solucion exámen mep 01 2005 versión word 2007

Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011

Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado

SELECCIÓN

1) Uno de los factores de 1008016 2 +− xx es: A) 52 −x B) 54 −x C) 52 +x D) 54 +x Solución: Se resuelve utilizando la calculadora e introduciendo las valores para a=16, b=-80 y c=100, ya que es una cuadrática. O también se puede resolver despejando la

ecuación general a

acbbx

2

42 −±−= . Recordar que con la calculadora o por la

fórmula general siempre obtenemos solo un valor 2

5=x , lo que indica que las dos

raíces deben ser iguales y se despejan como se muestra a continuación:

2

5=x Lo primero es pasar el 2 a multiplicar.

52 =x Luego pasamos el 5 negativo. 052 =−x Todo queda igualado a cero. ( )( )5252 −− xx Ahora solo lo representamos como factores, siempre deben ser dos. Entonces la respuesta correcta es la opción: A. 2) Uno de los factores de 22 43 nmnm −+− es: A) nm + B) nm +3 C) 13 +m D) mn 3− Solución: Este tipo de factorización se desarrolla muy bien por el método de INSPECCIÓN, veamos su desarrollo: 22 43 nmnm −+− Lo primero es descomponer los extremos cuadrados de las letras. m n m n Ahora colocamos los números en cada columna que al ser multiplicados me den en valor que acompaña a cada letra al cuadrado.



( m3− + n ) Ahora debemos colocar los signos entre los valores para obtener los factores (m - n ) correspondientes pero que cumplan que la multiplicación en cruz de ambos y su suma de al valor del término del medio. ( ) ( ) 41113 =•+−•− . Incluso observen que los signos también deben corresponder a los signos de las constantes de los extremos. ( )( )nmnm −+− 3 Así es como quedan los factores. La respuesta es la opción: D. Solo que está acomodada de diferente manera, por lo que debo siempre fijarme de cómo me presentan las respuestas.

3) Uno de los factores de 32

4

25xyyx − es:

A) 33 yx

B) yx2

5−

C) 22

2

5yx +

D) 4

25 22 yx +

Solución: Para poder contestar de manera correcta, se debe primero aplicar el método de factorizar por factor común, así logramos obtener entre los paréntesis la tercera fórmula notable. Veamos como.

32

4

25xyyx − Sacamos a factor común las

letras que se repiten, estas son la

− 22

4

25yxxy x y la y. Saldrán a factor las que

tengan el exponente más pequeño.

−2

2

2

5yxxy Ahora representamos el segundo

factor como un cuadrado perfecto para poder aplicar



directo la tercera fórmula

−

+ yxyxxy2

5

2

5 notable, como sigue.

La respuesta entonces es la opción: B. 4) Uno de los factores de 84126 23 −−+ xxx es: A) 23 +x B) 23 2 −x C) 23 2 +x

D) ( )223 −x Solución: El método de factorización que se debe aplicar aquí es el de AGRUPACIÓN. Por dicha la operación está acomodaba de manera que los dos primeros se agrupan y los dos juntos también, pero no se puede uno confiar ya que puede ser que nos presenten la operación desordenada por lo que debemos acomodarla tomando como punto de partida los factores literales o las letras y juntar las que son iguales. Veamos el método aplicado. 84126 23 −−+ xxx Ahora agrupemos los términos semejantes. )84()126( 23 +−+ xxx Observe que tuvimos que poner paréntesis para agrupar y que cuando un signo negativo queda por fuera del mismo, lo que queda adentro es cambiado de signo. ( ) ( )2426 2 +−+ xxx Al aplicar factor común en cada agrupación nos quedan los paréntesis iguales, con esto ( )( )462 2 −+ xx podemos también sacar a factor común el mismo como sigue. Claro hasta que factorizamos de ( ) ( )2322 2 −+ xx nuevo por factor común es que podemos obtener un respuesta al ejercicio. La respuesta es la opción: B.



5) La expresión 182

122

2

−−−

n

nn es equivalente a:

A) 32

4

−+n

n

B) ( )32

4

−−n

n

C) ( )32

4

+−n

n

D) )3(2

4

++n

n

Solución: Aquí debemos aplicar lo que se nos presentó en la pregunta primera, la cuadrática ya sea por calculadora o aplicando la fórmula general y abajo por factor común, el fin último es simplificar al máximo la expresión. Veamos.

182

122

2

−−−

n

nn Aplicando arriba cuadrática y

abajo factor común tenemos.

( )( )

( )92

342 −

+−n

nn Ahora tenemos la tercera

fórmula notable en el denominador.

( )( )( )( )332

34

−++−nn

nn Entonces eliminamos los

paréntesis que son iguales ya que se están multiplicando arriba y abajo( numerador y denominador). Entonces queda

( )( )32

4

−−n

n la expresión.

La respuesta es la opción: B NOTA: Existe otro camino para resolver este tipo de operación, cuando nos pregunten sobre una expresión equivalente. Aprendamos este método donde la calculadora es vital.

182

122

2

−−−

n

nn Le asignamos un valor numérico

a la variable, cuando sean más 0=n de una los valores serán diferentes y resolvemos cuanto

18)1(2

121)1(2

2

−−−

nos da, para este ejemplo

asignamos a n= 1. No debemos



asignar un valor que me vaya a afectar la expresión, como por

4

3

8

6

16

12

16

12 ===−−

ejemplo en el caso de fracciones

que me quede un CERO en el denominador ya que la división por cero no estás definida en

4

3 matemáticas. Ahora solo debo

sustituir el mismo o valores

Opción: B. )31(2

41

−−

cuando sean más de una variable

en cada una de las respuestas y obtendremos la respuesta

4

3

4

3 =−−

correcta ya que esta será la que

me de el mismo valor que la operación original.

6) La expresión 210

4

125

22 −

−− xx

x es equivalente a:

A) 125

82 −

−x

x

B) 125

182 −+−

x

x

C) 125

282 −−−

x

x

D) 31025

422 −+

−xx

x

Solución: Bueno ya sabemos que podemos tomar un atajo con solo sustituir la variable por un valor numérico y probar cada una de las respuestas, la que de igual será la respuesta correcta, esto quedara para el estudiante que desee aplicarlo. Nosotros vamos a aplicar el proceso netamente algebraico.

210

4

125

22 −

−− xx

x Ahora aplicamos la suma de

fracciones.

( ) ( )( )( )210125

125421022

2

−−−−−

xx

xxx Aplicamos factor común tanto

arriba como abajo (numerador y denominador) para ver que



( )( ) ( )( )( )( ) ( )1521515

151541522

−+−+−−−

xxx

xxxx podemos simplificar eliminando

términos iguales en la fracción.

( ) ( )( )( )( ) ( )1521515

15154154

−+−+−−−

xxx

xxxx Vamos a sacar a factor común el

paréntesis que se repite en cada término como sigue.

( ) ( )( )( ) ( )1521515

)1544(15

−+−+−−xxx

xxx Ahora eliminamos el factor con

uno de los de abajo que se están multiplicando entre sí, sino el

( )

( ) ( )15215

)1544(

−++−xx

xx proceso no sería válido.

Ahora sacamos a factor el número 4 para simplificarlo con

( )

( ) ( )15215

)15(4

−++−xx

xx el denominador.

