solucionario matemáticas
TRANSCRIPT
-
El Solucionari de Matemtiques per a 1r de Batxillerats una obra collectiva, concebuda, dissenyadai creada al departament dEdicions Educativesde Grup Promotor / Santillana,dirigit per Enric Juan Redali M. ngels Andrs Casamiquela.
En la realitzaci hi han intervingut:
Miguel MarqusM. Jos ReyCsar Santamara
EDICIRosa AngladaAnglica EscoredoJos Miguel EscoredoCarlos Prez
DIRECCI DEL PROJECTEDomingo Snchez Figueroa
Matemtiques 1 BATXILLERATBiblioteca del professoratSOLUCIONARI
Grup PromotorSantillana
-
Presentaci
2
5
ABANS DE COMEN
AR RECORDA
Classificaaquests n
ombres segons el tip
us al qualpertanyen
.
0,7 16685,0091
0,020167
456,89
0,7 s un nombre dec
imal peridic pur.
16 s unnombre en
ter.
685,0091 s un nom
bre decimal peridic
mixt.
0,0201 i 456,89 sn
nombres decimals ex
actes.
67 s un nombre nat
ural.
sn nombres raciona
ls.
Expresa enforma de f
racci.
0,22 34,03 25,01
2 0,1043 2,302
0,22 =25,012 =
2,302 =
34,03 =0,1043 =
Troba el valor absol
ut daquests nombre
s.
7 0 162 (6
)2
7= 71=
1(6)
2= 36
0= 06
2= 36
Calcula lespotncies
segents:
a) 34
e)
b)
f ) (5)7
c) (2)6
g)
d)
h) 25
a) 34 = 81
e)
b)
f ) (5)7 =78.125
c) (2)6 = 64
g)
d)
h) 25 = 32
5
7
25
49
2
=
= 49
64
729
35
2
3 125
32
5
= .
= 3
5
27
125
35
7
2
4
9
35
2
5
3
5
3
004
003
521
4 995.1 123
33
.
2 300
999
.
22 511
900.
11
50
002
27
44
34
8i
34827
44001
4
1SOLUCION
ARI
Nmerosreales
1SOLUCION
ARIO
L I T E R A TU R A I M
A T E M TI Q U E S
El codi DaVinci
De sobte va recordar
les classesa Harvard
, davant deIs seus al
umnes
de Simbolisme en
lart mentre escrivia
a la pissarra el seu
nmero
preferit.
En Langdon es va
girar percontempl
ar els rostres ansio
sos dels
alumnes.
Qui em pot dir quin
s aquestnmero?
Un estudiant de ma
temtiques camallar
g va aixecar la m.
s el nmero fi.
Ben dit, Stettner va
dir en Langdon. Al
umnes, saludin el se
nyor Fi.
Que not res a
veure amb el nm
ero pi va afegir s
omrient
lStet-tner. Tal
com ens agrada dir a
ls matemtics: Fi s
molt msfi
que pi!
En Langdon va riu
re, pero lacudit no
va fer gracia a ning
ms.
LStettnerva abaixar
el cap.
Aquest nmero fi
va continuar en Lang
don, u coma sis u
vuit, s
un nmero molt im
portant per a lart. Q
ui em sapdir per qu
?
Per qu s molt bon
ic? va dirlStettner p
er provarde redimir
-se.
Tothom esva posar a
riure.
En realitat va dir
en Langdon, el seny
or Stettner lha torn
ada a en-
certar. El nmero fi s
e sol considerar el n
mero ms bell de l
univers.
De sobtees van apa
gar les rialles i lStet
tner va ferun posat d
e satis-
facci []
Tot i queels orgen
s matemtics de fi
semblavenms aviat
mstics,
en Langdon els va
explicar que laspec
te realment sorprene
nt de fi
era el seupaper com
a pea fonamental e
n la construcci de
la natu-
ralesa. Les plantes,
els animals i fins i
tot els ssers huma
ns tenien
propietatsdimension
als que coincidien m
isteriosament amb l
a rela-
ci de fi amb 1.
La ubiqitat de fi a
la naturalesa deia e
n Langdonmentre ap
agava
els llums[per proje
ctar nutils, pinyes,
gira-soIs], sens d
ubte, s
molt msque una s
imple coincidncia:
s per aixque antiga
ment es
va donar per fet que
el nmerofi devia se
r obra delcreador de
luni-
vers. Els primers cie
ntfics vandonar-li el
nom de proporci d
ivina.
DAN BROWN
1,618
En realitat, el valor d
el nmerofi s =
. Els nmeros 1,618 i
sn dos nombres re
als, per un s racion
al i laltre s irraciona
l. Per qu?
Quin errorcometem
si agafem1,618 com
a valor defi?
1,618 s unnombre ra
cional, perqu s un
decimal exacte.
Fi s un nombre irrac
ional, ja que ho
s i, quan sumem o div
idim un nombre irrac
ional
i un denter, el resulta
t s un nombre irracio
nal.
Com que; lerror que
es comet s ms peti
t que unadeumills
ima.
1 5
21 61803+ = ,
5
1 5
2+
1 5
2+
Nombresreals
1
El nom de la srie, La Casa del Saber, respon al plantejament de presen-tar un projecte de Matemtiques centrat en ladquisici dels contingutsnecessaris perqu els alumnes puguin moures en la vida real.
En aquest sentit, i considerant les matemtiques una matria essencial-ment procedimental en aquests nivells, recollim en aquest material laresoluci de tots els exercicis i problemes que hi ha formulats en el llibrede lalumne. Pretenem que aquesta resoluci no sigui noms un instru-ment sin que es pugui entendre com una proposta didctica per enfocarladquisici dels diferents conceptes i procediments que es presenten enel llibre de lalumne.
4544
Demostra aquestes igualtats:
a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b loga c
a) Per la definici de logaritmes:
loga (b c) = x loga b = y loga c = za x = b c a y = b a z = ca y a z = b c a y + z = b c loga (b c) = y + zs a dir: loga (b c) = loga b + loga c
b) Per la definici de logaritmes:
loga = x loga b = y loga c = z
a x = a y = b a z = c
ayz = loga = y z
Es decir: loga = loga b loga c
Demostra la igualtat segent: log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)
log (a + b) + log (a b) = log [(a + b) (a b)] = log (a2 b2)
Si lrea daquesta figura s 10 cm2, quina s la seva altura?
La longitud de la base fa: 1 + cm
Calculem laltura: 10 = h
h = cm
Dues peces mbils duna mquina es desplacen a la mateixa velocitat. La primera pea descriu una circumferncia de 5 cm de radi i la segona es desplaa dun extrem a laltre del dimetredaquesta circumferncia.
Si totes dues peces parteixen del mateix punt, coincidiran en algun moment?
Suposem que les dues peces parteixen de A.Anomenem v la velocitat que tenen els dos mbils. La distncia que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia en els punts A i B s: 5pi(k 1), on k s un nombre natural. La distncia que recorreel mbil que es desplaa pel dimetre en els punts A i B s: 10(k 1), on k sun nombre natural. Les distncies que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia sn nombres irracionals, mentre que les distncies que recorre el mbil que es desplaa pel dimetre sn nombres naturals. Per tant, els dos mbils no coincidiran mai.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
= +
1 2+( )2
149
148
b
c
b
c
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
b
c
147
Nombres reals1SOLUCIONARI
Les unitats de mesura amb qu medim la quantitat dinformaci sn:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 KilobytesKilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expressa, en forma de potncia i en notaci cientfica, aquestes quantitatsdinformaci en bits i bytes:
a) Disc dur de 120 GB. c) Disquet d1,44 MB.b) Targeta de memria de 512 MB. d) CD-ROM de 550 MB.
a) 120 GB = 120 210 210 210 bytes = 15 233 bytes = 15 241 bits120 GB = 1,2885 1011 bytes = 3,2985 1013 bits
b) 512 MB = 29 210 210 bytes = 229 bytes = 237 bits512 MB = 5,3687 108 bytes = 1,3743 1011 bits
c) 1,44 MB = 1,44 210 210 bytes = 1,44 220 bytes = 1,44 228 bits1,44 MB = 1,5099 106 bytes = 3,8655 108 bits
d) 550 MB = 550 210 210 bytes = 550 220 bytes = 550 228 bits550 MB = 5,7672 108 bytes = 1,4764 1011 bits
PER ACABAR...
Si s una fracci irreductible,
a) Quan s equivalent a ? b) I quan s equivalent a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab b2 = aba = b Com que b s diferent de zero: b = a
Si una fracci s irreductible, les fraccions i sn irreductibles?
Com que els divisors de a + b sn els divisors comuns de a i b:
(a + b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.
Com que els divisors de a b sn els divisors comuns de a i b:
(a b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.
Demostra la igualtat segent: = 1
= + ( ) = ( ) ==
12
11
2100 1 1
1
99
log ( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = = k
k
k
k
k
kk k k
999
log1
1
99 +
= k
kk146
a b
a b
a b
a b
+
a b
a b
a b
a b
+
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
-
3ndexUnitat 1 Nombres reals 4
Unitat 2 Successions. Progressions 46
Unitat 3 Equacions, inequacions i sistemes 78
Unitat 4 Trigonometria 138
Unitat 5 Nombres complexos 190
Unitat 6 Geometria analtica 230
Unitat 7 Llocs geomtrics. Cniques 290
Unitat 8 Funcions 334
Unitat 9 Funcions elementals 378
Unitat 10 Lmit duna funci. Continutat 426
Unitat 11 Derivada duna funci 476
Unitat 12 Estadstica bidimensional 536
Unitat 13 Probabilitat 572
Unitat 14 Distribucions binomial i normal 606
-
5ABANS DE COMENAR RECORDA
Classifica aquests nombres segons el tipus al qual pertanyen.
0,7 16 685,0091 0,0201 67 456,89
0,7s un nombre decimal peridic pur.
16 s un nombre enter.
685,0091 s un nombre decimal peridic mixt.
0,0201 i 456,89 sn nombres decimals exactes.
67 s un nombre natural.
sn nombres racionals.
Expresa en forma de fracci.
0,22 34,03 25,012 0,1043 2,302
0,22 = 25,012= 2,302=
34,03= 0,1043 =
Troba el valor absolut daquests nombres.
7 0 1 62 (6)2
7 = 7 1 = 1 (6)2 = 360 = 0 62 = 36
Calcula les potncies segents:
a) 34 e)
b) f ) (5)7
c) (2)6 g)
d) h) 25
a) 34 = 81 e)
b) f ) (5)7 = 78.125
c) (2)6 = 64 g)
d) h) 25 = 325
7
25
49
2
=
=
4
9
64
729
3
5
2
3125
32
5
=
.
=
3
5
27
125
3
5
7
2
4
9
3
5
2
5
3
5
3
004
003
521
4995.
112333
.
2300999
.22511
900
.11
50
002
27
44
34
8i
348
27
44
001
4
1SOLUCIONARINmeros reales
1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A I M A T E M T I Q U E S
El codi Da VinciDe sobte va recordar les classes a Harvard, davant deIs seus alumnesde Simbolisme en lart mentre escrivia a la pissarra el seu nmeropreferit.
