solução de problemas estruturais dinâmicos lineares pelo...
TRANSCRIPT
1 Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método
dos Elementos Finitos Generalizados
Solution of Linear Dynamical Structural Problems via Generalized
Finite Elements Method
Yuri Oselieri Milione1; Felício Bruzzi Barros
2
1Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;
[email protected] 2Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais;
Resumo
Este artigo trata do estudo e adequação de implementação do método dos elementos finitos generalizados (MEFG)
para solução de problemas estruturais de dinâmica linear, em um ambiente de programação orientada a objetos
(POO). Neste ambiente as bases, tanto para análises dinâmicas pelo método dos elementos finitos (MEF) quanto para
análises estáticas lineares pelo MEFG, já encontram-se previamente implementadas. O trabalho inicia-se com uma
sucinta abordagem sobre a importância da implementação computacional de métodos numéricos para solução de
problemas de engenharia, salientando-se o papel do MEF e do MEFG, e a necessidade de constante evolução desses
núcleos numéricos. A seguir é delineada uma revisão teórica sobre análises dinâmicas estruturais via MEF,
abordando-se todos os seus aspectos mais importantes, tais como os métodos de sobreposição modal e os métodos de
integração direta, que são métodos para solução da equação matricial do sistema dinâmico discretizado. Então parte-
se à uma breve descrição do ambiente computacional de POO envolvido, o INSANE (INterative Structural ANalysis
Environment), que é implementado em Java e desenvolvido no Departamento de Estruturas da Universidade Federal
de Minas Gerais. Por fim é apresentado o projeto de viabilização de análises dinâmicas lineares via MEFG no sistema
INSANE, dividido em duas etapas: uma etapa de verificações, visando garantir o correto funcionamento do ambiente
quanto à dinâmica linear nas bases do MEFG, e uma etapa de testes, buscando conclusões importantes quanto à
precisão dos resultados, desempenho do núcleo numérico e entendimento mais profundo dos fenômenos físicos
relacionados à dinâmica estrutural.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizados. Programação
Orientada a Objetos. Java. INSANE. Análises Dinâmicas Lineares.
Abstract
This article regards the study and adequacy of generalized finite elements method (GFEM) implementation for
solution of linear dynamics structural problems, in an objects oriented programming (OOP) environment. In this
environment the bases, both for dynamic analysis via finite elements method (FEM) and for linear static analysis via
GFEM, are already implemented. The work starts with a succinct approach on the importance of computational
implementation of numeric methods to engineering problems solution, pointing out the role of FEM and GFEM, and
the need of constant evolution of these numerical cores. Following it is exposed a theoretical review on the structural
analysis via FEM, addressing all of its most important aspects, such as the modal superposition methods and the
direct integration methods, that are methods to solve the matrix equation of the discretized dynamic system. Then it is
is made a brief description of the involved OOP computational environment, the INSANE (INterative Structural
ANalysis Environment), which is implemented in Java and developed at the Department of Structural Engineering of
the Federal University of Minas Gerais. Finally it is presented the project that aims to enable the linear dynamic
analysis performing via GFEM on the INSANE system, divided in two stages: a stage of verifications, seeking to
assure the correct working of the environment on the GFEM based linear dynamics, and a stage of tests, seeking
important conclusions on the results precision, numerical core performance and deeper understanding of the physical
phenomena related to the structural dynamics.
Key words: Finite Elements Method. Generalized Finite Elements Method. Object Oriented Programming. Java.
INSANE. Linear Dynamic Analysis.
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
2
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
1 Introdução
Os diversos campos da engenharia contam, atualmente,
com a ampla e constante utilização de avançados recursos
computacionais para análise de problemas das mais
diversas categorias. Dentre esses recursos computacionais
destacam-se os softwares baseados em métodos numéricos,
tais como o método dos elementos finitos; softwares esses
solidamente consolidados e de aplicação cada vez mais
intensa, tanto no meio acadêmico quanto no meio
industrial. Diante dessa realidade, torna-se clara a
necessidade da constante busca pela melhoria dessas
ferramentas, tanto em nível de desempenho quanto em nível
de precisão de resultados. Isso se alcança, principalmente,
através do desenvolvimento e evolução dos núcleos
numéricos envolvidos.
O método dos elementos finitos (MEF) é, de maneira
bem sucinta, um método numérico que busca representar de
forma aproximada fenômenos regidos por equações
diferenciais, e no caso da mecânica estrutural, o
comportamento mecânico dos corpos contínuos,
discretizados em elementos e seus nós. Uma das maneiras
de se apresentar o método é pelo princípio dos trabalhos
virtuais. Dessa forma, as equações diferenciais do
movimento embasadas pela mecânica do contínuo são
traduzidas em sistemas de equações matriciais, buscando-se
a solução das grandezas desejadas apenas nos nós do
modelo. Tais resultados são usados como base para a
obtenção dos resultados em todo o domínio contínuo,
através de interpolações guiadas por funções de
aproximação características dos elementos do modelo. Esse
método é o cerne dos softwares de simulação virtual mais
largamente utilizados por todo o mundo, pois possibilita a
solução de problemas estruturais extremamente complexos,
de solução inviável via métodos analíticos.
O método dos elementos finitos generalizados (MEFG) é
uma variação do MEF convencional. Sua importância
encaixa-se perfeitamente no contexto referente à
necessidade de evolução constante dos núcleos numéricos
dos softwares de simulações virtuais. Suas características o
tornam mais interessante que o MEF para alguns tipos de
análises, tais como a propagação de trincas ou casos onde
ocorrem grandes deformações localizadas.
O trabalho em questão tem como objetivo principal a
adequação do MEFG para solução de problemas estruturais
dinâmicos lineares, em um ambiente computacional de
programação orientada a objetos (POO), onde já se
encontram implementadas as bases para a aplicação do
MEFG em análises estáticas e também as bases para
análises dinâmicas em geral via MEF. Esse ambiente
computacional, de nome INSANE (INteractive Structural
ANalysis Environment), é implementado na linguagem de
programação Java e desenvolvido no Departamento de
Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais.
Salienta-se também como objetivo a realização de uma
série de testes no âmbito da dinâmica estrutural linear
embasada pelo MEFG, tais como o comparativo de
soluções com diferentes tipos de amortecimento, tratamento
diferenciado da matriz de massa ou o paralelo entre
resultados MEF e MEFG.
É dentro do já mencionado contexto de constante
evolução dos núcleos numéricos das plataformas de
simulação virtual que se busca, com o presente trabalho,
contribuir para tornar o INSANE cada vez mais confiável,
robusto e versátil.
