solutions les exercice 12--29 p 27--28

1 m o c . a s a r i d d e . w w w عن موقع

متارين الكتاب حلول

: نهاية منتهية أو غير منتهية عند عدد حقيقي 2

: 1 ج 26 ٬ 27 ص 12 تمرين حل ال

( ) : بــ ¡ المعرفة على f لتكن الدالة 2 3 f x x = f ( ) ٬ نريد دراسة سلوك + x لما x 2 يؤول إلى : f ( ) وضع تخمين لسلوك ) 1 x لما x 2 يؤول إلى :

( ) ( ) [ ] ( ) : عند حساب2 2

lim lim 2 3 2 2 2 3 7 x x

f x x f → →

= + = = + 7 هي f نهاية الدالة يمكن التخمين بأن =

. 7;2 ( ) يشمل النقطة f أي أن المنحنى الممثل للدالة . 2 يؤول إلى x لماf ( ) إليه ٬ x إيجاد مجال بحيث لما ينتمي ) 2 x 7,01;6,99 ] [ ينتمي إلى :

6,99 ( ) معناه 7,01 f x < ٬ 6,99 يكافئ > 2 3 7,01 x < + ٬ 3,99 ومنه > 2 4,01 x < <

1,995 يكافئ 2,005 x < < . ∋ x 2,005;1,995 ] [ : إذن

3 ( α 0 حيث عدد حقيقي 1 α < < : f ( ) لما x إيجاد المجال الذي يجب أن ينتمي إليه • x 7 ] [ ينتمي إلى ;7 α α − + :

7 معناه 2 3 7 x α α − < + < يكافئ + ٬ 7 3 2 3 3 7 3 x α α − − < + − < + ومنه − ٬ 4 2 4 x α α − < < ٬ 4 وهذا يكافئ + 4

2 2 x α α − +

< < ٬

4 : إذن 4; 2 2

x α α − + ∈ .

x لما 7 هي f ومنه نستنتج أن نهاية الدالة = x 2 صغير بالقدر الذي نريد ٬ نجد α عند اختيار • . أي أن التخمين السابق صحيح . 2 يؤول إلى

: 1 ج 7 2 ص 13 تمرين حل ال

( ) : المعرفة بـ f للدالة 4 تخمين النهاية عند 2 2

x f x x

+ =

− :

( ) ( ) : عند حساب4 4

2 4 2 6 lim lim 4 3 2 4 2 2 x x

x f x f x → →

+ + = = = = = − − 3 هي f يمكن التخمين بأن نهاية الدالة

. 4 يؤول إلى x لماx بحيث إذا كان 4 مركزه I إيجاد مجال I ∈ 3,05;2,95 ] [ ( ) ٬ فإن f x ∈ :

2,95 ( ) معناه 3,05 f x < ٬ 2 2,95 ومنه > 3,05 2

x x

+ < <

− − x 2 ( ) ٬ بضرب طرفي المتراجحة في

2,95 ( ) ( ) نجد 2 2 3,05 2 x x x − < + < ٬ 2,95 ومنه − 5,9 2 3,05 6,1 x x x − < + < − ٬

2 يكافئ 2,95 5,9 2 3,05 6,1

x x x x

+ > − + < −

٬ 1,95 ومنه 7,9 2,05 8,1

x x

< >

٬ 4,05 أي3,95

x x

< >

٬ 3,95 يكافئ 4,05 x < <

x 4,05;3,95 ] [ : إذن I ∈ = .

النهايات و االستمرارية dirasa.com www.ed

www.eddirasa.com عن موقع

[email protected] : الربيد اإللكتروين


: 1 ج 27 ص 14 تمرين حل ال

( ) : المعرفة بـ f للدالة 2 تخمين النهاية عند ( ) 2 3 4

2 x f x x

+ =

− :

حساب ( ) : عند( ) 2 2 2

3 4 6 4 lim lim 0 2 x x

x f x x + → →

+ + = = = +∞

− الدالة ∞+ ( ) هي f يمكن التخمين بأن نهاية

. 2 يؤول إلى x لما2 ] [ بحيث إذا كان a إيجاد عدد حقيقي ;2 x a a ∈ − ( ) فإن + 3 10 f x > :

( ) 3 10 f x > معناه : ( )

