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NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA
Prof. Carlos R. A. Lima
CAPÍTULO 7
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHORÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO
Edição de janeiro de 2009
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CAPÍTULO 07 – SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO
ÍNDICE 7.1- Partícula Livre 7.2- Potencial Degrau 7.3- Barreira de Potencial 7.4- Poços de Potenciais Finito e Infinito 7.5- Oscilador Harmônico Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Física Moderna. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.
Lista de Exercícios 1- Por que na mecânica clássica não é possível ter-se E V x< a f? Por que isto é possível na mecânica
quântica , desde que haja alguma região na qual ? E V x> a f 2- Se duas ondas de mesmas amplitudes se propagam em sentidos contrários obtém-se uma onda estacionária. Que tipo de onda obtém-se se as amplitudes não forem iguais? 3- O que você entende exatamente sobre o fluxo de probabilidade? 4- O que significa exatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é unitário para uma partícula incidindo sobre um potencial degrau com energia total menor do que a altura do degrau? O que significa exatamente afirmar que o coeficiente de reflexão é menor do que a unidade se a energia total for maior que a altura do degrau? O coeficiente de reflexão pode ser maior que a unidade? 5- Uma partícula incide sobre uma barreira de potencial, com energia total menor do que a altura da barreira, e é refletida. A reflexão envolve apenas a primeira descontinuidade do potencial? Se a outra descontinuidade fosse retirada, de forma que a barreira se transformasse em um degrau, o coeficiente de reflexão mudaria? 6- No sol, dois núcleos de Hidrogênio em movimento térmico violento podem colidir penetrando a barreira coulombiana que os separam. A massa do núcleo resultante é menor do que a soma das massas dos dois núcleos de iniciais, de forma que ocorre grande liberação de energia. Este processo de fusão nuclear é responsável pela emissão de calor pelo sol. Quais seriam as conseqüências para a vida na terra se isso não pudesse ocorrer? 7- Por que os poços quadrados finitos têm apenas um número finito de autovalores ligados? Quais são as características dos autovalores não ligados? 8- Como seria uma autofunção de onda estacionária para um autovalor não ligado de um poço de potencial quadrado finito? 9- Se as autofunções de um potencial têm paridades definidas, a de menor energia tem sempre paridade positiva. Explique por que. 10- Para o caso de um degrau de potencial com em que os coeficientes de reflexão e transmissão
são
E V> 0
R k kk k
=−+FHG
IKJ
1 2
1 2
2
e T k kk k
=+
4 1 2
1 22b g , mostre que R T+ = 1.
11- Mostre que a expressão T senh k aEV
EV
= +−FHGIKJ
L
N
MMMM
O
Q
PPPP
−
14 1
22
0 0
1
, para o coeficiente de transmissão para a
penetração de uma barreira de potencial retangular, se reduz a T EV
EV
e k a≈ −FHGIKJ
−16 10 0
2 2 se . k a2 1>>
49
50
V12- (a) Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total incidente sobre uma barreira de potencial retangular de altura V
E eV= 2e0 4= e largura a m= −10 10 (dimensão atômica), usando a
relação exata e aproximada citadas na questão anterior. (b) Repita os cálculos para uma barreira de largura . a m= −10 9
13- Um próton e um dêutron ( partícula de mesma carga do próton, mas de massa duas vezes maior) tentam penetrar em uma barreira de potencial retangular de altura V Me0 10 V= e largura (dimensão nuclear). As duas partículas têm energias totais
a = −10 14 mE MeV= 3 . Use argumentos qualitativos para prevê qual
das partículas tem mais chance de consegui-lo. 14- Um átomo do gás nobre Kriptônio exerce um potencial atrativo sobre um elétron não ligado, que varia muito bruscamente. Devido a isto, é uma aproximação razoável descrever o potencial como um poço quadrado atrativo, de dimensão da ordem do raio atômico , 4 10 10× − m . As experiências que um elétron com energia cinética , nas regiões fora do átomo, pode atravessá-lo sem sofrer reflexão alguma. Esse é o fenômeno do efeito Ramsauer para um poço quadrado atrativo. Use essas informações para fazer uma estimativa da profundidade do poço de potencial quadrado. (Sugestão: Use o fato que cabe exatamente um comprimento de onda de de Broglie na largura do poço nas condições do efeito Ramsauer).
E e0,7= V
g
kg
m
15- Sabendo–se que as massas do elétron e do nêutron são respectivamente, e
, faça uma estimativa das energias de ponto zero de um elétron e de um nêutron em
um poço quadrado infinito de largura igual ao diâmetro nuclear
em k319,1 10−= ×
nm 271,67 10 −= ×
a = −10 14 , e compare esses resultados. 16- Sabendo-se que as energias permitidas para uma partícula num poço de potencial infinito são
, onde é a energia do estado fundamental, mostre que a diferença fracional em energia entre
autovalores adjacentes é
E n En =2
0 E0
ΔEE
nn
n
n
=+2 12 . Use esta relação para discutir o limite clássico do sistema.
17- Aplique a condição de normalização para mostrar que o valor da constante multiplicativa para a
autofunção com n do poço de potencial infinito é = 3 B a3 2= . 18- Use as autofunções ψ 1 e ψ 3 para o poço de potencial infinito para mostra a propriedade de ortogonalidade
ψ ψ1 3 0x x dxa f a f =−∞
+∞z
(Sugestão: Use a relação ( ) ( )u v u v u v1cos cos cos cos2⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ ).
19- A constante da força restauradora K para as vibrações interatômicas de uma molécula diatômica típica é da ordem de 103 2J m/ . (a) Use esse valor para fazer uma estimativa da energia de ponto zero das vibrações moleculares. (b) Faça uma estimativa da diferença em energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado da molécula vibrante. (c) A partir dessa estimativa, determine a energia do fóton emitido por vibrações da distribuição de carga quando o sistema faz uma transição entre o primeiro estado excitado e o estado fundamental. (d) Determine o comprimento de onda desta transição e descubra em que região do espectro eletromagnético encontra-se a radiação emitida.