1

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM Program Studi Fisika Jalan Ganesha 10 Bandung 40132, Telp. +62-22-2500834, Fax. +62-22-2506452 Homepage: http://www.fi.itb.ac.id/ Email: fisika@fi.itb.ac.id

Solusi Ujian I FI-1201 Fisika Dasar IIA (4 SKS), Semester II, Tahun Akademik 2015/2016

Sabtu, 12 Maret 2016, 09.00 – 11.00 WIB (2 jam) (Jika diperlukan gunakan 0 = 8,85 C2·N-2·m-2dan0 = 4·m·)

1. Di dalam sebuah ruang dua dimensi terdapat dua muatan titik QA = 6106 C dan QB = 3106 C. Muatan

QA berada di pusat koordinat sedangkan muatan QB berada di suatu titik yang belum diketahui. Untuk mengetahui posisi QB seorang pengamat menggeser-geser sebuah muatan uji Q di setiap titik di dalam ruang tersebut. Teramati oleh pengamat bahwa muatan Q tidak mengalami gaya Coulomb ketika berada di titik (x, y) = (3, 4) meter. a) Tentukanlah medan listrik di titik (1, 2) meter yang ditimbulkan oleh muatan QA. b) Dengan menuliskan posisi muatan QB sebagai ˆ ˆBr xi yj

, tuliskan ungkapan gaya Coulomb total yang bekerja pada muatan uji Q ketika berada di titik (3, 4).

c) Tentukanlah posisi muatan QB. SOLUSI a) Namakan posisi muatan A adalah Ar

, posisi muatan B adalah Br , dan posisi muatan Q di titik ketika Q tidak

mengalami gaya adalah r . Maka ˆ ˆ0, 3 4Ar r i j . Tuliskan ˆ ˆBr xi yj

3 3 3

69 3

3 3

ˆ ˆ( ) ( ) (1,2) ( 2 )| | | | 5

ˆ ˆ6 10 ( 2 )ˆ ˆ(1,2) 9 10 ( 2 ) 54 10 N/C5 5

A A AA

A

Q Q QE r k r r k r E k i jr r r

i jE i j

[6]

= 4,83 × 103(횤 + 2횥 ) N/C

b)

3 3 3 3

33 3/22 2

( ) ( ) ( ) ( )| | | | | | | |

6 3ˆ ˆ ˆ ˆ9 10 (3 4 ) ((3 ) (4 ) ) N5 (3 ) (4 )

A B A BA B B

A B B

QQ QQ QQ QQF k r r k r r k r k r rr r r r r r r

Q i j x i y jx y

[6]

c)

Karena gaya Coulomb sejajar dengan garis hubung dua muatan yang saling berinteraksi dan gaya-gaya pada Q di titik (3,4) saling menghilangkan maka garis hubung QQA dan QQB segaris. Jadi muatan QB berada di titik

QA

(3,4)

QB

Q

2

(3a,4a) dengan a suatu nilai yang akan dicari. Karena QA dan QB berbeda jenis maka Q tidak berada di antara QA dan QB sehingga a<1. Tuliskan ˆ ˆ ˆ ˆ3 4Br xi yj ai aj

Medan listrik di titik (3,4) sama dengan nol:

3 3

33 3/22 2

3 3/22 2

3 3/22 2 3

0 ( ) ( )| | | |

6 3ˆ ˆ ˆ ˆ9 10 (3 4 ) ((3 3 ) (4 4 ) ) N5 (3 3 ) (4 4 )

6 3ˆ ˆ ˆ ˆ0 (3 4 ) ((3 3 ) (4 4 ) )5 (3 3 ) (4 4 )

2 1ˆ ˆ(3 4 ) (15 3 4 (1 )

A BB

B

Q QFE k r k r rQ r r r

i j a i a ja a

i j a i a ja a

i ja

3 3 2

2

2 1ˆ ˆ)(3 4 )5 5 (1 )

1 1 1 ˆ ˆ(1 ) 1 1 (3 4 )2 2 2B

a i ja

a a r i j

[8]

Cara lain untuk jawaban c:

3 3

6 6

3 3/22 2

3 3/22 2

( ) ( ) 0| | | |

6 10 C 3 10 Cˆ ˆ ˆ ˆ0 (3 4 ) ((3 ) (4 ) )5 (3 ) (4 )

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ(3 4 ) ((3 ) (4 ) )5 (3 ) (4 )

A BA B

A B

Q QE k r r k r rr r r r

k i j k x i y jx y

i j x i y jx y

퐸 = E 횤 + E 횥 E = 0danE = 0

3 3/2 3 3/22 2 2 2

3 3/2 3 3/22 2 2 2

6 (3 ) 8 (4 ),5 5(3 ) (4 ) (3 ) (4 )