3 2

3 4 10 2

x x

+ >

− 2 3 3 ( ) ٬ ومنه 4 10 2 x x + > − ٬

3 ( ) أي 2 3 4 10 4 2 x x x + > − ٬ 2 3 ومنه + 4 1000 4000 2000 x x x + > − +

2 1000 يكافئ 4003 3996 0 x x − + < ٬ : نحل المتراجحة

∆ 4009 : المميز 1 : ومنه =4003 4009

2000 x +

= ٬ 1 4003 4009

2000 x −

=

4003 أي 4009 4003 4009 2000 2000

x − + < 1,901488751 ومنه > 2,101511249 x < <

2 ] [ : إذن 1,9;2 2,1 x ∈ − ∋ x 4,1;0,1 ] [ أي + . = a 0,1 يمكن أخذ


( ) : بــ ∞+;2 ] [ المعرفة على f لتكن الدالة 1 2

f x x

= − −

:

: f هو التمثيل البياني للدالة f C ( ) لدينا ) 1 2 إلى x عندما يؤول f يمكن أن نخمن بالنسبة لسلوك الدالة •

. ∞− ( ) يؤول إلى f C ( ) بأن2 ( A عدد حقيقي موجب تماما :

f ( ) يكون بحيث x إيجاد المجال الذي ينتمي إليه • x A ≤ − :

: 1 ج 27 ص 6 1 تمرين حل ال

( ) : المعرفة بـ f للدالة 1 وعند ∞+ و ∞− دراسة النهاية عند ) 1 2 5 1

x f x x

+ =

− :

( ) 2 5 2 lim lim lim 2 1 x x x

x x f x x x →−∞ →−∞ →−∞

+ = = = − .

( ) 2 5 2 lim lim lim 2 1 x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

+ = = = − .

( ) 1 1 1

2 5 7 lim lim lim 1 0 x x x

x f x x < < < − → → →

+ = = = −∞ − .

( ) 1 1 1

2 5 7 lim lim lim 1 0 x x x

x f x x > > > + → → →

+ = = = +∞ − .

2 3 4 5 6 1 1 2 3

0 1

1

x

y

( ) f C




: f تحديد معادالت المستقيمات المقاربة لمنحني الدالة ) 2lim ( ) لدينا 2

x f x

→±∞ المعادلة = ذو المستقيم ومنه ٬ 2 y = الدالة لمنحنى مقارب أفقي في f مستقيم

. ∞+ و ∞− جوار ( ) ولدينا 2 5 2 5 2 2 7 2 2

1 1 1 x x x f x x x x

+ + − + − = − = =

− − − . > x ٬ 1 ويقع تحته لما < x 1 لما = y 2 المستقيم ذو المعادلة يقع فوق f ومنه منحنى الدالة

( ) كذلك لدينا و1

lim x

f x < →

= المعادلة ∞− ذو المستقيم ومنه ٬ 1 x = مقارب لمنحنى عمودي مستقيم

. 1 على يسار f الدالة ( ) و لدينا

1 lim

x f x

> → = f مستقيم مقارب عمودي لمنحنى الدالة = x ٬ 1 ومنه المستقيم ذو المعادلة ∞+

. 1 على يمين


f دالة عددية معرفة بـ : ( ) 3 2 x f x

x −

= +

: ثم حساب النهايات عند حدود مجموعة التعريف f تعيين مجموعة تعريف الدالة ) 1( ) f x 2 معرفة معناه 0 x + ≠ x ٬ 2 ومنه ≠ 2 ] [ ] [ ٬ أي أن − ; 2 2; f D = − − = −∞ − − +∞ ¡ ∪ .

: النهايات

( ) ( ) 3 3 3 lim lim lim lim 3 2 2 2 1 1 x x x x

x x f x x x

x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− − − = = = = − + + +

.

( ) 2 2

3 6 lim lim 2 0 x x

x f x x < < − →− →−

− = = = −∞ + .

( ) 2 2

3 6 lim lim 2 0 x x

x f x x > > + → − → −

− = = = +∞ + .

( ) 3 3 lim lim lim 3 2 2 1 x x x

x f x x

x →+∞ →+∞ →+∞

− − = = = − + +

.

