Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 143-154

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Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen: Soluciones de los problemas propuestos anteriormente y que tratan de un “Problema de

los abuelos”, series numéricas y números cómplices. El método utilizado se basa en

tablas de doble entrada para analizar las soluciones, las propiedades de los números y

algo de lógica. Exponemos las soluciones aportadas por los lectores y sus comentarios.

Se proponen nuevos ejercicios que tienen que ver con los reversos de los números de tres

cifras y con los triángulos mágicos.

Palabras clave: Solución de problemas. Tablas de doble entrada, propiedades de los números. Números

cómplices y reverso de un número. Triángulos mágicos. Uso en el aula de ejercicios

singulares.

Abstract: Proposed solutions to the problems above and deal with a “grandparents’ problem”,

numerical series and numbers accomplices. The method used is based on double entry

tables to analyse solutions, properties of numbers and some logic. We present the

solutions provided by readers and comments. New exercises which have to do with the

reverse of three-digit numbers and magic triangles are proposed.

Keywords: Solving problems. Double entry tables, number properties. Numbers accomplices and

reverse of a number. Magic Triangles. Classroom use singular exercises.

Empezaremos por dar las respuestas y comentarios a los problemas planteados con anterioridad.

Problema 1. El aperitivo de los abuelos

Los tres abuelos toman el aperitivo con sus tres nietos mayores y uno de ellos pregunta:

-¿Quién de ustedes es el mayor y qué edades tienen?

Los abuelos responden dando cada uno una pista sobre ello.

- Nuestras edades son distintas y están entre 60 y 80 años y la suma de las edades de los dos más

viejos es un número cuadrado.

- La suma del más viejo y del más joven es el primer número capicúa menor que el cuadrado

que dice la abuela.

- La suma de los dos más jóvenes es el segundo primo menor que el capicúa que dices tú.

Dígannos ahora la suma de los dígitos del producto de nuestras edades. Aquí tienen una

calculadora.

Solución:

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com

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Llamemos k, p y w a las edades de los abuelos, con k < p < w. Teniendo en cuenta el enunciado

y las propiedades numéricas, se pueden escribir las siguientes igualdades y desigualdades:

A. 60 < k < p < w < 80,

B. 120 < p + w = n2 < 160, donde n

2 es un número cuadrado.

C. k + w = 1b1 < n2, donde 1b1 es un número de tres cifras del que desconocemos la central,

pues los únicos números capicúas no cuadrados son 131 y 151.

D. 120 < k + w = aba < 160, donde aba representa un número de tres cifras menor que 160.

E. k + p =m < 1b1, donde m es un número primo.

Actuamos ahora con lógica y aplicando lo escrito anteriormente.

Los cuadrados entre 120 y 160 son: 121 (112) y 144 (12

2) pues 13

2 = 169 ya pasa del extremo

superior del intervalo considerado y 121 = 112, no permite que se cumplan otras afirmaciones del

enunciado (no permitiría C ni E).

Por B, p + w = 144

Y por C, k + w sería igual a 141

Dado que los números primos que encontramos en este intervalo son: 127, 131, 137, 139, 149,

151 y 157, el valor de k + p sería 137, puesto que los dos primos menores que el capicúa 141 son 139

y 137.

Resolviendo ahora el sistema formado por las tres ecuaciones:

144

141

137

p w

k w

k p

Obtenemos los valores de k = 67, p = 70 y w = 74.

Pero esta no es la respuesta a lo planteado, y muchos alumnos se quedarían ahí, sin recordar que

el problema pide la suma de los dígitos del producto de nuestras edades.

Respuesta:

67·70·74 = 51 590, y la suma de sus cifras es: 5 + 1 + 5 + 5 + 9 + 0 = 20.

(Problema adaptado de uno propuesto en trottermath.net)

Problema 2, Series de números

Encuentra n números naturales diferentes a1, a2, a3,...an, tales que la suma de los números sea

igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.

Seguramente nuestros avispados lectores encontrarían que el enunciado del Problema 2, Series

de números, era demasiado elemental, pese al lenguaje algebraico utilizado.

En realidad el enunciado debería haber sido:

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Problema 2, Series de números

Encuentra n números naturales diferentes a1 < a2 < a3 < ... < an, tales que la suma de los números

sea igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.

Y para no tenerlos esperando otros tres meses por las posibles soluciones, las damos ahora.

