solucionario fisica vectorial 1 vallejo zambrano
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Solucionario Fisica Vectorial 1Vallejo ZambranoEjercicios del 1 al 9 completosTRANSCRIPT
FÍSICA VECTORIAL 1
VALLEJO-ZAMBRANO
SOLUCIONARIO
Por Henry Alvarado
Primera edición
(Edición Realizada en software de ofimática)
Contactos:
http://www.facebook.com/henryalvaradoj
0987867212
PROLOGO
Este libro ha sido creado, con la intención de contribuir a los
estudiantes en el interés del estudio de la física, de un modo
mediante el cual puedan recurrir a esta guía para satisfacer sus
dudas en la resolución de problemas del libro “Física Vectorial
1” de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, debo
advertir que este solucionario no constituye una guía práctica
para el aprendizaje de la física, sino es solo un apoyo para la
misma.
El libro “Física Vectorial 1” de Vallejo-Zambrano, es un libro
mediante el cual los lectores pueden aprender de un modo
significativo, sin embargo me permití resolver los ejercicios
propuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad de
comprensión en los problemas de este tipo, he puesto mi
esfuerzo en cada uno de los ejercicios, además de la edición de
los mismos.
El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad del
lector, por tanto aconsejo se utilice debidamente para
desarrollar las destrezas en el estudio de la física.
Henry Alvarado.
Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano
Henry Alvarado Página 1
EJERCICIO Nº 1
1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano:
A. -4, 3 D. 0, 6 G. -2, -5
B 1, -8 E. 5, 0 H. 8, - 4
C. -7, - 2 F. 3, 4 I. -1, 7
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano
Henry Alvarado Página 2
2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos:
SOLUCIÓN:
R. 5, -6 S. -8, -3 T. -4, 0 U. 2,7 V. -2, 3 W. -8, 0
X. 8,1 Y. -7,1 Z. 7, -5
3. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos
siguientes:
R. 12, 5 U. -1, 8 X. -11, - 6
S. -7, 4 V. -2, - 7 Y. 9, - 4
T. 4, - 2 W. 10, 3 Z. -4, 9
SOLUCIÓN:
R. 12, 5 Primer Cuadrante S. -7, 4 Segundo Cuadrante
T. 4, - 2 Cuarto Cuadrante U. -1, 8 Segundo Cuadrante
V. -2, -7 Tercer Cuadrante W. 10, 3 Primer Cuadrante
X. -11, -6 Tercer Cuadrante Y. 9, - 4 Cuarto Cuadrante
Z. -4, 9 Segundo Cuadrante
Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano
Henry Alvarado Página 3
4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:
R. 40cm, 75° U. 15 N,110° X. 35m, 200°
S. 20cm, 290° V. 25 N, 330° Y. 50m, 245°
T. 30cm,180° W. 10 N, 200° Z. 50m, 90°
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano
Henry Alvarado Página 4
5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos:
SOLUCIÓN:
Q. 5cm, 65° R. 10cm,112° S. 9cm,165° T. 11cm, 225° U. 7cm, 305°
V. 9 N, 70° W. 7 N,115° X. 10 N, 210° Y. 5N, 260° Z. 8N, 325°
6. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos
siguientes:
R. 90m,119° U. 47 m, 25° X. 91N, 272°
S. 35m, 213° V. 63N,192° Y. 113N, 89°
T. 87 m, 300° W. 56 N, 94° Z. 83N,165°
SOLUCIÓN:
R. 90m,119° Segundo Cuadrante S. 35m, 213° Tercer cuadrante
T. 87m, 300° Cuarto Cuadrante U. 47m, 25° Primer Cuadrante
V. 63N,192° Segundo Cuadrante W. 56 N, 94° Primer Cuadrante
X. 91N, 272° Cuarto Cuadrante Y. 113N, 89° Primer Cuadrante
Z. 83N,165° Segundo Cuadrante
7. Representar las siguientes coordenadas en el plano:
R. 12m, SE U. 7 m, S55°O X. 11cm, S10°E
S. 8m, N12°O V. 9m, N80°O Y. 8cm, S
Z. 7cm, S15°OT. 10m, N35°E W. 10cm, N
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Henry Alvarado Página 5
SOLUCIÓN:
8. Determinar las coordenadas geográficas que corresponden a los siguientes puntos:
SOLUCIÓN:
Q. 10m, N55°E R. 12m, N5°E S. 8m, N65°O T. 11m, S50°O U. 10m, SE
V. 10 N, N40°E W. 8N, N32°O X. 9 N, N80°O Y. 12 N, S33°O
Z. 11N, S52°E
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9. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos
siguientes:
R. 70km, SE U. 55km, N 20E° X. 75m, N73°O
S. 45km, N 23O° V. 80m, S35°E Y. 40cm, N80°E
T. 60km, S80°O W. 29m, S10°O Z. 89cm, NE
SOLUCIÓN:
R. 70km, SE Cuarto Cuadrante S. 45km, N23O° Segundo Cuadrante
T. 60km, S80°O Tercer Cuadrante U. 55km, N20E° Primer Cuadrante
V. 80m, S35°E Cuarto Cuadrante W. 29m, S10°O Tercer Cuadrante
X. 75m, N73°O Segundo Cuadrante Y. 40cm, N80°E Primer Cuadrante
Z. 89cm, NE Primer Cuadrante
10. En el triángulo GHI, hallar:
a) g en términos de I, h
b) i en términos h, g
c) G en términos i, g
d) h en términos G, g
e) i en términos G, h
f) I en términos i, h
SOLUCIÓN:
a) b) c)
gcosI =
h
g = h cosI
2 2 2
2 2
h = i + g
i = h - g
-1
gtanG =
i
gG = tan
2
d) e) f)
gsenG =
h
gh =
senG
icosG =
h
i = h cosG
-1
isenI =
h
iI = sen
h
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11. En el triángulo JKL, hallar:
a) j en términos de L, l
b) l en términos J, k
c) J en términos j, l
d) k en términos j, l
e) k en términos j, L
f) l en términos k, L
SOLUCIÓN:
a) b) c)
ltanL =
j
lj =
tanL
lcosJ =
k
l = k cosJ
-1
jtanJ =
l
jJ = tan
l
d) e) f)
2 2k = j + l
jcosL =
k
jk =
cosL
lsenL =
k
l = k senL
12. En el triángulo MNO, hallar:
a) M en términos de o, m
b) N en términos o, m
c) n en términos o, m
d) m en términos M, n
e) o en términos N, n
f) o en términos N, m
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SOLUCIÓN:
a) b) c)
-1
msenM =
o
mM = sen
o
-1
mcosN =
o
mN = cos
o
2 2 2
2 2
o = m + n
n = o - m
d) e) f)
mtanM =
n
m = n tanM
nsenN =
o
no =
senN
mcosN =
o
mo =
cosN
13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
B = 90° -35°
B = 55°
csen 35° =
d
c = dsen 35°
c = 10sen 35° = 5,74mbcos35° =
d
b = d cos35°
b = 10cos35° = 8,19m
c
b
R = 90° - 42°
R = 48°
qsen 42° =
p
qp =
sen 42°
73cmp = = 109,09cm
sen 42°qtan 42° =
r
qr =
tan 42°
73cmr = = 81,07cm
tan 42°
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ECD
E = 90° - 28°
E = 62°
2EC = 47cm
EC = 23,5cm
ECsen 28° =
DE
ECDE =
sen 28°
23,5cmDE = = 50,05cm
sen 28°
ECtan 28° =
DC
ECDC =
tan 28°
23,5cmDC = = 44,19cm
tan 28°
AB = DC = 44,19cm
ABC
ABC
A = 90° -38°
A = 52°
ABsen 38° =
AC
ABAC =
sen 38°
53cmAC = = 86,09cm
sen 38°
ABtan 38° =
BC
ABBC =
tan 38°
53cmBC = = 67,84cm
tan 38°
BCD
1
1 = 90° -38°
1 = 52°
DCcos38° =
BC
DC = BCcos38°
53cmDC = cos38° = 53,46cm
tan 38°
BDsen 38° =
BC
BD = BCsen 38°
53cmBD = sen 38° = 41,76cm
tan 38°
2 2
2 2
AC = BC + AB
AC = 47 + 44,19
AC = 64,51cm
-1
-1
ABtanC =
BC
ABC = tan
BC
44,19C = tan = 43,24°
47
A = 90° - 43,24°
A = 46,76°
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ABC
C = 90° - 40°
C = 50°
BCsen 40° =
AC
BC = ACsen 40°
BC = 90kmsen 40° = 57,85km
ABcos 40° =
AC
AB = ACcos 40°
AB = 90kmcos 40° = 68,94km
EDB
2 2EB = DB = AB = 68,94km = 45,96km
3 3
2 2DE = 45,96 + 45,96
DE = 65km
Triangulo isósceles
E = 45°
D = 45°
EDC
1 = 90° - 67°
1 = 23° D = 67
DEsen 23° =
DC
DE = DCsen 23°
DE = 71msen 23° = 27,74m
ECcos 23° =
DC
EC = DCcos 23°
EC = 71mcos 23° = 65,36m
ABC
ACEC =
2
AC = 2EC = 2 65,36m = 130,72m
A = 90° -37°
A = 23°
ABsen 67° =
AC
AB = ACsen 67°
AB = 130,72msen 67° = 120,33m
BCcos67° =
AC
BC = ACcos67°
BC = 130,72mcos67° = 51,08m
1
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
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EJERCICIO Nº 2
1. Determinar cuáles de los siguientes vectores son unitarios:
a) 0,5 i+ 0,5 j b) 0,8 i+ 0,6 j c) 0,37 i 0,929 j
d) 0,7 i+ 0,55 j e) 0,235 i 0,972 j f) 0,3 i+ 0,4 j
g) 0,33 i 0,943 j h) 0,5 i+ 0,866 j i) 0,707 i 0,707 j
SOLUCIÓN:
a) 2 20,5 + 0,5 = 0,707 No es unitario b) 2 20,8 + 0,6 =1 Es unitario
c) 2 20,37 + 0,929 =1 Es unitario d) 2 20,7 +0,55 = 0,890 No es unitario
e) 2 20,235 +0,972 =1 Es unitario f) 2 20,3 + 0,4 = 0,5 No es unitario
g) 2 20,33 +0,943 =1 Es unitario h) 2 20,5 +0,866 =1 Es unitario
i) 2 20,707 +0,707 =1 Es unitario
2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores:
a) A = 150 N,140° b) B = 27 N, N37°E c) C = 45N, 225°
b) D = -9 i+ 4 j N e) E = 400 N, S25°O f) F = 235 i-520 j m
c) G = 28m, S h) H = 40m, 335 i) I = 12m, NO
SOLUCIÓN:
a)
X
X
A = 150cos140°
A = -114,91
Y
Y
A = 150sen140°
A = 96,42 A = -114,91i+96,42 j N
A
A
A=
A
-114,91 i+ 96,42 j N=
150 N
A = -0,77 i+ 0,64 j
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
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b)
X
X
B = 27sen 37°
B = 16,25
Y
Y
B = 27cos37
B = 21,56
B = 16,25 i+ 21,56 j N
B
B
B=
B
16,25 i+ 21,56 j N=
27 N
B = 0,60 i+ 0,79 j
c)
X
X
C = 45cos 225°
C = -31,82
Y
Y
C = 45sen 225°
C = -31,82 C = -31,82 i+ -31,82 j N
C
C
C=
C
-31,82 i+ -31,82 j N=
45 N
C = -0,707 i- 0,707 j
d)
2 2D = 9 + 4 N
D = 9,85 N
D
D
D=
D
-9 i+ 4 j N=
9,85 N
D = -0,91 i- 0,40 j
e)
X
X
E = -400sen 25°
E = -169,05
Y
Y
E = -400cos 25°
E = -362,52 E = -169,05 i-362,52 j N
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E
E
E=
E
-169,05 i-362,52 j N=
400 N
E = 0,42 i+ 0,91 j
f) g)
2 2F = 235 + 520 m
F = 570,64m
F
F
F=
F
= 235 i-520 j m=
570,64 m
F = 0,41 i- 0,91 j
G = 0 i- j
h)
X
X
H = 40cos335°
H = 36,25
Y
Y
H = 40sen 335°
H = -16,90 H = 36,25 i+ -16,90 j m
H
H
H=
H
36,25 i+ -16,90 j m=
40 m
H = 0,91 i- 0,42 j
i)
X
X
I = -12sen 45°
I = -8,49
X
X
I = 12cos 45°
I = 8,49 I = -8,49 i 8,49 j m
I
I
I=
I
-8,49 i 8,49 j m=
12 m
I = -0,707 i+ 0,707 j
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Henry Alvarado Página 14
Nota: también se puede resolver en función de los ángulos directores y cosenos
directores.
3. Determinar los ángulos directores de los siguientes vectores:
R = -4 i+8 j m S = 5 i-9 j m T = -11i-7 j m U = 120m,120°
V = 45N, 229° W = 57 N, 280° X = 78N, N29°O Y = 45N, S72°E
Z = 20 N,S45°O
SOLUCIÓN:
R:
X
-1 X
-1
2 2
Rcos =
R
R= cos
R
-4= cos = 116,57
4 +8
Y
-1 Y
-1
2 2
Rcos =
R
R= cos
R
8= cos = 26,57
4 +8
S:
X
-1 X
-1
2 2
Scos =
S
S= cos
S
5= cos = 60,95
5 + 9
Y
-1 Y
-1
2 2
Scos =
S
S= cos
S
-9= cos = 150,95
5 + 9
T:
X
-1 X
-1
2 2
Tcos =
T
T= cos
T
-11= cos = 147,53
11 + 7
Y
-1 Y
-1
2 2
Tcos =
T
T= cos
T
-7= cos = 122,47
11 + 7
U: =120° =120°-90° = 30°
V: = 360°-229 =131 = 229°-90° =139°
W: = 360°-280 = 80 = 90° 80 =170°
X: = 29° 90 =119 = 29°
Y: = 90°-72 =18 =180°-72 =108°
Z: = 90° 45 =135 = 90° 45 =135
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4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literal
anterior.
