solutions de l'équation de propagation - perso.univ...

Chapitre 5

FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE

L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU

REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES CYLINDRIQUES

Solutions de l'équation de propagation

( ) ( )ω−=ω

ω+∆ ;rF;rP

c 20

2 rr( ) ( )t;rft;rp

tc1

2

2

20

rr−=

∂∂

−∆

Equation de propagation Equation de Helmholtz

Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel

Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables

solutions à variables séparées

"base" sur laquelle toute solution peut être développée

famille complète

Choix de système de coordonnées

piston plan

( )tcosA ω

0 x

A cos ( ω t - k x )

plan d'air x

yz

a

source S

x

y

z

Source

O L

a

Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

polynômes de Legendrefonctions circulaires

fonctions de Bessel

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6)

Equation de propagation ( ) t,r,0t;rptc

12

2

20

∀∈∀=

∂∂

−∆ Vrr

Equation de Helmholtz ( ) V∈∀=ω

ω+∆ r,0;rP

c

2

0

rr

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

( ) ( ) ( )tcrngtcrnft;rp 00 +⋅+−⋅=rrrrr

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZyYxXt;z,y,xp =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTˆˆrRt;,,rp ψΨθΘ=ψθ

Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZˆrRt;z,,rp ψΨ=ψ

Equation des ondes en coordonnées cylindriques

x

y

z

O

M

ψ

z

rx

y

z

Bc e r→

e z→

e ψ→

zr ezerMOrrrr

+==

( ) zzrr eAeAeAz,,rArrrr

++=ψ ψψ

zr ezdedrerdMOdrdrrrr

+ψ+== ψ

zr ezUeU

r1e

rUUgrad

rrr

∂∂

+ψ∂

∂+

∂∂

= ψ

( )z

AAr1

rAr

r1Adiv zr

∂

∂+

ψ∂

∂+

∂

∂= ψr

( )z

rzrr

z eA

r1

rAr

r1e

rA

zA

ez

AAr1Arot rrrr

ψ∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

ψ∂

∂= ψ

ψψ

( ) 2

2

2

2

22

2

zUU

r1

rU

r1

rUUgraddivU

∂∂

+ψ∂

∂+

∂∂

+∂

∂==∆ ( ) ( )ArotrotAdivgradA

rrr−=∆

( ) 0t;z,,rptc

12

2

20

=ψ

∂∂

−∆ ( ) 0t;z,,rptc

1zr

1rr

1r 2

2

20

2

2

2

2

22

2=ψ

∂∂

−∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

Equation de propagation

Les principaux opérateurs en coordonnées cylindriques

et



Solutions à variables séparées

fonction de r,ψ,z fonction de t

20k−= 22

020 ck ω=on pose

t,0TtT 22

2∀=ω+

∂∂

( ) tieGtT ω=

tie ω

tie ω−

choix d'une convention temporelle

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZˆrRt;z,,rp ψΨ=ψ

( ) t,z,,r,tT

c1

T1

zZ

Z1ˆ

ˆ1

r1

rR

Rr1

rR

R1

2

2

20

2

2

2

2

22

2∀∈ψ∀

∂∂

=∂∂

+ψ∂Ψ∂

Ψ+

∂∂

+∂∂ V

( ) ( ) t,z,,r,0t;z,,rptc

1zr

1rr

1r 2

2

20

2

2

2

2

22

2∀∈ψ∀=ψ

∂∂

−∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂ V

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

1


Solutions à variables séparées - solution en z

fonction de zfonction de r,ψ

FE'E += ( )EFi'F −=

ou

avec et

2zk−=

z,0ZkzZ 2

z2

2∀=+

∂∂

( ) zkizki zz eFeEzZ += −

( ) ( ) ( )zksin'Fzkcos'EzZ zz +=

( ) V∈ψ∀∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ψ∂Ψ∂

Ψ+

∂∂

+∂∂

− z,,r,zZ

Z1k

ˆˆ1

r1

rR

Rr1

rR

R1

2

2202

2

22

2

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/6)Solutions à variables séparées - solution en ψ

constantefonction de r,ψ

2wk−=

20

2z2

2

22

2kk

ˆˆ1

r1

rR

Rr1

rR

R1

−=ψ∂Ψ∂

Ψ+

∂∂

+∂∂

2z

20

2w kkk −=

( ) V∈ψ∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−−=ψ∂Ψ∂

Ψ,r,

rR

Rr

rR

Rrrk

ˆˆ1

2

2222

w2

2

fonction de ψ fonction de r

2ν−=

ouψ∀=Ψν+ψ∂Ψ∂ ,0ˆˆ

22

2 ( ) ψνψν−ν +=ψΨ ii eDeCˆ

( ) ( ) ( )ψν+ψν=ψΨν sin'Dcos'Cˆ

Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/6)Solutions à variables séparées - solution en r