Examinaremos dos grandes grupos y, puesto que vamos a generalizar, ampliamos el enunciado

a n números enteros:

A. Los números de la serie son consecutivos

B. Los números de la serie no son consecutivos

Y dentro de cada apartado

1. Los números son todos positivos

2. Los números son todos negativos

3. Los primeros números son negativos y los últimos positivos.

Veamos cada caso.

A1. Enteros consecutivos positivos

Encontrar series de números enteros positivos y consecutivos a1 < a2 < a3<…<an, tales que la

suma de todos ellos sea igual al producto del primero por el último.

Probando con distintos valores para a1 y n encontramos tres series que cumplen las condiciones

como puede verse en la tabla 1.

La serie de números constituye una progresión aritmética de diferencia la unidad.

Comentarios.

Si x es el primero de los términos, e y es la cantidad de términos, entonces el último término

es x + y - 1.

La suma de los y términos de la p. a. es 1 2 1

2 2

x x y x yy y

que ha de ser igual

al producto ( 1)x x y . Por ello, concluimos en una ecuación de segundo grado:

2 2 2 22 2 2 2 2 2xy y y x xy x y y x x

2 22 2 0x x y y

2 22 2 0x x y y

y resolviendo

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2 2 2 2 22 4 4 2( ) 1 1 2( ) 1 2 2 1 1 2 1

4 2 2 2

y y y y y y y y yx

obtenemos la expresión 22 112 yyx

Término S1 S2 S3

a1 3 15 85

n 4 21 120

an 6 35 204

a1 3 15 85 a22 106 a43 127 a64 148 a85 169 a106 190

a2 4 16 86 a23 107 a44 128 a65 149 a86 170 a107 191

a3 5 17 87 a24 108 a45 129 a66 150 a87 171 a108 192

a4 6 18 88 a25 109 a46 130 a67 151 a88 172 a109 193

a5 19 89 a26 110 a47 131 a68 152 a89 173 a110 194

a6 20 90 a27 111 a48 132 a69 153 a90 174 a111 195

a7 21 91 a28 112 a49 133 a70 154 a91 175 a112 196

a8 22 92 a29 113 a50 134 a71 155 a92 176 a113 197

a9 23 93 a30 114 a51 135 a72 156 a93 177 a114 198

a10 24 94 a31 115 a52 136 a73 157 a94 178 a115 199

a11 25 95 a32 116 a53 137 a74 158 a95 179 a116 200

a12 26 96 a33 117 a54 138 a75 159 a96 180 a117 201

a13 27 97 a34 118 a55 139 a76 160 a97 181 a118 202

a14 28 98 a35 119 a56 140 a77 161 a98 182 a119 203

a15 29 99 a36 120 a57 141 a78 162 a99 183 a120 204

a16 30 100 a37 121 a58 142 a79 163 a100 184

a17 31 101 a38 122 a59 143 a80 164 a101 185

a18 32 102 a39 123 a60 144 a81 165 a102 186

a19 33 103 a40 124 a61 145 a82 166 a103 187

a20 34 104 a41 125 a62 146 a83 167 a104 188

a21 35 105 a42 126 a63 147 a84 168 a105 189

Suma ai 18 525 1995 2436 2877 3318 3759 2955 17340

a1·an 18 525

17340

Tabla1. Tres series de números enteros positivos y consecutivos.

Por la Fórmula de Euclides para generar tríos de números pitagóricos dados un par de números

enteros positivos m y n, en este caso suponemos m = x > n = y ± 1, podemos hacer 2 2y a b ,

1 2y ab y 2 2z a b se deduce 2 21 1 2y a b ab o 2 22 1a ab b Si sumamos 2b2

a

ambos miembros de la ecuación, nos queda 22 2 2 2 22 2 1 2 1a ab b b a b b n , donde n

es un parámetro auxiliar. De aquí: 2 211

2b n .

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De 2 2a b n , se sigue que a n b . Por tanto, b es un entero si 21

12

n es un cuadrado.

Podemos ahora encontrar empíricamente valores para b. En la siguiente tabla los tenemos. Aparece

una regularidad que nos ayuda a rellenarla más fácilmente.

