7/25/2019 soyu zet

1/22

1

SOYUT CEBR

DERS 1-

1.BLM FONKSYONLARTanm:f,Adan Bye bir bant olsun. a A iin ( , )a b f olacak ekilde bir tek b B varsa

fye Adan Bye bir fonksiyondenir ve :f A B eklinde gsterilir.

Not:AxBnin bo olmayan her alt kmesine Adan Bye bir bantdenir.{( , ) | , }f AxB a b a A b B eklinde tanmlanr.

rnek: 2f={(x,y):x=y , x,y } bu bant bir fonksiyon deildir.

zm:x=4 iken 2y 4 2, 2y y olduundan fonksiyon deildir.( de tanml

olduundan negatif saylarda dahildir bundan tr fonksiyon olamaz.)

Tanm: :A

I A A a A iin ( )AI a a ile tanml fonksiyona Ann zdelik veya birim

fonksiyondenir. :f A A ve ( )f x x eklinde tanmlanr.

Tanm:f,g: A B iki fonksiyon olsun. f g a A iin f(a)=g(a) olmasdr.(Fonksiyonuneitliktanm).

Tanm:f: A B olsun;(i) ( ) { ( ) | }f A f A a A B ise fye rtendir denir. b B iin f(a)=b olacak ekilde a A

varsa fye rten denir.(ii)

1 2,a a A iin 1 2( ) ( )f a f a iken 1 2a a oluyorsa fye 1-1 (birebir) denir.

1 2 1 2[ ( ) ( )]a a f a f a eklindede tanmldr.

yi tanmllk: 1 2 1 2( ) ( )a a f a f a ise f iyi tanmldr denir.(Kendimiz fonksiyon

tanmlyorsak iyi tanmlln incelemeliyiz.)

rnek:

(i)Birim fonksiyon 1-1 ve retendir.zm: :f A A olduundan rtendir.

( ) ( )f x f y x y olduundan 1-1 dir.

(ii) :f ( ) xf x e birebirdir fakat rten deildir.

zm: ( ) ( ) x yf x f y e e x y olduundan 1-1 dir.rten olmadn gstermek iin bir rnek gstermemiz yeterli onun iin rnein 2y

iin f(x)=-2 olacak ekilde bir mevcut deildir bundan dolay rten olamaz.

(iii) :f 2( )f x x 1-1 ve rten deildir.zm:f(x)=4 iin x2=4 olup 2x dir . 2 2 olduundan 1-1 deildir.Ayn ekilde

negatif saylar bu fonksiyonla oluturulamayacandan reten deildir.

7/25/2019 soyu zet

2/22

2

Tanm: : , :f A B g B C iki fonksiyon olsun.

Her a A iin h(a)=g(f(a)) ile tanml :h A C fonksiyonuna f ile gnin bilekesidenir vegof ile gsterilir.

nerme : : , :f A B g B C , :h A C fonksiyon olsun.Bu durumda

ho(gof)=(hof)ofdr.

spat:ho(fog):A B a A iin [ho(gof)](a)=ho(gof)(a)

=ho(g(f(a))= h(g(f(a))

Tanm: :f A B bir fonksiyon ve u B ise 1( ) { : ( ) }f u a A f a u A alt kmesineunun f altndaki ters grntsdenir.

Tanm: :f A B 1-1 ve rten fonksiyon olsun b B elemanna f(a)=b olacak ekilde (tektrl) bir a A eleman karlk getiren Bden Aya tanml fonksiyona fin ters fonksiyonudenir ve 1 :f B A ile gsterilir.

f 1-1 ve rten ise 1( ) ( )f a b a f b dir.Yaplmas gereken ey her taraf f-1ile

arpmaktr.Yani 1 1( ( )) ( )f f a f b .

