sorok és hatványsorok vizsgálata abel...
TRANSCRIPT
Sorok és hatványsorok vizsgálata
Abel nyomán
Szakdolgozat
Készítette: Vánkovics Mária
Matematika BSc, Matematikai elemz® szakirány
Témavezet®: Pfeil Tamás adjunktus
Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Budapest
2012
Tartalomjegyzék
Bevezetés 4
1. Niels Henrik Abel 5
1.1. Abel élete és munkássága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Abel-díj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Számsorozatok, végtelen sorok és hatványsorok 7
2.1. A számsorozat f®bb tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. A végtelen sor f®bb tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. A hatványsor f®bb tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Korlátos változású sorozatok 11
3.1. Korlátos változású sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Példák nem korlátos változású sorozatokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Abel és Dirichlet tétele 18
4.1. Abel-átrendezés, Abel-egyenl®tlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Abel és Dirichlet tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Függvénysorozatok és függvénysorok 27
5.1. Függvénysorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Függvénysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6. Abel és Dirichlet tétele függvénysorokra 32
6.1. Dirichlet tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2. Abel tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
7. Szummábilis sorok és az Abel-szummáció 35
7.1. Szummábilis sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2. Abel-szummáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Köszönetnyilvánítás 44
Irodalomjegyzék 45
Nyilatkozat 46
3
Bevezetés
A szakdolgozatom témája sorok és hatványsorok. Niels Henrik Abel nevéhez e terület
több tételét kötik, ezek közül dolgoztam fel néhányat.
Az els® fejezetben összefoglaltam Abel élettörténetét. A második fejezetben felsoroltam
azokat a korábbi tanulmányaimból ismert fogalmakat és állításokat, melyeket a szakdol-
gozatomban felhasználok. A harmadik fejezetben de�niáltam a korlátos változású sorozat
fogalmát, majd összegy¶jtöttem a rá vonatkozó ismert állításokat. Végül példákat mutat-
tam nem korlátos változású sorozatokra. Az utolsó példa kapcsán leírtam a váltakozó el®-
jelekkel ellátott harmonikus sor konvergenciájának elemi bizonyítását. A negyedik fejezet-
ben az Abel-átrendezés után az Abel-egyenl®tlenség két változatát adtam meg, majd két
sorozat szorzatából képzett sorok konvergenciáját vizsgáltam. Bebizonyítottam Abel és
Dirichlet tételét, majd példákat mutattam e két tétel alkalmazására. Az ötödik fejezetben
röviden foglalkoztam függvénysorozatok és függvénysorok pontonkénti illetve egyenletes
konvergenciájával. A hatodik fejezetben ismertettem Abel és Dirichlet végtelen sorokra
érvényes tételének függvénysorokra vonatkozó általánosítását. Az utolsó fejezetben azt
vizsgáltam, hogyan terjeszthet® ki a végtelen sor összegének fogalma. El®ször végtelen sor
szummábilitását, majd az Abel-szummábilitását vizsgáltam.
4
1. fejezet
Niels Henrik Abel
1.1. Abel élete és munkássága
Niels Henrik Abel 1802. augusztus 5-én a norvégiai Finnoy szigetén született. Édes-
apja szegény protestáns pap volt. Abel születését követ®en a család lakóhelyet változta-
tott, Gjerstad parókiájára költöztek. Itt töltötte gyerekkorát, majd 1815-ben megkezdte
tanulmányait az oslói püspöki iskolában. Egyik tanára észrevette Abel matematikai tehet-
ségét, ezért addig megfejtetlen problémákat adott fel neki megoldásra. Tudása tökéletesí-
tése érdekében tanulmányozni kezdte nagy matematikusok, mint Isaac Newton, Leonhard
Euler, Joseph-Louis Lagrange és Karl Fridrich Gauss munkáit.
1820-ban édesapja meghalt, így a család anyagi helyzete bizonytalanná vált. Tanára
támogatást szerzett számára, s ennek köszönhet®en 1821-ben megkezdhette tanulmányait
5
a Christiania Egyetemen Oslóban. Ezt követ® évben megszerezte els® egyetemi tudomá-
nyos fokozatát. Felismerte, hogy az általános ötödfokú egyenlet algebrailag nem oldható
meg, s erre vonatkozó bizonyítását ki is adta 1824-ben. Elismerést remélve az értekezést el-
küldte Gaussnak, aki nem ismerte fel, hogy a problémának az Abel által adott bizonyítása
helyes.
Berlinbe látogatása során találkozott a mérnök és autodidakta matematikus August
Leopold Crellével, aki jó barátja lett, és szakmailag is támogatta. Crelle alapított egy
folyóiratot, melynek els® számában Abel több tanulmánya is olvasható volt.
Kutatásaiban f®képp az egyenletek elméletér®l, függvényegyenletekr®l és a zárt alakban
való integrálásról írt. A transzcendens függvényekkel foglalkozó tanulmányában adta közre
az algebrai függvények integráljáról szóló elméleten belül az Abel-tételt, mely szerint véges
számú illeve fajtájú független integrál létezik. Ez utóbbi tanulmányát beterjesztette a
Francia Tudományos Akadémiához, ahol visszautasítással kellett szembesülnie, m¶vét nem
ismerték el.
Miel®tt haza tért volna Párizsból, megvizsgáltatta magát egy orvossal, aki megállapí-
totta, hogy tüd®beteg. Visszatérve Norvégiába magánórákból tartotta el magát, 1828�ban
helyettesít® tanári állást kapott. Nehéz anyagi helyzete és egyre rosszabbodó egészségi
állapota nem tartotta vissza tudása mélyítésében és a matematika más ágain belüli kuta-
tásban. Ebben az id®szakban adott közre egy tanulmányt, mely tartalmazta az Abel-féle
egyenleteknek Abel-csoportokra alapozott elméletét. Karl Gustav Jacobival közösen fog-
lalkoztak az elliptikus függvényekkel.
1828 ®szén Abel megbetegedett, és állapota az id® teltével egyre súlyosabb lett. 1829.
április 6-án Frolandon tuberkulózisban halt meg.
1841�ben a Francia Tudományos Akadémia kiadta értekezéseit.
1.2. Abel-díj
Az Abel-díjat az Oslói Egyetem matematika tanszékének javaslatára hozták létre 2001
®szén, Abel születésének 200-adik évfordulóján. A díjat 2003�tól évente nemzetközi bi-
zottság osztja ki arra méltó, kiemelked® matematikusoknak.
6
2. fejezet
Számsorozatok, végtelen sorok és
hatványsorok
2.1. A számsorozat f®bb tulajdonságai
2.1.1. De�níció (Konvergens sorozat). Az (yn) sorozatot konvergensnek mondjuk,
ha létezik olyan Y ∈ R, hogy minden ε ∈ R+ számhoz található Nε ∈ N küszöbindex,
amelyre n ≥ Nε esetén | yn − Y |< ε.
2.1.2. De�níció (Nullsorozat). Egy (yn) sorozatra azt mondjuk, hogy nullsorozat vagy
zérussorozat, ha a határértéke 0.
2.1.3. De�níció (Korlátosság). Az (yn) számsorozatot felülr®l korlátosnak nevezzük,
ha van olyan K valós szám, amelynél nincs nagyobb eleme a sorozatnak, azaz minden n
indexre yn ≤ K teljesül. Minden ilyen tulajdonságú K számot a sorozat fels® korlátjának
nevezünk.
Az (yn) számsorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k valós szám, amely-
nél nincs kisebb eleme a sorozatnak, azaz minden n indexre yn ≥ k teljesül. Minden ilyen
tulajdonságú k számot a sorozat alsó korlátjának nevezünk.
Az (yn) számsorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülr®l is korlátos.
2.1.4. De�níció (Monoton sorozat). Azt mondjuk, hogy az (yn) sorozat monoton nö-
vekv®, ha bármely n indexre teljesül, hogy
yn ≤ yn+1 .
7
Ha a fenti feltételben yn ≥ yn+1 áll, akkor azt mondjuk, hogy az (yn) sorozat monoton
csökken®. Amennyiben az yn < yn+1, illetve az yn > yn+1 reláció teljesül, akkor szigorúan
monoton növekv®, illetve szigorúan monoton csökken® sorozatról beszélünk.
Az (yn) sorozatra azt mondjuk, hogy monoton sorozat, ha monoton növekv® vagy
monoton csökken®.
2.2. A végtelen sor f®bb tulajdonságai
2.2.1. De�níció (Végtelen sor és konvergenciája). Legyen az (yn) egy valós szám-
sorozat, és∞∑n=1
yn az ebb®l képzett végtelen sor. Jelölje sn az (yn) sorozat n-edik részlet-
összegét, azaz an∑
i=1
yi alakú számot minden n ∈ N esetén. Ha az (sn) sorozat konvergens,
és a határértéke Y, akkor azt mondjuk, hogy a∞∑n=1
yn végtelen sor konvergens, és az összege
Y. Jele∞∑n=1
yn = Y .
Ellenkez® esetben, ha a részletösszegekb®l képzett (sn) sorozat divergens, akkor a∞∑n=1
yn
végtelen sort divergensnek hívjuk.
2.2.2. Tétel (Cauchy-konvergenciakritérium). A∞∑n=1
yn végtelen sor akkor és csak
akkor konvergens, ha bármely ε ∈ R+ számhoz található olyan N index, hogy minden
N ≤ m < n indexek esetén ∣∣∣∣∣n∑
k=m+1
yk
∣∣∣∣∣ < ε.
2.2.3. De�níció (Abszolút konvergencia). A∞∑n=1
yn végtelen sort abszolút konver-
gensnek nevezzük, ha a∞∑n=1
| yn | végtelen sor konvergens.
2.2.4. De�níció (Végtelen sor átrendezése). Tekintsük a∞∑n=1
yn végtelen sort és le-
gyen b : N+ → N+ egy bijekció, azaz a pozitív egész számok önmagára történ® bijektív
leképezése. A∞∑i=1
yb(i) végtelen sort a∞∑n=1
yn végtelen sor b bijekcióhoz tartozó átrendezé-
sének nevezzük.