V∈∀=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−+

∂∂

+∂∂ r,0R

rk

rR

r1

rR

2

22w2

2

0Rs

1sdRd

s1

sdRd

2

2

2

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−++en posant rks w=

Equation de Bessel

( ) ( ) ( )rkHBrkHArR w)2(

w)1(

ννν += ( ) ( ) ( )rkN'BrkJ'ArR ww ννν +=ou

Fonction de Bessel de 1ère espèce : comportement d'un cosinus quand r→∞

Fonction de Neumann : comportement d'un sinus quand r→∞

Fonction convergente quand r→∞ enexp(+ikwr)

Fonction divergente quand r→∞ enexp(-ikwr)

Fonction de Hankel

Solutions de problèmes à 3 dimensions (6/6)Solutions à variables séparées

ou

Rν(r) Ψν(ψ) Z(z) T(t)

soit

ou

sous réserve que : 00 ck ω=avecéquation de dispersion

ou

( ) ( ) ( )[ ][ ][ ] tizkizkiiiww eeFeEeDeCrkN'BrkJ'At;z,,rp zz ω−ψνψν−

ννν +++=ψ

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .ezksin'Fzkcos'E

sin'Dcos'CrkN'BrkJ'At;z,,rp

tizz

ww

ω

ννν

+⋅

ψν+ψν+=ψ

( ) ( ) ( )[ ][ ][ ] tizkizkiiiw

)2(w

)1( eeFeEeDeCrkHBrkHAt;z,,rp zz ω−ψνψν−ννν +++=ψ

( ) ( ) ( )[ ][ ][ ] tizki3

zkii2

iw1w0 eeˆeeˆerkNˆrkJAt;z,,rp zz ω−ψνψν−

ννν +++=ψ RRR

2z

20

2w kkk −= 2

02z

2w kkk =+

Nombre d'onde local ( ) ( ) zzrr ekerkerkk rrrr++= ψψ

( ) ( )rkkr

krk 22w

22w

2r ψ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ν

−=avec

( ) ( ) 20

2z

22r kkrkrk =++ ψ

( ) ( ) 2z

20

22r

2w kkrkrkk −=+= ψsoit

Solution générale ( ) ( )∑∞

=νν ψ=ψ

0t;z,,rpt;z,,rp

0yx

1xdyd

x1

xdyd

2

2

2

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν−++ avec ν ∈(1) solution de (1) : Zν(x)

ν ∉ (ν non entier) : ( ) ( ) ( )xJBxJAxZ ν−νν +=

( )( )

( )

( )⎩⎨⎧

>∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ν

π−

π≈

+ν+Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

ν

ν

0xex

quand21

2xcos

x2

1k!k2x1

2xxJ

0k

k2k

R

comportement d'un cosinus

fonctions de Bessel cylindriques de 1ère espèce d'ordre ν

( ) !x1x =+Γ avec x ∈

ν ∈ (ν entier) : Jν et J−ν ne sont plus linéairement indépendants

autre solution

J-3/4 J-1/4

J1/4 J3/4 J3/2

Fonctions de Bessel Jν (1/5)

ν ∈ (ν quelconque, entier ou non) : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xHBxHAxZ

xNBxJAxZ)2()1(

ννν

ννν

+=

+=

ou

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )⎩⎨⎧

>∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ν

π−

π≈

νπ

−νπ= ν−ν

ν

0xex

quand21

2xsin

x2

sinxJxJcos

xN

R

comportement d'un sinus

fonction de Neumann

( )

( ) ( )0x

0n,x2!1nxN

2xln2xN

n

n

0

→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π−

−≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

π≈

( ) −∞=→

xNlim n0x

...781,1Cln ==γ C : constante d'Euler

N0

N1N2

N3

N4

N5



2

Fonctions de Hankel

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xNixJxJxJesin

ixH

xNixJxJxJesin

ixH

i)2(

i)1(

ννν−νπν

ν

ννν−νπν−

ν

−=−νπ

−=

+=−νπ

=

( )