2 Análise Dinâmica Estrutural via
MEF
As equações do movimento para análise dinâmica
estrutural pelo MEF podem ser obtidas através da aplicação
do princípio dos trabalhos virtuais, conforme demonstrado
a seguir.
Definindo-se as grandezas, todas variáveis com o tempo,
envolvidas em um problema estrutural dinâmico para um
elemento finito submetido a cargas nodais e cargas de
corpo:
- Vetor de deslocamentos genéricos:
( ) , - (1)
- Vetor de deslocamentos nodais (i é o índice do nó no
elemento):
( ) , ( )- (2)
( )
, - (3)
- Vetor de forças de corpo:
( ) , - (4)
- Vetor de forças nodais:
( ) , ( )- (5)
( ) , - (6)
Definindo-se agora as relações entre as grandezas
genéricas e os deslocamentos nodais, bem como as matrizes
características do MEF envolvidas:
- Deslocamentos:
( ) ( ) (7)
N – matriz das funções de forma
- Deformações:
( ) ( ) ( ) (8)
L – matriz operador de derivação
- Tensões:
( ) ( ) ( ) (9)
E – matriz de propriedades elásticas do material
Aplicando-se o princípio dos trabalhos virtuais (Se uma
estrutura em equilíbrio dinâmico sofre pequenos
deslocamentos virtuais com um estado de deformações
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
3
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
compatível, o trabalho virtual das forças externas é igual à
energia de deformação virtual das tensões internas
(WEAVER JR., JOHNSTON, 1987)) a um elemento finito:
(10)
sendo a energia de deformação virtual das tensões
internas e o trabalho virtual das forças externas.
Define-se então o vetor de pequenos deslocamentos
virtuais:
, - (11)
, - (12)
A energia de deformações virtual das tensões internas é
dada por:
∫ ( )
(13)
O trabalho virtual externo, como soma dos trabalhos
virtuais das forças de corpo e nodais, é dado por:
( ) ∫ ( )
∫
(14)
sendo a densidade do material e o vetor de acelerações.
Substituindo (13) e (14) em (10):
∫ ( )
( ) ∫ ( )
∫
(15)
Agora definindo
(16)
e realizando-se as devidas substituições das relações
características do MEF em (15), obtém-se:
∫
( ) ∫ ( )
∫
(17)
Rearranjando-se (17) tem-se:
( ) ( ) (18)
que corresponde ao sistema de equações de movimento,
desconsiderando-se efeitos de amortecimento. M é a matriz
de massa consistente e K é a matriz de rigidez do elemento
finito, enquanto o vetor ( ) é o vetor de forças nodais
equivalentes às cargas de corpo.
∫
(19)
∫
(20)
( ) ∫ ( )
(21)
2.1 Amortecimento
O amortecimento é um fenômeno responsável por
dissipação de energia mecânica em um sistema dinâmico. A
física extremamente complexa relacionada à simultaneidade
dos diversos mecanismos de amortecimento, tais como o
atrito, torna impraticável a descrição analítica do fenômeno.
É bastante usual idealizar o amortecimento como viscoso
linear, de forma a traduzir seu efeito em sistemas dinâmicos
como uma força dissipativa, calculada da seguinte maneira:
(22)
onde C é a matriz de amortecimento do sistema.
Incluindo-se a força dissipativa em (18), obtém-se o
sistema de equações de movimento em forma mais
completa:
( ) ( ) (23)
Existem algumas maneiras distintas de se obter a matriz
C, conforme demonstrado a seguir.
- Amortecimento Modal:
[ ] (24)
onde, com relação ao i-ésimo modo vibracional
considerado, i representa sua razão de amortecimento e i
representa o seu autovalor, enquanto ij é o delta de
Kronecker.
- Amortecimento de Rayleigh:
(25)
sendo M a matriz de massa do sistema (apresentada na
equação (20)), K a matriz de rigidez do sistema
(apresentada na equação (19)), e e constantes,
chamadas coeficientes de Rayleigh. Esses coeficientes,
conforme Chopra (1995), podem ser obtidos da seguinte
maneira:
(
) (
) (26)
onde corresponde à razão de amortecimento dos modos i
e j.
- Amortecimento do Material:
∫
(27)
onde é uma constante do material que representa seu
amortecimento viscoso linear.
2.2 Solução do Problema de Autovalor
O conhecimento dos autovalores e autovetores de um
sistema estrutural em análise é extremamente importante
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
4
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
por si só, além de ser necessário como base para as
soluções de sistemas dinâmicos pelos métodos de
sobreposição modal.
Considerando-se um sistema mecânico em vibração livre,
sem atuação de forças dissipativas, o sistema de equações
de movimento genérico se reduz a:
(28)
Assume-se a seguinte solução harmônica:
( ) (29)
onde é um escalar (chamado de autovalor) e Y é um vetor
(chamado de autovetor), ambos a serem calculados.
Substituindo-se (29) em (28), chega-se a:
( ) (30)
(31)
sendo (30) o problema de autovalor generalizado do
sistema.
Existem diversos métodos para a solução de (30), sendo
dois deles tratados a seguir: o método da iteração inversa e
o método da iteração no subespaço.
2.2.1 O Método da Iteração Inversa
Normalizando-se o autovetor Y em relação à matriz de
massa do sistema, chega-se a:
(32)
√
⁄
(33)
onde i é o i-ésimo autovetor normalizado.
Substituindo-se (32) em (30) e rearranjando-se a equação,
obtém-se:
(34)
Partindo-se da arbitragem de um autovalor inicial em
(34), apresentam-se as equações básicas do método, na
sequência em que devem ser resolvidas a cada iteração:
(35)
(36)
(37)
(38)
onde D é a matriz dinâmica do sistema. A ideia é avaliar o
autovalor na equação (38), buscando que se iguale ao
autovalor , conforme a tolerância estabelecida. Caso tal
tolerância seja atendida, obtém-se como autovalor e
como autovetor do sistema. Caso a tolerância não seja
atendida, procede-se a uma nova iteração, aplicando-se
como autovetor inicial.
O método da iteração inversa como apresentado converge
sempre para o modo fundamental do sistema, mas pode ser
adaptado para obtenção de modos superiores através de
algumas técnicas existentes. Uma delas é a deflação de
matriz, que consiste na ortogonalização da matriz dinâmica
em relação aos autovetores previamente calculados,
conforme a equação:
(39)
onde Dn é a matriz dinâmica, n é o autovalor e n é o
autovetor, todos referentes ao n-ésimo modo. Dn+1 é a
matriz dinâmica referente ao autovalor e autovetor a serem
calculados, a ser aplicada durante o processo iterativo nas
equações (35), (36) e (38).
