BAB IIISOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR3.1 Rumusan Masalah Persoalan mencari solusi persamaan yang lazim disebut akar persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk . Yaitu nilai sedemikian sehingga sama dengan nol.Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya, misalnya pemecahannyaadalah dengan memindahka -10 ke ruas kanan sehingga menjadi , sehingga solusi atau akarnya adalah . Begitu juga dengan persamaan kuadratik seperti akar-akarnya mudah ditemukan dengan cara pemfaktoran menjadi sehingga dan Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nirlanjar (non linear) yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya. Misalnya :Tentukan akar riil terkecil dari :

Contoh di atas memperlihatkan bentuk persamaan yang rumit atau kompleks yang tidak dapat dipecahkan secara analitik. Bila metode analitik tidak dapat menyelesaikan persamaan, maka kita masih bisa mencari solusinya dengan menggunakan metode numerik.

3.2. Metode Pencarian AkarDalam metode numerik, pencarian akar dilakukan secaralelaran (iteratif). Secara umum, metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar :

1. Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method)Metode ini mencari akar dalam selang Selang sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan lelarannya selalu konvergen menuju ke akar, karena itu metode tertutup sering disebut sebagai metode konvergen.2. Metode terbukaMetode terbuka tidak memerlukan selangyang mengandung akar, yang diperlukan adalah tebakan (guest) awal akar. Kemudian dengan prosedur lelaran, kita menggunakannya untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu metode terbuka tidak selalu menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadangkala ia divergen.

3.3 Metode TertutupSeperti yang telah dijelaskan, metode tertutup memerlukan selang[a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar. Sebagaimana namanya, selang tersebut mengurung akar sejati. Strategi yang dipakai adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang tersebut semakin sempit dan karenanya menuju akar yang benar. Dalam sebuah selang mungkin terdapat lebih dari satu buah akar atau tidak ada akar sama sekali. Secara grafik dapat ditunjukkan bahwa jika : maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil.Gambar 1. Banyaknya akar ganjil, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali

Gambar 2. Banyaknya akar genapSyarat Cukup Keberadaan AkarJika nilai fungsi berbeda tanda tanda di ujung-ujung selang, pastilah terdapat sedikit satu buah akar di dalam selang tersebut. Syarat cukup keberadaan akar persamaan ditulis sebagai berikut:Jika dan menerus didalam selang , makapaling sedikit terdapat satu buah akar persamaan di dalam selang.

Gambar 3. Lokasi akarSyarat tersebut disebut sebagai syarat cukup (bukan syarat perlu) sebab meskipun nilai nilai ujung selang tidak berbeda tanda, mungkin saja terdapat akar di dalam selangtersebut.Ada dua masalah yang terjadikarenaketidaktepatanmengambil selang yaitu :1. Bila di dalam selang terdapat lebih dari satu buah akar. Perlu diingat bahwa sekali suatu metode tertutup digunakan untuk mencari akar di dalam selang. Karena itu bila mengambil selang. Yang mengandung lebih dari satu akar, maka hanya satu buah akar saja yang berhasil ditemukan2. Bila mengambil selang yang tidak memenuhi syarat cukup sehingga mungkin sampai pada kesimpulan tidak terdapat akar di dalam selangtersebut, padahal seharusnya ada.Untuk mengatasi kedua masalah di atas, pengguna metode tertutup disarankan untuk mengambil selang yang berukuran cukup kecil yang memuat hanya satu akar. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam memilih selang tersebut, yaitu :1. Pendekatan pertama yaitu membuat grafik fungsi di bidang , lalu melihat dimana perpotongannya dengan sumbu . Dari sini kita dapat mengira-ngira selang yang memuat titik potong tersebut. Grafik fungsi dapat dibuat dengan program yang ditulis sendiri, atau lebih praktis menggunakan paket program yang dapat membuat grafik fungsi.2. Pendekatan kedua adalah dengan mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak tetap. Jarak titik ini dapat diatur cukup kecil. Jika tanda fungsi berubah pada sebuah selang, pasti terdapat minimal satu akar didalamnya. Keberhasilan dari pendekatan ini bergantung pada jarak antara titik-titik absis. Semakin kecil jarak titik absis, semakin besar peluang menemukan selang yang mengandung hanya sebuah akar.Ada dua metode klasik yang termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi.