Bileke fonksiyon tanmndan 1 1, ' .A B

f of I fof I dir

1f f

A B A

1f f

B A B

nerme: : , :f A B g B C fonksiyonlar verilsin.

i)f ve g rten ise gof da rtendir.ii)f ve g 1-1 ise gofda 1-1dir

spat:i)gof A C gstermemiz gereken c C iin(gof)(a)=c olacak ekilde a A vardr.

c C iin :B C rten olduundan c C iin g(b)=c olacak ekilde b B vardr.:f A B rten olduundan b B iin f(a)=b olacak ekilde en az bir a A vardr. g(b)=c

g(f(a))=(gof)(a)=b olur.ii)gof(a1)=gof(a2) a1=a2 gsterilecek olandr.g(f(a1))=g(f(a2)) g birebir olduundan;f(a1)=f(a2) f birebir olduundan;a1= a2 dir.

Teorem: : , :f A B g B C fonksiyonlarnn tersi varsa :gof A C fonksiyonunda tersi

vardr ve 1 1 1( )gof f og dir.spat: :f A B 1-1 ve rten gof da

:g B C 1-1 ve rten 1-1 ve rtendir

O halde gofun tersi mevcuttur.

7/25/2019 soyu zet

3/22

3

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) c

gof o f og go fof og gog I

I

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) Bf og o gof f o g og of f of I

I1 1 1( )gof f og dir.

KL LEMLER

Tanm:A bir kme olmak zere :f AxA A fonksiyonuna Ada bir ikili ilem denir.

Tanm:X,Ada bir ikili ilem olsun.i) ,a b A iin a b b a ise ilemi deimelidir.ii) , ,a b c A iin ( ) ( )a b c a b c ise ilemi birlemelidir.

rnek : ( , ) ( ,.)ve cebirsel yaplar verilsin.+ve . ilemleri de hem deimeli hemde

birlemelidir.

Tanm: ve A kmesi zerinde tanml ilem olsun. , ,a b c A iin;i) ( ) ( ) ( )a b c a b a c ise n da soldandalma zelliivardr denir.ii) ( ) ( ) ( )a b c a c b c ise n da sadan dalma zelliivardr denir.

Tanm: Ada bir ikili ilem olsun a A iin a e=e a=a olacak ekilde bir e A varsabu elemana ileminin etkisiz elemandenir.

Tanm: Ada bir ikili ilem olsun a A iin 1 1a a a a e olacak ekilde 1a A varsa bu 1a elemanna ann tersidenir ve 1a ile gsterilir.

nerme: Ada bir ikili ilem olsun ileminin etkisiz eleman varsa tektir.

spat:varsayalm 1 2,e e ileminin iki etkisiz eleman olsun.

e1etkisiz eleman olduundan 1 2 2e e e 2 1e e e2etkisiz eleman olduundan 1 2 1e e e bulunmu olur.

nerme: Ada bir ikili ilem ve e A etkisiz eleman olsun. a A eleman varsa tersi tektir.

spat:Var sayalm ann b ve c gibi iki tane tersi olsun.b ann tersi olduu iin a b b a e c ann tersi olduu iin a c c a e dir.

( ) ( )b b e b a c b a c e c c

b c elde edilir.

7/25/2019 soyu zet

4/22

4

nerme: Ada bir ikili ilem ve a A olsun.1 1( )a a

dr.

spat:1

,a x y a

alalm.1 1y a a a a e

1 1( )a a

nerme: ,a b A iin 1 1 1( )a b b a dir.

spat: 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b b a a b b a a a e

e e

ayn ekilde 1 1( ) ( )b a a b e dir.Ohalde;

1 1 1

( )a b b a

dir.

2.BLM GRUPLAR

Tanm:G bo olmayan bir kme .(nokta) da G zerinde tanml bir ikili ilem olsun.Eeraadaki zellikler salanyorsa (G,.) yapsna bir grupdenir.

i) ,a b G iin .a b G (kapallk)

ii) , ,a b c G iin .( . ) ( . ).a b c a b c (birleme)iii) a G iin a.e=e.a=a olacak ekilde e G (etkisiz eleman)

iv) a G iin1 1

. .a a a a e

olacak ekilde1

a G

(ters eleman)

Eer ,a b G iin a.b=b.a oluyorsa Gye abelyen (geimeli) gruptur.