( )

( )( )1515

)15(2

−++−xx

xx Eliminamos ahora el paréntesis

del numerador y nos queda.

( )( )1515

)15(2

−+−−xx

xx Aplicar la suma o resta de

semejantes en el numerador. signos cambiaron como se puede observar.

( )( )1515

)14(2

−+−−xx

x Por último solo realizamos la

operación en el numerador y al

125

282 −−−

x

x denominador lo representamos

como la tercera fórmula notable. La respuesta entonces es la opción: B.



7) La expresión 12

6

6

36 2422 yxyyyx −÷− es equivalente a:

A) ( )yxy 62 −

B) ( )yxy 62 +

C) ( )

72

632yxy −

D) ( ) ( )

72

66 222 yxyyxy +−

Solución: Debemos aplicar la división de fracciones, la cual se ejecuta multiplicando en cruz los términos y obteniendo una sola fracción. Claro está debemos factorizar cuando así me lo permita la operación.

12

6

6

36 2422 yxyyyx −÷− Multipliquemos en cruz.

)6(6

)36(122

422

yxy

yyx

−−

Ahora simplifiquemos los

números 12 y 6.

)6(

)36(22

422

yxy

yyx

−−

Apliquemos factor común en el

numerador y en el denominador.

)6(

)36(2 222

yxy

yxy

−−

Veamos como nos queda de

nuevo la tercera fórmula notable en el numerador (Arriba de la

)6(

))6((2 222

yxy

yxy

−−

fracción), entonces debemos

desarrollarla como sigue.

)6(

)6)(6(2 2

yxy

yxyxy

−−+

Bueno solo simplifiquemos el

paréntesis igual. )6(2 yxy + Además simplificamos la letra y que estaba en el numerador al cuadrado y abajo a la uno. La respuesta es la opción: B.



8) El conjunto solución de 276 2 −=− xx es:

A)

3

2,

2

1

B)

1,3

1

C)

−−

3

2,

2

1

D)

−+

12

977,

12

977

Solución: Lo que se debe hacer aquí es resolver la ecuación, despejando el valor de la variable como sigue. 276 2 −=− xx Despejamos el -2 al otro lado del igual y se le cambia de signo, acorde a las leyes de ecuaciones. 0276 2 =+− xx Ahora tenemos otra cuadrática, solo utilizamos la calculadora y obtendremos los valores para x,

3

21 =X

2

12 =X aquí no se debe despejar la x,

sino que los valores que nos da se aplican directo y YA. La respuesta correcta es la opción: A. 9) El conjunto solución de ( )12 +−=+ xxxx es:

A) { }0

B) { }2,1

C) { }0,1−

D)

−

2

1,1

Solución: Igual que la pregunta anterior solo debemos despejar la variable y como nos volverá a quedar una cuadrática, solo utilizamos la calculadora. ( )12 +−=+ xxxx Realicemos la multiplicación del término de la derecha del igual. xxxx −−=+ 22 Ahora coloquemos las variables al lado izquierdo, recordar cambiar de signos. 022 =+++ xxxx Sumemos los monomios semejantes. 022 2 =+ xx Entonces el valor de las equis serán.



01 =X 12 −=X También se pudo resolver mediante el factor común y luego cada paréntesis igualarlo a 0)1(2 =+xx cero, para después solo despejar. 2x=0 y x+1=0 X=0 y X= -1 La respuesta correcta es la opción C.

10) El conjunto solución de ( ) 413 2 −=−−− xxx es:

A) { }1,3

B) { }1,3−

C) { }63,63 +−

D) { }72,72 +−−− Solución: Observemos que el paréntesis elevado al cuadrado es la tercera fórmula notable de nuevo, así que solo debemos desarrollarla para comenzar y continuar con el proceso.

( ) 413 2 −=−−− xxx Apliquemos la III fórmula notable. ( ) 4213 2 −=+−−− xxxx Ahora quitamos el paréntesis, pero hay que recordar que el 4213 2 −=−+−− xxxx signo negativo fuera cambia de signo todo lo que está adentro. 41 2 −=−−− xxx Restemos los monomios semejantes. 142 +−=−−− xxx Despejamos monomios con variables (letras) a la izquierda y constantes (números) a la 32 2 −=−− xx derecha y efectuamos las operaciones correspondientes. 0322 =+−− xx Luego se acomoda el polinomio de mayor a menor y despejamos la constante a la izquierda para 31 −=X 12 =X tener la cuadrática. Claro ya sabemos que hacer, solo aplicar la calculadora o desarrollar la fórmula general. La respuesta es la opción B.



11) Una solución de x

x

x

x

4

15

1

53 −=++

es:

A) 318 +−

B) 628 +−

C) 2

318 +−

D) 7

578 −−

Solución: Lo primero es pasar a multiplicar a ambos lados del igual los términos que se encuentran en los denominadores, con el fin de que no hayan fracciones.

x

x

x

x

4

15

1

53 −=++

Pasemos entonces los

denominadores a multiplicar a ambos lados del igual. ( ) ( )( )151534 −+=+ xxxx Luego desarrollamos las multiplicaciones. 1552012 22 −+−=+ xxxxx Ahora sumamos o restamos los monomios que son semejantes. 1452012 22 −+=+ xxxx Pasemos todos los términos al lado izquierdo para tener otra vez la fórmula cuadrática. Ya 01420512 22 =+−+− xxxx sabemos como desarrollarla. Claro antes debemos volver a sumar o restar todos aquellos 01167 2 =++ xx monomios que sean semejantes.

7

5781

+−=X7

5782

−−=X Claro está con la calculadora lo

que obtenemos es un número con decimales, por lo que la 0643.01 −=X 2214.22 −=X única opción de verificar las respuestas es probando los resultados y ver cuál me da el mismo número. La respuesta es la opción D.



12) En un rombo, la medida de la diagonal mayor es tres veces la medida de la diagonal

menor. Si su área es 37,5 entonces. ¿ Cuál es la longitud de la diagonal mayor del rombo?.

A)1

25

B) 15 C) 75

D) 4

225

Solución: Aca solo debemos utilizar la fórmula del área del rombo y asignar una variable X a la medida del lado menor, veamos como.

2

dDA

•= Fórmula del área del rombo.

Pasemos el denominador (2) a dDA •=2 multiplicar al A, ya que nos dan este dato. Ahora solo sustituimos los ( ) ( ) ( )xx •= 35.372 datos.

2375 x= Despejemos el 3 a dividir.

2

3

75x= Por último sacamos la raíz

225 x= cuadrada a ambos lados del

225 x= igual y obtenemos la respuesta. x=5 Ahora solo debemos sustituir el ( )xD 3= valor de X en el planteo original

( ) 1553 ==D y obtenemos el resultado. La respuesta es la opción B. 13) Considere el siguiente enunciado. Si “X” representa el menor de ellos, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es. A) 162 +=− xxx B) 162 +=+ xxx C) 162 −=+ xxx D) 162 −=− xxx

d=X

D=3X

El producto de dos números enteros consecutivos disminuido en 16 es igual al menor de ellos. ¿Cuál es el número?.



Solución: Si x es el menor de ellos, el planteo quedará como sigue. ( ) xxx =−+ 161 Donde solo debemos despejar la constante al lado derecho del igual para obtener una ecuación 162 +=+ xxx igual a las que nos plantean las respuestas. Claro está también se debe efectuar la multiplicación de los números consecutivos. La respuesta correcta es la opción B.

