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CAPÍTULO N°1
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 22, 23, 24)
NIVEL I
Resolución 1 Veamos:
• A = x/ 5 < x < 7 ; “x” es un número natural
5 < x < 7 → x = 6 → A = 6
• B = x/ 3x - 1 = 8 ; “x” es un número natural
3x − 1 = 8 → x = 3 → B = 3
∴ A y B son conjuntos Unitarios Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
• A = x/ “x” es un número natural mayor que 5
A = 6; 7; 8; 9; ... ← Conjunto
• B = x/ ”x” es una fiera
B = tigre, ... ← Conjunto
• C = x/ “x” es un mamífero
C = vaca; carnero; .... ← Conjunto
∴ Tenemos: VVV Rpta.: C
Resolución 3 Tenemos:
* Luego:I. 8 ∈ A ← (V)II. 4 ∈ C ← (V)III. 3 ∉ B ← (V)IV. 1 ∈ B ← (F)V. 5 ∉ A ← (V)VI. 9 ∉ C ← (V)
∴ Tenemos: VVVFVV Rpta.: D
* Ahora:
• A = 1; 3; 8; 9; 4
• B = 2; 6; 7; 8; 9
• C = 5; 6; 8; 4
* Luego:• M = 1; 3; 4; 5; 6• N = 4; 5; 7• P = 2; 3; 4
* Ahora:A) M = 1; 3; 4; 5; 6; 7 (F)B) N = 4; 5; 6; 7 (F)C) P = 2; 3; 4; 6 (F)D) N = 4; 5; 7 (V) Rpta.: DE) Ninguna (F)
Resolución 4 Tenemos:
A = a; b; c; d; e
* Luego:A) c ⊂ A ← (F)B) a ⊂ A ← (F)C) b ⊂ A ← (F)D) d; e ⊂ A ← (F)E) d; e ⊂ A ← (V) ; d; e ∈ A
∴ Es verdadero (E) Rpta.: E
Resolución 5 Veamos:
Resolución 6 Tenemos:
• A = 4x/ x ∈IN;3 < x ≤ 6
3 < x ≤ 6 → x = 4; 5; 6
4x = 16; 20; 24 → A = 16; 20; 24
• B = 5x/ x ∈IN; 3 < x ≤ 5
3 < x ≤ 5 → x = 4; 5
5x = 20; 25 → B = 20; 25
* Graficando:
* Luego:A) B ⊂ A ....................................... (F)B) 20 ∈ 16; 20; 24 ...................... (V)C) 20 y 25 ∈ 20; 25 .................... (V)D) 20 ⊂ 20; 25 .......................... (V)E) B ⊄ A ........................................ (V)
∴ Es falso (A) Rpta.: A
Resolución 3 Tenemos:
* Aquí: D A UC B U
⊂ ⊂⊂ ⊂
* Luego:
Rpta.: D
Resolución 4 Tenemos:
a) P(A) = 128 2n(A) = 27 n(A) = 7
b) P(B) = 163 2n(B) = 163 = (24)3
2n(B) = 212 n(B) = 12
∴ n(A) y n(B) = 7 y 12 Rpta.: D
Resolución 5 Veamos:
A = 5a−1 ; 4b+2
B = 125 ; 64
• Como: A = B 5 125 54 64 4
1 3
2 3
a
b
−
+= == =
a
b
− =+ =
1 3
2 3 a
b
==
4
1
* Además:
C = x3/ x ∈ IN ∧ b ≤ x ≤ a
C = x3/ x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4
x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4 x = 1; 2; 3; 4
x3 = 1; 8; 27; 64
∴ C = 1; 8; 27; 64
* Me piden:
Σ elementos (C) = 1+8+27+64 = 100 Rpta.: C
Resolución 9 Tenemos:
• B = x2 − 3/ x ∈IN; 3 ≤ x < 6 3 ≤ x < 6 x = 3; 4; 5 x2 − 3 = 6; 13; 22
B = 6; 13; 22 Rpta.: C
Resolución 10 Tenemos:
D = 1; 3; 5; 7; 9; 11• Sea:
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6 0 < x ≤ 6 ∧ x ∈ IN
• Además:2x − 1 = 1; 3; 5; 7; 9; 11 = D
∴ D = 2x − 1/x ∈ IN ∧ 0 < x ≤ 6
Rpta.: C
* Luego:I. C ⊂ A .......................................... (V)II. B ⊂ A .......................................... (F)III. C ⊂ B ........................................ (V)
∴ Son verdaderas I y III Rpta.: B
Resolución 8 Tenemos:
A = 3x/ x ∈ IN; 2 < x ≤ 6
2 < x ≤ 6 → x = 3; 4; 5; 6
3x = 9; 12; 15; 18 → A = 9; 12; 15; 18
* Me piden:
Conjunto "A"por extensión
= A = 9; 12; 15; 18
Rpta.: C
* Aquí: C ⊂ B ⊂ A ⊂ U
* Luego:
Rpta.: B
Resolución 7 Veamos:
NIVEL II
Resolución 1 Tenemos:
P = 2; 4; 6; 8; 10
* Veamos las alternativas:I. P = x/ x ∈ IN ∧ x < 9 x < 9 x = 0 ;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
∴ P = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 .......... (F)
II. P = (2x + 2)/ x ∈ ∧ 0 ≤ x < 5
0 ≤ x < 5 x = 0; 1; 2; 3; 4
2x + 2 = 2; 4; 6; 8; 10
∴ P = 2; 4; 6; 8; 10 .................... (v)
Resolución 2 Tenemos:
III. P = 2x/x ∈IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5 0 ≤ x ≤ 5 x = 0; 1; 2; 3; 4; 5 2x = 0; 2; 4; 6; 8; 10
∴ P = 0; 2; 4; 6; 8; 10 ................ (F)
* Ahora: cumple solo II Rpta.: B
Resolución 6 Tenemos: A = 2; 8; 9
* Luego: I. 2 ⊂ A ...................... (F)
porque 2 ∈ A
II. 8 ⊂ A ................... (F)
porque 8 ⊂ A
III. 2; 8 ⊂ A .............. (V)
porque 2; 8 ∈P(A) 2; 8 ⊂A
IV. 9 ∈ A .................. (V)
∴ Son ciertas 2 afirmaciones
Rpta.: B
Resolución 7
* Tenemos; los conjuntos unitarios:
• A = x + 7 ; 2x + 5
x + 7 = 2x + 5 x = 2
• B = y − 3 ; 5y − 15
y − 3 = 5y − 15
12 = 4y y = 3
* Me piden: x + y = 2 + 3= 5 Rpta.: A
Resolución 8 Veamos:
A n AB n BC n C
= ⇒ == ⇒ == ⇒ =
φ
φ
( ) ( ) ( )
00 1
1
∴ n(B) = n(C) Rpta.: C
Resolución 9 Tenemos:
M = 3; 5; 7; 9; 11
* Luego:
• I. M = x/x ∈IN ∧ x < 6
x ∈ IN ∧ x < 6 → x = 0; 1; 2; 3; 4; 5∴ M = 0; 1; 2; 3; 4; 5 ................ (F)
• II. M = (2x + 1)/ x ∈IN ∧ 1 ≤ x < 6
x ∈IN ∧ 1 ≤ x < 6 x = 1; 2; 3; 4; 5 (2x + 1) = 3; 5; 7; 9; 11
∴ M = 3; 5; 7; 9; 11 .............. (V)
(=s)
• III. M = (2x − 1)/ x ∈IN ∧ 1< x < 6
x ∈IN ∧ 1 < x < 6 x = 2; 3; 4; 5
(2x − 1) = 3; 5; 7; 9
∴ M = 3; 5; 7; 9 ... (F)
∴ Cumple: solo II Rpta.: A
Resolución 10 Tenemos:
B = x/ x ∈IN ∧ 0 < x ≤ 5
x∈IN ∧ 0 < x ≤ 5 x = 1; 2; 3; 4; 5
∴ B = 1; 2; 3; 4; 5 n(B) = 5
* Me piden:
n[P(B)] = 2n(B) = 25 = 32
n[P(B)] = 32 Rpta.: B
Resolución 11 Tenemos:
A = 2x/x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10
x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10
x = 2; 3; 4; ... ; 10
2x = 4; 6; 8; 10; ... ; 20
∴ A = 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20
Rpta.: D
Resolución 12 Tenemos:
Q = 2x/x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 5
x ∈IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5 0; 1; 2; 3; 4; 5
2x = 1; 2; 4; 8; 16; 32
∴ Q = 1; 2; 4; 8; 16; 32 Rpta.: A
Resolución 13 Tenemos:
R = a; b; c; d; e
* Luego:
• I. a ∧ b ∈ R .... (V)
porque a ∈ R ∧ b ∈ R• II. c⊂ R .... (V)
porque c ∈ P(R) c⊂ R
• III. e ∈R ... (F)
porque e ⊂ R
∴ Son falsas solo III Rpta.: C
Resolución 3 Tenemos:
• A = x∈IN/3 ≤ x ≤ 9
3 ≤ x ≤ 9 x = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
∴ A = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
• B = x∈IN /5 < x < 11
5< x < 11 x = 6; 7; 8; 9; 10
∴ B = 6; 7; 8; 9; 10
• C = 7; 8; 9
* Me piden:
(A∩B)∩C = 6; 7; 8; 9 ∩ 7; 8; 9 = 7; 8; 9
(A∩B)∩C = 7; 8; 9 Rpta.: D
* Me piden:
(B∪C)∩A = 3; 6 ∩ 2; 3; 4; 5; 6
(B∪C)∩A = 3; 6 Rpta.: C
* Luego:• P = 3; 5; 6; 7; 9• Q = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8• R = 2; 4; 6
* Me piden:
(P∪R)∩Q = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9 ∩ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8
(P∪R)∩Q = 2; 3; 4; 5; 6 Rpta.: D
NIVEL I
Resolución 1 Veamos:
• A = x/x es una letra de la palabra “teléfono”
∴ A = t; e; l; f; o; n
• B = x/x es una letra de la palabra “elefante”
∴ B = e; l; f; a; n; t
* Me piden: A∩B = e; t; l; f; n Rpta.: E
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 39, 40, 41)
• B = x∈IN/x es 4
∧ 3 < x < 30
x es 4
∧ 3 < x < 30 x = 4; 8; 12; 16; 20; 24 ; 28
∴ B = 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28
* Ahora:
A∪B = 4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 28
* Luego: n(A∪B) = 10 Rpta.: C
Resolución 5 Veamos:
• A = x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6
2≤ x ≤ 6 x = 2; 3; 4; 5; 6
∴ A = 2; 3; 4; 5; 6
• B = x ∈IN /x2 = 9
x2 = 9 x = 3 ∴ B = 3
• C = x ∈IN/x − 2 = 4
x − 2 = 4 x = 6 ∴ C = 6
Resolución 2 Tenemos:
ABC
===
1 2 3 72 5 6 73 4 5 7
; ; ;; ; ;; ; ;
* Ubicando los elementos en el siguiente gráfico:
* Me piden:
S = 2; 3 Rpta.: C
Resolución 4 Tenemos:
• A = x ∈IN/x es 5
∧ 4 < x < 21
x es 5
∧ 4 < x < 21
x = 5; 10; 15; 20
∴ A = 5; 10; 15; 20
Resolución 6 Tenemos:
Resolución 7 Tenemos:
n[(P∪Q)∩R] ← máximo
R⊂(P∪Q) ∧ P; Q ← disjuntos
* Luego:
n(P∪Q) = n(P) + n(Q) = 5 + 3 = 8
n(P∪Q) = 8
* Como
R⊂(P∪Q) n[(P∪Q)∩R] = n(P∪Q) = 8
∴ n[(P∪Q)∩R] = 8 Rpta.: D
Resolución 8 Tenemos:
n An Bn C
( )( )( )
===
543
* Me piden:
n[(A∩B)∪C] ← mínimo
n(A B) mínimo n(A B) 0
n(C) mínimo n(C) 3
∩ ← ⇒ ∩ = ← ⇒ =
* Luego:n[(A∩B)∪C] = n[φ∪C] = n(C) = 3
∴ n[(A∩B)∪C] = 3 Rpta.: A
Resolución 9 Tenemos:
• A = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8• B = 4; 6; 8• C = 2; 4; 6; 7
* Me piden:A − (C − B) = A − 2; 7A − (C − B) = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 − 2; 7
A − (C − B) = 3; 4; 5; 6; 8
Rpta.: B
Resolución 10 Veamos:
* Del gráfico:
• A = 1; 2; 4 A − B = 1• B = 2; 3; 4; 5; 6 B − C = 2; 3; 5• C = 4; 6; 7
* Me piden:
(A − B ) ∪ (B − C) = 1 ∪ 2; 3; 5
(A − B) ∪ (B − C) = 1; 2; 3; 5
Rpta.: D
Resolución 11 Tenemos:
• A = 3; 5; 7; 9
• B = 1; 2; 4; 6; 8
• C = 3; 4; 7; 8; 9; 10
* Graficando:
* Me piden:
(A∪B)∆C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ∆ 3; 4; 7; 8; 9; 10
(A∪B)∆C = 1; 2; 5; 6; 10 Rpta.: D
Resolución 12 Tenemos:
∴ S A B B≡ ∩ −( ) Rpta.: C
Resolución 13 Tenemos:
• A = x ∈IN/x es 4
∧ 3 < x < 17
x es 4
∧ 3 < x < 17
x = 4; 8; 12; 16
∴ A = 4; 8; 12; 16
• B = x ∈IN /x es 6
∧ 5 < x ≤ 30
x es 6
∧ 5 < x ≤ 30
x = 6; 12; 18; 24; 30
∴ B = 6; 12; 18; 24; 30
• C = x∈IN/x ≤ 15
x ≤ 15 x = 1; 2; 3; ... ; 15
∴ C = 1; 2; 3; 4; ... ; 15
* Ahora:
• (A∆B) = 4; 8; 12; 16 ∆ 6; 12; 18; 24; 30
C
A∆B = 4; 6; 8; 16; 18; 24; 30
• (B∆C) = 6; 12; 18; 24; 30; ∆ 1; 2; 3; ... ; 15
B∆C = 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 24; 30
* Me piden:
(A∆B)∩(B∆C) = 4; 8; 18; 24; 30
Rpta.: D
∩
Resolución 4 Tenemos:
* Además:
• n(A∪B) =15
Como: A⊂B n(A∪B) = n(B) = 15
n(B) = 15
M = a; c; d; e; f; gN = b; c; d; f; g; hT = e; f; i
* Ahora:
* Me piden: n(B) = 15 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
• A = x/ 9 ≤ x2 ≤ 300 ; x ∈IN
9 ≤ x2 ≤ 300 3 ≤ x ≤ 300
x = 3; 4; 5; 6; ... 17
∴ A = 3; 4; 5; 6; ... 17
• B = x/ 2x − 5 ≤ 30 ; x ∈IN.
2x − 5 ≤ 30 2x ≤ 35 x ≤ 17,5
x = 0; 1; 2; 3; ...; 17
∴ B = 0; 1; 2; 3; ... ; 17
* Ahora:
(A∩B) = 3; 4; 5; 6; ... ; 17 n(A∩B) = 15
* Me piden: n(A∩B) = 15 Rpta.: C
* Del gráfico:• U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11• A = 1; 2; 3; 4• B = 2; 3; 6; 7; 10; 11• C = 7; 8; 9; 10• D = 3; 4; 5; 6; 7; 8
* Ahora:
• (B∪C) = 2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 11
(B∪C)’ = 1; 4; 5
• (A∩D) = 3; 4
(A∩D)’ = 1; 2; 5; 6; 7; 9; 10; 11
* Me piden:
(B∪C)’ - (A∩D)’ = 1; 4; 5 − 1; 2; 5; 6; 7; 8;9;10; 11
∴ (B∪C)’ − (A∩D)’ = 4 Rpta.: C
Resolución 14 Veamos:
U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10A = 1; 3; 5; 7; 9B = 2; 3; 4
* Me piden :
(A − B)’ = (1; 3; 5; 7; 9 − 2; 3; 4)’
(A − B)’ = (1; 5; 7; 9)’
(A − B)’ = U − 1; 5; 7; 9
(A − B)’ = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 − 1; 5; 7; 9
∴ (A − B)’ = 2; 3; 4; 6; 8; 10
Rpta.: BNIVEL II
Resolución 1 Tenemos:
IN= 0; 1; 2; 3; 4; ...• A = x/x ∈IN; x es múltiplo de 3
x es 3
x = 0; 3; 6; 9; 12; ...
∴ A = 0; 3; 6; 9; 12; ...
• B = x/x ∈IN ; x es múltiplo de 4
x es 4
x = 0; 4; 8; 12; 16; ...
∴ B = 0; 4; 8; 12; 16; ...
• C = x/x ∈IN ; x ≤ 25
x∈IN ; x ≤ 25 x = 0; 1; 2; 3; ...; 25
∴ C = 0; 1; 2; 3; ... ; 25
* Ahora: A∩B∩C = 0; 12; 24 n(A∩B∩C) = 3
* Me piden: n(A∩B∩C) = 3 Rpta.: C
Resolución 3 Veamos:
Resolución 5 Tenemos:
!
Resolución 6 Tenemos:
A = Conjunto de adultos
B = Conjunto de personas que beben Coca Cola
* Me piden:
No Adultos
A'
que No beben Coca Cola
B'
∴ ≡ A’ ∩ B’ Rpta.: D
* Luego:
• S1 = M − N = a; c; d; e; f; g − b; c; d; f; g; h
∴ S1 = a; e
• S2 = N∩T∩M = b; c; d; f; g; h ∩ e; f; i
∩ a; c; d; e; f; g
∴ S2 = f
• S3 = T − M = e; f; i − a; c; d; e; f; g
∴ S3 = i
∩
* Graficando las alternativas:
I. (A − B) ∩ (C − B)
* Me piden:
S = S1∪ S2 ∪ S3 = a; e ∪f∪i
∴ S = a; e; f; i Rpta.: D
Resolución 8 Tenemos:
Resolución 7 Tenemos:
A×B = (1; 4); (1; 5); (2; 4);(2;5);(4;4);(4;5)
AB
==
; ; ; 1 2 44 5
C = 2; 4; 6
* Ahora:
• (B − C) = 4; 5 − 2; 4; 6 = 5• (C − B) = 2; 4; 6 − 4; 5 = 2; 6
* Me piden:
[(B − C) ∪ (C − B)] − A= [5 ∪ 2; 6] − 1; 2; 4= 2; 5; 6 − 1; 2; 4= 5; 6
∴ [(B − C) ∪ (C − B)] − A = 5; 6
Rpta.: A
II. (A ∩ C) − B
III. (A ∩ B) − C
∴ Corresponde: I y II Rpta.: C
Sí cumple.
Resolución 9 Tenemos:
• A = 1; 2; 3; 4; 5; 6
• B = 2; 4; 6; 8; 10
• C = n/n = 2k + 1 ∧ 0 < k < 5
0 < k < 5 2k + 1 = 3; 5; 7; 9
n = 3; 5; 7; 9
∴ C = 3; 5; 7; 9
* Me piden: n[(A∪B) − C]
(A∪B) − C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10 − 3; 5; 7; 9
(A∪B) − C = 1; 2; 4; 6; 8; 10
∴ n[(A∪B) − C] = 6 Rpta.: B
Resolución 10 Tenemos:U = 1; 2; 3; ... ; 12A = 2; 4; 6; 9; 10; 12B = 1; 2; 5; 6; 8; 10; 11
* Luego:
A’ = U − A = 1; 2; 3; ...; 12 − 2; 4; 6; 9; 10; 12
∴ A’ = 1; 3; 5; 7; 8; 11
* Me piden:
A’ − B = 1; 3; 5; 7; 8; 11 − 1; 2; 5; 6; 8; 10; 11
∴ A’ − B = 3; 7
n(A’ − B) = 2 Rpta.: E
"
Resolución 12
* Graficando cada alternativa:
A) (A∪B)∩C
Resolución 13 Veamos:
B) (A∪C’)∩(B∪C’)
C) (A − B)’ ∩C
D) (A − B)’ ∩(A∪C)
E) (C − A) ∪B
∴ Corresponde: (D) Rpta.: D
* Según datos:
• n(A∩B) = 3 y = 3
• n(B) = 11 y + z = 11
3 + z = 11 z = 8
• n(A’) = 12 z + w = 12
8 + w = 12 w = 4
• n(U) = 20 x + y + z + w = 20
x + 3 + 8 + 4 = 20 x = 5
* Me piden:
n(A∆B) = x + z = 5 + 8 = 13
n(A∆B) = 13 Rpta.: A
Sí
Resolución 11
* Graficando cada alternativa:
A) (B∩C) − A
B) (A∩C) − B
C) (A∩B) − C
D) (A∪C) − B
E) (B∪C) − A
∴ Corresponde (B) Rpta.: B
SíSí cumple
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 45, 46, 47)
• Donde:
F : practican fútbol
N : practican natación
Resolución 1
• Sea “x” el número de alumnos que prefieren lenguaje(L) y matemática (M)
Entonces:
n° de alumnos que prefierensólo L = 30 - x
n° de alumnos que prefieren
sólo M = 40 - x
• Del gráfico:
(30 - x) + x + (40 - x) + 5 = 6575 - x = 65
x = 10
∴ Prefieren matemática y lenguaje10 alumnos
Rpta. B
• Sea “x” el n° de estudiantes que sólo practican nata-ción.
Del gráfico:
20 + 12 + x + 10 = 50
42 + x = 50
x = 8
Por lo tanto:
- Practican sólo natación:8 estudiantes
- Practican natación:x + 12 = 8 + 12 = 20 estudiantes Rpta. D
• Donde:
RM : aprobaron razonamiento matemático
RV : aprobaron razonamiento verbal
• Sea “x” el número de alumnos que no aprobó ningunode los 2 cursos.
Del gráfico:
40 + 25 + 15 + x = 100
80 + x = 100
x = 20
∴ No aprobaron ninguno de los cursos mencionados 20alumnos.
Rpta. C
100
RM = 65 RV = 40
40 1525
x
65-25
No aprobaron ninguno delos cursos mencionados
Resolución 2
Resolución 3
Prefieren matemática y lenguaje
Resolución 4
• Donde:
G : Leen la revista Gente
C : Leen la revista Caretas
• Sea “x” el número de personas que leen ambas revis-tas.
Del gráfico:
40 + x + 60 + 12 = 120
112 + x = 120
x = 8
∴ Leen ambas revistas 8 personasRpta. A
120
G = 40 + x C = 60 +x
40 60x
12
Resolución 8
Cálculos previos:
- Practican sólo basquet = 115 - 35 = 80- No practican basquet = los que practican sólo aje-
drez + los que no practican ninguno de los 2 depor-tes.
Sea “x” el n° de deportistas que no practican estos 2deportes.
Entonces tenemos:
105 = 90 + x → x = 15
Graficamos:
B : practican basquet
A : practican ajedrez
Del gráfico: 80 + 35 + 90 + 15 = U
U = 220
∴ Se encuestó a 220 deportistas
Rpta. A
• Donde:
N : días que desayuna jugo de naranja.
P : días que desayuna jugo de papaya.
28
N =12+3=15 P= x+3
12 x3
15
Desayuno sólo jugo de papaya
Resolución 9
El mes de febrero en el año 1999 tuvo 28 días, enton-ces: U = 28
• Donde:
M : Consumen mayonesa
K : Consumen ketchup
• Sea:
n° de personas que consumen mayonesa y ketchup = x
n° de personas que consumen sólo ketchup = 45 - x
n° de personas que consumen sólo mayonesa = 57 - x = ?
Del gráfico:(57 - x) + x + (45 - x) + 10 = 97
∴ Consumen mayonesa, pero no ketchup:57 - x = 57 - 15 = 42
Rpta. C
• Donde: IK : bebieron Inca Kola
CC : bebieron Coca Cola
Entonces:
Del gráfico:
n° de alumnas que beben sólo Inca Kola = 90 – 10 = 80
n° de alumnas que beben sólo Coca Cola = 60 – 10 = 50
∴ n° de alumnas que beben sólo una de estas bebidas:80 + 50 = 130
Rpta. A
Donde:
M: profesores de matemática
F: profesores de física
• Sea “x” el número de profesores que enseñan amboscursos.
Del gráfico:
U = (47 - x) + x + 40 + 4 ⇒ U = 91
∴ Integraban la reunión 91 profesores Rpta. D
Resolución 5
Resolución 7
Resolución 6
U
M =47 F= x+40
47-x 40x
4
300
IK =90 CC =60
80 5010
160
90 -10
60-10
97
M =57 K =45
57 - x 45 - xx
Consumen mayonesa perono ketchup
10
112 - x = 97x = 15
= 57 = 45
= 47 F= x + 40
47 - x
B = 115
N= 12+3 = 15
Del gráfico: 12 + 3 + x = 28
15 + x = 28
x = 13
∴ Desayuno solamente jugo de papaya 13 días Rpta. C
Pe : consumen pescadoPo : consumen pollo
Según el enunciado:
• 500 no consumen pollo, o sea:
Consumen sólo pescado o no consumen ninguno delos dos.
Resolución 10
Cálculos previos:
• 150 no tienen el defecto “A”, o sea:
150 = tienen sólo el defecto “B” + no tienen ningúndefecto
150 = x + 50
x = 100
⇒ Tienen sólo el defecto “B”: 100 productos .
• 230 no tienen el defecto “B”; o sea:
230 =tienen sólo el defecto “A” + no tienen ningun de-fecto
230 = y + 50
y = 180
⇒ tienen sólo el defecto “A”: 180 productos
∴ Tienen sólo un defecto:100 + 180 = 280 artículos Rpta. E
Resolución 11
x+z
Entonces:
500 = x + 200 → x = 300
⇒ Consumen sólo pescado 300 encuestados
• 600 no consumen pescado, o sea:
Consumen sólo pollo o no consumen ninguno de losdos.
Entonces:
600 = y + 200 → y = 400
Consumen sólo pollo: 400 encuestados, luego:
1000
P =300+z P = 400+z
300 400z
200
e o= 300+z
Del gráfico:
300 + z + 400 + 200 = 1 000
900 + z = 1 000
z = 100
∴ Consume pescado y pollo100 personas Rpta. D
Resolución 12
F : Juegan fútbolV : Juegan voleibol
• Sea “x” el número de alumnos que practican los 2 de-portes.
60
F = 40 V = 36
40-x 36-xx
Practican los dos deportes
Del gráfico:
(40 - x) + x + (36 - x) = 60
76 - x = 60
x = 16
∴ 16 alumnos practican los 2 deportes
Rpta. E
Resolución 13
100
A = 60 G = 80
60 - x 80 - xx
# de alumnos que practicansólo uno de estos cursos
A : practican álgebraG : practican geometría
• Sea “x” el n° de alumnos que practican A y G, entonces
n° de alumnos que practican sólo A = 60 - x
n° de alumnos que practican sólo G = 80 - x
Sea “x” el número de personas que bailan salsa y rock
Entonces:
n° de personas que sólo bailan rock = 60 - x
n° de personas que sólo bailan salsa = 65 - x
Del gráfico:
(65 - x) + x + (60 - x) = 100
125 - x = 100
x = 25
∴ No bailan rock: 65 - 25 = 40 personasRpta. A
Resolución 16
E : estudianT : trabajan
• Sea x el número de personas que trabajan y estudian.
Entonces:
n° de personas que sólo estudian = 45 - x
n° de personas que sólo trabajan = 48 - x
Del gráfico:
(45 - x) + x + (48 - x) + 8 = 70
101 - x = 70
x = 31
∴ Trabajan, pero no estudian:48 - 31 = 17 personas Rpta. C
100
S = 65 R = 60
65 - x 60 - xx
# de personas que no bailan rock
200
A = x- 80 B = 110
x 3080
# de lectores sólo de la revista A
110 - 80=30
32
B = 16 C = 25
4 1312
# de personas que nobailan ni cantan
25-12
x
16-12
• Finalmente:
n° de alumnos que practican sólo uno de estos cursos:
20 + 40 = 60
∴ 60 alumnos practican solamente un cursoRpta. A
Resolución 14
S : bailan salsaR : bailan rock
x+80
Del gráfico:
(60 - x) + x + (80 - x) = 100140 - x = 100
x = 40
Resolución 15
• Sea x el número de lectores sólo de la revista A.
Del gráfico:
x + 80 + 30 = 200
x + 110 = 200
x = 90
∴ Leen sólo la revista “A” 90 lectoresRpta. B
Resolución 17
Del gráfico:
32 = 4 + 12 + 13 + x
32 = 29 + x
x = 3
∴ El número de artistas que no bailan ni cantan es 3
Rpta. C
Resolución 18
E : n° de personas que estudianT : n° de personas que trabajan
Del gráfico:
7 + 3 + x + 15 = 40
25 + x = 40
x = 15
Por lo tanto:
n° de personas que realizan sólo unade las dos actividades:
7 + x = 7 + 15 = 22Rpta. D
Del gráfico:
(18 - x) + x + (20 - x) = 31
38 - x = 31
x = 7
∴ Solamente va a misa: 18 - 7 = 11 días Rpta. D
Resolución 19
M : n° de días que va a misaT : n° de días que va al teatro
El mes de diciembre siempre tiene 31 días.
• Sea “x” el número de días que asiste a ambos lugares,o sea a misa y al teatro
Entonces:
n° de días que va solamente a misa: 18 - x
n° de días que va solamente al teatro: 20 - x
200
M K
x zy
80
200
M K
50 40y
80
40
E=10 T = x+3
7 x3
15
# de personas que desarrollanuna de las dos actividades
10-3
M = 18
E = 10
Resolución 20
Inicialmente tenemos:
M : consumen mostaza
K : consumen ketchup
• A 120 no les gusta la mostaza
⇒ z + 80 =120 → z = 40
• A 130 no les gusta el ketchup
⇒ x + 80 =130 → x = 50
Luego
Del gráfico:
50 + y + 40 + 80 = 200
170 + y = 200
y = 30
∴ A 30 personas les gusta ambas salsas
Rpta. C
Nivel II
Resolución 1
Cálculos previos:
Sea “x” el número de personas que hablan ambos idio-mas, inglés y francés.
Entonces:
n° de personas que hablan inglés : 70
n° de personas que hablan francés : 2(70 - x)
Graficando:
Del gráfico:
(70 - x) + x + 2 70− −x x + 20 = 110
70 + (140 - 2x - x) + 20 = 110
70 + 140 - 3x + 20 = 110
230 - 3x = 110
120 = 3x
x = 40
∴ 40 personas hablan inglés y francés
Rpta. E
• Sea “x” el número de alumnos que nousan anteojos ni reloj.
Del gráfico:15 + 30 + 25 + x = 7570 + x = 75 → x = 5
∴ 5 alumnos no usan anteojos ni reloj
Rpta. C
* Si 70 personas no usan sombreros
⇒ 20 + z = 70 → z = 50
* Si 90 personas no usan anteojos:
⇒ y + z = 90
↓y + 50 = 90 → y = 40
Los que usan sombreros y anteojos son:
3U
4 ⇒
3x U
4=
El gráfico será:
Resolución 4
Si A ∪ B tiene 52 elementos
⇒ (42 - x) + x + (24 - x) = 52
66 - x = 52
x = 14
∴ A ∩ B tiene 14 elementos Rpta. C
Resolución 5
A : usan anteojosS : usan sombreroTenemos que:n° de personas que usan solamente anteojos: 20n° de personas que usan solamente sombreros: yn° de personas que usan anteojos y sombreros: x
n° de personas que no usan ninguno de los dos objetos: z
• Sea “x” el número de caballeros queusan corbata y anteojos al mismo tiem-po.
Según el enunciado vemos que:
* x = ( )1x y
3+ → x =
13
x + 1
y3
2 1x y
3 3=
2x = y
* x + z = 2x → z = x
Entonces:
Resolución 2
Sea el diagrama:
C : usan corbataA : usan anteojos
58
C A
y zx
10
58
C A
2x x
10
x
Resolución 3
Cálculos previos:
El total de los alumnos es 75, luego:
Usan reloj: ( )375
5= 45
Usan sólo anteojos: ( )175 25
3=
Usan anteojos y reloj: ( )275 30
5=
Graficando:
Del gráfico:
2x + x + x + 10 = 584x + 10 = 58
4x = 48x = 12
Luego:Usan corbata, pero no anteojos:2x = 2(12) = 24
∴ 24 personas usan corbata, pero noanteojos
Rpta. B
Resolución 6
Sabemos que:
* 32 personas no cantan, pero sí bailan
⇒ Sólo bailan 32 personas
* 24 personas no bailan, pero sí cantan:
⇒ Sólo cantan 24 personas
Del gráfico:
20 + 34
U + 40 + 50 = U
110 + 34
U = U
110 = U4
→ U = 440
∴ Usan sombrero y anteojos:
( )3440 330
4= Rpta. D
• Sea “x” el número de personas que cantan y bailan
Entonces:
n° de personas que no cantan ni bailan: 2x
Del gráfico:
24 + x + 32 + 2x = 80
56 + 3x = 80
3x = 24
x = 8
∴ No cantan ni bailan:
2(8) = 16 personas Rpta. C
Resolución 7
Cálculos previos:
Población = 120 personas
Sean:
C:n° de personas que les gusta la carne.
P: n° de personas que les gusta el pollo.
- No les gusta la carne ni el pescado:
( )1120 30
4=
- Les gusta la carne: ( )1120 60
2=
- Les gusta el pescado: ( )5120 50
12=
Graficamos:
120
C = 60 P = 50
60 - x 50 - xx
30
• Sea “x” el número de personas que gusta del pescadoy la carne.
Entonces:
n° de personas que sólo les gusta la carne: 60 - x
n° de personas que sólo les gusta el pescado: 50 - x
Del gráfico:
(60 - x) + x + (50 - x) + 30 = 120
140 - x = 120
x = 20
Luego:
Las personas a las que no les gusta el pescado: sóloles gusta la carne o no les gusta ninguno de los 2 pro-ductos.
∴ No les gusta el pescado: 30 + 60 - 20 = 70 personas Rpta. D
Resolución 8
Tenemos que:
A = 30 + x B = 4x
30 3xx
10
120
4x - x
El gráfico será:
Del gráfico:
x + 20 + 2x + (x + 10) = 90
30 + 4x = 90
4x = 60
x = 15
Luego:
Las personas que no estudian: sólo trabajan o no estu-dian ni trabajan.
20 = 2x → x = 10
∴ Leen ambas revistas 10 personasRpta. A
Resolución 10
• Sea “x” el número de personas que no usan corbata nianteojos.
Entonces:
Los que no usan corbatas son los que sólo usan ante-ojos o los que no usan ni corbata, ni anteojos.
⇒ 10 + x = 3(17)
10 + x = 51
x = 41
Del gráfico:
U = 10 + 6 + 17 + x
↓U = 10 + 6 + 17 + 41
U = 74
∴ Hay 74 profesores reunidos Rpta. D
A = 16 C = 23
10 176
x
U
Resolución 9
• Sea “x” el número de personas que leen la revista A yB.
Entonces:
n° de personas que no leen ninguna de estas revistas:3x
Si 80 personas no leen “A”
No estudian:
2x + (x+10) = 3x + 10 = 3(15) + 10 = 55
personasRpta. B
∴
E : estudianT : trabajanDonde:
Personas que sólo estudian: x
Personas que sólo trabajan: y
Personas que no estudian ni trabajan: z
Según el enunciado: y = 2x
También: ( )1z y 20
2= +
↓
( )1z 2x 20
2= +
z = x + 10
Entonces, leen solo “B” o no leen ninguna revista.
⇒ 80 = (60 - x) + 3x
80 = 60 + 2x
Resolución 11
Cálculos previos:
40 no conocen Brasil, entonces:
40 conocen sólo Argentina o no conocen ninguno delos 2 países.
⇒ 40 = 30 + (Los que no conocen ninguno de los 2países.
Conocen sólo Argentina
10 = n° de personas que no conocen ninguno de los2 países.
• Sea “x” el número de personas que conocen Argentinay Brasil.
Entonces:
n° de personas que conocen sólo Brasil: 3x
Del gráfico:
30 + x + 3x + 10 = 120 40 + 4x = 120 4x = 80
x = 20
⇒ 3x = 3(20) = 60
∴ 60 personas conocen sólo BrasilRpta. C
Además:
n° de alumnos que les gusta lenguaje
= y + 12
= x
62
− + 12 ⇒ =
x6
2+
= 28
6 202
+ =
∴ A 20 alumnos les gusta lenguajeRpta. A
62
M = x + 12 L = y + 12
x y12
x2
P = 30 C = 40
30 - x 40 - xx
y
100
# de obreros que van conpolo o con camisa
• Del enunciado:
x + 12 = 2(y + 12)
x 122+
= y + 12 ⇒ x
6 y 122
+ = +
x
6 y2
− =
Del gráfico: x + 12 + y + x2
= 62
x + 12 + x
62
− +
x2
= 62
2x + 6 = 622x = 56
x = 28
Resolución 13
• Sea “x” el número de obreros que van con polo y cami-sa.
Entonces:
n° de obreros que van sólo con polo = 30 - x
n° de obreros que van sólo con camisa = 40 - x
Del enunciado:
“60 van con polo o camisa”
⇒ 30 - x + 40 - x = 60
70 - 2x = 60
10 = 2x → x = 5
∴ 5 obreros van con polo y camisaRpta. A
Resolución 14
Resolución 12
Tenemos que:
Sabemos que:9 han sido aprobados sólo en Matemática5 han sido aprobados sólo en Física5 han sido aprobados en ambos cursosLuego:Han sido aprobados: 9 + 5 + 5 = 19
∴ 19 alumnos han sido aprobados en por lo menos 1curso.
Rpta. D
Resolución 15
Resolución 18
• Sea “x” el número de alumnos participantes en nata-ción y atletismo.
Entonces:
# de alumnos que participan sólo en natación = 30 - x
# de alumnos que participan sólo en atletismo = 20 - x
Luego:
“Los que participan en otros deportes, son el doble delos que participaron en natación solamente”
⇒ # de alumnos que participaron en otros deportes =2(30 - x)
Del gráfico:
(30 - x) + x + (20 - x) + 2(30 - x) = 80
110 - 3x = 80
30 = 3x → x = 10
∴ 10 alumnos participaron en natación y atletismoRpta. A
Resolución 19
• Sea “x” el número de personas que son actores y can-tantes.
Sea“x” el número de personas que consumen A y B
Entonces:
# de personas que consumen “B” = 3x
# de personas que consumen sólo “B” = 3x - x = 2x
Del gráfico.
40 + x + 2x + 50 = 141
90 + 3x = 141
3x = 51
x = 17
∴ No consumen “A”: 2x + 50 = 2(17) + 50 = 84 Rpta. D
• Sea “x” el número de personas que ven ambos cana-les.Entonces:# de personas que no ve ninguno de los dos canales =2xDel gráfico:12 + x + 18 + 2x = 45
30 + 3x = 45
3x = 15 → x = 5Sabemos que:No ven el canal “B”:Los que sólo ven “A” y los que no ven ninguno de los 2canales.O sea:No ven el canal “B”:
12 + 2x = 12 + 2(5) = 22 Rpta. B
Resolución 16
• Sea “x” el número de estudiantes que sólo postulan aCatólica (C).
Entonces:
# de estudiantes que postulan a San Marcos (SM)= 4x
# de estudiantes que postulan a ambas universidades= 4x - 70
Del gráfico:
70 + (4x - 70) + x = 1005x = 100
x = 20Reemplazamos: x = 20 en
4x - 70 → 4(20) - 70 = 10
∴ 10 estudiantes intentarán las 2 posibilidadesRpta. B
Resolución 17
B = 3x
Entonces:
# de personas que son actores = 40 + x
Sabemos que:
“Hay tantos cantantes como actores”
⇒ n° de personas que son cantantes = 40 + x
Del gráfico: 40 + x + 40 = 110
80 + x = 110
x = 30
∴ Son cantantes y actores 30 personasRpta. B
Resolución 20
Sabemos que:
• Los deportistas del club sólo practican fútbol y/obasquet. Si 90 personas no saben jugar basquet, en-tonces esas 90 personas juegan solamente fútbol.