En Langdon es va girar per contemplar els rostres ansiosos delsalumnes.Qui em pot dir quin s aquest nmero?Un estudiant de matemtiques camallarg va aixecar la m.s el nmero fi.Ben dit, Stettner va dir en Langdon. Alumnes, saludin el senyor Fi.Que no t res a veure amb el nmero pi va afegir somrient lStet-tner. Tal com ens agrada dir als matemtics: Fi s molt ms fique pi!En Langdon va riure, pero lacudit no va fer gracia a ning ms.LStettner va abaixar el cap.Aquest nmero fi va continuar en Langdon, u coma sis u vuit, sun nmero molt important per a lart. Qui em sap dir per qu?Per qu s molt bonic? va dir lStettner per provar de redimir-se.Tothom es va posar a riure.En realitat va dir en Langdon, el senyor Stettner lha tornada a en-certar. El nmero fi se sol considerar el nmero ms bell de lunivers.De sobte es van apagar les rialles i lStettner va fer un posat de satis-facci []Tot i que els orgens matemtics de fi semblaven ms aviat mstics,en Langdon els va explicar que laspecte realment sorprenent de fiera el seu paper com a pea fonamental en la construcci de la natu-ralesa. Les plantes, els animals i fins i tot els ssers humans tenienpropietats dimensionals que coincidien misteriosament amb la rela-ci de fi amb 1.La ubiqitat de fi a la naturalesa deia en Langdon mentre apagavaels llums [per projectar nutils, pinyes, gira-soIs], sens dubte, smolt ms que una simple coincidncia: s per aix que antigament esva donar per fet que el nmero fi devia ser obra del creador de luni-vers. Els primers cientfics van donar-li el nom de proporci divina.
DAN BROWN
1,618
En realitat, el valor del nmero fi s = . Els nmeros 1,618 i
sn dos nombres reals, per un s racional i laltre s irracional. Per qu? Quin error cometem si agafem 1,618 com a valor de fi?
1,618 s un nombre racional, perqu s un decimal exacte.Fi s un nombre irracional, ja que ho s i, quan sumem o dividim un nombre irracional i un denter, el resultat s un nombre irracional.
Com que ; lerror que es comet s ms petit que una deumillsima.1 5
21 61803
+= ,
5
1 5
2
+1 52
+
Nombres reals1
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 4
-
76
Nombres reals1SOLUCIONARI
Escriu 4 nombres irracionals i especifican la regla de formaci.
Resposta oberta.
Desprs de la coma, se situen tots els mltiples de 3: 0,3691215
Desprs de la coma se situen tots els mltiples de 4: 0,481216
Al nombre irracional shi suma el nombre 1: + 1
Al nombre irracional shi suma el nombre 2: + 2
Digues si els nombres segents sn irracionals.
a) 0,51015202530 c) 2 pi
b) d)
a) s un nombre irracional, ja que t infinites xifres decimals que no es repeteixende manera peridica.
b) s un nombre decimal exacte, i per tant, no s un nombre irracional.
c) s un nombre irracional, perqu si dun nombre irracional sen resta un nombreenter, el resultat s un nombre irracional.
d) No s un nombre irracional perqu s una fracci.
Troba, sense fer operacions amb decimals, un nombre irracional
comprs entre .
Resposta oberta.
Raona si les afirmacions segents sn certes o falses.
a) Larrel dun nombre irracional s irracional.
b) Un nombre irracional al quadrat no s racional.
a) Certa, ja que continua tenint infinites xifres decimals no peridiques.
b) Falsa, per exemple:
Indica el conjunt numric mnim al qual pertany cada nombre.
a) 8,0999 c) e) 2,5
b) 1,223334444 d) 6,126 f ) 11
a) Q d) Qb) I e) Qc) I f ) Z
15
009
2 22( ) =
008
2 1
2 2y007
10
17
3
4
pipi
006
22
22
005Simplifica i expressa el resultat com a potncia.
a) b)
a)
b)
ACTIVITATS
Calcula el representant cannic daquests nombres.
a) b) c)
a) b) c)
Escriu dos representants daquests nombres racionals.
a) b) c)
Resposta oberta.
a)
b)
c)
Troba quants nombres racionals diferents hi ha en aquesta seqncia.
1,6
Hi ha dos nombres racionals diferents, que sn:
1,6
Una fracci que tingui un terme negatiu i una altra que tingui els dos termes positius,poden ser representants del mateix nombre racional?
No poden representar el mateix nombre racional, ja que si una fracci t un termenegatiu, el quocient s negatiu; i si els dos termes sn positius, el quocients positiu.
004
=
=
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6= =
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6
003
8
25
16
50
24
75=
, , ,
9
2
18
4
27
6=
, , ,
7
12
14
24
21
36=
, , ,
8
25
9
2
7
12
002
=24
60
2
518
39
6
13=
=
16
24
2
3
24
60
18
39
1624
001
23
4
2
3
3
8
2 3
2 3
3
2
3
2
2 3
11 2 10
=
=
5 3 6
6 3 5
6 5 5 3 3
6
57 3 4
2 3 14
2 14 7 3 3
4
21
=
=
=
3
6
5 3
2
6
2
21 4
2
23
4
2
3
3
8
3
2
2
5 3 6
6 3 5
7 3 4
2 3 14
005
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 6
-
98
Nombres reals1SOLUCIONARI
Ordena, de ms petit a ms gran, aquests nombres racionals i irracionals.
pi
Amb lajut de la propietat distributiva, calcula 992 i 9992 sense fer les operacions.
992 = 99 99 = 99(100 1) = 9.900 99 = 9.8019992 = 999 999 = 999(1.000 1) = 999.000 999 = 998.001
Representa els conjunts numrics segents de totes les maneres que coneguis.
a) Nombres ms petits que pi.b) Nombres ms grans que i ms petits o iguals que 7.
c) Nombres ms petits o iguals que 2 i ms grans que 2.d) Nombres compresos entre els dos primers nombres parells, tots dos inclosos.
a) (`, pi) = {x: x < pi}
b) =
c) (2, 2] = {x: 2 < x 2}
d) [2, 4] = {x : 2 x 4}
Escriu, de totes les maneres que coneguis, aquests intervals de la recta real.
a) c)
b) d)
a) (`, 3) = {x: x < 3} c) (3, +`) = {x: x > 3}
b) [3, 2) = {x: 3 x < 2} d) (1, 1) = {x: x < 1}
Representa el conjunt {x: x 3 1} de totes les maneres possibles.[2, 4] = {x: 2 x 4}
42
018
1123
33
017
42
22
73
{ : }x x3 7< ( , ]3 7
pi
3
016
015
2827
900
22
7
.<
-
1110
Nombres reals1SOLUCIONARI
La poblaci dun poble, arrodonida a les desenes, s de 310 habitants. Pots indicar-ne els errors? Saps donar les cotes derror coms?
Per calcular els errors relatius i absoluts cal conixer el valor real; per tant, no es poden calcular.
Calcula una cota derror absolut quan trunquem un nombre als dcims. I si fos als centsims?
Escriu en notaci cientfica els nombres segents.
a) 0,0000085 c) 31.940.000.000
b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479
a) 0,0000085 = 8,5 106 c) 31.940.000.000 = 3,194 1010
b) 5.000.000.000.000 = 5 1012 d) 0,000000000479 = 4,79 1010
Opera i expressa el resultat en notaci cientfica.
a) (5,2 103 + 4,75 102) : 8,05 104
b) 3,79 108 (7,73 104 6,54 102)
a) (5,2 103 + 4,75 102) : 8,05 104 = 6,465968 102
b) 3,79 108 (7,73 104 6,54 102) = 2,92966 1013
Digues si aquestes igualtats sn certes. Raona la resposta.
a) c)
b) d)
a) Falsa: (2)4 = 16 c) Falsa: (1.000)3 = 1.000.000.000b) Falsa: 48 = 65.536 d) Falsa: (2)5 = 32
Calcula el valor numric, si existeix, dels radicals segents:
a) c)
b) d)
a) c) No existeix cap arrel real.
b) d) 243 35 = =8 2316 24 =
24358310 0004 .164
029
32 25 = 256 48 =
1 000000 1 0003 . . .= =16 24028
027
026
Ea =
=1
2 1020,05
Ea =
=1
2 1010,5
025
Er =
=5
310 50,016
Ea =
=
1
2 105
1
024Amb lajut de la calculadora, escriu en forma decimal i les seves aproximacionsper excs i per defecte.
a) Als deumillsims.
b) Als centmillsims.
c) Als milionsims.
a) Aproximaci per excs: 1,7321
Aproximaci per defecte: 1,7320
b) Aproximaci per excs: 1,73205
Aproximaci per defecte: 1,73205
c) Aproximaci per excs: 1,732051
Aproximaci per defecte: 1,732052
Calcula els errors absolut i relatiu darrodonir el nombre 1,3456 als dcims.
Vreal = 1,3456
Vaproximat = 1,3
Ea = 1,3456 1,3 = 0,0456
Pensa en una situaci en qu dos mesuraments tinguin els mateixos errors absolutsper errors relatius diferents.
Resposta oberta.
Vreal = 12,5
Valors aproximats, 12 i 13. En tots dos casos, lerror absolut s 0,5; per els errorsabsoluts sn diferents:
Indica dos exemples de mesura i dnan les cotes derror corresponents.
Resposta oberta.
Velocitat en autopista: 120 km/h; edat de jubilaci: 65 anys.
Calcula les cotes derror absolut i relatiu quan arrodonim el nombre :
a) Als centsims. b) Als millsims.
a)
b) Ea = 0,0005 Er = =
0,0005
1,414 0,00050,00035
Er =
=0,005
1,41 0,0050,0035Ea =
=
1
2 1020,005
2023
022
Er = =0,5
0,038513
Er = =0,5
0,041712
021
Er = =0 0456
1 34560 0338
,
,,
020
3 1 73205080= ,
3019
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 10
-
1312
Nombres reals1SOLUCIONARI
Racionalitza les expressions segents.
Racionalitza i opera.
Racionalitza i opera.
Racionalitza aquestes expressions.
b)12 6
2 3 3 2
24 18 36 12
6
72 2 72 3
612 2 12 3
=
+
=+
=
a)3 5
3 6
5 5
3 73 3 15 3 6 30
3
5 15 5 35
41
+
++
+=
= + +
+ +
=
= 22 3 12 6 4 30 19 15 15 35
12
+ + +
b)12 6
2 3 3 2a)
3 5
3 6
5 5
3 7
+
++
+
037
c)5 3
9 5
45 3 5 15
76=
+
b)8 2
3 7
8 6 56 2
46
4 6 28 2
23+=
= +
a)1
1 2
1 2
11 2
+=
= +
c)5 3
9 5b)
8 2
3 7+a)
1
1 2+
036
b)
+ =
+ = +7
3 2
5
4 7
7 2
6
5 7
28
98 2 15 7
84
a)3
5
4
6
3 5
5
4 6
6
18 5 20 6
30+ = + =
+
b) +7
3 2
5
4 7a)
3
5
4
6+
035
c)2 3
6 7
2 3 7
4235
25+= +
( )
b)
=3
5 2
3 2
1034
4
a)2
5
2 5
5=
c)2 3
6 735+b) 3
5 234a)
2
5
034Transforma els radicals en potncies, i a la inversa.
