Ejercicios de Control No linealFacultad de Ingenieria UNCSistemas de Control II

1) Analizar por simulacion el comportamiento del sistema siendo la entrada u(t) una onda cuadrada de periodo 10 y amplitudes 1 y 10 puede ser puesto como Devuelve tout,yout como vectores

Resultados de la simulacionOrden de dibujo plot(tout,yout,'color')Se nota la diferencia de repuesta de regimen ante la amplitud y las distintas pendientes de subida y bajada

2) Dado el sistema:a) Determinar los puntos de equilibrio b) Obtener la expresion analitica de la solucion en funcion de c) Determinar si existe tiempo de escape finito d) Simular y dibujar para y para que condicion inicial se cumple

Solucion con matlabsyms x x0dsolve('Dx=-x+x^2','x(0)=x0')da 1/(1-exp(t)*(-1+x0)/x0)Operando y multiplicando y dividiendo por

Como el numerador esta acotadoTomando LogaritmoDebe hacerse cero el denominadorPor definicion

GraficandoGraficando el tiempo de escape versus la condicion inicial

3) En la ecuacion Duffing forzada con : m=1 k=0.5 b=0.2a) si el termino no lineal k=0 determinar la frecuencia de resonancia aproximadab) hacer un archivo matlab que haga un barrido del modelo simulink que representa la ecuacion con valores inferiores y superiores a dicha frecuencia, calcule el maximo valor de amplitud de la salida y dibuje la respuesta en frecuenciac) hacer lo mismo con k=0.3 y comparar ambas puede ser escrita para simulacion como:

Necesitamos una estima inicial para la frecuencia de resonancia, para ello consideramos k=0 (sistema lineal)podemos decir que como hay bajo amortiguamiento Por LaplacePuede ser escrito como

Simulacion sistema lineal:se deja indeterminada la frecuencia de la onda senoidal (w) y se hace k'=0

Barrido en frecuencia, calculo de la mxima amplitud y graficacin

Simulacion sistema No lineal:se deja indeterminada como antes la frecuencia de la onda senoidal (w) y se hace k'=0.3

Se observa el caracteristico Salto en la respuesta en w=1.3 rad/seg y puede verse como una curvatura hacia la derecha de la frecuencia de resonancia

4) Simular la ecuacion de Van der Pol con para distintas dibuje el plano de fase versus Que pasa si la CI es el origen del plano de fase Que pasa si nos desplazamos un poco: para mostrar el Ciclo limite

Es parecida a la ecuacion lineal de segundo orden solo que aqui el termino de amortiguamiento b es no lineal y depende de xPositivo: Amplitud DecrecienteNegativo: Amplitud CrecienteAmplitud SostenidaExiste un ciclo limite para cualquier condicion inicialConsiderando la ecuacion excepto para el equilibrioY NO depende de la condicion inicial

12) Hallar y graficar la funcion descriptiva del elemento saturacion segn se muestratener en cuenta que la saturacion es impar y que

Procedimiento:Excitar con x(t)=Asen(wt) y obtener la salida z(t)Hallar los coeficientes fundamentales de Fourier de z(t)Calcular modulo dividido por A y argumentoUsar las propiedades de simetria para simplificarEn general la funcion descriptiva N(A,w) sera compleja y dependera de la frecuencia y amplitud de la entrada

Hay dos casos dependiendo de la amplitud A

Angulo de cruce

Por simetriaintegramos 4 veces sobre de ciclo Por ser impar

Es una funcion Real (no introduce desfasaje) y solo depende de la Amplitud Graficando N(A)/k versus A/a (normalizando)ezplot(2/pi*(asin(1/x)+1/x*sqrt(1-1/x^2)),[1,10])

13) Sea un sistema con realimentacion negativa con funcion de transferencia y no linealidad de Saturacion con k=4 a=1

a) Trazar con matlab el diagrama de Nyquist y encontrar los valores de los cruces de la curva con el eje real negativo y las respectivas frecuencias

b) Hallar los posibles ciclos limites (amplitud y frecuencia aproximadas) y su estabilidad usando el criterio de Nyquist extendido

c) Verifique por simulacion

La hipotesis es que la parte lineal sea pasabajos y no tenga picos de resonancia, lo comprobaremos con Matlab haciendo bode(G)no tiene ceros a parte real positiva (fase minima)G=zpk([-20 -20],[-1 -2 -3],[1])Definimos el Objeto LTI

nyquist(G)Hacemos un Zoom en la zona de interes

No esta bien definida la curva, entonces restringimos el rango a una zona menor (4 a 13)

nyquist(G,{4,13})