⇒ n° de personas que practican sólo fútbol = 90
• Si 10 personas practican ambos deportes, entonces:
⇒ n° de personas que practican fútbol = 90 + 10 = 100
F = 100 B = 50
90 4010
50-10
Del gráfico:
n° de deportistas = 90 + 10 + 40 = 140
∴ En dicho club hay 140 deportistas
Rpta. E
• Si “El número de futbolistas es el doble del número debasquetbolistas”
⇒ n° de basquetbolistas = 100
502
=
Graficando:
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO CON TRES CONJUNTOS (Pág. 51, 52)
Resolución 1
F: n° de deportistas que paractican fútbol. B: n° de deportistas que practican basquet. V: n° de deportistas que practican voleibol.• Del gráfico 24 + 12 + 4 + 9 + x = 60
x = 11
∴ No practican ningún deportes: 11
Rpta∴∴∴∴∴ A
E: estudiantes que estudian español A: estudiantes que estudian alemán F: estudiantes que estudian francés• Me Piden:# de estudiantes que sólo estudian fran-cés: x• Del gráfico, tenemos: 7 + 3 + 2 + x = 42
x = 30 Rpta∴∴∴∴∴ B
F = 24 V = 2 5
V = 2 5
Resolución 2
E = 2 8 A = 3 0
F = 42
x
Resolución 3
C: n° de personas que leen el “Comercio”R: n° de personas que leen la “República”E: n° de personas que leen el “Expreso”• Del gráfico: 8 + 4 + 5 + 3 + 16 + x + 20 + 2 = 59
58 + x = 59 x = 1
Me piden:# de personas que leen el “Expreso”:
5 + 3 + x + 20 = 29 Personas
Rpta∴∴∴∴∴ C
C: n° de madres que saben costura
R: n° de madres que saben respotería
T: n° de madres que saben tejido
• Del gráfico:
n° de madres que sólo saben costura: 7n° de madres que sólo saben respostería: 9n° de madres que sólo saben tejido: 11
Piden: 7+9+11= 27 madres Rpta∴∴∴∴∴B
Resolución 6
Piden:
n° de lectores que prefieren la revista A, pero no la
B = 20+12 = 32 Lectores Rpta∴∴∴∴∴D
Resolución 8
M: n° de alumnos que estudian matemática
G: n° de alumnos que estudian geografía
L: n° de alumnos que estudian literatura
Piden: n° de alumnos que estudian por lo menos dos cursos
= 40 + 10 + 60 + 40 = 150
Rpta∴ C
Del gráfico: 20 + 2 + x + 9 – x + 3 + x = 38 34 + x = 38
x = 4Piden: n° de estudiantes que usaban anteojos, saco y corbata
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C
5
x espectadores
M = 1 0 0 G = 2 4 0
L = 19 0
X = 5 0
S = 1 9A = 1 8
C = 2 0
V = 25
A = 47
C = 65
B = 53
15
Ι : n° de estudiantes que llevan Inglés.Q : n° de estudiantes que llevan Química.M : n° de estudiantes que llevan Matemática
• Del gráfico Total de alumnos: 70+5+10+10= 95
Rpta∴∴∴∴∴ E
Resolución 4
Resolución 5
I = 70 Q = 40
M = 40
R = 47C = 43
T = 58
Resolución 7
O: n° de personas que reciben medalla de oroP: n° de personas que reciben medalla de plata
B: n° de personas que reciben medalla de bronce
• Del gráfico:
130 + 10 + 20 + 15 + x = 285
x = 110
Piden: # de espectadores = 110 personas
Rpta∴∴∴∴∴C
Resolución 9
C 4 = 3 4 C 5 = 3 4
C 2 = 5 2
Resolución 10
Del gráfico:52 + 10 + x + 12 – x + 5 + x + 40 = 129
119 + x = 129 x = 10
Me piden: El n° de Televidentes que ven los 3 canales es 10
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ E
Del gráfico:90 + 20 + 20 + 15 + x = 150
145 + x = 150 x = 5
Resolución 11
El n° de personas que no consumen ninguna salsa es 5
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ A
El n° de personas que consumen sólo ketchup es 15
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D
X
80
Resolución (para los problemas: 11 al 22)
Resolución 12
Resolución 13
El n° de personas consumen solamente mostaza es 45
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B
Resolución 14
Del gráfico:
consumen sólo mayonesa : 20consumen sólo mostaza : 45consumen sólo ketchup : 15
∴ 80 personas consumen sólo una de las tres salsas
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C
Resolución 15
Del grafico:
consumen sólo mostaza : 45consumen sólo mostaza : 10
y mayonesa
∴ 55 personas consumen mostaza pero no ketchup
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ A
Resolución 16
El # de personas que consumen mayonesa y ketchup, perono mostaza es 20
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D
Resolución 17
El # de personas que consumen ketchup o mostaza, perono mayonesa:
15 + 5 + 45 = 65
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C
Resolución 18
Del grafico:
consumen sólo mayonesa : 10y mostaza
consumen sólo mayonesa : 20y ketchup
consumen sólo mayonesa : 5y mostaza
Por lo tanto :
35 personas consumen sólo las 2 salsas Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B
Resolución 19
Del gráfico:
consumen sólo dos salsas : 35
consumen tres salsas : 30
Por lo tanto:65 personas comunes por lo menos dos salsas
Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B
Resolución 20
Del grafico:
consumen sólo mayonesa mostaza : 45no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :
50 personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup
Rpta.: B
Resolución 21
Del grafico:
consumen sólo mostaza : 45consumen sólo ketchup : 15consumen mostaza y ketchup : 5no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :
70 personas no consumen mayonesa Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D
Resolución 22
Del grafico:
consumen sólo mayonesa: 20consumen sólo ketchup : 15consumen mayonesa y ketchup : 20no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :
60 personas no consumen mostaza Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C
CAPÍTULO N° 2
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS NATURALES (Pág. 95, 96, 97, 98)
NIVEL I
Resolución 1 Tenemos:
MinuendoSustraendo
==
156
* Me piden:
Diferencia = minuendo − sustraendoDiferencia = 15 − 6Diferencia = 9 Rpta.: B
Resolución 2 Tenemos:
"n es mayor que
n
8
8>
y menor que
n
15
15
"
<
∴ 8 < n < 15 Rpta.: E
Resolución 3 Veamos:
• x = 3 3 3 324
+ + + +...veces
x = 3 × 24 x = 72
• y = 2 2 2 236
+ + + +...veces
y = 2 × 36 y = 72
• z = 4 4 4 418
+ + + +...veces
z = 4 × 18 z = 72
* Ahora, tenemos:
xyz
===
727272
∴ x = y = z Rpta.: D
∧
Resolución 4 Veamos:
I) 5 × 1 = 5 ← P. Elemento Neutro
II) a·3 = 3·a ← P. Conmutativa
III) 7 (m + n) = 7m + 7n ← P. Distributiva
∴ Tenemos: Elememto NeutroConmutativaDistributiva
Rpta.: A
Resolución 5 Me piden:
S = 1487 + 1489 + ... + 1493
S = (1 + 3 + 5 + .... + 1493) − (1 + 3 + 5 + ... + 1485)
* Sabemos:1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2
* Ahora:
• 1493 = 2(747) − 1• 1485 = 2(743) − 1
S = [1 + 3 + ... +(2×747 − 1)] − [1 + 3 + ...(2×743 − 1)]
S = 7472 − 7432 = (747 + 743)(747 − 743)
S = (1490)(4) = 5960
∴ S = 5960 Rpta.: C
Resolución 6 Veamos:
Cifras = 4; 3; 7 #mayor = 743
* Ahora, me piden:
K = 999 − # mayor = 999 − 743 = 256
mayor número de 3 cifras
∴ k = 256 Rpta.: E
Resolución 7 n°s llevados
* Completando: 1 1 12 4 6 8 +3 1 6 23 5 1 09 1 4 0
* Me piden:
Σ = 3 + 4 + 6 + 0 = 13 Rpta.: C
Resolución 8 Tenemos:
• x = 7x
• x = x2 − 1
* Me piden:
K = 5 + 7 = (7×5) + (72 − 1)
K = 35 + 48 = 83 Rpta.: D
Resolución 9 Me piden:
k = − °27 4 33 ·
k = (3)·(4) − 1 = 11 Rpta.: B
Resolución 10 Me piden:
x = − + − −7 14 3 2 18 1212 4
x = 49 − 14 + 3[16 − (18 − 11)]
x = 49 − 14 + 3 [16 − 7]
x = 49 − 14 + 3·9
x = 49 − 14 + 27 = 49 − 41 = 8
∴ x = 8 Rpta.: A
Resolución 11 Veamos:
Residuos llevados3 43 4 6 ×
8 2 7 6 8
Resolución 12 Tenemos:
k = 200009 = (2 × 104)9 = 29 × 1036
k = 29 × 10 36
Cant. de ceros de “k”
∴ Cant. ceros = 36 Rpta.: D
* Me piden:
Σ = 3 + 6 + 7 = 16
S = 16 Rpta.: D
Resolución 13 Veamos:
• a = + +27 343 1443 3
a = 3 + 7 + 12 = 22
∴ a = 22
• b = +9 122 2
b = + = =81 144 225 15
∴ b = 15
* Me piden:
k a b= + − = + − = =1 22 15 1 36 6
k = 6 Rpta.: E
Resolución 14 Veamos:
• 53 · 57 = 5m
510 = 5m m = 10
• (23)4 = 2n
212 = 2n n = 12
* Me piden:
m + n =10 + 12 = 22 Rpta.: B
Resolución 15 Veamos:
12
12 veces
x 3 3 3...3 3• = ⋅ ⋅ =
x = 312
15
15 veces
y 2 2 2...2 2• = ⋅ ⋅ =
y = 215
* Me piden:
x y6 5 126 1553 2+ = +
x y6 5
126
155
3 2+ = +
2 36 5x y 3 2 9 8 17+ = + = + =
∴ x y6 5 17+ = Rpta.: B
Resolución 22 Tenemos:
RecorridoCaballo 12 kmAuto 45 kmPie 3 kmFerrocarril (12 + 45) km
* Me piden:
RecorridoTotal
= 12 + 45 + 3 + (12 + 45)
RecorridoTotal
= 117 km Rpta.: D
Resolución 19 Veamos:
Cant. alumnos
437 = 13k + 8
Cant. hojas sobrantesCant. hojas a c/u
∴ 437 13 39 33 ← k 47 39 8
Cantalumnos
.
= k = 33 Rpta.: D
∴Cant.
árboles = 145 × 145 = 21 025
Rpta.: B
Resolución 16 Veamos:
• a ax4 =
a ax8 =∴ x = 8
• a15 : a3 = a y
a12 = a y
∴ y = 12
* Me piden:
x + y = 8 + 12 = 20 Rpta.: A
Resoución 17 Me piden:
( )22 23A 0 4 0 6 := + ° + +
216 3 32 2 33 5− + °× ×
A = (0 + 1 + 0)2 + 36 : (6 − 3×2 + 2×1)
A = 12 + 36 : 2
A = 1 + 18 = 19
∴ A = 19 Rpta.: D
Resolución 18 Me piden:
Costo inicial
Ganancia = 80 × 2 − 90
Cantidad Precio
Ganancia = 160 − 90 = 70
Rpta.: C
Resolución 20 Tenemos:
Resolución 21 Veamos:
Sueldo
• Ahorro deVíctor
= 1600 − 970 = 630
Gastos
Sueldo
• Ahorro deHelmer
= 1870 − 1300 = 570 (+)
Gastos
Ahorrototal
= 630 + 570 = 1200 Rpta.: A
Resolución 23 Tenemos:
Cant. DineroJuan 320 = 320Jorge 2 × 320 = 640Enrique 320 + 2×320 = 960
* Me piden:
DineroTotal
=320 + 640 + 960
DineroTotal
= S/. 1920 Rpta.: A
• Venta = 34 =× ×2 100 150
Cant. manzanas por c/cajón
Cant. cajones Precio de venta de c/manzana
* Me piden:Ganancia = venta - costoGanancia = 150 − 60 = 90
∴ Ganancia = S/. 90 Rpta.: C
Longitud = 10 + (2×10 + 3×10) + 2×10Longitud = 10 + (20 + 30) + 20Longitud = 10 + 50 + 20
∴ Longitud = 80 cm Rpta.: A
Resolución 25 Veamos:
Costo = 2×30 = 60
Costo de c/cajónCant. de cajones
• # Paquetes = 80
• # Cajas = 1
* Luego:
Pesototal
= (# paquetes)
Pesoc / paquete
+
Peso1caja
Pesototal
= (80)(2) + (10) = 170 kg
Resolución 24 Veamos:
Resolución 27 Veamos:
Resolución 26 Tenemos:
CostoCama S/. 450Colchón S/. 90Almohada S/. 15
* Luego:
Costoalumno
×
= 450 + 90 + 15 = 555
* Me piden:
Costototal
=
Númeroalumnos
×
Costo
alumno
×
Costo
total
= 130 × 555 = 72 150
Rpta.: B
* Además:
• Transporte
1kg
= S/. 3
* Me piden:
Transportetotal
=
Transporte1kg
·
Pesototal
Transportetotal
= (3) × (170) = 510
Transportetotal
= S/. 510 Rpta.: D
Resolución 28 Sea: C =# de conejosP = # de pavos
* Luego:
• # de cabezas = 23 C + P = 23 P = 23 − C .... (I)
• # de patas = 76 4C + 2P = 76 ... (II)
* Reemplazando (I) en (II):∴ 4C + 2(23 − C) = 76
2C + 46 = 762C = 30 C = 15
* Me piden:
Cant. conejos = C = 15 Rpta.: E
Resolución 29 Sea:
x = cant. bancas para 6 personasy = cant. bancas para 4 personas* Luego, dato:
• Cant. total de bancas = 40
x + y = 40 y = 40 − x ... (I)
• Cant. personas = 208
6x + 4y = 208 ... (II)
* Reemplazando (I) en (II):
6x + 4(40 − x) = 208
2x + 160 = 208
2x = 48 x = 24
* Me piden:
Cant. bancas para
6 personas
= x = 24 Rpta.: A
* Dato:
• q = 13
r1 r1 = 3q
• r1 = 5r2
3q = 5r2 r2 = 35
q
* Sabemos:
• r1 + r2 = Divisor
3q + 35
q = 72 185
q = 72
Resolución 3 Sea:
R Cant bolas rojasA Cant bolas azules
==
..
* Luego, dato:
• R + A = 20 A = 20 − R .... (I)
• 3(A − 4) = (R − 4)
Pierde 4 bolas
3A − 12 = R − 4 ... (II)
* Reemplazamos (I) en (II):
3(20 − R) − 12 = R − 4 60 − 3R −12 = R − 4
52 = 4R R = 13
* Me piden:
Cant. bolas rojas = R = 13 Rpta.. D
Resolución 30 Sabemos:
D = d · q + r División inexacta
D = (17)(3) + 9 = 60 D = 60
* Me piden:
k = D + d = 60 + 17 = 77 Divisor Dividendo
∴ k = 77 Rpta.: B
Resolución 31 Tenemos:
Cosecha = 17 562 kg
* Luego:
• Chuño = 12
cosecha = 12
(17 562)
Chuño = 8781
• Resto = 17 562 - 8781 = 8781
Resto = 8781
* Además:
• Resto = 48 k + regalo ; k ∈ +
8781 = 48k + regalo
∴ 8781 48 48 182 ← k : Cant. sacos 398 384 141 96 45 ← Regalo
* Me piden:
kg. de regalo = 45 Rpta.: D
Resolución 32 Veamos:
• División por • División por defecto exceso
D 72 D 72 q (q + 1)
r1 r2
Resolución 1 Tenemos:
• Minuendo = 16
• Sustraendo = 9 D1 = 16 − 9 = 7
* Luego:
• Minuendo’ = 16×3 = 48
• Sustraendo’ = 9 + 25 = 34
D2 = 48 – 34 = 14
* Ahora:
D1
=
=
7
142
DSe duplica Rpta.: A
Resolución 2 Sea: n = número
* Luego: n·31 = 3999 n = 129
* Me piden: M = n×13 = 129×13 = 1677
∴ M = 1677 Rpta.: B
NIVEL II
q = 20
* Además:
D = d·q + r
D = (72)(q) + r1D = (72)(q) + 3q D = 75q
* Como q = 20:
D = 75(20) = 1500
Dividendo = D = 1500 Rpta.: A
3n + n = 60 n = 15 AB = 3n = 45
Resolución 4 Sea:
P Edad del padreH Edad del hijo
==
* Luego:
• P + H = 47• P − H = 23 (+)
2P = 70 P = 35
* Me piden:
Edad delpadre
= P = 35 años Rpta.: D
Resolución 5 Me piden:
Aumenta 1 unidad
∆ = (47 + 1)(38 + 1) − 47 × 38
∆ = 47 × 38 + 47 + 38 + 1 − 47 × 38 = 86
∴ ∆ = 86 Rpta.: A
Resolución 6 Veamos:
* Ahora:
∴(k + 1)(9) = AB = 45
k + 1 = 5 k = 4
* Me piden:
Cant. cortes = k = 4 Rpta.: C
Resolución 7 Sea:
n = cant. personas que no pagan
* Luego:
( )150050 15 n 1500
15 + − =
Personas que paganDinero aumentadoDinero que debía pa-gar c/persona
(100 + 50)(15 − n) = 1500
150(15 − n) = 1500
15 − n = 10 n = 5
* Me piden:
Cant personasque no pagan
.
= n = 5 Rpta.: E
•
(n − 1)(25) = 1000
(n − 1) = 40 n = 41
•
Resolución 8 Veamos:
(k − 1)(40) = 1000
(k − 1) = 25 k = 26
* Me piden:
Cant. postes = n + k = 41 + 26 = 67
Cant. postes = 67 Rpta.. E
Resolución 9 Sea:
n Cant. pasajeros al iniciok Cant. pasajeros que bajan
==
* Luego, dato:
• n − k + 3k = 27 ... (I) Cant. pasajeros finales
“Por cada 1 que baja, suben 3”.
Cant. personas que pagaron.
• (n + 3k) × 25 = 950 .... (II)
Recaudación Precio - pasaje - Cant. personas que pagaron
n k k
n k
− + =+ =
3 27
3 25 950( )×
n + 2k = 27 n + 3k = 38
−k = −11 k = 11
* Reemplazando en:
n + 2k = 27
n + 2(11) = 27 n = 5
* Me piden:
Cant pasajerosal inicio.
= n = 5
Rpta.: B
* Dato:
• G + E = 15 G = 15 − E ... (I)
Partidos ganados y empatados
• 3G + 1E = 27 ... (II) Puntaje por empate. Puntaje por ganado.
* Reemplazando (I) en (II):
• 3(15 − E) + E = 27 45 − 2E = 27
2E = 18 E = 9
En: G = 15 − E = 15 − 9 G = 6
* Me piden:
E − G = 9 − 6 = 3 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
Resolución 13 Veamos:
• Tengo = 450 + 60 tengo = 510
* Ahora:
• Televisor = 900
Falta = televisor − tengo Falta = 900 − 510 = 390
∴ Falta = S/. 390 Rpta.: E
* Por propiedad:
(#vueltas C1)(#dientes C1)
= (#vueltas C2)(#dientes C2)
x·51 = 15· 119
x = 35 vueltas Rpta.: C
80t = 10000 × 1
t = 125 min : 2h · 5 min
∴ Tiempo de
llenado
= t = 2h · 5 min. Rpta.: C
Agua Tiempo 80 → 1 min. 10 000 → t
Resolución 11 Tenemos:
A#B = 3·A2 – 2 · AB + 5
* Me piden:
2#8 = 3·22 − 2· 2 8· + 5
2#8 = 3·4 − 2· 16 + 52#8 = 12 − 8 + 5 = 9
2#8 = 9 Rpta.: A
Resolución 12 Veamos:
Resolución 14 Veamos:
A B 6 ← cociente exacto0
* Además:
• A = 3×6 A = 18
• A = 6B 18 = 6B B = 3
* Me piden:A − B = 18 − 3 = 15
Rpta.: E
Resolución 15 Sea:
C Cant cerdosG Cant gallinas
==
..
* Luego:
• C + G = 58 cant. cabezas
G = 58 − C ... (I)
• 4C + 2G = 36 + 2×58 ... (II) cant. patas
* Reemplazando (I) en (II):
4C + 2(58 − C) = 36 + 2×58
2C = 36 C = 18
* Me piden:
Cant. cerdos = 18 Rpta.: A
Resolución 16 Sea:
G # partidos ganados
E # partidos empatados
= =
* Luego:
• 1 partido ganado → 3 puntos
• 1 partido empatado → 1 punto
Resolución 18 Sea:
A Cant adultosN Cant niños
==
..
* Además:
• Entrada adulto → S/. 3
• Entrada niño → S/. 1
* Luego:
• A + N = 752 cant. espectadores
A = 752 − N ... (I)
• 3A + 1·N = 1824 ... (II) recaudación
* Reemplazando (I) en (II):
3(752 − N) + N = 1824 2256 − 2N = 1824
432 = 2N N = 216
En: A = 752 − N = 752 - 216 A = 536
* Me piden:
A − N = 536 − 216 = 320 Rpta.: A
Resolución 17 Sea:
m Cant niñosn Cant niñas
==
.
.
* Luego:
• 3m + 2n = 100 cant. galletas
n = 50 − 32
m .... (I)
• m + n = 45 ... (II) cant.niños y niñas
* Reemplazando (I) en (II):
m m+ −
=50
32
45
52
= m m = 10
En: n m= − = − =5032
5032
10 35
n = 35
* Me piden:
Cant. niñas = n = 35 Rpta.. B
Resolución 19 Sea:
x Cant motosy Cant bicicletasz Cant triciclos
===
.
.
.
* Luego:• x + y + z = 119 ... (I) cant. vehículos• 2x + 2y + 3z = 294 ... (II)
• 2x = 70 x = 35
Ruedas
* Ahora:
• (II) − 2 (I):
2 2 3 2942 2 2 238
x y zx y z
+ + =+ + =
z = 56
* Me piden:
Canttriciclos
.
= z = 56 Rpta.: D
Resolución 20 Veamos:
• a = + − +76 32 45 16
a = + −76 32 49
a = + = =76 25 81 9
a = 9
• b = 49 49 49 3433333 ·
b = 49 49 49 7333 · ·
b = 49 49 733 · ·
b = =49 7 73 · b = 7
* Me piden:
K a b= −2 25
K = − = − = =9 7 81 49 32 22 25 5 5
∴ k = 2 Rpta.: B
4
7
5
7
7
Resolución 21 Veamos:
• 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 9 9 1
245
×( )+ =
• 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 8 8 1
236
×( )+ =
• 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 7 7 1
228
×( )+ =
• 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 6 6 1
221
×( )+ =
* Ahora:
S = 1 + 12 + 123 + 1234 + ... + 12 ... 9
* Reemplazando (I) en (II):22(46 − y) + 28y = 11741012 − 22y + 28y = 1174
6y = 162
y = 27
* Me piden:
Cant días deldo empleo
.2
= y = 27 Rpta.: D
* Luego, dato:
• (x + y) ·12 + x y+
3
· 1 = 666
373
666x y+ =
x + y = 54 ... (I)
• 8x + 5y = 285 ... (II)
Pago por manzanas deliciasPago por manzanas chilenas
* De (I) : x + y = 54 x = 54 − y ... (III)
* Reemplazando (III) en (II):
8(54 − y) + 5y = 285
432 − 8y + 5y = 285
147 = 3y y = 49
En: x = 54 − y = 54 − 49 x = 5
* Me piden:
Cant manzanaschilenas.
= x = 5 Rpta.: E
Por cada 3docenas le re-galan 1 unidad
Cant. manzanas
Número llevados 4 14 1 2
3 1 2 32 1 2 3 4
1 . . . 6 7 8 9 . . . 4 2 0 5
* Me piden: 4 ultimas
cifras
= 4205 Rpta.: A
Resolución 22 Sea:
M Cant de moscasA Cant de arañas
==
..
* Además, dato:
• M + A = 30 cant. invertebrados
M = 30 − A ... (I)
• 6M + 8 A = 220 ... (II)# patas de 1 araña# patas de 1 mosca
* Reemplazando (I) en (II):
6(30 − A) + 8A = 220
180 − 6A + 8A = 220
2A = 40 A = 20
* Me piden:
Cant. arañas = A = 20 Rpta.: C
Resolución 23 Sea:
x Cant días del er empleoy Cant días del do empleo
==
..
12
* Luego:
• x + y = 46 cant. días
x = 46 − y ... (I)
• 22x + 28y = 1174 ...(II)
Pago diario del 2do empleo Pago diario del 1er empleo
. . .
. . .
. . .
. . .
Resolución 24 Sea:
P = M1 × M2
* Luego; dato:
• P + 420 = (M1 + 15) × M2
M1×M2 + 420 = M1×M2 + 15M2
420 = 15M2
M2 = 28
* Me piden:
Multiplicador = M2 = 28 Rpta.: E
Resolución 25 Sean los números: m; n
* Luego:
• m − n = 328 m = n + 328 ... (I)
• m n m = 12n + 20 ...... (II) 20 12
* Reemplazando (I) en (II):
n + 328 = 12n + 20
308 = 11n n = 28
En: m = n + 328 m = 28 + 328
m = 356
* Me piden:
m + n = 356 + 28 = 384 Rpta.: B
Resolución 26 Sea:
x Cant docenas de manz chilenasy cant docenas de manz delicias
==
. .. .
Resolución 27 Sea el número: n
* Luego:
651 n
11 q 651 = nq + 11
n·q = 640 ; n > 11
n·q = 27 × 51
∴ Cant.(n) = C·D·(27·51) − 1; 2; 4; 5; 8; 10
Cant.(n) = (7 + 1)(1 + 1) − 6
Cant. (n) = 16 − 6 = 10
Cant.(n) = 10 Rpta.: D
Resolución 28 Veamos:
A B A B
7 5 1 6
* Propiedad:
Σ Residuos = Divisor
7 + 1 = 8 B= 8
* Ahora:
• A = 5B + 7
A = 5(8) + 7 A = 47
* Me piden:
A + B = 47 + 8 = 55 Rpta.: A
Resolución 29 Tenemos:
m * n = 3m + 2n - 2 6mn
* Me piden: k=(12*2) * (2*3)
k = + −
3 12 2 2 2 6 12 2× × × × *
3 2 2 3 2 6 2 3× × × ×+ −
k = (36 + 4 − 24) * (6 + 6 − 12)
k = 16 * 0 = 3 ×16 + 2 × 0 − 2 6 16 0× ×
k = 48 + 0 − 0
∴ k = 48 Rpta.: D
Resolución 30 Me piden:
( )33 3k 3 2 0 625 : 125 · 5= +
− −3 243 4 1442 5 · :
(6−1)
Divisiónpor defecto
División
por exceso
k = 3(0 + 5)3 : 5·5 − (9 − 3)·4:12
k = 3·53 : 52 - 24 : 12
k = 3·5 − 2 = 13
∴ k = 13 Rpta.: A
Resolución 31 Sea:
n Cant de estudiantesk Cant de bancas
==
..
* Luego:
n kn k
== +
86 5( )
0 = 2k − 30 k = 15
En:
• n = 8k n = 8(15) = 120 n = 120
* Me piden:
Cant. estudiantes = n = 120 Rpta.: E
Resolución 32 Tenemos:
• 1 botella → 3 gatitos o 2 gatos
* Ahora:
• Tengo = 18 botellas 12123
14
gatitos botellas
queda botellas
⇒
⇒ =
∴ Queda = 14 botellas x gatosx
botellas⇒ 2
142
= x x = 28 gatos Rpta.: C
Resolución 33 Veamos:
Al final
• 15(7 + 3) + 1(7) = 157
15(7) + 15(3) + 1(7) = 157
∴ Cant pasosretroceso
.
= 15(3) = 45
Rpta.: C
(−)
1 Subida de7 pasos
Sube pasos ybaja pasos
73
Cant. pasosde retroceso
* Me piden:
a·b + d = 3·8 + 1 = 25
a·b + d = 25 Rpta.: B
∴ 642(8) = 418 = 1534(6) Rpta.: E
CAPÍTULO N° 3
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SISTEMA DE NUMERACIÓN (Pág.144, 145, 146)
NIVEL I
Resolución 1 Tenemos:
• abc × 4 492= abc = 123 abc
===
123
• mn × 5 65= mn = 13 mn
==
13
* Me piden:
k = (a + b + c)m+n = (1 + 2 + 3)1+3
k = (6)4 = 1296 Rpta.: B
Resolución 2 Veamos:
1000(m) = 729
m3 + 0·m2 + 0·m + 0 = 729 m3 = 729
m = 9
* Me piden: m = 9 Rpta.: C
Resolución 3 Veamos:
• 220012(3) = 2·35 + 2·34 + 0·33 +0·32 + 1·3 + 2
220012(3) = 2(243) + 2(81) + 3 + 2
220012(3) = 653 Rpta.: B
Resolución 4 Veamos:
ab
a b
×9
0
ab a b× 9 0= (10a + b)·9 = 100a + b 90a + 9b = 100a + b 8b = 10a
ab
= 45
a kb k
==
45
* Para:
k = 1 ab
= == =
4 1 45 1 5
( )( )
a + b = 9
* Me piden: a + b = 9 Rpta.: C
Comparamos
Resolución 5 Tenemos:
(6) (9)10ab 307= .... (I)
* Ahora:
• 307(9) = 3·92 + 0·9 + 7 = 250
307(9) = 250
•250 = 1054(6)
1054(6) = 307(9)
* En (I):
10ab(6) = 307(9)
∴ a = 5 ∧ b = 4
* Me piden: a − b = 5 − 4 = 1 Rpta.: D
Resolución 6 Veamos:
abab
d
56
194
+
1a 5 6
b a 8
d 1 9 4
+
* Unidades:• 6 + b = ... 4 = 14 b = 8 llevo 1
* Decenas:
• 1 + 5 + a = ... 9 = 9 a = 3
* Centenas:
• a + b = d1 3 + 8 = d1
11 = d1 d = 1
Resolución 7 Veamos:
• # mayor = 642(8) = 6×82 + 4×8 + 2 = 418
# mayor = 418
* Ahora:
•
(a − c) = 5°
a − c = 5
* Reemplazando:
99(5) = xy5 495 = xy5 xy = 49
* Me piden:
xy yx+ = + =49 94 143 Rpta.. B
3443 = 2650 (11)
∴ Ultima cifra = 0 Rpta.: A
Resolución 9 Tenemos:
N = 243(8) = 2×82 + 4×8 + 3 = 128 + 32 + 3 = 163
∴ 243(8) = 163
Unidades
* Me piden: Unidades = 3 Rpta.: B
Resolución 10 Veamos:
abc cba xy− = 5
(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = xy5
99(a − c) = xy5
5°
. . .
. . .
. . .
. . .
Resolución 8 Veamos:
•
Resolución 11 Tenemos: a + b = 17
* Me piden:
S = ab ba+S = (10a + b) + (10b + a)S = 11(a + b)= 11(17) = 187
∴ S = 187 Rpta.: A
Resolución 13 Veamos:
3(5) + 33(5) + 333(5) = aba( )5
1 3(5) +
1 3 3(5)
3 3 3(5)
4 2 4(5) = aba( )5 ab
==
42
* Me piden:
a·b = 4×2 = 8 Rpta.: C
Resolución 12 Tenemos:
ab ba xy− =
(10a + b) − (10b + a) = xy
9(a − b) = xy
2 18 x + y = 1 + 8 = 9
3 27 x + y = 2 + 7 = 9
8 72 x +y = 7 + 2 = 9
∴ x + y = 9 Rpta.: E
Resolución 14 Tenemos:
abc cba mn− = 2
abccba2mn
− concluimos que: c < a
Entonces:• c + 10 − a = n a − c= 10 − n ... (1)• b − 1 + 10 − b = m m = 9• a − 1 − c = 2 a − c = 3 ... (2)
Reemplazamos (2) en (1):
a − c = 10 − n3 = 10 − n n = 7
Me piden: m2 + n2 = 92 + 72 = 81 + 49 = 130
∴ el valor de m2 + n2 =130 Rpta.: A
abcmn
abc xnabc xm
×
Resolución 15 Tenemos:
abc m× = 3485 y abc n 5576× =
Me piden: a b cm n
×
5 5 7 63 4 8 54 0 4 2 6
Entonces el valor de abc × mn = 40426
Rpta.: B
Resolución 16 Tenemos:
mn3 3nm a95− =que m > 3
3 + 10 − m = 5 m = 8
Como “n” le presto 10 a 3:
n − 1 + 10 − n = 9 9 = 9
Como “m” le presto 10 a n:
m − 1 − 3 = a m − 4 = a
Como: m = 8 8 − 4 = a a = 4
Me piden: aa mm+ 44 + 88 = 132
∴ El valor de aa mm+ = 132 Rpta.: C
Igualamos:
• 9 − a = b a + b = 9
• 7 = a − 1 a = 8
Reemplazamos “a”:
8 + b = 9 b = 1
Me piden: 2a + 3b = 2(8) +3(1) = 19
∴ El valor de 2a + 3b = 19 Rpta.: D
Resolución 23 Tenemos:
35 0 7b baa( ) ( )=
Como: a > 5 y a < 7
Los valores de “a” se encuentran en:
5 < a < 7 a = 6
Reemplazamos en: 35 606 7b b( ) ( )=3(6)2 + 5(6) + b = (72)b + 6(7)
138 + b= 49b + 42 96 = 48b
2 = b
Entonces: a + b = 6 + 2 = 8
∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: C
Resolución 17 Tenemos:
1 3 6mnp mnp( ) ( )=
1(3)3 + m(3)2 + n(3) + p = m(6)2 + 6n + p 27 + 9m + 3n = 36m + 6n 27 = 27m + 3n
9 = 9m + n 0 9 1 0
Pero como: 0 < m < 3 m = 1; 2
el valor de m = 1 y n = 0
Como: m ≠ n ≠ p y p < 3 : p = 0; 1; 2
y como m = 1 y n = 0 p = 2
Me piden: m +n + p = 1 + 0 + 2 = 3
∴ El valor de m + n + p = 3 Rpta.: A
Resolución 18 Me piden:
( )( )8C.A. 5416
( )( )( )( )7 5 7 4 7 1 8 6− − − − 2362(8)
∴ El ( )( )8C.A. 5416 = 2362(8)
Resolución 19 Tenemos:
C.A(256) + C.A(4820) = C.A a bc0 9 2 9 5 10 6 9 4 9 8 10 2 0− − − + − − −
= −10 04 a bc
744 + 5180 = 104 − a bc0
5924 = 10000 − a bc0
4076 = a bc0
a = 4 ; b = 7 y c = 6 a + b+ c = 17
∴ El valor de a + b + c = 17 Rpta.: B
Resolución 20 Tenemos:
C A ab ba a. 3 1 = −
9 9 10 3 1− − − = −a b ba a 9 9 7 1− − = −a b ba a
Resolución 21 Tenemos:
aba1 66659
( )( )
=
aba1 6 9 6 9 652
( ) ( ) ( )= + +
aba1 5465( ) =
(5) (5)aba1 4141=
Igualamos:
a = 4 y b = 1 a + b = 5
∴ El valor de a + b = 5 Rpta.: C
(5)
(5)
(5)
(5)
Resolución 22 Tenemos:
2411(a) = 1 6bac( )
Como: 2411 > 1bac a < 6 pero como a > 4
Los valores de “a” se encuentran en:
4 < a < 6 a = 5
2411(5) = 1 5 6b c( )
2(5)3 + 4(5)2 + 1(5) + 1
= 1(6)3 + b(6)2 + 5(6) + c
250 + 100 + 6 = 216 + 36b + 30 + c
110 = 36b + c
Los valores: b = 3 y c = 2
Me piden: a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10
∴ El valor de a + b + c = 10 Rpta.: D
Resolución 24
Número de 2 cifras: ab
Planteamos:
( )6C.A ab ab 229− =
( )26 10 ab ab 229− − =
600 6ab ab 229− − =
7ab 371= ab 53=
a + b = 5 + 3 = 8
∴ La suma de cifras ab a b 8= + = Rpta.: B
Resolución 25 Tenemos:
abc6 1abc 2 · abc= +
( )3abc10 6 1 10 abc 2abc+ = + +
7 994abc =abc = 142
Los valores de:
a = 1 ; b = 4 y c = 2
∴ El valor de abc = 142 Rpta.: A
Resolución 26 Tenemos:
169 22 8· ( )x nx=Operamos:
169x = 2(8)3 + 2(8)2 +n(8) + x169x = 1024 + 128 + 8n + x168x − 8n = 115221x − n = 144
Los únicos valores que cumplen con “x” y “n” son:
x = 7 y n = 3
Me piden: n·x = 3·7 = 21
∴ El valor de n·x = 21 Rpta.: E
Resolución 27 Tenemos:
( )( )
( )( )( )( )( )( )
C.A 2n m 3 x nn8
9 2n 9 m 3 10 x nn8
9 2n 12 m 10 x nn8
− =
− − + − =
− − − =
Igualamos:
• 9 − 2n = n 9 = 3n n = 3
• 12 − m = n 12 = m + n ; reemplazamos “n”
12 = m + 3 m = 9
• 10 − x = 8 x = 2
Me piden: m·n + x = 9·3 + 2 = 29
∴ El valor de m·n + x = 29 Rpta.: C
Resolución 28 Tenemos:
abab( )( )
79
1331=
El 1331(9) en base 10:
1331(9) = 1(9)3 + 3(92) + 3(9) + 1 = 729 + 243 + 27 + 1
1331(9) = 1000
Lo pasamos a base 7:
(7)(9)1331 2626=
abab( ) ( )7 72626=
Los valores de “a” y “b”:
a = 2 y b = 6
Me piden: 2a + b = 2(2) + 6 = 10
∴ El valor de 2a + b = 10 Rpta.: B
Resolución 29 Nos dicen:
C A abba nnn. ( ) ( )8 8 =
Resolvemos:
7 7 7 8 8 8− − − − =a b b a nnn ( ) ( )
Como:nnn( )8 es de 3 cifras
7 − a = 0 a = 7
Como:
8 − a = n 8 = a + n ; reemplazamos “a”:
8 = 7 + n n = 1
También:
7 − b = n 7 = n + b ; reemplazamos “n”:
7 = 1 + b b = 6
Me piden: a·n + b = 7(1) + 6 = 13
∴ El valor de a·n + b = 13 Rpta.: A
Resolución 30 Tenemos:
abc cba xyz( ) ( ) ( )7 7 7− =
Deducimos que: a > c
abc
cba
xyz
( )
( )
( )
7
7
7
−
Operando la resta:
• “b” le presta a “c” y se resta con “a”:
c + 7 − a = z c − a + 7 = z
a − c = 7 − z ......................... (α)
• “a” la presta a “b” y se resta con “b”:
b − 1 + 7 − b = y y = 6
• Como “a” le prestó a “b” quedaría (a − 1):
a − 1 − c = x a − c = x + 1 ..... (β)
Resolución 5
Número de 2 cifras: ab ; donde: b > a
Planteamos:
ba ab xy− =10b + a − (10a + b) = xy
9b − 9a = xy 9(b − a) = xy .... (α)
Pero me dicen que la diferencia de sus cifras es 5:
b − a = 5 .... (β)
Remplazamos (β) en (α):
9(5) = xy 45 = xy
∴ La cantidad que aumenta es 45 Rpta.: B
Reemplazamos (α) en (β):
x + 1 = 7 − z x + z = 6
Entonces tenemos que: y = 6 ; x + z = 6
Me piden: (9)(9) (9)zxy xz2 y83+ +
Reemplazamos “y”:
zx xz6 2 6839 9 9( ) ( ) ( )+ + =
(9)
(9)
(9)
(9)
zx6
xz2
683
1462
+
* c×9 = ... 5; el único valor sería c = 5
llevaría : 4
* b×9 + 4 = ... 1; el único valor que cumpliría seríab = 3 llevaría 3
* a×9 + 3 = mm ; el valor de a = 7
El valor de m sería 6;
m = 6
Me piden: a + b + c + m = 7 + 3 + 5 + 6
a + b + c + m = 21
∴ El valor de a + b + c + m = 21 Rpta.: B
Sumando en base (9); sabiendo quex + z = 6.