2.2.5. Tétel. • Bármely abszolút konvergens sor konvergens.
8
• Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezése abszolút kovergens, és az összege
megegyezik az eredeti sor összegével.
2.2.6. De�níció (Feltételes konvergencia). Azt mondjuk, hogy a∞∑n=1
yn végtelen sor
feltételesen konvergens, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.
2.2.7. Tétel (Riemann átrendezési tétele). Legyen a∞∑n=1
yn végtelen sor feltételesen
konvergens, ekkor bármely Y ∈ R esetén létezik olyan átrendezés, amely konvergens és
az összege Y , továbbá van olyan átrendezés, melynek összege +∞, illetve olyan is létezik,
melynek összege −∞, végül van olyan, amely divergens és nincs összege.
2.2.8. De�níció (Leibniz-típusú sor). Ha (yn) monoton fogyó nemnegatív tagú soro-
zat, akkor a∞∑n=1
(−1)n+1yn alakú végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
2.2.9. Tétel. Egy Leibniz-típusú sor pontosan akkor konvergens, ha limn→∞
yn = 0.
2.2.10. De�níció (Cauchy-szorzat). A∞∑i=0
xi és∞∑i=0
yi végtelen sorok Cauchy-szorzatán
a
∞∑i=0
(i∑
j=0
xjyi−j
)végtelen sort értjük.
2.2.11. Tétel (Mertens). Legyenek a∞∑i=0
xi és∞∑i=0
yi végtelen sorok konvergensek, és
∞∑i=0
xi = X,∞∑i=0
yi = Y . Ha e végtelen sorok közül legalább az egyik abszolút konvergens,
akkor a Cauchy-szorzatuk is konvergens, és
∞∑i=0
(i∑
j=0
xjyi−j
)=∞∑i=0
xi ·∞∑i=0
yi.
2.3. A hatványsor f®bb tulajdonságai
2.3.1. De�níció (Hatványsor). Adott (an) sorozat és x0 ∈ R esetén a
∞∑n=0
an(x− x0)n
alakú végtelen sort x0 középpontú hatványsornak nevezzük. Az (an) sorozatot a hatvány-
sor együttható-sorozatának mondjuk.
9
2.3.2. De�níció (Konvergenciahalmaz). Egy hatványsor konvergenciahalmazán azon
x valós számok halmazát értjük, melyre a∞∑n=0
an(x− x0)n végtelen sor konvergens.
2.3.3. De�níció (Összegfüggvény). A∞∑n=0
an(x− x0)n hatványsor összegfüggvényén az
f(x) :=∞∑n=0
an(x− x0)n
függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya a hatványsor konvergenciahalmaza.
2.3.4. De�níció (Konvergenciasugár). Vegyünk egy (an) együttható-sorozattal meg-
adott hatványsort, ekkor a hatványsor konvergenciasugarán az alábbit értjük:
R :=
0, ha ( n
√|an|) felülr®l nem korlátos,
+∞, ha ( n√|an|) nullsorozat,
1
lim supn→∞
n√|an|
, ha limn→∞
sup n√|an| pozitív valós szám.
2.3.5. Tétel (Cauchy-Hadamard-tétel). Adott (an) sorozat és x0, x valós számok ese-
tén a∞∑n=0
an(x− x0)n hatványsor abszolút konvergens, ha |x− x0| < R, míg |x− x0| > R
esetén divergens.
2.3.6. Tétel (Abel-tétel). Egy hatványsor összegfüggvénye a konvergenciahalmaz min-
den pontjában folytonos.
2.3.7. Tétel. A∞∑n=0
an(x− x0)n hatványsor összegfüggvénye di�erenciálható a konvergen-
ciahalmaz bels® pontjainak halmazán, és ott az f(x) összegfüggvény deriváltfüggvénye
f ′(x) = a1 + 2 · a2 · (x− x0) + 3 · a3 · (x− x0)2 + . . . =∞∑n=0
(n+ 1) · an+1(x− x0)n.
2.3.8. Tétel. A∞∑n=0
an(x− x0)n hatványsor összegfüggvényének létezik primitív függvénye
a konvergenciahalmaz bels® pontjainak halmazán, melyek
F (x) =∞∑n=0
ann+ 1
(x− x0)n+1 + c, ahol c ∈ R.
10
3. fejezet
Korlátos változású sorozatok
3.1. Korlátos változású sorozatok
3.1.1. De�níció (Korlátos változású sorozat). Az (yn) sorozatot korlátos változású
sorozatnak hívjuk, ha a∞∑n=1
|yn+1 − yn| végtelen sor konvergens.
3.1.2. Állítás. Minden monoton és korlátos sorozat korlátos változású.
Bizonyítás: Ha (yn) monoton és korlátos sorozat, akkor (yn+1−yn) állandó el®jel¶, ezért
sn :=n∑
k=1
|yk+1 − yk| =
yn+1 − y1, ha (yn) monoton n®,
y1 − yn+1, ha (yn) monoton fogy.
A monoton és korlátos sorozat konvergens, így
limn→∞
sn =
limn→∞
yn − y1, ha (yn) monoton n®,
y1 − limn→∞
yn, ha (yn) monoton fogy.
Ezért (sn) konvergens, ami azt jelenti, hogy (yn) korlátos változású. �
3.1.3. Állítás. Minden korlátos változású sorozat konvergens.
Bizonyítás: A∞∑n=1
|yn+1 − yn| végtelen sor konvergens, ezért a∞∑n=1
(yn+1 − yn) végtelen
sor is konvergens. Ekkor az
sn :=n∑
k=1
(yk+1 − yk) = yn+1 − y1
11
sorozat konvergens. Ebb®l következik, hogy (yn+1) is konvergens, és így az eggyel kisebb
index¶ (yn) korlátos változású sorozat is konvergens. �
Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is, tehát minden korlátos változású sorozat
korlátos.
3.1.4. Állítás. Egy sorozat pontosan akkor korlátos változású, ha el®állítható két konver-
gens monoton növ® sorozat különbségeként.
Bizonyítás: Legyen (xn) egy korlátos változású sorozat és x0 := 0. Legyenek az (yn) és
(zn) sorozatok az alábbi alakúak:
yn : =n∑
k=1
|xk − xk−1|, ahol n ∈ N+
zn : = yn − xn.
Ekkor zn =n∑
k=1
|xk − xk−1| − xn, n ∈ N+. Az (yn) sorozat nemnegatív tagú sor
részletösszeg-sorozata, ezért monoton növ®. A (zn) sorozatra:
zn+1 ≥ zn
yn+1 − xn+1 ≥ yn − xn
yn+1 − yn ≥ xn+1 − xn
|xn+1 − xn| ≥ xn+1 − xn .
Tehát (zn)monoton növ® sorozat. Már csak (yn) és (zn) konvergenciáját kell belátnunk.
Az (yn) sorozat konvergens, hiszen∞∑k=1
|xk − xk−1| konvergens, ami azt jelenti, hogy a
részletösszeg-sorozata konvergens. A korlátos változású (xn) sorozat a 3.1.3. állítás szerint
konvergens. Végül azt kaptuk, hogy (zn) két konvergens sorozat különbsége, így persze (zn)
konvergenciáját is beláttuk. Következésképpen minden korlátos változású sorozat el®áll
két konvergens monoton növ® sorozat különbségeként. Ezzel a bizonyítás egyik irányát
végigvittük.
A másik iránynál bebizonyítjuk, ha egy sorozat el®áll két konvergens monoton növ®
sorozat különbségeként, akkor az korlátos változású. Legyenek (yn) és (zn) monoton növ®
12
konvergens sorozatok és (yn)→ Y ∈ R (zn)→ Z ∈ R a határértékek. Ekkor az (yn − zn)
sorozat korlátos változású, ez a tulajdonság az alábbi módon bizonyítható:∞∑n=1
|(yn+1 − zn+1)− (yn − zn)| =∞∑n=1
|(yn+1 − yn)− (zn+1 − zn)| .
Ekkor a végtelen sor részletösszeg-sorozata
sn :=n∑
i=1
|(yi+1 − yi)− (zi+1 − zi)| ≤n∑
i=1
|yi+1 − yi|+n∑
i=1
|zi+1 − zi| .
Az egyenl®tlenség jobb oldalán minden tag nemnegatív szám abszolút értéke, így mindkét
n tagú összeg teleszkópos összeg.n∑
i=1
|yi+1 − yi| =n∑
i=1
(yi+1 − yi) = yn+1 − y1 ≤ Y − y1 ,
n∑i=1
|zi+1 − zi| =n∑
i=1
(zi+1 − zi) = zn+1 − z1 ≤ Z − z1 .
Ekkor sn ≤ Y + Z − y1 − z1 ∈ R, tehát az (sn) részletösszeg-sorozat nemnegatív tagú és
korlátos, ezért konvergens. �
3.2. Példák nem korlátos változású sorozatokra
Három példát mutatunk olyan sorozatra, mely konvergens, de nem korlátos változású.
3.2.1. Példa.
xn :=
2n+1
, ha n páratlan, n ∈ N,
0, ha n páros.
Az (xn) számsorozat konvergens és a határértéke 0, továbbá a számsorozat nem mo-
noton. Már csak azt kell látnunk, hogy (xn) nem korlátos változású. Ehhez vizsgáljuk∞∑n=1
|xn+1 − xn| konvergenciáját. Nézzük ezen végtelen sor részletösszegeit.
s2n+1 :=2n+1∑k=1
|xk+1 − xk| =
= |x2 − x1|+|x3 − x2|+|x4 − x3|+. . .+|x2n − x2n−1|+|x2n+1 − x2n|+|x2n+2 − x2n+1| =
= |0−1|+∣∣∣∣12−0
∣∣∣∣+∣∣∣∣0− 1
2
∣∣∣∣+. . .+∣∣∣∣0− 2
(2n−1)+1
∣∣∣∣+∣∣∣∣ 2
(2n+1)+1−0∣∣∣∣+∣∣∣∣0− 2
(2n+1)+1
∣∣∣∣==
n+1∑k=1
1
k+
n+1∑k=2
1
k→ +∞ .
