solución de la ecuación de un mas
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15 de agosto de 2014
Solución de la Ecuación Diferencial del MASHarold Daniel Cordero Bustamante
Departamento de Física y Electrónica, Universidad de Córdoba, Montería, Colombia.
Se busca hallar la solución de la ecuación diferencialdel Movimiento Armónico Simple, dada por:
d2x
dt2+ ω2x = 0
Partimos del sistema Masa-Muelle, pues es un sistemasencillo de trabajar (tal como se muestra en la Figura 1).
Figura 1: Sistema Masa - Muelle
Usando el teorema del trabajo y la energía cinética,tenemos la ecuación general:∫ x
x0
~F · ~x = 12mv
2 − 12mv
20 (1)
Para nuestro sistema, la fuerza que se ejerce sobre Mpor el resorte es F = −kx.
Entonces la ecuación (1) quedaría expresada como:
12Mv2 − 1
2Mv20 = −k
∫ x
x0
xdx (2)
Siendo los valores de v0 y x0 dados por las condicionesiniciales (en este caso, y por simplicidad, tomaremos ax0 como la máxima amplitud, desde donde se suelta elsistema con velocidad inicial v0 = 0).Ahora, resolviendo la integral, obtenemos la relación
de las energías Potencial y Cinética:
12Mv2 − 1
2Mv20 = −1
2kx2 + 1
2kx20 (3)
Como dijimos antes, v0 = 0, ahora, despejando v2 setiene que:
v2 = − k
Mx2 + k
Mx2
0
Donde v = dxdt . Hallando la raíz cuadrada y reempla-
zando éste valor en la ecuación anterior:
dx
dt=
√k
m
√x2
0 − x2
Tenemos aquí, una ecuación diferencial de primer or-den donde podemos separar variables, de tal manera que:
dx√x2
0 − x2=
√k
Mdt
Integrando ambas partes:
∫ x
x0
dx√x2
0 − x2=
√k
M
∫ t
0dt
La integral de la izquierda es elemental, correspondien-te a la función Arcsen, así mismo, del lado derecho elvalor de
√kM corresponde a la frecuencia angular ω.
arc sen( xx0
)|xx0= ωt
Evaluando la solución de la integral de la izquierda,obtenemos:
arc sen( xx0
)− arc sen(1) = ωt
Pero Arcsen(1) = π2 , entonces:
arc sen( xx0
) = ωt+ π
2
Así, aplicando la función Seno en ambos lados de laecuación, se obtiene:
x
x0= sin(ωt+ π
2 )
De lo que finalmente podemos encontrar la ecuaciónque nos propusimos al principio:
2
x = x0 sin(ωt+ π
2 )
O también, sabiendo que el seno y el coseno tienen unadiferencia de fase de π
2 , la ecuación se puede reescribir:
x = x0 cos(ωt) (4)
Si derivamos dos veces esta ecuación, obtenemos lo si-
guiente:
d2x
dt2= −x0ω
2 cos(ωt)
Donde x = x0 cos(ωt), por tanto, la ecuación (4) vieneentonces a ser la solución de la ecuación diferencial delMAS, la cual expresamos al principio del presente docu-mento.