NIVEL II
Le pasamos en for-ma horizontal:
2 3 1abc abc× =2 10 3 10 13 + = +abc abc
6000 3abc 10abc 1+ = +
5999 = 7abc
857 = abc
Los valores de: a = 8 ; b = 5 y c = 7
Me piden: a + b + c = 20
∴ El valor de a + b + c = 20 Rpta.: C
abc
mm
×
9
15; analizamos la multiplicación:
∴ El valor de zxy(9) + xz2(9) + y83(9) = 1462(9)
Rpta.: E
Resolución 1 Tenemos:
2 abc3
abc 1
×
Resolución 2 Tenemos:
abc mm× 9 15=
Lo ponemos en posición vertical:
Resolución 3 Tenemos:
ab ba( ) ( )11 13=11(a) + b = 13(b) + a
10a = 12b10a − 12b = 0 5a − 6b = 0
Dando valor a “a” y “b” obtenemos:
a = 6 y b = 5
Me piden: 2a + 3b = 2(6) + 3(5) = 27
∴ El valor de 2a + 3b = 27 Rpta.: D
Resolución 4 Tenemos:
3 46b a b( ) ( )=
Analizando: 3 4b a<
Su base de 3b es mayor que su base
de 4a : 6 > bPero tambien: 4 < b < 6
b < 4 b = 5
Reemplazamos en la numeración:
35(6) = (5)4a
3(6) + 5 = 4(5) + a 23 = 20 + a a = 3
Me piden: a + b = 5 + 3
a + b = 8
∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: D
Me piden: abc abc xy
103 × abc abc xy+
103 × abc xy abc xy +
Reemplazamos abc xy :
103 × 51285 + 51285
51285000 + 51285 = 51336285
Suma de cifras: 5+1+3+3+6+2+8+5 = 33
∴ Suma de cifras de abc xy = 33 Rpta.: A
Resolución 6 Tenemos:
ab ba× = 252
10(a) + b 10(b) + a = 252
100 ab + 10b2 + 10a2 + ab = 252
10(a2 + b2) + 101 ab = 252
Analizando: ab = 2 y a2 + b2 = 5
Me piden: a + b
Pero: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a + b)2 = 5 + 2(2)
(a + b)2 = 9 a + b = 3
∴ El valor de a + b = 3 Rpta.: A
Resolución 7 Tenemos:
1 3112 5a
a( ) ( )=
Por propiedad:
a + 2 + a = 31(5)
2a + 2 = 3(5) + 1 a = 7
∴ El valor de a= 7 Rpta.: E
Resolución 8 Tenemos:
abc xy = 51285
Resolución 9 Me dicen:
ab ba m n= + −( )2
ab ba m n− = −( )2
Restamos:
* b + 10 − a = n − 2 a − b = 12 − n ... (α)
* a − 1 − b = m a − b = m + 1 .... (β)
Igualamos (α) y (β):
12 − n = m + 1 11 = m + n
Me piden: mn nm+ = mnnm
+
12 1
∴ El valor de mn nm+ = 121 Rpta.: A
Resolución 10
Número de 2 cifras: ab
Planteamos:
ab ab0 648− =ab ab× 10 648− =
9 648ab = ab = 72
∴ El número es ab = 72 Rpta.: B
Resolución 11
Número de 2 cifras: ab
Planteamos: ab ab2 524− =ab ab× 10 2 524− − =9 522ab = ab = 58
Suma de cifras: a + b = 5 + 8 a + b = 13
∴ El valor de a + b = 13 Rpta.: C
Resolución 12 Tenemos:
aa b3 35( ) =
(52)a + 5(a) + 3 = 10(b) + 3
30a + 3 = 10b + 3
30a = 10b 3a = b
Me dicen: a + b = 12 ; reemplaza “b”:
a + 3a = 12 4a = 12 a = 3
Entonces: b = 3(3) b = 9
Me piden: b − a = 9 − 3 b − a = 6
∴ El valor de b − a = 6 Rpta.. D
Resolución 13 Tenemos:
( )( ) ( )a a bc− + =3 5 6
( )( ) ( )a a b c− + = +3 5 6
10(a − 3) + a+ 5 = 6b + c10a − 30 + a + 5 = 6b + c11a − 25 = 6b + c11a = 6b + c + 25
De acuerdo con el problema sabemos:
a > 3 y que a + 5 < 10 a < 5
Va estar comprendido: 3 < a < 5
a = 4Reemplazamos:
11(4) − 25 = 6b + c ; b < 6 ∧ c < 6
19 = 6b + c
Los valores de b y c: b = 3 ∧ c = 1
Suma: a + b + c = 4 + 3 + 1 = 8
∴ La suma de valores de a + b + c = 8
Rpta.: C
+
La suma de a + b = 5 + 3 a + b = 8
∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: A
• a − 1 − b = x (a − b) − 1= x ;Reemplazando: 8 − 1 = x x = 7Caso II:• d + 10 − c = y (c − d) − 10 = −y• c − 1 − d = 3 c − d = 4
Reemplazamos (c − d): 4 − 10 = −y y = 6Me piden: xx + yy + xy
77 + 66 + 76 = 219∴ El valor de xx + yy + xy = 219 Rpta.: D
Resolución 14 Tenemos:
abcd m× = 1416 ∧ abcd n× = 2848
Me piden: abcdmoon
n abcd
m abcd
×
×( )
×( )
28480000
000014161418848
→
→
Suma de cifras: 1 + 4 + 1 + 8 + 8 + 4 + 8 = 34
∴ La suma de cifras de abcd m n× 00 34=
Rpta.: A
Resolución 15 Tenemos:
888 8 9
88
... ×
cifras
; pasamos a posición vertical:
888 ... 8 × 9
79 .... 992 → (88 + 1) cifras 89 cifras
Suma de cifras: 7 + 9(87) + 2 = 792
∴ La suma de cifras del producto: 792
Rpta.: E
Resolución 16 Tenemos:
5(6) + 55(6) + 555(6) + ... + 555 ... 5(6)
Lo ubicamos en forma vertical
(6)
(6)
(6)
(6)
(6)
5
55
555 55 sumandos
55... 555 55 cifras
.............ab
+
→
• Para b:
5(55) = 275 ; lo llevamos a base 6
b = 5 ; llevamos 45
• Para a:
5(54) + 45 = 315 ; lo llevamos a base 6
a = 3
55 cifras
Resolución 17 Tenemos:
(4) (2m)m2n 1m5=
m(4)2 + 2(4) + n = 1(2m)2 + m(2m) + 5
16m + 8 + n = 4m2 + 2m2 + 5
3 = 6m2 − 16m − n .... (α)
Resolución 18 Veamos:
abc cba xy x− = −( )1 ; a > c
* “b” le presta a “c” y se resta con “a”:
c + 10 − a = (x − 1) a − c = 11 − x .... (α)
* “a” le presta a (b − 1) y se resta con “b”:
b − 1 + 10 − b = y y = 9
* (a − 1) se resta con “c”:
a − 1 − c = x a − c = x + 1 ... (β)
Igualamos(α) y (β): 11 − x = x + 1
10= 2x x = 5
Reemplazo “x” en (β): a − c = 5 + 1 a − c = 6
Me piden: (x + y)(a − c) = (9 + 5)(6) = 84
∴ El valor de (x + y)(a − c) = 84
Rpta.: D
Resolución 19 Tenemos:
ab ba xI
− = 2 ∧ cd dc y
II
− = 3
Caso I:
• b + 10 − a = 2 → a − b = 8
Sabemos: m < 4 ∧ 2m > 5 m > 2,5
Deducimos: 2,5 < m < 4 m = 3
Reemplazamos “m” en (α):
3 = 6(3)2 − 16(3) − n3 = 54 − 48 – n n = 3
Me piden: m·n = 3×3 = 9
∴ El valor de m×n = 9 Rpta.: D
Resolución 20 Tenemos:
xyy y y x( ) ( )( )( )9 71 1= + +
x(9)2 + y(9) + y = (y + 1)(7)2 + (y + 1)(7) + x 81x + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + x 80x − 46y = 56 40x − 23y = 28 40x = 23y + 28
Deduciendo los valores de “x” e “y”:x = 3 ∧ y = 4
Resolución 21 Tenemos:
545(b) ; 7 3 8a ( ) ; 6 5b a( )
Analizamos:
* Con “a”: a < 8 ∧ a > 5 5 < a < 8Valores de “a”: 6 y 7
* Con “b”: b > 5 ∧ b < a 5 < b < a• Si “a” valiera 6 b no existe• Si “a” vale 7 b = 6
Por lo tanto: a = 7 ∧ b = 6Reemplazamos: 545(6) ; 773(8) ; 665(7)
* 545(6)
* 773(8) base 10 = 507 a base 6 = 2203(6)
* 665(7) a base 10= 341 a base 6 = 1325(6)
∴ El menor numeral en base 6 es 545(6)
Rpta.: B
Me piden: 3 4 9 16 25 52 2 + = + = =
∴ El valor de x y2 2 5+ = Rpta.: D
Resolución 22 Tenemos:
(9) (9)abc 888× = ....825(9)
En posición vertical: a b c( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
......
9
9
9
9
9
9
8 8 8
5 6 55 6 5
5 6 5
8 2 5
* (9) (9) (9)abc 8 565× =
Pero:
• 8(9) = 8 8(9) = 8
• 565(9) = 5×92 + 6×9 + 5 565(9) = 464
* Reemplazando en (I):
abc( ) ×9 8 464= ( )9 (9)abc 58 64= =
a = 0 ; b = 6 ; c = 4 a + b + c = 10
Rpta.: D
Multiplicamos: .....825(9)
Resolución 23 Tenemos:
C A a C A a C A a a. . .1 2 1 2 1 9284 + + =
C.A(10 + a) + C.A [2(10a + 1)] +C.A [2(102a + 10 + a)] = 9284102 − 10 − a + 103 − 20a − 2 +104 − 200a − 20 − 2a =9284
11100 − 32 − 223a = 9284 11068 − 223a = 9284
223a = 1784 a = 8
Me piden: C.A aa C.A (88) 100 − 88 = 12
∴ El valor de C.A aa = 12
Rpta.: C
Resolución 24 Tenemos:
cd rs× = 2430 ∧ c + r = d + s
Factorizamos 2430:
2430 21215 3 2×3×3×3 = 54 405 3 135 3 45 3 3×3×5 = 45 15 3 5 5 1
cd rs× = 243054 ×45 = 2430 y cumple: 5 + 4 = 4 + 5
Los valores de c y d son: c = 5 y d = 4 ∧ r = 4 y s = 5
Reemplazamos:
C A abcd pqrs. = +1
C A ab pq. 54 45 1 = +
(9 a)(9 b)46 pq45 1− − = +
(9 a)(9 b)46 pq45 1− − − =
( )( )9 9 4645
0 0 01
− − −a bp q
Analizando:
* 9 − b = q 9 = b + q
* 9 − a = p 9 = a + p
Me piden: a + b + p + q = a + p + b + q a + b + p + q = 9 + 9 a + b + p + q = 18
∴ El valor de a + b + p + q = 18 Rpta.: D
Analizando:
* a − c = 4 ... (β)(9 − a)96 = 99(4)
( )9 96 396− =aEntonces: 9 − a = 3 a = 6Reemplazamos “a” en (β):
6 − c = 4 c = 2Me piden: a + c = 6 + 2 a + c = 8∴ El valor de a + c = 8 Rpta.: A
Resolución 28 Tenemos:
m m abc00 07( ) =
73×(m)+m = abc × 10
(73 + 1)m = abc × 10(344)m = abc × 10
34,4 × m = abc
Para que sea entero abc se le debe multiplicar 34,4 por 5 m = 5
34,4 × 5 = abc
172 = abc Los valores de:
a = 1 ; b = 7 ; c = 2 y m = 5Me piden: a + b + c + m = 1 + 7 + 2 + 5 = 15∴ El valor de a + b + c + m = 15
Rpta.: E
Planteamos: abc cba( ) ( )7 9=72×a + 7×b + c = 92×c + 9×b + a
49a + 7b + c = 81c + 9b + a
48a = 2b + 80c
48(5) = 2(0)+ 80(3)
Los valores que toman a; b y c son:a = 5 ; b = 0 y c = 3
El numeral es:
abc( )7 = 503(7) = 5(7)2 + 0(7) + 3 503(7) = 248
Lo pasamos a base 5:
( )7 (5)abc = 248=1443
∴ El valor de abc7 en base 5 = 1443(5)
Rpta.: B
Resolución 25 Tenemos:
C A abc cba a. − = 04
Resolvemos: C A abc cba a. − = 04
[ ]C.A 100a 10b c 100c 10b a a04+ + − − − =
C A a c a. ( )99 04− =
10 99 043 − − =( )a c a
1000 a04 99(a c)− = −
( ) ( )9 96 99− = −a a c
Resolución 26 Número de 3 cifras: abc
Resolución 27 Veamos:
(n) (8)abab 335=
2(n)abab 3 8 3 8 5= × + × +
2(n) (n)ab ·n ab 221+ =
2 2(n)ab ·(n 1) 13 (4 1)+ = × +
2 2(n) (4)ab ·(n 1) 31 ·(4 1)+ = +
* Comparando:
• (n) (4)ab 31= a = 3 ; b = 1 ; n = 4
• n2 + 1 = 42 + 1 n = 4∴ a = 3 ; b = 1; n = 4
* Me piden:• (a + b)n = (3 + 1)4 = 44 = 256
(a + b)n = 256 Rpta.: C
30 cifras
2
Resolución 29 Tenemos:
abb3 20 abb 7 1abb 120+ × = ⋅ −
abb abb abb( ) ( )10 3 20 7 110 1203+ + = + − 30 3 7000 7 120abb abb+ = + −23 6877abb =abb = 299
Los valores de a = 2 y b = 9
Me piden: C.A bab C.A(929) = 1000 − 929 = 71
C.A bab = 71
∴ El valor de C.A bab = 71 Rpta.: A
Resolución 30 Me dan:
342(6) × 555 .... 555 (6)
555 ... 555(6) × 342(6)
1555 ... 5554 31 cifras 3555 ... 555 31 cifras 2555 ... 5553 31 cifras 3415 ... 555214 33 cifras
Sumamos las cifras: 3 + 4 + 1 + 27(5) + 2 + 1 + 4Suma de las cifras: 150
∴ La suma de las cifras: 150 Rpta.: D
CAPÍTULO N° 4
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE DIVISIBILIDAD (Pág. 169, 170, 171)
NIVEL I
Resolución 1
* Sea: n = 7
n = 7k ; k ∈
* Luego: 1 ≤ n ≤ 60
1 ≤ 7k ≤ 60
k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
∴ Cant.(n) = cant.(k) = 8 Rpta.: B
Resolución 2 Sea:
n = 4°
n = 4k ; k ∈
* Luego: 1 ≤ n ≤ 80 1 ≤ 4k ≤ 80 k = 1; 2; 3; ...; 20 cant.(k) = 20
∴ cant.(n) = cant(k) cant.(n) = 20
* Me piden:
Cant. #s
no 4
°
= 80 − cant.(n) = 80 − 20 = 60
Cant. #s
no 4
°
= 60 Rpta.: C
Resolución 3 Sea:
n = 6°
n = 6k ; k∈
* Luego: 30 ≤ n ≤ 100 30 ≤ 6k ≤ 100
k = 5; 6; 7; ... ; 16 cant.(k) = 12
* Me piden:
cant.(n)= cant.(k) = 12 Rpta.: A
4
4
Resolución 4 Veamos:
N = 30 = 2×3×5 = 2· [31 × 51]
cant. divisores 2°
cant. Div. (N) ← 2°
= (1 + 1)(1 +1) = 4
∴ cant. Div. (N) ← 2°
= 4 Rpta.: C
Resolución 5 Veamos:
N = 72 = 23 · 32 = 2·[22·32]
cant. div. pares =(2+1)(2+1)
cant. div. pares = 9
Cant.Div.(N) = (3 + 1)(2 + 1) = 12
Cant. Div.(N) = 12
* Me piden:
Cant. Div. impares = Cant. Div.(N) − Cant. Div. pares
Cant. Div. impares = 12 − 9
∴ Cant. Div. impares = 3 Rpta.: B
Resolución 6 Veamos:
N a a a a a= = + =( )2 10 2 12
N = 3×22 ×a N = 2°
; 3°
; 4°
; 6°
; 12°
∴ N no es divisible por 5 Rpta.: C
Resolución 15 Veamos gráficamente:
A∩B ← ( × )3 4°
= 12
* Luego, dato: 1 ≤ n ≤ 40
* Para números 3
:
* Como:
a ← cifra
a 3 0 1 1
a 3 1 1 4
a 3 2 1 7
= × + = = × + = = × + =
∴ Cant. valores (a) = 3 Rpta.: C
Resolución 8 Tenemos:
n = 2°
∧ 3°
n = 6°
n = 6k ; k ∈
* Luego: 36 < n < 84 36 < 6k < 84 k = 7; 8; 9; ... ; 13
Cant. (k) = 7
* Me piden:
Cant.(n) = cant.(k) = 7 Rpta.: C
Resolución 9 Veamos:
N = 63 = 32 × 71
* Me piden:
Cant. Div.(N) = (2 + 1)(1 + 1) = 6
∴ Cant. div(N) = 6 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
• 60 = 22 × 31 × 51
Cant. Div.(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12
Cant. Div.(60) = 12
• 80 = 24 × 51
Cant. Div(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10
Cant. Div(80) = 10
* Me piden:
∆ = Cant. Div(60) − Cant. Div(80)
∆ = 12 − 10 = 2
∆ = 2 Rpta.: B
Resolución 11 Veamos:
3 4 9a a =°
Σ cifras 3 4 9a a =°
3 + a + 4 + a = 9°
2a + 7 − 9 = 9°
− 9 = 9°
2(a − 1) = 9°
a − 1 = 9°
∴ A = 9°
+ 1
* Como: a ← cifra a = 9×0 + 1 = 1
∴ a = 1 Rpta.: A
Resolución 12 Veamos:
36 = 22 · 32 = 3·[22 × 31]
Cant. Div.(36) ← 3°
= (2 + 1)(1 + 1) = 6
∴ Cant. Div.(36) ← 3°
= 6 Rpta.: C
– + – +
Resolución 7 Veamos:
•a a1 3=°
Σ cifras a a1 3 =°
a + 1 + a = 3°
2a + 1 − 3 = 3°
− 3 = 3°
2(a − 1) = 3°
a − 1 = 3°
a = 3°
+ 1
Resolución 13 Veamos:
45 = 32 × 51
Cant. Div.(45) = (2 + 1)(1 + 1) = 6
Cant. Div.(45) = 6
* Me piden:
Cant. Div.(45) > 5 = cant. div.(45) − 1; 3; 5
Cant. Div.(45) > 5 = 6 − 3
∴ Cant. Div.(45) > 5 = 3 Rpta.: B
Resolución 14 Veamos: a 5 a 1 11°
=
−a + 5 − a + 1 = 11°
−2a + 6 = 11°
−2(a − 3) = 11°
a − 3 = 11°
a = 11°
+ 3
* Como: a ← cifra a = 11×0 + 3 = a = 3
Rpta.: D
Resolución 16 Veamos:
• Quitando “6”: N = 315
3 + 1 + 5 = 9 = 9
( )• Quitando “3”: N = 615
6 + 1 + 5 = 12 ≠ 9
( X )
• Quitando “1” : N = 635
6 + 3 + 5 = 14 ≠ 9
( X )
• Quitando “5”: N = 631
6 + 3 + 1 = 10 ≠ 9
( X )∴ Quitamos la cifra “6” Rpta.: D
n = 3k ; k∈
1 ≤ n ≤ 40
1 ≤ 3k ≤ 40
k = 1; 2; 3; ... ; 13
∴ Cant. #s ← 3
= 13
* Para los números 4°
:
n = 4k ; k ∈ 1 ≤ n ≤ 40
1 ≤ 4k ≤ 40
k = 1; 2; 3; ... ; 10
∴ Cant. #s ← 4
= 10
* Para los números 12
:
n = 12k ; k ∈ 1 ≤ n ≤ 40
1 ≤ 12x ≤ 40
k = 1; 2; 3
∴ Cant. #s ← 12
= 3
* Me piden:
Cant. #s ( 3
∨ 4
)= cant. #s ← 3
+ cant. #s ← 4
− cant. #s ← 12
Cant. #s ( 3
∨ 4
) = 20 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1 Sea:
n = 8°
n = 8k ; k∈
* Luego: 1 ≤ n ≤ 200 1 ≤ 8k ≤ 200 k = 1; 2; 3; ...; 25 cant.(k) = 25
* Me piden:cant.(n) = cant.(k) = 25 Rpta.: B
Resolución 2 Sea:
n = 7°
n = 7k ; k ∈ * Ahora: 1 ≤ n ≤ 400 cant. #s = 400
1 ≤ 7k ≤ 400 k = 1; 2; 3; ...; 57 cant(k) =57
∴ Cant.(n) = cant.(k) cant.(n) = 57
* Me piden: cant.#s no 7° = cant.#s – cant.(n)
cant. #s no 7° = 400 – 57 = 343
∴ Cant. #s no 7°
= 343 Rpta.: C
Resolución 3 Sea:
n = 9°
n = 9k ; k ∈
* Luego: 80 < n < 200 80 < 9k < 200k = 9; 10; ... ; 22 Cant.(k) = 14
* Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 14 Rpta.: D
Resolución 4 Sea el número: ab
* Luego; dato: ∆ = ab ba− ∆ = (10a + b) − (10b + a)
∆ = 9(a − b) = 9°
∴ ∆ siempre es múltiplo de 9 Rpta.: D
Resolución 5 Veamos:
120 = 23 ×3×5 = 2× [22×31×51]
Cant.Div.(120) pares = (2+1)(1+1)(1+1) = 12
∴ Cant. Div.(120)pares = 12 Rpta.: C
Resolución 6 Veamos:
180 = 22×32×51 = 2×[21×32×51]
Cant. Div.(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18
* Además:
Cant. Div.(180) pares = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12
* Me piden:
Cant. Div.(180)impares = Cant. Div.(180) − Cant. Div.(180) pares
Cant. Div.(180) impares = 18 − 12 = 6
∴ Cant. Div.(180) impares = 6 Rpta.: C
Resolución 12 Sea:
n = 11°
n = 11k ; k ∈
* Ahora; dato:
n ← 2 cifras 10≤ n ≤99
10 ≤ 11k ≤ 99
k = 1; 2; ... ; 9 cant.(k) = 9
∴ Cant.(n) = cant.(k) = 9 Rpta.: C
Resolución 13 Sea:
n ← 4°
∧ 5°
n = 20°
n = 20k ; k∈
* Luego: 200 < n < 400
200 < 20k 400
10 < k < 20 cant.(k) = 9
* Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 9
Rpta.: B
Resolución 14 Veamos: a 1 a 5 3 11°
=
a − 1 + a − 5 + 3 = 11°
2a − 3 + 11 = 11°
+ 11 = 11°
2(a + 4) = 11°
a + 4 = 11°
a = 11°
− 4
* Como: a ← cifra a = 11×1 − 4 = 7
∴ a = 7 Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
114 = 24 × 32
Div.(144) = 1; 2; 3; 6; ... ;72; 144
* Me piden: Divisores mayores
∆ Div. mayores = 144 − 72 = 72
∴ ∆ Div. mayores = 72 Rpta.: A
Resolución 16 Veamos gráficamente:
A∩B ← 3°
∧ 5°
A∩B ← 15°
+ – + – +
Resolución 8 Veamos:
72 = 23 ×32
Div(72) < 9 = 1; 2; 3; 4; 6; 8
∴ Cant. Div.(72) < 9 = 6 Rpta.: B
3
3
Resolución 7 Veamos:
160. = 25×51
Cant. Div.(160) = (5 + 1)(1 + 1) = 12
* Me piden:
Cant. Div.(160) > 16 = Cant. Div(160)
− 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16
Cant. Div.(160) = 12 − 7 = 5
∴ Cant. Div.(160) > 16 = 5 Rpta.: C
Resolución 9 Veamos:
N a a= ( )2 = 10(2a) + a = 21a
N = 3×7×a
7°
(múltiplo de 7)
3°
(múltiplo de 3)
∴ N es múltiplo de 3 y 7 Rpta.: D
Resolución 10 Veamos:
ab ←°5 (número de 2 cifras)
* Si:
• b = 0 a = 1; 2; ... ; 9 cant. ab = 9
• b = 5 a = 1; 2; ...; 9 cant. ab = 9
cant. total ab = 18
* Me piden:
Cant. total ab= 18 Rpta.: B
Resolución 11 Veamos: 2 56 3a =°
Σ cifras ( )2 a 5 63
=
2 + a + 5 + 6 = 3°
a + 12 + 1 = 3°
a + 1 = 3°
a = 3°
− 1
* Como:
a ← cifra a
a
a
= − =
= − =
= − =
3 1 1 2
3 2 1 5
3 3 1 8
×
×
×
* Luego:
Cant. valores (a) = 3 Rpta.: C
* Dato: 1 ≤ n ≤ 500
* Para los números 3°
:
n = 3k ; k ∈1 ≤ n ≤ 500
1 ≤ 3k ≤ 500
k = 1; 2; 3; ... ; 166
∴ Cant.#s ← 3
= 166
* Para los números 5°
:
n = 5k ; k ∈
1 ≤ n ≤ 500
1 ≤ 5k ≤ 500
k = 1; 2; 3; ...; 100
∴ Cant. #s ← 5°
= 100
* Para los números 15°
:
n = 15k ; k ∈ 1≤ n ≤ 500
1≤ 15k ≤ 500
k = 1; 2; 3; ... ; 33
∴ Cant. #s ← 15°
= 33
* Me piden:
Cant. #s (3°
∨ 5°
) = cant. #s ← 3
+ cant. #s ← 5
− cant. #s ← 15
Cant. #s ( 3
∨ 5
)= 166 + 100 − 33 = 233
∴ Cant. #s ( 3
∨ 5
) = 233 Rpta.: C
Resolución 17 Veamos gráficamente:
A∩B ← 3°
∧ 5°
A∩B ← 15°
* Dato: 120 < n < 800
* Para los números 15°
:
n = 15k ; k ∈ 120 < n < 800
120 < 15k < 800
k = 9; 10; 11; ... ; 53
∴ Cant. #s ← 15°
= 45
* Me piden:
Cant. #s (3°
∧ 5°
) = cant. #s ← 15°
= 45
∴ Cant. #s (3°
∧ 5°
) = 45 Rpta.: B
Resolución 18 Sea: n ← número
* Luego:
• n3 − n = n(n2 − 1)
n3 − n = n(n − 1)(n + 1)
n3 − n = (n − 1)(n)(n + 1)
#s consecutivos
* Por propiedad: (n − 1)(n)(n + 1) = 6°
n3 − n = 6°
Rpta.: B
Resolución 19 Veamos:
320 = 26×51 = 4×[24×51]
Cant. Div.(320) ← 4°
= (4 + 1)(1 + 1) = 10
∴ Cant. Div.(320) ← 4°
= 10 Rpta.: D
Resolución 20 Veamos: 16 8 7a a =°
−3 −6 + 2a + 24 + a = 7
3a + 15 = 7
3(a + 5) = 7
a + 5 = 7
a = 7
− 5
* Como:
a ← cifra aa
= − == − =
7 1 5 27 2 5 9
××
Rpta.: D
7
Resolución 21
Veamos: 8 6 33a bb =°
8 6 3a bb =°
.... (I)
8 6 11a bb =°
... (II)
* En (II): 8 6 11a b b =°
+ − + − +
8 − a + 6 − b + b = 11
−a + 11 + 3 = 11
(a − 3) = 11
a − 3 = 11
a = 11
+ 3
* Como: a ← cifra a = 11×0 + 3 a = 3
11
8 + 3 +6 + 2b = 3
2b + 18 − 1 = 3°
2b − 1 = 3°
2b − 1 + 3 = 3°
+ 3 = 3°
* Como: b ← cifra b 3 1 1 2
b 3 2 1 5
b 3 3 1 8
= × − = = × − = = × − =
* Si a = 3 ∧ b = 2 a + b = 5 (menor)
a = 3 ∧ b = 5 a + b = 8
a = 3 ∧ b = 8 a + b = 11
∴ Menor (a + b) = 5 Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 181, 182)
NIVEL I
Resolución 1 Veamos: 40 = 23 × 51
Cant. Div.(40) = (3 + 1)(1 + 1) = 8
∴ Cant. Div.(40) = 8 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos: 30 = 2 × 3 × 5
Div.(30)primos = 2; 3; 5
∴ Cant. Div.(30) primos = 3 Rpta.: B
Resolución 3 Veamos:
#s primos = 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43
∴ Cant. #s primos = 8 Rpta.: D
Resolución 4 Veamos:
∴ Mayor número primo = 59 Rpta.: D
Resolución 5 Veamos:
1200 = 24 × 31 × 52
Cant. Div.(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30
∴ Cant. Div.(1200) = 30 Rpta.: D
Resolución 6 Veamos:
* Me piden
Σ #s primos = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
Σ #s primos = 129 Rpta.: D
Resolución 7 Veamos:
• 56 = 23 × 71
Cant. Div.(56) = (3 + 1)(1 + 1) = 8
∴ Cant. Div.(56) = 8
• 80= 24 × 51
Cant. Div.(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10
∴ Cant. Div.(80) = 10
* Me piden:
∆ = Cant. Div.(80) − cant. Div.(56)∆ = 10 − 8 = 2
∆ = 2 Rpta.: A
Resolución 8 Veamos:
A = 21 × 32 × 51
Cant. Div.(A) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12
∴ Cant. Div.(A) = 12
* En (I): 8 6 3a b b =°
Σ cifras 8 6 3a bb =°
→ 8 + a + 6 + b + b = 3°
2(b + 1) = 3°
b + 1 = 3°
b = 3°
− 1
• B = 31 × 52 × 72
Cant. Div.(B) = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18
∴ Cant. Div.(B) = 18
* Me piden:
∆ = Cant. Div.(B) − Cant. Div.(A)∆ = 18 − 12 = 6
∆ = 6 Rpta.. C
Resolución 9 Veamos: 35 = 51 × 71
Σ Div.(35) = 5 1
5 17 1
7 1
1 1 1 1+ +−−
−−
·
Σ Div.(35) = 244
486
·
Σ Div(35) = 6 × 8 = 48 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
• 12(5) = 5 + 2 = 7 (# primo)
• 21(5) = 2 × 5 + 1 = 11 (# primo)
• 32(5) =3 × 5 + 2 = 17 (# primo)
• 43(5) = 4 × 5 + 3 = 23 (# primo)
• 52(5) = 5 × 5 + 2 = 27 (no es primo)
∴ No es primo 52(5) Rpta.: E
Resolución 11 Veamos:
130 = 21 × 51 × 131 = 5× [21 × 131]
Cant. Div.(130) ← 5°
= (1 + 1)(1 + 1) = 4
∴ Cant. Div.(130) ← 5°
= 4 Rpta.: C
Resolución 12 Veamos:
M = 12n × 8 = (22 × 3)n × 23
M = 22n + 3 × 3n
Cant. Div.(M) = [(2n + 3) + 1][n + 1]
Cant. Div.(M) = (2n + 4)(n + 1)
Cant. Div.(M) = 2(n + 2)(n + 1)
* Dato: Cant. Div.(M) = 60
2(n + 2)(n + 1) = 60
(n + 2)(n + 1)= 60
(n + 2)(n +1) = (4 + 2)(4 + 1)
* Comparando: n = 4 Rpta.: B
.
.
Resolución 13 Veamos:
72 = 23 × 32 = 2 × [21 × 31]2
Cant. Div(72)
cuadrados perfectos
= (1+1)(1+1) = 4
Cant. Div(72)
cuadrados perfectos
= 4 Rpta.: C
Resolución 14 Veamos:
56 = 23 × 7 = 2 ×[22 × 71]
Cant. # s que dividenexactamente a 56
y pares
= (2+1)(1+1)= 6
Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1 Veamos:
2 520 = 23 × 32 × 51 × 71
Cant. Div = (2520)=(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)
∴ Cant. Div.(2520) = 48 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
• 360 = 23 × 32 × 51
Cant. Div.(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24
∴ Cant. Div.(360) = 24
• 270 = 21 × 33 × 51
Cant. Div.(270) = (1+1)(3+1)(1+1) = 16
∴ Cant. Div.(270) = 16
• 180 = 22 × 32 × 51
Cant. Div.(180) = (2+1)(2+1)(1+1)= 18
∴ Cant. Div.(180) = 18
* Ahora:
• 520 = 23 × 51 × 131
Cant. Div.(520)=(3+1)(1+1)(1+1)= 16
∴ Cant. Div.(520) = 16
* Finalmente:
Cant. Div.(270) = Cant. Div.(520) = 16
Cant. Div.(520) = Cant. Div.(270)
Rpta.: B
Resolución 3 Veamos:
84 = 22 · 31· 71
Div.(84) = 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84
* Luego:
Div.(84) de 2 cifras=12; 14; 21; 28; 42; 84
Cant. Div.(84) de 2 cifras = 6 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
90 = 2·32·5
Div.(90)primos = 2; 3; 5
* Me piden: Cant. Div.(90)primos = 3
Rpta.: B
Resolución 11 Veamos:
• 35(7) = 3×7+5 = 26 (x)
• 24(7) = 2×7+4 = 18 (x)
• 52(7) = 5×7+2 = 37 (primo)
• 64(7) = 6×7+4 = 46 (x)
• 36(7) = 3×7+6 = 27 (x)
∴ Es un #primo: 52(7) Rpta.: C
Resolución 12 Tenemos:
k = 4a + 4a+3
k = 4a(1+43) = (22)a · (5×13)
k = 22a · 51 · 131
Cant. Div.(k) = (2a+1)(1+1)(1+1)
∴ Cant. Div.(k) = 4(2a + 1)
* Dato: Cant. Div.(k) = 28
4(2a + 1) = 28
2a + 1= 7 a = 3 Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
• N = 30n = (2×3×5)n = 2n×3n×5n
Cant. Div.(N) = (n+1)(n+1)(n+1)
∴ Cant. Div.(N) = (n+1)3
• M = 15·18n = (3×5)(32×2)n
M = 2n·32n+1·51
Cant. Div.(M)=(n+1)(2n+1+1)(1+1)
∴ Cant. Div.(M) = 4(n+1)2
* Dato: Cant. Div.(N) = 2×Cant. Div.(M)
(n+1)3 = 2·[4(n+1)2]
(n+1)3 = 8(n+1)2
(n+1) = 8 n = 7 Rpta.: C
* Reemplazando: a = 2 en w:
w = 9×102 = 900 w = 900
* Me piden: Cant. cifras(w) = 3
Rpta.: D
. . .
.
(1°)
Resolución 4 Veamos:
150 = 2·3·52 = 5·[21·31·51]
Cant.Div.(150) ← 5°
= (1+1)(1+1)(1+1) = 8
∴ Cant. Div.(150) ← 5°
= 8 Rpta.: C
Resolución 5 Tenemos: 3n − 2
Para:n = 1 3n − 2 = 3×1− 2=1n = 2 3n − 2 = 3 × 2 − 2 = 4n = 3 3n − 2 = 3 × 3 − 2 = 7
* Luego: 1er n° primo = 7 Rpta.: A
Resolución 6 Tenemos:
w = 9·10a = 32×(2×5)a = 2a×32×5a
Cant. Div.(w) = (a+1)(2+1)(a+1)Cant. Div.(w) = 3(a+1)2
* Dato:
Cant. Div.(w) = 27 27 = 3(a+ 1)2
9 = (a + 1)3 = a + 1 a = 2
Resolución 7 Veamos:
w = 200 ... 000
“n” ceros
w = 2×10n =2×(2×5)n
w = 2n+1·5n
Cant. Div.(w) = [(n+1)+1][n+1]
∴ Cant. Div.(w) = (n+1)(n+2)
* Dato: Cant. Div.(w) = 56
(n+1)(n+2) = (6+1)(6+2)
* Comparando: n = 6
∴ Cant. ceros = n = 6 Rpta.: C
Resolución 8 Tenemos:
w = 10·102·103 ... 10n
wn n n n n n
= =+ + +
10 2 51
21
21
2( ) ( ) ( )
×
* Dato: Cant. Div.(w) = 1369
n n n n( ) ( )+ +
+ +
=1
21
12
1 1369
n n( )+ +
=1
21 37
22
Resolución 9 Veamos:
720 = 24×32×51 = 6×[23×31×51]
Cant. Div.(720) ← 6°
=(3+1)(1+1)(1+1)
∴ Cant. Div.(720) ← 6°
= 16 Rpta.: D
n n( )+ + =1
21 37 n(n+1) = 72
n(n + 1) = (8)(8 + 1)
* Comparando: n = 8 Rpta.: E
Resolución 14 Veamos:
N = 52p + 52p+1 + 52p+2 + 52p+3
N = 52p·(1 + 51+ 52 + 53) = 52p·156
N = 22×31×52p×131
Cant. Div.(N) = (2+1)(1+1)(2p+1)(1+1)
∴ Cant. Div.(N) = 12(2p + 1)
* Dato: Cant. Div.(N) = 156 12(2p + 1) = 156
2p + 1= 13 p = 6 Rpta.: C
Resolución 15 Tenemos:
Cant. Div.(9×122n) − Cant. Div.(13×12n) = 33Cant.Div.(24n·32n+2)−Cant. Div.(22n·3n·13)=33 (4n+1)(2n+3)-(2n+1)(n+1)(1+1) = 33
8n2 + 14n + 3 − 4n2 − 6n − 2 = 334n2 + 8n + 1 = 334n2 + 8n − 32 = 0n2 + 2n − 8 = 0n + 4 n = −4(x)n − 2 n = 2 ( )
* Como: n > 0 n = 2
Rpta.: B
Resoluci.ón 17 Veamos:
240 = 24×3×5 = 20×[22×31]
Cant. Div.(240) ← 20°
= (2+1)(1+1) = 6
∴ Cant. Div.(240) ← 20°
= 6 Rpta.: C
Resolución 16 Tenemos:
• N = 32 · 5a
Cant.Div.(N) = (2 + 1)(a + 1) Cant.Div.(N) = 3(a + 1)
* Luego:• N’ = 32·5a·8
N’ = 32·5a·23
Cant.Div.(N’) = (2 + 1)(a + 1)(3 +1 ) Cant.Div.(N’) = 12(a + 1)
* Según dato:• Cant.Div.(N’) – Cant.Div.(N) = 4512(a + 1) – 3(a + 1) = 45
9(a + 1) = 45 a + 1 = 5 a = 4
* Me piden: a = 4 Rpta.: C
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (Pág. 185, 188)
Resolución 1
a) 10 − 25 5 2 5 M.C.D.(10; 25) = 5
b) 6 − 18 2 3 9 3 1 3 M.C.D.(6; 18) = 2×3 = 6
c) 8 − 15 18 − 15 M.C.D.(8; 15) = 1
d) 24 − 36 212 18 2 6 9 3 2 3 M.C.D.(24; 36) = 22×3 = 12
e) 40 − 100 220 50 210 25 5 2 5 M.C.D.(40; 100) = 22×5 = 20
f) 8 − 27 18 27 M.C.D(8; 27) = 1
g) 8 − 18 24 9 M.C.D(8; 18) = 2
h) 15 − 25 5 3 5 M.C.D.(15; 25) = 5
i) 6 – 8 23 4 M.C.D.(6; 8) = 2
j) 12 − 16 2 6 8 2 3 4 M.C.D.(12; 16) = 22 = 4
k) 11 − 12 111 12 M.C.D.(1; 12) = 1
l) 14 − 35 7 2 5 M.C.D.(14; 35) = 7
m) 100 − 60 2 50 30 2 25 15 5 5 3
M.C.D.(100; 60) = 25×5 = 20
n) 75 − 125 515 25 5 3 5 M.C.D(75; 125) = 52 = 25
q) 48 − 72 224 36 212 18 2 6 9 3 2 3 M.C.D.(48; 72) = 23×3 = 24
p) 85 − 68 17 5 4 M.C.D.(85; 68) = 17
r) 90 − 120 245 60 315 20 5 3 4 M.C.D.(90; 120) = 2×3×5 = 30
e) 135 − 245 5 27 49 M.C.D. = 5
f) 272 − 288 2136 144 2 68 72 2 34 36 2 17 18 M.C.D. = 24 = 16
g) 144 − 504 2 72 252 2 36 126 2 18 63 3 6 21 3 2 7 M.C.D. = 23×32 = 72
h) 950 − 425 − 800 5190 85 160 5 38 17 32 M.C.D. = 52 = 25
i) 560 − 320 2280 160 2140 80 2 70 40 2 35 20 5 7 4 M.C.D. = 24 ×5 = 80
Resolución 3 Me piden:
n = M.C.D.(162; 2040; 8976)
* Veamos:612 − 2040 − 8976 2306 1020 4488 2153 510 2244 3 51 170 748 17 3 10 44
M.C.D. = 22×3×17
∴ n = 22×3×17 = 204 Rpta
2
2
2
Resolución 2
a) 18 − 16 2 9 8 M.C.D.(18; 16) = 2
b) 28 − 35 7 4 5 M.C.D.(28; 35) = 7
c) 80 − 256 240 128 220 64 210 32 2 M.C.D.(8; 256) = 24=16 5 16
d) 240 − 360 − 480 2120 180 240 2 60 90 120 2 30 45 60 3 10 15 20 5 2 3 4
M.C.D.= 23×3×5 = 120
2
2
s) 150 – 270 2 75 135 3
25 45 5 5 9 M.C.D.(150; 270) = 2×3×5 =30
t) 450 − 360 2225 180 3 75 60 3 25 20 5 5 4
M.C.D.(450; 360) = 2×32×5 = 90
j) 120 − 72 − 96 2 60 36 48 2 30 18 24 2 15 9 12 3 5 3 4 M.C.D. = 23×3 = 24
k) 1200 − 1800 − 2200 2600 900 1100 2300 450 550 2150 225 275 5 30 45 55 5 6 9 11
M.C.D. = 23×52
M.C.D. = 200
l) 294 − 98 − 392 − 1176 2147 49 196 588 7 21 7 28 84 7 3 1 4 12
M.C.D = 2×72 = 98
Resolución 4 Veamos:
90 − 75 518 15 3 6 5
cant. chocolates para c/u cant caramelos para c/u
∴ Corresponde:
6 caramelos y 5 chocolates
Rpta
M.C.D.(9405; 6720) = 15
b)
M.C.D.(9009; 8613) = 99
c)
M.C.D.(50050; 12012) = 2002
d)
M.C.D.(75; 25) = 25
Resolución 5 Veamos:
a)
M.C.D.(80; 25) = 5
e)
M.C.D.(144;124) = 4
M.C.D. (200;124)= 4
f)
M.C.D.(300; 225) = 75
M.C.D.(250; 225) = 25
Resolución 6 Me piden:
n = M.C.D.(120; 180; 240)
* Veamos: 120 – 180 – 240 2 60 90 120 2 30 45 601 3 10 15 201 5 M.C.D. = 22 × 3 × 5 2 3 4 M.C.D. = 60
∴ Mayor long. = n = 60 cm. Rpta.
Resolución 7 Veamos:
60 − 80 230 40 215 20 5 3 4 M.C.D = 22×5 = 20
Cant. trozos de c/cordel
* Luego:
• Long. de cada trozo = 20m
• c/cordel se divide en 3 y 4 partes
Rpta.
Resolución 8 Veamos:
120 − 144 − 200 2 60 72 100 2 30 36 50 2 15 18 25 M.C.D. = 23 = 8
Cant. bloques que ca-ben en c/caja.
* Luego:
• Peso de c/bloque = 8 kg.
• Ubicación: 1ra caja = 15 bloques
2da caja = 18 bloques
3ra caja = 25 bloques
Rpta.
Resolución 9 Sea:
n = cant. niños
* Luego:174 n 730 n 6 q1 10 q2
174 = nq1 + 6 ∧ 730 = nq2 + 10
168 = nq1 ∧ 720 = nq2
* Como:
n ← máximo n = M.C.D.(168; 720) = 24
n = 24 niños Rpta.
Resolución 10 Sea:
n = número
* Luego:
83 n 127 n 3 q1 7 q2
83 = nq1 + 3 ∧ 127 = nq2 + 7
80 = nq1 ∧ 120 = nq2
* Como:
• n ← máximo n = M.C.D.(80; 120) = 40
n = 40 Rpta.
Resolución 11 Veamos:
120 − 480 − 720 2 60 240 360 2 30 120 180 2 15 60 90 3 5 20 30 5 1 4 6 M.C.D. = 23 ×3×5
M.C.D. = 120
Cant. ancianos be- neficiados
* Luego:
• Mayor cant. = S/.120
• Cant. ancianos = 1 + 4 + 6 = 11
Rpta.
Resolución 12 Tenemos:
• 50 < N < 60 ... (I)
• M.C.D.(N; 16) = 8 N = 8k
* Reemplazando en (I):
50 < 8k < 60
k = 7 N = 8(7) = 56
∴ N = 56 Rpta.
Resolución 13 Tenemos:
M.C.D.(A; B) = 5
M.C.D.(2A; 2B) = 2×5 = 10
∴ M.C.D.(2A; 2B) = 10 Rpta.
Resolución 14 Sean los números: m; n
* Luego:
• M.C.D.(m; n) = 12 ... (I)
• m = 5n ... (II)
* De (I):
M.C.D.(m; n) = 12 m pn q
==
1212
* Remplazando en (II):
12p = 5(12q)
1p = 5 · q pq
==
51
* Reemplazando en:
m pn q
= = == = =
12 12 5 6012 12 1 12
××
∴ m = 60 ∧ n = 12 Rpta.
P.E.S.I
• 7 y 11 son primos entre sí, entonces:El M.C.M. de 7 y 11 es: 7 × 11 = 77
h) Múltiplos de 8 = 8;16;24;32;40;48;...
Múltiplos de 13= 13;26;39;52;65;78;...
• 8 y 13 son primos entre sí, entonces:El M.C.M. de 8 y 13 es: 8 13 104× =
i) Múltiplos de 3 = 3;6;9; 12 ;15;18;...
Múltiplos de 12 = 12 ;24;36;48;60;...El M.C.M. de 3 y 12 es 12
j) Múltiplos de 5 = 5;10;15;20;25;30;...
Múltiplos de 8 = 8;16;24;32;40;48;...
• 5 y 8 son primos entre sí, entonces:
El M.C.M. de 5 y 8 es: 5 8 40× =
El m.c.m. de 6 y 9 es 18
e) Múltiplos de 4 = 4;8;12;16; 20 ;24;...
Múltiplos de 5 = 5;10;15; 20 ;25;30;...El M.C.M. de 4 y 5 es 20
f) Múltiplos de 3 = 3;6; 9 ;12;15;18;...