14) Sea f una función dada por 43

4)(

2

−−=

x

xxxf , la imagen de -5 es:

A) 11

95

B) 11

105

C) 19

45−

D) 19

105−

Solución: Debemos tener muy claro que -5 es la preimagen, o sea el valor X que será sustituido en la función para obtener su imagen ya sea el valor Y.

43

4)(

2

−−=

x

xxxf Sustituyamos el valor de X en -5

4)5(3

)5()5(4)5(

2

−−−−−=−f Luego efectuamos las

operaciones indicadas.

19

5100)5(

−+=−f Obtenemos entonces la

respuesta correcta.

19

105)5(

−=−f Pero no pueden haber negativos

en el denominador, por lo que solo subimos el signo y lo

19

105)5(

−=−f multiplicamos con el numerador.

La respuesta correcta es entonces la opción: D.



15) Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6,3,2,1,0,0,2,1,4,3 −− es el gráfico de una función, entonces el dominio

de esa función es: A) [ ]6,0

B) [ ]6,3−

C) { }6,4,2,0

D) { }3,1,0,1,3 −− Solución: Aquí solo debemos ubicar que el dominio se ubica siempre en funciones en el eje X, por lo que con solo identificar los valores de X de los pares de coordenadas cartesianas es suficiente. X= { }3,1,0,1,3 −− Sólo con esta análisis es suficiente para tener la respuesta. La respuesta correcta es la opción D.

16) El dominio máximo de la función dada por 2

2

3

49)(

x

xxf

+−= es:

A) B) { }3,3−−

C)

−−

3

2,

3

2

D) { }3,3−− Solución: Bueno sabemos que debemos siempre fijarnos en el denominador de la función, ya que cuando es una fracción el dominio estará limitado a todos los valores menos los que me hacen cero el denominador ya que la división entre cero no está definida en matemáticas. (restricción vital). Entonces procedemos como sigue:

2

2

3

49)(

x

xxf

+−= Separemos el denominador y lo

planteamos como sigue. 03 2 =+ x Igualamos a cero la expresión y despejamos. 32 −=x Luego para eliminar el cuadrado de la variable solo se le saca raíz

32 −=x en ambos lados del igual. Pero de nuevo tenemos una restricción ya que las raíces

3−≠x negativas de números pares no están definidas en matemáticas Está claro que la respuesta será todo el conjunto de los reales ya que no existe ningún valor

-3 -1 0 1 2 3

6 4 2

DOMINIO MÁXIMO

X

Y



definido que me haga cero la función. La respuesta correcta es la opción: D.

17) El dominio máximo de la función f dada por 3

1)(

+−=

xxf corresponde a:

A) ] [3,α−

B) ] ]3,α−

C) ] [α+,3

D) [ [α+,3 Solución: La función planteada en principio es fraccionaria por lo que la restricción de la división entre cero es importante, pero además tenemos una raíz, esto nos modifica el planteo hacia una INECUACIÓN con el signo >, veamos:

3

1)(

+−=

xxf Separemos el subradical y lo

planteamos como sigue. 03 >+− x Bien, despejemos la inecuación para obtener todos los valores 3−>− x que son permitidos en el dominio máximo. 3<x Observemos como cuando se da un cambio de signo, ya sea porque la X no puede quedar negativa o por algún choque de signos, la dirección del > cambió a <. La respuesta correcta es la opción: A. 18) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, el ámbito es: A) B) [ ]2,0

C) [ [α+,0

D) ] [4,α− Solución: Según la gráfica el ámbito no tiene fin, este sabemos se encuentra sobre el eje Y, y nos presentan una flecha sin termino, por lo que su fin será el infinito. Solo tiene una principio en cero. La respuesta correcta será la opción: C.

α− -3 -1 0 1 2 3

α− 0 2 4

2

X

Y



19) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, considere las siguientes proposiciones:

¿Cuál de ellas son VERDADERAS?.

A) Ambas B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II.

Solución: Claramente observamos que ninguna de las proposiciones es VERDADERA ya que la función tendrá los intervalos siguientes como correctos: f constante en: ] ] [ [αα +−− ,2....3,

f es estrictamente decreciente en: [ ]2,3− La respuesta correcta será entonces la opción: B. 20) La pendiente de la recta que contiene los puntos (-2,3) y (-4,8) es:

A) 8

5

B) 11

2

C) 2

5−

D) 8

5−

Solución: La solución es realmente muy simple, ya que solo debemos asignar a cada par de coordenadas cartesianas un orden lógico y aplicar la formula para su cálculo.

12

12

xx

yym

−−

= Esta es la fórmula a utilizar.

Ahora solo le asignamos las posiciones a los pares de (-2,3) serán ( )11 , yx coordenadas.

I. f es constante en ] [6,−−α

II. f es estrictamente decreciente en ] [2,2−

-4 -3 0 2 3

2 -4



(-4,8) serán ( )22 , yx Solo debemos sustituir en la fórmula y efectuar los cálculos correspondientes.

24

38−−−

−=m Tenemos entonces.

2

5−=m

La respuesta correcta será entonces la opción: C.

21) El punto donde la recta definida por 142

3 −=− yx se interseca con el eje “Y”

corresponde a: A) ( )0,4

B) ( )4,0

C)

−0,

3

2

D)

−3

2,0

Solución: Lo primero es tener la ecuación lineal representada de la forma general:

bmxy += . Luego solo identificamos cual es el valor de la “b” ya que este será el punto de corte con el eje de coordenada “y”.

12

3

4−−=− x

y Primer paso de despeje de la Y.

−−=− 12

34 xy Segundo paso de despeje.

42

12 −−=− xy Luego de multiplicar el 4 por

todo lo que está adentro del paréntesis. 46 −−=− xy Ahora solo le cambiamos el signo a la Y, ya que no puede 46 += xy quedar negativa nunca. Claro todo lo demás también cambia de signo. La respuesta será entonces la opción: B. Veamos gráficamente la respuesta. Para esto solo debemos calcular dos valores: Cuando x=0 y cuando y=0. luego marcamos los pares de coordenadas.

X 0

3

2−

Y 4 0



Cuando x=0 entonces Y= 4. 4)0(6 +=y 40 +=y 4=y

Cuando y=0 entonces X= 3

2−

460 += x x64 =−

x=−6

4

x=−3

2

22) Una ecuación de una recta, paralela a la dada por la ecuación xy 253 −=− es:

A) 52

3 −= xy

B) 53

2 −= xy

C) 52

3 +−= xy

D) 53

2 +−= xy

Solución: Para que una recta sea paralela a otra solo de debe cumplir que: m1=m2, entonces solo debemos despejar la ecuación original y localizar el valor de la pendiente m, la respuesta será aquella que tenga el mismo valor en su pendiente. xy 253 −=− Despejemos la ecuación en función del valor Y. 523 +−= xy

3

52 +−= xy Ahora solo debemos representar

a fracciones homogéneas.

3

5

3

2 +−= xy Entonces el valor de m1 es:

3

2−.

Respuesta: La opción correcta será: D.

