
47. L’origen del vector fix és el punt A, i el seu extrem,el punt B.
Si les coordenades d’aquests punts són A = (a1, a2, a3) iB = (b1, b2, b3), sabem que les components del vector
són:
= (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
D’acord amb l’enunciat:
B = (3, 2, −7) i = (5, −4, 1).
Aleshores:
(5, −4, 1) = (3 − a1, 2 − a2, −7 − a3)
L’origen del vector és, doncs, A = (−2, 6, −8).
48. Dos vectors fixos són equipol.lents si i només si són re-presentants del mateix vector lliure.
Així, és equipol.lent a ⇔ = .
Si D � (d1, d2, d3), podem expressar i d’a-cord amb les coordenades dels seus orígens i els seusextrems:
= (1 − 1, −1 − 2, 1 − 3) = (0, −3, −2)
= (d1 − 0, d2 − 2, d3 − (−5)) =
= (d1, d2 − 2, d3 + 5)
[ ]CD� ���
[ ]AB� ���
[ ]CD� ���
[ ]AB� ���
[ ]CD� ���
[ ]AB� ���
CD� ���
AB� ���
AB� ���
5 3
4 2
1 7
2
6
8
1
2
3
1
2
3
= −− = −
= − −
⇒ = −⇒ =⇒ = −
a
a
a
a
a
a
[ ]AB� ���
[ ]AB� ���
[ ]AB� ���
AB� ���
12
3,⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
�w�v�u
12
3,⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
k ≠ 12
k = 12
A
k
k
k k k
k k
= = − − − + − =
= − +
1 1
2 1 2
2 3
1 6 2 4
2 7 32
( ) ( )
�w�v�uA
k
k
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 1
2 1 2
2 3
�w�v�u
A
k
k k
k
kk
k kk k k
k k
= = = − =
= −
2 0
0
1 2
22
2
2
2
( )
( )
Si expressem en components la igualtat = :
(0, −3, −2) = (d1, d2 − 2, d3 + 5)
Les coordenades del punt D són D = (0, −1, −7).
49. Com que A, B i C són tres extrems consecutius d’un pa-ral.lelogram, tenim que:
= , on:
= (1 − 2, 3 − 1, 5 − 4) = (−1, 2, 1)
= (d1 − (−3), d2 − 0, d3 − 1) =
= (d1 + 3, d2, d3 − 1)
Substituint en la igualtat vectorial:
(−1, 2, 1) = (d1 + 3, d2, d3 − 1)
amb la qual cosa D = (−4, 2, 2).
Si M és el punt mitjà del paral.lelogram, es compleix:
Així:
Per tant:
50. Si anomenem P = (p1, p2, p3) les coordenades de P:
= (p1 − 1, p2 − 5, p3 − 0) = (p1 − 1, p2 − 5, p3)
= (1 − 1, −4 − 5, 9 − 0) = (0, −9, 9)
Substituint en l’equació de l’enunciat:
(p1 − 1, p2 − 5, p3) = (0, −4, 4)
El punt P buscat és P = (1, 1, 4).
p
p
p
p
p
p
1
2
3
1
2
3
1 0
5 4
4
1
1
4
− =− = −
=
⇒ =⇒ =⇒ =
[ ] [ ]AP AB� ��� � ���
= 49
[ ]AB� ���
[ ]AP� ���
M = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
132
3, ,
m
m
m
m
m
m
1
2
3
1
2
3
1 2
332
5 2
1
323
− = −
− = −
− = −
⇒ = −
⇒ =
⇒ =
( , , ) ( , , )m m m1 2 31 3 512
3 1 0 3 1 5− − − = − − − −
[ ] [ ]AM AC� ���� � ���
= 12
− = +== −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒= −==
1 3
2
1 1
4
2
2
1
2
3
1
2
3
d
d
d
d
d
d
[ ]CD� ���
[ ]BA� ���
[ ]CD� ���
[ ]BA� ���
0
3 2
2 5
0
1
7
1
2
3
1
2
3
=− = −− = +
⇒ =⇒ = −⇒ = −
d
d
d
d
d
d
[ ]CD� ���
[ ]AB� ���
72
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
51.
Com que A, B, C, D divideixen el segment MN en cincparts iguals, s’ha de complir:
Així, doncs:
Així, les coordenades dels punts A, B, C, D són:
A = (2, 1, 4) , B = (3, 0, 5)
C = (4, −1, 6) , D = (5, −2, 7)
52. Com que M, N, P divi-deixen el segment enquatre parts iguals,s’ha de complir:
Si M � (m1, m2, m3), N � (n1, n2, n3), P � (p1, p2, p3),i tenint en compte que:
= (3 − 1, 4 − 2, −1 − 5) = (2, 2, −6)
podem expressar les igualtats anteriors en compo-nents i deduir-ne el valor de les coordenades de M, N, P:
[ ] [ ]
( , , ) (
AM AB
m m m
� ���� � ���=
− − − =
14
1 2 514
21 2 3 ,, , )2 6−
[ ]AB� ���
B = (3, 4, -1)
A = (1, 2, 5)
M
N
P
Z
X
Y
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[
AM AB
AN AB
AP
� ���� � ���
� ��� � ���
�
=
=
14
24
���� � ���] [ ]= 3
4AB
[ ] [ ] [ ] ( , , ) ( ,OA OM MA� ��� � ���� � ����
= + = +1 2 3 1 −− ==
= +
1 1
2 1 4
, )
( , , )
[ ] [ ] [OB OA AB� ��� � ��� � ���
]] ( , , ) ( , , )
( , , )
[ ]
= + − ==
=
2 1 4 1 1 1
3 0 5
OC� ���
(( , , ) ( , , ) ( , , )
[ ] (
3 0 5 1 1 1 4 1 6
4
+ − = −
=OD� ���
,, , ) ( , , ) ( , , )− + − = −1 6 1 1 1 5 2 7
[ ] [ ] [ ] [ ] [MA AB BC CD DN� ���� � ��� � ��� � ��� � ��
= = = =��
� ����]
[ ] ( , , ) ( , ,
=
= = − − − − = −15
15
6 1 3 2 8 3 1 1MN )1
M = (1, 2, 3)
N = (6, –3, 8) D C B A
Z
X
YAnàlogament :
Les coordenades dels punts buscats són, doncs:
53. Sabem que el baricentre del tetraedre ABCD és el puntH per al qual es compleix:
, essent G el baricentre del triangleBCD.
Considerem H = (h1, h2, h3).
Les coordenades del punt G són les del baricentre deltriangle BCD:
Per tant, la igualtat inicial expressada en componentsés:
i si igualem component a component:
Les coordenades del baricentre són H = (2, 3, 2).
54. a) Si M � (m1, m2, m3) són les coordenades del puntbuscat, podem expressar en components l’equacióvectorial de l’enunciat:
(−5 − 3, 7 − (−5), 3 − 1) == −2 (m1 − 3, m2 − (−5), m3 − 1),
(−8, 12, 2) = (−2 m1 + 6, −2 m2 − 10, −2 m3 + 2)
− = − += − −= − +
⇒ =⇒ = −⇒ =
8 2 6
12 2 10
2 2 2
7
111
2
3
1
2
3
m
m
m
m
m
m 00
[ ] [ ]AB AM� ��� � ����
= −2
h h
h h
h h
h
h
h
1 1
2 2
3 3
1
2
3
4 4 3
6 6 3
2 6 3
2
3
− = −− = −− = −
⇒ =⇒ =⇒ == 2
( , , ) , ,h h h h h h1 2 3 1 2 34 6 2 343
2 2− − − = − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
G = + + − + + − + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
=
2 3 13
7 0 13
3 2 13
43
2
( ),
( ),
, , 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[ ] [ ]AH HG� ��� � ����
= 3
M N P= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =32
52
72
2 3 252
72
12
, , , ( , , ) , , ,⎛⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( , , ) ( , , )
,
n n n
n n
1 2 3
1 2
1 2 524
2 2 6
2 3
− − − = − ⇒
⇒ = = ,,
( , , ) ( , , )
n
p p p
p
3
1 2 3
1
2
1 2 534
2 2 6
=
− − − = − ⇒
⇒ = 552
72
122 3, ,p p= =
m
m
m
m
m
m
1
2
3
1
2
3
112
212
532
325272
− =
− =
− = −
⇒ =
⇒ =
⇒ =
73
4. Vectors en l’espai (I)51.
Com que A, B, C, D divideixen el segment MN en cincparts iguals, s’ha de complir:
Així, doncs:
Així, les coordenades dels punts A, B, C, D són:
A =(2, 1, 4) , B =(3, 0, 5)
C =(4, −1, 6) , D =(5, −2, 7)
52.Com que M, N, P divi-deixen el segment enquatre parts iguals,s’ha de complir:
Si M �(m1, m2, m3), N �(n1, n2, n3), P �(p1, p2, p3),i tenint en compte que:
=(3 −1, 4 −2, −1 −5) =(2, 2, −6)
podem expressar les igualtats anteriors en compo-nents i deduir-ne el valor de les coordenades de M, N, P:
[][]
(,,)(
AMAB
mmm
�� �������=
−−−=
14
12514
2 123,,,) 26 −
[] AB����
B = (3, 4, -1)
A = (1, 2, 5)
M
N
P
Z
X
Y
[][]
[][]
[
AMAB
ANAB
AP
�� �������
�� ������
�
=
=
14
24
��������][] =
34
AB
[][][](,,)(, OAOMMA�� ���� ����� ���
=+=+ 1231−−==
=+
11
214
,)
(,,)
[][][ OBOAAB�� ���� ������
]](,,)(,,)
(,,)
[]
=+−==
=
214111
305
OC�� ��
((,,)(,,)(,,)
[](
305111416
4
+−=−
= OD�� ��
,,,)(,,)(,,) −+−=− 16111527
[][][][][ MAABBCCDDN�� ������������� ���� �
====��
�� ���]
[](,,)(,,
=
==−−−−=−15
15
61328311 MN)1
M = (1, 2, 3)
N = (6, –3, 8)DCBA
Z
X
YAnàlogament :
Les coordenades dels punts buscats són, doncs:
53.Sabem que el baricentre del tetraedre ABCD és el puntH per al qual es compleix:
, essent G el baricentre del triangleBCD.
Considerem H =(h1, h2, h3).
Les coordenades del punt G són les del baricentre deltriangle BCD:
Per tant, la igualtat inicial expressada en componentsés:
i si igualem component a component:
Les coordenades del baricentre són H =(2, 3, 2).
54.a)Si M �(m1, m2, m3) són les coordenades del puntbuscat, podem expressar en components l’equacióvectorial de l’enunciat:
(−5 −3, 7 −(−5), 3 −1) ==−2 (m1−3, m2−(−5), m3−1),
(−8, 12, 2) =(−2m1+6, −2m2−10, −2m3+2)
−=−+=−−=−+
⇒=⇒=−⇒=
826
12210
222
7
111
2
3
1
2
3
m
m
m
m
m
m00
[][] ABAM������ ���
=−2
hh
hh
hh
h
h
h
11
22
33
1
2
3
443
663
263
2
3
−=−−=−−=−
⇒=⇒=⇒==2
(,,),, hhhhhh 123123 462343
22 −−−=−−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
G=++−++−++ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=
2313
7013
3213
43
2
(),
(),
,,2 ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[][] AHHG�� ���� ���
=3
MNP =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟==
32
52
72
23252
72
12
,,,(,,),,, ⎛⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
(,,)(,,)
,
nnn
nn
123
12
12524
226
23
−−−=−⇒
⇒==,,
(,,)(,,)
n
ppp
p
3
123
1
2
12534
226
=
−−−=−⇒
⇒=552
72
12
23 ,, pp ==
m
m
m
m
m
m
1
2
3
1
2
3
112
212
532
325272
−=
−=
−=−
⇒=
⇒=
⇒=
73
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
El punt M té per coordenades M =(7, −11, 0).
b)Com que coneixem les coordenades dels punts A, B, M, podem expressar la igualtat en compo-nents:
(3 −7, −5 −(−11), 1 −0) ==k (−5 −7, 7 −(−11), 3 −0)
(−4, 6, 1) =(−12k, 18k, 3k)
i igualant component a component:
55.La situació de l’enunciat correspon a dos casos possi-bles diferents. No obstant això, en cadascun podemtraduir vectorialment la situació sense pèrdua d’infor-mació:
Cas a:A es troba entre B i C.
Cas b:B es troba entre A i C.
Podem expressar les components dels vectors que in-tervenen en aquestes equacions en funció de les coor-denades dels punts A, B, C �(c1, c2, c3):
[](,,)
[](,
BCccc
BA
����
����=−−−
=−123 321
130−−−−=−−− 221223 ,)(,,)
[][] BCBA��������
=−2
A
B
C
[][] BCBA��������
=2
B
A
C
−=−==
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=412
618
13
13
k
k
k
k
[][] MAkMB�� ����� ��
=
Expressant les equacions en components, podem de-terminar les coordenades de C:
En el cas a:
(c1−3, c2−2, c3−1) =2 (−2, −2, −3)
En el cas b:
(c1−3, c2−2, c3−1) =−2 (−2, −2, −3)
Així, les coordenades del cim C poden ser:
C =(−1, −2, −5) o C =(7, 6, 7)
56.Els punts A, B, C estan alineats si i només si els vec-torsi tenen la mateixa direcció o algun és nul.Ara bé, dos vectors lliures són linealment dependentssi i només si tenen la mateixa direcció o algun és nul.
Per tant, A, B, C estan alineats si i només si els vectorsi són linealment dependents.
Per obtenir un criteri d’alineació en funció de les co-ordenades dels punts, expressem els vectors i
en components:
=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)
=(c1−a1, c2−a2, c3−a3)
Finalment, com que el rang del conjunt {, }coincideix amb el de la matriu les columnes de la qual són les components dels vectors i , podemafirmar:
A, B, C estan alineats si i només si:
—D’acord amb aquest mètode aplicat als punts:
—A =(−2, −3, 1) , B =(−3, −4, 0) , C =(4, 6, −2)
com que
baca
baca
baca
1111
2222
3333
3 −−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
−−−−−−−−−−−
−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
()()
()()
242
4363
0121
==−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
16
19
13
rang
baca
baca
baca
1111
2222
3333
−−−−−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟<2
[] AC����
[] AB����
[] AC����
[] AB����
[] AC����
[] AB����
[] AC����[] AB
����
[] AC����
[] AB����
AC����
AB����
c
c
c
c
c
c
1
2
3
1
2
3
34
24
16
7
6
7
−=−=−=
⇒=⇒=⇒=
[][] BCBA��������
=−2
c
c
c
c
c
c
1
2
3
1
2
3
34
24
16
1
2
5
−=−−=−−=−
⇒=−⇒=−⇒=−
[][] BCBA��������
=2
74
4. Vectors en l’espai (I)
El punt M té per coordenades M = (7, −11, 0).
b) Com que coneixem les coordenades dels punts A, B, M, podem expressar la igualtat en compo-nents:
(3 − 7, −5 − (−11), 1 − 0) == k (−5 − 7, 7 − (−11), 3 − 0)
(−4, 6, 1) = (−12 k, 18 k, 3 k)
i igualant component a component:
55. La situació de l’enunciat correspon a dos casos possi-bles diferents. No obstant això, en cadascun podemtraduir vectorialment la situació sense pèrdua d’infor-mació:
Cas a: A es troba entre B i C.
Cas b: B es troba entre A i C.
Podem expressar les components dels vectors que in-tervenen en aquestes equacions en funció de les coor-denades dels punts A, B, C � (c1, c2, c3):
[ ] ( , , )
[ ] ( ,
BC c c c
BA
� ���
� ���= − − −
= −1 2 33 2 1
1 3 0 −− − − = − − −2 2 1 2 2 3, ) ( , , )
[ ] [ ]BC BA� ��� � ���
= − 2
A
B
C
[ ] [ ]BC BA� ��� � ���
= 2
B
A
C
− = −==
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒ =4 12
6 18
1 3
13
k
k
k
k
[ ] [ ]MA k MB� ���� � ���
=
Expressant les equacions en components, podem de-terminar les coordenades de C:
En el cas a:
(c1 − 3, c2 − 2, c3 − 1) = 2 (−2, −2, −3)
En el cas b:
(c1 − 3, c2 − 2, c3 − 1) = −2 (−2, −2, −3)
Així, les coordenades del cim C poden ser:
C = (−1, −2, −5) o C = (7, 6, 7)
56. Els punts A, B, C estan alineats si i només si els vec-tors i tenen la mateixa direcció o algun és nul.Ara bé, dos vectors lliures són linealment dependentssi i només si tenen la mateixa direcció o algun és nul.
Per tant, A, B, C estan alineats si i només si els vectorsi són linealment dependents.
Per obtenir un criteri d’alineació en funció de les co-ordenades dels punts, expressem els vectors i
en components:
= (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
= (c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3)
Finalment, com que el rang del conjunt { , }coincideix amb el de la matriu les columnes de la qual són les components dels vectors i , podemafirmar:
A, B, C estan alineats si i només si:
— D’acord amb aquest mètode aplicat als punts:
— A = (−2, −3, 1) , B = (−3, −4, 0) , C = (4, 6, −2)
com que
b a c a
b a c a
b a c a
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
3− −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− −− − − −− − − − −
− − −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=( ) ( )
( ) ( )
2 4 2
4 3 6 3
0 1 2 1
==−−− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 6
1 9
1 3
rang
b a c a
b a c a
b a c a
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
− −− −− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
< 2
[ ]AC� ���
[ ]AB� ���
[ ]AC� ���
[ ]AB� ���
[ ]AC� ���
[ ]AB� ���
[ ]AC� ��� [ ]AB
� ���
[ ]AC� ���
[ ]AB� ���
AC� ���
AB� ���
c
c
c
c
c
c
1
2
3
1
2
3
3 4
2 4
1 6
7
6
7
− =− =− =
⇒ =⇒ =⇒ =
[ ] [ ]BC BA� ��� � ���
= − 2
c
c
c
c
c
c
1
2
3
1
2
3
3 4
2 4
1 6
1
2
5
− = −− = −− = −
⇒ = −⇒ = −⇒ = −
[ ] [ ]BC BA� ��� � ���
= 2
74
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
CM
YK
té rang 2, ja que, per exemple, ≠ 0
és un menor no nul, en concloem que els punts A, B,C no estan alineats.
57. Com que la base de la piràmide és un paral.lelogram,el seu punt mitjà divideix les diagonals en dues partsiguals.
Així, com que = (4 − 2, 1 − 3, −2 − 4) == (2, −2, −6) és una de les diagonals, el punt O ha decomplir:
que podem expressar en components si indiquem lescoordenades del punt O com a O � (o1, o2, o3):
Les coordenades del punt mitjà de la base sónO � (3, 2, 1).
a) El simètric de A respecte de B és el punt F tal que.[ ] [ ]AB BF
� ��� � ���=
o
o
o
o
o
o
1
2
3
1
2
3
2 1
3 1
4 3
3
2
1
− =− = −− = −
⇒ =⇒ =⇒ =
( , , ) ( , , ) ( , ,o o o1 2 32 3 412
2 2 6 1 1 3− − − = − − = − − ))
[ ] [ ],AO AC� ��� � ���
= 12
[ ]AC� ���
−−
= −1 6
1 93
Si F � (f1, f2, f3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:
(−2 − 2, 1 − 3, 5 − 4) = (f1 − (−2), f2 − 1, f3 − 5)
El simètric de A respecte de B és F � (�6, �1, 6).
b) El simètric de E respecte del centre de la base O és,d’acord amb la definició, el punt G � (g1, g2, g3)per al qual:
Si prenem components:
(3 − 6, 2 − 8, 1 − 0) = (g1 − 3, g2 − 2, g3 − 1)
El simètric de E respecte de O és G � (0, �4, 2).
58. Activitat TIC.
59. Activitat TIC.
− = −− = −
= −
⇒ =⇒ = −⇒ =
3 3
6 2
1 1
0
4
2
1
2
3
1
2
3
g
g
g
g
g
g
[ ] [ ]EO OG� ��� � ����
=
− = +− = −
= −
⇒ = −⇒ = −⇒ =
4 2
2 1
1 5
6
1
6
1
2
3
1
2
3
f
f
f
f
f
f
75
4. Vectors en l’espai (I)té rang 2, ja que, per exemple,≠0
és un menor no nul, en concloem que els punts A, B,C no estan alineats.
57.Com que la base de la piràmide és un paral.lelogram,el seu punt mitjà divideix les diagonals en dues partsiguals.
Així, com que =(4 −2, 1 −3, −2 −4) ==(2, −2, −6) és una de les diagonals, el punt O ha decomplir:
que podem expressar en components si indiquem lescoordenades del punt O com a O �(o1, o2, o3):
Les coordenades del punt mitjà de la base sónO �(3, 2, 1).
a)El simètric de A respecte de B és el punt F tal que. [][] ABBF
��������=
o
o
o
o
o
o
1
2
3
1
2
3
21
31
43
3
2
1
−=−=−−=−
⇒=⇒=⇒=
(,,)(,,)(,, ooo 123 23412
226113 −−−=−−=−−))
[][], AOAC�� ������
=12
[] AC����
−−
=−16
193
Si F �(f1, f2, f3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:
(−2 −2, 1 −3, 5 −4) =(f1−(−2), f2−1, f3−5)
El simètric de A respecte de B és F �(�6, �1, 6).
b)El simètric de E respecte del centre de la base O és,d’acord amb la definició, el punt G �(g1, g2, g3)per al qual:
Si prenem components:
(3 −6, 2 −8, 1 −0) =(g1−3, g2−2, g3−1)
El simètric de E respecte de O és G �(0, �4, 2).
58.Activitat TIC.
59.Activitat TIC.
−=−−=−
=−
⇒=⇒=−⇒=
33
62
11
0
4
2
1
2
3
1
2
3
g
g
g
g
g
g
[][] EOOG�� ���� ���
=
−=+−=−
=−
⇒=−⇒=−⇒=
42
21
15
6
1
6
1
2
3
1
2
3
f
f
f
f
f
f
75
4. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(I)
C M
Y K
76
5. Vectors en l’espai (II)
1.PRODUCTE ESCALAR
1.D’acord amb la definició de producte escalar:
2.Per la definició de producte escalar:
3.Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)
4.a)
=2 ⋅(1, −1, 7) ⋅[(−2, 0, 5) +(3, −3, 2)] =
=2 ⋅(1, −1, 7) ⋅(1, −3, 7) =
=2 ⋅[1 ⋅1 +(−1) ⋅(−3) +7 ⋅7] =106
b)
=(1, −1, 7) ⋅[(3, −3, 2) −(1, −1, 7)] =
=(1, −1, 7) ⋅(2, −2, −5) =
=1 ⋅2 +(−1) ⋅(−2) +7 ⋅(−5) =31
c)
=[(1, −1, 7) +(−2, 0, 5)] ⋅
⋅[(1, −1, 7) −(3, −3, 2)] =
=(−1, −1, 12) ⋅(−2, 2, 5) =
=(−1) ⋅(−2) +(−1) ⋅2 +12 ⋅5 =60
()() ���� uvuw +⋅−=
��� uwu () ⋅−=
2��� uvw () ⋅+=
cos(,) �� ����� uvuvuv
=⋅==37
3546
37230690
�v=−−=−+−+=
=
(,,)()() 136136
46
222
�u=−=+−+=
==
(,,)() 254254
4535
222
�� uv(,,)(,,)
()
⋅=−⋅−−==⋅−+
254136
21(()() −⋅−+⋅= 534637
������ ����� �� uvuvuvvuvu (,)(,) ⋅=== coscosvvu
uovuvvu (,
⋅
==⋅==⋅
�
�������� Si000))
������ � uvuvuv (,) ⋅==⋅°= coscos 3560152
d)
=[(1, −1, 7) −(−2, 0, 5)] ⋅
⋅[(1, −1, 7) +(−2, 0, 5)] =
=(3, −1, 2) ⋅(−1, −1, 12) =
=3 ⋅(−1) +(−1) ⋅(−1) +2 ⋅12 =22
5.a)
b)
c)
6.Un vector unitari amb la mateixa direcció (i sentit)que , i per tant paral.lel, és:
Per obtenir les components de en la base ortonor-mal:
aleshores,
D’altra banda, si =(3, 2, −1), un vector perpendiculara és =(−2, 3, 0), ja que ⋅�=0.
Perquè sigui unitari, n’hi ha prou de dividir pel seumòdul:
Un vector unitari perpendicular a és:
7.Podem expressar en funció de k:
�′=++=++=
=+
uuuukk
k
12
22
32222
2
12
15
()
�u
11
13230
2
13
3
130 �
�′
′=⋅−=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ u
u(,,),,
�u
�′=−=−++= u(,,)() 23023013222
�′ u
�′ u �u �′ u�u
�u
�′=⋅−=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ v
17
26327
67
37
(,,),,
�v=−=++−= (,,)() 2632637222
�′ v
��� ′= v
vv
1
�v
3231232271
3
�� uv −=⋅−⋅−−=
=
(,,)(,,)
(,66941427811
78122
,)(,,)(,,)
()
−−−=−=
=+−+112343262
==
�� uv −=−−−=
=−=+
(,,)(,,)
(,,)
123271
35432
(() −+== 54505222
�� uv +=+−−=
=−=−
(,,)(,,)
(,,)(
123271
1921))222
9286 ++=
()() ���� uvuv −⋅+=
Vectors en l’espai (II) 5
76
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
1. PRODUCTE ESCALAR
1. D’acord amb la definició de producte escalar:
2. Per la definició de producte escalar:
3. Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)
4. a)
= 2 ⋅ (1, −1, 7) ⋅ [(−2, 0, 5) + (3, −3, 2)] =
= 2 ⋅ (1, −1, 7) ⋅ (1, −3, 7) =
= 2 ⋅ [1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−3) + 7 ⋅ 7] = 106
b)
= (1, −1, 7) ⋅ [(3, −3, 2) − (1, −1, 7)] =
= (1, −1, 7) ⋅ (2, −2, −5) =
= 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−2) + 7 ⋅ (−5) = 31
c)
= [(1, −1, 7) + (−2, 0, 5)] ⋅
⋅ [(1, −1, 7) − (3, −3, 2)] =
= (−1, −1, 12) ⋅ (−2, 2, 5) =
= (−1) ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 2 + 12 ⋅ 5 = 60
( ) ( )� � � �u v u w+ ⋅ − =
� � �u w u( )⋅ − =
2 � � �u v w( )⋅ + =
cos( , )� ��� �� �u vu vu v
= ⋅ = =37
3 5 46
37 230690
�v = − − = − + − + =
=
( , , ) ( ) ( )1 3 6 1 3 6
46
2 2 2
�u = − = + − + =
= =
( , , ) ( )2 5 4 2 5 4
45 3 5
2 2 2
� �u v ( , , ) ( , , )
( )
⋅ = − ⋅ − − == ⋅ − +
2 5 4 1 3 6
2 1 (( ) ( )− ⋅ − + ⋅ =5 3 4 6 37
� � � � � �� � � � �� �u v u v u v v u v u( , ) ( , )⋅ = = =cos cos vv u
u o v u v v u( ,
⋅
= = ⋅ = = ⋅
�
� � � � � � � �Si 0 0 0 ))
� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = = ⋅ ° =cos cos3 5 60152
d)
= [(1, −1, 7) − (−2, 0, 5)] ⋅
⋅ [(1, −1, 7) + (−2, 0, 5)] =
= (3, −1, 2) ⋅ (−1, −1, 12) =
= 3 ⋅ (−1) + (−1) ⋅ (−1) + 2 ⋅ 12 = 22
5. a)
b)
c)
6. Un vector unitari amb la mateixa direcció (i sentit)que , i per tant paral.lel, és:
Per obtenir les components de en la base ortonor-mal:
aleshores,
D’altra banda, si = (3, 2, −1), un vector perpendiculara és = (−2, 3, 0), ja que ⋅ � = 0.
Perquè sigui unitari, n’hi ha prou de dividir pel seumòdul:
Un vector unitari perpendicular a és:
7. Podem expressar en funció de k:
� ′ = + + = + + =
= +
u u u u k k
k
12
22
32 2 2 2
2
1 2
1 5
( )
�u
1 1
132 3 0
2
13
3
130�
�′
′ = ⋅ − = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟u
u ( , , ) , ,
�u
� ′ = − = − + + =u ( , , ) ( )2 3 0 2 3 0 132 2 2
� ′u
� ′u�u� ′u�u
�u
�′ = ⋅ − = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
v17
2 6 327
67
37
( , , ) , ,
�v = − = + + − =( , , ) ( )2 6 3 2 6 3 72 2 2
�′v
���′ =v
vv
1
�v
3 2 3 1 2 3 2 2 7 1
3
� �u v− = ⋅ − ⋅ − − =
=
( , , ) ( , , )
( , 66 9 4 14 2 7 8 11
7 8 12 2
, ) ( , , ) ( , , )
( )
− − − = − =
= + − + 11 234 3 262 = =
� �u v− = − − − =
= − = +
( , , ) ( , , )
( , , )
1 2 3 2 7 1
3 5 4 32 (( )− + = =5 4 50 5 22 2
� �u v+ = + − − =
= − = −
( , , ) ( , , )
( , , ) (
1 2 3 2 7 1
1 9 2 1))2 2 29 2 86+ + =
( ) ( )� � � �u v u v− ⋅ + =
Vectors en l’espai (II)5
CM
YK
77
5. Vectors en l’espai (II)Perquè el mòdul sigui 9, el valor de k ha de ser:
8. Considerem els vectors:
Està clar que:
i ^A
A més:
aleshores:
i, d’acord amb la definició de producte escalar:
= b2 + c2 − 2 b c cos ^A
9. Considerem un rombe ABCD com el de la figura.
Definim els vectors:
Com que es tracta d’un rombe:
D’altra banda, les diagonals són els segments que su-porten els vectors i (regla del paral.lelo-gram).
� �u v−� �u v+
� �u v=
B
A
C
u v
D
� � ��� � � ���u AB v AD= =[ ] , [ ]
a v u v u v u2 2 22= + − =� � � � � ��cos ,
a w w w v u v u
v v
2 2= = ⋅ = − ⋅ − == ⋅ +
� � � � � � �
� � �( ) ( )
uu u v u u v
v u v u
⋅ − ⋅ − ⋅ =
= + − ⋅
� � � � �
� � � �2 22
� � �v u w= +
u v= � ��,a w b v c u= = =� � �, ,
B
AC
a
b
cu
v
w
� � ��� � � ��� � � ���u AB v AC w BC= = =[ ] , [ ] , [ ]
9 5 1 5 1 81 42 2= = + ⇔ + = ⇔ = ±�u k k k
Per tant, per veure que les diagonals són perpendicu-lars, n’hi ha prou de veure que , és adir, que :
↑
10. Siguin i dos vectors concurrents que defineixenel paral.lelogram considerat.
Per la regla del paral.lelogram, les diagonals correspo-nen als vectors i .
Volem veure que:
és a dir,
(Identitat del paral.lelogram)
En efecte:
11. Per la definició de treball:
12. Per la definició de treball, si és l’angle format per laforça amb el terra i és el vector desplaçament:
ja que el vector és paral.lel al terra.
En el nostre cas, = 48 N i = 16 m, aleshores:
W = 48 ⋅ 16 cos α = 768 cos α
Segons el valor de :
a) α = 135° ⇒ W = 768 cos 135° = −543, 06 Jb) α = 75° ⇒ W = 768 cos 75° = 198, 77 Jc) α = 45° ⇒ W = 768 cos 45° = 543, 06 J
[ ]AB� ����
F
[ ]AB� ���
W F AB F AB= ⋅ =� � ��� � � ���
[ ] [ ] cos α
[ ]AB� ����
F
W F AB= ⋅ = ⋅ − − −� � ���
[ ] ( , , ) ( , , )8 4 2 4 3 1 2 0 1 === ⋅ − − == ⋅ + ⋅ − +
( , , ) ( , , )
( )
8 4 2 1 1 1
8 1 4 1 22 1 2( )⋅ − = J
� � � �
� � � � � �u v u v
u v u v u v
+ + − == + ⋅ + + − ⋅
2 2
( ) ( ) ( ) (( )� �
� � � � � � � �u v
u u u v v v u u
− =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −2 22
2 2 2
� � � �
� � � � �u v v v
u u v v u
⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ 22 2+( )�v
� � � � � �u v u v u v+ + − = ⋅ +( )2 2 2 22
� � � � � � � �u v u v u v u v+ + − = + + +2 2 2 2 2 2
u
v
� �u v−� �u v+
�v�u
� �u v=
( ) ( )� � � � � � � � � � �u v u v u u u v v u+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − vv v
u u v u v v
⋅ =
= − ⋅ + ⋅ − =
�
� � � � � �2 20
( ) ( )� � � �u v u v+ ⋅ − = 0( ) ( )� � � �u v u v+ ⊥ −
77
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Perquè el mòdul sigui 9, el valor de k ha de ser:
8.Considerem els vectors:
Està clar que:
i ^A
A més:
aleshores:
i, d’acord amb la definició de producte escalar:
=b2+c2−2bc cos^A
9.Considerem un rombe ABCD com el de la figura.
Definim els vectors:
Com que es tracta d’un rombe:
D’altra banda, les diagonals són els segments que su-porten els vectors i (regla del paral.lelo-gram).
�� uv − �� uv +
�� uv =
B
A
C
uv
D
�������� ��uABvAD == [],[]
avuvuvu222
2 =+−= ������ �cos,
awwwvuvu
vv
22==⋅=−⋅−=
=⋅+
�������
���()()
uuuvuuv
vuvu
⋅−⋅−⋅=
=+−⋅
�����
���� 222
��� vuw =+
uv =�� �, awbvcu === ��� ,,
B
A C
a
b
c u
v
w
���������������uABvACwBC === [],[],[]
9515181422
==+⇔+=⇔=± �ukkk
Per tant, per veure que les diagonals són perpendicu-lars, n’hi ha prou de veure que , és adir, que :
↑
10.Siguin idos vectors concurrents que defineixenel paral.lelogram considerat.
Per la regla del paral.lelogram, les diagonals correspo-nen als vectors i .
Volem veure que:
és a dir,
(Identitat del paral.lelogram)
En efecte:
11.Per la definició de treball:
12.Per la definició de treball, si és l’angle format per laforçaamb el terra iés el vector desplaçament:
ja que el vector és paral.lel al terra.
En el nostre cas, =48 N i =16 m, aleshores:
W =48 ⋅16 cosα=768 cos α
Segons el valor de :
a)α=135°⇒W =768 cos135°=−543, 06 Jb)α=75°⇒W =768 cos75°=198, 77 Jc)α=45°⇒W =768 cos45°=543, 06 J
[] AB���� �
F
[] AB����
WFABFAB =⋅=����������
[][]cosα
[] AB���� �
F
WFAB =⋅=⋅−−−�����
[](,,)(,,) 842431201===⋅−−==⋅+⋅−+
(,,)(,,)
()
842111
81412212 () ⋅−=J
����
������uvuv
uvuvuv
++−==+⋅++−⋅
22
()()()(() ��
��������uv
uuuvvvuu
−=
=⋅+⋅+⋅+⋅− 222
222
����
�����uvvv
uuvvu
⋅+⋅=
=⋅+⋅=⋅222
+ ()�v
������ uvuvuv ++−=⋅+ ()2222
2
�������� uvuvuvuv ++−=+++222222
u
v
�� uv − �� uv +
�v �u
�� uv =
()() ����������� uvuvuuuvvu +⋅−=⋅−⋅+⋅−vvv
uuvuvv
⋅=
=−⋅+⋅−=
�
������ 220
()() ���� uvuv +⋅−=0()() ���� uvuv +⊥−
C M
Y K
78
5. Vectors en l’espai (II)
2.PRODUCTE VECTORIAL
13.Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)↑
PV.4
14.•Càlcul de :
Primerament calcularem :
��
���
uv
ijk
×=×−=−
= (,,)(,,) 123254123
254
�� uv ×
() ��� uvw ××
[(,, =− 21517144214
2151714
214
21714
1
)(,,)] ×−=
=−−
=
=
���ijk
−−−
⎡
⎣⎢
−−
−+
+−⎤
⎦⎥=
=−
4
1514
24
1517
21
282
�
�
�
i
j
k
(����
���
��
ijk
ijk
uv
−−=
=−−−⇒⇒××
3249
1646498
2
)
()��w=−−− (,,) 1646498
()[()] ������ uvwuvw ××=⋅××= 22
���ijk
=−− 247
21−−=
=−−
−−−
−+
−=
=−−−
4
47
14
27
24
24
21
922
���
��
ijk
ij110
92210
�
��k
vw
⇒⇒×=−−− (,,)
�� vw ×=−−×−= (,,)(,,) 247214
��
���
uw
ijk
×=×−=−
=
=
(,,)(,,) 312214312
214
122
14
32
24
31
21
616
−−
−+=
=−++⇒×=
���
�����
ijk
ijkuw((,,) −6161
��
���
uv
ijk
×=×−−=−−
= (,,)(,,) 312247312
247
==−
−−−
+−
=
=−+−
12
47
32
27
31
24
151714
���
���
ijk
ijk⇒⇒⇒×=− �� uv(,,) 151714
Per tant:
aleshores:
•Càlcul de :
Primerament calcularem :
Per tant:
aleshores:
Veiem que els dos resultats no coincideixen:
Això significa que el producte vectorial no compleixla propietat associativa.
15.Sabem que el producte vectorial de dos vectors és per-pendicular a tots dos; aleshores, ×és un vector per-pendicular a i a .
El calculem suposant que les components estan dona-des en una base ortonormal:
��
���
uv
ijk
×=×== (,,)(,,) 810411810
411
�v �u
�v �u
()() ������ uvwuvw ××≠××
��� uvw ××=− ()(,,) 246048
������
uvw
ijk
××=×−−=
=
()(,,)(,,) 12319103
1223
19103
23
103
13
193
12
1910
2
−−=
=−−
−−
+−
=
=
���ijk
446048���ijk +−
��
���
vw
ijk
×=−×=−=
=
(,,)(,,) 254113254
113
5−−−
−+=
=−−⇒×
4
13
24
13
25
11
19103
���
�����
ijk
ijkvw==−− (,,) 19103
�� vw ×
��� uvw ×× ()
()(,,) ��� uvw ××=− 297033
()(,,)(,,) ������
uvw
ijk
××=−×=
=−
23101113
233101
113
101
13
231
13
2310
11
29
=−
−−
+−
=
=+
�
��
�
i
jk
i77033��jk −
=−
−−
+=
=−++⇒×
23
54
13
24
12
25
2310
���
�����
ijk
ijkuvv=−(,,) 23101
78
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
2. PRODUCTE VECTORIAL
13. Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)↑
PV.4
14. • Càlcul de :
Primerament calcularem :
� �
� � �
u v
i j k
× = × − =−
=( , , ) ( , , )1 2 3 2 5 4 1 2 3
2 5 4
� �u v×
( )� � �u v w× ×
[( , ,= −2 15 17 144 2 1 4
2 15 17 14
2 1 4
217 14
1
) ( , , )]× − =
= −−
=
=
� � �i j k
−−−
⎡
⎣⎢
−−
−+
+− ⎤
⎦⎥ =
= −
4
15 14
2 4
15 17
2 1
2 82
�
�
�
i
j
k
(�� � �
� � �
� �
i j k
i j k
u v
− − =
= − − − ⇒⇒ × ×
32 49
164 64 98
2
)
( ) ��w = − − −( , , )164 64 98
( ) [( ) ]� � � � � �u v w u v w× × = ⋅ × × =2 2
� � �i j k
= − −2 4 7
2 1 −−=
=−−
−− −
−+
−=
= − − −
4
4 7
1 4
2 7
2 4
2 4
2 1
9 22
� � �
� �
i j k
i j 110
9 22 10
�
� �k
v w
⇒⇒ × = − − −( , , )
� �v w× = − − × − =( , , ) ( , , )2 4 7 2 1 4
� �
� � �
u w
i j k
× = × − =−
=
=
( , , ) ( , , )3 1 2 2 1 4 3 1 2
2 1 4
1 22
1 4
3 2
2 4
3 1
2 1
6 16
−−
−+ =
= − + + ⇒ × =
� � �
� � � � �
i j k
i j k u w (( , , )− 6 16 1
� �
� � �
u v
i j k
× = × − − =− −
=( , , ) ( , , )3 1 2 2 4 7 3 1 2
2 4 7
==−
−− −
+−
=
= − + −
1 2
4 7
3 2
2 7
3 1
2 4
15 17 14
� � �
� � �
i j k
i j k ⇒⇒⇒ × = −� �u v ( , , )15 17 14
Per tant:
aleshores:
• Càlcul de :
Primerament calcularem :
Per tant:
aleshores:
Veiem que els dos resultats no coincideixen:
Això significa que el producte vectorial no compleixla propietat associativa.
15. Sabem que el producte vectorial de dos vectors és per-pendicular a tots dos; aleshores, × és un vector per-pendicular a i a .
El calculem suposant que les components estan dona-des en una base ortonormal:
� �
� � �
u v
i j k
× = × = =( , , ) ( , , )8 1 0 4 1 1 8 1 0
4 1 1
�v�u
�v�u
( ) ( )� � � � � �u v w u v w× × ≠ × ×
� � �u v w× × = −( ) ( , , )24 60 48
� � �� � �
u v w
i j k
× × = × − − =
=
( ) ( , , ) ( , , )1 2 3 19 10 3
1 22 3
19 10 3
2 3
10 3
1 3
19 3
1 2
19 10
2
− −=
=− −
−−
+−
=
=
� � �i j k
44 60 48� � �i j k+ −
� �
� � �
v w
i j k
× = − × = − =
=
( , , ) ( , , )2 5 4 1 1 3 2 5 4
1 1 3
5 −−−
−+ =
= − − ⇒ ×
4
1 3
2 4
1 3
2 5
1 1
19 10 3
� � �
� � � � �
i j k
i j k v w == − −( , , )19 10 3
� �v w×
� � �u v w× ×( )
( ) ( , , )� � �u v w× × = −29 70 33
( ) ( , , ) ( , , )� � �� � �
u v w
i j k
× × = − × =
= −
23 10 1 1 1 3
233 10 1
1 1 3
10 1
1 3
23 1
1 3
23 10
1 1
29
= −
−−
+−
=
= +
�
� �
�
i
j k
i 770 33� �j k−
=−
−−
+ =
= − + + ⇒ ×
2 3
5 4
1 3
2 4
1 2
2 5
23 10
� � �
� � � � �
i j k
i j k u vv = −( , , )23 10 1
CM
YK
79
5. Vectors en l’espai (II)
Per aconseguir que el seu mòdul sigui 2, n’hi ha proude dividir-lo pel seu mòdul, i així serà unitari, i multi-plicar-lo per 2.
Si en calculem el mòdul:
Un vector perpendicular a i a de mòdul 2 és, doncs:
(Podem observar que
també ho és.)
16. Definim els vectors:
que determinen el paral.lelogram ABCD.
La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que coincideix amb l’àrea del paral.lelo-gram ABCD, que és el que ens interessa.
Calculem, doncs, :
Finalment, l’àrea del paral.lelogram és:
Sp u v u= × = =� � 2 264 47 58 2,
� � � ��� � ���u v BA BC× = × =
= − − − − −[ ] [ ]
( , , ( )1 7 3 2 5 1 ))
( , , ( ))
( , , ) ( ,
×× − − − − − =
= − − × − −3 7 3 2 1 1
6 1 4 4 55 2
6 1 4
4 5 2
1 4
5 2
6 4
4 2
, ) =
= − −− −
=−
−−
− −−
� � �� �
i j k
i j ++
+−− −
= − + +
× = − +( )
6 1
4 518 28 34
18 22
� � � �
� �
k i j k
u v 88 34 2 2642 2+ =
� �u v×
� �u v×
u
v
A D
CB
� � ��� � � ���u BA v BC= =[ ] , [ ]
= − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
29
169
89
, ,
−×
× =2� �
� �u v
u v
2 29
1 8 429
169
89� �
� �u v
u v×
× = − = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
( , , ) , ,
�v�u
� �u v× = − = + − + =( , , ) ( )1 8 4 1 8 4 92 2 2
= − + =
= − + ⇒ × =
1 0
1 1
8 0
4 1
8 1
4 1
8 4 1
� � �
� � � � �
i j k
i j k u v ( , , )− 8 4
D’altra banda, com que la diagonal AC divideix el pa-ral.lelogram en dues meitats iguals, l’àrea del triangleABC és la meitat de la del paral.lelogram:
17. Calculem el vector i obtenim els vectors
i .
Aleshores, , en unitats del SI.
Aleshores, , en unitats del SI.
18. Calculem el vector i obtenim :
Aleshores:
Així, = (−35, −45, 40), en unitats del SI.
� � ��� �L m OA v= × = ⋅ − − =([ ] ) ( , , )5 7 9 8
[ ] ( , , ) ( , , )OA v
i j k
� ��� �
� � �× = − × =
= −
5 3 1 1 1 2
5 3 11
1 1 2
3 1
1 2
5 1
1 2
5 3
1 17 9 8
=−
− +
+−
= − − +
� �
� � � �
i j
k i j k
[ ] ( , , ) ( , , )OA m� ���
= − − − − = −7 2 2 1 1 0 5 3 1
[ ]OA v� ��� �×[ ]OA
� ���
�M2 19 3 5= −( , , )
� � ��� �
� �M OA F
i
2 2 2 1 7 1 3 2= × = − × − =
=
[ ] ( , , ) ( , , )
jj k
i j
k
�� �
� �
2 1 7
1 3 2
1 7
3 2
2 7
1 2
2 1
1 319
−−
=−−
− +
+−−
= ii j k+ −3 5� �
�M1 34 16 12= −( , , )
[ ] ( ( ), , ( )) ( , , )OA
M
� ���
�= − − − − − = −1 1 2 3 3 4 2 1 7
11 1 2 1 7 2 5 1= × = − × − =
=
[ ] ( , , ) ( , , )OA F
i j
� ��� �
� � ��� �
� �
k
i j
k i
2 1 7
2 5 1
1 7
5 1
2 7
2 1
2 1
2 534
−−
=−
−−
−+
+−
= − ++ +16 12� �j k
� � ��� �M OA F2 2= ×[ ]
� � ��� �M OA F1 1= ×[ ]
[ ]OA� ���
A D
B C
St
S Sp ut = = =12
12
2 264 23 79 2,
79
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Per aconseguir que el seu mòdul sigui 2, n’hi ha proude dividir-lo pel seu mòdul, i així serà unitari, i multi-plicar-lo per 2.
Si en calculem el mòdul:
Un vector perpendicular ai a de mòdul 2 és, doncs:
(Podem observar que
també ho és.)
16.Definim els vectors:
que determinen el paral.lelogram ABCD.
La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que coincideix amb l’àrea del paral.lelo-gram ABCD, que és el que ens interessa.
Calculem, doncs, :
Finalment, l’àrea del paral.lelogram és:
Spuvu =×== ��226447582
,
����������uvBABC ×=×=
=−−−−−[][]
(,,() 173251))
(,,())
(,,)(,
××−−−−−=
=−−×−−373211
6144552
614
452
14
52
64
42
,)=
=−−−−
=−
−−
−−−
�����
ijk
ij++
+−−−
=−++
×=−+ ()
61
45182834
1822
����
��
kijk
uv8834226422
+=
�� uv ×
�� uv ×
u
v
AD
C B
����������uBAvBC == [],[]
=−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
29
169
89
,,
−×
×=2��
��uv
uv
229
18429
169
89 ��
��uv
uv×
×=−=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ (,,),,
�v �u
�� uv ×=−=+−+= (,,)() 1841849222
=−+=
=−+⇒×=
10
11
80
41
81
41
841
���
�����
ijk
ijkuv(,,) −84
D’altra banda, com que la diagonal AC divideix el pa-ral.lelogram en dues meitats iguals, l’àrea del triangleABC és la meitat de la del paral.lelogram:
17.Calculem el vector i obtenim els vectors
i .
Aleshores, , en unitats del SI.
Aleshores, , en unitats del SI.
18.Calculem el vector i obtenim :
Aleshores:
Així, =(−35, −45, 40), en unitats del SI.
��� ��� LmOAv =×=⋅−−= ([])(,,) 5798
[](,,)(,,) OAv
ijk
�� ���
���×=−×=
=−
531112
5311
112
31
12
51
12
53
11798
=−
−+
+−
=−−+
��
����
ij
kijk
[](,,)(,,) OAm�� ��
=−−−−=− 722110531
[] OAv�� ��� × [] OA
�� ��
�M21935 =− (,,)
��� ���
��MOAF
i
22217132 =×=−×−=
=
[](,,)(,,)
jjk
ij
k
���
��
217
132
17
32
27
12
21
1319
−−
=−−
−+
+−−
=iijk +− 35��
�M1341612 =−(,,)
[]((),,())(,,) OA
M
�� ��
�=−−−−−=− 112334217
111217251 =×=−×−=
=
[](,,)(,,) OAF
ij
�� ���
������
��
k
ij
ki
217
251
17
51
27
21
21
2534
−−
=−
−−
−+
+−
=−+++ 1612��jk
��� ���MOAF 22 =× []
��� ���MOAF 11 =× []
[] OA�� ��
AD
BC
St
SSpu t===12
12
226423792
,
C M
Y K
80
5. Vectors en l’espai (II)
19.Obtenim :
Per tant:
=10 ⋅(−11, 13, 18) =(−110, 130, 180), enunitats del SI.
3.PRODUCTE MIXT
20.Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
PM.3↓
d)
e)↑↑
PM.1PM.3
↑PM.4
ja que és perpendicular a i a .
f)↑↑
PM.1PM.3
↑PM.1
↑PM.4
uvtuw [,,][,, =−⋅ 323 �����]�t=
=⋅−⋅= 38862252
3 ���� uvt [,,][ =+uuwt ,,] −= 23 ��
[, �v =3323�����tuwtu ,][,,] +−=
[,,][,,] ��������uvwtvwtu −=−= 2323
�v �u �� uv ×
[,,][, 22 ���� uuvv =−���������
uv
uuvvuv
,]
()()
==⋅×−⋅⋅×=+ 220000 =
[,, �� uu =][,,] 22 ���� vvuv +−=
[,,][,,] �������� uvuvuvuv 22 −=−=
[,,][,,][,,] ����������uvwtuwtvwt +=+=
=1125
211
321
9
1620154297
−+−=
=−+−−+−=−
()
()
[,,]
()()
���vwt=
−=
=⋅−+−⋅=
405
211
321
4151−−9
[,,] ���uvt=
−−=
=+++=
125
405
321
304010888
[,,] ��� uvw=−
−=
=+++=
125
405
211
20208553
���FqvB =× ()
�����
vB
ijk
×=−×−=−−
= (,,)(,,) 572153572
153
==−−
−−−
+=
=−++
72
53
52
13
57
15
111318
���
���
ijk
ijk
��vB ×21.El volum del paral.lelepípede definit per tres vectors
coincideix amb el valor absolut del producte mixt delstres vectors:
Aleshores:
Com que el volum del tetraedre definit per tres vectorsés una sisena part del volum del paral.lelepípede defi-nit per aquests vectors:
22.Considerem els vectors següents:
Com que els vectors, , generen el paral.lelepípe-de ABCDEFGH, el seu volum coincideix amb el valorabsolut del producte mixt dels vectors:
Aleshores:
23.Considerem els vectors següents:
Calculem el producte mixt de , i:
Per tant:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
24.Calculem .
Així, doncs, els angles són:
cosαα 11
14
137208 ==⇒=°
uu�,
�u=+−+= 412313222
()
VVuvwu TP ====16
16
16
52526
3[,,] ���
[,,]
()()
��� uvw=−−−−−
=
=−⋅−−
341
454
535
313401352 ⋅+=
�w �v �u
�����
�uAB
v
==−−−−=− [](,(),)(,,) 252221341
===−−−−−=−− [](,(),)(,,) AC����
�153231454
wwAD ==−−−−−=−− [](,(),)(,,)�� ��
051241535
Vuvwu p=== [,,] ���553
[,,] ��� uvw=−−−−−
=⋅=031
021
122
155
�w �v �u
�����
�uAB
v
==−−−−=−
=
[](,,)(,,)
[
112132031
AAD
wAE
�� ��
�](,,)(,,)
[
=−−−−=−−
=
111112021�����
](,,)(,,) =−−−−=−− 211102122
VVu TP ==⋅=16
16
21216
3
Vuvwu p=== [,,] ���21213
[,,]
()()
��� uvw=−
−−=
=⋅−−−⋅
132
214
251
1213621221 +⋅=
80
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
19. Obtenim :
Per tant:
= 10 ⋅ (−11, 13, 18) = (−110, 130, 180), enunitats del SI.