Múltipos de 9 = 9 ;18;27;36;45;54;...
El M.C.M. de 3 y 9 es 9
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)(Pág. 195, 196)
NIVEL I
Para resolver los siguientes ejercicios, no se consideraráal cero como múltiplo de un número.
Resolucion 1
a) Múltiplos de 3 hasta 48 =
3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ; 27;
30; 33; 36 ;39; 42; 45; 48
b) Mútiplos de 4 hasta 48 =
4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28;
32; 36 ; 40; 44; 48
c) Los mútiplos comunes de 3 y 4 hasta el 48 son:12; 24; 36; 48
d) El M.C.M. de 3 y 4 =12
Resolución 2
a) Múltiplos de 2 = 2; 4 ;6;8;10;12;...
Mútiplos de 4 = 4 ;8;12;16;20;24;...
El M.C.M. de 2 y 4 es 4
b) Múltiplos de 4 = 4;8; 12 ;16;20;24;...
Múltiplos de 6 = 6; 12 ;18;24;30;36;...
El M.C.M. de 4 y 6 es 12
c) Múltiplos de 3= 3;6;9;12;15;18; 21;...
Múltiplos de 7= 7;14; 21 ;28;35;42;...
El M.C.M. de 3 y 7 es 21
d) Múltiplos de 6= 6;12; 18 ;24;30;36;...
Múltiplos de 9= 9; 18 ;27;36;45;54;...
3;6;9;12; 15 ;18;21;
24;27; 30 ;33;36
Resolución 3
a) Múltiplos de 3menores que 37 =
g) Múltiplos de 7 = 7;14;21;28;35;42;49;
56;63;70; 77 ;84;...
Múltiplos de 11=
= 11;22;33;44;55;66; 77 ;88;...
b) Múltiplos de 5menores que 37 =
c) Múltiplos comunes de 3 y 5 = 15;30menores que 37
d) El m.c.m. de 3 y 5 es 15
5;10; 15 ;20;25; 30 ;35
Resolución 4
a) Los múltiplos de 7 son:
7 ; 1 4 ; 2 1; 2 8;...
14 es tam bién un m últip lo de 2
Luego, el M.C.M. de (2 y 7) es 14
b) Los múltiplos de 12 son:
un
1 2 ; 2 4; 3 6; ...
12 es tam bién m últip lo de 6
Luego, el M.C.M. de (6 y 12) es 12
28
Resolución 5
a) M.C.M. de (3 y 2): 3 2 2
3 1 3
1 1
−−−
M.C.M. (3 y 2) = 2 3 6× =
∴ El denominador común de lasuma sería 6.
b) M.C.M. de (2 y 5): 2 5 2
1 5 5
1 1
−−−
M.C.M. (2 y 5) = 2 5 10× =
∴ El denominador común de lasuma sería 10.
c) M.C.M. de (5 y 3): 3 5 3
1 5 5
1 1
−−−
M.C.M. (5 y 3) = 3 × 5 = 15
∴ El denominador común de lasuma sería 15.
d) M.C.M. de (8 y 10): 8 10 2
4 5 2
2 5 2
1 5 5
1 1
−−−−−
M.C.M. de (8 y 10)=2×2×2×5=40∴ El denominador común de la
suma sería 40.
e) M.C.M. de (2 y 4): 2 4 2
1 2 2
1 1
−−−
g) Los múltiplos de 10 son:
; 20; 30; 40; 50; 60; 70 ; ...1 0
70 es tam bién un m últip lo de 7
Luego, el M.C.M. de (7 y 10) es 70.
h) Los múltiplos de 11 son:
1 1; 22; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6; 77; 88; 99; 1 10 ;...
11 0 e s tam b ié n u n m ú lt ip lo d e 1 0
Luego, el M.C.M. de (10 y 11) es 110.
i) Los múltiplos de 15 son:
1 5; 3 0; 4 5; 6 0 ; 7 5;...
60 es también un múltip lo de 12
Luego, el M.C.M. de (12 y 15) es 60.
j) Los múltiplos de 24 son:
2 4; 4 8 ; 7 2; .. .
48 es tam bién un m últip lo de 16
Luego el, M.C.M. de (16 y 24) es 48.
c) Los múltiplos de 8 son:
un
8;1 6; 2 4 ; 3 2;...
24 es tam bién múltip lo de 3
Luego, el M.C.M. de (3 y 8) es 24
d) Los múltiplos de 6 son:
6;1 2;1 8; 2 4; 3 0 ;...
30 es tam bién un m últip lo de 5
Luego, el M.C.M. de (5 y 6) es 30.
e) Los múltiplos de 10 son:
1 0; 2 0 ; 3 0; .. .
20 es tam bién un m últip lo de 4
Luego, el M.C.M. de (4 y 10) es 20.
f) Los múltiplos de 9 son:
9; 1 8 ; 2 7; .. .
18 es tam bién un m últip lo de 6
Luego, el M.C.M. de (6 y 9) es 18.
k) Los múltiplos de 60 son:
6 0; 1 2 0 ;1 8 0
120 es tam bién un m ú ltiplo de 40
Luego, el M.C.M. de (40 y 60) es 120.
l) Los múltiplos de 150 son:
1 5 0; 3 0 0; 4 5 0; 6 0 0 ; .. .
600 es tam bién un m últip lo de 120
Luego, el M.C.M. de (120 y 150) es 600.
f) M.C.M. de (16 y 8): 16 8 2
8 4 2
4 2 2
2 1 2
1 1
−−−−−
M.C.M. de (16 y 8) =2×2×2×2=16
∴ El denominador común de lasuma sería 16.
g) M.C.M. de (16 y 12): 16 12 2
8 6 2
4 3 2
2 3 2
1 3 3
1 1
−−−−−−
M.C.M. (16 y 12)= 2×2×2×2×3 =48
∴ El denominador común de lasuma sería 48.
h) M.C.M. de (15 y 20): 15 20 2
15 10 2
15 5 3
5 5 5
1 1
−−−−−
M.C.M. de (15 y 20)=2×2×3×5=60
∴ El denominador común de lasuma sería 60
M.C.M. de (2 y 4)= 2×2 = 4
∴ El denominador común de lasuma sería 4.
Resolución 6
a) 2 es el único número primo múltiplo de 2, ya que sóloes divisible por la unidad y por sí mismo.
b) 3 es el único número primo que es múltiplo de 3, yaque sólo es divisible por la unidad y por sí mismo.
c) No hay número primo que sea múltiplo de 6; ya que 6es un número compuesto y sus mútiplos también loson.
Resolución 7
a) 8 15 24 2
4 15 12 2
2 15 6 2
1 15 3 3
1 5 1 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (8; 15 y 24) = 2×2×2×3×5=120
b) 16 42 56 2
8 21 28 2
4 21 14 2
2 21 7 2
1 21 7 3
1 7 7 7
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M.(16; 42 y 56)=2×2×2×2×3×7= 336
c) 42 63 70 2
21 63 35 3
7 21 35 3
7 7 35 5
7 7 7 7
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (42; 63 y 70)=2×3×3×5×7= 630
d) 40 70 84 2
20 35 42 2
10 35 21 2
5 35 21 3
5 35 7 5
1 7 7 7
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M.(40; 70 y 84)=2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840
e) 60 81 90 2
30 81 45 2
15 81 45 3
5 27 15 3
5 9 5 3
5 3 5 3
5 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M.(60; 81 y 90)=2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 1620
f) 70 130 190 2
35 65 95 5
7 13 19 7
1 13 19 13
1 1 19 19
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (70; 130 y 190) =2 × 5 × 7 × 13 × 19 = 17 290
h) 3168 4896 6048 2
1584 2448 3024 2
792 1224 1512 2
396 612 756 2
198 306 378 2
99 153 189 3
33 51 63 3
11 17 21 3
11 17 7 7
11 17 1 11
1 17 1 17
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (3168; 4896 y 6048)=2×2×2×2×2×3×3×3×7×11×17=1130976
i) 84 616 539 1125 2
42 308 539 1125 2
21 154 539 1125 2
21 77 539 1125 3
7 77 539 375 3
7 77 539 125 5
7 77 539 25 5
7 77 539 5 5
7 77 539 1 7
1 11 77 1 7
1 11 11 1 11
1 1 1 1
− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −
M.C.M. (84; 616; 539 y 1125) =2×2×2×3×3×5×5×5×7×7×11 = 4 851000
Resolución 8
a) 160 240 2
80 120 2
40 60 2
20 30 2
10 15 2
5 15 3
5 5 5
1 1
−−−−−−−−
M.C.M. (160 y 240)=2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480
b) 400 540 2
200 270 2
100 135 2
50 135 2
25 135 3
25 45 3
25 15 3
25 5 5
5 1 5
1 1
−−−−−−−−−−
M.C.M. (400 y 540) =2 × 2 × 2 ×2 × 3 × 3 ×5 × 5 = 10800
c) 800 1200 2
400 600 2
200 300 2
100 150 2
50 75 2
25 75 3
25 25 5
5 5 5
1 1
−−−−−−−−−
M.C.M. (800 y 1200) =2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 3 ×5 × 5 = 2400
g) 504 756 1260 2
252 378 630 2
126 189 315 2
63 189 315 3
21 63 105 3
7 21 35 3
7 7 35 5
7 7 7 7
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (504; 756 y 1260) =2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 7 560
d) 720 960 2
360 480 2
180 240 2
90 120 2
45 60 2
45 30 2
45 15 3
15 5 3
5 5 5
1 1
−−−−−−−−−−
M.C.M. (720 y 960) = 2×2×2×2×2×2×3×3×5 = 2880
e) 540 600 2
270 300 2
135 150 2
135 75 3
45 25 3
15 25 3
5 25 5
1 5 5
1 1
−−−−−−−−−
M.C.M. (540 y 600) =2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 5400
f) 1840 3680 2
920 1840 2
460 920 2
230 460 2
115 230 2
115 115 5
23 23 23
1 1
−−−−−−−−
Resolución 9
El menor número, diferente de cero, divisible a la vezentre 3; 5 y 7 será el M.C.M. de 3; 5 y 7.Como: 3; 5 y 7 son primos entre sí, entonces:M.C.M. (3; 5 y 7) = 3 × 5 × 7 = 105
∴ El menor número divisible a la vez entre 3; 5 y 7es: 105.
Resolución 10
El menor número divisible a la vez por 6; 8 y 10 será elM.C.M. de 6;8 y 10.
6 8 10 2
3 4 5 2
3 2 5 2
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (6; 8 y 10)=23 × 3 × 5 = 120
∴ El menor número, diferente de cero, divisible ala vez por 6; 8 y 10 es 120
Resolución 11
Los números que son divisibles a la vez por 2; 3 y 4serán los múltiplos del M.C.M. de 2; 3 y 4.Hallamos el M.C.M. de 2; 3 y 4.
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
1 1 1
− −− −− −− −
M.C.M. (2;3 y 4) = 2×2×3 = 12
Entonces:Los mútiplos de 12 serán divisibles por 2; 3 y 4.
∴ Múltiplos de 12
menores que 70 = 12; 24; 36; 48; 60
M.C.M (1840 y 3680) =2×2×2×2×2×5×23 = 3680
Resolución 12
Los números que son divibles por 36 y 84 simultánea-mente, son los múltiplos del M.C.M. de 36 y 84.Hallamos el M.C.M. de 36 y 84.
36 84 2
18 42 2
9 21 3
3 7 3
1 7 7
1 1
−−−−−−
M.C.M.(36 y 84)=2 × 2 ×3× 3 ×7 = 252
Entonces:
Múltiplos de 252:
252; 504 ; 756 ;1008;...
Luego:Los números naturales entre 500 y 1000, divisiblespor 36 y 84 simultáneamente son:
504 y 756.
Luego:
• número de vueltas que dio el
1er ciclista 192
448
= = vueltas.
• números de vueltas que dio el
2do ciclista 192
364
= = vueltas.
∴ Pasan juntos al cabo de 192 segundos y cada uno da 4 y 3 vueltas respectivamente.
30 40 50 2
15 20 25 2
15 10 25 2
15 5 25 3
5 5 25 5
1 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (30; 40 y 50)=2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600
∴ Se puede medir con las 3 reglas, exactamen-te, una distancia de 600 cm.
Resolución 17
Para saber cuál es la menor distancia que se puedemedir exactamente con las 3 reglas; hallamos elM.C.M. de 30; 40 y 50.
Resolución 14
Para saber el número exacto de docenas y decenasque hay en la canasta, hallamos el M.C.M. de 10(dece-na) y de 12(docena).
10 12 2
5 6 2
5 3 3
5 1 5
1 1
−−−−−
M.C.M. (10 y 12) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60Vemos que la cantidad de huevos que hay en la ca-nasta es 60k (‘‘k’’ es un número natural)
Hallamos los múltiplos de 60.
Múltiplos de 60
= 60;120;180;240;300; 360 ;420;...
Sabemos que la cantidad de huevos está comprendi-da entre 300 y 400; entonces:
∴ En la canasta hay 360 huevos.
48 64 2
24 32 2
12 16 2
6 8 2
3 4 2
3 2 2
3 1 3
1 1
−−−−−−−−
M.C.M. (48 y 64) = 26 × 3 = 192
Entonces:
Pasarán ambos por la partida al cabo de 192 segun-dos.
Resolución 13
Para saber cada cuántos días los buques de las 3compañías se hallarán en el puerto, hallamos el M.C.M.de (8; 18; 21)
8 18 21 2
4 9 21 2
2 9 21 2
1 9 21 3
1 3 7 3
1 1 7 7
1 1 1
− −− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (8; 18 y 21)=2×2×2×3×3×7=504
Luego, diremos que cada 504 días se hallan los bu-ques de las 3 compañías en el puerto.
Resolución 15
Para saber dentro de cuánto tiempo pasarán ambospor la partida, hallamos el M.C.M. de 48 y 64.
Resolución 16
Hallamos el M.C.M. de 5; 6; 9 y 13.
5 6 9 13 2
5 3 9 13 3
5 1 3 13 3
5 1 1 13 5
1 1 1 13 13
1 1 1 1
− − −− − −− − −− − −− − −− − −
M.C.M. (5; 6; 9 y 13) =2 × 3 × 3 × 5 × 13 = 1170
La cantidad que se desea repartir será múltiplo de1170 más 4; ya que en cada caso sobran 4 nuevossoles.
Entonces, se repartirán: ( )1170k 4; k+ ∈
Como se pide la menor cantidad de soles para repar-tir; entonces: k = 1
∴ Se repartirán: 1170 + 4 = 1174 nuevos soles.
Resolución 18
Hallamos el M.C.M. de 30; 45; 50.
30 45 50 2
15 45 25 3
5 15 25 3
5 5 25 5
1 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (30;45 y 50) = 2 × 32 × 52 = 450
La cantidad de dinero que necesito será múltiplo de
450, más 5, (5 es lo que debe sobrar para los pasa-
jes)
Entonces:
Necesito: ( )450 k 5 ; "k ''+ ∈
Como se pide la menor cantidad, entonces: k=1
∴ Necesito 450(1)+ 5 = 455 nuevos soles
Resolución 19
Para saber dentro de cuánto tiempocoincidirán, hallamos el M.C.M. de 5 y 3.Como 5 y 3 son primos entre sí.(no tienen múltiplosen común, sólo la unidad); el M.C.M. será:
M.C.M. (5 y 3) = 5 × 3 = 15Luego: coincidirán dentro de 15 horas.
Si salen a las 9 de la mañana, volverán a coincidir alas:9 + 15 = 24 horas
∴ Volverán a coincidir a las 12 de la noche.
Resolución 20
Para saber dentro de cuánto tiempo volverán a abrirsesimultáneamente, hallamos el M.C.M. de 20; 12 y 30.
20 12 30 2
10 6 15 2
5 3 15 3
5 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −
M.C.M. (20; 12 y 30)= 2 × 2 × 3× 5 = 60
Volverán a abrirse simultáneamente, dentro de 60 se-gundos = 1 minuto
∴ Si se abren simultáneamente a las 12 del día, volve-rán a abrirse a las 12 del día con 1 minuto.
Resolución 5
Por dato:
• 547 3∗ es múltiplo de 9, ∗ es una cifra
entonces 5 + 4 + 7 + ∗ + 3 = 9
∗ + 19 = 9
⇒ ∗ = 8
• 32 21∗ es múltiplo de 9, ∗ es una cifra
entonces 3 + 2 + ∗ + 2 + 1 = 9
∗ + 8 = 9
⇒ ∗ = 1Piden:
∴ 547 3 32 21−∗ ∗ es 22 662 Rpta.: C
547 3 54783
32121
2266232 21
EJERCICIOS DE REFORZAMINETO SOBRE NÚMERO PRIMO, DIVISIBILIDAD, M.C.D. y M.C.M.(Pág. 196, 197, 198)
NIVEL I
Resolución 1
Si “n” es un número impar,
I. 2n es impar(impar×impar =impar)
2n n+ es par (impar + impar = par)
2n n 1+ + es impar (par+1= impar)
2n n 1+ + es impar
II. 2n es par (par × impar = par)
2n + 1 es impar (par + 1 = impar)
2n + 1 es impar.
III. 3n es impar (impar × impar = impar)
3n + 1 es par (impar +1 = par)3n + 1 es par.
∴ Son impares I y II
Resolución 2
Si “n” es un número par,
I. 3n n n n= × × es par(par×par×par=par)
3n n+ es par (par+par=par)
3n n 2+ + es par (par+par=par)
3n n 2+ + es par
II. 2n n n= × es par (par × par = par)
22n es par (par × par = par)
22n 1+ es impar (par+impar=impar)
22n 1+ es impar.
III. 6n es par (par × par = par)
6n + 3 es impar (par+impar = impar)6n + 3 es impar.
∴ Son impares II y III
Resolución 3
Analizamos cada conjunto.
• A=3; 5; 12; 13
3 y 5 son primos entre sí.
5 y 12 son primos entre sí.
12 y 13 son primos entre sí.
5 y 13 son primos entre sí.
5 y 12 son primos entre sí.
3 y 13 son primos entre sí.
Rpta: C
Rpta: A
Rpta: B
Luego:Los que no son primos serán:50-15 = 35∴ 35 números no son primos
Hay 15 números primos
números primos 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;
del 1al 50 23;29;31;37;41;43;47
=
Resolución 4Vemos cuáles son los números, del 1 al 50 inclusive, quesí son primos.
Rpta: C
3 y 12 no son primos entre sí, ya que tienen un múltiploen común, el 3.
• B=6; 7; 19
6 y 7 son primos entre sí.
6 y 19 son primos entre sí.
7 y 19 son primos entre sí.
• C=15; 28; 31
15 y 28 son primos entre sí.
15 y 31 son primos entre sí.
28 y 31 son primos entre sí.
∴ Los conjuntos que contienen números que sonprimos entre sí son B y C.
2 3
Factor múltiplo de 100
Factor múltiplo de 100
Factor múltiplo de 100
Factor múltiplo de 100
N 2 3 5 1500
N 100 15 1500
N 300 5 1500
N 500 3 1500
N 1500 1 1500
= ⋅ ⋅ == ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
∴ Hay cuatro factores que sonmúltiplos de 100
Resolución 9
I. Aplicamos la regla de divisibilidad por 9.
2 + 8 + 5 + 3 = 18 = 9
2 853 es divisible por 9.II. Aplicamos la regla de divisibilidad por 8.
Tomamos las 3 últimas cifras del número.488 es divisible por 8.
2 488 es divisible por 8.
III. 3 360 es divisible por 5, ya que termina en cero.
• Para que 3 360 sea divisible por 6 debe ser divisiblepor 2 y 3.
3 360 es divisible por 2; ya que termina en cero
Resolución 6
El múltiplo de 8 será 8k ( )k ∈
Como 8k antecede a 315; entonces tene-mos que:
8k 315
315k k 39, 375
8k k 39
<
< <
∈ =
∴ El múltiplo de 8 que antecede a 315 es: 8k = 8(39) = 312
Rpta: C
Rpta: D
Resolución 7
Si “a-b” es múltiplo de 5, podemos afirmar que “b-a” estambién múltiplo de 5. Tienen igual valor, sólo que de signocontrario.
( )
a b 5k 5
b a 5k 5
b a 5k 5
b a 5k 5
°− = =°− + = =°− − = =
°− = − =
∴ “b-a” es también múltiplo de 5.
Resolución 8
Rpta: D
Aplicamos la divisibilidad por 3.
3 + 3 + 6 + 0 = 12 = 3°
3 360 es divisible por 3
Luego:
3360 es divisible por 6.
• Aplicamos la divisibilidad por 7.
336 2 6 12
33
12
21
× =
−
Rpta: E
32
23
Rpta: E
Resolución 10
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
3 272 2 3= ×
21 es múltiplo de 7, porque 21÷7= 3
3 360 es divisible por 7.
∴ Son verdaderas: I; II y III
Resolución 11
Rpta: B
Los múltiplos de 25 son:
25 k , k 1; 2; 3; 4; ...⋅ =Los números de 3 cifras están entre100 y 999 inclusive.
Luego:
100 25 k 1000
100 25 k 100025 25 25
4 k 40
≤ ⋅ <⋅≤ <
≤ <Entonces k = 4; 5; 6; 7; 8; ...; 39
∴ Hay: 39-3=36 múltiplos de 25 de 3cifras
Resolución 12
Los múltiplos de 7 son de la forma:
( )7 k k ⋅ ∈ .
Luego: 48 7 k 172
48 7 k 1727 7 7
6, 85 k 24, 57
< ⋅ <⋅
< <
< <
Entonces: k = 7; 8; 9; ...; 24
∴ Hay: 24-6 = 18 múltiplos de 7 Rpta: C
M.C.D.(280; 1120; 1600)=2 × 2 × 2 × 5 = 40
∴ La mayor longitud de la medi–da será 40 m.
Rpta: C
Rpta: B
( ) ( )
( )( )
Múltiplo de 11
abc cba
100a 10b c 100c 10b a
100a 10b c 100c 10b a
99a 99c
99 a c
11 9 a c
= −= + + − + += + + − − −= −= −
= × −
Resolución 2
4 7
6 2 2
A 2 3 5
B 2 3 7
= × ×
= × ×Los factores comunes de A y B, con su menor exponente
son: 4 22 y 3 .
M.C.D.(A y B) = 4 22 3 14 4× =
∴ La última cifra del M.C.D. es 4 Rpta: B
Resolución 18
( )N ab a y b = ∈
Si b = 2a ( )N a 2a=
Donde: “2a” puede ser desde 0 hasta 9o sea: 0 2a 9≤ ≤
Pero “a” no puede ser cero, ya que es laprimera cifra de N.
a = 1; 2; 3 y 4Luego: N=12; 24; 36; 48
∴ “N” es siempre múltiplo de 12.
0 2a 92 2 20 a 4,5
≤ ≤
≤ ≤
NIVEL II
Resolución 1
Sean: abc y cba los númerosDescomponemos polinómicamente ambos números:
∴ La diferencia siempre es múltiplo de 11 Rpta: DM.C.M. (4; 10 y 16) = 42 5 80× =
∴ La menor distancia que se puedemedir es 80 m.
Resolución 17Para saber la mayor medida que se usará para medirexactamente las tres dimensiones, hallamos el M.C.D. de280; 1120 y 1600.
280 1120 1600 2
140 560 800 2
70 280 400 2
35 140 200 5
7 28 40
− −− −− −− −− −
Rpta.: D
abc 100a 10b c
cba 100c 10b a
= + +
= + +Hallamos la diferencia de estos números:
Diferencia
Resolución 13
Los múltiplos de 5 son de la forma:
( )5 k k ⋅ ∈ luego:
30 5 k 80
30 5 k 805 5 5
≤ ⋅ ≤⋅
≤ ≤
6 k 16≤ ≤k = 6; 7; 8; ...; 16
∴ Hay: 16 - 5 = 11 múltiplos de 5
Resolución 14
Para saber el menor número de alumnosque pueden ser agrupados, hallamos elM.C.M. de 9, 12 y 15
Rpta: C
M.C.M. (9; 12 y 15) =2×2×3×3×5 = 180
∴ Hay 180 alumnos.
Rpta: E
9 12 15 2
9 6 15 2
9 3 15 3
3 1 5 3
1 1 5 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
Resolución 15Descomponemos en sus factores primos
el número 120. 3 1 1120 2 3 5= × ×Números de divisores de 120
= (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16
∴ 120 tiene 16 divisores.
Resolución 16Para saber la menor distancia que se pue-de medir utilizando tres cintas métricas,hallamos el M.C.M. de 4, 10 y 16.
4 10 16 2
2 5 8 2
1 5 4 2
1 5 2 2
1 5 1 5
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
Rpta: D
Resolución 3
Sea N el número.Sabemos que:
• N 3 1 N 3 3 2 3 2° °°= + = + − = −
• N 5 3 N 5 5 2 5 2°°°= + = + − = −
• N 9 7 N 9 9 2 9 2° ° °= + = + − = −
• N 12 10 N 12 12 2 12 2°° °= + = + − = −
Por propiedad:
( )N m.c.m. 3;5;9 y12 2°
= −
3 5 9 12 2
3 5 9 6 2
3 5 9 3 3
1 5 3 1 3
1 5 1 1 5
1 1 1 1
− − −− − −− − −− − −− − −− − −
Rpta: A
Hallamos el M.C.M. (3; 5; 9 y 12):
M.C.M.(3; 5; 9 y 12)= 2 22 3 5 180⋅ ⋅ =
Entonces: N 180 2 180k 2°= − = −
∴ El menor número será 180(1)-2=178
Resolución 4
Los números de dos cifras están entre 10 y 99.
Entonces:
k= 1; 2; 3; 4 y 5 Los múltiplos de 17 de dos cifras serán:
10 17 99
10 17k 99
10 17k 9917 17 170,6 k 5,8
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
17 1 17
17 2 34
17 3 51
17 4 68
17 5 85
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
∴ Hay 5 múltiplos de 17 con dos cifras Rpta: C
Resolución 5
Descomponemos cada número en sus factores primos.
• ( )22 2 2 4144 12 3 2 3 2= = × = ×
• ( )22 4 8256 16 2 2= = =
• ( )22 2 2225 15 3 5 3 5= = × = ×
Rpta: A
Hallamos el M.C.M. de (144; 256 y 225):
M.C.M. (144; 256 y 225)= 8 2 22 3 5 57600× × =
∴ La suma de cifras es:5 + 7 + 6 + 0 + 0 = 18
Rpta: E
Resolución 6
Hallamos el M.C.D. de 1 825; 2 625 y3 650
1825 2625 3650 5
365 525 730 5
73 105 146
− −− −− −
M.C.D. (1 825; 2 625 y 3 650) = 5 × 5 = 25
∴ La mayor cifra del M.C.D. es 5
Resolución 7
Descomponemos 180 en sus factores primos.
2 2
180 2
90 2
45 3180 2 3 5
15 3
5 5
1
= × ×
Luego:número de divisores de 180 =
( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 18= + ⋅ + ⋅ + =
∴ 180 posee 18 divisores. Rpta: D
Rpta: E
Resolución 8
Números primos menores que 24=2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23
La suma de estos números será:Suma= 2+3+5+ 7+11+ 13+17+ 19 +23= 100
∴ La suma es 100
Rpta: C
92 512 2k 2°= = =∴ 29 sí es múltiplo de 2.
Resolución 9
8 12 18 2
4 6 9 2
2 3 9 2
1 3 9 3
1 1 3 3
1 1 1
− −− −− −− −− −− −
M.C.M. (8; 12 y 18) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
∴ Podre comprar las manzanas con72 nuevos soles.
Rpta: C
Resolución 14
Para saber la cantidad de dinero con que podré hacer lascompras, hallamos el M.C.M. de 8; 12 y 18.
510510 2
255255 3
85085 5
17017 7Factores primos
2431 11
221 13
17 17
1
∴ Contiene 7 factores primos
Rpta: A
Luego: a + b = 5 + 6 = 11 Rpta: C
• 7×13=91 C.A.(91) = 100 - 98 =
9
Rpta: B
Rpta: C
( )
2a 5 3 6 2 6 1 2
2a 5 3
1 2
2a 4 1 2 1 2
2a 4
2
2a 2 2 2 4
2a 4 7
2 0 a 4 7
1 6 a = 5a 7
⇓
⇓
⇓
⇓
⇒ × =
−
⇒ × =
−
⇒
⇒
× =
°− =
°+ − =°+ =
• 7×5=35 C.A.(35) = 100 - 35 = 65
• 7×6=42 C.A.(42) = 100 - 42 = 58
• 7×7=49 C.A.(49) = 100 - 49 = 51
• 7×8=56 C.A.(56) = 100 - 56 = 44
• 7×9=63 C.A.(63) = 100 - 63 = 37
• 7×10=70 C.A.(63) = 100 - 63 = 30
• 7×11=77 C.A.(77) = 100 - 77 = 23
• 7×12=84 C.A.(84) = 100 - 84 = 16
Múltiplo de 3
Múltiplo de 3
Múltiplo de 3
• 7×14=98 C.A.(98) = 100 - 98 = 2
∴ Hay 4 múltiplos de 7 cuyo C.A. esmúltiplo de 3.
Resolución 12
Para saber el lado de dichas parcelas en que se divide elterreno, hallamos el M.C.D. de 120 y 168.
Múltiplo de 3
Resolución 13
Descomponemos en sus factores primos el número 510 510.
Resolución 10
Si 2a53b es múltiplo de 56, entonces serámúltiplo de 7× 8, es decir múltiplo de 7 y 8.
• Como: 2a53b es múltiplo de 8, serádivisible por 8.
Aplicando la divisibilidad por 8,tenemos que:53b es divisible por 8.
b = 6 ya que 536 es divisible por 8.
• Como 2a53b es múltiplo de 7, serádivisible por 7.
Aplicando la divisibilidad por 7, te-nemos que:
Resolución 11
Hallamos los múltiplos de 7, de 2 cifras.
• 7×2=14 C.A.(14) = 100 - 14 = 86
• 7×3=21 C.A.(21) = 100 - 21 = 79
• 7×4=28 C.A.(21) = 100 - 28 = 72
120 168 2
60 84 2
30 42 2
15 21 3
5 7
−−−−−
M.C.D. (120 y 168) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
∴ El lado de las parcelas medirá 24 m.
883k 1
422 3k 1
21 3k k 7
= +
= += =
( )9k 2 7 2 9 3 278 8 8 2 2+ += = = =
∴ Número de divisores de227 = 27 + 1 = 28
Rpta: B
Rpta: D
Luego:
Resolución 17
Para saber la mayor longitud posible de cada paso quecamina, hallamos el M.C.D. de 1 300; 1 600 y 2 000.
1300 1600 2000 2
650 800 1000 2
325 400 500 5
65 80 100 5
13 16 20
− −− −− −− −− −
M.C.D. (1 300; 1 600; 2 000) = 2 2 5 5 100⋅ ⋅ ⋅ =
∴ Cada paso será de 100 cm.
Resolución 15
( ) ( ) ° ° ° °+ − − + + = +
7 5 7 1 7 3 7 r
( ) ( ) ( )7 5 7 6 7 3 7 r°° ° °+ − + + + = +
+ = +
7 2 7 r
+ = +
7 2 7 r
Rpta: B
( )( )
( ) ( )
k k 2
k 2
k
k3
3k 1 1
Factores primos
A 8 8 8
A 8 1 8
A 8 65
A 2 5 13
A 2 5 13
= + ⋅
= +
=
= ⋅ ×
= ⋅ ⋅
Luego:número divisores de A =(3k+1) ⋅ (1+1)(1+1)
( )88 4 3k 1= +
De la propiedad: a b a bN N N+ = ⋅Entonces:
∴ r = 2
Resolución 16
k k 2A 8 8 += +
• Si b = 9 y ba 9 3°= +
9
9a 9 3
93 90 3 a 3
ab sería 39
°= += + =
∴ El mayor valor de ab será 84 Rpta: C
Resolución 19
• Hallamos todos los múltiplos de 3 que hay del 1 al630.
k = 1; 2; ...; 209 y 210
Hay 210 múltiplos de 3 del 1 al 630.
• Hallamos todos los múltiplos de 3 y de 14 que haydel 1 al 630.
Múltiplos de 3 y 14=(3 × 14)k = 42k
( )1 3 630
1 3k 630 k
1 3k 6303 3 30,3 k 210
°≤ ≤≤ ≤ ∈
≤ ≤
≤ ≤
Resolución 18
• ab 5 4°= +
Los múltiplos de 5 terminan en cero ó 5 entonces
5 4+
terminará en 0+4=4 ó en 5+4=9
Por lo tanto: b=4 ó b=9
Luego:
• Si b = 4 y ba 9 3°= +
9
4a 9 3
48 45 3 a 8
ab sería 84
°= += + =
Rpta: B
1 42k 630
1 42k 630
42 42 420,02 k 15
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
k = 1; 2; 209 y 210Hay 15 múltiplos de 3 y 14 del 1 al 630.
∴ Los múltiplos de 3 que no son múltiplos de 14 serán:210 - 15 = 195
Rpta: C
Resolución 21
Los números se pueden escribir de la siguiente forma:
• ( )nn 2 2 2n n 2n300 2 3 5 2 3 5= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
• ( )( )
nn 4 2
4 n 2n n
4 n 2n n
16 90 2 2 3 5
2 2 3 5
2 3 5+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Luego: número de divisores de 300n =
( ) ( ) ( )2n 1 n 1 2n 1+ ⋅ + ⋅ +
número de divisores de n16 90⋅ =
( ) ( ) ( )4 n 1 2n 1 n 1+ + ⋅ + ⋅ +Según el enunciado; tenemos que:
( )( )( ) ( )( )( )2n 1 n 1 2n 1 4 n 1 2n 1 n 1
2n 1 n 5
+ + + = + + + ++ = +
∴ n = 4
Rpta: B
Resolución 20
Sean a y b los númerosPor dato: a + b = 96 ... 1
M.C.M. (a;b) = 180 ... 2Afirmaremos que “a” y “b” tienen un factoren común, sino sería cierto llegaremos auna contradicción.Entonces: a = d ⋅ p
b = d ⋅ q
donde:d = M.C.D. de a y b.p ; q son primosentre sí.
Remplazamos en 1 y 2d ⋅ p + d ⋅ q = 96 ⇒ d(p + q) = 96
d ⋅ p ⋅ q = 180
En 3 se observa que “d” también es elM.C.D. de 96 y 180.Luego:
3
d = 12
Entonces 12 ⋅ p ⋅ q = 180 p ⋅ q = 15
3 5a = d ⋅ p = 12 ⋅ 3 = 36
b = d ⋅ q = 12 ⋅ 5 = 60
96 180 2
48 90 2
24 45 3
8 15
−−−−
↓ ↓
Rpta: E∴ La diferencia de los números es:
b – a = 60 – 36 = 24
Resolución 22
• ( ) ( )nn 2 2
2 2n n n
2n n 2 n 1
A 45 60 3 5 2 3 5
3 5 2 3 5
2 3 5+ +
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
• ( ) ( )nn 2 2
2n n 2
2 2n 1 n 1
B 45 60 3 5 2 3 5
3 5 2 3 5
2 3 5+ +
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Luego:
( )( )
2n 2n 1 n 1
2 n 2 n 1
M.C.M. A;B 2 3 5
M.C.D. A;B 2 3 5
+ +
+ +
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Sabemos que:
( ) ( )2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 1
2n 2n 1 2 2 n 2
2n 2n 1 4 n 3
M.C.M. A;B 12 M.C.D. A;B
2 3 5 12 2 3 5
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
+ + + +
+ +
+ +
= ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅
∴ n = 2
CAPÍTULO N° 5
NIVEL I
Resolución 1 Veamos:
A = x/x ∈ ∧ −3 < x < 7
* Como:
−3 < x < 7 x = −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
∴ A = −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
* Me piden: n(A) = 9 Rpta.: D
Resolución 2 Me piden:
S = − + − + + −3 5 7 1
S = 3 + 5 + 7 + 1 = 16
S = 16 Rpta.: E
Resolución 3 Veamos:
• a + (−a) = 0
Propiedad del inversoaditivo.
Rpta.: E
Resolución 4 Veamos:
(I). n + m = k (Verdadero)
( ) (−) (−)
(II). m − n = k (Falso)
( ) ( − ) = (+) v (−)
(III). m · n · k = p (Verdadero)
( ) (−) (−) (−)
∴ Son verdaderas (I) y (III)
Rpta.: D
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS ENTEROS (Pág. 253, 254, 255, 256)
Resolución 5 Veamos:
A) a·b = b·a (Prop. Conmutativa)
B) a + (-a) = 0 (Prop. Inverso Aditivo)
C) b · b-1 = 1
D) a + (b+c) = (a+b)+c (Prop. Asociativa)
E) a(b+x) = ab + ax (Prop. Distributiva)
∴ a(b+x) = ab + ax ← Prop. Distributiva
Rpta.: E
Resolución 6 Veamos:
k = (−15 + 12)3 : 3 + (2·5)2 : 20·5
k = (−3)3 : 3 + (10)2 : 20 · 5
k = −27: 3 + 100 : 20 · 5
k = −9 + 5·5 = −9 + 25 = 16
∴ k = 16 Rpta.: E
Resolución 7 Veamos:
k = 64[2(3 + 2)-8]- 8
k = 64[10 − 8]− 8
k = 68 − 8 = 6 × 0 = 0
∴ k = 0 Rpta.: A
Resolución 8 Veamos:
E = − − +27 4 144 2 33 2 2 2· :
E = (−3)·16 − 12 : 4 + 9
E = −48 − 3 + 9 = -42
∴ E = −42 Rpta.: C
Resolución 9 Veamos:
k = − − +27 81 2 4 83 4 2 · ·
k = (− 3 − 3)2 + 8
k = (−6)2 + 8
k = 36 + 8 = 44
∴ k = 44 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
4 4 8 2E
5 6 8 4
− + − + −=
+ − −
E =+ +
−= + =
4 4 2
14 6
110
∴ E = 10 Rpta.: A
Resolución 11
K = 6 − 4[6 + 5 − (3 + 2)−4]−3
K = 6 − 4[6 + 5 − 5 − 4]−3
K = 6 – 4[2] − 3
K = 6 − 8 − 3 = 6 − 5 = 1
∴ k = 1 Rpta.: E
−
−
−
Resolución 18 Veamos:
∴ x + 11+(40 − 11) = 117
x = 77
* Me piden:
Nivel Colina = x + 11 = 77 + 11 = 88m
Rpta.: B
Resolución 19 Veamos:
* Luego: T2 = T1 + 3·∆T
T2 = −16 + 3(3) = −7
T2 = −7° C Rpta.: A
Resolución 20 Veamos:
* Luego: 75 + x = 135 x = 60
∴ Tiempo Destrucción = x = 60 d.c
Rpta.: B
Resolución 21 Veamos:
x + 90 = 36 + 58
x = 4m Rpta.: A
a
• R = (−1)-100 ·(−1)99 = (1)(−1) R = −1
* Ordenando de mayor a menor:
64 > −1 > − 243
∴ Q > R > P
Tenemos: QRP Rpta.. B
Resolución 14 Veamos:
K = 21+[4(2+1)2 + 1]2
K = 21+[36 + 1]2
K = 21 + 372
K = 21 + 1369 = 2·(1370)
∴ K = 2740 Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
• M = (−2) · (+3) M = −6
• N = (+6) : (−1) N = −6
• P = (−2)3 + (−2)-(-5) P = −5
n° mayor
* Luego: # mayor = −5
# mayor = sólo “P” Rpta.: C
Resolución 16 Veamos:
(−5)+(−4)(−3) − (−1)(2) − x = (−1)3
−5 + 12 + 2 − x = −1 14 − 5 + 1 = x
10 = x
∴ x = 10 Rpta.: A
Resolución 12 Veamos:
• A = (−3) − (−5) − (1)
A = − 3 + 5 − 1 A = 1
• B = −5 − [−3 + 2 + (−8)]
B = −5 − [−3 + 2 − 8]
B = −5 − [−9] = –5 + 9 = 4 B = 4
* Me piden: A BA B
+ = + = =· ·
,1 41 4
54
1 25
∴ A BA B
+ =·
,1 25 Rpta.: E
Resolución 13 Veamos:
• P = (−3)2 · (−3)3 =(9)(−27) P = –243
• 5
32
4Q 4
4
−= = +− Q = 64
Resolución 17 Veamos:
E = 10 + (−10)(2)2 − (−5)3 + (−8)(−1)5 − (−2)6
E = 10 + (−10)(4) − (−125) + (−8)(−1) − (64)
E = 10 – 40 + 125 + 8 – 64
E = 39
∴ E = 39 Rpta.: E
Resolución 22 Veamos:
T = −8+(4)(5) = 12
∴ T = 12° C Rpta.: C
Resolución 23 Tenemos:
Tiempo total = 29 + 476 = 505
Tiempo total = 505 años
Rpta.: B
Resolución 24 Tenemos:
ot 8 C
t 46 C
= − °∆ = °
* Luego: tf = to + ∆t
tf = −8 + 46 = 38°C Rpta.: C
Resolución 25 Veamos:
Descendió
Nivel = +230m −110m + 35m
Se eleva
Nivel = 155m Rpta.: A
Resolución 26 Veamos:
T° = −6°C − 20°C + 18°C
Calor
Congelador
T. Inicial
∴ T° = −8°C Rpta.: C
a.C. d.C.