-1 3

2− 0

4

Punto de corte con el

eje Y Par de

coordenadas (0,4) (x,y)



23) La ecuación de la recta a la que pertenece el punto (2,-3) y que es perpendicular a la

recta determinada por 0624 =+− yx es equivalente a: A) 72 −= xy

B) 42

1 −= xy

C) 12 +−= xy

D) 22

1 −−= xy

Solución: La condición vital para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes cumplan que: 121 −=•mm . Entonces solo debemos calcular el valor de la pendiente de la ecuación que nos dan y calcular la pendiente de la recta que nos piden, para luego poder calcular el valor de la variable b. Veamos como. 0624 =+− yx Despejemos la ecuación en función de Y. xy 462 =+− 642 −=− xy

2

64

−−= x

y Pero nunca puede quedar un

número negativo en el denominador, entonces solo

2

64 +−= xy cambiamos el signo de todo lo

que está arriba.

2

6

2

4 += xy Separé en fracciones homogéneas y me

quedará la ecuación como sigue. 32 += xy Dividiendo las fracciones.

121 −=•mm Ahora sustituyamos el valore de la primera m1 y despejemos para obtener el valor de la segunda m2. 12 2 −=•m

2

12

−=m Ahora solo calculemos el valor de b.

Para ello tomamos el valor de m2 y los valores de (x,y) que nos dan y que pertenecen a la recta el cuestión.



( )

b

b

b

b

b

bxy

bmxy

=−=+−

+−=−

+−=−

+−=−

+−=

+=

2

13

132

23

22

13

2

1

22

1 −−= xy Esta es la ecuación que necesitamos

encontrar. Respuesta: la opción D, es la correcta. 24) Si f es una función dada por xxf 32)( −= , entonces )2(1 −−f es: A) 8 B) 0

C) 3

4

D) -4 Solución: Aquí hay dos posibles caminos para resolver correctamente esta operación. La primera tiene que ver con el calculo de la función inversa de la función original y luego calcular le imagen de la función inversa, el otro consiste en solo calcular el valor sustituyendo la preimagen de la función inversa en el función original donde se localiza f(x) y despejar para llegar a la respuesta correcta. Observemos los dos caminos usted escoge. xxf 32)( −= Calculemos la inversa de la función en cuestión. xy 32 −= Solo debemos despejar el valor de x. xy 32 −=−

xy =−−3

2 Pero de nuevo no puede haber

un número negativo en el denominador, por esto solo

xy =+−3

2 cambiamos el signo de todo lo

que está en la expresión y ya solucionamos todo.

Observemos que el calculo del valor de b, se realiza solo con sustituir los valores que nos dan junto con el que hemos calculado de m2 y luego solo despejamos.



3

2)(1

+−=− xxf Ahora solo sustituimos el valor

de la preimagen de la función inversa.

( )3

22)2(1

+−−=−−f Obtenemos lo siguiente.

3

22)2(1

+=−−f

3

4)2(1 =−−f Bien hasta aquí recorrimos el

primer camino posible, ahora veamos el segundo camino. xxf 32)( −= Solo se sustituye el valor de la preimagen inversa en el función original como se puede ver. x322 −=− Ahora solo calculamos el valor de x despejando. x322 −=−− x34 −=−

x=−−3

4

x=3

4 Donde podemos ver que la

solución es la misma. Respuesta: La opción correcta será entonces: C.

25) Si f es una función biyectiva dada por 25

)( +−= xxf , entonces se cumple que:

A) ( ) 251 −=− xxf

B) ( ) xxf 521 −=−

C) ( ) 1051 −=− xxf

D) ( ) xxf 5101 −=− Solución: Bueno aquí debemos calcular de manera algebraica la función inversa despejando la x en le función original.

25

+−= xy Despejemos el valor de x.



( )

xy

xy

xy

xy

=+−−=−−=−

−=−

105

105

255

2

Como vemos no se puede tener

al valor de x en negativo por lo que solo se le cambia de signo a todo y YA. ( ) 1051 +−=− xxf Logrando obtener la solución. Respuesta: La opción correcta es la D, solo que está acomodada de otra manera. 26) El eje de simetría de la gráfica de la función g dada por 263)( xxg −= corresponde

a: A) 0=y B) 0=x

C) 4

1=y

D) 4

1=x

Solución: El eje de simetría esta dado en la ecuación cuadrática por el valor que tiene la X en el calculo del vértice.

Vértice

−−a

bac

a

b

4

4,

2

2

Estos son los puntos del vértice.

a=-6, b=0 y c=3 Donde solo tomamos los valores de b y a.

( )62

0

−−

Aquí calculamos el valor de x.

012

0 =−

Entonces el valor de la x es de

cero. Respuesta: La opción B es la correcta.



27) La función dada por 15

)(2

+= xxf es estrictamente creciente en:

A) [ [α+,0

B) ] ]0,α−

C)

+− α,10

1

D)

−−10

1,α

Solución: Primero debemos calcular el valor de los puntos que componen el vértice y a partir del valor de la x y la forma de la curva, si es cóncava hacia abajo o hacia arriba, realizamos un barrido visual sobre el eje x para ver donde es creciente la curva dada.

15

)(2

+= xxf Calculemos el punto del

vértice de X.

Vértice

−−a

bac

a

b

4

4,

2

2

a=5

1, b= 0, c= 1

−

5

12

0 Sigamos con el cálculo.

0

5

20 = Nos da cero en el eje de

simetría. Veamos la gráfica. Ya que el vértice se encuentra en el punto: ( )1,0 , luego de calcular el valor de Y también. El intervalo será: [ [α+,0 La respuesta será entonces la opción: A.

1

a>0

Punto mínimo α+



28) Para la función dada por ( ) xxf −= 3 considere las siguientes proposiciones. ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II. Solución: Veamos la gráfica de la función exponencial y examinemos donde se ubica el ámbito dependiendo de los valores de a y cuando es creciente, también dependiendo de a. ( ) xxf −= 3 La gráfica estaría dada por: Además se sabe que la función exponencial es creciente si a>0 y en este caso no se cumple ya que

a vale: x3

1 esto da valores muy

por debajo de 0. Otra razón para que el intervalo no incluya al cero es que como el exponente es negativo y la expresión positiva hace que me queda en el denominador y nunca puede haber un cero en el mismo ya que no está definida en matemáticas. Respuesta: La opción C es la correcta.

I. El ámbito es ] [α+,0 . II. f es creciente.

Como podemos ver la gráfica nos da una relación decreciente. Por esto la opción II es totalmente falsa. Pero vemos como el ámbito se acerca a cero pero no lo toca, por esto debemos entender que la opción I si es correcta.

α+



29) La gráfica de la función dada por 12)( −= xxf se interseca con el eje “Y” en el

punto. A) ( )0,1

B) ( )1,0

C)

0,

2

1

D)

2

1,0

Solución: Para calcular el punto de corte con el eje Y solo debemos calcular cuando la X vale cero y representar el valor con exponentes positivos. Veamos el gráfico.

Veamos el punto de corte en 2

1

en el eje Y. El calculo por sustitución con cero en X será como sigue. 102 −=y Luego.

2

1=y Porque el 2 queda con un

exponente negativo. Respuesta: La opción D será la correcta, donde se localiza el punto de corte con Y. 30) La solución de 321 6416 −+ = xx es:

A) 2

1

B) 4

7

C) 8

1

D) 4

11



Solución: Cuando tenemos exponenciales con bases diferentes la estrategia es que los exponentes sean iguales a ambos lados del igual para que se puedan eliminar y luego nos queda una ecuación lineal fácil de resolver. 321 6416 −+ = xx Vamos a factorizar las bases para lograr que me queden bases iguales.