3. PRODUCTE MIXT
20. Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
PM.3↓
d)
e)↑ ↑
PM.1 PM.3
↑PM.4
ja que és perpendicular a i a .
f )↑ ↑
PM.1 PM.3
↑PM.1
↑PM.4
u v t u w[ , , ] [ , ,= − ⋅3 2 3� � � � � ]�t =
= ⋅ − ⋅ =3 88 6 2 252
3� � � �u v t[ , , ] [= + uu w t, , ]− =2 3��
[ ,�v= 33 2 3� � � � �t u w t u, ] [ , , ]+ − =
[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v w t v w t u− = − =2 3 2 3
�v�u� �u v×
[ , , ] [ ,2 2� � � �u u v v= − �� �� � � � � �
u v
u u v v u v
, ]
( ) ( )
== ⋅ × − ⋅ ⋅ × = +2 2 0 00 0=
[ , ,� �u u= ] [ , , ]2 2� � � �v v u v+ − =
[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v u v u v u v2 2− = − =
[ , , ] [ , , ] [ , , ]� � � � � � � � � �u v w t u w t v w t+ = + =
=11 2 5
2 1 1
3 2 1
9
1 6 20 15 4 2 9 7
−+ − =
= − + − − + − = −
( )
( )
[ , , ]
( ) ( )
� � �v w t =−
=
= ⋅ − + − ⋅ =
4 0 5
2 1 1
3 2 1
4 1 5 1 −− 9
[ , , ]� � �u v t =−
− =
= + + + =
1 2 5
4 0 5
3 2 1
30 40 10 8 88
[ , , ]� � �u v w =−
− =
= + + + =
1 2 5
4 0 5
2 1 1
20 20 8 5 53
� � �F q v B= ×( )
� �� � �
v B
i j k
× = − × − = −−
=( , , ) ( , , )5 7 2 1 5 3 5 7 2
1 5 3
==−−
−−−
+ =
= − + +
7 2
5 3
5 2
1 3
5 7
1 5
11 13 18
� � �
� � �
i j k
i j k
� �v B× 21. El volum del paral.lelepípede definit per tres vectors
coincideix amb el valor absolut del producte mixt delstres vectors:
Aleshores:
Com que el volum del tetraedre definit per tres vectorsés una sisena part del volum del paral.lelepípede defi-nit per aquests vectors:
22. Considerem els vectors següents:
Com que els vectors , , generen el paral.lelepípe-de ABCDEFGH, el seu volum coincideix amb el valorabsolut del producte mixt dels vectors:
Aleshores:
23. Considerem els vectors següents:
Calculem el producte mixt de , i :
Per tant:
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
24. Calculem .
Així, doncs, els angles són:
cos α α11
14
1372 08= = ⇒ = °
uu�
,
�u = + − + =4 12 3 132 2 2( )
V V u v w uT P= = = =16
16
16
52526
3[ , , ]� � �
[ , , ]
( ) ( )
� � �u v w =−− −− −
=
= − ⋅ − −
3 4 1
4 5 4
5 3 5
3 13 4 0 13 52⋅ + =
�w�v�u
� � ���
�u AB
v
= = − − − − = −[ ] ( , ( ), ) ( , , )2 5 2 2 2 1 3 4 1
== = − − − − − = − −[ ] ( , ( ), ) ( , , )AC� ���
�1 5 3 2 3 1 4 5 4
ww AD= = − − − − − = − −[ ] ( , ( ), ) ( , , )� ���
0 5 1 2 4 1 5 3 5
V u v w up = = =[ , , ]� � � 5 5 3
[ , , ]� � �u v w =−− −− −
= ⋅ =0 3 1
0 2 1
1 2 2
1 5 5
�w�v�u
� � ���
�u AB
v
= = − − − − = −
=
[ ] ( , , ) ( , , )
[
1 1 2 1 3 2 0 3 1
AAD
w AE
� ���
�] ( , , ) ( , , )
[
= − − − − = − −
=
1 1 1 1 1 2 0 2 1�� ���
] ( , , ) ( , , )= − − − − = − −2 1 1 1 0 2 1 2 2
V V uT P= = ⋅ =16
16
21216
3
V u v w up = = =[ , , ]� � � 21 21 3
[ , , ]
( ) ( )
� � �u v w =−
− −=
= ⋅ − − − ⋅
1 3 2
2 1 4
2 5 1
1 21 3 6 2 12 21+ ⋅ =
CM
YK
81
5. Vectors en l’espai (II)
25. a) Per definició de producte escalar:
b)
c)
Anàlogament:
Aleshores: i
d) Per definició de producte escalar:
essent l’angle que busquem (el format per i ).
D’acord amb els apartats b i c:
26. a) El volum del paral.lelepípede determinat per tresvectors coincideix amb el valor absolut del seu pro-ducte mixt.
[ , , ]
( ) (
� � �u v w
k k
k
k k
= =
= ⋅ − + + ⋅
1
0 3
1 1 1
1 3 0 1 2 −− =
= − +
3
4 32
k
k k
)
cos α =− ⋅ −
− −=
⋅( ) ( )� � � �� � � �
u v u v
u v u v
2
218
3 39==
= ⇒ = °6
3916 10α ,
2 � �u v−
� �u v−
( ) ( )� � � � � � � �u v u v u v u v− ⋅ − = − −2 2 cos α
2 39� �u v− =� �u v− = =9 3
2 2 2 2
4 4
2 2 2
2
� � � � � �
� �u v u u v v
u u
− = − ⋅ ⋅ + =
= − ⋅ � �v v+ =
= ⋅( ) − ⋅ + ( ) =
= ⋅ ⋅ − +
2
2 24 2 3 4 3 3
4 4 3 12 33 39=
� � � � � �
� � � �u v u v u v
u u u v
− = − ⋅ − == ⋅ − ⋅
2( ) ( )
−− ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ + =
= ( ) −
� � � �
� � � �v u v v
u u v v2 2
2
2
2 3 22 3 3
4 3 6 3 9
2⋅ + ( ) =
= ⋅ − + =
( ) ( )� � � �� � � � �
u v u v
u u u v v
− ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅
2
2 2 �� � �� � � � � � �
u v v
u u u v u v v
+ ⋅ == ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅2 2 �
� � � �v
u u v v
=
= − ⋅ + =
= ⋅ ( ) − ⋅ + =
2 3
2 2 3 3 3 3
2 2
2
== ⋅ ⋅ − + =2 4 3 9 3 18
� � � �u v u v⋅ = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ =cos 60 2 3 312
3
cos α α33
33
1376 66= = ⇒ = °
u
u�,
cos α α22
212
13157 38= = − ⇒ = °
u
u�,
Així:
El volum del paral.lelepípede és 15 si i només si k � �2 o k � 6.
b) Sabem que tres vectors de V3 són linealment de-pendents si i només si el seu determinant és 0.
Els vectors són linealment dependents si i només sik � 1 o k � 3.
27. Considerem els vectors:
les components dels quals són:
Determinem els valors de les incògnites x, y imposantles dades de l’enunciat.
Que el triangle ABC sigui equilàter significa que elsseus tres costats tenen la mateixa longitud, és a dir:
Com que = (5 − (y − 3), y − x − (y + x), 5 − 6) == (8 − y, −2 x, −1), el sistema anterior en components és:
( , , ) ( , , )
( , , ) ( ,
y x x
y x y
− = −
− = −
5 5 3 4
5 5 8
2 2
2 −− −
− + + = + +
− +
⎫⎬⎪
⎭⎪2 1
5 25 9 16
5
2
2 2 2
2
x
y x x
y x
, )
( )
( ) 22 2 225 8 4 1+ = − + +
⎫⎬⎪
⎭⎪( )y x
[ ]BC� ���
� �
� � ���
� �
� � ���u v
u BC
u v
u BC
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪⇔
=
=
⎧
[ ] [ ]
2 2
2 2⎨⎨⎪
⎩⎪
��
u y y x y y x
v
= − − + − − = −= −
( , , ) ( , , )
( ,
3 2 6 1 5 5
5 2 yy x y x
w y
− − − = −= − − − =
, ) ( , , )
( , , ) (
5 1 3 4
3 2 5 0 1� 11 5 1, , )− −y
A
D
C
B
u
v
w
� � ��� � � ��� � � ���u AB v AC w AD= = =[ ] , [ ] , [ ]
0 4 3
1
2= = = − + ⇔⇔ = =
� � � � � �u v w u v w k k
k o k
, , [ , , ]
33
15 4 3
4 3 15
3 2
2
[ , , ]u V u v w k k
k k k
p= = = − + ⇔
⇔
− + = ⇔
� � �
== = −
− + = − ⇔ = ± − ∉
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
6 2
4 3 154 56
22
o k
k k k �
o
81
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
25.a)Per definició de producte escalar:
b)
c)
Anàlogament:
Aleshores:i
d)Per definició de producte escalar:
essent l’angle que busquem (el format per i ).
D’acord amb els apartats bi c:
26.a)El volum del paral.lelepípede determinat per tresvectors coincideix amb el valor absolut del seu pro-ducte mixt.
[,,]
()(
��� uvw
kk
k
kk
==
=⋅−++⋅
1
03
111
13012
−−=
=−+
3
432
k
kk
)
cosα=−⋅−
−−=
⋅()() ��������
uvuv
uvuv
2
218
339==
=⇒=°6
391610 α,
2�� uv −
�� uv −
()() �������� uvuvuvuv −⋅−=−− 22cosα
239 �� uv −= �� uv −== 93
2222
44
222
2
������
��uvuuvv
uu
−=−⋅⋅+=
=−⋅�� vv +=
=⋅ ()−⋅+()=
=⋅⋅−+
2
22423433
443123339 =
������
����uvuvuv
uuuv
−=−⋅−==⋅−⋅
2()()
−−⋅+⋅=
=−⋅+=
=()−
����
����vuvv
uuvv22
2
2
232233
43639
2⋅+()=
=⋅−+=
()() ���������
uvuv
uuuvv
−⋅−==⋅−⋅−⋅
2
22�����������
uvv
uuuvuvv
+⋅==⋅−⋅−⋅+⋅ 22�
����v
uuvv
=
=−⋅+=
=⋅()−⋅+=
23
223333
22
2
==⋅⋅−+= 2439318
���� uvuv ⋅=⋅⋅°=⋅⋅= cos6023312
3
cosαα 33
33
137666 ==⇒=°
u
u�,
cosαα 22
212
1315738 ==−⇒=°
u
u�,Així:
El volum del paral.lelepípede és 15 si i només si k ��2 o k �6.
b)Sabem que tres vectors de V3són linealment de-pendents si i només si el seu determinant és 0.
Els vectors són linealment dependents si i només sik �1 o k �3.
27.Considerem els vectors:
les components dels quals són:
Determinem els valors de les incògnites x, y imposantles dades de l’enunciat.
Que el triangle ABC sigui equilàter significa que elsseus tres costats tenen la mateixa longitud, és a dir:
Com que=(5 −(y −3), y −x −(y +x), 5 −6) ==(8 −y, −2x, −1), el sistema anterior en components és:
(,,)(,,)
(,,)(,
yxx
yxy
−=−
−=−
5534
558
22
2−−−
−++=++
−+
⎫⎬⎪
⎭⎪ 21
525916
5
2
222
2
x
yxx
yx
,)
()
()2222
25841 +=−++
⎫⎬⎪
⎭⎪ ()yx
[] BC����
��
�����
��
�����uv
uBC
uv
uBC
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪⇔
=
=
⎧
[][]
22
22 ⎨⎨⎪
⎩⎪
��
uyyxyyx
v
=−−+−−=−=−
(,,)(,,)
(,
326155
52yyxyx
wy
−−−=−=−−−=
,)(,,)
(,,)(
5134
32501 �1151 ,,) −− y
A
D
C
B
u
v
w
������������� ��uABvACwAD === [],[],[]
043
1
2===−+⇔
⇔==
������ uvwuvwkk
kok
,,[,,]
33
1543
4315
32
2
[,,] uVuvwkk
kkk
p ===−+⇔
⇔
−+=⇔
���
===−
−+=−⇔=±−∉
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
62
4315456
22
ok
kkk�
o
C M
Y K
82
5. Vectors en l’espai (II)
Com que ens diuen que x �0, en concloem que:
Per tant, els vectors , i són:
El volum del paral.lelogram generat per, i és:
Finalment, el volum del tetraedre generat , i és:
ACTIVITATS
Abans de començar
•Producte escalar (pàg. 90); base ortogonal i base orto-normal (pàg. 90); producte vectorial (pàg. 96); productemixt (pàg. 100).
•Mòdul d’un vector (pàg. 92); angle entre dos vectors(pàg. 92).
•Àrea del paral.lelogram determinat per dos vectors (pàg.96); volum del paral.lelepípede determinat per tres vec-tors (pàg. 100).
Qüestions
28.No, ja que .
Per exemple, en una base ortonormal, els vectors=(1, 0, 0) i =(0, 1, 0) són ortogonals:
però cap no és .
29.
↑
30.No, ja que en podem trobar un contraexemple.
Considerem, en una base ortonormal, els vectors:
Veiem que , perquè són linealmentdependents, però .
31.
ja que ����� vuuyvv ×⊥×=0
[,,](())
(
����������
uvuvuvuv
uv
+=⋅×+==⋅××+×==⋅×+⋅×=
���������
uvv
uvuuvv
)
()(), 0
�� vw ≠
����� uvuw ×==× 0
��� uvw === (,,),(,,),(,,) 100200300
�� uv =
()() ����������� uvuvuuuvvu +⋅−=⋅−⋅+⋅−vvv
uuvuvv
⋅=
=−⋅+⋅−==
�
������ 22
0
�0
�� uv ⋅=⋅+⋅+⋅= 1001000
�v �u
���� uvuv ⊥⇒⋅=0
VVu TP ===16
16
125253
�w �v �u
Vuvwu P==−−
== [,,] ���055
354
101
1251253
�w �v �u
��� uvw ==−=− (,,),(,,),(,,) 055354101
�w �v �u
xy == 55 ,
()
()()
y
xyy
y
−=
−+−−−+=
⎫⎬⎪
⎭⎪⇔
⇔=
50
358240
2
222
55
30324055 22,
−+−+=
⎫⎬⎪
⎭⎪⇔==±
xyx
EXERCICIS I PROBLEMES
32.
D’acord amb els valors de l’enunciat:
33.a)
b)
c)
Aleshores:
Aleshores
d)essent
αl’angle entre i 2.
D’acord amb els apartats bi c:
34.a)
Aleshores:
Aleshores: �y=19
�������
��yyyuwuw
uu
222
22
=⋅=+⋅+==⋅+
()()
222
442
������
���uwwuww
uuw(
⋅+⋅+⋅=
=+cos��� �� uww ,)+=
=⋅+⋅⋅°+=
2
22414136031 cos99
�x=7
�������
���xxxuvuv
uuu
2=⋅=+⋅+==⋅+⋅
()()
(,
�����
����� �vvuvv
uuvuv
+⋅+⋅=
=+2
2cos))+=
=+⋅⋅°+=
�v2
2212126027 cos
3015656
391610 =⋅⇒==° , cosarccos αα
�� uv − �� uv −
()() �������� uvuvuvuv −⋅−=−− 22cosα
265 �� uv −=
22222
4
2 ��������
�uvuuuvvv
u
−=⋅−⋅⋅+⋅=
=222
22
4
42545565
−⋅+=
=⋅()−⋅+()=
��� uvv
�� uv −=15
������
����uvuvuv
uuuv
−=−⋅−==⋅+⋅−
2()()
())() −⋅−⋅−==⋅−⋅−⋅
���������
vuvv
uuuvv���
����uvv
uuvv
+⋅=
=−⋅+=
=()−⋅
22
2
2
2525++()= 5152
()()
()
���������
uvuv
uuuvv
−⋅−==⋅+⋅−−
2
2⋅⋅−⋅−==⋅−⋅−⋅
() 2
22
���������
uvv
uuuvvuuvv
uuvv
+⋅=
=−⋅+=
=⋅()−
��
���� 23
2253
22
2⋅⋅+()= 5530
2
������ � uvuvuv (,) ⋅=⋅=⋅⋅ coscos 25560°°=5
(,) �� �uv=−⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=− arccosarccos
12
622
22
⎛⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=° 135
������ ��� � uvuvuvuv (,)(,) ⋅=⋅⇒= cosarcccos����uv
uv⋅⋅
82
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Com que ens diuen que x � 0, en concloem que:
Per tant, els vectors , i són:
El volum del paral.lelogram generat per , i és:
Finalment, el volum del tetraedre generat , i és:
ACTIVITATS
Abans de començar
• Producte escalar (pàg. 90); base ortogonal i base orto-normal (pàg. 90); producte vectorial (pàg. 96); productemixt (pàg. 100).
• Mòdul d’un vector (pàg. 92); angle entre dos vectors(pàg. 92).
• Àrea del paral.lelogram determinat per dos vectors (pàg.96); volum del paral.lelepípede determinat per tres vec-tors (pàg. 100).
Qüestions
28. No, ja que .
Per exemple, en una base ortonormal, els vectors= (1, 0, 0) i = (0, 1, 0) són ortogonals:
però cap no és .
29.
↑
30. No, ja que en podem trobar un contraexemple.
Considerem, en una base ortonormal, els vectors:
Veiem que , perquè són linealmentdependents, però .
31.
ja que � � � � �v u u y v v× ⊥ × = 0
[ , , ] ( ( ))
(
� � � � � � � �� �
u v u v u v u v
u v
+ = ⋅ × + == ⋅ ×× + × == ⋅ × + ⋅ × =
� � �� � � � � �
u v v
u v u u v v
)
( ) ( ) ,0
� �v w≠
� � � � �u v u w× = = ×0
� � �u v w= = =( , , ), ( , , ), ( , , )1 0 0 2 0 0 3 0 0
� �u v=
( ) ( )� � � � � � � � � � �u v u v u u u v v u+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − vv v
u u v u v v
⋅ =
= − ⋅ + ⋅ − ==
�
� � � � � �2 2
0
�0
� �u v⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =1 0 0 1 0 0 0
�v�u
� � � �u v u v⊥ ⇒ ⋅ = 0
V V uT P= = =16
16
12 5 2 5 3
�w�v�u
V u v w uP = = −−
= =[ , , ]� � �0 5 5
3 5 4
1 0 1
12 5 12 5 3
�w�v�u
� � �u v w= = − = −( , , ), ( , , ), ( , , )0 5 5 3 5 4 1 0 1
�w�v�u
x y= =5 5,
( )
( ) ( )
y
x y y
y
− =
− + − − − + =
⎫⎬⎪
⎭⎪⇔
⇔=
5 0
3 5 8 24 0
2
2 2 2
55
3 0 3 24 05 5
2 2,
− + − + =
⎫⎬⎪
⎭⎪⇔ = = ±
xy x
EXERCICIS I PROBLEMES
32.
D’acord amb els valors de l’enunciat:
33. a)
b)
c)
Aleshores:
Aleshores
d) essent
α l’angle entre i 2 .
D’acord amb els apartats b i c:
34. a)
Aleshores:
Aleshores: �y = 19
� � � � � � �
� �y y y u w u w
u u
22 2
2 2
= ⋅ = + ⋅ + == ⋅ +
( ) ( )
22 2
4 42
� � � � � �
� � �u w w u w w
u u w (
⋅ + ⋅ + ⋅ =
= + cos �� �� �u w w, ) + =
= ⋅ + ⋅ ⋅ ° + =
2
2 24 1 4 1 3 60 3 1cos 99
�x = 7
� � � � � � �
� � �x x x u v u v
u u u
2 = ⋅ = + ⋅ + == ⋅ + ⋅
( ) ( )
( ,
� � � � �
� � � � ��v v u v v
u u v u v
+ ⋅ + ⋅ =
= +22 cos )) + =
= + ⋅ ⋅ ° + =
�v2
2 21 2 1 2 60 2 7cos
30 15 656
3916 10= ⋅ ⇒ = = °,cos arc cosα α
� �u v−� �u v−
( ) ( )� � � � � � � �u v u v u v u v− ⋅ − = − −2 2 cos α
2 65� �u v− =
2 2 2 2 2
4
2� � � � � � � �
�u v u u u v v v
u
− = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =
= 22 2
2 2
4
4 2 5 4 5 5 65
− ⋅ + =
= ⋅ ( ) − ⋅ + ( ) =
� � �u v v
� �u v− = 15
� � � � � �
� � � �u v u v u v
u u u v
− = − ⋅ − == ⋅ + ⋅ −
2( ) ( )
( )) ( )− ⋅ − ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅
� � � �� � � � �
v u v v
u u u v v � � �
� � � �u v v
u u v v
+ ⋅ =
= − ⋅ + =
= ( ) − ⋅
2 2
2
2
2 5 2 5 ++ ( ) =5 152
( ) ( )
( )
� � � �� � � � �
u v u v
u u u v v
− ⋅ − == ⋅ + ⋅ − −
2
2 ⋅⋅ − ⋅ − == ⋅ − ⋅ − ⋅
( )2
2 2
� � �� � � � � �
u v v
u u u v v uu v v
u u v v
+ ⋅ =
= − ⋅ + =
= ⋅ ( ) −
� �
� � � �2 3
2 2 5 3
2 2
2⋅⋅ + ( ) =5 5 30
2
� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅cos cos2 5 5 60°° = 5
( , )� ��u v = −⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −arc cos arc cos
12
6 2 2
22
⎛⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= °135
� � � � � �� � ��u v u v u v u v( , ) ( , )⋅ = ⋅ ⇒ =cos arc ccos� �� �u v
u v⋅⋅
CM
YK
83
5. Vectors en l’espai (II)
b)
i segons els valors obtinguts en l’apartat a:
35. Imposem que :
i perquè aquesta igualtat sigui certa:0 = −4 k + 24 ⇒ k = 6
36. Expressem en funció de :
Aleshores:
Substituint els valors que ens dóna l’enunciat:
Ara, com que , tenim:
37. Relacionem amb i amb :
Per tant:� � � � � � � � � �u v u v u u u v v v+ − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ −2 2
2
−− ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅( )� � � � � � � �u u u v v v u v2 4
� � � � � �
� � �u v u v u v
u u u
( ) ( )+ = + ⋅ + == ⋅ +
2
2
( ) (
⋅ + ⋅
− = − ⋅ −
� � �
� � � � � �v v v
u v u v u v2
)) == ⋅ − ⋅ + ⋅� � � � � �u u u v v v2
� �u v−� �u v+� �u v⋅
( , )� ��� �� �u vu v
u v= ⋅
⋅=arc cos arc cos
164 ⋅⋅
= °,6
48 19
� � � � � ��u v u v u v( , )⋅ = cos
� �u v ( )⋅ = + −( ) =12
4 6 20 162 2 2
� � � � � �u v u v u v⋅ = + − −( )12
2 2 2
� � � � � �
� � �u v u v u v
u u u
( ) ( )− = − ⋅ − =
= ⋅ −
2
2 ⋅ + ⋅ = + − ⋅� � � � � � �v v v u v u v2 2
2
� �u v−� �u v⋅
0 2 3
2
= ⋅ = + − ⋅ + − ==
� � � � � � � ��
x y u k v k w u v w
u
( ) ( )
⋅⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ++ ⋅
� � � � � � �� �u u v u w k v u
k v v
2 6
−− ⋅ − ⋅ −− ⋅ + ⋅ =
=
3
3
k v w k w u
k w v k w w
� � � �� � � �
22 3 2
6
2 2 2� � � �
� �u k v k w k u
v k u
+ + + + ⋅⋅ − + ⋅
( )
( ) �� � �w k v w
k k
k
− ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ +
4
2 5 2 3 1
2
2 2 2
( )) ( ) ( )⋅ − − + ⋅ − ⋅ =
= + + − − −
4 6 3 4 1
50 4 3 8 4 1
k k
k k k 88 3 4
4 24
− − =
= − +
k k
k
� �x y⊥
( , ) ,� ��x y = = °arc cos
172
7 1942 52
� � � � � �� � ��x y x y x y x y( , ) ( , )⋅ = ⇒ =cos arc cos�� �� �x yx y
⋅
� � � � � �� � � �
x y u v u w
u u u
( ) ( )⋅ = + ⋅ + == ⋅ + ⋅
2
2 ww v u v w
u u w u w
+ ⋅ + ⋅ =
= +
� � � �
� � � � ��( , )
2
22
cos ++
+ + =
=
( , ) ( , )2
2
� � � �� � � � ��v u v u v w v wcos cos
⋅ + ⋅ ⋅ ° +
+ ⋅ ⋅ ⋅ ° +
1 1 3 60
2 2 1 60
2 cos
cos 22 3 60172
⋅ ⋅ ° =cos
d’on, substituint les dades de l’enunciat:
38. Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)
39. a) Imposem l’ortogonalitat efectuant les operacionsamb les components:
b) Com que la base és ortonormal:
40. Que un vector sigui paral.lel a significa que i tenen la mateixa direcció.
Per tant, ∃ k ∈ � tal que .
Així, les components de han de ser:
Perquè tingui mòdul 4:
Aleshores: k k= ⇒ ±43
43
4 2 2 9 32 2 2 2= = + − + − = =�v k k k k k( ) ( ) ( )
� �v k u k k k k= = − − = − −( , , ) ( , , )2 2 1 2 2
�v
� �v k u=
�u�v�u�v
�
�u
v
= − = − + + =
= = +
( , , ) ( )
( , , )
2 2 1 2 2 1 3
3 2 2 3 2
2 2
2 22 2
2 2 2
2 17
0 3 3 0 3 3
18 3 2
+ =
= − = + + − =
= =
�
�
w
u
( , , ) ( )
( ,, )��� �� �wu wu w
= ⋅ =
= − ⋅ +
arc cos
arc cos2 0 2 ( )
,⋅ + ⋅ −
⋅= °3 1 3
3 3 276 37
0 2 2 1 3
2 3 2
= ⋅ = − ⋅ == − ⋅ + ⋅
� �u v x x( , , ) ( , , )
xx x x x
v w x x y
+ ⋅ = − + ⇒ =
= ⋅ = ⋅
1 6 3 2
0 3 3( , , ) ( ,� � ,, )
( )
− == ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⇒ =
3
3 3 3 3 0y x x y y
( ) ( ) [( , , ) ( , , )]� � � �u v v w− ⋅ + = − − −3 1 2 4 3 1 1 ⋅⋅⋅ ⋅ − + − − == − −[ ( , , ) ( , , )]
( , ,
3 3 1 1 1 3 2
2 3 55 8 0 1
2 8 3 0 5 1 21
) ( , , )
( )
⋅ == − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −
( ) [( , , ) ( , , )]
(
� � �u v w+ ⋅ = − + − ⋅⋅ −
1 2 4 3 1 1
1,, , ) ( , , ) ( , , )
(
3 2 4 1 3 1 3 2
4 1
− = − ⋅ − − == ⋅ − )) ( ) ( )+ ⋅ + − ⋅ − =1 3 3 2 5
� � � �u w u w( ) ( ) [( , , ) ( ,⋅ = ⋅ = − ⋅ −2 2 2 1 2 4 1 3,, )]
[ ( ) ( ) ( )]
− == ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − =
2
2 1 1 2 3 4 2 266
� �u v ( , , ) ( , , )⋅ = − ⋅ − == ⋅ + ⋅
1 2 4 3 1 1
1 3 2 (( ) ( )− + − ⋅ = −1 4 1 3
� � � � � �u v u v u v ( )⋅ = + − −( ) = − =14
14
8 6 72 2 2 2
83
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
b)
i segons els valors obtinguts en l’apartat a:
35.Imposem que :
i perquè aquesta igualtat sigui certa:0 =−4k +24 ⇒k =6
36.Expressem en funció de :
Aleshores:
Substituint els valors que ens dóna l’enunciat:
Ara, com que , tenim:
37.Relacionem amb i amb :
Per tant:���������� uvuvuuuvvv +−−=⋅+⋅+⋅−
222
−−⋅−⋅+⋅=⋅ () �������� uuuvvvuv 24
������
���uvuvuv
uuu
()() +=+⋅+==⋅+
2
2
()(
⋅+⋅
−=−⋅−
���
������vvv
uvuvuv2
))==⋅−⋅+⋅ ������ uuuvvv 2
�� uv − �� uv + �� uv ⋅
(,) �� ����� uvuv
uv=⋅
⋅= arccosarccos
164⋅⋅
=° ,6
4819
������ � uvuvuv (,) ⋅=cos
�� uv() ⋅=+− ()=12
462016222
������ uvuvuv ⋅=+−− ()12
222
������
���uvuvuv
uuu
()() −=−⋅−=
=⋅−
2
2⋅+⋅=+−⋅ ������� vvvuvuv22
2
�� uv − �� uv ⋅
023
2
=⋅=+−⋅+−==
���������
xyukvkwuvw
u
()()
⋅⋅+⋅−⋅+⋅++⋅
���������uuvuwkvu
kvv
26
−−⋅−⋅−−⋅+⋅=
=
3
3
kvwkwu
kwvkww
��������
2232
6
222 ����
��ukvkwku
vku
++++⋅⋅−+⋅
()
()���� wkvw
kk
k
−⋅=
=⋅+⋅+⋅+++
4
25231
2
222
())()() ⋅−−+⋅−⋅=
=++−−−
46341
5043841
kk
kkk8834
424
−−=
=−+
kk
k
�� xy ⊥
(,), �� �xy==° arccos
172
7194252
������ ��� � xyxyxyxy (,)(,) ⋅=⇒= cosarccos�����xyxy
⋅
����������
xyuvuw
uuu
()() ⋅=+⋅+==⋅+⋅
2
2wwvuvw
uuwuw
+⋅+⋅=
=+
����
����� �(,)
2
22
cos++
++=
=
(,)(,) 2
2
���� ����� � vuvuvwvw coscos
⋅+⋅⋅°+
+⋅⋅⋅°+
11360
22160
2cos
cos22360172
⋅⋅°= cos
d’on, substituint les dades de l’enunciat:
38.Com que la base és ortonormal:
a)
b)
c)
d)
39.a)Imposem l’ortogonalitat efectuant les operacionsamb les components:
b)Com que la base és ortonormal:
40.Que un vector sigui paral.lel a significa que i tenen la mateixa direcció.
Per tant, ∃k ∈�tal que .
Així, les components de han de ser:
Perquè tingui mòdul 4:
Aleshores:kk =⇒±43
43
422932222
==+−+−== �vkkkkk ()()()
�� vkukkkk ==−−=−− (,,)(,,) 22122
�v
�� vku =
�u �v �u �v
�
�u
v
=−=−++=
==+
(,,)()
(,,)
2212213
32232
22
2222
222
217
033033
1832
+=
=−=++−=
==
�
�
w
u
(,,)()
(,,) � ����� wuwuw
=⋅=
=−⋅+
arccos
arccos202()
, ⋅+⋅−⋅
=°313
3327637
02213
232
=⋅=−⋅==−⋅+⋅
�� uvxx (,,)(,,)
xxxxx
vwxxy
+⋅=−+⇒=
=⋅=⋅
1632
033 (,,)(, ��,,)
()
−==⋅+⋅+⋅−=⇒=
3
33330 yxxyy
()()[(,,)(,,)] ���� uvvw −⋅+=−−− 3124311⋅⋅⋅⋅−+−−==−−[(,,)(,,)]
(,,
3311132
2355801
28305121
)(,,)
()
⋅==−⋅+⋅+−⋅=−
()[(,,)(,,)]
(
��� uvw +⋅=−+−⋅⋅−
124311
1,,,)(,,)(,,)
(
32413132
41
−=−⋅−−==⋅−))()() +⋅+−⋅−= 13325
���� uwuw ()()[(,,)(, ⋅=⋅=−⋅− 22212413,,)]
[()()()]
−==⋅⋅−+⋅+−⋅−=
2
2112342266
�� uv(,,)(,,) ⋅=−⋅−==⋅+⋅
124311
132(()() −+−⋅=− 1413
������ uvuvuv() ⋅=+−− ()=−=14
14
8672222
C M
Y K
84
5. Vectors en l’espai (II)
Per tant, els únics vectors paral.lels a de mòdul 4 són:
41.Imposem que un vector genèric com-pleixi les condicions de l’enunciat:
•Mòdul 4:
•=30°:
•=135°:
Tenim, doncs, un sistema de tres equacions no linealsamb tres incògnites:
Per tant, hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l’enunciat:
(,,)(,,) 2222222222 +−+−−− i
16
6
4
16
12
22
32
123
12
=++=−+
−=−+
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔=
www
www
ww
wwww
ww
w
ww
12
22
32
12
3
12
22
4
2
12
++−=−+
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔=+
−44
2
22222
12
3
123
=−+=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔=+=−+=
ww
w
www
o
w
,,
1123 22222 =−=−−=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
,, ww
135
22
°=⋅=⋅⇒
⇒−=
() �� ����� vwvwvw
arccos
cos1135110
1104
123
222°=
−⋅+⋅+⋅
−++⋅=
()
www
==−+ ww 12
42
(,) �� �vw
30
32
30
°=⋅=⋅⇒
⇒=
() �� ����� uwuwuw
arccos
cos°°=⋅−⋅+⋅
−++⋅=
=−
111
1114
123
222
1
()
www
wwww 23
43
+
(,) �� �uw
416 12
22
32
12
22
32
==++⇒=++ �wwwwwww
�wwww =(,,) 123
�
�
v
v
1
2
43
22183
83
43
4
=−−=−− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−
(,,),,
33221
83
83
43
(,,),, −−=−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
�u42.Imposem les condicions de l’enunciat efectuant lesoperacions amb components:
•:
•:
Així:
Com que ens demanaven dos valors positius, escollim
x =1, .
43.Busquem un vector tal que:
•La seva tercera component és 1:v3�1.
•És perpendicular a (1, −2, 0):
0 =(1, −2, 0) ⋅(v1, v2, 1) ==1 ⋅v1+(−2) ⋅v2+0 ⋅1 =v1−2v2⇒v1=2v2
•És combinació lineal dels vectors (1, 0, 1) i (1, 1, 0).
Això implica que (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2 v2, v2, 1) sónlinealment dependents:
=1 ⋅1 −0 +1 ⋅(v2−2v2) ⇒v2=1
El vector buscat és .
44.Busquem un vector tal que:
•:
•:
0 =(u1, u2, u3) ⋅(1, −1, 4) ==u1⋅1 +u2⋅(−1) +u3⋅4 ⇔u1−u2+4u3=0
•És combinació lineal de (�2, 1, 1) i (�1, 1, 1). Enparticular, són linealment dependents:
�u⊥− (,,) 114
1111 12
22
32
12
22
32
==++⇔++= �uuuuuuu
�u=11
�uuuu =(,,) 123
�v=(,,) 211
0
101
110
21 22
==vv
�vvvv =(,,) 123
y=35
35454911
12
10
52255
222
2
=++==⇒=±
=+
xxxx
yy
,,
,22
225400
35
+=⇒
⇒=± y
60°==⋅⋅
=
=
(,) �� ����� uvuv
uvarccos
arccoss21522
3152222
()
()
⋅+⋅+−⋅
⋅++⇒
⇒
xyxy
yy
112
6010
52252
=°=+
cosy
(,) �� �uv=° 60
322542222
==++−=+ �uxxx ()
�u=3
84
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Per tant, els únics vectors paral.lels a de mòdul 4 són:
41. Imposem que un vector genèric com-pleixi les condicions de l’enunciat:
• Mòdul 4:
• = 30°:
• = 135°:
Tenim, doncs, un sistema de tres equacions no linealsamb tres incògnites:
Per tant, hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l’enunciat:
( , , ) ( , , )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ − + − − −i
16
6
4
16
12
22
32
1 2 3
1 2
= + += − +
− = − +
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔=
w w w
w w w
w w
ww w w
w w
w
w w
12
22
32
1 2
3
12
22
4
2
12
+ +− = − +
=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔= +
−44
2
2 2 2 2 2
1 2
3
1 2 3
= − +=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇔
⇔= + = − + =
w w
w
w w w
o
w
, ,
11 2 32 2 2 2 2= − = − − =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, ,w w
135
22
° = ⋅ = ⋅ ⇒
⇒ − =
( )� ��� �� �v wv wv w
arc cos
cos 11351 1 0
1 1 0 4
1 2 3
2 2 2° =
− ⋅ + ⋅ + ⋅
− + + ⋅=
( )
w w w
==− +w w1 2
4 2
( , )� ��v w
30
32
30
° = ⋅ = ⋅ ⇒
⇒ =
( )� ��� �� �u wu wu w
arc cos
cos °° =⋅ − ⋅ + ⋅
− + + ⋅=
=−
1 1 1
1 1 1 4
1 2 3
2 2 2
1
( )
w w w
w ww w2 3
4 3
+
( , )� ��u w
4 1612
22
32
12
22
32= = + + ⇒ = + +�w w w w w w w
�w w w w= ( , , )1 2 3
�
�
v
v
1
2
43
2 2 183
83
43
4
= − − = − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −
( , , ) , ,
332 2 1
83
83
43
( , , ) , ,− − = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
�u 42. Imposem les condicions de l’enunciat efectuant lesoperacions amb components:
• :
• :
Així:
Com que ens demanaven dos valors positius, escollim
x = 1, .
43. Busquem un vector tal que:
• La seva tercera component és 1: v3 � 1.
• És perpendicular a (1, −2, 0):
0 = (1, −2, 0) ⋅ (v1, v2, 1) == 1 ⋅ v1 + (−2) ⋅ v2 + 0 ⋅ 1 = v1 − 2 v2 ⇒ v1 = 2 v2
• És combinació lineal dels vectors (1, 0, 1) i (1, 1, 0).
Això implica que (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2 v2, v2, 1) sónlinealment dependents:
= 1 ⋅ 1 − 0 + 1 ⋅ (v2 − 2 v2) ⇒ v2 = 1
El vector buscat és .
44. Busquem un vector tal que:
• :
• :
0 = (u1, u2, u3) ⋅ (1, −1, 4) == u1 ⋅ 1 + u2 ⋅ (−1) + u3 ⋅ 4 ⇔ u1 − u2 + 4 u3 = 0
• És combinació lineal de (�2, 1, 1) i (�1, 1, 1). Enparticular, són linealment dependents:
�u ⊥ −( , , )1 1 4
11 1112
22
32
12
22
32= = + + ⇔ + + =�u u u u u u u
�u = 11
�u u u u= ( , , )1 2 3
�v = ( , , )2 1 1
0
1 0 1
1 1 0
2 12 2
= =v v
�v v v v= ( , , )1 2 3
y = 35
3 5 4 5 4 9 1 1
12
10
5 2255
2 2 2
2
= + + = = ⇒ = ±
=+
x x x x
yy
, ,
, 22 225 400
35
+ = ⇒
⇒ = ±y
60° = = ⋅⋅
=
=
( , )� ��� �� �u vu v
u varc cos
arc coss2 15 2 2
3 15 22 2 2
( )
( )
⋅ + ⋅ + − ⋅
⋅ + +⇒
⇒
x y x y
y y
112
6010
5 2252= ° =
+cos
y
( , )� ��u v = °60
3 2 2 5 42 2 2 2= = + + − = +�u x x x( )
�u = 3
CM
YK
85
5. Vectors en l’espai (II)47. D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-
te escalar, la projecció ortogonal d’un vector sobre un vector mesura:
En el nostre cas:
Aleshores:
a) La projecció ortogonal de sobre mesura:
b) La projecció ortogonal de sobre mesura:
48. Siguin 1, 2, 3 els angles que forma amb els vectors, respectivament.
Com que es tracta d’una base ortonormal, podem ob-tenir-los a partir de l’expressió analítica.
Per a fer-ho, calculem :
Aleshores:
49. D’acord amb la definició:
a) és un vector caracteritzat per:
• Mòdul:
Com que les arestes del prisma són unitàries, icom que la seva base és un hexàgon regular:
( , )� ��u v = ° + ° = °60 60 120
� � � � � ��u v u v u v× = ( , )sin
� �u v×
cos
cos
α α
α α
11
1
22
2
1
1474 50
3
14
= = ⇒ = °
= = − ⇒ =
uu
u
u
�
�
,
1143 30
2
1457 693
33
,
,
°
= = ⇒ = °cos α αu
u�
�u = + − + =1 3 2 142 2 2( )
�u
� � �i j k, ,
�u
� ��
u vv⋅ = − =7
878
�v�u
� ��
u vu⋅ = − =7
474
�u�v
� �
�u v
u
( ) ( )
( )
⋅ = ⋅ − + ⋅ + − ⋅ = −
= +
1 7 6 3 3 6 7
1 62 22 2
2 2 2
3 4
7 3 6 8
+ − =
= − + + =
( )
( ) ( )�v
� ��
a b
b
⋅
�b�
a
= u1 ⋅ 0 − u2 ⋅ (−1) + u3 ⋅ (− 1) ⇔ u2 − u3 = 0
Les components del vector satisfan, doncs:
Hi ha dos vectors que satisfan les condicions de l’e-nunciat:
45. Observem, en primer lloc, que O = (0, 0, 0) és l’origen;les components dels vectors i són les coor-denades dels punts A i B, respectivament.
Volem trobar dos vectors , tals que:
• (1)
• té la mateixa direcció que (2)
• és perpendicular a (3)
La condició (2) implica que:
per a algun nombre real k.
D’altra banda, la hipòtesi (3) ens diu que:
↑(1)
Així,
i
↑(1)
és a dir:
46. El vector desplaçament del cos és:
Per tant, el treball efectuat per la força és:
W F AB= ⋅ = − ⋅ − − =� � ���
[ ] ( , , ) ( , , )5 35 15 3 1 2
== − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ =5 3 35 1 15 2 10( ) ( ) J
F�
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= − − − − = − −2 1 0 1 3 1 3 1 2
[ ] , , , ,OA� ���
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+611
611
1811
511
1711
4111
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
� � ��� �v OA u= − = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
[ ] , ,5
111711
411
�u = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
611
611
1811
, ,
0 = ⋅ = − ⋅ =
=
� � ��� � ��� � � ���v OB OA u OB[ ] ([ ] ) [ ]
[(( , , ) ( , , )] ( , , )
( ,
1 1 2 3 1 1 3
1
− − ⋅ − == −
k k k
k , ) ( , , )1 2 3 1 1 3
1 1 6 96
+ − ⋅ − =
= − − − + − ⇒ =
k k
k k k k111
� � ���u k OB k k k k= ⋅ = ⋅ − = −[ ] ( , , ) ( , , )1 1 3 3
[ ]OB� ����v
[ ]OB� ����u
[ ]OA u v� ��� � �= +
�v�u
[ ]OB� ���
[ ]OA� ���
� �u i u= − = − −( , , ) ( , , )3 1 1 3 1 1
u u u
u u u
u u
u u12
22
32
1 2 3
2 3
3 211
4 0
0
+ + =− + =
− =
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=
uu u
u1 2
22
3
1
= −
=
�u
0
2 1 1
1 1 1
1 2 3
=−− =u u u
u
v60° 60°
1
85
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
47.D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar, la projecció ortogonal d’un vector
sobre un vector mesura:
En el nostre cas:
Aleshores:
a)La projecció ortogonal de sobre mesura:
b)La projecció ortogonal de sobre mesura:
48.Siguin 1, 2, 3els angles que forma amb els vectors, respectivament.
Com que es tracta d’una base ortonormal, podem ob-tenir-los a partir de l’expressió analítica.
Per a fer-ho, calculem :
Aleshores:
49.D’acord amb la definició:
a)és un vector caracteritzat per:
•Mòdul:
Com que les arestes del prisma són unitàries, icom que la seva base és un hexàgon regular:
(,) �� �uv=°+°=° 6060120
������ � uvuvuv ×=(,) sin
�� uv ×
cos
cos
αα
αα
11
1
22
2
1
147450
3
14
==⇒=°
==−⇒=
uu
u
u
�
�
,
114330
2
145769 3
33
,
,
°
==⇒=° cosααu
u�
�u=+−+= 13214222
()
�u
���ijk ,,
�u
���
uvv⋅=−=
78
78
�v �u
���
uvu⋅=−=
74
74
�u �v
��
�uv
u
()()
()
⋅=⋅−+⋅+−⋅=−
=+
1763367
162222
222
34
7368
+−=
=−++=
()
()() �v
���
ab
b
⋅
�b �a
=u1⋅0 −u2⋅(−1) +u3⋅(−1) ⇔u2−u3=0
Les components del vector satisfan, doncs:
Hi ha dos vectors que satisfan les condicions de l’e-nunciat:
45.Observem, en primer lloc, que O =(0, 0, 0) és l’origen;les components dels vectors i són les coor-denades dels punts A i B, respectivament.
Volem trobar dos vectors , tals que:
•(1)
•té la mateixa direcció que (2)
•és perpendicular a (3)
La condició (2) implica que:
per a algun nombre real k.
D’altra banda, la hipòtesi (3) ens diu que:
↑(1)
Així,
i
↑(1)
és a dir:
46.El vector desplaçament del cos és:
Per tant, el treball efectuat per la força és:
WFAB =⋅=−⋅−−=�����
[](,,)(,,) 53515312
==−⋅−+⋅−+⋅= 5335115210 ()()J
F�
[](,,)(,,) AB����
=−−−−=−− 210131312
[],,,, OA�� ��
=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
611
611
1811
511
1711
4111
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
��� ��� vOAu =−=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ [],,
511
1711
411
�u=− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
611
611
1811
,,
0=⋅=−⋅=
=
��� ���� ����� ��vOBOAuOB []([])[]
[((,,)(,,)](,,)
(,
1123113
1
−−⋅−==−
kkk
k,)(,,) 123113
11696
+−⋅−=
=−−−+−⇒=
kk
kkkk111
��� ��ukOBkkkk =⋅=⋅−=− [](,,)(,,) 1133
[] OB�� �� �v
[] OB�� �� �u
[] OAuv�� ���� =+
�v �u
[] OB�� ��
[] OA�� ��
�� uiu =−=−− (,,)(,,) 311311
uuu
uuu
uu
uu 12
22
32
123
23
32 11
40
0
++=−+=
−=
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=
uuu
u12
22
3
1
=−
=
�u
0
211
111
123
=−−=uuu
u
v60°60°
1
C M
Y K
86
5. Vectors en l’espai (II)
Així,
•Direcció:
és perpendicular a ia ; aleshores, té ladirecció de .
Per tant, , per a algun k ∈�.
•Sentit:
El sentit de és el de l’avançament d’un lle-vataps en girar de a per l’angle més curt, és adir, en sentit antihorari; aleshores, és cap amunt.
Per tant, el seu sentit coincideix amb el de .
Tenint en compte aquestes tres característiques:amb k ≥0 i
↑�w és una aresta
Per tant,
b)és el vector caracteritzat per:
•Mòdul:
Com que les arestes són unitàries, , i comque, a més, la base és un hexàgon regular:
Així,
•Direcció:
és perpendicular a i a , i, per tant, a labase del prisma.
Així, és paral.lel a , i això significa que
per a algun nombre real k.
•Sentit:
El de l’avançament d’un llevataps en girar de aper l’angle més curt, és a dir, en sentit ho-
rari; per tant, aquest sentit és cap avall.
Així, el sentit deés l’oposat del de.
Tenint en compte aquestes tres característiques,
�w �� yx ×
�x
�y
��� yxkw ×=⋅
�w �� yx ×
�x �y �� yx ×
�� yx ×=⋅°= 12603 sin
��� � xiyx =+==° 11260 (,)
�y=1
������ � yxyxyx ×=(,) sin
�� yx ×
kuvw =⇒×=3
23
2���
32
1 =×===⋅= ���� uvkwkwkk
��� uvkw ×=
�w
�v �u
�� uv ×
��� uvkw ×=⋅
�w
�v �u �� uv ×
�� uv ×=⋅⋅°= 111203
2sin
podem expressar en funció dels vectors de lafiguraamb k ≤0 i
↑�waresta
Per tant:
50.Com que no se’ns diu el contrari, suposem que la baseen què estan expressats els vectors és ortonor-
mal, i en aquest cas:
a)
b)
c)
=[(3, 0, −2) +(1, 1, −1)] ×[3 ⋅(3, 0, −2) −
−(1, 2, 3)] =(4, 1, −3) ×(8, −2, −9) =
Aleshores:
51.a)Calculem primerament les operacions entre parèn-tesis:
=−−− 885���ijk
=−
−−
−+
−=
48
10
18
10
14
11
���ijk
��
���
uv
ijk
×=−−
= 148
110
()()(,,) ���� uvuw +×−=−− 3151216
=−+− 151216���ijk
=−
−−−
−−
+−
=13
29
43
89
41
82
���ijk
=−−−
=
���ijk
413
829
()() ���� uvuw +×−= 3
⇒×=− �� uw ()(,,) 3123318
=−+⇒ 123318���ijk
=−
−−
+=02
69
32
39
30
36
���ijk
=−=
���ijk
302
369
�� uw ×=−×= ()(,,)(,,) 3302369
=−−+⇒×= 213213����� ijkuv ()(,,)
−−−
+=32
11
30
11
��jk
�i =
−−
02
11
��
���
uv
ijk
×=−−
= 302
111
���ijk ,,
kyxw =−⇒×=−⋅ 33 ���
31 =×=⋅==⋅= ���� yxkwkwkk
��� yxkw ×=⋅
�� yx ×
x
1
y
1 1
60°
86
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Així,
• Direcció:
és perpendicular a i a ; aleshores, té ladirecció de .
Per tant, , per a algun k ∈ �.
• Sentit:
El sentit de és el de l’avançament d’un lle-vataps en girar de a per l’angle més curt, és adir, en sentit antihorari; aleshores, és cap amunt.
Per tant, el seu sentit coincideix amb el de .
Tenint en compte aquestes tres característiques:amb k ≥ 0 i
↑�w és una aresta
Per tant,
b) és el vector caracteritzat per:
• Mòdul:
Com que les arestes són unitàries, , i comque, a més, la base és un hexàgon regular:
Així,
• Direcció:
és perpendicular a i a , i, per tant, a labase del prisma.
Així, és paral.lel a , i això significa que
per a algun nombre real k.
• Sentit:
El de l’avançament d’un llevataps en girar de aper l’angle més curt, és a dir, en sentit ho-
rari; per tant, aquest sentit és cap avall.
Així, el sentit de és l’oposat del de .
Tenint en compte aquestes tres característiques,
�w� �y x×
�x
�y
� � �y x k w× = ⋅
�w� �y x×
�x�y� �y x×
� �y x× = ⋅ ° =1 2 60 3sin
� � ��x i y x= + = = °1 1 2 60( , )
�y = 1
� � � � � ��y x y x y x× = ( , )sin
� �y x×
k u v w= ⇒ × =32
32
� � �
32
1= × = = = ⋅ =� � � �u v k w k w k k
� � �u v k w× =
�w
�v�u
� �u v×
� � �u v k w× = ⋅
�w
�v�u� �u v×
� �u v× = ⋅ ⋅ ° =1 1 1203
2sin
podem expressar en funció dels vectors de lafigura amb k ≤ 0 i
↑�w aresta
Per tant:
50. Com que no se’ns diu el contrari, suposem que la baseen què estan expressats els vectors és ortonor-
mal, i en aquest cas:
a)
b)
c)
= [(3, 0, −2) + (1, 1, −1)] × [3 ⋅ (3, 0, −2) −
− (1, 2, 3)] = (4, 1, −3) × (8, −2, −9) =
Aleshores:
51. a) Calculem primerament les operacions entre parèn-tesis:
= − − −8 8 5� � �i j k
=−
−−
−+
−=
4 8
1 0
1 8
1 0
1 4
1 1
� � �i j k
� �
� � �
u v
i j k
× = −−
=1 4 8
1 1 0
( ) ( ) ( , , )� � � �u v u w+ × − = − −3 15 12 16
= − + −15 12 16� � �i j k
=−
− −−
−−
+−
=1 3
2 9
4 3
8 9
4 1
8 2
� � �i j k
= −− −
=
� � �i j k
4 1 3
8 2 9
( ) ( )� � � �u v u w+ × − =3
⇒ × = −� �u w( ) ( , , )3 12 33 18
= − + ⇒12 33 18� � �i j k
=−
−−
+ =0 2
6 9
3 2
3 9
3 0
3 6
� � �i j k
= − =
� � �i j k
3 0 2
3 6 9
� �u w× = − × =( ) ( , , ) ( , , )3 3 0 2 3 6 9
= − − + ⇒ × =2 1 3 2 1 3� � � � �i j k u v( ) ( , , )
−−−
+ =3 2
1 1
3 0
1 1
� �j k
�i=
−−
0 2
1 1
� �
� � �
u v
i j k
× = −−
=3 0 2
1 1 1
� � �i j k, ,
k y x w= − ⇒ × = − ⋅3 3� � �
3 1= × = ⋅ = = ⋅ =� � � �y x k w k w k k
� � �y x k w× = ⋅
� �y x×
x
1
y
11
60°
CM
YK
87
5. Vectors en l’espai (II)D’aquests, els de mòdul 3 són:
Per tant, els vectors perpendiculars a i a de mòdul3 són dos:
53. La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que el seu mòdul coincideix amb l’àrea del pa-ral.lelogram definit pels vectors:
Calculem :
Aleshores:
54. Per definició:
= (1 − 2, −1 − 1, 3 − (−4)) × (1, 2, 3) =
, en unitats del SI.55. Per definició:
, en unitats del SI.
