2) Pruebe que en notación compleja las ecuaciones de Cauchy – Riemann se escriben como ∂ f∂ z

=0

w=f (z)

z=x+ yi

El conjugado de z es:

z=x− yi

x=z+ yi

∂ x∂ z

=1……… (1)

y=− xi+z i

∂ y∂ z

=i……… (2)

f ( z )=w=u (x ; y )+v ( x ; y ) i

La derivada parcial de la función de w respecto de z

∂w∂ z

=∂w∂x

∂x∂ z

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ z……… (3)

Reemplazando 1 y 2 en 3

∂w∂ z

=∂w∂x

+ ∂w∂ yi……… (4)

Derivada parcial de w respecto a x

∂w∂ x

=∂u∂ x

+ ∂v∂ xi……… (5)

Derivada parcial de w respecto a y

∂w∂ y

= ∂u∂ y

+ ∂v∂ yi

i∂w∂ y

=i ∂u∂ y

−∂v∂ y………(6)

Sumando la ecuación 5 y 6

∂w∂ z

=∂u∂ x

+ ∂v∂ xi+i ∂u∂ y

− ∂v∂ y………(7)

Usando la ecuaciones de Cauchy

∂u∂ x

= ∂v∂ y;∂u∂ y

=−∂v∂ x

……… (8)

Ecuacion 8 en 7

∂w∂ z

=0

f ( z )=w

∂ f∂ z

=0