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Sortiernetzwerke

Seminar über AlgorithmenSS 2005

von Arash Sarkohiund Christian Bunse

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Übersicht

Einführung und BegriffeLaufzeitEntwickeln eines effizienten Sortiernetzwerks

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Was ist ein SortiernetzwerkEin Sortiernetzwerk ist ein Vergleichsnetzwerk, das eine Eingabe sortiert

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Was ist ein Vergleichsnetzwerk

Ein Vergleichsnetzwerk besteht aus VergleichselementenEs kann Vergleiche parallel durchführenBegriffe: Eingabe/Ausgabesequenz: Werte auf den Eingangs-bzw. Ausgangsleitungen

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Das Vergleichselement

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Das Vergleichselement

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Das Vergleichselement

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SortiernetzwerkeBegriffe

Vergleichselement arbeitet in Zeit O(1)Tiefe einer Leitung: Anzahl der VE, die auf der Leitung liegen Tiefe des Netzwerkes: Maximale Tiefe einer Ausgangsleitung

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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SortiernetzwerkeBegriffe

Sortiernetzwerk ist ein Vergleichsnetzwerk, in dem die Ausgabesequenz für jede Eingabesequenz monoton steigend ist.

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SortiernetzwerkeLaufzeit

Untere Schranke für die Anzahl der Vergleiche bei vergleichsbasierten Sortieralgorithmen:

Auch ein Sortiernetzwerk muss mindestens

Vergleichselemente besitzen

)log( nn

)log( nn

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SortiernetzwerkeLaufzeit

=> Jedes Sortiernetzwerk mit n Eingängen muss mindestens die Tiefe haben.nlog

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Beispiel

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Warum sind Netzwerke mit Tiefe

nicht trivial ?Direkte Umsetzung von bekannten Algorithmen in Netzwerke ist nur bedingt möglich

Sequentielle Algorithmen sind nur bedingt parallelisierbar

)(lognO

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Effiziente SortiernetzwerkeEs existiert in der Tat ein Sortiernetzwerk mit der Tiefe , allerdings mit riesigen Konstanten und nur schwer implementierbar

Unser Ziel ist daher ein Sortiernetzwerk mit der Tiefe

)(lognO

)(log2 n

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VorgehenProblemreduktion auf das Null-Eins-PrinzipEntwickeln eines bitonischen SortierersEntwickeln eines MischersEntwickeln eines Sortiernetzwerks mit Hilfe von Mischern

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ProblemreduzierungZiel: Arbeiten mit dem Alphabet {0,1} statt mit beliebigen Zahlen.

Zu Zeigen: Wenn SN für Eingabe aus {0,1} korrekt arbeitet, so arbeitet es auch korrekt für beliebige Eingaben.

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ProblemreduzierungLemma: Wenn ein Vergleichsnetzwerk die Eingabesequenz a = (a1, a2, …, an) in eine Ausgabesequenz b = (b1, b2, …, bn) umwandelt, dann transformiert das Netzwerk die Eingabesequenzf(a) = (f(a1), f(a2), …,f(an)) für jede beliebige monoton steigende Funktion f in eine Ausgabesequenz f(b) = (f(b1), f(b2), …,f(bn))

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Null-Eins-PrinzipWenn ein Vergleichsnetzwerk mit n Eingängen alle möglichen Sequenzen von Nullen und Einsen korrekt sortiert, dann sortiert es alle Sequenzen beliebiger Zahlen korrekt

n2

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Bitonisches Netzwerk

Ziel: Vergleichsnetzwerk, das bitonische Sequenzen sortiert

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Bitonisches NetzwerkDef.: Eine bitonische Sequenz ist eine Sequenz, die monoton steigt und dann monoton fällt oder zirkulär verschoben werden kann, so dass sie dann monoton steigend und dann monoton fallend ist.Beispiele:

(1,4,6,8,3,2) (6,9,4,2,3,5).

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Bitonisches Netzwerk

Bitonische Null-Eins-Sequenzen haben die Form:

oder für i,j,k >= 0.kji 010 kji 101

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Bitonisches NetzwerkHalfcleaner

ein Halfcleaner ist ein Vergleichsnetzwerk der Tiefe 1, bei dem für i=1,…,n/2 die Eingabezeile i mit der Zeile i+n/2 verglichen wird. alle Elemente der oberen Hälfte sind kleiner gleich alle Elemente der unteren Hälfte

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Bitonisches NetzwerkHalfcleaner

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Bitonisches Netzwerk

Lemma: Wenn die Eingabe eines Halfcleaners eine bitonische Sequenz ist, dann sind sowohl die untere als auch die obere Hälfte der Ausgabe bitonisch Bei Nullen und Einsen ist mind. eine Hälfte rein bitonisch (nur Einsen oder nur Nullen)

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Bitonischer Sortierer

Der Bitonische Sortierer [n] sortiert eine bitonische Eingabesequenz rekursiv durch einen Halfcleaner[n] und zwei bitonischen Sortierer[n/2].

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Bitonischer Sortierer

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Bitonischer Sortierer

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Bitonischer SortiererLaufzeit

Die Tiefe D(n) kann durch die folgende Rekursionsgleichung berechnet werden:

121)2/(

10)(

kundnnD

nnD

k

nnD log)(

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Bitonischer Sortierer

Aus dem Null-Eins-Prinzip folgt, dass jede beliebige bitonische Sequenz in Tiefe log n sortiert werden kann.

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Bitonischer SortiererVergleichselemente

Anzahl der Vergleichselemente in einem bitonischen Sortierer:

nnnvnnv

log2/)2/(22/)(

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Mischnetzwerk

Ein Mischnetzwerk ist ein Netzwerk, das zwei sortierte Eingabesequenzen zur einer verschmilzt.

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Mischnetzwerk

Idee: bilde aus zwei vorsortierten Sequenzen eine bitonische, und sortiere diese wie gehabt. Invertiere dafür die zweite Eingabehälfte

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MischnetzwerkÄquivalent zu Halfcleaner

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Mischnetzwerk

Das Netzwerk Merger[n] ist identisch mit dem bitonischen Sortierer, allerdings wird der Halfcleaner modifiziert.

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Mischnetzwerk

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Mischnetzwerk

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MischnetzwerkLaufzeit

Die Laufzeit ist identisch mit der des bitonischen Sortierers

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Unser Sortiernetzwerk

Der Sortierer[n] sortiert eine beliebige Eingabesequenz rekursiv durch zwei Sortierer[n/2] und einen Mischer[n].

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Unser Sortiernetzwerk

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Unser Sortiernetzwerk

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Unser Sortiernetzwerk

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Unser SortiernetzwerkLaufzeit

Die Tiefe D(n) kann durch die folgende Rekursionsgleichung bestimmt werden:

12log)2/(

10)(

kundnnnD

nnD

k

)(log)( 2 nnD

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Unser SortiernetzwerkLaufzeit

Damit können n beliebige Zahlen parallel in Zeit

sortiert werden. )(log2 n

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Unser SortiernetzwerkVergleichselemente

Anzahl der Vergleichselemente:

)loglog(41

)2(2log

2)(

2 nnnn

nvnnnv

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Ende!

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Literatur

Th.H.Cormen/C.E.Leiserson/R.Rivest/C.Stein

Introduction to Algorithms, Second Edition