SOLUCIÓN:
-R
-R
= -cos116,57° i- cos 26,57° j
= 0,45 i- 0,89 j
-S
-S
= -cos60,95° i- cos150,95° j
= -0,49 i- 0,87 j
-T
-T
= -cos147,53° i- cos122,47° j
= 0,84 i 0,54 j
-U
-U
= -cos120° i- cos30° j
= 0,50 i- 0,87 j
-V
-V
= -cos131° i- cos139° j
= 0,66 i 0,75 j
-W
-W
= -cos80° i- cos170° j
= -0,17 i- 0,98 j
-X
-X
= -cos119° i- cos 29° j
= 0,48 i- 0,87 j
-Y
-Y
= -cos18° i- cos108° j
= -0,95 i 0,31 j
-Z
-Z
= -cos135° i- cos135° j
= 0,71i 0,71 j
5. Un vector R parte del origen y llega al punto 12, 7 cm; determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector R
b) El módulo del vector R
c) La dirección del vector R
d) Los ángulos directores del vector R
e) El vector en función de sus vectores base
f) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b) c)
X
Y
R = 12cm
R = 7cm 2 212 + 7 cm =13,89cm
-1 12= tan = 59,74°
7
N59,74 E
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
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d) e) f)
90 -59,74 30,26
59,74
R = 12 i+ 7 j cm
R
R
R=
R
12 i+ 7 j cm=
2 212 7 cm
R = 0,96 i- 0,5 j
6. Un vector S cuya magnitud es de 54N y forma un ángulo de 213° en sentido
antihorario con el eje positivo en Y, determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector S
b) Las coordenadas del punto externo del vector S
c) Los ángulos directores del vector S
d) El vector en función de sus vectores base
e) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b)
X
X
S = 54 Ncos 213°
S = -45,29 N
Y
Y
S = 54 Nsen 213°
S = -29,41N S -45,29; - 29,41 N
c) d) e)
= 360° - 213° =147°
= 213° -90° =123°
S = -45,29 i- 29,41 j N
S
S
= cos147° i+ cos123° j
= -0,84 i- 0,54 j
7. Si el ángulo director de α de un vector K es 125°, y su componente en el eje X es de -
37cm; determinar:
a) La componente en el eje Y
b) El ángulo director β
c) El módulo del vector K
d) El vector unitario
e) El vector en función de los vectores base
f) El punto extremo del vector
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
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a) b) c)
Y
Y
37cmtan125° =
K
37cmK = = -52,84cm
tan 35
=180°-35° =145°
37cmsen 35° =
K
37cmK = = 64,51cm
sen 35°
d) e) f)
K
K
= cos125° i+ cos145° j
= -0,57 i- 0,82 j
K = -37 i-52,84 j cm K -37;-52,84 j cm
8. Para el vector A = -34 i+ 67 j cm/ s; determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector
b) El vector en coordenadas polares
c) El vector en coordenadas geográficas
d) El módulo del vector A
e) Los ángulos directores del vector A
f) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b)
X
Y
R = -34cm/ s
R = 67cm/ s
-1
2 2
-34= cos
34 + 67
= 116,91
2 2A = 34 + 67 = 75,13
A = 75,13cm/ s;116,91°
c) d)
=116,91° -90° = 26,91°
A = 75,13cm/ s; N 26,91°O
2 2A = 34 + 67 = 75,13cm/ s
e) f)
116,91
26,91
S
S
= cos116,91° i+ cos 26,91° j
= -0,45 i 0,89 j
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
Henry Alvarado Página 18
9. El rumbo de un vector E es S68°E y el valor de la componente en el eje de las X es
87N, determinar:
a) Los ángulos directores
b) La componente en el eje Y
c) El módulo del vector E
d) Las coordenadas en el punto extremo del vector
e) El vector unitario
f) Un vector F de dirección opuesta al vector E , cuyo módulo es el mismo del E
SOLUCIÓN:
a) b) c)
= 90° - 68° = 22°
=180° - 68° = 112°
Y
Y
87 Ntan 68° = -
E
87 NE = - = -35,15 N
tan 68°
87 Nsen 68° =
E
87 NE = = 93,83N
sen 68°
d) e) f)
E 87; -35,15 N
E
E
= cos 22° i+ cos112° j
= 0,93 i- 0,37 j
F = -87 i+35,15 j N
10. El módulo del vector C es 84m y su dirección está dada por el vector unitario
CU = mi+ nj, el vector C está en el primer cuadrante; determinar:
a) El valor de m y n, si n=2m
b) Los ángulos directores del vector C
c) El vector en función de los vectores base
d) Las componentes rectangulares del vector C
e) Las coordenadas del punto extremo del vector C
f) La dirección del vector C
g) El vector unitario
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
Henry Alvarado Página 19
a) b)
22
2
En un vector unitario el módulo
es siempre
1 = m + 2m
5m = 1
1 5 2 5m = = y n =
5 5
1, entonces :
5
-1
-1
5= cos = 63,43°
5
2 5= cos = 26,57°
5
c) d) e)
5 2 5C = 84m i+ j
5 5
C = 37,57 i+ 75,13 j m
X
Y
C = 37,57 m
C = 75,13m C 37,57; 75,13 m
f) g)
N26,57°O
C
C
5 2 5= i+ j
5 5
= 0,45 i+ 0,89 j
11. La componente de un vector B en el eje X es -27cm, si sus ángulos directores son
α=145° y β=125°, determinar:
a) La componente del vector en el eje Y
b) El módulo del vector B
c) Las coordenadas del punto extremo del vector B
d) La dirección del vector B
e) El vector en coordenadas polares
f) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b)
Y
Y
-27cmtan 55° =
B
27cmB = - = -18,91cm
tan 55°
-27cmcos145° =
B
-27cmB = = 32,96cm
cos145°
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
Henry Alvarado Página 20
c) d) e)
B -27; -18,91 cm S 55°O B = 32,86cm; 215°
f)
B
B
= cos145° i+ cos125° j
= -0,82 i- 0,57 j
12. La componente de un vector J en el eje Y es -45km y el ángulo formado respecto al eje
positivo de X es 207° en dirección antihoraria, determinar:
a) La componente del vector en el eje X
b) Los ángulos directores
c) El módulo del vector J
d) Las coordenadas del extremo del vector
e) El vector en función de sus componentes rectangulares
f) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b)
X
X
= 270° - 207° = 63°
Jtan 63° =
-45km
J = -45km tan 63° = -88,32km
= 360° - 207° =153°
= 207° -90° =117°
c) d) e)
-45kmcos117° =
J
-45kmJ = = 99,12km
cos117°
J -88,32; - 45 km J = -88,32; - 45 km
f)
J
J
= cos153° i+ cos117° j
= -0,89 i- 0,45 j
13. El módulo de un vector E es 68cm y tiene como ángulos directores α=115° y β=25°;
determinar:
Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano
Henry Alvarado Página 21
a) La dirección
b) Las componentes rectangulares del vector
c) Las coordenadas del punto extremo del vector
d) El vector en función de los vectores base
e) El vector unitario
SOLUCIÓN:
a) b) c)
N25°O X
X
E = 68cmcos115°
E = -28,74cm
X
X
E = 68cmsen115°
E = 61,63cm E -28,74; 61,63 cm
d) e)
E = -28,74 i+ 61,63 j cm
E
E
= cos115° i+ cos 25° j
= -0,42 i 0,91 j
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 22
EJERCICIO Nº 3
1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:
a) mj20i15A
b) B = 130 N,125º
c) C = 37cm, N37º E
d) D = 25kgf -0,6 i-0,8 j
SOLUCIÓN:
a)
A = 15, - 20 m
b)
x
x
x
B = B cos
B = 130 Ncos125º
B = -74,56 N
y
y
y
B = B sen
B = 130 Nsen125º
B = 106,49 N
x yB = B , B
B = -74,56;106,49 N
c)
x
x
x
B = B sen
B = 37cmsen 37º
B = 22,27cm
y
y
y
B = B cos
B = 37cmcos37º
B = 29,55cm
x yB = B , B
B = 22,27; 29,55 cm
d)
D = 25kgf -0,6 i- 0,8 j
D = -15 i- 20 j kgf
D = -15, - 20 kgf
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 23
2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:
a) A = -14 i+8 j m
b) B = 87, 91 N
c) C = 45kgf 0,707 i-0,707 j
d) D = 22 N,S28ºO
SOLUCIÓN:
a)
2 2A = 14 +8
A = 16,12m 1
8tan
14
8tan
14
29,74º
180º
180º 29,74
150,26º
A = 16,12m;150,26º
b)
2 2B = 87 + 91
B = 125,90 N
1
91tan
87
91tan
87
46,29º
B = 125,90 N; 46,29º
c)
1
1
1
1
0,707tan
0,707
0,707tan
0,707
45º
1270º
270º 45º
315º
C = 45kgf; 315º
d)
270º
270º 28º
242º
D = 22 N, 242º
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 24
3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores:
a) A = 52,-25 N
b) B = 47 N, 245º
c) C = -32 im+ 21 jm
d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j
SOLUCIÓN:
a)
2 2A = 52 + 25
A = 57,7 N
1
52tan
25
52tan
25
64,32º
A = 57,7 N; S64,32º E
b)
270º 245º
25º
B = 47 N, S25º O
c)
2 2C = 32 + 21
C = 38,28m
1
32tan
21
32tan
21
56,73º
C = 38,28m; N56,73O
d)
1
0,5tan
0,866
0,5tan
0,866
30º
D = 35cm; N30º E
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 25
4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores:
a) A = 44m, 340º
b) B = 25km, S14ºO
c) C = -21, 45 N
d) D = 17 i+9 j kgf
SOLUCIÓN:
a)
x
x
x
A = A cos
A = 44mcos340º
A = 41,35m
y
y
y
A = A sen
A = 44msen 340º
A = 15,05m
A = 41,35 i-15,05 j m
A
A
A
A=
A
41,35 i-15,05 j m=
44m
= 0,94 i 0,34 j
A = 44m 0,94 i-0,34 j
b)
270º 14º
284º
x
x
x
B = B cos
B = 25kmcos 284º
B = 6,05km
y
y
y
B = A sen
B = 25kmsen 284º
B = 24,26km
A = 6,05 i- 24,26 j km
B
B
B
B=
B
6,05 i- 24,26 j km=
25km
= 0,24 i 0,97 j
B = 25km 0,242 i-0,97 j
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 26
c)
2 2C 21 45
C 49,66º N
C
C
C
C
C
-21i+ 45 j N
49,66 N
-0,42 i+ 0,90 j
C 49,66 N -0,42 i+ 0,90 j
d)
2 2D = 17 9
D = 19,24kgf
D
D
D
D
D
17 i+ 9 j kgf
19,24kgf
0,88 i+ 0,47 j
D 19,24kgf 0,88 i+ 0,47 j
5. Expresar el vector R = -13,-27 m en:
a) Coordenadas polares
b) Función de los vectores base
c) Coordenadas geográficas
d) Función de su módulo y unitario
SOLUCIÓN:
a)
2 2R = 13 + 27
R = 29,97 m
1
1
1
1
27tan
13
27tan
13
64,29º
64,29º 180º
244,29º
R = 29,97m; 244,29º
b) c)
R = -13 i- 27 j m
270º 244,29º
25,71º
R = 29,97m; S25,71º O
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 27
d)
R
R
R
R
R
-13 i- 27 j m
29,97 m
-0,43 i- 0,9 j
R = 29,97m -0,43 i-0,9 j
6. Expresar el vector V = 200km, 318º en :
a) Coordenadas geográficas
b) Coordenadas rectangulares
c) Función de los vectores base
d) Función de su módulo y unitario
SOLUCIÓN:
a)
318º 270º
48º
V = 200km, S48º E
b)
x
x
x
V = V cos318º
V = 200kmcos318º
V = 148,63km
y
y
y
V = V sen 318º
V = 200kmsen 318º
V = -133,83km
V = 148,63; -133,83 km
c)
V = 148,63 i-133,83 j km
d)
V
V
V
V
V
148,63 i-133,83 j km
200km
0,743 i- 0,669 j
V = 200km 0,743 i-0,669 j
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 28
7. Expresar el vector K = 20 N, N47ºO en:
a) Coordenadas polares
b) Coordenadas rectangulares
c) Función de su módulo y unitario
d) Función de los vectores base
SOLUCIÓN:
a)
90º 47º
137º
K = 20 N;137º
b)
x
x
x
K = K cos
K = 20 Ncos137º
K = -14,63N
y
y
y
K = K sen
K = 20 Nsen137º
K = 13,64 N
K = -14,63;13,64 N
c)
K
K
K
K
K
-14,63 i 13,64 j N
20 N
0,73 i 0,68 j
K 20 N 0,73 i 0,68 j
d)
K = -14,63 i 13,64 j N
8. Expresar el vector L =147cm mi- nj ; Si m = 3n , en:
a) Coordenadas geográficas
b) Coordenadas polares
c) Coordenadas rectangulares
d) Función de los vectores base
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 29
L
L
2 2
2 2
mi- nj m 3n
3ni- nj
1 3n n
9 n n 1
10 n 1
1n
10
n 0,316
L
L
L
L
mi- nj m 3n
3ni- nj
3 0,316 i- 0,316 j
0,948 i- 0,316 j
a)
1
0,948tan
0,316
0,948tan
0,316
71,57º
L 147cm; S71,57º O
b)
270º 71,57º
341,57º
L 147cm; 341,57º
c) d)
L = 147cm 0,948;-0,316
L = 139,36;-19,99 cm
L = 139,36 i-19,99 j cm
9. Expresar el vector H = -29 i+35 j m s en:
a) Coordenadas rectangulares
b) Función de su módulo y unitario
c) Coordenadas polares
d) Coordenadas geográficas
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 30
a)
H = -29; 35 m s
b)