56. Per definició de producte mixt:
a)
Com que les arestes del prisma són unitàries:
D’altra banda, és perpendicular a la base i, pertant, al vector :
Calculem, finalment, l’angle :
• és perpendicular a , aleshores, ha d’estarcontingut en el pla de la base del prisma.
• és perpendicular a , és a dir, �v� �v w×
�w� �v w×
α = ×( , )� � ��u v w
( , )� ��v w = °90
�v
�w
� � �u v w= = = 1
= ( ) ×( )� � � � �� � � ��u v w sin v w u v w, cos ,
[ , , ] ( ) cos ,� � � � � � � � � � �u v w u v w u v w u v= ⋅ × = × ××( ) =��w
⇒ = −�F ( , , )5 35 15
= ⋅ −−
= ⋅ − + + ⇒5 2 1 3
1 1 2
5 7 3
� � �� � �
i j k
i j k( )
� � �F q v B= ⋅ × = ⋅ − × − =( ) [( , , ) ( , , )]5 2 1 3 1 1 2
⇒ = −�M ( , , )20 10 0
= − − = − + ⇒
� � �� �
i j k
i j1 2 7
1 2 3
20 10
� � ��� �M OA F= × =[ ]
= − + + − =( ) ( )7 3 5 832 2 2 2u
A u vp = × = − − =� � ( , , )7 3 5
� �
� � �� � �
u v
i j k
i j k× = −−
= − + −1 1 2
2 3 1
7 3 5
� �u v×
A u vp = � �
� �w i w1 213
43
83
13
43
83
= − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
⎛⎝⎜, , , ,
⎞⎞⎠⎟
�v�u
9 313
13
k k k= ⇒ = ⇒ = ±
+ − + − = ⋅ ⇒k k k k2 2 24 8 9( ) ( )
3 4 8= = − − =�w k k k( , , )
En conjunt:
= −8 ⋅ 1 − 8 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = −31
b) •
•
• Calculem primerament el doble producte vectorial:
Així:
52. • Un vector perpendicular a i a és el seu produc-te vectorial:
Per tant, els vectors perpendiculars a i a són els dela forma:
, amb k ∈ �� � �w k u v k k k= × = − −( ) ( , , )4 8
�v�u
= − − ⇒ × = − −� � � � �i j k u v4 8 1 4 8( , , )
=−
−−
− −+
−−
=1 1
0 1
4 1
8 1
4 1
8 0
� � �i j k
� �
� � �
u v
i j k
× = −− −
=4 1 1
8 0 1
�v�u
= − + − + =( ) ( )7 7 11 2192 2 2
( ) ( , , )� � �u w v× × = − − =7 7 11
⇒ × × = − −( ) ( , , )� � �u w v 7 7 11
= − − + ⇒7 7 11� � �i j k
=− −
−−
−+
−−
=15 7
1 0
4 7
1 0
4 15
1 1
� � �i j k
= − −−
=
� � �i j k
4 15 7
1 1 0
( ) ( , , ) ( , , )� � �u w v× × = − − × − =4 15 7 1 1 0
= − − ⇒ × = − −4 15 7 4 15 7� � � � �i j k u w ( , , )
=−−
−−−
+ =4 8
1 1
1 8
2 1
1 4
2 1
� � �i j k
� �
� � �
u w
i j k
× = −−
=1 4 8
2 1 1
� �u w× = = + + =( , , )1 1 3 1 1 3 112 2 2
�u = + + − =1 4 8 92 2 2( )
= − − − ⋅ + + =( ) ( )8 8 5 3� � � � � �i j k i j k
( ) ( )� � � �u v v w× ⋅ × =
= + +� � �i j k3
=−
−−
−+
−=
1 0
1 1
1 0
2 1
1 1
2 1
� � �i j k
� �
� � �
v w
i j k
× = −−
=1 1 0
2 1 1
87
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
D’aquests, els de mòdul 3 són:
Per tant, els vectors perpendiculars a i a de mòdul3 són dos:
53.La interpretació geomètrica del producte vectorial ensdiu que el seu mòdul coincideix amb l’àrea del pa-ral.lelogram definit pels vectors:
Calculem :
Aleshores:
54.Per definició:
=(1 −2, −1 −1, 3 −(−4)) ×(1, 2, 3) =
, en unitats del SI.55.Per definició:
, en unitats del SI.
56.Per definició de producte mixt:
a)
Com que les arestes del prisma són unitàries:
D’altra banda, és perpendicular a la base i, pertant, al vector :
Calculem, finalment, l’angle:
•és perpendicular a , aleshores, ha d’estarcontingut en el pla de la base del prisma.
•és perpendicular a , és a dir, �v �� vw ×
�w �� vw ×
α=× (,) ��� �uvw
(,) �� �vw=° 90
�v
�w
��� uvw ===1
=()× ()����� ���� � uvwsinvwuvw ,cos,
[,,]()cos, ����������� uvwuvwuvwuv =⋅×=××× ()= � �w
⇒=−�F(,,) 53515
=⋅−−
=⋅−++⇒ 5213
112
573
������
ijk
ijk ()
���FqvB =⋅×=⋅−×−= ()[(,,)(,,)] 5213112
⇒=−�M(,,) 20100
=−−=−+⇒
�����
ijk
ij 127
123
2010
��� ���MOAF =×= []
=−++−= ()() 735832222
u
Auv p=×=−−= ��(,,) 735
��
������
uv
ijk
ijk ×=−−
=−+− 112
231
735
�� uv ×
Auv p=× ��
�� wiw 1213
43
83
13
43
83
=−−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=−
⎛⎝⎜ ,,,,
⎞⎞⎠⎟
�v �u
9313
13
kkk =⇒=⇒=±
+−+−=⋅⇒ kkkk222
489 ()()
348 ==−−= �wkkk (,,)
En conjunt:
=−8 ⋅1 −8 ⋅1 −5 ⋅3 =−31
b)•
•
•Calculem primerament el doble producte vectorial:
Així:
52.•Un vector perpendicular a i a és el seu produc-te vectorial:
Per tant, els vectors perpendiculars a i a són els dela forma:
, amb k∈���� wkuvkkk =×=−− ()(,,) 48
�v �u
=−−⇒×=−−����� ijkuv 48148 (,,)
=−
−−
−−+
−−
=11
01
41
81
41
80
���ijk
��
���
uv
ijk
×=−−−
= 411
801
�v �u
=−+−+= ()() 7711219222
()(,,) ��� uwv ××=−−= 7711
⇒××=−− ()(,,) ��� uwv7711
=−−+⇒ 7711���ijk
=−−
−−
−+
−−
=157
10
47
10
415
11
���ijk
=−−−
=
���ijk
4157
110
()(,,)(,,) ��� uwv ××=−−×−= 4157110
=−−⇒×=−− 41574157����� ijkuw(,,)
=−−
−−−
+=48
11
18
21
14
21
���ijk
��
���
uw
ijk
×=−−
= 148
211
�� uw ×==++= (,,) 11311311222
�u=++−= 1489222
()
=−−−⋅++= ()() 8853������ijkijk
()() ���� uvvw ×⋅×=
=++���ijk 3
=−
−−
−+
−=
10
11
10
21
11
21
���ijk
��
���
vw
ijk
×=−−
= 110
211
C M
Y K
88
5. Vectors en l’espai (II)
•té el sentit de l’avançament d’un llevatapsque gira de a pel camí més curt, és a dir, ensentit horari; aleshores, apunta cap a l’interiorde l’hexàgon.Tenim, doncs, l’equació següent:
Ara bé, com que sabem que l’hexàgon és regular,
determinem que .
Aleshores:
Substituint en l’expressió del producte mixt:
b)
Com que l’hexàgon és regular, és paral.lel a ,aleshores:
Per tant, .
57. Com que la base és ortonormal:
a)
=2 ⋅(−8) −0 +(−5) ⋅(−11) =39
b)↑
PM.4
c)↑
PM.3
↑PM.3 i PM.4
=3 ⋅39 =117
−=−+−= [,,][,,] ������ vwwuvw 33000
=−+− [,,][,,][,,] ��������� uvwuwwvvw 333
=−+−= [,,][,,] �������� uvwwvvww 33
[,,] ����� uvvww +−= 3
[,,][,,] 22222239156 ������ uvwuvw =⋅=⋅⋅=
[,,] ��� uvw=−−−
=205
131
413
[,,] ��� uvx=0
��������� vxxvxuuvx ×⊥⇒×⊥⇒⋅×= ()0
�u �x
[,,]() ������ uvxuvx =⋅×
[,,]cos ��� uvxsin =⋅⋅°°= 11190303
2
��� �uvw ,×==°−°=° α1209030
�� �uv ,=° 120
βααβ +=⇒=− (,)(,) �� ��� � uvuv
�w �v
�� vw ×
β=×=° (,) ��� �vvw9058.Els vectors , , són linealment dependents si i no-més si:
=−(x +3) (4x −x) +(x +2) [4(x +1) −
−(x +1)] −0 =−(x +3) ⋅3x +(x +2) ⋅
⋅3(x +1) =6
Com que aquesta igualtat no es produeix per a cap va-lor de x, la resposta és que els vectors , , no són li-nealment dependents per a cap valor de x.
59.Considerem els vectors:
Està clar que els vectors , i generen el paral.lele-pípede, i per això el volum d’aquest últim coincideixamb el valor absolut del producte mixt dels tres pri-mers.
=2 −6 +8 −(4 +4 −6) =2
Aleshores,
60.Si, , i són els vectors corresponents a tres arestesconcurrents del paral.lelepípede, sabem que el seu vo-lum coincideix amb el valor absolut del producte mixtd’aquests vectors.
Considerem les arestes concurrents en A:
AB, AD, AF
Obtenim les components dels vectors corresponents aaquestes arestes:
•�����uAB ==−−−−=− [](,,)(,,) 411121321
�w �v �u
Vuvwu p=== [,,] ���223
[,,] ��� uvw=−−
−−−
=132
222
121
�w �v �u
�����
�uBA
v
==−−−−=−−
=
[](,,)(,,) 211213132
[[](,,)(,,)
[
BC
wB
����
�=−−−−=−−
=
110253222
FF����
](,,)(,,) =−−−=− 214223121
�w �v �u
0
11
3221
14
==+++−+
= ��� uvw
xx
xxx
xx
,,
�w �v �u
Z
Y
X
BP
A
O
F
D
uv
w
v
u
vwx
88
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
• té el sentit de l’avançament d’un llevatapsque gira de a pel camí més curt, és a dir, ensentit horari; aleshores, apunta cap a l’interiorde l’hexàgon.Tenim, doncs, l’equació següent:
Ara bé, com que sabem que l’hexàgon és regular,
determinem que .
Aleshores:
Substituint en l’expressió del producte mixt:
b)
Com que l’hexàgon és regular, és paral.lel a ,aleshores:
Per tant, .
57. Com que la base és ortonormal:
a)
= 2 ⋅ (−8) − 0 + (−5) ⋅ (−11) = 39
b)↑
PM.4
c)↑
PM.3
↑PM.3 i PM.4
= 3 ⋅ 39 = 117
− = − + − =[ , , ] [ , , ]� � � � � �v w w u v w3 3 0 0 0
= − + −[ , , ] [ , , ] [ , , ]� � � � � � � � �u v w u w w v v w3 3 3
= − + − =[ , , ] [ , , ]� � � � � � � �u v w w v v w w3 3
[ , , ]� � � � �u v v w w+ − =3
[ , , ] [ , , ]2 2 2 2 2 2 39 156� � � � � �u v w u v w= ⋅ = ⋅ ⋅ =
[ , , ]� � �u v w =−−−
=2 0 5
1 3 1
4 1 3
[ , , ]� � �u v x = 0
� � � � � � � � �v x x v x u u v x× ⊥ ⇒ × ⊥ ⇒ ⋅ × =( ) 0
�u�x
[ , , ] ( )� � � � � �u v x u v x= ⋅ ×
[ , , ] cos� � �u v x sin= ⋅ ⋅ ° ° =1 1 1 90 303
2
� � ��u v w, × = = ° − ° = °α 120 90 30
� ��u v, = °120
β α α β+ = ⇒ = −( , ) ( , )� �� � ��u v u v
�w�v
� �v w×
β = × = °( , )� � ��v v w 90 58. Els vectors , , són linealment dependents si i no-més si:
= −(x + 3) (4 x − x) + (x + 2) [4 (x + 1) −
− (x + 1)] − 0 = −(x + 3) ⋅ 3 x + (x + 2) ⋅
⋅ 3 (x + 1) = 6
Com que aquesta igualtat no es produeix per a cap va-lor de x, la resposta és que els vectors , , no són li-nealment dependents per a cap valor de x.
59. Considerem els vectors:
Està clar que els vectors , i generen el paral.lele-pípede, i per això el volum d’aquest últim coincideixamb el valor absolut del producte mixt dels tres pri-mers.
= 2 − 6 + 8 − (4 + 4 − 6) = 2
Aleshores,
60. Si, , i són els vectors corresponents a tres arestesconcurrents del paral.lelepípede, sabem que el seu vo-lum coincideix amb el valor absolut del producte mixtd’aquests vectors.
Considerem les arestes concurrents en A:
AB, AD, AF
Obtenim les components dels vectors corresponents aaquestes arestes:
•� � ���u AB= = − − − − = −[ ] ( , , ) ( , , )4 1 1 1 2 1 3 2 1
�w�v�u
V u v w up = = =[ , , ]� � � 2 2 3
[ , , ]� � �u v w =− −
− −−
=1 3 2
2 2 2
1 2 1
�w�v�u
� � ���
�u BA
v
= = − − − − = − −
=
[ ] ( , , ) ( , , )2 1 1 2 1 3 1 3 2
[[ ] ( , , ) ( , , )
[
BC
w B
� ���
�= − − − − = − −
=
1 1 0 2 5 3 2 2 2
FF� ���
] ( , , ) ( , , )= − − − = −2 1 4 2 2 3 1 2 1
�w�v�u
0
1 1
3 2 2 1
1 4
= =++ + −+
=� � �u v w
x x
x x x
x x
, ,
�w�v�u
Z
Y
X
BP
A
O
F
D
u v
w
v
u
v wx
CM
YK
89
5. Vectors en l’espai (II)— El volum del tetraedre definit per A, B, C i D és un
sisè del volum del paral.lelepípede que defineixenaquests punts, que es pot calcular a partir del pro-ducte mixt dels vectors .
D’altra banda, l’àrea de la cara ABC és la meitat del’àrea del paral.lelogram determinat per A, B i C,que es pot calcular a partir del producte vectorial
de :
Aleshores:
62. Considerem els vectors:
Com que el tetraedre de vèrtexs A, B, C i D és el gene-rat pels vectors , i , el seu volum és:
Per fer aquests càlculs, hem de determinar els valorsde x i y imposant les hipòtesis de l’enunciat:
• Les arestes AB i BD són perpendiculars.
Això significa que és ortogonal a , ésa dir:
⋅ (y + 1 − 1, −3 − (−1), 2 − 2 y − 2) =
= (1 − x) ⋅ y − 2 ⋅ (−2) + 1 ⋅ (−2 y) = 4 − y (1 + x)
• Les arestes AB i AC formen un angle de 45°. Això sig-nifica que els vectors formenun angle de 45°, és a dir:
Si efectuem els càlculs en components:
45° = = ⋅⋅
( , ) cos� ��� �� �u v arcu v
u v
� � ��� � � ���u AB i v AC= =[ ] [ ]
0 1 2 1= ⋅ = − − ⋅� � ���u BD x[ ] ( , , )
[ ]BD� ���� � ���
u AB= [ ]
V V u v wT P= =16
16
[ , , ]� � �
�w�v�u
� � ���
�u AB x x
v
= = − − − − = − −[ ] ( , , ) ( , , )1 1 1 2 1 1 2 1
== = − − − − = −
=
[ ] ( , , ) ( , , )
[
AC x x
w A
� ���
�1 1 3 1 0 2 2
DD y x y� ���
] ( , , )= + − − − − − =1 3 1 2 2 1
( , , )= − + − −y x y1 4 1 2
= + − + − = =12
8 2 412
84 212 2 2 2( ) ( ) u
A A AB ACT P= = × = − −12
12
12
8 2 4[ ] [ ] ( , , )� ��� � ���
[ ] [ ]AB AC
i j k
i j� ��� � ���
� � �� �
× = −−
= − −1 4 4
0 4 2
8 2 4��k
[ ] [ ]AB per AC� ��� � ���
= = =16
16
26133
[ ], [ ], [ ]AB AC AD u� ��� � ��� � ���
33
V V AB AC ADT P= = =16
16
[ ], [ ], [ ]� ��� � ��� � ���
[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��� � ��� � ���
• Com que P és el punt mitjà de la base superior:
Si D = (d1, d2, d3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:
(d1 − 4, d2 − (−1), d3 − 2) =
= 2 (2 − 4, 1 − (−1), 0 − 2)
Així:
• Com que O és el punt mitjà del tetraedre i P el de labase superior, es compleix:
Aleshores :
Finalment, calculem :
= 2 ⋅ 4 − 0 + (−4) ⋅ 4 = −8
Per tant,
61. És fàcil de veure que:
A, B, C, D són coplanaris sóncoplanaris.
Ara bé, són coplanaris si i només
si són linealment dependents.
Per tant, per a comprovar que A, B, C i D no són co-
planaris, veurem que són lineal-ment independents.
En efecte, calculem les coordenades d’aquests vectors:
Ara,
= 1 ⋅ 2 − 0 + 3 ⋅ 8 = 26 ≠ 0
Aleshores, els vectors són lineal-ment independents i, per tant, els punts A, B, C, D nosón coplanaris.
[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��� � ��� � ���
[ ], [ ], [ ]AB AC AD� ��� � ��� � ���
=−−−
=1 4 4
0 4 2
3 3 1
[ ] ( , , ) ( , , )
[
AB
AC
� ���
� ���= − − − − = −2 1 1 3 4 0 1 4 4
]] ( , , ) ( , , )
[ ] (
= − − − − = −
= −
1 1 1 3 2 0 0 4 2
4 1AD� ���
,, , ) ( , , )0 3 1 0 3 3 1− − = −
[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��� � ��� � ���
[ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��� � ��� � ���
⇔ [ ], [ ] [ ]AB AC i AD� ��� � ��� � ���
V u v w up = = =−[ , , ]� � � 8 8 3
[ , , ]� � �u v w =−
− −−
=3 2 1
1 2 3
2 0 4
[ , , ]� � �u v w
� � ���w AF= = − − − − = −[ ] ( , , ) ( , , )2 3 2 1 1 2 0 2 0 4
[ ] [ ]AF PO� ��� � ���
= 2
� � ���v AD= = − − − − = − −[ ] ( , , ) ( , , )0 1 3 1 2 1 1 2 3
d
d
d
d
d
d
1
2
3
1
2
3
4 4
1 4
2 4
0
3
− = −+ =− = −
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒ =⇒ =⇒ = −−2
[ ] [ ]BC BP� ��� � ���
= 2
89
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
—El volum del tetraedre definit per A, B, C i D és unsisè del volum del paral.lelepípede que defineixenaquests punts, que es pot calcular a partir del pro-ducte mixt dels vectors.
D’altra banda, l’àrea de la cara ABC és la meitat del’àrea del paral.lelogram determinat per A, B i C,que es pot calcular a partir del producte vectorial
de :
Aleshores:
62.Considerem els vectors:
Com que el tetraedre de vèrtexs A, B, C i D és el gene-rat pels vectors , i ,el seu volum és:
Per fer aquests càlculs, hem de determinar els valorsde x i y imposant les hipòtesis de l’enunciat:
•Les arestes AB i BD són perpendiculars.
Això significa que és ortogonal a , ésa dir:
⋅(y +1 −1, −3 −(−1), 2 −2y −2) =
=(1−x)⋅y−2⋅(−2) +1 ⋅(−2y) =4 −y (1 +x)
•Les arestes AB i AC formen un angle de 45°. Això sig-nifica que els vectors formenun angle de 45°, és a dir:
Si efectuem els càlculs en components:
45°==⋅⋅
(,)cos �� ����� uvarcuv
uv
����������uABivAC == [][]
0121 =⋅=−−⋅ �����uBDx [](,,)
[] BD���� �����
uAB =[]
VVuvw TP ==16
16
[,,] ���
�w �v �u
�����
�uABxx
v
==−−−−=−− [](,,)(,,) 11121121
===−−−−=−
=
[](,,)(,,)
[
ACxx
wA
����
�1131022
DDyxy�� ��
](,,) =+−−−−−= 131221
(,,) =−+−− yxy 1412
=+−+−==12
82412
84212222
()()u
AAABAC TP ==×=−−12
12
12
824 [][](,,)��������
[][] ABAC
ijk
ij��������
�����
×=−−
=−− 144
042
824��k
[][] ABperAC��������
===16
16
26133
[],[],[] ABACADu���������� ��33
VVABACAD TP ===16
16
[],[],[]���������� ��
[],[][] ABACiAD���������� ��
•Com que P és el punt mitjà de la base superior:
Si D =(d1, d2, d3), podem expressar la igualtat ante-rior en components:
(d1−4, d2−(−1), d3−2) =
=2(2 −4, 1 −(−1), 0 −2)
Així:
•Com que O és el punt mitjà del tetraedre i P el de labase superior, es compleix:
Aleshores :
Finalment, calculem :
=2 ⋅4 −0 +(−4) ⋅4 =−8
Per tant,
61.És fàcil de veure que:
A, B, C, D són coplanaris sóncoplanaris.
Ara bé, són coplanaris si i només
si són linealment dependents.
Per tant, per a comprovar que A, B, C i D no són co-
planaris, veurem que són lineal-ment independents.
En efecte, calculem les coordenades d’aquests vectors:
Ara,
=1 ⋅2 −0 +3 ⋅8 =26 ≠0
Aleshores, els vectorssón lineal-ment independents i, per tant, els punts A, B, C, D nosón coplanaris.
[],[][] ABACiAD���������� ��
[],[],[] ABACAD���������� ��
=−−−
=144
042
331
[](,,)(,,)
[
AB
AC
����
����=−−−−=− 211340144
]](,,)(,,)
[](
=−−−−=−
=−
111320042
41 AD�� ��
,,,)(,,) 0310331 −−=−
[],[][] ABACiAD���������� ��
[],[][] ABACiAD���������� ��
⇔[],[][] ABACiAD���������� ��
Vuvwu p=== − [,,] ���883
[,,] ��� uvw=−
−−−
=321
123
204
[,,] ��� uvw
�����wAF ==−−−−=− [](,,)(,,) 2321120204
[][] AFPO��������
=2
��� ��vAD ==−−−−=−− [](,,)(,,) 013121123
d
d
d
d
d
d
1
2
3
1
2
3
44
14
24
0
3
−=−+=−=−
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⇒=⇒=⇒=−−2
[][] BCBP��������
=2
C M
Y K
90
5. Vectors en l’espai (II)
Així:
Tenim, doncs, el sistema:
() yx
xxxox
14
23013 2
+=
−−=
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒=−=
xxxx22
263230 −+=−−= ,
22
453
2262 =°=
−+cos
xx
456
26222 °=
−+⋅arc
xxcos
��
�uvx
u
⋅=−−⋅−=++=
=−
(,,)(,,)
(
1210220426
1xxxx
v
)()
()
2222
222
2126
02222
+−+=−+
=+−+= �
D’on obtenim:
x =3, y =1
Finalment:
=−2 ⋅10 −0 −(−2) =−18
Així,
63.Activitat TIC.
64.Activitat TIC.
Vu T=−==16
18186
33
[,,] ��� uvw=−−
−−−−
=221
022
141
90
5. V
ecto
rs e
n l’e
spai
(II)
Així:
Tenim, doncs, el sistema:
( )y x
x xx o x
1 4
2 3 01 3
2
+ =
− − =
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ = − =
x x x x2 22 6 3 2 3 0− + = − − =,
22
453
2 2 62= ° =
− +cos
x x
456
2 6 2 22° =
− + ⋅arc
x xcos
� �
�u v x
u
⋅ = − − ⋅ − = + + =
= −
( , , ) ( , , )
(
1 2 1 0 2 2 0 4 2 6
1 xx x x
v
) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 6
0 2 2 2 2
+ − + = − +
= + − + =�
D’on obtenim:
x = 3, y = 1
Finalment:
= −2 ⋅ 10 − 0 − (−2) = −18
Així,
63. Activitat TIC.
64. Activitat TIC.
V uT = − = =16
18186
3 3
[ , , ]� � �u v w =− −
−− − −
=2 2 1
0 2 2
1 4 1
CM
YK
91
6. Geom
etria afí
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
•
• Per determinar la dependència o independència linealde tres vectors, trobem el determinant de la matriu for-mada per les seves components. Si aquest és igual a zero,els vectors són linealment dependents. Si és diferent dezero, són linealment independents.
Així, tres vectors les components dels quals enuna base siguin:
iseran linealment dependents si i només si:
Per exemple, si prenem la base habitualels vectors
són linealment indepen-dents, perquè:
—El rang màxim de cinc vectors de V3 és 3, perquè lamatriu de les components tindrà com a molt 3 files i,per tant, el seu rang màxim serà 3.
• Com que el sistema té tantes equacions com incògnites,la matriu de coeficients és quadrada i podem calcular-neel determinant:
= [k + k3 + 1 + k2 (1 2 k + k2)] = k3 3 k
= =11 1
1 1 2
k k
k k
F2 F2 F1F3 F3 k F1
= =
1 1
0 1 1
0 1 1 2
k
k k
k k
F1 F3
A
k
k
k
k
k
k
= = =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0=
= = =( , , ) ( , , )0 1 0 0 0 13i u k� �� � � �u i u j1 21 0 0= = = =( , , ),= =
� � �j e k, ,3
� � �e i e1 2= =,
a a a
b b b
c c c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0=
� � � �u a e b e c e3 3 1 3 2 3 3= + +
� � � �u a e b e c e2 2 1 2 2 2 3= + +
� � � �u a e b e c e1 1 1 1 2 1 3= + + ;� � �
e e e1 2 3, ,{ }
� � �u u u1 2 3, , ,
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= =5 1 3 0 0 1 4 3 1
Com que el rang de la matriu ampliada M� serà rang (M�) 3, si rang (M) � 3, tindrem un sistemacompatible determinat.
Ara bé, rang (M) = 3 �M � 0 k3 3 k 0 k 0.
Així, si k � 0, tenim un sistema compatible determi-nat la solució del qual podem trobar aplicant la reglade Cramer:
En el cas k � 0, calculem el rang de la matriu amplia-da, M�:
i rang (M) 2
Els menors d’ordre 3 que s’obtenen orlant el menoranterior són:
�M � = 0, rang (M) = 2
Com que rang (M�) > rang (M) Sistema incompa-tible.
0 1 11 0 41 1 0
5 0 3= =. ( ) .Per tant, rang M
a a
a arang M11 12
21 22
0 1
1 01 0 2= = ( )
=M
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1
4
0
=+
+
k k
k k
3
3
4 5
3
z
k
k
k
Mk k
k k= =
+=
1 1
1 4
1 1 4 5
3
3
3
=+
+
3 2 5
3
2
3
k k
k k
y
k
k k
Mk k
k k= =
+=
1 1
1 4 1
1 3 2 5
3
2
3
=+ +
+
2 3 5
3
2
3
k k
k k
x
k
k k
Mk k
k k= = =
1 1 1
4 1
1 2 3 5
3
2
3
Geometria afí6
91
6. G
eom
etria
afí
PREPARACIÓ DE LA UNITAT
•
•Per determinar la dependència o independència linealde tres vectors, trobem el determinant de la matriu for-mada per les seves components. Si aquest és igual a zero,els vectors són linealment dependents. Si és diferent dezero, són linealment independents.
Així, tres vectorsles components dels quals enuna base siguin:
iseran linealment dependents si i només si:
Per exemple, si prenem la base habitualels vectors
són linealment indepen-dents, perquè:
—El rang màxim de cinc vectors de V3és 3, perquè lamatriu de les components tindrà com a molt 3 files i,per tant, el seu rang màxim serà 3.
•Com que el sistema té tantes equacions com incògnites,la matriu de coeficients és quadrada i podem calcular-neel determinant:
=[k +k3+1 +k2(1 2 k +k2)] =k33 k
== 111
112
kk
kk
F2F2F1F3F3k F1
==
11
011
0112
k
kk
kk
F1F3
A
k
k
k
k
k
k
===
11
11
11
11
11
11
100
010
001
10 =
=== (,,)(,,) 010001 3 iuk ������uiuj 12 100 ==== (,,), ==
���jek ,, 3
���eie 12 == ,
aaa
bbb
ccc
123
123
123
0 =
���� uaebece 3313233 =++ ���� uaebece 2212223 =++
���� uaebece 1111213 =++; ��� eee 123 ,, {}
��� uuu 123 ,,,
[](,,)(,,) AB����
== 513001431
Com que el rang de la matriu ampliada M�serà rang (M�) 3, si rang (M) �3, tindrem un sistemacompatible determinat.
Ara bé, rang (M) =3 �M�0 k33 k 0 k 0.
Així, si k �0, tenim un sistema compatible determi-nat la solució del qual podem trobar aplicant la reglade Cramer:
En el cas k �0, calculem el rang de la matriu amplia-da, M�:
i rang (M) 2
Els menors d’ordre 3 que s’obtenen orlant el menoranterior són:
�M�=0, rang (M) =2
Com que rang (M�) >rang (M) Sistema incompa-tible.
011104110
503 == .(). Pertant,rangM
aa
aarangM
1112
2122
01
10102 ==()
= M
011
101
110
1
4
0
=+
+
kk
kk
3
3
45
3
z
k
k
k
Mkk
kk==
+=
11
14
1145
3
3
3
=+
+
325
3
2
3
kk
kk
y
k
kk
Mkk
kk==
+=
11
141
1325
3
2
3
=++
+
235
3
2
3
kk
kk
x
k
kk
Mkk
kk===
111
41
1235
3
2
3
Geometria afí 6
C M
Y K
92
6. Geom
etria afí
Per tant, una equació vectorial és:
r: (x, y, z) =(3, 0, 5) +k (2, 4, 11)
5.L’equació vectorial d’aquesta recta, escrita en compo-nents, és:
r: (x, y, z) =(7, 2, 3) +k (1, 0, 2)
Obtenim les equacions paramètriques corresponents:
6.De l’equació contínua n’obtenim directament:
•Un punt de la recta, P1=(3, 1, 4).
•Un vector director de la recta, .Per obtenir un altre punt, donem un valor a una de lesvariables i obtenim els valors de les altres dues de ma-nera que se satisfaci l’equació contínua:
Per exemple, si z ��6:
Així, P2�(5, 2, �6) és un altre punt de la recta.
Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha prou demultiplicar per un escalar diferent de 0 i d’1:
—El punt P pertany a la recta si i només si verifica laseva equació:
Com que P no satisfà les equacions contínues de larecta, no hi pertany.
7.Que la recta r tingui la mateixa direcció que la indi-cada significa que totes dues tenen els mateixos vec-tors directors; per tant, el vector seràtambé vector director de r.
Les equacions contínues de la recta r, que passa per A�(1,�2,3) i té com a vector directorsón:
és a dir:
—Qualsevol altre vector director de r serà de la for-ma , amb k 0 i k 1.
Per exemple, per a i
per a kw == 1523 ,(,,). �kvu === 331569 ,(,,) ��
ku�
xyz=
+=
15
22
33
xyz==
15
22
33
()
�u=(,,), 523
�u=(,,) 523
132
113
142
++
�� vu == 1232 (,,)
�u
xyxy =
+=
+===
32
13
642
152 ,
�u=(,,) 232
r
xk
y
zk
:
=+
=
=
7
2
32
— Vectorial:(x, y) =(1, 0) +k (3, 2)
— Paramètriques:
— Contínua:
— Punt-pendent:
— General: 2 x 3 y 2 =0
1.RECTES EN L’ESPAI
1.Els vectors directors d’una recta en marquen la direc-ció; per tant, tots han de tenir la mateixa direcció (se-ran linealment dependents però no nuls).
2.a)Per trobar els dos punts de r, donem dos valors di-ferents al paràmetre:
k =1 (x, y, z) =
=(2, 7, 1) +1 (2, 3, 2) =(4, 4, 1)
k =1 (x, y, z) =
(2, 7, 1) +(1) (2, 3, 2) =(0, 10, 3)
Els punts P �(4, �4, �1) i P��(0, �10, 3) són dospunts de r.
b)Trobem el vector i escrivim l’equació de la rec-ta r determinada pel punt P =(4, 4, 1)i el vector
r: (x, y, z) =(4, 4, 1) +k (2, 3, 2)
3.
4.Un punt de la recta és A �(3, 0, �5), i un vector di-rector és:
=(2, 4, 11)
�����uAB === [](,,()) 134065
�u=(,,) 232
[](,(),())(,, PP==�� ��
04104314644)
��� ��ukPP =[].
[] PP�� ��
yx =23
1 ()
xy=
132
xk
ykk
=+
=
13
2,�
Z
Y
X
A = (–1, 2, 3)
v = (3, –1, 4)
92
6. G
eom
etria
afí
Per tant, una equació vectorial és:
r: (x, y, z) = (3, 0, 5) + k ( 2, 4, 11)
5. L’equació vectorial d’aquesta recta, escrita en compo-nents, és:
r: (x, y, z) = (7, 2, 3) + k (1, 0, 2)
Obtenim les equacions paramètriques corresponents:
6. De l’equació contínua n’obtenim directament:
• Un punt de la recta, P1 = (3, 1, 4).
• Un vector director de la recta, .Per obtenir un altre punt, donem un valor a una de lesvariables i obtenim els valors de les altres dues de ma-nera que se satisfaci l’equació contínua:
Per exemple, si z � �6:
Així, P2 � (5, 2, �6) és un altre punt de la recta.
Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha prou demultiplicar per un escalar diferent de 0 i d’1:
— El punt P pertany a la recta si i només si verifica laseva equació:
Com que P no satisfà les equacions contínues de larecta, no hi pertany.
7. Que la recta r tingui la mateixa direcció que la indi-cada significa que totes dues tenen els mateixos vec-tors directors; per tant, el vector seràtambé vector director de r.
Les equacions contínues de la recta r, que passa per A � (1, �2, 3) i té com a vector directorsón:
és a dir:
— Qualsevol altre vector director de r serà de la for-ma , amb k 0 i k 1.
Per exemple, per a i
per a k w= =1 5 2 3, ( , , ).�k v u= = =3 3 15 6 9, ( , , )� �
ku�
x y z=
+=
15
22
33
x y z= =
15
22
33
( )
�u = ( , , ),5 2 3
�u = ( , , )5 2 3
1 32
1 13
1 42
+ +
� �v u= =1 2 3 2( , , )
�u
x yx y=
+=
+= = =
32
13
6 42
1 5 2,
�u = ( , , )2 3 2
r
x k
y
z k
:
= +
=
=
7
2
3 2
— Vectorial: (x, y) = (1, 0) + k (3, 2)
— Paramètriques:
— Contínua:
— Punt-pendent:
— General: 2 x 3 y 2 = 0
1. RECTES EN L’ESPAI
1. Els vectors directors d’una recta en marquen la direc-ció; per tant, tots han de tenir la mateixa direcció (se-ran linealment dependents però no nuls).
2. a) Per trobar els dos punts de r, donem dos valors di-ferents al paràmetre:
k = 1 (x, y, z) =
= (2, 7, 1) + 1 (2, 3, 2) = (4, 4, 1)
k = 1 (x, y, z) =
(2, 7, 1) + ( 1) (2, 3, 2) = (0, 10, 3)
Els punts P � (4, �4, �1) i P� � (0, �10, 3) són dospunts de r.
b) Trobem el vector i escrivim l’equació de la rec-ta r determinada pel punt P = (4, 4, 1) i el vector
r: (x, y, z) = (4, 4, 1) + k ( 2, 3, 2)
3.
4. Un punt de la recta és A � (3, 0, �5), i un vector di-rector és:
= ( 2, 4, 11)
� � ���u AB= = =[ ] ( , , ( ))1 3 4 0 6 5
�u = ( , , )2 3 2
[ ] ( , ( ), ( )) ( , ,PP = =� ���
0 4 10 4 3 1 4 6 44)
� � ���u k PP= [ ].
[ ]PP� ���
y x=23
1( )
x y=
13 2
x k
y kk
= +
=
1 3
2, �
Z
Y
X
A = (–1, 2, 3)
v = (3, –1, 4)
CM
YK
93
6. Geom
etria afí8. Un punt de pas és A � (2, 1, 4), i un vector director
serà
Escrivim l’equació vectorial de la recta i trobem les pa-ramètriques i les contínues
r: (x, y, z) = (2, 1, 4) + k (1, 2, 2)
Equacions paramètriques de r:
Equacions contínues de r:
Per saber si el punt C � (1, 3, 7) pertany a r, compro-vem si satisfà les seves equacions contínues:
Com que no verifica les equacions contínues, C nopertany a la recta.
9. De les equacions paramètriques n’obtenim:
• Un punt de la recta, P � (3, 1, 0).
• Un vector director de la recta,
Per obtenir un altre punt, donem un valor arbitrari ak, que no sigui k � 0, i el substituïm en les equacionsparamètriques.
Per exemple, si k � 1:
és un altre punt de la recta r.
Per obtenir un altre vector director, multipliquem per qualsevol escalar no nul i diferent d’1. Per exem-ple, si el multipliquem per �2, obtenim:
Per tant, una equació vectorial de r és:
r: (x, y, z) = (3, 1, 0) + k ( 2, 1, 3)
i una altra és:
r: (x, y, z) = (1, 0, 3) + k (4, 2, 6)
10. Escrivim les equacions contínues i, d’aquestes, n’ob-tenim les implícites:
x y z= =
+35
11
24
� �v u= =2 4 2 6( , , )
�u
x
y
z
P
= =
= =
= =
=
3 2 1 1
1 1 0
3 1 3
1 0 3( , , )
�u = ( , , ).2 1 3
1 23 1
27 4
2=
xy z
= =21
24
2
r
x k
y k
z k
:
= +
=
=
2
1 2
4 2
� � ���u AB= = =[ ] ( , , ) ( , , )3 2 1 1 2 4 1 2 2
[ ]AB� ���
:Considerant la primera i la segona igualtats:
Equacionsimplícites
— Comprovem si és un vector de larecta. Per a fer-ho, determinem si les seves compo-nents són proporcionals amb les del vector
és un
altre vector director de la recta.
11. Resolem el sistema d’equacions. Per a fer-ho, prenemuna de les variables com a paràmetre i expressem lesaltres dues en funció d’aquesta. Així, si escollim z coma paràmetre:
Si expressem les equacions paramètriques en formavectorial i les desenvolupem, obtenim l’equació vec-torial:
(x, y, z) = (2, 1 2 k, k) = (2, 1, 0) + (0 k, 2 k, 1 k)
(x, y, z) = (2, 1, 0) + k (0, 2, 1)
Finalment, com que (2, 1, 0) és un punt de pas i (0, �2, 1) és un vector director, una possible equaciócontínua és:
Observem que apareix un 0 en un denominador. Aixòsignifica que el vector director de la recta té una com-ponent nul·la.
Es tracta, doncs, d’un formalisme per a poder assignarunes equacions contínues a les rectes que tenen vec-tors directors d’aquest tipus.
12. a) Resolem el sistema format per les equacions im-plícites i obtenim les equacions paramètriques, apartir de les quals escrivim l’equació vectorial:
Si prenem z com a paràmetre:
=
= = +
=
r
x
yk
k
z k
:
12
4 76
76
23
5 3 2 1 0
3 2 4 0
x y z
x y z
+ =
+ + =
x y z= =
20
12 1
x
y zr
x
y k
z k
=
+ =
=
=
=
2
2 1 0
2
1 2:
= = = =5
51
144
1 � � �u v u, per tant
�v.
�u = ( , , )5 1 4
rx y
y z:
+ =
+ =
5 2 0
4 2 0
y zy z y z=
++ = + + =
11
24
4 4 2 4 2 0
x yx y x y= = + =
35
11
3 5 5 5 2 0
93
6. G
eom
etria
afí
8.Un punt de pas és A �(2, 1, 4), i un vector directorserà
Escrivim l’equació vectorial de la recta i trobem les pa-ramètriques i les contínues
r: (x, y, z) =(2, 1, 4) +k (1, 2, 2)
Equacions paramètriques de r:
Equacions contínues de r:
Per saber si el punt C �(1, 3, 7) pertany a r, compro-vem si satisfà les seves equacions contínues:
Com que no verifica les equacions contínues, C nopertany a la recta.
9.De les equacions paramètriques n’obtenim:
•Un punt de la recta, P �(3, 1, 0).
•Un vector director de la recta,
Per obtenir un altre punt, donem un valor arbitrari ak, que no sigui k �0, i el substituïm en les equacionsparamètriques.
Per exemple, si k �1:
és un altre punt de la recta r.
Per obtenir un altre vector director, multipliquem per qualsevol escalar no nul i diferent d’1. Per exem-ple, si el multipliquem per �2, obtenim:
Per tant, una equació vectorial de r és:
r: (x, y, z) =(3, 1, 0) +k (2, 1, 3)
i una altra és:
r: (x, y, z) =(1, 0, 3) +k (4, 2, 6)
10.Escrivim les equacions contínues i, d’aquestes, n’ob-tenim les implícites:
xyz==
+ 35
11
24
�� vu == 2426 (,,)
�u
x
y
z
P
==
==
==
=
3211
110
313
103 (,,)
�u=(,,). 213
1231
274
2=
xyz
== 21
24
2
r
xk
yk
zk
:
=+
=
=
2
12
42
�����uAB === [](,,)(,,) 321124122
[] AB����
:Considerant la primera i la segona igualtats:
Equacionsimplícites
—Comprovem si és un vector de larecta. Per a fer-ho, determinem si les seves compo-nents són proporcionals amb les del vector
és un
altre vector director de la recta.
11.Resolem el sistema d’equacions. Per a fer-ho, prenemuna de les variables com a paràmetre i expressem lesaltres dues en funció d’aquesta. Així, si escollim z coma paràmetre:
Si expressem les equacions paramètriques en formavectorial i les desenvolupem, obtenim l’equació vec-torial:
(x, y, z) =(2, 1 2 k, k) =(2, 1, 0) +(0 k, 2 k, 1 k)
(x, y, z) =(2, 1, 0) +k (0, 2, 1)
Finalment, com que (2, 1, 0) és un punt de pas i (0, �2, 1) és un vector director, una possible equaciócontínua és:
Observem que apareix un 0 en un denominador. Aixòsignifica que el vector director de la recta té una com-ponent nul·la.
Es tracta, doncs, d’un formalisme per a poder assignarunes equacions contínues a les rectes que tenen vec-tors directors d’aquest tipus.
12.a)Resolem el sistema format per les equacions im-plícites i obtenim les equacions paramètriques, apartir de les quals escrivim l’equació vectorial:
Si prenem z com a paràmetre:
=
==+
=
r
x
yk
k
zk
:
12
476
76
23
53210
3240
xyz
xyz
+=
++=
xyz==
20
121
x
yzr
x
yk
zk
=
+=
=
=
=
2
210
2
12 :
====5
51
144
1��� uvu ,pertant
�v.
�u=(,,) 514
rxy
yz:
+=
+=
520
420
yzyzyz =
++=++=
11
24
442420
xyxyxy ==+=
35
11
355520
C M
Y K
94
6. Geom
etria afí
b)Com que és un vector director de
la recta, els vectors directors de la recta són els de
la forma
Prenent dos valors diferents de k, per exemple k �3 i k ��6, obtenim dos vectors directors di-ferents:
2.PLANS EN L’ESPAI
13.Com que tenim les coordenades d’un punt de pas i lescomponents de dos vectors directors linealment inde-pendents, podem escriure directament l’equació vec-torial:
(x, y, z) =(5, 1, 2) +(1, 3, 4) +(0, 1, 2)
14.El punt A pertany al pla si les seves coordenades veri-fiquen l’equació vectorial del pla, és a dir, si existeixendos nombres reals i tals que:
(8, 1, 6) =(3, 1, 0) +(3, 2, 4) +(1, 1, 1)
Per saber si aquest sistema és compatible, calculem el rang de la seva matriu ampliada M�i tenim encompte que, en ser dos vectors directors lineal-ment independents, el rang de la matriu de coefi-cients M és 2:
Així, com
que rang (M�)�rang (M) �2, el sistema és compa-tible determinat i el punt A pertany al pla.
15.a)Per trobar punts del pla, donem valors a i di-ferents del parell �0, �0.
Per exemple:
=1, =0: B =(x, y, z) =
=(1, 2, 3) +1 (2, 0, 1) +0 (3, 1, 2) =
=(3, 2, 4)
=1, =1: C =(x, y, z) =
=(1, 2, 3) +1 (2, 0,1) +1 (3, 1, 2) =
=(6, 1, 2)
b)Qualsevol vector director de serà de la forma
Per a obtenir dos vectors directors diferentsde n’hi ha prou de donar dos valors a i a ,�u
�� uiv
���� wuv =+,,.
=== MrangM().
315
210
416
02
�� uiv
833
112
604
35 =++
=+
=++
+=
220
46
+=
+=
�� vu 26046 ==(,,)
�� vu 13023 ==(,,)
����
vkuk =,{}. 0
�u=023
1 ,,
(,,),,,, xyzk =+12
76
0023
1
siguin lineal-ment independents), i que siguin diferents delsparells (0, 0), (1, 0) i (0, 1).
Per exemple:
1=1, 1=1:
2=1, 2=1:
c)Tot i que n’hi ha prou de canviar un dels elements(punt de pas o vector director) per a obtenir unaaltra equació vectorial, els canviarem tots:
: (x, y, z) =
=(3, 2, 4) +(5, 1, 1) +(1, 1, 3)
16.Obtenim les equacions paramètriques en desenvolu-par l’equació vectorial i igualar component a compo-nent:
: (x, y, z) =
=(1, 2, 3) +(5, 1, 3) +(1, 3, 4) =
=(1, 2, 3) +(5 , , 3 ) +(, 3 , 4 ) =
=(1 +5 +, 2 +3 , 3 3 +4 )
17.Hem de veure si el sistema obtingut en substituir en lesequacions paramètriques de les coordenades (x, y, z)per (�2, 1, 0) i amb incògnites i té solució, és a dir,si és compatible:
Com que la matriu de coeficients M té rang 2 (perquèsón les components de dos vectors directors lineal-ment independents), el sistema és compatible si i no-més si el rang de la matriu ampliada M�és menor que3, és a dir, si �M���0:
Sistema incom-
patible; per tant, P no pertany al pla .
18.Equació vectorial:
: (x, y, z) =(2, 0, 3) +(3, 2, 1) +(2, 0, 1)
Equacions paramètriques:
:
x
y
z
=++
=
=+
232
2
3
== M
313
111
015
100
=+
=
=
213
1
05
3
,
+=
=
=
3
1
5
:
x
y
z
=++
=+
=+
15
23
334
=== ��� vuv(,,)(,,)(,, 201312113))
=+=+= ��� uuv(,,)(,,)(,,) 201312511
=+=+ ������ uuvivuv 1122
(,)(,),( 112212
12
0 italsqueperquèè
94
6. G
eom
etria
afí
b) Com que és un vector director de
la recta, els vectors directors de la recta són els de
la forma
Prenent dos valors diferents de k, per exemple k � 3 i k � �6, obtenim dos vectors directors di-ferents:
2. PLANS EN L’ESPAI
13. Com que tenim les coordenades d’un punt de pas i lescomponents de dos vectors directors linealment inde-pendents, podem escriure directament l’equació vec-torial:
(x, y, z) = (5, 1, 2) + (1, 3, 4) + (0, 1, 2)
14. El punt A pertany al pla si les seves coordenades veri-fiquen l’equació vectorial del pla, és a dir, si existeixendos nombres reals i tals que:
(8, 1, 6) = (3, 1, 0) + (3, 2, 4) + (1, 1, 1)
Per saber si aquest sistema és compatible, calculem el rang de la seva matriu ampliada M� i tenim encompte que, en ser dos vectors directors lineal-ment independents, el rang de la matriu de coefi-cients M és 2:
Així, com
que rang (M�) � rang (M) � 2, el sistema és compa-tible determinat i el punt A pertany al pla.
15. a) Per trobar punts del pla, donem valors a i di-ferents del parell � 0, � 0.
Per exemple:
= 1, = 0: B = (x, y, z) =
= (1, 2, 3) + 1 (2, 0, 1) + 0 (3, 1, 2) =
= (3, 2, 4)
= 1, = 1: C = (x, y, z) =
= (1, 2, 3) + 1 (2, 0, 1) + 1 (3, 1, 2) =
= (6, 1, 2)
b) Qualsevol vector director de serà de la forma
Per a obtenir dos vectors directors diferentsde n’hi ha prou de donar dos valors a i a ,�u
� �u i v
� � � �w u v= + , , .
= = =M rang M( ) .
3 1 5
2 1 0
4 1 6
0 2
� �u i v
8 3 3
1 1 2
6 0 4
3 5= + +
= +
= + +
+ =
22 0
4 6
+ =
+ =
� �v u2 6 0 4 6= = ( , , )
� �v u1 3 0 2 3= = ( , , )
� � ��
v k u k= , { }.0
�u = 023
1, ,
( , , ) , , , ,x y z k= +12
76
0 023
1
siguin lineal-ment independents), i que siguin diferents delsparells (0, 0), (1, 0) i (0, 1).
Per exemple:
1 = 1, 1 = 1:
2 = 1, 2 = 1:
c) Tot i que n’hi ha prou de canviar un dels elements(punt de pas o vector director) per a obtenir unaaltra equació vectorial, els canviarem tots:
: (x, y, z) =
= (3, 2, 4) + (5, 1, 1) + ( 1, 1, 3)
16. Obtenim les equacions paramètriques en desenvolu-par l’equació vectorial i igualar component a compo-nent:
: (x, y, z) =
= (1, 2, 3) + (5, 1, 3) + (1, 3, 4) =
= (1, 2, 3) + (5 , , 3 ) + ( , 3 , 4 ) =
= (1 + 5 + , 2 + 3 , 3 3 + 4 )
17. Hem de veure si el sistema obtingut en substituir en lesequacions paramètriques de les coordenades (x, y, z)per (�2, 1, 0) i amb incògnites i té solució, és a dir,si és compatible:
Com que la matriu de coeficients M té rang 2 (perquèsón les components de dos vectors directors lineal-ment independents), el sistema és compatible si i no-més si el rang de la matriu ampliada M� és menor que3, és a dir, si �M�� � 0:
Sistema incom-
patible; per tant, P no pertany al pla .
18. Equació vectorial:
: (x, y, z) = ( 2, 0, 3) + (3, 2, 1) + (2, 0, 1)
Equacions paramètriques:
:
x
y
z
= + +
=
= +
2 3 2
2
3
= =M
3 1 3
1 1 1
0 1 5
10 0
= +
=
=
2 1 3
1
0 5
3
,
+ =
=
=
3
1
5
:
x
y
z
= + +
= +
= +
1 5
2 3
3 3 4
= = =� � �v u v ( , , ) ( , , ) ( , ,2 0 1 3 1 2 1 1 3))
= + = + =� � �u u v ( , , ) ( , , ) ( , , )2 0 1 3 1 2 5 1 1
= + = +� � � � � �u u v i v u v1 1 2 2
( , ) ( , ), (1 1 2 21 2
1 2
0i tals que perquèè
CM
YK
95
6. Geom
etria afíEquació general:
= 2 (x + 2) + 2 y + 4 (z 3) + 3 y
: 2 x + 5 y + 4 z 8 = 0
19. Solucionem l’equació general del pla. Per a fer-ho,considerem les incògnites y i z paràmetres de la so-lució:
(x, y, z) = (5 + 3 2 , , )
: (x, y, z) = (5, 0, 0) + (3, 1, 0) + ( 2, 0, 1)
20. Per tal que el punt A pertanyi al pla , les seves coorde-nades han de verificar les equacions paramètriques de , és a dir, han d’existir , tals que:
Perquè això succeeixi, aquest sistema, amb incògni-tes i , ha de ser compatible i per a això és condiciónecessària i suficient que rang (M�) < 3, és a dir, �M�� � 0, ja que el rang de la matriu de coeficients és 2:
Per tant, el sistema és compatible si i només si: 4 a 8 == �M�� = 0, és a dir, si a = 2.
El punt A pertany, doncs, al pla si i només si a � 2.