48 8(3 ) 48 6(4 ),5 5(3 ) (4 ) (3 ) (4 )

8(3 ) 6(4 ) 4 / 3

x y

x y x y

x y

x y x y

x y y x

3 3/2 3/22 2 2 2

3/2 3/2 3 3 3 22 2 2 2

2 2

6 (3 ) (3 )5 (3 ) (4 4 / 3) (3 ) (12 4 ) / 9

27(3 ) 27(3 ) 27(3 ) 275 (3 ) 5 (3 )9(3 ) (12 4 ) 9(3 ) 16(3 )

3 3 46(3 ) 27 2(3 ) 9 3 3 , 42 2 2

x x

x x x x

x x xx xx x x x

x x x x y

3

2. Sebuah bola konduktor berjari-jari a memiliki muatan total 3Q. Sebuah bola isolator berongga dengan tebal kulit c – b melingkupi bola konduktor tersebut dengan titik pusat saling berhimpitan. Jari-jari bagian dalam isolator adalah b > a, dan jari-jari luarnya adalah c > b. Isolator memiliki muatan total +2Q dan kerapatan muatan dinyatakan sebagai ( )

2r

r

, dengan = 2Q/(c2b2).

a) Tentukan vektor medan listrik E

di r < a, a < r < b, b < r < c. b) Gambarkan sketsa kurva besar medan listrik E dari r = 0 sampai r = b. c) Tentukan besar beda potensial antara titik r = c dan r = b.

SOLUSI a) r < a 0E

(konduktor) [3]

a < r < b

휀 퐸 ∙ 푑퐴 = 푞

휀 퐸4휋푟 = −3푄 퐸 = 푟 (N/C) [3]

b < r < c

휀 퐸 ∙ 푑퐴 = 푞

휀 퐸4휋푟 = −3푄 + 휌푑푉 = −3푄 +2푄

2휋푟(푐 − 푏 ) 4휋푟 푑푟

휀 퐸4휋푟 = −3푄 +4푄

(푐 − 푏 ) 푟푑푟 = −3푄 +2푄

(푐 − 푏 ) (푟 − 푏 )

퐸 = + ( ) 푟 (N/C) [3]

b) Kurva besar medan listrik pada daerah 0 < r < b.

[4] c) 푉 − 푉 = −∫ 퐸 ∙ 푑푠

푉 − 푉 = − 퐸 ∙ 푑푠

푉 − 푉 = −−3푄휀 4휋푟 +

2푄(푟 − 푏 )휀 4휋푟 (푐 − 푏 ) 푑푟 =

1휀 4휋

3푄푟 푑푟 −

2푄휀 4휋(푐 − 푏 )

(푟 − 푏 )푟 푑푟

푉 − 푉 =3푄휀 4휋

1푐 −

1푏 −

2푄휀 4휋(푐 − 푏 ) (푏 − 푐) + 푏

1푏 −

1푐

[7]

4

3. Suatu kapasitor dengan kapasitansi 4,4 pF dihubungkan dengan baterai 12 V. Pada keadaan tunak, medan

listrik antar pelat 퐸 = 5,8 × 10 V m⁄ . Jika baterai dilepas, kemudian sebuah bahan dielektrik dengan konstanta dielektrik 휅 = 4,8 disisipkan ke dalam kapasitor sehingga celah kapasitor semua terisi bahan dielektrik, tentukanlah nilai besaran-besaran berikut setelah kapasitor terisi bahan dielektrik: a) beda potensial kapasitor, medan listrik pada daerah antarpelat dan kapasitansi, b) energi listrik yang tersimpan dalam kapasitor. c) Jika kemudian baterai dipasang kembali, tentukan nilai keempat besaran pada pertanyaan a-b.

SOLUSI

a) Saat baterai dilepas, maka muatan, beda potensial, dan medan listrik dalam kapasitor akan sama dengan sebelum dilepas. Setelah disisipi bahan dielektrik, muatan dalam kapasitor tetap konstan dan pada bahan dielektrik timbul medan listrik induksi yang mengurangi medan listrik dalam kapasitor, sehingga beda potensial kapasitor berkurang dan kapasitansinya bertambah.

C' = C0 = 4,8 pFpF. [3] q' = q0 C'V' = C0V0 V' = C0V0/C' = V0/ = 12/4,8 = 2,5 Volt. [3] Karena medan listrik sebanding dengan beda potensial, maka berlaku

E 'E0

= V 'V 0

= 1κ ⇒E '=

E 0κ = 5,8× 104

4,8= 1,21× 104 V /m.