2 2H 29 35
H 45,45m/ s
H
H
H
H
H
-29 i+ 35 j m s=
45,45m s
= 0,64 i+ 0,77 j
H 45,45m/ s 0,64 i+ 0,77 j
c)
1
0,64tan
0,77
0,64tan
0,77
39,73º
90º 39,73º
129,73
H 45,45m/ s;129,73º
d)
H 45,45m/ s; N39,73º O
10. Expresar el vector 2E = 9 i+12 j m s en:
a) Coordenadas rectangulares
b) Coordenadas polares
c) Coordenadas geográficas
d) Función de su módulo y unitario
SOLUCIÓN:
a)
2E = 9;12 m s
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 31
b)
2 2
2
E = 9 +12
E = 15m/ s 1
12tan
9
12tan
9
53,13º
2E = 15m/ s ; 53,13º
c)
90º 53,13º
36,87º
2E = 15m/ s ; N36,87º E
d)
E
2
E 2
E
E
E
9 i+12 j m s
15m s
0,6 i+ 0,8 j
2E =15m/ s 0,6 i+ 0,8 j
11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores:
a) A = 65km/ h,121º
b) B = 70 N, NE
c) C =120km 0,873 i-0,488 j
d) D = -13, 40 N
SOLUCIÓN:
a)
x
x
x
A = A cos
A = 65km/ hcos121º
A = 33,48km/ h
y
y
y
A = A sen
A = 65km/ hsen121º
A = 55,72km/ h
A = -33,48 i+55,72 j km/ h
Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones
Henry Alvarado Página 32
b)
x
x
x
B = B cos
B = 70 Ncos 45º
B = 49,5 N
B = 49,5 i 49,5 j N
c)
C = 104,76 i-58,56 j km
d)
D = -13 i 40 j N
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 33
EJERCICIO Nº 4
1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar:
a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G
b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G
c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean
perpendiculares
d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F- G
SOLUCIÓN:
a) b)
F = 40 i+ 0 j m
G = 30 i+ 0 j m
R = 70 i+ 0 j m
2R = 70 = 70m
F = 40 i+ 0 j m
G = -30 i+ 0 j m
R = 10 i+ 0 j m
2R = 10 =10m
c) d)
F = 40 i+ 0 j m
G = 0 i+ 30 j m
R = 40 i+ 30 j m
2 2R = 40 30 = 50m
F = 40 i+ 0 j m
-G = 30 i+ 0 j m
R = 70 i+ 0 j m
2
F = 40 i+ 0 j m
G = -30 i+ 0 j m
R = 70 = 70m
2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar:
a) El ángulo formado por los vectores
b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G
c) El vector unitario en la dirección de F- 2G
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 34
a)
1
1
F•Gcos
F G
4×-6 + 6×-1cos
52 37
133,15º
2 2F = 4 + 6
F 7,21
2G = 6 +1
G = 6,08
b)
24 6
Á rea = = -4 +36 = 32u-6 -1
c)
F = 4 i+ 6 j G = -6 i- j 2G = -12 i- 2 j
F- 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 j
F - 2G = 16 i+8 j
F 2G
2 2
F 2G
16 i+8 j
16 8
0,89 i 0,45 j
3. Dado el vector Q = 3, -5 m , encontrar:
a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y la
coordenada Y sea positiva
b) El área del paralelogramo formado por Q y P
c) La proyección de Q sobre P
SOLUCIÓN:
a)
x y
x y
x y
Q•P = 0
Q•P = 3×P -5×P
3×P -5×P = 0
3×P 5×P
P2 2
P
P = 5 i+ 3 j m
5 i+ 3 j m
5 3
0,86 i+ 0,51 j
P = 17 m 0,86 i+ 0,51 j
P = 14,62 i 8,67 j m
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 35
b)
23 -5
Área = = 26,01+ 73,1 = 99,11m14,62 8,67
c)
Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero
4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s,120º , encontrar:
a) P - Q
b) Q + P
c) 3 / 2P
d) Q•P
e) El ángulo formado entre Q y P
f) P×Q
SOLUCIÓN:
x
x
x
Q = Q cos
Q = 15m/ scos120º
Q = -7,5m/ s
y
y
y
Q = Q sen
Q = 15m/ ssen120º
Q = 12,99m/ s
Q = -7,5 i+12,99 j m/ s
a) b)
P = 12 i -8 j m s
- Q = 7,5 i-12,99 j m/ s
P - Q 19,5 i- 20,99 j m/ s
Q = -7,5 i 12,99 j m/ s
P = 12 i -8 j m s
Q P 4,5 i 4,99 j m/ s
c) d)
3 3P = 12 i-8 j m s
2 2
3P = 18 i-12 j m s
2
Q•P = -7,5×12+12,99×-8 m/ s
Q•P = -193,92m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 36
e) f)
-1
2 2
-7,5×12 +12,99×-8= cos
15m/ s 12 +8
= 93,56º
12 -8
P×Q = = 155,88+ 60 k = 215,88k-7,5 12,99
5. Dados los vectores M = 37, 25 m N = 41m, 213º , hallar:
a) M + N
b) N - M
c) -2N
d) N•M
e) La proyección de N sobre M
f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores
SOLUCIÓN:
a)
x
x
x
N = N cos
N = 41mcos 213º
N = -34,39m
y
y
y
N = N sen
N = 41msen 213º
N = -22,33m
N = -34,39 i- 22,33 j m
M = 37 i + 25 j m
N = -34,39 i- 22,33 j m
M + N = 2,61i+ 2,67 j m
b) c)
N = -34,39 i- 22,33 j m
- M = -37 i - 25 j m
N - M = - 71,39 i- 47,33 j m
-2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m
-2N = 68,78 i+ 44,66 j m
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 37
d)
N•M = -34,39×37 - 22,33×25
N•M = -1830,68
e)
M M
M2 2 2 2
M
N•MN = ×
M
37 i+ 25 j m-34,39×37 - 22,33×25N = ×
37 + 25 37 + 25
N = -33,97 i- 22,95 j m
2 2
M
M
N = 33,97 + 22,95
N = 40,99m
f)
237 25
Área = = -826,21+934,75 = 33,54m-34,39 -22,33
6. Dados los vectores E =15N mi+ 0,48 j ; I = 21N, SE y F = 12N, 312º , hallar:
a) E + I + F
b) 2 / 3I -3E +5 / 2F
c) 2 / 5 F•E
d) 3I×2F
e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F
f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E
SOLUCIÓN:
E =15N mi+ 0,48 j
I = 21N, SE
2m = 1- 0,48
m = 0,88
270º 45º
315º
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 38
E = 15 N 0,88 i+ 0,48 j
E = 13,2 i+ 7,2 j
x
x
x
I = I cos
I = 21Ncos315º
I = 14,85
y
y
y
I = I sen
I = 21Nsen 315º
I = -14,85
I = 14,85 i-14,85 j N
F = 12 N, 312º
x
x
x
F = F cos
F = 12 Ncos312º
F = 8,03
y
y
y
F = F sen
F = 12 Nsen 312º
F = -15,60
F = 8,03 i-15,60 j N
a)
E = 13,2 i+ 7,2 j N
I = 14,85 i-14,85 j N
F = 8,03 i-15,60 j N
E + I + F 36,08 i- 23,25 j N
b)
22 / 3I = 14,85 i-14,85 j N
3
2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N
-3E = -3 13,2 i+ 7,2 j N
-3E = -39,6 i- 21,6 j N
55 / 2F = 8,03 i-15,60 j N
2
5 / 2F = 20,08 i-39 j N
2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N
-3E = -39,6 i- 21,6 j N
5 / 2F = 20,08 i-39 j N
2 / 3I -3E + 5 / 2F = -9,62 i- 70,5 j N
c)
2
2 / 5 F•E = 8,03×13,2 -15,60×7,25
F•E = -2,53
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 39
d)
3I = 3 14,85 i-14,85 j N
3I = 44,55 i- 44,45 j N
2F = 2 8,03 i-15,60 j N
2F = 16,06 i-31,2 j N
44,55 -44,55
3I×2F = k = -1389,96 + 715,47 k = -674,49k16,06 -31,2
e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F
I = 14,85 i-14,85 j N
F = 8,03 i-15,60 j N
I + F 22,88 i-30,45 j N
I+F I F
I+F2 2 2 2
I+F
E • I FE = ×
I F
22,88 i-30,45 j13,2×22,88 7,2× 30,45E = ×
22,88 + 30,45 22,88 + 30,45
E = 1,30 i-1,73 j m
2 2
I+F
I+F
E = 1,30 1,73
E = 2,16
f)
1 8,03 13,2 15,60 7,2cos
15 12
92,01º
7. Dados los vectores A = 31m s 0,2 i+ mj ; B = 43m s,172º y C = 55, -12 m s ,
hallar:
a) A - B+ C
b) 1 2A + B- 2C
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 40
c) El área del paralelogramo formado por 2A y 2
C3
d) La proyección de A + B sobre C
e) A×C + A×B
f) A• B×C
SOLUCIÓN:
A = 31m s 0,2 i+ mj
B = 43m s,172º
2m = 1- 0,2
m = 0,98
x
x
x
B = B cos
B = 43m/ scos172º
B = -41,59
y
y
y
B = B sen
B = 43m/ ssen172º
B = 5,98
A = 31m s 0,2 i+ 0,98 j
A = 6,2 i+ 30,38 j m s
B = -41,59 i+5,98 j m/ s
C = 55 i-12 j m s
a)
A = 6,2 i+ 30,38 j m s
- B = 41,59 i-5,98 j m/ s
C = 55 i -12 j m s
A - B + C 102,79 i 12,4 j m s
b)
11/ 2A = 6,2 i+ 30,38 j m s
2
1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s
-2C = -2 55 i-12 j m s
-2C = -110 i+ 24 j m s
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 41
1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s
B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s
- 2C = -110 i+ 24 j m s
1 2A + B- 2C -148,49 i+ 45,17 j m s
c)
2A = 2 6,2 i+ 30,38 j m s
2A = 12,4 i+ 60,76 j m s
22 / 3C = 55 i-12 j m s
3
2 / 3C = 36,66 i-8 j m s
12,4 60,76Área = = -99,2 -934,75 = 2326,66
36,66 -8
d) La proyección de A + B sobre C
A = 6,2 i+ 30,38 j m s
B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s
A + B = -35,39 i+ 36,36 j m/ s
C = 55 i-12 j m s
CC
C 2 2 2 2
C
A+B•CA+ B = ×
C
55 i-12 j-35,39×55 + 36,36×-12A+ B = ×
55 +12 55 +12
A+ B = -41,35 i+ 9,02 j
2 2
C
C
A+ B = 41,35 9,02
A+ B = 42,32
e)
6,2 30,38
A×C = = -74,4 -1670,9 k = -1745,3k55 -12
6,2 30,38
A×B = = -37,08+1263,5 k =1226,42k-41,59 5,98
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 42
A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k
A×C + A×B = -518,88k
f)
B×C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces A• B×C 0
8. Tomando en consideración los vectores R = 20m, N25ºO ; S = 15 i+9 j m
T = 30m, 260º y U =17m 0,5 i-0,866 j , hallar:
a) 3 4 S - 2R + U
b) 5U -1 2T + R - 2S
c) R •S + T•U
d) T×U + R×S
e) 3R •2 T
f) La proyección de R +S sobre T - U
g) El área del paralelogramo formado por R - T y S+ U
SOLUCIÓN:
R = 20m, N25ºO
T = 30m, 260º
90º 25º
115º
x
x
x
R = R cos
R = 20mcos115º
R = -8,45m
y
y
y
R = R sen
R = 20msen115º
R = 18,13m
x
x
x
T = T cos
T = 30mcos 260º
T = -5,21m
y
y
y
T = T sen
T = 30msen 260º
T = -29,54m
R = -8,45 i+18,13 j m T = -5,21i- 29,54 j m
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 43
U = 17 m 0,5 i- 0,866 j
U 8,5 i-14,72 j m
a)
33 / 4S = 15 i+ 9 j m
4
3 / 4S = 11,25 i+ 6,75 j m
-2R = -2 -8,45 i+18,13 j m
-2R = 16,9 i-36,26 j m
3 / 4S = 11,25 i+ 6,75 j m
- 2R = 16,9 i-36,26 j m
U 8,5 i-14,72 j m
3 4S- 2R + U 36,65 i- 44,23 j m
b)
5U 5 8,5 i-14,72 j m
5U 42,5 i- 73,6 j m
1-1/ 2T = - -5,21i- 29,54 j m
2
-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m
-2S = -2 15 i+ 9 j m
-2S = -30 i-18 j m
5U = 42,5 i- 73,6 j m
-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m
R = -8,45 i+18,13 j m
- 2S = -30 i -18 j m
5U -1 2T + R - 2S = 6,65 i-58,7 j m
c)
R •S = -8,45×15+18,13×9
R •S = 36,42
T•U = -5,21×8,5- 29,54×-14,72
T •U = 390,54
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 44
R •S + T •U = 36,42+390,54
R •S + T •U = 426,96
d)
-8,45 18,13
R×S = = -76,05- 271,95 k = -348k15 9
T× U + R ×S = 327,78k-348k
T× U + R ×S = -20,22k
e)
3R = 3 -8,45 i+18,13 j m
3R = -25,35 i+ 54,39 j m
2T = 2 -5,21i- 29,54 j m
2T = -10,42 i-59,08 j m
3R •2 T = -25,35×-10,42+54,39×-59,08
3R •2 T = -2949,21
f)
R = -8,45 i+18,13 j m
S = 15 i+ 9 j m
R +S 6,55 i+ 27,13 j m
T = -5,21 i- 29,54 j m
- U = -8,5 i+14,72 j m
T - U = -13,71 i-14,82 j m
-5,21 -29,54
T×U = = 76,69 + 251,09 k = 327,78k8,5 -14,72
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 45
T-UT-U
T-U 2 2 2 2
T-U
R+S•T-UR+S = ×
T- U
-13,71 i-14,82 j6,55×-13,71+ 27,13×-14,82R+S = ×
13,71 +14,82 13,71 +14,82
R+S = 16,54 i+17,88 j
2 2
T-U
T-U
R+S = 16,54 17,88
R+S = 24,36
g)
R = -8,45 i+18,13 j m
- T = 5,21i+ 29,54 j m
R - T = -3,24 i+ 47,67 j m
S = 15 i+ 9 j m
U 8,5 i-14,72 j m
S + U 23,5 i-5,72 j m
3,24 47,67Área = = 18,53-1120,24 =1101,71
23,5 -5,72
9. Considérese los vectores A = 46cm mi-0,23 j ; B = 81cm,155º ,
C = 57cm, N21º E y D = -32 i-29 j m , determinar:
a) 1 2A + 2C- B
b) 2D-3A +1 3C- 2 5B
c) 3B+2 3A • -C-3 4D
d) D-3C × 3 2B+ 4A
e) B•A + C•D
f) 2A×C + 5B×D
g) El ángulo formado por D - A y B+ C
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 46
A = 46cm mi-0,23 j B = 81cm,155º
2m = 1- 0,48
m = 0,88
x
x
x
B = B cos
B = 81cmcos155º
B = -73,41cm
y
y
y
B = B sen
B = 81cmsen155º
B = 34,23cm
A = 46cm 0,88 i- 0,23 j