Resolución 27 Veamos:
5 + x = 3
x = 3 − 5
x = −2 Rpta.: B
Resolución 28 Sea:
Ho = altura inicial
* Ahora: Ho + 560 − 900 = 1200
Ho − 340 = 1200
Ho = 1540 m Rpta.: A
x + 8 = 19
x = 11
Rpta.: B
Resolución 30 Me piden:
T. Baja∆T = +5°C − 8°C − 1°C + 2°C − 4°C
T. Sube
∴ ∆T = −6° Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1 Veamos:
• A = 4 − [2 − (3 – (−1 + 4)) − (1 − 5) − 5] A = 4 − [ 2 − (3 − 3) − (–4) −5] A = 4 − [2 − 0 + 4 − 5] A = 4 − 1
A = 3
• B = [2 − (−1)3 + (1 − 32) − (−5)2] : [1 + (−2)2] B = [2 − (−1) + (1 − 9) − (25)] : [1+ 4] B = [2 + 1 − 8 − 25] : 5 B = −30 : 5
B = −6
* Me piden: A2 + B2 = 32+(−6)2 = 9 + 36
A2+ B2 = 45 Rpta.: D
Resolución 29 Veamos:
Resolución 2 Veamos:
A = 2 · 42 = 2 · 16 A = 32
• B = −(2)2 : 2 + 2 − 18 : (−9)B = –4 : 2 + 2 − (−2)B = −2 + 2 + 2 B = 2
• C = 122 : 12 − (24 : 12) · 32
C = 144 : 12 − 2 · 32
C = 12 − 18 C = −6
* Me piden: K = 2A − 4B + 5C
K = 2(32)−4(2) + 5(−6)
K = 64 − 8 − 30 = 26
∴ K = 26 Rpta.: E
0
Resolución 3 Me piden:
P = 63 : 7 − 4 · (−315 : 313) + (39)− (−1)9
P = 9 − 4 ·(−32) + 1 – (−1)
P = 9 – 4(–9) + 1 + 1 P = 9 + 36 + 1+ 1 = 47
∴ P = 47 Rpta.: A
Resolución 5 Veamos:
• K = − − − −8 4 3 2 1 2 3× × K = − − − −32 6 1 8 K = + = +25 8 5 8 K = 13
• L = + −729 3 23 2 0 2 2
L = 9 + 1 − 24
L = 9 + 1 − 16 L = −6
* Me piden:
L3 + 12k = (−6)3 + 12(13)
L3 + 12k = −216 +156 = −60
∴ L3 +12k = −60 Rpta.: E
Resolución 6 Me piden:
K = 272/3 + (−27)2/3
K = + −27 2723 23 K = (3)2 + (−3)2 = 18
∴ K = 18 Rpta.: C
Resolución 7 Veamos:
I. 23 = 32 ← Conmutativa (F)
II. 2 23 2 32 = ← Asociativa (F)
III. (4 + 5)2 = 42 + 52 ← Distributiva (F)
∴ Tenemos: FFF Rpta.: E
Resolución 8 Veamos:
• A = x/x ∈ ∧ −7 ≤ x < 9
Como:−7 ≤ x < 9 x = −7; −6; −5; ...; 8
* Me piden: n(A) + n(B) = 16 + 17 = 33
n(A) + n(B) = 33 Rpta.: C
Resolución 9 Me piden:
Sube
Nivel = +45m − 93m + 36m − 40m + 12m
Baja
∴ Nivel = 93m − 93m − 40m
Nivel = − 40m Rpta.: B
Resolución 10 Sea:
n = dinero que tenía inicialmente.
Luego: queda
n − 40 + 120 − 350 = 10
Infracción Cobra Regala
n − 270 = 10 n = 280 Rpta.: A
Resolución 11 Sea:
:Dirección norte
:Dirección Sur
+−
* Luego: Camina Norte
Posición = +160 − 236 + 80 − 170
Camina Sur Posición = 240 − 406 = − 166
Sur
* Ahora: • Se encuentra a:
166 metros al sur Rpta.: D
Resolución 12 Veamos:extraen
700− 150 + 180 − 300 + x = 1000
llenan 880 − 450 + x = 1000
x = 1000 − 430
∴ x = 570 Rpta.: E
+ : Dirección Norte– : Dirección Sur
Resolución 4 Veamos:
• A = −34 + 43 + 24
A = −81 + 64 +16 A = −1
• 3 4 4B 4 3 2= − +
B = − +64 81 16
B = 17 + 16 B = 33
• 4 3 4C 2 4 3= − −
C = − −16 64 81
C = −16 17 C = 1
* Ordenando de menor a mayor:
−1 < 1 < 33
A < C < B
∴ Tenemos: A; C; B Rpta.: C
A = −7; −6; −5; ...; 8
∴ n(A) = 16
• B = x/x∈ ∧ −9 < x ≤ 8
Como: −9 < x ≤ 8 x = −8; −7; ... ; 8
B = −8; −7; −6; ...; 8
∴ n(B) = 17
Resolución 13 Sea:
+ : Sentido “A”
− : Sentido contrario de “A”:
* Luego: (−)
20 − x + 5 = −7
(+)
25 − x = −7 x = −32
* Me piden:
Long. recorrida = |x| = |−32| = 32
Long. recorrida = 32 km Rpta.: D
Resolución 14 Veamos:
Sube
• 16°C − x + 9°C = −2°C
Baja(2do día)
25 − x = −2 x = 27
* Luego: Baja(2dodía) = x = 27°C
Rpta.: B
Resolución 15 Veamos:
extraemos(inicialmente)
100 − x + 20 = 12
(100)
aumentamos
120 − x = 50 x = 70
∴ Cant agua extraidainicialmente.
= x = 70
Rpta.: E
Resolución 16 Veamos:
42 × n = 3108 ....... (I)
* Ahora; dato:
k = 42(n + 2 × 12)
k = 42n + 42 × 24 ..... (II)
* Reemplazando (I) en (II):
k = 3108 + 1008
∴ k = 4116
* Me piden: Σ cifras(k) = 4 + 1 + 1 + 6 = 12
Σ cifras(k) = 12 Rpta.: A
í
Resolución 17 Tenemos:
n × 240 = k2 ... (I)
* Veamos:240 2120 2 60 2 30 2 15 3 240 = 24 × 3 × 5 5 5 1
* Reemplazando en (I):
n×24×3×5 = k2
* Como: n ← mínimo n = 3×5 = 15
∴ 3 × 5 × 24 × 3 × 5 = k2
(22 × 3 × 5)2 = k2 ... (Verdadero)
n = 15 Rpta.: B
Resolución 18 Veamos:
Gano
Queda = −12500 − 8000 + 12564 + 11676
Gasto
Queda = −20500 + 24240 = 3740
Queda = 3740
* Como:Queda > 0 Gana S/.3740
Rpta.: A
Resolución 19 Sea:
n = número de plantas.
* Luego:
n − =17 21 ← Raíz
Residuo
n − 17 = 212
n = 212 + 17 = 441 + 17 = 458
∴ n = 458 Rpta.: D
Resolución 20 Tenemos:
1ra batalla
n − 200 + 50 − 200 + 50 = 800
Cant. hombres inicial 2da batalla
n − 150 − 150 = 800
n = 1100 Rpta.: C
e) − + + − − − − +27 2 9 5 3 3 33 2
= − + + +3 2 3 15 3 9 = − + +3 36 27
= −3 + 6 + 27 = 30 Rpta
f) 125 16 3 2 533 − − − −· :
10 27 36 12 3 34 − + −·
= − − + − −5 4 3 10 100 3 6 13 4 :
= + + − −5 12 10 100 18 13 4:
= 27 813 4: = 3 : 3 = 1 Rpta
g) 5 3 2 169 2 1 5 14 5− + + − − + − : ·
= [−15 + 2] :13 + [−2(1)+ 5] : (−1)
=(−13) : 13 + 3 : (−1)
= −1 + −3 = − 4 Rpta
( ) ( ) ( ) ( )6 23h) 9 8 : 64 • 1 7 4 2 625 − + − − − + − + − −
= − − + − − + − − −9 8 4 1 3 2 6252 4 : ·
= −[− 9 + 2] + (9)(−2) − 5
= 7 − 18 − 5 = −16 Rpta
Resolución 24 Sea:
n = cant. palomas al inicio
* Luego: palomas que se van
n − 3(8 − 3) = 28
palomas que regresan
3 tiempos de 10 minutos = 30’
n − 15 = 28 n = 43
* Me piden: Cant. palomas al inicio = n = 43
Rpta.: A
0
Resolución 22 Me piden:
Guerra del Pacífico
Año de Nac. = 1879 − 45 = 1834
Edad
∴ Año de nacimiento = 1834
Rpta.: B
Resolución 23 Tenemos:
• Máximo 3°
< 20 = 18
• 5°
∈ 11 16; = 15
* Luego: n + 18 − 15 = 17
Edad de Mayté
n + 3 =17 n = 14
* Me piden: Edad de Mayté = n = 14 años
Rpta.: C
Resolución 21 Sea:
n = cant. caramelos al inicio
* Luego: Caramelos que repone
n − 3(3) − 2(2) + 2(1) = 29
Caramelos en exceso
n − 9 − 4 + 2 = 29 n = 40
∴ Cant caramelosal inicio.
= n = 40 Rpta.: A
Resolución 25 Veamos:
a) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 33 3 5 : 1 10 4 7 3 : 2− + − + − − − + −
= + − − −4 1 36 4 23 : :
= + − = =4 6 2 8 23 3 Rpta
b) ( ) ( )( )23 3 327 1 : 8 9 3 2− + − − + − + −
+ [3−2(−5+3)](−9+23)
= (–3 − 1) : (−2) + (−6)(4) + (3 + 4)(−1)
= –4 : (−2) − 24 −7
= +2 − 24 − 7
= −29 Rpta
c) − + − −2 5 1 49 3 813 4 : ·
+ − − + °9 5 8 :
=(− 2 − 5) : 7 − 3(3) +1
=(−7) : 7 − 9 + 1
= −1 − 9 + 1 = −9 Rpta
d) 125 1 7 3 2 100 2 23 3 2 4 2: :− + − + − + − −
= − + − + +5 1 7 12 10 16 4: :
= − + + = =5 50 4 49 7 Rpta
CAPÍTULO N° 6
∴ representan al mismo
punto: I ; III y IV Rpta.: D
Podemos observar que:
El más cercano del cero es −15
Rpta.: A
Resolución 2
Vemos que:
I)45
y 8
10 ; simplificando:
8
10
4
5
= 45
45
810
=
II)34
y −34
34
34
> −
III)03
y 02
pero: 03
0=
02
0=
03
02
=
IV)−610
y −35
; simplificando: − = −−6 3
5
3
510
− = −610
35
NIVEL I
Resolución 1
Ubicando los números en la recta
Negativo
Positivo
NÚMEROS RACIONALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 294, 295, 296, 297, 298)
Resolución 4
homogeneizamos los denominadores de las fracciones,obteniendo:
a = =34
6080
b = =58
5080
c = =710
5680
Donde: 6080
5680
5080
> >
Resolución 3
Tenemos que: − = −3 35 3
915
××
− = −3 125 12
3660
××
− = −3 245 24
72120
××
− = − ≠ −3 305 30
90150
80150
××
Por lo que:
− < > − < > − < > −35
915
3660
72120
∴ −80150
es equivalente a las demás fracciones Rpta.: E
Ordenando en forma decreciente:
a > c > b Rpta.: C
Resolución 5
homogeneizamos los denominadores de las fraccionesdadas, obteniendo:
a = =23
2436
b = =712
2136
c = =59
2036
Donde: 2036
2136
2436
< <
Ordenando en forma creciente:
c < b < a Rpta.: D
Resolución 8
Tenemos que:
7 7 14 21n , , ,...
9 9 18 27=
∴ El representante canónico es 79
Rpta.: E
Resolución 12
Resolviendo:
1 2 1 312
34
56
38
3− + −:
= − + −3
2114
116
278
3:
= − + −
32
32
32
= − 32
Rpta.: D
y
Resolución 6
Luego de analizar las alternativas y los extremos de lacondición, tenemos que:
12
1530
= ;23
2030
=
Entonces:1530
2030
< <x
Donde: x = 1830
∴ x = 35
Rpta.: B
Resolución 7
Recuerde que:
ab
es fracción a b⇔ ≠°
Además: 8
42
− = −
05
0= ;123
4=
∴ Son fracciones: 34
69
;−
Rpta.: B
Resolución 9
Resolviendo:
a a= + = + ⇒ =12
13
3 26
56
.
2 7 14 7 43 2 3 2 3
b 4 : : b= = ⇒ =
c c= = ⇒ =10 23
21
43
2
3
2
19
65
× ×
∴ b = c Rpta.: C
Resolución 10
De la propiedad: Am : An = Am − n
Tenemos que:
2516
2516
2516
3 4 3 4 =
−:
Resolución 11
Tenemos que:
649
649
649
3 2 1 2 3 3 =
=
/ /
=
83
3
= 51227
Rpta.: E
=2516
1
−
=1625
Rpta.: B
Resolución 13
W =+
−=
+
−
53
112
38
112
20 112
9 224
W =
2112724
W = ⇒21 243 2
1 112 7
××
W = 6 Rpta.: C
Resolución 14
56
45
964
6 31 31
1
1
239 4
− −
=−
· ×
= − −
65
45
38
12
·
Resolución 15
− = −2 1
52
65
12
2 15
3 2 3
· ·
=25 2161
1
54
54 125
·
=545
= 10 45 Rpta.: A
NIVEL II
Resolución 1
Vemos que si n = 1; 2; 3; 4; ...
Tenemos que:
45
45
810
1215
1620
n = ; ; ; ; ... Rpta.: B
Resolución 2
* Inverso aditivo de − 34
es 34
a = 34
* Inverso multiplicativo de 58
es 85
b = 85
Reemplazando estos valores en:
a ba b
· ·
+=
+
34
85
34
85
= + =
2420
15 3220
24204720
= − −
65
45
18
·
= + =65
110
1310
Rpta.: A
= 24 2047 20
××
∴a ba b
·+
= 2447
Rpta.: D
A bases iguales losexponentes serániguales
A bases igua-les los expo-nentes serániguales
Resolución 3
Tenemos que:
*35
35
1512 =
x
35
35
1512
=
x
15 5
x12 4
= =
*−
= −
8125
8125
53
y
−
= −
8125
8125
53y
y = 53
Reemplazamos los valores de “x” e “y” en:
16 16
54
53 x y/ =
= =16 16434
3 = 23
= 8 Rpta.: A
Resolución 4
−
−
−
13
13
13
4 3 2 5
· ·
De la propiedad: Am ·An · AP = Am+n+P
Tenemos que:
−
= −
= −
+ +13
13
13
4 3 2 5 9 5 45
Rpta.: E
Resolución 5
De las propiedades: Am × An = Am+n
A
AA
m
nm n= −
Tenemos que:
45
45
45
45
45
45
6 8
2 3
6 8
2 3
=
−
−
+ −
− +
×
×
( )
( )
Resolución 7
Sea:49
7121
< <f
1636
21361
< <f
117 18 19 20
f : ; ; ;36 36 36 36
Suma de fracciones
= + + + = =1736
1836
1936
2036
3718
37
18
7436
∴ suma de fracciones = 21
18 Rpta.: E
9A 16
4= × A = 36
Luego: A = 36
∴ A =6 Rpta.: C
Término intermedio
Resolución 6
Sean las fracciones:
3 2 1 1 3, , , ,
5 3 6 3 10− − − −−
Damos común denominador:
18 20 5 10 9, , , ,
30 30 30 30 30− − − − −
Ordenamos en forma creciente:
20 18 10 9 5, , , ,
30 30 30 30 30− − − − −
∴ Término intermedio = − = −1030
13
Rpta.: D
=
−45
45
2
1
=
− −45
2 1( )
= =
=
−45
54
12564
3 3
Rpta.: A
Resolución 8
25
58
45
18
15
52
85
54
8 5
3 2 2
2 3
3 2 2
2 3
=
− − −
− −
· ·
·
· ·
·
=
52
85
54
8 5
3
3
2
2
2
2
2 3
· ·
·
= 5 8 5
2 5 4 8 5
3 2 2
3 2 2 2 3· ·
· · · ·
= = =18 16
1128
1
27·
= 2−7 Rpta.: D
Resolución 9
Sea: A =
−17
214
17
14
2
× × :
A =
17
94
4
17
2× ×
Resolución 10
* Hallamos “A”
A = ++
= + = +21
212
2152
225
A =125
* Hallamos “B”
B= −−
= − = −31
313
3183
338
B=218
Luego, hallamos: AB
Resolución 11
A = +
+
+
− − − −14
16
18
110
2 2 2 2 1 3/
A = + + +4 6 8 102 2 2 2 13/
[ ]1/ 3A 16 36 64 100= + + +
A = =216 21613 3 /
∴ A = 6 Rpta.: E
AB
= = =
125218
12 85
4 87 5
4
721
××
××
∴AB
= 3235
Rpta.: B
Resolución 12
L = − −
45
13
35
25
3 3
L = − −
64125
13
35
8125
L= − −
64125
13
75 8125
L = −
64125
13
67125
L= −64125
673 125×
L= − = − =3 643 125
673 125
192 673 125
1253 125
×× × × ×
∴ L= 13
Rpta.:B
Resolución 13
J= − +
+2
379
127
181
3 2
×
J= − +
+2
3343729
7 27
19
2
×
J = − +23
343 81 19
7
9
1
1729 49
×
J= − +23
7 19 1
19
××
J= − + =6 7 19
09
∴ J = 0 Rpta.: D
Resolución 14
Sea M=
− −
2 1 96
3 91
1 2
31
5
3
1 1
1
1
2
3
3 4 155
15 183
· · : · ·
M=
− −110
112
3 3
:
M = 103 : 123
M= =
=
10
12
10 56
3
3
5
6
33
12
∴ M= 125216
Rpta.: D
Resolución 15
Sabemos que: A Anm m n= ×
Entonces tenemos que:
−
= −
− −8343
8343
48463
483 6 4× ×
=−
−8343
4872
= −
−
8343
482
372
= −
−8
343
23
= −
3438
23
= −
3438
3
2
= −
72
2
=494
=12 14
Rpta.: A
Resolución 22
E 0,24 1,90 :1,4 0,13= × −
E= −22 189 75
1221
15
217
1
2
1545 990 99 90
× : E= −715
75
215
:
E = − = −715
5 215
515
215
1
17
× E= =3 15
1
515
∴ E = 0,2 Rpta.: A
Resolución 16
Sea:18
15n=
n = 8 ×15
∴ n = 120 Rpta.: B
Resolución 17
Sea “m” la cantidad buscada.
Por condición del enunciado:
45
67
702
58
37
2801 5
13
· · · + =
m
24 + m = 25
∴ m = 1 Rpta.: B
Resolución 18
Haciendo traslado de áreas, tenemos que:
Resolución 20
f= +
15 0 16
2, ,
f= +
32
16
2
f=
+ +
32
232
16
16
2 2
·
número de octa-vos
Luego: parte coloreada = S
Parte no coloreada = 3S
fSS
= =3
13
Rpta.: C
Resolución 19
E=−
−=
−
−
32
23
32
23
9 46
32
23
56
3 2
6
=−
= =
5616
5 Rpta.: C
Resolución 21
Del grupo de fracciones:
2063
2684
1035
928
; ; ;
Vemos que: f Mayor1
928
=
f Menor2
1035
=
f
f1
2
51
4 2
9281035
9 35 9 14 228 10
= = =××
××
∴f
f1
2
98
= Rpta.: C
f= + +32
22
1 16
1
2
36
·
f= + = +5
3
106
214
53
212
·
= + =53
183
∴ =
Rpta.: A
Resolución 23
F=−
+
0 02 0 005
0 02 0 005
2
2
, ,
, ,
F=
0 0150 025
2,,
F=
=
=
151000
251000
15 35
23
5
22
25 =
∴ F = 0, 36 Rpta.: D
Resolución 26
A=+2 3 1 2
4
35
14
15
13
45
: ×
A =
+135
134
65
7
245
2
13
: ×
A =+
= =
45
145
245
185245
3
4
1824
A = =34
0 75, Rpta.: B
Resolución 25
De la figura deducimos el área total:
Luego:
ParteSS
= =4 18
1
832
Rpta.: C
Resolución 24
Sea f1 : fracción buscada.
15
141
< <f
1260
15601
< <f
Entonces: f1
1360
1460
: ;
∴ Existen 2 fracciones Rpta.: A
Resolución 27
Sea f parte buscada.
Del enunciado tenemos que:
f·32
423
5 141
1
2
57 25
=
f·3 14 2
5
1
1
7
12 3
=
Resolución 28
Sea “M” lo que falta.
Del enunciado tenemos que:
37
221
18
114
+ + = −M
f·725
=
∴ f= 235
Rpta.: B
9 221
7 456
+
+ = −
M
1121
356
+ =M
M= − = −356
1121
9 88168
∴ M= −79168
Rpta.: D
Resolución 29
Sea “f” la parte
f·56
23
=
f= =2 65
2 21 5
1
2
3×
××
∴ f= 45
Rpta.:A
Resolución 30
Tenemos que:
4 2714271 427
9003844900
,
= − = 62
30=
=2 06,
Rpta.: C
Resolución 31
Sea la fracción equivalente: 7
12nn
7
127
12= n
n
Del enunciado tenemos que:
7n + 12n = 95
19n = 95 → n = 5
Nos piden: 12n − 7n = 5·n
= 5·5
=25 Rpta.: C
Resolución 35
Sea: 0,ab 0,ca 0,bc 1,3+ + =
ab a ca c bc b− + − + − =90 90 90
124
39
10 10 1090
43
a b a c a c b c b+ − + + − + + − =
10 10 1090
43
a b c+ + =
f= −12099
8799
f= =3399
13
∴ Σ de términos = 1 + 3 = 4 Rpta.:C
Resolución 32
Sea “n” la cantidad buscada.
Tenemos que: n1
1658
=
∴ n = 10 Rpta.: C
Resolución 33
Sea ab
la fracción.
Por condición del problema, tenemos que:
a bb b
ab
++
= 3 ·
a bb
ab
+ =2
3
a + b = 6a
b = 6a − a → b = 5a
∴15
= ab
Rpta.: B
Resolución 34
Sea # de alumnos = a
ausentes = xpresentes = a − x
Por datos del problema, tenemos que:
x a x3 7
= − 7x = 3(a − X)
7x = 3a − 3x
7x + 3x = 3a
10x = 3a
xa
= 310
Nos piden:
Ausentesdealumnos
xa#
=
= 310
Rpta.: B
Resolución 36
Por datos:
Parejas bailando = 303030
hombresmujeres
Sentados: 40 hombres y 10 mujeres
Entonces habían: hombres = 70
mujeres = 40
Total = 70 + 40 = 110
Nos piden: Mujeres
Total= =40
110411
Rpta.: D
Resolución 37
Sea “f” la fracción pedida.
f + 0,878787 ...= 1,212121 ...
f + 0,87 = 1, 21
f+ = −8799
121 199
10
9043
a b c+ +=
a b c+ + =9
43
a b c+ + =
9
43
2
a b c+ + =
9169
∴ a + b + c = 16 Rpta.: C
Resolución 38
Sea “n” lo que debemos sumar.
38
56
++
=nn
6(3 + n) = 5(8 + n)
18 + 6n = 40 + 5n
6n − 5n = 40 −18
∴ n = 22 Rpta.: B
Resolución 39
Sea x = total de personas.
Por dato: # de hombres = x4
# de mujeres = 34x
También: solteros = 13 4 12
·x x =
Casados = 10
Luego: # de hombres = solteros + casados
= +
x x4 12
10− =
312
10x x− =
= → x = 60
# de mujeres = 34
3 604
x = ·
∴ # de mujeres = 45 Rpta.: B
Resolución 40
Sea el número entero “n”·
Del enunciado tenemos que:
13
25
14
35
38 5
250n n n
+
−
=
215
320
340
250n n n+ − =
16 18 9120
250n n n+ − =
25120
250
110n =
∴ n = 1 200 Rpta.: D
Resolución 7 Sea el número: n
* Luego: n
0 0360 45
,,=
n = 0,0036 × 0,45 = 0,0162
Rpta.: A
Resolución 14 Veamos:
k =− +
=− +1
30 5
59
712
13
12
59
712
,
k = = =7 187 12
23
0 6//
, Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 324, 325, 326)
NIVEL I
Resolución 1 Me piden:
k = + −
12
0 434
5, ·
k = (0,5 + 0,4 - 0,75) · 5
k = (0,15) · 5 = 0,75 = 3/4
∴ k = 3/4 Rpta.: A
Resolución 2 Me piden :
k = (0,6 − 0,05) : 0,5
k = (0,55) : 0,5 = 1,1
∴ k = 1,1 Rpta.: D
Resolución 3 Me piden:
1k 0,2 : 0,2
3 = −
1 1 2k :
5 3 9 = −
2 2 3k :
15 9 5−= = − Rpta.: D
Resolución 4 Me piden:
k = = =23
12 96 2 4 32 8 64, · , ,
k = 8,64 Rpta.: C
Resolución 5 Veamos:
34
3 254 25
75100
= =××
Rpta.: B
Resolución 6 Veamos:
( )0,5 0,02 0,6 0,48 0,6k
0,45 : 0,9 2 0,5 2
− ⋅ ×= =+ +
k = 0 =,,
,288
2 50 1152 Rpta.: A
Resolución 8 Tenemos: x = 0,3
* Me piden:
x2 + x + 1 = (0,3)2 + (0,3) + 1
x2 + x + 1 = 0,09 + 0,3 + 1
x2 + x + 1 = 1,39 Rpta.: D
Resolución 9 Veamos:
k = (0,01)3 = (10−2)3 = 10−6
k = 0,000001 Rpta.: E
Resolución 10 Me piden:
k = = =0 4 0 00120 0024
0 00120 006
0 2, · ,
,,,
,
k = 0,2 = 1/5 Rpta.: C
Resolución 11 Veamos:
8,21 × 10−5 = 0,0000821 Rpta.: D
Resolución 12 Veamos:
I. 3,5 × 103 = 3500 ≠ 35000 ( X )
II. 3,5 × 104 = 35000 = 35000 ( )
III. 35 × 102 = 3500 ≠ 35000 ( X )
IV. 0,35 × 105 = 35000 = 35000 ( )
∴ Son equivalentes: II y IV
Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
0,00085 = 8,5 × 10−4 Rpta.: E
Resolución 15 Veamos:
−2/3 = −0 6,
Rpta.: D
Resolución 16 Veamos:
0 889
,
= Rpta.: B
Resolución 17 Veamos:
0 2323 2
902190
730
,
= − = =
0 23730
,
= Rpta.: C
Resolución 18 Veamos:
36,86 : 0,2
368,6 : 2 Rpta.: C
Resolución 19 Veamos:
a
b
c
d
=
=
==
0 6
0 6
0 06
0 60
,
,
,
,
a
b
c
d
≈≈≈≈
0 6000
0 6666
0 0666
0 6060
,
,
,
,
* Luego, comparando: c < a < d < b Rpta.: E
Resolución 20 Veamos:
I. 0,6 × 103 = 600 ≠ 6000 ( X )
II. 0,06 × 105 = 6000 = 6000 ( )
III. 6 × 102 = 600 ≠ 6000 ( X )
IV. 6 × 103 = 6000 = 6000 ( )
∴ Son equivalentes: II y IV Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1 Me piden:
k = 0,000025 × 0,004
k = 0,25 × 10−4 × 4 × 10−3
k = (0,25 × 4) × 10−7 = 1 × 107
k = 1 × 10−7 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
A)15
25
35
45
5< < < ×
1 < 2 < 3 < 4 ... (Verdadero)
B) 0,06 < 0,6 < 0,6
0,06 < 0,60 < 0,66 ... (Verdadero)
C) 0,003 < 0,03 < 0,3 0,003 < 0,030 < 0,300 ... (Verdadero)
D )13
39
927
2781
= = =
13
13
13
13
= = = ... (Verdadero)
E)35
0 2 0 4< <, ,
0,6 < 0,2 < 0,4 ... (Falso)
∴ Es falso (E) Rpta.: E
Resolución 3 Me piden:
x = (0,6)2 + (0,05)2 − (0,4)2
x = +
−
610
5100
410
2 2 2
x = + −36100
2510000
16100
x = + − = =3600 25 160010000
81400
0 45 2,
Rpta.: B
Resolución 4 Me piden:
k =− − −
10 0 5 102 2 3 2 · , ×
k = − − −10 5 104 4 2
· × k = 10−4 · 5–2 · 108 = 5–2 · 104
k = =1000025
400
k = 400 = 4 × 102 Rpta.: D
Resolución 5 Tenemos:
1 30,2; ; ; 0,6; 0,4
5 5− −
0,2 0,6
* Ordenando de menor a mayor:
−0,6 < −0,2 < 0,2 < 0,4 < 0,6
−0,6 < −0,2 < 15
< 0,4 < 35
Rpta.: E
Resolución 6 Veamos:
0,00000213 = 2,13 × 10p
2,13 × 10−6 = 2,13 × 10p
* Comparando: p = −6 Rpta.: E
Resolución 7 Veamos:
x0 + x1 + x2 + x3 = 1,111
x0 + x1 + x2 + x3 = 1 + 0,1 + 0,001 + 0,001
=1 + 10−1 + 10-2 + 10-3
=(10-1)0 + (10−1)1
+(10−1)2 + (10-1)3
* Comparando: x = 10−1 = 0,1
Rpta.: C
6k2 − 13k + 6 = 0
2k −3 k = 3/2
3k −2 k = 2/3
∴ k = 3/2 ∨ k = 2/3 Rpta.: B
Resolución 8 Veamos:
k = 0,0002 × 0,002 × 0,02
k = (2 × 10−4) (2 × 10−3)(2 × 10−2)
k = 8 × 10−9 Rpta.: D
Resolución 9 Veamos:
k = (10−2 − 10-3)2
k = (0,01 − 0,001)2
k = (0,009)2 = (9 × 10−3)2
k = 81 × 10−6 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
10011 + 11·10k = 11111
11·10k = 1100 = 11·102
10k = 102
k = 2 Rpta.: E
Resolución 11 Tenemos:
N = 1 030 000 000
N = 1,03 × 1 000 000 000
N = 1,03 × 109 Rpta.: E
Resolución 12 Veamos:
• a = (0,2)3 · (0,3)3
a = (2 × 10−1)3 · (3 × 10−1)3
a = 8 · 10-3 · 27 · 10−3
a = 8 × 27 × 10−6
• b = (0,08)·(0,0027)
b = (8 · 10−2) · (27 · 10−4)
b = 8 × 27 × 10−6
• c = (0,008) · (0,027)
c = (8 × 10−3) · (27 × 10−3)
c = 8 × 27 × 10−6
* Luego: a = b = c Rpta.: E
Resolución 13 Sea la fracción: ab
k=
* Luego: ab
ba
+ = 2 0833, ...
kk
+ =12 083,
kk
23757525
1803612
1 2083 208900
1875900
2512
+ = − = =
Resolución 14 Sea la fracción: kab
=
* Luego: k
k1
3 2249
16949
= =
k2 16949
= k = 137
Rpta.: B
Resolución 15 Sea la fracción: kab
=
* Luego: kk
+ = =12 166 2 16, ... ,
kk
2 1 216 2190
19590
136
+ = − = =
k
k
2 1 136
+ =
6k2 + 6 = 13k
k
k
2 1 2512
+ =
12(k2+1) = 25k
12k2 − 25k + 12 = 0
4k −3 k = 3/4
3k −4 k = 4/3
∴ k = 3/4 ∨ k = 4/3 Rpta.: C
Resolución 16 Tenemos: k ← impar
k k11
0 52
11< < +
,
k k11
59
211
< < +
9k < 55 < 9(k + 2)
* Como: k ∈ ∧ k ← #impar k = 5
* Ahora:
• k/11 = 5/11 = 0,45 63 − 45 = 18
• (k + 2)/11 = 7/11 = 0,63
Rpta.: E
57
38 39
359
2k = − =
2
2 7 35 49 7k ·
5 9 9 3 = = =
k = 73
ab
= 73
* Me piden:
Σ términos(k) = a + b = 7 + 3 = 10
Rpta.: D
Resolución 19 Veamos:
k =0 12323 3 66
6 77
, ... , ..
, ...
k =
0 123 3 6
6 7
, ,
,
K =
−
−
−
123 1990
36 39
67 69
·
122 33 619990 9 135K
6161 13599
= = =
k = =9135
115
Rpta.: B
Resolución 17 Veamos:
1,000 185 925 0, 0054054 ... 750 740 1000 925 750 740 10
1
1850 0054054= , ... = 0,0054
* Me piden:
Σ cifras(Período) = 0 + 5 + 4 = 9
Σ cifras(Período) = 9 Rpta.: E
Resolución 18 Sea: kab
=
* Luego: 57
3 8kk = ,
Resolución 20 Tenemos:
ka=
10 ← Irreductible a ∧ 10 ← P.E.S.I
* Además:
12 10
43
< <a 5 < a < 40/3
* Como:
a; 10 ← P.E.S.I a = 7; 9; 11; 13
∴ Cant.(k) = Cant.a
10 = Cant.(a) = 4
Cant.a
104
= Rpta.: B
Resolución 21 Me piden
K = 0,98 − 0,97 + 0,96 − 0,95 + ... – 0,01
k = (0,98 − 0,97) + (0,96 − 0,95) + ... +(0,02 − 0,01)
k = + + +0 01 0 01 0 01
49
, , ... ,
" "términos
k = 49 · 0,01
k = = =491
994999
0 49· ,
k = 0,49 Rpta.: B
Resolución 22 Me piden:
( ) ( )3S 0,216 0,4 : 0,166... 0,1= − +
( ) ( )3 3 3S 6 10 4 / 9 : 0,16 0,1−= × − +
1 2 16 1 1S 6 10 :
3 90 10− − = × − +
6 2 15 1S :
10 3 90 10 = − +
9 10 5 3 1 4S : :
15 30 15 15− + − = =
1S 0,25
4= − = −
Rpta.: D
Resolución 23 Me piden:
∆ = −23
57
611
7 0 36
2
· · · ,
∆ = −2011
3699
∆ = − =2011
411
1611
Rpta.: D
Resolución 24 Me piden:
k = = − = =0 3
0 35
39
35 390
13
1645
4548
,
,
k = 1516
Rpta.: D
Resolución 28 Tenemos:
fkk
= = =0 229
29
,
fkk
= 29
* Además:
• 15 < Numerador < 35
15 < 2k < 35
7,5 < k < 17,5 ... (I)
• 50 < Denominador < 75
50 < 9k < 75
5,5 < k < 8,3 ... (II)
* (I) ∩ (II):
• 05 6
18,ba
a= +
ba b a− = +
905 6
18
18 90 5 6ba b a− = +
1(10b + a − b) = 5(5a + 6)
9b + a = 25a + 30
9b − 24a = 30
3b − 8a = 10 ...(II)
* De (I) ∧ (II):
14 9 753 8 10
b ab a
− =− =
ab
==
16
* Ahora:
E = 0,ab + 0,b
a
E = 0,16 + 0,6
1
E = 0,1666 ... + 0,6111 ...
E = 0, 77 7 ...
∴ Tercera cifra
decimal
= 7
Rpta.: E
k 7,5 ; 8,3∈
* Como: k ∈ k = 8
* Me piden: fkk
= = =29
2 89 8
1672
( )( )
Rpta.: D
8,3
Resolución 25 Veamos:
k a a= 0 2 2,
ka a a
=−2 2 2
90
ka a a a=
+ −=
10 2 2 2
9029
·
ka= 2
9Rpta.: C
Resolución 26 Veamos:
a b 781 70,781
5 11 990
−+ = =
a b 774 43
5 11 990 55+ = =
11 5
554355
a b+ =
11a + 5b = 43
3 2 ab
==
32
* Me piden: a + b = 3 + 2 = 5
Rpta.: C
Resolución 27 Veamos:
E = −2 3 0 375 0 83 1 3, × , , : ,
23 2 375 83 8 13 1
E :9 1000 90 9− − −= ⋅ −
E = −219
38
7590
129
· :
E = − = =78
58
14
1 2/
∴ E = 1/2 = 0,5 Rpta.: B
Resolución 29 Veamos:
• 05
6,ab
b= −
ab a b− = −
905
6
6 90 5ab a b− = −
1(10a + b − a) = 15(b − 5)
9a + b = 15b − 75
9a − 14b = −75
14b − 9a = 75 ... (I)
CAPÍTULO N° 7
FUNCIONES Y PROPORCIONALIDAD (Pág. 348, 349, 350)
Resolución 1
A = 2; 3; 4 ∧ B = 7; 8
Es una función no se repite la prime-ra componente de los pares ordena-dos , no interesa si la segunda com-ponente se repite.
Cumple: C) (2; 7) , (3; 7), (4; 8)
Rpta.: C
Resolución 2
A = 1; 2; 3 ∧ B = 6; 9; 12
f : A → B / y = 3x
f : (2; 6) , (3; 9)
∴ Dom f = 2; 3 Rpta.: B
Resolución 3
Para que sea una función del conjun-to de partida debe salir una sola fle-cha hacia el conjunto de llegada.
Cumple
Rpta.: D
Resolución 4
f = (2;8), (3; 7), (5; 6), (9; 6)
g = (3; 5) , (5; 7), (4; 9)
Dom (f) = 2; 3; 5; 9
Dom(g) = 3; 5; 4
∴ Domf ∩ Dom g = 3; 5 Rpta.: A
Resolución 5
Cada elemento del conjunto de parti-da debe tener una sola imagen en elconjunto de llegada.Cumple:
Rpta.: C
Resolución 6
f(x) = 3x – 8
g(x) = 4x + 11
f(3) = 3(3)– 8 f(3) = 1
g(2) = 4(2) + 11 g(2) = 19
f(3) + g(2) = 1 + 19
∴ f(3) + g(2) = 20 Rpta.: A
Resolución 7
P(x) = 3x2 – 2x + 1
P(1) = 3(1)2 – 2(1) + 1 P(1) = 2
P(P(1)) = P(2) = 3(2)2 – 2(2) + 1
∴ P(P(1)) = 9 Rpta.: D
Resolución 8
Q(x – 3) = 4x + x2
Q(0) x – 3 = 0 x = 3
Q(0) = 4(3) + 32
∴ Q(0) = 21 Rpta.: E
Resolución 4
f(x) = ax + 7
(2; 15) ∈ f
f(2) = a·2 + 7 = 15 a = 4
f(x) = 4x + 7
f(3) = 4(3) + 7
∴ f(3) = 19 Rpta.: A
Resolución 9
Resolución 13
N° obreros N° horas 12 10 15 8 ?? 40
El producto debe ser constante.
12· 10 = 15· 8 = x· 40
∴ x = 3 Rpta.: B
f(5) + f(6) + f(7) – f(8) = 11+10+12–12
∴ f(5)+f(6)+f(7)–f(8) = 21 Rpta.: A
Resolución 10
xQ 8x 5
2 = +
Q(3) x
32
= x = 6
Q(3) = 8· 6 + 5 Q(3) = 53
Q(4) x
42
= Q(4) = 69
Entonces:
Q(3) + Q(4) = 53 + 69
∴ Q(3) + Q(4) = 122 Rpta.: C
Resolución 11
N° Libros Precio 4 60 3 45 5 ??
Directamente proporcionales:
60 45 x
4 3 5= =
∴ x = S/. 75 Rpta.: D
Resolución 12
Precio de entrada = 180
1512
=
7 personas pagan = 15· 7
∴ 7 personas pagan = 105 Rpta.: A
Resolución 14
Espacio = velocidad · tiempo
e1 = e2km
72 · 6hh
= km
48 · xh
∴ x = 9h Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
f = (3; 8) , (2; 7) , (3; a)
(3; 8) = (3; a)
∴ a = 8 Rpta.: D
Resolución 2
A = 1; 2; 3; 4; 5
R1 = (4; 1);(4; 2);(4; 3); ... no es función
R2 = (1; 4);(2;4);(3;4);(4;4);(5;4) sí es función
R3 = (1;5);(5;1);(2;4);(4;2) sí es función
R4= ....... no es función
R5=(1;2);(1;3);(1;4);(1;5) no es función
∴ Son funciones R2 y R3 Rpta.: B
Resolución 3
A 2x / 5 x 10 ; x IN= ≤ < ∈
B 2x 1/1 x 5;x IN= − < ≤ ∈
A= 10; 12; 14; 16; 18B = 3; 5; 7; 9
( ) xF x;y A B/ y
2 = ∈ × =
∴ F = (10; 5),(14; 7),(18; 9) Rpta.: A
Resolución 5
A x IN /0 x 6= ∈ < <f = (1; 3),(4; a+1),(a+1;2),(1;a–1)
Entonces: (1; 3) = (1; a–1) 3 = a–1
∴ a = 4
Luego:
f=(1;3),(4;5),(5;2),(1;3)
f(a) = f(4) = 5 Rpta.: E
Resolución 7
f(x) = 4x – 1
g(x) = 2x + 3
g(3) = 2(3) + 3 g(3) = 9
f(g(3)) = f(9) = 4· 9 – 1
∴ f(g(3)) = 35 Rpta.: B
De las dos figuras:
f(1) = 5
G(f(1)) = G(5) = 4
f(3) = 2
G(f(3)) = G(2) = 6
Nos piden:
f(1) G(f(1)) 5 4L
f(3) G(f(3)) 2 6+ += =+ +
∴ 9
L8
= Rpta.: C
Resolución 6
Resolución 8
( )f x 2 x 7+ = +
f(4) = f(x + 2) 4 = x + 2 x = 2
f(4) 2 7= + f(4) = 3
g(x 1) x 8− = +
g(7)=g(x – 1) 7 = x – 1 x = 8
g(7) 8 8= + g(7) = 4
f(4) + g(7) = 3 + 4
∴ f(4) + g(7) = 7 Rpta.: C
Resolución 9
2x 1F(x)
x 1+=
−
2· 2 1F(2)
2 1+=
− F(2) = 5
2· 5 1 11F(F(2)) F(5)
5 1 4
+= = =
−
∴ 34
F(F(2)) 2= Rpta.: D
Resolución 10
f(x) = x 1
2x 1
+−
f(1) = 1 1
2·1 1
+− f(1) = 2
f(3) = 3 1
2· 3 1+− f(3) =
45
f(2) = 2 1
2· 2 1
+− f(2) = 1
Entonces:
45
2f(1) f(3)M
f(2) 1
++= =
∴ 14
M5
= Rpta.: E
Resolución 11
1 libro = S/.86
2 1 libro = S/. 43
5 libros = 5· S/. 43
∴ 5 libros = S/. 215 Rpta.: B
Las magnitudes de la figura son di-rectamente proporcionales, entonceslos cocientes de estas magnitudesson constantes.
108 144 x
3 4 5= =
108 x
3 5=
∴ x = S/. 180 Rpta.: C
Resolución 12
Resolución 13
El producto de las magnitudesinversamente proporcionales es cons-tante.