Indica si els radicals segents sn equivalents.
a) Sn equivalents. c) Sn equivalents.
b) No sn equivalents. d) No sn equivalents.
Fes aquestes operacions.
Opera i simplifica.
d)3 3
3
3 3
33
3
4
6 4
312 712
= =
c) 2 3 4 27 1083 6 6 6 = =
b)32
8
32
8
2
2
1
4
63
3
5
9
= = =
a) 4 27 5 6 20 162 180 2 = =
d)3 3
3
3
4
b)
32
8
63
c) 2 33 a) 4 27 5 6
033
b) 7 81 2 33
521 3 2 3
3
5
96 3
53 26
33 3
3 3
+ = + =
a) 20 3 125 2 45 2 5 15 5 6 5 7 5 + = + =
b) 7 81 2 33
53 26
3
+a) 20 3 125 2 45 +
032
d) 5 5104 4ib) i2 2105
c) i36 64a) i3 364 3
031
f ) 5 5747
4=c) 2 21
6 6=
e) 10 102
7 27=b) 5 52
3 23=
d) 7 73
5 35=a) 3 31
4 4=
f ) 574c) 21
6
e) 102
7b) 52
3
d) 73
5a) 31
4
030
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 12
-
1514
Nombres reals1SOLUCIONARI
Troba, sense fer servir la calculadora, log2 5 i log5 2. Comprova que el seu producte s1.
A lexercici anterior sha vist que log 2 = 0,3010.
Si sutilitzen canvis de base, resulta:
log2 10 = log2 (2 5) = log2 2 + log2 5 log2 5 = 2,32
Com que els dos nombres sn inversos, el seu producte s 1.
Tamb es pot comprovar daquesta manera:
Troba el valor de x en aquestes igualtats:
a) logx 256 = 8 c)
b) d) logx 3 = 2
b) 2,0801 d)
Calcula quant val loga b logb a.
Calcula la fracci irreductible de:
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
Indica quines de les fraccions segents sn irreductibles.
Sn fraccions irreductibles: , i 18
7
12
5
10
13
2
8
15
12
18
7
12
5
9
6
10
13
15
18
3
15
046
104
216
13
27=
72
243
8
27=
=
7021053
2
3.
=
1080432
45
18
.
88
176
1
2=
12
400
3
100=
26
130
1
5=
5
200
1
40=
104
216
72
243
7021 053.
1 080432
.
88
176
12
400
26
130
5
200
045
log loglog
loglog
loga bb a
a
b
b
a= = 1
044
3c)2
3a)
1
2
log32
3x =
log56 625 = x
043
log loglog
loglog
log2 55 2
5
2
2
51= =
loglog
log log5
2
2 2
22
5
1
5= = = 0,43
log2 101
= = =log 10
log 2 0,30103,32
042Calcula, a partir de la definici, aquests logaritmes.
a) log2 8 c) log 1.000 e) ln e33 g) log4 16b) log3 81 d) log 0,0001 f ) ln e4 h) log4 0,25
a) log2 8 = 3 e) ln e33 = 33b) log3 81 = 4 f) ln e4 = 4c) log 1.000 = 3 g) log4 16 = 2d) log 0,0001 = 4 h) log4 0,25 = 1
Troba, a partir de la definici, els logaritmes segents:
a) log3 243 c) log 1.000.000 e) ln e2 g) log7 343b) log9 81 d) log 0,00001 f) ln e14 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f) ln e14 = 14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = 5 h) log4 0,0625 = 2
Calcula els logaritmes i deixa el resultat indicat.
a) log4 32 c) log3 100 e) log32 4b) log2 32 d) log5 32 f ) log2 304
b) log2 32 = 5
Si saps que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 i log 7 = 0,8451; determina els logaritmesdecimals dels 10 primers nombres naturals. Amb aquestes dades, sabries calcularlog 3,5? I log 1,5?
log 4 = log (2 2) = log 2 + log 2 = 2 0,3010 = 0,6020
log 5 = log = log 10 log 2 = 1 0,3010 = 0,6990
log 6 = log (3 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781
log 8 = log (4 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030
log 9 = log (3 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542
log 10 = 1
log 3,5 = log = log 7 log 2 = 0,8451 0,3010 = 0,5441
log 1,5 = log = log 3 log 2 = 0,4771 0,3010 = 0,17613
2
7
2
10
2
041
f )log 304
log 28,2479log2 304 = = c)
log 100
log 34,1918log3 100 = =
e) loglog
log32
2
44
32
2
52= =
d)log 32
log 52,1533log5 32 = =a) log
log
log4
2
2
3232
4
5
2= =
040
039
038
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 14
-
1716
Nombres reals1SOLUCIONARI
Indica el tipus de decimal, en cada cas, i calculan, si s possible, la fracci generatriu.
a) 15,3222 c) 15,32 e) 15,333
b) 15,233444 d) 15,323232 f) 15
a) s un nombre decimal peridic mixt:
b) s un nombre decimal peridic mixt:
c) s un nombre decimal exacte:
d) s un nombre decimal peridic pur:
e) s un nombre decimal exacte:
f ) s un nombre natural:
Troba la fracci generatriu dels nombres decimals segents.
a) 0,2 d) 8,0002 g) 0,01
b) 3,5 e) 42,78 h) 5,902
c) 2,37 f ) 10,523 i) 0,0157
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i)157 1
9900
156
9900
13
825
= =
. .
5 902 5
999
5897
999
. .=
1
100
10523 105
990
10418
990
5209
495
. . .= =
4278 42
99
4236
99
1412
33
. . .= =
80002
10000
40001
5000
.
.
.
.=
237 23
90
214
90
=
35 3
9
32
9
=
2
10
1
5=
053
15
1
15333
1000
.
.
1 532 15
99
1517
99
. .=
1532
100
383
25
.=
152334 15233
9000
137101
9000
. .
.
.
.
=
1532 153
90
1379
90
. .=
052Quants nombres racionals hi ha en aquest grup?
Els nombres racionals sn els que es poden escriure com a fracci; per tant, tots els nombres del grup ho sn.
Troba x per tal que les fraccions siguin equivalents.
a) b)
a) b)
Pots escriure una fracci equivalent a amb denominador 10? Per qu?
No, perqu el 10 no s mltiple de 3.
Fes aquestes operacions.
Quins dels nombres segents sn racionals i quins no ho sn? Raona la resposta.
a) 2,555 b) 2,525 c) 2,5255555 d) 2,525522555222
a) s un nombre racional, perqu s peridic i qualsevol nombre peridic es potexpressar com a fracci.
b) s un nombre racional, perqu s un decimal exacte i els decimals exacteses poden expressar com a fracci.
c) s un nombre racional, perqu s peridic.
d) s un nombre irracional, perqu t infinites xifres decimals que no snperidiques.
051
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+
:
=
=
=
=
2
125
10
4
10
3
7
16
9
21
:
110
3
7
16
910
21
3
7
16
970
63
1
=
= =
=
:
:
116
942
63
=
=
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
+
=
=
+ =
=
2
225
30
24
30
3
2
1
4
1
3
00
3
2
1
4
9003
2
1
41
4
2
+ =
= + =
= + =
1.350
==5401
4
.
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+
:
2
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
+
2
050
2
3049
=
=
=
5
2
20
8
10
4
25
10
3
5
6
10
9
15
21
35= = =
= = =52 8
10 25x
x x
3
5
6 9 21= = =x x x
048
150
200
25
100
6
8
4
24
420
1
6
8
12
15
2
3
1
4
047
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 16
-
1918
Nombres reals1SOLUCIONARI
Ordena els nombres decimals segents, de ms petit a ms gran.
2,999 2,95 2,955 2,59 2,599 2,559
Del ms petit al ms gran:2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999
Ordena aquests nombres decimals, de ms petit a ms gran.
a) 2,995 2,9 2,95 2,959 2,95
b) 4,75 4,75 4,75 4,775 4,757 4,757
Del ms petit al ms gran:
a) 2,95 < 2,959 = 2,95 < 2,995 < 2,9
b) 4,75 < 4,75 < 4,757 < 4,75 = 4,757 < 4,775
Digues un nombre racional i un altre dirracional compresos entre:
a) 3,4 i 3,40023 c) 1 i 2 e) 2,68 i 2,68
b) 2,52 i 2,52 d) 5,6 i 5,68 f ) 0,2 i 0,25
Resposta oberta.
a) Racional: 3,40022 d) Racional: 5,62Irracional: 3,4002201001 Irracional: 5,6201001
b) Racional: 2,523 e) Racional: 2,67Irracional: 2,52301001 Irracional: 2,6701001
c) Racional: 1,1 f ) Racional: 0,21Irracional: 1,101001 Irracional: 0,2101001
s cert que 3,2 = 3,222? Si no ns, escriu dos nombres, un de racional i un dirracional, situats entre ells.
No s cert, ja que un nombre s decimal exacte i laltre s peridic.
Resposta oberta.
Racional: 3,2221Irracional: 3,222101001
Classifica en racionals i irracionals les arrels quadrades dels nombres naturals mspetits que 20.
Sn racionals les arrels dels quadrats perfectes (1, 4, 9 i 16). Les altres arrels sn irracionals.
Digues quins daquests nombres sn racionals i quins sn irracionals.
Noms s irracional , ja que les altres arrels sn exactes.5
2
4
2
5
2
9
3
16
5
36
3
063
062
061
060
059
058Opera fent servir les fraccions generatrius.
a) 1,3 + 3,4 c) 1,36 + 8,25 e) 3,46 + 4,295b) 10,25 5,7 d) 4,5 + 6,7 f ) 3,21 + 4,312
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Fes les operacions segents:
a) 1,25 2,5 b) 0,03 : 2,92 c) 3,76 4,8 d) 1,25 : 2,25
a) c)
b) d)
Fent servir les fraccions generatrius, comprova si les igualtats segents snverdaderes o falses:
a) 1,9 = 2 b) 1,3 : 3 = 0,4 c) 1,89 + 0,11 = 2 d) 0,3 + 0,6 = 1
a) Verdadera:
b) Verdadera:
c) Falsa:
d) Verdadera:
Escriu lexpressi decimal de tres nombres racionals i de tres dirracionals. Explica com ho fas.
Resposta oberta.
Lexpressi decimal dun nombre racional ha de ser finita o peridica:
2,3 2,3 5,32
Lexpressi decimal dun nombre irracional ha de ser infinita i no peridica:
2,1010010001000 1,1234567891011 2,23233233323333
057
3
9
6
9
9
91+ = =
189 18
90
11 1
90
171
90
10
90
181
902
+
= + =
13 1
93
12
93
12
27
4
9
= = =: :
19 1
92
=
056
5
4
203
90
450
812
225
406: = =
1
30
263
90
90
7890
9
789:
.= =
113
30
44
9
4972
270
2486
135
. .= =
5
4
23
9
115
36 =
055
318
99
4269
990
3180
990
4269
990
7449
990
2+ = + = =
. . . . ..483
330
343
99
4253
990
3430
990
4253
990
7683
990
2+ = + = =
. . . . ..561
330
41
9
61
9
102
9+ =
135
99
817
99
952
99+ =
923
90
52
9
923
90
520
90
403
90 = =
4
3
17
5
20
15
51
15
71
15+ = + =
054
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 18
-
2120
Nombres reals1SOLUCIONARI
Ordena i representa, de manera exacta o aproximada, els nombres reals segents.