A = 40,48 i-10,58 j B = -73,41i+34,23 j cm
C = 57cm, N21º E
90º 21º
69º
x
x
x
C = C cos
C = 57cmcos69º
C = 20,43cm
y
y
y
C = C sen
C = 57cmsen 69º
C = 53,21cm
C = 20,43 i+53,21 j cm
a)
11/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm
2
1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm
2C = 2 20,43 i+ 53,21 j cm
2C = 40,86 i+106,42 j cm
B = -73,41i+34,23 j cm
1/ 2A = 20,24 i-5,29 j
2C = 40,86 i+106,42 j
- B = 73,41 i-34,23 j
1 2A + 2C - B = 134,51 i+ 66,89 j
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 47
b)
2D = 2 -32 i- 29 j
2D = -64 i-58 j
-3A = -3 40,48 i-10,58 j
-3A = -121,44 i+ 31,74 j
11/ 3C = 20,43 i+ 53,21 j
3
1/ 3C = 6,81i+17,73 j
2-2 / 5B = - -73,41i+ 34,23 j
5
-2 / 5B = 29,36 i-13,69 j
2D = -64 i-58 j
-3A = -121,44 i+ 31,74 j
1/ 3C = 6,81i+17,73 j
- 2 / 5B = 29,36 i-13,69 j
2D -3A +1 3C - 2 5B 149,27 i- 22,22 j
c)
3B = 3 -73,41i+ 34,23 j
3B = -220,23 i+102,69 j
22 / 3A = 40,48 i-10,58 j
3
2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j
4-4 / 3D = - -32 i- 29 j
3
-4 / 3D = 42,66 i+ 38,66 j
3B = -220,23 i+102,69 j
2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j
3B + 2 3A = -193,24 i+ 95,64 j
- C = -20,43 i-53,21 j
- 4 / 3D = 42,66 i+ 38,66 j
-C - 4 3D = 22,23 i-14,55 j
3B+2 3A • -C - 4 3D = -193,24×22,23+95,64×-14,55
3B+2 3A • -C - 4 3D = -5687,28
d)
-3C = -3 20,43 i+ 53,21 j
-3C = -61,29 i-159,63 j
33 / 2B = -73,41i+ 34,23 j
2
3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j
4A = 4 40,48 i-10,58 j
4A = 161,92 i- 42,32 j
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 48
D = -32 i- 29 j
-3C = -61,29 i-159,63 j
D -3C = -93,29 i-188,63 j
3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j
4A = 161,92 i- 42,32 j
3 2B + 4A 51,8 i 9,03 j
-93,29 -188,63
D -3C × 3 2B+ 4A = = -842,41+9771,03 k = 8928,62k51,8 9,03
e)
B•A = -73,41×40,48+34,23×-10,58
B•A = -3333,79
C•D = 20,43×-32+53,21×-29
C•D = -2196,85
B•A + C•D = -3333,79 - 2196,85
B•A + C•D = -5530,64
f) 2A×C + 5B×D
2A = 2 40,48 i-10,58 j
2A = 80,96 i- 21,16 j
5B = 5 -73,41i+ 34,23 j
5B = -367,05 i+171,15 j
80,96 -21,16
2A×C = = 4307,88+ 432,30 k = 4740,18k20,43 53,21
g) El ángulo formado por D - A y B+ C
D = -32 i- 29 j
- A = -40,48 i+10,58 j
D - A = -72,48 i-18,42 j
B = -73,41 i+ 34,23 j
C = 20,43 i+ 53,21 j
B + C = -52,98 i+87,44 j
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 49
-1
2 2 2 2
-72,48×-52,98-18,42×87,44= cos
72,48 +18,42 52,98 +87,44
= 73,05º
10. Dados los vectores D = 5km, 63º , E = -7, -1 km y F = 4km;S70ºE , calcular:
a) 2D + E +3F
b) E - D- 2F
c) D•E
d) D - E×F
e) La proyección de E sobre D
f) El ángulo comprendido entre E y F
g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E
SOLUCIÓN:
a)
x
x
x
D = D cos
D = 5kmcos63º
D = 2,27 km
y
y
y
D = D sen
D = 5kmsen 63º
D = 4,46km
D = 2,27 i+ 4,46 j km
E = -7 i-1 j km
270º 70º
340º
x
x
x
F = F cos
F = 4kmcos340º
F = 3,76km
y
y
y
F = F sen
F = 4kmsen 340º
F = 1,37 km
F = 3,76 i-1,37 j km
2D = 2 2,27 i+ 4,46 j km
2D = 4,54 i+8,92 j km
3F = 3 3,76 i-1,37 j km
3F = 11,28 i- 4,11 j km
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 50
2D = 4,54 i+8,92 j km
E = - 7 i -1 j km
3F = 11,28 i- 4,11 j km
2D E 3F 8,82 i 3,81 j km
b)
E - D- 2F
-2F = -2 3,76 i-1,37 j km
-2F = -7,52 i+ 2,74 j km
E = - 7 i -1 j km
- D = -2,27 i- 4,46 j km
- 2F = -7,52 i+ 2,74 j km
E - D - 2F = -16,79 i- 2,72 j km
c)
D•E = 2,27×-7 + 4,46×-1
D•E = -20,35
d)
-7 -1
E×F = k = 9,59 +3,76 k =13,35k3,76 -1,37
D = 2,27 i+ 4,46 j+ 0k
- E×F = 0 i + 0 j-13,35k
D - E×F 2,27 i+ 4,46 j-13,35k
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 51
e)
D E
D
D
E •DE = ×
D
2,27 i+ 4,46 j-7×2,27 1 4,46E = ×
5 5
E = -1,85 i-3,63 j
2 2
D
D
E = 1,85 3,63
E = 4,07
f)
E = -7, -1 km y F = 3,76 i-1,37 j km
-1
2
-7×3,76 -1×-1,37= cos
4 7 +1
= 86,25º
g)
22,27 4,46
Área = = -2,27 +31,22 = 28,95km-7 -1
11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el
ángulo formado por los vectores A y B
SOLUCIÓN:
x x
x x
A + B = 2...........(1)
A - B = 6............(2)
x x
x
x
(3) en (1)
6 + B + B = 2
2B = -4
B = -2
x x
x
x
x
De (2)
A = 6 + B .............(3)
Reemplazando el valor de B en (1)
A - 2 = 2
A = 4
}
y y
y y
A + B = -4.......................(1)
A - B = -10.....................(2)
y y
De (2)
A = -10 + B .............(3)
y y
y
y
(3) en (1)
-10 + B + B = -4
2B = 6
B = 3
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 52
y
y
y
Reemplazando el valor de B en (1)
A + 3 = -4
A = -7
A = 4 i-7 j B = -2 i+3 j
1
1
2 2 2 2
cos
4 2 7 3cos
4 7 2 3
176,05º
A B
A B
12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B+C = 0
Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores
Henry Alvarado Página 53
C = 0 i-16 j N
Para que Y=0 y y yA = -C A =16
Calculando xA
x
x
x
16tan 37º =
A
16A =
tan 37º
A = 21,24 como esta en X(-) -21,24
A = -21,24 i+16 j N
2 2A = 21,24 +16
A = 26,59 N
Para que X=0 x x xB = -A Þ B = 21,24
B = 21,24 i+ 0 j N
B = 21,24 N
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 54
EJERCICIO Nº5
1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la
posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las
siguientes horas:
a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10
f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00
SOLUCIÓN:
Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:
a)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r = 1,2mcos30º
r = 1,04m
Ymin
Ymin
r = 1,2msen 30º
r = 0,6m
minr = 1,04 i+ 0,6 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m;150º
r = 0,8mcos150º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen150º
r = 0,4m horr = -0,69 i+ 0,4 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = -0,69 i+ 0,4 j m- 1,04 i+ 0,6 j m
r = -1,73 i- 0,2 j m
150º
180º 0º
90º
270º
30º
120º 60º
240º
210º
300º
330º
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 55
b)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 240º
r = 1,2mcos 240º
r = -0,6m
Ymin
Ymin
r =1,2msen 240º
r = -1,04m
minr = -0,6 i-1,04 j m horr = 0 i+ 0,8 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = 0 i+ 0,8 j m- -0,6 i-1,04 j m
r = 0,6 i 1,84 j m
c)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 210º
r = 1,2mcos 210º
r = -1,04m
Ymin
Ymin
r = 1,2msen 30º
r = -0,6m
minr = -1,04 i-0,6 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 300º
r = 0,8mcos300º
r = -0,4m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen 300º
r = 0,69m horr = -0,4 i-0,69 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = -1,04 i- 0,6 j m- -0,4 i- 0,69 j m
r = -0,64 i- 0,09 j m
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 56
d)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r = 1,2mcos330º
r = 1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen 330º
r = -0,6m
minr = 1,04 i-0,6 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 210º
r = 0,8mcos 210º
r = -0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen 210º
r = -0,4m
horr = -0,69 i-0,4 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = -0,69 i- 0,4 j m- 1,04 i- 0,6 j m
r = -1,73 i+ 0,2 j m
e)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r = 1,2mcos30º
r = 1,04m
Ymin
Ymin
r = 1,2msen 30º
r = 0,6m
minr = 1,04 i+ 0,6 j m horr = -0,8 i+ 0 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = -0,8 i+ 0 j m- 1,04 i+ 0,6 j m
r = -1,84 i- 0,6 j m
f)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m;150º
r = 1,2mcos150º
r = -1,04m
Ymin
Ymin
r = 1,2msen 30º
r = -0,6m
minr = -1,04 i-0,6 j m horr = 0 i-0,8 j m
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 57
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = 0 i- 0,8 j m- -1,04 i- 0,6 j m
r = 1,04 i- 0,2 j m
g)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 210º
r = 1,2mcos 210º
r = -1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen 210º
r = -0,6m
minr = -1,04 i-0,6 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 30º
r = 0,8mcos30º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
hor
r = 0,8msen 30º
r = 0,4m
r = 0,69 i+ 0,4 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = 0,69 i+ 0,4 j m- -1,04 i- 0,6 j m
r = 1,73 i+ j m
h)
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 60º
r = 1,2mcos60º
r = 0,6m
Ymin
Ymin
r = 1,2msen 30º
r = 1,04m
minr = 0,6 i+1,04 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m;120º
r = 0,8mcos120º
r = -0,4m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen120º
r = 0,69m horr = -0,4 i+ 0,69 j m
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 58
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = -0,4 i+ 0,69 j m- 0,6 i+1,04 j m
r = - i- 0,35 j m
i)
minr = 0 i+1,2 j m
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 330º
r = 0,8mcos150º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen 330º
r = -0,4m
horr = 0,69 i-0,4 j m
hor/min hor min
hor/min
hor/min
r = r - r
r = 0,69 i- 0,4 j m- 0 i+1,2 j m
r = 0,69 i-1,6 j m
2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda
más cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar:
a) La posición de la tienda respecto a la ciudad
b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona
c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda
SOLUCIÓN:
casar = 2km; NE 1,41i+1,41 j km
tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i-0,1 j km
a)
tienda/casa tienda casa
tienda tienda/casa casa
tienda
tienda
r = r - r
r = r + r
r = 1,41i+1,41 j km+ 0,2i- 0,1 j km
r = 1,61i+1,31 j km
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 59
b)
tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i-0,1 j km
c)
2 2
tienda/casa
tienda/casa
r = 200 +100
r = 223,60m 0,223km
3. Los vértices de un triángulo son los puntos 1P 0,5 , 2P 2,-1 y 3P 3,6 , determinar:
a) El valor de los ángulos internos del triangulo
b) El tipo de triangulo en función de sus lados
SOLUCIÓN:
a)
1 2
1 2
P P = 2 i- j - 0 i+ 5 j
P P = 2 i- 6 j
1 3
1 3
P P = 3 i 6 j - 0 i+ 5 j
P P = 3 i j
2 3
2 3
P P = 3 i+ 6 j - 2 i- j
P P = i+ 7 j
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 60
-1 1 2 1 3
1 2 1 3
-1
2 2 2
PP •PPA = cos
P P P P
2 3 6 1A = cos
2 6 3 1
A = 90º
-1 1 3 2 3
1 3 2 3
-1
2 2
PP •P PB = cos
P P P P
3 1 1 7B = cos
3 1 1 7
B = 63,43º
63,43º +90º +C = 180º
C = 180º -90º -63,43º
C = 26,57º
b)
Triángulo rectángulo
4. Los vértices de un triángulo son los puntos A 8,9 m , B -6,1 m , C 0,-5m ,
determinar:
a) El valor de los ángulos internos del triangulo
b) El área del triángulo ABC
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 61
a)
AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j m
AB = -14 i-8 j m
AC = 0 i-5 j m- 8 i+ 9 j m
AC = -8 i-14 j m
BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j m
BC = 6 i- 6 j m
-1
-1
2 2 2 2