21. Un punt del pla és A = ( 3, 1, 0).
Dos vectors directors són:
Com que aquests vectors són independents, ja que:
els podem usar per a obtenir l’equació general del pla:
: x y z + 4 = 0
0
3 2 5
1 1 0
0 3 5
5 5 5 20= = + + =
x
y
z
x y z
( )
;
52
01
53
� � ���v AC= = =[ ] ( ( ), , ) ( , , )2 3 1 1 5 0 5 0 5
� � ���u AB= = =[ ] ( ( ), , ) ( , , )1 3 0 1 3 0 2 1 3
= =M
a
a
1 2 1
2 0 2
1 1 1
4 8
1 2 2
5 3 2
1
2 1= + +
=
=
+ =
a
, 22 2
1
=
= a
x y z
x
y
z
+ =
= +
=
=
3 2 5 0
5 3 2
:
0
2 3 2
2 0
3 1 1
=
+
=
x
y
z
22. L’equació general del pla és:
3 x + 10 y z 26 = 0
23. a) Els punts del pla són aquells P � (x, y, z) les coor-denades dels quals verifiquen 2 x � y � 5 z � 1 � 0,és a dir, y � 2 x � 5 z � 1.
Així, per a uns valors qualsevol de x i de z, el puntP � (x, 2 x � 5 z � 1, z) serà del pla.
Per tant, per a obtenir dos punts A i B del pla n’hiha prou que donem dos valors a x i a z i determi-nem el valor corresponent de y:
x = 0 , z = 0
A = (0, 2 0 + 5 0 1, 0) = (0, 1, 0)
x = 1 , z = 1
B = ( 1, 2 ( 1) + 5 1 1, 1) =
= ( 1, 2, 1)
b) Les equacions paramètriques de s’obtenen reso-lent el sistema format per la seva equació implícita:
3. POSICIONS RELATIVES
24. a) Com que les dues rectes vénen donades per les se-ves equacions implícites, hem d’estudiar la com-patibilitat del sistema format per les equacions im-plícites de les dues rectes. Per a fer-ho, escrivim lamatriu de coeficients M i l’ampliada M� d’aquestsistema i en calculem els rangs:
5 0, rang (M) 1
�M�� = 300 0 rang (M�) = 4
Com que rang (M�) > rang (M), les dues rectes s’en-creuen.
0 5 3
3 1 0
5 0 2
15 0 3, ( )= =rang M
3 1
5 05 0 2= , ( )rang M
=M
3 1 0
0 5 3
3 1 0
5 0 2
21
3
1
10
M =
3 1 0
0 5 3
3 1 0
5 0 2
2 5 1 0 1 2 5x y z
x
y
z
+ =
=
= + +
=
:
0
1 1 2
3 0 1
7 3 4
3 10 26= = + +
x
y
z
x y z ;
95
6. G
eom
etria
afí
Equació general:
=2 (x +2) +2 y +4 (z 3) +3 y
: 2 x +5 y +4 z 8 =0
19.Solucionem l’equació general del pla. Per a fer-ho,considerem les incògnites y i z paràmetres de la so-lució:
(x, y, z) =(5 +3 2 , , )
: (x, y, z) =(5, 0, 0) +(3, 1, 0) +(2, 0, 1)
20.Per tal que el punt A pertanyi al pla , les seves coorde-nades han de verificar les equacions paramètriques de , és a dir, han d’existir , tals que:
Perquè això succeeixi, aquest sistema, amb incògni-tes i , ha de ser compatible i per a això és condiciónecessària i suficient que rang (M�)<3, és a dir, �M���0, ja que el rang de la matriu de coeficients és 2:
Per tant, el sistema és compatible si i només si: 4 a 8 ==�M��=0, és a dir, si a =2.
El punt A pertany, doncs, al pla si i només si a �2.
21.Un punt del pla és A =(3, 1, 0).
Dos vectors directors són:
Com que aquests vectors són independents, ja que:
els podem usar per a obtenir l’equació general del pla:
: x y z +4 =0
0
325
110
035
55520 ==++=
x
y
z
xyz
()
;
52
01
53
�����vAC === []((),,)(,,) 231150505
�����uAB === []((),,)(,,) 130130213
== M
a
a
121
202
111
48
122
532
1
21 =++
=
=
+=
a
,222
1
=
=a
xyz
x
y
z
+=
=+
=
=
3250
532
:
0
232
20
311
=
+
=
x
y
z
22.L’equació general del pla és:
3 x +10 y z 26 =0
23.a)Els punts del pla són aquells P �(x, y, z) les coor-denades dels quals verifiquen 2 x �y �5 z �1 �0,és a dir, y �2 x �5 z �1.
Així, per a uns valors qualsevol de x i de z, el puntP �(x, 2 x �5 z �1, z) serà del pla.
Per tant, per a obtenir dos punts A i B del pla n’hiha prou que donem dos valors a x i a z i determi-nem el valor corresponent de y:
x =0 , z =0
A =(0, 2 0 +5 0 1, 0) =(0, 1, 0)
x =1 , z =1
B =(1, 2 (1) +5 1 1, 1) =
=(1, 2, 1)
b)Les equacions paramètriques de s’obtenen reso-lent el sistema format per la seva equació implícita:
3. POSICIONS RELATIVES
24.a)Com que les dues rectes vénen donades per les se-ves equacions implícites, hem d’estudiar la com-patibilitat del sistema format per les equacions im-plícites de les dues rectes. Per a fer-ho, escrivim lamatriu de coeficients M i l’ampliada M�d’aquestsistema i en calculem els rangs:
5 0, rang (M) 1
�M��=300 0 rang (M�) =4
Com querang (M�) >rang (M), les dues rectes s’en-creuen.
053
310
502
1503 ,() == rangM
31
50502 =,() rangM
= M
310
053
310
502
21
3
1
10
M=
310
053
310
502
2510125 xyz
x
y
z
+=
=
=++
=
:
0
112
301
734
31026 ==++
x
y
z
xyz;
C M
Y K
96
6. Geom
etria afí
b)Com que les rectes vénen donades per les sevesequacions contínues i vectorial, per a determinar-nela posició relativa primerament veurem si els seusvectors directors són linealment dependents o no:
Un vector director de r és
Un vector director de r�és
Com que és a
dir, els vectors directors són linealment depen-dents i les rectes són paral.leles o coincidents.
A continuació, prenem un punt d’una recta iveiem si és o no de l’altra:
El punt P �(3, �3, 1) pertany a r i com que:
també a r�. Per tant, les rectes són coincidents.
25.Podem determinar la posició relativa de dos plans es-tudiant la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions generals, que es pot fer directamentcomparant els quocients dels coeficients homòlegs deles equacions generals:
a)
per tant, els plans són paral.lels.
b)
per tant, els plans es tallen en una recta.
c)
per tant, els plans es tallen en una recta.
d)
per tant, els plans són paral.lels.
26.L’equació d’un pla que contingui la recta r serà unacombinació lineal de les equacions de dos plans dife-rents que continguin r.
Així, l’equació del feix dels plans d’aresta r és:
(x +y +2) +(2 x y +3 z 1) =0 , , �
z
zrangMrangM
=
===
1
112 ,(),(),
52
23
37
71
2 == rangMrangM ()(),
5237
2371
xyz
xyz
+=
+=
21
13
32
41
2 == rangMrangM ()(),
234
321
xyz
xyz
+=
++=
36
12
24
01
12 ===== rangMirangM ()(),
320
6241
xyz
xyz
+=
+=
332
336
114
0 =+
==
====2
163
42
22 ,, �� uu
�= u(,,). 132
�u=(,,). 264
Si, per a simplificar, prescindim del pla:
2 x y +3 z 1 =0
Podem expressar l’equació de la forma:
x +y +2 +(2 x y +3 z 1) =0 , �
(2 1) x +(1 ) y +3 z +2 =0 , �
Per a determinar el pla del feix que conté el punt B � (2, �1, 0), hem de determinar el valor de pertal que les coordenades de B satisfacin l’equació d’unpla del feix:
4 2 1 ++2 =0
El pla del feix que passa per B =(2, 1, 0) és el que
correspon a
: 2 x 3 y 3 z 7 =0
27.Escrivim les equacions implícites de la recta r:
Tres plans que continguin r formaran part del feix deplans d’aresta r:
r: (5 x y 9) +(3 x z +1) =0
Així, els tres plans poden ser:
1: 8 x y z 8 =0
2: 2 x +y z +10 =0
3: 3 x z +1 =0
28.El feix de plans paral.lels al pla:
x2 y +7 z 1 =0
Té per equació:
x 2 y +7 z +K =0 , K �
Determinem el pla d’aquest feix que conté el punt A�(5, 0, 3). Per a fer-ho, hem de determinar el valorque ha de prendre K perquè les coordenades de A ve-rifiquin l’equació d’un pla del feix:
5 2 0 +7 3 +K =0 , K =26
El pla en qüestió és el que té per equació general:
�: x 2 y +7 z 26 =0
xyzr
xy
xz==
=
+=
21
15
73
590
310:
+++=12
34
34
74
0 xyz
=14
:
+== 14014
,
96
6. G
eom
etria
afí
b) Com que les rectes vénen donades per les sevesequacions contínues i vectorial, per a determinar-nela posició relativa primerament veurem si els seusvectors directors són linealment dependents o no:
Un vector director de r és
Un vector director de r� és
Com que és a
dir, els vectors directors són linealment depen-dents i les rectes són paral.leles o coincidents.
A continuació, prenem un punt d’una recta iveiem si és o no de l’altra:
El punt P � (3, �3, 1) pertany a r i com que:
també a r�. Per tant, les rectes són coincidents.
25. Podem determinar la posició relativa de dos plans es-tudiant la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions generals, que es pot fer directamentcomparant els quocients dels coeficients homòlegs deles equacions generals:
a)
per tant, els plans són paral.lels.
b)
per tant, els plans es tallen en una recta.
c)
per tant, els plans es tallen en una recta.
d)
per tant, els plans són paral.lels.
26. L’equació d’un pla que contingui la recta r serà unacombinació lineal de les equacions de dos plans dife-rents que continguin r.
Així, l’equació del feix dels plans d’aresta r és:
( x + y + 2) + (2 x y + 3 z 1) = 0 , , �
z
zrang M rang M
=
== =
1
11 2, ( ) , ( ) ,
52
23
37
71
2= =rang M rang M( ) ( ),
5 2 3 7
2 3 7 1
x y z
x y z
+ =
+ =
21
13
32
41
2= =rang M rang M( ) ( ),
2 3 4
3 2 1
x y z
x y z
+ =
+ + =
36
12
24
01
1 2= = = = =rang M i rang M( ) ( ) ,
3 2 0
6 2 4 1
x y z
x y z
+ =
+ =
3 32
3 36
1 14
0=+
= =
= = = =2
163
42
2 2, ,� �u u
�=u ( , , ).1 3 2
�u = ( , , ).2 6 4
Si, per a simplificar, prescindim del pla:
2 x y + 3 z 1 = 0
Podem expressar l’equació de la forma:
x + y + 2 + (2 x y + 3 z 1) = 0 , �
(2 1) x + (1 ) y + 3 z + 2 = 0 , �
Per a determinar el pla del feix que conté el punt B � (2, �1, 0), hem de determinar el valor de pertal que les coordenades de B satisfacin l’equació d’unpla del feix:
4 2 1 + + 2 = 0
El pla del feix que passa per B = (2, 1, 0) és el que
correspon a
: 2 x 3 y 3 z 7 = 0
27. Escrivim les equacions implícites de la recta r:
Tres plans que continguin r formaran part del feix deplans d’aresta r:
r: (5 x y 9) + (3 x z + 1) = 0
Així, els tres plans poden ser:
1: 8 x y z 8 = 0
2: 2 x + y z + 10 = 0
3: 3 x z + 1 = 0
28. El feix de plans paral.lels al pla:
x 2 y + 7 z 1 = 0
Té per equació:
x 2 y + 7 z + K = 0 , K �
Determinem el pla d’aquest feix que conté el punt A � (5, 0, 3). Per a fer-ho, hem de determinar el valorque ha de prendre K perquè les coordenades de A ve-rifiquin l’equació d’un pla del feix:
5 2 0 + 7 3 + K = 0 , K = 26
El pla en qüestió és el que té per equació general:
�: x 2 y + 7 z 26 = 0
x y zr
x y
x z= =
=
+ =
21
15
73
5 9 0
3 1 0:
+ + + =12
34
34
74
0x y z
=14
:
+ = =1 4 014
,
CM
YK
97
6. Geom
etria afí29. Per determinar la posició relativa de tres plans, hem
d’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals i, quan calgui, determinar laposició relativa dos a dos dels plans estudiant el siste-ma format per cada parell d’equacions:
a)
Per tant, els tres plans es tallen en una recta.
Vegem si hi ha plans coincidents
Per tant, els tres plans són secants en una recta idiferents dos a dos.
b)
Si esglaonem la matriu ampliada:
observem que rang (M) � 1 i rang (M�) � 2. Amés, com que:
són coincidents.
Per tant, 1 i 2 són coincidents i paral.lels a 3.
c) 4 6 8 14
5 7 1
2 3 4 7
x y z
x y z
x y z
+ =
=
+ =
12
12
36
510 1 2= = = i
1 1 3
0 0 0
0 0 0
5
0
4
F2 F2 + 2 F1F3 F3 + F1
——————�
1 1 3
2 2 6
1 1 3
5
10
9
x y z
x y z
x y z
+ =
+ =
+ =
3 5
2 2 6 10
3 9
15
51 2 3i óno s n coincidents.
25
31 1 3i óno s n coincidents.
21
35 1 2i óno s n coincidents.
2 3 7
1 5 1
5 1 13
0 2= =( )rang M
2 3
1 513 0 2= =( )rang M
M = =
2 3 5
1 5 2
5 1 8
0 ,
2 3 5 7
5 2 1
5 8 13
x y z
x y z
x y z
+ =
+ =
+ =
Com que rang (M) � 2 � rang (M�), els plans estallen en una recta.
Pot ser que dos dels plans siguin coincidents:
Així, els plans 1 i 3 són coincidents i tallen 2 enuna recta.
d)
rang (M) = 3 rang (M�) = 3
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els plans estallen en un punt.
e)
rang (M) = 3 rang (M�) = 3
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els plans estallen en un punt.
f)
4 0 4
5 2 5
21 6 7
112 0 3= =rang M( )
4 0
5 28 2= =rang M( )
M = =
4 0 1
5 2 3
21 6 0
0
4 4
5 2 3 5
21 6 7
x z
x y z
x y
=
+ =
=
M = =
1 3 1
2 5 1
1 1 5
16 0
x y z
x y z
x y z
+ =
+ + =
=
3 5
2 5 4
5 3
M = =
1 0 1
0 1 3
2 0 4
2 0
x z
y z
x z
+ =
=
+ =
1
3 1
2 4 0
42
63
84
147 1 3= = = i ós n coincidents.
41
65 1 2y óno s n coincidents.
4 6 14
1 5 1
2 3 7
0 2= =( )rang M
4 6
1 514 0 2= =rang M( )
M = =
4 6 8
1 5 7
2 3 4
0,
97
6. G
eom
etria
afí
29.Per determinar la posició relativa de tres plans, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals i, quan calgui, determinar laposició relativa dos a dos dels plans estudiant el siste-ma format per cada parell d’equacions:
a)
Per tant, els tres plans es tallen en una recta.
Vegem si hi ha plans coincidents
Per tant, els tres plans són secants en una recta idiferents dos a dos.
b)
Si esglaonem la matriu ampliada:
observem que rang (M) �1 i rang (M�) �2. Amés, com que:
són coincidents.
Per tant, 1i 2són coincidents i paral.lels a 3.
c)46814
571
2347
xyz
xyz
xyz
+=
=
+=
12
12
36
510
12 ===i
113
000
000
5
0
4
F2F2+2 F1F3F3+F1
——————�
113
226
113
5
10
9
xyz
xyz
xyz
+=
+=
+=
35
22610
39
15
51
23 ió nosncoincidents.
25
31
13 ió nosncoincidents.
21
35
12 ió nosncoincidents.
237
151
5113
02 == () rangM
23
151302 == () rangM
M==
235
152
518
0,
2357
521
5813
xyz
xyz
xyz
+=
+=
+=
Com que rang (M) �2 �rang (M�), els plans estallen en una recta.
Pot ser que dos dels plans siguin coincidents:
Així, els plans 1i 3són coincidents i tallen 2enuna recta.
d)
rang (M) =3 rang (M�)=3
Com que rang (M) �rang (M�) �3, els plans estallen en un punt.
e)
rang (M) =3 rang (M�)=3
Com que rang (M) �rang (M�) �3, els plans estallen en un punt.
f)
404
525
2167
11203 == rangM()
40
5282 == rangM()
M==
401
523
2160
0
44
5235
2167
xz
xyz
xy
=
+=
=
M==
131
251
115
160
xyz
xyz
xyz
+=
++=
=
35
254
53
M==
101
013
204
20
xz
yz
xz
+=
=
+=
1
31
240
42
63
84
147
13 ===iósncoincidents.
41
65
12 yó nosncoincidents.
4614
151
237
02 == () rangM
46
151402 == rangM()
M==
468
157
234
0,
C M
Y K
98
6. Geom
etria afí
De les equacions generals se n’observa que el pla1és paral.lel a l’eix OY i el pla 3és paral.lel a l’eix
OZ. Per tant, no existeixen plans paral.lels i 1, 2i 3es tallen dos a dos.
30.a)Com que la recta ve donada per les seves equa-cions implícites i el pla per la seva equació gene-ral, per determinar la seva posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format peraquestes equacions:
rang (M) =3 rang (M�)=3
Com que rang (M) �3 �rang (M�), la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.
b)Observem que el pla és precisament el que cor-respon a la segona equació que ens defineix im-plícitament la recta r; per tant, la recta r està con-tinguda en el pla .
c)Estudiem la compatibilitat del sistema format perles equacions implícites de la recta i l’equació ge-neral del pla:
rang (M) =3 rang (M�)=3
Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.
d)Expressem la recta mitjançant les seves equacionsimplícites:
Estudiem la compatibilitat d’aquestes equacions ila general del pla:
però, atesa la senzillesa d’aquest sistema, podemfins i tot resoldre’l directament substituint en latercera equació les dues primeres:
5 x (2) +2 (1) 1 =0
=== xyz15
21 ,,
y
z
xyz
=
=
+=
2
1
5210
ry
z:
=
=
2
1
M==
150
111
312
50
xy
xyz
xyz
xy =
++=
++=
= 50
20
3230
50
2
323
xyz
xyz
++=
+=
M==
310
001
310
60
3110
10
370
311 xy
z
xy
xy
z
+=
=
+=
+=
=1
37 xy=
Per tant, la recta i el pla són secants en el punt
e)Com que tant la recta com el pla vénen donats perla seva equació vectorial, per veure quina és la sevaposició relativa hem de començar esbrinant si elsseus vectors directors són linealment dependentso no.
Analíticament, això correspon a comprovar si lamatriu que té per columnes les components d’unvector director de la recta i dos vectors directorsdel pla (linealment independents) té determinantnul o no.
Utilitzem els vectors directors donats per l’equacióvectorial:
Per tant, el vector director de la recta és combina-ció lineal dels del pla.
Per tant, la recta és paral.lela al pla o hi està con-tinguda.
Per a determinar quina és la situació, veiem si unpunt qualsevol de la recta pertany també al pla. Perexemple, A �(�3, 2, �5):
Com que no es compleix, la recta és paral.lela al pla.
f)Un vector director de r és (1, 0, 3), i dos vectorsdirectors del pla (independents) són(1, 5, 1) i (3, �2, 0).
directors de la recta i del pla són independents, laqual cosa significa que la recta i el pla són secants.
31.a)Com que la recta satisfà l’equació y �2, està con-tinguda en el pla d’equació general y �2, paral.lelal pla XZ.
D’altra banda, el pla x �z �5 �0 no manté caprelació especial amb els eixos OX o OZ; per tant,la recta no és paral.lela a cap eix.
Per tant, la recta és paral.lela al pla XZ.
b)y =0 és el pla coordenat XZ.
c)Com que el pla x �2, paral.lel al pla YZ, i el pla y ��3, paral.lel al pla XZ, contenen la recta,aquesta és paral.lela als plans XZ i YZ; per tant, hade ser paral.lela a l’eix OZ.
Comque
113
052
30
=
1
490,elsvectors
=+
=+
=+
=
=
30
24
512
3
2
514++3
101
110
121
0 =
15
21 ,,.
98
6. G
eom
etria
afí
De les equacions generals se n’observa que el pla1 és paral.lel a l’eix OY i el pla 3 és paral.lel a l’eix
OZ. Per tant, no existeixen plans paral.lels i 1, 2i 3 es tallen dos a dos.
30. a) Com que la recta ve donada per les seves equa-cions implícites i el pla per la seva equació gene-ral, per determinar la seva posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format peraquestes equacions:
rang (M) = 3 rang (M�) = 3
Com que rang (M) � 3 � rang (M�), la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.
b) Observem que el pla és precisament el que cor-respon a la segona equació que ens defineix im-plícitament la recta r; per tant, la recta r està con-tinguda en el pla .
c) Estudiem la compatibilitat del sistema format perles equacions implícites de la recta i l’equació ge-neral del pla:
rang (M) = 3 rang (M�) = 3
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta i elpla es tallen en un únic punt, és a dir, són secants.
d) Expressem la recta mitjançant les seves equacionsimplícites:
Estudiem la compatibilitat d’aquestes equacions ila general del pla:
però, atesa la senzillesa d’aquest sistema, podemfins i tot resoldre’l directament substituint en latercera equació les dues primeres:
5 x ( 2) + 2 ( 1) 1 = 0
= = =x y z15
2 1, ,
y
z
x y z
=
=
+ =
2
1
5 2 1 0
ry
z:
=
=
2
1
M = =
1 5 0
1 1 1
3 1 2
5 0
x y
x y z
x y z
x y=
+ + =
+ + =
=5 0
2 0
3 2 3 0
5 0
2
3 2 3
x y z
x y z
+ + =
+ =
M = =
3 1 0
0 0 1
3 1 0
6 0
3 11 0
1 0
3 7 0
3 11x y
z
x y
x y
z
+ =
=
+ =
+ =
= 1
3 7x y =
Per tant, la recta i el pla són secants en el punt
e) Com que tant la recta com el pla vénen donats perla seva equació vectorial, per veure quina és la sevaposició relativa hem de començar esbrinant si elsseus vectors directors són linealment dependentso no.
Analíticament, això correspon a comprovar si lamatriu que té per columnes les components d’unvector director de la recta i dos vectors directorsdel pla (linealment independents) té determinantnul o no.
Utilitzem els vectors directors donats per l’equacióvectorial:
Per tant, el vector director de la recta és combina-ció lineal dels del pla.
Per tant, la recta és paral.lela al pla o hi està con-tinguda.
Per a determinar quina és la situació, veiem si unpunt qualsevol de la recta pertany també al pla. Perexemple, A � (�3, 2, �5):
Com que no es compleix, la recta és paral.lela al pla.
f ) Un vector director de r és (1, 0, 3), i dos vectorsdirectors del pla (independents) són (1, 5, 1) i (3, �2, 0).
directors de la recta i del pla són independents, laqual cosa significa que la recta i el pla són secants.
31. a) Com que la recta satisfà l’equació y � 2, està con-tinguda en el pla d’equació general y � 2, paral.lelal pla XZ.
D’altra banda, el pla x � z � 5 � 0 no manté caprelació especial amb els eixos OX o OZ; per tant,la recta no és paral.lela a cap eix.
Per tant, la recta és paral.lela al pla XZ.
b) y = 0 és el pla coordenat XZ.
c) Com que el pla x � 2, paral.lel al pla YZ, i el pla y � �3, paral.lel al pla XZ, contenen la recta,aquesta és paral.lela als plans XZ i YZ; per tant, hade ser paral.lela a l’eix OZ.
Com que
1 1 3
0 5 2
3 0
=
1
49 0, els vectors
= +
= +
= +
=
=
3 0
2 4
5 1 2
3
2
5 1 4 ++ 3
1 0 1
1 1 0
1 2 1
0=
15
2 1, , .
CM
YK
99
6. Geom
etria afíd) x = 3 és un pla paral.lel al pla YZ.
e) Aquesta recta té com a vector directorper tant, és paral.lela a l’eix OY.
D’altra banda, com que no passa pel (0, 0, 0), per-què aquest punt no compleix les equacions pa-ramètriques de la recta per a cap valor del parà-metre, no és l’eix OY.
Així, la recta és paral.lela a l’eix OY.
f) és un pla paral.lel al pla XY.
g) La recta està continguda en el pla YZ, que és el queté com a equació general x � 0, i és paral.lela a l’eixOY, perquè el valor de la tercera coordenada delsseus punts és constant.
La recta està, per tant, continguda en el pla YZ i ésparal.lela a l’eix OY.
h) 5 y � 2 x � 0 és un pla paral.lel a l’eix OZ, i comque passa pel punt (0, 0, 0), conté aquest eix.
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
32. Com que les dues rectes vénen donades per les sevesequacions implícites, per determinar-ne la posició re-lativa segons el valor del paràmetre, hem de discutir elsistema format per aquestes equacions en funció delparàmetre,
Calculem el rang de M�:
F2 F2 F1F4 F4 F1
F3 F3 F2F4 F4 + 2 F2
Com que �M�� � 0 m � �4, tenim que:
= =1 14
10
2
14 16
mm
= =
1 0 2
0 1 3
0 0 4
0 0 10
1
0
2
1m
==
1 0 2
0 1 3
0 1 1
0 2 4
1
0
2
1m
==M
m
1 0 2
1 1 1
0 1 1
1 2 2
1
1
2
x z
x y z
y z
x y z m
=
+ + =
=
+ =
2 1
1
2
2 2
3 553
z z= =
( , , ) ,0 1 0 =�j
• Si m 4, �M�� 0 rang (M�) = 4 rang (M) = 3.
Així, rang (M) � 3 i rang (M�) � 4; per tant, les rec-tes s’encreuen.
• Si m = 4, rang (M�) < 4.
Trobem el rang de M en aquest cas:
Així, rang (M) � rang (M�) � 3; per tant, les recteses tallen en un únic punt.
Per a trobar aquest punt, n’hi ha prou de resoldre elsistema d’equacions equivalent al de partida (ja ques’ha obtingut mitjançant transformacions elemen-tals):
Les dues rectes es tallen en
i s’encreuen si m � �4.
33. Hem de discutir el sistema format per les equacionsimplícites de les dues rectes en funció del paràme-tre m:
Calculem el determinant de la matriu ampliada:
F4 F4 2 F1
F4 F4 F3
Acabem de veure que la quarta equació és combina-ció lineal les altres, per tant, el sistema de partida ésequivalent a:
Calculem el determinant de la nova matriu de coefi-cients:
mx
x z
y z
y z
+
+ =
=
=
3 2
2 0
2 1
1 0 3 2
2m=
1 0
0 1 2 1
0 0 0 0
0==
1 0 3 2
2 1 0
0 1 2 1
0 1 2 1
m
==Mm
1 0 3 2
2 1 0
0 1 2 1
2 1 4 3
x z
mx y z
y z
x y z
+ =
+ =
=
+ + =
3 2
2 0
2 1
2 4 3
032
12
4, , ,=si m
x z
y z
z
x y z
=
+ =
=
= = =
2 1
3 0
4 2
032
12
, ,
1 0 2
0 1 3
0 0 4
4 0 3= =, ( )rang M
99
6. G
eom
etria
afí
d)x =3 és un pla paral.lel al pla YZ.
e)Aquesta recta té com a vector directorper tant, és paral.lela a l’eix OY.
D’altra banda, com que no passa pel (0, 0, 0), per-què aquest punt no compleix les equacions pa-ramètriques de la recta per a cap valor del parà-metre, no és l’eix OY.
Així, la recta és paral.lela a l’eix OY.
f)és un pla paral.lel al pla XY.
g)La recta està continguda en el pla YZ, que és el queté com a equació general x �0, i és paral.lela a l’eixOY, perquè el valor de la tercera coordenada delsseus punts és constant.
La recta està, per tant, continguda en el pla YZ i ésparal.lela a l’eix OY.
h)5 y �2 x �0 és un pla paral.lel a l’eix OZ, i comque passa pel punt (0, 0, 0), conté aquest eix.
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
32.Com que les dues rectes vénen donades per les sevesequacions implícites, per determinar-ne la posició re-lativa segons el valor del paràmetre, hem de discutir elsistema format per aquestes equacions en funció delparàmetre,
Calculem el rang de M�:
F2F2F1F4F4F1
F3F3F2F4F4+2 F2
Com que �M���0 m ��4, tenim que:
== 114
10
2
1416
mm
==
102
013
004
0010
1
0
2
1 m
= =
102
013
011
024
1
0
2
1 m
= = M
m
102
111
011
122
1
1
2
xz
xyz
yz
xyzm
=
++=
=
+=
21
1
2
22
3553
zz ==
(,,), 010=�j
•Si m 4, �M��0 rang (M�)=4 rang (M) =3.
Així, rang (M) �3 i rang (M�) �4; per tant, les rec-tes s’encreuen.
•Si m =4, rang (M�)<4.
Trobem el rang de M en aquest cas:
Així, rang (M) �rang (M�) �3; per tant, les recteses tallen en un únic punt.
Per a trobar aquest punt, n’hi ha prou de resoldre elsistema d’equacions equivalent al de partida (ja ques’ha obtingut mitjançant transformacions elemen-tals):
Les dues rectes es tallen en
i s’encreuen si m ��4.
33.Hem de discutir el sistema format per les equacionsimplícites de les dues rectes en funció del paràme-tre m:
Calculem el determinant de la matriu ampliada:
F4F42 F1
F4F4F3
Acabem de veure que la quarta equació és combina-ció lineal les altres, per tant, el sistema de partida ésequivalent a:
Calculem el determinant de la nova matriu de coefi-cients:
mx
xz
yz
yz
+
+=
=
=
32
20
21
1032
2 m=
10
0121
0000
0 ==
1032
210
0121
0121
m
= = Mm
1032
210
0121
2143
xz
mxyz
yz
xyz
+=
+=
=
++=
32
20
21
243
032
12
4 ,,, = sim
xz
yz
z
xyz
=
+=
=
===
21
30
42
032
12
,,
102
013
004
403 == ,() rangM
C M
Y K
100
6. Geom
etria afí
Com que �M��0 m �1, tenim que:
•Si m �1, �M��0 rang (M) �3 rang (M�) �3,les dues rectes es tallen en un únic punt, de coorde-nades:
•Si m =1, �M�=0 rang (M) <3.
Com que
Calculem el rang de M�:
Per tant, rang (M) �rang (M�) �2, és a dir, les duesrectes són coincidents.
Si m �1, les dues rectes es tallen en el punt de
coordenadesi si m �1, són coincidents.
34.Com que els dos plans vénen donats per la seva equa-ció general, per determinar-ne la posició relativa se-gons el valor del paràmetre m, hem de discutir el sis-tema format per aquestes equacions en funciód’aquest paràmetre:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada associades a aquest sistema:
12
0052
3
10
m
mF2F22 F1
——————�
12
245
3
4
m
xymz
xyz
+=
+=
23
2454
013
23
,,,
102
120
011
02 () == rangM
10
12202 == ,() rangM
z
m
mmm
===
102
20
011
332233
23
y
m
mmm
===
123
01
012
331
3313
xm
==
203
021
112
330
== 121
12
03
1233 mm
Mm ==
103
21
012
Com que tenim:
•Si per tant,
els plans són paral.lels.
•Si per tant, els
dos plans es tallen en una recta.
Si els plans són secants, i si són
paral.lels.
35.a)Com que els tres plans vénen donats per les sevesequacions generals, per determinar-ne la posiciórelativa segons el valor del paràmetre m, hem dediscutir el sistema format per aquestes equacionsen funció del paràmetre:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients:
Com que �m2�m �0 m �0 o m �1, tenim:
•Si m 0 y m 1, rang (M) =3 rang (M�) =3.
En aquest cas, doncs, rang (M) �rang (M�) �3;per tant, els tres plans es tallen en un únic punt,de coordenades:
z
m
m
mm
m
mmm=
+=
+=
11
11
0101122
y
m
mm
m
mmm=
+=
+
+=
111
11
0011122
x
m
mm
m
mmm=
+=
+=
11
111
0111122
==+ 111
11
1
112
mm
mm
M
m
m ==
11
11
011
xmyz
mxyz
yz
++=
=
+=
1
1
0
m=52
, m52
,
mrangMrangM ==52
2 ,()(),
mrangMirangM ===52
12 ,()(),
52052
== mm,
100
6. G
eom
etria
afí
Com que �M� � 0 m � 1, tenim que:
• Si m � 1, �M� � 0 rang (M) � 3 rang (M�) � 3,les dues rectes es tallen en un únic punt, de coorde-nades:
• Si m = 1, �M� = 0 rang (M) < 3.
Com que
Calculem el rang de M�:
Per tant, rang (M) � rang (M�) � 2, és a dir, les duesrectes són coincidents.
Si m � 1, les dues rectes es tallen en el punt de
coordenades i si m � 1, són coincidents.
34. Com que els dos plans vénen donats per la seva equa-ció general, per determinar-ne la posició relativa se-gons el valor del paràmetre m, hem de discutir el sis-tema format per aquestes equacions en funciód’aquest paràmetre:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada associades a aquest sistema:
1 2
0 0 5 2
3
10
m
mF2 F2 2 F1
——————�
1 2
2 4 5
3
4
m
x y mz
x y z
+ =
+ =
2 3
2 4 5 4
013
23
, , ,
1 0 2
1 2 0
0 1 1
0 2( )= =rang M
1 0
1 22 0 2= =, ( )rang M
z
m
mmm
= = =
1 0 2
2 0
0 1 1
3 32 23 3
23
y
m
mmm
= = =
1 2 3
0 1
0 1 2
3 31
3 313
xm
= =
2 0 3
0 2 1
1 1 2
3 30
= =12 1
1 2
0 3
1 23 3m m
M m= =
1 0 3
2 1
0 1 2
Com que tenim:
• Si per tant,
els plans són paral.lels.
• Si per tant, els
dos plans es tallen en una recta.
Si els plans són secants, i si són
paral.lels.
35. a) Com que els tres plans vénen donats per les sevesequacions generals, per determinar-ne la posiciórelativa segons el valor del paràmetre m, hem dediscutir el sistema format per aquestes equacionsen funció del paràmetre:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients:
Com que �m2 � m � 0 m � 0 o m � 1, tenim:
• Si m 0 y m 1, rang (M) = 3 rang (M�) = 3.
En aquest cas, doncs, rang (M) � rang (M�) � 3;per tant, els tres plans es tallen en un únic punt,de coordenades:
z
m
m
m m
m
m m m=
+=
+=
1 1
1 1
0 1 0 1 12 2
y
m
m m
m
m m m=
+=
+
+=
1 1 1
1 1
0 0 1 1 12 2
x
m
m m
m
m m m=
+=
+=
1 1
1 1 1
0 1 1 1 12 2
= = +11 1
1 1
1
1 12m
mm m
M
m
m= =
1 1
1 1
0 1 1
x my z
mx y z
y z
+ + =
=
+ =
1
1
0
m =52
,m52
,
m rang M rang M= =52
2, ( ) ( ) ,
m rang M i rang M= = =52
1 2, ( ) ( ) ,
5 2 052
= =m m ,
CM
YK
101
6. Geom
etria afí• Si m = 0, tenim el sistema:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i dela matriu ampliada:
Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, els plansno es tallen.
Hem de determinar si es tallen dos a dos o si hiha plans paral.lels:
paral·lels;
Per tant, 2 i 3 són paral.lels i secants a 1.
• Si m � 1, tenim el sistema:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i dela matriu ampliada:
Com que rang (M) � rang (M�) � 2, els tresplans es tallen en una recta.
Resumint: si m � 0 i m � 1, es tallen en el punt
si m � 0, 2 i 3 són pa-
ral·lels i secants a 1; si m � 1, els tres plans es ta-llen una recta.
1 1 1m m m
, , ;
1 1 1
0 2 2
0 0 0
1
0
0
1F3 F3 + — F22——————�
1 1 1
0 2 2
0 1 1
1
0
0
F2 F2 F1
—————�
1 1 1
1 1 1
0 1 1
1
1
0
x y z
x y z
y z
+ + =
=
+ =
1
1
0
2 i 3 són paral·lels.rang0 1 1
0 1 11=
1 i 3 no són paral·lels;rang1 0 1
0 1 12=
1 i 2 no sónrang1 0 1
0 1 12=
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1
1
1
F3 F3 + F2
—————�
1 0 1
0 1 1
0 1 1
1
1
0
x z
y z
y z
+ =
=
+ =
1
1
0
b) Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:
(x, y, z) = (0, 0, 1) + k (m, 1, 0)
i substituint la segona equació en la primera:
Ara que tenim la recta i el pla expressats mit-jançant les seves equacions implícites i general,per decidir la posició relativa de r i 1 segons el va-lor del paràmetre, hem de discutir el sistema for-mat per aquestes equacions en funció del pa-ràmetre:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de lamatriu ampliada:
Com que 2 m � 0 m � 0, tenim que:
• Si m � 0, rang (M) � rang (M�) � 3; per tant, larecta i el pla es tallen en un únic punt, de coor-denades:
• Si m � 0, rang (M) � 2 i rang (M�) � 3; per tant,la recta i el pla són paral.lels.
Si m � 0, la recta i el pla es tallen en el punt de
coordenades i si m � 0, són paral-
lels.
36. a) Busquem un pla que contingui r i A.
Escrivim el feix de plans secants en r:
x 3 y + (x + z 1) = 0 , �
Comprovem que les coordenades del punt A noverifiquen l’equació de 2: x � z � 1 � 0.
11
1, ,m
z my
z
my
x ym
z
=
=
=
= = =
0
1
2 2
11
1, ,
1 0
0 0 1
0 2 0
0
1
2
m
m
F3 F3 F2
—————�
1 0
0 0 1
0 2 1
0
1
1
m
m
F3 F3 F1
—————�
1 0
0 0 1
1 1
0
1
1
m
m
x my
z
x my z
=
=
+ + =
0
1
1
x ym
z
x my
z
=
=
=
=1
0
1,
x km
y k
z
=
=
= 1
101
6. G
eom
etria
afí
•Si m =0, tenim el sistema:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i dela matriu ampliada:
Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, els plansno es tallen.
Hem de determinar si es tallen dos a dos o si hiha plans paral.lels:
paral·lels;
Per tant, 2i 3són paral.lels i secants a 1.
•Si m �1, tenim el sistema:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i dela matriu ampliada:
Com que rang (M) �rang (M�) �2, els tresplans es tallen en una recta.
Resumint: si m �0 i m �1, es tallen en el punt
si m�0, 2i 3són pa-
ral·lels i secants a 1; si m �1, els tres plans es ta-llen una recta.
111mmm
,,;
111
022
000
1
0
0
1F3F3+—F2
2——————�
111
022
011
1
0
0
F2F2F1
—————�
111
111
011
1
1
0
xyz
xyz
yz
++=
=
+=
1
1
0
2i 3són paral·lels. rang011
0111 =
1i 3no són paral·lels; rang101
0112 =
1i 2no són rang101
0112 =
101
011
000
1
1
1
F3F3+F2
—————�
101
011
011
1
1
0
xz
yz
yz
+=
=
+=
1
1
0
b)Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:
(x, y, z) =(0, 0, 1) +k (m, 1, 0)
i substituint la segona equació en la primera:
Ara que tenim la recta i el pla expressats mit-jançant les seves equacions implícites i general,per decidir la posició relativa de r i 1segons el va-lor del paràmetre, hem de discutir el sistema for-mat per aquestes equacions en funció del pa-ràmetre:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de lamatriu ampliada:
Com que 2 m �0 m �0, tenim que:
•Si m �0, rang (M) �rang (M�) �3; per tant, larecta i el pla es tallen en un únic punt, de coor-denades:
•Si m �0, rang (M) �2 i rang (M�) �3; per tant,la recta i el pla són paral.lels.
Si m �0, la recta i el pla es tallen en el punt de
coordenades i si m �0, són paral-
lels.
36.a)Busquem un pla que contingui r i A.
Escrivim el feix de plans secants en r:
x 3 y +(x +z 1) =0 , �
Comprovem que les coordenades del punt A noverifiquen l’equació de 2: x �z �1 �0.
11
1 ,,m
zmy
z
my
xym
z
=
=
=
===
0
1
22
11
1 ,,
10
001
020
0
1
2
m
m
F3F3F2
—————�
10
001
021
0
1
1
m
m
F3F3F1
—————�
10
001
11
0
1
1
m
m
xmy
z
xmyz
=
=
++=
0
1
1
xym
z
xmy
z
=
=
=
= 1
0
1,
xkm
yk
z
=
=
=1
C M
Y K
102
6. Geom
etria afí
Determinarem el valor del paràmetre imposantque passa pel punt A:
2 3 0 +(2 +1 1) =02 +2 =0 , =1
El pla té com a equació general:
x 3 y (x +z 1) =0 , 3 y +z 1 =0
b)L’equació general d’un pla arbitrari diferent de 2que contingui r és:
(1 +) x 3 y +z =0
Per tal que aquest pla sigui paral.lel a la recta s, elrang de la matriu de coeficients del sistema formatper l’equació general del pla i les equacions im-plícites de la recta ha de ser 2 (i el de l’ampliada 3,perquè tinguin punts en comú).
Necessitem calcular, doncs, les equacions implí-cites de s, que obtindrem a partir de dues de lesequacions contínues:
Unes equacions implícites de s són, doncs:
El sistema que hem de considerar és, doncs:
Hem de determinar per tal que rang (M) �2 irang (M�) �3.
120
031
0051
3
7
9
210 +2 1
F3F3————F23
————————�
120
031
021
7
9
87 +
F2F3
———�
120
021
031
7
87
9
+ F2F2(1 +) F1
—————————�
120
13
031
7
9
+ F1F2
———�
13
120
031
7
9
+
() 13
27
39
++=
=
=
xyz
xy
yz
xy
yz
+=
=
270
390
yzyz ==
313
390
xyxy
+=+=
12
31
270
Perquè rang (M) �2, s’ha de complir:
En aquest cas,
per tant, la recta és paral.lela al pla.
El pla buscat és, doncs:
6 x 15 y +z 1 =0
37.Sigui el pla que conté la recta r i el punt A. Obser-vem que està ben definit, ja que A �r.
Com que la recta s ha de passar per A i tallar r, ha detenir dos punts en el pla ; per tant, ha d’estar con-tinguda en aquest pla.
Raonant de manera anàloga amb la recta r�, obtenimun altre pla �, que conté s.
Les equacions implícites de s són el sistema definit perles equacions generals de i �.
—Equació del pla .
Un punt de pas és A �(1, 0, �2), i un vector di-rector és el de la recta r,
Per a obtenir un vector director linealment in-dependent de n’hi ha prou de considerar el vector
en què B és un punt qualsevol de la recta r.
Si prenem, per exemple, B �(0, 1, �1):
=(1, 1, 1)
L’equació general del pla és, doncs:
x +y 1 =0
—Equació del pla �.
Un punt de pas és A �(1, 0, �2), i un vector di-rector és el de r�,
Si B�és el punt de la recta r�de coordenades (1, 0, �1), un vector director de �linealment in-dependent de és:
=(0, 0, 1)
L’equació general del pla �és, doncs:
x 2 y 1 =0
0
120
010
211
21 ==
x
y
z
xy
()
=== ��� ���vAB [](,,()) 110012
�u
= �u(,,). 211
0
111
011
231
222 ==+
x
y
z
xy
()
�����vAB === [](,,()) 011012
[], AB����
�u
�v
�u=(,,). 113
115
315
15
0 ++= xyz
215
1003 += rangM(),
513
015
==
102
6. G
eom
etria
afí
Determinarem el valor del paràmetre imposantque passa pel punt A:
2 3 0 + (2 + 1 1) = 02 + 2 = 0 , = 1
El pla té com a equació general:
x 3 y (x + z 1) = 0 , 3 y + z 1 = 0
b) L’equació general d’un pla arbitrari diferent de 2que contingui r és:
(1 + ) x 3 y + z = 0
Per tal que aquest pla sigui paral.lel a la recta s, elrang de la matriu de coeficients del sistema formatper l’equació general del pla i les equacions im-plícites de la recta ha de ser 2 (i el de l’ampliada 3,perquè tinguin punts en comú).
Necessitem calcular, doncs, les equacions implí-cites de s, que obtindrem a partir de dues de lesequacions contínues:
Unes equacions implícites de s són, doncs:
El sistema que hem de considerar és, doncs:
Hem de determinar per tal que rang (M) � 2 irang (M�) � 3.
1 2 0
0 3 1
0 05 1
3
7
9
2 10+2 1
F3 F3 ———— F23————————�
1 2 0
0 3 1
0 2 1
7
9
8 7+
F2 F3
———�
1 2 0
0 2 1
0 3 1
7
8 7
9
+F2 F2 (1 + ) F1
—————————�
1 2 0
1 3
0 3 1
7
9
+F1 F2
———�
1 3
1 2 0
0 3 1
7
9
+
( )1 3
2 7
3 9
+ + =
=
=
x y z
x y
y z
x y
y z
+ =
=
2 7 0
3 9 0
y zy z= =
31 3
3 9 0
x yx y
+= + =
12
31
2 7 0
Perquè rang (M) � 2, s’ha de complir:
En aquest cas,
per tant, la recta és paral.lela al pla.
El pla buscat és, doncs:
6 x 15 y + z 1 = 0
37. Sigui el pla que conté la recta r i el punt A. Obser-vem que està ben definit, ja que A � r.
Com que la recta s ha de passar per A i tallar r, ha detenir dos punts en el pla ; per tant, ha d’estar con-tinguda en aquest pla.
Raonant de manera anàloga amb la recta r�, obtenimun altre pla �, que conté s.
Les equacions implícites de s són el sistema definit perles equacions generals de i �.
— Equació del pla .
Un punt de pas és A � (1, 0, �2), i un vector di-rector és el de la recta r,
Per a obtenir un vector director linealment in-dependent de n’hi ha prou de considerar el vector
en què B és un punt qualsevol de la recta r.
Si prenem, per exemple, B � (0, 1, �1):
= ( 1, 1, 1)
L’equació general del pla és, doncs:
x + y 1 = 0
— Equació del pla �.
Un punt de pas és A � (1, 0, �2), i un vector di-rector és el de r�,
Si B� és el punt de la recta r� de coordenades (1, 0, �1), un vector director de � linealment in-dependent de és:
= (0, 0, 1)
L’equació general del pla � és, doncs:
x 2 y 1 = 0
0
1 2 0
0 1 0
2 1 1
2 1= =
x
y
z
x y
( )
= = =� � ����v AB[ ] ( , , ( ))1 1 0 0 1 2
�u
=�u ( , , ).2 1 1
0
1 1 1
0 1 1
2 3 1
2 2 2= = +
x
y
z
x y
( )
� � ���v AB= = =[ ] ( , , ( ))0 1 1 0 1 2
[ ],AB� ���
�u
�v
�u = ( , , ).1 1 3
115
315
15
0+ + =x y z
215
10 0 3+ =rang M( ) ,
5 13
015
= =
CM
YK
103
6. Geom
etria afíLes equacions implícites de la recta s són, doncs:
38. La recta s estarà continguda en el pla �. Aquest pla per-tany al feix de plans paral.lels a i passa pel punt A.
L’equació general d’un pla qualsevol d’aquest feix és:
x 2 y z + K = 0 , K �
i el valor de K perquè el punt A pertanyi al pla és:
1 2 1 1 + K = 0 K = 2
L’equació general d’aquest pla és, doncs:
�: x 2 y z + 2 = 0
Si la recta talla el pla � en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi, ja que r i s no poden ser paral.leles(perquè r no és paral.lela a � ni hi està continguda),sinó que es tallen en un punt, i com que B és l’únicpunt de r que està en �, pla que conté s, s’ha de tallarprecisament en B.
Comprovem si la intersecció de r amb � és un únicpunt, i en determinem les coordenades.
Per determinar la intersecció de r amb �, resolem el sistema format per l’equació general de �, x � 2 y � z � 2 � 0, i per les equacions implícites der, que podem obtenir a partir de les seves equacionscontínues:
El sistema que hem de resoldre és:
Per tant, com que A � (1, 1, 1) és un punt de s i un vector
director és
i, per tant, l’equació vectorial de s és: (x, y, z) = (1, 1, 1) + k (1, 0, 1).
ACTIVITATS
Abans de començar
• Equacions de la recta determinades pel punt A i el vec-tor pàg. 112 i 113.
— Equacions del pla determinat pel punt A i els vectorspàg. 116 i 117.
• Posicions relatives de dues rectes (pàg. 120), de dos plans(pàg. 122), de tres plans (pàg. 124) i de recta i pla (pàg.126).
� �u i v,
�v,
� � ���u AB= =2 1 0 1[ ] ( , , ),
12
012
, ,[ ] , ,AB� ���
= =32
1 1 132
1
x y z
x y
y z
x y
=
=
=
= =
2 2
2 2
3 2 0
32
; 1132
32
132
;
, ,
z
B
=
=
y zy z
2 33 2 0= =
x yx y= =
11 2
2 2 0
x y
x y
+ =
=
1 0
2 1 0
• Feixos de plans secants i feixos de plans paral.lels, pàg. 127.
Qüestions
39. És falsa, perquè els plans han de ser secants.
Així, x � 1 i x � 2 són les equacions generals dels plansrespectius, però:
no són les equacions implícites de cap recta, ja quecap punt P � (x, y, z) no les pot verificar.
40. El vector director de la recta és combinació lineal delsvectors directors del pla.
41. Considerant el sistema format per les equacions gene-rals dels quatre plans, calculant el rang de la seva ma-triu de coeficients M, de la seva matriu ampliada M�, ideterminant, quan calgui, si existeixen plans coinci-dents o paral.lels, d’acord amb la casuística següent:
• rang (M) � rang (M�) � 1: els quatre plans sóncoincidents.
• rang (M) � 1 i rang (M�) � 2: els quatre plans sónparal.lels. Cal determinar si existeixen plans coinci-dents.
• rang (M) � rang (M�) � 2: els quatre plans es tallenen una recta, pel teorema de Rouché-Frobenius. Caldeterminar si existeixen plans coincidents.
• rang (M) � 2 i rang (M�) � 3: els quatre plans noes tallen, però tenen una (i només una) direcció encomú, ja que rang (M) � 2. Cal determinar quinsplans són coincidents, quins plans són paral.lels iquins plans són secants en la mateixa recta.
• rang (M) � rang (M�) � 3: els quatre plans es tallenen un únic punt. Cal determinar quins plans sóncoincidents i quins plans són secants en la mateixarecta.
• rang (M) � 3 i rang (M�) � 4: els quatre plans noes tallen, i no tenen cap direcció en comú. Cal de-terminar quins plans són paral.lels (com a molt hoseran dos) i quins plans tenen una direcció comuna(o sigui, es tallen dos a dos).
— Si els quatre plans es tallen en una recta:
rang (M) = rang (M�) = 2
EXERCICIS I PROBLEMES
42. Un punt pertany a la recta r si i només si les seves co-ordenades verifiquen les equacions implícites de r:
3 0 2 2 11 7 0
2 2 3 1 2 1 0
+ =
=B r
3 3 2 1 11 0
2 1 3 0 2 0
+ =
=A r
x
x
=
=
1
2
103
6. G
eom
etria
afí
Les equacions implícites de la recta s són, doncs:
38.La recta s estarà continguda en el pla �. Aquest pla per-tany al feix de plans paral.lels a i passa pel punt A.
L’equació general d’un pla qualsevol d’aquest feix és:
x 2 y z +K =0 , K�
i el valor de K perquè el punt A pertanyi al pla és:
1 2 1 1 +K =0 K =2
L’equació general d’aquest pla és, doncs:
�: x 2 y z +2 =0
Si la recta talla el pla �en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi, ja que r i s no poden ser paral.leles(perquè r no és paral.lela a �ni hi està continguda),sinó que es tallen en un punt, i com que B és l’únicpunt de r que està en �, pla que conté s, s’ha de tallarprecisament en B.
Comprovem si la intersecció de r amb �és un únicpunt, i en determinem les coordenades.
Per determinar la intersecció de r amb �, resolem el sistema format per l’equació general de �, x �2 y �z �2 �0, i per les equacions implícites der, que podem obtenir a partir de les seves equacionscontínues:
El sistema que hem de resoldre és:
Per tant, com que A �(1, 1, 1) és un punt de s i un vector
director és
i, per tant, l’equació vectorial de s és: (x, y, z) =(1, 1, 1) +k (1, 0, 1).
ACTIVITATS
Abans de començar
•Equacions de la recta determinades pel punt A i el vec-torpàg. 112 i 113.
—Equacions del pla determinat pel punt A i els vectorspàg. 116 i 117.
•Posicions relatives de dues rectes (pàg. 120), de dos plans(pàg. 122), de tres plans (pàg. 124) i de recta i pla (pàg.126).
�� uiv,
�v,
�����uAB == 2101 [](,,),
12
012
,, [],, AB����
==32
11132
1
xyz
xy
yz
xy
=
=
=
==
22
22
320
32
;1132
32
132
;
,,
z
B
=
=
yzyz
23320 ==
xyxy ==
112
220
xy
xy
+=
=
10
210
•Feixos de plans secants i feixos de plans paral.lels, pàg. 127.
Qüestions
39.És falsa, perquè els plans han de ser secants.