Por ejemplo, bn = an-1 y an = 2an-1+bn-1.

n b a y x an Suma de los y

términos Producto de a1·an

1 1 2 4 3 6 18 18

3 2 5 21 15 35 525 525

7 5 12 120 85 204 17340 17340

17 12 29 697 493 1189 586177 586177

41 29 70 4060 2871 6930 19896030 19896030

99 70 169 23661 16731 40391 675781821 675781821

239 169 408 137904 97513 235416 22956120408 22956120408

577 408 985 803761 568345 137210

5 7,79829E+11 7,79829E+11

Evidentemente no hay casos A2 y ya veremos después que ocurre con el A3.

En el caso B1 tendríamos:

Encuentra n números diferentes naturales no consecutivos, a1 < a2 < a3< …<an tales que la suma

de ellos sea igual al producto del primero por el último.

a1 n p an a2 a3 a4 a5 Suma ai a1·an Fórmula general a1 a2 a3 a4 a5

2 3 5 5 3 5 10 10

2 3 5

2 3 6 6 4 6 12 12 2 4 6

2 3 7 7 5 7 14 14 2 5 7

2 3 8 8 6 8 16 16 2 6 8

2 3 9 9 7 9 18 18 2 7 9

Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.

Para el primer término 2 y con n igual a 4:

a1 n p an a2 a3 a4 a5 Suma ai a1·an Fórmula general a1 a2 a3 a4 a5

2 4 9 9 3 4 9 18 18

2 3 4 9

2 4 10 10 3 5 10 20 20 2 3 5 10

2 4 11 11 3 6 11 22 22 2 3 6 11

2 4 12 12 3 7 12 24 24 2 3 7 12

2 4 13 13 3 8 13 26 26 2 3 8 13

Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.

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Para a1 = 3 y n = 4:

a1 n p an a2 a3 a4 a5 Suma ai a1·an Fórmula general a1 a2 a3 a4 a5

3 4 7 7 5 6 7 21 21

3 5 6 7

3 4 8 8 6 7 8 24 24 3 6 7 8

3 4 9 9 7 8 9 27 27 3 7 8 9

3 4 10 10 8 9 10 30 30 3 8 9 10

3 4 11 11 9 10 11 33 33 3 9 10 11

Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.

Y para a1 = 3 y n = 5:

a1 n p an a2 a3 a4 a5 Suma ai a1·an Fórmula general a1 a2 a3 a4 a5

3 5 9 9 4 5 6 9 27 27

3 4 5 6 9

3 5 10 10 4 6 7 10 30 30 3 4 6 7 10

3 5 10 10 4 5 8 10 30 30 3 4 5 8 10

3 5 11 11 4 5 10 11 33 33 3 4 5 10 11

3 5 11 11 4 6 9 11 33 33 3 4 6 9 11

3 5 11 11 4 7 8 11 33 33 3 4 7 8 11

3 5 11 11 5 6 8 11 33 33 3 5 6 8 11

3 5 12 12 4 6 11 12 36 36 3 4 6 11 12

3 5 12 12 4 7 10 12 36 36 3 4 7 10 12

3 5 12 12 4 8 9 12 36 36 3 4 8 9 12

3 5 12 12 5 6 10 12 36 36 3 5 6 10 12

3 5 12 12 5 7 9 12 36 36 3 5 7 9 12

3 5 12 12 6 7 8 12 36 36 3 6 7 8 12

Y aumentando el valor de p, tenemos infinitas soluciones.

Y no hay tampoco, claramente, caso B2, ya que la suma sería negativa y el producto positivo.

Si los términos no han de ser consecutivos, tenemos los siguientes ejemplos de series que

comienzan con un número negativo y terminan con uno positivo, dando una suma y un producto

negativos. No se encuentran series que comiencen con un número negativo y terminen en uno positivo

cumpliendo las condiciones del problema.

a1 n p an a2 a3 a4 a5 Suma ai a1·an Fórmula general a1 a2 a3 a4 a5

-3 3 1 1 -1 1 -3 -3

-3 -1 1

-4 4 1 1 -2 -1 3 -4 -4 -4 -2 -1 3

-6 5 3 3 -5 -4 -3 0 -18 -18 -6 -5 -4 -3 0

-5 4 1 2 -4 -3 2 -10 -10 -5 -4 -3 2

-7 5 2 2 -4 -3 -2 2 -14 -14 -7 -4 -3 -2 2

Este problema constituye, a nuestro parecer, un excelente ejercicio de investigación a proponer

a nuestros alumnos adaptando cada variante al nivel adecuado.