2.2.2 O Método da Iteração no Subespaço
Configurando-se o problema de autovalor generalizado
(30) de forma condensada, tem-se:
(40)
(41)
sendo a matriz composta pelos autovetores normalizados
do sistema. Considerando-se uma quantidade limitada de
modos do sistema, ou seja, um truncamento modal, tem-se:
(42)
O método de iteração no subespaço busca obter os N
autovetores contidos em por meio de operações em um
espaço de dimensão N (denominado ), de bases
ortogonais e (os autovetores são ortogonais em
relação às matrizes de massa e rigidez do sistema).
De maneira semelhante ao método da iteração inversa,
arbitra-se um como conjunto inicial de N autovetores e
apresentam-se as equações do método, na sequência em que
devem ser resolvidas a cada iteração:
(35)
(43)
(44)
(45)
( ) (46)
(47)
(48)
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
5
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
Caso a equação (48) seja verdadeira (dentro da tolerância
estabelecida), obtém-se e como o conjunto dos N
autovalores e autovetores procurados, respectivamente.
Caso a tolerância não seja atendida, procede-se a uma nova
iteração, aplicando-se como conjunto de autovetores
inicial.
Ressalta-se que converge para os N primeiros
autovetores do sistema, desde que não esteja incluído em
nenhum autovetor ortogonal aos procurados.
É importante observar que a equação (46) trata-se de um
problema de autovalor (que pode ser resolvido pelo método
da iteração inversa) interno ao problema de autovalor
inicial. Tal fato incorre em um custo computacional de cada
incremento significativamente maior, em comparação com
o método da iteração inversa. Contudo, como o método da
iteração no subespaço calcula N modos enquanto o método
da iteração inversa calcula apenas um modo, com uma
quantidade semelhante de incrementos, conclui-se que
quanto maior o problema maior a eficiência relativa do
método da iteração no subespaço.
2.3 Métodos de Análise Modal
A solução de problemas dinâmicos pelos métodos de
análise modal demanda que inicialmente se resolva o
problema de autovalor do sistema avaliado, através de
métodos como os elucidados no item 2.2. Em situações
práticas, sempre que possível, aplica-se a técnica do
truncamento modal. Em problemas de dinâmica estrutural,
geralmente a resposta do sistema é predominantemente
constituída de componentes de baixa frequência, sendo
necessários poucos modos para a representação fiel da
solução; o que torna os métodos de análise modal atrativos.
É importante salientar que, por se basearem na
combinação linear de soluções modais, os métodos de
análise modal não são adequados para a análise de sistemas
que apresentem quaisquer tipos de não-linearidades.
Os passos adicionais necessários são explanados a seguir,
na descrição dos dois métodos de análise modal abordados:
método de superposição de deslocamentos modais e método
de superposição de acelerações modais.
2.3.1 Método de Superposição de
Deslocamentos Modais
Admitindo-se o vetor F como a soma das forças nodais e
forças nodais equivalentes às cargas de corpo, a equação
(23) torna-se:
(49)
Agora, com base na solução harmônica proposta em (29),
inicialmente determina-se uma variável auxiliar 𝜂i:
𝜂 ( ) (50)
Para o autovetor normalizado i, tem-se (considerando amortecimento modal):
(51)
(52)
(53)
Assume-se:
𝜂 (54)
Ao se multiplicar ambos os lados de (49) por e
substituindo-se (54), (53), (52) e (51) na equação resultante,
chega-se a:
𝜂 𝜂 𝜂 (55)
(56)
Observa-se que a solução assumida em (54) corresponde
apenas a uma parcela da solução total de d, parcela essa
referente à contribuição do i-ésimo modo do sistema. A
variável auxiliar 𝜂i é chamada fator de participação modal,
ou deslocamento modal, função característica de cada
modo.
Considerando-se a contribuição dos n modos do sistema
na resposta, obtém-se a solução exata do problema:
∑ 𝜂
(57)
Conforme já mencionado, é usual aplicar-se a técnica do
truncamento modal para solução desse tipo de problema
dinâmico, uma vez que os primeiros modos de vibração do
sistema são os de maior influência na resposta total.
Selecionando-se então N autovetores de maior relevância,
obtém-se a solução truncada:
∑ 𝜂
(58)
Multiplicando-se ambos os lados de (49) por e
substituindo-se (58), (53), (52) e (51) na equação resultante,
chega-se a:
�� �� �� (59)
(60)
(61)
(62)
(63)
Nota-se que (59) é um sistema de equações desacoplado,
uma vez que e são matrizes diagonais. Esse sistema
consiste em N equações (55), que podem ser resolvidas
individualmente de forma a se obter o fator de participação
modal, 𝜂i, através da integral de Duhamel (CRAIG JR.,
1987), explicitada a seguir:
𝜂
∫
( ) , ( )- (64)
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
6
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
De posse de e 𝜂i pode-se por fim calcular os
deslocamentos nodais do sistema através de (58).
2.3.2 Método de Superposição de
Acelerações Modais
A velocidade modal, �� , pode ser obtida derivando-se a
equação (64) em relação ao tempo:
��
∫
* , ( )-
, ( )-+
(65)
A aceleração modal, �� , pode ser obtida rearranjando-se
os termos da equação (55):
𝜂 𝜂 𝜂 (66)
Considera-se:
∑ ��
(67)
∑ ��
(68)
Isolando-se d na equação (49) e substituindo-se (67) e
(68) na equação resultante, além de algumas manipulações,
obtém-se, para uma base modal truncada:
⁄ (69)
(70)
Para a solução do sistema pelo método da superposição
de acelerações modais, inicialmente resolve-se o problema
de autovalor do sistema, através de algum método tal como
os descritos no item 2.2. A seguir calculam-se os
deslocamentos modais e as velocidades modais através das
equações (64) e (65), respectivamente. Então pode-se
calcular as acelerações modais com a equação (66). De
posse de todos esses resultados procede-se, por fim, ao
cálculo dos deslocamentos nodais do sistema, por meio da
equação (69), que é a expressão geral relacionada a esse
método.
Observa-se que , parte da resposta na equação (69),
corresponde à resposta do sistema estático. Devido a esse
fato, o método de superposição de acelerações modais
fornece resultados exatos para sistemas submetidos a
carregamentos estáticos.
2.4 Métodos de Integração Direta
No âmbito da análise estrutural, os métodos de integração
direta, diferentemente dos métodos de análise modal, não
impõem nenhum tipo de transformação das equações
dinâmicas em outra forma antes da integração, tal como o
desacoplamento das equações de equilíbrio explicitado
anteriormente.