Així, x �1 i x �2 són les equacions generals dels plansrespectius, però:
no són les equacions implícites de cap recta, ja quecap punt P �(x, y, z) no les pot verificar.
40.El vector director de la recta és combinació lineal delsvectors directors del pla.
41.Considerant el sistema format per les equacions gene-rals dels quatre plans, calculant el rang de la seva ma-triu de coeficients M, de la seva matriu ampliada M�, ideterminant, quan calgui, si existeixen plans coinci-dents o paral.lels, d’acord amb la casuística següent:
•rang (M) �rang (M�) �1:els quatre plans sóncoincidents.
•rang (M) �1 i rang (M�) �2:els quatre plans sónparal.lels. Cal determinar si existeixen plans coinci-dents.
•rang (M) �rang (M�) �2:els quatre plans es tallenen una recta, pel teorema de Rouché-Frobenius. Caldeterminar si existeixen plans coincidents.
•rang (M) �2 i rang (M�) �3:els quatre plans noes tallen, però tenen una (i només una) direcció encomú, ja que rang (M) �2. Cal determinar quinsplans són coincidents, quins plans són paral.lels iquins plans són secants en la mateixa recta.
•rang (M) �rang (M�) �3:els quatre plans es tallenen un únic punt. Cal determinar quins plans sóncoincidents i quins plans són secants en la mateixarecta.
•rang (M) �3 i rang (M�) �4:els quatre plans noes tallen, i no tenen cap direcció en comú. Cal de-terminar quins plans són paral.lels (com a molt hoseran dos) i quins plans tenen una direcció comuna(o sigui, es tallen dos a dos).
—Si els quatre plans es tallen en una recta:
rang (M) =rang (M�) =2
EXERCICIS I PROBLEMES
42.Un punt pertany a la recta r si i només si les seves co-ordenades verifiquen les equacions implícites de r:
30221170
2231210
+=
=Br
3321110
213020
+=
=Ar
x
x
=
=
1
2
C M
Y K
104
6. Geom
etria afí
Un punt pertany a la recta r�si i només si correspon aun valor del paràmetre, és a dir, si és compatible el sis-tema:
en què (x, y, z) són les coordenades del punt.
43.Per tal que r passi per A, ha d’existir un valor de k peral qual:
(3, 2, 4) =(3, m, 1) +k (n, 1, 3) =
=(3 +k n, m +k, 1 3 k)
I si igualem component a component i imposem quees compleixin totes les equacions:
Per tant, per tal que el sistema tingui solució, han de ser:
1 n =0 n =0
1 =2 m m =1
44.Podem prendre com a punt de pas A �(2, 1, 0) i com avector director
o, per a una major comoditat,
amb la qual cosa l’equació vectorial d’aquesta recta és:
r: (x, y, z) =(2, 1, 0) +k (1, 1, 1)
Per a expressar-la com a intersecció de dos plans n’hiha prou d’obtenir-ne les equacions implícites:
xkkx
ykky
zkkz
==
=+=
==
22
1
11==x
yz2
11
�����vAB ==
12
[](–1,1,1)
[](,,)(,,) AB����
== 023120222
33
2
413
0
2
33
=+
=+
=
=
=
==
kn
mk
k
kn
km
kk11
3113
422
211
kk
k
k
Cr
==
==
==
300
220
110
kk
k
k
Br
==
==
==
331
121
011
kk
k
k
Ar
==
==
==
3
1
kx
kyz
kz
=
=
=
3124110
243220
+=
=Cr
i desenvolupant la primera i la segona igualtats:
y 1 =z y z 1 =0
Així, l’expressió de la recta com a intersecció de dosplans és:
45.a)Com que coneixem un punt de pas i dos vectors di-rectors, l’equació general és:
2 x 4 y 7 z +15 =0
b)Com que tenim tres punts, en prenem un com apunt de pas, per exemple B �(0, 1, 0), i com avectors directors:
ja que són linealment independents.
Així som en la mateixa situació que en l’apartat an-terior:
c)El punt A �(3, 1, 4) és un punt del pla, i comque aquest ha de contenir la recta r, el punt B � (�2, 1, �3) ha de ser del pla i el vector
ha de ser vector director del pla, per-què ho són de la recta.
Tenim dos punts del pla, A i B, i un vector director,. Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha
prou de considerar el que va de A a B:
=(2 3, 1 1, 3 4) =(5, 0, 7) o, per a fer-ho més senzill,
L’equació general del pla serà:
=14 x +13 y 10 z 15
14 x +13 y 10 z 15 =0
d)El feix de plans paral.lels al pla té per equació:
3 x 2 y +5 z +K =0
El valor de K per al qual el pla corresponent con-té el punt A �(2, 4, 0) és:
3 2 2 4 +5 0 +K =0 K =2
0
315
120
447
==
x
y
z
�����uAB == [](,,). 507
����AB []
�v
�v=(,,) 124
0
31
100
01
3310 ===
x
y
z
yy ,
[](,,)(,,) BC����
== 101110101
[](,,)(,,) BA����
== 301100300
0
121
114
302
24715 =+=++
x
y
z
xyz
xy
yz
+=
=
30
10
xyxyxy ==+=
21
12130
104
6. G
eom
etria
afí
Un punt pertany a la recta r� si i només si correspon aun valor del paràmetre, és a dir, si és compatible el sis-tema:
en què (x, y, z) són les coordenades del punt.
43. Per tal que r passi per A, ha d’existir un valor de k peral qual:
(3, 2, 4) = (3, m, 1) + k (n, 1, 3) =
= (3 + k n, m + k, 1 3 k)
I si igualem component a component i imposem quees compleixin totes les equacions:
Per tant, per tal que el sistema tingui solució, han de ser:
1 n = 0 n = 0
1 = 2 m m = 1
44. Podem prendre com a punt de pas A � (2, 1, 0) i com avector director
o, per a una major comoditat,
amb la qual cosa l’equació vectorial d’aquesta recta és:
r: (x, y, z) = (2, 1, 0) + k ( 1, 1, 1)
Per a expressar-la com a intersecció de dos plans n’hiha prou d’obtenir-ne les equacions implícites:
x k kx
y k k y
z k k z
= =
= + =
= =
22
1
1 1 = =x
y z2
11
� � ���v AB= =
12
[ ] (–1, 1, 1)
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= =0 2 3 1 2 0 2 2 2
3 3
2
4 1 3
0
2
3 3
= +
= +
=
=
=
= =
kn
m k
k
kn
k m
k k 11
3 113
4 2 2
2 1 1
k k
k
k
C r
= =
= =
= =
3 0 0
2 2 0
1 1 0
k k
k
k
B r
= =
= =
= =
3 3 1
1 2 1
0 1 1
k k
k
k
A r
= =
= =
= =
3
1
k x
k y z
k z
=
=
=
3 1 2 4 11 0
2 4 3 2 2 0
+ =
=C r
i desenvolupant la primera i la segona igualtats:
y 1 = z y z 1 = 0
Així, l’expressió de la recta com a intersecció de dosplans és:
45. a) Com que coneixem un punt de pas i dos vectors di-rectors, l’equació general és:
2 x 4 y 7 z + 15 = 0
b) Com que tenim tres punts, en prenem un com apunt de pas, per exemple B � (0, 1, 0), i com avectors directors:
ja que són linealment independents.
Així som en la mateixa situació que en l’apartat an-terior:
c) El punt A � (3, 1, 4) és un punt del pla, i comque aquest ha de contenir la recta r, el punt B � (�2, 1, �3) ha de ser del pla i el vector
ha de ser vector director del pla, per-què ho són de la recta.
Tenim dos punts del pla, A i B, i un vector director,. Per a obtenir un altre vector director, n’hi ha
prou de considerar el que va de A a B:
= ( 2 3, 1 1, 3 4) = ( 5, 0, 7) o, per a fer-ho més senzill,
L’equació general del pla serà:
= 14 x + 13 y 10 z 15
14 x + 13 y 10 z 15 = 0
d) El feix de plans paral.lels al pla té per equació:
3 x 2 y + 5 z + K = 0
El valor de K per al qual el pla corresponent con-té el punt A � (2, 4, 0) és:
3 2 2 4 + 5 0 + K = 0 K = 2
0
3 1 5
1 2 0
4 4 7
= =
x
y
z
� � ���u AB= =[ ] ( , , ).5 0 7
� ���AB[ ]
�v
�v = ( , , )1 2 4
0
3 1
1 0 0
0 1
3 3 1 0= = =
x
y
z
y y,
[ ] ( , , ) ( , , )BC� ���
= =1 0 1 1 1 0 1 0 1
[ ] ( , , ) ( , , )BA� ���
= =3 0 1 1 0 0 3 0 0
0
1 2 1
1 1 4
3 0 2
2 4 7 15= + = + +
x
y
z
x y z
x y
y z
+ =
=
3 0
1 0
xy x y x y= = + =
21
1 2 1 3 0
CM
YK
105
6. Geom
etria afíL’equació general del pla buscat és:
3 x 2 y + 5 z + 2 = 0
46. Determinem el pla definit per tres d’aquests punts iveurem si el quart pertany a aquest pla o no.
Considerem, per exemple, el pla que conté els puntsA, B, D (que són els que tenen les coordenades méssenzilles).
Un punt és B � (0, 1, 2), i dos vectors directors:
Com que aquests dos vectors són linealment indepen-dents, una equació general del pla és:
Com que el punt C � (4, 4, 1) no verifica l’equació d’a-quest pla (ja que 4 � 1 � 3 � 0), que d’altra banda ésl’únic que conté A, B, D, en concloem que els quatrepunts no són coplanaris.
També es poden formar els vectors i de-terminar si són linealment dependents, és a dir, si eldeterminant format per les components dels tres vec-tors és igual a zero. En aquest cas, el determinant seràdiferent de zero perquè els quatre punts no són co-planaris.
47. Si el pla conté la recta, el punt P � (1, 1, 1) ha de serun punt del pla, i el vector un vectordirector del pla. Com que és un altrevector director del pla i és linealment independent amb
l’equació vectorial del pla buscat és:
: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
48. Dues rectes determinen un pla (és a dir, existeix unúnic pla que les conté) si i només si són paral.leles osecants.
Determinarem, doncs, la posició relativa de r i r�. Pera fer-ho, com que vénen donades per les seves equa-cions implícites, estudiarem la compatibilitat del siste-ma que determinen:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada:
= = =M
5 1 0 7
0 0 1 0
1 1 1 1
3 1 0 0
5 1 7
1 1 1
3 1 0
5 7
0
1
3 0
x y
z
x y z
x y
+ =
=
+ =
=
�v,
�u = ( , , )1 2 3
�v = ( , , )1 1 1
AB AC i AD� ��� � ��� � ���
,
0
3 1
1 0 0
2 0 1
3 3 1 0= = =;
x
y
z
y y
[ ] ( , , ) ( , , )BD� ���
= =1 0 1 1 1 2 1 0 1
[ ] ( , , ) ( , , )BA� ���
= =3 0 1 1 2 2 3 0 0
= 22 0 rang (M�) = 4 rang (M) = 3
Com que rang (M�) � 4 i rang (M) � 3, les rectes notenen punts en comú ni són paral.leles (perquè si no,rang (M) � 2); per tant, les rectes s’encreuen. Així,doncs, no determinen un pla.
49. Un vector director de r és i un de r� és
Com que són linealment inde-
pendents; per tant, r i r� o bé s’encreuen o bé es tallen.
Si considerem el punt A � (1, 0, 1) de la recta r i elpunt B � (4, 2, 4) de la recta r�, el vector que deter-minen és:
són linealment dependents; per tant, les dues rectes estallen en un punt.
50. a) Com que les rectes vénen expressades per les sevesequacions vectorial i contínues, per a estudiar-nela posició relativa hem de començar per conèixerla dependència o independència lineal dels seusvectors directors.
Un vector director de r és (2, 3, 1) i un de r� és (2, 3, 1).
Com que són linealment dependents,
les rectes són paral.leles o coincidents.
Per a veure en quin cas estem, n’hi ha prou de veu-re si un punt de r, per exemple (1, 7, 0), compleixles equacions de r�:
Com que no les compleix, no és de r�, les rectes no poden ser coincidents. Així, r i r� són paral.le-les.
b) Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:
Observem que les equacions implícites de r,
són les mateixes que les de r�; per tant, totes duesrectes són coincidents.
x y
y z
=
+ =
2 3 0
3 3 0
y zy z
+= + =
11 3
3 3 0
x yx y=
+=
12
11
2 3 0
12
7 53
0 11+
32
33
11
= =
3 1 2
2 1 1
3 2 1
0= , [ ],els vectors AB u i v� ��� � �Com que
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= =4 1 2 0 4 1 3 2 3
12
11
21
, � �u i v
�v = ( , , ).2 1 1
�u = ( , , ),1 1 2
= = =31 7
1 1
5 7
1 13 8 2( )
105
6. G
eom
etria
afí
L’equació general del pla buscat és:
3 x 2 y +5 z +2 =0
46.Determinem el pla definit per tres d’aquests punts iveurem si el quart pertany a aquest pla o no.
Considerem, per exemple, el pla que conté els puntsA, B, D (que són els que tenen les coordenades méssenzilles).
Un punt és B �(0, 1, 2), i dos vectors directors:
Com que aquests dos vectors són linealment indepen-dents, una equació general del pla és:
Com que el punt C �(4, 4, 1) no verifica l’equació d’a-quest pla (ja que 4 �1 �3 �0), que d’altra banda ésl’únic que conté A, B, D, en concloem que els quatrepunts no són coplanaris.
També es poden formar els vectors i de-terminar si són linealment dependents, és a dir, si eldeterminant format per les components dels tres vec-tors és igual a zero. En aquest cas, el determinant seràdiferent de zero perquè els quatre punts no són co-planaris.
47.Si el pla conté la recta, el punt P �(1, 1, 1) ha de serun punt del pla, i el vector un vectordirector del pla. Com que és un altrevector director del pla i és linealment independent amb
l’equació vectorial del pla buscat és:
: (x, y, z) =(1, 1, 1) +(1, 2, 3) +(1, 1, 1)
48.Dues rectes determinen un pla (és a dir, existeix unúnic pla que les conté) si i només si són paral.leles osecants.
Determinarem, doncs, la posició relativa de r i r�. Pera fer-ho, com que vénen donades per les seves equa-cions implícites, estudiarem la compatibilitat del siste-ma que determinen:
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada:
=== M
5107
0010
1111
3100
517
111
310
57
0
1
30
xy
z
xyz
xy
+=
=
+=
=
�v,
�u=(,,) 123
�v=(,,) 111
ABACiAD���������� ��
,
0
31
100
201
3310 === ;
x
y
z
yy
[](,,)(,,) BD����
== 101112101
[](,,)(,,) BA����
== 301122300
=22 0 rang (M�) =4 rang (M) =3
Com que rang (M�) �4 i rang (M) �3, les rectes notenen punts en comú ni són paral.leles (perquè si no,rang (M) �2); per tant, les rectes s’encreuen. Així,doncs, no determinen un pla.
49.Un vector director de r és i un de r�és
Com que són linealment inde-
pendents; per tant, r i r�o bé s’encreuen o bé es tallen.
Si considerem el punt A �(1, 0, 1) de la recta r i elpunt B �(4, 2, 4) de la recta r�, el vector que deter-minen és:
són linealment dependents; per tant, les dues rectes estallen en un punt.
50.a)Com que les rectes vénen expressades per les sevesequacions vectorial i contínues, per a estudiar-nela posició relativa hem de començar per conèixerla dependència o independència lineal dels seusvectors directors.
Un vector director de r és (2, 3, 1) i un de r�és (2, 3, 1).
Com quesón linealment dependents,
les rectes són paral.leles o coincidents.
Per a veure en quin cas estem, n’hi ha prou de veu-re si un punt de r, per exemple (1, 7, 0), compleixles equacions de r�:
Com que no les compleix, no és de r�, les rectes no poden ser coincidents. Així, r i r�són paral.le-les.
b)Expressem la recta r mitjançant les seves equa-cions implícites:
Observem que les equacions implícites de r,
són les mateixes que les de r�; per tant, totes duesrectes són coincidents.
xy
yz
=
+=
230
330
yzyz
+=+=
113
330
xyxy =
+=
12
11
230
12
753
011+
32
33
11
==
312
211
321
0 =,[], elsvectorsABuiv������ Com que
[](,,)(,,) AB����
== 412041323
12
11
21
,�� uiv
�v=(,,). 211
�u=(,,), 112
=== 317
11
57
11382 ()
C M
Y K
106
6. Geom
etria afí
c)Un vector director de r és i un vec-
tor director de r�és Vegem quina
relació de dependència lineal mantenen:
són linealment indepen-
dents.
Per tant, les rectes o es tallen o s’encreuen.
Per a veure en quina situació som, hem de veure siel vector que va d’un punt qualsevol de r, perexemple A �(3, �1, 0), a un punt qualsevol de r�,per exemple B �(4, 1, 3), és linealment depen-dent o no amb
Per tant, són linealment indepen-dents, la qual cosa significa que les dues rectess’encreuen.
d)Un vector director de r és i un de
r�ésCom que aquests
vectors són linealment independents i les rectes estallen o s’encreuen.
Per veure quin és el cas, hem de considerar un vec-tor que vagi d’un punt de r a un punt de r�i veuresi és linealment dependent amb
Si prenem A �(0, 1, 2) r i B �(1, 0, �1) r�,
són linealment independents.
Per tant, les dues rectes s’encreuen.
e)Obtenim les equacions implícites de r:
xy
xy
yzyz
==
=+
++=
25
5100
53
445150
xkkx
ykky
zkkz
=+=
==
==+
22
55
343
4
[], ABuiv������
131
153
344
120 =
[](,,)(,,), AB����
== 100112113
�� uv ,.
31
53
44
,�v=(,,). 134
�u=(,,), 354
������uviAB ,[]
== 1111
33660
F2F22 F1
113
225
330
113
0011
33
=
00
=
[](,(),)(,,) AB����
== 431130123
�� uiv:
13
25
30
�� uiv
�v=(,,). 350
�u=(,,), 123Estudiem la compatibilitat del sistema definit perles equacions implícites:
Determinem els rangs de M i M�:
Hem obtingut que rang (M) �rang (M�) �3; pertant, les dues rectes es tallen.
Per trobar les coordenades del punt de tall reso-lem el sistema equivalent a l’inicial:
El punt de tall és, doncs, el de coordenades (2, 0, �3).
51.Perquè dues rectes es tallin, el sistema format per lesseves equacions implícites ha de tenir rang (M)��rang (M�)�3.
xyz
xyz
xyz
xyz
++=
+=
=
+=
2
238
1
2
xz
yz
z
xyz
+=
=
=
===
1
3
3
20 ,,3
101
011
001
000
1
3
3
0
F4F4+4 F3
——————�
101
011
001
004
1
3
3
12
F3F3+4 F2F4F4F2
——————�
101
011
045
015
1
3
15
15
F2F3
———�
101
045
011
015
1
15
3
15
F3F3F1F4F45 F1
——————�
101
045
110
510
1
15
2
10
F1F4
———�
510
045
110
101
10
15
2
1
510
4515
2
1
xy
yz
xy
xz
=
+=
=
+=
106
6. G
eom
etria
afí
c) Un vector director de r és i un vec-
tor director de r� és Vegem quina
relació de dependència lineal mantenen:
són linealment indepen-
dents.
Per tant, les rectes o es tallen o s’encreuen.
Per a veure en quina situació som, hem de veure siel vector que va d’un punt qualsevol de r, perexemple A � (3, �1, 0), a un punt qualsevol de r�,per exemple B � (4, 1, 3), és linealment depen-dent o no amb
Per tant, són linealment indepen-dents, la qual cosa significa que les dues rectess’encreuen.
d) Un vector director de r és i un de
r� és Com que aquests
vectors són linealment independents i les rectes estallen o s’encreuen.
Per veure quin és el cas, hem de considerar un vec-tor que vagi d’un punt de r a un punt de r� i veuresi és linealment dependent amb
Si prenem A � (0, 1, 2) r i B � (1, 0, �1) r�,
són linealment independents.
Per tant, les dues rectes s’encreuen.
e) Obtenim les equacions implícites de r:
xy
x y
y zy z
= =
=+
+ + =
25
5 10 0
53
44 5 15 0
x k k x
y k ky
z k kz
= + =
= =
= =+
2 2
55
3 43
4
[ ],AB u i v� ��� � �
1 3 1
1 5 3
3 4 4
12 0=
[ ] ( , , ) ( , , ),AB� ���
= =1 0 0 1 1 2 1 1 3
� �u v, .
31
53
44
,�v = ( , , ).1 3 4
�u = ( , , ),3 5 4
� � � ���u v i AB, [ ]
= =111 1
3 366 0
F2 F2 2 F1
1 1 3
2 2 5
3 3 0
1 1 3
0 0 11
3 3
=
00
=
[ ] ( , ( ), ) ( , , )AB� ���
= =4 3 1 1 3 0 1 2 3
� �u i v:
13
25
30
� �u i v
�v = ( , , ).3 5 0
�u = ( , , ),1 2 3 Estudiem la compatibilitat del sistema definit perles equacions implícites:
Determinem els rangs de M i M�:
Hem obtingut que rang (M) � rang (M�) � 3; pertant, les dues rectes es tallen.
Per trobar les coordenades del punt de tall reso-lem el sistema equivalent a l’inicial:
El punt de tall és, doncs, el de coordenades (2, 0, �3).
51. Perquè dues rectes es tallin, el sistema format per lesseves equacions implícites ha de tenir rang (M) �� rang (M�) � 3.
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ =
=
+ =
2
2 3 8
1
2
x z
y z
z
x y z
+ =
=
=
= = =
1
3
3
2 0, , 3
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 0
1
3
3
0
F4 F4 + 4 F3
——————�
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0 0 4
1
3
3
12
F3 F3 + 4 F2F4 F4 F2
——————�
1 0 1
0 1 1
0 4 5
0 1 5
1
3
15
15
F2 F3
———�
1 0 1
0 4 5
0 1 1
0 1 5
1
15
3
15
F3 F3 F1F4 F4 5 F1
——————�
1 0 1
0 4 5
1 1 0
5 1 0
1
15
2
10
F1 F4
———�
5 1 0
0 4 5
1 1 0
1 0 1
10
15
2
1
5 10
4 5 15
2
1
x y
y z
x y
x z
=
+ =
=
+ =
CM
YK
107
6. Geom
etria afíEsglaonem la matriu M� per determinar el seu rang iel de M en funció del valor de :
Per tant, rang (M) � rang (M�) � 3 2 � � 0 � 2.
En aquest cas, el punt de tall serà la solució del se-güent sistema esglaonat, equivalent a l’inicial:
El punt de tall és P � (1, 2, �1 ).
52. Com que la recta ha de passar per l’origen, aquest,O � (0, 0, 0), serà un punt de pas.
Per a trobar un vector director, imposarem que siguiparal.lela, és a dir, que tingui el mateix vector directorque la recta intersecció dels plans 1 i 2, és a dir, d’e-quació implícita:
Per a trobar el vector director d’aquesta recta, expres-sem les coordenades dels punts de la recta en funciód’un paràmetre, i obtenim així unes equacions pa-ramètriques: els coeficients del paràmetre són elscomponents d’un vector director.
i si prenem z com a paràmetre:
x z
x y z
x k
y k
z k
=
+ = +
=
= +
=
1 2
3 2
1 2
13
x z
x y z
+ =
+ =
2 1
3 2
x z
x y z
+ + =
+ + =
2 1 0
3 2 0
x y z
y z
z
x y
+ + =
=
=
= =,
2
4 6
1
1 2 , z = 1
1 1 1
0 1 4
0 0 1
0 0 0
2
6
1
2
F4 F4 + (5 + 5 ) F3
—————————�
1 1 1
0 1 4
0 0 1
0 0 5 5
2
6
+
1
7 4
F4F3 —8
———�
1 1 1
0 1 4
0 0 5 5
0 0 8
2
6
7 4+
8
F3 F3 + (1 + ) F2F4 F4 + 2 F2
—————————�
1 1 1
0 1 4
0 1 1
0 2 0
2
6
1 2
4
F2 F2 F1F3 F3 F1F4 F4 F1
——————�
1 1 1
1 2 3
1 1
1 1 1
2
8
1
2
Un vector director de la recta donada, i per tant de labuscada, és (�2, 1, 1).
Així, l’equació vectorial de la recta buscada és:
r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + k ( 2, 1, 1)
i a partir d’aquesta podem obtenir totes les altres.
Equacions paramètriques:
Equacions contínues:
Equacions implícites:
53. a) els plans són secants.
b) Determinem l’equació general de a partir d’unpunt de pas, P � (0, 3, 0), i de dos vectors direc-tors,
x y z + 3 = 0
Com que els plans són pa-
ral.lels.
c) Determinem l’equació general de tenint encompte que un punt de pas és P � (1, �7, 0) i dosvectors directors linealment independents són
4 x + 8 y + 5 z + 52 = 0
Com que els plans són paral-
lels.
54. L’equació de en funció de � és l’equació del feixde plans secants en la recta r que no inclou el pla a�x � b�y � c�z � d�.
En efecte:
ax � by � cz � d i a�x � b�y � c�z � d� són les equa-cions generals de dos plans que contenen r; per tant,l’equació general de qualsevol pla que conté r és:
(ax + by + cz d) + (a�x + b�y + c�z d�) = 0
i si � 0 (és a dir, si no considerem el pla a�x � � b�y � c�z � d�), podem dividir per i, definint
tenim:= ,
44
88
55
352
= = ,
0
1 1 2
7 3 1
4 0
4 8 5 52= + = + + +
x
y
z
x y z
� �u i v= =( , , ) ( , , )1 3 4 2 1 0 :
11
11
11
33
= = ,
0
1 1
3 0 1
1 2
3= = +
x
y
z
x y z
� �u i v= =( , , ) ( , , )1 0 1 1 1 2 :
31
21
x y
y z
+ =
=
2 0
0
xy z= =
2
x k
y k
z k
=
=
=
2
107
6. G
eom
etria
afí
Esglaonem la matriu M�per determinar el seu rang iel de M en funció del valor de :
Per tant, rang (M) �rang (M�) �3 2 ��0 �2.
En aquest cas, el punt de tall serà la solució del se-güent sistema esglaonat, equivalent a l’inicial:
El punt de tall és P �(1, 2, �1 ).
52.Com que la recta ha de passar per l’origen, aquest,O �(0, 0, 0), serà un punt de pas.
Per a trobar un vector director, imposarem que siguiparal.lela, és a dir, que tingui el mateix vector directorque la recta intersecció dels plans 1i 2, és a dir, d’e-quació implícita:
Per a trobar el vector director d’aquesta recta, expres-sem les coordenades dels punts de la recta en funciód’un paràmetre, i obtenim així unes equacions pa-ramètriques: els coeficients del paràmetre són elscomponents d’un vector director.
i si prenem z com a paràmetre:
xz
xyz
xk
yk
zk
=
+=+
=
=+
=
12
32
12
13
xz
xyz
+=
+=
21
32
xz
xyz
++=
++=
210
320
xyz
yz
z
xy
++=
=
=
== ,
2
46
1
12,z=1
111
014
001
000
2
6
1
2
F4F4+(5 +5 ) F3
—————————�
111
014
001
0055
2
6
+
1
74
F4F3—
8———�
111
014
0055
008
2
6
74 +
8
F3F3+(1 +) F2F4F4+2 F2
—————————�
111
014
011
020
2
6
12
4
F2F2F1F3F3F1F4F4F1
——————�
111
123
11
111
2
8
1
2
Un vector director de la recta donada, i per tant de labuscada, és (�2, 1, 1).
Així, l’equació vectorial de la recta buscada és:
r: (x, y, z) =(0, 0, 0) +k(2, 1, 1)
i a partir d’aquesta podem obtenir totes les altres.
Equacions paramètriques:
Equacions contínues:
Equacions implícites:
53.a)els plans són secants.
b)Determinem l’equació general de a partir d’unpunt de pas, P �(0, 3, 0), i de dos vectors direc-tors,
x y z +3 =0
Com que els plans són pa-
ral.lels.
c)Determinem l’equació general de tenint encompte que un punt de pas és P �(1, �7, 0) i dosvectors directors linealment independents són
4 x +8 y +5 z +52 =0
Com que els plans són paral-
lels.
54.L’equació de en funció de �és l’equació del feixde plans secants en la recta r que no inclou el pla a�x �b�y �c�z �d�.
En efecte:
ax �by �cz �d i a�x �b�y �c�z �d�són les equa-cions generals de dos plans que contenen r; per tant,l’equació general de qualsevol pla que conté r és:
(ax +by +cz d) +(a�x +b�y +c�z d�) =0
i si �0 (és a dir, si no considerem el pla a�x � �b�y �c�z �d�), podem dividir per i, definint
tenim: =,
44
88
55
352
==,
0
112
731
40
48552 =+=+++
x
y
z
xyz
�� uiv == (,,)(,,) 134210:
11
11
11
33
==,
0
11
301
12
3 ==+
x
y
z
xyz
�� uiv == (,,)(,,) 101112:
31
21
xy
yz
+=
=
20
0
xyz ==
2
xk
yk
zk
=
=
=
2
C M
Y K
108
6. Geom
etria afí
ax +by +cz d +(a�x +b�y +c�z d�) =0
(a +a�) x +(b +b�) y +(c +c�) z =d +d�
Per tant, per a qualsevol valor de , aquest pla con-tindrà r:
—Tal com acabem de veure, l’equació d’un pla qual-sevol que contingui la recta r�, diferent del pla x �y �z �1, és:
(1 +) x +(1) y +(1 ) z =2 +
Determinem el valor de necessari perquè, a més,el pla del feix contingui el punt (0, 1, 2):
(1 +) 0 +(1) 1 +(1 ) 2 =2 +
Per tant, l’equació general del pla buscat és:
55.El pla no és coincident amb el pla x +2 y z +
+1 �0, perquè per tant, n’hi
ha prou de veure si el pla pertany al feix de plans sen-se tenir en compte el valor �0.
Aleshores, podem dividir els dos membres de l’equa-
ció del feix per i, definintn’hi ha prou de
veure si existeix algun valor de per al qual l’equació:
(x +2 y z +1) +2 x y +3 =0
(+2) x +(2 1) y z ++3 =0
és la del pla .
Dit d’una altra manera, volem veure si per a algun va-lor de són coincidents els plans d’equacions:
(+2) x +(2 1) y z ++3 =0
i3 x 4 y +z +5 =0
Perquè això succeeixi, els coeficients han de ser pro-porcionals, és a dir, s’ha de complir:
que és equivalent al sistema:
+=
=
=+
23
214
2141
13
5
+===
+ 23
2141
35
=
31
42
11
51
,
12
32
32
32
3330 xyzxyz +=+= ,
=212
112
12
1112
++ xyz==
+=+= 122212
,
Per tant, aquest sistema té solució, per la qual
cosa el pla pertany al feix de plans (prenent, per
exemple,
56.Com que tots els plans vénen donats per la seva equa-ció general, per estudiar-ne la posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals. Per a fer-ho, calcularem elrang de les matrius de coeficients, M, i de les matriusampliades, M�, d’aquest sistema:
a)
Així, rang (M) �rang (M�) �2; per tant, els tresplans tenen en comú una recta. Vegem si hi haplans coincidents:
1i 2no són coincidents.
1i 3no són coincidents.
2i 3no són coincidents.
Per tant, els tres plans es tallen en una recta.
b)
120
314
125
2
5
0
F1F2
———�
314
120
125
5
2
0
345
22
250
xyz
xy
xyz
++=
=
++=
13
13
13
23
11
21
123
034
000
1
5
0
F3F3F2
—————�
123
034
034
1
5
5
F2F2F1F3F33 F1
——————�
123
111
335
1
4
2
xyz
xyz
xyz
+=
+=
+=
231
4
3352
==== 1212
,. ijaque
=12
,
=
=
=+
=
=
486
214
53
1211212
=
108
6. G
eom
etria
afí
ax + by + cz d + (a�x + b�y + c�z d�) = 0
(a + a�) x + (b + b�) y + (c + c�) z = d + d�
Per tant, per a qualsevol valor de , aquest pla con-tindrà r:
— Tal com acabem de veure, l’equació d’un pla qual-sevol que contingui la recta r�, diferent del pla x � y � z � 1, és:
(1 + ) x + ( 1) y + (1 ) z = 2 +
Determinem el valor de necessari perquè, a més,el pla del feix contingui el punt (0, 1, 2):
(1 + ) 0 + ( 1) 1 + (1 ) 2 = 2 +
Per tant, l’equació general del pla buscat és:
55. El pla no és coincident amb el pla x + 2 y z +
+ 1 � 0, perquè per tant, n’hi
ha prou de veure si el pla pertany al feix de plans sen-se tenir en compte el valor � 0.
Aleshores, podem dividir els dos membres de l’equa-
ció del feix per i, definint n’hi ha prou de
veure si existeix algun valor de per al qual l’equació:
(x + 2 y z + 1) + 2 x y + 3 = 0
( + 2) x + (2 1) y z + + 3 = 0
és la del pla .
Dit d’una altra manera, volem veure si per a algun va-lor de són coincidents els plans d’equacions:
( + 2) x + (2 1) y z + + 3 = 0
i3 x 4 y + z + 5 = 0
Perquè això succeeixi, els coeficients han de ser pro-porcionals, és a dir, s’ha de complir:
que és equivalent al sistema:
+=
=
=+
23
2 14
2 14 1
13
5
+= = =
+23
2 14 1
35
=
31
42
11
51
,
12
32
32
32
3 3 3 0x y z x y z+ = + =,
= 212
112
12
1 112
+ +x y z ==
+ = + =1 2 2 212
,
Per tant, aquest sistema té solució, per la qual
cosa el pla pertany al feix de plans (prenent, per
exemple,
56. Com que tots els plans vénen donats per la seva equa-ció general, per estudiar-ne la posició relativa hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions generals. Per a fer-ho, calcularem elrang de les matrius de coeficients, M, i de les matriusampliades, M�, d’aquest sistema:
a)
Així, rang (M) � rang (M�) � 2; per tant, els tresplans tenen en comú una recta. Vegem si hi haplans coincidents:
1 i 2 no són coincidents.
1 i 3 no són coincidents.
2 i 3 no són coincidents.
Per tant, els tres plans es tallen en una recta.
b)
1 2 0
3 1 4
1 2 5
2
5
0
F1 F2
———�
3 1 4
1 2 0
1 2 5
5
2
0
3 4 5
2 2
2 5 0
x y z
x y
x y z
+ + =
=
+ + =
13
13
13
23
11
21
1 2 3
0 3 4
0 0 0
1
5
0
F3 F3 F2
—————�
1 2 3
0 3 4
0 3 4
1
5
5
F2 F2 F1F3 F3 3 F1
——————�
1 2 3
1 1 1
3 3 5
1
4
2
x y z
x y z
x y z
+ =
+ =
+ =
2 3 1
4
3 3 5 2
= = = =1 212
, .i ja que
=12
,
=
=
= +
=
=
4 8 6
2 1 4
5 3
1211212
=
CM
YK
109
6. Geom
etria afí
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, els tres planses tallen en un punt.
c)
Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, els tresplans no es tallen i només tenen una direcció encomú. Determinem si hi ha paral.lelismes:
1 i 2 no són paral.lels.
1 i 3 són paral.lels.
Per tant, 1 i 3 són paral.lels i secants a 2.
57. Perquè els tres plans es tallin en una recta, el sistemaformat per les seves equacions generals ha de tenirrang (M) � rang (M�) � 2.
Calculem els rangs d’aquestes matrius esglaonant M�:
s’ha de complir:
0
1 1 0
0 1
0 0 1
1 1=
+
= + =( ) ( )
( ) ,M rang=
+
=
1 1 0
0 1
0 0 1
2Perquè el rang
1 1 0
0 1
0 0 1
1
0+
F3 F3 + F2
—————�
1 1 0
0 1
0
1F2 F2 F1F3 F3 F1
——————�
1 1 0
0 1
1 1
1
0
1+ +
12
24
12
= =
11
23
12
1 2 1
0 1 3
0 0 0
1
4
9
F2 F2 F1F3 F3 2 F1
——————�
1 2 1
1 3 2
2 4 2
1
3
7
x y z
x y z
x y z
+ =
+ + =
+ + =
2 1
3 2 3
2 4 2 7
1 2 0
0 7 4
0 0197
2
1
107
4F3 F3 — F27
———————�
1 2 0
0 7 4
0 4 5
2
1
2
F2 F2 3 F1F3 F3 F1
——————�
= ( + 1) = 0 o = 1
En tots dos casos, rang (M�) � 2, ja que:
• Si = 0,
F3 F3 F2
• Si = 1,
Per tant, els tres plans es tallen en una recta si i noméssi � 0 o � �1.
58. Com que les equacions implícites d’una recta són elsistema format per les equacions generals de dos plans(diferents) que la continguin, les equacions implícitesde la recta r � 1 � 2 són:
Les equacions implícites de la recta s � 1 � 3 són:
Per a esbrinar la posició relativa de les rectes r i s, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions implícites. A més, com que l’equaciógeneral de 1 es troba en tots dos conjunts d’equa-cions implícites, aquest sistema serà equivalent a:
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, les dues rectes estallen en un punt.
1 1 1
0 2 2
0 0 2
1
1
0
F3 F3 F2
—————�
1 1 1
0 2 2
0 2 0
1
1
1
F2 F2 F1F3 F3 F1
—————�
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
0
0
x y z
x y z
x y z
+ + =
=
+ =
1
0
0
x y z
x y z
+ + =
+ =
1
0
x y z
x y z
+ + =
=
1
0
rang M rang( ) = =
1 1 0
0 1 1
0 0 0
1
1
0
2
= =rang
1 1 0
0 0 1
0 0 0
1
0
0
2
rang M rang( ) = =
1 1 0
0 0 1
0 0 1
1
0
0
109
6. G
eom
etria
afí
Com que rang (M) �rang (M�) �3, els tres planses tallen en un punt.
c)
Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, els tresplans no es tallen i només tenen una direcció encomú. Determinem si hi ha paral.lelismes:
1i 2no són paral.lels.
1i 3són paral.lels.
Per tant, 1i 3són paral.lels i secants a 2.
57.Perquè els tres plans es tallin en una recta, el sistemaformat per les seves equacions generals ha de tenirrang (M) �rang (M�) �2.
Calculem els rangs d’aquestes matrius esglaonant M�:
s’ha de complir:
0
110
01
001
11 =
+
=+= ()()
(), Mrang =
+
=
110
01
001
2 Perquè el rang
110
01
001
1
0 +
F3F3+F2
—————�
110
01
0
1F2F2F1F3F3F1
——————�
110
01
11
1
0
1 ++
12
24
12
==
11
23
12
121
013
000
1
4
9
F2F2F1F3F32 F1
——————�
121
132
242
1
3
7
xyz
xyz
xyz
+=
++=
++=
21
323
2427
120
074
00197
2
1
107
4F3F3—F2
7———————�
120
074
045
2
1
2
F2F23 F1F3F3F1
——————�
=(+1) =0 o =1
En tots dos casos, rang (M�) �2, ja que:
•Si =0,
F3F3F2
•Si =1,
Per tant, els tres plans es tallen en una recta si i noméssi �0 o ��1.
58.Com que les equacions implícites d’una recta són elsistema format per les equacions generals de dos plans(diferents) que la continguin, les equacions implícitesde la recta r �1�2són:
Les equacions implícites de la recta s �1�3són:
Per a esbrinar la posició relativa de les rectes r i s, hemd’estudiar la compatibilitat del sistema format per lesseves equacions implícites. A més, com que l’equaciógeneral de 1es troba en tots dos conjunts d’equa-cions implícites, aquest sistema serà equivalent a:
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) �rang (M�) �3, les dues rectes estallen en un punt.
111
022
002
1
1
0
F3F3F2
—————�
111
022
020
1
1
1
F2F2F1F3F3F1
—————�
111
111
111
1
0
0
xyz
xyz
xyz
++=
=
+=
1
0
0
xyz
xyz
++=
+=
1
0
xyz
xyz
++=
=
1
0
rangMrang ()==
110
011
000
1
1
0
2
== rang
110
001
000
1
0
0
2
rangMrang ()==
110
001
001
1
0
0
C M
Y K
110
6. Geom
etria afí
El punt és
59.Com que el pla ve donat per la seva equació general ila recta per les seves equacions implícites, per a estu-diar-ne la posició relativa el més senzill és estudiar lacompatibilitat del sistema format per aquestes equa-cions:
a)
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta i elpla es tallen en un punt.
El punt de tall és
b)
i si esglaonem M�:
Com que rang (M) �rang (M�) �3, la recta és se-cant al pla.
El punt de tall és
60.Determinem en primer lloc les equacions implícitesde r.
Com que A �(1, 0, 1) i B �(3, 1, �4) són punts de
pas, el vector =(2, 1, 5)és un vector director de la recta. Per tant, una equació
[](,,) AB����
=311041
326
1526
0 ,,.
150
0260
001
3
15
0
F2F25 F1
——————�
150
510
001
3
0
0
F1F2
———�
510
150
001
0
3
0
50
53
0
xy
xy
z
+=
=
=
2135
2135
115
,,.
131
071
0057
1
2
117
2F3F3—F2
7——————�
131
071
021
1
2
1
F2F22 F1F3F3F1
——————�
131
211
110
1
4
0
xyz
xyz
xy
++=
+=
+=
31
24
0
12
12
0 ,,.vectorial de r és:
(x, y, z) =(1, 0, 1) +k (2, 1, 5)
A partir d’aquesta, podem obtenir les equacions im-plícites de r:
Trobem ara el valor de m per al qual r és secant a r�, ésa dir, perquè el sistema d’equacions format per lesequacions implícites de r i r�sigui compatible deter-minat.
i si esglaonem la matriu ampliada, M�:
El teorema de Rouché-Frobenius ens diu que el siste-ma d’equacions és compatible determinat si i noméssi rang (M) �rang (M�) �3, i com que:
m 1 =0
rangMrang
m
()=
120
010
001
000
1
0
1
1
=3
120
010
001
000
1
0
1
1 m
F3F4
———�
120
010
000
001
1
0
1
1
mF4F45 F2
——————�
120
010
000
051
1
0
1
1
mF2F4
———�
120
051
000
010
1
1
1
0
m
F3F3F1F4F4F1
—————�
120
051
120
110
1
1
0
m
xy
yz
xym
xy
=
+=
=
=
21
51
2
1
xyxy
yz
yz
==
=+=
12
210
15
510
xk
yk
zk
xy
z=+
=
=
==
12
15
12
15
110
6. G
eom
etria
afí
El punt és
59. Com que el pla ve donat per la seva equació general ila recta per les seves equacions implícites, per a estu-diar-ne la posició relativa el més senzill és estudiar lacompatibilitat del sistema format per aquestes equa-cions:
a)
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta i elpla es tallen en un punt.
El punt de tall és
b)
i si esglaonem M�:
Com que rang (M) � rang (M�) � 3, la recta és se-cant al pla.
El punt de tall és
60. Determinem en primer lloc les equacions implícitesde r.
Com que A � (1, 0, 1) i B � (3, 1, �4) són punts de
pas, el vector = (2, 1, 5)és un vector director de la recta. Per tant, una equació
[ ] ( , , )AB� ���
= 3 1 1 0 4 1
326
1526
0, , .
1 5 0
0 26 0
0 0 1
3
15
0
F2 F2 5 F1
——————�
1 5 0
5 1 0
0 0 1
3
0
0
F1 F2
———�
5 1 0
1 5 0
0 0 1
0
3
0
5 0
5 3
0
x y
x y
z
+ =
=
=
2135
2135
115
, , .
1 3 1
0 7 1
0 057
1
2
117
2F3 F3 — F27
——————�
1 3 1
0 7 1
0 2 1
1
2
1
F2 F2 2 F1F3 F3 F1
——————�
1 3 1
2 1 1
1 1 0
1
4
0
x y z
x y z
x y
+ + =
+ =
+ =
3 1
2 4
0
12
12
0, , .vectorial de r és:
(x, y, z) = (1, 0, 1) + k (2, 1, 5)
A partir d’aquesta, podem obtenir les equacions im-plícites de r:
Trobem ara el valor de m per al qual r és secant a r�, ésa dir, perquè el sistema d’equacions format per lesequacions implícites de r i r� sigui compatible deter-minat.
i si esglaonem la matriu ampliada, M�:
El teorema de Rouché-Frobenius ens diu que el siste-ma d’equacions és compatible determinat si i noméssi rang (M) � rang (M�) � 3, i com que:
m 1 = 0
rang M rang
m
( ) =
1 2 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
0
1
1
= 3
1 2 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
0
1
1m
F3 F4
———�
1 2 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
1
0
1
1
mF4 F4 5 F2
——————�
1 2 0
0 1 0
0 0 0
0 5 1
1
0
1
1
mF2 F4
———�
1 2 0
0 5 1
0 0 0
0 1 0
1
1
1
0
m
F3 F3 F1F4 F4 F1
—————�
1 2 0
0 5 1
1 2 0
1 1 0
1
1
0
m
x y
y z
x y m
x y
=
+ =
=
=
2 1
5 1
2
1
xy x y
yz
y z
= =
= + =
12
2 1 0
15
5 1 0
x k
y k
z k
xy
z= +
=
=
= =
1 2
1 5
12
15
CM
YK
111
6. Geom
etria afítenim que el valor del paràmetre perquè r i r� es tallinen un punt és m � 1.
Finalment, podem trobar les coordenades del punt detall resolent el sistema d’equacions, equivalent a l’inicial:
El punt de tall és el de coordenades (1, 0, 1).
61. Trobem les equacions paramètriques de s� per poderdeterminar un vector director d’aquesta recta.
Per a fer-ho, resolem el sistema d’equacions constituïtper les equacions implícites de s� prenent com a parà-metre y � k:
Les equacions paramètriques de s� són:
Per tant, o millor encara, el vector
és un vector director de s�.
Com que un vector director de s és i duesrectes són paral.leles si i només si els seus vectors direc-tors són linealment dependents, s’ha de complir:
és a dir:
14
3
32 1
9
1 12
27 2 1
=
=+
=
= +
m
m
m
m
m ==
=
13
13m
14
31
2 19
= =+m m
�v = ( , , )4 1 9
�v m m= +( , , ),1 3 2 1
13
12 1
3
+m m, , ,
xm
k
y k
xm
k
=
=
= ++
13
12 1
3
=+ + +
= ++1 2 2
31
2 13
k mk mk
z
mk
k=
+=
1 1
2 1
1 1
2 1
=+ +
=1 1
31
3mk k m
k
x
mk
k=
+=
1 1
1 1
1 1
2 1
x z my
x z y
x z mk
x z k
=
+ = +
=
+ = +
1
2 1
1
2 1
x y
y
z
x y z
=
=
=
= = =
2 1
0
1
1 0 1, ,
El valor buscat és m � 13.
62. La determinació de la posició relativa d’una recta i unpla es fa a partir de l’estudi dels rangs de les matriusM i M� associades al sistema format per les equacionsimplícites de la recta i l’equació general del pla. En elnostre cas:
I si calculem el determinant de M:
= 9 m 6 + m2 4 = m2 + 9 m 10
Com que 0 = �M� = m2 + 9 m 10 m = 1 o m == 10, tenim que:
• Si m � 1 i m � �10, �M� � 0 rang (M) � 3 rang (M�) � 3; per tant, en aquest cas el pla i la
recta es tallen en un punt.
• Si m � 1, tenim el sistema:
I si calculem els rangs de M i M�:
Per tant, rang (M) � rang (M�) � 2 i en aquest casel pla conté la recta.
• Si m � �10, tenim el sistema:
I si calculem els rangs de M i M�:
Per tant, rang (M) � 2 i rang (M�) � 3; així, doncs,en aquest cas la recta és paral.lela al pla.
= 22 0 rang (M�) = 3
10 3 1
3 1 1
2 1 1
= 5 0 rang (M) = 2 i rang (M�) 23 1
2 1
+ =
+ =
=
10 3 2 1
3 1
2 10 1
x y z
x y
x y z
1 3 1
3 1 1
2 1 1
0 3= <( )rang M
= 5 0 rang (M) = 2, rang (M�) 23 1
2 1
x y z
x y
x y z
+ =
+ =
+ =
3 2 1
3 1
2 1
M
m
mm
m
m= = + =
3 2
3 1 0
2 1
33 2
1
2
2
mx y z
x y
x y mz
+ =
+ =
+ =
3 2 1
3 1
2 1
111
6. G
eom
etria
afí
tenim que el valor del paràmetre perquè r i r�es tallinen un punt és m �1.
Finalment, podem trobar les coordenades del punt detall resolent el sistema d’equacions, equivalent a l’inicial:
El punt de tall és el de coordenades (1, 0, 1).
61.Trobem les equacions paramètriques de s�per poderdeterminar un vector director d’aquesta recta.
Per a fer-ho, resolem el sistema d’equacions constituïtper les equacions implícites de s�prenent com a parà-metre y �k:
Les equacions paramètriques de s�són:
Per tant, o millor encara, el vector
és un vector director de s�.
Com que un vector director de s ési duesrectes són paral.leles si i només si els seus vectors direc-tors són linealment dependents, s’ha de complir:
és a dir:
14
3
321
9
112
2721
=
=+
=
=+
m
m
m
m
m==
=
13
13 m
14
31
219
==+ mm
�v=(,,) 419
�vmm =+ (,,), 1321
13
121
3
+ mm,,,
xm
k
yk
xm
k
=
=
=++
13
121
3
=+++
=++ 122
31
213
kmkmk
z
mk
k=
+=
11
21
11
21
=++
=11
31
3mkkm
k
x
mk
k=
+=
11
11
11
21
xzmy
xzy
xzmk
xzk
=
+=+
=
+=+
1
21
1
21
xy
y
z
xyz
=
=
=
===
21
0
1
101 ,,
El valor buscat és m �13.
62.La determinació de la posició relativa d’una recta i unpla es fa a partir de l’estudi dels rangs de les matriusM i M�associades al sistema format per les equacionsimplícites de la recta i l’equació general del pla. En elnostre cas:
I si calculem el determinant de M:
=9 m 6 +m24 =m2+9 m 10
Com que0 =�M�=m2+9 m 10 m =1 o m ==10, tenim que:
•Si m �1 i m ��10, �M��0 rang (M) �3 rang (M�) �3; per tant, en aquest cas el pla i la
recta es tallen en un punt.
•Si m �1, tenim el sistema:
I si calculem els rangs de M i M�:
Per tant, rang (M) �rang (M�) �2 i en aquest casel pla conté la recta.
•Si m ��10, tenim el sistema:
I si calculem els rangs de M i M�:
Per tant, rang (M) �2 i rang (M�) �3; així, doncs,en aquest cas la recta és paral.lela al pla.
=22 0 rang (M�) =3
1031
311
211
=5 0 rang (M) =2 i rang (M�) 231
21
+=
+=
=
10321
31
2101
xyz
xy
xyz
131
311
211
03 =< () rangM
=5 0 rang (M) =2, rang (M�) 231
21
xyz
xy
xyz
+=
+=
+=
321
31
21
M
m
mm
m
m==+=
32
310
21
332
1
2
2
mxyz
xy
xymz
+=
+=
+=
321
31
21
C M
Y K
112
6. Geom
etria afí
63.Dues rectes estan contingudes en un mateix pla si i no-més si són coincidents, paral.leles o es tallen.
•Les rectes són coincidents o paral.leles si i només si elsseus vectors directors són linealment dependents.Un vector director de r és i un vec-
tor director de s és
Com que aquests vectors no poden ser
linealment dependents; per tant, aquest cas no espot donar.
•Les rectes es tallen si i només sisón li-nealment dependents, i B és un punt de r i C un puntde s.
Si prenem B �(1, 0, m) i C �(0, 0, �1), =
�(0 �1, 0 �0, �1 �m) �(�1, 0, �1 �m), i elstres vectors seran linealment dependents si i noméssi el determinant de la matriu que té per columnesles seves components és 0:
=(4 +m) +(1 m) (3 m 4) =
=3 m2m =0
Les rectes són sobre el mateix pla si m �0.
—Si m �1, les rectes s’encreuen i tenen per equa-cions:
Busquem una recta que passa per A �(1, 1, 2) ité un punt en comú amb r i amb s. En particular,aquesta recta passarà per dos punts del pla , queconté r i passa per A, i per dos punts del pla
�, que conté s i passa per A, la qual cosa signifi-ca que està continguda en aquests plans.
Així, les equacions generals de i de �són unesequacions implícites de la recta buscada.
•Equació general de :
El punt B�(1,0,1) és de r i el vector =(3, 2, �1)és vector director de r; per tant, també ho sónde .Com que A �(1, 1, 2) és un altre punt de , unaltre vector director de és:
Com que són linealment indepen-
dents, una equació general del pla és:
�����uiBA []
[](,,)(,,) BA����
== 111021011
�u
rxyz
sxyz
:: ====+ 1
321
1211
2,
=++= 434342
mmmm
=+= ()2
121
32
2
mm
m
0
132
02
112
== m
m
[] BC����
{[],,} BCuv������
32
12
,
�vm =(,,). 22
�u=(,,), 321x y +z 2 =0
•Equació general de �:
El punt C�(0, 0, �1) és de s i el vector =(2, 1, 2)és vector director de s; per tant, també ho sónde �.