13
A részletösszeg-sorozat páratlan index¶ részsorozata divergens, mert a harmonikus sor
divergens. A továbbiakban a páros index¶ részsorozatot vizsgáljuk.
s2n =2n∑k=1
|xk+1 − xk| =
= |x2 − x1|+|x3 − x2|+|x4 − x3|+. . .+|x2n−1 − x2n−2|+|x2n − x2n−1|+|x2n+1 − x2n| =
= |0−1|+∣∣∣∣12−0
∣∣∣∣+∣∣∣∣0− 1
2
∣∣∣∣+. . .+∣∣∣∣ 2
(2n−1)+1−0∣∣∣∣+∣∣∣∣0− 2
(2n−1)+1
∣∣∣∣+∣∣∣∣ 2
(2n+1)+1−0∣∣∣∣=
=n∑
k=1
1
k+
n+1∑k=2
1
k→ +∞ .
Tehát a∞∑n=1
|xn+1 − xn| végtelen sor divergens, ezért az (xn) sorozat nem korlátos
változású.
3.2.2. Példa.
yn :=(−1)n
n, ahol n ∈ N+.
Az (yn) sorozat zérussorozat, de nem monoton. Az a sejtésünk, hogy (yn) nem korlátos
változású.
yn+1 − yn =(−1)n+1
n+ 1− (−1)n
n= (−1)n+1
(1
n+ 1+
1
n
)|yn+1 − yn| =
1
n+ 1+
1
n>
1
n.
A∞∑n=1
|yn+1 − yn| végtelen sornak minoráns sora∞∑n=1
1n, ami divergens, ezért
∞∑n=1
|yn+1 − yn|
is divergens. Következésképpen (yn) nem korlátos változású.
3.2.3. Példa.
zn :=n∑
i=1
(−1)i+11
i, ahol n ∈ N+.
A (zn) sorozat vajon korlátos változású-e? Ehhez nézzük két egymás melletti tag különb-
ségét.
zn+1 − zn = (−1)n+2 1
n+ 1.
14
Ekkor az eltérés abszolút értéke
|zn+1 − zn| =1
n+ 1.
Tehát∞∑n=1
|zn+1 − zn| =∞∑n=1
1
n+ 1.
A∞∑n=1
1n+1
végtelen sor divergens, ezért (zn) nem korlátos változású.
A (zn) sorozatról megmutatjuk, hogy konvergens, és a határértéke ln 2. (zn) konver-
genciájában azért lehetünk biztosak, mert∞∑i=1
(−1)i+1 1iLeibniz-típusú sor. Már csak azt
kell belátni, hogy zn → ln 2, azaz∞∑i=1
(−1)i+1 1i= ln 2. Ehhez nézzük az f(x) := ln(1 + x),
D(f) := (−1,∞) függvény 0 középpontú Taylor-sorát:
T (x) := x− x2
2+x3
3− x4
4+ . . . =
∞∑n=0
(−1)n+1xn
n.
Tehát a fenti hatványsor együttható-sorozata a0 := 0, an := (−1)n+1
n, n ∈ N+ s ekkor a
konvergenciasugár
R =1
lim supn→∞
n
√∣∣∣ (−1)n+1
n
∣∣∣ = 1,
konvergenciahalmaza (−1, 1].
A hatványsorokra vonatkozó Abel-tétel alkalmazásával vizsgáljuk meg a konvergenciahal-
maz végpontjait. Az |x| < 1 kvóciens¶ mértani sor összegére vonatkozó
1
1 + x=∞∑n=0
(−x)n =∞∑n=0
(−1)nxn, |x| < 1
egyenl®ség mindkét oldalának primitív függvényét véve a (−1, 1) intervallumon, az alábbi
összefüggést kapjuk:
ln(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n xn+1
n+ 1+ c, ahol |x| < 1.
A c konstans értékét az x := 0 helyettesítéssel kaphatjuk meg, c=0, vagyis
ln(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n, ha − 1 < x < 1.
15
A jobb oldali hatványsor x = 1 esetén konvergens, mindkét függvény x = 1 esetén folyto-
nos, ezért az Abel-tétel alapján
ln 2 =∞∑n=1
(−1)n+1
n.
3.2.4. Megjegyzés. A∞∑n=1
(−1)n+1 1nvégtelen sor konvergenciájának létezik elemi bizo-
nyítása is, mely több lépésb®l áll.
Tekintsük az (xn) sorozatot, melynek tagjai az alábbi formában állnak el®:
xn := 1 +1
2+
1
3+ . . .+
1
n− lnn, ahol n ∈ N+.
1. Állítás. xn ≥ 1n, ahol n ∈ N+.
Bizonyítás: Az egyenl®tlenséget teljes indukcióval bizonyítjuk. Az els® tagra igaz
az állítás.
x1 = 1 ≥ 1.
Tegyük fel, hogy n-re és annál kisebb indexek mindegyikére teljesül az állítás. Ekkor
írjuk fel n+ 1-re a bizonyítandó egyenl®tlenséget.
xn+1 ≥1
n+ 1.
xn+1 = 1 +1
2+ . . .+
1
n+ 1− ln(n+ 1) =(
1 +1
2+ . . .+
1
n− lnn
)+ lnn+
1
n+ 1− ln(n+ 1).
Az indukciós feltétel szerint elég igazolni, hogy
1
n+ lnn+
1
n+ 1− ln(n+ 1) ≥ 1
n+ 11
n≥ ln(n+ 1)− lnn = ln
n+ 1
n= ln
(1 +
1
n
)1 ≥ n · ln
(1 +
1
n
)= ln
(1 +
1
n
)n
︸ ︷︷ ︸<e
.
Az(1 + 1
n
)nsorozatról tudjuk, hogy monoton növ® módon tart az e számhoz. Ezzel
igazoltuk, hogy (xn) alulról korlátos, hiszen minden tagja pozitív. �
Vizsgáljuk meg a sorozatot monotonitás szempontjából.
16
2. Állítás. xn+1 < xn, n ∈ N+.
Bizonyítás:
1 +1
2+ . . .+
1
n+ 1− ln(n+ 1) < 1 +
1
2+ . . .+
1
n− lnn
1
n+ 1< ln(n+ 1)− lnn = ln
n+ 1
n= ln
(1 +
1
n
)1 < (n+ 1) · ln
(1 +
1
n
)= ln
(1 +
1
n
)n+1
.
Az(1 + 1
n
)n+1sorozatról tudjuk, hogy szigorúan monoton csökken® módon tart az
e számhoz. Tehát (xn) szigorúan monoton fogyó. Ezzel az állítást igazoltuk. �
Az (xn) sorozat szigorúan monoton csökken®, és alulról korlátos, így konvergens.
A C := limn→∞
xn ∈ R határértéket Euler-Mascheroni konstansnak nevezzük, értéke
C ≈ 0, 5772156649.
3. Állítás. limn→∞
(1
n+1+ . . .+ 1
2n
)= ln 2.
Bizonyítás: A korábban de�niált (xn) sorozat konvergens, ezért (x2n − xn) null-
sorozat, hiszen limn→∞
(xn) = limn→∞
(x2n) ∈ R, vagyis
x2n − xn =
[(1 +
1
2+ . . .+
1
2n
)− ln 2n
]−[(
1 +1
2+ . . .+
1
n
)− lnn
]=
=1
n+ 1+ . . .+
1
2n− ln 2→ 0.
Ebb®l következik, hogy 1n+1
+ . . .+ 12n→ ln 2. �
4. Állítás.∞∑n=1
(−1)n+1
n= ln 2.
Bizonyítás: Legyen zn :=n∑
k=1
(−1)k+1
k, ahol n ∈ N+. Nézzük a zn sorozat páros,
majd a páratlan index¶ tagjait:
z2n = 1− 1
2+
1
3− 1
4+ . . .− 1
2n=
=
(1 +
1
2+ . . .+
1
2n
)− 2
(1
2+
1
4+ . . .+
1
2n
)=
1
n+ 1+ . . .+
1
2n→ ln 2,
z2n+1 = z2n +1
2n+ 1→ ln 2.
Ebb®l következik, hogy zn → ln 2, s így∞∑n=1
(−1)n+1 1n= ln 2. �
17
4. fejezet
Abel és Dirichlet tétele
4.1. Abel-átrendezés, Abel-egyenl®tlenségek
4.1.1. Tétel (Abel-átrendezés). Legyenek ck, dk, k = 1, . . . , n valós számok, és jelölje
sk ak∑
i=1
di összeget bármely k = 1, . . . , n esetén. Ekkor an∑
k=1
ckdk összeg átrendezhet® a
következ®képpen:
n∑k=1
ckdk =n−1∑k=1
(ck − ck+1)sk + cnsn.
Bizonyítás:n∑
k=1
ckdk = c1d1 + c2d2 + . . .+ cndn = c1s1 + c2(s2 − s1) + . . .+ cn(sn − sn−1) =
(c1 − c2)s1 + (c2 − c3)s2 + . . .+ (cn−1 − cn)sn−1 + cnsn =n−1∑k=1
(ck − ck+1)sk + cnsn.
Ezzel a tételt beláttuk. �
4.1.2. Tétel (I. Abel-egyenl®tlenség). Legyenek ck, dk, k = 1, . . . , n olyan valós szá-
mok, melyekre a (ck) véges sorozat monoton fogyó és nemnegatív tagú, továbbá m ≤k∑
i=1
di ≤M bármely k = 1, . . . , n esetén. Ekkor igaz a következ® egyenl®tlenség:
c1 ·m ≤n∑
k=1
ckdk ≤ c1 ·M.
Bizonyítás: A tétel feltétele szerint
m ≤k∑
i=1
di ≤M,
18
ami ekvivalens azzal, hogy m ≤ sk ≤ M , ahol sk :=k∑
i=1
di, k = 1, . . . , n. Az Abel-
átrendezést alkalmazva an∑
k=1
ckdk = (c1 − c2)s1 + (c2 − c3)s2 + . . .+ (cn−1 − cn)sn−1 + cnsn
összegben minden sk helyére M -et írva fels® becslést kapunk, mert a tétel másik feltétele
szerint a (ck) sorozatról megköveteljük, hogy monoton fogyó legyen, és ennek köszönhet®en
az összegben szerepl® (ci − ci+1), i = 1, . . . , n − 1 és cn egyike sem lesz negatív. Végül a
következ®t kapjuk fels® becslésként:n∑
k=1
ckdk ≤ (c1 − c2)M + (c2 − c3)M + . . .+ (cn−1 − cn)M + cnM = c1 ·M.