( )( )

>∞→

π≈

π≈

+ν

π−−

ν

+ν

π−

ν

0xex

quand

ex

2xH

ex

2xH

21

2xi

)2(

21

2xi

)1(

R

fonctions convergentes ou divergentes (suivant la convention temporelle)

utilisation en milieux semi-infinis


Onde cylindrique

constanterA2

=

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/√r dans un certain espace, a un caractère cylindrique dans cet espace.

r1r2

fil pulsant

SA2

∝Φ avec r2S π∝

rA2

∝Φ et constante=Φ

r1A ∝

Application : départ en vacances sur l'autoroute

En première approche, le bruit émis par l'autoroute peut être modélisé par un champ à caractère cylindrique

Application

ν m 0 1 2 30123

3/21/2

0 3.83 7.02 10.17

13.1714.5911.0012.40

11.718.545.331.843.054.201.402.50

6.718.024.606.00

9.9711.357.709.50

χ νm : (m+1)-ième zéro de J’ν

(m+1)-ième extremum de J ν

J0J1 J2 J3 J4 J5

J-3/4 J-1/4

J1/4 J3/4 J3/2

Fonctions de Bessel Jν (4/5) Fonctions de Bessel Jν (5/5)

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1J 0(

x)

x

χ00 χ01

χ02

χ03

χ04

χ05

χ06

χ07

χ08

χ09* * * * * * * * *π 2π 3π 4π

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (1/4)

( ) ( ) ( ) tiz00r ezkcoscosVt;z,w

0

ωψν=ψ

Vitesse vibratoire radiale imposéex

yz

R

x

yz

R

x

yz

R

ν0 = 0 ν0 = 1 ν0 = 2

ν0 = 4 ν0 = 5 ν0 = 6

ν0 = 3

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (2/4)x

yz

R ( ) ( ) ( ) tiz00r ezkcoscosVt;z,w

0

ωψν=ψ

( )z,Wr ψ

( ) [ ] .t,z,2,0,Rr,0t;z,,rptc

1zr

1rr

1r 2

2

20

2

2

2

2

22

2∀∀π∈ψ∀≥∀=ψ

∂∂

−∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) [ ] t,z,2,0,Rr,t;z,wet;z,,Rv rr ∀∀π∈ψ∀=ψ=⋅ψrr

( ) ( ) tiez,,rPt;z,,rp ωψ=ψ

( ) [ ] z,2,0,Rr,0z,,rPczr

1rr

1r 2

0

2

2

2

2

2

22

2∀π∈ψ∀≥∀=ψ

ω+

∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) ( ) [ ] z,2,0,Rr,zkcoscosVz,,RrrP

cki

0z00000

∀π∈ψ∀=ψν=ψ=∂∂

ρ


Vitesse vibratoire radiale imposée

Equation de Helmholtz

Conditions aux frontières

Condition de Sommerfeld (r→∞)


3


( ) ( ) ( ) [ ] z,2,0,Rr,zkcoscosVz,,RrrP

cki

0z00000

∀π∈ψ∀=ψν=ψ=∂∂

ρ

Equation de dispersion

Forme du champ


x

yz

R

x

yz

R

x

yz

R ( ) ( )[ ][ ]zkizkiiiw

)2( zz eFeEeDeCrkHBz,,rP ++=ψ −ψνψν−ν

00 ck ω=avec2z

20

2w kkk −=

avec( ) [ ][ ]zkizkiii

Rr

w)2(

zz eFeEeDeCr

rkHB

rP

++∂

∂=

∂∂ −ψνψν−

=

ν

( )[ ][ ] ( ) ( )[ ] ,z,2,0,Rr

,zkcoscosVeFeEeDeCR

RkHB

cki

0

zzz00

zkizkiiiw)2(

000

∀π∈ψ∀=

ψν=++∂

∂

ρ−ψνψν−ν

( )ψν=+ ψνψν−0

ii coseDeC( )zkcoseFeE

0

zzz

zkizki =+−

0ν=ν 0zz kk =et

( ) RRkHiVck

Bw

)2(0000

0∂∂

ρ=

ν

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tiz0w

)2(

w)2(

0000 ezkcoscosrkHRRkH

Vckit;z,,rp

00

0

ων

ν

ψν∂∂

ρ−=ψSolution

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (4/4)Cylindre oscillant, corde vibrante