Com que A �(1, 1, 2) és un altre punt de �,un altre vector de �és:
Com quesón linealment indepen-dents, una equació general del pla �és:
x 4 y +z +1 =0
Unes equacions implícites de la recta buscada són:
64.Perquè els tres plans es tallin en una recta, s’ha de com-plir rang (M) �rang (M�) �2, en què M és la matriude coeficients i M�la matriu ampliada associades al sis-tema format per les equacions generals dels tres plans.
Determinem els rangs de M i M�esglaonant M�:
Es compleix rang (M) �rang (M�) �2 m �1 �0i n �1 �0; per tant, els paràmetres han de valer m ��1i n �1.
65.La recta buscada, s, talla r�i passa per A; per tant, es-tarà continguda en el pla que conté r�i el punt A.
Per determinar l’equació general de , tindrem encompte:
•C =(3, 0, 0) r �C =(3, 0, 0) és un punt de.
•és un vector director de r�; per tant,
també ho és de .
�u=(,,) 253
121
030
001
2
3
1 + mn
1 2 mF3F3+————F2
3—————————�
121
030
0211
2
3
2 + mmnm
F2F22 F1F3F3m F1
——————�
1212
2121
11 mn
F1F2
———�
2121
1212
11 mn
xyz
xyz
+=
++=
20
410
0
21
11
123
41 =
+
=++
x
y
z
xyz
��� ��viCA []
[](,,())(,,) CA�� ��
== 101021113
�v
0
130
21
111
3336 ==+
x
y
z
xyz
112
6. G
eom
etria
afí
63. Dues rectes estan contingudes en un mateix pla si i no-més si són coincidents, paral.leles o es tallen.
• Les rectes són coincidents o paral.leles si i només si elsseus vectors directors són linealment dependents.Un vector director de r és i un vec-
tor director de s és
Com que aquests vectors no poden ser
linealment dependents; per tant, aquest cas no espot donar.
• Les rectes es tallen si i només si són li-nealment dependents, i B és un punt de r i C un puntde s.
Si prenem B � (1, 0, m) i C � (0, 0, �1), =
� (0 � 1, 0 � 0, �1 � m) � (�1, 0, �1 � m), i elstres vectors seran linealment dependents si i noméssi el determinant de la matriu que té per columnesles seves components és 0:
= (4 + m) + ( 1 m) (3 m 4) =
= 3 m2 m = 0
Les rectes són sobre el mateix pla si m � 0.
— Si m � 1, les rectes s’encreuen i tenen per equa-cions:
Busquem una recta que passa per A � (1, 1, 2) ité un punt en comú amb r i amb s. En particular,aquesta recta passarà per dos punts del pla , queconté r i passa per A, i per dos punts del pla
�, que conté s i passa per A, la qual cosa signifi-ca que està continguda en aquests plans.
Així, les equacions generals de i de � són unesequacions implícites de la recta buscada.
• Equació general de :
El punt B�(1,0,1) és de r i el vector =(3, 2, �1)és vector director de r; per tant, també ho sónde .Com que A � (1, 1, 2) és un altre punt de , unaltre vector director de és:
Com que són linealment indepen-
dents, una equació general del pla és:
� � ���u i BA[ ]
[ ] ( , , ) ( , , )BA� ���
= =1 1 1 0 2 1 0 1 1
�u
rx y z
sx y z
: := = = =+1
3 21
1 2 11
2,
= + + =4 3 4 3 42m m m m
= + =( )2
1 21
3 2
2
mm
m
0
1 3 2
0 2
1 1 2
= =m
m
[ ]BC� ���
{[ ], , }BC u v� ��� � �
32
12
,
�v m= ( , , ).2 2
�u = ( , , ),3 2 1x y + z 2 = 0
• Equació general de �:
El punt C�(0, 0, �1) és de s i el vector =(2, 1, 2)és vector director de s; per tant, també ho sónde �.
Com que A � (1, 1, 2) és un altre punt de �,un altre vector de � és:
Com que són linealment indepen-dents, una equació general del pla � és:
x 4 y + z + 1 = 0
Unes equacions implícites de la recta buscada són:
64. Perquè els tres plans es tallin en una recta, s’ha de com-plir rang (M) � rang (M�) � 2, en què M és la matriude coeficients i M� la matriu ampliada associades al sis-tema format per les equacions generals dels tres plans.
Determinem els rangs de M i M� esglaonant M�:
Es compleix rang (M) � rang (M�) � 2 m � 1 � 0i n � 1 � 0; per tant, els paràmetres han de valer m � �1 i n � 1.
65. La recta buscada, s, talla r� i passa per A; per tant, es-tarà continguda en el pla que conté r� i el punt A.
Per determinar l’equació general de , tindrem encompte:
• C = (3, 0, 0) r � C = (3, 0, 0) és un punt de.
• és un vector director de r�; per tant,
també ho és de .
�u = ( , , )2 5 3
1 2 1
0 3 0
0 0 1
2
3
1+m n
1 2 mF3 F3 + ———— F23—————————�
1 2 1
0 3 0
0 2 1 1
2
3
2+m m n m
F2 F2 2 F1F3 F3 m F1
——————�
1 2 1 2
2 1 2 1
1 1m n
F1 F2
———�
2 1 2 1
1 2 1 2
1 1m n
x y z
x y z
+ =
+ + =
2 0
4 1 0
0
2 1
1 1
1 2 3
4 1=
+
= + +
x
y
z
x y z
� � ���v i CA[ ]
[ ] ( , , ( )) ( , , )CA� ���
= =1 0 1 0 2 1 1 1 3
�v
0
1 3 0
2 1
1 1 1
3 3 3 6= = +
x
y
z
x y z
CM
YK
113
6. Geom
etria afí• Com que A i C són de i = (3 1, 0 2, 0 4) =
és un vector
director de .
Com que són linealment independents, unaequació general de és:
x y + z 3 = 0
Si el pla talla la recta r en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi (perquè si no, no podria tallar r�, jaque r� � ).
Vegem, doncs, si r és secant a . Per a fer-ho, hem decomprovar que el rang de les matrius M i M� associa-des al sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de és 3:
I com que rang (M) � rang (M�) � 3 rang (M) �� 3 �M� � 0:
M é= =
1 0 01 0 11 1 1
1 0 .r s secant a
x
x z
x y z
=
=
+ =
1
2
3
0
3 2 1
5 1
3 2
7 7 7 21= = + +
x
y
z
x y z
� �u i v
= = =( , , ), [ ] ( , , )2 2 412
1 1 2� � ���v AC
[ ]AC� ���
Les coordenades del punt d’intersecció B són la solu-ció del sistema anterior:
Com que A � (1, 2, 4) i B � (1, �3, �1) són dos puntsde s, un vector director d’aquesta recta és:
i per tant,
Unes equacions paramètriques de s són:
Podem simplificar una mica més aquestes equacions si prenem com a punt de pas el corresponent a k � �2, (1, 0, 2), obtenint:
66. Activitat TIC.
67. Activitat TIC.
x
y k
z k
=
=
= +
1
2
x k
y k
z k
x
y k
z
= +
= +
= +
=
= +
= +
1 0
2 1
4 1
1
2
4 kk
� � ���w BA= =
15
0 1 1[ ] ( , , ).
[ ] ( , ( ), ( )) ( , , ),BA� ���
= =1 1 2 3 4 1 0 5 5
x
x z
x y z
x y z
=
=
+ =
= = =
1
2
3
1 3, , 11
1 3 1( , , )=B
113
6. G
eom
etria
afí
•Com que A i C sónde i =(3 1, 0 2, 0 4) =
és un vector
director de .
Com quesón linealment independents, unaequació general de és:
x y +z 3 =0
Si el pla talla la recta r en un únic punt, B, la recta sha de passar-hi (perquè si no, no podria tallar r�, jaque r��).
Vegem, doncs, si r és secant a . Per a fer-ho, hem decomprovar que el rang de les matrius M i M�associa-des al sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de és 3:
I com que rang (M) �rang (M�) �3 rang (M) ��3 �M��0:
Mé ==
100101111
10. rssecanta
x
xz
xyz
=
=
+=
1
2
3
0
321
51
32
77721 ==++
x
y
z
xyz
�� uiv
=== (,,),[](,,) 22412
112 �����vAC
[] AC����
Les coordenades del punt d’intersecció B són la solu-ció del sistema anterior:
Com que A �(1, 2, 4) i B �(1, �3, �1) són dos puntsde s, un vector director d’aquesta recta és:
i per tant,
Unes equacions paramètriques de s són:
Podem simplificar una mica més aquestes equacions si prenem com a punt de pas el corresponent a k ��2, (1, 0, 2), obtenint:
66.Activitat TIC.
67.Activitat TIC.
x
yk
zk
=
=
=+
1
2
xk
yk
zk
x
yk
z
=+
=+
=+
=
=+
=+
10
21
41
1
2
4kk
�����wBA ==
15
011 [](,,).
[](,(),())(,,), BA����
== 112341055
x
xz
xyz
xyz
=
=
+=
===
1
2
3
13 ,,11
131 (,,) = B
C M
Y K
114
7. Geom
etria mètrica
1.ANGLES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI
1.Sabem calcular l’angle format per dues rectes a partirdels respectius vectors directors.
Un vector director de r ésCalculem unvector director de s:
1: x y +z1 =0 té per vector normal =(1, 1, 1).
2: x+3 y =0 té per vector normal
Per tant, un vector director de s és:
D’acord amb la fórmula, l’angle format per r i s és:
Un vector director de rési un de s�és; per tant, l’angle que formen és:
2.L’equació vectorial d’una recta que passa pel punt A �(0, 0, 1) és:
(x, y, z) =(0, 0, 1) +k (v1, v2, v3)(1)
en què (v1, v2, v3) (0, 0, 0).
== arccos,º13
177468499
=++
++++= arccos
430811
16019641
== arcuv
uvcos����
�v=(,,) 381
�u=(,,) 401
== arccos,º2
192684837
=++
++++= arccos
()() 331134
9199116
== arcuv
uvcos����
= �v(,,) 314
���
������
vuu
ijk
ijk =×==++ 12111
130
34
�u2130 =(,,).
�u1=
�u=(,,). 313
Perquè aquesta recta sigui perpendicular a r, el seuvector director ha de ser perpendicular al vector director r, o sigui:
(2) 0 =3 v1v2+2 v3
Si prenem dos vectors,que compleixin això, per exemple i obtenimdues rectes perpendiculars a r que passen per A:
r: (x, y, z) =(0, 0, 1) +k (1, 1, 1)
r: (x, y, z) =(0, 0, 1) +k (0, 2, 1)
—Hi haurà tantes rectes perpendiculars a r que pas-sen per A, d’equació vectorial (1), com vectors di-rectorsperpendiculars ao si-gui, que satisfacin l’equació (2), i que siguinlinealment independents dos a dos, perquè dosvectors directors linealment perpendiculars donenlloc a la mateixa recta.
Com que dos vectors són linealment dependents sii només si les seves components són proporcionals,podem quedar-nos només amb els vectors lineal-ment independents dos a dos que compleixin (2)fixant el valor d’una de les components, per exem-ple v1�1. Així, s’obté el sistema següent:
Només hi ha una recta perpendicular a r el vectordirector de la qual no és solució d’aquest sistema,la que té un vector director amb v1�0. Concreta-ment, la de vector director
Fora d’això, tota solució d’aquest sistema dóna lloca una recta diferent que compleix el que volíem.Com que el conjunt de solucions d’aquest siste-ma depèn, pel teorema de Rouché-Frobenius, de3 �2 �1 paràmetre independent, existeixen tan-tes rectes perpendiculars a r per A com nombresreals.
—El conjunt de rectes perpendiculars a r que passenper A ens defineix un pla , el perpendicular a rque passa per A.
Com que és perpendicular a la recta r, de vector di-rector l’equació general de és dela forma:
3 x y +2 z +D =0
�v=(,,), 312
�v=(,,). 021
320
1123
1
vvv
v
+=
=
�u, �vvvv (,,) =123
�= v(,,), 021 = �v(,,) 111
�� viv,
0312123 == �� uvvvv (,,)(,,)
�u=(,,), 312
�v
Geometria mètrica 7
114
7. G
eom
etria
mèt
rica
1. ANGLES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI
1. Sabem calcular l’angle format per dues rectes a partirdels respectius vectors directors.
Un vector director de r és Calculem unvector director de s:
1: x y + z 1 = 0 té per vector normal = (1, 1, 1).
2: x + 3 y = 0 té per vector normal
Per tant, un vector director de s és:
D’acord amb la fórmula, l’angle format per r i s és:
Un vector director de r és i un de s� és; per tant, l’angle que formen és:
2. L’equació vectorial d’una recta que passa pel punt A � (0, 0, 1) és:
(x, y, z) = (0, 0, 1) + k (v1, v2, v3) (1)
en què (v1, v2, v3) (0, 0, 0).
= =arc cos , º13
17 7468 499
=+ +
+ + + +=arc cos
4 3 0 8 1 1
16 0 1 9 64 1
= =arcu v
u vcos� �� �
�v = ( , , )3 8 1
�u = ( , , )4 0 1
= =arc cos , º2
19 2684 837
=+ +
+ + + +=arc cos
( ) ( )3 3 1 1 3 4
9 1 9 9 1 16
= =arcu v
u vcos� �� �
=�v ( , , )3 1 4
� � �
� � �� � �
v u u
i j k
i j k= × = = + +1 2 1 1 1
1 3 0
3 4
�u2 1 3 0= ( , , ).
�u1 =
�u = ( , , ).3 1 3
Perquè aquesta recta sigui perpendicular a r, el seuvector director ha de ser perpendicular al vector director r, o sigui:
(2)0 = 3 v1 v2 + 2 v3
Si prenem dos vectors, que compleixin això, per exemple i obtenimdues rectes perpendiculars a r que passen per A:
r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + k (1, 1, 1)
r : (x, y, z) = (0, 0, 1) + k (0, 2, 1)
— Hi haurà tantes rectes perpendiculars a r que pas-sen per A, d’equació vectorial (1), com vectors di-rectors perpendiculars a o si-gui, que satisfacin l’equació (2), i que siguinlinealment independents dos a dos, perquè dosvectors directors linealment perpendiculars donenlloc a la mateixa recta.
Com que dos vectors són linealment dependents sii només si les seves components són proporcionals,podem quedar-nos només amb els vectors lineal-ment independents dos a dos que compleixin (2)fixant el valor d’una de les components, per exem-ple v1 � 1. Així, s’obté el sistema següent:
Només hi ha una recta perpendicular a r el vectordirector de la qual no és solució d’aquest sistema,la que té un vector director amb v1 � 0. Concreta-ment, la de vector director
Fora d’això, tota solució d’aquest sistema dóna lloca una recta diferent que compleix el que volíem.Com que el conjunt de solucions d’aquest siste-ma depèn, pel teorema de Rouché-Frobenius, de3 � 2 � 1 paràmetre independent, existeixen tan-tes rectes perpendiculars a r per A com nombresreals.
— El conjunt de rectes perpendiculars a r que passenper A ens defineix un pla , el perpendicular a rque passa per A.
Com que és perpendicular a la recta r, de vector di-rector l’equació general de és dela forma:
3 x y + 2 z + D = 0
�v = ( , , ),3 1 2
�v = ( , , ).0 2 1
3 2 0
11 2 3
1
v v v
v
+ =
=
�u,�v v v v( , , )= 1 2 3
�=v ( , , ),0 2 1=
�v ( , , )1 1 1
� �v i v ,
0 3 1 2 1 2 3= =� �u v v v v( , , ) ( , , )
�u = ( , , ),3 1 2
�v
Geometria mètrica7
CM
YK
115
7. Geom
etria mètrica
Pel fet que passa per A � (0, 0, 1), el valor concretde D és:
3 0 0 + 2 1 + D = 0 D = 2
L’equació general de és, doncs,
: 3 x y + 2 z 2 = 0
Vegem quants punts en comú tenen r i resolentel sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de :
El sistema que hem de resoldre és:
Com que:
F3 F3 3 F1
el sistema és compatible determinat
Per tant, i r només tenen un punt en comú; ano-menem-lo B. Ara, tota recta perpendicular a r quepassi per A està continguda en ; per tant, existeixuna única recta que compleix els requisits de l’e-nunciat, la que uneix A i B.
3. a) Un vector perpendicular a és i un
de perpendicular a � és
L’angle format per i � és, doncs:
= =arc cos , º5
50 1479 107
=+ +
+ + + +=arc cos
( )1 2 7 1 0 3
1 49 0 4 1 9
= =arcu u
u ucos� �
� �1 2
1 2
�u2 2 1 3= ( , , ).
�u1 1 7 0= ( , , ),
= =12 1
10 214 0
=
1 3 0
0 2 1
0 10 2
�M =
1 3 0
0 2 1
3 1 2
x y
y z
x y z
+ =
+ =
+ =
3 2
2 6
3 2 2
x y
y z
x y=+
+=
+
+ =5
31
11
14
2
3 2 0
2 6 0y z+ + =
x k
y k
z k
x y= +
=
= +
=+
5 3
1
4 2
53
1=
+
14
2z
b) Com que dos vectors directors de sóni un vector perpen-
dicular a és:
Un vector perpendicular a � és
L’angle format per i � és, doncs:
4. Dos vectors directors de són i
per tant, un vector perpendicular a és:
D’altra banda, el vector és director de r,
per tant, també és director de �. A més, B � (1, 0, 2)és un punt de r, i per tant de �, aleshores un altre vec-tor director de �és:
Com que són linealment independents, un
vector perpendicular a � és el producte vectorial detots dos:
Per simplificar els càlculs, prendrem
� (5, �3, 0) com a vector perpendicular a �.
L’angle format per i � és, finalment:
= =arc cos , º5
2 3452 675
=+ +
+ + + +=arc cos
( ) ( )1 5 0 3 1 0
1 0 1 25 9 0
= =arcu u
u ucos� �
� �1 2
1 2
� �u u2 212
= =
=�u2 10 6 0( , , )
� � �
� � �� �
= × = =u u v
i j k
i j2 3 5 1
0 0 2
10 6
� �u i v
� � ���= = =v AB[ ] ( , , ) ( , , )1 1 0 0 2 0 0 0 2
�=u1 3 5 1( , , )
� � �
� � �� � �u u v
i j k
i k u1 11 1 1
1 0 1
1 0 1= × = = = ( , , )
�v = ( , , ),1 0 1
�u = ( , , )1 1 1
= =arc cos , º89161
56 441
=+ +
+ + + +=arc cos
( )2 2 11 11 6 6
4 121 36 4 121 36
= =arcu u
u ucos� �
� �1 2
1 2
�u2 2 11 6= ( , , ).
=�u1 2 11 6( , , )
� � �
� � �� � �
u u v
i j k
i j k1 1 2 4
3 0 1
2 11 6= × = = + +
�v = ( , , ),3 0 1�u = ( , , )1 2 4
115
7. G
eom
etria
mèt
rica
Pel fet que passa per A �(0, 0, 1), el valor concretde D és:
3 0 0 +2 1 +D =0 D =2
L’equació general de és, doncs,
: 3 x y +2 z 2 =0
Vegem quants punts en comú tenen r i resolentel sistema format per les equacions implícites de ri l’equació general de :
El sistema que hem de resoldre és:
Com que:
F3F33 F1
el sistema és compatible determinat
Per tant, i r només tenen un punt en comú; ano-menem-lo B. Ara, tota recta perpendicular a r quepassi per A està continguda en ; per tant, existeixuna única recta que compleix els requisits de l’e-nunciat, la que uneix A i B.
3.a)Un vector perpendicular a és i un
de perpendicular a �és
L’angle format per i �és, doncs:
== arccos,º5
501479107
=++
++++= arccos
() 127103
1490419
== arcuu
uucos��
��12
12
�u2213 =(,,).
�u1170 =(,,),
== 121
102140
=
130
021
0102
� M=
130
021
312
xy
yz
xyz
+=
+=
+=
32
26
322
xy
yz
xy =+
+=
+
+=5
31
11
14
2
320
260 yz ++=
xk
yk
zk
xy=+
=
=+
=+
53
1
42
53
1=
+
14
2z
b)Com que dos vectors directors de sóni un vector perpen-
dicular a és:
Un vector perpendicular a �és
L’angle format per i �és, doncs:
4.Dos vectors directors de són i
per tant, un vector perpendicular a és:
D’altra banda, el vector és director de r,
per tant, també és director de �. A més, B �(1, 0, 2)és un punt de r, i per tant de �, aleshores un altre vec-tor director de �és:
Com que són linealment independents, un
vector perpendicular a �és el producte vectorial detots dos:
Per simplificar els càlculs, prendrem
�(5, �3, 0) com a vector perpendicular a �.
L’angle format per i �és, finalment:
== arccos,º5
23452675
=++
++++= arccos
()() 150310
1012590
== arcuu
uucos��
��12
12
�� uu 2212
==
= �u21060 (,,)
���
�����
=×== uuv
ijk
ij 2351
002
106
�� uiv
�����=== vAB [](,,)(,,) 110020002
�= u1351 (,,)
���
������ uuv
ijk
iku 11 111
101
101 =×===(,,)
�v=(,,), 101
�u=(,,) 111
== arccos,º89
16156441
=++
++++= arccos
() 22111166
412136412136
== arcuu
uucos��
��12
12
�u22116 =(,,).
= �u12116 (,,)
���
������
uuv
ijk
ijk 1124
301
2116 =×==++
�v=(,,), 301 �u=(,,) 124
C M
Y K
116
7. Geom
etria mètrica
5.Un vector normal al pla és de mòdul
•Un vector normal al pla YZ, d’equació general x �0, és per tant, l’angle que forma
amb aquest pla coordenat és:
•Un vector normal al pla XZ, d’equació general y �0, és per tant, l’angle que forma
amb aquest pla coordenat és:
•Un vector normal XY, d’equació general z �0, ésper tant, l’angle que forma amb
aquest pla coordenat és:
6.Dos plans són perpendiculars si i només si ho són elsseus vectors normals. Calculem, doncs, els vectors nor-mals de i �, i vegem si són perpendiculars:
•Un vector normal a és
•Un vector normal a �és en què
vectors directors de �
linealment independents.
Si els multipliquem escalarment:
per tant, i �són perpendiculars.
7.Un punt de pas és, per exemple, A �(1, 1, 1).
Un vector director és=(2, 1, 2), perquè A i B són punts del pla.
�����uAB === [](,,) 310111
�������� uuuuvuuv 1211
211
110
211
=×== ()[,,]==0
�� uiv == (,,)(,,) 110211
��� uuv 2=×,
�u1211 =(,,).
== arccos,º2
1760983
=++
++= arccos
() 203021
17001
zz
z
arcuu
uu== cos
����
�uz=(,,); 001
== arccos,º3
1743314
=++
++= arccos
() 203120
17010
yy
y
arcuu
uu== cos
��
��
�uy=(,,); 010
== arccos,º2
1760983
=++
++= arccos
() 213020
17100
xx
x
arcuu
uu== cos
��
��
�ux=(,,); 100
�u=++= 49417.
�u=(,,) 232Com que a més ha de ser perpendicular a , un altrevector director serà un vector perpendicular a ,
=(1, 3, 5).
Com que són linealment independents, l’equació
general del pla buscat és:
8.Com que el pla buscat conté la recta r, un punt de pas és A �(1, �2, 3) i un vector director,
Perquè sigui perpendicular al pla XY, d’equació z� 0, el vector perpendicular al pla XY,
ha de ser vector director del pla bus-cat.
Com que són linealment independents, l’equa-ció general del pla buscat és:
9.Com que l’angle format per una recta i un pla és elcomplementari del format per la recta i qualsevol rec-ta perpendicular al pla, hem de començar per deter-minar un vector director de la recta i un vector nor-mal del pla.
a)és un vector director de r.
és un vector normal de .
Per tant, l’angle entre r i és:
b)Un vector normal de és
Un vector director de r és:
L’angle entre i r és, ja que:
== arcsin,º5
14536699
=++
++++= arcsin
()() 311220
914140
== arcsinvn
vn
����
= �v(,,) 312
���
������
vnn
ijk
ijk =×==+ 12111
112
32
�n=(,,). 120
== arcsin,º5
101424997
=++
++++= arcsin
() 031132
019914
== arcsinvn
vn
����
�n=(,,) 312
�v=(,,) 013
x
y
z
y +==
110
200
331
20
�� uiv
�v=(,,), 001
�u=(,,). 103
x
y
z
xyz =++=
121
113
125
1187260
�� uiv
�v=
116
7. G
eom
etria
mèt
rica
5. Un vector normal al pla és de mòdul
• Un vector normal al pla YZ, d’equació general x � 0, és per tant, l’angle que forma
amb aquest pla coordenat és:
• Un vector normal al pla XZ, d’equació general y � 0, és per tant, l’angle que forma
amb aquest pla coordenat és:
• Un vector normal XY, d’equació general z � 0, ésper tant, l’angle que forma amb
aquest pla coordenat és:
6. Dos plans són perpendiculars si i només si ho són elsseus vectors normals. Calculem, doncs, els vectors nor-mals de i �, i vegem si són perpendiculars:
• Un vector normal a és
• Un vector normal a � és en què
vectors directors de �
linealment independents.
Si els multipliquem escalarment:
per tant, i � són perpendiculars.
7. Un punt de pas és, per exemple, A � (1, 1, 1).
Un vector director és= (2, 1, 2), perquè A i B són punts del pla.
� � ���u AB= = =[ ] ( , , )3 1 0 1 1 1
� � � � � � � �u u u u v u u v1 2 1 1
2 1 1
1 1 0
2 1 1
= × = =( ) [ , , ] == 0
� �u i v= =( , , ) ( , , )1 1 0 2 1 1
� � �u u v2 = × ,
�u1 2 1 1= ( , , ).
= =arc cos , º2
1760 983
=+ +
+ +=arc cos
( )2 0 3 0 2 1
17 0 0 1
zz
z
arcu u
u u= =cos
� �� �
�uz = ( , , );0 0 1
= =arc cos , º3
1743 314
=+ +
+ +=arc cos
( )2 0 3 1 2 0
17 0 1 0
yy
y
arcu u
u u= =cos
� �
� �
�uy = ( , , );0 1 0
= =arc cos , º2
1760 983
=+ +
+ +=arc cos
( )2 1 3 0 2 0
17 1 0 0
xx
x
arcu u
u u= =cos
� �
� �
�ux = ( , , );1 0 0
�u = + + =4 9 4 17.
�u = ( , , )2 3 2 Com que a més ha de ser perpendicular a , un altrevector director serà un vector perpendicular a ,
= (1, 3, 5).
Com que són linealment independents, l’equació
general del pla buscat és:
8. Com que el pla buscat conté la recta r, un punt de pas és A � (1, �2, 3) i un vector director,
Perquè sigui perpendicular al pla XY, d’equació z � 0, el vector perpendicular al pla XY,
ha de ser vector director del pla bus-cat.
Com que són linealment independents, l’equa-ció general del pla buscat és:
9. Com que l’angle format per una recta i un pla és elcomplementari del format per la recta i qualsevol rec-ta perpendicular al pla, hem de començar per deter-minar un vector director de la recta i un vector nor-mal del pla.
a) és un vector director de r.
és un vector normal de .
Per tant, l’angle entre r i és:
b) Un vector normal de és
Un vector director de r és:
L’angle entre i r és, ja que:
= =arc sin , º5
14 536 699
=+ +
+ + + +=arc sin
( ) ( )3 1 1 2 2 0
9 1 4 1 4 0
= =arc sinv n
v n
� �� �
=�v ( , , )3 1 2
� � �
� � �� � �
v n n
i j k
i j k= × = = +1 2 1 1 1
1 1 2
3 2
�n = ( , , ).1 2 0
= =arc sin , º5
10 1424 997
=+ +
+ + + +=arc sin
( )0 3 1 1 3 2
0 1 9 9 1 4
= =arc sinv n
v n
� �� �
�n = ( , , )3 1 2
�v = ( , , )0 1 3
x
y
z
y+ = =
1 1 0
2 0 0
3 3 1
2 0
� �u i v
�v = ( , , ),0 0 1
�u = ( , , ).1 0 3
x
y
z
x y z= + + =
1 2 1
1 1 3
1 2 5
11 8 7 26 0
� �u i v
�v =
CM
YK
117
7. Geom
etria mètrica
c) Un vector director de r és
Un vector perpendicular de serà el producte vec-torial de dos vectors directors linealment inde-pendents:
és vector director de r, i per tant,
de .
B � (�2, �2, 0) és un punt de r, i per tant de , iA � (2, 1, 0) també és un punt de ; per tant, unaltre vector director de és:
Com que són linealment independents,
un vector normal de és:
Per tant, l’angle que formen r i és:
d) Un vector normal a és
Com que A � (1, 2, �1) i B � (3, 0, 0) són dospunts diferents de la recta, un vector director d’a-questa serà:
L’angle format per la recta i el pla és, doncs:
e) Un vector director de r és
Com que A � (1, 1, 2), B � (1, 0, 3) i C � (2, 1, 4)són punts del pla, dos vectors directors d’aquestsón:
Com que són linealment indepen-dents, un vector normal del pla és:
[ ] [ ]AB i AC� ��� � ���
[ ] ( , , ) ( , , )AC� ���
= =2 1 1 1 4 2 1 0 2
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= =1 1 0 1 3 2 0 1 1
�v = ( , , ).0 1 2
= =arc sin , º5
3 1130 167
=+ +
+ + + +=arc sin
( )2 3 2 1 1 1
4 4 1 9 1 1
= =arc sinv n
v n
� �� �
� � ���v AB= = =[ ] ( , , ( )) ( , , )3 1 0 2 0 1 2 2 1
�n = ( , , ).3 1 1
= =arc sin , º13
26 8295 080
=+ +
+ + + +arc sin
( ) ( ) ( )3 6 4 8 1 27
9 16 1 36 64 7729=
= =arc sinv n
v n
� �� �
= =6 8 27 6 8 27� � � �i j k n ( , , )
� � � ���� � �
n u BA
i j k
= × = =[ ] 3 9 2
4 3 0
� � ���u i BA[ ]
[ ] ( ( ), ( ), ) ( , , )BA� ���
= =2 2 1 2 0 0 4 3 0
�u = ( , , )3 9 2
�v = ( , , ).3 4 1
L’angle que formen la recta i el pla és, doncs:
10. és el
vector director de r i és el vector normalde .
Un vector director de r és
Un vector normal de és:
Així:
per la qual cosa r és perpendicular a .
11. Un punt de la recta serà A � (1, 3, �2).
Perquè sigui perpendicular a , un vector normal d’a-quest pla, per exemple ha de ser direc-tor de la recta.
Una equació vectorial de la recta buscada serà:
(x, y, z) = ( 1, 3, 2) + k (1, 2, 1)
12. Com que el pla és perpendicular a la recta, el vectordirector d’aquesta, serà un vector nor-mal del pla; per tant, l’equació general d’aquest és dela forma:
x + y 3 z + D = 0
El valor de D perquè el pla passi per A � (�2, 4, 1)és:
2 + 4 3 1 + D = 0 D = 1
L’equació del pla buscat és, doncs:
x + y 3 z + 1 = 0
13. Un punt de la recta és A � (1, 0, 2).
Un vector director será qualsevol vector perpendicu-lar a , que podem obtenir a partir de l’equació gene-ral de .
�v = ( , , ),1 1 3
�n = ( , , ),1 2 1
vA
vB
vC
1 2 344
15
51
11
1= = = = = =; ;
�
� � �� � �
n
i j k
i j k= = + = ( , , )1 1 1
2 1 3
5 4 4 5 1
�v = ( , , ).4 5 1
�n A B C= ( , , )
rvA
v
B
v
Cv v v v= = =, ( , , )1 2 3
1 2 3en què �
= =arc sin , º1
5 610 520
=+ +
+ + + +=arc sin
( ) ( )0 2 1 1 2 1
0 1 4 4 1 1
= =arc sinv n
v n
� �� �
= + + =2 2 1 1� � � �i j k n ( , , )
� � ��� � ���� � �
n AB AC
i j k
= × = =[ ] [ ] 0 1 1
1 0 2
117
7. G
eom
etria
mèt
rica
c)Un vector director de r és
Un vector perpendicular de serà el producte vec-torial de dos vectors directors linealment inde-pendents:
és vector director de r, i per tant,
de .
B �(�2, �2, 0) és un punt de r, i per tant de , iA �(2, 1, 0) també és un punt de ; per tant, unaltre vector director de és:
Com que són linealment independents,
un vector normal de és:
Per tant, l’angle que formen r i és:
d)Un vector normal a és
Com que A �(1, 2, �1) i B �(3, 0, 0) són dospunts diferents de la recta, un vector director d’a-questa serà:
L’angle format per la recta i el pla és, doncs:
e)Un vector director de r és
Com que A �(1, 1, 2), B �(1, 0, 3) i C �(2, 1, 4)són punts del pla, dos vectors directors d’aquestsón:
Com que són linealment indepen-dents,un vector normal del pla és:
[][] ABiAC��������
[](,,)(,,) AC����
== 211142102
[](,,)(,,) AB����
== 110132011
�v=(,,). 012
== arcsin,º5
31130167
=++
++++= arcsin
() 232111
441911
== arcsinvn
vn
����
�����vAB === [](,,())(,,) 310201221
�n=(,,). 311
== arcsin,º13
268295080
=++
++++arcsin
()()() 3648127
916136647729=
== arcsinvn
vn
����
== 68276827���� ijkn(,,)
���������
nuBA
ijk
=×== []392
430
�����uiBA []
[]((),(),)(,,) BA����
== 221200430
�u=(,,) 392
�v=(,,). 341
L’angle que formen la recta i el pla és, doncs:
10.és el
vector director de ri és el vector normalde .
Un vector director de r és
Un vector normal de és:
Així:
per la qual cosa r és perpendicular a .
11.Un punt de la recta serà A �(1, 3, �2).
Perquè sigui perpendicular a , un vector normal d’a-quest pla, per exempleha de ser direc-tor de la recta.
Una equació vectorial de la recta buscada serà:
(x, y, z) =( 1, 3, 2) +k (1, 2, 1)
12.Com que el pla és perpendicular a la recta, el vectordirector d’aquesta, serà un vector nor-mal del pla; per tant, l’equació general d’aquest és dela forma:
x +y 3 z +D =0
El valor de D perquè el pla passi per A�(�2,4,1)és:
2 +4 3 1 +D =0 D =1
L’equació del pla buscat és, doncs:
x +y 3 z +1 =0
13.Un punt de la recta és A �(1, 0, 2).
Un vector director será qualsevol vector perpendicu-lar a , que podem obtenir a partir de l’equació gene-ral de .
�v=(,,), 113
�n=(,,), 121
vA
vB
vC
123 44
15
51
11
1 ====== ;;
�
������
n
ijk
ijk ==+=(,,) 111
213
54451
�v=(,,). 451
�nABC =(,,)
rvA
v
B
v
Cvvvv === ,(,,)
123123 enquè�
== arcsin,º1
5610520
=++
++++= arcsin
()() 021121
014411
== arcsinvn
vn
����
=++= 2211���� ijkn(,,)
������������
nABAC
ijk
=×== [][]011
102
C M
Y K
118
7. Geom
etria mètrica
El pla conté la recta r; per tant, pertany al feix deplans secants en r, i com que 2: x �y �z �0 no és
(ja que no conté A), el pla vindrà donat per algunvalor de en l’equació d’aquest feix que no conside-ra 2:
2 x +z +(x +y +z) =0
Com que ha de passar per A, s’ha de complir:
L’equació general de és, doncs:
6 x +3 z 4 x 4 y 4 z =0
2 x 4 y z =0
Així, un vector normal de és .
L’equació vectorial de la recta buscada és:
(x, y, z) =(1, 0, 2) +k (2, 4, 1)
2.DISTÀNCIES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI
14.
15.Un punt B dista 4 unitats de A si:
Com que les coordenades de B són les componentsdel seu vector posició i tenim:
per cada vector lliure de mòdul 4 obtenim un punt
B, de vector posició
Així, existeixen infinits punts que disten 4 unitats de A.
Un d’ells serà, prenent
=(1, 5, 2) +(4, 0, 0) =(5, 5, 2)
és a dir, el punt de coordenades B =(5, 5, 2).
16.El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que són les distàncies entre els vèrtexs.
P =d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =
=�(1 3, 2 1, 3 0)�+
=++= [][][] |||||| ABBCCA���������� ��
[][] OBOAv�� ���� ��� =+=
�v=(,,) 400:
[][]. OBOAv�� ���� ��� =+
�v
[][][] OBOAAB�� ���� ������
=+
[] OB�� ��
4== dABAB (,)[] ||����
=++= 1163653
==++= (,,)() 146146222
dABAB (,)[](,,) ===����
213160
�n=(,,) 241
243
0 xzxyz +++= ()
212102043
++++== ()
+�(1 1, 0 2, 5 (3))�+
+�(3 1, 1 0, 0 5)�=
=�(2, 1, 3)� +�(0, 2, 8)�+�(2, 1, 5)�=
17.Intuïtivament, sabem que el camí més curt per anar deA a B és la línia recta, la longitud de la qual és el quehem definit com a distància entre A i B, d(A, B). Qual-sevol altre camí que vagi de A a B té una longitud mésgran.
Per tant, per tal que passant per un punt C en anar deA a B recorreguem exactament la distància entre A iB, el punt C ha d’estar sobre el segment AB.
Així, afirmem que:
d (A, B) =d (A, C) +d (C, B) C
Demostrem-ho per contrarecíproc:
Suposem que:C AB
Si C està alineat, és clar que no es dóna la igualtat.
Si C no està alineat amb A i B, podem considerar eltriangle que defineixen i aplicar el teorema del cosi-nus al costat AC:
d (A, C)2=d (A, B)2+d (C, B)2
>d (A, B)2+d (C, B)22 d (A, B)d (C, B) =
=(d (A, B) d (C, B))2
per tant, (A, C) >d (A, B) d (C, B)
d (A, B) <d (A, C) +d (C, B)
Com que la implicació contrària és immediata, hemdemostrat que:
d (A, B) =d (A, C) +d (C, B) C AB
ˆcosˆ BB >< 01
> 2dABdCBB (,)(,)cosˆ
+++=++= (), 21514683017465222
=++++++ ()()() 213028222222
C
A
B
d (A, C)d (A, B)
d (C, B)
d (A, B)
d (C, B) d (A, C)
A
C
B B
C
AB
d (A, C)d (C, B)
d (A, B)
118
7. G
eom
etria
mèt
rica
El pla conté la recta r; per tant, pertany al feix deplans secants en r, i com que 2: x � y � z � 0 no és
(ja que no conté A), el pla vindrà donat per algunvalor de en l’equació d’aquest feix que no conside-ra 2:
2 x + z + (x + y + z) = 0
Com que ha de passar per A, s’ha de complir:
L’equació general de és, doncs:
6 x + 3 z 4 x 4 y 4 z = 0
2 x 4 y z = 0
Així, un vector normal de és .
L’equació vectorial de la recta buscada és:
(x, y, z) = (1, 0, 2) + k (2, 4, 1)
2. DISTÀNCIES ENTRE ELEMENTS DE L’ESPAI
14.
15. Un punt B dista 4 unitats de A si:
Com que les coordenades de B són les componentsdel seu vector posició i tenim:
per cada vector lliure de mòdul 4 obtenim un punt
B, de vector posició
Així, existeixen infinits punts que disten 4 unitats de A.
Un d’ells serà, prenent
= (1, 5, 2) + (4, 0, 0) = (5, 5, 2)
és a dir, el punt de coordenades B = (5, 5, 2).
16. El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que són les distàncies entre els vèrtexs.
P = d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =
= �(1 3, 2 1, 3 0)� +
= + + =[ ] [ ] [ ]| | | | | |AB BC CA� ��� � ��� � ���
[ ] [ ]OB OA v� ��� � ��� �
= + =
�v = ( , , )4 0 0 :
[ ] [ ] .OB OA v� ��� � ��� �
= +
�v
[ ] [ ] [ ]OB OA AB� ��� � ��� � ���
= +
[ ]OB� ���
4 = =d A B AB( , ) [ ]| |� ���
= + + =1 16 36 53
= = + + =( , , ) ( )1 4 6 1 4 62 2 2
d A B AB( , ) [ ] ( , , )= = =� ���
2 1 3 1 6 0
�n = ( , , )2 4 1
243
0x z x y z+ + + =( )
2 1 2 1 0 2 043
+ + + + = =( )
+ �(1 1, 0 2, 5 ( 3))� +
+ �(3 1, 1 0, 0 5)� =
= �( 2, 1, 3)� + �(0, 2, 8)� + �(2, 1, 5)� =
17. Intuïtivament, sabem que el camí més curt per anar deA a B és la línia recta, la longitud de la qual és el quehem definit com a distància entre A i B, d(A, B). Qual-sevol altre camí que vagi de A a B té una longitud mésgran.
Per tant, per tal que passant per un punt C en anar deA a B recorreguem exactament la distància entre A iB, el punt C ha d’estar sobre el segment AB.
Així, afirmem que:
d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) C
Demostrem-ho per contrarecíproc:
Suposem que:C AB
Si C està alineat, és clar que no es dóna la igualtat.
Si C no està alineat amb A i B, podem considerar eltriangle que defineixen i aplicar el teorema del cosi-nus al costat AC:
d (A, C)2 = d (A, B)2 + d (C, B)2
> d (A, B)2 + d (C, B)2 2 d (A, B) d (C, B) =
= (d (A, B) d (C, B))2
per tant, (A, C) > d (A, B) d (C, B)
d (A, B) < d (A, C) + d (C, B)
Com que la implicació contrària és immediata, hemdemostrat que:
d (A, B) = d (A, C) + d (C, B) C AB
ˆ cos ˆB B> <0 1
>2 d A B d C B B( , ) ( , ) cos ˆ
+ + + = + + =( ) ,2 1 5 14 68 30 17 4652 2 2
= + + + + + +( ) ( ) ( )2 1 3 0 2 82 2 2 2 2 2
C
A
B
d (A, C) d (A, B)
d (C, B)
d (A, B)
d (C, B)d (A, C)
A
C
BB
C
A B
d (A, C) d (C, B)
d (A, B)
CM
YK
119
7. Geom
etria mètrica
18. Per calcular la distància d’un punt a una recta, hemd’escollir un punt qualsevol de la recta, per exempleC � (1, 3, �2), i un vector director, per exemple
La distància de A � (2, 3, �1) a r és:
La distància de B � (1, 4, 0) a r és:
19. Un punt de pas de la recta r determinada per A i C ésA � (1, 4, �1), i un vector director és:
Per tant, la distància de B a r és:
El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que coincideixen amb la distància entre els seus ex-trems, que són els vèrtexs A, B, C; per tant:
P = d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =
= �(0 1, 0 4, 1 ( 1))� +
+ �(1 0, 3 0, 1 1)� +
+ �(1 1, 4 3, 1 1)� =
= �( 1, 4, 2)� + �(1, 3, 0)� + �(0, 1, 2)� =
= + + =21 10 5 9 981,
= + + + + + + + + =1 16 4 1 9 0 0 1 4
= + + =[ ] [ ] [ ]AB BC CA� ��� � ��� � ���
=+ +
+ += =
36 4 1
0 1 4
41
5
2055
d B rBA v
v( , )
[ ] ( , , )
( ,=
×=
| || |
� ��� ��
6 2 1
0 1,, )2=
[ ]AB v
i j k
i j k� ��� �
� � �� � �
× = = + +1 4 2
0 1 2
6 2
[ ] ( , , ( )) ( , , )AB� ���
= =0 1 0 4 1 1 1 4 2
� � ���v AC= = =[ ] ( , , ( )) ( , , )1 1 3 4 1 1 0 1 2
=+ +
+ += =
1 4 1
1 0 1
6
23
d B rBA v
v( , )
[ ] ( , , )(
=×
=| |
| || |
|
� ��� ��
1 2 11,, , )0 1 |
=
[ ]BA v
i j k
i j� ��� �
� � �� �
× = = +1 1 1
1 0 1
2��k
[ ] ( , , ) ( , , )BA� ���
= =2 1 3 4 1 0 1 1 1
d A rCA v
vOv
A( , )[ ]
(=×
= =| |
| || || |
� ��� ��
���
� 0 r)
[ ]CA v
i j k
O� ��� �
� � ����
× = =1 0 1
1 0 1
[ ] ( , , ( )) ( , , )CA� ���
= =2 1 3 3 1 2 1 0 1
�v = ( , , ).1 0 1
Finalment, si per calcular l’àrea prenem com a base elcostat AC, tenim:
20. Donat un pla � A x � B y � C z � D � 0, observemque si passa per l’origen de coordenades ha de complir:
21. a)
b) L’equació implícita de , prenent com a punt del pla A � (3, 0, 2) i com a vectors directors
, és:
La distància de P a és, doncs:
22. Un punt del pla de és O � (0, 0, 0), ja que pertanytant a r (per a k � 0) com a s.
Un vector director és ja que ho és de r, i
un altre és ja que ho és de s.
Com que són linealment independents, una
equació general de és:
Per tant, la distància de P � (�2, 5, 0) a és:
23. d P O( , )( )
=+ +
= =17
3 1 5
17
35
17 35352 2 2
= =11
14
11 1414
d P( , )( )
( ) ( )=
+ +=
3 2 5 2 0
3 1 22 2 2
x
y
z
x y z
1 1
3 1
0 1
3 2 0= =
� �u i v
�v = ( , , ),1 1 1
�u = ( , , ),1 3 0
= =52
101
52 101
101
d P( , )( )
=+
+ +=
4 1 6 5 7 0 26
4 6 72 2 2
x
y
z
x y z= + + =
3 1 5
3 1
2 2 2
8 12 14 52 0
� �u i v= =( , , ) ( , , ),1 3 2 5 1 2
d P( , )( )
=+ +
+ += =
1 5 3 0 1
1 1 3
7
11
7 11
112 2 2
0 02 2 2
= =+ +
=d OD
A B CD( , )
= =
541
52
412
Área2
= = =b h d A C d B r
2( , ) ( , )
119
7. G
eom
etria
mèt
rica
18.Per calcular la distància d’un punt a una recta, hemd’escollir un punt qualsevol de la recta, per exempleC �(1, 3, �2), i un vector director, per exemple
La distància de A �(2, 3, �1) a r és:
La distància de B �(1, 4, 0) a r és:
19.Un punt de pas de la recta r determinada per A i C ésA �(1, 4, �1), i un vector director és:
Per tant, la distància de B a r és:
El perímetre és la suma de les longituds dels costats,que coincideixen amb la distància entre els seus ex-trems, que són els vèrtexs A, B, C; per tant:
P =d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =
=�(0 1, 0 4, 1 (1))�+
+�(1 0, 3 0, 1 1)�+
+�(1 1, 4 3, 1 1)�=
=�(1, 4, 2)�+�(1, 3, 0)�+�(0, 1, 2)�=
=++= 211059981 ,
=++++++++= 1164190014
=++= [][][] ABBCCA���������� ��
=++
++==
3641
014
41
5
2055
dBrBAv
v(,)
[](,,)
(,=
×=
||||
������
621
01,,)2=
[] ABv
ijk
ijk�����
������
×==++ 142
012
62
[](,,())(,,) AB����
== 010411142
�����vAC === [](,,())(,,) 113411012
=++
++==
141
101
6
23
dBrBAv
v(,)
[](,,)(
=×
=||
||||
|
������
1211,,,) 01|
=
[] BAv
ijk
ij�����
�����
×==+ 111
101
2��k
[](,,)(,,) BA����
== 213410111
dArCAv
vOv
A (,)[]
( =×
==||
||||||
�� ����
���
�0r)
[] CAv
ijk
O�� ���
������
×== 101
101
[](,,())(,,) CA�� ��
== 213312101
�v=(,,). 101
Finalment, si per calcular l’àrea prenem com a base elcostat AC, tenim:
20.Donat un pla �A x �B y �C z � D �0, observemque si passa per l’origen de coordenades ha de complir:
21.a)
b)L’equació implícita de , prenent com a punt del pla A �(3, 0, 2) i com a vectors directors
, és:
La distància de P a és, doncs:
22.Un punt del pla de és O �(0, 0, 0), ja que pertanytant a r (per a k �0) com a s.
Un vector director és ja que ho és de r, i
un altre és ja que ho és de s.
Com que són linealment independents, una
equació general de és:
Per tant, la distància de P �(�2, 5, 0) a és:
23.dPO (,)()
=++
==17
315
17
35
173535 222
==11
14
111414
dP(,)()
()()=
++=
32520
312222
x
y
z
xyz
11
31
01
320 ==
�� uiv
�v=(,,), 111
�u=(,,), 130
==52
101
52101
101
dP(,)()
=+
++=
41657026
467222
x
y
z
xyz =++=
315
31
222
81214520
�� uiv == (,,)(,,), 132512
dP(,)()
=++
++==
15301
113
7
11
711
11 222
00222
==++
= dOD
ABCD (,)
==
541
52
412
Área2
===bhdACdBr
2(,)(,)
C M
Y K
120
7. Geom
etria mètrica
—L’equació del feix de plans paral.lels a és:
3 x +y 5 z +K =0
Per tal que un pla �d’aquest feix, és a dir, paral.lela , sigui a una unitat de distància de l’origen, s’hade complir:
Per exemple, si obtenim el pla:
24.Com que la distància d’un punt a un pla coincideixamb la distància del punt a la seva projecció ortogonalsobre el pla, que el punt més pròxim del pla buscat a l’origen O sigui P �(3, �2, 1) significa que P és laprojecció ortogonal de O sobre . Per tant, el vector
és un vector normal al pla.
Així, l’equació general de és de la forma:
3 x 2 y +z+D =0
Si imposem que passi per P, obtindrem el valor de D:
3 3 2 (2) +1 +D =0 D =14
El pla buscat és, per tant, 3 x 2 y +z 14 =0.
25.La distància d’un pla qualsevol del feix, d’equaciógeneral : 2 y �z �K �0, a l’origen de coordenadesés:
Perquè estigui a tres unitats de l’origen de coorde-nades, s’ha de complir:
Existeixen, doncs, dos plans del feix que equidistentres unitats de l’origen:
26.Per determinar la distància entre dues rectes, prime-rament n’estudiarem la posició relativa.
a)Com que és un vector director de r i de r�, les rectes són paral.leles o coincidents, perla qual cosa la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A �(1, 7, 0) r, a l’altra, r�:
d (r, r) =d (A, r)
�v=(,,) 231
12 23502350 :: yzyz ++=+= ,
35
3535 ===±K
KK
dOKK
(,)=++
=0215 222
[](,,) OP�� ��
=321
35350 xyz ++=
K=35
==K
K35
35
1315
222==
++= dO
K(,)
()
Per determinar aquesta distància, prenem un puntqualsevol de r�, per exemple B �(0, 5, �1), i unvector director de r�, per exemple:
Per tant
b)Per determinar la posició relativa de r i s, estudia-rem la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions implícites:
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) �3 i rang (M�) �4, les rectess’encreuen.
Per a calcular la distància que les separa hem d’es-collir un punt i un vector director de cadascu-na.
Per a fer-ho, en determinem les equacions pa-ramètriques, resolent els sistemes formats per les equacions implícites en funció d’un paràmetre.
Si prenem com a paràmetre y �k, les equacionsparamètriques de r són:
310
053
001
000
21
3
26
20
F3F4
———�
310
053
000
001
21
3
20
26
1F4F4�—F2
3——————�
310
053
000
053
2
21
3
20
25
F3F3�F15
F4F4�—F13
——————�
310
053
310
502
21
3
1
10
321
533
31
5210
xy
yz
xy
xz
=
=
=
=
==++
++==
(,,)
(,,)
111
231111
491
3
14
4214
drrdArBAv
v(,)(,)
[]==
×=
�����
�
[] BAv
ijk
ijk�����
������
×==+ 121
231
[](,,())(,,) BA����
== 107501121
�v=(,,) 231
120
7. G
eom
etria
mèt
rica
— L’equació del feix de plans paral.lels a és:
3 x + y 5 z + K = 0
Per tal que un pla � d’aquest feix, és a dir, paral.lela , sigui a una unitat de distància de l’origen, s’hade complir:
Per exemple, si obtenim el pla:
24. Com que la distància d’un punt a un pla coincideixamb la distància del punt a la seva projecció ortogonalsobre el pla, que el punt més pròxim del pla buscat a l’origen O sigui P � (3, �2, 1) significa que P és laprojecció ortogonal de O sobre . Per tant, el vector
és un vector normal al pla.