1)En basit grup {e,.}gruptur.2) ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) birer abel gruptur.

3) ( {0},.), ( {0},.), ( {0},.), ( {0},.)

Gruptur Grup deildir

rnek:A={1,-1,i,-i} kmesi kompleks saylarda bilinen arpma ilemi ile bir gruptur.

zm:

7/25/2019 soyu zet

5/22

5

* , ,a b c A iin a.(b.c)=(a.b).c olduundan birlemelidir.

* a A iin a.1=1.a=a olduundan 1 A etkisiz elemandr.* 1 1 1 11 1, ( 1) 1, ( ) , ( )i i i i (her elemann tersi vardr)

A bir gruptur.

renek:i) ,n m olmak zere elemanlar den olan mxn tipinde matrislerden oluan mxn kmesitoplama ilemi ile beraber bir gruptur.arpama ilemine gre grup olams iin determinantsfrdan farkl olan matrisler kmesi olmaldr.ii) 1n iin;

( ) { : det 0}nxnn

GL A A (n. Dereceden genel lineer grup)

( ) { : det 1}nxnn

SL A A ( n. Dereceden zel lineer grup)

Tanm:M bir kme olsun.Mden Mye birebir ve rten dnme Mnin bir

permtasyonudenir.Mnin tm permtasyonlarnn kmesi P(m)ile gsterilir.

rnek:M bir kme olmak zere P(m) kmesi bilinen fonksiyon bilekesi ilemi ile birgruptur.zm:

i) , ( )f g P m olsun ( )fog P m midir?

1-1ve rten iki dnmn bilekesi de 1-1 ve rten olduundan fog 1-1 ve rten olup( )fog P m dr.

ii)Bileke ilemi birlemeli olduundan ikinci zellikte salanr.iii) :

mI M M dnmn bileke ileminin etkisiz elemandr.

iv) ( )f P m iin f 1-1 ve rten olduundan1

( )f P m

( ( ), )P m bir gruptur.

Tanm:n bir pozitif tam say ve ,a b olsun. (mod ) |a b n n a b eklinde tanmlanan

( (mod )n ) bants bir denklik bantsdr.(yansma simetri geime zelliklerini

salar.)bu bantya gre olan denklik snflarna modln kalan snflardenir.

{0, 1,..., 1}n n eklindedir.Bura da ve ilemini;

.

a b a b

a b a b

eklinde tanmlanr.

rnek: 6 {0,1,2,3,4,5}

2 5 2 5 7 1 (7 nin 6 ile blmnden kalan 1 olduundan tr.)u halde ( , ) bir gruptur ve buna modlon kalan snflargrubu denir.

* nn etkisiz eleman 0 dr.* nn etkisiz eleman 1 dir.

Teorem:G bir grup olsun

i)Gde sadan ve soldan ksaltma zellii vardr.

[ ]ab ac b c ba ca b c

7/25/2019 soyu zet

6/22

6

ii) a G ve a.a=a a e dir.

iii) ,a b G olmak zere ax=b veya ya=b denklemlerini salayan tek bir tane x,y vardr ve

x=a-1b ve y=ba-1dir.

spat:i)ab=ac olsun a G olup G grup olduundan 1a G mevcuttur.Her taraf ann tersi ilearparsak;

1 1( ) ( )a ab a ac 1 1( ) ( )a a b a a c birleme zellii

eb ec b c .

ii)a.a=a olsun 1a G vardr.1 1( . ) .a a a a a e

1

( )a a e

ea e

iii)ax=b olsun 1a G mevcuttur.1 1( )a ax a b

1ex a b

1

a b

Teklik:Var sayalm x1,x2ax=b denkleminin iki zm olsun.

1

2

ax b

ax b

1 2 1 2( )ax ax i x x

Tanm:(G,.) bir gurup olsun G kmesinin eleman saysna G grubunun mertebesidenir ve|G| ile gsterilir Eer G sonsuz elemanl bir kme ise | |G yazlr.

