Solucion Tarea 1

Problema 1

fds =

10

f((t))(t)dt = 10

0dt = 0

Problema 2

fds =

10

et2tdt = (2tet 2et)|10 = 2

Problema 3

fds =

e1

1

t3

1 + t2

tdt =

e1

1 + t2

t4dt =

sec3

tg4d =

cos

sen4d =

= 13sen3

= (t2 + 1)

32

3t3

e1

= 13

((e2 + 1) 32e3

)(2)

32 = 1

3

(1+

1

e2

) 32

+2

3

2

Problema 4

Fds =

ba

FTds = 0

Problema 5

y = 0, z = x2 = y = 0, dz = 2xdx =

x2dx xydy + dz = 11x2dx+ 2

11xdx =

2

3

Problema 6 Lo haremos utilizando el teorema fundamental del calculo paraintegrales de lnea.

1

Si F = f = (xf, yf, zf) = (z3 + 2xy, x2, 3xz2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales, obtenemos

f(x, y, z) = z3x+ x2y + F1(y, z)

f(x, y, z) = x2y + F2(x, z)

f(x, y, z) = xz3 + F3(x, y)

Por lo tanto

f(x, y, z) = z3x+ x2y + c

Del teorema fundamentalCF ds =

Cf ds = f((a)) f((a)) = 0

Problema 7

ba

F ds = ba

(t)(t) (t)dt =

ba

(t)(t)dt =

Fds

Problema 8

(, ) = (2 2, + , 2 + 4)

Buscamos el punto en la superficie

(0, 0) =( 1

4,1

2, 2)

= (2 2, + , 2 + 4)

2 = 2 4 2 2 = 2 4 2 = 14 = 5

2 2 y = 1

2

.

2

La unica solucion aceptable es

(0, 0) =(

0,1

2

)Los vectores tangentes son

T = (x(, ), y(, ), z(, ))(0,1/2)

= (2, 1, 2)(0,1/2)

= (0, 1, 0)

T = (x(, ), y(, ), z(, ))(0,1/2)

= (2, 1, 4)(0,1/2)

= (1, 1, 4)

El vector normal es

n = T T = 4i+ k

La ecuacion del plano es

n (x x0, y y0, z z0) = (4, 0, 1) (x+1

4, y 1

2, z 2) = 0 =

z = 1 4x

Problema 9

T = (sensen, cossen, 0)

T = (coscos, sencos,sen)

T T = cosseni+ sensen2j + sencosk

T T = sen

Por lo tanto

3

A =

S21

dS =

20

0

sendd = 4

Problema 10. La interseccion entre la esfera y el cono es obvia, analticamentese obtiene sustituyendo la ecuacion; z2 = x2 + y2, en la ecuacion de la esfera;x2 + y2 + z2 = 1, obtenemos z = 1

2, como es la interseccion con la parte

positiva del cono, entonces la solucion es: z = 12. Queremos el volumen de

la parte de la esfera intersectada por el cono, por ello utilizamos coordenadasesfericas

x = cossen y = sensen z = cos

Entonces la ecuacion de la interseccion es estas coordenadas es

cos =12 =

4

Y la norma de la normal a la esfera es:

T T = sen

Por lo tanto, el area de la superficie solicitada es

A =

20

4

0

sendd = 2(

1 12

)

Problema 11. Calculamos la integral sobre las cuatro superficies que com-ponen el tetraedro y las nombramos

S1 z = 0

S2 y = 0

S3 x+ z = 1

S4 x = y

4

Sobre S1 estamos en el plano xy, donde z = f(x, y) = 0, entoncesS1

xydS1 =

Rxy

xy

(fx(x, y))2 + (fy(x, y))2 + 1dxdy =

=

10

x0

xydydx =1

8=

3

24

Sobre S2 y = 0, por lo tanto S2

xydS2 = 0

Sobre S3 estamos en el plano f(x, y) = 1 x, por lo tanto

S3

xydS3 =

Rxy

xy

(fx(x, y))2 + (fy(x, y))2 + 1dxdy =

=

2

10

x0

xydydx =

2

8=

3

2

24

Sobre S4 proyectamos el plano y = x (con f(x, z) = x) sobre el plano xz,en ese plano la region de integracion Rxz es

0 x 1 0 z 1 x

Por lo tanto

S4

xydS4 =

Rxz

xy

(fx(x, z))2 + (fz(x, z))2 + 1dxdy =

=

2

10

1x0

x2dydx =

2

12=

2

2

24

Por lo tanto

5

S

xydS =4i=1

Si

xydSi =3 + 5

2

24

Problema 12. Calculamos el rotacional del campo vectorial

F =(FzyFyz

)i+(FxzFzx

)j+(FyxFxy

)k = 2yzx3i3zx2y2j2k

La integral es sobre el elipsoide x2 + y2 + 3z2 = 1, por lo cual utilizamosla parametrizacion

(, ) = (cossen, sensen,13cos)

.

Con esta parametrizacion

F = 23cos3sensen4cosi 3

3sen4coscos2sen2j 2k

Piden la normal hacia afuera, esta es

T T =13cossen2i 1

3sensen2j + sencosk

Entonces

(F)(TT) =2

3sen6coscos4sen+sen6cossen3cos22sencos

Esta es la funcion que hay que integrar, es decir

S

(F)dS = 20

2

(F)(TT)dd =2

3

20

2

sen6coscos4sendd+

6

+

20

2

sen6cossen3cos2dd 20

2

2sencosdd

Hay que evaluar tres integrales, notar que 20

cos4send = 0

20

sen3cos2d =

20

cos2send 20

cos4send = 0

Entonces, solo queda

S

(F)dS = 20

2

(F)(TT)dd = 20

2

2sencosd =

= 20

2

sen2dd =2

2cos2

2

= 2

7