Ezzel igazoltuk a tétel második egyenl®tlenségét.
Az els® hasonlóan kihozható, hiszen ha an∑
k=1
ckdk = (c1 − c2)s1 + (c2 − c3)s2 + . . .+ (cn−1 − cn)sn−1 + cnsn
összegben minden sk helyérem-et írunk, akkor az összeget alulról becsüljük, hiszenm ≤ sk
minden k = 1, . . . , n esetén, így az alábbi alsó becsléshez jutunk:
c1 ·m = (c1 − c2)m+ (c2 − c3)m+ . . .+ (cn−1 − cn)m+ cnm ≤n∑
k=1
ckdk.
Ezzel igazoltuk a tétel els® egyenl®tlenségét is. �
4.1.3. Következmény. Legyenek a ck, dk, k = 1, . . . , n olyan valós számok, melyekre
a (ck) véges sorozat monoton fogyó és nemnegatív tagú, valamint
∣∣∣∣ k∑i=1
di
∣∣∣∣ ≤ M bármely
k = 1, . . . , n esetén. Ekkor igaz a következ® egyenl®tlenség:∣∣∣∣∣n∑
k=1
ckdk
∣∣∣∣∣ ≤ c1 ·M.
Az el®z®ekhez hasonló becslés adható akkor is, ha a (ck) véges sorozat nem állandó
el®jel¶.
4.1.4. Tétel (II. Abel-egyenl®tlenség). Legyenek a ck, dk, k = 1, . . . , n olyan valós
számok, melyekre a (ck) véges sorozat monoton és
∣∣∣∣ k∑i=1
di
∣∣∣∣ ≤ M bármely k = 1, . . . , n
esetén. Ekkor igaz a következ® egyenl®tlenség:∣∣∣∣∣n∑
k=1
ckdk
∣∣∣∣∣ ≤ (|c1|+ 2 |cn|) ·M.
19
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy (ck)monoton fogyó véges sorozat, ebben az esetben nyilván
teljesül, hogy
c1 − cn ≥ c2 − cn ≥ . . . ≥ cn−1 − cn ≥ 0.
Ekkor az I. Abel-egyenl®tlenség következményének felhasználásával az alábbi összefüggés-
hez jutunk: ∣∣∣∣∣n∑
k=1
(ck − cn)dk
∣∣∣∣∣ ≤ (c1 − cn) ·M.
Ebb®l következik, hogy∣∣∣∣∣n∑
k=1
ckdk
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣
n∑k=1
(ck − cn)dk +n∑
k=1
cndk
∣∣∣∣∣ ≤≤
∣∣∣∣∣n∑
k=1
(ck − cn)dk
∣∣∣∣∣+ |cn| ·∣∣∣∣∣
n∑k=1
dk
∣∣∣∣∣ ≤ ( c1 − cn︸ ︷︷ ︸≤|c1|+|cn|
) ·M + |cn| ·M ≤ (|c1|+ 2 |cn|) ·M.
Ha (ck) monoton növ® véges sorozat, akkor (−ck) monoton fogyó, ezért alkalmazhatjuk
a már bizonyított monoton fogyó eset becslését:∣∣∣∣∣n∑
k=1
ckdk
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣
n∑k=1
(−ck)dk
∣∣∣∣∣ ≤ (|−c1|+ 2 |−cn|) ·M = (|c1|+ 2 |cn|) ·M.
Ezzel a tételt beláttuk. �
4.2. Abel és Dirichlet tétele
4.2.1. Tétel (Dirichlet-tétel). Tegyük fel, hogy a (zn) sorozat (sn) részletösszeg-soro-
zata korlátos, továbbá (yn) korlátos változású nullsorozat. Ekkor a
∞∑n=1
sn(yn − yn+1) és a∞∑n=1
(ynzn)
végtelen sorok konvergensek, és az összegük egyenl®.
Bizonyítás: Tekintsük a∞∑n=1
sn(yn − yn+1) végtelen sort. Az (sn) részletösszeg-sorozat
korlátos, tehát létezik olyan K ∈ R, melyre |sn| ≤ K minden n indexre. Az (yn) so-
rozat korlátos változású, így a de�níció szerint a∞∑n=1
|yn − yn+1| végtelen sor konvergens.
20
Tekintsük a∞∑n=1
|sn(yn − yn+1)| végtelen sor részletösszegeit.
n∑k=1
|sk(yk − yk+1)| =n∑
k=1
|sk| · |yk − yk+1| ≤ K
n∑k=1
|yk − yk+1| ≤ K
∞∑k=1
|yk − yk+1| ∈ R.
∞∑k=1
|sk(yk − yk+1)| részletösszegei felülr®l korlátosak, ezért ez a végtelen sor konvergens,
azaz∞∑k=1
sk(yk − yk+1) abszolút konvergens.
Ez másképp is bizonyítható. Használjuk a Cauchy-konvergenciakritériumot, melynek
segítségével belátható, hogy a∞∑n=1
sn(yn − yn+1) végtelen sor abszolút konvergens. A tétel
feltétele szerint a (zn) sorozat (sn) részletösszeg-sorozata korlátos, tehát létezik olyan K
valós szám, melyre |sn| ≤ K minden n indexre. Feltettük továbbá, hogy (yn) korlátos vál-
tozású, ezért∞∑n=1
|yn − yn+1| konvergens. A Cauchy-konvergenciakritérium szerint bármely
ε ∈ R+ számhoz található olyan N εKindex, hogy minden N ε
K≤ m < n indexre
n∑k=m+1
|yk − yk+1| <ε
K.
Ekkorn∑
k=m+1
|sk(yk − yk+1)| =n∑
k=m+1
|sk| · |yk − yk+1| ≤ Kn∑
k=m+1
|yk − yk+1| < K · εK
= ε.
Így a Cauchy-kritérium szerint a∞∑n=1
sn(yn − yn+1) végtelen sor abszolút konvergens.
Az Abel-átrendezés szerintn∑
k=1
ykzk = ynsn +n−1∑k=1
sk(yk − yk+1).
Mivel (yn) nullsorozat és (sn) korlátos, ezért limn→∞
ynsn = 0, így a bal oldalon álló sorozat
is konvergens, és az el®z® egyenl®ség mindekét oldalának határértékét képezve
limn→∞
n∑k=1
ykzk︸ ︷︷ ︸∞∑
k=1ykzk
= limn→∞
ynsn︸ ︷︷ ︸0
+ limn→∞
n−1∑k=1
sk(yk − yk+1)︸ ︷︷ ︸∞∑
k=1sk(yk−yk+1)
.
Tehát a∞∑n=1
sn(yn − yn+1) és a∞∑n=1
(ynzn) végtelen sorok összege egyenl®. Ezzel a Dirichlet-
tételt beláttuk. �
Milyen elegend® feltétel adható, hogy x valós szám és (yn) számsorozat esetén az
(yn sinnx), illetve az (yn cosnx) sorozatból képzett végtelen sorok konvergensek legyenek?
21
4.2.2. Példa. A∞∑n=1
sinnx végtelen sor részletösszeg-sorozata korlátos, ahol x ∈ R.
Ha x 6= 2lπ, l ∈ Z, akkor an∑
k=1
sin kx részletösszeget a 2 sin x2kifejezéssel b®vítve, majd a
cos(α + β)− cos(α− β) = −2 sinα · sin β, α, β ∈ R
addíciós képletet alkalmazva az alábbit kapjuk:∣∣∣∣∣n∑
k=1
sin kx
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1
2 sin x2
n∑k=1
2 sin kx sinx
2
∣∣∣∣∣ ==
∣∣∣∣∣ 1
2 sin x2
n∑k=1
[cos
(k − 1
2
)x− cos
(k +
1
2
)x
]∣∣∣∣∣ .Az utolsó összeg teleszkópos, ezért(
cos1
2x− cos
3
2x
)+
(cos
3
2x− cos
5
2x
)+ . . .+
(cos
(n− 1
2
)− cos
(n+
1
2
))=
= cos1
2x− cos
(n+
1
2
)x.
A fenti összefüggést felhasználva, majd a háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva a követ-
kez® egyenl®tlenséghez jutunk:∣∣∣∣∣n∑
k=1
sin kx
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1
2 sin x2
∣∣∣∣ · ∣∣∣∣cos x2 − cos
(n+
1
2
)x
∣∣∣∣ ≤≤∣∣∣∣ 1
2 sin x2
∣∣∣∣ · [∣∣∣cos x2 ∣∣∣+∣∣∣∣cos(n+
1
2
)x
∣∣∣∣] ≤ ∣∣∣∣ 1
sin x2
∣∣∣∣ .Tehát
∞∑n=1
sinnx részletösszeg-sorozata felülr®l korlátos, ha x ∈ R és x 6= 2lπ, l ∈ Z.
Ha x = 2lπ, l ∈ Z alakú, akkor a végtelen sor minden tagja 0, így a részletösszeg-
sorozat felülr®l korlátos.
4.2.3. Példa. Hasonlóan belátható, hogy∞∑n=1
cosnx részletösszeg-sorozata felülr®l korlá-
tos, ha x 6= 2lπ, l ∈ Z. ∣∣∣∣∣n∑
k=1
cos kx
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1
2 sin x2
n∑k=1
2 cos kx sinx
2
∣∣∣∣∣ ==
∣∣∣∣∣ 1
2 sin x2
n∑k=1
[sin
(k +
1
2
)x− sin
(k − 1
2
)x
]∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1
2 sin x2
∣∣∣∣ · ∣∣∣∣sin(n+1
2
)x− sin
x
2
∣∣∣∣ ≤≤∣∣∣∣ 1
2 sin x2
∣∣∣∣ · [∣∣∣∣sin(n+1
2
)x
∣∣∣∣+ ∣∣∣sin x2 ∣∣∣]≤∣∣∣∣ 1
sin x2
∣∣∣∣ .Ha x = 2lπ, l ∈ Z, akkor a részletösszeg-sorozat felülr®l nem korlátos.