1,65 1,657
Sordenen els nombres, del ms petit al ms gran:
Representa aquests nombres a la recta real.
Ordena i representa els nombres segents:
0,5 2
Sordenen els nombres, del ms petit al ms gran:
0 20,5 13
2
1
43
22 3
< < < < 3 e) x
-
2524
Nombres reals1SOLUCIONARI
Un truncament de 8,56792 s 8,56. Calcula lerror absolut i lerror relatiu.
Lerror absolut que es comet s: Ea = 8,56792 8,56 = 0,00792Lerror relatiu que es comet s:
Aproxima el nombre per tal que lerror sigui ms petit que un centsim.
Perqu lerror absolut coms sigui ms petit que un centsim, hem de calcularel quocient amb dues xifres decimals. Laproximaci que es demana s 0,14.
Aproxima el nombre 12,3456 de manera que lerror absolut sigui ms petit que 0,001.
Perqu lerror absolut sigui ms petit que un millsim, sescriu el nombre amb tres xifres decimals. Per tant, laproximaci que es demana s 12,345.
Escriu els 5 primers intervals encaixats dins dels quals hi ha , i indica quin errormxim comets en cada un.
(5, 6) Error < 6 5 = 1
(5,5; 5,6) Error < 5,6 5,5 = 0,1
(5,65; 5,66) Error < 5,66 5,65 = 0,01
(5,656; 5,657) Error < 5,657 5,656 = 0,001
(5,6568; 5,6569) Error < 5,6569 5,6568 = 0,0001
Podem escriure ? Justifica la resposta i digues quin s lordre de lerror
coms.
Com que es tracta dun nombre irracional s impossible escriurel amb una fracci,ja que totes les fraccions sn nombres racionals.
pi = 3,1415926
Lerror que es comet s ms petit que un milionsim.
Per a quin nombre seria 5.432,723 una aproximaci als millsims per defecte?s lnica resposta? Quantes respostes hi ha?
Resposta oberta.
Una aproximaci als millsims s 5.432,7231.
La resposta no s nica, ja que hi ha infinits nombres.
Indica quins daquests nombres estan escrits en notaci cientfica.
a) 54 1012 c) 243.000.000 e) 7,2 102 g) 0,01 1030
b) 0,75 1011 d) 0,00001 f ) 0,5 1014 h) 18,32 104
El nombre 7,2 102 est escrit en notaci cientfica.
089
088
355
113= 3,1415929
pi= 355113
087
32 = 5,65685
32086
085
1
7084
Er = =0 00792
8 567920 00092
,
,,
083Opera i arrodoneix el resultat als dcims.
a) 3,253 + 8,45 e) 13,5 2,7b) 52,32 18,93 f ) 40,92 : 5,3c) 4,72 + 153,879 g) 62,3 24,95d) 7,8 12,9 h) 100,45 : 8,3
a) Arrodoniment: 11,7 e) Arrodoniment: 36,5
b) Arrodoniment: 33,4 f ) Arrodoniment: 7,7
c) Arrodoniment: 158,6 g) Arrodoniment: 37,4
d) Arrodoniment: 100,6 h) Arrodoniment: 12,1
Troba laproximaci per arrodoniment fins als deumillsims per a cada cas.
a) b) c) d)
a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951
Quin error absolut cometem quan aproximem el resultat de 45,96 + 203,7 + 0,823pel nombre 250,49?
45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483Lerror absolut que es comet s: Ea = 250,483 250,49 = 0,007
Si aproximem 10,469 per 10,5, quin error absolut cometem? I si laproximem a 10,4?Quina s la millor aproximaci? Raona-ho.
Lerror absolut que es comet s: Ea = 10,469 10,5 = 0,031Si saproxima a 10,4, lerror absolut s: Ea = 10,469 10,4 = 0,069La millor aproximaci s 10,5, perqu lerror absolut que es comet s ms petit.
Des de lantiguitat apareix molt sovint el nmero dor, , en proporcions de la naturalesa i en les mesures de construccions o en obres dart com la Gioconda.
a) Escriu laproximaci per arrodoniment fins als centsims del nmero dor.
b) Pots trobar-ne els errors absolut i relatiu?
a) Laproximaci per arrodonimentals centsims s 1,62.
b) No es poden trobar els errors absoluti relatiu, ja que el nombre dor sun nombre irracional i, per tant, tinfinites xifres decimals no peridiques.
= + =1 52
1,61803
082
081
080
4
158+5 3
6
77+2 3+
079
078
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 24
-
2726
Nombres reals1SOLUCIONARI
Fes les operacions segents.
a) 7,3 104 5,25 103 c) 8,3 106 : 5,37 102
b) 8,91 105 5,7 1014 d) 9,5 106 : 3,2 103
a) 7,3 104 5,25 103 = 3,8325 102 c) 8,3 106 : 5,37 102 = 1,545623836 104
b) 8,91 105 5,7 1014 = 5,0787 1010 d) 9,5 106 : 3,2 103 = 2,96875 109
Simplifica el resultat daquestes operacions.
a) b)
Troba el valor numric daquests radicals.
a) b) c) d) e) f )
Indica els radicals equivalents.
Simplifica els radicals segents:
a) b) c) d) e) f ) g) h)
h) 625 5 5 5 58 484
8
1
2= = = =
g) 27 3 3 3 36 363
6
1
2= = = =
f ) 128 2 2 2 2 2 25 757
5
2
5 25= = = =
e) 75 3 5 3 5 5 321
2= = =
d) 27 3 3 3 3 3 333
2
1
2= = = =
c) 32 2 2 2 2 2 24 545
4
1
4 4= = = =
b) 54 3 2 3 2 3 2 3 23 333
3
1
3
1
3 3= = = =
a) 16 2 2 2 2 2 23 434
3
1
3 3= = = =
625827612857527324543163
098
7 7 7 7232
3
8
12 812= = =3 3 3 3252
5
4
10 410= = =
2 2 2 2 2686
8
3
4
15
20 1520= = = =2 2 2 2343
4
9
12 912= = =
21520291234107812268723325234
097
f ) =128 27d) =216 63b) = 27 33e) 625 54 = c) =100000 105 .a) 81 34 =
128762542163100 0005 .273814
096
b)3,92 5,86
9,2
2,29712
10 10
7 10 10
4 6
8 13
=
10
1010
1
6
8
=6,44
3,566956522
a)6,147 4,6
7,9 6,57
2,827
10 10
10 10
2 3
8 5
=
662
5,19035,447893185
10
1010
2
4
3=
3 92 10 5 86 10
7 10 9 2 10
4 6
8 13
, ,
,
6 147 10 4 6 10
7 9 10 6 57 10
2 3
8 5
, ,
, ,
095
094Escriu en notaci cientfica els nombres segents i indican la mantissa i lordrede magnitud.
a) 15.000.000.000 c) 31.940.000 e) 4.598.000.000 g) 329.000.000
b) 0,00000051 d) 0,0000000009 f) 0,0967254 h) 111.000
a) 15.000.000.000 = 15 109 Mantissa: 5 Ordre de magnitud: 9b) 0,00000051 = 5,1 10-7 Mantissa: 5,1 Ordre de magnitud: 7c) 31.940.000 = 3,194 107 Mantissa: 3,194 Ordre de magnitud: 7d) 0,0000000009 = 9 10-10 Mantissa: 9 Ordre de magnitud: 10e) 4.598.000.000 = 4,598 109 Mantissa: 4,598 Ordre de magnitud: 9f ) 0,0967254 = 9,67254 102 Mantissa: 9,67254 Ordre de magnitud: 2g) 329.000.000 = 3,29 108 Mantissa: 3,29 Ordre de magnitud: 8h) 111.000 = 1,11 105 Mantissa: 1,11 Ordre de magnitud: 5
Desenvolupa aquests nombres escrits en notaci cientfica.
a) 4,8 108 b) 8,32 1011 c) 6,23 1018 d) 3,5 1012
a) 4,8 108 = 480.000.000 c) 6,23 1018 = 0,00000000000000000623b) 8,32 1011 = 0,0000000000832 d) 3,5 1012 = 0,0000000000035
Fes les operacions.
a) 1,32 104 + 2,57 104
b) 8,75 102 + 9,46 103
c) 3,62 104 + 5,85 103
d) 2,3 102 + 3,5 101 + 4,75 102
e) 3,46 102 + 5,9 104 + 3,83 102
a) 1,32 104 + 2,57 104 = 3,89 104
b) 8,75 102 + 9,46 103 = 1,0335 104
c) 3,62 104 + 5,85 103 = 3,620000585 104
d) 2,3 102 + 3,5 101 + 4,75 102 = 2,303975 102
e) 3,46 102 + 5,9 104 + 3,83 102 = 5,93830346 104
Troba el resultat daquestes operacions.
a) 9,5 104 3,72 104
b) 8,6 103 5,45 102
c) 7,9 104 1,3 106
d) 4,6 106 + 5,3 104 3,9 102
e) 5 102 3 101 + 7 102
a) 9,5 104 3,72 104 = 5,78 104
b) 8,6 103 5,45 102 = 8,055 103
c) 7,9 104 1,3 106 = 7,887 104
d) 4,6 106 + 5,3 104 3,9 102 = 4,652610 106
e) 5 102 3 101 + 7 102 = 4,997 102
093
092
091
090
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 26
-
2928
Nombres reals1SOLUCIONARI
Extreu de larrel els factors que puguis.
Extreu factors dels radicals.
Simplifica les expressions segents:
f )a
a
a a
1
2
3
2
1
2
11
2
1
= ( ) =
22 = a
e) 36729 37 126 7 126 2 6a b a b ab a = =
d)2 25
=
=
8
32
23 5 23
6 43
3 3 5 23
6 43
a b c
a b
a b c
a b
b22 22a c a
b
c3 23
23
1=
c)81
2
3
3
4
8 2
3 3
4
33
4
33 3
a
b
a
b
a
b
a= =
b) 32 2 2 25 8 124 5 5 8 124 2 3 4a b c a b c ab c a = =
a)a
aa a a
a
12
183 63
6
2
1
31 1= = ( ) = =
f )a
a
1
2
3
2
1
2
d)
8
32
3 5 23
6 43
a b c
a bb) 32 5 8 124 a b c
e) 729 7 126 a bc)8
81
4
33
a
ba)
a
a
12
183
103
f ) 15 625 5 54 33 6 4 33 2 3. x y x y xy x= =c) 2 26 4 8 3 2 4a b a b=
e) a b ab a6 105 2 5=b) 16 2 274 4 74 34a a a a= =
d) a b c abc a bc6 5 94 2 24=a) 8 2 253 3 53 23a a a a= =
f ) 15 625 4 33 . x yd) a b c6 5 94b) 16 74 a
e) a b6 105c) 26 4 8a ba) 8 53 a
102
h) 40 2 5 2 53 33 3= =d) 98 2 7 7 22= =
g) 1000 2 5 2 5 103 3 33. = = = c) 50 2 5 5 22= =
f ) 75 3 5 5 32= =b) 18 2 3 3 22= =
e) 12 3 2 2 32= =a) 8 2 2 23= =
h) 403f ) 75d) 98b) 18
g) 1 0003 .e) 12c) 50a) 8
101Escriu com a potncies dexponent fraccionari aquests radicals.
