solucionario de productos notables
DESCRIPTION
Solucionario de Tema Productos NotablesTRANSCRIPT
- 1 -
SOLUCIONARIO DEL TEMA
PRODUCTOS NOTABLES PRO-
BLEMAS PARES
2.-Si: 2 2 2 22( ) 2( ) ( ) ( )x y z w x y z w x y z w
Hallar:
10x y
Ez w
Solución: Realizando un cambio de variable tene-mos:
x y m
z w n
Reemplazando resulta:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2( ) 2( ) ( ) ( )
2( ) 2( ) 4
2
2 0
( )
0
m n m n m n
m n mn
m n mn
m mn n
m n
m n
m n
10 10
1x y m
Ez w n
Rpta. D) 4.- Si se sabe que
2 2 2x y z xy xz yz
Calcular el valor de:
10
910 10 10
( )x y zM
x y z
Solución: de la condición tenemos:
2 2 2
. . .
,
constante=k
x y z xy xz yz
x x y y z z xy xz yz
x y y z
x y z
Reemplazando el M tenemos:
10 10
9 910 10 10 10
10 109 99
10
( ) (3 )
3
33 3
3
k k k kM
k k k k
kM
k
Rpta. B)
6.- Si 2 2 2a b c El valor de:
2 2 2 2
a b c a b c a b c a b ca b c
Solución: De la condición tenemos: La condición que nos da resulta ser el teorema de Herón de Alejandría el cual sirve para el cálculo del área de este modo
2 2 2 2
a b c a b c a b c a b ca b c A
Solo bastara con calcular el área del triángulo mos-trado siendo este:
2
bcA
Rpta. D) 8.- Efectuar:
2 2 2 2( 2) ( 1) ( 1) ( 2)x x x x
Solución: Multiplicando convenientemente tenemos:
ba
c
- 2 -
2 2 2 2
2
2
22 2
24 2
2 24 2 2 4 2 4 2
8 4 6 4 2
8 6 4 2
( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
( 2)( 1)( 1)( 2)
( 2)( 2)( 1)( 1)
( 4)( 1)
5 4
5 4 2 5 4 4 5
25 16 2 5 4 20
10 33 40 16
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
Rpta. A) 10.- Si a+b+c=0, Hallar el valor de:
2 2 2a b c
bc ac ab
Solución: De la condición tenemos:
3 3 30 3a b c a b c abc
Arreglando la expresión pedida tenemos:
3 3 3 3 3 3a b c a b c
abc abc abc abc
Reemplazando lo anterior:
3 3 3 33
a b c abc
abc abc
Rpta. A)
12.- Si 1 1 2xy yx
2
2
(3 )n n
n
x y xM
x y
Solución: De la condición tenemos:
1 1
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 0
( ) 0
0
xy yx
x y
y x
x y
xy
x y xy
x xy y
x y
x y
x y
Reemplazando tenemos:
2 2
2 2
2 2
2 2
(3 ) (3 )
(4 ) 161 1 17
n n n n
n n
n n
n n
x y x y y y
x y y y
y y
y y
Rpta. C)
14.- Si se sabe que: 2 1x
Calcular: 5 3 25 2 1x x x x
Solución: Factorizando tenemos:
5 3 2 3 25 2 1 ( 2)( 5) 11x x x x x x x
Calculemos 3 2 x y x de la condición:
33
22
2 1 5 2 7
2 1 3 2 2
x
x
Reemplazando tenemos:
(5 2 5)( 2 2 2) 2 1 11
2
Rpta. B)
- 3 -
(5 2 7 2)(3 2 2 6) ( 2 1) 13
5( 2 1)( 2 2 3) ( 2 1) 13
5( 8 2 3) ( 2 1) 13
5( 5 2) ( 2 1) 13
16.- Si a+b+c=0 entonces:
2 2 2
2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a b c a c b b c aE
a b c
Despejando de la condición tenemos:
a b c
a c b
b c a
Reemplazando tenemos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
9 9 99
c c b b a a
a b c
c b a
a b c
Rpta. A) 18.- De las igualdades:
2 2 2 2 2
2 2
( );
( ) 2
x y z y z xA B
y z x yz
Calcule: E A B AB Sumando a ambos miembros la unidad tenemos:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( )1 1
( )
( ) ( ) 41
( ) ( )
2 ( )1 1
2 2 2
x y zA
y z x
x y z y z x yzA
y z x y z x
y z x y z x yz y z xB
yz yz yz
Multiplicando tenemos:
2 2
2 2
4 ( )( 1)( 1)
( ) 2
1 2
1
yz y z xA B
y z x yz
AB A B
AB A B
Rpta. E)
20.- Calcular el valor de:
3( )( );
2
x a x b xE
a x b ab
Si 2( 2 )( 2 ) ( )a x b a x b a b
Solución: Aplicando diferencia de cuadrados tenemos:
2
2 2 2
2 2 2
2
2
( 2 )( 2 ) ( )
( ) 4 ( )
( ) ( ) 4
4 4
a b x a b x a b
a b x a b
a b a b x
ab x
ab x
En E tenemos:
3 2 2
2
2
2
2 2
( )( ) ( )
2 2
( )
2
2 ( )
2
2 ( ) ( 2 )
2
2 ( ) ( ) 2
2
0
x a x b x x a b x ab x x
a x b ab a x b ab
x a b x ab abx
a x b ab
x a b xx
a x b
x a b x x a x b
a x b
x a b x x a b x
a x b
Rpta. B)