( ) ( ) tiz0r ezkcoscosVt;zw

0

ωψ=

( ) ( ) ( ) ( ) tizw

)2(1

w)2(

1

0000 ezkcoscosrkHRRkH

Vckit;z,,rp

0

ωψ∂∂

ρ−=ψ

1Rk w <<

( )Rk

i2RkHw

w)2(

1 π≈ ( ) ( ) ( ) ti

zw)2(

12

w0000 ezkcoscosrkHRkVck2

t;z,,rp0

ωψρπ

=ψ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−

π≈ 4

3rki

ww

)2(1

we

rk2rkH

( ) ( ) tiz

43rki

w0000 ezkcoscoserRRk

2RkVct;z,,rp

0

w ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−ψ

πρ=ψ

2w0 Rr

kk

∞→rk w1Rk w << et

amplitude proportionnelle à extrêmement faible

ν0 = 1


?

Bruit pas toujours émis directement par la source vibrante mais par la structure mise en vibration par la source

Exemple d'une boite à musique

dans l'espace sur une table

dans une boite

Onde plane diffractée par un cylindre (1/4)

O

y

x

z

ki→

Mr

ψ

Rpi^

Champ incident monochromatique


Condition de Sommerfeld (r→∞)


( ) ticosrkiii eePt;z,,rp 0 ωψ=ψ

ω=00 ck


( ) [ ] z,2,0,Rr,0z,,rPkzr

1rr

1r

202

2

2

2

22

2∀π∈ψ∀≥∀=ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) [ ] z,2,0,Rr,0z,,rPˆkin 0 ∀π∈ψ∀==ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

∂∂ Zcˆ

00ρ=βavec et rn ∂∂−=∂∂


Champ incident monochromatique en coordonnées cylindriques


Champ diffracté

O

y

x

z

ki→

Mr

ψ

Rpi^

O

y

x

z

ki→ki→

Mr

ψ

Rpipi^

( ) ( ) ( ) ( ) ti

0000

ticosrki0i ecosrkJi2PeePt;,rp 0 ω

∞

=νν

νν

ωψ ψνδ−==ψ ∑

( ) ( ) tirr e,rPt;,rp ωψ=ψ ( ) ( ) ( )∑

∞

=µµµ ψΨ=ψ

0wr

ˆrkR,rP

( ) ( )rkHBrkR 0)2(

w µµµ = ( ) ( )ψµ=ψΨµ cosˆ

( ) ( ) ( )∑∞

=µµµ ψµ=ψ

00

)2(r cosrkHB,rP

avec

développement sur les modes propres en coordonnées cylindriques

et

( ) [ ]π∈ψ∀==+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+

∂∂

− 2,0,Rr,0PPˆkir ri0

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )RkHˆkRRkHi

RkJˆkRRkJii2PB

0)2(

00)2(

00000

νν

ννν

νν β+∂∂

β+∂∂δ−−=par identification

terme à terme

or


4


Champ diffracté ( ) ( ) ( )∑∞

=ννν ψν=ψ

00

)2(r cosrkHB,rP

avec( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )RkHˆkRRkHiRkJˆkRRkJii2

PB0

)2(00

)2(0000

0νν

ννν

νν β+∂∂

β+∂∂δ−−=

y

z

O

y

x

zki→

pi^

( )1Rk 0 << ( )1Rk 0 >>Basses fréquences Hautes fréquences


Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (1/16)

z


Champ monochromatique incident imposé (non précisé)



Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour)

Champ acoustique borné en r = 0

( )