Expressa amb un sol radical:
f )1
5
1
5
1
5
51
512
1
2
1
4
1
44
=
( )= = =
e) 2 2 2 2431
4
1
3 1
12 12= ( ) = =
d)1
2
1
2
2 21
2
1
2 1
2
1
2 1
=
= ( ) =
444
1
2=
c) 3 3 3 31
2
1
2
1
21
8 8= ( )
= =
b)2
2
2
2
23
1
2
1
3
1
21
6
1
2
=
= ( ) = 22 2
1
12 12=
a) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 551
2
1
5 1
5
1
10
2
10
1
10 210= ( ) = = =
f)1
5e) 243d)
1
2c) 3b)
2
23a) 3 55
100
h)1
3
1
3
aa=
e)1 1
1
2
1
2
aa
a= =
g) a a( ) =3
3
2d) a a
=545
4
f )1 1
4 1
4
1
4
aa
a= =
c)a
a
a
a
a a=
= ( ) =
1
2
1
2 1
2
1
2 1
4
b) a a a a a a a a31
2
1
2
1
33
2
1
2
= ( )
= ( )
= ( ) = ( ) =
1
33
4
1
3 7
4
1
3 7
12a a a a
a) a a a a a a= ( ) = ( ) =&1
2
1
2 3
2
1
2 3
4
h)1
3
af )
14 a
d) a54b) a a a3
g) a( )3
e)1
ac)
a
aa) a a
099
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 28
-
3130
Nombres reals1SOLUCIONARI
Calcula.
Efectua i simplifica.
c) 3 5 4 7 3 5 4 73 15 4 21 15 5 4 35 4 21+ ( ) +( )=
= + + + +
44 35 112 109 8 35 = +
b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5 9 5 4 80 72+( ) ( )+ ( ) +( ) = + =
a) 2 3 2 3 2 3 4 4 3 3 4 3 6 4 32
+( ) +( ) ( ) = + + + = +
c) 3 5 4 7 3 5 4 7+ ( ) +( )b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ( )+ ( ) +( )a) 2 3 2 3 2 3
2+( ) +( ) ( )
108
d) ab a b ab a b a b a b3 31
2
1
3 1
3
1
2 1
6
1
6
1
2
1
= ( )( ) ( )( ) = 662
3
1
3 23= =a b a b
c) :2 4 2 4 23 45 23 3 41
5 21
3 3 43
1a b ab a b ab a b= ( ) ( ) = ( ): 55 25
15
9 12
5 1015
9 12
5
4: ab
a b
a b
a b
a
( ) =
= =2
4
2
2
3
5
3
10 bb
a b10
154 2
715
2=
b) 3 2 3 2 3 223 3 21
3 31
2 22
6a b ab a b ab a b ab = ( ) ( ) = ( ) 333
6
2 4 2 3 3 96 3 2 7 1163 2 2 3
( ) == =a b a b a b
a) a a a a a a a a a a34 53 463
4
5
3
4
6
9
12
20
12
8
12 = = =227
12 3712 312= =a a a
d) ab a b3 3b) 3 223 3a b ab
c) 2 43 45 23a b ab:a) a a a34 53 46
107
h) 2 5 10 2 5 10 4 5 2 50 2 50 1020 1
2 2( ) +( ) = ( ) + ( ) =
=
00 10=
g) 6 7 5 6 7 5 36 7 6 35 6 35 5252 5
2 2+( ) ( ) = ( ) + ( ) =
= =
2247
f ) 7 2 3 5 3 2 35 6 14 2 15 3 6( ) +( ) = +
e) 7 5 4 5 5 3 6 35 5 21 30 20 5 12 6175 2
2+( ) ( ) = ( ) + =
=
11 30 20 5 12 6+
d) 5 2 3 5 2 3 25 2 15 2 15 2 9 50 9 412
( ) +( ) = ( ) + = =
c) 3 2 3 2 3 6 6 2 3 2 12 2
+( ) ( ) = ( ) + ( ) = =
b) 2 7 3 2 5 2 2 10 7 4 14 15 2 6 210 7 4 14
2+( ) ( ) = + ( ) =
=
++ 15 2 12
a) 3 2 5 4 2 3 12 2 9 2 20 2 15 29 2 392
( ) ( ) = ( ) + = +Introdueix els factors dins del radical.
Introdueix els factors dins del radical, si es pot.
e) No s possible introduir factors, perqu el 5 no s factor.
Opera i simplifica.
h) 2 5 10 2 5 10( ) +( )d) 5 2 3 5 2 3( ) +( )g) 6 7 5 6 7 5+( ) ( )c) 3 2 3 2+( ) ( )f ) 7 2 3 5 3 2( ) +( )b) 2 7 3 2 5 2 2+( ) ( )e) 7 5 4 5 5 3 6+( ) ( )a ) 3 2 5 4 2 3( ) ( )
106
f ) = = a a a a a2 3 63 73
d) 2 23 3 = = 2 2 3 3 63 4 73ab ab a b ab a b
c)2
2
2
3
2 3
8
3 3
22a
a a
a a = =
b)4 2
2
4
4
8
3
4
8 8
24
4 4 24
4 5 2
44
ab
c
c b
a
a b c b
c a
a b c
ac = = ==
25a b
c
3 5
24
a) aa
a
a a
a
a a
=
=
4 12
4 1
2
4
2
2 2( )
f ) a a2 3d) 2 2 3ab abb)4
8
2
4ab
c
c b
a
e) 5 2+c) 2 38a
aa) a aa
4 12
105
j)1
7
3
4
3
7 4
3
21952
3
3 33 3 = =
.e)
1
26
1 6
2
6
16
3
84
44 4 4= = =
i)23
5
2
3
3
5 3
18
1253
3
33 3= =
d)
323
52
2
5
18
252= =
h) 51
5
5
55 253
3
3 23 3= = =c) 3 15 3 15 36455 55 5= = .
g) 2 7 2 7 563 33 3= =b) 4 20 4 20 51204 44 4= = .
f )1
2
1
2
1
2 2
1
324
44 4= =
a) 2 5 2 5 403 33 3= =
j)1
7
3
4
3
h) 51
53f )
1
2
1
24d)
3
52b) 4 204
i)3
5
2
33g) 2 73e)
1
264c) 3 155a) 2 53
104
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 30
-
3332
Nombres reals1SOLUCIONARI
Racionalitza i simplifica.
j)7 2
3
7 2 3
3 3 3
7 2 3
9
3
54
3 34
4 34
4 912
= =
i)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
5 3 4 3
323
3
23 3
56 3=
( )=
h)9
5 5
9 5
5 5 5
9 5
2557
27
57 27
27
= =
g)6 6 6
6
6 6 6 6
6 6
6 6 6 6
66 6 6
3
23
3 23
6 236 2 =
( )=
( )=
33
f )7 5
3
7 5 3
3 3
7 3 675
34
34
4 34
34 4+=
+( )=
+
e)
=
=
=6
2 7
3
7
3 7
7 7
3 7
74 4
34
4 34
34
d)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
15 3 4 325
35
25 35
10 35
=
( )
= +
=
3
15 3 4 3
3
10 35
c)1 2
2
1 2 2
2
2 2
22
=( )
( )=
b)
=
( )=
=
5
2 5
5 5
2 5
5 5
10
5
22
a)6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6
66 6
2
=
( )
( )=
=
( )=
j)7 2
3
3
54e)
6
2 74
i)5 3 4
323
d)5 3 4
325
h)9
5 557c)
1 2
2
g)6 6 6
63
b)5
2 5
f )7 5
34+
a)6 6 6
6
112Troba el resultat:
Efectua i simplifica.
Expressa el resultat com a potncia.
d) 8 81 2 3 2 353 3 41
5
1
3 4
15= ( )( ) =
c) 2 2 2 2 2 2232
3
1
2 1
2
1
2
1
21
3
1
= ( ) ( )
= 88
11
242=
b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 251
5 21
2
1
5 1
5
2
5
1
10
7
10 = ( ) = =
a) 5 5 5 5 5 536 1
3
1
2
6 5
6
6
5( ) = ( ) = ( ) =d) 8 8153b) 3 3 35 25
c) 2 223 a) 5 536
( )
111
d)a a a a
9 16
16 9
144
2
+
=+
=
=
2 225
144
5
12
aa =
2144
25a
c) 14 7 81 14 7 3 14 2 441
21
21
21
2+ ( ) = + ( ) = +( ) = = 11
4
1
2=
b) 811
3
1
33 3 3 3
1
4 48
1
4
1
8
=
:
= = =: :3 3 3 3 3
1
2
5
8
1
2
1
8 8
a)2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
34 4 3
25
2
3
4 41
3
21
2
5
=
22
13
12
4
13
12
48
12
35122
2
2
2
2= = =
d)a a
9 16
2
+
b) 811
3
1
33
1
4 48
:
c) 14 7 8141
2+ ( )
a)2 2 2
2 2 2
34 4 3
252
110
c) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 14 4 4 4+ = +( ) ( ) = =
b) 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 75 1 743 3 3 3 3 + = +( ) +( ) = =
a) 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 49 24 25 5 + = ( ) +( ) = = =
c) 3 2 3 24 4+
b) 5 3 1 5 3 13 3 +
a) 7 2 6 7 2 6 +
109
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 32
-
3534
Nombres reals1SOLUCIONARI
Racionalitza les expressions segents:
d)
=
=
=
=4
3 2
4
3 2
4
3 2
4
3 24 3 141
3
3
12
4
123 412
44 3 2
3 2 3 2
4 3 2
6
2 3 2
9 812
3 412 9 812
9 812 9 8
=
=
= 112
3
c)
+( )=
( )
+( ) ( )=
2
2 125 2
2 125 2
2 125 2 125 23 3
2250 2 2
121 2
250 2 2 2
121 2 2
5 2
3
23
3 23
9 76
+=
= +( )
=
++=
+=
=
2 2
121 2 2
5 2 5 2 2 2
242
2 5 5 2
76
3 23
36 2 6
36
++( )=
+2 2242
5 5 2 2 2
121
6 36 6
b)
( )=
+( )( ) +( )
= +2
4 5 3 1
2 5 3 1
4 5 3 1 5 3 1
2 5 33 3
11
74 4
5 3 1
37 4
5 3 1 4
37 4 4
5 3
3
3
23
3 23
3
( )=
=
= ( )
=
4 4148
46 23
a)3
3 2 5 4 2 3
3
24 9 2 20 2 15
3
39 29 2
3 39
( ) ( )=
+=
=
=
++( )( ) +( )
=+
=29 2
39 29 2 39 29 2
117 87 2
1521 1682. .