(Adaptado de Math Tricks Brain Twisters and Puzzles, 155)

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No obstante, nuestro amigo Luis Ángel Blanco Fernández, asumió el reto tal y como venía en la

revista y nos envió su solución personal:

Problema 2. Series de números

Encuentra n números naturales diferentes a1, a2, a3,...an, tales que la suma de los números

sea igual al producto del primero y el último: a1·an. Generaliza las soluciones.

"Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con

diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros

números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio

la solución: 5 050.

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ...

etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales

sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 · 101 = 5 050."

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/progsuma.htm

Conociendo esta anécdota, es fácil generalizar que la suma de n términos consecutivos de una

progresión aritmética es igual a la semisuma del primero a1 y último término an multiplicado por el número de

términos que tenga la progresión.

S= n(a 1+an)/2

Teniendo en cuenta esto, podemos establecer las dos ecuaciones que se deducen del enunciado del

problema:

1.- n(a1+an)/2= a1*an

2.- an=a1+n1

Sustituyendo la ecuación 2 en 1, operando y despejando:

n(a1+ a1+n1)/2= a1( a1+n1)

(2na1+n2n)/2= a1

2+na1a1

2na1+n2n= 2(a1

2+na1a1)

2na1+n2n= 2a1

2+2na12a1

n2n= 2a1

22a1

2a122a1 n

2+n=0

obtenemos la ecuación de 2º grado:

3.- a12a1 (n(n1))/2 = 0

siendo los términos de la ecuación: a = 1, b = 1, c = (n(n1))/2

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Como para resolver la ecuación para valores de n perteneciente al conjunto de números naturales y de

a1 perteneciente al conjunto de números naturales, la raíz cuadrada de b2 4ac ha de ser un número

cuadrado para obtener una raíz cuadrada que sea un número natural. Como a = 1 y b = 1 podemos

simplificar que la raíz cuadrada de 2n(n1)+1 ha de ser un número natural para poder calcular un valor

perteneciente a N de a1.

Conocidos los parámetros sólo queda ir probando para distintos valores de n, cuáles cumplen que

2n(n1)+1 son números cuadrados y de los que se obtiene una raíz cuadrada perteneciente a los números

Sofía Almeida Brunonaturales.

Conocidos los n, naturales,

para calcular el término a1 se suma

1 a la raíz cuadrada y se divide por

dos. De las dos soluciones

únicamente nos sirve la positiva.

He probado en una hoja de

Excel valores de n comprendidos

entre 2 y 1000 encontrando cuatro

soluciones que subrayo en amarillo.

Soluciones:

Para valores de n entre 2 y 1000, encontramos cuatro soluciones que cumplen con los requisitos del

problema:

1.- {3, 4, 5, 6} ; n=4

2.- {15, 16, 17, ..., 33, 34, 35}; n=21

3.- {85, 86, 87, ..., 202, 203, 204}; n=120

4.- {493, 494, 495, ..., 1187, 1188, 1189}; n=697

Para generalizar las soluciones tenemos que tener en cuenta que n, a1 y an son números naturales,

y además la raíz cuadrada de 2n(n-1)+1 ha de ser un número natural.

Bonito problema en el que hay que contar con unos conocimientos matemáticos básicos de sucesiones

aritméticas y de álgebra (ecuaciones de 2º grado), junto con la necesidad de utilizar algún tipo de

programación informática o de diseño de hojas de cálculo para explorar sistemáticamente las infinitas

soluciones posibles del problema.

Este problema puede generar otros del tipo ¿Existen soluciones para series en que la diferencia entre dos

términos consecutivos sea 2, 3, 4,...?

Saludos.

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Tomamos nota de la sugerencia y recordamos que también en el número anterior el incansable

Luis Blanco nos envió la propuesta de este otro interesante problema:

Problema 3. Números cómplices.

El reverso de un número es el número que se obtiene escribiendo el

número de derecha a izquierda. Por ejemplo, el reverso de 35 es 53 y

el de 235 es 532.

Dos números enteros son cómplices si se cumplen tres condiciones:

1.- Los números se escriben con la misma cantidad de cifras

2.- Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo 11 no

sirve) y los números no son reversos entre ellos (por ejemplo 87 y 78 no sirven)

3.- El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.