•A = cos
14 8 8 14A = cos
14 8 8 14
A = 30,51º
AB AC
AB AC
-1
-1
2 2 2 2
AC•BCC = cos
AC BC
-8×6 -14×-6C = cos
8 +14 6 + 6
C = 74,74º
B = 180º -30,51º -74,74º
B = 74,75º
b)
2
1Área = AB×AC
2
-14 -81Área = = 196 - 64 = 132m
-8 -142
5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km , Q 0,4 km
, R 1,1 km , S 5,2 km , determinar:
a) La forma geométrica de la ciudad
b) El área de la ciudad
c) La posición relativa del punto R respecto del punto P
d) La posición relativa del punto S respecto del punto R
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 62
a)
Paralelogramo
b)
RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km
RQ = - i+ 3 j km
RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km
RS = 4 i+ j km
2
Área = RQ×RS
-1 3Área = = -1-12 = 13km
4 1
c) d)
R/P
R/P
r = i+ j km- 4 i+ 5 j km
r = -3 i- 4 j km
S/R
S/R
r = 5 i+ 2 j km- i+ j km
r = 4 i+ j km
6. Se tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a
R para los siguientes casos:
a) P/Qr 50km; S60º E y R/Qr 70km; NO
b) P/Qr 80km; SO y R/Qr 25km; N70ºO
c) P/Qr 65km; N15ºO y R/Qr 90km;S30ºO
d) P/Qr 40km; N75º E y R/Qr 100km;S25ºE
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 63
P/Q P Q
Q P P/Q
r = r - r
r = r - r .............(1)
R/Q R Q
Q R R/Q
r = r - r
r = r - r .............(2) P/R P Rr = r - r ..............(3)
P P/Q R R/Q
P R P/Q R/Q
Igualando (1) y (2)
r - r = r - r
r - r = r - r ...............(4)
P/R P/Q R/Q
(3) en (4)
r = r - r
a)
P/Qr 50km; S60º E
270º 60º
330º
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 50kmcos330º
r x = 43,30km
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 50kmsen 330º
r y = -25km
P/Qr 43,30 i- 25 j km
R/Qr 70km; NO
90º 45º
135º
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 70kmcos135º
r x = -49,50km
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 70kmsen135º
r y = 49,50km
R/Qr -49,50 i 49,50 j km
P/R P/Q R/Q
P/R
P/R
r = r - r
r = 43,30 i- 25 j km -49,50 i 49,50 j km
r = 92,50 i- 74,50 j km
b)
P/Qr 80km; SO
270º 45º
225º
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 64
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 80kmcos 225º
r x = -57,57 km
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 80kmsen 315º
r y = -56,57 km
P/Qr = -56,57 i-56,57 j km
R/Qr 25km; N70º O
90º 70º
160º
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 25kmcos160º
r x = -23,49km
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 25kmsen160º
r y = 8,55km
R/Qr -23,49 i 8,55 j km
P/R P/Q R/Q
P/R
P/R
r = r - r
r = -56,57 i-56,57 j km- -23,49 i+8,55 j km
r = -33,08 i- 48,02 j km
c)
P/Qr 65km; N15ºO
90º 15º
105º
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 65kmcos105º
r x = -16,82km
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 65kmsen105º
r y = 62,79km
P/Qr = -16,82 i+ 62,79 j km
R/Qr 90km; S30ºO
270º 30º
240º
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 90kmcos 240º
r x = -45km
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 90kmsen 240º
r y = -77,94km
R/Qr = -45 i-77,94 j km
P/R P/Q R/Q
P/R
P/R
r = r - r
r = -16,82 i+ 62,79 j km- -45 i- 77,94 j km
r = 28,18 i+140,73 j km
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 65
d)
P/Qr 40km; N75º E
90º 75º
15º
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 40kmcos15º
r x = 38,64km
P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 40kmsen15º
r y = 16,82km
P/Qr = 38,64 i+16,82 j km
R/Qr 100km; S25º E
270º 25º
295º
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 100kmcos 295º
r x = 42,26km
R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 100kmsen 295º
r y = -90,63km
R/Qr = -45 i-77,94 j km
P/R P/Q R/Q
P/R
P/R
r = r - r
r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i- 77,94 j km
r = 83,64 i+ 94,76 j km
7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta
desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que
consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta
que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta.
8. Dados los puntos L 8, -6 m y J -4, 3 m , determinar:
a) Los vectores posición de L y J respecto al origen
b) La posición relativa de L con respecto a J
c) La distancia entre los puntos L y J
SOLUCIÓN:
a) b) c)
L
J
r = 8 i- 6 j m
r = -4 i+ 3 j m
L/J L J
L/J
L/J
r = r - r
r = 8 i- 6 j m- -4 i+ 3 j m
r = 12 i-9 j m
2 2
L/J
L/J
r = 12 + 9
r = 15m
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 66
9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km
del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente gráfico:
Determinar:
a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la
montaña A
b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la
cumbre de la montaña B
SOLUCIÓN:
A
A
AA
A
A
r xtan 60º =
r y
r xr y =
tan 60º
3kmr y =
tan 60º
r y = 1,73km
Ar = -1,73i+3 j km
B
B
BB
B
B
r xtan 40º =
r y
r xr y =
tan 40º
2 kmr y =
tan 40º
r y = 2,38km
Br = 2,38 i+ 2 j km
a)
B/A
B/A
r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+ 3 j km
r = 4,11i- j km
b)
2
B/A
B/A
r = 4,11 +1
r = 4,23km
Considerando ida y vuelta por cables independient
4,23km×2 =
es
8,46
10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son 5, - 2 m y -4, 7 m
respectivamente, determinar:
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 67
a) Las componentes rectangulares del vector E
b) La magnitud del vector E
c) El vector unitario del vector E
SOLUCIÓN:
a) b) c)
E -4, 7 m 5, - 2 m
E -9, 9 m
2 2E = 9 + 9
E = 12,73m
E
E
E
E
E
-9 i+ 9 j m
12,73m
-0,706 i+ 0,706 j m
11. Un avión de aeromodelismo está a 4km, SO de la torre de control. En ese momento,
su dueño desea impactar en un blanco que está ubicado en el punto 6, - 4 km ,
determinar:
a) La posición del avión respecto al blanco
b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito
c) La distancia del avión al blanco
SOLUCIÓN:
a)
4km, SO
x
x
x
A = A cos
A = 4kmcos 225º
A = -2,83km
y
y
y
A = A sen
A = 4kmsen 225º
A = -2,83km
A = -2,83 i- 2,83 j km
A/B
A/B
r = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j km
r = -8,83 i+1,17 j km
b) c)
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 68
8,83tan
1,17
82,45º
S82,45º E
2 2
A/B
A/B
r = 8,83 +1,17
r = 8,91km
12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición 200m, N28º E
respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición
200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar:
a) La posición relativa de B respecto de A
b) La distancia que existe entre los dos aviones
SOLUCIÓN:
a)
200m, N28º E
x
x
x
B = B cos
B = 200mcos62º
B = 93,89m
y
y
y
B = B sen
B = 200msen 62º
B = 176,59m
B = 93,89 i+176,59 j m
200m, SO
x
x
x
A = A cos
A = 200mcos 225º
A = -141,42
y
y
y
A = A sen
A = 200msen 225º
A = -141,42
A = -141,42 i-141,42 j m
B/A
B/A
r = 93,89 i+176,59 j m- -141,42 i-141,42 j m
r = 235,31i+318,01 j m
b)
2 2
B/A
B/A
r = 235,31 + 318,01
r = 395,60m
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 69
13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección
NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE
con una velocidad de 15m/s, determinar:
a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección
b) El vector unitario del vector velocidad resultante
c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante
SOLUCIÓN:
a)
A = 20m/ s; NO
x
x
x
A = A cos
A = 20m/ scos135º
A = -14,14m/ s
y
y
y
A = A sen
A = 20m/ ssen135º
A = 14,14m/ s
A = -14,14 i+14,14 j m/ s
B = 15m/ s; N25º E
x
x
x
B = B cos
B = 15m/ scos65º
B = 6,34m/ s
y
y
y
B = B sen
B = 15m/ ssen 65º
B = 13,59m/ s
B = 6,34 i+13,59 j m/ s
V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s
V = -7,8 i+ 27,73 j m/ s
2 2V = 7,8 + 27,73
V = 28,81m/ s
1 7,8tan
27,73
15,71º
V = 28,81m/ s; N15,71ºO
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 70
b) c)
V
V
V
V
V
-7,8 i+ 27,73 j m/ s=
28,81m/ s
= -0,27 i+ 0,96 j m/ s
90º 15,71º
105,71º
15,71º
14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:
a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A
b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E
c) El ángulo formado por los vectores EA y EC
d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D
e) La proyección del vector AE sobre AQ
SOLUCIÓN:
Considerando A como origen:
a)
F/Ar = 2,8 i-1,5 j m
b)
cr = 2,8 i+ 0 j m Er = 1,4 i-1,5 j m
C/E C E
C/E
C/E
r = r - r
r = 2,8 i+ 0 j m- 1,4 i-1,5 j m
r = 1,4 i+1,5 j m
Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición
Henry Alvarado Página 71
c)
EA = A - E
EA = -1,4 i+1,5 j m
EC = C - E
EC = 1,4 i 1,5 j m
1
2 2 2 2
1,4 1,4 1,5 1,5cos
1,4 1,5 1,4 1,5
86,05º
d)
Q = 2,1i-0,75 j m
D = 0 i-1,5 j m
Q/D
Q/D
r = 2,1 i- 0,75 j m- 0 i-1,5 j m
r = 2,1i 0,75 j m
e)
AE = 1,4 i-1,5 j m
AQ = 2,1i-0,75 j m
AQ AQ
AQ2 2 2 2
AQ
AE•AQAE =
AQ
1,4 2,1 1,5 0,75 2,1 i- 0,75 jAE =
2,1 0,75 2,1 0,75
AE = 1,72 i- 0,61 j m
AQ
AQ
AE = 1,72 i- 0,61 j m
AE = 1,82m
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 72
EJERCICIO Nº6
1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm
al Sur; determinar:
a) Los desplazamientos realizados
b) El desplazamiento total realizado
c) El modulo del desplazamiento total
d) La distancia total recorrida
SOLUCIÓN:
a)
2
2
r x =12cmcos 45º
r x = 8,49cm
2
2
r y = 12cmsen 45º
r y = 8,49cm
1r 8 i+ 0 j cm
2r 8,49 i+8,49 j cm
3r = 0 i-5 j cm
b)
1 2 3r r r r
r 8 i+ 0 j cm 8,49 i+8,49 j cm 0 i-5 j cm
r 16,49 i+ 3,49 j cm
c) d)
2 2r 16,49 3,49
r 16,85cm
d = 8cm+12cm+5cm
d = 25cm
2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el
plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos
en línea recta;: determinar:
a) Los desplazamientos realizados
b) Los vectores posición en cada punto
c) El desplazamiento total realizado
d) El módulo del desplazamiento
e) La distancia recorrida
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 73
SOLUCIÓN:
a)
3
3
r x = 76mmcos 200º
r x = -71,41mm
3
3
r y = 76mmsen 200º
r y = -25,99m
1r 0 i- 45 j mm
2r -30 i+ 0 j mm
3r = -71,41i- 25,99 j mm
b)
1r 0 i- 45 j mm
2r -30 i- 45 j mm
3 2 3
3
3
r r r
r -30 i- 45 j mm -71,41i- 25,99 j mm
r -100,41i- 70,99 j mm
c)
1 2 3r r r r
r 0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71,41i- 25,99 j mm
r -100,41i- 70,99 j mm
d) e)
2 2r 100,41 70,99
r 122,97 mm
d = 45mm+30mm+ 76mm
d =152mm
3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -85, 204 km y la lectura de su odómetro es
10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123, 347 km y llega a las 11h10; determinar:
a) Los vectores posición de cada ciudad
b) El desplazamiento realizado
c) La lectura del odómetro cuando llega a B
d) La velocidad media
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 74
e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para
llegar a las 14h15.