Si sacaramos los valores exactos seriaCriterio de Nyquist extendido

para los posibles ciclos lmites tenemos que:Frecuencias: cruces de G(jw) con la curva -1/N(A)-Amplitudes: valores de A para los cuales -1/N(A) coincide con el valor de de Re{G(jw)} en las intersecciones con el eje imaginario Im{G(jw)}=0 Superponemos ambas curvas

syms Asolve('8/pi*(asin(1/A)+1/A*sqrt(1-1/A^2))=0.46') da A=11.05solve('8/pi*(asin(1/A)+1/A*sqrt(1-1/A^2))=3.33')da A=1.38Tenemos que despejar A, lo hacemos con matlab simbolicoEntonces tenemos 2 posibles ciclos limites

Estabilidad de los CL:Si el punto est fuera de la zona sombreada no est rodeado por el Nyquist, entonces la amplitud tiende a disminuir, por otro lado si est dentro esta rodeado por lo que la amplitud aumenta:L1 estable, L2 inestable

La saturacion tiene valores [4, -4] (ka)la ganacia es 4 (k)Simularemos para 2 escalones de amplitud 2 y 0.2con Tf=20 seg y paso maximo=1e-2 (0.01)Simulacion:

Resultados Simulacion:

Conclusion: Coincide con el CL 1 (estable)(*) Recuerdese que los resultados son APROXIMADOS

5) Para el siguiente sistema con juego o backlash a) Comprobar si hay ciclo limte mediante simulacionb) De que dependen la Amplitud y la frecuencia del CL

Sugerencia: variar la amplitud del juego y la ganancia y dinamica de la planta

Backlash: juegoRespuesta temporal ante exitacion senoidalCaracteristica entrada salida

Dejamos fija la ganancia y variamos el juego en 0.1 y 0.5

Plano de fase Caracteristico del Backlash

Ahora dejamos el juego en 0.1 y variamos la ganancia de la planta en 5 y 10

ConclusionesExiste un ciclo lmite.La amplitud depende del juego y de la Ganancia del lazoLa frecuencia depende de la Ganancia y tambien de la dinmica de la planta. (Comprobar por simulacion variando la dinamica)6) En el sistema a) Halle los puntos de equilibriob) Linealice el sistema alrrededor de los mismosc) Calcule los autovalores y determine el tipo de cada equilibriod) Obtenga por simulacion el plano de fase para comprobar lo anterior

Definiendo las Variables de estado comoResulta el sistema de ecuacionesanulando ambas funciones simultneamenteLinealizacion alrrededor de un PuntoSe aproxima con

resultan como puntos de equilibrio calculamos las derivadas parciales autovalores Punto silla autovalores CentroY valuando

condiciones iniciales[0 0.5] oscila alrededor de [3,0]condiciones iniciales [0 -0.5] inestable

7) Verificar que la cumple los axiomas de norma en

N1) N2)

N3)

Interpretacion grafica en

8) Equivalencia de normas : probar que con X=0 se cumple trivialmenteSi uno domina a los otrosSi son todos iguales en modulo

9) Obtener las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales del tipoGraficar y analizar continuidad y derivabilidad de f(x)Sacar conclusiones por Lipschitz respecto de unicidad y existencia de la solucion

b) a)

Es continuasu derivada es se hace infinita en x=0 f(x) es continuamente diferenciable excepto justamente en no cumple Lipschitz local por lo que no podemos asegurar la unicidad de solucin en un entorno de x=0

Tenemos que analizar 2 posibilidades:Una solucin de la ecuacin en forma implcita (obtenida con Matlab) es despejando para entonces las soluciones que satisfacen la CI son vlidas para

es un punto singular de la ecuacin (equilibrio), debemos considerar la solucin cumple la ED con la CI2) como

