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UNIVERSIDAD DE PUERTO RICOUNIVERSIDAD DE PUERTO RICOFacultad de Administración de Empresas
Instituto de Estadística y Sistemas Computadorizados de Información
EN LA SOLUCIONEN LA SOLUCIONDE EJERCICIOS DE
CURSOS MECUCURSOS MECU
José Vega Vilca, Ph.D.Presentado en el Instituto de Estadística.
Agosto del 2008.
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OBJETIVOOBJETIVOIntroducir al participante en el uso y manejo del Lenguaje como herramienta para solucionar ejercicios matemáticos, mediante el uso de comandos propios del lenguaje y la confección de funciones aplicados acomandos propios del lenguaje y la confección de funciones aplicados a algunos temas dictados en los cursos de codificación MECU.
TEMASTEMAS1. Solución del sistema de ecuaciones de dos variables. Gráfico2. Solución del sistemas de ecuaciones de más de dos variables3 Gráfico de funciones racionales3. Gráfico de funciones racionales4. Operaciones con matrices5. Capitalización k veces al año6 Integral definida6. Integral definida7. Ecuación de la recta desde dos puntos8. Suma de fracciones9 Solución de la ecuación cuadrática
José Vega Vilca, PhD 2
9. Solución de la ecuación cuadrática
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COMO INSTALARCOMO INSTALAR
G l CRAN RGoogle: CRAN R
The Comprehensive R Archive Network
Windows
Base
R-2.7.1-win32.exe
Run
José Vega Vilca, PhD 3
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INTERSECCION DE DOS RECTAS
RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES
2 5 35x y+ = Y = 2 X /5 + 7
M t i d fi i t V t d t t
2 5 353 2 4.5
x yx y+ =− = −
Y = -2 X /5 + 7Y = 3 X /2 + 4.5/2
Matriz de coeficientes Vector de constantes
2 53 2
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5435
B3 2−⎣ ⎦ ⎦⎣− 5.4
a=matrix(c(2,3,5,-2),nc=2)a at (c( ,3,5, ), c )b=c(35,-4.5)solve(a,b)
José Vega Vilca, PhD 4
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GRAFICO DE INTERSECCION DE RECTAS
Las rectas:
25.4
23
52 7+=
+−=
xyxy
22y
curve(-2*x/5+7,0,5,ylab="f(x)",main="Gráfico de las rectas")
curve(3*x/2+4.5/2,add=TRUE,lty=2)
José Vega Vilca, PhD 5
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GRAFICO DE FUNCIONES RACIONALES2
2
4( )4 3
x xf xx x
−=
− +Graficar:
curve((x^2-4*x)/(x^2-4*x+3),-1,4,ylab="f(x)")abline(h=1,v=c(1,3),lty=3, col=4)
José Vega Vilca, PhD 6
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SOLUCION DE UN SISTEMAS DE ECUACIONESSOLUCION DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES
RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES
2 3 9x y+2 3 94 8 12
6 5
x y zx y zx z
+ − =− − =+ =
a=matrix(c(2,1,1,1,-4,0,-3,-8,6),nc=3)b=c(9 12 5)b c(9,12,5)solve(a,b)
José Vega Vilca, PhD 7
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OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES
Sean las matrices:
10 0 41 3 5
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
2 1 36 4 0
B− −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
3 59 8
C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Resolver:)(62)1 ++ BAA
1)'(4.2'3)2 −+− CBACA
a=matrix(c(10,-1,0,-3,4,5),nc=3)b t i ( ( 2 6 1 4 3 0) 3)b=matrix(c(-2,6,-1,4,3,0),nc=3)c=matrix(c(3,9,5,8),nc=2)
2*a+6*(a+b)
José Vega Vilca, PhD 8
3*t(a)%*%c-2.4*t(a+b)%*%solve(c)
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CREAR UNA FUNCION ENCREAR UNA FUNCION EN
Uso del comando function
Hacer una función para sumar dos números
Hacer una función para convertir grados Fahrenheit a Celsius
Hacer una función: Teorema de Pitágoras
José Vega Vilca, PhD 9
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SUMA DE DOS NUMEROS: A y Bsuma=function(A,B){ suma=A+B
t ( )suma(4,5)
return(suma)}
CONVERTIR GRADOS FAHRENHEIT A CELSIUS
convertir=function(Far)convertit(100){ C=5*(Far-32)/9
return(C)}
convertit(100)
José Vega Vilca, PhD 10
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TOEREMA DE PITAGORAS
2 2 2C A B= +2 2
C A B
C A B
= +
= +
pita=function(cateto1 cateto2)pita=function(cateto1,cateto2){hipo=sqrt(cateto1^2+cateto2^2)cat("La hipotenusa es =",hipo,"\n")}
pita(3,4)
José Vega Vilca, PhD 11
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CAPITALIZACION k VECES AL AÑO
1k trS P ⎛ ⎞
⎜ ⎟
S: capitalP: Principal
1S Pk
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
r: tasa de interés, k: # de capitalizaciones al añot: # de años
capital=function(P,r,t,k)P 100
Ejemplo:
{ S=P*(1+r/k)^(k*t)cat("el capital es:",S,"\n")}