[ ] .t,0z,2,0,ar

,0t;z,,rptc

1zr

1rr

1r 2

2

20

2

2

2

2

22

2

∀>∀π∈ψ∀≤∀

=ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂


( ) [ ] 0z,2,0,ar,0z,,rPkzr

1rr

1r

202

2

2

2

22

2>∀π∈ψ∀≤∀=ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) [ ] t,0z,2,0,ar,0n

t;z,,rp∀>∀π∈ψ∀==

∂ψ∂ rn ∂∂=∂∂avec

( ) [ ] 0z,2,0,ar,0r

z,,rP>∀π∈ψ∀==

∂ψ∂

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (2/16)Forme du champ


Conditions aux frontières ( ) [ ] 0z,2,0,ar,0r

z,,rP>∀π∈ψ∀==

∂ψ∂

00 ck ω=avec2z

20

2w kkk −=

zz

( ) ( )( ) zkiiiw

zeeêrkJAz,,rP −ψνψν−ν +=ψ R

avec( ) ( )( ) zkiii

wwzeeêrk'JkA

rz,,rP −ψνψν−

ν +=∂ψ∂ R

( )( ) [ ] z,2,0,ar,0eeêak'JkA zkiiiww

z ∀π∈ψ∀==+ −ψνψν−ν R

( ) 0ak'JkA ww =ν ( ) 0ak'J w =ν2( )∈νχ= ν m,,ak mw

χ νm : (m+1)-ième zéro de J’ν(m+1)-ième extremum de J ν

où

ν m 0 1 2 30123

3/21/2

0 3.83 7.02 10.17

13.1714.5911.0012.40

11.718.545.331.843.054.201.402.50

6.718.024.606.00

9.9711.357.709.50

ν m 0 1 2 30123

3/21/2

0 3.83 7.02 10.17

13.1714.5911.0012.40

11.718.545.331.843.054.201.402.50

6.718.024.606.00

9.9711.357.709.50 0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

J 0(x)

x

χ00 χ01

χ02

χ03

χ04

χ05

χ06

χ07

χ08

χ09* * * * * * * * *π 2π 3π 4π

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

J 0(x)

x

χ00 χ01

χ02

χ03

χ04

χ05

χ06

χ07

χ08

χ09* * * * * * * * *π 2π 3π 4π


zz

Solutions du problèmem,0A m ∀=ν SAUF SI kwνm

prend une suite de valeurs propres

à laquelle est associée (équation de dispersion) une suite de nombre d'ondes kzνmtels que

c.à.d.

ne dépend pas de ν,m dépend de ν,m

2 cas : 0k 2z m

>ν

0k 2z m

<ν

ou

2( )∈νχ

= νν

m,,a

k mw m

2w

20

2z mm

kkkνν

−=2

m2

0

2z ac

km ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ χ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω= ν

ν

dépend de ν,m

Pression portée par chaque mode (ν,m)

( ) ( ) ( ) tizkiiiwmm eeeêrkJAt;z,,rp mz

m

ω−ψνψν−ννν

ν

ν+=ψ R

Pression totale

( ) ( ) ( ) ( ) ti

0m

zkiiiwm

00mm

0eeeêrkJAt;z,,rpt;z,,rp mz

m

ω∞

=

−ψνψν−νν

∞

=ν

∞

=ν

∞

=ν∑∑∑∑ ν

ν+=ψ=ψ R

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (4/16)Modes propagatifs et évanescents

c.à.d.

avec

modes (ν,m) tels que modes (ν,m) propagatifs

c.à.d. modes (ν,m) évanescents

et

avec

000 caχ0 0

01 caχ

002 caχ

01m, c

a−νχ

0m c

aνχ

ωsource

modes propagatifs modes évanescents

2( )∈νχ

= νν

m,,a

k mw m

2m

2

0

2z ac

km ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ χ−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω= ν

ν

0k 2z m

>ν 0

m caνχ>ω

modes (ν,m) tels que 0k 2z m

<ν

0m c

aνχ<ω

zkzki "mzmz ee νν =

−

2

0

2m"

zz caikik

mm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ χ−== ν

νν


5

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (5/16)Mode plan

0z c

k0m,0

ω=

==ν onde plane progressive dans la direction des z croissants

( ) ( ) tizki0m,00m,0 eeˆ1At;z,,rp 0 ω−

==ν==ν +=ψ R0

ak 00

w 0m,0=

χ=

==ν

0 001 caχ

002 caχ

01m, c

a−νχ

0m c

aνχ

ωsource

modes évanescentsmode plan propagatif

1,84 c0/a


Cas particulier des modes stationnaires en ψ

( ) ( ) ( ) tizkiwmm eecosrkJAt;z,,rp mz

m

ω−ννν

ν

νψν=ψ

( ) ( ) ( ) tizkiwmm eesinrkJAt;z,,rp mz

m

ω−ννν

ν

νψν=ψou

ν = n entier

Le champ a toujours un caractère propagatif en ψ.