Tanm:G bir grup ve a G olsuni) 0a e olarak tanmlanr.ii)1 n iin . ......na a a a

n tane

iii)1 n iin 1 1 1 1( ) . .......n na a a a a

n taneTeorem:G bir grup ,a b G ve ,n m olsun.

i) .n m n ma a a dir.

ii) ( )n m nma a dir

iii)ab=ba ( ) .m m mab a b dir

ispat dev:i) .n m n ma a a olduunu n zerinde tme varm uygulayarak ispatlayalm.n=1 iin

1.m ma a a olduu tanmdan kolayca grlr.n iin kabul edip, n+1 iin eitlii ispatlyalm;1 1. .( . ) ( . ). .m n m n m n m n m na a a a a a a a a a a

7/25/2019 soyu zet

7/22

7

ii) ( )n m nma a zerinde tme varm uygulayarak ispatlayalm.n=1 iin 1( )ma = ma olduutanmdan kolayca grlr. n iin kabul edip, n+1 iin eitlii ispatlyalm;

1 1 1( ) ( . ) ( ) ( )n m n m n m m nm ma a a a a a

iii) ( )mab deimeli grup olduunu gz nne alp ispatlayalm.

( ) . . .....m

ab ab ab ab ab her biri kendi arasnda yer deitire bilit deimeli nk ohalde;

m tane

( ) . .... . . ....mab a a a b b b .m ma b

m tane m tane

Tanm:G bir grup a G olsun na e olacak ekilde en kk n doal says var ise bu sayyaann derecesidenir ve |a| ile gsterilir.

rnek:i) ( , ) grubunu gz nne alalm. , : 0na n a biz bu a saysn aryoruz ve bu a

says sadece 0 olabildiini gryoruz o yzden 10 ,1 : 0 0 e olup 0n derecesi1dir.

ii) 5 {0,1,2,3,4} | 4 | 4 4 4 4 16 1 | 4 | 4 dr.

DEVRL GRUPLARTanm:G bir grup a G olsun.

{ : }na a n kmesi tarafndan retilen devirli alt grupdenir.Toplamsal gsterimde={na: n } eklinde yazlr.Eer G= olacak ekilde bir a G varsa Gye devirligrupdenir.

rnek:A={1,-1,i,-i} grubunu ele alalm.

*reteci i ve i dir.*Devirli alt gruplar ={1},={1,-1}dir*={i,-1,-i,1}=A olduundan A devirli bir gruptur.

rnek:i) ( , ) toplamsal grubu bir devirli gruptur.

nk;1 , 1

ii) ( , ) grubuna rettiklerini bulalm;3 {3 | } {..., 6, 3,0,3,6,...}k k

iii) ( , ) gruplar devirlidir nk daima 1 tarafndan retilirler.

rnein 5 {0,1,2,3,4}

51 '

1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 4 1 5 0

dir

7/25/2019 soyu zet

8/22

8

Not: {..., ,...}n

m n ile m aralarnda asal ise m retetir.

Tanm:G bir grup ve a G olsun a elemann rettii devirli grubunun mertebesine aelemann mertebesidenir ve ||veya o(a) ile gsterilir.

Not: a G eleman sonlu n mertebeli ise n tam says na e olacak ekilde en kkpozitif tamsaydr.

Tanm:G bir grup ve S G olsun.S kmesini kapsayan Gnin tm alt gruplarnn ara kesitineSnin rettii alt grupdenir ve ile gsterilir. , ,

i iS H H G S G

alt grup gsterimiSonu:Bir G grubunun devirli olmas iin gerek ve yeter art |G|=|a| olcak ekilde en az bira G bulunmasdr.

Not:Bir grupta |a|= ise = 3 2 1 2{..., , , , , , ,....}a a a e a a eklinde yazlr.Fakat eer |a|=n sonlu ise ann negatif bir kuvveti pozitif bir kuvvette eit olacandan =

2 1{ , , ,..., }ne a a a eklinde yazlabilir.