O sistema de equações representado por (49) é integrado
por um procedimento numérico direto executado passo a
passo. As soluções são obtidas somente em alguns instantes
de tempo distintos do intervalo onde ocorre o fenômeno
dinâmico. Os resultados de deslocamentos, velocidades e
acelerações nodais entre os instantes calculados são obtidos
por alguma lei de variação determinada.
Os métodos de integração direta podem ser do tipo
explícito ou implícito. Nos métodos explícitos calcula-se o
deslocamento no instante corrente com base nos valores de
deslocamentos, velocidades e acelerações obtidos no
instante anterior. Os métodos implícitos o deslocamento no
instante corrente é função também de suas derivadas no
instante corrente. A seguir são explanados alguns métodos
de integração direta típicos.
2.4.1 Método da Diferença Central
O método da diferença central é um método de integração
explícita que se baseia nas seguintes aproximações para a
velocidade e a aceleração no instante de tempo corrente i:
( ) (71)
( ) ( ) (72)
( ) (73)
Repetindo-se a equação (49):
(49)
Substituindo-se (71) e (72) em (49) e rearranjando-se os
termos, obtém-se:
(74)
( )
(75)
(
( )
)
(
( ) )
(76)
Consideram-se conhecidos os deslocamentos e as
velocidades iniciais, e , respectivamente. As
acelerações iniciais podem ser determinadas com base na
equação (49):
( ) (77)
No passo inicial, busca-se calcular , sendo necessários
(condição inicial) e , calculado como se segue:
( )
(78)
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
7
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
Observa-se que o deslocamento corrente é calculado a
partir de deslocamentos obtidos em passos anteriores, e que
a matriz de rigidez efetiva, , não é função direta da matriz
de rigidez do sistema. Essas são características intrínsecas
aos métodos de integração explícitos.
Contudo, o método da diferença central é
condicionalmente convergente, requerendo que o passo de
tempo utilizado seja inferior a um valor crítico para
garantir a convergência. Conforme Weaver Jr. e Johnston
(1987):
(79)
sendo a maior frequência angular natural do sistema e
o correspondente menor período natural vibracional.
2.4.2 Método Newmark-β
Para o método da aceleração média, considera-se a
aceleração média no intervalo de tempo , obtendo-se uma
aproximação de primeira ordem, conforme demonstrado a
seguir:
( ) (80)
Integrando-se (80) duas vezes, chega-se a:
( ) (81)
( )
( ) (82)
Reescrevendo-se (49) para um intervalo de tempo:
(83)
Combinando-se as equações (81), (82) e (83), obtém-se:
(84)
( )
(85)
(
) (86)
De posse da variação de deslocamento calculada em
(84), pode-se calcular a variação de velocidade e
consequentemente a variação de aceleração :
(87)
( )
(88)
Para o método da aceleração linear, considera-se a
aceleração variando linearmente no intervalo de tempo , obtendo-se uma aproximação de segunda ordem, conforme
demonstrado a seguir:
( ) (89)
( )
( ) (90)
(91)
( )
(92)
(
)
(
)
(93)
De posse da variação de deslocamento calculada em
(91), pode-se calcular a variação de velocidade e
consequentemente a variação de aceleração :
(94)
( )
(95)
Ambos os métodos de aceleração média e aceleração
linear podem ser sumarizados em um único conjunto de
equações, demonstrado a seguir:
[( ) ] (96)
[(
) ]
(97)
(98)
( )
(99)
(100)
(101)
(
) (102)
(103)
( ) (104)
Observa-se que a matriz de rigidez efetiva, , é função
direta da matriz de rigidez do sistema, o que é uma
característica intrínseca aos métodos de integração
implícitos.
O método de Newmark-β busca obter o melhor
compromisso entre estabilidade numérica e precisão de
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
8
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
resultados. Para tanto, os coeficientes e são alterados
livremente até que se obtenha o panorama desejado.
Observa-se que para o método da aceleração média,
e =1/2, enquanto que para o método da
aceleração linear e =1/2.
Com relação à ideia de compromisso entre estabilidade
numérica e precisão de resultados, aplicando-se ,
que corresponde à inserção de um amortecimento numérico
no sistema, observa-se um decréscimo na precisão dos
resultados. Contudo, esse amortecimento numérico
contribui na redução dos efeitos espúrios dos modos de
mais alta frequência em sistemas com baixo amortecimento
ou não amortecidos (COOK et al., 1989). Para que se
obtenha amortecimento numérico positivo, deve ser
maior que 1/2.
O método de Newmark-β possibilita precisão máxima de
segunda ordem. Para quaisquer valores atribuídos aos
coeficientes e diferentes de 1/6 e 1/2, respectivamente,
a precisão obtida será inferior à de segunda ordem (COOK
et al., 1989).
O método de Newmark-β pode ser incondicionalmente ou
condicionalmente convergente, ou também divergente,
conforme a escolha dos coeficientes e . Para a
convergência incondicional, conforme Zienkiewicz e
Taylor (2000), devem ser garantidas as seguintes relações:
(
)
(105)
(106)
Caso ocorra instabilidade condicional em decorrência do
par e selecionado, pode-se garantir a convergência do
método através da seguinte relação envolvendo o intervalo
de tempo :
√ ( ) (107)
sendo o menor período natural vibracional do sistema.
2.4.3 Método Hilber-Huges-Taylor
Considerando-se a aceleração variando quadraticamente e
cubicamente no intervalo de tempo , e sumarizando os
resultados obtidos para ambos os casos em um único
conjunto de equações (de forma semelhante ao explanado
no item 2.4.2), Hilber et al. (1977) obtiveram as seguintes
equações:
(108)
(109)
(110)
O método Hilber-Huges-Taylor, ou método HHT, é
similar ao método Newmark-β, mas a introdução do
coeficiente permite que uma precisão de até quarta ordem
seja alcançada. Da mesma forma que no método Newmark-
β, o método HHT busca variar livremente seus coeficientes
(no caso, , β e γ) no intuito de se obter o melhor
compromisso entre precisão de resultados e instabilidade
numérica.
Weaver Jr. e Johnston (1987) indicam, para um caso
geral, =-0,1, β=0,3025 e γ=0,6 como valores ótimos.
2.4.4 Método Wilson-θ
Wilson et al. (1973) consideraram a aceleração
variando linearmente em um intervalo de tempo , sendo
a aceleração incremental nesse intervalo.
(111)
(112)
A aproximação utilizada no método Wilson-θ busca
estender o método da aceleração linear (explanado no item
2.4.2), no intuito de torna-lo incondicionalmente
convergente.