Si V permet de contourner l'axe Oz lorsque ψ varie : ν est entier

z

Si V ne permet pas de contourner l'axe Oz lorsque ψ varie : ν n'est pas nécessairement entier

z


n=0 ; m=0

n=0 ; m=2

n=0 ; m=1

n=0 ; m=3

zz

Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 0

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (8/16)Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = n = 1

n=1 ; m=0

n=1 ; m=2

n=1 ; m=1

n=1 ; m=3

zz


n=2 ; m=0

n=2 ; m=2

n=2 ; m=1

n=2 ; m=3

zz


n=3 ; m=0

n=3 ; m=2

n=3 ; m=1

n=3 ; m=3

zz


6


Conduit avec demi paroi méridienne

( ) tizkim2N

2NmNmN ee

2Ncosr

aJAt;z,,rp mNz ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ χ

=ψ

ν = N/2

N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaire

N impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (12/16)Equation de propagation

Champ monochromatique incident imposé (non précisé)



Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour)

Champ acoustique borné en r = 0

( )

[ ] .t,0z,2,0,ar

,0t;z,,rptc

1zr

1rr

1r 2

2

20

2

2

2

2

22

2

∀>∀π∈ψ∀≤∀

=ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂


( ) [ ] 0z,2,0,ar,0z,,rPkzr

1rr

1r

202

2

2

2

22

2>∀π∈ψ∀≤∀=ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+ψ∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) [ ] t,0z,2,0,ar,0n

t;z,,rp∀>∀π∈ψ∀==

∂ψ∂ rn ∂∂=∂∂avec

z

( ) [ ] t,0z,2et0,a,0r,0n

t;z,,rp∀>∀π=ψ=ψ∈∀=

∂ψ∂

ψ∂∂

=∂∂r1navec

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (13/16)Forme du champ


Conditions aux frontières ( ) [ ] 0z,2,0,ar,0r

z,,rP>∀π∈ψ∀==

∂ψ∂

00 ck ω=avec2z

20

2w kkk −=

( ) ( )( ) zkiiiw

zeeêrkJAz,,rP −ψνψν−ν +=ψ R

avec ( ) ( )( ) zkiiiww

zeeêrk'JkAr

z,,rP −ψνψν−ν +=

∂ψ∂ R 2( )∈νχ= ν m,,ak mw

zz

Conditions aux frontières ( ) [ ] 0z,2et0,a,0r,0z,,rP>∀π=ψ=ψ∈∀=

ψ∂ψ∂

avec ( ) ( )( ) zkiiiww

zeeîeirkJkAz,,rP −ψνψν−ν ν+ν−=

ψ∂ψ∂ R

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+−πνπν− 0eê

012i2i R

R∈π=νπ N,N2

( ) ( ) ( )[ ] 0z,2et0,a,0r

,0eeêirkJkAz,,rP zkiiiww

z

>∀π=ψ=ψ∈∀

=+−ν=ψ∂ψ∂ −ψνψν−

ν R

( )⎩⎨⎧

=νπ=

02sin1R

∈=ν N,2N

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (14/16)Solutions du problème

m,0A m ∀=ν SAUF SI kwνmprend une suite de valeurs propres

2( )∈νχ

= νν

m,,a

k mw m

Pression portée par chaque mode (N,m)

Pression totale

( ) ( ) tizkim2N

2NmN

00mm

0ee

2Ncosr

aJAt;z,,rpt;z,,rp mNz ω−∞

=ν

∞

=ν

∞

=ν⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ χ

=ψ=ψ ∑∑∑

zzcomme dans le tuyau sans paroi méridienne

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ=ψΨ

2Ncos2ˆ caractère stationnaire en ψ

( ) tizkim2N

2NmNmN ee

2Ncosr

aJAt;z,,rp mNz ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ χ

=ψ

ν = N/2N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaireN impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (15/16)Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = 0,5

ν=0.5 ; m=0

ν=0.5 ; m=2

ν=0.5 ; m=1

ν=0.5 ; m=3

zz

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (16/16)Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν = 1,5

ν=1.5 ; m=0

ν=1.5 ; m=2

ν=1.5 ; m=1

ν=1.5 ; m=3

zz


7

Transparents basés surC. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

solutions de l'équation de propagation - perso.univ...

Documents