: ودراسة وضعيته بالنسبة للمستقيم المقارب األفقي f تحديد معادالت المستقيمات المقاربة لمنحنى الدالة ) 2lim ( ) لدينا 3

x f x

→±∞ = الم − المعادلة ومنه ذو = y 3 ستقيم الدالة − لمنحنى مقارب أفقي في f مستقيم

. ∞+ و ∞− جوار ( ) ولدينا 3 6 3 3

2 2 x f x

x x −

− = + = + +

= y 3 يقع فوق المستقيم ذو المعادلة f ومنه منحنى الدالة < x 2 لما − > x ٬ 2 ويقع تحته لما − − . ( ) و لدينا كذلك

2 lim

x f x

< →− = = x ٬ 2 ومنه المستقيم ذو المعادلة ∞− مستقيم مقارب عمودي لمنحنى −

. − 2 على يسار f الدالة ( ) و لدينا

2 lim

x f x

> → − = = x ٬ 2 ومنه المستقيم ذو المعادلة ∞+ مستقيم مقارب عمودي لمنحنى الدالة −

f 2 ين على يم − .

2 3 4 5 1 2 3 4 5

2

1 2 3 4 5 6

0 1

1

x

y

3 y = −

( ) f C 2 x = −




: تتمات على النهايات 3


( ) ) أ 3 2 1 f x x x = − : ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند +( ) 3 3 lim lim 2 1 lim 2

x x x f x x x x

→−∞ →−∞ →−∞ = − + = = −∞ .

( ) 3 3 lim lim 2 1 lim 2 x x x

f x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= − + = = +∞ .

( ) ) ب 4 3 2 4 f x x x = − + : ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند +( ) 4 4 lim lim 3 2 4 lim 3

x x x f x x x x

→−∞ →−∞ →−∞ = − + + = − = −∞ .

( ) 4 4 lim lim 3 2 4 lim 3 x x x

f x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= − + + = − = −∞ .

( ) ) ج 3 2 1 f x x x x = − + + : ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند +( ) 3 2 3 lim lim 1 lim

x x x f x x x x x

→−∞ →−∞ →−∞ = − + + + = − = +∞ .

( ) 3 2 3 lim lim 1 lim x x x

f x x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= − + + + = − = −∞ .


( ) ) أ 1 1

x f x x

− =

+ : − ٬ 1 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) 1 lim lim lim 1 1 x x x

x x f x x x →−∞ →−∞ →−∞

− = = = + ٬ ( ) 1 lim lim lim 1

1 x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

− = = = + .

( ) 1 1

1 2 lim lim 1 0 x x

x f x x < < − →− →−

− − = = = +∞ + ٬ ( )

1 1

1 2 lim lim 1 0 x x

x f x x > > + → − →−

− − = = = −∞ + .

( ) ) ب2 2 52

x f x x

+ =

− : ٬ 2 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) 2 2 2 5 2 lim lim lim 2 x x x

x x f x x x →−∞ →−∞ →−∞

+ = = = −∞ −

٬ ( ) 2 2 2 5 2 lim lim lim 2 x x x

x x f x x x → +∞ → +∞ → +∞

+ = = = +∞ −

( ) 2

2 2

2 5 13 lim lim 2 0 x x

x f x x < < − → →

+ = = = −∞ − ٬ ( )

2

2 2

2 5 13 lim lim 2 0 x x

x f x x < < + → →

+ = = = +∞ − .

( ) ) ج 4 1 3 x f x x

− + =


( ) 4 1 4 lim lim lim 4 3 x x x

x x f x x x →−∞ →−∞ →−∞

− + − = = = − − ٬ ( ) 4 1 4 lim lim lim 4

3 x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

− + − = = = − −

( ) 3 3

4 1 11 lim lim 3 0 x x

x f x x < < + → →

− + − = = = −∞ − ٬ ( )

3 3

4 1 11 lim lim 3 0 x x

x f x x > > − → →

− + − = = = +∞ −


( ) ) أ 2 1 x f x

x =

+ : ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) 2 2

1 lim lim lim lim 0 1 x x x x

x x f x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= = = = + ٬ ( ) 2 2 lim lim lim 0

1 x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

= = = +




( ) ) ب( ) 2

1 2

x f x x

+ =


( ) ( ) 2 2 2

1 1 1 lim lim lim lim lim 0 4 4 2 x x x x x

x x x f x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

+ + = = = = = − + −

( ) ( ) 2 2

1 lim lim lim 0 2 x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

+ = = = −

( ) ( ) 2 2 2

1 3 lim lim 0 2 x x

x f x x + → →

+ = = = +∞ − .