[3] b) Energi listrik yang tersimpan dalam kapasitor adalah

U = ½ C' V'2 = ½ . 21,12 10-12 (2,5)2 = 66 J. [3] c) Jika kemudian baterai dipasang kembali, maka terjadi proses penambahan muatan pada kapasitor, dan

proses tersebut berhenti saat beda potensial kapasitor sama dengan beda potensial baterai. Sehingga berlaku

V'' = V0 = 12 Volt, [2]

E'' = E0 = 5,8 104 V/m. [2] Pemasangan baterai tidak akan mengubah kapasitansi kapasitor, sehingga

C'' = C' = pF. [2] Energi yang tersimpan dalam kapasitor menjadi

U'' = ½ C'' V''2 = ½ . 21,12 10-12 (12)2 = 1,52 J. [2]

5

4. Pada rangkaian seperti di samping, tentukanlah:

a) nilai I1, I2, I3, I4 yang berturut-turut menyatakan arus yang mengalir pada hambatan R1, R2, R3, R4,

b) daya disipasi pada hambatan R3, c) beda potensial antara titik A dan B.

SOLUSI a) R2 dan R3 tersusun secara paralel sehingga rangkaian dapat diganti dengan rangkaian ekivalen di samping. Dengan menggunakan Hukum Kirchhoff: 50 2I1 2Ip = 0 (1) 20 4I4 + 2Ip = 0 (2) I1 = Ip + I4 (3) Dari ketiga persamaan ini didapat: I1 = 17 A ; Ip = 8 A ; I4 = 9A Arus yang melewati R1 = 17 A; R2 dan R3 = (8/2) A = 4 A; R4 = 9 A

[12] b. Daya P = I2R, maka pada R3:

P3=(4)2(4) = 64W [4] c. 푉 = 50 − 퐼 푅 = 50 − (9)(4) = 14푉 Cara lain 푉 = 퐼 푅 + 퐼 푅 − 퐼 푅 = (17)(2) + (8)(2) − (9)(4) = 14푉

푉 = 퐼 푅 − 20 = (17)(2) − 20 = 14푉 [4]

R2 = 4 Ω R3 = 4Ω

I2 = 8AIp=

Ip I4

6

5. Sebuah elektron (푞 = −1,6 × 10 C, 푚 = 9,11 × 10 kg) bergerak sepanjang sumbu x dengan

kecepatan 푣 = 8 × 10 횤(m/s) . Elektron tersebut kemudian memasuki ruang 푥 > 0 yang dipengaruhi medan magnet 퐵 = 5 × 10 횥(T)sehingga mengalami gaya magnet. a) Tentukan vektor gaya magnet yang dialami oleh elektron sesaat setelah memasuki ruang 푥 > 0. b) Beberapa waktu kemudian elektron keluar dari ruang bermedan magnet di titik P. Tentukan vektor posisi

dan vektor kecepatan elektron di titik P. c) Jika diinginkan elektron tetap bergerak lurus sepanjang sumbu x, tentukan vektor medan listrik yang

harus diberikan pada ruang 푥 > 0. SOLUSI

a. 퐹 = 푞푣퐵 sin휃 = (1,6 × 10 C)(8 × 10 m/s)(5 × 10 T) = 6,4 × 10 N pada arah sumbu 푧 negatif,

atau dalam notasi vektor satuan 퐹 = 6,4 × 10 N −퐤 [6]

b. Elektron akan keluar dari ruang 푥 > 0 setelah menempuh lintasan setengah lingkaran dengan diameter sbb:

퐷 = 2푅 =2푚푣푞퐵 =

2(9,11 × 10 kg)(8 × 10 m/s)(1,6 × 10 C)(5 × 10 T) = 1,82 × 10 m = 1,82cm

dengan demikian vektor posisi keluarnya elektron dari 푥 > 0 adalah 푃 = (1,82cm) −퐤

Sedangkan vektor kecepatan elektron saat keluar dari ruang 푥 > 0 adalah

푣 = −8 × 10 (m/s) [8]

c. Agar elektron dapat tetap bergerak lurus sepanjang garis 푦 = 0 maka harus ada gaya elektrostatik yang menyeimbangkan gaya magnetik pada elektron. Besarnya gaya elektrostatik adalah 퐹 = 퐹 = 6,4 × 10 Ndengan arah sumbu 푧 퐤 sehingga besar medan listriknya adalah

퐸 =퐹푒= 푣퐵 = (8 × 10 m/s)(5 × 10 T) = 4 × 10 N/C

Dengan arah medan listrik ke 푧 −퐤

Dengan demikian, vektor medan listriknya adalah 퐸 = −4 × 10 N/C 퐤 [6] Catatan : Jika ada jawaban yang menyertakan/menambahkan gaya gravitasi selain gaya listrik dan gaya magnet yaitu sebesar, Fg = mg = (9,11 × 10 kg) 9,8 = 8,9 × 10 N, maka jawaban masih dapat dibenarkan.