16 4 64 4 4 4 16 4 1 4 4 1 Tienen en común el 4 de base.

( ) ( ) 32312 44−+ = xx Apliquemos la propiedad de

potencias: Potencia a una potencia, se conserva la base y 9622 44 −+ = xx se multiplican los exponentes. 9622 −=+ xx Se eliminan las bases y nos queda una ecuación lineal, solo 2962 −−=− xx debemos resolverla y YA. 114 −=− x

4

11

−−=x Leyes de signos en división.

4

11=x

Respuesta: La opción D es la correcta entonces.

31) El conjunto solución de 1

12

216

136

+−

=x

x es:

A)

7

2

B)

7

3

C)

−7

1

D)

−7

5

Solución: El primer objetivo de nuevo es factorizar para que las bases en ambos lados del igual sean iguales, así las eliminamos, facilitando el cálculo. Veamos como.

1

12

216

136

+−

=x

x Factoricemos las bases que nos

dan.



( )1

3

122

6

16

+−

=x

x Al lado derecho debemos subir

el denominador, así el exponente se vuelve negativo.

( ) ( ) 13122 66+−− = xx Ahora apliquemos la propiedad

de una potencia elevada a otra potencia que dice: se conserva la )1(3)12(2 66 +−− = xx base y se multiplican los exponentes. ( ) ( )13122 +−=− xx Se cancelaron las bases aplicando una propiedad de las ecuaciones exponenciales. 3324 −−=− xx Ahora se multiplica el número que está fuera de los paréntesis por cada uno de los electos que 2334 +−=+ xx se encuentra dentro. Despejamos los términos que poseen letras a la izquierda y las constantes a la 17 −=x derecha. Por último apliquemos las operaciones aritméticas de sumas y restas con sus

7

1−=x respectivas leyes de signos y

despejamos la variable que nos da la respuesta al ejercicio. Respuesta: La opción C es la correcta. 32) Considere los siguientes criterios de funciones logarítmicas. ¿Cuáles de ellos corresponden a funciones decrecientes? A) Solo el I. B) Solo el III. C) Solo el I y el II. D) Solo el II y el III.

I- f(x)= x5

1log

II- g(x)= x3

2log

II- h(x)= x3

6log



Solución: Analicemos los intervalos donde la función logarítmica es decreciente y creciente, ya que depende del valor de la base a la que esté dicho logaritmo. Sí 0 < a < 1 la función decrece en ] [α+,0 Sí a> 1 la función crece en ] [α+,0 Como vemos los intervalos donde crece y decrece son los mismos, por lo que debemos solo fijarnos en el valor que En la opción I la base vale: tiene la base del logaritmo para 0,2 y en la opción II vale ubicar aquel que será 0,67. decreciente. Respuesta: La alternativa correcta será entonces C.

33) Si 23

log−=

ba entonces se cumple que

A) a

b16 =

B) b

a16 =

C) 6−=ba D) 6−=ab Solución: Bueno la manera correcta para resolver esta operación me permitirá darme cuenta de que la respuesta que el MEP dio como válida no sirve en realidad, veamos.

23

log−=

ba Primero pasamos el 3

al otro lado del igual. )3(2log −=ba Luego convertimos a su

expresión exponencial aplicando el dibujo del corazón. 6log −=ba

Esto me indica que la base a del logaritmo para a ser la base del exponencial y el resultado será 6−= ab ahora la potencia de esta base.

6

1

ab = Por último solo debemos tener el

resultado con exponentes



positivos así que solo bajamos la a y listo. Respuesta: No hay un alternativa correcta dentro de las planteadas como válidas. APELAR 34) Si se cumple que 4log

2

1 =x , entonces el valor de x es

A) 2

B) 16

1

C) -2

D) 42

1

Solución: Fácil solo aplicar a la forma logarítmica el efecto CORAZÓN y tendremos la forma exponencial, para luego solo resolver la ecuación. 4log

2

1 =x Veamos como queda de forma

exponencial.

4

2

1

=x Apliquemos propiedad de

potencias.

4

4

2

1=x Ahora solo resolvamos las

potencias y listo.

16

1=x

Respuesta: La alternativa B.

35) EL valor de x para que la expresión 2

1log x =4 sea verdadera es

A) 4

1

B) -4

C) 62

1

D) 82

1



Solución: Debemos aplicar la propiedad de logaritmos para cuando una potencia pasa a multiplicar el logaritmo para después despejarlo al otro lado del igual, así podré convertir con el efecto CORAZÓN la expresión exponencial misma que dará por resultado.

42

1log =x Recordar que las raíces son en

realidad exponentes

fraccionarios, así 2

1

aa = .

42

1log

2

1

=

x Pasemos el exponente a

multiplicar al logaritmo,

42

1log

2

1 =

x como la potencia quedó

multiplicando la despejamos al otro lado del igual, en su operación contraria.

2

14

2

1log =

x Ahora multiplico extremos y

medios de acuerdo a las leyes de división de fracciones. Cuando

2

11

4

2

1log =x algún número no tiene

denominador le ponemos un 1 abajo y YA. Multipliquemos extremos y medios.

82

1log =x Ahora el efecto CORAZÓN.

8

2

1x= Pues bien ahora solo debemos

sacar la raíz octava en ambos lados del igual y listo.

82

18 = La potencia de la X se canceló

con la raíz por tener igual valor, ley de radicales y potencias, operaciones opuestas. Respuesta: Opción D la correcta.



36) Considere las siguientes proposiciones. ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I. D) Solo la II.

Solución: Resolvamos primero la proposición I, aplicando las leyes de logaritmos de multiplicación, misma que pasa a suma con el resultado podremos comprobar que la igualdad se da o NO. Con la proposición II, igual aplicaremos las propiedades de logaritmos, pero acá será la de potencias, para igual comprobar que la igualdad se cumple.

3log)8(log 22 += xx Bueno primero apliquemos la propiedad de la multiplicación por suma al lado izquierdo de la ecuación.

3loglog8log 222 +=+ xx Convirtamos el 8 en potencia, para poder aplicar la propiedad de potencias en logaritmos.

3loglog2log 223

2 +=+ xx Sigamos.

3loglog2log3 222 +=+ xx Recordemos que cuando la base y el valor del logaritmo son iguales, esto vale 1.

3loglog)1(3 22 +=+ xx Podemos observar que en efecto la igualdad se da, por lo que esta proposición se cumple. Evaluemos la II.

2

loglog 3

3

xx = Bueno representemos la raíz con

su respectivo exponente fraccionario.

I. 3log)8(log 22 += xx

II. 2

loglog 3

3

xx =



2

log)(log 32

1

3

xx = Ahora pasemos el exponente a

multiplicar según la propiedad.

2

loglog

2

1 33

xx = Ahora solo falta que lo

representemos de una sola forma fraccionaria el lado izquierdo para ver si queda igual que el lado derecho o NO.

2

log

2

log 33 xx= Entonces la igualdad también se

da. Respuesta: La A es la correcta. 37) La expresión 1log)(log 55 +−+ yyx es equivalente a.