( ) ) ج3

2

1 x f x x

+ : ٬ 0 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند =

( ) 3 3

2 2

1 lim lim lim x x x

x x f x x x →−∞ →−∞ →−∞

+ = = = −∞

٬ ( )

3 3

2 2

1 lim lim lim x x x

x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

+ = = = +∞

( ) 3

2 0 0

1 1 lim lim lim 0 x x x

x f x x + → → →+∞

+ = = = +∞ .


( ) ) أ 3 2 1 f x x x

= − : ٬ 0 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند +

( ) ( ) 3 lim lim 2 1 1 0 x x

f x x x →−∞ →−∞

= − + = −∞ − + = −∞ ٬ ( ) 3 lim lim 2 1

x x f x x

x →+∞ →+∞

= − + = +∞ .

( ) 0 0

3 3 lim lim 2 1 0 1 0 x x

f x x x < < − → →

= − + = − + = −∞ .

( ) 0 0

3 3 lim lim 2 1 0 1 0 x x

f x x x > > + → →

= − + = − + = +∞ .

( ) ) ب( ) 2

1 3 1

f x x

= − +

: − ٬ 1 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) ( ) 3 lim lim 2 1 1 0 x x

f x x x →−∞ →−∞

= − + = −∞ − + = −∞ ٬ ( ) 3 lim lim 2 1

x x f x x

x →+∞ →+∞

= − + = +∞ .

( ) 0 0

3 3 lim lim 2 1 0 1 0 x x

f x x x < < − → →

= − + = − + = −∞ .

( ) 0 0

3 3 lim lim 2 1 0 1 0 x x

f x x x > > + → →

= − + = − + = +∞ .

( ) ) ج 2 1 3

f x x x x

= + − −

: 3 ند ٬ وع ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) 2 2 1 lim lim lim 3 x x x

f x x x x x →−∞ →−∞ →−∞

= + − = = +∞ − ٬ ( ) 2 1 lim lim

3 x x f x x x

x →+∞ →+∞

= + − = +∞ − .

( ) 2

3 3

1 1 lim lim 9 3 3 0 x x

f x x x x < < − → →

= + − = + = +∞ − −

.

( ) 2

3 3

1 1 lim lim 9 3 3 0 x x

f x x x x > > + → →

= + − = + = −∞ − −

.




: 1 ج 27 ص 22 حل التمرين

( ) ( ) ) أ ( ) 1

1 4 f x

x x =

− : ٬ 4 وعند ٬ 1 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند −

( ) ( ) ( ) 2 2

1 1 1 lim lim lim lim 0 1 4 5 4 x x x x

f x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= = = − = − − − −

( ) ( ) ( ) 2 2

1 1 1 lim lim lim lim 0 1 4 5 4 x x x x

f x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = − = − − − − .

( ) ( )( ) ( ) 1 1

1 1 lim lim 1 4 0 3 x x

f x x x < < − → →

= = = −∞ − −

.

( ) ( )( ) ( ) 1 1

1 1 lim lim 1 4 0 3 x x

f x x x > > + → →

= = = +∞ − −

.

( ) ( )( ) ( ) 4 4

1 1 lim lim 1 4 3 0 x x

f x x x < < + → →

= = = +∞ − −

.

( ) ( ) ( ) ( ) 4 4

1 1 lim lim 1 4 3 0 x x

f x x x > > − → →

= = = −∞ − −

.

( ) ) ب 1 2 2 1 3

f x x x x

= + − + −

: ٬ 3 وعند − ٬ 1 وعند ∞+ و ∞− ٬ دراسة النهاية عند

( ) [ ] 1 2 lim lim 2 0 0 1 3 x x

f x x x x →−∞ →−∞

= + − = −∞ + − = −∞ + − .

( ) [ ] 1 2 lim lim 2 0 0 1 3 x x

f x x x x →+∞ →+∞

= + − = +∞ + − = +∞ + − .

( ) ( ) 1 1

1 2 1 lim lim 2 2 1 3 2 x x

f x x x x < < →− → −

= + − = − + −∞ − = −∞ + − .