Així, l’equació general de és de la forma:
3 x 2 y + z + D = 0
Si imposem que passi per P, obtindrem el valor de D:
3 3 2 ( 2) + 1 + D = 0 D = 14
El pla buscat és, per tant, 3 x 2 y + z 14 = 0.
25. La distància d’un pla qualsevol del feix, d’equaciógeneral : 2 y � z � K � 0, a l’origen de coordenadesés:
Perquè estigui a tres unitats de l’origen de coorde-nades, s’ha de complir:
Existeixen, doncs, dos plans del feix que equidistentres unitats de l’origen:
26. Per determinar la distància entre dues rectes, prime-rament n’estudiarem la posició relativa.
a) Com que és un vector director de r i de r�, les rectes són paral.leles o coincidents, perla qual cosa la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A � (1, 7, 0) r, a l’altra, r�:
d (r, r ) = d (A, r )
�v = ( , , )2 3 1
1 22 3 5 0 2 3 5 0: :y z y z+ + = + =,
35
3 5 3 5= = = ±K
K K
d OK K
( , ) =+ +
=0 2 1 52 2 2
[ ] ( , , )OP� ���
= 3 2 1
3 5 35 0x y z+ + =
K = 35
= =K
K35
35
13 1 52 2 2
= =+ +
=d OK
( , )( )
Per determinar aquesta distància, prenem un puntqualsevol de r�, per exemple B � (0, 5, �1), i unvector director de r�, per exemple :
Per tant
b) Per determinar la posició relativa de r i s, estudia-rem la compatibilitat del sistema format per les se-ves equacions implícites:
Calculem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) � 3 i rang (M�) � 4, les rectess’encreuen.
Per a calcular la distància que les separa hem d’es-collir un punt i un vector director de cadascu-na.
Per a fer-ho, en determinem les equacions pa-ramètriques, resolent els sistemes formats per les equacions implícites en funció d’un paràmetre.
Si prenem com a paràmetre y � k, les equacionsparamètriques de r són:
3 1 0
0 5 3
0 0 1
0 0 0
21
3
26
20
F3 F4
———�
3 1 0
0 5 3
0 0 0
0 0 1
21
3
20
26
1F4 F4 � — F23——————�
3 1 0
0 5 3
0 0 0
053
2
21
3
20
25
F3 F3 � F15
F4 F4 � — F13——————�
3 1 0
0 5 3
3 1 0
5 0 2
21
3
1
10
3 21
5 3 3
3 1
5 2 10
x y
y z
x y
x z
=
=
=
=
= =+ +
+ += =
( , , )
( , , )
1 1 1
2 3 11 1 1
4 9 1
3
14
4214
d r r d A rBA v
v( , ) ( , )
[ ]= =
×=
� ��� �
�
[ ]BA v
i j k
i j k� ��� �
� � �� � �
× = = +1 2 1
2 3 1
[ ] ( , , ( )) ( , , )BA� ���
= =1 0 7 5 0 1 1 2 1
�v = ( , , )2 3 1
CM
YK
121
7. Geom
etria mètrica
Així, un punt de pas de r és A � (7, 0, �1) i un
vector director,
Si prenem com a paràmetre x � k, les equacionsparamètriques de r� són:
Així, un punt de r� és A� � (0, �1, �5) i un vec-
tor director,
Finalment, la distància entre r i r� és:
= ( 7, 1, 4)
c) Calculem un vector director de r:
és a dir,
Com que també és vector director de r�, resultaque r i r� són paral.leles o coincidents.
Així, per a determinar la distància entre elles, n’hiha prou d’escollir un punt d’una d’elles, perexemple P � (5, �3, 0) r�, i calcular-ne la distàn-cia a l’altra, r.
Obtenim un punt de r fixant y � 0:
x
z
x
zA r
+ =
+ =
=
==
0 1 0
2 0 0
1
01 0 0( , , )
�v
�v = ( , , ).1 1 2
= = +
� � �� � �
i j k
i j k1 1 0
0 2 1
2
� � �v u u= × = × =1 2 1 1 0 0 2 1( , , ) ( , , )
d r rAA v v
v v( , )
[[ ], , ]=
×=
� ���� � �
� �100
5 1102 10=
= =250 5 10
× = + + =� �v v ( )15 5 02 2 2
� �
� � �� �
v v
i j k
i j× = = +1 3 5
2 6 5
15 5
[[ ], , ]AA v v =� ���� � �
7 1 4
1 3 5
2 6 5
100=
[ ] ( , , ( ))AA = =� ����
0 7 1 0 5 1
�= =v 2 1 3
52
2 6 5, , ( , , ).
y x
z x
x k
y k
z k
= +
= +
=
= +
= +
1 3
2 10 51 3
552
�v = =313
153
1 3 5, , ( , , ).
3 21
3 3 5
713
153
x y
z y
x k
y k
z k
= +
= +
= +
=
= +
Així, la distància entre r i r� és:
d) Un vector director de r és i un vector
director de r� és
Com que són linealment in-
dependents; per tant, les rectes es tallen o s’encreuen.
Per determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un punt del’altra és o no linealment dependent amb els vec-tors directors,
Si prenem:
A = ( 1, 0, 2) r i A = (3, 1, 2) r
són linealment independents; pertant, les rectes s’encreuen.
Calculem la distància entre elles:
e) Un vector director de r és i un der� és
Com que són linealment in-
dependents i, per tant, les rectes es tallen o s’en-creuen.
12
23
22
, � �v i v
�=v ( , , ).2 3 2
�v = ( , , )1 2 2
= = =16
25 16 121
16
162
8 29
d r rAA v v
v v( , )
[[ ], , ]=
×=
� ���� � �
� �
� �
� � �� � �
v v
i j k
i j k× = = + +3 1 1
1 4 1
5 4 11
[[ ], , ] [ ], ,AA v v AA v v=� ���� � � � ���� � �| | == 16
[ ], ,AA v v� ���� � �
[ ], ,AA v v = =� ���� � �
4 1 0
3 1 1
1 4 1
16 0
[ ] ( ( ), , ) ( , , )AA = =� ����
3 1 1 0 2 2 4 1 0
� �v i v .
31
14
11
, � �v i v
�=v ( , , ).1 4 1
�v = ( , , )3 1 1
=+ +
+ += =
36 64 1
1 1 4
101
6
6066
d r r d r PAP v
v( , ) ( , )
[ ]= =
×=
� ��� �
�
[ ]AP v
i j k
i j k� ��� �
� � �� � �
× = =4 3 0
1 1 2
6 8
[ ] ( , , ) ( , , )AP� ���
= =5 1 3 0 0 0 4 3 0
121
7. G
eom
etria
mèt
rica
Així, un punt de pas de r és A �(7, 0, �1) i un
vector director,
Si prenem com a paràmetre x �k, les equacionsparamètriques de r�són:
Així, un punt de r�és A��(0, �1, �5) i un vec-
tor director,
Finalment, la distància entre r i r�és:
=(7, 1, 4)
c)Calculem un vector director de r:
és a dir,
Com que també és vector director de r�, resultaque r i r�són paral.leles o coincidents.
Així, per a determinar la distància entre elles, n’hiha prou d’escollir un punt d’una d’elles, perexemple P �(5, �3, 0) r�, i calcular-ne la distàn-cia a l’altra, r.
Obtenim un punt de r fixant y �0:
x
z
x
zAr
+=
+=
=
==
010
200
1
0100 (,,)
�v
�v=(,,). 112
==+
������
ijk
ijk 110
021
2
��� vuu =×=×= 12110021 (,,)(,,)
drrAAvv
vv(,)
[[],,]=
×=
�� �����
��100
5110210 =
== 250510
×=++= �� vv() 1550222
��
�����
vv
ijk
ij ×==+ 135
265
155
[[],,] AAvv=�� �����
714
135
265
100 =
[](,,()) AA==�� ���
071051
�== v21352
265 ,,(,,).
yx
zx
xk
yk
zk
=+
=+
=
=+
=+
13
210513
552
�v== 313
153
135 ,,(,,).
321
335
713
153
xy
zy
xk
yk
zk
=+
=+
=+
=
=+
Així, la distància entre r i r�és:
d)Un vector director de r és i un vector
director de r�és
Com que són linealment in-
dependents; per tant, les rectes es tallen o s’encreuen.
Per determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un punt del’altra és o no linealment dependent amb els vec-tors directors,
Si prenem:
A =(1, 0, 2) r i A=(3, 1, 2) r
són linealment independents; pertant, les rectes s’encreuen.
Calculem la distància entre elles:
e)Un vector director de r és i un der�és
Com que són linealment in-
dependents i, per tant, les rectes es tallen o s’en-creuen.
12
23
22
,�� viv
�= v(,,). 232
�v=(,,) 122
===16
2516121
16
162
829
drrAAvv
vv(,)
[[],,]=
×=
�� �����
��
��
������
vv
ijk
ijk ×==++ 311
141
5411
[[],,][],, AAvvAAvv =�� ������� ����� ||==16
[],, AAvv�� �����
[],, AAvv==�� �����
410
311
141
160
[]((),,)(,,) AA==�� ���
311022410
�� viv.
31
14
11
,�� viv
�= v(,,). 141
�v=(,,) 311
=++
++==
36641
114
101
6
6066
drrdrPAPv
v(,)(,)
[]==
×=
�����
�
[] APv
ijk
ijk�����
������
×== 430
112
68
[](,,)(,,) AP����
== 513000430
C M
Y K
122
7. Geom
etria mètrica
Per veure quina és la situació, prenem un punt der, A �(2, 1, 0), un de r�, A��(1, 3, �2), i veiem siel vector que defineixen:
és combinació lineal de
són linealment dependents; pertant, les rectes es tallen.
Aleshores, d (r, r�) �0.
f)Un vector director de r és i un derés
Com que són linealment
dependents; per tant, r i r�són paral.leles o coin-cidents.
Aleshores, la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A �(3, �3, 1) r, a l’altra, r�.
Un punt de r�és A��(3, �3, 1) i com que
d (r, r) =d (A, r) =
g)Un vector director de r és
Un vector director de r�és:
és a dir,
Com que les rectes són paral.leles o coinci-dents.
Així, la distància entre elles coincideix amb ladistància d’un punt qualsevol d’elles, per exempleA �(1, �1, 0) r, a l’altra, r�.
Un punt de r�, corresponent a y �0, és:
A=(3, 0, 3)r
x
z
x
z
=
+=
=
=
2030
3030
3
3
�� vv =,
�= v(,,) 213
==++
������
ijk
ijk 120
031
23
��� =×=×= vuu 12120031 (,,)(,,)
�v=(,,). 213
=×
==[] AAv
vv
�� ����
�
���
�|O|
0
=O���
,
[] AA=�� ���
==2
163
42
,�� viv
�= v(,,). 132
�v=(,,) 264
[],, AAvv�� �����
[],, AAvv=�� �����
122
122
232
==0
�� viv:
[](,,)(,,) AA==�� ���
123120122
La distància entre r i r�és:
Per tant, r i r�són coincidents.
27.Calculem l’equació general de �:
Com que els plans són paral.lels, i com
que els coeficients de x, y, z són idèntics en les equa-cions generals, la distància entre dos plans és:
28.Tot pla paral.lel a : 2 x �3 y �z �1 �0 pertanyeràal feix de plans paral.lels a , d’equació:
2 x 3 y +z +K =0
Determinem el valor de K per al qual la distància delpla corresponent, K, a sigui
Existeixen dos plans que compleixen el que hem de-manat, que són:
29.Determinem la posició relativa entre r i estudiant lacompatibilitat del sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :
xy
xz
xyz
+=
=
+=
3
20
34
1
2
231670
231670
:
:
xyz
xyz
++=
+=
+=±=± KK 167167
+=== K1321432867
321
231
1
14 222==
++=
+d
KKK (,)
()
32:
==8
91
89191
d(,)()
()=
++=
++=
53
391
8
9811 222
33
99
11
==,
x
y
z
xyz =+=
213
01
330
3930
drrAAv
v
O
v(,)
[]=
×==
�� ����
�
�
�0
[] AAv
ijk
O ×==�� ����
������
213
213
[](,(),)(,,) AA==�� ���
310130213
122
7. G
eom
etria
mèt
rica
Per veure quina és la situació, prenem un punt der, A � (2, 1, 0), un de r�, A� � (1, 3, �2), i veiem siel vector que defineixen:
és combinació lineal de
són linealment dependents; pertant, les rectes es tallen.
Aleshores, d (r, r�) � 0.
f) Un vector director de r és i un der és
Com que són linealment
dependents; per tant, r i r� són paral.leles o coin-cidents.
Aleshores, la seva distància coincidirà amb ladistància d’un punt qualsevol d’una d’elles, perexemple A � (3, �3, 1) r, a l’altra, r�.
Un punt de r� és A� � (3, �3, 1) i com que
d (r, r ) = d (A, r ) =
g) Un vector director de r és
Un vector director de r� és:
és a dir,
Com que les rectes són paral.leles o coinci-dents.
Així, la distància entre elles coincideix amb ladistància d’un punt qualsevol d’elles, per exempleA � (1, �1, 0) r, a l’altra, r�.
Un punt de r�, corresponent a y � 0, és:
A = (3, 0, 3) r
x
z
x
z
=
+ =
=
=
2 0 3 0
3 0 3 0
3
3
� �v v= ,
�=v ( , , )2 1 3
= = + +
� � �� � �
i j k
i j k1 2 0
0 3 1
2 3
� � �= × = × =v u u1 2 1 2 0 0 3 1( , , ) ( , , )
�v = ( , , ).2 1 3
=×
= =[ ]AA v
v v
� ���� �
�
���
�|O|
0
= O���
,
[ ]AA =� ����
= =2
163
42
, � �v i v
�=v ( , , ).1 3 2
�v = ( , , )2 6 4
[ ], ,AA v v� ���� � �
[ ], ,AA v v =� ���� � �
1 2 2
1 2 2
2 3 2
== 0
� �v i v :
[ ] ( , , ) ( , , )AA = =� ����
1 2 3 1 2 0 1 2 2
La distància entre r i r� és:
Per tant, r i r� són coincidents.
27. Calculem l’equació general de �:
Com que els plans són paral.lels, i com
que els coeficients de x, y, z són idèntics en les equa-cions generals, la distància entre dos plans és:
28. Tot pla paral.lel a : 2 x � 3 y � z � 1 � 0 pertanyeràal feix de plans paral.lels a , d’equació:
2 x 3 y + z + K = 0
Determinem el valor de K per al qual la distància delpla corresponent, K, a sigui
Existeixen dos plans que compleixen el que hem de-manat, que són:
29. Determinem la posició relativa entre r i estudiant lacompatibilitat del sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :
x y
x z
x y z
+ =
=
+ =
3
2 0
3 4
1
2
2 3 1 6 7 0
2 3 1 6 7 0
:
:
x y z
x y z
+ + =
+ =
+ = ± = ±K K1 6 7 1 6 7
+ = = =K 1 3 2 14 3 28 6 7
3 21
2 3 1
1
142 2 2= =
+ +=
+d
K KK( , )
( )
3 2:
= =8
91
8 9191
d ( , )( )
( )=
+ +=
+ +=
5 3
3 9 1
8
9 81 12 2 2
33
99
11
= = ,
x
y
z
x y z= + =
2 1 3
0 1
3 3 0
3 9 3 0
d r rAA v
v
O
v( , )
[ ]=
×= =
� ���� �
�
�
� 0
[ ]AA v
i j k
O× = =� ���� �
� � ����
2 1 3
2 1 3
[ ] ( , ( ), ) ( , , )AA = =� ����
3 1 0 1 3 0 2 1 3
CM
YK
123
7. Geom
etria mètrica
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada:
Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, la recta i elpla són paral.lels.
La distància del pla a la recta coincideix amb la distàn-cia del pla a un punt qualsevol de la recta, per exem-ple al punt P, la primera coordenada del qual és x � 0:
Així:
30. a) Com que ha de contenir r i ser paral.lel a s, escompleix:
A = ( 1, 0, 0)
A més, juntament amb són vectors directors de .
Així, l’equació general de és:
b) Per hipòtesi, és paral.lel a s; per tant, la distànciaentre i s coincidirà amb la distància entre iqualsevol punt s, per exemple P � (0, �1, 0):
d ( , s) = d ( , P) =
= =13
106
13 106106
=+ +
+ +=
9 0 4 1 3 0 9
9 4 32 2 2
( )
( )
x
y
z
x y z
+
= + + =
1 2 1
3 3
2 1
9 4 3 9 0
�v = ( , , )1 3 1�u = ( , , )2 3 2
= =1
11
1111
d r d P( , ) ( , )( )
= =+
+ +=
3 0 3 0 4
3 1 12 2 2
0 3 0
2 0 0
3
00 3 0
+ + =
=
=
==
y
z
y
zP ( , , )
1 1 3
2 0 0
3 1 4
2 0 3= =rang M( )
1 1
2 02 0 2= =rang M( )
M rang M= = <
1 1 0
2 0 1
3 1 1
0 3( )
3. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MÈTRICS
31. El pla mediador del segment AB és el conjunt depunts P � (x, y, z) que són a la mateixa distància delsextrems del segment, A i B:
�(x 3, y 1, z 1)� = �(x + 1, y 5, z + 1)�
(x 3)2 + (y 1)2 + (z 1)2 =
= (x + 1)2 + (y 5)2 + (z + 1)2
0 = 8 x 8 y + 4 z + 16
2 x 2 y + z + 4 = 0
32. Un punt P � (x, y, z) és d’un pla bisector de 1 i 2 sii només si:
d (P, 1) = d (P, 2)
33. • Trobem l’equació paramètrica de r:
— Considerem P r i Q s, i trobem
P = (3 k1, 4 k1, 2 k1)
Q = (1, 1 + 2 k2, 1 + k2)
— Imposem que els dos productes escalars,
siguin iguals a zero:[ ] [ ]PQ u i PQ v� ��� � � ��� �
[ ] ( , , )PQ k k k k k� ���
= + + +1 3 1 2 4 1 21 2 1 2 1
[ ]PQ� ���
:
xk
yk
zk
x k
y k
z k
3
4
2
3
4
2
=
=
=
=
=
=
+ + + =5 23029
2 53029
3 0
5 23
x y z
0029
2 53029
3 0+ + + =x y z
+ + = ± +5 2 33029
2 5x y z x y( )
+ + = +29 5 2 3 30 2 5x y z x y
+ +
+ +=
+
+ +
5 2 3
5 2 1
2 5
2 5 02 2 2 2 2 2
x y z x y
( )
+ + + + + + +x x y y z z2 2 22 1 10 25 2 1
+ + + + + =x x y y z z2 2 26 9 2 1 2 1
= + + + +( ) ( ) ( )x y z1 5 12 2 2
+ + =( ) ( ) ( )x y z3 1 12 2 2
d A P d B P AP BP( , ) ( , ) [ ] [ ]= =� ��� � ���
123
7. G
eom
etria
mèt
rica
Calculem el rang de la matriu de coeficients i de la ma-triu ampliada:
Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, la recta i elpla són paral.lels.
La distància del pla a la recta coincideix amb la distàn-cia del pla a un punt qualsevol de la recta, per exem-ple al punt P, la primera coordenada del qual és x �0:
Així:
30.a)Com que ha de contenir r i ser paral.lel a s, escompleix:
A =(1, 0, 0)
A més, juntament amb són vectors directors de .
Així, l’equació general de és:
b)Per hipòtesi, és paral.lel a s; per tant, la distànciaentre i s coincidirà amb la distància entre iqualsevol punt s, per exemple P �(0, �1, 0):
d (, s) =d (, P) =
==13
106
13106106
=++
++=
9041309
943222
()
()
x
y
z
xyz
+
=++=
121
33
21
94390
�v=(,,) 131 �u=(,,) 232
==1
11
1111
drdP (,)(,)()
==+
++=
30304
311222
030
200
3
0030
++=
=
=
==
y
z
y
zP(,,)
113
200
314
203 == rangM()
11
20202 == rangM()
MrangM ==<
110
201
311
03 ()
3.RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MÈTRICS
31.El pla mediador del segment AB és el conjunt depunts P �(x, y, z) que són a la mateixa distància delsextrems del segment, A i B:
�(x 3, y 1, z 1)�=�(x +1, y 5, z +1)�
(x 3)2+(y 1)2+(z 1)2=
=(x +1)2+(y 5)2+(z +1)2
0 =8 x 8 y +4 z +16
2 x 2 y +z +4 =0
32.Un punt P �(x, y, z) és d’un pla bisector de 1i 2sii només si:
d (P, 1) =d (P, 2)
33.•Trobem l’equació paramètrica de r:
—Considerem P r i Q s, i trobem
P =(3 k1, 4 k1, 2 k1)
Q =(1, 1 +2 k2, 1 +k2)
—Imposem que els dos productes escalars,
siguin iguals a zero: [][] PQuiPQv�� ����� ���
[](,,) PQkkkkk�� ��
=+++ 1312412 12121
[] PQ�� ��
:
xk
yk
zk
xk
yk
zk
3
4
2
3
4
2
=
=
=
=
=
=
+++= 523029
253029
30
523
xyz
0029
253029
30 +++= xyz
++=±+ 5233029
25 xyzxy ()
++=+ 295233025 xyzxy
++
++=
+
++
523
521
25
250222222
xyzxy
()
+++++++ xxyyzz222
21102521
+++++= xxyyzz222
692121
=++++ ()()() xyz 151222
++= ()()() xyz 311222
dAPdBPAPBP (,)(,)[][] ==��������
C M
Y K
124
7. Geom
etria mètrica
(1 3 k1, 1 +2 k24 k1, 1 +k2+2 k1)
(3, 4, 2) =0
(1 3 k1, 1 +2 k24 k1, 1 +k2+2 k1)
(0, 2, 1) =0
Obtenim el sistema d’equacions:
Per tant:
—Així, l’equació vectorial de la perpendicular co-muna a r i s és:
•Trobem el vector , perpendicular a r�i s�:
—Determinem l’equació dels plans i �:
—Expressem la recta t�que busquem com a inter-secció de i �:
34.a)Trobem el punt simètric P��(x, y, z) imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP�.
P=(4, 5, 2)
b)Per a trobar la projecció Q de P sobre r, deter-minem el pla perpendicular a r que conté P.Com que els vectors directors de r són vectors nor-mals de :
: x y 2 z +D =0
(,,),, 3432
23
24
2=
+++ xyz
+=
+=t
xyz
xyz:
106340
1542360
+
+
=+= :
x
y
z
xyz
220
261
132
1542360
:
x
y
z
xyz =+=
130
141
22
106340
= �w(,,) 012
�� uv(,,)(,,)(,,) ×=×= 3422630510
�w
(,,),,(, xyzk =+21
10928
10914109
836,)
PQ�� ��
=88
10933
10966
109,,
P=21
10928
10914109
,,
++=
++===
29650
65307
10912
1212
kk
kkkk;
57109
Si P , 2 3 2 4 +D =0 D =9
: x y 2 z +9 =0
El punt Q és el punt d’intersecció de i r:
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P��(x, y, z) és el simètric:
P=(2, 3, 4)
Fixa’t que P��P, la qual cosa significa que P r.
c)Per trobar la projecció Q de P sobre , determi-nem la recta r perpendicular a i que conté P:
(x, y, z) =(2, 3, 4) +k (1, 2, 1)
El punt Q és el punt intersecció de r i :
Q =(3, 1, 3)
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P��(x, y, z) és el punt simètric:
P=(4, 1, 2)
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
35.Calculem un vector director, de s:
(2, 1, 1) ×(1, 1, 1) =(0, 3, 3)
Qualsevol pla que tingui com a vector normalserà perpendicular a s, i tindrà una equació de la for-ma:
y +z +k =0
Imposem que B compleixi aquesta equació:
1 +2 +k =0 k =3
L’equació de és, doncs, y +z 3 =0.
Vegem ara la manera de trobar el pla �:
Obtenim dos vectors directors de �,i un punten ’, A:
�� viw,
�u
= �u(,,) 011
�u
(,,),, 3132
23
24
2=
+++ xyz
xyz
xyzkkk
+=
=+
220
2324 (,,)(,,)
(,,),, 2342
23
24
2=
+++ xyz
xyz
xyzkkkQ
+=
==
290
5822
(,,)(,,)(,,) 34
124
7. G
eom
etria
mèt
rica
(1 3 k1, 1 + 2 k2 4 k1, 1 + k2 + 2 k1)
(3, 4, 2) = 0
(1 3 k1, 1 + 2 k2 4 k1, 1 + k2 + 2 k1)
(0, 2, 1) = 0
Obtenim el sistema d’equacions:
Per tant:
— Així, l’equació vectorial de la perpendicular co-muna a r i s és:
• Trobem el vector , perpendicular a r� i s�:
— Determinem l’equació dels plans i �:
— Expressem la recta t� que busquem com a inter-secció de i �:
34. a) Trobem el punt simètric P� � (x, y, z) imposant lacondició que Q sigui el punt mitjà del segmentPP�.
P = (4, 5, 2)
b) Per a trobar la projecció Q de P sobre r, deter-minem el pla perpendicular a r que conté P.Com que els vectors directors de r són vectors nor-mals de :
: x y 2 z + D = 0
( , , ) , ,3 4 32
23
24
2=
+ + +x y z
+ =
+ =t
x y z
x y z:
10 6 3 4 0
15 4 2 36 0
+
+
= + =:
x
y
z
x y z
2 2 0
2 6 1
1 3 2
15 4 2 36 0
:
x
y
z
x y z= + =
1 3 0
1 4 1
2 2
10 6 3 4 0
=�w ( , , )0 1 2
� �u v ( , , ) ( , , ) ( , , )× = × =3 4 2 2 6 3 0 5 10
�w
( , , ) , , ( ,x y z k= +21
10928
10914109
8 3 6, )
PQ� ���
=88
10933
10966
109, ,
P =21
10928
10914109
, ,
+ + =
+ + == =
29 6 5 0
6 5 3 07
1091 2
1 21 2
k k
k kk k;
57109
Si P , 2 3 2 4 + D = 0 D = 9
: x y 2 z + 9 = 0
El punt Q és el punt d’intersecció de i r:
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P� � (x, y, z) és el simètric:
P = (2, 3, 4)
Fixa’t que P� � P, la qual cosa significa que P r.
c) Per trobar la projecció Q de P sobre , determi-nem la recta r perpendicular a i que conté P:
(x, y, z) = (2, 3, 4) + k (1, 2, 1)
El punt Q és el punt intersecció de r i :
Q = (3, 1, 3)
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segmentPP�, i P� � (x, y, z) és el punt simètric:
P = (4, 1, 2)
RESOLUCIÓ D’EXERCICIS I PROBLEMES
35. Calculem un vector director, de s:
(2, 1, 1) × (1, 1, 1) = (0, 3, 3)
Qualsevol pla que tingui com a vector normalserà perpendicular a s, i tindrà una equació de la for-ma:
y + z + k = 0
Imposem que B compleixi aquesta equació:
1 + 2 + k = 0 k = 3
L’equació de és, doncs, y + z 3 = 0.
Vegem ara la manera de trobar el pla �:
Obtenim dos vectors directors de � , i un punten ’, A:
� �v i w,
�u
=�u ( , , )0 1 1
�u
( , , ) , ,3 1 32
23
24
2=
+ + +x y z
x y z
x y z k k k
+ =
= +
2 2 0
2 3 2 4( , , ) ( , , )
( , , ) , ,2 3 42
23
24
2=
+ + +x y z
x y z
x y z k k kQ
+ =
==
2 9 0
5 8 22
( , , ) ( , , )( , , )3 4
CM
YK
125
7. Geom
etria mètrica
en què (2, 3, 1) i ( 1, 1, 2) són vectors normals alsplans que defineixen s�.
Per tant, l’equació general de � és:
36. Qualsevol pla que contingui la recta r pertanyerà alfeix de plans secants en r. Busquem l’equació d’aquestfeix:
Així, l’equació del feix és:
(x + 3 y) + (4 y + z) = 0
Si prescindim del pla �: 4 y � z � 0 (corresponent a� 0), podem expressar l’equació del feix en termes
d’un únic paràmetre
x + 3 y + (4 y + z) = 0 x + (3 + 4 ) y + z = 0
Determinem ara els plans que compleixen les condi-cions de cada apartat.
a)
+ + = +149
17 24 10 5 42 2( ) ( )
+ + = +143
17 24 10 5 42
143
5 4
17 24 102= =
+
+ +d P( , )
=+
+ +
5 4
17 24 102
d P( , )( )
( )=
+ + +
+ + +=
1 3 4 1 1
1 3 42 2 2
= :
=
=
+ =
+ =
x y
y z
x y
y z
3 1
1 4
3 0
4 0
x k
y k
z k
x y z=
=
=
= =
3
43 1 4
x
y
z
x y z= + + =
23
0 7
1 3
73
1 5
8 7 7 11 0
= ×s w ( , , ) ( , ,� � 2 3 1 1 1 2)) ( , , ),= 7 3 5
s
A s y =: Considerant
tenim
,0
, ,
( , , )
A
u v
=
= =
23
073
0 1 1� �
= 2
13 2 24 4 = 0
Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ensdemanen:
1: x + (3 + 4 2) y + 2 z = 0
x + 11 y + 2 z = 0
13 x + 31 y 2 z = 0
Comprovem que el pla que no hem considerat, �,
no dista unitats de P:
b) Si és l’angle format per i l’eix OX, tenint encompte que és un vector normalde , i que és un vector director del’eix OX, es compleix:
Per tant:
17 2 + 24 + 10 = 3
= 1
17 2 + 24 + 7 = 0
Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ensdemanen:
1: x + (3 + 4 ( 1)) y + ( 1) z = 0
x y z = 0
=7
17
+ +=
1
17 24 10
332
33
= sin
=+ +
1
17 24 102
=+ + +
+ + + + +=
1 1 0 3 4 0
1 0 0 1 3 4 2 2
( )
( )
sinv u
v u= =
� �
� �
�v = ( , , )1 0 0
�u = +( , , )1 3 4
d P( , ) =+
+ +=
4 1 1
0 4 1
5
17
1432 2 2
143
2 3 42
132
130: x y z+ + + =
=2
13
+ + =139
249
49
02
+ + = + +149
17 24 10 25 40 162 2( )
��
��
125
7. G
eom
etria
mèt
rica
en què (2, 3, 1) i (1, 1, 2) són vectors normals alsplans que defineixen s�.
Per tant, l’equació general de �és:
36.Qualsevol pla que contingui la recta r pertanyerà alfeix de plans secants en r. Busquem l’equació d’aquestfeix:
Així, l’equació del feix és:
(x +3 y) +(4 y +z) =0
Si prescindim del pla �: 4 y �z �0 (corresponent a�0), podem expressar l’equació del feix en termes
d’un únic paràmetre
x +3 y +(4 y +z) =0 x +(3 +4 ) y +z =0
Determinem ara els plans que compleixen les condi-cions de cada apartat.
a)
++=+149
1724105422
()()
++=+143
172410542
143
54
1724102
==+
++dP (,)
=+
++
54
1724102
dP (,)()
()=
+++
+++=
13411
134222
=:
=
=
+=
+=
xy
yz
xy
yz
31
14
30
40
xk
yk
zk
xyz=
=
=
==
3
4314
x
y
z
xyz =++=
23
07
13
73
15
877110
=× sw(,,)(,, ��231112))(,,), =735
s
Asy= :Considerant
tenim
, 0
,,
(,,)
A
uv
=
==
23
073
011 ��
=2
13 224 4 =0
Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ensdemanen:
1: x +(3 +4 2) y +2 z =0
x +11 y +2 z =0
13 x +31 y 2 z =0
Comprovem que el pla que no hem considerat, �,
no dista unitats de P:
b)Si és l’angle format per i l’eix OX, tenint encompte queés un vector normalde , i queés un vector director del’eix OX, es compleix:
Per tant:
17 2+24 +10 =3
=1
17 2+24 +7 =0
Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ensdemanen:
1: x +(3 +4 (1)) y +(1) z =0
x y z =0
=7
17
++=
1
172410
33 2
33
=sin
=++
1
1724102
=+++
+++++=
110340
10013422
()
()
sinvu
vu==
��
��
�v=(,,) 100
�u=+ (,,) 134
dP(,)=+
++=
411
041
5
17
143 222
143
2342
132
130 :xyz +++=
=2
13
++=139
249
49
02
++=++149
17241025401622
()
��
��
C M
Y K
126
7. Geom
etria mètrica
17 x +23 y 7 z =0
Comprovem que el pla que no hem considerat, �,no compleix la condició d’aquest apartat:
c)Siguin vector normal de , i
de ; aleshores:
0 =1 3 +(3 +4 ) 1 +2 =
=6 +6 =1
El pla buscat és:
1: x +(3 +4 (1)) y +(1) z =0
x y z =0
Comprovem que �no és perpendicular a :
(0, 4, 1) (3, 1, 2) =0 3 +4 1 +1 2 =6 0
37.Imposem les condicions que ha de complir r�per ob-tenir un punt de pas, A, i un vector director,
Com que està continguda en el pla XY, es compleix que
Si imposem que tenim:
Prenem el valor v1�1 i tenim:
Així, hem obtingut dos vectors directors:
Com que, a més, r�ha de passar per l’origen, les solu-cions són:
++
+
rk
rk1
2
0001230
000
:(,,)(,,)
:(,,)(11230 ,,)
�� viv =+= (,,)(,,) 12301230
vvvv
v
v
v12
22
12
1
1
2
40
1
1
23
++=
=
=
=±
+=+++=
vvvvvvvv 1
222
122
12
22
122
40 ()
=+
++=+
122
22
12
12
221
222
12vv
vvvvvv
12
601100
2
12
12
22
==+
cosº(,,)(,,) vv
vv
rrº, = �60
�vvv =(,,). 120
�v:
= ���� nnnn0
�u=(,,) 312
�u=+ (,,), 134
=03
3
sinOX (,)=++
++++= �014010
0161100
2347
177
170 :xyz +++=
38.Sigui P =(x, y, z) r �r:
D’altra banda, s’ha de complir que
és un vector director de r i
és un vector director de r�.
Prenem i
Així:
que és un absurd que prové de suposar que r i r�es ta-llen formant un angle de 60°. Per tant, no existeix capvalor de a per al qual es compleixin les hipòtesis del’enunciat.
39.Sigui �un pla tal que r ��i �; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:
s =�
Càlcul de �:
Així, l’equació general de �és:
Per tant, s ve donada per les equacions generals de i�:
40.Sigui �un pla tal que r ��i �; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:
s =�
Càlcul de �:
= �v(,,) 121vectordirectorde
rAr
u�
� =
=
(,,)
(,,)
201
311 �vectorddirectorde
sxy
xyz:
+=
+++=
230
230
x
y
z
xyz +=+++=
121
132
10
230
= �v(,,) 120vectordirectorde
rAr
u�
� =
=
(,,)
(,,)
110
231 �vectordiirectorde
==2
6
12
2
6
12
6001021
114001==
+
++++= cosº
1
�va == (,,)(,,). 01001
�u=×= (,,)(,,)(,,) 110201112
�v
60= cosº,����
� uv
uvu enquè
rrº = �60:
=+
=+==
22
220
ak
ykka
Prx
PrP
Pr
==
2224 (,,)
126
7. G
eom
etria
mèt
rica
17 x + 23 y 7 z = 0
Comprovem que el pla que no hem considerat, �,no compleix la condició d’aquest apartat:
c) Siguin vector normal de , i
de ; aleshores:
0 = 1 3 + (3 + 4 ) 1 + 2 =
= 6 + 6 = 1
El pla buscat és:
1: x + (3 + 4 ( 1)) y + ( 1) z = 0
x y z = 0
Comprovem que � no és perpendicular a :
(0, 4, 1) (3, 1, 2) = 0 3 + 4 1 + 1 2 = 6 0
37. Imposem les condicions que ha de complir r� per ob-tenir un punt de pas, A, i un vector director,
Com que està continguda en el pla XY, es compleix que
Si imposem que tenim:
Prenem el valor v1 � 1 i tenim:
Així, hem obtingut dos vectors directors:
Com que, a més, r� ha de passar per l’origen, les solu-cions són:
+ +
+
r k
r k1
2
0 0 0 1 2 3 0
0 0 0
: ( , , ) ( , , )
: ( , , ) (11 2 3 0, , )
� �v i v= + =( , , ) ( , , )1 2 3 0 1 2 3 0
v v v v
v
v
v12
22
1 2
1
1
2
4 0
1
1
2 3
+ + =
=
=
= ±
+= + + + =
v vv v v v v v1
222
1 22
12
22
1 224 0( )
=+
++ = +
12 2
22
1 2
12
22 1
222
1 2v v
v vv v v v
12
601 1 0 0
2
1 2
12
22
= =+
cos º( , , ) ( , , )v v
v v
r r º ,=� 60
�v v v= ( , , ).1 2 0
�v:
=� � � �n n n n 0
�u = ( , , )3 1 2
�u = +( , , ),1 3 4
= 03
3
sin OX( , ) =+ +
+ + + +=� 0 1 4 0 1 0
0 16 1 1 0 0
2 3 47
177
170: x y z+ + + =
38. Sigui P = (x, y, z) r � r :
D’altra banda, s’ha de complir que
és un vector director de r i
és un vector director de r�.
Prenem i
Així:
que és un absurd que prové de suposar que r i r� es ta-llen formant un angle de 60°. Per tant, no existeix capvalor de a per al qual es compleixin les hipòtesis del’enunciat.
39. Sigui � un pla tal que r � � i � ; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:
s = �
Càlcul de �:
Així, l’equació general de � és:
Per tant, s ve donada per les equacions generals de i�:
40. Sigui � un pla tal que r � � i � ; aleshores, la pro-jecció ortogonal de r sobre , s és:
s = �
Càlcul de �:
=�v ( , , )1 2 1 vector director de
rA r
u�
�=
=
( , , )
( , , )
2 0 1
3 1 1� vector ddirector de
sx y
x y z:
+ =
+ + + =
2 3 0
2 3 0
x
y
z
x y z+ = + + + =
1 2 1
1 3 2
1 0
2 3 0
=�v ( , , )1 2 0 vector director de
rA r
u�
�=
=
( , , )
( , , )
1 1 0
2 3 1� vector diirector de
= =2
6
12
2
6
12
600 1 0 2 1
1 1 4 0 0 1= =
+
+ + + +=cos º
1
�v a= =( , , ) ( , , ).0 1 0 0 1
�u = × =( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 0 2 0 1 1 1 2
�v
60 =cos º ,� �� �
�u v
u vuen què
r r º=� 60 :
= +
= + ==
2 2
2 20
a k
y k ka
P r x
P rP
P r
==
22 2 4( , , )
CM
YK
127
7. Geom
etria mètrica
Així, l’equació general de � és:
Per tant, s ve donada per les equacions generals de i�:
El punt de tall de r amb és la solució del sistema for-mat per les equacions implícites de r i l’equació gene-ral de .
Determinem, doncs, les equacions implícites de r:
El sistema que hem de resoldre és, doncs:
Per tant, r � = (2, 0, 1).
El punt de tall de r amb la seva projecció s sobre seràun punt de r i de , ja que s � �; per tant, és l’únicpunt de r que és en :
r � s = r � = (2, 0, 1)
ACTIVITATS
Abans de començar
• Càlcul de l’angle entre: dues rectes (pàg. 138), dos plans(pàg. 140), recta i pla (pàg. 142).
Exemples numèrics del càlcul de l’angle entre: dues rec-tes (pàg. 139), dos plans (pàg. 140), una recta i un pla(pàg. 142).
• Càlcul de la distància entre: un punt i una recta (pàg.145), un punt i un pla (pàg. 146), dues rectes (pàg. 148),dos plans (pàg. 150), una recta i un pla (pàg. 151).
• Determinació de:
a) Pla mediador d’un segment (pàg. 151).
b) Plans bisectors de dos plans (pàg. 151).
c) Punt simètric d’un punt respecte d’un altre, respected’una recta i respecte d’un pla (pàg. 154).
x y
y z
x y z
x y z
=
+ =
+ + =
= = =
3 2
1
1
2 0 1, ,
= =
=+
+ + =
xy x y
yz
y z
23
3 2 0
11
1 0
x k
y k
z k
xy
z= +
=
=
= =+
2 3
1
23
11
sx y z
x y z:
+ + =
+ =
2 1 0
3 4 5 1 0
x
y
z
x y z
+
= + =
2 3 1
1 2
1 1 1
3 4 5 1 0
Qüestions
41. Un vector normal a és
En efecte, sigui un vector director qualsevol de .
Podem expressar mitjançant dos punts qualsevol de
, P � (p1, p2, p3) i Q � (q1, q2, q3):
Calculem el valor del producte escalar de
= Aq1 + Bq2 + Cq3 Ap1 Bp2 Cp3 =
P, Q : A x + B y + C z = D
= D ( D) = 0
Això significa que és perpendicular a un vector di-
rector qualsevol de ; per tant, és perpendicular a .
42. Busquem la fórmula que ens dóna la distància d’unpunt P � (p1, p2, p3) a un pla
: A x + B y + C z + D = 0
Observem que la distància de P a coincideix amb laprojecció del vector que va de qualsevol punt de ,Q � (q1, q2, q3), al punt P, sobre la direcció per-pendicular a , que és la del vector normal a ,
D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar:
Q
43. Els plans bisectors de dos plans qualssevol 1 i 2 for-men un angle recte, ja que divideixen cadascun delsquatre angles diedres dos a dos formats per aquestsplans, i , en dos angles iguals. Com que aquests
=+ + +
+ +
Ap Bp Cp D
A B C
1 2 3
2 2 2
=+ +
+ +=
Ap Bp Cp Aq Bq Cq
A B C
1 2 3 1 2 3
2 2 2
=+ +
+ +=
A p q B p q C p q
A B C
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
2 2 2
= =( , , ) ( , , )
( , , )
p q p q p q A B C
A B C1 1 2 2 3 3
d PQP n
n( , )
[ ]= =
� ��� �
�
�n A B C= ( , , ).
[ ],QP� ���
�v
�n
� �n v A q p B q p C q p= + + =( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
n per v:
� � ���v PQ q p q p q p= =[ ] ( , , )1 1 2 2 3 3
�v
�v
�n A B C= ( , , ).
P
d (P, �)
�
Q
[QP]
n
127
7. G
eom
etria
mèt
rica
Així, l’equació general de �és:
Per tant, s ve donada per les equacions generals de i�:
El punt de tall de r amb és la solució del sistema for-mat per les equacions implícites de r i l’equació gene-ral de .
Determinem, doncs, les equacions implícites de r:
El sistema que hem de resoldre és, doncs:
Per tant, r �=(2, 0, 1).
El punt de tall de r amb la seva projecció s sobre seràun punt de r i de , ja que s ��; per tant, és l’únicpunt de r que és en :
r �s =r �=(2, 0, 1)
ACTIVITATS
Abans de començar
•Càlcul de l’angle entre: dues rectes (pàg. 138), dos plans(pàg. 140), recta i pla (pàg. 142).
Exemples numèrics del càlcul de l’angle entre: dues rec-tes (pàg. 139), dos plans (pàg. 140), una recta i un pla(pàg. 142).
•Càlcul de la distància entre: un punt i una recta (pàg.145), un punt i un pla (pàg. 146), dues rectes (pàg. 148),dos plans (pàg. 150), una recta i un pla (pàg. 151).
•Determinació de:
a)Pla mediador d’un segment (pàg. 151).
b)Plans bisectors de dos plans (pàg. 151).
c)Punt simètric d’un punt respecte d’un altre, respected’una recta i respecte d’un pla (pàg. 154).
xy
yz
xyz
xyz
=
+=
++=
===
32
1
1
201 ,,
==
=+
++=
xyxy
yz
yz
23
320
11
10
xk
yk
zk
xy
z=+
=
=
==+
23
1
23
11
sxyz
xyz:
++=
+=
210
34510
x
y
z
xyz
+
=+=
231
12
111
34510
Qüestions
41.Un vector normal a és
En efecte, sigui un vector director qualsevol de .
Podem expressar mitjançant dos punts qualsevol de
, P �(p1, p2, p3) i Q �(q1, q2, q3):
Calculem el valor del producte escalar de
=Aq1+Bq2+Cq3Ap1Bp2Cp3=
P, Q : A x +B y +C z =D
=D (D) =0
Això significa queés perpendicular a un vector di-
rector qualsevol de ; per tant, és perpendicular a .
42.Busquem la fórmula que ens dóna la distància d’unpunt P �(p1, p2, p3) a un pla
: A x +B y +C z +D =0
Observem que la distància de P a coincideix amb laprojecció del vector que va de qualsevol punt de ,Q �(q1, q2, q3), al punt P, sobre la direcció per-pendicular a , que és la del vector normal a ,
D’acord amb la interpretació geomètrica del produc-te escalar:
Q
43.Els plans bisectors de dos plans qualssevol 1i 2for-men un angle recte, ja que divideixen cadascun delsquatre angles diedres dos a dos formats per aquestsplans, i , en dos angles iguals. Com que aquests
=+++
++
ApBpCpD
ABC
123
222
=++
++=
ApBpCpAqBqCq
ABC
123123
222
=++
++=
ApqBpqCpq
ABC
()()() 112233
222
==(,,)(,,)
(,,)
pqpqpqABC
ABC112233
dPQPn
n(,)
[]==
�� ���
�
�nABC =(,,).
[], QP�� ��
�v
�n
�� nvAqpBqpCqp =++= ()()() 112233
nperv:
��� ��vPQqpqpqp == [](,,) 112233
�v
�v
�nABC =(,,).
P
d (P, �)
�
Q
[QP]
n
C M
Y K
128
7. Geom
etria mètrica
quatre angles sumen 360�, cada parell d’angles di-ferents sumen 180�,� �180�; per tant, les sevesunitats (angle format entre els plans bisectors) sumen90�.
Per exemple, els plans bisectors de l’exemple 17, : x �22 y �5 z �30 �0 i �: 19 x �2 y �5 z �0,
són perpendiculars, perquè els seus vectors normals, ho són:
44.Primer procediment:
—Escollim un punt A de la recta i un vector directorde la recta.
—Prenem un vector normal del pla,
—El pla buscat és
Segon procediment:
—Determinem l’equació del feix de plans secants enla recta.
—Trobem el pla d’aquest feix el vector normal delqual és perpendicular al vector normal del pla do-nat. Aquest és el pla buscat.
45.Un vector és paral.lel a un pla si i només si és perpen-dicular al vector normal del pla.
Així, un vector és paral.lel als plans i �si i només siés simultàniament perpendicular als vectors normalsd’aquests plans,(1, 1, 2).
Una manera d’obtenir un vector tal és multiplicar vec-torialment aquests vectors normals:
EXERCICIS I PROBLEMES
46.a)Un vector director de r és i un de sés
Per tant, l’angle que formen és:
b)Un vector director de r és i un des és Per tant, l’angle que formen és:
== arcuv
uvcos����
�v=(,,). 131
�u=(,,), 211
=== arcarc coscosº0
179090
=++
++++= arccos
()() 322221
944441
== arcuv
uvcos����
�v=(,,). 221
�u=(,,), 322
= �v(,,) 174
���
������
vnn
ijk
ijk =×==++ 311
112
74
�� nin == (,,) 311
(;,). Avn ��
�n.
�v
�� nn=++= 119222550 ()()()
�� nin == (,,)(,,), 12251925c)Un vector director de r és:
Un vector director de s és el producte vectorialdels vectors normals dels plans les equacions delsquals formen les equacions implícites de s:
Per tant, r i s formen un angle:
47.a)Un vector normal de ési un deés per tant, l’angle que formen és:
b)Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors:
Un vector normal de és
Per tant, l’angle que formen i és:
48.a)Un vector director de r és i un
vector normal de és �n=(,,). 113
�v=(,,), 124
== arccos,º4
17140
=++
++++= arccos
410010
1601100
�= n(,,). 100
=+= 4401��� ikn(,,)
�
���
n
ijk
=×== (,,)(,,) 134010134
010
== arccos,º1
62732
=++
++++= arccos
() 102111
141011
== arcnn
nncos����
�= n(,,); 011
�n=(,,), 121
== arccos,º2
6353
=++
++++= arccos
() 101021
114001
== arcuv
uvcos����
����vnnk =×=×== 12100010001 (,,)(,,)(,,)
�����uAB === [](,,)(,,) 211013112
=== arcarc coscosº0
611090
=++
++++= arccos
() 211311
411191
128
7. G
eom
etria
mèt
rica
quatre angles sumen 360�, cada parell d’angles di-ferents sumen 180�, � � 180�; per tant, les sevesunitats (angle format entre els plans bisectors) sumen90�.
Per exemple, els plans bisectors de l’exemple 17, : x � 22 y � 5 z � 30 � 0 i �: 19 x � 2 y � 5 z � 0,
són perpendiculars, perquè els seus vectors normals, ho són:
44. Primer procediment:
— Escollim un punt A de la recta i un vector directorde la recta.
— Prenem un vector normal del pla,
— El pla buscat és
Segon procediment:
— Determinem l’equació del feix de plans secants enla recta.
— Trobem el pla d’aquest feix el vector normal delqual és perpendicular al vector normal del pla do-nat. Aquest és el pla buscat.
45. Un vector és paral.lel a un pla si i només si és perpen-dicular al vector normal del pla.
Així, un vector és paral.lel als plans i � si i només siés simultàniament perpendicular als vectors normalsd’aquests plans, (1, 1, 2).
Una manera d’obtenir un vector tal és multiplicar vec-torialment aquests vectors normals:
EXERCICIS I PROBLEMES
46. a) Un vector director de r és i un de sés
Per tant, l’angle que formen és:
b) Un vector director de r és i un des és Per tant, l’angle que formen és:
= =arcu v
u vcos� �� �
�v = ( , , ).1 3 1
�u = ( , , ),2 1 1
= = =arc arccos cos º0
17 90 90
=+ +
+ + + +=arc cos
( ) ( )3 2 2 2 2 1
9 4 4 4 4 1
= =arcu v
u vcos� �� �
�v = ( , , ).2 2 1
�u = ( , , ),3 2 2
=�v ( , , )1 7 4
� � �
� � �� � �
v n n
i j k
i j k= × = = + +3 1 1
1 1 2
7 4
� �n i n= =( , , )3 1 1
( ; , ).A v n� �
�n.
�v
� �n n = + + =1 19 22 2 5 5 0( ) ( ) ( )
� �n i n= =( , , ) ( , , ),1 22 5 19 2 5 c) Un vector director de r és:
Un vector director de s és el producte vectorialdels vectors normals dels plans les equacions delsquals formen les equacions implícites de s:
Per tant, r i s formen un angle:
47. a) Un vector normal de és i un deés per tant, l’angle que formen és:
b) Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors:
Un vector normal de és
Per tant, l’angle que formen i és:
48. a) Un vector director de r és i un
vector normal de és �n = ( , , ).1 1 3
�v = ( , , ),1 2 4
= =arc cos , º4
1714 0
=+ +
+ + + +=arc cos
4 1 0 0 1 0
16 0 1 1 0 0
�=n ( , , ).1 0 0
= + =4 4 0 1� � �i k n ( , , )
�
� � �
n
i j k
= × = =( , , ) ( , , )1 3 4 0 1 0 1 3 4
0 1 0
= =arc cos , º1
6 273 2
=+ +
+ + + +=arc cos
( )1 0 2 1 1 1
1 4 1 0 1 1
= =arcn n
n ncos� �� �
�=n ( , , );0 1 1
�n = ( , , ),1 2 1
= =arc cos , º2
635 3
=+ +
+ + + +=arc cos
( )1 0 1 0 2 1
1 1 4 0 0 1
= =arcu v
u vcos� �� �
� � � �v n n k= × = × = =1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1( , , ) ( , , ) ( , , )
� � ���u AB= = =[ ] ( , , ) ( , , )2 1 1 0 1 3 1 1 2
= = =arc arccos cos º0
6 110 90
=+ +
+ + + +=arc cos
( )2 1 1 3 1 1
4 1 1 1 9 1
CM
YK
129
7. Geom
etria mètrica
Per tant, l’angle que formen r i és:
b) Un vector director de r és
Un vector normal de és
Per tant, l’angle format per r i és:
c) Un vector director de r és
Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors seus:
o també,
L’angle format per r i és:
49. La recta que busquem ha d’estar continguda en el plaperpendicular a la recta r que passa per A.
Com que el vector director de r, és normala , l’equació de és de la forma x � 2 y � 3 z �� D � 0.
�v = ( , , ),1 2 3
= =arc sin , º6
26 1120 8
=+ +
+ + + +=arc sin
( ) ( )1 1 4 1 3 3
1 16 9 1 1 9
= =arc sinv n
v n
� �� �
� �n n= =
12
1 1 3( , , ).