22
4.2.4. Példa. Ha (yn) korlátos változású nullsorozat, akkor minden x ∈ R esetén a∞∑n=1
yn sinnx végtelen sor konvergens.
4.2.5. Példa. Ha (yn) korlátos változású nullsorozat, akkor minden x ∈ R, x 6= 2lπ
esetén a∞∑n=1
yn cosnx végtelen sor konvergens.
A Dirichlet-tétel egy speciális esete az alábbi következmény.
4.2.6. Következmény. Tegyük fel, hogy
• az (yn) sorozat monoton csökken® zérussorozat, és
• a∞∑n=1
zn végtelen sor részletösszegeinek sorozata korlátos.
Ekkor a∞∑n=1
ynzn végtelen sor konvergens.
Bizonyítás: Az (yn) zérussorozat korlátos, így a feltétel szerint monoton és korlátos,
tehát korlátos változású. �
4.2.7. Tétel (Abel-tétel). Legyen (yn) korlátos változású sorozat, és a∞∑n=1
(zn) végtelen
sor konvergens, ekkor a∞∑n=1
(ynzn) végtelen sor konvergens.
Bizonyítás: Az (yn) sorozat korlátos változású, ezért konvergens. Jelölje (sn) a∞∑n=1
(zn)
végtelen sor részletösszeg-sorozatát. Mivel a∞∑n=1
(zn) végtelen sor konvergens, ezért (sn)
konvergens. Ekkor vizsgáljuk a limn→∞
(yn · sn) határértéket:
limn→∞
(yn · sn) = limn→∞
yn · limn→∞
sn = limn→∞
yn ·∞∑n=1
(zn).
Tehát fent két konvergens sorozat szorzata szerepel, s ekkor (yn · sn) konvergens és a
határértéke megegyezik a két tényez® határértékének szorzatával. Ahogy a Dirichlet-tétel
bizonyításában láttuk, az Abel-átrendezést alkalmazva minden n indexre
n∑k=1
ykzk = ynsn +n−1∑k=1
sk(yk − yk+1).
A jobb oldali második tag konvergens, ami pontosan úgy bizonyítható,mint a Dirichlet-
tétel bizonyításában. Mivel a jobb oldali összeg mindkét tagja konvergens,ezért a∞∑n=1
(ynzn)
végtelen sor konvergens. �
Az Abel-tétel egy speciális esete az alábbi következmény.
23
4.2.8. Következmény. Tegyük fel, hogy
• az (yn) sorozat monoton és korlátos, és
• a∞∑n=1
zn végtelen sor konvergens.
Ekkor a∞∑n=1
ynzn végtelen sor is konvergens.
Bizonyítás: Az (yn) sorozat monoton és korlátos, tehát korlátos változású. �
4.2.9. Állítás. Ha (zn) monoton fogyó sorozat, akkor(z1+...+zn
n
)is monoton fogyó.
Bizonyítás: Azt kell igazolnunk, hogy
z1 + . . .+ znn
≥ z1 + . . .+ zn+1
n+ 1, n ∈ N+.
Ekvivalens átalakítással a következ®t kapjuk:
(n+ 1) · z1 + . . .+ (n+ 1) · zn ≥ n · z1 + . . .+ n · zn + n · zn+1,
z1 + . . .+ zn ≥ n · zn+1.
A (zn) sorozat monoton fogyó, ezért
z1 ≥ zn+1,
z2 ≥ zn+1,
...
zn ≥ zn+1.
Ebb®l következik, hogy z1 + . . . + zn ≥ n · zn+1. Ezzel igazoltuk, hogy a monoton fogyó
(zn) sorozat számtaniközép-sorozata is monoton fogyó. �
4.2.10. Megjegyzés. Hasonlóan belátható, hogy monoton növ® sorozat számtaniközép-
sorozata is monoton növ®.
4.2.11. Példa. A∞∑n=1
sinnn
(1 + 1
2+ . . .+ 1
n
)végtelen sor konvergens.
A 4.2.2. példából tudjuk, hogy∣∣∣∣∣n∑
k=1
sin kx
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣ 1
sin x2
∣∣∣∣ , x 6= 2lπ, l ∈ Z.
24
Ezt x = 1 esetén alkalmazva a következ®t kapjuk:∣∣∣∣∣n∑
k=1
sin k
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣ 1
sin 12
∣∣∣∣ .Tehát a
∞∑n=1
sinn végtelen sor részletösszeg-sorozata korlátos.
Még megmutatjuk, hogy az(
1+ 12+...+ 1
n
n
)sorozat korlátos változású nullsorozat. A 4.2.9.
állításból arra következtethetünk, hogy mivel ( 1n) monoton fogyó, ezért
(1+ 1
2+...+ 1
n
n
)is
monoton fogyó. Már csak azt kell belátnunk, hogy ez a számtaniközép-sorozat nullsorozat.
Ehhez vegyük az 1xfüggvény [1, n] intervallumon vett Riemann-integráljának becslését az
alábbi módon:
lnn =
∫ n
1
1
xdx >
1
2+ . . .+
1
n,
lnn+ 1 > 1 +1
2+ . . .+
1
n.
Ekkor felírható, hogy
0 <1 + 1
2+ . . .+ 1
n
n<
lnn+ 1
n→ 0.
A rend®r-elv szerint az(
1+ 12+...+ 1
n
n
)sorozat nullsorozat, továbbá monoton fogyó, ezért kor-
látos változású. Tehát alkalmazható a Dirichlet-tétel, a∞∑n=1
sinnn
(1 + 1
2+ . . .+ 1
n
)végtelen
sor konvergens.
25
A 7.1.2. tétel bizonyítása szerint minden konvergens sorozat számtaniközép-sorozata
is konvergens, és a két határérték megegyezik.
4.2.12. Példa. A∞∑n=1
cosn·sin(na)n
végtelen sor bármely a ∈ R esetén konvergens.
Vegyük észre, hogy a
sinα · cos β =1
2
(sin(α + β) + sin(α− β)
)addíciós tételt alkalmazva a következ®höz jutunk:
cosn·sin(na)n
= 12
(sin(n(a+1))+sin(n(a−1))
n
)= 1
2n· sin(n(a+ 1)) + 1
2n· sin(n(a− 1)).
Itt a∞∑k=1
sin(k(a+ 1)
)és
∞∑k=1
sin(k(a− 1)
)végtelen sorok részletösszeg-sorozatai a 4.2.2.
példa alapján korlátosak. Az(
12n
)sorozatról tudjuk, hogy monoton fogyó módon tart a
nullába. Tehát alkalmazható a Dirichlet-tétel következménye, a∞∑n=1
cosn·sin(na)n
végtelen sor
konvergens.
4.2.13. Példa. A∞∑n=1
(−1)n arctann√n
végtelen sor konvergens.
Az (arctann) sorozat monoton növ® és korlátos, tehát konvergens, a határértéke pedig
limn→∞
arctann =π
2.
Az ( 1√n) sorozat monoton fogyó és nemnegatív tagú, így a
∞∑n=1
(−1)n 1√nvégtelen sor
Leibniz-típusú. Mivel limn→∞
1√n
= 0, ezért∞∑n=1
(−1)n 1√nkonvergens. Tehát alkalmazható
az Abel-tétel következménye, s így a vizsgált végtelen sor konvergens.
4.2.14. Példa. A∞∑n=1
(−1)nn√lnxn
végtelen sor konvergens, ha x > 1.
A 3.2.4. megjegyzés 4. állításából tudjuk, hogy a∞∑n=1
(−1)nn
végtelen sor konvergens, összege
− ln 2. Az ( n√lnx) sorozat korlátos, és ha x > e, akkor szigorúan monoton csökken®, míg az
1 < x < e esetén szigorúan monoton növekv®. Alkalmazható az Abel-tétel következménye,
a∞∑n=1
(−1)nn√lnxn
végtelen sor konvergens.
26
5. fejezet
Függvénysorozatok és függvénysorok
5.1. Függvénysorozatok
5.1.1. De�níció (Függvénysorozat). Egy olyan hozzárendelést, mely minden n ter-
mészetes számhoz egy valós f függvényt rendel, függvénysorozatnak hívjuk, és a követke-
z®képp jelöljük: (fn).
5.1.2. De�níció (Egyenletes korlátosság). Legyen (fn) függvénysorozat és D(fn) =
H, n ∈ N+. Ezt a függvénysorozatot egyenletesen korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan
K valós szám, hogy bármely n index esetén minden x ∈ H elemre |fn(x)| ≤ K.
5.1.3. De�níció (Pontonkénti konvergencia). Legyen (fn) függvénysorozat, melyre
D(fn) = H, n ∈ N+. Az (fn) függvénysorozat pontonként konvergál az f : H → R
függvényhez, ha a H halmaz minden x elemére teljesül
limn→∞
fn(x) = f(x).
Jelölés: fn → f .
5.1.4. De�níció (Egyenletes konvergencia). Legyen (fn) függvénysorozat és f valós
függvény, melyekre D(fn) = D(f) = H, n ∈ N+. Az (fn) függvénysorozat egyenletesen
konvergens a H halmazon, ha minden ε ∈ R+ számhoz található Nε ∈ N+ küszöbindex,
hogy bármely n ∈ N+, n ≥ Nε esetén minden x ∈ H elemre teljesül
|fn(x)− f(x)| < ε.
Jelölés: fn f .
27
5.1.5. Állítás. Ha az (fn) függvénysorozat egyenletesen konvergens a H halmazon, akkor
pontonként is.