1117 87 2
161
+
d)
4
3 24 3b)
( )2
4 5 3 13
c)
+( )2
2 125 23a)
3
3 2 5 4 2 3( ) ( )
116
d)4 3 7
12
4 3 7 12
12
24 84
12
2 12 21
6 22+
=+( )
( )=
+=
+( )
=112 21
6
+
c)5 6 2
18
5 6 2 18
18
5 3 2 6
18
5 3 2 3 6
2
3 2=
( )
( )=
=
=
118
6 5 3 1
6 3
5 3 1
3=
=( )
b)1
1 5 7
1 5 7
1 5 7 1 5 7
1 5 7
1 5 7 5
+=
+
+( ) + ( )=
=+
+ 55 35 7 35 7
1 5 7
11 2 35
1 5 7 11 2 35
+ + + =
+
+=
=+ ( ) ( ) +( ) ( )
= + +
11 2 35 11 2 35
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 2445
121 140
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 245
19
=
= + +
Elimina les arrels del denominador.
Racionalitza les expressions segents:
Racionalitza i simplifica el resultat:
a)1
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6 3 6+=
+
+ +=
+
+=
+ ( )
+( ) ( )==
=+ +
=
+ +3 3 6 18 6 69 6
3 3 6 18 6 6
3
d)4 3 7
12
+c)
5 6 2
18
b)
1
1 5 7 +a)
1
3 6+
115
d)
+( )=
( )
+( ) ( )=
( )79 6 3
7 6 3
9 6 3 6 3
7 6 3
27
c)8
5 10 6
8 10 6
5 10 6 10 6
8 10 6
20 ( )=
+
( ) +( )=
( )=
( ) 22 10 6
5
( )
b)5
3 7 2
5 7 2
3 7 2 7 2
5 7 2
15
7 2
3 +( )=
+( ) ( )=
( )=
( )
a)
( )=
( ) +( )=
1
2 5 3
5 3
2 5 3 5 3
5 3
4
d)
+( )7
9 6 3c)
8
5 10 6 ( )b)
5
3 7 2 +( )a)
( )1
2 5 3
114
f )
+=
( )
+( ) ( )=
+
= 5
6 7
5 6 7
6 7 6 7
5 6 5 7
6 75 6 5 7
e)7
11 3
7 11 3
11 3 11 3
7 11 21
11 9
7 11
=
+( )( ) +( )
=+
=
+ 2212
d)4 2
3 2 5
4 2 3 2 5
3 2 5 3 2 5
24 4 10
18 5
24
=
+( )( ) +( )
=+
=++ 4 1013
c)
=
+( )( ) +( )
=
= +
5
3 2
5 3 2
3 2 3 2
5 3 10
3 45 3 10
b)3
2 3
3 2 3
2 3 2 3
3 2 3
2 33 2 3
+=
( )
+( ) ( )=
( )
= ( )
a)1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 12 1
+=
+( ) ( )=
=
f )
+
5
6 7d)
4 2
3 2 5b)
3
2 3+
e)7
11 3c)
5
3 2a)
1
2 1+
113
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 34
-
3736
Nombres reals1SOLUCIONARI
Desenvolupa les expressions segents:
Fent servir la calculadora, determina:
a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315
d) log log 31log 31
log 412,38554 431 5 55 = = =
c) log log 10log 10
log 62,57016 6 2100 2= = =
b) log log 31log 31
log 22,47712 231
1
2
1
2= = =
a) log 36 log 36 2log 36
log 54,45315 2 5= = =2
log2 31
124
d) ln.
ln ln .
ln ln
e ae a
e
3 643
6
4
3
1 0001000
= ( ) =
= + aa
e a
3
2 310
33
23 10
=
= +
ln
ln ln ln
c) log log log
lo
102 35
10 102 35x x
y zx x y z
= ( ) =
= gg log
log log
10
1
210
2
5
3
5
10 10
1
2
x x y z
x x
( ) ( ) == + =
= +
log log
log log log
10
2
510
3
5
10 10 11
2
2
5
y z
x x 00 103
5y z log
b) log log log
log
2
3 65
732
3 652
73
2
a b
ca b c
a
= ( ) =
= 33 26
52
7
3
2 2 236
5
7
3
+ =
= + +
log log
log log log
b c
a b c
a) log log ( ) log
log
3
2 5
2 32 5
32
3
a b c
da b c d
a
= =
= 22 3 5 3 3 2
3 3 32 5
+ + == + +
log log log
log log log
b c d
a b c 2 3log d
d) ln.
e a3 64
1 000
b) log2
3 65
73
a b
c
c) log102 35
x x
y z
a) log3
2 5
2
a b c
d
123Fes aquestes operacions.
Efectua les operacions.
Calcula, a partir de la definici, els logaritmes:
a) log3 243 e) ln e2
b) log9 81 f ) ln e14
c) log 1.000.000 g) log7 343
d) log 0,00001 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f ) ln e14 = 14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = 5 h) log4 0,0625 = 2
Si saps que log3 2 = 0,63; troba log3 24 a partir de les propietats dels logaritmes.
log3 24 = log3 (23 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 0,63 + 1 == 1,89 + 1 = 2,89
Calcula log4 128, fent servir les propietats dels logaritmes i prova de donar-neun resultat exacte.
log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 x =
Troba el resultat daquestes expressions a partir de les propietats dels logaritmes.
a) 2 log4 16 + log2 32 3 log7 49b) log2 8 + log3 27 + log5 125c) log5 625 log9 81 + log8 64
a) 2 log4 16 + log2 32 3 log7 49 = 2 2 + 5 3 2 = 3b) log2 8 + log3 27 + log5 125 = 3 + 3 + 3 = 9c) log5 625 log9 81 + log8 64 = 4 2 + 2 = 4
122
7
2
121
120
119
b)1
3
1
9
9 3
39 3
3 9
79 =
a)1
5 5
1
5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 53
3
3
3
56 3+ =
+( )=
+
b)1
3
1
99 3a) 1
5 5
1
53+
118
b)1
6
6
2
2 6
6 29 3
3 1118
39+ =
+
a)
1
2
1
2
2 2
23
3
56+ =
+
b)1
6
6
29 3+a) 1
2
1
23+
117
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 36
-
3938
Nombres reals1SOLUCIONARI
Calcula el valor de x.
a) log3 9 x = 2 e) log3 9 x+3 = 3
b) f ) log 2x/2
c) ln 3x = 1 g) ln 3x+6 = 3d) log2 4x+4 = 2 h) log3 273x+4 = 2
Determina el valor de x.
a) 8x = 1.024 e) 8x2 = 1.024 f ) (3x)2 = 27
d) 10 x1 = 103
h) 2 1 2 2 2 1 0 12 22 1 2 1 0 2x x x x x x x + += = + = =
g) 3 18 27 3 9 3 3 2 22 2 2 2 2x x x x x+ = = = = =
f ) ( )3 27 3 3 2 33
22 2 3x x x x= = =
e) 8 1024 2 2 3 6 1016
32 3 2 10x x x x = = = =. ( )
d) 10 10 1 3 41 3x x x = = =
c) 3 27 3 3 6 3 9 32 26 6 3 2x x x x = = = = =
b) 3 27 3 33
2
2 2 3x x x= = =
a) 8 1024 2 210
33 10x x x= = =.
h) 2 12 2 1x x + =
g) 3 18 272x + =c) 3 27
2 6x =b) 3 27
2x =
130
h) log ( ) log3 3 4 327 2 3 4 27 2 3 42
3
3
x x x
x
+ = + = + =
==
=2 12
3
14
9 x
g) 3,2693ln ( ) lnln
3 3 6 3 33
366x x x x+ = + = = =
f ) 9,9658log loglog
23
2 22
3
2
3
22
x xx x= = = =
e) log3 3 3 3 3 3 99 3 3 9 3 3 3 3 9 2x x x x x+ + += = = = + =
d) log2 4 2 4 2 2 84 2 2 4 2 2 2 2 8x x x x x+ + += = = = + = 5
c) 0,9102ln lnln
3 1 3 11
3x x x x= = =
=
b) 4,9829log loglog
23
22
3
2
3
2 2x x x x= = = =
a) log log3 39 2 9 2 2 2 1x x x x= = = =
= 32
log 23
2x =
129Si log e = 0,4343; quant val ln 10? I ln 0,1?
Tenint en compte que log 2 = 0,3010, troba el valor dels logaritmes decimals:
a) log 1.250 c) log 5 e) log 1,6
b) log 0,125 d) log 0,04 f ) log 0,2
Calcula el valor de x.
a) log3 x = 5 c) log2 x = 1 e) log3 (x 2) = 5 g) log2 (2 x) = 1
b) log5 x = 3 f) log5 (x + 2) = 3 h) log23 (3 + x) = 4
Troba quant val x.
a) logx 3 = 1 b) logx 5 = 2 c) logx 3 = 2 d) logx 2 = 5
d) logx x x2 5 2 255= = =
c) logx x x x3 2 31
3
1
32 2= = = =
b) logx x x5 2 5 52= = =
a) logx x x3 1 31
31= = =
128
h) log ( ) . .23 43 4 23 3 279841 3 279838+ = = + = =x x x
g) log ( ) , ,2 12 1 2 2 0 5 2 1 5 = = = + =x x x f ) log ( )5 32 3 5 2 125 2 123x x x+ = = + = = e) log ( )3 52 5 3 2 243 2 245x x x = = = + =
d) log /2 3
4
42
3
16
81x x x=
= =
c) 0,5log2 11 2x x x= = = b) log5 33 5 125x x x= = = a) log3 55 3 243x x x= = =
d) log /2 3 4x =
127
f ) 0,2 0,3010 0,699log log log log= = = =2
102 10 1
e) 0,3010 0,2log , log log log1 62
104 2 10 4 1
4
= = = = 004
d) 0,04 0,3010log log log log= = = =2
1002 2 2 10 2 2
2
1,398
c) 0,3010 0,6990log log log log510
210 2 1= = = =
b) 0,125 0,3010 0,90log log log log= = = =1
81 2 0 33 33
a) 1.250 0log log.
log . log= = = 10000
810000 2 4 33 ,,3010 3,097=
126
lnlog
log0,1
0,1
0,43432,3025= =
=
e
1ln
log
log10
10
0,43432,3025= = =
e
1
125
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 38
-
4140
Nombres reals1SOLUCIONARI
Amb lajut de les propietats dels nombres reals, prova que el producte de zeroper qualsevol nombre real dna com a resultat zero. En cada cas, indica la propietatque fas servir.
Per la unicitat dels elements neutres per a la suma i la multiplicaci tenim que:
Propietat distributiva
0 a + a = a (0 + 1) = a 1 = a
Com que 0 a + a = a 0 a = 0
Quin tipus de decimal sobt de la fracci , en qu a s un nombre enter?
Com que el nostre sistema de numeraci s decimal, quan dividim un nombreenter entre un nombre que sigui potncia de 2 o de 5, o de tots dos, sobt un decimal exacte. Si el numerador s mltiple del denominador, sobt unnombre enter.
Hi ha algun cas en qu laproximaci per excs i per defecte coincideixin?
I si considerem larrodoniment, pot coincidir amb laproximaci per excs o per defecte?