Teorem(kacak)(12 puan):Her devirli grup bir abel gruptur.

spat:G=={ |na n }olsun.Gstermemiz gereken ,x y G iin xy=yx olmas.

G olduundan : nn x a y G olduundan : mm y a

. .n m n m m ny a a a a .m n olup m n olduundan toplam yer deie birli.

. .m na a y x G deimelidir.

Blme algoritmas(kacak)(15puan):pozitif m ve n tam saylar verildiinde tek trlolarak belirli yle bir q,r tam saylar vardr ki n=qm+r ve 0 r m olur.

spat:Tme varm prensibini uygulayarak yapalm.n=1 olsun.Eer m=1 ise q=1,r=0 ve m>1ise q=0,r=1 alnarak n=1 iin iddiann doruluu grlr.n

7/25/2019 soyu zet

9/22

9

Teorem(snavda kacak)****:Devirli her alt grubu da devirlidir.

spat :G= ve Holduunu gsterelim:

i)H< < ma > ii) < ma > dir.

spat:

i)G=sonsuz devirli bir grup olsun.G devirli olduundan

Teorem(snavdakacak)****gerei her alt grubu da devirlidir. sonsuz devirli olduundan ann hibirkuvveti bir birine eit olamaz mH a G olduunu biliyoruz .O halde ma ninde hibirkuvveti birbirine eit olamaz O halde H=< ma >de sonsuz devirlidir.

ii)G= n. Mertebeden devirli grup olsun .Bu taktirde G={ 2 3 1, , ,...., ,n na a a a a e }

olduunu biliyoruz.H

7/25/2019 soyu zet

10/22

10

(Not:0

7/25/2019 soyu zet

11/22

11

nerme:G= sonsuz devirli bir grup olsun.Bu durumda Gnin reteleri a veya 1a dir.

spat:G= sonsuz devirli bir grup olsun b G Gnin reteci olsun b=a v b= 1a

veya iareti

G== 2 1 2{..., , , , ,...}a a a a olup bir m iin mG a olmaldr ( b G olup) ayrca breteci her n iin zmnn olmas iin m= 1 olams gerekir.

mb a olduundan b=a veya b= 1a dir.

ALT GRUPLAR

Tanm:G bir grup ,H

7/25/2019 soyu zet

12/22

12

nerme(Snavda kacak):Bir G grubunun herhangi alt gruplarnn ara kesiti de Gninbir alt grubudur.

spat:{ | , }i i

H i I H G Gnin alt gruplarnn bir ailesi olsun.Gstermemiz gereken i)

i

i I

e k H

ii)x,y ii I

k H

iken 1 ii I

y k H

olduudur.

i) i I iin i

H G olduundani

e H dir. ii I

e H

dir.

ii) , ii I

y H

olsun i I iin , iy H dir.

i I iini

H G olduundan 1i

xy H

1i

i I

y H

dir.

Tanm:G bir grup H ve Kda Gnin iki alt kmesi olsun.

i)HK={hk| ,h H k K }kmesine H ile Knn arpmdenir.ii)H+k={h+k| ,h H k K }kmesine H ile Knn toplamdenir.

iii) 1 1{ | }H h h H kmesine Hn ters kmesidenir.

nerme(snav sorusu): 2 1,H H G olsun 1 2 1 2 2 1H H G H H H H olmasdr.

spat: 1 2" :"H H G olsun gstermemiz gereken 1 2H H = 2 1H H (yani 2 1 1 2H H H H ve

1 2 2 1H H H H ) 1 2H H G olduundan 1 1h H ve 2 2h H iken1

1 1h H 12 2h H

dir.1 1

1 2 1 2h h H H dir.

1 1 11 2 1 2 1 2( ) ' ( )h h H H dir H H G

1 1 1 1

2 1 2 1 2 1( ) ( )h h h h H H kmesine ahittir.