O parâmetro deve ser sempre maior que 1, e caso seja
igual a 1 o método Wilson-θ reduz-se ao método da
aceleração linear. Para que a solução seja
incondicionalmente convergente, deve ser maior ou igual
a 1,37. Conforme Weaver Jr. e Johnston (1987), o valor
ótimo de é de 1,42.
As considerações do método Wilson-θ acarretam o
surgimento de amortecimento numérico nos modos mais
altos do sistema, o que leva a grandes erros na solução
quando tais modos são relevantes, além da não satisfação
das equações de equilíbrio. Em decorrência desses
inconvenientes, Wilson (2006) não recomenda o uso desse
método.
A seguir as equações relativas ao método Wilson-θ:
( ) (113)
( )
( ) (114)
(115)
( )
(116)
(
)
(
)
(117)
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
9
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
(118)
(119)
( )
( )
(120)
2.5 Integração Numérica pela Quadratura
de Gauss
A seguir são repetidas as equações integrais inerentes à
análise dinâmica estrutural através do MEF:
∫
(19)
∫
(20)
∫
(27)
( ) ∫ ( )
(21)
𝜂
∫
( ) , (
)-
(64)
��
∫
* , ( )-
, ( )-+
(65)
Observa-se que são necessários cálculos trabalhosos na
avaliação direta das integrais para a obtenção das matrizes
básicas do sistema e também para a avaliação dos
deslocamentos e velocidades modais, através da integral de
Duhamel. Dada essa considerável dificuldade de se
solucionar analiticamente tais integrais, é de grande
interesse lançar mão de métodos alternativos para a tarefa.
A integração numérica pela quadratura de Gauss é o
processo mais largamente utilizado para soluções das
integrais envolvidas nos cálculos relativos ao MEF.
Basicamente, o método aproxima o cálculo de uma integral
por um somatório. Uma determinada quantidade de pontos
é selecionada, e a função no integrando é avaliada em cada
um dos pontos envolvidos. São também atribuídos pesos a
cada um desses pontos. Somando-se todos os produtos entre
a função avaliada no ponto e o peso relativo a esse ponto
chega-se ao resultado da integral numérica. Equacionando-
se:
∫ ( )
∑ ( )
(121)
sendo n o número de pontos de integração (pontos de
Gauss) selecionado, ( ) a função no integrando avaliada
no ponto selecionado e Wi o peso relativo ao ponto.
O método é generalizado fixando-se o intervalo de
integração entre -1 e 1, sendo necessária a mudança de
variáveis para que o domínio de integração se adeque. Essa
é a forma do método mais adequada quando a malha do
sistema analisado é composta de elementos finitos
parametrizados. Alterando-se a equação (121) conforme o
exposto, tem-se:
∫ ( )| |
∑ ( )| |
(122)
sendo ( ) a função no integrando, que foi atualizada
conforme a mudança de variáveis, avaliada no ponto
selecionado e a matriz jacobiana , responsável pela
transformação do domínio x para o domínio .
Transformando as equações (19), (20), (27), (21), (64) e
(65) para o domínio parametrizado, tem-se:
∫ ∫ ∫ | |
(123)
∫ ∫ ∫ | |
(124)
∫ ∫ ∫ | |
(125)
( )
∫ ∫ ∫ ( )| |
(126)
𝜂
∫
( ) ( ) , (
( ))-
(127)
��
∫
( ) ( )
(128)
[ ( ( ))]
[ ( ( ))]
(129)
Os subscritos e nas equações (123) a (126), como em ,
indicam o cálculo da matriz ou vetor referente a um
elemento finito paramétrico. De posse das coordenadas e
pesos dos pontos de Gauss, aplica-se a equação (122)
(sucessivamente para as integrais triplas) para a resolução
das integrais (123) a (128).
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
10
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
3 O Método dos Elementos Finitos
Generalizados No MEF as funções interpoladoras (funções de forma)
são polinomiais e características de cada tipo de elemento.
Portanto, na solução das equações de movimento de um
determinado sistema discretizado, para que se obtenha uma
solução mais precisa, pode ser necessário que se alterem os
tipos de elementos da malha desse sistema para casos
diferentes de carregamentos e/ou condições de contorno
desse mesmo sistema. Além disso, a natureza polinomial
das funções de forma do MEF pode impossibilitar a
representação fiel da solução real para casos em que o
campo de tensões apresenta alguma singularidade,
incorrendo em imprecisão de resultados. A solução usual
para esses inconvenientes é a redução do tamanho dos
elementos, ou refinamento da malha, que, contudo, leva a
um incremento muitas vezes considerável do custo
computacional da análise.
O método dos elementos finitos generalizados (MEFG)
pode ser entendido como uma forma não convencional do
MEF básico. Diferentemente do MEF, o MEFG não se
vincula à necessidade de alteração do tipo de elemento para
que se obtenham diferentes estratégias de aproximação da
solução.
As funções de forma no MEFG são obtidas a partir da
multiplicação de funções de partição da unidade, ou
funções PU (para mais detalhes sobre as bases matemáticas
do método da partição da unidade, consultar o trabalho de
Arndt, M. (2009)) por funções de enriquecimento. As
funções de forma convencionais do MEF são aplicadas
como funções PU no MEFG, o que é vantajoso por se
aproveitar características do MEF, facilitando a aplicação
do método e garantindo a estabilidade do problema
analisado.
É importante elucidar o conceito de nuvem de elementos
na aplicação do MEFG. Referenciando-se um nó em uma
malha bidimensional de elementos finitos, por exemplo, a
nuvem de elementos relativa a esse nó é formada por
todos os elementos que o contêm. O conjunto das funções
PU do nó referente a cada elemento da nuvem compõe a
função PU ( ) desse nó em relação à nuvem, de forma
que:
∑
(130)
A Figura 1 exemplifica as funções PU, de enriquecimento
e de forma em uma nuvem de uma malha bidimensional.
Figura 1: Estratégia de enriquecimento da nuvem
(BARROS, 2002)
As funções de enriquecimento, ou funções de
aproximação local, variam conforme o problema analisado,
podendo ser polinomiais ou não. Definindo-se o conjunto
de funções de aproximação local:
{ ( ) ( ) ( )} { ( )}
(131)
sendo ( ) e o número de funções linearmente
independentes definidas para cada nó . As funções ( )
não precisam ter suporte compacto, pois o resultado de sua
multiplicação pelas funções PU herda o suporte compacto
dessas funções PU. O enriquecimento não precisa
necessariamente ser o mesmo em todas as nuvens, o que
não viola o critério de conformidade dos elementos.