SOLUCIÓN:
a)
Ar = -85 i+ 204 j km
Br = 123 i+347 j km
b)
B Ar = r - r
r = 123 i+ 347 j km- -85 i+ 204 j km
r = 208 i+143 j km
c)
2 2r = 208 143
r = 252,41km
Lectura =10235km+ 252,41km
Lectura =10487,41km
d)
10min 1h= 0,166h
60min
f 0t t - t
t 11,166h- 7 h
t 4,166h
m
m
m
rV =
t
208 i+143 j kmV =
4,166h
V = 49,93 i+ 34,33 j km/ h
m
m
m
rV =
t
252,41kmV =
4,166h
V = 60,58km/ h
e)
15min 1h= 0,25h
60min
f 0t t - t
t 14,25h-11,166h
t 3,084h
m
m
m
rV =
t
252, 41kmV =
3,084h
V = 81,85km/ h
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 75
4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15º hasta A y el otro
vuela -505 i+ 253 j km hasta B en 2 horas en línea recta; determinar:
a) Los vectores posición de los puntos A y B
b) Los desplazamientos realizados por cada avión
c) La velocidad media de cada avión
d) La rapidez media de cada avión
e) La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B
SOLUCIÓN:
a)
865km;15º
A
A
r x = 865kmcos15º
r x = 835,53km
A
A
r y = 865kmcos15º
r y = 223,88km Ar = 835,53 i+ 223,88 j km
Br -505 i+ 253 j km
b)
Ar = 835,53 i+ 223,88 j km
Br -505 i+ 253 j km
c)
mA
mA
mA
rV =
t
835,53 i+ 223,88 j kmV =
2h
V = 417,77 i+116,94 j km/ h
mB
mB
mB
rV =
t
-505 i+ 253 j kmV =
2h
V = -252,5 i+126,5 j km/ h
d)
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 76
2 2
mA
mA
V = 417,77 116,94
V = 433,83km/ h
2 2
mB
mB
V = 252,5 126,5
V = 282,42km/ h
e)
B Ar r r
r -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j km
r -1340,53 i+ 476,88 j km
mA
mA
mA
rV =
t
-1340,53 i+ 476,88 j kmV =
3h
V = -446,84 i+158,96 j km/ h
2 2
mA
mA
V = 446,84 +158,96
V = 474,27 km/ h
5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta
rectilínea; determinar:
a) El módulo de la velocidad inicial
b) El vector unitario de la velocidad inicial
c) El vector velocidad final
d) La aceleración media de la partícula
SOLUCIÓN:
a) b) d)
2 2
0
0
V = 12 +15
V = 19,21m/ s
0
0
0
0V
0
V
V
V
V
12 i+15 j m/ s
19,21m/ s
0,62 i+ 0,78 j
f 0V - Va =
t
-12 i-15 j m/ sa =
20s
a = -0,6 i- 0,75 j m/ s
c)
Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0
Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales
Henry Alvarado Página 77
6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de
-21i-18 j m/ s a 24m/ s; S30º E ; en 10s determinar:
a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final
b) La aceleración media
SOLUCIÓN:
a)
24m/ s; S30º E
f f
f
f
V x = V cos
V x = 24m/ scos300º
V x = 12m/ s
f f
f
f
V y = V sen
V y = 24m/ ssen 300º
V y = 20,78m/ s
fV = 12 i- 20,78 j m/ s
0
0
0
0V
0
V2 2
V
V=
V
-21i-18 j m/ s=
21 +18
= -0,76 i- 0,65 j m/ s
f
f
f
fV
f
V
V
V=
V
12 i- 20,78 j m/ s=
24m/ s
= 0,5 i- 0,87 j m/ s
b)
f 0V - Va =
t
12 i- 20,78 j m/ s- -21 i-18 j m/ sa =
10s
33 i- 2,78 j m/ sa =
10s
a = 3,3 i- 0,278 j m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 78
EJERCICIO Nº 7
1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A -35, 50 km a la ciudad B -25, 45 km en
línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar:
a) El desplazamiento realizado
b) La velocidad media
c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje
SOLUCIÓN:
a) b)
r -25 i- 45 j km- -35 i+ 50 j km
r 10 i-95 j km
rV =
t
10 i-95 j kmV =
2 h
V = 5 i- 47,5 j km
c)
40min 1h= 0,666h
60min
r V× t
r 5 i- 47,5 j km/ h 0,666h
r 3,33 i-31,64 j km
2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes
de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+ 20 j y 15 i 30 j m y al
instante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 j km respectivamente; determinar:
a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo
b) La velocidad media de cada vehículo
c) La velocidad de A respecto a B
SOLUCIÓN:
a)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 79
A fA 0A
A
A
r = r - r
r = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j m
r = 60 i- 20 j m
B fB 0B
B
B
r = r - r
r = -10 i+ 0 j m- 15 i-30 j m
r = -25 i+ 30 j m
b)
A
A
A
rV =
t
60 i- 20 j mV =
10s
V = 6 i- 2 j m/ s
B
B
B
rV =
t
-25 i+ 30 j mV =
10s
V = -2,5 i+ 3 j m/ s
c)
A/B
A/B
V = 6 i- 2 j m/ s- -2,5 i+ 3 j m/ s
V = 8,5 i-5 j m/ s
3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y
desde que penetra la maquina hasta que sale el último vagón demora 30s; determinar:
a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s)
b) La longitud del tren
SOLUCIÓN:
a)
60 i km 1000m 1h=16,67m/ s
h 1km 3600s
r = V× t
r = 16,67 m/ s 30s
r = 500m
r = V× t
r = 16,67 m/ s 60s
r = 1000m
r = V× t
r = 16,67 m/ s 90s
r = 1500m
b)
x = r- 400m
x = 500m- 400m
x = 100m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 80
4. Una partícula parte del punto 25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto
6, 30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar:
a) La velocidad empleada
b) El tiempo empleado
c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más.
SOLUCIÓN:
a)
40 km 1000m 1h=11,11m/ s
h 1km 3600s
f 0r = r - r
r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m
r = -31i-50 j m
r
2 2
V = V ×
-31i-50 jV = 11,11m/ s
31 50
V = -5,85 i-9,44 j m/ s
2 2r = 31 50
r = 58,83m
b)
A
rt =
V
58,83mt =
11,11m/ s
t = 5,30s
c)
r = V× t
r = -5,85 i-9,44 j m/ s 10s
r = -58,5 i-94,4 j m
1 2r = r r
r = -31i-50 j m -58,5 i-94,4 j m
r = -89,5 i-144,4 j m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 81
5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en
bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y 40 i km/ h en
bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:
a) La velocidad media durante las 10 horas
b) El desplazamiento en moto
c) El tiempo que recorrió en bicicleta
SOLUCIÓN:
a)
rV =
t
1000 i kmV =
10 h
V = 100 i km/ h
b)
moto bicir r r ................(1)
moto bici
bici moto
t = t t
t t t .................(2)
moto moto motor = V t ...............(3) bici bici bicir = V t ...............(4)
moto moto bici bici
(3) y (4) en (1)
r V t V t ..................(5)
moto moto bici moto
moto moto bici bici moto
moto moto bici moto bici
moto moto bici
(2) en (5)
r = V t V t t
V t V t V t = r
V t V t = r V t
t V V = r
bici
bicimoto
moto bici
moto
moto
V t
r V tt =
V V
1000km- 40km/ h×10ht =
120km/ h- 40km/ h
t = 7,5h
moto
moto
r = 120km/ h×7,5h
r = 900km
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 82
c)
bici
bici
t 10h- 7,5h
t 2,5h
6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:
Determinar:
a) La posición inicial
b) La rapidez en cada tramo del viaje
c) El tiempo que permaneció en reposo
d) La posición cuando t=35(s)
e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen
SOLUCIÓN:
a) 0r =10m
b)
Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4
f 0
f 0
r - rV =
t - t
30 m-10 mV =
10s
V = 2 m/ s
Reposo
f 0
f 0
r - rV =
t - t
40 m-30 mV =
30s- 20s
V = 10 m/ s
f 0
f 0
r - rV =
t - t
0 m- 40 mV =
40s-30s
V = -4 m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 83
c) d) e)
t 20s-10s
t 10s
r = V t
r = 4m/ s 5s
r = 20m
7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y
camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+),
hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez
constante igual a 2m/ s ; determinar:
a) La velocidad en cada tramo
b) El tiempo que demora en recorrer cada lado
c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta
que partió
d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa
misma rapidez
SOLUCIÓN:
a)
Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada
tramo será:
Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4
V = 2 i m/ s
V = 2 j m/ s
V = -2 i m/ s
V = -2 j m/ s
b)
Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4
rt =
V
60 mt =
2 m/ s
t = 30s
rt =
V
100 mt =
2 m/ s
t = 50s
rt =
V
60 mt =
2 m/ s
t = 30s
rt =
V
100 mt =
2 m/ s
t = 50s
c)
Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:
Está a 20m del origen a los 5s y a
los 35s, y se encuentra en el
origen a los 40s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 84
r 60 i 100 j m 2 2r = 60 100
r = 116,62m
d)
rt =
V
116,62 mt =
2 m/ s
t = 58,31s
8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/ h se cruzan y siguen su
camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar:
a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas
b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas
c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia
SOLUCIÓN:
a) b)
A A
A
A
r = V t
r = 10 i km/ h 6h
r = 60 i km
B B
B
B
r = V t
r = 12 j km/ h 6h
r = 72 j km
A B
2 2
A B
A B
r = 60 i 72 j km
r = 60 72
r = 93,72km
c)
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
10km/ h× t + 12km/ h× t = 100km
100km / h × t +144km / h × t = 100km
244km / h × t = 100km
t 244 km/ h = 100km
100kmt =
244 km/ h
t = 6,40h
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 85
9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una
rapidez constante de 3 m/ s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma
dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar:
a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran
b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m
SOLUCIÓN:
a)
B At = t -5s...............(1) B Ar r 80m...............(2)
A A A
B B B
rV =
t
r V t ...............(3)
r V t ...............(4)
B B A A
(3) y (4) en (2)
V t = V t 80m...........(5)
B A A A
B A B A A
A A B A B
A A B B
BA
A B
A
A
(1) en (5)
V t -5s = V × t -80 m
V × t - V ×5s = V × t -80 m
V × t - V × t = 80 m- V ×5s
t V - V = 80 m- V ×5s
80 m- V ×5st =
V - V
80 m- 2m/ s×5st =
3m/ s-3m/ s
t = 70s
A A A
A
A
r = V × t
r = 3m/ s×70s
r = 210m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 86
b)
Después de encontrarse
A Br = r +80m...........(1) A Bt = t ...................(2)
A A B B
(3) y (4) en (1)
V ×t = V ×t +80m...........(5)
0102030405060708090
100110120130140150160170180190200210220230240250260
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Gráfico
Móvil A Móvil B
A A A
B B B
rV =
t
r V t ...............(3)
r V t ...............(4)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 87
A A B A
A A B A
A
A B
A
A
(2) en (5)
V × t = V × t +80m
V × t - V × t = 80m
80mt =
V - V
80mt =
3m/ s- 2m/ s
t = 80s
Desde que el móvil partió
t = 70s+80
desde A
s
t = 150s
10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B con
una velocidad de 32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas;
determinar:
a) La distancia que los separaba inicialmente
b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B
c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el
instante en que encuentran B invierte el sentido
SOLUCIÓN:
a)
A Bx = r r ..................(1) A A A
B B B
rV =
t
r V t ...............(2)
r V t ...............(3)
A A B B
(2) y (3) en (1)
x = V × t - V × t
x = 53km/ h×2,4h-32km/ h×2,4h
x = 50,4km
b)
rt =
V
50, 4 kmt =
53km/ h
t = 0,95h
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 88
c)
Desde el punto de encuentro
A
B
rt =
V
53km/ h×2, 4ht =
32km/ h
t = 3,98h
11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el
más rápido viaja a 63 km/ h ; determinar:
a) La rapidez del más lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al
cabo de 3 horas
b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez
dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro
SOLUCIÓN:
a)
Desplazamiento del más rápido Desplazamiento del más lento
A A
A
A
r = V × t
r = 63km/ h×3h
r = 189km
B A
B
B
r = r -134km
r = 189km-134km
r = 55km
BB
B
B
rV =
t
55kmV =
3h
V = 18,33km/ h
b)
A Br + r 134km...............(1) 1 2t = t ...............(2)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 89
A A 1
B B 2
r = V ×t .............(3)
r = V ×t .............(4)
A 1 B 2
(3) y (4) en (1)
V ×t V ×t 134km........(5)
A 1 B 1
1 A B
1
A B
1
1
(2) en (5)
V × t + V × t = 134km
t V + V = 134km
134kmt =
V + V
134kmt =
63km/ h+18,33km/ h
t = 1,65h
12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con
una rapidez constante de 2 m/ s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a
10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar:
a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran
b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran
SOLUCIÓN:
Datos:
AV = 2 m/ s
BV =10 km/ h
B-reposot = 5min
r 3km
10 km 1000m 1h= 2,78m/ s
h 1km 3600s
5min 60s= 300s
1min
3km 1000m3000m
1km
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 90
a)
A Br + r 3000m...............(1) 1 2t = t +300s...............(2)
A A 1
B B 2
r = V ×t .............(3)
r = V ×t .............(4)
A 1 B 2
(3) y (4) en (1)
V ×t V ×t 3000m........(5)
A 2 B 1
A 2 A B 1
1 A B A
A1
A B
1
1
(2) en (5)
V × t + 300s + V × t = 3000m
V × t V ×300s+ V × t = 3000m
t V + V = 3000m V ×300s
3000m V ×300st =
V + V
3000m- 2m/ s×300st =
2m/ s+ 2,78m/ s
t = 502,1s
1
1
t = 502,1s+ 300s
t = 802,1s
A
A
r = 2m/ s×802,1s
r =1604,2m
B
B
r = 3000m-1604,2m
r = 1395,8m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme
Henry Alvarado Página 91
b)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
Gráfico
Móvil A Móvil B
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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EJERCICIO Nº8
1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 215m/ s ; N15º E .Si a t=0,
la partícula se encuentra en la posición -2, 3 m y su rapidez es de 8 m/ s . Para un
intervalo entre 0 y 8s; determinar:
a) El desplazamiento realizado
b) La velocidad media
SOLUCIÓN:
a)
215m/ s ; N15º E
2
x
2
x
a = 15m/ s cos75º
a = 3,88m/ s
2
y
2
y
a = 15m/ s sen 75º
a = 14,49m/ s 2a = 3,88 i 14,49 j m/ s
0r = -2 i+3 j m
Para que sea retardado
0a V= -
0
a2 2
a V
3,88 i 14,49 j=
3,88 14,49
= 0,26 i 0,97 j -0,26 i- 0,97 j
0
0
V = 8m/ s -0,26 i- 0,97 j
V = -2,08 i- 7,76 j m/ s
2
0
22
1r V t a t
2
1r -2,08 i- 7,76 j m/ s 8s 3,88 i 14,49 j m/ s 8s
2
r 107,52 i 401,6 j m
b)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 93
m
m
m
rV =
t
107,52 i 401,6 j mV =
8s
V = 13,44 i 50,2 j m/ s
2. El grafico Vx- t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos
partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoria
rectilínea.