Vemos que para x(0) exactamente cero vale la segunda solucin y para x(0)0 la primera, lo cual es conceptualmente lgico ya que la derivada siempre tiene el signo de la CI y su mdulo es monotonamente creciente Ademas el equilibrio es Inestable

b) aqu es continua, su derivada es :continuamente derivableCumple Lipschitz en un entorno de -1 (localmente) por lo que existe solucin nica en un entorno de t

la familia de curvas solucin es para la CI dada: entonces la solucin es vale para para t=1 escapa al infinito

los puntos de equilibrios son tales que con lo que tenemos Las derivadas parciales son Ejercicio 10: Para el sistema siguiente (predador-presa de Volterra) analizar el tipo de los equilibrios por linealizacion y aplicar el teorema de Bendixson para inferir la posible existencia de ciclos limites

como la matriz del sistema linealizado esvaluando en los equilibrios A) autovalores reales y de distinto signo: Punto SillaB) autovalores Imaginarios puros: Centro

Aplicando Bendixson

tenemos 3 zonas

a) b) c) esto es sobre la recta por encima o debajo de ella cambia el signo, puedo encontra una region donde no se cumpla el teorema, no podemos asegurar la ausencia de ciclos lmite Veremos por Poincar donde puede haber un CL (si lo hay):

a) en una regin rodeando al origen y no al (1,1) S=1 N=0, no puede haber CLb) en una regin rodeando a ambos S=1 N=1, tampococ) en una regin rodeando al (1,1) y no al origen S=0 N=1 entonces N=S+1, puede haber un CL en esta regin centrosilla

Ejercicio 11 Considerar la ecuacion de Van der PolAplicar Bendixson para mostrar que en la region no puede existir ciclo limite y en si puede existir

tenemos tres posibilidades segn los valores de X1: solo es cero cuando Entonces basta analizar si cambia de signo en la regiones consideradasNo es un subdominio conexo: no cumple la primera condicion

a) No hay cambio de signo: No hay CLHay cambio de signo: Posible CLb)

Estabilidad en el sentido de LyapunovEl origen (*) como punto de equilibrio es Estable (E) siExistetal queconSolucion de la ecuacionSujeta a la condicion inicial (*) Nota: siempre se puede llevar un equilibrio al origen de otro sistema equivalente haciendo una traslacion de variablespara cada(arbitrario)

El origen es Asintoticamente Estable (AE) sia) es Estableb) es AtractivoAtractivo y NO estableEl origen es Globalmente Asintoticamente Estable (GAE) siEl dominio de atraccion es todo el espacio de estadosPara ello debe haber un solo equilibrio

El origen es Exponencialmente Estable (EE) sitales queImplica cierta velocidad de convergenciaAdemas es Globalmente Exponencialmente Estable (EE) sise cumple para todoNota: un Sistema lineal con polos imaginarios puros es Estable en el sentido de Lyapunov

Ejercicio14: Mostrar que exponencialmente estable implicaa) estableb) asintoticamente estableHay que mostrar que el equilibrio es Estable y adems atractivoPor la condicion de EEtales queHaciendose satisface la estabilidadadems si es atractivo

Ejercicio15 Dibujar un diagrama de Venn que muestre las relaciones entre los tipos de estabilidad para sistemas no lineles autonomosPropiedadesEstabilidadAtractividad GlobalidadEstableAsintoticamente estableGlobalmente asintoticamente estableExponencialmente estableGlobalmente exponencialmente estable

Ejercicio 16 Determinar si las siguientes funciones escalares son localmente definidas positivas o definidas positivas

Es continuaDefinida positivaEs continuaDefinida positiva

Es continuano es definida positivani localmente definida positiva ya que no hay un entorno del origen donde sea W(X1,X2)>0es semidefinida positiva en la regin dibujada

Estabilidad asintotica: idem con Estabildad de Lyapunovel origen es estable si existe una funcion escalar V (energia ficticia ) continuamente diferenciable y localmente Definida Positiva y r>0 tal que La derivada temporal de la funcion de Lyapunov a lo largo de las trayectorias del sistema es menor o igual que 0 lo que implica energia decreciente o constantesi ademas vale para todo x es Globalmente Asintoticamente Estable

tomando resulta definiendo la candidata de Lyapunov (cinetica + potencial) aseguraque entonces la condicin definida positiva en el intervalo Ecuacion de LienardEjercicio 17

Derivando V respecto al tiempoRegla de la cadenaahora introducimos las trayectorias del sistema por lo tanto si Semidefinida positiva: EstableDefinida positiva:Asintoticamente estable