Por ejemplo:

Los números 42 y 12 son cómplices, puesto que tienen 2 cifras cada uno, no son reversos de sí mismos

ni entre ellos y el producto de los números es igual al producto de sus reversos 42×12=24×21=504.

¿Puedes encontrar más números cómplices de dos cifras?

Los comentarios y soluciones que vamos a reproducir aquí se corresponden a los obtenidos en el

Foro del Blog “Proyecto Newton: Matemáticas para la vida”, Rincón matemático para las familias,

cuyo administrador es el propio Luis.

En esta dirección pueden ver cómo se llega a la solución con aportaciones de los lectores del

blog y las contestaciones del propio Luis.

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/edublogs/proyectonewton/2014/03/09/numeros-complices/

Estos son los pares de números cómplices de dos cifras:

(12/42) (12/63) (12/84) (13/93) (14/82) (21/48) (23/64)

(23/96) (24/63) (24/84) (26/93) (28/41) (32/46) (32/69)

(34/86) (36/42) (36/84) (39/62) (42/48) (43/68) (48/63)

(62/13) (64/69) (24/21) (36/21) (31/26) (39/31) (96/46).

Querríamos ahora ver problemas del VII Torneo de 6º de Primaria de MATEMÁTICAS de la

Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, realizado en 2013, especialmente

para observar cómo los resuelven y presentan en los protocolos suministrados.

Hemos escaneado hojas de respuesta de algunos alumnos en las que, como ya saben, no figuran

sus nombres.

En el primer problema presentamos dos soluciones de alumnos diferentes con el fin de observar

dos formas distintas de escribir sus pensamientos.

En la primera observamos una incipiente algebrización, muy personal, que nos indica la fuerte

preparación aritmética básica que constituye en sí misma la existencia del conocimiento intuitivo de

un preálgebra.

El segundo alumno aborda el problema desde la lógica más natural y, con ayuda de la

aritmética, llega a los resultados esperados. Resulta interesante la ingenuidad con que escribe sus

pensamientos.

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En la parte trasera de la hoja comenta:

En el segundo problema, de tipo

lógico y secuencial, nos sorprende la

sencillez y la eficacia de la solución así

como la utilización de gráficos en la

búsqueda y presentación de la solución:

Soluciones varias y, de nuevo, el Torneo. Problemas Comentados XXXVIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

153 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 87 noviembre de 2014

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Para el tercer problema, de investigación operativa, los alumnos no tienen casi dificultades para

presentar las distintas posibilidades de manera organizada.

Y en el cuarto, sobre orientación

espacial, lo encuentran tan sencillo que no ven

la necesidad de dar explicaciones sobre el

modo de pensar que les ha llevado a la

solución. Quizá en esto deberíamos insistir

mucho para lograr que SIEMPRE lo hagan.

El quinto problema de la prueba es muy

sencillo, se trata de repetir unas trayectorias

contando las señales indicadas para verificar

un aserto sobre ellas. La mayoría de los

alumnos realizan el conteo mentalmente y sólo

expresan el resultado final. Pero hay alumnos

buenos o bien adiestrados que son capaces de

realizar y presentar la tarea de manera

adecuada.

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Y, finalmente, dos problemas para resolver y comentar. El primero TRIÁNGULO

NUMÉRICO, tiene su origen en el siguiente: (NOMBRES EN TRIANGLES) Problemas Olímpicos

Nº 71, octubre 2013 Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana “Al-

Khwarizmi”. Problemas de Nivel A (Primer Ciclo de Secundaria). Fase Autonómica – Prueba de

Velocidad. El segundo viene a cuento de los números reversos, vistos en el problema propuesto por

Luis Blanco.

Triángulo numérico

En los círculos de este triángulo coloca las

nueve cifras del uno al nueve, sin repetirlas, de forma

tal que la suma de cada lado sea 22.

Números reversos

Hallar los números de tres cifras tales que la suma de sus cifras multiplicada por 11, es igual a la

diferencia entre dicho número y su “reverso”.

(Adaptado de Math Tricks, 134)

Y ya está bien. Habrá un próximo artículo donde veremos la respuesta a estos últimos

problemas y plantearemos algunos nuevos, además de dedicar nuestra atención a las comunicaciones

suyas que nos lleguen.

Insistimos: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los

alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas

propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el

problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y

también al resto de lectores. Vamos, anímense…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

Un saludo afectuoso del Club Matemático.