A) )5(log5 x

B) )5(log5 +x

C)

++1

log5 y

yx

D)

+y

yx )(5log5

Solución: De nuevo me preguntan “es equivalente a”, entonces tengo dos caminos a seguir, primero resolverla de forma algebraica y luego podría ser por sustitución, asignando valores a las variables de manera arbitraria. Para efectos de este ejercicios diremos que x=2 y que y=3. Veamos los dos métodos aplicados.

1log)(log 55 +−+ yyx Primero apliquemos la

propiedad de la resta de logaritmos con iguales bases,

1log5 +

+y

yx como es el caso de la base 5.

5loglog 55 +

+y

yx Ahora convertimos el 1 en el

logaritmo de igual base e igual valor.

+y

yx5log5 Por último aplicamos la

propiedad de la suma de



+y

yx )(5log5 logaritmos de igual base.

Ahora solo se representa según la respuesta.

1log)(log 55 +−+ yyx Ahora apliquemos el método de

sustitución. Solo asignamos los valores de x y de y dados al principio de ejercicio.

( ) 13log32log 55 +−+ Como vemos en la calculadora

no podemos obtener el logaritmo de base 5, así que solo

15log

3log

5log

)5log( +− aplicamos el cambio de base y

nos quedan en base 10. Veamos. 1.31739…… Este es el resultado que me da la

sustitución, ahora solo se debe probar cada una de las respuestas aplicando las propiedades como hemos visto y comprobamos que la que de igual es la correcta.

Respuesta: La opción D es la correcta por cualquiera de los dos métodos a emplear.


1log 2 =

+x es.

A) { }23

B) { }191

C) { }242

D) { }1535 Solución: De nuevo me preguntan el “conjunto solución” entonces también puedo aplicar sustitución o resolver de forma algebraica. El método de sustitución aquí es nada más sustituir las respuestas que me dan en x de la pregunta y calcular para que me de 9, la que dé el 9 es la respuesta correcta.

93

1log 2 =

+x Vamos a aplicar el método

algebraico primero. Hagamos corazoncitos de nuevo y

923

1 =+x convirtamos la expresión

logarítmica en exponencial.



3)512(1 •=+x Despejemos la variable x.

1535

11536

15361

=−=

=+

x

x

x

Así obtenemos la respuesta

correcta.

93

1log 2 =

+x Ahora por sustitución con solo

probar cada una de las opciones de respuesta es suficiente para

93

11535log 2 =

+ que me dé 9 en ambos lado del

igual.

92log

3

1536log

=

Solo se debe resolver con la

calculadora y ya está listo.

Respuesta: es le Opción D la correcta. 39) La solución de ( ) 2)5(log2log 55 =−−− xx es.

A) 81

B) 17

81

C) 2

127

D) 26

127

Solución: De nuevo por el tipo de pregunta “la solución de” se puede hacer por cualquiera de los métodos de sustitución o algebraico, usted escoge por lo pronto aquí resolveremos solo por el método algebraico.

( ) 2)5(log2log 55 =−−− xx Primero apliquemos la

propiedad de resta en logaritmos.

25

2log5 =

−−x

x Ahora hagamos de nuevo

corazoncitos.

255

2 =−−x

x Despejemos ahora la X.



26

127

12726

212525

251252

)5(252

=

=+=+

−=−−=−

x

x

xx

xx

xx

Como vemos es solo algebra lo

que hay que aplicar.

40) De acuerdo con los datos de la figura. Si m ∠ SPO = o55 , entonces la m PR es. A) 035 B) 070 C) 0140 D) 0220 Solución: Lo primero aquí es colocar en la figura los datos que nos dan, además de aquellas secciones de la circunferencia que nos piden de datos y luego aplicar la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, además de que una cuerda cortada por un rayo en la circunferencia divide a esta en dos segmentos congruentes. Adelante.

Ubiquemos los datos y las secciones que nos piden.

Q

P

R

O S

O: centro de la circunferencia

X Q

P

R

O S

055



Ahora ubiquemos los demás datos del triángulo que se formó. Además se formaron dos triángulos congruentes que a su vez nos dan la medida del ángulo central que determina el arco que nos están pidiendo.

Respuesta: La opción B, por la propiedad de que al ángulo central mide igual que el arco que forma.

41) De acuerdo con los datos de la figura, si m ∠ AOB = 050 , m BCY = 060 y

XY es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C, entonces la medida del ACX es igual a. A) 020 B) 070 C) 090 D) 095

Solución: De nuevo primero ubiquemos en la figura los datos que nos presentan y luego apliquemos las propiedades sobre los ángulos inscritos, que miden la mitad de lo que mide el arco que comprenden y que el ángulo llano formado por la recta tangente mide 180 grados.

Ubiquemos los datos que nos dan, primero y observemos cuales propiedades podemos aplicar con respecto a los ángulos centrales y inscritos.

035 Q

P

R

O S

055

X= 070 035

Y

A

C

O

X

B

Y

A

C

O

X

B

050

060



Ahora apliquemos propiedades del ángulo central e inscrito. Por último el ángulo que nos piden será aquel cuya diferencia sea para llegar completar el ángulo llano que se forma con la recta tangente.

Respuesta: La opción D es la correcta.

42) Si el diámetro de un círculo mide 3 , entonces la longitud de la circunferencia correspondiente es.

A) π2

3

B) π4

3

C) 3π

D) 32π Solución: Bueno comencemos por tener claro que cunado nos piden la longitud de la circunferencia es lo mismo que el perímetro y que el diámetro es dos veces el radio. Además debemos siempre que el ejercicio lo permita construir una gráfica con la figura a utilizar, mejora en mucho la resolución de mismo.

Una vez ubicados los datos solo debemos aplicar la fórmula para calcular la Circunferencia y listo. Fácil no.

Y

A

C

O

X

B

050

060

050

025 095

O

D= 3

2

3=r



Cálculos:

π

π

π

π

3

2

32

2

32

2

=

=

=

=

r

r

r

r

C

C

C

rC

Respuesta: La alternativa C es la correcta. 43) Dos circunferencias concéntricas tienen π6 y π16 de longitud respectivamente. ¿Cuál es el área del anillo circular que determinan? A) π10 B) π25 C) π55 D) π220

Solución: Comencemos entonces por hacer la figura y ubicar los datos que nos facilitan para tener claro lo que nos piden, así como las fórmulas a utilizar.

Solo debemos determinar en ambos casos la medida de los radios a través de la fórmula de la Circunferencia y luego calcular el área de cada Circulo, para luego solo restar al mayor el menor y obtener al área entre los dos círculos.

Fórmulas a utilizar: rCr π2=

2rA π= Determinemos la medida de los Radios:

r

r

r

rCr

=

=

==

32

6

26

2

ππ

πππ

Primero el circulo pequeño.

Hay que recordar que siempre se debe simplificar las operaciones, en este caso eliminamos el dos con el dos del denominador.



r

r

r

rCr

=

=

==

82

16

216

2

ππ

πππ

Ahora el circulo grande.

Ahora determinemos las áreas de ambos círculos:

( )π

ππ

9

3 2

2

==

=

A

A

rA

De nuevo circulo pequeño.

( )π

ππ

64

8 2

2

==

=

A

A

rA

Ahora del círculo grande.