( ) ( ) 1 1

1 2 1 lim lim 2 2 1 3 2 x x

f x x x x > > → − → −

= + − = − + +∞ − = +∞ + − .

( ) ( ) 3 3

1 2 1 lim lim 2 6 1 3 4 x x

f x x x x < < → →

= + − = + +∞ = −∞ + − −

.

( ) ( ) 3 3

1 2 1 lim lim 2 6 1 3 4 x x

f x x x x > > → →

= + − = + −∞ = +∞ + − −

.

( ) ) ج( )

2 2

1 2

f x x x

= + +

: − ٬ 2 وعند ∞+ و ∞− ية عند ٬ دراسة النها

( ) ( )

[ ] 2 2

1 lim lim 0 2 x x

f x x x →−∞ →−∞

= + = +∞ + = +∞

+ .

( ) ( )

[ ] 2 2

1 lim lim 0 2 x x

f x x x →+∞ →+∞

= + = +∞ + = +∞

+ .

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 lim lim 4 0 2 x x

f x x x < < + →− → −

= + = + = +∞ + .

( ) ( )

2 2 2 2

1 1 lim lim 4 0 2 x x

f x x x > > + → − →−

= + = + = +∞ + .




: 1 ج 8 2 ص 3 2 حل التمرين

( ) ) أ 2 2 1 f x x x = + : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند +( ) 2 2 lim lim 2 1 lim 2

x x x f x x x x

→+∞ →+∞ →+∞ = + + = = +∞ .

( ) ) ب 1 2 1

f x x x

= + −

: 1 و عند ∞+ ٬ دراسة النهاية عند

( ) ( ) 1 lim lim 2 0 1 x x

f x x x →+∞ →+∞

= + = + +∞ = +∞ − .

( ) 1 1

1 1 lim lim 2 2 1 0 x x

f x x x < < − → →

= + = + = −∞ − .

( ) 1 1

1 1 lim lim 2 2 1 0 x x

f x x x > > + → →

= + = + = +∞ − .


( ) ) أ 1 2

x f x x

+ =

: ٬ 4 دراسة النهاية عند −

( ) 4 4

1 5 lim lim 0 2 x x

x f x x < < − → →

+ = = = −∞ − .

( ) 4 4

1 5 lim lim 0 2 x x

x f x x > > + → →

+ = = = +∞ − .

( ) ( ) ) ب ( ) 1 2 f x x x = − − : 0 و عند ∞− ٬ دراسة النهاية عند −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 1 2 x x

f x x x →−∞ →−∞

= − − − = +∞ −∞ = −∞ .

( ) ( )( ) 0 0

lim lim 1 2 1 0 0 x x

f x x x → →

= − − − = × = .


( ) ) أ 2 cos f x x x

= : ∞+ و عند ٬ 0 دراسة النهاية عند −

( ) 0 0

2 2 lim lim cos 1 0 x x

f x x x < < − → →

= − = + = −∞ .

( ) 0 0

2 2 lim lim cos 1 0 x x

f x x x > > + → →

= − = + = +∞ .

( ) ) غير معرفة ( 2 lim lim cos 0 lim cos x x x

f x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= − = − .

sin ( ) ( ) ) ب 2 f x x x = ٬ دراسة النهاية عند +4 π و عند +∞ :

( ) ( ) 4 4

lim lim sin 2 sin 1 2 4 4 x x

f x x x π π

π π π → →

= + = + = + .

( ) 2 lim lim cos 0 lim cos x x x

f x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= − = − .




: 1 ج 8 2 ص 6 2 حل التمرين ( ) ) أ 3 2 1 f x x x x = + − : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند −

( ) 3 2 3 lim lim 1 lim x x x

f x x x x x →+∞ →+∞ →+∞

= + − − = = +∞ .

( ) ) ب 2 3 x f x

x +

= −

: ∞+ ٬ دراسة النهاية عند

( ) 2 2

2 lim lim lim lim lim 3 3 3 1 1 x x x x x

x x x x x x f x x

x x x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = = = − = −∞ − − −

.


( ) ) أ 1 2 f x x x = − : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند −

( ) [ ] 1 1 lim lim 1 2 lim 2 lim 2 x x x x

f x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= − − = − − = − = −∞ .