Na solução pelo MEFG de problemas de continuidade
C0, usualmente são utilizadas malhas de elementos finitos
de primeira ordem e suas funções de forma como funções
PU, uma vez que aproximações polinomiais de ordens
superiores podem ser obtidas através do enriquecimento
nodal.
Definidas as funções PU e as funções de aproximação
local, é possível a construção das funções de forma do
MEFG. Conforme exemplificado na Figura 1, atrelada à
nuvem (Figura 1a) estão a função PU (Figura 1b) e a
função de enriquecimento (Figura 1c), e o produto dessas
funções gera a função de forma ( ) (Figura 1d),
conforme a equação a seguir:
{ }
( ) { ( )}
(sem somatório em j) (132)
A aproximação dos resultados de deslocamento pelo
MEFG é obtida pela equação:
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
11
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
( ) ∑
( ) { ∑
( ) } (133)
onde se refere aos deslocamentos nodais calculados com
base nas funções de forma do MEF e se refere aos
parâmetros nodais calculados com base nas funções de
forma do MEFG. Os parâmetros surgem em decorrência
do enriquecimento nodal, que adiciona graus de liberdade
numéricos ao sistema.
Quando as funções de enriquecimento ( ) são
polinomiais, Duarte et al. (2000), no intuito de minimizar
erros computacionais de arredondamento, sugere a seguinte
transformação da coordenada x:
(134)
onde corresponde ao diâmetro do maior elemento finito
dentre os que compõem a nuvem .
A aplicação do MEFG é interessante em análises onde se
dispõe de solução analítica conhecida com funções
especiais, como, por exemplo, para o caso de singularidades
envolvidas na avaliação da propagação de trincas. O
enriquecimento das funções PU via funções de
aproximação local com a função conhecida possibilita a
obtenção de boa aproximação de resultados, o que, para
esse caso, é extremamente difícil de conseguir através do
MEF convencional.
Outra vantagem importante do MEFG é a menor
dependência dos resultados em relação à distorção dos
elementos da malha, uma vez que as funções de
enriquecimento, e consequentemente as funções de forma
do MEFG, são desenvolvidas nas coordenadas físicas do
problema. Isso possibilita a obtenção de boa aproximação
de resultados em problemas como propagação de trincas ou
grandes deformações localizadas. A resolução de tais
problemas via MEF (quando possível), além de ser de
difícil convergência, demanda que a malha seja
constantemente reconfigurada ao longo da análise, o que
acarreta em grande custo computacional.
Um inconveniente que decorre da estratégia de
enriquecimento do MEFG é a possibilidade de se ter um
conjunto de funções linearmente dependentes constituindo
as funções de forma em cada nó, quando se enriquece com
monômios uma PU polinomial. Caso a possibilidade se
confirme, as matrizes do sistema serão positivas semi-
definidas. No caso de análises estáticas, isso incorre na
impossibilidade de se solucionar a equação de equilíbrio do
sistema pelos mesmos métodos numéricos usualmente
aplicados no MEF. Nesse caso a resolução do problema
pode ser conseguida com a aplicação do procedimento
Babuska, conforme denominado por Barros (2002), um
procedimento numérico proposto e delineado por
Strouboulis et al. (2000).
É parte dos objetivos do presente trabalho realizar a
investigação de como o fato das matrizes do sistema serem
positivas semi-definidas influencia os métodos de solução
das equações de movimento em análises estruturais
dinâmicas lineares via MEF, métodos esses explanados no
item 2.
4 O Sistema INSANE O INSANE (INteractive Structural ANalysis
Environment) é um ambiente computacional desenvolvido
no Departamento de Estruturas da Universidade Federal de
Minas Gerais (UFMG), (PITANGUEIRA et al., 2008). O
INSANE é implementado em linguagem Java e utiliza o
paradigma da Programação Orientada a Objetos (POO). A
plataforma foi concebida com o objetivo de ser um sistema
segmentado, amigável e que possa suportar novas
implementações sem grandes modificações. Além disso,
cabe aqui ressaltar a portabilidade deste sistema, pois tendo
sido desenvolvido em Java pode ser executado sem
adaptações em diversos sistemas operacionais e arquiteturas
de máquina.
Em linhas gerais, o INSANE pode ser dividido em três
grandes aplicações: pré-processador, processador e pós-
processador. O pré-processador é uma aplicação gráfica
interativa que fornece ferramentas para a construção das
diversas representações discretas de um problema
estrutural. O pós-processador também é uma aplicação
gráfica interativa, dotado de ferramentas para visualização
de resultados. O processador é a aplicação mais importante
do ambiente e representa o núcleo numérico do sistema,
que é responsável pela obtenção dos resultados das análises.
Atualmente o sistema é capaz de resolver problemas
utilizando a teoria clássica dos Métodos dos Elementos
Finitos (MEF), conforme ilustrado nos trabalhos de Fuina
(2010) e Penna (2011). A resolução de problemas pelo
Método dos Elementos de Contorno (MEC), implementado
por Anacleto et al. (2011) ou pelos Métodos sem Malha
(MM), implementado por Silva et al. (2012), também é
possível. A implementação do Método dos Elementos
Finitos Generalizados (MEFG) foi efetivada para análises
estáticas, conforme demonstrado no trabalho de Alves
(2012). Vale ressaltar que está também incorporada ao
núcleo numérico do sistema a solução via MEF de
problemas estruturais dinâmicos lineares (conforme
ilustrado no trabalho de Germanio (2005)) e não-lineares
(conforme ilustrado no trabalho de Fonseca (2008)).
4.1 Visão Geral do INSANE
A estrutura do núcleo numérico é formada por interfaces
e classes abstratas que representam as diversas abstrações
da solução por modelos discretos. Sua organização é
centrada nas relações entre as interfaces Assembler, Model,
e Persistence, além da classe abstrata Solution. Através do
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
12
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
diagrama de classes em Unified Modeling Language
(UML) explicitado na Figura 2 é possível identificar estes
módulos, bem como a relação entre eles.
Figura 2: Organização do núcleo numérico do INSANE
A interface Assembler é a responsável pela montagem do
seguinte sistema matricial de segunda ordem, que
representa genericamente a forma discreta de um problema
de valor de contorno ou de valor inicial:
(135)
onde X é o vetor solução, A, B e C são matrizes e D é um
vetor.
A classe abstrata Solution é quem desencadeia o processo
de solução e possui os recursos necessários para solução do
sistema matricial (135), seja este linear ou não-linear.