Ohalde;

1 2 2 1...(1)H H H H

Benzer ekilde 1 2 2 1...(2)H H H H olduu grlr.Her iki kapsamadan da eitlik elde edilir.

" :" 1 2 2 1H H H H olsun. 1 2H H G olduunu gsterelim.Gstermemiz gereken;i) 1 2e H H

ii) 1 2y H H iken1

1 2y H H olmasdr.

i) 1 1

2 2

'

'

H G olduundan e H dir

H G oldu undan e H dir

1 2.e e H H dir 1 2e H H dir.

ii) 1 2,y H H olsun1 2

' '1 2

h h

y h h

,

1 2 1 2

' '1 2 1 2

h h H H

h h H H

olacak ekilde 1h ve 2h vardr.

1 ' ' 1 ' 1 ' 11 2 1 2 1 2 2 1. . .( . ) . . .y h h h h h h h h

1H 2H 1H

7/25/2019 soyu zet

13/22

13

' 1 ' 1 ' 1 ' 12 2 1 3 1 3 2 1 1. . . , ,h h h h h h H h H

o halde;' 1 ' 1

2 2 1 2 1 1 2. .h h h H H H H o halde;

' 1 ' 12 2 1 1 2. . '' . ''h h h h h

elde etik.

' 1 ' 11 2 2 1 1 1 2 1 2. . '' ''h h h h h h h H H

1H 2H

O halde 1 1 2.y H H elde edilir.

dev (snavda kacak) :G= mertebesi 24 olan bir devirli grup olsun Gnin altgruplarn belirleyiniz.

zm:mertebesi 24 olduundan tr gerekli teorem uyarnda alt gruplar 24n blenleriolmas gerekir. Ohalde;24 212 26 23 31 1Buradan 24 saysnn blenlerinin:1,2,4,6,8,12,24 olarak bulduk.O halde alt gruplar belirlersek

*1 merebelisi ={e}dir.24

241a a

*2mertebelisi24

12 12 242 { , }a a a a e

*4 mertebelisi24

6 6 12 18 244 { , , , }a a a a a a e

*6 mertebelisi24

4 4 8 12 16 20 246 { , , , , , }a a a a a a a a e

*12 mertebelisi24

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2412 { , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a e *24 mertebelisi:

241 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2424 { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e

3.BLM DENKLK SINIFLARI(YANKMELER) LAGRANGE TEOREM

Tanm:G bir grup ,a b G ve H

7/25/2019 soyu zet

14/22

14

Teorem:G bir grup ve H

7/25/2019 soyu zet

15/22

15

a aH dr.ii) aH bH olduunu kabul edelim.

x aH bH vardr x aH ayrca x bH dr.

1 2 1 2, : ,ah x bh h h H gstermemiz gereken aH=bH(yani aH

7/25/2019 soyu zet

16/22

16

a-b-c=-d her tarafa c ekleyelim a-b=c-d f((a,b))=f((c,d))

1-1lik: f((a,b))=f((c,d)) iken (a,b)=(c,d) olduunu gstermeliyiz.

f((a,b))=f((c,d)) a-b=c-d a=8,b=5,c=4,d=1 olsun (8,5) (4,1) olduundan f 1-1 deildir.rtenlik: n iin f((a,b))=n olacak ekilde ( , )a b M var mdr? 0 dir (bize hepsorularda byle kabul edeceiz doal saylarda 0 var.) fakat f(a,b)=0 olacak ekilde bir( , )a b M yoktur nk f((a,b))=0 a-b=0 a=b Mden aldmz saylarn a>b olduundan

bu daima imkanszdr.2) :f A B bir dnm ,M N A olsun.f(M N) ( ) ( )f M f N f 1-1dir

gsteriniz.zm(dev):ilk nce f(M N) ( ) ( )f M f N olduunu gsterelim.

f (M N)a olsun;, ( )M N a f x

x M ve , ( )N a f x ( )a f M ve ( )a f N

( ) ( )a f M f N gerektirmelerinden, f(M N) ( ) ( )f M f N bulunur.