60· 3 = 45· 4 = x· 5
60· 3 = x· 5
∴ km
x 36h
= Rpta.: B
Se cumple:
N° de vueltas (1) × radio(1)
= N°vueltas(2) × radio(2)
n· 10 = 15
1802
⋅
∴ n = 135 rev. Rpta.: A
V
t
Resolución 14
CAPÍTULO N° 8PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
SOBRE RAZONES Y PROPORCIONES (Pág. 372, 373, 374)
NIVEL I
Resolución 1 Sean los números: a; b
* Luego:
• a − b = 16 ... (I)
• a 3
b 1=
a k
b k
==
3
* Reemplazando en (I):
3k − k = 16
2k = 16 k = 8
* Me piden: # menor = b = k = 8
Rpta.: B
Resolución 2 Tenemos:
•ab
= 34
a k
b k
==
3
4
* Reemplazando en:
• a + b = 28
3k + 4k = 28
7k = 28 k = 4
* Me piden: b = 4k = 4(4) = 16
Rpta.: C
Resolución 3 Sean los números: a ; b
* Luego: ab
= 52
a k
b k
==
5
2
* Además: a − b = 6
5k − 2k = 6
3k = 6 k = 2
* Me piden: # mayor = a = 5k = 5(2) = 10
Rpta.: D
Resolución 4 Tenemos:
21 74n
= n = =21 47
12×
∴ # menor = n = 12 Rpta.: B
Resolución 5 Sean los lados: a ; b
* Ahora, veamos:
* Dato: b
0,4a
=
ba
= 25
b k
a k
==
RST2
5
* Además: Perímetro ABCD = 60
4a = 60 4(5k) = 60 k = 3
* Me piden:
Perímetro MNPQ = 4b = 4(2k) = 8k
Perímetro MNPQ = 8(3) = 24
Rpta.: B
Resolución 6 Tenemos:
# mayor
a b c3 5 2
= =
* Dato: # mayor = 30 b = 30
* Ahora: a c3
305 2
= = a
c
==
RST18
12
* Me piden: #menor = c =12 Rpta.: A
Resolución 7 Tenemos:
a b ck
2 5 8= = =
a k
b k
c k
===
RS|
T|
2
5
8
* Dato: Σ 2 menores = 35 a + b = 35
2k + 5k = 35
7k = 35 k = 5
* Me piden: # mayor = c = 8k = 8(5) = 40
# mayor = 40 Rpta.: C
* Dato:
2 12
31
xx
+−
= 1·(2x + 1) = 3(x − 2)
2x + 1 = 3x − 6 x = 7
* Me piden: S = 3(x − 2) = 3(7 − 2) = 15
Rpta.: B
Resolución 8 Tenemos:
Resolución 9 Tenemos:
•ab
= 73
a k
b k
==
RST7
3
* Ademas: • a + b = 20
7k + 3k = 20 10k = 20 k = 2
* Me piden: • a − b = 7k − 3k = 4k
a − b = 4(2) = 8 Rpta.: B
Resolución 10 Tenemos:
•mn
= 611
m k
n k
==
RST6
11
* Además: n − m = 25
11k − 6k = 25
5k = 25 k = 5
* Me piden: m + n = 6k + 11k
m + n =17k = 17(5) = 85
m + n = 85 Rpta.: C
Resolución 11 Veamos:
•p q5 7
= p k
q k
==
RST5
7
* Además: 2p − q = 12
2(5k) − 7k = 12
3k = 12 k = 4
* Me piden: p = 5k = 5(4) = 20
Rpta.: B
Resolución 12 Tenemos:
Hace 3 años ActualPedro 5k − 3 5kJuan 4k − 3 4k
* Dato: 5 34 3
75
kk
−−
=
5(5k − 3) = 7(4k − 3)
25k − 15 = 28k − 21
3k = 6 k = 2
* Me piden:
Edad de Juan
dentro de años6FHG
IKJ = 4k + 6 = 4(2) +6 = 14
Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
* Luego; tenemos:
* Dato:
Volumen AVolumenB
= 74
4015
74
−+
=xx
160 − 4x = 105 + 7x
11x = 55 x = 5 Rpta.: D
Resolución 6 Sea: V Cant vino
A Cant agua
==
RST.
.
* Luego: V 3A 1
= V k
A k
==
RST3
• V − A = 28
3k − k = 28 2k = 28 k = 14
* Me piden:
Volumen total = V + A = 3k + k = 4k
Volumen total = 4(14) = 56
Rpta.: C
Resolución 14 Veamos:
Edad Actual Dentro 6 años Susana 4k 4k + 6 María 3k 3k + 6
* Además; dato: 4 63 6
65
kk
++
=
5(4k + 6) = 6(3k + 6)
20k + 30 = 18k + 36
2k = 6 k = 3
* Me piden:
Edad actual
de MaríaFHG
IKJ = 3k = 3(3) = 9
Rpta.: B
Resolución 15 Tenemos:
•ab
= 117
a k
b k
==
RST11
7
* Me piden: 2a b 2(11k) 7k
Ea b 11k 7k
− −= =+ +
Ekk
= 1518
E = 56
Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1 Sean los números: a ; b
* Luego: • a − b = 30 ... (I)
• ab
= 6 a k
b k
==
RST6
* Reemplazando en (I): a − b = 30
6k − k = 30
5k = 30 k = 6
* Me piden: a + b = 6k + k = 7k = 7(6) = 42
a + b = 42 Rpta.: C
Resolución 2 Sean los números: a ; b
* Luego: • ab
= 47
a k
b k
==
RST4
7
• a + b = 44
4k + 7k = 44
11k = 44 k = 4
* Me piden: b − a = 7k − 4k
b − a = 3k = 3(4) = 12
Rpta.: B
ó
Resolución 3 Sea:
a Edad de Nataly
b Edad de Vanessa
c Edad de Karina
===
RS|
T|
* Luego; dato: • a − b = 12• b − c = 8
a − c = 20
* Me piden:
Razon aritmética entre
Nataly y Karina
= a − c = 20
Rpta.: B
Resolución 4 Sean los números: a ; b
* Luego: • ab
= 85
a k
b k
==
RST8
5
• a − b = 15
8k − 5k = 15
3k = 15 k = 5
* Me piden: a + b = 8k + 5k
a + b = 13k = 13(5) = 65
∴ a − b = 65 Rpta.: C
Resolución 5 Sean los números: a ; b
* Luego; dato:
•ab
= 34
a k
b k
==
RST3
4
• a·b = 48
(3k)(4k) = 48
12k2 = 48 k = 2
* Me piden: # mayor = b = 4k = 4(2) = 8
Rpta.: B
Resolución 9 Tenemos:
a b c2 3 4
= =
a k
b k
c k
===
RS|
T|
2
3
4
* Además: a + 2b = 24
2k + 2(3k) = 24
8k = 24 k = 3
* Me piden: c = 4k = 4(3) = 12
Rpta.: C
•Bb
= 52
B k
b k
==
RST5
2
•Perim Mayor 2Perim Menor 1
=
2 102 7
2( )( )Bb
++
= 2(B + 10) = 4(b + 7)
2B + 20 = 4b + 282B − 4b = 82(5k) − 4(2k) = 8 2k = 8 k = 4
* Me piden:S = 7·b = 7(2k) = 14k = 14(4) = 56
S = 56 Rpta.: C
Resolución 7 Veamos:
•AB
= 57
A k
B k
==
RST5
7
• A + B = 180
5k + 7k = 180
12k = 180 k = 15
* Me piden: B − A = 7k − 5k = 2k
B − A = 2(15) = 30
Rpta.: C
Resolución 8 Veamos:
Resolución 10 Tenemos:
p q r3 4 7
= =
p k
q k
r k
===
RS|
T|
3
4
7
* Además: p + 2r = 34
3k + 2(7k) = 34
17k = 34 k = 2
* Me piden: q = 4k = 4(2) = 8
Rpta.: B
Resolución 11 Tenemos:
a ba b
+−
= 72
( ) ( )( ) ( )a b a ba b a b
+ + −+ − −
= +−
7 27 2
22
95
ab
= ab
= 95
Rpta.: C
Resolución 12 Sea:
A Edad de Ana
B Edad de Patricia
==
RST
* Luego; dato:
•Ap
= 74
A k
p k
==
RST7
4
•Ap
−−
=88
52 2 (A − 8) = 5(p − 8)
2A − 16 = 5p − 40
2(7k) − 16 = 5(4k) − 40
−6k = −24 k = 4
* Ahora: A + x = 30
Cant. años para cumplir 30
7k + x = 30
7(4) + x = 30 x = 2
Rpta.: A
Resolución 13 Veamos:
Edad Actual Dentro “x” años Carlos 12 12 + x Raúl 14 14 + x
* Luego: 1214
910
++
=xx
120 + 10x = 126 + 9x x = 6
Rpta.: C
Resolución 14 Tenemos:
a b c2 3 5
= =
a k
b k
c k
===
RS|
T|
2
3
5
* Me piden: 32
3 2 32 3 5
99
a bb c
k kk k
kk
+−
= +−
= =( ) ( )( ) ( )
32
9a bb c
+−
= Rpta.: D
Resolución 20 Tenemos:
ab4
1512
25= = a
b
==
RST5
20
* Me piden: a + b = 5 + 20 = 25
Rpta.: C
Resolución 21 Veamos:
* Dato: ba
= =0 845
,
a k
b k
==
RST5
4
* Además: Perím Menor = 48
6b = 48
6(4k) = 48 k = 2
* Me piden:
Perím. Mayor = 6a =6(5k) = 30k
Perím. Mayor = 30(2) = 60
Rpta.: C
Resolución 22 Tenemos:
•AB
= 38
A B
3 8=
•B 4C 9
= B C8 18
=
* Luego: A B C
3 8 18= =
A c3 18
= Ac
= 16
Rpta.: D
Resolución 23 Tenemos:
* Dato: 2 6
876
xx
++
=
12x + 36 = 7x + 56
5x = 20 x =4
CC
Resolución 16 Veamos:
• 16 − x = x − 10 x = 13
• 14 − 8 = 12 − y y = 6
* Me piden: x + y = 13 + 6 = 19
Rpta.: D
Resolución 17 Veamos:
• 24 − x = x − 18 x = 21
20 − 12 = 12 − y y = 4
* Me piden: x − y = 21 − 4 = 17
Rpta.: B
Resolución 18 Veamos:
a b c2 5 7
= =
a k
b k
c k
===
RS|
T|
2
5
7
* Además: # mayor − # menor = 40
c − a = 40
7k − 2k = 40
5k = 40 k = 8
* Me piden:
a + b + c = 2k + 5k + 7k = 14k
a + b + c = 14(8) = 112
∴ a + b + c = 112 Rpta.: C
Resolución 19 Tenemos:
a b c3 5 2
= =
a k
b k
c k
===
RS|
T|
3
5
2
* Además: 3a − b + c = 42
3(3k) − (5k) + (2k) = 42
6k = 42 k = 7
* Dato: Hh
= 53
H k
h k
==
RST5
3
* Además: S∆ 1 = 20
Hb2
20= ( )52
20k b = kb = 8
* Me piden:
S =12
12
332
h b k b k b· ·= =b gb g b g
S = 32
8 12b g = Rpta.: B
Resolución 15 Veamos: * Me piden: E = a + 2b − 5c
E = 3k + 2(5k) − 5(2k)
E = 3k + 10k − 10k = 3k = 3(7)
∴ E = 21 Rpta.: B
* Ahora:
14 − y = 12 +y
2 = 2y y =1 Rpta.. C
Resolución 24 Veamos:
a ba b
+−
= 53
a b a b
a b a b
+ + −+ − −
= +−
b g b gb g b g
5 35 3
22
82
ab
= a 4
b 1=
a k
b k
==
RST4
* Además: # mayor + 3 # menor = 14
a + 3b = 14
4k + 3(k) = 14 k = 2
* Me Piden: # menor = b = k = 2
∴ # menor = 2 Rpta.. A
CAPÍTULO N° 9PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
SOBRE TANTO POR CIENTO (Pág. 394, 395, 396)
NIVEL I
Resolución 1
k = 12%(25%)(4500)
K = FHG
IKJFHG
IKJ
12100
25100
4500b g
k = =300 4500100 100
3 45××
×
k = 135 Rpta.: E
Resolución 2 Veamos:
I. 20% (40) = 8
20100
40 8· b g = 8 = 8 .... (V)
II. 30% (2×80) = 30
30100
160 30b g = 48 = 30 ... (F)
III. (4%)(5%)(1000) = 2
4100
5100
1000 2FHG
IKJFHG
IKJ =b g 2 = 2 ... (V)
IV. 60%(180) = 108
60100
180 108· b g = 108 = 108 ... (V)
∴ Tenemos: VFVV Rpta.: B
Resolución 3 Sea el número: n
* Luego: 20%(10%)·(n) = 12
20
10010
10012· · n = n = 600
* Me piden: 25%n = 25
100600 150· ( ) =
25%n = 150 Rpta.: D
Resolución 4 Veamos:
A = 36%(5%)(2000)
A = 36100
5100
2000· · A = 36
* Me piden:
12%(A + 64) = 12100
· (36 + 64)
12% (A + 64) = 12100
· (100) = 12
12%(A + 64) = 12 Rpta.: C
Resolución 5 Sea la cantidad: n
* Luego: n − 20% n = 16
80%n = 16 80
100·n = 16
1600
n 2080
= = n = 20
* Me piden: cantidad = n = 20
Rpta.: B
Resolución 6 Me piden:
k = 2%N + 3N + 28% N
K = N·(2% + 300% + 28%)
k = 330%N Rpta.: B
Resolución 18 Me piden:
k = FHG
IKJ15 10 40
200 0002
%( %)( %)
k = 15100
10100
40100
100 000× × ×
k = =600 000 0001000 000
600
k = 600 Rpta.: D
* Me piden: k SS
ABCD
= × %100
kS S S
S= + + =2
16100
14
100× % × %
k= 25% Rpta.: B
Resolución 8 Veamos:
Descuentos
D = (100% − 40%)(100% − 30%)
D = (60%)(70%)
D = 60100
70· ( %)
D = 42% Rpta.: E
Resolución 9 Me piden:
% Ganancia = 144 120
120100
−× %
% Ganancia = 24
120100 20× % %=
% Ganancia = 20% Rpta.: C
Resolución 10 Sea lo pedido: x
* Luego:
20%(50) = 80%(10) + 50%(x)
20100
5080
10010
50100
· ( ) · ( )= + (x)
10 = 8 + x2
x = 4 Rpta.: B
Resolución 11 Sea:
p = precio del libro
* Luego: p − 30%p = 21
70% p = 21
70
100·p = 21 p = 30 Rpta.: B
Resolución 12 Veamos:
25% x = 160
25100
·x = 160 x = 1600025
x = 640 Rpta.: D
Resolución 13 Veamos:
a% (b) = 5a
a
b a100
5· =
b = 500 Rpta.: C
Resolución 14 Me piden
k = 70 + 30% 70
k = 130% (70)
k = 130100
·(70) k = 91 Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
368 = n − 54% n
368 = 100%n − 54%n
368 = 46%n
368 = 46
100·n n = 800 Rpta.: B
Resolución 16 Veamos:
112112100
2825
5628
5025
% = =
1122825
% = Rpta.: C
Resolución 17 Veamos:
% = 1825
×100% = 18 × 4%
% = 72% Rpta.: B
Resolución 7 Veamos:
Resolución 22 Veamos:
k = − − = − − =32
58
34
12 5 68
18
k = =18
100 12 5× % , %
∴ k= 12,5 % Rpta.: C
Resolución 23 Veamos:
720 − x%(720) = 540
Descuento
720 − 540 = x% 720
180100
720= x( )
x = 18000720
x = 25
* Me piden: x% = 25% Rpta.: D
* Luego: %S = S
STotal
= 65165
100× %
% S =300
837 5% , %=
Rpta.: B
Resolución 25 Sea:
n = Cant. manzanas compradas
* Luego: n + 5%n = 420
100%n + 5%n = 420
105%n = 420
105100
420· n = n = 42000105
∴ n = 400 Rpta.: C
SS
Resolución 19 Me piden:
k = 10%(2/5)·(40%)(6000)
k = 10100
25
40100
6000· · ·
k = =4800 00050 000
96
k = 96 Rpta.: A
Resolución 20 Veamos:
k = 3A − 128%A − A2
k = 3A×100% − 128% A − A2
× 100%
k = 300% A − 128% A − 50% A
k = (300% − 128% − 50%) ·A
k = 122% A Rpta.: D
Resolución 21 Tenemos:
Cant bresCant mujeres
. hom
.=
=RST
126224
* Me piden:
% Mujeres = Cant mujeres
Total. =
+224
126 224
% Mujeres = 224350
100 64× % %=
∴ % mujeres = 64% Rpta.: B
Resolución 24 Veamos:
NIVEL II
Resolución 1 Me piden:
k = 5%(8%)(12 000)
k = 5100
8100
12000× ×
k = =480 000100 000
48 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
50%(1/3)(M) = 6
50 1M 6
100 3× × =
M = 180050
M = 36 Rpta.: C
Resolución 3 Veamos:
• Cant. varones = 40
• Total = 100
* Me piden:
% No varones = Total Cant.varones−
Total× %100
% no varones = 100 40
100100
−× %
% no varones = 60% Rpta.: E
Resolución 11 Tenemos:
20%A = 30%B
20100
30× %A B= A
B5
30= %
A = 150%B
% de B es A = 150% Rpta.: C
Resolución 12 Veamos:
20%(10%)(n) = 1200
20100
10100
1200× × n =
2100
1200× n = n = 60000
* Me piden:
25%(40%)(n) = 25
10040
10060000× ×
25%(40%)(n) = 600 Rpta.: C
Resolución 13 Tenemos:
20%(x) = 40%(y)
20
10040
100· ( ) · ( )x y= x = 2y
* Me piden: ( )( )
x y% ·100%
2x y
−=
+
Como: x = 2y
% · %= −+
24
100y yy y
y% ·100% 20%
5y= = Rpta.: B
Resolución 14 Veamos:
* Sabemos: 1
2
S AMS EC
=
S
Sa
a1
2
4= S1 = 4S2
* Me piden: % × %SS
S S11
1 2
100=+
% × % × %S
S
S S12
2 2
4
4100
45
100=+
=
% S1 = 80% Rpta.: E
E
Resolución 6 Me piden:
k = 5%(10%)(20%)(M)
k M= 5100
10100
20100
× × ·
kM=
1000Rpta.: B
Resolución 7 Tenemos:
20%(5%)(A) = 8
20100
5100
8× × A =
A = 800
* Me piden: 12%(2A)= 12100
(1600) = 192
12%(2A) = 192 Rpta.: C
Resolución 8 Veamos:
k = 153%M − 2M + 67%M
k = 153%M − 200%M + 67%M
k = (153 − 200 + 67)%M
k = 20%M Rpta.: B
Resolución 9 Tenemos:
A = 25%B
% de B es A = 25% Rpta.: B
Resolución 10 Veamos:
k = − +25
0 254
,
k = − + = − +25
15
54
8 4 2520
k = 2920
100× %
k = 145% Rpta.: D
Resolución 4 Veamos:
n + 30% = 65
130%n = 65
130100
65· n =
n = 50 Rpta.: B
Resolución 5 Veamos:
n − 35%n = 52
100%n − 35%n = 52
65%n = 52
65100
52· n = n = 80 Rpta.: C
Resolución 15 Sea:
S : sueldo del profesor.
* Luego: (1 + 20%)(1 − 20%)S
= (120%)(80%)S
= =120100
80 96× % × %S S
= S − 4%S
Disminuye 4%
Rpta.: D
Resolución 16 Sea:
S : Sueldo de mi profesora
* Luego: (1 − 30%)(1 + 30%)S
=(70%)(130%)S
= 70100
130× % × S
= 91% S = S − 9% S
Disminuye en 9% Rpta.: D
Resolución 17 Sea:
Pc = precio de costo
* Luego: Pv = Pc + ganancia
920 = Pc + 15% Pc
920 = 115% Pc
920 = 115100
· Pc
Pc = 92000115
= 800 Pc = 800
* Me piden:
Ganancia = 15%Pc = 15%(800) = 120
Ganancia = 120 Rpta.: E
Resolución 18 Sea:
Pc = Precio de costo del pantalón
* Luego: Pv = Pc + ganancia
45 = Pc + 20% Pc
45 = 120% Pc
45 = c
120·P
100 Pc = 75/2
* Me piden: costo = Pc = 37,5
Rpta.: C
Resolución 19 Tenemos: ABC
===
RS|T|
121850
* Luego:
% Ganador =50
12 18 50100 62 5
+ +=× % , %
Rpta.: E
Resolución 20 Tenemos:
• 24 naranjas
• 72 manzanas
• 88 papayas
• 144 plátanos
* Me piden:
% Papayas = 88
24 72 88 144100
+ + +× %
% Papayas =88
328100
110041
× % %=
% Papayas = 1100
41% Rpta.: D
Resolución 21 Veamos:
* Luego de trasladar áreas, tenemos:
* Luego:
% S = S
S
S
SABCD
ABCD
ABCD
=
14 100× %
% S = 25% Rpta.: B
Resolución 22 Veamos:
290 = n − 42%n = 100%n − 42%n
290 = 58%n
290 = 58
100· n n = =29000
58500
n = 500 Rpta.: C
Resolución 23 Me piden:
k = 160 + 35%(160)
k = 135%(160)
k = 135100
160 216× = Rpta.: D
Resolución 24 Sea el número : n
* Luego: 240 = 30%n
240 = 30
100· n n = 24000
30
n = 800 Rpta.: C
Resolución 25 Sea:
• Pc : Precio de costo• Pv : Precio de venta
* Luego: Pv = Pc + ganancia
120 = Pc + 30%Pc + 9%(120)
100%(120)− 9%(120) = 130%Pc
91%(120) = 130%Pc
c
91 130120 P
100 100× = ×
Pc = 84 Rpta.: A
Resolución 26 Sea:
• P : Precio del equipo
* Luego: P + 20%P = 960
120%P = 960
120100
960· P = P = 800
* Me piden: k = P − 25% = 75%P
k = 75%(800)
k = =75100
800 600· ( )
∴ k = 600 Rpta.: B
Resolución 27 Veamos:
Resolución 28 Veamos:
x + 20%x = (x + 6)
Dentro 6 años Edad actual
aumentada en su 20%
* Luego: 120%x = x + 6
120%x − 100%x = 6
20%x = 6
* Como: MN aNP aPQ a
===
RS|T|
2 S kS kS k
1
2
3
2===
RS|
T|
* Me piden: %S =+ +
S
S S S2
1 2 3
100· %
% S =22
10024
100k
k k kkk+ +
=· % · %
%S = 50% Rpta.: D
Pierde
S/.20
Resolución 29 Tenemos:
30%(20%)25
xFHG
IKJ =24%(0,01%)(1000)
30
10020
10025
24100
110000
1000· · · ·x =
120050000
240001000 000
x =
x = 1 Rpta.: E
Resolución 30 Sea:A Costo del libroB Costo del libro
==
RST12
* Luego: • A − 25%A = 150
75%A = 150
75
100150· A = A = 200
• B + 25%B = 150
125%B = 150
125100
150B = B = 120
* Ahora: Costo total = A + B = 200 + 120
Costo total = 320
* Como: Venta total = 150 + 150
Venta total = 300
∴ Perdió S/. 20 Rpta.: B
20
1006· x = x = 30
* Me piden: x − 21 = 30 − 21 = 9
x − 21 = 9 Rpta.: B
CAPÍTULO N° 10
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 411, 412, 413)
NIVEL I
Resolución 1 Me piden:
Ex x
x= ++ +
+2 2
2
3 2
1
Ex
x=+
= + =+
+
2 2 2
24 2 6
1 2 1
1
·
Rpta.: B
Resolución 2 Me piden:
k = = = =− −
27 27 27 33 703 1 1 3b g b g /
k = 3 Rpta.: B
Resolución 3 Veamos:
Mx x
x
=
FHG
IKJ
LNM
OQP
−
−−
3 32
3 2 3
2· b g
e j
Mx x
xx= =
3 18
183· M = x3
* Me piden: Exponente de (x) = 3
Rpta.: B
Resolución 4 Veamos:
x xx x8 2 4= e j
exponente de (x2x) = 4 Rpta.: B
Resolución 5 Veamos:
k a a a a= −5 2 4 13 3 4· · ·e j e j
k = a5 · a8 · a1 · a-12 = a2
* Me piden: Exponente(a) = 2
Rpta.: B
Resolución 6 Veamos:
k = 24 · 35 · 72 · 2−3 · 3−3 · 7-2
k = (24 · 2−3)·(35 · 3−3)·(72 · 7−2)
k = (21)·(32)·(7°)
k = 2 · 9 · 1 = 18 Rpta.: D
Resolución 7 Dato:
x2 = 4 x = 2
* Me piden: k = (x4 + x3) · x-2
k = (24 + 23) · (2-2)
k = 22 + 21 = 4 + 2 = 6
Rpta.: C
Resolución 8 Tenemos:
x−n = 3 xn = 3−1 xn = 1/3
* Me piden: k = 3x2n − xn
k = 3(xn)2 − (xn)
k = 3(1/3)2 − (xn)
k = 3(1/9) − 1/3
k = 1/3 − 1/3 = 0
Rpta.: C
Resolución 9 Me piden: “a”
* Ahora; tenemos:
x x xa a· /2 3 10=
x1/a · x1/2a = x3/10
x3/2a = x3/10
* Comparando exponentes:
3
23
10a= a = 5 Rpta.: D
Resolución 10 Veamos:
k = FHG
IKJ + F
HGIKJ
LNMM
OQPPFHG
IKJ
− − −25
15
152
1 1 1
·
k = +FHG
IKJ
FHG
IKJ = =5
25
215
152
215
1· ·
∴ k = 1 Rpta.: A
Resolución 11 Veamos:
k = =4 6
12
2 2 3
2 3
4 6
5
2 4 6
2 5· · ·
·b ge j b g
e j
k = = =2 2 3
2 3
2 3
2 32 3
8 6 6
10 5
14 6
10 54 1· ·
·
·
··
k = (16)(3) = 48 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
k = =9 24
12 18
3 2 3
2 3 3 2
2 4
4 2
2 2 3 4
2 4 2 2
·
·
· ·
· · ·
b gb g b g
e j e je j e j
k = = =3 2 3
2 3 3 2
2 3
2 32 3
4 12 4
8 4 4 2
12 8
102 0· ·
· · ·
·
··
k = 4·1 = 4 Rpta.: C
Resolución 2 Tenemos: xx = 2
* Ahora; me piden:
k = x−2x + x−x
k = (xx)−2 + (xx)−1
k = (2)−2 + (2)−1 = 1/4 + 1/2 = 3/4
k = 3/4 Rpta.: B
Resolución 3 Me piden:
Mn n
n n= ++
+ +
+ +2 2
2 2
4 3
3 2
M
n
n=
+
+= +
+=
+
+
2 2 2
2 2 2
4 22 1
22 2 1
2 1 0
·
·
e je j
M = 2 Rpta.: A
Resolución 4 Veamos:
k = 210·29·28·27 ... 2-7·2-8·2-9
k = 210 ·29·28·27 ... 21·20·2-1 ... 2−7·2−8·2−9
K = 210 · 20 = 210 k = 210
* Me piden: Exponente final = 10
Rpta.: D
8
k x x= FH
IK
FH
IK
3420
2530
:
k = x60/4 : x60/5 = x15 : x12 = x3
∴ k = x3 Rpta.: B
4
Resolución 12 Veamos:
kn n
n n
n n n n
n n= +
+=
+
+− −
− −
− −3 2
3 2
2 3 2 3
3 2
· e je j
k = 2n·3n = 6n Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
k = = = =− − − −16 16 16 1 44 8 1 3
4 1 2 1 2/ / / /
k = 4 Rpta.: B
Resolución 14 Veamos:
kx x
x
x
x= − =
−− −
−
−
−3 3
3
3 3 3
3
2 3
4
4 2 1
4
· e j.
k = 32 − 31 = 9 − 3 = 6 Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
k x x x
veces
= FH
IK
34 34 34
20
· ...
: · ...x x x
veces
25 25 25
30
FH
IK
Resolución 16 Veamos:
(1 2 1) 2 12 2 2
1/(2 2 2)
2 2 2 2k
22
× + × +× ×
× ×= =
k = = =2
22 2
7 8
1 86 8 3 4
/
// /
k = =2 834 4 Rpta.: D
Resolución 17 Veamos:
kx
x
x
x= =64
2
64
2
75
25
7
25
k x x= =32 255 Rpta.: C
Resolución 18 Tenemos:
2x−1=3 2x·2−1 = 3 2x = 6
* Me piden: 2x+1 = 2x·2 = (6)(2) = 12
Rpta.: D
Resolución 19 Me piden:
ka
a
a a
a=− +2 8 9
2
3 3
3
· ·
·
e j
ka
aa
a
a= =+2 2 1
1 21 13
33
·
··
k = 3a Rpta.: A
Resolución 20 Veamos:
k = FHG
IKJ = F
HIK2 284
705
8470
b g
k = = =2 2 48 4 1 2 1/e j e j Rpta.: B
III. (−x)0 = 1 ∀x∈IN−0
1 = 1 ........................... (Verdadero)
∴ Tenemos: FVV Rpta.: C
Resolución 6 Veamos:
k = = = =− − −− − −9 9 9 1 34 2 14 1 2 1 2/ / /
k = 1/3 Rpta.: C
Resolución 7 Tenemos: xn = 5
* Me piden:
x3n − 100 = (xn)3 − 100
x3n − 100 = (5)3 − 100 = 25
∴ x3n − 100 = 25 Rpta.: D
Resolución 8 Veamos:
ka a
a a= +
+− −5 3
5 3
k
a a a a
a aa a=
+
+=
− −
− −
5 3 3 5
5 35 3
· ··
e je j
∴ k = 15a Rpta.: C
Resolución 9 Veamos:
x x x xnn
· ·= 1 2
=+
xn
12 exponente(x) = 1
2+ n
* Dato: exponente(x) = 4
12
4+ =n n = 6 Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
4 2 23 3x x= ·
2 2
23
13
xx
=+
Resolución 5 Veamos:
I. (x2)3 = x8 ∀x ∈IN−1
x6 = x8 ................................. (Falso)
II. x2·x2·x2·x2 = x4(2) ; ∀x∈IN −1
x8 = x8 ......................... (Verdadero)
* Comparando exponentes:
23
13
xx= +
− =x3
13
x = –1 Rpta.: B
Resolución 11 Me piden:
kx
x
x
x= = =
+2
4
2 2
22
2 1 2
2·
∴ k = 2 Rpta.: B
Resolución 12 Veamos:
Fa a
a= ++ −
−2 4
2
2 1 1
2 2
Fa a
a= ++ −
−2 2
2
2 1 2 2
2 2
Fa
a=
+= + =
−
−
2 2 2
22 2 9
2 2 3 0
2 23 0
· e j
F = 9 Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
k = − = − = −− − −32 32 22 5 5 2 2b g e j b g/
k =−
=1
21 42b g
/ Rpta.: D
Resolución 14 Veamos:
1 1 1a 3a a 3a 6x · x x
+=
1 1
316a a
+ = 4
316a
= a = 8
* Ahora: x x xa5 8585= =
Grado xa5 85
FH
IK = Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
222es la .............. potencia de 22
16 es la .......... potencia de 4
∴ x = segunda Rpta.: A
Resolución 16 Veamos:
k = −+
5 6 3 5
15 2 15
2 2 2 2
2 2· ·
·
k =−
+= =
5 3 2 1
15 2 1
15 3
15 31
2 2 2
2
2
2
· · ·
·
e jb g
∴ k = 1 Rpta.: A
Ex
x
xx
x= = =7 28
3 155
43e j
e j∴ E = x3 Rpta.: B
Resolución 20 Veamos:
Mx y x y x y
xy xy xy
factores
factores
=· · · ... ·
· ...
3 3 3
60
30
M
x y
xy
x y
x yy= = = −
· ·
·
330
30
15 10
15 155e j
e j
∴ M = y−5 Rpta.: D
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 426, 427, 428, 429)
NIVEL I
Resolución 1 Veamos:
P(x; y; z) = 5x4y3z
∴ G.R[z] = 1 Rpta.: A
Resolución 2 Tenemos:
Q(x; y; z) = −2x3·ya−1·z2
* Dato: G.A(Q(x; y; z)) = 8
3 + (a − 1) + 2= 8
a + 4 = 8 a = 4 Rpta.: C
Resolución 3 Veamos:
P(x; y) = 3xa+b−5 · yb-3
G.R(x) = 5 a + b − 5 = 5 a + b = 10
• G.R (y) = 2 b − 3 = 2 b = 5
* Como: a bb
+ ==
RST10
5 a
b==
RST55
∴ a = 5 Rpta.: E
Resolución 4 Veamos:
P(x; y) = 5xn+1·y4
Grado = n + 1 + 4 = 12 n + 5 = 12 n = 7
Rpta.: B
Resolución 6 Tenemos:
M(x; y) = x y
xx y
m n
mn
2 32 3
+ −−=·
·
G.A[M(x; y)] = 2+ 3 − n = 5 − n
* Dato: G.A[M(x; y)] =3
5 − n = 3 n = 2 Rpta.: A
15 factores
Resolución 17 Veamos:
• A = 9 2 1− − = 9−1/2 = 1/3
• B = 81 81 34 1 1 4−= =/
* Me piden: A·B = (1/3)(3) = 1
A·B = 1 Rpta.: A
Resolución 18 Me piden:
k = FHG
IKJ + FHG
IKJ + FHG
IKJ
− −32
2581
116
2 0 5 1 4, /
K = + +49
59
21
k = + = + =99
2 1 2 3 Rpta.: B
Resolución 19 Veamos:
28 factores
7 7 7
5 3 3 3
x · x.. xE
x· x... x=
Resolución 5 Tenemos:
P(x; y) = (x3·y4)(x2·ya)
G.A.[P(x; y)] = 3+4+2+a = a+ 9
* Dato: G.A[P(x; y)] = 13
a + 9 = 13 a = 4 Rpta.: C
Resolución 7 Veamos:
• 6x·yb−3
Semejantes• 2x·y10
b − 3 = 10 b = 13
Rpta.: C
Resolución 8 Veamos:
P(x; y; z) = 5x2·y3·z4 + 7x4·y7·z9 − 9x5·y2·z7
G1 = 9 G2 = 20 G3 = 14
* Luego:
G.A[P(x; y; z)] = Mayor(G1; G2; G3) = G2
G.A = [P(x; y; z)] = 20
Rpta.: C
Resolución 9 Tenemos:
P(x) = xa + x3 + x2 + x + 3
* Como: P(x) ← Cuarto grado a = 4
∴ P(x) = x4 + x3 + x2 + x + 3
* Me piden:
P(2) = 24 + 23 + 22 + 2 + 3 = 33 Rpta.: D
Resolución 10 Tenemos: P(x) = 3x − 1
* Me piden:
kP P
P= + = − + −
−( ) ( )
( )( × ) ( × )
×1 5
33 1 1 3 5 1
3 3 1
F = + =2 148
2
k = 2 Rpta.: B
Resolución 11 Veamos:
kx x
x x
x x
x x=
LNM
OQP
LNM
OQP
=
2 3 23
3 2 32
6 2 3
6 3 2
e j
e j
e je j
·
·
·
·
kx
xx= =
24
186 k = x6
∴ Grado(k) = 6 Rpta.: D
Resolución 12 Veamos:
7(xy)5n = 7·x5n·y5n
Grado = 5n + 5n = 10n = 20
Dato
n = 2 Rpta.: A
Resolución 13 Veamos:
P(x) = xm+3 + xm+1 + 7
G.A[P(x)] = m + 3
* Dato: G.A[P(x)] = 10
m + 3 = 10 m = 7
Rpta.: B
Resolución 14 Veamos:
P(x; y) = n2·xn+3·y5-2n
G.A[P(x; y)] = n + 3 + 5 −2n = 8 − n
* Dato: G.A[P(x; y)] = 6
8 − n = 6 n = 2
* Me piden: Coeficiente = n2 = 22 = 4
Rpta.: C
Resolución 15 Veamos:
Q(x; y) = (2a − 1)·x3+a·y5+a
* Dato: Coeficiente = 3
2a − 1 = 3 a = 2
* Me piden: G.R(y) = 5 + a = 5 + 2 = 7
G.R.(y) = 7 Rpta.: C
Resolución 16 Tenemos:
A(x; y) = (n + 3)·xn+2·yn-1
* Además: G.R(x) = 7
n + 2 = 7 n = 5
* Me piden:
Coeficiente = n + 3 = 5 + 3 = 8
Rpta.: C
Resolución 17 Tenemos:
M(x; y) = x y x ya a a8 68 6
· ·=
* Además: G.A[M(x; y)] = 2
8 6
2a a
+ = 14
2a
= a = 7
Rpta.: E
Resolución 18 Tenemos:
P(x) = 3x + 2
* Me piden: k P P= ( ) ( )1 0
k = (3×1+2)(3×0+2) = 52 = 25
∴ k = 25 Rpta.: E
Resolución 19 Tenemos:
P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a
P(x) = (a + 3)x3 + x2 + 2x + a
Coef. Principal
* Dato: Coef. Principal = 5
a + 3 = 5 a = 2
* Ahora me piden: Término
independiente
= a = 2
Rpta.: B
;
Resolución 4 Tenemos:
P(x; y; z)= 3a2·x4·y3a−1·za
* Dato: G.A.[P(x; y; z)] = 11
4 + 3a − 1 + a = 11
4a = 11− 3 = 8 a = 2
* Me piden:
Coeficiente = 3a2 = 3(2)2 = 12
Rpta.: C
Resolución 20 Tenemos:
P(x) = (a + 3)xa + 5x2 + 3x + 8
* Como: P(x) ← cúbico a = 3
* Me piden:
Coef. Principal = a + 3 = 3 + 3 = 6
Rpta.: E
Resolución 21 Tenemos:x = 2y = -1RST
* Me piden:
k = 2x2y − 3x·y2 + x·y
k = 2(2)2·(−1) − 3(2)(−1)2 + (2)(−1)
k = −8 − 6 − 2 = −16
k = −16 Rpta.: A
Resolución 22 Tenemos: xy
== −
RST2
2
* Me piden: k = (x−y)·(y−x)
k = (22)·((−2)(−2))
k = 4·(1/4) = 1 Rpta.: B
Resolución 23 Tenemos: xy
== −
RST2
2
* Me piden:
k = x3·y + x2y + x·y4
k = (2)3·(−2) + (2)2·(−2)+(2)(−2)4
k = −16 − 8 + 32 = 8
k = 8 Rpta.: B
Resolución 24 Tenemos: xy
==
RST1 21 3
//
* Me piden:
k = x−2x + y−3y
k = (1/2)−1 + (1/3)−1 = 2 + 3 = 5
k = 5 Rpta.: A
Resolución 25 Tenemos:
M xxx
( ) = +−
21
* Me piden:
M M M M M22 22 1
b g = +−
LNM
OQP
LNM
OQP
= = +−
LNM
OQP =M M M M4
4 24 1
2b g b g
= +−
=2 22 1
4
∴ M[M[M(2)]] = 4 Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 1 Tenemos:
P(x; y) = (2xn+2·y)3 = 8·x3n+6·y3
* Dato: G.A[P(x; y)] = 18
3n + 6 + 3 = 18
3n = 9 n = 3 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
M(x; y) = 5·x2a+b·ya+2b
* Dato:
• G.A.[M(x; y)] = 15
2a + b + a + 2b = 15
3(a + b) = 15 a + b = 5
• G.R(x) = 8
2a + b = 8
* Ahora tenemos: a b
a b+ =
+ =RST
52 8
ab
==
RST32
* Me piden: a − b = 3 − 2 = 1
Rpta.: A
Resolución 3 Tenemos:
3x4·ya−1
Semejantes7xb+2·y5
ba
+ =− =
RST2 41 5
ba
==
RST26 a + b = 8
Rpta.: C
Resolución 5 Veamos:
F x yx y
yx y
n n
nn;
··b g = =
+ +
++
3 4 6
13 4 5
* Dato: G.A[F(x; y)] = 21
3n + 4 + 5 = 21 3n = 12 n = 4
∴ n = 4 Rpta.: D
2a + 5 = 3(a − 1)
2a + 5 = 3a − 3 a = 8
* Ahora: R = 2x2a·ya−7
R = 2·x16·y1
∴ Grado(R) = 16 + 1 = 17 Rpta.: D
Resolución 6 Tenemos:
P(x; y; z) = 8·xn+1·y6·z2n+3
G.R(z) = 13
2n + 3 = 13 n = 5
* Me piden: G.R.(x) = n + 1 = 5 + 1 = 6
Rpta.: B
Resolución 7 Tenemos:
P(x; y) = (x5·y2a)(xa·y3)
P(x; y) = xa+5·y2a+3
* Dato: G.A.[P(x; y)] = 20
a + 5 + 2a + 3= 20
3a = 12 a = 4 Rpta.: C
Resolución 8 Tenemos:
M x yaa= − 2 51 ·
M x ya
a a= − −2
15
1·
* Dato:
Grado(M) = 3 2
15
13
aa a−
+−
=
Resolución 9 Tenemos:
P(x; y) = (2a·xa−1·ya)3
P(x; y) = 23a·x3a−3·y3a
* Dato: Grado:[P(x; y)] = 3
3a − 3 + 3a = 3 6a = 6 a = 1
* Me piden:
Coeficiente = 23a = 23 = 8 Rpta.: B
Resolución 10 Tenemos:
P x x xm m( ) ·= 2 43
P x x x xm m m
( ) ·= =23 12
912
P x xm
( ) =34
* Como: P(x) ← 6to grado 34
6m =
m = 8 Rpta.: D
Resolución 11 Tenemos:
P(x) = x2 + 1
* Me piden: E P PP
= +( ) ( )( )
1 32
E =+ + +
+= + =
1 1 3 1
2 1
2 105
125
2 2
2
e j e je j
E = 12/5 Rpta.: E
Resolución 12 Tenemos:
P(x) = (x − 1)2 + 1
* Me piden:
M = P(0) +P(1) + P(2)
M = ((−1)2 + 1) +(02 + 1) + (12 + 1)
M = 2 + 1 + 2 = 5 Rpta.: A
Resolución 13 Veamos:
P(x; y) = 13x2·y2n − 4(x·y2)4n − 5xn·y6
P(x; y) = 13x2·y2n − 4x4n·y8n − 5xn·y6
* Dato: G.A[P(x; y)] = 24
4n + 8 n = 24 n = 2 Rpta.: B
Resolución 14 Veamos:
P xx x
x x
n n
n n( )
·
·=
−
−
2 1 5 3 2
1 2 9
e j e je j
P xx x
x x
x
x
n n
n n
n
n( )
·
·= =
−
−
−
−
10 5 6
2 2 9
16 5
11 2
P(x) = x5n−3
* Dato: Grado[P(x)] = 7
5n − 3 = 7 n = 2
Rpta.: B
Resolución 15 Veamos:
M x yx y
x y
m n
n m( ; )·
·=
+ −
− −
2 5
2 5
M(x; y) = xm+n · ym−n
* Dato: G.R(x) = 5
m + n = 5 Rpta.: B
Resolución 16 Veamos:
Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6(x4·y3)5n
Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6·x20n·y15n
Resolución 22 Tenemos:
A = m·xm+3·y2m+n
SemejantesB = n·x2n−1·y3m+1
m n
m n m+ = −
+ = +RST
3 2 12 3 1
2 41
n mn m
− =− =
RST mn
==
RST23
* Me piden:
A + B = m·xm+3·y2m+n+n·x2n−1·y3m+1
A + B = 2·x5·y7 + 3x5·y7
A + B = 5·x5·y7 Rpta.: B
Resolución 26 Veamos:
P(x) = 4a·xa+1+ 2a·x1+a − 6x5
a + 1 = 5 a = 4
* Luego:
P(x) = 4(4)·x5 + 2(4)x5 − 6x5
P(x) = 16x5 + 8x5 − 6x5
P(x) = 18x5 Rpta.: C
* Dato: G.R(y) = 30
15n = 30 n = 2
* Me piden: G.R(x) = 20n = 20(2) = 40
Rpta.: B
Resolución 17 Veamos:
P(x) = x2001 − 3x2000 + 1
* Me piden: P(3) = 32001−3·3200 + 1
P(3) = 32001 − 32001 + 1
P(3) = 1 Rpta.: E
Resolución 18 Tenemos:
f xxx
( ) = +−
2 21
* Me piden: f(f(3)) = f f2 3 2
3 14
×( )
+−
FHG
IKJ =
f(f(3)) = 2 4 2
4 110 3
×/
+−
= Rpta.: B
Resolución 19 Tenemos: R(x) = x + 2
* Dato: R(2n) = 4
2n + 2 = 4 2n = 2 n = 1
* Me piden: n2 = 12 = 1 Rpta.: D
Resolución 20 Tenemos:
P(x) = x2 + x − a2
* Luego: P(a) = 3
a2 + a − a2 = 3 a = 3
* Me piden: T.I. = −a2 = −32 = −9 Rpta.: E
Resolución 23 Veamos:
5·xb + a·x3 = 11x3
5 11
3+ ==
RSTa
b a
b
==
RST6
3
* Me piden: a b+ = + =6 3 3 Rpta.: D
Resolución 24 Tenemos
P(x; y) = ab·xa−b+6·yb−2
* Dato:
• G.R(y) = 3 b − 2 = 3 b = 5
• G.A(P) = 6 a − b + 6 + b – 2 = 6
a + 4 = 6 a = 2
* Me piden: Coeficiente = ab = 25 = 32 Rpta.: D
Resolución 25 Tenemos:
P(x) = 4x5 + x3 + x + 1
* Me piden:
Grado[P(x)]4 = Grado[P(x)]·4
Grado[P(x)]4 = (5)·(4) = 20
∴ Grado[P(x)]4 = 20 Rpta.: C
Resolución 21 Tenemos:
P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1
* Me piden: k = P(0) + P(1)
k = (1) + (4 + 3 + 2 + 1)
k = 1 + 10 = 11
∴ P(0) + P (1) = 11 Rpta.: C
Resolución 27 Tenemos:
M(x; y; z) = 2·xa−1·ya·z2a
* Luego: G.A(M) − G.R(x) = 9
(a − 1 + a + 2a) − (a − 1) = 9
3a = 9 a = 3
* Me piden: G.R(z) = 2a = 2(3) = 6
Rpta.: C
Resolución 28 Tenemos:n 3
3 n 3 3R(x) (n 2) x (n 2) x−
−= + ⋅ = + ⋅
Como:
R(x) ← 1er Grado n − =3
31 n = 6
* Me piden:
Coeficiente = n + 2 = 6 + 2 = 8 Rpta.: A
Resolución 29 Tenemos:
Grado P x
Grado Q x
( )
( )
=
=
RS|T|
5
4
* Me piden: Mayor
Grado[H(x)] = Grado[P4(x) + Q3(x)]
Grado[H(x)] = 4·Grado[P(x)] = 4(5) = 20
Grado[H(x)] = 20 Rpta.: C
Resolución 30 Tenemos:
P(x; y) = xm+2·yn+5+ xm+4·yn-1
−2·xm+3·yn+6
* Dato:
• G.A(P) = 12 m + 3 +n + 6 = 12
m + n = 3
• G.R(y) = 8
n + 6 = 8 n = 2
* En:
m + n = 3 m + 2 = 3 m = 1
* Me piden: G.R(x) = m + 4 = 1 + 4 = 5
Rpta.: C
Resolución 31 Tenemos:xya
= −== −
RS|T|
23
1
* Me piden:k y x
a= −
L
N
MMM
O
Q
PPP
= −
−
32
312
32
27 412
1
2 2
3·
b g
k = − = −32
461
69· Rpta.: C
Resolución 32 Tenemos: xym
= −= −= −
RS|T|
321
* Me piden:
E = (x − y − m) : (x2 + y3 + 2)
E = (−3 + 2 + 1) : (9 − 8 + 2)
E = (0) : (3)
E = 0 Rpta.: A
Resolución 33 Tenemos:
F(x) = (x − 1)2 + 10 = x2 − 2x + 11
F(a) = a2 − 2a + 11
* Ahora:
• F(x − 2) = (x − 2)2 − 2(x − 2) +11
F(x − 2) = x2 − 4x + 4 − 2x + 4 + 11
F(x − 2) = x2 − 6x + 19
* Reemplazando en:
kF x F x
x= − −
−( ) ( )2
2
kx x x x
x= − + − − +
−( ) ( )2 22 11 6 19
2
kx
x= −
−4 8
2Rpta.: E
Resolución 34 Tenemos:
F(x) = 3x−1 F(n) = 3n−1
* Luego:(x y) 1F(x y) 3
K3 3
+ −+= =
kx y
x y= =−
− −3 3 33
3 31
1 1· ··
k = F(x)·F(y) Rpta.: A
Resolución 35 Tenemos:
P x x a
R x x
( )
( )
= += −
RST2
2
* Dato: P(R(1)) = 8
P(1− 2) = 8
P(−1) = 8
2(−1) + a = 8 a = 10
Rpta.: B
* Me piden: ∆ = A − B = 18x8 − 14x8
∆ = 4x8 Rpta.: C
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 436, 437, 438)
NIVEL I
Resolución 1 Tenemos:
• P(x; y) = 5xy + 9xy − 2xy = 12xy
• Q(x; y) = 7xy − 5xy + xy = 3xy
* Me piden:
P(x; y) + Q(x; y) = 12xy + 3xy = 15xy Rpta.: C
Resolución 5 Me piden:
k = 2a − a−[b−(2a − b)]−3a
k = 2a−a−(2b − 2a)−3a
k = 2a−a −2b + 2a − 3a
k = 2a−−2b = 2a + 2b
k = 2(a + b) Rpta.: D
Resolución 6 Me piden:
k = a + (−2a + b) − (a + b − c) + a
k = a + −2a + b − a − b + c + a
k = a + −2a + c)
k = a − 2a + c = c − a
k = c − a Rpta.: D
Resolución 7 Me piden:
( ) ( )10 sumados 20 sumados
x x ... x y y ...yK
x 2y
+ + + + + +=
+
k
x yx y
x y
x y= +
+=
++
=10 202
10 2
210
· b gb g
k = 10 Rpta.: B
Resolución 8 Veamos:
5x3·4x5 = 20x8 = a·xb
* Comparando: ab
==
RST208
* Me piden: a + b = 20 + 8 = 28
Rpta.: D
Resolución 9 Tenemos:
A x x xB x x x
= == =
RST3 6 182 7 14
4 4 8
4 4 8··
Resolución 2 Tenemos:
• A(x; y) = x2y + 3x2y − 5x2y = −x2y
• B(x; y) = 6x2y − 4x2y + x2y =3x2y
* Me piden:
A(x; y) + B(x; y) = −x2y + 3x2y
A(x; y) + B(x; y) = 2x2y Rpta.: B
Resolución 3 Veamos:
R(x; y) = x3y2 + 7x3y2 − 3x3y2 + 5x3y2
R(x; y) = 10x3·y2 = a·xn·ym
* Comparando: anm
===
RS|T|
1032
* Me piden: a + n + m = 10 + 3 + 2 = 15 Rpta.: D
Resolución 4 Veamos:
F(x; y) = 5x4·y3 − 7x4·y3 + 6x4·y3 − 2x4·y3
F(x; y) = 2x4·y3 = axn·ym
* Comparando: anm
===
RS|T|
243
* Me piden: a + n − m = 2 + 4 − 3 = 3 Rpta.: B
Resolución 10 Veamos:
6x2·y3·3x3·y3·2x2·y3 = 36x7·y9 = axn·ym
* Comparando:
anm
===
RS|T|
3679
a + n − m = 34
Rpta.: C
Resolución 11 Tenemos:
A = 3x2y − 6x2y + 7x2y A = 4x2y
B = 2xy·4x2 B = 8x3·y
* Me piden: A·B = (4x2y)(8x3y) = 32x5·y2
Rpta.: D
Resolución 12 Veamos:
• A x x x x x x
veces
= = =2 2 2 2
10
2 10 20· · ...
