École Polytechnique de Montréal

Département de génie informatique et génie logiciel

INF1500 – Logique des systèmes numériques

Jeudi 28 octobre 2010, 18h30

Examen intra

SOLUTIONNAIRE

Directives :

Le quiz est sur 20 points et comporte 6 pages, excluant la présente;

La pondération pour la session est de 25%;

La documentation et la calculatrice programmable ne sont pas permises;

Répondez sur le(s) cahier(s) d’examen et les feuilles de réponse prévues à la fin du questionnaire et remettez le(s);

Pour les questions à développement, prenez soin d’exprimer clairement vos arguments, car la correction en tiendra compte;

La durée est de 120 minutes

1

Question 1 (5 points) : Système de numération et introduction

a) (0,5 pt) On doit mesurer une température dans l’environnement. Une sonde de température retourne une valeur de tension (voltage) électrique proportionnelle à la température. On dispose aussi d’un enregistreur qui traite les valeurs sous forme numérique. Quel dispositif doit-on placer entre les deux pour qu’ils puissent fonctionner en étant compatibles ?

Soln : Un convertisseur analogique-numérique qui transforme la valeur de tension en données numériques pour l’enregistreur.

(1.0 pt) Il existe deux façons, qui se ressemblent un peu d’ailleurs, pour convertir un nombre décimal vers sa représentation binaire. Pouvez-vous distinguer ces deux méthodes?

Soln :La première est en soustrayant successivement, par la plus grande puissance de deux (1, 2, 4, 8 , 16, 32, etc…) contenue, le nombre décimal de départ ou le résultat de cette même soustraction. Si une puissance est utilisée pour la soustraction, un 1 apparait dans la représentation binaire pour la puissance considérée dans le nombre. Dans le cas contraire, un zéro est inscrit. L’autre méthode consiste à diviser successivement le nombre décimal de départ ou le résultat de la division précédente par 2. Les restants de toutes le divisions (toujours soit zéro, soit un), pris dans l’ordre inverse (de la dernière division effectuée à la première) constituent le nombre binaire recherché.

b) (1.0 pt) Convertir le nombre décimal 372 en

a. binaire b. hexadécimal c. octal

Soln : 372 = 256 + 64 + 32 + 16 + 4 = 28 + 25 + 22 + 20 = 101110100 (binaire) = 174 (hexadécimal) = 564 (octal)

c) (2.0 pt) Complétez l’addition suivante en complément à 2. Indiquez également les valeurs correspondantes en décimale (base 10) (entre parenthèses), donnez la retenue C et le débordement V, puis finalement dites si le résultat est correct ou non.

10101011 (...)

+ 11110001 (...)

2

Soln :

1010 1011 (-85)

+ 1111 0001 (-15)

11001 1100 (-100)

C = 1, V = 0, résultat correct

d) (0.5 pt) Qu’est-ce qu’un niveau logique bas ? Qu’est-ce qu’un niveau logique

haut ?

Soln : Un niveau logique bas est généralement associé à une plage de valeurs de voltage faible utilisé pour représenter la valeur logique 0 alors qu’un niveau logique haut correspond à une plus haute tension (2.4 à 5 Volts par exemple) utilisée pour représenter une la valeur logique 1.

Question 2 (5 points) : circuit combinatoire

Soit un circuit avec quatre entrées A, B, C, D et une sortie F. La table de

vérité condensée (c'est-à-dire qu’on peut écrire la sortie du circuit en

fonction d’une partie de ses entrées) est :

A B F

0 0 C’D

0 1 C+D

1 0 0

1 1 C

a) (2.0 pt) Donnez la table de vérité étendue du circuit (Utilisez la page

prévue qui se situe à la fin du questionnaire et incluez-la dans vos cahiers

d’examen).

b) (2.0 pt) Donnez l’équation simplifiée par une forme canonique (soit

somme de produits ou soit produit de sommes). L’utilisation de tables

Karnaugh est interdite.

c) (1.0 pt) Dessinez le circuit correspondant à l’équation trouvée au point b.