Por último restemos el área grande a la pequeña y “voila” tenemos la respuesta correcta:

π

ππ55

664

=−=

s

s

A

A

Respuesta: La alternativa C es la correcta. 44) Si las medidas de los lados de un triángulo son: 10, 11, y 13, entonces el área del triángulo es aproximadamente igual a. A) 12,96 B) 53,44 C) 55,00 D) 75,58 Solución: De nuevo hagamos la figura, esto ayuda de mucho, además aquí es muy importante la fórmula para calcular el área del triángulo de HERÓN.

La ubicación de las medidas no tiene que ser exacta.

10 11

13



Fórmula de HERÓN: ( )( )( )csbsassA −−−= s significa el semi-perímetro.

Cálculo del semi-perímetro: 2

cbas

++= Donde a, b y c son las medidas

de los lados del triángulo. Realicemos entonces los cálculos correspondientes.

172

131110

=

++=

s

s Primero el semi.perímetro.

( )( )( )44,53

13171117101717

=−−−=

A

A Ahora el área.

Respuesta: Claro está que es la B. 45) De acuerdo con los datos de la figura, el área del ABCD es. A) 10,24 B) 13,50 C) 18,00 D) 21,00 Solución: Observemos que se forman dos triángulos de los cuales uno es rectángulo,

además necesitamos calcular el lado que comparten los dos AC , para poder calcular las áreas de ambos, una se calcula con la fórmula del área del triángulo y la otra con la fórmula de HERÓN.

Utilicemos Pitágoras para el cálculo del lado que nos falta en el triángulo rectángulo.

( ) ( )

5

25

25

169

43

2

2

2

222

222

==

=+=

+=

+=

c

c

c

c

c

bac

3 4

5 6

A B

D

C

Recordemos que la manera para eliminar la potencia al cuadrado de la hipotenusa es sacando raíz, estos dos son como al agua y el aceite, se anulan mutuamente.



Ahora calculemos al área de un triángulo con su fórmula:

( )( )

62

122

432

=

=

=

•=

A

A

A

hbA

Calculemos con HERÓN al área del otro triángulo:

82

655

=

++=

s

s Primero el semi.perímetro.

( )( )( )12

6858588

=−−−=

A

A Ahora el área.

Por último sumemos ambas áreas y obtendremos la respuesta.

18

612

=+=

t

t

A

A

Respuesta: La opción C es la correcta. 46) Un polígono regular tiene en total 35 diagonales, ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos internos? A) 075 B) 0144 C) 077,116

D) 057,128



Solución: Bueno aquí es un poco difícil construir un dibujo del polígono regular, así que solo se deben aplicar las fórmulas que se usan para determinar el total de diagonales, obteniendo el valor del número de lados, para luego calcular la medida del ángulo interno, como es un polígono regular todos los ángulos internos miden lo mismo así como sus lados.

( )

( )

( ) ( )

7030

370

32352

335

2

3

2

2

−−=−=

−=

−=

−=

nn

nn

nn

nn

nnd

( )

( )

( )

0

0

0

0

144

2

8180

2

210180

2180

=

=

−=

−=n

n

Respuesta: la alternativa B es la correcta. 47) Una circunferencia está inscrita en un cuadrado cuya apotema mide 12. ¿Cuál es el área del círculo correspondiente? A) π72 B) π24 C) π144 D) π288

Aquí solo aplicamos la fórmula que se utiliza para determinar el número total de diagonales en un polígono regular y despejamos la n. Ahora nos queda una cuadrática, vamos, con calculadora o utilizando la fórmula general, la recuerdan:

a

acbbx

2

42 −±−=

Ahora con la fórmula para determinar la medida de cada uno de los ángulos internos del polígono regular, obtenemos la respuesta correcta.

m i

m i

m i

m i



Solución: Aquí si podemos confeccionar el dibujo correspondiente, donde podremos observar que la apotema del cuadrado resulta ser el radio de la circunferencia. Fácil.

( )π

ππ

144

12 2

2

==

=

A

A

rA

Bueno Eureka.

Respuesta: la opción C es la correcta.

48) El área total de un cubo es 6

100, entonces la medida de la arista es.

A) 3

5

B) 2

5

C) 6

5

D) 77,2 Solución: Debemos tener claro que las aristas del cubo son aquellas que unen cada lado de la figura, es donde confluyen sus lados, y la fórmula del área total del cubo, para luego despejar la variable “a”, que será la arista del problema en cuestión.

Apotema=12

radio

Que tal, la apotema es el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado, luego solo debemos aplicar la fórmula del área del círculo y obtendremos nuestra respuesta.



( )

2

2

2

2

2

36

100

36

100

66

100

66

100

6

a

a

a

a

aÁreac

=

=

=

=

=

a

a

=

=

3

56

10

49) El volumen de un cilindro circular resto es π36 y la medida del radio es 3, entonces la altura mide. A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 Solución: Problema muy fácil, ya que solo debemos conocer la fórmula del volumen para un cilindro circular recto y despejar la altura (h) y listo, veamos como: hrV 2π= Fórmula del Volumen. 3,36 == rV π Datos que me dan.

( )

h

r

h

hrV

=

=

=

=

49

36

336 2

2

ππ

πππ

Despejemos y listo.

Respuesta: La alternativa B es la correcta.

50) La medida en grados de un ángulo de 9

5π es.

A) 050 B) 0100 C) 0150 D) 0300

Solo realizamos el despeje sobre la fórmula del área total del cubo y YA. Que Fácil, verdad…

Respuesta: la A es la correcta.



Solución: Bueno llegamos a trigonometría, por el momento solo nos interesa para este ejercicio las fórmulas que se utilizan para convertir grados en radianes y viceversa.

π

0180•= RG y0180

π•= GR Si el número de grados y

radianes de un ángulo se representa por G y R, respectivamente, entonces podemos aplicar las dos fórmulas que se presentan para obtener las conversiones.

000

1009

900180

9

5 ==•=π

πG Ya lo resolvimos.

Respuesta: Es la alternativa B la correcta. 51) La medida en radianes de un ángulo coterminal con uno de medida 0160− corresponde a.

A) π9

8

B) π9

28

C) π9

10−

D) π9

28−

Solución: Dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado Terminal se llaman ángulos coterminales. Así, para dos ángulos coterminales cuyas medidas sean α y β se cumple que k•+= 0360βα , siendo “k” un número entero, que determina el número de ángulos coterminales que nos pidan en este ejercicio solo piden 1, cuando multiplicamos por 0360 por 1 da lógicamente 0360 Pero además en este ejercicio tenemos el ángulo en radianes, lo que se hace entonces es transformarlo a radianes con las fórmulas del ejercicio anterior y luego se le suma π2 , que corresponden a los 0360 en radianes.

9

8

180160.160

0

00 ππ −=•−⇒→− Rad Convertimos los grados a

radianes y luego le sumamos los π2 o los restamos según las

respuestas que nos dan.



ππα 29

8 +−= La suma nos da un valor que no

está en las respuestas.

9

10πα =

9

282

9

10 πππα =+= Pero seguimos sumando π2

hasta obtener el resultado que nos presentan en las alternativas de respuesta.

Respuesta: La opción B es la correcta. 52) La medida en radianes de un ángulo cuadrantal corresponde a.

A) 4

5π−

B) 3

7π−

C) 2

11π−

D) 6

13π−

Solución: Un ángulo en posición estándar es cuadrantal si su lado Terminal queda sobre alguno de los semiejes coordenados. En consecuencia el ángulo α es cuadrantal si k•= 090α , igual siendo “k” un número entero que solo determina el número de ángulos cuadrantales que me pidan. Además de nuevo nos dan las respuestas en radianes entonces a convertir se ha dicho.

