MODULO MATEMATICA 12° COMERCIO

IPT EL SILENCIO

PROFESORA: Julia Concepción

ANALIZA……..

Son muchas las ocasiones en las que hablamos de agrupamientos de números es decir;

EJEMPLO DE LA VIDA REAL EN LENGUAJE COTIDIANO TRADUCIDO EN LENGUAJE MATEMÁTICO

A mí me dan entre 2 y 5 dólares para venir al colegio 52 x

Cuando sea grande quiero ganar por lo menos 1000 dólares x1000

Los jóvenes de 15 años deben pesar entre 50 y 65 kilogramos 6550 x

Yo soy mayor que tu xy

Menos de 2000 no te puedo prestar x2000

Como máximo 5000 dólares. 5000x

Estos agrupamientos se pueden expresar utilizando símbolos matemáticos y tomando como extremo las cantidades

numéricas que aparecen, para esto se hace necesario aprender sobre las desigualdades, intervalos y las relaciones de

orden.

DESIGUALDADES

Concepto: Es la expresión de dos cantidades al ser comparadas se puede expresar que una es mayor, menor o igual

que la otra.

Dados que a,b e Reales se cumple; a es mayor que b, a es menor que b o a es igual que b.

Miembros de una desigualdad

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones, es decir que no existe la igualdad.

El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado, por lo tanto podemos comparar sus elementos a través de

una relación de orden.

Así podemos definir mediante un nuevo concepto porque un número es mayor, menor o igual que otro:

Para a, b e R se tiene:

Desigualdad Si y solo si Distancia Pertenece Números

a b a-b e Reales negativos

a b a-b e Reales positivos

ba a-b e Reales negativos o el cero

ba a-b e Reales positivos o el cero

Las desigualdades en la recta numérica o en la recta de los números reales.

INTERVALOS

Concepto: Es el conjunto de todos los números reales entre dos números dados.

Símbolos o tipos de intervalos:

Representación de las formas en que se escribe la solución de una inecuación.

Entregar esta práctica como nota de

apreciación.

FORMAS PARA RESOLVER UNA INECUACIÓN

Por Propiedades:

POR TRASPOCIÓN, utilizado para resolver ecuaciones:

RESOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD O INECUACIÓN

Es el conjunto de los valores (números) que hacen cierta la desigualdad, es decir son aquellos valores que satisfacen la

desigualdad. Modelos: La desigualdad se puede expresar:

*Intervalo. *Notación de Conjunto. *Forma Gráfica.

Una desigualdad está resuelta en su forma analítica cuando la variable x se encuentra sola, es decir despejada y con signo positivo. Una vez logremos esto podemos expresar la solución en los modelos antes mencionados.

TIPOS DE INECUACIONES

1. INECUACIONES LINEALES

A. Inecuaciones lineales Simples: Son aquellas que solo tienen dos miembros, su solución consiste en dejar en uno de los miembros la incógnita (x) y en el otro miembro el valor numérico. Generan intervalos infinitos. El ejemplo aparece resuelto por trasposición de términos.

B. Inecuaciones Lineales Simultaneas: Es aquella que posee tres miembros, el derecho, izquierdo y uno central. Su solución requiere que la incógnita quede en el miembro central y en los extremos los valores numéricos. Genera intervalos semi.

Ejemplo

Inecuaciones cuadráticas. Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado dos (2). Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0

Sugerencias para resolver inecuaciones cuadráticas

1. Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con cero. 2. Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 (Por Descomposición en factores o por

la fórmula del discriminante). Si el Discriminante es menor que cero la solución es todos los reales o no tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.

3. Representa esos ceros en una Recta numérica. 4. Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados por los ceros, evaluando

el Polinomio en valores cómodos de esos intervalos o ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0 comienza con el signo más y alternando menos y luego más, si a < 0 comienza con menos y de igual forma alterna, el siguiente gráfico hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).

5. Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta que si la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario se incluyen en la solución.

Nota importante: Después de comparar con cero se obtiene una Función cuadrática y por eso es que se buscan sus ceros y se hace el análisis de los signos de dicha función en esos Intervalos, ya que la función cuadrática representa una Parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el signo de a. Gráfico de una parábola

INECUACIONES RACIONALES

Definición: Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador puede ser una inecuación lineal o cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:

Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.

Resolver por el

método de la formula

cuadrática.

Resolver uno de los

problemas.

PASOS: Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son:

1. Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero.

2. Eliminar signos de agrupación (si los hay), en algunos casos aplicar operaciones con fracciones y reducimos términos semejantes.

3. Verificar el grado de la inecuación en el numerador y en el denominador, si es de segundo grado FACTORIZAMOS aplicando los diferentes casos, si es lineal sumamos términos semejantes si es posible.

4. Analizar cada factor, para ello, igualamos cada paréntesis a cero y establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos en el numerador y denominador.

5. utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los signos.

, 6. Expresar la solución en notación de intervalos y de inecuación.

INECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO

Valor Absoluto e Inecuaciones

El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo

positivo).

Por ejemplo,

Notemos que:

si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;

si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es

decir, con signo positivo);

si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto

Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:

1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de

desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los

intervalos en la recta numérica.

3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se

puede expresar de distintas formas:

o Como intervalo

o Como conjunto

o Gráficamente

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

Solución:

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la

inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de

cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación

determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

Vamos a resolver la ecuación:

∣ x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14 x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada

intervalo.

Intervalo Punto de

Prueba

Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el

punto de prueba.

( - ∞ , 14 ) x = 0 ∣ 0 - 20 ∣ = 20

( 14 , 26 ) x = 15 ∣ 15 - 20 ∣ = 5

( 26 , ∞ ) x = 27 ∣ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman

todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado

izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En

la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:

x 14 ≤ x ≤ 26

Expresando la solución como intervalo

[ 14 , 26 ]

Gráficamente

DEFINICIÓN DE UNA DESIGUALDAD DE VALOR ABSOLUTO PARA RESOLVERLA

PRUEBA