3.3.1. Metode Bagidua2Metode bagi dua ini dilakukan untuk pencarian akar suatu persamaan dengan cara selalu membagi dua selang sehingga diperoleh nilai fungsi untuk titik tengahselang.Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval[,], serta dan mempunyai tanda berlawanan, artinya karena itu terdapat minimal satu akar pada interval [,]. Interval dalam metode ini selalu dibagi dua sama lebar, jika fungsi berubah tanda sepanjang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval. Proses ini diulangi sampai ukuran interval yag baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan toleransi kesalahan yang diberikan.Misalkan kita telah menentukan selang [a,b] sehingga . Pada setiap kali lelaran, selang [a,b] kita bagi dua di , sehingga terdapat dua buah subselang yang berukuran sama yaitu selang dan . Selang yang diambil untuk lelaran berikutnya adalah subselang yang memuat akar, bergantung pada apakah .

Langkah pencarian akar dengan metode bagi dua :Langkah 1 : Pilih selang inteval pencarian awal dimanaadalah batas bawahdan adalah batas atas. Kemudian lakukan pengujian apakah akar terdapat dalaminterval , yaitu . < 0.Langkah 2 : Taksir nilai akar () dalam selang dengan cara membagi dua selangLangkah 3 : Lakukan pengujian terhadap nilai fungsi untuk mengetahui intevalpencarian berikutnya , yaitu dengan cara : Jika . < 0 , berarti akar terletak pada interval di bawah , sehingga interval pencarian selanjutnya laluulangi langkah ke 2. Jika . >0 , berarti akar terletak pada interval di atas sehingga interval pencarian selanjutnya laluulangi langkah ke 2. Jika . =0 , berarti akar sama dengan maka hentikan perhitungan.Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut:1. Lebar selang baru , yang dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar2. Nilai fungsi di hampiran akar. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingandibenarkan. Namun jika kembali ke konsep awal bahwa dua buah bilangan riil tidak dapat dibandingkan kesamaannya karena representasi di dalam mesin tidak tepat, maka kita dapat menggunakan bilangan yang sangat kecil (misalnya epsilon mesin) sebagai pengganti nilai 0. Dengan demikian, menguji kesamaan dapat kita hampiridengan.3. Galat relative hampiran akar :yang dalam hal ini galat relative hampiran yang diinginkan.Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan :

Contoh Soal :1. Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (a) =0.001 dengan menggunakan range x=[1,0]

Penyelesaian :Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b (xr) = nilai tengah = xmaka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan.

2. Carilah nilai akar dari persamaan Penyelesaian :Pilih Karena maka salah satu akar terletak di antara 1 dan 2 . Oleh karena itu Kemudian karena maka akar karakteristik terletak antara 1 dan 1,5.Kondisi ini memberikan Karena (negatif), nilai akar yang dicari terletak diantara 1,25 dan 1,5. Sehingga diperoleh

Bila prosedur diatas diulang kembali hingga diperoleh nilai-nilai aproksimasi berikut :

3. Carilah lokasi akar pada fungsin menggunakan metode bagi dua sampai 2 iterasi pada selang [2,9]Penyelesaian :

jadi memang terdapat akar pada selang [2,9]Iterasi 1Bagi 2 selang [2:9]Panjang selang [2:9] adalah 9-2=7Panjang setengah selang [2:9] adalah 7:2 = 3,5Titik tengah selang [2:9] adalah disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi 1.Galat/error= [akar sejati akar hampiran] = [5 5,5] = 0,5Karena ingin lanjut ke iterasi 2 maka bagi 2 selang [2:9] dengan titik tengah Cek selang mana yang ada akarnya :

jadi terdapat akar pada selang [2:5,5] jadi tidak terdapat akar pada selang [5,5:9]Iterasi 2Bagi 2 selang [2:5,5]Panjang selang [2:5,5] adalah 5,5 2 = 3,5Panjang setengah selang [2:5,5] adalah 3,5 : 2 = 1,75Titik tengah selang [2:5,5] adalah disebut solusi hampiran lokasi akar untuk iterasi 2.Galat/error= [akar sejati akar hampiran] = [5 3,75] = 1,254. Selesaikan persamaan dalam interval [1,2] menggunakan metode bagi dua sampai 5 iterasi.Penyelesaian :Iterasi 1 :

Iterasi 2:Diamati . > 0, maka

Iterasi 3:Diamati . < 0, maka

Iterasi 4:Diamati . > 0, maka

Iterasi 5:Diamati .