A interface Model contém os dados do modelo discreto e
é capaz de fornecer para Assembler todas as informações
necessárias para a montagem da equação (135).
Model e Solution se comunicam com a interface
Persistence, que interpreta os dados de entrada e fornece os
dados de saída para outras aplicações, sempre que
modificações no estado do modelo discreto forem
realizadas.
5 Projeto de Viabilização de Análises
Estruturais Dinâmicas Lineares via
MEFG no INSANE O projeto de viabilização da execução de análises
estruturais dinâmicas lineares por meio do MEFG no
sistema INSANE será estruturado, basicamente, em duas
etapas: verificações (etapa 1) e testes (etapa 2).
Na etapa de verificações buscar-se-á investigar os
potenciais pontos problemáticos da resolução de problemas
dinâmicos lineares através do MEFG conforme atualmente
implementado no núcleo numérico do sistema. Testes
simples serão realizados buscando a identificação de
incoerências e erros. Uma inspeção de cada classe
implementada que se relacione com o contexto será
efetuada. No intuito de sanar eventuais inconformidades,
classes já implementadas poderão sofrer modificações ou
reformulações, e caso necessário novas classes poderão ser
incorporadas ao ambiente. Tal abordagem é também
extremamente vantajosa no sentido de proporcionar um
entendimento mais aprofundado da estrutura de
funcionamento do INSANE e até mesmo da linguagem de
programação Java em si.
Após concluída a etapa 1, o sistema estará habilitado a
solucionar problemas estruturais dinâmicos lineares através
do MEFG. A etapa seguinte é então a etapa de testes, onde
diversas análises de complexidade variada serão executadas
para averiguação tanto da precisão quanto do desempenho
do sistema, nos variados métodos de solução dinâmica
através do MEFG. A ideia principal na etapa de testes é a
comparação de resultados, tanto em confrontos entre
análises via MEF e análises via MEFG quanto em
confrontos entre diferentes análises pelo MEFG. Resultados
obtidos na etapa 2 podem eventualmente indicar
inconformidades no núcleo numérico, sendo necessário o
retorno à etapa 1 para adequação da implementação.
5.1 Etapa 1: Verificações De modo a se determinar as verificações iniciais a serem
efetuadas na etapa 1, atenta-se às relações das classes
essenciais do INSANE (Assembler, Model, Persistence e
Solution) com as etapas de pré-processamento,
processamento e pós-processamento, mantendo-se em
mente o que já encontra-se implementado no sistema a
nível de MEFG e dinâmica estrutural.
Na fase de pré-processamento, que diz respeito
diretamente à interface Model, todas as informações
necessárias para a análise dinâmica via MEFG podem ser
obtidas das classes já implementadas no ambiente, graças à
versatilidade do paradigma de POO. Portanto não se
percebem, a princípio, potenciais problemas nesse estágio.
Já na fase de processamento, envolvida com a interface
Assembler e a classe abstrata Solution, é onde se enxergam
os principais problemas em potencial. O primeiro ponto a
se atentar é que dentre as matrizes do sistema dinâmico a
serem construídas, apenas a matriz de rigidez tem um
processo de montagem testado e funcionando, conforme
demonstrado no trabalho de Alves (2012) e ilustrado na
Figura 3. Deve-se garantir a correta configuração também
das matrizes de massa e amortecimento do sistema, sejam
quais forem as formulações adotadas para essas matrizes.
As classes FemAssembler e GFemAssembler, responsáveis
por montar as matrizes e vetores do sistema em modelos do
MEF e do MEFG, respectivamente, serão avaliadas para
verificação do correto funcionamento de seus métodos
relacionados à obtenção das matrizes A e B da equação
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
13
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
(135). Será também verificada a completude e
funcionalidade dos métodos relativos à obtenção dessas
mesmas matrizes na classe GFemParametric, derivada de
SolidMech, que por sua vez deriva de ProblemDriver. A
função de ProblemDriver é repassar as informações de cada
elemento ao Assembler durante a montagem das matrizes e
vetores do sistema. As classes mencionadas são marcadas
em cor vermelha na Figura 4 (hierarquia de classes de
Assembler) e na Figura 5 (hierarquia de classes de
ProblemDriver).
Figura 3: Diagrama de sequência para montagem da matriz de
rigidez (ALVES, 2012)
Figura 4: Herança de classe de Assembler – classes foco de
verificações marcadas em cor vermelha
Figura 5: Herança de classe de ProblemDriver – classe foco de
verificações marcada em cor vermelha
Outro ponto importante é o possível surgimento de
matrizes do sistema positivas semi-definidas, para o caso de
enriquecimento de funções PU polinomiais com monômios.
Deve-se garantir que o ambiente seja capaz de solucionar o
sistema de equações para análises dinâmicas mesmo
quando tal condição ocorrer. Para o caso dos métodos de
integração direta, deve ser verificado se o procedimento
numérico implementado para solução do sistema em
análises estáticas via MEFG (procedimento Babuska) pode
também ser aplicado. Para a solução do problema de
autovalor e para os métodos de superposição modal,
investigações mais profundas devem ser realizadas. As
classes diretamente relacionadas com as mencionadas
Solução de Problemas Estruturais Dinâmicos Lineares pelo Método dos Elementos Finitos Generalizados
14
Mostra PROPEEs UFMG, v. 1, n. 1, abril 2013
verificações são marcadas em vermelho na Figura 6
(hierarquia de classes de Solution). Salienta-se que também
são focos de verificações a classe LinearEquationSystems
(uma vez que contém os métodos para solução de sistemas
pelo procedimento Babuska) e as classes EigenValueSolver,
InverseIteration e SubspaceIteration (as duas últimas são
derivadas de EigenValueSolver).
Figura 6: Herança de classe de Solution – classes foco de
verificações marcadas em cor vermelha
Por fim, quanto à fase de pós-processamento, relacionada
com a interface Persistence (interface que também se
relaciona com a etapa de pré-processamento), é importante
que se verifique a manutenção da persistência de todos os
resultados pertinentes às variadas análises dinâmicas.
Salienta-se que no decorrer do desenvolvimento do
trabalho poderão surgir outras questões que demandem
verificações, a serem eventualmente incluídas no escopo
dessa etapa.