Bizonyítás: Ha a függvénysorozat egyenletesen konvergens, akkor annak de�nícióját
bármely rögzített x ∈ H elemre alkalmazva azt kapjuk, hogy az (fn(x)) számsorozat
konvergens. �
5.1.6. Tétel (Cauchy-konvergenciakritérium). Az (fn) függvénysorozat akkor és
csak akkor konvergál egyenletesen a H halmazon, ha bármely ε ∈ R+ számhoz található
olyan N ∈ N+ küszöbindex, hogy minden n,m ≥ N index esetén bármely x ∈ H elemre
teljesül
|fn(x)− fm(x)| < ε.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy fn f a H halmazon, tehát bármely ε ∈ R+ számhoz
található olyan Nε ∈ N+ küszöbindex, hogy bármely n ≥ Nε indexre és minden x ∈ H
elemre teljesül, hogy |fn(x)− f(x)| < ε. Ekkor az ε2∈ R+ számhoz is választható olyan
N ε2∈ N+ küszöbindex, hogy n ≥ N ε
2index esetén bármely x ∈ H elemre |fn(x)− f(x)| <
ε2. Ezek után a háromszög-egyenl®tlenség alkalmazásával minden x ∈ H elemre és bármely
n,m ≥ N ε2indexek esetén teljesülnek az alábbiak:
|fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− f(x) + f(x)− fm(x)| ≤
≤ |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− fm(x)| <ε
2+ε
2= ε.
A másik irány belátásához elegend® felismerni, hogy adott x ∈ H elemre az (fn(x))
számsorozatra teljesül a Cauchy-konvergenciakritérium feltétele. Ezért az (fn(x)) szám-
sorozat konvergens, és ekkor legyen f : H → R az a függvény, amelyre minden x ∈ H
elemre
f(x) := limn→∞
fn(x).
A továbbiakban azt látjuk be, hogy fn f a H halmazon. Adott ε ∈ R+ számhoz
található olyan N∗ε2∈ N+ küszöbindex, hogy minden n,m ≥ N∗ε
2indexre és bármely x ∈ H
elemre teljesül |fn(x)− fm(x)| < ε2. Legyen n ≥ N∗ε
2adott index és x ∈ H rögzített elem,
ekkor m→ +∞ esetén
|fn(x)− f(x)| = limm→∞
|fn(x)− fm(x)| ≤ε
2< ε.
28
Következésképpen fn f a H halmazon, s ezzel a Cauchy-konvergenciakritériumot be-
láttuk. �
A továbbiakban olyan példát mutatunk, ahol az fn : [0, 1] → R függvénysorozat
pontonként konvergál a 0 konstansfüggvényhez, de egyenletesen nem konvergens.
5.1.7. Példa.
fn(x) :=
2nx, ha 0 ≤ x ≤ 1
2n,
2− 2nx, ha 12n< x ≤ 1
n,
0, ha 1n< x ≤ 1.
Ha 1 ≥ x > 0, akkor található olyan N ∈ N+, hogy 1N< x. Ha n ≥ N , akkor
1n≤ 1
N< x, ezért fn(x) = 0. Következésképpen (fn(x)) egy indext®l kezdve a nulla
konstans sorozat, így fn(x)→ 0. Ha x = 0, akkor minden n indexre fn(x) = 0.
Tehát az f(x) := 0, D(f) = [0, 1] konstansfüggvény a függvénysorozat limeszfüggvé-
nye, így csak ehhez a függvényhez konvergálhatna egyenletesen. Indirekt módon tegyük
fel, hogy egyenletesen konvergál, s ekkor teljesülni kellene annak, hogy minden ε ∈ R+
számhoz található Nε ∈ N+ küszöbindex, hogy bármely n ∈ N+, n ≥ Nε esetén, minden
x ∈ [0, 1] elemre
|fn(x)− f(x)| = |fn(x)| < ε.
29
Ellentmondásra jutunk ε < 1 esetén, hiszen ha x := 12n, akkor fn(x) = 1. Tehát (fn) nem
tart egyenletesen a 0 függvényhez.
5.2. Függvénysorok
Legyen az (fn) függvénysorozat tagjainak a H nemüres halmaz a közös értelmezési
tartománya. Ezen függvények végtelen összegét függvénysornak nevezzük, és az alábbi
módon jelöljük:
∞∑n=1
fn = f1 + f2 + . . .+ fn + . . . .
5.2.1. De�níció. Legyen az (fn) függvénysorozat tagjainak a H nemüres halmaz a közös
értelmezési tartománya. Az olyan x ∈ H elemek halmazát, melyekre∞∑n=1
fn(x) konvergens,
a∞∑n=1
fn függvénysor konvergenciahalmazának nevezzük és K-val jelöljük.
A függvénysor összegfüggvénye az a K halmazon értelmezett f függvény, melyre
f(x) :=∞∑n=1
fn(x), x ∈ K.
Ekkor azt mondjuk, hogy a∞∑n=1
fn függvénysor pontonként konvergál a K halmazon,
és összegfüggvénye az f függvény.
Tehát∞∑n=1
fn = f akkor és csak akkor teljesül, ha az sn :=n∑
k=1
fk, n ∈ N+ függvényekb®l
álló függvénysorozat pontonként konvergál az f függvényhez a K halmazon.
5.2.2. De�níció (Egyenletes konvergencia). A∞∑n=1
fn függvénysort egyenletesen kon-
vergensnek mondjuk a H halmazon, ha az (sn) függvénysorozat egyenletesen konvergens
a H halmazon.
5.2.3. De�níció (Abszolút konvergencia). Azt mondjuk, hogy a∞∑n=1
fn függvénysor
abszolút konvergens a H halmazon, ha∞∑n=1
|fn| pontonként konvergens a H halmazon.
30
5.2.4. Tétel (Cauchy-konvergenciakritérium). A∞∑n=1
fn függvénysor akkor és csak
akkor konvergál egyenletesen a H halmazon, ha bármely ε ∈ R+ számhoz található olyan
Nε ∈ N+, hogy Nε ≤ m ≤ n indexek esetén bármely x ∈ H elemre teljesül∣∣∣∣∣n∑
k=m+1
fk(x)
∣∣∣∣∣ < ε.
Bizonyítás: A függvénysorozatokra vonatkozó Cauchy-konvergenciakritériumból köny-
nyen adódik a fenti tétel bizonyítása. �
31
6. fejezet
Abel és Dirichlet tétele függvénysorokra
6.1. Dirichlet tétele
6.1.1. Tétel (Dirichlet-tétel függvénysorokra). Legyen H ⊂ R adott halmaz, to-
vábbá legyenek minden n ∈ N+ esetén az fn : H → R és gn : H → R függvények.
Tegyük fel, hogy
• bármely x ∈ H elemre az (fn(x)) sorozat monoton,
• a H halmazon az (fn) függvénysorozat egyenletesen tart a nullába,
• a∞∑n=1
gn függvénysor (sn) részletösszeg-sorozata egyenletesen korlátos a H halmazon.
Ekkor a∞∑n=1
fngn függvénysor egyenletesen konvergens a H halmazon.
Bizonyítás: A tétel harmadik feltétele szerint∞∑n=1
gn részletösszeg-sorozata egyenletesen
korlátos, ahol az n-edik részletösszeg sn :=n∑
k=1
gk formájú. E feltétel miatt létezik olyan
K ∈ R+ szám, melyre minden n indexre és x ∈ H elemre |sn(x)| ≤ K teljesül. A második
feltétel alapján fn 0 a H halmazon, de�níció szerint ez azt jelenti, hogy bármely ε ∈ R+
számhoz létezik olyan Nε küszöbindex, hogy minden n ≥ Nε indexre és bármely x ∈ H
elemre igaz, hogy
|fn(x)− f(x)| = |fn(x)− 0| = |fn(x)| < ε.
Ekkor létezik olyan N ε2K
küszöbindex, hogy az N ε2K
indext®l kezdve bármely n indexre és
minden x ∈ H elemre |fn(x)| < ε2K
.
32
Az (fn) függvénysorozat egyenletesen tart a nullába, ezért pontonként is, így bármely
x ∈ H elemre az (fn(x)) sorozat állandó el®jel¶. Ezt követ®en ha N ε2K≤ n < m és
x ∈ H adott elem, akkor felhasználható az I. Abel-egyenl®tlenség, miszerint monoton
fogyó nemnegatív tagú (fn(x)) sorozatra
−ε < fn(x) · (−2K) ≤ fn(x)gn(x) + . . .+ fm(x)gm(x) ≤ fn(x) · 2K < ε,
ha (fn(x)) monoton növ® nempozitív tagú, akkor
−ε < −fn(x)︸ ︷︷ ︸|fn(x)|
·(−2K) ≤ −fn(x)gn(x)− . . .− fm(x)gm(x) ≤ −fn(x)︸ ︷︷ ︸|fn(x)|
·2K < ε,
hiszen bármely x ∈ H elemre
|gn(x) + . . .+ gm(x)| = |(g1(x) + . . .+ gm(x))− (g1(x) + . . .+ gn−1(x))| ≤
≤ |sm(x)|+ |sn−1(x)| ≤ 2K.
Így bármely x ∈ H számra igaz
|fn(x)gn(x) + . . .+ fm(x)gm(x)| < ε.
Tehát a∞∑n=1
fngn függvénysor kielégíti a Cauchy-konvergenciakritérium feltételét, s így a
vizsgált függvénysorról elmondható, hogy egyenletesen konvergens. �
6.1.2. Következmény. Tegyük fel, hogy (γn) monoton fogyó zérussorozat, és legyen a∞∑n=1
gn függvénysor (sn) részletösszeg-sorozata egyenletesen korlátos a H halmazon. Ekkor
∞∑n=1
γngn egyenletesen konvergens a H halmazon.
6.2. Abel tétele
6.2.1. Tétel (Abel-tétel függvénysorokra). Legyen H ⊂ R adott halmaz, továbbá le-
gyenek minden n ∈ N+ esetén az fn : H → R és gn : H → R függvények.
Tegyük fel, hogy
• az (fn) függvénysorozat egyenletesen korlátos a H halmazon,
• az (fn(x)) sorozat monoton bármely x ∈ H esetén,
33
• a∞∑n=1
gn függvénysor egyenletesen konvergens a H halmazon.
Ekkor a∞∑n=1
fngn függvénysor egyenletesen konvergens a H halmazon.
Bizonyítás: Az els® feltétel szerint létezik olyan K ∈ R+, hogy minden n indexre és
bármely x ∈ H elemre |fn(x)| ≤ K. A tétel harmadik feltétele szerint a∞∑n=1
gn függvénysor
egyenletesen konvergens, emiatt a Cauchy-konvergenciakritérium alapján minden ε ∈ R+
számhoz létezik olyan N ε6K
index, hogy m > n ≥ N ε6K
indexek esetén minden x ∈ H
elemre ∣∣∣∣∣m∑i=n
gi(x)
∣∣∣∣∣ < ε
6K.