e j
• B x x x x x x
veces
= = =· · ...
20
20 20
b g
* Me piden: A·B = (x20)(x20) = x40
Rpta.: C
Resolución 15 Me piden:
kx y
x y
n n
n n=+ −
− −16
8
2 5
1 3·
· ·
k = 2x3·y2 Rpta.: B
Resolución 16 Veamos:
x y
x yx y
n n
n na b
2 1 4 3
4 2 1
( ) ·
··
− −
− + =
x2(n−1)−(n-4)·y(4n−3)-(2n+1) = xa·yb
xn+2·y2n–4 = xa·yb
* Comparando: a nb n
= += −
RST2
2 4
* Me piden: 2a − b = 2(n +2) − (2n − 4)
2a − b = 2n + 4 − 2n + 4 = 8
Rpta.: D
Resolución 17 Tenemos:
A x y x y x y x y
B xy xy xy xy
= − + =
= − + =
RS|T|
6 5 3 4
7 8 2
2 2 2 2
2 2 2 2
* Me piden: A : B = (4x2y) : (xy2) = 4xy
A : B = 4x/y Rpta.: B
Resolución 18 Tenemos:
• M(x; y) = 6x3·y4 − 3x3·y4 + x3y4 = 4x3y4
• N(x; y) = 8x2y3 − 9x2y3 + 3x2y3 = 2x2y3
* Me piden:
(M:N)2 = (4x3y4 : 2x2y3)2 = (2xy)2
(M:N)2 = 4x2y2 Rpta.: B
Resolución 13 Tenemos:
P(x; y)=7xy2 − 3xy2 − 2xy2 = 2xy2
* Me piden: [P(x; y)]3 = (2xy2)3 = 8x3·y6
[P(x; y)]3 = 8x3·y6 Rpta.: D
Resolución 14 Tenemos:
Q(x; y) = 4x5·y − 6x5·y + 3x5·y = x5·y
* Me piden: [Q(x; y)]5 = (x5·y)5 = x25·y5
[Q(x; y)]5 = x25·y5 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1 Tenemos:
2 2 2 2
2 2 2 2
P(x; y) 5x y 3x y 6x y 2x y
Q(x; y) 2xy 6xy 9xy 5xy
= + − =
= − + =
* Me piden:
P(x; y)·Q(x; y) = (2x2y)(5xy2) = 10x3·y3
P(x; y)·Q(x; y) = 10x3·y3
Rpta.: B
Resolución 2 Veamos:
• M(x; y) = xy2 + 3xy2 − 6xy2 + 5xy2
M(x; y) = 3xy2
• N(x; y) = 11xy2 − 9xy2 + 3xy2
N(x; y) = 5xy2
* Me piden:
[N(x; y) - M(x; y)]·M(x; y)
= [5xy2 − 3xy2]·(3xy2)
= (2xy2)(3xy2) = 6x2y4 = 6(x·y2)2
Rpta.: D
Resolución 3 Veamos:
• F(x; y; z) = 3xy2z + 6xy2z - 7xy2z
F(x; y; z) = 2xy2z
• P(x; y) = 8x3·y4 - 9x3y4 + 2x3y4
P(x; y) = 2x3y4
* Luego:
F(x; y; z)·P(x; y) = (2xy2z)(2x3y4)
axp·yq·zr = 4x4·y6·z
* Comparando: a p
q r
= == =
RST4 4
6 1
;
;
∴ a + p + q + r = 4 + 4 + 6 + 1 = 15
a + p + q + r = 15 Rpta.: E
Resolución 4 Tenemos:
• Q(x; y) = 11x4·y2 − 13x4·y2 + 6x4·y2
Q(x; y)= 4x4·y2
• P(x; y)= 8x3·y5 − 11x3·y5 + 7x3·y5
P(x; y) = 4x3·y5
* Dato: P(x; y) ·Q(x; y) = 16(xy)m
(4x3·y5)·(4x4·y2) = 16xm·yn
16x7·y7 = 16xm·ym
* Comparando: m = 7 Rpta.: C
Resolución 8 Me piden:
P = a − 2b + [3c − 3a−(a + b)] + 2a−(b + 3c)
P = a − 2b + 3c − 3a −(a + b)+2a−(b + 3c)
P = a − 2b + 3c − 3a − a − b + 2a − b − 3c
P = a − −2a = a + 2a = 3a
∴ P = 3a Rpta.: B
Resolución 12 Veamos:
k = 0,2x + 34
y +35
x − 0,25y
k x y x y= + + −15
34
35
14
k x y= +45
12
∴ k x y= +45
0 5, Rpta.: D
Resolución 5 Me piden:
( ) ( )( )
15 sumandos 10 sumandos
2 2 2 2 2x y x y ... x y xy ... xyk
3x 2y
+ + + + +=
+
( ) ( )( )
( )( )
2 215 x y 10 xy 5xy 3x 2yk
3x 2y 3x 2y
+ += =
+ +
k = 5xy Rpta.: D
Resolución 6 Me piden:
k = 2a + b − –a+[2a−(3b−a)]
k= 2a + b − −a + 2a − 3b + a
k = 2a + b − 2a − 3b
k = 2a + b − 2a + 3b = 4b
Rpta.: D
Resolución 7 Me piden:
k = x− [x− y − (2x − y) + x − (−y)]
k = x− [x − y + (2x − y) + x + y]
k = x − [x − y + 2x − y + x + y]
k = x − [4x − y]
K = x − 4x + y
∴ k = y − 3x Rpta.: C
Resolución 9 Tenemos:
A x yB x yC y x
= + −= − −= − +
RS|T|
4 3 59 72 3 4
* Me piden:
A+B-C=(4x 3y-5)+(9-7x -y)-(2y -3x + 4)+
A + B − C = 4x + 3y − 5 +9 −7x − y − 2y + 3x − 4
A + B − C = 0 Rpta.: E
Resolución 10 Me piden:
k a b a b a a b= − − − − + − −7 8 9 3 5e j k = a − b − 7a − [−8b + 9a − 3a + 5b]
k = a − b − 7a − [6a − 3b]
k = a − b − 7a − 6a + 3b
k = a − b − a + 3b
k = a − b − a − 3b = −4b Rpta.: C
Resolución 11 Tenemos:
• A x y x y x= − − − − + +
A = −x − [−y − x − y − x]
A = −x − [−2x − 2y]
A = −x + 2x + 2y A = x + 2y
• B y x y x y = − − − − + −
B = −y − [− x − y − x − y]
B = −y + x + y + x + y B = y + 2x
* Luego, cumple:
B − A = (y + 2x)−(x + 2y)
B − A = x − y Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
• A = 12x3 · 7x2y4
A = 84x5 · y4
• B = 14x4 · y · 5xy3
B = 70x5·y4
* Me piden: ∆ = A − B = 84x5y4 − 70x5y4
∆ = 14x5·y4 Rpta.: E
Resolución 14 Veamos:
(13xn+1 · y3+n)·(2x4-n · yn+6) = 26x5y13
26x5·y2n+9 = 26x5·y13
* Comparando:
2n + 9 = 13
2n = 4 n = 2 Rpta.: B
Resolución 15 Veamos:
• A xy xy xy xy
veces
= 2 2 2 2
10
· · ...
A = (xy2)10 A = x10·y20
• B x y x y x y x y
veces
= 2 2 2 2
15
· · ...
B = (x2y)15 B = x30·y15
* Me piden: A·B = (x10·y20)(x30·y15)
A·B = x40·y35 Rpta.: C
Resolución 16 Tenemos:
(5x2·y6)(4x3·y4)·(6x5·y3) = axn·ym
120x10·y13 = axn·ym
* Comparando:anm
===
RS|T|
1201013
* Me piden: a nm+ = + =120 10
1310
Rpta.: A
Resolución 17 Veamos:
• F(x; y)= 9x2y2 − 14x2y2 + 6x2y2
F(x; y) = x2y2
• Q(x; y) = 14x3y4 + 2x3y4 - 8x3·y4
Q(x; y) = 8x3y4
* Me piden: k = [F(x; y)·Q(x; y)]2
k = [(x2y2)·(8x3·y4)]2
k = [8x5·y6]2
k = 64x10·y12 Rpta.: B
Resolución 18 Veamos:
• M(x; y)= 6xy5 + 8xy5 − 15xy5
M(x; y) = −xy5
• N(x; y) = −2x2·y3 + 6x2·y3 − 7x2·y3
N(x; y) = −3x2y3
* Me piden:
k = [(M(x; y) · N(x; y))2]2
k = [(−xy5 ·−3x2y3)2]2
k = [(3x3·y8)2]2 = (3x3·y8)4
k = 81x12 ·y32 Rpta.: B
Resolución 19 Me piden:
kx y
x y
n n
n n=
FH
IK
FH
IK
− −
− −
315
445
3 2
4 1
· ·
· ·
k x y xy= =16 524 5
0 6//
· · ,
Rpta.: B
Resolución 20 Tenemos:
x y
x yxy
n n
n n
5 2 3 8
3 6 46
( ) ·
·
− −
− − = b g
x y
x yx y
n n
n n
5 10 3 8
3 6 46 6
− −
− − =·
··
x2n−4·y2n−4 = x6·y6
* Comparando: 2n − 4 = 6
2n = 10 n = 5
Rpta.: B
Resolución 11
x: el número
( )3x 325
5
−= − (x–3)3 = – 125
x – 3 = –5
∴ x = –2 Rpta.: B
CAPÍTULO N° 11
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ECUACIONES (Pág. 464, 465, 466, 467, 468)
NIVEL I
Resolución 1
5x 4 x 12
7− = −
5xx 4 12
7− = −
5x 7x8
7
−= −
2x8
7− = −
2x8
7=
∴ x = 28 Rpta.: B
Resolución 2
5(2x–4) = 2(3x+4) 10x–20 = 6x+8
10x – 6x = 20+8
4x=28
∴ x = 7 Rpta.: C
Resolución 3
–13 – [3(x+2)+4] = 11 – [6(–2x–2)+1]
–13 – [3x+10]=11 – [–12x–11]
–13 – 3x – 10 = 11+12x+11 –15x = 45
∴ x = –3 Rpta.: A
Resolución 4
5[a + 10 – (2a+1)] = 3·(a–1) – 4(2a+5)
5[a + 10 – 2a – 1] = 3a – 3 – 8a – 20
5[9 – a] = – 5a – 23
45 – 5a = – 5a – 23
45 = –23
No hay solución Rpta.: E
Resolución 5
2 2y 3
=+ 1
4 32
+
1 17y 3 42
=+ +
1 2y 3 15
=+
15 = 2y + 6 9 = 2y
∴ 1
y 42
= Rpta.: A
Resolución 6
David Roberto Sergio
2(4a+3) 4a+3 4a
∴ David = 8a + 6 Rpta.: D
Resolución 7
8x+2(x+1)= 7(x–2)+3(x+1)+13
8x+2x+2 = 7x–14+3x+3+13
∴ 0 = 0 Rpta.: E
Resolución 8
Rpta.: E
Resolución 9
6x–820 = 40 880
6x = 41 700
∴ x = 6 950 Rpta.: D
Resolución 10
N: número
5N = 10 + 3N N = 5
x = 4N = 4·5
∴ x = 20 Rpta.: A
Resolución 12
x : el número
x x4
2 3= +
x x4
2 3− =
x4
6=
∴ x = 24 Rpta.: C
Resolución 13
Kiko Adrián
x – 14 x
x – 14 + x = 56 x = 35
Edad de Kiko = 35 – 14
Edad de kiko = 21 Rpta.: A
Resolución 16
4x 5x3 2
3 4− = −
4x 5x3 2
3 4− = −
16x 15x1
12
−=
x1
12=
∴ x = 12 Rpta.: E
Resolución 14
2x+19 = 7x5
3+
7x14 2x
3= −
x14
3= x = 42
x 42
6 6=
∴ x
76
= Rpta.: C
Resolución 15
8x 1 5x2
3 2 2+ = +
8x 5x 12
3 2 2− = −
16x 15x 4 16 2− −=
x 3
6 2= x = 9
∴ 2x = 18 Rpta.: C
Resolución 17
x : el número:
2 22x x x x x 3
· 4 : · 4 · · x2 3 3 4 3 x
= =
Rpta.: E
Resolución 18
x 3 x 5
6 2 2 3+ = +
3 5 x x
2 3 2 6− = −
9 10 3x x
6 6
− −= –1 = 2x
∴ 1
x2
= − Rpta.: D
Resolución 19
x 3 2x
6 4 3+ = +
3 2 xx
4 3 6− = −
9 8 6x x
12 6
− −=
15x
2=
1x
10=
Luego: 15x 5
10 =
∴ 1
5x2
= Rpta.: D
Resolución 20
1 1 1 1x 1 1 1 1 0
2 2 2 2
− − − − =
1 1 1 1x 1 1 1 0
2 2 4 2 − − − − =
1 1 1 3x 1 1 0
2 2 4 2 − − − =
1 1 3
x 1 1 02 8 4
− − − =
1 1 7x 1 0
2 8 4 − − =
x 71 0
16 8− − =
x 15
16 8=
∴ x = 30 Rpta.: E
Resolución 21
Sea x el número:
5x 10 x
3= +
5xx 10
3− =
2x10
3=
∴ x = 15 Rpta.: A
Resolución 22
Sea x el número de libros
El número de cuadernos es 4x
Del dato:
4x + 5 = 3(x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
∴ x = 10 Rpta.: A
Resolución 23
Sean x; (x+1) los números consecutivos
( ) ( )x 5x x 1 x 1
4 3+ + = + +
x 5x 52x 1
4 3 3+ = + +
23x 52x 1
12 3+ = +
∴ x = 8
Los números son: 8; 9; 10 Rpta.: E
Resolución 28
Resolución 3
(6x+7)(5x–4) = 6(5x2– 1)
230x –24x + 35x – 28 = 230x – 6
11x = 28 – 6 11x = 22
∴ x = 2 Rpta.: B
3x 60m
5=
∴ x = 100m Rpta.: C
x + 15 = 4x
∴ x = 5 Rpta.: B
Resolución 5
(2n) + (2n+2) + (2n+4) = 54
6n + 6 = 54 6n = 48 n = 8
mayor = 20 Rpta.: C
Actual Dentro de 15 años
x +15
Resolución 24
Del enunciado:
2x – 5 = 3(x–5) 2x–5 = 3x–15 x = 10
Suma de edades actuales = x + 2x = 3x
Suma de edades actuales = 3· 10
∴ Suma de edades actuales = 30
Rpta.: D
Resolución 25
Sean x; y los números:
2x = 3y + 4 ....................................... (1)
x+y=3y x = 2y ....................... (2)
En (1):
2(2y) = 3y + 4 y = 4
En (2):
∴ x = 8 Rpta.: E
Resolución 26
x y3 4
= x 3y 4
= x 10 8y 15 5
+ =−
5x + 50 = 8y – 120
8y – 5x = 170
48 x 5x 170
3 − =
∴ x = 30 Rpta.: C
Resolución 27
Del dato : 48 + x = 2(18 + x)
∴ x = 12 años Rpta.: C
Resolución 29
2(x+3)+3(x+1) = 2(x+2)+5(x+1)
2x + 6 + 3x + 3 = 2x + 4 + 5x + 5
5x + 9 = 7x + 9 x = 0
∴ C.S = 0 Rpta.: B
Resolución 30
a2x – a = b2x – b
a2x – b2x = a – b x(a+b)(a–b) = (a–b)
∴ 1x
a b = +
Rpta.: E
NIVEL II
Resolución 1
2x – [3(x – 1)+(–1)4] = x(3 – 2)+(–4)2
2x – [3x – 3 + 1] = x + 16
2x – 3x + 2 = x + 16 2x = –14
∴ x = –7 Rpta.: D
Resolución 2
5x(8–x) – 3x(5–3x) = –26 – 2x(7–2x)
40x – 25x – 15x + 29x = –26 – 14x + 24x
40x – 15x + 14x = –26 39x = –26
∴ 2
x3
= − Rpta.: D
Resolución 4
x + 8 = 20
∴ x = 12 años Rpta.: A
Resolución 8
x – 5 = 12
∴ x = 17 años Rpta.: D
Actual Dentro de 8 años
Actual Hace 5años
Resolución 6
n+(n+2)+(n+4) = 51
3n + 6 = 51 3n = 45
∴ n = 15 Rpta.: B
Resolución 7
Resolución 9
x + y = 45 ... (1)
y = x – 5
En (1):
x+ x – 5 = 45
∴ x = 25 Rpta.: B
Resolución 10
x–1; x ; x + 1 : los números consecutivos
2(x–1) = 3(x+1) – 57 2x–2 = 3x+3–57
x = 52
Entonces los números son:
51; 52; 53
mayor Rpta.: A
Resolución 11
x ; x+2 ; x+4 : números impares consecutivos
(x+2)+(x+4) = 85+(x) x = 79
Los números son:
79; 81 ; 83 Rpta.: E
Resolución 12x x x
23 4 2
+ = + x
212
=
∴ x = 24 Rpta.: D
50 + x = 3(10 + x)
50 + x = 30 + 3x
∴ x = 10 años Rpta.: C
Resolución 14
Sea x el número
5x – 7 = 3x + 3
2x = 10
∴ x = 5 Rpta.: C
Resolución 13
Resolución 15
4(x–5) = 2(x+7) 4x–20 = 2x+14
∴ x = 17 Rpta.: B
Resolución 16
42 x12 x
4−− =
48 – 4x = 42 – x
∴ x = 2 años Rpta.: B
Resolución 17
42 + x = 3(12 + x)
42 + x = 36 + 3x
∴ x = 3 años Rpta.: D
Resolución 18
x + 5 = 2(x – 4)
x + 5 = 2x – 8
∴ x = 13 años Rpta.: C
Actual Hace x años
Dentro de x años
Actual
Actual Dentro de 5 años
Resolución 28
1 1 x x x 12 3 5 3 2 5
+ − = + −
1 1 1 x x x2 3 5 2 3 5
+ + = + +
15 10 62· 3· 5+ + 15x 10x 6x
2· 3· 5+ +=
31 = 31x → x = 1
∴ x = 1 Rpta.: B
Resolución 20
Vendí: x x x8 6 5
+ +
Quedan: x
12
+
x x x x1 x
8 6 5 2+ + + + =
( )x 15 20 24 60 120x
120
+ + + +=
119x + 120 = 120x
∴ x = 120 Rpta.: D
Resolución 21
xf
y= ............................................... (1)
x = y + 2 ........................................... (2)
y 2 1
y 7 2
+ =+ 2y + 4 = y + 7
y = 3
En (2): x = 3 + 2
x = 5
En (1):
∴ 5
f3
= Rpta.: D
Resolución 22
Resolución 23
7x 4x2
8 5= +
7x 4x2
8 5− =
35x 32x2
40
−=
∴ 80
x3
= Rpta.: C
Resolución 24
Sea x el número:
(x+12)(x–5) = (x2+31)
x2 + 7x – 60 = x2 + 31
∴ x = 13 Rpta.: B
Resolución 25
Sea x boletos vendidos a los estudiantes
(900–x): boletos vendidos a las otras personas
0,75x + 1,25(900–x) = 950
0,75x + 1125 – 1,25x = 950
∴ x = 350 Rpta.: A
Resolución 26
1 1 2 2m
1 2
Px P xP
x x+=+
← precio medio
x : café de clase 1
20 – x = café de clase 2
5,4 = ( )6x 5 20 x
20
+ − x = 8
20 – 8 = 12
8 y 12 kilos Rpta.: B
Resolución 27
Sea x el número
x3x 48
3= +
8x48
3=
∴ x = 18 Rpta.: A
x + y = 65 .......................................... (1)
y+10 = ( )5x 10
12+ 12y + 120 = 5x + 50
5x – 12y = 70 .................................. (2)
De (1) y (2)
∴ x = 50 años Rpta.: B
Resolución 19
Sea x el número de lápices.
2x el número de lapiceros.
2x + 7 = 3(x+1) 2x + 7 = 3x + 3
x = 4
∴ Tengo 8 lapiceros Rpta.: B
Resolución 32
du 9 ud+ =10d + u + 9 = 10u +d 9 = 9(u – d)
∴ u – d = 1 Rpta.: A
x – 28 = 3(x–106)
x–28 = 3x – 318
∴ x = 145
Rpta.: A
Resolución 36
3 10x 7 1 1 4x 2 7x 75 9 6 2 3 5 7 8 3
− + − = −
2x 7 1 2x x 2
3 10 6 5 4 3− + − = −
2x 2x x 7 1 23 5 4 10 6 3
− − = − −
40x 24x 15x 21 5 2060 30
− − − −=
∴ x= –8 Rpta.: B
Resolución 29
1° día : x
2° día : 3
x5
3° día : 3 3 9
x x5 5 25
=
3 9xx x 147
5 25+ + = x = 75
El 2° día ganó: 3x 3 75
5 5
×=
∴ El 2do día ganó : S/. 45 Rpta.: C
Resolución 30
(2x+1)(7x+3) = (x+1)(14x+6)
214x 6x+ + 7x + 3 = 214x 6x+ + 14x + 6
–3 = 7x
∴ 3
x7
= −
Rpta.: D
Resolución 31
2x – 15 = x 10 3x 5
3 2+ +−
2x – 15 = 2x 20 9x 15
6+ − −
6(2x – 15) = 5–7x 12x – 90 = 5 – 7x
19x = 95
∴ x = 5 Rpta.: E
Resolución 33
x – y + 60 = 4y – 50
x 5y 110
x y 70
− = − + =
x 40
y 30
==
x· y = 40· 30
∴ x· y = 1200 Rpta.: B
Resolución 34
Sea x el número
4x – 40 = 40 – x
5x = 80 x = 16
Luego: x 16=
∴ x 4= Rpta.: D
Resolución 35
Resolución 37
x – 8 = 4(y + 12)
x – 4y = – 24 ................................. (1)
x + 12 = 2(y + 12)
x – 2y = 12 ..................................... (2)
Resolviendo (1) y (2):
x 48y 18
== Rpta.: C
x – 8y – 8
xy
x + 12y + 12
SofíaMaría
( )2x 4 y 4
3− = −
3x – 2y = 4 ....................................... (1)
x + 8 = ( )5y 8
6+
6x – 5y = –8 ...................................... (2)
Resolviendo (1) y (2)
∴ x 12y 16
== Rpta.: B
Resolución 38
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
SOBRE INECUACIONES (Pág. 479, 480, 418, 482)
NIVEL I
Resolución 1
a) 2 – 3x ≤ 9 – 4x
4x – 3x ≤ 9 – 2
x ≤ 7
∴ C.S = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Rpta
b) 5x – 2 < 2x + 10
3x < 12
x < 4
∴ C.S = 0; 1; 2; 3 Rpta
c) x – 2 < 10 + x
2
x – 2 < 20 x
2+
2x – 4 < 20 + x
x < 24
∴ C.S = 0; 1; 2; 3; ..... ; 23 Rpta
Resolución 40
x : parte mayor
60 – x : parte menorDel dato:
3x – 100 = 200 – 8(60 –x)3x – 100 = 200 – 480 + 8x∴ x = 36 Rpta.: D
Resolución 41
x : N° filas7x + 5: N° niños(x +3) 6 – 7 : N° niños
Entonces:7x + 5= (x+3)6 – 7 x = 6N° niños =7· 6 + 5
∴ N° niños = 47 Rpta.: B
x 10 4x 3x2
3 5 2++ = +
∴ x = 0 Rpta.: C
Resolución 39
4 x 2 x 5 x 13x5 2 3 4 8 2 3
3 1 5 1 25 2 16 6
+ + +− + = +
8 5x 8 3x 10 8x 3x2
6 6 5 2+ + +− + = +
Resolución 42
Hoy gané : xAyer gané : x + 30
( )3x x 30
5= +
5x = 3x + 90
x = S/.45 Rpta.: C
Resolución 43
x :niñas
2x : niños
x 6 : niñas
2x 6 : niños
− −2x – 6 = 3(x – 6)2x – 6 = 3x – 18 x = 12N° niños = 2x
∴ N° niños = 24 Rpta.: D
Resolución 44
x : N° de manzanas
x x3
10 12= +
12x = 10x + 360
∴ x = 180 Rpta.: D
d) 2x + 3 > 3(x –2)
2x + 3 > 3x – 6
6 + 3 > 3x – 2x
9 > x
∴ C.S = 0; 1; 2; ... ; 8
e) 3x – 4 < 2x + 6
x < 10
∴ C.S = 0; 1; 2; ...; 9
f) 3x + 6 > 6x – 12
18 > 3x
6 > x
∴ C.S= 0; 1; 2; 3; 4; 5
g) 2(x+1)+3 > 5(x – 2) + 7
2x + 2 + 3 > 5x – 10 + 7
2x + 5 > 5x – 3
8 > 3x
8x
3< ó x 2,6<
∴ C.S = 0; 1; 2
h)3
x 3 2 x2
− ≤ −
3x – 6 ≤ 4 – 2x
5x ≤ 10 x ≤ 2
∴ C.S =0; 1; 2
i)9 2
x 3 x 117 7
+ < +
9x + 21 < 2x + 77
7x < 56
x < 8
∴ C.S= 0; 1; 2; ... ; 7
Resolución 2
a) 12x – 1 < 3x – 37 9x < –36 x < –4
∴ S= x / x 4∈ < −
b) 3x – 7 < 5x + 9 –16 < 2x –8 < x
∴ S= x / x 8∈ > −
c) 8x – 9 < 21 – 7x 15x < 30 x < 2
∴ S = x / x 2∈ <
d) 3x – 8 < 5(2x – 3) 3x – 8< 10x –15
7<7x 1< x
∴ S = x / x 1∈ <
e) 2(x+1)+7≤ 17 2x + 2 + 7≤17 x ≤ 4
∴ S = x / x 4∈ ≤
f)x 3 x 1
24 3− −< + 3(x – 3) < 4(x + 5)
3x – 9 < 4x + 20 –29 < x
∴ S= x / x 29∈ > −
g) 3x 2 3x 42
2 5
− −< − 5(3x – 2) < 2 (3x – 14)
15x – 10 < 6x – 28 x < –2
∴ S = x / x 56∈ < −
h) x x3 4
7 8+ ≥ + 8(x + 21) ≥ 7(x + 32)
8x +168 ≥ 7x +224 x ≥ 56
∴ S x / x 56= ∈ ≥
i)x 1 x
76 3 2
+ < + x + 42 < 2 + 3x
40 < 2x 20 < x
∴ S= x / x 20∈ >
j)x x x
6 x2 5 10
+ + ≥ − 5x +2x +60 ≥ 10x – x
60 ≥ 2x 30 ≥ x
∴ S= x / x 30∈ ≥
k)2x x 5x
117 3 14
+ − > 12x 14x 15x
1142
+ −>
11x > 11· 42 x > 42
∴ S = x / x 42∈ >
l)x 3 x 7
410 5
− +< + 5(x–3) < 10(20 + x + 7)
x – 3 < 40 + 2x + 14 –57 < x
∴ S = x / x 57∈ > −
b)
( )
x x 12
5 66x 5 x 1
230
6x 5x 5 60
11x 55 x 5
++ >
+ +>
+ + >> >
Luego: x = 6; 7; 8; ...
Nos piden el menor par de números con–secutivos
∴∴∴∴∴ El menor par de números son 6 y 7
c) ( )7 4x 5 23x 5
28x 35 23x 5
28x 23x 35 5
5x 30 x 6
− > −− > −
− > −> >
Los valores que toma x son:
7; 8; 9; 10; ...
Pero x debe ser el menor∴∴∴∴∴ Menor número natural = 7
d) ( ) ( )7 x 2 4 5x 9 4
7x 14 20x 36 4
26 13x 2 x
− ≥ − −− ≥ − −
≥ ≥
Los valores que toma “x” son: 2; 1 y 0
Pero “x” debe ser el mayor
∴∴∴∴∴ Mayor natural = 2
e)x x
21 226 7+ < +
( ) ( )
x 126 x 1546 7
7 x 126 6 x 154
7x 882 6x 924 x 42
+ +<
+ < ++ < + <
Los valores que toma “x” son:
41; 40; 39; 38; ...
