solucion de estructuras i
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PREGUNTA Nº 01: Estimar las reacciones y dibujar los Diagramas de Fuerza Cortante, Diagramas de Momento Flector y Diagramas de Fuerza Axial en la estructura mostrada.
Solución:
D.L.C.
Reacciones:
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE: Analizando por tramos
DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL:
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR:
Calcular los esfuerzos en las barras de la celosía de la figura P3.4 para los valores del ángulo α=15 y α=30.
Solución
Análisis del grado de hiperestaticidad externa como interna:
G.H.E.= nº ECUACIONES – nº REACCIONES
G.H.E.= 3-3
G.H.E.=0
G.H.I.=nº DE BARRAS + nº(REACIONES)-2*(nº DE NUDOS)
G.H.I.= 9+3-2*(6)
G.H.I.=0
Por lo tanto la Armadura es isostática.
Resolvemos la armadura por el método de los nudos.
Formamos las ecuaciones en cada nudo:
en el nudo AAx+ f 3cos(α )+ f 2cos (45 )=0Ay−f 3sin( α )+ f 2sin(45 )+f 1=0
en el nudo B
f 1+ f 6cos( 45)−f 9sin(30 )=0f 6 cos( 45)+ f 9cos(30 )=0en el nudo C
f 9cos(60 )+ f 8cos (60)+ f 4=0f 9sin (60)−f 8sin(60 )=0
en el nudo D
f 8cos (30 )+ f 2cos( 45)=0f 8sin (30)−f 7−f 2sin(45 )=0
en el nudo E
Ey+f 7+ f 6sin(45 )−f 5sin(α )=0f 5cos (α )+ f 6cos (45 )=0
en el nudo F
f 3cos (α )−f 5cos(α )=0f 3sin (α )+ f 5sin(α )−10+f 4=0
A partir de las ecuaciones formamos la matriz de coeficientes de la armadura (celosía)
A=
||
0 cos( 45) cos (α ) 0 0 0 0 0 0 1 0 01 sin(45 ) −sin(α ) 0 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 cos (45 ) 0 0 −sin (30) 0 0 00 0 0 0 0 cos (45 ) 0 0 cos (30) 0 0 00 0 0 1 0 0 0 cos (60) cos (60) 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −sin (60) sin(60 ) 0 0 00 cos( 45) 0 0 0 0 0 cos (30) 0 0 0 00 −sin( 45) 0 0 0 0 −1 sin(30 ) 0 0 0 00 0 0 0 −sin(α ) sin( 45 ) 1 0 0 0 0 10 0 0 0 cos (α ) cos (45 ) 0 0 0 0 0 00 0 cos (α ) 0 −cos(α ) 0 0 0 0 0 0 00 0 sin (α ) 1 sin (α ) 0 0 0 0 0 0 0
||
La matriz de términos independientes B=
[0000000000010
] resolviendo el sistema : …..x=inv(A)*B
Para α=15, remplazamos en la matriz, se obtienen los siguientes valores
X=
F1=-25.4904
F2=22.8541
F3=-16.7303
F4= 18.6603
F5=-16.7303
F6= 22.8541
F7=-25.4904
F8=-18.6603
F9= -18.6603
Ax= -0.0000
Ay= 5.0000
Ey= 5.0000
Para α=30, remplazamos en la matriz, se obtienen los siguientes valores
Ejercicio 01:En la estructura que se muestra en la figura se pide: Hallar movimientos del nudo A, la sección de todas las barras es A = 10 cm2.
Solución:
Para solucionar la estructura lo primero es hallar el grado de determinación de la estructura
R = Reacciones = 4 4+14 = 2*(9) = 18
B = # de barras = 14 Ecuac. Isostática.
N = # de Nudos = 9
R + B < 2N Ecuac. Inestable.
R + B = 2N Ecuac. Isostática.
R + B > 2N Ecuac. Hiperestático
El método análisis de la estructura para hallar los esfuerzos en las barras lo haremos aplicando el principio de equilibrio en cada nodo para luego formar un sistema de ecuaciones lineales que posteriormente se solucionara por matrices.