Determinar:
a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo
b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s)
c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s)
d) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente
e) Los gráficos xr - t y
xa - t de cada partícula
SOLUCIÓN:
a)
Partícula A Partícula B
0-4s 4-8s 8-16
MRUVA MRU MRUVR
b)
0-8S
MRUVA
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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Partícula A:
Intervalo de 0 a 4s Intervalo de 4 a 8s
Va =
t
30 m/ sa =
4s
a = 7,5m/ s
0r V t
2
22
1a t
2
1r 7,5m/ s × 4s
2
r 60m
r = V× t
r = 30m/ s×4s
r = 120m
Intervalo de 8 a 12s
Va =
t
-30 m/ sa =
4s
a = -7,5m/ s
2
0
22
1r = V t a t
2
1r = 30m/ s×4s+ 7,5m/ s × 4s
2
r = 180m
r = 60m+120m+180m
r = 360m
Partícula B
Intervalo de 0 a 12s
Va =
t
30 m/ sa =
4s
a = 7,5m/ s
2
0
22
1r V t a t
2
1r -30m/ s×12 7,5m/ s × 12s
2
r 180m
c)
Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s
2
0
22
1r V t a t
2
1r -30m/ s×4s 7,5m/ s × 4s
2
r -60m
A/B
A/B
r = 60m- -60m
r = 120m
Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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2
0
22
1r V t a t
2
1r -30m/ s×8s 7,5m/ s × 0s
2
r 0m
A/B
r = 60m+120m
r = 180m
r = 180m
Distancia de A a B a 12s
A/B
A/B
r = 240m-180m
r = 60m
d)
Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m
-80-60-40-20
020406080
100120140160180200220240260280300320340
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Gráfico r(x)-t Partícula A y B
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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A B
0A
r = r + r
60m = V × t
2 2
0B
2 2
2 2
2
1 2
1 1+ at + V × t+ at
2 2
60m = 7,5m/ s t + 60m/ s× t
7,5m/ s t + 60m/ s× t- 60m = 0
-60 ± 60 + 4×7,5×60t =
2×7,5
t = 0,898s t = -8,898
221
r = 240m- 7,5m/ s 0,8982
r = 236,98m
e)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Gráfico r(x)-t Partícula A
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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-80-60-40-20
020406080
100120140160180200220240260280300320340
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gráfico r(x)-t Partícula B
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Gráfico a-t Partícula A
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición
para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15 m/ s que
está disminuyendo a razón de 1,5 m/ s cada s; determinar:
a) La aceleración
b) El gráfico velocidad contra tiempo
c) El gráfico posición contra tiempo
d) El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m
SOLUCIÓN:
a)
2a =1,5 i m/ s
b)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Gráfico a-t Partícula B
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
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c)
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
0 2 4 6 8 10 12 14
Gráfico V(x)-t
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Gráfico r(x)-t
Series1
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 100
d)
2
0
2 2
2 2
2
1r = V × t- a× t
2
175m = 15m/ s× t- 1,5m/ s × t
2
0,75m/ s × t -15m/ s× t- 75m = 0
15 ± 15 - 4×0,75×75t =
2×0,75
t = 10s
4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a
23 m/ s en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y con
una aceleración constante de 25 m/ s también en línea recta. Si inicialmente A y B están
separados una distancia horizontal de 1700m; determinar:
a) Dónde y cuándo se encuentran
b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también
mientras se alejan
SOLUCIÓN:
a)
A B
2 2
0A A A A B B
r = r + r
1 11700m = V t + a t + a t ...................(1)
2 2
A Bt = t +5s....................(2)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 101
2 2
0A B A B B B
2 2 2
0A B 0A A B B B B
2 2 2
0A B 0A A B A B A B B
2 2 2
B B
(2) en (1)
1 11700m = V × t + 5s + a × t + 5s + a × t
2 2
1 11700m = V × t + V ×5s+ a × t +10s× t + 25s + a × t
2 2
1 1 1 11700m = V × t + V ×5s+ a × t + a ×10s× t + a ×25s + a × t
2 2 2 2
1 11700m = 10m/ s t +10m/ s 5s+ 3m/ s t + 3m/ s 10s×
2 2 2 2 2 2
B B
2
B B
2 2
B B
2
B
B1 B2
1 1t + 3m/ s 25s + 5m/ s t
2 2
1700m = 87,5m+ 25 t + 4m/ s t
4m/ s t + 25 t -1612,5m = 0
-25 ± 25 +4 4 1612,5t =
8
t = 17,19s t = 23,44s
A
A
t = 17,19s+ 5s
t = 22,19s
22
A
A
1r = 10m/ s×22,19s+ 3m/ s × 22,19s
2
r = 960,5m
22
B
B
1r = 5m/ s × 17,19s
2
r = 738,74m
b)
5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 23 m/ s y pasa
por el punto P 3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo momento B
pasa por el punto Q 1, 3 m con una velocidad de -30 j m/ s y desacelera a razón de
22 m/ s ; determinar:
a) La aceleración de cada uno de los vehículos
b) La posición de A y de B después de 7s
SOLUCIÓN:
a)
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 102
A
A
A
AV
A
V2 2
V
V=
V
-3 i- 4 j
3 4
-0,6 i- 0,8 j
A A
A
V a
A A V
2
A
2
A
a = a ×
a = 3m/ s -0,6 i- 0,8 j
a = -1,8 i- 2,4 j m/ s
2
Ba = 2 j m/ s
b)
A A A
A
A
2
f 0 0 A
22
f
f
1r = r + V t+ a t
2
1r = 3 i 5 j m -3 i- 4 j m/ s 7s -1,8 i- 2,4 j m/ s 7s
2
r = -62,1 i-81,8 j m
B B B
B
B
2
f 0 0 B
22
f
f
1r = r + V t+ a t
2
1r = - i 3 j m -30 j m/ s 7s+ 2 j m/ s 7s
2
r = - i-158 j m
6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se
indica en los gráficos siguientes:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 103
Determinar:
a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s
b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3s
c) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo
SOLUCIÓN:
a)
Para t=0s Para t=2s Para t=3s
V = 20 i+10 j m/ s
V = 20 i+30 j m/ s
V = 20 i+ 40 j m/ s
b)
Para t=0s Para t=2s Para t=3s
2a = 0 i+10 j m/ s
2a = 0 i+10 j m/ s
2a = 0 i+10 j m/ s
c)
No es movimiento rectilíneo
7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el
reposo y acelera a razón de 25 m/ s hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene
la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde;
determinar:
a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado
b) La distancia que recorrió con MRU
c) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 104
a)
0r = V t
2
2 2
1+ at
2
112m- -8m = 5m/ s t
2
t = 8 = 2,83
Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado
t = 7,83
b)
2 2
f 0V = V
2
f
f
+ 2a r
V = 10m/ s ×20m
V = 14,14m/ s
r = V× t
r = 14,14m/ s 5s
r = 70,70m
c)
Durante los últimos 5s Desplazamiento Total
0r = V t
2
22
1+ at
2
1r = 14,14m/ s×5s+ -2,83m/ s 5s
2
r = 35,33
r = 20m+ 70,70m+35,33m
r =126,03m
d)
fV 0
0
2
= V + a t
-Va =
t
-14,14 m/ sa =
5s
a = -2,83m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 105
8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza
verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada
verticalmente hacia abajo; determinar:
a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo
SOLUCIÓN:
“La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección de la aceleración de la
gravedad su rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidez
sea 0 y volver a bajar nuevamente.”
9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración cuyo
modulo es 22 m/ s .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar:
a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m
b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2
SOLUCIÓN:
a)
2
0
2 2
2
2
1r = V t+ at
2
1100m = 5m/ s× t+ 2m/ s × t
2
t 5m/ s× t 100m 0
-5 ± 5 + 4×100t =
2
t = 7,81s
2
0
2 2
2
2
1r = V t+ at
2
150m = 2,5m/ s× t+ 2m/ s × t
2
t 2,5m/ s× t 50m 0
-2,5 ± 2,5 + 4×50t =
2
t = 5,93s
b)
0A
0B
0B 0A
2 2
2 2
2
2
V + at3=
2 V + at
3 V + at = 2 V + at
3 2,5m/ s+ 2m/ s t = 2 5m/ s+ 2m/ s t
7,5m/ s+ 6m/ s t = 10m/ s+ 4m/ s t
2m/ s t = 2,5m/ s
2,5m/ st =
2m/ s
t = 1,25s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 106
10. Un avión toma la pista con una aceleración de 220 i m/ s y recorre en línea recta
200 i m antes de detenerse; determinar:
a) Con qué velocidad toca la pista
b) Qué tiempo demora en detenerse
c) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo
SOLUCIÓN:
a) b) c)
2
fV 2
0
0
2
0
0
= V - 2a r
V = 2a r
V = 2×20m/ s ×200m
V = 89,44m/ s
Vfa = 0
0
2
- V
t
-Vt =
a
-89, 44 m/ st =
-20 m/ s
t = 4, 47s
rV =
t
200 mV =
4,47s
V = 44,74 m/ s
11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y
3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar:
a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio
b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio
SOLUCIÓN:
a)
Análisis desde que es visto por la ventana:
Total ascenso descenso ascenso descensot = t + t como t = t
Total ascenso ascenso
ascenso Total
Totalascenso
t = t + t
2 t = t
tt =
2
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 107
Análisis del ascenso:
fV
0 ascenso
0 ascenso
Total0
2
0
0
= V + gt
V = -gt
tV = -g
2
3sV = - -9,8m/ s
2
V = 14,7m/ s
Análisis desde la base del edificio:
La 0V =14,7m/ s desde la ventana pasa a ser
fV =14,7m/ s desde la base hasta la ventana,
entonces:
2 2
f 0
2
0 f
2
0 f
2 2
0
0
V = V + 2gDr
V = V - 2gDr
V = V - 2gDr
V = 14,7m/ s - 2 -9,8m/ s 50m
V = 34,58m/ s
b)
2 2
f 0
2
f
V = V + 2g r
Vr =
2
0
2
2
- V
2g
- 34,58r =
2 -9,8m/ s
r = 61,0m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 108
12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno
contra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar:
a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja
b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube
SOLUCIÓN:
a)
A B
A B
65m = r r
r = 65m r ...................(1)
A Bt = t ...............(2)
A
2
A 0 A A A
1r = V t a t ................(3)
2
A
A
2
B 0 A A
2
B 0 A A
(1) en (3)
165m r = V t + gt
2
1r = 65m V t gt ..........................(4)
2
B
B
2
B 0 B B A B
2
B 0 A B
1r = V t + gt como t = t
2
1r = V t + g t .............................(5)
2
A
2
0 A A
Igualando (4) y (5)
165m V t gt
2
B
2
0 A B
1= V t + g t
2
A B
A B
0 A 0 A
A
0 0
A
A
65m V t = V t
65mt =
V ` V
65mt =
16m/ s`+12m/ s
t = 2,32m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 109
B
2
B 0 A B
22
B
B
1r = V t + g t
2
1r = 12m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,32s
2
r = 54,21m
A
A
r = 65m 54,21m
r = 10,79m
b)
A
2
A 0 A A
22
A
A
1r = V t + g t
2
1r = 16m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,32
2
r = 63,49m
B
B
r = 65m 63,49m
r = 1,51m
13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar:
a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo
b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/s
c) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s
SOLUCIÓN:
a) b)
0r = V t
2
2
1+ gt
2
2 rt =
g
2 100 mt =
9,8m/ s
t = 4,52s
2
0
2 2
1r = V t+ gt
2
19,8m/ s t + -1m/ s t-100m = 0
2
1 1 4 4,9 100t =
2 4,9
t = 4,62s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 110
c)
2
0
2 2
1r = V t+ gt
2
19,8m/ s t + 1m/ s t-100m = 0
2
1 1 4 4,9 100t =
2 4,9
t = 4,42s
14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar:
a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos
b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes
c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores
SOLUCIÓN:
a) b)
0 Br = V t
2
B B
2
1+ g t
2
1r = 9,8m/ s 5s
2
r = 122,5m