No poden coincidir, ja que quan saproxima per defecte seliminen les xifres a partir de lordre considerat, i quan saproxima per excs tamb seliminenles xifres a partir de lordre considerat, per saugmenta en una unitat lltima xifraque queda.
Laproximaci per arrodoniment coincideix amb laproximaci per defecte si la xifra anterior a lordre considerat s ms petita que cinc, i coincideix amb laproximaci per excs en la resta de casos.
Raona com es racionalitzen les fraccions del tipus:
Multipliquem el denominador pel conjugat:
Per tant, si multipliquem pel conjugat n vegades:
a b a b a b
a b
n n n n2 2 2 21 1+( ) +( ) +( )
L
a b
a b a b
a b
a b
n n
n n n n
n n
n n
2 2
2 2 2 2
2 2
2 21
+
( ) +( )=
+
11
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
a b a b
a b a
n n n n
n n n
+( ) +( )( ) +
bb
a b a b
a bn
n n n n
n n2
2 2 2 2
2 21
1 1
2 2
( )=
+( ) +( )
12 2a bn n
137
136
a
2 52 3135
8
134Indica si les afirmacions segents sn verdaderes o falses. Raona la resposta.
a) Tots els nombres decimals es poden escriure en forma de fracci.b) Tots els nombres reals sn racionals.c) Qualsevol nombre irracional s real.d) Hi ha nombres enters que sn irracionals.e) Hi ha nombres reals que sn racionals.f ) Tot nombre decimal s racional.g) Cada nombre irracional t infinites xifres decimals.h) Tots els nombres racionals tenen infinites xifres decimals que es repeteixen.i) Tots els nombres racionals es poden escriure mitjanant fraccions.
a) Falsa, perqu els nombres irracionals tenen infinites xifres decimalsno peridiques i no es poden escriure com a fracci.
b) Falsa, perqu hi ha nombres reals que sn irracionals.
c) Verdadera, ja que els nombres racionals i els irracionals formen el conjuntdels nombres reals.
d) Falsa, perqu si sn enters no poden tenir infinites xifres decimalsno peridiques.
e) Verdadera, perqu tots els nombres que es poden expressar com a fraccisn nombres reals, que a ms sn racionals.
f) Falsa, perqu els nombres decimals amb infinites xifres decimalsno peridiques sn irracionals.
g) Verdadera, ja que tenen infinites xifres decimals no peridiques.
h) Falsa, perqu els decimals exactes tamb sn racionals.
i) Verdadera, per definici.
Per qu larrel quadrada de qualsevol nombre acabat en 2 s un nombre irracional?Hi ha algun altre conjunt de nombres amb aquesta caracterstica?
Perqu no hi ha cap nombre que, quan el multipliquem per si mateix, doni un nombre acabat en 2.
Totes les famlies de nombres acabades en 3, 7 i 8 tenen aquesta caracterstica.
Escriu en notaci cientfica les quantitats segents:
a) Distncia Terra-Lluna: 384.000 kmb) Distncia Terra-Sol: 150.000.000 kmc) Dimetre dun tom: 0,0000000001 md) Superfcie de la Terra: 500 milions de km2
e) Longitud dun virus (grip): 0,0000000022 mf) Pes dun estafilococ: 0,0000001 gg) Un any llum: 9.500.000.000.000 kmh) Distncia a la galxia ms llunyana: 13.000 milions danys llum
a) 384.000 = 3,84 105 e) 0,0000000022 = 2,2 109
b) 150.000.000 = 1,5 108 f ) 0,0000001 = 1 107
c) 0,0000000001 = 1 1010 g) 9.500.000.000.000 = 9,5 1012
d) 500.000.000 = 5 108 h) 13.000.000.000 = 1,3 1010
133
132
131
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 40
-
4342
Nombres reals1SOLUCIONARI
Comprova les igualtats segents:
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
a) Fals: e) Cert:
b) Fals: f ) Fals:
c) Fals: g) Fals:
d) Fals: h) Fals:
Escriu 2500 en notaci cientfica.
a) Sabent que log 2 = 0,3010 i que .
b) Pots fer-ho amb una calculadora cientfica?
c) Tenint en compte el primer apartat, expressa 5500 en notaci cientfica.
a) Anomenem x el nombre: 2500 = x
Hem de trobar y de manera que 10y = x.
2500 = x 500 = log2 x =
Daltra banda, com que log x = y:
y = 500 ? log 2 = 150,5
10150,5 = 100,5 ? 10150 = 3,1622 ? 10150
b) No es pot trobar amb calculadora perqu s un nombre massa gran.
c) Anomenem x el nombre: 5500 = x
Hem de trobar y de manera que 10y = x:
5500 = x 500 = log5 x =
Daltra banda, com que log x = y:
y = 500 ? log 5 = 349,5
10349,5 = 100,5 ? 10349 = 3,1622 ? 10349
log
log
x
5
log
log
x
2
10 3 1622= ,
142
3 4 53 4 5
2 2+ =+ ?
2 3 18
2 3 18
63
63
=
( ) ?
a b a b a b a b
a b a b
8 24 8 21
4
8
4
2
4 21
2
2
= ( ) = = == ?
5 3 2
5 3 2
3
3 3
+ =
+ ?
2 15 1 8
2 15 2 1 8
+ =
+ ?
4 8 4
4 8 4
3
5
=
?
a a a b a b
a a b
= =
=
34 8 4
4 8 4
3
12
=
?
a b a b2 2+ = +a b a bmnmn= ( )
a b a b8 24 =a b a bn n n+ = +
a b c ab ac+ = +a b a bn m n m = +
a a a b a a b = a b abn m n m =
141Racionalitza les expressions segents:
a) b) c)
Indica un procediment general per racionalitzar expressions del tipus:
tenint en compte que b1, b2, , bn sn nombres reals.
Es multiplica el denominador per una expressi que resulta de canviar de signetots els elements del denominador excepte un.
Quan es fa loperaci el nombre darrels disminueix; es repeteix aquest procstantes vegades com calgui fins que lexpressi quedi racionalitzada.
Considera que A, B, C i D sn quatre pobles. La distncia mesurada entre A i Bha estat de 48 km, amb un error de 200 m, i la distncia entre C i D ha estat de 300 m,amb un error de 2,5 m. Quina mesura s ms bona? Per qu?
Es calcula lerror relatiu:
La mesura ms bona s la feta entre els pobles A i B, ja que lerror relatiu comss ms petit.
Er = =2 5
3000 00833
,,Er = =
0 2
48
,0,00416
140
1
1 2b b bn+ + +
139
c)2
6 5 5 6 3
2 6 5 5 6 3
6 5 5 6 3 6 5 5 6 3
3 3
=
+ +( ) ( ) + +( )
=
=22 6 5 5 6 3
227 60 15
2 6 5 5 6 3 137 60 153 3+ +( )
=+ +( ) ( ))
=
=+ +( ) +( )
2471
2 6 5 5 6 3 137 60 15
2471
3
.
.
b)2
2 2 3 3 4
2 2 2 3 3 2
2 2 3 3 2 2 2 3 3 2
2 2
+=
+ ( ) +( ) + ( )
=
=++ ( )
+=
+ ( ) +(
3 3 2
23 12 3
2 2 2 3 3 2 23 12 3
23 12 3
( )
)) ( )=
= + +
=
=
23 12 392 2 48 6 138 3 216 92 48 3
97922 2 48 6 90 3 124
97
a)2
2 3 4
2 2 3 2
2 3 2 2 3 22 2 3 2
5
+ +=
( )
+ + =
= ( )
( )( )
=
( ) + +
=
=
2 12
2 2 3 2 5 2 12
5 2 12 5 2 1210
( )
( )( )22 4 24 10 3 24 20 8 12
25 4810 2 8 6 10 3 4 16 3
+ +
=
= + +
223
10 2 8 6 4 6 3
23=
+ +
2
6 5 5 6 3
3
2
2 2 3 3 4 +
2
2 3 4+ +
138
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 42
-
4544
Demostra aquestes igualtats:
a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b loga c
a) Per la definici de logaritmes:
loga (b ? c) = x loga b = y loga c = za x = b ? c a y = b a z = ca y ? a z = b ? c a y + z = b ? c loga (b ? c) = y + zs a dir: loga (b ? c) = loga b + loga c
b) Per la definici de logaritmes:
loga = x loga b = y loga c = z
a x = a y = b a z = c
ayz = loga = y z
Es decir: loga = loga b loga c
Demostra la igualtat segent: log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)
log (a + b) + log (a b) = log [(a + b) (a b)] = log (a2 b2)
Si lrea daquesta figura s 10 cm2, quina s la seva altura?
La longitud de la base fa: 1 + cm
Calculem laltura: 10 = ? h
h = cm
Dues peces mbils duna mquina es desplacen a la mateixa velocitat. La primera pea descriu una circumferncia de 5 cm de radi i la segona es desplaa dun extrem a laltre del dimetredaquesta circumferncia.
Si totes dues peces parteixen del mateix punt, coincidiran en algun moment?
Suposem que les dues peces parteixen de A.Anomenem v la velocitat que tenen els dos mbils. La distncia que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia en els punts A i B s: 5pi(k 1), on k s un nombre natural. La distncia que recorreel mbil que es desplaa pel dimetre en els punts A i B s: 10(k 1), on k sun nombre natural. Les distncies que recorre el mbil que es desplaa per la circumferncia sn nombres irracionals, mentre que les distncies que recorre el mbil que es desplaa pel dimetre sn nombres naturals. Per tant, els dos mbils no coincidiran mai.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
= +
1 2+( )2
149
148
b
c
b
c
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
b
c
147
Nombres reals1SOLUCIONARI
Les unitats de mesura amb qu medim la quantitat dinformaci sn:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 KilobytesKilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expressa, en forma de potncia i en notaci cientfica, aquestes quantitatsdinformaci en bits i bytes:
a) Disc dur de 120 GB. c) Disquet d1,44 MB.b) Targeta de memria de 512 MB. d) CD-ROM de 550 MB.
a) 120 GB = 120 ? 210 ? 210 ? 210 bytes = 15 ? 233 bytes = 15 ? 241 bits120 GB = 1,2885 ? 1011 bytes = 3,2985 ? 1013 bits
b) 512 MB = 29 ? 210 210 bytes = 229 bytes = 237 bits512 MB = 5,3687 108 bytes = 1,3743 ? 1011 bits
c) 1,44 MB = 1,44 210 210 bytes = 1,44 ? 220 bytes = 1,44 ? 228 bits1,44 MB = 1,5099 ? 106 bytes = 3,8655 108 bits
d) 550 MB = 550 210 210 bytes = 550 220 bytes = 550 228 bits550 MB = 5,7672 108 bytes = 1,4764 ? 1011 bits
PER ACABAR...
Si s una fracci irreductible,
a) Quan s equivalent a ? b) I quan s equivalent a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab b2 = aba = b Com que b s diferent de zero: b = a
Si una fracci s irreductible, les fraccions i sn irreductibles?
Com que els divisors de a + b sn els divisors comuns de a i b:
(a + b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.