P =100r = 16%t = 10k = 1 2 4 365 muchask = 1, 2, 4, 365, muchas
capital(100,0.16,10,4)
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INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA
[ ]b h∫
Regla del Trapecio
[ ]( ) ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ( 1) ) ( )2a
hf x dx f a f a h f a h f a n h f b= + + + + + + + − +∫ L
b a−b ahn−
=Donde:
100
80(0 .6 2)x dx+∫
Calcular la integral definida
80
1
20
11
d xx+∫
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f1=function(x) (0.6*x+2)f2=function(x) (1/(1+x^2))
area=function(a,b,f){ h=(b-a)/100x=seq(a,b,by=h)y=f(x)y f(x)a=c(1,rep(2,99),1)area=(h/2)*crossprod(a,y)
return(area)}
area(80,100,f1)area(0,1,f2)( , , )
José Vega Vilca, PhD 14
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ECUACION DE LA RECTA DESDE DOS PUNTOSECUACION DE LA RECTA DESDE DOS PUNTOS
Ecuación de la recta: bxmy +=
P t 1 ( 1 1) P t 2 ( 2 2)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
Punto1 = (x1, y1) y Punto2 = (x2, y2)
1) Hallar la pendiente:1212
xxyym
−−
=12 xx −
2) Hallar el término constante
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ECUACION DE LA RECTA DESDE DOS PUNTOS
recta=function(punto1,punto2)
ECUACION DE LA RECTA DESDE DOS PUNTOS
{x1=punto1[1]; y1=punto1[2]x2=punto2[1]; y2=punto2[2]m=(y2-y1)/(x2-x1)b=y1-m*x1b y1 m x1cat("la pendiente es =",m,"\n")cat("la constante es =",b,"\n")}
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
A = (-1, 4) y B = (2, 6)
a=c(-1,4)b=c(2,6)recta(a,b)
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USO DE LA FUNCION flUSO DE LA FUNCION floor
floor(2.3331)
floor(4.679)
floor(5.0)
USO DEL CONTROL if
Construir una función para determinar si el número x es “par” ó “impar”
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SUMA DE FRACCIONESSUMA DE FRACCIONES
A C AD B CB D BD
++ =
B D BD
Ejemplo:
Se debe dividir Numerador y Denominador por el
Para simplificar:
2 6 6 24 30++ = = y p
Máximo Común Divisor4 3 12 12
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MAXIMO COMUN DIVISORMAXIMO COMUN DIVISORAlgoritmo de Euclides
El á i ú di i d d ú A BEl máximo común divisor de dos números: A y B
MCD(5,8) = 1 MCD(30,12) = 6
5 85 3
A B30 1218 12
A B
5 32 32 1
18 126 126 6
1 1
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MAXIMO COMUN DIVISOR
d f ti ( b)
MAXIMO COMUN DIVISORAlgorítmo de Euclides
mcd=function(a,b){if(a==b) return(a)if(a>b) mcd(a-b,b) else mcd(a,b-a)}
Hallar el máximo comun divisor de: 5 y 8
H ll l á i di i d 30 12Hallar el máximo comun divisor de: 30 y 12
mcd(5,8)mcd(30,12)
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SUMA DE FRACCIONESSUMA DE FRACCIONES
N um eradorD i d
A C AD BCB D B D
++ = =
D enom inadorB D B D
( d i d )> MCD(Numerador, Denominador)
sumafr=function(a,b,c,d){num=a*d+b*c; den=b*dx=mcd(num,den)num=num/x; den=den/xnum=num/x; den=den/xcat("la suma de fracciones es =",num,"/",den,"\n")}
José Vega Vilca, PhD 21
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SOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICASOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA
2 0a x b x c+ + =2 4b b ac
x− ± −
=0a x b x c+ +2
xa
La solución depende delLa solución depende del valor discriminante:
2 4d b2 4d b ac= −
José Vega Vilca, PhD 22
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SOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICASOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA
ecuacion2=function(a,b,c){disc=b^2-4*a*c; p=-b/(2*a){disc b 2 4 a c; p b/(2 a) if(disc==0)
cat(" x1 = ",p,"\n","x2 = ",p,"\n") else {;if(disc>0) {q=sqrt(disc)/(2*a)
t(" 1 " "\ " " 2 " "\ ")} l {cat(" x1 =",p+q,"\n","x2 =",p-q,"\n")} else {;r=sqrt(abs(disc))/(2*a); z=complex(real=p,imag=r)cat(" x1 =",z,"\n","x2 =",Conj(z),"\n")}}
}}
Resolver las ecuaciones:
0522 =+−− xx025 2 =++ xx
ecuacion2(-1,-2,5)ecuacion2(5,1,2)
José Vega Vilca, PhD 23
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LADOS DE UN TRIANGULOLADOS DE UN TRIANGULO
En todo triángulo se cumple:
CABCBA
+<+<
BACCAB
+<+<
triangulo=function(a,b,c){t=c(a,b,c)if(a<(b+c)&b<(a+c)&c<(a+b))
( " " "\ ") lcat(t,"SON LADOS DE UN TRIANGULO","\n") elsecat(t,"ES SOLO UNA TERNA","\n")
}
José Vega Vilca, PhD 24
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GRAFICO EN COORDENADAS POLARES
4 (2 )COSρ θ=Graficar:
alpha=seq(0,2*pi,length=1000)z=cbind(cos(alpha) sin(alpha))z cbind(cos(alpha),sin(alpha))r=4*cos(2*alpha)x=r*zplot(x[,1],x[,2],type="l")
José Vega Vilca, PhD 25