5.2 Etapa 2: Testes Determinam-se os testes iniciais a serem realizados:
- Reprodução pelo MEFG de exemplos numéricos de
análises dinâmicas, previamente desenvolvidos em outros
trabalhos, buscando a validação dos cálculos e comparação
quanto a níveis de precisão e desempenho do MEFG;
- Confronto de soluções via MEFG de sistemas
dinâmicos com diferentes formulações de matriz de massa;
- Confronto de soluções via MEFG de sistemas
dinâmicos com diferentes formulações de matriz de
amortecimento;
- Confronto de soluções via MEFG do problema de
autovalor por diferentes métodos;
- Confronto de soluções via MEFG de sistemas
dinâmicos por diferentes métodos de superposição modal;
- Confronto de soluções via MEFG de sistemas
dinâmicos por diferentes métodos de integração direta.
No decorrer do desenvolvimento do trabalho outros testes
de interesse poderão surgir, sendo eventualmente incluídos
no escopo dessa etapa.
6 Considerações Finais Ao fim do presente trabalho almeja-se a conclusão total
de todo o escopo proposto, além do estudo e
desenvolvimento de conteúdos adicionais de interesse que
certamente surgirão no decorrer do processo, dada a ampla
gama de questões a serem avaliadas no âmbito da dinâmica
estrutural associada ao MEFG.
O desenvolvimento do presente trabalho proporcionará
um entendimento cada vez mais aprofundado dos diversos
campos do conhecimento envolvidos, seja a nível de
métodos numéricos, linguagem de programação ou
mecânica estrutural. Esse conjunto de disciplinas vem
gradualmente transformando-se de diferencial para
essencial à base de conhecimentos do engenheiro de
estruturas.
Vale salientar o quão importante é a compreensão da
estrutura de funcionamento de uma plataforma de
simulações virtuais sustentada por métodos de numéricos
de discretização, dada a ampla utilização de softwares
baseados nesses métodos, principalmente no MEF, nos
diversos setores industriais e acadêmicos por todo o mundo.
Tal conhecimento proporciona ao usuário uma utilização
mais correta e otimizada desse tipo de software, de modo a
transcender cada vez mais a condição de simples operador
da ferramenta.
Como trabalho futuro relacionado, enfatiza-se a
necessidade de adaptação do sistema INSANE também para
a realização de análises estruturais dinâmicas não-lineares
pelo MEFG.
Milione, Y. O.; Barros, F. B.
15
Mostra PROPEEs UFMG, 29 e 30 de Abril de 2013
Referências
ALVES, P. D. Estratégia global-local aplicada ao método dos
elementos finitos generalizados. Dissertação (Mestrado) —
Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG,
Brasil, maio 2012.
ANACLETO, F. E. S., RIBEIRO, T. S. A., RIBEIRO, G. O.,
PITANGUEIRA, R. L. S., BARROSO, L. F., RESENDE, C. B.
An object-oriented boundary element method software.
CILAMCE, 2011.
ARNDT, M. O método dos elementos finitos generalizados
aplicado à análise de vibrações livres de estruturas reticuladas.
Tese (Doutorado) — Universidade Federal do Paraná, Curitiba,
PR, Brasil, 2009.
BARROS, F. B. 2002. Métodos Sem Malha e Métodos dos
Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de
Estruturas. Tese (Doutorado) — EESC - USP, São Carlos, SP,
Brasil, 2002.
COOK, R. D., MALTHUS, D. S., PLESHA, M. E. Concepts and
Applications of Finite Element Analysis, 3a Edição, John Wiley &
Sons Inc., Madison, EUA, 1989.
CRAIG JR., R. R. Structural Dynamics, an Introduction to
Computer Methods. John Wiley & Sons Inc., Nova York, EUA,
1987.
FONSECA, F. Sistema computacional para análise dinâmica
geometricamente não-linear através do método dos elementos
finitos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Minas
Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, agosto 2008.
FUINA, J. S. Formulações de Modelos Constitutivos de
Microplanos para Contínuos Generalizados. Tese (Doutorado) —
Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG,
Brasil, abril 2009.
GERMANIO, L. Implementação orientada a objetos da solução
de problemas estruturais dinâmicos via método dos elementos
finitos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Minas
Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, agosto 2005.
HILBER, H. M., HUGHES, T. J. R. E TAYLOR, R. L. Improved
numerical dissipation for time integration algorithms in structural
dynamics. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, v.
5(3), p. 283–292, 1977. Citado por WEAVER JR., JOHNSTON
(1987).
PENNA, S. S. Formulação Multipotencial para Modelos de
Degradação Elástica: Unificação Teórica, Proposta de Novo
Modelo, Implementação Computacional e Modelagem de
Estruturas de Concreto. Tese (Doutorado) — Universidade
Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil, novembro
2011.
PITANGUEIRA, R. L. S., FONSECA, F. T., FUINA, J. S.,
CAMARA, L., FERREIRA, R. L., MOREIRA, R. N., PENNA, S.
S., SALIBA, S. S., FONSECA, M. T. Insane - versão 2.0. XXVII
Latin American Congress on Computational Methods, 2008.
RAYLEIGH, J. W. S. Theory of Sound - Volume 1. Dover
Publications, Nova York, EUA, 1945. Citado por WEAVER JR.,
JOHNSTON (1987).
SANTOS A. L., SILVA F. F. A., BARROS F. B.,
PITANGUEIRA R. L. S. Desempenho de Métodos Direto e
Iterativo para Extração da Solução do Sistema de Equações do
Método dos Elementos Finitos Generalizados. Nono Simpósio de
Mecânica Computacional, 2010.
SILVA, R. P., PITANGUEIRA, R. L. S. E BARROS, F. B.
Métodos sem malha para modelagem de meios parcialmente
frágeis. SIMMEC - Simpósio de Mecânica Computacional, (1), p.
13, 2012.
STROUBOULIS, T., BABUSKA, I. E COPPS, K. The design and
analysis of the generalized finite element method. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 181(1-3), p.
43-69, 2000.
TORII, A. J. Análise dinâmica de estruturas com o método dos
elementos finitos generalizado. Tese (Doutorado) — Universidade
Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil, 2012.
WEAVER JR., W. E JOHNSTON, P. R. Structural Dynamics by
Finite Elements. Prentice-Hall, Nova Jersey, EUA, 1987.
WILSON, E. L., FARHOOMAND, I. E BATHE, K. J. Nonlinear
dynamic analysis of complex structures. Earthquake Engineering
and Structural Dynamics, v. 1(3), p. 241–252, 1973. Citado por
WEAVER JR., JOHNSTON (1987).
WILSON, E. L. Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis
of Structures: A Physical Approach with Emphasis on Earthquake
Engineering. Computers and Structures Inc., Berkeley, EUA,
2006.
ZIENKIEWICZ, O. C. E TAYLOR, R. L. The Finite Element
Method, 5a Edição, Volumes 1, 2 e 3. Butterworth-Heinemann,
Oxford, Inglaterra, 2000.