imdi f(M N) ( ) ( )f M f N olduunu gsterelim.f 1-1 olsun. ( ) ( )b f M f N iinbakalm;

( )b f M ve ( )b f N

, ( )M b f x ve , ( )y N b f y ( ) ( ), ( , )b f y f x x M y N

y M N (f 1-1 olduundan)

( )b f M N o halde f(M N) ( ) ( )f M f N elde edildi.Eitlik salansn fonksiyonun birebir olduunu gsterelim: ,y A ve x y alalm.M={x} ve N={y} alt kmeleri iin bu eitlii yazarsak ;f(M N) = ( )f = ={f(x)} {f(y)} ( ) ( )f x f y bulunur.u halde f,1-1 dir.

3)G bir grup H G olsun. 1( )H Hx eklinde tanmlanan fonksiyonun 1-1 olduunugsteriniz.zm:

yi tanmllk: xH=yH olsun gstermemiz gereken 1 1( ) ( )H yH Hx Hy olmasdr.1H yH y xH H 1

x H

(nermelerin birinde bu gsterildi)1

1 1

( ) ( )

Hy x H

Hy Hx

xH yH

iyi tanmldr.1-1lik: ( ) ( )H yH iken XH=YH olmasn gstermeliyiz.

( ) ( )H yH 1 1Hx Hy 1Hx y H

1y H (bir nermede yapld)1X YH H

YH XH

7/25/2019 soyu zet

17/22

17

4) , , 0a b a olmak zere de tanmlanan f(x)=ax+b fonksiyonun varsa tersini bulunuz.

: ; , ,f x ax b a b .zm:Tersinin mevcut olmas iin 1-1 ve rten olmas gerekir.

1-1lik:f(x)=f(y) ax+b=ay+b0a

ax ay x y

f 1-1 dir.

retenlik:Gstermemiz gereken y iin f(x)=y olacak ekilde bir x varmdr?f(x)=y ax+b=y

ax=y-by b

xa

olup 0a olduundan bu eitlik alna bilinir.

y bx

a

rtendir.

1-1ve rten olduundan tersi vardr ve bu tersi y= 1( ) b

f xa

dr.

5)

pozitif rasyonel saylar kmesi zerinde x*y=

.

2

x y

ilemi tanmlanyor.(

,*)birgruptur gsteriniz.Cavap:

Kapallk:(fonksiyonun iyi tanmll gibi dne biliriz) ,x y iin.

*2

x yx y

olduundan * ilemi kapaldr.

Birleme:Gstermemiz gereken x,y,z (x*y)*z=x*(y*z) olmasdr.

. .2 2( * )* * . * *( * )

2 2 2 2 2 2

xy yzz x

xy x yz yzx y z z x x y z olur.

Birim eleman:x*e=x x*e= 22

xex e o halde birim eleman 2dir.

Ters eleman:x*y=e * 22

xyx y olmasdr. . 4

yx y y

x olur.o halde 1

yx

x

olur. Bu zellikleri saladndan ( ,*) bir gruptur.

6)(dev): n olmak zere { : }G nk k kmesi bilinen toplama ve arpma ilemine grebir deimeli gruptur gsteriniz.zm:

7)(dev):G={ : 1}a a ve ,a b G iin *1

a ba b

ab

ile bir * ilemi

tanmlansn.{G,*}n bir deimeli grup olduunu gsteriniz.zm:grup aksiyomlarn saladn gsterelim.

7/25/2019 soyu zet

18/22

18

Kapallk: ,a b G iin *1

a ba b

ab

ve -H 6 GH 6 G1

7/25/2019 soyu zet

19/22

19

0 0,0

0 0X

buradaki ilemin etkisiz elemandr.

Ters eleman: 2 2xA M iin A+Y=e=0 0

0 0

olacak ekilde bir 2 2xY M var mdr?

a bA

c d

iina b

Yc d

alnrsa A+Y= 0 0

0 0

olur o halde

1 a bAc d

dir.