= + + =2 2 6 2 2 6� � � �i j k n ( , , )
�
� � �
= × = =n
i j k
( , , ) ( , , )1 2 1 3 0 1 1 2 1
3 0 1
�v = ( , , ).1 4 3
= =arc sin , º5
6 1040 2
=+ +
+ + + +=arc sin
( ) ( ) ( )1 3 1 0 2 1
1 1 4 9 0 1
= =arc sinv n
v n
�n = ( , , ).3 0 1
= =� � � �i j k v2 1 1 2( , , )
� � �
� � �
v n n
i j k
= × = × =1 2 1 1 0 2 0 1 1 1 0
2 0
( , , ) ( , , )
11
=
= =arc sin , º15
21 1180 7
=+ +
+ + + +=arc sin
( ) ( )1 1 2 1 4 3
1 4 16 1 1 9
= =arcv n
v nsin� �
� �
Com que A � (2, 1, 0) és de , s’ha de complir:
2 + 2 1 3 0 + D = 0 D = 4
Així, l’equació general de és:
x + 2 y 3 z 4 = 0
Si � r és un únic punt B (� A), la recta buscada, s,ha de passar per aquest punt.
Calculem la intersecció de i r, que seran els punts der que verifiquin l’equació de :
Imposem, doncs, que un punt qualsevol de r,
(x, y, z) = (2 + k, 3 + 2 k, 5 3 k)
sigui de :
2 + k + 2 (3 + 2 k) 3 ( 5 3 k) 4 = 0
Així, el punt buscat és:
La recta que busquem passa per A � (2, 1, 0) i té coma vector director:
i per tant,
L’equació vectorial de la recta buscada és, doncs:
(x, y, z) = (2, 1, 0) + k (19, 10, 13)
50. Un vector director de l’eix OZ és
Com que el pla buscat ha de ser perpendicular aaquest eix, el vector és un vector normal de , i pertant, la seva equació general serà de la forma:
z + D = 0
Perquè passi per A � (1, 2, 3), les coordenades de Ahan de satisfer l’equació de , la qual cosa ens deter-mina el valor de D:
3 + D = 0 D = 3
L’equació general del pla buscat és:
: z 3 = 0
�k
�k = ( , , ).0 0 1
� � ���u AB= =14 19 10 13[ ] ( , , ).
=1914
57
1314
, ,
[ ] , ,AB� ���
= =9
142
27
11314
0
B =9
1427
1314
, ,
+ = =14 19 01914
k k
129
7. G
eom
etria
mèt
rica
Per tant, l’angle que formen r i és:
b)Un vector director de r és
Un vector normal de és
Per tant, l’angle format per r i és:
c)Un vector director de r és
Un vector normal de és el producte vectorial dedos vectors directors seus:
o també,
L’angle format per r i és:
49.La recta que busquem ha d’estar continguda en el plaperpendicular a la recta r que passa per A.
Com que el vector director de r, és normala , l’equació de és de la forma x �2 y �3 z ��D �0.
�v=(,,), 123
== arcsin,º6
2611208
=++
++++= arcsin
()() 114133
1169119
== arcsinvn
vn
����
�� nn ==12
113 (,,).
=++= 226226���� ijkn(,,)
�
���
=×== n
ijk
(,,)(,,) 121301121
301
�v=(,,). 143
== arcsin,º5
610402
=++
++++= arcsin
()()() 131021
114901
== arcsinvn
vn
�n=(,,). 301
==���� ijkv 2112 (,,)
���
���
vnn
ijk
=×=×= 12110201110
20
(,,)(,,)
11
=
== arcsin,º15
2111807
=++
++++= arcsin
()() 112143
1416119
== arcvn
vnsin��
��
Com que A �(2, 1, 0) és de , s’ha de complir:
2 +2 1 3 0 +D =0 D =4
Així, l’equació general de és:
x +2 y 3 z 4 =0
Si �r és un únic punt B (�A), la recta buscada, s,ha de passar per aquest punt.
Calculem la intersecció de i r, que seran els punts der que verifiquin l’equació de :
Imposem, doncs, que un punt qualsevol de r,
(x, y, z) =(2 +k, 3 +2 k, 5 3 k)
sigui de :
2 +k +2 (3 +2 k) 3 (5 3 k) 4 =0
Així, el punt buscat és:
La recta que busquem passa per A �(2, 1, 0) i té coma vector director:
i per tant,
L’equació vectorial de la recta buscada és, doncs:
(x, y, z) =(2, 1, 0) +k (19, 10, 13)
50.Un vector director de l’eix OZ és
Com que el pla buscat ha de ser perpendicular aaquest eix, el vectorés un vector normal de , i pertant, la seva equació general serà de la forma:
z +D =0
Perquè passi per A �(1, 2, 3), les coordenades de Ahan de satisfer l’equació de , la qual cosa ens deter-mina el valor de D:
3 +D =0 D =3
L’equació general del pla buscat és:
: z 3 =0
�k
�k=(,,). 001
�����uAB == 14191013 [](,,).
=1914
57
1314
,,
[],, AB����
==9
142
27
11314
0
B=9
1427
1314
,,
+== 141901914
kk
C M
Y K
130
7. Geom
etria mètrica
51.Com que la longitud d’un costat coincideix amb ladistància entre els seus extrems, que són dos vèrtexsdel triangle, el perímetre és:
P =long (AB) +long (BC) +long (CA) =
=d (A, B) +d (B, C) +d (C, A) =
=�(0 2, 1 1, 3 5)�+
+�(2 0, 1 1, 4 3)�+
+�(2 2, 1 (1), 5 4)�=
=�(2, 0, 2)�+�(2, 2, 1)�+�(0, 2, 1)�=
52.Si escollim el punt de la recta B �(1, 0, 0) i el vectordirector
53.Els punts de la recta són aquells la primera compo-nent dels quals és x �0 i la segona component delsquals és el quàdruple de la tercera. Per exemple, A ��(0, 0, 0) ri B �(0, 4, 1) r.
Un vector director de r és
Per tant, la distància de r a P =(3, 4, 1) és:
El pla tindrà els següents elements característics:
•Punt de pas : A �(0, 0, 0) r.
•Vector director: perquè és vector di-rector de r.
•Vector director:perquè A i Psón punts de .
�����uAP == [](,,), 341
�v=(,,), 041
==317
173
dPrAPv
v(,)
[]=
×=
++
++=
�����
�09144
0161
[] APv
ijk
jk�����
�����
×==+ 341
041
312
[](,,) AP����
=341
�����vAB == [](,,). 041
=907
u
dArBAv
v(,)
[]=
×=
++
++=
�����
�1001664
491
[] BAv
ijk
ijk�����
������
×==++ 042
231
1048
[](,,)(,,) BA����
== 114020042
�v=(,,) 231:
=++= 895806 ,unitats
=++++++++= 404441041
=++= ABBCCA���������� ��
Com que són linealment independents, l’equa-
ció general de és:
54.Com que el pla ve donat per la seva equació general:
55.Per calcular la distància entre dues rectes, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:
a)Les equacions implícites de s són:
Per determinar la posició relativa de r i s hem d’es-tudiar, doncs, la compatibilitat del sistema:
Determinem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) �2 i rang (M�) �3, les rectesno es tallen perquè són paral.leles. Per tant, ladistància entre elles coincideix amb la distànciad’un punt qualsevol d’una d’elles a l’altra.
Un punt de r es pot determinar a partir de les se-ves equacions implícites fixant el valor d’una com-ponent, per exemple y �0:
xx
zz
+==
+==
0505
0101
110
011
000
000
5
1
4
0
1F4F4�—F3
4
——————�
110
011
000
000
5
1
4
1
F3F3�F1F4F4�F2
—————�
110
011
110
011
5
1
1
0
xy
yz
xy
yz
=
+=
=
+=
5
1
1
0
xyxy
yzyz
+=+=
=+=
110
0
==8
11
811
11u
d,)()
()(A=
++
++=
33021
311222
0
03
44
11
31240 ===
x
y
z
yzyz
viu
130
7. G
eom
etria
mèt
rica
51. Com que la longitud d’un costat coincideix amb ladistància entre els seus extrems, que són dos vèrtexsdel triangle, el perímetre és:
P = long (AB) + long (BC) + long (CA) =
= d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =
= �(0 2, 1 1, 3 5)� +
+ �(2 0, 1 1, 4 3)� +
+ �(2 2, 1 ( 1), 5 4)� =
= �( 2, 0, 2)� + �(2, 2, 1)� + �(0, 2, 1)� =
52. Si escollim el punt de la recta B � (1, 0, 0) i el vectordirector
53. Els punts de la recta són aquells la primera compo-nent dels quals és x � 0 i la segona component delsquals és el quàdruple de la tercera. Per exemple, A �� (0, 0, 0) r i B � (0, 4, 1) r.
Un vector director de r és
Per tant, la distància de r a P = (3, 4, 1) és:
El pla tindrà els següents elements característics:
• Punt de pas : A � (0, 0, 0) r.
• Vector director: perquè és vector di-rector de r.
• Vector director: perquè A i Psón punts de .
� � ���u AP= =[ ] ( , , ),3 4 1
�v = ( , , ),0 4 1
= =3 17
173
d P rAP v
v( , )
[ ]=
×=
+ +
+ +=
� ��� �
�0 9 144
0 16 1
[ ]AP v
i j k
j k� ��� �
� � �� �
× = = +3 4 1
0 4 1
3 12
[ ] ( , , )AP� ���
= 3 4 1
� � ���v AB= =[ ] ( , , ).0 4 1
=907
u
d A rBA v
v( , )
[ ]=
×=
+ +
+ +=
� ��� �
�100 16 64
4 9 1
[ ]BA v
i j k
i j k� ��� �
� � �� � �
× = = + +0 4 2
2 3 1
10 4 8
[ ] ( , , ) ( , , )BA� ���
= =1 1 4 0 2 0 0 4 2
�v = ( , , )2 3 1 :
= + + =8 9 5 8 06, unitats
= + + + + + + + + =4 0 4 4 4 1 0 4 1
= + + =AB BC CA� ��� � ��� � ���
Com que són linealment independents, l’equa-
ció general de és:
54. Com que el pla ve donat per la seva equació general:
55. Per calcular la distància entre dues rectes, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:
a) Les equacions implícites de s són:
Per determinar la posició relativa de r i s hem d’es-tudiar, doncs, la compatibilitat del sistema:
Determinem rang (M) i rang (M�) esglaonant M�:
Com que rang (M) � 2 i rang (M�) � 3, les rectesno es tallen perquè són paral.leles. Per tant, ladistància entre elles coincideix amb la distànciad’un punt qualsevol d’una d’elles a l’altra.
Un punt de r es pot determinar a partir de les se-ves equacions implícites fixant el valor d’una com-ponent, per exemple y � 0:
x x
z z
+ = =
+ = =
0 5 0 5
0 1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
0 0 0
5
1
4
0
1F4 F4 � — F34
——————�
1 1 0
0 1 1
0 0 0
0 0 0
5
1
4
1
F3 F3 � F1F4 F4 � F2
—————�
1 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
5
1
1
0
x y
y z
x y
y z
=
+ =
=
+ =
5
1
1
0
x y x y
y z y z
+ = + =
= + =
1 1 0
0
= =8
11
8 11
11u
d , )( )
( )(A =
+ +
+ +=
3 3 0 2 1
3 1 12 2 2
0
0 3
4 4
1 1
3 12 4 0= = =
x
y
z
y z y z
v i u
CM
YK
131
7. Geom
etria mètrica
Així, un punt de r és A � (�5, 0, 1).
Un punt de s és B � (�1, 0, 0), i un vector direc-tor és
Finalment:
b) Un vector director de r és i un de sés
Com que r i s es tallen o s’encreuen.
Per tal de saber si es tallen o s’encreuen, hem deveure si el vector que va d’un punt qualsevol d’u-na recta a un qualsevol de l’altra és linealment de-pendent o no amb els vectors directors
A = (1, 0, 0) r i B = ( 1, 2, 0) s
Per tant, són linealment independents;així, doncs, les rectes s’encreuen.
Així, la distància entre elles es calcula de la mane-ra següent:
c) Un vector director de r és i un de sés
Com que són linealment in-
dependents i, per tant, les rectes es tallen o s’en-creuen.
13
34
22
, � �u i v
�v = ( , , ).3 4 2
�u = ( , , ),1 3 2
=+ +
=20
49 9 1
20 5959
d r sAB u v
u v( , )
[[ ], , ]=
×=
� ��� � �
� �
� �
� � �� � �
u v
i j k
i j k× = = +2 5 1
1 3 2
7 3
[[ ], , ] [ ], ,AB u v AB u v� ��� � � � ��� � �
= = 20
[ ], ,AB u v� ��� � �
[ ], ,AB u v� ��� � �
= =
2 2 1
2 5 3
0 1 2
20
[ ] ( , , ) ( , , )AB� ���
= =1 1 2 0 0 0 2 2 0
� �u i v:
21
53
12
,
�v = ( , , ).1 3 2
�u = ( , , ),2 5 1
=+ +
+ += =
1 9 16
1 1 1
26
3
783
d r s d A sBA v
v( , ) ( , )
[ ]= =
×=
� ��� �
�
[ ]BA v
i j k
i j� ��� �
� � �� �
× = =4 0 1
1 1 1
3 44�k
[ ] ( ( ), , ) ( , , )BA� ���
= =5 1 0 0 1 0 4 0 1
�v = ( , , ).1 1 1
Per a determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un altre puntde l’altra és linealment dependent o no amb elsvectors directors:
A = (2, 0, 1) r i B = (2, 5, 3) s
Per tant, les rectes r i s es tallen en un punt, i aixíd (r, s) � 0.
d) Un vector director de r és i un de sés
Com que són linealment independents, lesrectes es tallen o s’encreuen. Vegem quin és el cas:
A = ( 3, 1, 0) r i B = ( 2, 1, 3) s
Per tant, les rectes s’encreuen; així, doncs, la sevadistància és:
56. Per determinar la distància entre dos plans, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:
a) Com que els plans i són
paral.lels.
A més, com que els coeficients de les variables ensón la meitat que els de �, si multipliquem l’e-
quació general de per 2, obtenim:
: 2 x 10 y + 4 z 2 = 0
: 2 x 10 y + 4 z + 3 = 0
i ara podem aplicar la fórmula:
12
510
24
13
= = ,
=+ +
= =2
1 4 1
2
6
63
d r sAB u v
u v( , )
[[ ], , ]=
×=
� ��� � �
� �
� �
� � �� � �
u v
i j k
i j k× = = +1 1 1
3 2 1
2
[[ ], , ] [ ], ,AB u v AB u v� ��� � � � ��� � �
= = 2
[ ], ,AB u v� ��� � �
= =
1 1 3
0 1 2
3 1 1
2 0
[ ] ( ( ), , ) ( , , )AB� ���
= =2 3 1 1 3 0 1 0 3
� �u i v
�v = ( , , ).3 2 1
�u = ( , , )1 1 1
[ ], ,AB u v� ��� � �
= =
0 1 3
5 3 4
4 2 2
0
[ ] ( , , ( )) ( , , )AB� ���
= =2 2 5 0 3 1 0 5 4
131
7. G
eom
etria
mèt
rica
Així, un punt de r és A �(�5, 0, 1).
Un punt de s és B �(�1, 0, 0), i un vector direc-tor és
Finalment:
b)Un vector director de r ési un de sés
Com que r i s es tallen o s’encreuen.
Per tal de saber si es tallen o s’encreuen, hem deveure si el vector que va d’un punt qualsevol d’u-na recta a un qualsevol de l’altra és linealment de-pendent o no amb els vectors directors
A =(1, 0, 0) r i B =(1, 2, 0) s
Per tant, són linealment independents;així, doncs, les rectes s’encreuen.
Així, la distància entre elles es calcula de la mane-ra següent:
c)Un vector director de r és i un de sés
Com que són linealment in-
dependents i, per tant, les rectes es tallen o s’en-creuen.
13
34
22
,�� uiv
�v=(,,). 342
�u=(,,), 132
=++
=20
4991
205959
drsABuv
uv(,)
[[],,]=
×=
������
��
��
������
uv
ijk
ijk ×==+ 251
132
73
[[],,][],, ABuvABuv������������ ==20
[],, ABuv������
[],, ABuv������==
221
253
012
20
[](,,)(,,) AB����
== 112000220
�� uiv:
21
53
12
,
�v=(,,). 132
�u=(,,), 251
=++
++==
1916
111
26
3
783
drsdAsBAv
v(,)(,)
[]==
×=
�����
�
[] BAv
ijk
ij�����
�����
×== 401
111
344�k
[]((),,)(,,) BA����
== 510010401
�v=(,,). 111
Per a determinar quin és el cas, hem de veure si elvector que va d’un punt d’una recta a un altre puntde l’altra és linealment dependent o no amb elsvectors directors:
A =(2, 0, 1) r i B =(2, 5, 3) s
Per tant, les rectes r i s es tallen en un punt, i aixíd (r, s) �0.
d)Un vector director de r és i un de sés
Com que són linealment independents, lesrectes es tallen o s’encreuen. Vegem quin és el cas:
A =(3, 1, 0) r i B =(2, 1, 3) s
Per tant, les rectes s’encreuen; així, doncs, la sevadistància és:
56.Per determinar la distància entre dos plans, primera-ment hem de determinar-ne la posició relativa:
a)Com que els plans i són
paral.lels.
A més, com que els coeficients de les variables ensón la meitat que els de �, si multipliquem l’e-
quació general de per 2, obtenim:
: 2 x 10 y +4 z 2 =0
: 2 x 10 y +4 z +3 =0
i ara podem aplicar la fórmula:
12
510
24
13
==,
=++
==2
141
2
6
63
drsABuv
uv(,)
[[],,]=
×=
������
��
��
������
uv
ijk
ijk ×==+ 111
321
2
[[],,][],, ABuvABuv������������ ==2
[],, ABuv������==
113
012
311
20
[]((),,)(,,) AB����
== 231130103
�� uiv
�v=(,,). 321
�u=(,,) 111
[],, ABuv������==
013
534
422
0
[](,,())(,,) AB����
== 225031054
C M
Y K
132
7. Geom
etria mètrica
b)Com que els plans són paral.lels,
i la seva distància ve donada directament per la fór-mula:
57.Per calcular la distància d’una recta a un pla, prime-rament hem de determinar-ne la posició relativa:
a)Vegem si algun punt de r és de , és a dir, si per aalgun valor del paràmetre k, el punt de r que li cor-respon (x, y, z) �(�1 �2 k, 1 �3 k, �1 �2 k)ve-rifica l’equació de :
1 +2 k +2 (1 +3 k) +4 (1 2 k) 5 =0
8 =0
Com que aquesta igualtat és falsa, cap punt de r noés de ; per tant, r i són paral.lels.
Per a calcular la distància entre ells, n’hi ha proude calcular la distància de a un punt qualsevol der, per exemple A �(�1, 1, �1):
d (, r) =d (, A) =
b)Per a determinar la posició relativa de i r, estu-diem la compatibilitat del sistema format per l’e-quació general de i les equacions implícites de r,que són:
El sistema que hem de considerar és, doncs:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients:
231
323
530
xyz
xy
yz
+=
=
=
xyxy
yzyz
==
==
123
3230
35530
==8
21
82121
175 ,
=++
++=
121415
124222
()
==12
11
121111
d(,)()
=++
=57
311222
33
11
11
57
==,
==5
120
3012
d(,)()
=++
=23
2104222
Això significa que la recta no talla el pla en unpunt. Per tant, o bé r està continguda en o bé ésparal.lela a .
Com que A �(1, 0, 0) r i A , r i són pa-ral.lels.
Per tant, la distància de a r coincideix amb ladistància de a un punt qualsevol de r, per exem-ple A:
58Un punt de la recta serà P �(1, 2, 3).
Un vector director serà un vector normal de , per exemple perquè és perpendicularal pla.
Així, l’equació vectorial de la recta buscada és:
(x, y, z) =(1, 2, 3) +k (2, 1, 3)
—La distància de P a es calcula amb la fórmula:
59.Els plans situats a una distància no nul.la d’un pla sóntots els del seu feix de plans paral.lels excepte ell ma-teix:
K: x +2 y 2 z +K =0
D’aquests, els que són a distància 2 són:
Existeixen, doncs, dos plans que disten dues unitats de:
1: x +2 y 2 z +5 =0 , 2: x +2 y 2 z 7 =0
60.L’equació general d’un pla qualsevol del feix és:
: (2 +) x +2 y +z 1 =0
Un vector normal de és, doncs,
Perquè sigui perpendicular a la recta r, el seu vec-
�n=+ (,,). 22
KK
K
K
K+=
+=
+=
=
=16
16
16
5
7
21
122
1
3 222==
+
++=
+d
KK(,)
()
dP(,)()
=++
++==
212335
213
14
1414
222
�v=(,,), 213
=1
14027 ,
drdA (,)(,)()
==+
++=
213001
231222
M==
231
320
053
0
132
7. G
eom
etria
mèt
rica
b) Com que els plans són paral.lels,
i la seva distància ve donada directament per la fór-mula:
57. Per calcular la distància d’una recta a un pla, prime-rament hem de determinar-ne la posició relativa:
a) Vegem si algun punt de r és de , és a dir, si per aalgun valor del paràmetre k, el punt de r que li cor-respon (x, y, z) � (�1 � 2 k, 1 � 3 k, �1 � 2 k) ve-rifica l’equació de :
1 + 2 k + 2 (1 + 3 k) + 4 ( 1 2 k) 5 = 0
8 = 0
Com que aquesta igualtat és falsa, cap punt de r noés de ; per tant, r i són paral.lels.
Per a calcular la distància entre ells, n’hi ha proude calcular la distància de a un punt qualsevol der, per exemple A � (�1, 1, �1):
d ( , r) = d ( , A) =
b) Per a determinar la posició relativa de i r, estu-diem la compatibilitat del sistema format per l’e-quació general de i les equacions implícites de r,que són:
El sistema que hem de considerar és, doncs:
Calculem el determinant de la matriu de coefi-cients:
2 3 1
3 2 3
5 3 0
x y z
x y
y z
+ =
=
=
x yx y
y zy z
= =
= =
12 3
3 2 3 0
3 55 3 0
= =8
21
8 2121
1 75,
=+ +
+ +=
1 2 1 4 1 5
1 2 42 2 2
( )
= =12
11
12 1111
d ( , )( )
=+ +
=5 7
3 1 12 2 2
33
11
11
57
= = ,
= =5
120
3012
d ( , )( )
=+ +
=2 3
2 10 42 2 2
Això significa que la recta no talla el pla en unpunt. Per tant, o bé r està continguda en o bé ésparal.lela a .
Com que A � (1, 0, 0) r i A , r i són pa-ral.lels.
Per tant, la distància de a r coincideix amb ladistància de a un punt qualsevol de r, per exem-ple A:
58 Un punt de la recta serà P � (1, 2, 3).
Un vector director serà un vector normal de , per exemple perquè és perpendicularal pla.
Així, l’equació vectorial de la recta buscada és:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + k (2, 1, 3)
— La distància de P a es calcula amb la fórmula:
59. Els plans situats a una distància no nul.la d’un pla sóntots els del seu feix de plans paral.lels excepte ell ma-teix:
K: x + 2 y 2 z + K = 0
D’aquests, els que són a distància 2 són:
Existeixen, doncs, dos plans que disten dues unitats de:
1: x + 2 y 2 z + 5 = 0 , 2: x + 2 y 2 z 7 = 0
60. L’equació general d’un pla qualsevol del feix és:
: (2 + ) x + 2 y + z 1 = 0
Un vector normal de és, doncs,
Perquè sigui perpendicular a la recta r, el seu vec-
�n = +( , , ).2 2
KK
K
K
K+ =
+ =
+ =
=
=1 6
1 6
1 6
5
7
21
1 2 2
1
32 2 2= =
+
+ +=
+d
K K( , )
( )
d P( , )( )
=+ +
+ += =
2 1 2 3 3 5
2 1 3
14
1414
2 2 2
�v = ( , , ),2 1 3
=1
140 27,
d r d A( , ) ( , )( )
= =+
+ +=
2 1 3 0 0 1
2 3 12 2 2
M = =
2 3 1
3 2 0
0 5 3
0
CM
YK
133
7. Geom
etria mètrica
tor normal ha de ser paral.lel a S’ha de complir,per tant:
Així, existeix un pla del feix que és perpendicular a r,el corresponent a � �1:
: (2 1) x + 2 y + ( 1) z 1 = 0
x + 2 y z 1 = 0
61. Busquem l’equació del conjunt de punts P � (x, y, z)que equidisten dels plans 1 i 2:
d (P, 1) = d (P, 2), =
x + y z = ± (x y + z)
Els plans bisectors de 1 i 2 són, doncs:
: y z = 0 , : x = 0
62. Imposem que la distància d’un punt Pk qualsevol de larecta r, de coordenades:
Pk = (x, y, z) = ( 3 + 2 k, 5 + 3 k, 4 + 3 k)
al punt A � (3, 2, 1) sigui la mateixa que a l’origen decoordenades O � (0, 0, 0):
�( 3 + 2 k 3, 5 + 3 k 2, 4 + 3 k 1)� =
= �( 3 + 2 k 0, 5 + 3 k 0, 4 + 3 k 0)�
+ + + =4 24 36 9 42 492 2k k k k
= + +( ) ( ) ( )2 3 3 5 3 42 2 2k k k
+ + =( ) ( ) ( )2 6 3 7 3 52 2 2k k k
= + +( ) ( ) ( )2 3 3 5 3 42 2 2k k k
+ + =( ) ( ) ( )2 6 3 7 3 52 2 2k k k
d A P d O P AP OPk k k k( , ) ( , ), [ ] [ ]= =� ��� � ���
+ = + =
+ = + =
x y z x y z y z
x y z x y z x
2 2 0
2 0
x y z x y z+=
+
3 3
x y z x y z+
+ +=
+ +1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2( ) ( )
21
22
22 1
2 1 1
1 1
+=
=
+ = =
= =
21
22 1
+= =
�v.�n
30 k = 60 ; k = 2
El punt buscat és el corresponent a k � 2:
P2 = ( 3 + 2 2, 5 + 3 2, 4 + 3 2) = (1, 1, 2)
63. Com que és un vector director de r, iés un vector director de r , un vector di-
rector de la recta perpendicular comuna a r i r que els talla, t, és:
Calculem el pla que passa per A � (2, 3, 0) r i técom a vectors directors
x y + 1 = 0
Calculem el pla � que passa per B � (2, �1, 0) r� ité com a vectors directors
Com que i � no són coincidents
defineixen implícitament la recta buscada:
64. a) El punt P� � (x, y, z) és simètric de P � (3, 2, 1)respecte del punt Q si i només si Q és el punt mitjàdel segment PP�, la qual cosa en coordenades sig-nifica:
P = (1, 0, 11)
b) El punt P� � (x, y, z), simètric de P respecte de larecta r, coincideix amb el simètric de P respectedel punt Q�, projecció ortogonal de P sobre r.
Determinem les coordenades de Q�:
Q� és la intersecció de la recta r amb el pla per-pendicular a r que passa per P.
Com que és vector director de r,serà vector perpendicular de ; per tant l’equació general de és de la forma:
2 x + 2 y + 3 z + D = 0
�v = ( , , )2 2 3
( , , ) , ,2 1 53
22
21
2=
+ + +x y z
tx y
x y zt: : (x, y, z) =
+ =
+ =
1 0
7 8 22 0(( , , ) ( , , )0 1 30 1 1 1+ k
17
18
01
,
x
y
z
x y z+ = + =
2 3 1
1 2 1
5 1
7 8 22 0
� �v i w.
0
2 1 1
3 1 1
2 1
3 3 3= = +
x
y
z
x y
� �u i w.
= × =� � �w u v( ) ( , , )1 1 1
� �
� � �� � �
u v
i j k
i j k× = =1 1 2
3 2 5
�v = ( , , )3 2 5
�u = ( , , )1 1 2
= + + +4 12 9 9 24 162 2k k k k
133
7. G
eom
etria
mèt
rica
tor normal ha de ser paral.lel a S’ha de complir,per tant:
Així, existeix un pla del feix que és perpendicular a r,el corresponent a ��1:
: (2 1) x +2 y +(1) z 1 =0
x +2 y z 1 =0
61.Busquem l’equació del conjunt de punts P �(x, y, z)que equidisten dels plans 1i 2:
d (P, 1) =d (P, 2), =
x +y z =±(x y +z)
Els plans bisectors de 1i 2són, doncs:
: y z =0 , : x =0
62.Imposem que la distància d’un punt Pkqualsevol de larecta r, de coordenades:
Pk=(x, y, z) =(3 +2 k, 5 +3 k, 4 +3 k)
al punt A �(3, 2, 1) sigui la mateixa que a l’origen decoordenades O �(0, 0, 0):
�(3 +2 k 3, 5 +3 k 2, 4 +3 k 1)�=
=�(3 +2 k 0, 5 +3 k 0, 4 +3 k 0)�
+++= 424369424922
kkkk
=++ ()()() 233534222
kkk
++= ()()() 263735222
kkk
=++ ()()() 233534222
kkk
++= ()()() 263735222
kkk
dAPdOPAPOP kkkk (,)(,),[][] ==������ ��
+=+=
+=+=
xyzxyzyz
xyzxyzx
220
20
xyzxyz +=
+
33
xyzxyz +
++=
++ 111111222222
()()
21
22
221
211
11
+=
=
+==
==
21
221
+==
�v. �n
30 k =60 ; k =2
El punt buscat és el corresponent a k �2:
P2=(3 +2 2, 5 +3 2, 4 +3 2) =(1, 1, 2)
63.Com que és un vector director de r, iés un vector director de r, un vector di-
rector de la recta perpendicular comuna a r i rque els talla, t, és:
Calculem el pla que passa per A �(2, 3, 0) r i técom a vectors directors
x y +1 =0
Calculem el pla �que passa per B �(2, �1, 0) r�ité com a vectors directors
Com que i �no són coincidents
defineixen implícitament la recta buscada:
64.a)El punt P��(x, y, z) és simètric de P �(3, 2, 1)respecte del punt Q si i només si Q és el punt mitjàdel segment PP�, la qual cosa en coordenades sig-nifica:
P=(1, 0, 11)
b)El punt P��(x, y, z), simètric de P respecte de larecta r, coincideix amb el simètric de P respectedel punt Q�, projecció ortogonal de P sobre r.
Determinem les coordenades de Q�:
Q�és la intersecció de la recta r amb el pla per-pendicular a r que passa per P.
Com que és vector director de r,serà vector perpendicular de ; per tant l’equació general de és de la forma:
2 x +2 y +3 z +D =0
�v=(,,) 223
(,,),, 2153
22
21
2=
+++ xyz
txy
xyzt ::(x,y,z)=
+=
+=
10
78220((,,)(,,) 0130111 +k
17
18
01
,
x
y
z
xyz +=+=
231
121
51
78220
�� viw.
0
211
311
21
333 ==+
x
y
z
xy
�� uiw.
=×= ��� wuv ()(,,) 111
��
������
uv
ijk
ijk ×== 112
325
�v=(,,) 325
�u=(,,) 112
=+++ 41299241622
kkkk
C M
Y K
134
7. Geom
etria mètrica
Atès que ha de passar per P �(3, 2, 1), s’ha decomplir:
2 3 +2 2 +3 1 +D =0 D =1
El pla és, doncs, �2 x �2 y �3 z �1 �0.
El punt de la recta r corresponent al valor k delparàmetre és Pk�(4 �2 k, �1 �2 k, �2 ��3 k). Perquè aquest punt sigui de , ha de satis-fer la seva equació:
2 (4 2 k) +2 (1 +2 k) +
+3 (2 +3 k) 1 =0
17 k 17 =0 k =1
Per tant, r i es tallen en un únic punt:
Q=P1=(4 2 1, 1 +2 1, 2 +3 1) =
=(2, 1, 1)
El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q�ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:
P=(1, 0, 1)
c)El punt P�, simètric de P respecte del pla , coinci-deix amb el simètric de P respecte del punt Q�,projecció ortogonal de P sobre .
Determinem les coordenades de Q�:
Q�és la intersecció del pla amb la recta r per-pendicular a que passa per P.
Com que és un vector normal de , serà vector director de r, i com que P =(3, 2, 1)ha de ser un punt de r, la seva equació vectorial és:
(x, y, z) =(3, 2, 1) +k (1, 2, 1)
El punt de la recta r corresponent al valor k del parà-metre és Pk�(3 �k, 2 �2 k, 1 �k). Perquè aquestpunt sigui de , ha de satisfer la seva equació:
3 +k +2 (2 +2 k) (1 k) =0
6 k +6 =0 k =1
Per tant, i r es tallen en un únic punt:
Q=P1=
=(3 +(1), 2 +2 (1), 1 (1)) =(2, 0, 2)
El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q�ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:
P=(1, 2, 3)
(,,),, 2023
22
21
2=
+++ xyz
�n=(,,) 121
(,,),, 2113
22
21
2=
+++ xyz
65.Determinem els elements característics del pla queens permeten de trobar-ne l’equació general:
•Un punt del pla és A =(1, 0, 1).
•Un vector director serà vector nor-mal de .
•Un altre vector director serà un vector director de r,ja que ha de ser paral.lel a aquesta recta:
Com que són linealmentindependents
una equació general del pla
buscat és:
: 2 x 4 y 3 z 5 =0
66.Com que el pla buscat ha de contenir la recta r, per-tanyerà al feix de plans secants en r, d’equació:
(2 x y +3) +(x z 1) =0
Podem considerar l’equació simplificada d’aquest feixsi considerem a part el pla x �z �1 �0:
2 x y +3 +(x z 1) =0,
: (2 +) x y z +3 =0
Determinem el valor de perquè l’angle format
per i tingui com a cosinus
Imposant que aquest cosinus sigui
66
5
142452
==+
++cos
()
66
:
=+
++
5
142452
()
=+++
++++=
32112
1444122
()()()
()
=+
+++++=
(,,)(,,)
()
31221
9142122
cos==
��
��nn
nn
66
:
0
112
11
120
2435 =
+
=
x
y
z
xyz
12
11
20
,
�� niv
�v=(,,) 210
==
�����
ijk
ijésadir ,, 120
001
2
��� vnn =×=×= 12120001 (,,)(,,)
�n=(,,), 112
134
7. G
eom
etria
mèt
rica
Atès que ha de passar per P � (3, 2, 1), s’ha decomplir:
2 3 + 2 2 + 3 1 + D = 0 D = 1
El pla és, doncs, �2 x � 2 y � 3 z � 1 � 0.
El punt de la recta r corresponent al valor k delparàmetre és Pk � (4 � 2 k, �1 � 2 k, �2 �� 3 k). Perquè aquest punt sigui de , ha de satis-fer la seva equació:
2 (4 2 k) + 2 ( 1 + 2 k) +
+ 3 ( 2 + 3 k) 1 = 0
17 k 17 = 0 k = 1
Per tant, r i es tallen en un únic punt:
Q = P1 = (4 2 1, 1 + 2 1, 2 + 3 1) =
= (2, 1, 1)
El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q� ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:
P = (1, 0, 1)
c) El punt P�, simètric de P respecte del pla , coinci-deix amb el simètric de P respecte del punt Q�,projecció ortogonal de P sobre .
Determinem les coordenades de Q�:
Q� és la intersecció del pla amb la recta r per-pendicular a que passa per P.
Com que és un vector normal de , serà vector director de r, i com que P = (3, 2, 1)ha de ser un punt de r, la seva equació vectorial és:
(x, y, z) = (3, 2, 1) + k (1, 2, 1)
El punt de la recta r corresponent al valor k del parà-metre és Pk � (3 � k, 2 � 2 k, 1 � k). Perquè aquestpunt sigui de , ha de satisfer la seva equació:
3 + k + 2 (2 + 2 k) (1 k) = 0
6 k + 6 = 0 k = 1
Per tant, i r es tallen en un únic punt:
Q = P 1 =
= (3 + ( 1), 2 + 2 ( 1), 1 ( 1)) = (2, 0, 2)
El simètric de P respecte de Q�, P�, és tal que Q� ésel punt mitjà del segment PP�. Per tant:
P = (1, 2, 3)
( , , ) , ,2 0 23
22
21
2=
+ + +x y z
�n = ( , , )1 2 1
( , , ) , ,2 1 13
22
21
2=
+ + +x y z
65. Determinem els elements característics del pla queens permeten de trobar-ne l’equació general:
• Un punt del pla és A = (1, 0, 1).
• Un vector director serà vector nor-mal de .
• Un altre vector director serà un vector director de r,ja que ha de ser paral.lel a aquesta recta:
Com que són linealment independents
una equació general del pla
buscat és:
: 2 x 4 y 3 z 5 = 0
66. Com que el pla buscat ha de contenir la recta r, per-tanyerà al feix de plans secants en r, d’equació:
(2 x y + 3) + (x z 1) = 0
Podem considerar l’equació simplificada d’aquest feixsi considerem a part el pla x � z � 1 � 0:
2 x y + 3 + (x z 1) = 0,
: (2 + ) x y z + 3 = 0
Determinem el valor de perquè l’angle format
per i tingui com a cosinus
Imposant que aquest cosinus sigui
66
5
14 2 4 52= =
+
+ +cos
( )
66
:
=+
+ +
5
14 2 4 52( )
=+ + +
+ + + +=
3 2 1 1 2
14 4 4 12 2
( ) ( ) ( )
( )
=+
+ + + + +=
( , , ) ( , , )
( )
3 1 2 2 1
9 1 4 2 12 2
cos = =
� �
� �n n
n n
66
:
0
1 1 2
1 1
1 2 0
2 4 3 5=
+
=
x
y
z
x y z
12
11
20
,
� �n i v
�v = ( , , )2 1 0
= =
� � �� �
i j k
i j és a dir, ,1 2 0
0 0 1
2
� � �v n n= × = × =1 2 1 2 0 0 0 1( , , ) ( , , )
�n = ( , , ),1 1 2
CM
YK
135
7. Geom
etria mètrica
7 (2 2 + 4 + 5) = 3 ( 2 + 10 + 25)
= 2
11 2 2 40 = 0
Vegem si el pla x � z � 1 � 0 compleix o no la condi-ció:
Existeixen, doncs, dos plans que compleixen el quedemanem:
1: (2 + 2) x y 2 z + 3 2 = 0
4 x y 2 z + 1 = 0
2 x 11 y + 20 z + 53 = 0
67. Els elements característics del pla buscat, que ens per-meten de trobar-ne l’equació general, són:
• A � (1, 2, �3) és un punt de pas.
• és un vector director del pla, perquè hoés de r.
• és un altre vector director del pla,
perquè és un vector normal de .
Com que són linealment independents, unaequació general del pla buscat és:
: 2 x + y 3 z 13 = 0
68. Determinem l’equació de la recta aresta del feix a par-tir dels seus elements característics:
• Un punt de pas és A � (3, 0, 0).
• Un vector director és perquè aquestés un vector normal de .
Per tant, l’equació vectorial de l’aresta és:
(x, y, z) = (3, 0, 0) + k (1, 2, 3)
�v = ( , , ),1 2 3
0
1 1 2
2 1 1
3 1 1
2 3 13=
+
= +
x
y
z
x y z
� �v i n
�n = ( , , )2 1 1
�v = ( , , )1 1 1
2 22011
2011
32011
0: + + + =x y z
=+ +
=3 1 1 0 2 1
14 2
1
4 7
66
( )
cos( , , ) ( , , )
=+ + + +
=3 1 2 1 0 1
9 1 4 1 0 1
=2011
=+ +
+ +
16
10 25
14 2 4 5
2
2( )
A partir d’aquesta podem obtenir-ne les equacionsimplícites:
Per tant, dos plans diferents que contenen l’arestasón 2 x � y � 6 � 0 i 3 y � 2 z � 0; per tant, l’equa-ció del feix de plans amb aquesta aresta és:
(2 x y 6) + (3 y + 2 z) = 0
69. Dos plans són perpendiculars si i només si els seus vec-tors normals són perpendiculars.
Per tant, hem de buscar el valor de k pel qual els vectorsnormals de i de �, i siguin perpendiculars:
= 2 3 + ( 6) ( k) + 0 1 =
= 6 + 6 k k = 1
Un vector director de la recta intersecció per a aquestvalor de k serà el producte vectorial dels vectors nor-mals de i �, ja que ha d’estar continguda en tots dosplans:
o també:
70. La projecció ortogonal de r sobre és, per definició,la recta intersecció de amb el pla � que conté r i ésperpendicular a .
Per tant, les equacions generals de i � defineixenunes equacions implícites de la projecció buscada.
Busquem l’equació general de � a partir d’un punt depas i dos vectors linealment independents:
• Un punt del pla és A � (1, 5, 2), perquè és de r i �conté r.
• Un vector director és perquè ho ésde r i � conté r.
• Un altre vector director és perquè
és normal a i � ha de ser perpendicular a .
Com que són linealment independents, l’e-quació general de és:
� �v i n
�n = ( , , ),2 1 1
�v = ( , , ),1 2 1
� �v v= =12
3 1 10( , , )
� � �
� � �� � �
= × = = +v n n
i j k
i j k2 6 0
3 1 1
6 2 20
� � � �n n n n= =0
�=n k( , , ),3 1
�n = ( , , )2 6 0
xy
x y
y zy z
= =
= + =
32
2 6 0
2 33 2 0
x y z= =
31
02
03
��
135
7. G
eom
etria
mèt
rica
7 (2 2+4 +5) =3 (2+10 +25)
=2
11 22 40 =0
Vegem si el pla x �z �1 �0 compleix o no la condi-ció:
Existeixen, doncs, dos plans que compleixen el quedemanem:
1: (2 +2) x y 2 z +3 2 =0
4 x y 2 z +1 =0
2 x 11 y +20 z +53 =0
67.Els elements característics del pla buscat, que ens per-meten de trobar-ne l’equació general, són:
•A �(1, 2, �3) és un punt de pas.
•és un vector director del pla, perquè hoés de r.
•és un altre vector director del pla,
perquè és un vector normal de .
Com que són linealment independents, unaequació general del pla buscat és:
: 2 x +y 3 z 13 =0
68.Determinem l’equació de la recta aresta del feix a par-tir dels seus elements característics:
•Un punt de pas és A �(3, 0, 0).
•Un vector director és perquè aquestés un vector normal de .
Per tant, l’equació vectorial de l’aresta és:
(x, y, z) =(3, 0, 0) +k (1, 2, 3)
�v=(,,), 123
0
112
211
311
2313 =
+
=+
x
y
z
xyz
�� vin
�n=(,,) 211
�v=(,,) 111
222011
2011
32011
0 :+++= xyz
=++
=311021
142
1
47
66
()
cos(,,)(,,)
=++++
=312101
914101
=2011
=++
++
16
1025
14245
2
2()
A partir d’aquesta podem obtenir-ne les equacionsimplícites:
Per tant, dos plans diferents que contenen l’arestasón 2 x �y �6 �0 i 3 y �2 z �0; per tant, l’equa-ció del feix de plans amb aquesta aresta és:
(2 x y 6) +(3 y +2 z) =0
69.Dos plans són perpendiculars si i només si els seus vec-tors normals són perpendiculars.
Per tant, hem de buscar el valor de k pel qual els vectorsnormals de i de �, i siguin perpendiculars:
=2 3 +(6) (k) +0 1 =
=6 +6 k k =1
Un vector director de la recta intersecció per a aquestvalor de k serà el producte vectorial dels vectors nor-mals de i �, ja que ha d’estar continguda en tots dosplans:
o també:
70.La projecció ortogonal de r sobre és, per definició,la recta intersecció de amb el pla �que conté r i ésperpendicular a .
Per tant, les equacions generals de i �defineixenunes equacions implícites de la projecció buscada.
Busquem l’equació general de �a partir d’un punt depas i dos vectors linealment independents:
•Un punt del pla és A �(1, 5, 2), perquè és de r i �conté r.
•Un vector director és perquè ho ésde r i �conté r.
•Un altre vector director ésperquè
és normal a i �ha de ser perpendicular a .
Com que són linealment independents, l’e-quació general de és:
�� vin
�n=(,,), 211
�v=(,,), 121
�� vv ==12
3110 (,,)
���
������
=×==+ vnn
ijk
ijk 260
311
6220
���� nnnn == 0
�= nk (,,), 31�n=(,,) 260
xy
xy
yzyz
==
=+=
32
260
23320
xyz==
31
02
03
��
C M
Y K
136
7. Geom
etria mètrica
Unes equacions implícites de la projecció són,doncs:
71.Sigui P �(x, y, �z) un punt de l’espai que pertany alpla : x �z �0 i compleix, a més:
•La seva distància a l’origen és d’una unitat:
•La recta que passa per O i P forma un angle de 45°amb el pla �: x �z �0.
Sigui un vector director de la recta i
un vector normal del pla �:
I com que es compleix:
x z =1 o x z =1
Així, s’ha de complir:
Resolent aquests sistemes, obtenim:
72.Observem en la figura que el raig incident prolongatpassa pels punts P i Q�, en què Q�és el punt simètricde Q respecte del pla del mirall, .
Determinem, doncs, les coordenades de Q�.
Q�coincideix amb el simètric de Q respecte de la sevaprojecció ortogonal sobre , Q�. Trobem en primerlloc les coordenades de Q�.
PP 3412
22
12
12
22
12
== ,,,,,
PP 1212
22
12
12
22
12
== ,,,,,
xz
xyz
xz
obé
x +=
++=
=
+ 0
1
1
222
zz
xyz
xz
=
++=
=
0
1
1
222
222
1 ==xz
xz
xyz222
1 ++=,
=++
xz
xyz222
2
=++
++++=
xyz
xyz
101
101222
()
22
45 === sinvn
vnº����
�n=(,,) 101
�vxyz =(,,)
1222
==++ dPOxyz (,)
230
35180
xyz
xyz
+=
++=
x
y
z
xyz =+=
112
521
211
35180
Q�és la intersecció de amb la recta r�perpendiculara que passa per Q.
Un punt de pas d’aquesta recta és Q �(4, �1, �5), iun vector director és ja que és un vec-tor normal de i la recta és perpendicular a .
L‘equació vectorial de la recta és, doncs:
(x, y, z) =(4, 1, 5) +k (3, 2, 2)
Per trobar el punt Q��r��, vegem per a quin va-lor de k el punt corresponent de r�, de coordenadesPk�(4 �3 k, �1 �2 k, �5 �2 k), satisfà l’equacióde :
3 (4 +3 k) +2 (1 +2 k) 2 (5 2 k) +14 =0
17 k +34 =0 , k =2
El punt Qés, doncs:
Q=(4 +3 (2), 1 +2 (2), 5 2 (2)) =
=(2, 5, 1)
El punt que ens interessava era Q�, que, com que coin-cideix amb el simètric de Q respecte de Q�, ha de te-nir unes coordenades Q��(x, y, z) tals que Q�sigui elpunt mitjà del segment QQ�:
Q=(8, 9, 3)
La trajectòria del raig incident és, doncs, sobre unarecta que passa per P �(1, 0, 0) i Q��(�8, �9, 3).
Per tant, un punt de pas és P �(1, 0, 0) i un vector
director és =(1 (8), 0 (9), 0 3) =(9, 9, 3),o també,
Així, l’equació vectorial de r és:
(x, y, z) =(1, 0, 0) +k (3, 3, 1)
D’altra banda, observem que la trajectòria reflectidapassa per Q i pel punt A en què el raig incident canviade direcció, que no és cap altre sinó aquell en què tocael mirall. Dit d’una altra manera, A �r �.
Determinem les coordenades de A:
Les equacions implícites de r es poden obtenir a par-tir de les contínues, immediates a partir de la vecto-rial:
xyxy
yzyz
==
=+=
133
10
3130
xyz==
1331
��� ���vQP ==
13
331 [](,,).
[] QP�� ���
(,,),, =+
2514
21
25
2xyz
�n=(,,), 322
136
7. G
eom
etria
mèt
rica
Unes equacions implícites de la projecció són,doncs:
71. Sigui P � (x, y, �z) un punt de l’espai que pertany alpla : x � z � 0 i compleix, a més:
• La seva distància a l’origen és d’una unitat:
• La recta que passa per O i P forma un angle de 45°amb el pla �: x � z � 0.
Sigui un vector director de la recta i
un vector normal del pla �:
I com que es compleix:
x z = 1 o x z = 1
Així, s’ha de complir:
Resolent aquests sistemes, obtenim:
72. Observem en la figura que el raig incident prolongatpassa pels punts P i Q�, en què Q� és el punt simètricde Q respecte del pla del mirall, .
Determinem, doncs, les coordenades de Q�.
Q� coincideix amb el simètric de Q respecte de la sevaprojecció ortogonal sobre , Q�. Trobem en primerlloc les coordenades de Q�.
P P3 412
22
12
12
22
12
= =, , , , ,
P P1 212
22
12
12
22
12
= =, , , , ,
x z
x y z
x z
o bé
x+ =
+ + =
=
+0
1
1
2 2 2
zz
x y z
x z
=
+ + =
=
0
1
1
2 2 2
22 2
1= =x z
x z
x y z2 2 2 1+ + = ,
=+ +
x z
x y z2 2 2 2
=+ +
+ + + +=
x y z
x y z
1 0 1
1 0 12 2 2
( )
22
45= = =sinv n
v nº� �� �
�n = ( , , )1 0 1
�v x y z= ( , , )
1 2 2 2= = + +d P O x y z( , )
2 3 0
3 5 18 0
x y z
x y z
+ =
+ + =
x
y
z
x y z= + =
1 1 2
5 2 1
2 1 1
3 5 18 0
Q� és la intersecció de amb la recta r� perpendiculara que passa per Q.
Un punt de pas d’aquesta recta és Q � (4, �1, �5), iun vector director és ja que és un vec-tor normal de i la recta és perpendicular a .
L‘equació vectorial de la recta és, doncs:
(x, y, z) = (4, 1, 5) + k (3, 2, 2)
Per trobar el punt Q� � r� � , vegem per a quin va-lor de k el punt corresponent de r�, de coordenadesPk � (4 � 3 k, �1 � 2 k, �5 � 2 k), satisfà l’equacióde :
3 (4 + 3 k) + 2 ( 1 + 2 k) 2 ( 5 2 k) + 14 = 0
17 k + 34 = 0 , k = 2
El punt Q és, doncs:
Q = (4 + 3 ( 2), 1 + 2 ( 2), 5 2 ( 2)) =
= ( 2, 5, 1)
El punt que ens interessava era Q�, que, com que coin-cideix amb el simètric de Q respecte de Q�, ha de te-nir unes coordenades Q� � (x, y, z) tals que Q� sigui elpunt mitjà del segment QQ�:
Q = ( 8, 9, 3)
La trajectòria del raig incident és, doncs, sobre unarecta que passa per P � (1, 0, 0) i Q� � (�8, �9, 3).
Per tant, un punt de pas és P � (1, 0, 0) i un vector
director és = (1 ( 8), 0 ( 9), 0 3) = (9, 9, 3),o també,
Així, l’equació vectorial de r és:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + k (3, 3, 1)
D’altra banda, observem que la trajectòria reflectidapassa per Q i pel punt A en què el raig incident canviade direcció, que no és cap altre sinó aquell en què tocael mirall. Dit d’una altra manera, A � r � .
Determinem les coordenades de A:
Les equacions implícites de r es poden obtenir a par-tir de les contínues, immediates a partir de la vecto-rial:
x yx y
y zy z
= =
= + =
13 3
1 0
3 13 0
x y z= =
13 3 1
� � ����v Q P= =
13
3 3 1[ ] ( , , ).
[ ]Q P� ����
( , , ) , ,=+
2 5 14
21
25
2x y z
�n = ( , , ),3 2 2
CM
YK
137
7. Geom
etria mètrica
Hem de resoldre el sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :
Les coordenades de A són, doncs, A � (�2, �3, 1).
La recta s que conté la trajectòria del raig reflectit ésla que passa per Q � (4, �1, �5) i A � (�2, �3, 1).
x y
y z
x y z
x y z
=
+ =
+ =
= = =
1
3 0
3 2 2 14
2 3, , 11
Un punt de pas serà, doncs, Q = (4, 1, 5), i unvector director és = ( 2 4, 3 ( 1), 1
( 5)) = ( 6, 2, 6), o també,
= (3, 1, 3).
Per tant, l’equació vectorial de s és:
(x, y, z) = (4, 1, 5) + k (3, 1, 3)
73. Activitat TIC.
74. Activitat TIC.
� � ���u QA= =
12
[ ]
[ ]QA� ���
137
7. G
eom
etria
mèt
rica
Hem de resoldre el sistema format per les equacionsimplícites de r i l’equació general de :
Les coordenades de A són, doncs, A �(�2, �3, 1).
La recta s que conté la trajectòria del raig reflectit ésla que passa per Q �(4, �1, �5) i A �(�2, �3, 1).
xy
yz
xyz
xyz
=
+=
+=
===
1
30
32214
23 ,,11
Un punt de pas serà, doncs,Q =(4, 1, 5), i unvector director és =(2 4, 3 (1), 1
(5)) =(6, 2, 6), o també,
=(3, 1, 3).
Per tant, l’equació vectorial de s és:
(x, y, z) =(4, 1, 5) +k (3, 1, 3)
73.Activitat TIC.
74.Activitat TIC.
��� ��uQA ==
12
[]
[] QA�� ��
C M
Y K