2.1 Medición B

Deje F1 y F2 ser las fuerzas instantáneas que actúan sobre una partícula con carga q cuando se mueve a través de un campo magnético B(r) con velocidades V1 y V2, respectivamente. Sin la elección de un sistema de coordenadas, muestre que B(r) puede determinarse a partir de la observables V1 × F1 y F2 × V2 si V1 y V2 se orientan apropiadamente.

Solución.

La fuerza de Lorentz sobre la partícula se mueve con velocidad V1 es

Tomando el producto cruz con V1 da

Por Consiguiente,

Del mismo modo,

El producto escalar de v1 con la ecuación anterior es

El último término en la expresión anterior se desvanece si V1 ⊥ V2 y el resultado puede ser sustituido en (1) para obtener una fórmula explícita para B:

Fuente: JR Reitz y FJ Milford, Fundamentos de la Teoría Electromagnética (Addison-Wesley, Reading, MA, 1960).

2.2 Las Leyes de Coulomb y Biot-Savart

Los campos eléctricos y magnéticos independientes del tiempo para distribuciones de carga y corriente que tienden a cero en el infinito son

(a) Calcular ∇ • E y ∇ × E.

(b) Calcular ∇ • B y ∇ × B. El cálculo de la divergencia aprovecha la ecuación de continuidad de esta situación.

a) use para escribir entonces,

Del mismo modo, porque

(b) A continuación escribimos

Esto da ∇ • B (r) = 0 porque ∇ • ∇ × f = 0 para cualquier f. Para calcular la divergencia de B, dejar

Así

Centrarse en la primera integral. Sabemos que [j (r') • ∇] g (r - r') = - [j (r ') • ∇'] g (r - r ').

Por Consiguiente,

La carga y la densidad de corriente son el tiempo-independiente por lo que la ecuación de continuidad lee

En consecuencia, el segundo término del lado derecho de (2) se anula. Por lo tanto, utilizando el teorema de la divergencia, la componente x de la primera integral en (1) es

La integral es cero porque j se desvanece sobre la superficie en el infinito. Los componentes Y y Z- son cero de manera similar. Por lo tanto, (1) se convierte

Pero

Por consiguiente,

2.3 La Fuerza entre bucles de corriente

Deje r1 (r2) apuntan a una elemento de línea ds1 (dS2) de un circuito cerrado C1 (C2) que lleva una corriente I1 (I2). Experimento muestra que la fuerza ejercida sobre I1 por I2 es:

a) Muestre que

b) Use a) para mostrar que donde B2(r) es el campo magnético producido por lazo C2.

Solución.

(b) Utilizamos la identidad

Sustituyendo esta ecuación en la expresión dada para la F1 genera dos términos. Uno de ellos es cero por la parte (a). Lo que queda es

Esta es la fórmula deseada debido a que el campo magnético en el punto r1 producido por un lazo de corriente que lleva una corriente I2 es

2.4 Desplazamiento corriente necesario

La ecuación magnetostática ∇ ×B = μ0j no es consistente con la conservación de la carga para una densidad carga general, dependiente del tiempo. Demostrar que la consistencia se puede lograr utilizando ∇ ×B = μ0j + jD y una buena opción para jD.

Solución

La divergencia de la ecuación sugerida es

El lado izquierdo es idénticamente cero así, el uso de la ecuación de continuidad

Desde esta ecuación se satisface con la forma estándar del desplazamiento de corriente.

2.5 Preludio al Momentum Angular Electromagnético

Una partícula con carga q es confinada en el plano x-y y se encuentra en reposo en algún lugar lejos desde el origen en t = 0. En ese momento, un campo magnético

se enciende o activa con un valor de que aumenta a una velocidad constante desde cero. Durante el posterior movimiento de la partícula, muestra que la cantidad es una constante del movimiento, donde L es el momento angular mecánico de la partícula con respecto al origen y

Solución

El campo magnético cambiante en el tiempo induce un campo eléctrico de acuerdo con la forma integral de la ley de Faraday:

Por simetría, el campo eléctrico es azimutal. En concreto, si elegimos C to ser un círculo de radio coaxial r con el eje z,

La fuerza qE sobre la partícula produce un torque alrededor del eje z por lo que el momentum angular mecánico de una partícula es

Por lo tanto, se sugiere,

Cargos 2.6 Carga en reposo dependiente en el tiempo

Considere un conjunto de partículas de punto fijo en el espacio con densidad de carga . Suponer que y

a) Construir una densidad de corriente simple que satisface la ecuación de continuidad.

b) Encuentra B(r, t) y muestran que este campo y E(r, t) satisfacen las cuatro ecuaciones de Maxwell.

c) Describir el flujo de carga predicha por la densidad de corriente calculado en la parte (a).

Solución

a) La densidad de carga es

Nos encontramos con la densidad de corriente utilizando la ecuación de

continuidad, Específicamente,

Desde una densidad de corriente que hace el trabajo es

b) Comenzamos con la ley de Gauss:

El rotacional del campo eléctrico es

La ley de Faraday es . Esto se satisface si es un

campo vectorial dependiente del tiempo. El uso de este y , la ley Ampére-Maxwell parece

Satisfacemos la ecuación anterior y si B es un vector constante en todas partes en el espacio. Dadas las condiciones iniciales, se concluye que:

La densidad de corriente j(r,t) en (b) muestra que los cambios en en cada punto rk ocurre porque una corriente radial de carga fluye dentro y fuera de cada punto y desde el infinito, según sea necesario.