Supondremos que todos los esfuerzos trabajan a tensión
Nodo 1:
X :−T 12∗cos 48.81+1x=0
Y :−T 12∗sin 48.81+1 y=0
Nodo 2:
X :T 12∗cos 48.81−T 23∗cos69.44−T 25∗co 69.44−T 24=0
Y :T12∗sin 48.81+T 25∗sin 69.44−T23∗sin 69.44−10=0
Nodo 3:
Nodo 4:
X :T 34∗cos 69.44+T 24+T 45∗cos69.44=0
Y :T34∗sin 69.44−T 45∗sin 69.44+10=0
Nodo 5:
X :T 25∗cos69.44−T 45∗cos69.44−T56∗cos29.74−T 57∗cos17.10−5 x=0
Y :T25∗sin 69.44+T 45∗sin 69.44+T 56∗sin 29.74+T 57∗sin17.10−5 y=0
Nodo 6:
X :T 56∗cos29.74−T 67−T 68∗cos56.31=0
Y :T56∗sin 29.74−T68∗sin 56.31=0
Nodo 7:
X :T 57∗cos17.10+T67+T 78∗cos71.57+20=0
Y :T57∗sin 17.10−T 78∗sin 71.57−T79=0
Nodo 8:
T 68∗cos56.31−T78∗cos71.57−T 89 cos77.47=0
T 68∗sin 56.31−T 78∗sin 71.57−T 89sin 77.47=0
Nodo 9:
X :T 39∗cos17.10+T 89∗cos77.47+20=0
Y :T39∗sin 17.10+T 89∗sin 77.47+T 79−10=0
Tenemos un sistema de ecuaciones de 12 incógnitas y 12 ecuaciones solucionando por matrices de la forma:
[A ] {X }= {C }De donde: {X }=[A ]−1 {C }
Resolviendo la matriz se tiene la solución:
1 x=81.375 T 56=−97.42
1 y=93.0 T 57=90.46
T 12=123.58 5 x=21.375
T 25=−26.31 5 y=133.0
T 24=61.23 T 68=−58.1
T 23=83.69 T 67=−52.36
T 34=−81.85 T 78=−44.57
T 39=39.9 T 79=68.89
T 45=92.53 T 89=−92.42
Gráficamente los esfuerzos:
Para poder hallar los movimientos del nudo A aplicaremos el método de la carga unitaria por esfuerzos axiales:
∆=∑ μ∗N∗LA∗E
Calculando los esfuerzos de la barra producido por la carga unitaria vertical en el punto A que se tiene en la siguiente grafica:
Esfuerzos Por la carga unitaria horizontal:
Se tiene la siguiente tabla:
Elemento L A N u uNL/AE
12 6,32 0,001 123,58 1,462 0,0057093
24 3 0,001 61,23 0,6080,0005584
2
23 4,27 0,001 83,69 1,0920,0019511
725 4,27 0,001 -26,31 -0,083 4,6623E-05
34 4,27 0,001 -81,85 -0,8660,0015133
3
39 6,8 0,001 39,89 0,7190,0009751
545 4,27 0,001 -92,53 -0,866 0,0017108
56 4,03 0,001 -97,42 -4,5810,0089925
6
67 6,8 0,001 90,46 3,4570,0106324
9
68 3,61 0,001 -58,09 -2,7320,0028645
7
67 3 0,001 -52,36 -2,4620,0019336
578 3,16 0,001 -44,58 -2,987 0,0021039
479 8 0,001 68,89 3,973 0,010948
89 5,1 0,001 -92,42 -4,2650,0100513
70,0599913
6 De donde:
∆=∑ μ∗N∗LA∗E
∆ y=0.0599m
También se tiene la siguiente tabla.
Elemento L A N u uNL/AE
12 6,32 0,001 123,58 1,3290,0051899
224 3 0,001 61,23 0,553 0,0005079
23 4,27 0,001 83,69 0,9930,0017742
725 4,27 0,001 -26,31 -0,075 4,2129E-05
34 4,27 0,001 -81,85 -0,7870,0013752
8
39 6,8 0,001 39,89 0,6540,0008869
945 4,27 0,001 -92,53 -0,784 0,0015488
56 4,03 0,001 -97,42 -1,3440,0026382
9
67 6,8 0,001 90,46 1,6130,0049610
1
68 3,61 0,001 -58,09 -0,8010,0008398
7
67 3 0,001 -52,36 -0,7220,0005670
6
78 3,16 0,001 -44,58 -2,5910,0018250
1
79 8 0,001 68,89 2,9330,0080821
7
89 5,1 0,001 -92,42 -3,1870,0075108
3
0,0377495
4
∆x=0.03775m
El movimiento del nudo A es:
∆=√∆x2+∆ y2=√0.037752+0.05992=0.0708m=7.08cm
∆=7.08cm