A tétel második feltételéb®l tudjuk, hogy az (fn(x)) sorozat monoton, így a II. Abel-
egyenl®tlenség alkalmazásával minden m > n ≥ N ε6K
esetén bármely x ∈ H elemre∣∣∣∣∣m∑i=n
fi(x)gi(x)
∣∣∣∣∣ ≤ (|fn(x)|+ 2 |fm(x)|) ·ε
6K≤ ε
2< ε.
Ebb®l következik a függvénysorokra vonatkozó Cauchy-konvergenciakritérium alapján,
hogy a∞∑n=1
fngn függvénysor egyenletesen konvergens a H halmazon. �
6.2.2. Következmény. Legyen az (fn) függvénysorozat egyenletesen korlátos a H hal-
mazon és tegyük fel, hogy minden x ∈ H esetén az (fn(x)) sorozat monoton. Legyen a∞∑n=1
γn végtelen sor konvergens. Ekkor a∞∑n=1
γnfn függvénysor egyenletesen konvergens a H
halmazon.
34
7. fejezet
Szummábilis sorok és az
Abel-szummáció
7.1. Szummábilis sorok
7.1.1. De�níció (Szummábilis sor). A∞∑n=1
an végtelen sort szummábilis sornak ne-
vezzük, melynek szummája A ∈ R, ha az sn :=n∑
k=1
ak, n ∈ N+ részletösszeg-sorozat
számtaniközép-sorozata konvergens, és a határértéke
limn→∞
s1 + . . .+ snn
= A.
7.1.2. Tétel. Ha a∞∑n=1
an végtelen sor konvergens, és∞∑n=1
an = A, akkor a végtelen sor
szummábilis és a szummája A.
Bizonyítás: Mivel a∞∑n=1
an végtelen sor konvergens és összege A ∈ R, ezért az (sn)
részletösszeg-sorozata konvergens, és sn → A. Ekkor bármely ε ∈ R+ számhoz található
olyan N ε2küszöbindex, hogy minden n ≥ N ε
2indexre |sn − A| < ε
2. Azt kell belátnunk,
hogy(s1+s2+...+sn
n
)is az A számhoz tart.∣∣∣∣s1 + s2 + . . .+ sn
n− A
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣s1 + s2 + . . .+ sn − n · An
∣∣∣∣ ==|(s1 − A) + (s2 − A) + . . .+ (sn − A)|
n≤ |s1 − A|+ |s2 − A|+ . . .+ |sn − A|
n.
35
Ha n ≥ N ε2, akkor
|s1 − A|+ |s2 − A|+ . . .+ |sn − A|n
=
=
(|s1 − A|+ . . .+
∣∣∣sN ε2−1 − A
∣∣∣)+ (∣∣∣sN ε2− A
∣∣∣+ . . .+ |sn − A|)
n<
<|s1 − A|+ . . .+
∣∣∣sN ε2−1 − A
∣∣∣n
+(n−N ε
2+ 1) ε
2
n.
A fenti egyenl®tlenségben(n−N ε
2+1)
n≤ 1, és a K := |s1 − A| + . . . +
∣∣∣sN ε2−1 − A
∣∣∣ jelölésthasználva
|s1 − A|+ . . .+∣∣∣sN ε
2−1 − A
∣∣∣n
+(n−N ε
2+ 1) ε
2
n≤ K
n+ε
2.
A jobb oldali összeg akkor és csak akkor kisebb, mint ε, ha
K
n<ε
2, azaz n >
2K
ε.
Ezért bármely ε ∈ R+ számra az
N∗ := max
{N ε
2,
⌈2K
ε
⌉}küszöbindex olyan, hogy minden n ≥ N∗ indexre∣∣∣∣s1 + s2 + . . .+ sn
n− A
∣∣∣∣ < ε.
Tehát az(s1+...+sn
n
)sorozat határértéke szintén A. �
7.1.3. Megjegyzés. A bizonyítás lényege az, hogy egy konvergens sorozat számtaniközép-
sorozata is konvergens, és a határértéke az eredeti sorozat határértéke.
7.1.4. Tétel. Ha a∞∑n=1
an sor szummábilis, akkor snn→ 0.
Bizonyítás: A∞∑n=1
an végtelen sor szummábilis, így
s1 + . . .+ snn
→ A ∈ R.
Ezzel ekvivalens az alábbi felírás:
a1 + (a1 + a2) + (a1 + a2 + a3) + . . .+ (a1 + . . .+ an)
n=
=n · a1 + (n− 1) · a2 + (n− 2) · a3 + . . .+ an
n→ A.
36
Jelölje Sn a következ® sorozatot:
Sn :=s1 + . . .+ sn
n, n ∈ N+,
ekkor Sn → A. Az (n− 1)-edik tagra felírható az alábbi összefüggés:
(n− 1) · Sn−1 = s1 + . . .+ sn−1.
Ezt felhasználva a következ®höz jutunk:
Sn =(n− 1) · Sn−1 + sn
n=n− 1
n· Sn−1 +
snn,
snn
= Sn −n− 1
n· Sn−1 → 0,
mivel limn→∞
n−1n
= 1 és limn→∞
Sn = A. �
7.1.5. Tétel. Ha a∞∑n=1
an sor szummábilis, akkor ann→ 0.
Bizonyítás: A részletösszegek átlaga felírható az alábbi formában:
s1 + . . .+ snn
=n · a1 + (n− 1) · a2 + . . .+ an
n, n ∈ N+.
A fenti egyenl®ségb®l következik, hogy
ann
=s1 + . . .+ sn
n− n · a1 + (n− 1) · a2 + . . .+ 2 · an−1
n.
A második tagban elemi átalakításokat végezve a következ®t kapjuk:
ann
=s1 + . . .+ sn
n−[(n− 1) · a1 + . . .+ an−1
n− 1· n− 1
n+a1 + . . .+ an−1
n− 1· n− 1
n
].
Az el®z® tétel miatt
a1 + . . .+ an−1n− 1
=sn−1n− 1
→ 0,
valamint az el®z® tétel bizonyításának eleje alapján
(n− 1) · a1 + . . .+ an−1n− 1
→ A.
Tudjuk, hogy n−1n→ 1, továbbá s1+...+sn
n→ A, hiszen
∞∑n=1
an szummábilis, és a szummája
A. Ebb®l következik, hogy ann→ 0. �
37
7.1.6. Példa. Mi mondható a∞∑n=1
(−1)n+1 végtelen sorról szummábilitás szempontjából?
A fenti végtelen sor részletösszegei:
sn =
1, ha n páratlan,
0, ha n páros.
Ekkor a részletösszegek átlaga:
s1 + . . .+ snn
=
k2k, ha n = 2k,
k+12k+1
, ha n = 2k + 1.
Mivel n→∞ esetén k :=⌈n2
⌉→∞, így k
2k→ 1
2és k+1
2k+1→ 1
2, ezért
limn→∞
s1 + . . .+ snn
=1
2.
Tehát a végtelen sor szummábilis, és a szummája 12.
7.1.7. Példa. Szummábilis-e a∞∑i=1
(−1)i+1i végtelen sor?
El®ször nézzük a páros, majd a páratlan index¶ részletösszeget:
s2k = (1− 2)︸ ︷︷ ︸−1
+(3− 4)︸ ︷︷ ︸−1
+ . . .+ ((2k − 1)− 2k)︸ ︷︷ ︸−1
= −k,
s2k+1 = (1− 2)︸ ︷︷ ︸−1
+(3− 4)︸ ︷︷ ︸−1
+ . . .+ ((2k − 1)− 2k)︸ ︷︷ ︸−1
+(2k + 1) = k + 1.
Tekintsük a∞∑i=1
(−1)i+1i végtelen sor részletösszegeinek átlagát. Ha az index páros, akkor
0︷ ︸︸ ︷s1 + s2+
0︷ ︸︸ ︷s3 + s4+ . . .+
0︷ ︸︸ ︷s2k−1 + s2k
2k= 0.
Ha az index páratlan, akkor
0︷ ︸︸ ︷s1 + s2+
0︷ ︸︸ ︷s3 + s4+ . . .+
0︷ ︸︸ ︷s2k−1 + s2k +s2k+1
2k + 1=
s2k+1
2k + 1=
k + 1
2k + 1.
Tehát a következ®t kapjuk:
s1 + . . .+ snn
=
k+12k+1
, ha n = 2k + 1,
0, ha n = 2k.
38
A páratlan index¶ részsorozat határértéke 12, a páros index¶ részsorozat 0-hoz tart, ezért
a∞∑i=1
(−1)i+1i végtelen sor nem szummábilis.
Itt ann= (−1)n+1n
nnem tart a nullába, a szummábilitás 7.1.5. tételbeli szükséges feltétel
sem teljesül.
7.2. Abel-szummáció
7.2.1. De�níció. A∞∑n=0
an végtelen sorra azt mondjuk, hogy Abel-szummábilis, melynek
Abel-szummája A ∈ R, ha a∞∑n=0
anxn hatványsor konvergens a (−1, 1) intervallumon,
továbbá fennáll, hogy
limx→1−0
∞∑n=0
anxn = A.
7.2.2. Tétel. Ha egy végtelen sor szummábilis és a szummája A, akkor a sor Abel-
szummábilis és az Abel-szummája is A.
Bizonyítás: Els®ként azt kell belátnunk, hogy a∞∑n=0
anxn hatványsor konvergens a (−1, 1)
intervallumon. Ez teljesül, hiszen a∞∑n=0
an végtelen sorról tudjuk, hogy szummábilis, s mint
azt már igazoltuk, ekkor ann→ 0. A határérték de�nícióját ε = 1 esetén alkalmazva azt
kapjuk, hogy egy indext®l kezdve∣∣ann
∣∣ ≤ 1, vagyis |an| < n. Így rögzített x ∈ (−1, 1)
esetén∞∑n=0
anxn majorizálható a
∞∑n=0
n · |xn| végtelen sorral, ezért R := 1
lim supn→∞
n√|n|
= 1
alapján mindkét végtelen sor abszolút konvergens, ha x ∈ (−1, 1).