Pero “x” debe ser el mayor
∴∴∴∴∴ Mayor natural = 41
Resolución 3
a) Pedro tiene 3 años más que Juan y la suma de susedades es menor que 27
b) 12 veces un número, no excede de 36.
c) El quíntuplo de un número es mayor o igual que di-cho número aumentado en 40.
d) El triple del número, aumentado en uno, es menorque 16.
e) La mitad de un número, disminuido en 3 no excedede 5.
f) La suma de tres números consecutivos es menorque 26.
b) 8 5x 45− >
5x 45 8
5x 37
375x 37 x
5
− > −− >
< − < −
= ∈ < −
37
C.S. x / x5
Los números enteros que satisfacen la inecuación
serán menores que 375
− y ellos son: –7; –8; –9; ...
c) 2x 7 80−
2x 80 7
872x 87 x
2
+
= ∈
87
C.S. x / x2
Resolución 5
a) 5 7x 40
7x 35 x 5
+ << <
Pero, x debe ser el mayor valor entero.
x 4∴ =
Resolución 4
a) 10 3x 30+ <
3x 30 10
3x 20
20x
3
< −<
<
(enunciado abierto)
(enunciado abierto)
(enunciado abierto)
(enunciado abierto)
= ∈ <
20
C.S. x / x3
Los números naturales menores que 203
son:
6; 5; 4; 3; 2; 1 y 0
d) 5 x 20+
x 20 5 x 15−
= ∈ C.S. x / x 15
f)
( ) ( )
4x 9 3x 65 4
4 4x 9 5 3x 6
16x 36 15x 30 x 6
+ +<
+ < ++ < + < −
-7 -6
98
29 30 31
∴∴∴∴∴ Mayor entero = -7
g)
( )
( ) ( )
2x 1 1 2x 104
3 4 84 2x 1 3 32 2x 10
12 88 8x 4 3 12 32 2x 10
64x 56 264 24x
40x 320 x 8
− −− > +
− − + −>
− − > + −− > +
> >
∴∴∴∴∴ Menor entero = 9
11x 5x x26
5 6 266x 25x 15x
2630
− − <
− − <
26x 26 30
26 30x
26
< ⋅⋅<
x 30<
3x x 7x 1
4 7 842x 8x 49x
156
+ − <
+ − <
∴∴∴∴∴ El mayor entero = 29
i)
h)
55 56 57
x1 x 56
56< <
∴∴∴∴∴ El mayor entero = 55
j) N° de lapiceros de S/. 3 = xN° de lapiceros de S/. 4 = y
Si x = 3y ... (1)
Se plantea que:
( )3 x 4y 780
3 3y 4y 780
13y 780 y 60
+ ≤+ ≤
≤ ≤
Luego: x = 3(60) ∴∴∴∴∴ x = 180
k) N° de platos de S/. 9 = xN° de platos de S/. 7 = 2x
Luego:
( )9x 7 2x 414
23x 414 x 18
x 18
+ ≥≥ ≥
∴ =
Resolución 6
–4 ≤ x ≤ 6
Resolución 12
5 < x < 7
5 + 3 < x + 3 < 7 + 3
8 < x + 3 < 10
∴ x + 3 = 9 Rpta.: E
x = –4; –3; –2;–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
∴ Suma = 11 Rpta.: C
xmáx = 5 Rpta.: D
∴ x = 8 Rpta.: B
Suma = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
∴ Suma = 27 Rpta.: C
⊗
NIVEL II
Resolución 1
a + 5 ≥ 0
a + 5 + 6 ≥ 6
a + 11 ≥ 6
∴ a + 11 = 6 Rpta.: C
Resolución 2
a – 3 ≤ 0
a ≤ 3
2a ≤ 6
2a + 1≤ 6 + 1
∴ 2a + 1 = 7 Rpta.: C
Resolución 3
x 3 ; 9∈
Resolución 4
x 2 ; 6∈ −
–2 < x < 6
–6 < 3x < 18
–6–2 < 3x – 2 < 18 – 2
–8 < 3x – 2 < 16
∴ (3x – 2)mínimo = –7 Rpta.: D
Resolución 5
2 ≤ x ≤ 7
Resolución 7
x + 8 < 3x + 4
4 < 2x
2 < x Rpta.: B
Resolución 8
4x – 56 ≤ 16 – 2x
6x ≤ 72
x ≤ 12
∴ xmayor = 12 Rpta.: A
Resolución 9
x 2 ; 3∈2 < x < 3
2 + 5 < x + 5 < 3 + 5
∴ 7 < x + 5 < 8
∴ ( )x 5 7 ; 8+ ∈ Rpta.: C
Resolución 10
[ ]x 2 ; 5∈2 ≤ x ≤ 52 – 3 ≤ x – 3 ≤ 5 – 3
–1 ≤ x – 3 ≤ 2
∴ (x – 3)mínimo = – 1 Rpta.: C
Resolución 11
( ) [ ]x 3 3 ; 7+ ∈
3 ≤ x + 3 ≤ 7
3 – 3 ≤ x + 3 – 3 ≤ 7 – 3
0 ≤ x ≤ 4
∴ x = 4 Rpta.: D
Resolución 13
x + 2 ≤ 7 x ≤ 5
∴ xmáx = 1 Rpta.: A
Resolución 15
–4 < x < –2
x = – 3
2x + 3 = 2(–3) + 3
∴ 2x + 3 = – 3 Rpta.: C
Resolución 16
2x 6 2x 4 37 4 8 2
−+ > +
82
(8x 42) 28+ >7
[2x 4 12]− +
16x + 84 > 14x + 56
2x > –28
∴ x > –14 Rpta.: C
⊗
Resolución 14
x + 3 < 5 x < 2
Resolución 17
Rpta.: B
Resolución 18
Sea “x” la edad de Sara
2x – 17 < 35 x < 26
x
2+ 3 > 15 x > 24
∴ x = 25 años Rpta.: D
Resolución 19
x < 12 x = 11
y > 4 y = 5
3x – 2y = 3· 11 – 2· 5
∴ 3x – 2y = 23 Rpta.: D
∴ x = 9 Rpta.: D
Resolución 21
Sean (x) y (x + 1) los números conse-cutivos
x 1 x3
2 3
+ + > 3x + 3 + 2x > 18
⊗
Resolución 20
3x x 5x2
4 3 6+ − >
x > 3
∴ x = 5 Rpta.: B
Resolución 22
1 x 33 2x x
4 5 4 − − ≥ +
5 4x 3 4x3 2x
20 4− + − ≥
15 – 12x – 40x ≥ 15 + 20x
∴ 0 ≥ x Rpta.: C
Resolución 23
1 12 2x 3 4x x
2 2 − + − >
1 4x 8x 12 3 x
2 2− − + >
2 – 8x + 24x – 3 > 2x
14x > 1
∴ 1
x14
> Rpta.: B
Resolución 24
4[5 – 2(1 – x)] + 2(x – 1) > 0
20 – 8 + 8x + 2x – 2 > 0 10x > –10
∴ x > – 1 Rpta.: C
Resolución 25
4 2x x 4x
3 2
+ −− >
2(4 + 2x) – 3(x – 4) > 6x
8 + 4x – 3x + 12 > 6x
20 > 5x
4 > x Rpta.: D
9x 4x 10x2
12
+ −>
3x2
12>
x2
4>
x > 8
Resolución 10 Veamos:
3φ + 40 + 2φ = 90°
5φ = 50° φ = 10°
Rpta.: A
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
SOBRE RECTAS Y ÁNGULOS (Pág. 513, 514, 515, 516)
NIVEL I
Resolución 1 Veamos:
* Luego: 12 + x = 25 x = 13Rpta.: D
Resolución 2 Veamos:
Resolución 6 Sea el ángulo: θ
* Luego: θ = S(θ) θ = 180 − θ
2θ = 180° θ = 90° Rpta.: B
CAPÍTULO N° 12
* Como:
• M← punto medio de AB AM = MB = 3
• N← punto medio de CD CN = ND = 4
* Me piden: x = MB + BC + CN x = 3 + 5 + 4 x = 12
Rpta.: C
Resolución 4 Veamos:
* Como: C ← punto medio de AD:
AC = CD4 + x = 14 x = 10 Rpta.: A
* Dato: AC + BD = 20 (m + 5) + (5 +n) = 20
m + n + 10 = 20 m + n = 10
* Me piden: AD = m + n + 5 = 10 + 5 = 15Rpta.: C
* Luego: x + 2x + 183x = 18 x = 6 Rpta.: B
Resolución 3 Veamos:
x + 40 = 70
x = 30°
Rpta.: D
Resolución 8 Veamos:
3x + 40 + x = 180°
4x = 140 x = 35° Rpta.: E
Resolución 9 Veamos:
* Como: B ← bisectriz ∠) DOA m∠) DOC = θ m∠) AOB = θ + 24
* Además m∠) AOD = 120°
θ + 24 + θ + 24 = 120
2θ + 48 = 120
2θ = 72 θ = 36°
* Me piden:
m∠) COD = θ = 36° Rpta.: C
Resolución 7 Veamos:
Resolución 5 Veamos:
Resolución 13 Veamos:
* En el gráfico:
θβ
+ ° = °+ ° = °
130 180110 180
50
70
θ = °β = °
* Me piden: x = θ + β (Por propiedad)
x = 50 + 70
x = 120° Rpta.: C
* Como:
1L // L φ + 4φ = 180°
5φ = 180° φ = 36°
* Además: x + φ = 180°
x + 36° = 180° x = 144°
Rpta.: E
* Como:
•2 3L // L θ = 30°
•1L // L x = θ x = 30°
Rpta.: C
* Como:
1L // L (3x +10) + (2x+30) = 180°
5x + 40 = 180° 5x = 140°
x = 28°
Rpta.: D
* Como:
• 2 3L // L θ = x
• 1L // L θ + y = 180° x + y = 180°
Rpta.: B
Resolución 11 Veamos:
Resolución 12 Veamos:
Resolución 14 Veamos:
Resolución 15 Veamos:
NIVEL II
Resolución 1 Veamos:
* Luego; en el gráfico:
mn
+ =+ =
4 74 9
mn
==
35
* Me piden:
AD = m + n + 4 = 3 + 5 + 4 = 12
Rpta.: C
* En el gráfico:
x nx m
+ =+ =
78
n xm x
= −= −
78
* Dato: AD = 4BC
m + n + x = 4x
(8 − x) + (7 − x)+ x = 4x
15 = 5x x = 3
Rpta.: B
Resolución 2 Veamos:
Resolución 7 Veamos:
• m∠) AOD = 180°
120° + β = 180° β = 60°
* Me piden: x = θ + β x = 45° + 60° x = 105°
Rpta.: D
* Dato:
m∠) AOC + m∠) BOD = 265°
(θ + x) + (β + x) = 265°
(θ + x + β) + x = 265 ... (I)
* Como: AOD ← ángulo llano
θ + x + β = 180° ... (II)
* Reemplazando (II) en (I):
180 + x = 265
x = 85° Rpta.: B
Resolución 8 veamos:
6x + 3x + 5x + 4x = 360°
18x = 360° x = 20°
Rpta.: A
Resolución 9 Veamos:
* Como: OC ← bisectriz BOD
m∠) BOC = m∠) COD = θ
* Ahora: • m∠) BOD = 90°
θ + θ = 90° θ = 45°
* Sea: CD = n ∧ BC = x
* Como: B ← punto medio de AD
AB = BD = n + x
* Dato: AD = 2·CD + 10
2(n + x) = 2(n) + 10
2n + 2x − 2n = 10 x = 5
Rpta.: C
2a + 3a + 7a = 24
12a = 24 a = 2
* Me piden: AB = 2a = 2(2) = 4
Rpta.: B
* Como:
M ← punto medio de BC BM = MC = n
* Dato: AB + AC = 12
m + (m + 2n) = 12
2(m + n) = 12 m + n = 6
* Me piden: AM = m + n AM= 6 Rpta.: D
* Como:
• OM bisectriz de AOB ∧ AOB = 20°
γ = 10°
• ON bisectriz de COD ∧ COD = 30°
θ = 15°
* Me piden:
m∠) MON = γ + 50 + θ = 10 + 50 + 15 = 75 Rpta.: E
Resolución 3 Veamos:
Resolución 4 Veamos:
Resolución 5 Veamos:
Resolución 6 Veamos:
* En el gráfico:
• m∠) COE = 90 °
θ + 2x = 90° θ = 90° − 2x
• m∠) AOD = 180°
x + 4x + θ = 180°
5x + (90° − 2x) = 180°
3x = 90° x = 30° Rpta.: A
* Como:
• 1 2L // L φ + 140° = 180° φ = 40°
• 2L // L x + 2φ = 180°
x + 2(40°) = 180°
x = 100° Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
Resolución 12 Veamos:
Resolución 11 Veamos:
* En el gráfico:
• θ + φ = 180°
* Dato:
• φ – θ = 36°
180
36
θ + φ = °φ − θ = ° 2φ = 216° φ = 108°
* En: θ + φ = 180°
θ + 108° = 180° θ = 72°
Rpta.: C
* En el gráfico:
• 130° + θ = 180° θ = 50°
• θ + x = 90° (Por propiedad)
50° + x = 90°
x = 40° Rpta.: D
Resolución 13 Veamos:
* En el gráfico:
• θ + 105° = 180° θ = 75°
* Como: 1L // L x = 65° + θ
x = 65° + 75° = 140°
Rpta.: E
Resolución 14 Veamos:
Resolución 15 Veamos:
* Como:
1L // L (6 + φ)·x = (φ + x)·6
6x + φx = 6φ + 6x
φx = φ·6
x = 6 Rpta.: C
Resolución 16 Veamos:
• m∠) BOD = 90°
θ + x = 90°
30° + x = 90° x = 60°
Rpta.: C
* Dato:
• m∠) AOC + m∠) BOD = 105°
(θ + x) + (x + α) =105°
α + θ = 105° − 2x ... (I)
* En el gráfico:
• m∠) AOD = 6x
θ + x + α = 6x α + θ = 5x ... (II)
* Reemplazando (II) en (I):
5x = 105° − 2x
7x = 105° x = 15° Rpta.: B
* En el gráfico:
• m∠) AOC = 180°
φ + 3φ = 180° φ = 45°
• m∠) BOD = 180°
φ + x = 180°
45° + x = 180° x = 135°
Rpta.: B
x + 90° + 55° + 90° = 360°
x + 235° = 360°
x = 125° Rpta.: A
* En el gráfico:
• γ = 3φ
• m∠) BOC = 90°
BOD − COD = 90°
8φ − γ = 90°
8φ − 3φ = 90° φ = 18°
* Dato: m∠) AOD = 102°
(x − φ) + x + ( x + φ) = 102°
3x = 102° x = 34°
Rpta.: B
Resolución 17 Veamos:
x + 90° + 75° + 90° = 360°
x + 255° = 360°
x = 105° Rpta.: E
Resolución 18 Veamos:
* En el gráfico:
• m∠) AOC = 180°
150° + θ = 180° θ = 30°
Resolución 19 Veamos:
Resolución 20 Veamos:
Resolución 21 Veamos:
Resolución 22 Veamos:
* Además:
• m∠) COE = 180°
γ + x = 180°
3φ + x = 180°
3(18°) +x = 180° x = 126°
Rpta.: C
Resolución 23 Veamos:
* Como: • 1L // L
θ + 120° = 180° θ = 60°
* Ahora: • ∆ABC:
130° = x + θ 130° = x + 60° x = 70°
Rpta.: E
Resolución 24 Veamos:
* En el gráfico:
• θ = 54°
• α + 138° = 180° α = 42°
* Como : 1L // L x = α + θ
x = 42° + 54° = 96°
Rpta.: D
Resolución 25 Veamos:
* Como: 1L // L θ = 100°
* ∆ABC: x = 40° + θ x = 40° + 100° = 140° Rpta.: E
Resolución 26 Veamos:
* En el gráfico:
• 2φ + 30° = φ + 50° φ = 20°
* Como: 1L // L x = 2φ + 30°
x = 2(20°) + 30 = 70°
Rpta.: C
Resolución 27 Veamos:
* En el gráfico:
• m∠) BOD = 90°
2α = 90° α = 45°
m∠) AOE = 180°
x + α + 20° = 180°
x + 45° + 20° = 180° x = 115°
Rpta.: A
Resolución 28 Veamos:
90° + x + 2x + 3x + 3x = 360°
90° + 9x = 360°
9x = 270°
x = 30°
Rpta.: C
Resolución 5 Veamos:
* Me piden:
S = S ABCD – S BAM – S CDM
S = (2)(4)–( ) ( )2 22 2
4 4
π π−
S = 8 – π – π = 2(4 – π) Rpta.: A
CAPÍTULO N° 13
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE
ÁREAS Y PERÍMETROS (Pág. 552, 553, 554)
NIVEL I
Resolución 1 Tenemos:
* Dato:
• S 16 3=
2 3· 16 3
4= 2 = 64 = 8
* Luego: Lado ∆ = = 8cm Rpta.: D
Resolución 2 Veamos:
* Me piden:
• S = S ABCD – S AMND
S = (10)(8) – 1
2(6+10)(4)
S = 80 – 32 = 48cm2 Rpta.: A
Resolución 3 Veamos:
* Dato:
• Perímetro = 24
4 = 24
= 6
* Me piden:
• S = 2 = 62
S = 36cm2
Rpta.: B
Resolución 4 Veamos:
* Me piden:
• S = S∆ABE + S EBCD
S = 22 3
2 · 24
+
S = 3 4+ Rpta.: D
Resolución 6 Veamos:
* Me piden:
• S = S ABDE – S∆ABM – S∆DEN
S = (3)(10) – ( )( ) ( )( )1 13 4 3 6
2 2−
S = 30 – 6 – 9 = 15
∴ S = 15 Rpta.: D
Resolución 8 Veamos:
* Me piden:
• Perímetro(S ) = long. MN + long. NP
+long PQ + long MQ
Perímetro(S ) = ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 42 2 2 2
π π π π+ + +
Perímetro(S ) = 8π Rpta.: C
* Dato:
• Perímetro ABCD = Perímetro∆MNP
9(4) = 3() = 12
* Me piden:
• Lado ∆MNP = = 12cm Rpta.: D
Resolución 9 Veamos:
* Me piden:
• S ABCD = 4(4+2) = 24
S ABCD = 24 cm2 Rpta.: C
Resolución 7 Veamos:
Resolución 10 Veamos:
* Dato:
• S∆ABC = 27
12
(h)(h + 3) = 27
h(h + 3) = 54
h·(h + 3) = 6 ·(6 + 3)
* Comparando : h = 6 Rpta.: C
* Dato:
• BD = 12
• BD
AC2
=
AC = 6
* Me piden:
• S ABCD = 12
(AC)(BD)
S ABCD = 1
2(6)(12) = 36 Rpta.: B
Resolución 11 Tenemos:
Resolución 12 Veamos:
* Como:
• ABCD ← Paralelogramo
m BAD m BCD 60 rad
3AB CD 6
π = = ° = = =
* Me piden: S = 26
· 63 2π = π Rpta.: B
* Dato:
• BC = 2AB AB CD a
BC AD 2a
= = = =
• Perímetro ABCD = 60
2(a + 2a) = 60 a = 10
* Me piden:
• Lado menor = a = 10 Rpta.: C
Resolución 2 Veamos:
* Me piden:
Perím. ABC 3 3K
Perím. MNPQ 4 4∆= = =
Rpta.: D
* Me piden:
• S = S AOB – S
S = ( ) ( )
224
22
π− π
S = 8π – 4π = 4π Rpta.: A
* En el gráfico:
∆ABH ← Notable 60°
Como: AB = 6 BH 3 3
AH 3
=
=
• HD = BC HD = 3
* Me piden:
S = SABCD – S BAD
S = ( ) ( )263 6· 3 3 ·
2 3 2+ π −
S = 27
3 62
− π Rpta.: E
Resolución 3 Veamos:
* Me piden:
• Perímetro(S ) = 2(15 + 13) = 56
Perímetro(S ) = 56 Rpta.: D
* Me piden:
• S = S AOB – S MON
S = ( ) ( )2 26 2
4 4
π π−
S = 9π – π = 8π Rpta.: A
Resolución 13 Veamos:
Resolución 15 Tenemos:
NIVEL II
Resolución 1 Veamos:
Resolución 14 Veamos:
Resolución 4 Veamos:
* Me piden:
• S = S∆PBR + S∆PAR
S = 1
2(PR)(BM) +
1
2(PR)(AM)
S = 12
(6)(3) + 12
(6)(3) = 18
∴ S = 18 Rpta.: E
* En el gráfico:
• AM = MB = a AB = 2a
• BN = NC = b BC = 2b
• AP PD c
DQ QC d
= = = =
AC = 2(c + d)
* Dato:
• AB = 5 2a = 5
• BC = 6 2b = 6
• AC = 7 2(c + d) = 7
a 5/ 2
b 3
c d 7 / 2
= = + =
* Me piden:
• Perimetro(S )= AB BC CD DA+ + +
Perímtro(S ) = π· a + π·b + π·d + π·c
Perímetro(S ) = π·(a + b + c + d)
Perímetro(S ) = π· 52
+ 3 +72
= 9π
Perímetro(S ) = 9π Rpta.: B
Resolución 5 Veamos:
* En el gráfico:
• AM = 2a
• MN = 2b
• NP = 2c AB = 2(a + b + c + d + e) = 2R = 20
• PQ = 2d R = (a + b + c + d + e) = 10
• QB = 2e
* Me piden:
•Perímetro(S ) = AB AM MN NP PQ QB+ + + + +
Perímetro (S ) = π·R+π·a+π·b+π·c+π·d+π·e
Perímetro (S ) = π·R+π·(a+b+c+d+e)
Perímetro(S ) =π·(10) + π·(10) = 20π
∴ Perímetro(S ) = 20π Rpta.: B
Resolución 7 Veamos:
• AM = AB = 6
• AM = 12
• AC = 12
AM + MC = 12
6 + MC = 12
MC = 6
Resolución 6 Veamos:
* Me piden:
• S = S MAB + S MC
S ( ) ( )2 26 · 3·
3 2 2
ππ +
S = 9
6 10,52
ππ + = π Rpta.: A
Resolución 8 Veamos:
Resolución 12 Veamos:
* Dato:
• BE
kEC
= BE n·k
EC n
= =
* Luego:
• AD = BC AD = nk + n
* Me piden:
( ) ( ) ( )
( )( )
nk nk n· h
2Área ABED1Área DEC · n h2
+ + =
nÁrea ABEDÁrea DEC
=( ) ( )2k 1 h+
n ( )h2k 1= +
∴ Área ABED
2k 1Área DEC
= + Rpta.: C
Resolución 10 Veamos:
* Como:
• AB = 6 AM = MB = 3
* Luego:
• Radios = 3
* Me piden:
•Perímetro(S ) = AB BC CD DE EF FA+ + + + +
Perímetro(S ) = 3π + 3π + 3π + 3π + 3π + 3π
∴ Perímetro(S ) = 18π Rpta.: C
Resolución 9 Veamos:
* En el gráfico:
• S∆AMQ = S∆MRQ = S∆QPR = S∆QDP
= S∆NRP = S∆NCP = S
• S∆MBNR = 25
* Dato:
• Lado ABCD = 4 S ABCD = 16
8S = 16 S = 2
* Me piden:
• S = 3S = 3(2) = 6 Rpta.: D
* Como
• AM = MN = NC
S∆ABM = S∆MBN = S∆NBC = S
* Dato:
• S∆ABC = 42 3S = 42 S = 14
* Me piden: S = S = 14 Rpta.: B
* Dato: S∆ABC = 40
* Por propiedad:
• S ABD S ABC
AD AC∆ ∆=
S 40
3K 5K= S = 24 Rpta.: B
Resolución 11 Veamos:
* En el gráfico:
• S = S AOB – S OMB
( ) ( )2 21 1S · 4 · 2
4 2= π − π
S = 2π
* Me piden:
• S = 4S = 4(2π) = 8π S = 8π Rpta.: D
Resolución 14 Veamos:
* Completando las áreas con “S”; luego:
• S ABCD = 8×14
16S = 112 S = 7
* Me piden:
• S = 8S = 8(7) = 56 Rpta.: B
Resolución 15
* Trasladando áreas ; tenemos:
Resolución 13 Veamos: * Dato:
• Lado ABCD = a
área ABCD = a2
32S = a2 S = a2/32
* Me piden:
• S = 16S = 16(a2/32) = a2/2
∴ S = a2/2 Rpta.: B
Resolución 16
* Trasladando áreas , tenemos:
* Me piden:
• S = (2×2)×(4) = 16
∴ S = 16cm2 Rpta.: D
Resolución 17 Veamos:
* Me piden:
• S = 6S∆ + 2S
S = 2
24 · 36 · 2 · 4
4
+
S = 24 3 32+ Rpta.: B
CAPÍTULO N° 15
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (Pág. 592, 593, 594)
NIVEL I
Resolución 1 Tenemos:
* Como:• Caras(Prisma) ← Cuadrados
AB = BC = AC = 3 (dato)
Luego todos los aristas son 3.* Me piden:
• S lateral = S ADEB + S BEFC + S ADFC
S lateral =(3)(3) + (3)(3) + (3)(3)
S lateral = 9 + 9 + 9 = 27
∴ S lateral = 27cm2 Rpta.: C
Resolución 2
* En una prisma se cumple:
• STotal = Slateral + 2·SBase
Stotal – Slateral = 2·SBase
24cm2 = 2·SBase
SBase = 12cm2
* Me piden: SBase = 12cm2 Rpta.: E
Resolución 3 Veamos:
* Dato:
• Altura(Prisma) = 10
AD = BF = CE = 10
* Como:
• Prisma ← Triangular regular
AB = BC = AC = x
* Además:
• Volumen = 90 3
(S∆ABC) · (AD) = 90 3
2 3x · ·10 90 3
4=
x2 = 36 x = 6
* Me piden: Arista Básica = x = 6cm
Rpta.: B
Resolución 4 Veamos:
* Como:
Piramide ← regular
Apotemas son = S
* Dato:
Slateral = 240
S∆ABC + S∆CBD + S∆EBD + S∆ABE = 240
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 112 x 12 x 12 x 12 x 240
2 2 2 2+ + + =
24x = 240 x = 10
* Me piden: Apotema = x = 10cm
Rpta.: C
Resolución 5 Tenemos:
Volumen = (5m)(1m)(2m)
Volumen = 10m3
* Dato:
1m3 S/.3
Volumen x
→ x = 3 Volumen = 3(10)
x = S/.30
* Luego: Debe pagar = x = S/.30
Rpta.: C
Resolución 6 Veamos:
* En el gráfico:
• ∆BOC (Teorema de Pitágoras)
BC2 = 52 + 122 BC = 13
* Desarrollamos
La superficie lateral:
L = 2π(5) = 10π
* Me piden:
Slateral = S = L ·R
2
Slateral = ( )( )10 13
652
π= π
Slateral = 65π cm2 Rpta.: A
Resolución 7 Veamos:
* En el gráfico:
• AO = OB = OC = R
* Luego:
Vcono = 1
3(SBase)(altura)
* En el gráfico:
• AB = O1O2 = CD = 6cm
* Me piden:
• ∆ = Vcilindro – Vcono
∆ = π·(2)2 · (6) –13
(π · 22)(6)
∆ = 24π – 8π
∆ = 16π cm3 Rpta.: D
Resolución 9 Veamos:
Vcono = 13
(π ·R2)(R) Vcono = 3R
3π
• Vsemiesfera = 31 4
·R2 3
π
Vsemiesfera = 32
·R3
π
* Me piden:
3
semiesfera
3cono
2·RV 3 2
V ·R3
π= =π Rpta.: B
Resolución 8 Tenemos:
* Como:
Tetraedro ← Regular
AB = BC = AC = OA = OB = OC = a
* Dato:
Stotal = 225 3 cm
2
2a 34 · 25 3 cm
4
=
2 2a 3 25 3 cm= a = 5cm
* Me piden: Lon. arista = a = 5cm Rpta.: C
* En el gráfico:
• ∆AEH : 2 2AH 2 2= +
AH 2 2=
• ∆ABC : 2 2AC 2 2= +
AC 2 2=
• ∆CGH: 2 2CH 2 2= +
CH 2 2=
Resolución 10 Veamos:
* Como:
• AH = AC = CH ∆ACH ← Equilátero
* Me piden:
S∆ACH = ( )22 2 · 3
2 34
=
∴ S∆ACH = 22 3 cm Rpta.: A
* En el gráfico:
• ∆BOC (Teorema de Pitágoras):
g2 = 42 + R2 g2 = 42 + 62 g 2 13=
* Me piden: Generatriz = g 2 13 cm= Rpta.: D
Resolución 15 Veamos:
* Dato:
• Diagonal(cara) = 2 2
BC 2 2= * Además:
• AB = AC = a
* Como:
• EFGH ← cuadrado
* Sabemos:
• Ssuperficie = 4πR2
Ssuperficie = 4π·(3)2 = 36π cm2
Rpta.: D
* Dato:
• Vcono = 48π
1
3πR2h = 48π
1
3πR2(4) = 48π R = 6
Resolución 11 Tenemos:
Resolución 12 Veamos:
NIVEL II
Resolución 1 Veamos:
EH = HG = a
* Ahora:
∆EHG : ( )2 2 28 2 a a= +
128 = 2a2 a = 8
* Como:
0 ← centro EFGH
EO = OG = n
Resolución 2 Veamos:
* Ahora:
• ∆BAC (Teorena de Pitágoras)
BC2 = AB2 + AC2
( )22 2 = a2 + a2
8 = 2a2 a = 2
* Me piden:
Slateral = 4·S EADH = 4.[4a]
Slateral = 4(4)(8) = 128
Slateral = 128 Rpta.: C
* Ahora:
• EHG: (2n)2 = 62 + 82
4n2 = 100 n = 5
• AEO : x2 = 122 + n2
x2 = 122 + 52
x2 = 169 x = 13
* Me piden: AO = x = 13 Rpta.: A
* Me piden:
Long. arista = a = 2cm
Rpta.: B
CD = 2(OD) ! OD R
CD 2R
=⎧⎨ =⎩
Slateral = 64π cm2
! (2π·R)h = 64π (2π·R)(2R) = 64π 4πR2 = 64π ! R = 4
* Me piden: Radio
Base⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= R = 4cm
Rpta.: E
VEsfera = 36π
! 43π·R3 = 36π
R3 = 27 ! R = 3
* Me piden:
= R = 3cm Rpta.: C
Resolución 13 Veamos:
* Dato:
Resolución 14 Tenemos:
* Dato:
Radio⎛ ⎞
⎝ ⎠⎜ ⎟Esfera
VTubo = Cilindro CilindroMayor Menor
V V−
VTubo = π·(5)2·(40) – π·(4)2·(40)
VTubo = 40π·(52–42) = 40π(9)
Vtubo = 360πcm3 Rpta.: E
Resolución 8 Veamos:
* Al girar el cuadrado, hemos generado un cilindro deradio = 2m
* En el gráfico:
• AB + CD = EG
AB + 5 = 8 AB = 3
* Me piden:
VTotal = V1 + V2
VTotal = (4)(3)(3) + (5)(3)(2)
VTotal = 36 + 30 = 66cm3 Rpta.:D
Resolución 7 Veamos:
* Dato:
Vcilindro = 40p n3
p·R2 (10) = 40p
10pR2 = 40p R = 2
* Me piden: Radio
Base
= R = 2m
Rpta.: B
* Luego:
Vcilindro = π·(2)2 · (2) = 8π
Vcilindro = 8π cm3 Rpta.: A
* Como:
Pirámide ← Regular
AB = BC = CD = AD = a
* Dato:
• Perímetro ABCD = 24
4a = 24 a = 6
* Además:
• Caras(Pirámide) ← ∆sEquiláteros
* Luego:
SLateral = ( )2
DOCa 3
4 · S 44∆
=
SLateral = 2 2a 3 6 · 3=
SLateral = 36 3 Rpta.: A
Resolución 4 Veamos:
* Me piden:
Volumen total = 4 · Vcubo
Volumen total = 4 ·(1)3 = 4 cm3
Rpta.: D
Resolución 6 Veamos:Resolución 3 Veamos:
Resolución 5 Veamos:
* Me piden:
* Dato:
h = PerímetroABCD
h = 4(2cm) h = 8cm
* Me piden:
VPrisma = (2)(2)(h) = (2)(2)(8) = 32
VPrisma = 32cm3 Rpta.: E
Resolución 9 Veamos
Resolución 10 Tenemos:
* Dato:
SSemiesfera = 18π
1
2(4πR2) = 18π
2πR2 = 18π R = 3
* Me piden:
VSemiesfera = 3 31 4 2
·R ·R2 3 3
π = π
VSemiesfera = 2
3π·(3)3 = 18π Rpta.: C
• VCono = 13
π·R2·h
• VCilindro = π·R2h
* Me piden:
2
cono2
cilindro
1·R ·hV 13K
V 3·R ·h
π= = =
π
K = 1/3 Rpta.: C
Resolución 11 Tenemos:
* Luego:
Resolución 12 Tenemos:
* Me piden:
SLateral = 4 ·S∆DOC
SLateral = ( )( )14 · 2 2
2
SLateral = 8cm2 Rpta.: B
Resolución 13 Veamos:
* Dato:
SecciónMáxima
S 16=
π ·R2 = 16
* Me piden:
SEsfera = 4πR2 = 4(16) = 64
SEsfera = 64 Rpta.: B
Resolución 14 Tenemos:
* Dato:
VPrisma = 3135 3 cm
10·S = 135 3
23
10 · a 3 135 32
=
2135 3 ·a 135 3= a = 3
* Me piden: Arista
Básica
= a = 3cm Rpta.: C
* Dato:
VParalelepipedo = 120
n(n+1)(n+2) = 4(4+1)(4+2)
* Comparando:
n = 4
* Me piden:
Long. Mayor = n + 2 = 4 + 2 = 6
Long. mayor = 6cm Rpta.: E
Resolución 15 Tenemos:
* Me piden:
TotalPrisma
S = (S1 + S2 + S3)
TotalPrisma
S = 2·(4×4+4×20+4×20)
TotalPrisma
S = 2(16 + 80 + 80) = 352
TotalPrisma
S = 352cm2 Rpta.: A
* Dato:
• 2TotalPr isma
S 152 cm=
2(S1 + S2 + S3) = 152
2(3a·a + 8·3a + 8·a) = 152
2(3a2 + 24a + 8a) = 152
3a2 + 32a – 76 = 0
3a + 38 a = –38/3 (x)
1a – 2 a = 2 ( )
* Como: a IN∈ a = 2
* Me piden: Lado menor = a = 2
Rpta.: B
Resolución 16 Tenemos:
* Dato:
Stotal = 136cm2
2·(S1 + S2 + S3) = 136
2·(2n×n + 2n×3 + n×3) = 136
2n2 + 6n + 3n = 68
2n2 + 9n – 68 = 0
2n + 17 n = –17/2 (x)
n – 4 n = 4 ( )
* Como: n IN∈ n = 4
* Me piden: Lado Menor
base
= n = 4cm Rpta.: D
Resolución 17 Tenemos:
Resolución 19 Tenemos:
Pr isma
Pr isma
V 1 1
V 2 4=
altura 1
BaseS
Base
· 2
S1
· x 4= x = 8
altura 2
* Me piden: altura2 = x = 8m Rpta.: E
Resolución 18 Tenemos:
Resolución 21 Tenemos:
* Me piden:
SLateral = 4 ·S∆DOC
SLateral = ( )( )14 · 6 10
2
SLateral = 120 cm2 Rpta.: B
* Me piden:
STotal = 4·S∆BOC
STotal = 24 · 3
4 · 16 34
=
STotal = 216 3 cm Rpta.: D
Resolución 22 Tenemos:
* Me piden:
VPiramide = ABC1
S ·h3 ∆
VPiramide = ( )21 6 · 3
· 12 36 33 4
=
VPiramide = 336 3 cm Rpta.: A
Resolución 20 Tenemos: Resolución 23 Tenemos:
* Me piden:
SLateral = 8·S∆GOF
SLateral = ( )( )18 · · 4 20 320
2 =
SLateral = 320cm2 Rpta.: C
Resolución 24 Tenemos:
* Dato: VPirámide = 270cm3
1
3·SBase·h = 270
1
3(9×9)·h = 270 h = 10
* Me piden: Altura = h = 10cm Rpta.: D
Resolución 25 Tenemos:
Resolución 27 Tenemos:
Resolución 29 Tenemos:
Long = 3,1416 (dato)
2πR = 3,1416
2(3,1416)·R = (3,1416)
R = 1/2
* Me piden:
VCilindro = π·R2 ·h
VCilindro = π(1/2)2·(2) = 0,5π
VCilindro = 0,5π cm3 Rpta.: C
VCilindro = π·(2)2·(12)
VCilindro = 48π
* Dato:
1m3 S/.10
VCilindro x
cilindrocilindro
10 ·Vx 10 ·V
1= =
x = 10·48π = 480π x = 480·(3,14) = 1507,2
x = S/.1507,2
* Luego: Debo pagar = x = S/. 1507,20
Rpta.: E
• R = 10cm
• π = 3,14
* Dato:
SLateral = 125,60
1
2(2π·R)(g) = 125,60
π·R·g = 125,60
(3,14)(10)·g = 125,60 g = 4
* Me piden: Generatriz = g = 4cm
Rpta.: D
* En el gráfico:
• OM = 1
2AD OM = 3cm
• ∆O1OM (Teorema de Pitágoras):
h2 + 32 = 52
h2 = 16 h = 4
* Me piden: VPirámide = 1
3· SBase·h
VPirámide = 1
3(6×6) ·(4) = 48
VPirámide = 48cm3 Rpta.: A
Resolución 26 Veamos:
* Me piden:
SLateral = (2π·R)(h) = 2π·(2)(6) = 24π
SLateral = 24π cm2 Rpta.: B
Resolución 28 Tenemos:
Resolución 30 Tenemos:
* Dato:
VCono = 471
1
3π·R2·18 = 471
6π·R2 = 471
6·(3,14)·R2 = 471
18,84 · R2 = 471
R2 = 25 R = 5
* Me piden: Diámetro = 2R = 2(5) = 10
Diámetro = 10cm Rpta.. C
Resolución 31 Veamos:
* Dato:
S = 0,785
π·R2 = 0,785
(3,14)·R2 = 0,785
R2 = 0,25 R = 0,5
* Me piden:
SEsfera = 4p·R2
SEsfera = 4(3,14)(0,5)2
SEsfera = 3,14 cm2 Rpta.: B
Resolución 32 Tenemos:
* Dato:
• 1
2
R
R 3
1= 1
2
R K
R 3K
= =
• SEsfera1 = 628
4π(R1)2 = 628
4π·(K)2 = 628 π·K2 = 157
* Me piden:
• SEsfera 2 = 4π(R2)2
SEsfera 2 = 4π(3K)2
SEsfera 2 = 36(π·K2)
SEsfera 2 = 36(157) = 5652
SEsfera 2 = 5652 cm2 Rpta.: D
* Me piden
Rpta.: C
Resolución 5 Tenemos:
Flujo(4 primeros días) = f1+f2+f3+f4Flujo(4 primeros días) = 600 + 7500 +
4000 + 5000
Flujo(4 primeros días) = 22 500
* Me piden:
# Grados(Voleibol) = Frecuencia(voleibol)
· 360n
°
# Grados(Voleibol) = 25
· 360 90100
° = °
#Grados(Voleibol) = 90° Rpta.: D
% Alimentación = 144
·100%360
°°
% Alimentación = 40% Rpta.: C
Resolución 3 Tenemos:
Resolución 4 Tenemos:
* Me piden:
• hi = if
n hi = if
28
• fi = conteo
CAPÍTULO N° 17
Resolución 1 Veamos:
* En la tabla aplicamos:
if
= 6= 2= 3= 4= 6= 7
n = 28
* Ahora:
1.1 * Me piden:
Frecuencia(Mayor tem) = f6
Frecuencia(Mayor tem) = 7 Rpta.: B
1.2 * Me piden:
Frecuencia(Menor tem) = f1
Frecuencia(Menor tem) = 6 Rpta.: C
1.3 * Me piden:
f2 + f3 + f4 = 2 + 3 + 4
f2 + f3 + f4 = 9 Rpta.: D
1.4 * Me piden:
Frec. Relativa(x4) = h4
Frec. Relativa(x4) = 4/28 = 1/7 Rpta.: C
1.5 * Me piden:
Porcentaje = 6f ·100%n
Porcentaje = 7
·100% 25%28
= Rpta.: A
Resolución 2 Tenemos:
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (Pág. 641, 642, 643)
Resolución 6 Tenemos:
* Luego:
* Me piden:
B) → Falso
C) → Falso (De menor producción fué 1993)
1,64 1,66 1,68 1,66 1,70x
9+ + + +=
1,72 1,80 1,78 1,80+ + + +
15,44
x 1,72m9
= ≈ Rpta.: B
(De 1996 a 1997 disminuye)
D) → Verdadero 900200 1300400
x2+ =
A) → Falso
)x 1100300=E) → Falso
(“D” es verdadero)
∴ La alimentación correcta es (D)
Rpta.: D
Resolución 7 Tenemos:
* Luego:
I. Temp. mínima ← (L ; M ; J) = 15°
Falso (I)
II. Temp. máxima ³ (S) = 25°
Verdadero (II)
III. 15 20 15 15 20 25 20x
7+ + + + + +=
x 18,57= ° Verdadero (III)
∴ Son verdaderos II y III Rpta.: B
Resolución 8 Tenemos:
* Ahora:
Niños Niños Niños NiñosII. Total =[7; 9] + [9; 11] + [11; 13] + [13; 15]
Total = 6 + 9 + 7 + 5
I. [9; 11] ← 9 niños (I) Verdadero
Total = 27 (II) VerdaderoIII. Tenemos:
Total niños = 27
* Ahora: Niños NiñosNiños [11; 15] = [11; 13] + [13; 15]Niños [11; 15] = 7 + 5Niños [11; 15] =
112
2≠ Total niños
(III) Falso
∴ Son verdaderas I y II Rpta.: D
Resolución 9 Tenemos:
* Ahora
9.1 * Me piden:
P(1R) = Cant.Rojas 4Total 15
=
P(1R) = 4/15 Rpta.: C
9.2 * Me piden:
P(1B) = Cant.Bojas 6
Total 15=
P(1B) = 2/5 Rpta.: A
9.3 * Me piden:
P(1A) = Cant. Azules 5
Total 15=
P(1A) = 1/3 Rpta.: B
9.4 * Me piden:P(no 1B) = 1 – P(1B)
P(no 1B) = Cant. Blancas
1Total
−
A = 4; 8; 16; 12 n(A) = 4
• Ω = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16n( Ω ) = 8
* Me piden:
n(A) 4 1P(A)
n( ) 8 2= = =
Ω Rpta.: A
Resolución 14 Sea:
A = La tarjeta es número 15
Ω = Total de casos
* Luego:
• A = 15 n(A) = 1
• Ω = 1; 2; 3; ...; 20 n( Ω ) = 20
* Me piden:
n(A) 1P(A)
n( ) 20= =
Ω Rpta.: E
Resolución 15 Sea:
A = boletos a favor de Juan
Ω = casos totales
* Luego; dato:
• n(A) 4
P(A)n( ) 4800
= =Ω
P(A) = 1/1200 Rpta.: C
• n(A) = 4
• n( Ω )= 4800
n( Ω ) = 52
* Me piden:
n(A) 8 2P(A)
n( ) 52 13= = =
Ω Rpta.: D
Resolución 13 Sea:
A = Apunta a un número 4°
Ω =Total de casos
* Luego; tenemos:
* Me piden:
Resolución 11 Sea:
A = Obtener una carta espada
Ω = Total de casos
* Luego:
• A= 1; 2; 3; 4; ... ; 13 n(A) = 13
Espadas
Diamante
Resolución 10 Sea:
A = Obtener un número menor que 5
Ω = total de casos
* Luego:
• Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 n( Ω )= 6
• A = 1; 2; 3; 4 n(A) = 4
* Me piden:
n(A) 4 2P(A)
n( ) 6 3= = =
Ω Rpta.: B
• Ω =1 ; 2; ... 13; 1; 2; ... 13; 1; 2; ...13; 1; 2..; 13]
Espada Trebol Corazón
n( Ω ) = 52
* Me piden:
n(A) 13
P(A) 1/ 4n( ) 52
= = =Ω Rpta.: C
Resolución 12 Sea:
•A = Obtener una reyna o un rey
• Ω = Total de casos
* Luego:
• A = 1Rey; 1Reyna; 1 Rey; 1Reyna
Espada Trebol
1Rey; 1Reyna; 1Rey; 1Reyna
Corazón Diamante
n(A) = 8
• Ω = 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...;13
Espada Trebol Corázon Diamante
P(no 1B) = 6 9
15 15
− =
P(no1B) = 3/5 Rpta.: D
9.5 * Me piden: P(no 1R) = 1 – P(1R)
P(no 1R) = Cant. Rojas1
Total−
P(no 1R) = 4 11
115 15
− = Rpta.: E
* Me piden:
n(A) 1P(A)
n( ) 4= =
Ω Rpta.: A
Resolución 17 Sea:
• x = cant. bolas blancas (B)
• y = cant. bolas verdes (V)
• z = cant. bolas negras (V)
* Luego; dato:
• x + y + z = 50 ... (I)
P(1B) = 2
5
x 2
x y z 5=
+ + x 2
50 5= x = 20
• P(1N) = 1
10
z 1
x y z 10=
+ + z 1
50 10= z = 5
* En (I) :
x + y + z = 50
20 + y + 5 = 50 y = 25
Resolución 16 Sea:
A = Se obtiene cara y cara
Ω = Total de casos
* Luego:
• A = CC n(A) = 1
• Ω = CC; CS; SC; SS n( Ω ) = 4
* Ahora; tenemos:
x = 20 ; y = 25 ; z = 5
20 blancas ; 25 verdes y 5 negras
Rpta.: B
* Ahora:
• P(1L) = Cant. Limones 6
Total 41=
P(1L) = 6/41
Resolución 18 Tenemos:
• P(1F) = Cant.Fresas 12
Total 41=
P(1F) = 12/41
• P(1E) = Cant. Mentas 8
Total 41=
P(1E) = 8/41
• P(1M) = Cant. Manzanas 15
Total 41=
P(1M) = 15/41 ← Mayor
* Como el mayor es P(1M)
Es más probable que sea manzana
Rpta.: D
Resolución 19 Sea:
A = Gana Martín o un amigo
Ω = Total de casos
* Luego:
• A = Martín; 4 amigos n(A) = 5
• Ω = 40 candidatos n( Ω ) = 40
* Me piden:
n(A) 5P(A) 1/8
n( ) 40= = =
Ω Rpta.: C
Resolución 20 Sea:
A = Número que términa en cero
Ω = Total de casos
* Luego:
• A = 10;20;30;40;50;60;70;80;90
n(A) = 9
• Ω = 10; 11; 12; ... 99
n( Ω ) = 90
* Me piden:
n(A) 9P(A) 1/10
n( ) 90= = =
Ω
P(A) = 1/10 Rpta.: D