218090.90

0

00 ππ =•⇒→ Rad Conversión de los 90 grados en

radianes.



Ángulos múltiplos de 090 que son cuadrantales son:

00 090 0180 0270 0360 0

2

π

π

2

3π

π2

0450 0540 0630 0720 0810

2

5π

π3

2

7π

π4

2

9π

0900 0990

π5

2

11π

Vemos que los ángulos cuadrantales si fuera del caso son los mismos los positivos y los negativos solo difieren del signo, así que ya obtuvimos la respuesta correcta. Además si no se quiere hacer tanto cálculo, solo dividan cada respuesta en este caso que son

radianes entre 2

π y el resultado que de un número entero será el correcto.

Respuesta: La alternativa C era la buena. 53) La expresión ( )αα −• 090secsen es equivalente a. A) 1 B) αcos

C) αα

cos

2sen

D) αα cos•sen Solución: Solo debemos resolver aplicando las identidades trigonométricas y YA. Esto es sumamente fácil.

( )

1

1

csc

90sec 0

=

•

•−•

αα

αα

αααα

sen

sensen

sen

sen

sen

Hay que manejar muy bien las

identidades trigonométricas. Respuesta: La alternativa A.



54) La expresión ( )( )senxxx −+ 1tansec es equivalente a. A) 1 B) xcos C) senx+1 D) xx coscot • Solución: De nuevo solo debemos conocer muy bien las identidades trigonométricas y la solución es muy fácil.

( )( )

( )

xx

x

x

xsen

senx

x

senx

senxx

senx

x

senxxx

coscos

cos

cos

1

1

1

cos

1

1coscos

1

1tansec

22

==−

−

+

−

+

−+

Respuesta: La B es la indicada. 55) Sea β la medida de un ángulo cuyo lado Terminal está ubicado en el IV cuadrante. Considere las siguientes proposiciones. ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?. A) Ambas B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II.

Observen que hemos aplicado el álgebra elemental en todas las operaciones, incluso la tercera fórmula notable.

I. csc β >0 II. tan β <0



Solución: Vamos a analizar un cuadro para tener claro los valores que deben asumir estas funciones trigonométricas, luego tendremos la respuesta.

0csc. >→ βI Analicemos la primera proposición.

Es FALSO porque: 01

csc >=β

βsen

Y 0<βsen En el IV cuadrante el sen es menor a cero.

0tan <→ βII Veamos ahora la segunda proposición.

Esta si es VERDADERA. Respuesta: La opción correcta es la D.

I Todos>0 II

Sen y CSC>0

III Tan y Cot>0

IV Cos y Sec>0

IV



56) De acuerdo con los datos de la figura, el valor de αtan es. A) 2−

B) 3

C) 3

1

D) 3

2−

Solución: Separamos el triángulo formado por OAB con el centro del circulo y vemos que β es un ángulo de referencia de α . Por lo tanto βα tantan = . Veamos como.

Entonces: 32

2

2

32

1

tan ==β

αβ tan3

1tan == Por ángulos de referencia.

Definición: Ángulos de referencia. Sea α un ángulo no cuadrantal en posición estándar. El ángulo de referencia de α es agudo y positivo y cuyo lado Terminal está en el semieje x positivo o negativo y su lado inicial es el lado Terminal del ángulo α . El ángulo de referencia siempre ha de ser positivo y menor que 090

Respuesta: La alternativa C.

X

Y

1

1

-1

-1 2

3−

2

1−

α

A

2

3−

2

1− β



57) Un punto que pertenece al gráfico de la función coseno es. A) ( )0,π

B) ( )0,2π

C)

0,

2

π

D)

−1,2

3π

Solución: Lo que se debe hacer es sustituir el valor de “x” del punto en la función y comprobar que sea igual al valor de “y” del punto dado. Vamos actuar

02

3cos

2

3

02

cos2

1)2cos()2(

1cos)(

=

=

=

=

==−==

ππ

ππππ

ππ

f

f

f

f

Claro esta es la respuesta.

Respuesta: La opción C. 58) Sea f una función dada por f(x)= sen x. Considere las siguientes proposiciones. ¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?. A) Ambas B) Ninguna. C) Solo la I. D) Solo la II.

I. f es decreciente en [ ]π,0

II. f es creciente en

−0,

2

π



Solución: Analicemos solamente la gráfica del sen x, con eso obtendremos la respuesta.

Analicemos las proposiciones: I. En el intervalo [ ]π,0 el sen es decreciente resulta ser

FALSO ya que:

2,0π

es Creciente y en el intervalo

ππ,

2 es

decreciente.

II. En el intervalo

−0,

2

π el sen es creciente entonces

es VERDADERA la proposición.

Respuesta: La correcta es la D.

f(X)=sen X

π− π− π π 2

3π−2

3π2

π−

2

π

1

-1




cossec =− xx en [ [π2,0 es.

A) { }0

B)

2

π

C) { }π,0

D)

2

3,

2

ππ

Solución: Podemos confeccionar el gráfico con los puntos de coordenadas de las abcisas y ordenadas al origen de las funciones trigonométricas y resolvemos la ecuación, dependiendo del resultado ubicamos la respuesta correcta. Veamos. Resolvamos la ecuación:

02

cossec =− xx

(cos,sen) (0,1)

090

(0,-1) 0270

(cos, sen)

(cos,sen) (1,0)

00

(cos,sen) (-1,0)

0180



0tan

0cos

0cos

0cos

cos1

0coscos

1

0cossec

2

2

=•

=

=

=−

=−

=−

senxx

senxx

senxx

xsen

x

x

xx

xx

Analicemos: senx =0 ⇒ tan x =0 ⇒ Entonces la solución será: { }π,0=s . Respuesta: La opción C. 60) El conjunto solución de 01coscot3 =−− xxsenx en [ [π2,0 es.

A) { }π

B)

3

π

C)

3

5,

3

ππ

D)

2

4,

3

2 ππ

Solución: Primero resolvemos la ecuación y analizamos el valor que me dará cos x, para luego ubicarlo en una gráfica de coordenadas y en cual cuadrante cos x es mayor o menor al valor dado por la ecuación.

De nuevo hemos aplicado el álgebra básica, la factorización y solo necesitamos el conocimiento de las identidades trigonométricas.

X= 00 =0 X= 0180 =π

X= 00 =0 X= 0180 =π



02

1cos

1cos2

01cos2

01coscos3

01coscos

3

01coscot3

>=

==−

=−−

=−−•

=−−•

x

x

x

xx

xsenxsenx

x

xsenxx

Me fijo en que cuadrantes cos x > 0. Vemos que cos x > 0 en el I y IV cuadrante. Busco el ángulo de referencia:

0

1

60

2

1cos

=

= −

ref

ref

α

α

Veamos las posibles soluciones entonces:

refsol

refsol

refsol

solref

CuadranteIV

CuadranteIII

CuadranteII

CuadranteI

αα

αα

αα

αα

−=→

+=→

−=→

=→

0

0

0

360.

180.

180.

.

Claro vemos que solo en los cuadrantes I y IV cos x >0.

=

3

5,

3

ππs

Respuesta: La opción C es la correcta.

060=refα

060=refα

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