Már csak azt kell bizonyítani, hogy ha a∞∑n=0
anxn hatványsor összegfüggvénye f(x),
akkor
limx→1−0
f(x) = A.
Ehhez vegyük a∞∑n=0
xn és∞∑n=0
anxn végtelen sorok Cauchy-szorzatát.
∞∑n=0
(n∑
k=0
xkan−kxn−k
)=∞∑n=0
(n∑
k=0
an−kxn
)=∞∑n=0
snxn,
39
ahol (sn) a∞∑n=0
an végtelen sor részletösszeg-sorozata, azaz
sn :=n∑
i=0
ai, n ∈ N+.
A∞∑n=0
xn és∞∑n=0
anxn hatványsorok abszolút konvergensek a (−1, 1) intervallumon, így
Mertens tétele szerint a Cauchy-szorzatuk is abszolút konvergens, és az összege a sorok
összegeinek szorzata. Tudjuk, hogy minden x ∈ (−1, 1) számra∞∑n=0
xn = 11−x , s ekkor
∞∑n=0
snxn =
f(x)
1− x, x ∈ (−1, 1).
Vegyük a fenti sor Cauchy-szorzatát a∞∑n=0
xn végtelen sorral, s ekkor az el®z® mintájára
azt kapjuk, hogy
∞∑n=0
(s0 + . . .+ sn)xn =
f(x)
1− x· 1
1− x=
f(x)
(1− x)2, x ∈ (−1, 1). (7.1)
A∞∑n=0
an végtelen sorról feltettük, hogy szummábilis, és a szummája A, vagyis
s0+...+snn+1
→ A. Jelölje S∗n az alábbi nullsorozatot:
S∗n :=s0 + . . .+ sn
n+ 1− A.
Ekkor a (7.1) bal oldalán szerepl® sort az S∗n számokkal kifejezve a következ®höz jutunk:
∞∑n=0
(s0 + . . .+ sn)xn =
∞∑n=0
((n+ 1)A+ (n+ 1)S∗n
)xn =
= A ·∞∑
m=1
mxm−1 +∞∑n=0
(n+ 1)S∗nxn =
A
(1− x)2+∞∑n=0
(n+ 1)S∗nxn, x ∈ (−1, 1). (7.2)
Az egyenl®ség azért teljesül, mert mindkét sor abszoút konvergens a (−1, 1) intervallumon,
és a
∞∑m=0
xm =1
1− x, x ∈ (−1, 1)
összefüggésb®l következik, hogy
∞∑m=1
m · xm−1 =(
1
1− x
)′=
1
(1− x)2, x ∈ (−1, 1).
40
A (7.1) és a (7.2) mindkét oldalát (1− x)2-nel szorozva, és a kett®t összevetve:
f(x) = A+ (1− x)2 ·∞∑n=0
(n+ 1)S∗nxn, x ∈ (−1, 1).
Végül azt kell belátnunk, hogy
limx→1−0
(1− x)2 ·∞∑n=0
(n+ 1)S∗nxn = 0.
Ehhez legyen ε ∈ R+ adott. Mivel (S∗n) nullsorozat, ezért található olyan N ε2küszöbindex,
hogy bármely n ≥ N ε2indexre teljesül |S∗n| < ε
2. Ekkor bármely x ∈ (0, 1) esetén∣∣∣∣∣∣(1− x)2 ·
∞∑n=N ε
2
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣∣ = (1− x)2 ·
∣∣∣∣∣∣∞∑
n=N ε2
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣∣ ≤≤ (1− x)2 ·
∞∑n=N ε
2
|(n+ 1)S∗nxn| ≤ (1− x)2 ·
∞∑n=N ε
2
(n+ 1) · |S∗n| · |xn| <
< (1− x)2 · ε2·∞∑
n=N ε2
(n+ 1)xn <ε
2· (1− x)2 ·
∞∑n=0
(n+ 1)xn︸ ︷︷ ︸1
(1−x)2
=ε
2.
Minden polinomfüggvény folytonos, ezért limx→1−0
(1− x)2 ·N ε
2−1∑
n=0
S∗nxn = 0. Így az ε
2∈ R+
számhoz is található olyan δ ∈ R+, hogy∣∣∣∣∣∣(1− x)2 ·N ε
2−1∑
n=0
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣∣ < ε
2,
ha 1− δ < x < 1. Végül azt kapjuk, hogy∣∣∣∣∣(1− x)2 ·∞∑n=0
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣ ≤≤
∣∣∣∣∣∣(1− x)2 ·N ε
2−1∑
n=0
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣(1− x)2 ·
∞∑n=N ε
2
(n+ 1)S∗nxn
∣∣∣∣∣∣ < ε
2+ε
2= ε,
ha 1− δ < x < 1. Ezzel a tételt igazoltuk. �
A továbbiakban olyan végtelen sort láthatunk, mely Abel-szummábilis, de nem szummá-
bilis.
41
7.2.3. Példa.
∞∑n=0
(−1)n+1n2 = 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − . . .
Ha a fenti végtelen sor szummábilis volna, akkor (−1)n+1n2
n→ 0 teljesülne, de a
(−1)n+1n2
n= (−1)n+1 · n
sorozat nem konvergál a nullához. E sorozat páros indexekre a mínusz végtelenbe tart,
míg páratlan indexekre a végtelenbe. Következésképpen a végtelen sor nem szummábilis,
mert annak szükséges feltétele nem teljesül.
Azonban a∞∑n=0
(−1)n+1n2 végtelen sor Abel-szummábilis. Ennek igazolása érdekében je-
lölje
f(x) :=∞∑n=0
(−1)n+1n2xn
a hatványsor összegfüggvényét. A hatványsor konvergenciasugara
R :=1
lim supn→∞
n√|(−1)n+1n2|
= 1,
ekkor a Cauchy-Hadamard-tétel miatt a∞∑n=0
(−1)n+1n2xn hatványsor abszolút konvergens
a (−1, 1) intervallumon. Ha x 6= 0, akkor
f(x)
x=∞∑n=0
(−1)n+1n2xn−1, x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).
Mindkét oldal primitív függvényét képezve a (0, 1) intervallumon a 2.3.8. tétel szerint∫f(x)
xdx =
∞∑n=0
(−1)n+1nxn + c1, x ∈ (0, 1), c1 ∈ R.
Jelölje
g(x) :=
∫f(x)
xdx− c1 =
∞∑n=0
(−1)n+1nxn, x ∈ (0, 1).
Osztva x-szel
g(x)
x=∞∑n=0
(−1)n+1nxn−1, x ∈ (0, 1),
42
majd mindkét oldal primitív függvényét véve:∫g(x)
xdx =
∞∑n=0
(−1)n+1xn + c2, x ∈ (0, 1), c2 ∈ R.
Az egyenl®ség jobb oldalán lev® hatványsor átalakítható az alábbi módon:
∞∑n=0
(−1)n+1xn = −∞∑n=0
(−x)n = − 1
1− (−x)= − 1
1 + x, |x| < 1.
Ezt felhasználva azt kapjuk, hogy∫g(x)
xdx = − 1
1 + x+ c2, x ∈ (0, 1).
Ezt deriváljuk, majd szorozzuk meg x-szel, s ekkor
g(x)
x=
1
(1 + x)2, x ∈ (0, 1),∫
f(x)
xdx− c1 = g(x) =
x
(1 + x)2, x ∈ (0, 1).
Ha a fenti egyenl®ség bal és jobb oldalát deriváljuk, majd az eredményt x-szel szorozzuk,
akkor
f(x)
x=
(x
(1 + x)2
)′=
1− x(1 + x)3
, x ∈ (0, 1),
f(x) =(1− x)x(1 + x)3
, x ∈ (0, 1).
Hasonlóan levezetve azt kapjuk, hogy az eredmény érvényes a (−1, 0) intervallumon is.
Az f(x) :=∞∑n=0
(−1)n+1n2xn összegfüggvény értéke a 0 helyen f(0) = 0, ebb®l következik,
hogy
f(x) =(1− x)x(1 + x)3
, x ∈ (−1, 1),
ezért
limx→1−0
f(x) = f(1) = 0.
Tehát a∞∑n=0
(−1)n+1n2 végtelen sor Abel-szummábilis, és az Abel-szummája 0.
43
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Pfeil Tamásnak, aki rendsze-
resen szakított id®t konzultációkra, valamint a szakdolgozatom részletes áttekintésére.
Köszönettel tartozom Szilágyi Dánielnek az ábrák elkészítésében nyújtott segítségéért.
Hálás vagyok családomnak és szeretteimnek támogatásukért.
44
Irodalomjegyzék
[1] Britannica Hungarica Világenciklopédia, I. Kötet, Magyar Világ Kiadó,
Budapest, 1994.
[2] Internetes forrás, Wikipédia, Abel-díj,
http://hu.wikipedia.org/wiki/Abel-díj
[3] Laczkovich Miklós � T. Sós Vera: Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 2006.
[4] Laczkovich Miklós � T. Sós Vera: Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 2007.
[5] Szilágyi Tivadar: Végtelen sorok, hatványsorok, jegyzet az interneten,
http://bolyai.cs.elte.hu/�sztiv/5vs.pdf
[6] Bátkai András: Hatványsorok, Függvénysorok, jegyzet az interneten,
http://www.cs.elte.hu/�batka/oktatas/hatvanysorok.pdf
[7] Internetes forrás, Chao-Ping Chen: The best bounds in Vernescu's inequalities for the
Euler's constant,
http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v12n3/Euler-inequality.pdf
[8] W. J. Kaczor, M. T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis 1: Real Numbers,
Sequences and Series, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2000
45
Nyilatkozat
Név: Vánkovics Mária
ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika Bsc
ETR azonosító: VAMPABT.ELTE
Szakdolgozat címe: Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
A szakdolgozat szerz®jeként fegyelmi felel®sségem tudatában kijelentem, hogy a dol-
gozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és
idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a meg-
felel® idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 2011. december 29.
���������
a hallgató aláírása
46