3

Sln a)

A B C D F

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

L’expression est

∑A,B,C,D(1, 5, 6, 7, 14, 15) = A’B’C’D + A’BC’D + A’BCD’ + A’BCD + ABCD’ +

ABCD + ABCD = A’B’C’D + A’BC’D + A’BCD’ +

A’BCD+ABCD+ABCD’+ABCD =

A’C’D(B’+B) + A’BCD’ + (A’ + A)BCD+ABC(D+D’)=

A’C’D + A’BCD’ + BCD + ABC = A’C’D + BC(A’D’ + D + A) = A’C’D +

BC((A+D)’ + (A + D))= A’C’D + BC

d) Le circuit est:

B

C

A

F

D

4

Question 3 (1.5 point) : Délais

Complétez le diagramme temporel du circuit suivant en considérant les

délais des portes OU et NON (inverseur). On suppose que les portes ont

le même délai. Montrez sur le diagramme les temps tOU (à la sortie de la

porte OU) et tNON (à la sortie du 3ème inverseur).

2BF

2B1

0

F1

0

Sln

tOU3tNON

2B

F

Question 4 (3.5 points) : La logique mixte

Synthétiser la fonction logique suivante :

F = ABC + D’E’ (F’ + G’)

Considérer les contraintes suivantes :

Les entrées et les sorties sont disponibles en logique négative (actives au niveau bas). On a donc de disponible A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’ ou bien selon une autre notation /A, /B, /C, /D, /E, /F et /G tout à fait équivalente.

5

On veut uniquement des portes NON-OU (nor) en plus des inverseurs (OOPS).

Procéder en 3 étapes pour en arriver au circuit final. Utilisez les annexes si nécessaire.

Soln :

Question 5 (5.0 points) : Minimisation logique

a) (2.0 pts) Exprimer l’équation logique la plus simple à partir du diagramme de Karnaugh suivant. Utilisez la page prévue pour exprimer votre réponse qui se situe à la fin du questionnaire et l’inclure avec vos cahiers d’examen.

A

CB

Z

ED

F

G

A

CB

Z

ED

F

G

/A

/C/B

/Z

/E

/D

/F

/G

ET et OU au départ

Avoir uniquement

des portes NON-OU

Compléter les

expressions

1)

2)

3)

6

Soln : Les termes de premier ordre encadrés sont essentiels. Les couleurs communes à gauche et à droite forment un seul et même terme de premier ordre essentiel. Les cellules distinctes sont ombragées

b) (1.5 pt) Est-ce qu’il y a des hasards statiques temporels dans l’expression trouvées en a) ? Si oui, donnez le ou les termes de 1er ordre pouvant les éliminer.

Soln : il n’y a aucun hasard statique temporel dans cette équation.

c) (1.5 pt) Pour le diagramme donné en point a), donnez la table de vérité et l’équation complète non simplifiée sous forme de somme de produits. Utilisez la page prévue pour exprimer votre réponse qui se situe à la fin du questionnaire et l’inclure avec vos cahiers d’examen.

00 1101 10

00

01

11

10

1

0

WXYZ

1

1

1 1

1

0

0 0

0 0

0

1 1

1

W’X

F(W,X,Y,Z) = W’X + WY’Z + XZ + W’YZ + WX’YZ’

XZ

WY’Z

W’YZ

WX’YZ’

00 1101 10

00

01

11

10

1

0

WXYZ

1

1

1 1

1

0

0 0

0 0

0

1 1

1

7

Soln :

w x y z F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

F = w’x’y’z’ + w’xy’z’ + w’xy’z + w’xyz’ + w’xyz +

Wx’y’z + wx’yz’ + wxy’z + wxyz

8

INF1500 – Logique des systèmes numérique – Automne 2010

NOM : ________________ Prénom : _____________________

Page pour répondre à la question 1 a)

A B C D F

9

INF1500 – Logique des systèmes numérique – Automne 2010

NOM : ________________ Prénom : _____________________

Page pour répondre à la question 5 a)

00 1101 10

00

01

11

10

1

0

WXYZ

1

1

1 1

1

0

0 0

0 0

0

1 1

1

10

INF1500 – Logique des systèmes numérique – Automne 2010

NOM : ________________ Prénom : _____________________

Page pour répondre à la question 5 c)

w x y z F

F =

11

Annexes

Portes logiques de base

X

YF F

X

Y

X F

X Y F

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

X Y F

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

X F

0

1

1

0

ET OU NON

F=XY F=X+Y F=X

F

X

Y

X Y F

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

NON OU

F=(X+Y)

Théorèmes de Boole

12

X

Y

F F

X

Y

X(H)X(L)

ET OU

NON

FX

Y

X

Y

F

X

Y

F F

X

Y

F

X

Y

X

Y

F

X(L)X(H)

Rond indicateur “actif bas”

Portes synonymes (équivalentes)

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