( ) ) ب2

2

1 2

x x x f x x

+ + − =

+ : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند

( ) 2 2

2 2

1 lim lim lim 1 2 x x x

x x x x f x x x →+∞ →+∞ →+∞

+ + − = = = +

.


( ) ) أ 1 1 f x x x = + − : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند −

( ) ( ) 1 1 lim lim 1 1 lim 1 1 1 1 x x x

x x f x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞

+ + − = + − − = + − − × + + − .

( ) ( ) ( ) 2 2

1 1 1 1 lim lim

1 1 1 1 x x

x x x x x x x x →+∞ →+∞

+ − − + − − = = + + − + + − 2 lim 0

1 1 x x x →+∞

= = + + − ( ) ) ب 2 1 f x x x x = − + : ∞+ ٬ دراسة النهاية عند −

( ) ( ) 2 2 2

2

1 lim lim 1 lim 1 1 x x x

x x x f x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞

− + + = − + − = − + − × − + + .

2 2

2 2

2

1 1 lim lim 1 1 1 1

x x

x x x x x x x x x

x x

→+∞ →+∞

= − + − − + = = − + + − + +

2 2

1 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 1 1 1

x x

x x x

x x x x x

→+∞ →+∞

− − − − = = = −

− + + − + +




: 1 ج 8 2 ص 9 2 حل التمرين : ) 1 ( الحالة

f محور التراتيب مستقيم مقارب عمودي لمنحنى الدالة : لدينا حسب التمثيل البياني = x 0 غير معرفة عند f أي أن الدالة

f لمنحنى الدالة ب عمودي ر مستقيم مقا = x 2 المستقيم ذو المعادلة ولدينا . = x 2 غير معرفة عند f أي أن الدالة

2;0 ] [ ] [ ] [ : هي f ومنه مجموعة تعريف الدالة ;0 0;2 2; f D = − = −∞ +∞ ¡ ∪ ∪ . : النهايات( ) lim 0

x f x

→−∞ = ٬ ( )

0 lim

x f x

< → = +∞ ٬ ( )

0 lim

x f x

> → = −∞ ٬ ( )

2 lim

x f x

< → = −∞ ٬

( ) 2

lim x

f x > →

= +∞ ٬ ( ) lim 0 x

f x →+∞

= .

: ) 2 ( الحالة

f محور التراتيب مستقيم مقارب عمودي لمنحنى الدالة : لدينا حسب التمثيل البياني = x 0 غير معرفة عند f أي أن الدالة

0 ] [ ] [ : هي f ومنه مجموعة تعريف الدالة ;0 0; f D = − = −∞ +∞ ¡ ∪ . : النهايات

( ) lim x

f x →−∞

= +∞ ٬ ( ) 0

lim x

f x < →

= −∞ ٬ ( ) 0

lim x

f x > →

= +∞ ٬ ( ) lim x

f x →+∞

= +∞ .


= x 1 و = x 1 المستقيمان ذو المعادلتان : لدينا حسب التمثيل البياني مقاربان عموديان لمنحنى الدالة −f ٬ أي أن الدالة f 1 غير معرفة عند x = 1 و x = −

1;1 ] [ ] [ ] [ : هي f تعريف الدالة ومنه مجموعة ; 1 1;1 1; f D = − − = −∞ − − +∞ ¡ ∪ ∪ . : النهايات

( ) lim x

f x →−∞

= −∞ ٬ ( ) 1

lim x

f x < →−

= −∞ ٬ ( ) 1

lim x

f x > → −

= +∞ ٬ ( ) 1

lim x

f x < →

= −∞ ٬

( ) 1

lim x

f x > →

= +∞ ٬ ( ) lim x

f x →+∞

= +∞ .


f التراتيب مستقيم مقارب عمودي لمنحنى الدالة محور : لدينا حسب التمثيل البياني = x 0 غير معرفة عند f أي أن الدالة

0 ] [ ] [ : هي f ومنه مجموعة تعريف الدالة ;0 0; f D = − = −∞ +∞ ¡ ∪ . : النهايات( ) lim 0

x f x

→−∞ = ٬ ( )

0 lim

x f x

< → = +∞ ٬ ( )

0 lim

x f x

> → = −∞ ٬ ( ) lim

x f x

→+∞ = +∞ .

م 2008 / 2007 : 01 اإلخراج رقم



solutions les exercice 12--29 p 27--28

Documents