0 Br = V t
2
B B
2
1+ g t
2
1r = 9,8m/ s 10s
2
r = 490m
c)
f 0V = V
2
f
f
+ gt
V = 9,8m/ s ×5s
V = 10m/ s
f 0V = V
2
f
f
+ gt
V = 9,8m/ s ×10s
V = 98m/ s
15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el
reposo con una aceleración constante de 22 i m/ s cada uno y B parte 2s más tarde;
determinar:
a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A
b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido A
c) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 111
a) b)
0Br = V t
2
B B
22
1+ a t
2
1r = 2m/ s 2s
2
r = 4m
B A
2 2
B B A A
2 22 2
r = r r
1 1r = a t a t
2 2
1 1r = 2m/ s 4s 2m/ s 2s
2 2
r = 12m
c)
B A
2 2
B B A A
2 22 2
r = r r
1 1r = a t a t
2 2
1 1r = 2m/ s 6s 2m/ s 4s
2 2
r = 20m
16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m
a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se
encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar:
a) La aceleración de la partícula
b) El instante en que retorna al origen
SOLUCIÓN:
a)
Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m
r = 15m- -1m
r = 16m
r = 20m- -1m
r = 21m
En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 112
Cuando t=3s Cuando t=5s
2
0
2
0
2
0
2
0
1r = V t+ at
2
116m = V 3s + a 3s
2
16m = V 3s + a 4,5s
16m a 4,5sV = ........................(1)
3s
2
0
2
0
2
0
2
0
1r = V t+ at
2
121m = V 5s + a 5s
2
21m = V 5s + a 12,5s
21m a 12,5sV = ...................(2)
5s
Igualando (1) y (2)
2 2
3 3
3 3
3
2
16m a 4,5s 21m a 12,5s=
3s 5s
80ms- a 22,5s = 63ms- a 37,5s
a 22,5s - a 37,5s = 80ms- 63ms
17msa =
-15s
a = -1,133m/ s
b)
Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad final
sea 0
Determinando la velocidad inicial:
2 2
0
0
1716m m/ s 4,5s
15V =
3s
V = 7,033m/ s
fV 0
0
2
= V + at
-Vt =
a
-7,033m/ st =
-1,133m/ s
t = 6,21s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 113
2
0
22
1r = V t+ at
2
1r = 7,033m/ s 6,21s + -1,133m/ s 6,21s
2
r = 21,83m
Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleración
tiene la misma dirección que la velocidad por tanto es positiva:
0r = V t
2
2 2
2
1+ at
2
121,83m 1,133m/ s t
2
2×21,83mt =
1,133m/ s
t = 6,21s
t = 6,21s 6,21s
t = 12,42s
17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una
aceleración de 25 i m/ s hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le
somete a una aceleración de 210 i m/ s hasta que la distancia total recorrida desde que
partió del reposo es 30m; determinar:
a) La velocidad media para todo el recorrido
b) El grafico Vx contra t
SOLUCIÓN:
a)
Desde que parte del origen:
f 0V = V
f
2
+ at
Vt =
a
10 m/ st =
5m/ s
t = 2s
0r = V t
2
22
1+ at
2
1r = 5m/ s 2s
2
r = 10m
Desde que se le somete la aceleración de 210 i m/ s (MRUVR):
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 114
2
fV
2
0
2
0
2
2
= V + 2a r
-Vr =
2a
10 m/ sr =
2 10 m/ s
r = 5m
r = 10m 5m
r = 15m
Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distancia
recorrida es independiente del desplazamiento entonces:
Total
Total
r = 15m 15m
r = 0
m
m
m
rV =
t
0V =
t
V = 0
b)
18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo como
indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo
-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Vx-t
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 115
Determinar:
a) Los valores de 1t y
2t
b) La velocidad con la que llega al suelo
SOLUCIÓN:
a)
2 2
f 0
0
2
0
0
V = V - 2g r
V = 2a r
V = 2 9,8m/ s 15m
V = 294 = 17,15m/ s
2
0 1 1
2 2
1 1
2
1 1
2
1
1
1r = V t at
2
115m = 294 m/ s t 9,8m/ s t
2
4,9 t 294 m/ s t 15m 0
294 294 4 4,9 15t =
2 4,9
294t = s 1,75s
9,8
0 1r = V t
2
1
2
2 2
2
1at
2
2 rt =
g
2 20 mt =
- -9,8m/ s
t = 2,02s
2 2
f 0
b)
V = V
f
2
f
f
2g r
V = 2g r
V = 2 9,8m/ s 20m
V = 19,80m/ s
19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con una
velocidad constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el punto
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 116
5 i m con una velocidad de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se
mueve con aceleración constante; determinar:
a) La aceleración de B
b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B
SOLUCIÓN:
Datos:
AV = cte = -8 i m/ s
0Ar = -7 i m
0Br = -5 i m
0BV = 8 i m/ s
t = 4s
fBV = -8 i m/ s
a) b)
fB 0BB
B
2
B
V - Va =
t
-8 i m/ s- 8 i m/ sa =
4s
a = -4 i m/ s
fA fB
2
A 0A 0B 0B
2
A 0B 0A 0B
2 2
2 2
2 2
2
r = r
1V t+ r = V + r + at
2
1- at + V t- V + r - r = 0
2
1- -4m/ s t -8m/ st-8m/ st-
Iguala
7 m+ 5m = 02
2m/ s t -16 m/ st- 2 = 0 ÷ 2
1m
ndo las posiciones finales de A
/ s t -8m/ st-1 = 0
8 ± 8 + 4t =
2
t =
y B
8,12s
20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento
de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar:
a) La magnitud de la aceleración
b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s
SOLUCIÓN:
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Henry Alvarado Página 117
De 0 a 2s:
2
1 01
2
01
0
2
1r = V t+ at
2
140m = V 2s+ a 2s
2
40m- 2sVa ....(1)
2s
f 1 01V = V + at
De 2 a 4s: f 1 02V = V Igualando (1) y (2)
2
2 01
2
01
2 2
01
2
01
01
2
1Dr = V + at t+ at
2
165m = V + a 2s 2s+ a 2s
2
65m = 2sV + 4s a+ 2s a
6s a = 65m- 2sV
65m- 2sVa = ....(2)
6s
0 01
2 2
0 01
0 01
0
0
40m- 2sV 65m- 2sV=
2s 6s
3 40m- 2sV = 65m- 2sV
120m- 6sV = 65m- 2sV
4sV = 55m
V = 13,75m/ s
2
2
40m- 2s 13,75m/ sa =
2s
a = 6,25m/ s
2
0
22
1r = V t+ at
2
1r = 13,75m/ s×10s+ 6,25m/ s 10s
2
r = 450m
21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración
constante de modo que en 0 0t = 0s, r = -300 i m y
0v = 30im/ s y en
1 1t =10s, r =10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en
0 0t = 0s, r = 200 j m y en 1 1t =10s, r = 300 i m ; determinar:
a) La velocidad de A en 1t =10s
b) La velocidad de A respecto a B en 1t =10s
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 118
2
0
2
f 0 0
f 0 0
2
2
2
1r = V t+ a t
2
1r - r = V t+ a t
2
2 r - r - V ta =
t
2 10 i m- -300 i m -30 i m/ s×10sa =
10s
a = 0,2 i m/ s
f 0
2
f
f
V = V + a t
V = 30 i m/ s+ 0,2 i m/ s ×10s
V = 32 i m/ s
B
B
B
rV =
t
300 i m 200 j mV =
10s
V = 30 i 20 j m/ s
A/B
A/B
V = 32 i 0 j m/ s- 30 i 20 j m/ s
V = 2 i- 20 j m/ s
22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en
ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m;
determinar:
a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo
tiempo
SOLUCIÓN:
Cuerpo 1: Cuerpo 2:
0r = V t 2
0
1+ gt
2
120m = V t 2 2
2
1+ 9,8m/ s t
2
120mt =
4,9m/ s
t = 4,95s
2
0
22
0
22
0
0
1r = V t+ gt
2
1190m = V 4,95s + 9,8m/ s 4,95s
2
1190m- 9,8m/ s 4,95s
2V =4,95s
V = 14,13m/ s
23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente gráfico:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 119
Si parten del origen; determinar:
a) La posición de cada móvil para t=10s
b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego
de partir
SOLUCIÓN:
Posición de A:
De 0 a 4s: De 4 a 6s: De 4 a 6s:
Área del triángulo: Área del triángulo: Área del triángulo:
4s× -16m/ sr =
2
r = -32m/ s
6s- 4s × 8m/ s
r =2
r = 8m/ s
10s- 6s × 8m/ s
r =2
r = 16m/ s
Como parte del origen: Partícula B:
f
f
r = -32 i m/ s 8 i m/ s 16 i m/ s
r = -8 i m/ s
f
f
r = -5m/ s×10s
r = -50 i m
24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones
contrarias. De manera simultánea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto
disminuye su rapidez a razón de 22m/ s y el bus a 23m/ s ; determinar:
a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen
SOLUCIÓN:
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 120
Automóvil: Bus: Distancia mínima:
2
fV
2
0
2
0
2
2
= V + 2a r
-Vr
2a
- 18m/ sr =
2 -2m/ s
r = 81m
2
fV
2
0
2
0
2
2
= V + 2a r
-Vr
2a
- 12 m/ sr =
2 -3m/ s
r = 24 m
min
min
r = 81m 24m
r = 105m
25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el
borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otro
objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al
fondo; determinar:
a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos
b) La altura del precipicio
SOLUCIÓN:
2
1 0 1 1
1r = V t - at .....(1)
2 2
2 0 2 2
1r = V t + at .....(1)
2
Desde el borde del precipicio se cumple:2 1r = r siendo en el lanzamiento vertical
hacia arriba la aceleración de la gravedad negativa, y en el lanzamiento vertical hacia
abajo positiva.
Igualando a partir de esa condición:
2 2
0 2 2 0 1 1
2 2
0 2 0 1 1 2
2 2
0 2 1 1 2
2 2
1 2
0
2 1
2 22
0
0
1 1V t + at -V t at
2 2
1 1V t + V t = at - at
2 2
1V t + t = a t - t
2
1a t - t
2V =t + t
19,8m/ s 9s - 2s
2V =2s+ 9s
V = 34,3m/ s
2
2 0 2 2
22
2
2
1r = V t + at
2
1r = 34,3m/ s 2s+ 9,8m/ s 2s
2
r = 88,2m
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 121
26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una
velocidad de 10 j m/ s ; determinar:
a) La velocidad con la que fue disparado
b) La altura que alcanza
c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente
por dicha posición
SOLUCIÓN:
a) b)
2 2
f 0
2
0 f
2 2
0
0
V = V + 2a r
V = V - 2a r
V = 10m/ s - 2 -9,8m/ s 5m
V = 14,07 m/ s
2
fV
2
0
2
0
22
= V + 2a r
Vr = -
2a
14,07 m/ sr = -
2 -9,8m/ s
r = 10,10 m
c)
f 0
0
V = V + at
Vt = -
a
14,07 m/ st = -
-9,8m/ s
t = 1, 44s
27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su
aceleración es constante e igual a 22 i m/ s ; determinar:
a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s
b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s
SOLUCIÓN:
a)
f 0
2
f
f
V = V + a t
V = 16 i m/ s- 2 i m/ s 5s- 2s
V = 10 i m/ s
f 0
2
f
f
V = V + a t
V = 16 i m/ s- 2 i m/ s 15s- 2s
V = -10 i m/ s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 122
b)
2
0
22
1r = V t+ a t
2
1r = 10 i m/ s 15s-5s - -2 i m/ s 15s-5s
2
r = 0
28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 24 i m/ s , un objeto
desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a
tierra; determinar:
a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición
original
b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra
c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón
SOLUCIÓN:
a) b) c)
Si regresa el objeto a su
Posición inicial: f 0r = r r = 0
f 0V = V
2
f
f
+ at
V = 4 i m/ s 4s
V = 16 i m/ s
f 0
2
f
f
V = V + at
V = 8 i m/ s- 4 i m/ s 4s
V = -8 i m/ s
29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleración
constante de 214,7 j m/ s durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el
cohete continua moviéndose de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de la
tierra; determinar:
a) La altura máxima que alcanza el cohete
2
0
0
1
02
2 2
2
10 = V t+ at
2
1t V + at = 0
2
t = 0
2 Vt = -
a
2 8 i m/ st = -
-4 i m/ s
t = 4s
Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Henry Alvarado Página 123
b) El tiempo que tarde en regresar a la tierra
c) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento
SOLUCIÓN:
Hasta los 8 s en que se acaba el combustible:
0r = V t
2
22
1+ at
2
1r = 14,7 m/ s 8
2
r = 470,4m
f 0V = V
2
f
f
+ at
V = 14,7 m/ s 8s
V = 117,6m/ s
Después de los 8 s: Sumando las distancias:
2 2
f 0
2 2
f 0
2
f
V = V + 2g r
V - Vr =
2g
Vr =
2
2
- 117,6m/ s
2 -9,8m/ s
r = 705,6m
r = 470,4m 705,6m
r =1176m
b)
Tiempo 1: 8s
Tiempo 2:
2
2 rt =
g
2 705,6mt =
9,8m/ s
t = 12s
Tiempo 3:
2
2 rt =
g
2 1176mt =
9,8m/ s
t = 15,49s
Tiempo Total: T
T
t = 8s+12s+15,49s
t = 35,49s