Com que els divisors de a b sn els divisors comuns de a i b:
(a b) i a b no tenen divisors comuns, i la fraccis irreductible.
Demostra la igualtat segent: = 1
= + ( ) = ( ) ==1
21
1
2100 1 1
1
99
log ( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = = k
k
k
k
k
kk k k
999
log1
1
99 +
= k
kk146
a b
a b
a b
a b
+
a b
a b
a b
a b
+
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
917221Unidad01.qxd 19/1/09 10:44 Pgina 44
-
ABANS DE COMENAR RECORDA
Calcula els nombres que falten perqu es formi una proporci.
a) b) c)
a)
b)
c)
Un dipsit de plstic buit pesa 2 kg i cada litre de benzina pesa 0,68 kg. Escriu el pesdel dipsit en funci dels litres de benzina que shi posen. Sn magnituds ambvariaci constant?
y = 2 + 0,68xNo sn magnituds amb variaci constant.
El sou duna persona t dos components: el sou base i els complements. En el primert un augment del 3 %, mentre que els complements augmenten el 5 %. Podem dirque la puja global daquest sou s del 8 %?
No, ser una mitjana ponderada entre els dos components i, per tant, estar entre el 3 i EL 5 %; aix, per exemple, si els components fossin iguals, la puja seria del 4 %.
Un comerciant rebaixa un producte un 15 %. Desprs duns mesos, decideix reduir elpreu un altre 10 %. Quan li arriben ms mercaderies del mateix producte decideixaplicar una rebaixa del 25 % sobre el preu que tenia inicialment i sadona que elspreus finals no coincideixen. Quina rebaixa havia aplicat inicialment?
Inicialment, el preu total era del (100 10) % sobre un preu del (100 15) %; pertant, el resultat final hauria de ser un 90 % 85 % = 76,5 %, que correspon a unarebaixa del 100 76,5 = 23,5 %.
Un ordinador que lany passat valia 950 , primer el van pujar de preu un 10 % i, desprs, el van rebaixar un 15 %. Qu val ara?
Un ordinador que, primer, van rebaixar un 15 % i, desprs, van augmentar un 10 %,ara val 888,25 . Quin era el seu preu inicial?
Si anomenem x el preu inicial:
x x x x + = =15 100 85 1 1 0 85% %, , , 0,935 888,25 x = =
888,25
0,935950
006
950 950 95 1045 104510 15+ + = =% %. . 156,75 8888,25
005
004
002
003
x
xx x
16
8128 8 22= = =
7
8 9
63
8= =
xx
2
5
615= =
xx
x
x16
8=78 9= x2
5
6=x
001
46
2SOLUCIONARI
L I T E R A T U R A Y M A T E M T I Q U E S
El dimoni dels nombres
Sn trencats! va exclamar indignat Robert. Al diable amb ells! Perdona, per la veritat s que sn molt senzills. No t'ho sembla? Un mig va llegir Robert ms un quart ms un vuit ms un setz,etctera. A dalt hi ha sempre un u, i abaix hi ha els nombres ballarinsde la srie del dos, els de la samarreta negra: 2, 4, 8, 16 Ja sabemcom segueix. S, per qu surt si sumem totes aquestes fraccions? No ho s va dir Robert. Com que la srie no acaba mai, probable-ment surti una quantitat infinita. Per d'altra banda 1/4 s menys que1/2, 1/8 s menys que 1/4, etctera aix que el que afegeixo s cadavegada ms petit. Les xifres van desaparixer del sostre. Robert es va quedar mirant fixa-ment cap amunt i no va veure ms que una llarga ratlla:
Justa la fusta! Va dir al cap d'una estona. Crec que ho entenc. Co-mena amb 1/2. Desprs sumo la meitat d'1/2, s a dir 1/4.I el que deia apareixia al sostre de l'habitaci, negre sobre blanc
Aix, senzillament, segueixo endavant, afegint sempre una meitat. Lameitat d'1/4 s 1/8, la meitat d'1/8 s 1/16, etc. Els trencats que s'afe-geixen sn cada vegada ms petits, fins que sn tan diminuts que jano puc veure'ls []
I puc seguir fins que em surtin cabells verds. Aix arribar gairebfins l'1, per mai del tot.S que pots arribarhi. Noms has de continuar fins l'infinit.
HANS MAGNUS ENZENSBERGER
0 1/2
1/2
3/4
1/4 1/8
1/16
1/32
11444244431442443123123123
F
0 1/2
1/2
3/4
1/41444244431442443
0 1/2
1
2+ 1
4+ 1
8+ 1 + 1 + 1 + ... =
16 32 64
Creus que el diable dels nombres t ra i que la suma s 1? O sinfinit?
La suma s 1 perqu es tracta de la suma dels termes dunaprogressi geomtrica amb la ra ms petita que la unitat, i que tsuma finita.
Successions. Progressions2
47
917221Unidad02.qxd 19/1/09 10:45 Pgina 46
-
49
Troba el terme general de les successions segents:
a) {1, +1, 1, +1, 1, } b) {1, 8, 27, 64, } c) {8, 27, 64, 125, }
a) b) c)
Donada la progressi amb a1 = 3 i d= 5, calculan el terme 25.
Calcula el terme 1.000 duna progressi aritmtica el primer terme de la qual s 20 ila diferncia s 4.
Sabent que el primer terme duna progressi aritmtica s 5 i que el cinqu s 13,calculan el terme 36.
Si el quart terme duna progressi aritmtica s 7 i un terme s 25, calcula quin llococupa aquest terme.
Per tant, no podem saber quin lloc ocupa aquest terme. Hi ha moltes solucionspossibles, per exemple:
Si d = 1 n = 22Si d = 2 n = 13Si d = 3 n = 10Cal tenir en compte que no val qualsevol valor de d; aix, per exemple, si
, que no seria un resultat vlid.
Calcula la suma dels 25 primers termes de la progressi aritmtica an= 2n5.
Troba la suma de tots els nombres parells ms petits que 151.
i a n Sn = = =+
=150 752 150
275 570075 .
a n an = =2 21
011
S253 45
225 525=
+ =
010
d n= =538
5
a a n d n d n dn = + = + = 4 4 25 7 4 18 4( ) ( ) ( )
009
aa
d a15
36513
13 5
42 5 35 2 75=
=
=
= = + =
008
a1000 20 1000 1 4 20 3996 4016. ( . ) . .= + = + =
007
a25 3 25 1 5 3 120 123= + = + =( )
006
a nn = +( )1 3a nn = 3an n= ( )1
005
2SOLUCIONARI
48
Resol aquestes equacions.
a) 32x= 45,3 b) 2x/4 = 32 c) (3,05)2x= 4.586,02
a)
b)
c)
Resol les equacions segents.
a) 2008x3 = 1 b) 3x25x+7 = 3 c) 8x 42x= 32
a)
b)
c)
ACTIVITATS
Calcula els cinc primers termes de les successions segents.
a) an= (1)n n b)
a) a1 = 1 a2 = +2 a3 = 3 a4 = +4 a5 = 5
b)
Calcula els termes 20 i 40 de les dues successions anteriors.
a) b)
Escriu una successi la llei de recurrncia de la qual sigui: a1 = 5, an= an1 + 5
{5, 10, 15, 20, 25, }
Escriu una successi la llei de formaci de la qual sigui:
22
90
2
65
4
126, , , , ,
an
nn =
+
2 6
13004
003
a a20 4017
802
37
3202= =
.a a20 4020= + = +40
002
a a a a a1 2 3 4 52
4
1
100
1
34
2
52=
=
= = =
an
nn =
+3
2 22
001
8 4 32 2 2 2 2 2 22 3 22 5 3 4x x x x x x =
= =
77 52 7 55
7x x x= = =
3 3 3 3 5 7 1 32
2 25 7 5 7 1 2x x x x x xxx
+ += = + = ==
2008 1 2008 2008 3 0 33 3 0. . .x x x x = = = =
008
3 05 4586 02 24586 02
3 0512 3
2, ,
log . ,
log ,,( ) = = =x x 993 x = 6,1965
2 32 2 24
5 204 4 5x xx
x/ /= = = =
32 45 345 3
321 1x x= = =,
log ,
log,
007
Successions. Progressions
917221Unidad02.qxd 19/1/09 10:45 Pgina 48
-
51
Troba el producte dels cinc primers termes duna progressi geomtrica si saps que a1 = 3 i a4 = 9.
El producte dels cinc primers termes duna progressi geomtrica s
i el primer terme s a1 = 2. Calcula r i el terme segent.
Per tant:
Calcula la suma dels 10 primers termes duna progressi geomtrica el primer terme
de la qual s a1 = 2 i la ra s r= .
Calcula el valor de n de manera que es verifiqui que: 4 + 42 + + 4n= 5.460
Es tracta de la suma duna progressi geomtrica el primer terme de la qual s a1 = 4, i r = 4; per tant:
I daqu obtenim: n = 6
La ra duna progressi geomtrica s r = i el tercer terme s . Calcula la suma dels sis primers termes de la progressi.
I, per tant:
S6
63
2 2
2 1
2 1
3
2 2
7
2 1
7 3
4 2 2
7 3
84 2 2=
=
=
= + ( )
r a aa
r= = = =2
3
2
3
22
3 13
2i
3122023
Snn
n n=
= = = =4
4 1
4 1
4
34 1 5460 4 1
3
45460 ( ) . . 44095 4 4096 46. . n= =
022
S1010 5
23 1
3 12
3 1
3 1
482
3 1241 3 1=
=
=
+ ( )
3
021
ra
aa= = = =5
1
4
5
442
2
52
2
5
4
5
P a a5 55
15
10 55
232768
9765625
2
52
2= ( ) = = ( ) = .
. .
330
20 5
25
205
5
45
2
5
2
5 a = =
32 768
9 765625
.
. .020
ra
a
a
aP= = = =
=
= ( ) =4
2
1
55
59
33 3
9 33 9 3 3 ( )33
5 73 3( ) =
019
2SOLUCIONARI
50
La suma de set nombres parells consecutius s 140. Esbrina aquests nombres.
Els nombres sn: 14, 16, 18, 20, 22, 24 i 26.
Troba el terme general i la suma dels n primers termes de la progressi aritmtica {0, 5, 10, 15, 20, }.
El primer terme duna progressi geomtrica s 0,3 i el tercer terme s 0,012.Calculan la ra i escriu-ne els cinc primers termes.
Duna progressi geomtrica sabem que i . Calculan el terme
general.
En una progressi geomtrica sabem que r= 2 i a7 = 96. Calculan el terme general.
Troba el terme 15 duna progressi geomtrica si saps que a2 = 5 i .
Troba el producte dels sis termes duna progressi geomtrica si saps que a1 = 5 i r= 0,1.
P6
5
5 51
10=
=
65
5 51
10
=
=
32
5
3 65
10
5
10015
018
a a r a15 2 13 15
13 13
125
2
5
2
5
81= =
= =
. 992
244.140.625
r = 25
017
a a r an n n n n n= = = = 7 7 7 5 7 296 2 3 2 2 3 2
016
ra
aa
a
ran= = = = = =
5
2
3 3 128
125
2
53 3
2
5
n 1
a548
625=a2
6
5=015
a a