Not:deimeli bir gruptur da.9) 1 2H veH deimeli grup ikin 1 2H xH direk arpmada deimeli grup olduunu gsteriniz.

Cevap: 1 2 1 2 1 1 2 2{( , ) | , }H xH h h h H h H

1 2 1 2 1 2( , ), ( ', ')h h h h H xH alalm. 1 2 1 2 1 1 2 2( , ).( ', ') ( * ', ')h h h h h h h h (ilemler

bahsedilmediinden byle yaptk)= 1 1 2 2( '* , ' )h h h h

1 2H veH deimeli grup olduundan.=1 2 1 2 1 2( ', ').( , )h h h h H xH deimelidir.dev grup olduunu gsteriniz.

10)G bir grup ve 1 2H H G olsun 1 2 1 2H H G H H veya 1 2H H olmasdr.

Cevap: 1 2" :"H H veya 1 2H H 1 2 2H H H G veya 1 2 1H H H G .

1 2" :"H H G olsun gstermemiz gereken 1 2H H veya 1 2H H aksini varsayalm

1 2H H ve 1 2H H olduunu dnelim. 1 2 1|a H H a H fakat 2a H ayn ekilde

2 1 2|b H H b H fakat 1b H 1 2,a b H H dr.

* 11 1( )ab H a ab b H eliki!!!

1H

* 12 2( )ab H ab b a H

2H

O halde iki elikiden varsaymmzn doruluu grlr.

11)G bir grup a G olsun C(a)= { : }G ax xa kmesine ann merkezleyenidenir.Her

a G iin C(a)

7/25/2019 soyu zet

20/22

20

12)G bir grup a G olsun.h={x :G n iin x= na }kmesi Gnin bir alt

grubudur.Gsteriniz.

Cevap:Gstermemiz gereken i) , ) ,e H ii x y H iin 1y H olmasdr.

i)G grup olduundan e G olup ne e olduundan e H dir.

ii) ,y H keyfi alalm , : ,n m

n m x a y a 1 1. ( ) .n m n m n my a a a a a ,n m olduundan n-mde tamsaydr.

O halde 1 'xy H dr ve H

7/25/2019 soyu zet

21/22

21

Cevap: 3 6 ={(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),

(2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5)} 18 elemanldr.O halde bu grubun devirli olduunugstermemiz iin bir elemann mertebesinin 18 olduunu gstermeliyiz.

3 6( , )a b x iin,

6( , ) (6 ,6 ) (0, 0)a b a b Olduundan,grupta her elemann mertebesi 6 olur.Halbuki,grubun mertebesi 3.6=18olduundan devirli olamaz.rnek vermek gerekirse (2,1)i ele alalm(2,1)+ (2,1)= (4,2) (1,2)(2,1)+ (1,2)=(3,3) (0,3)(2,1)+ (0,3)=(2,4) geri kalanlar retilemedi(2,1)+ (2,4)=(4,5) (1,5)(2,1)+(1,5)=(3,6) (0,0)Not:Bunun teoremi var bul ve ispatna bak can.

19)(dev)G= 20. Mertebeden bir devirli grup olsun bu grubun tm retelerini ve altgruplarn bulunuz.

Cevap:G grubunun reteleri ma eklindedir ve buradaki m 20 ile aralarnda asaldr (m,20)=1O halde bu mleri belirlersek m=1,3,7,9,11,13,17,19dur. O halde;

3 7 9 11 13 17 19G a a a a a a a a dur.imdi alt gruplarn belirleyelim bunun iin 20 nin blenlerini bulamalyz20 210 25 51 1

O halde;20

10 10 202 { , )a a a a e 20

5 5 10 15 204 { , , , )a a a a a a e 20

4 4 8 12 16 205 { , , , , )a a a a a a a e 20

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010 { , , , , , , , , , )a a a a a a a a a a a a e 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2020 { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e 20

20 201 { )a a a e

20)(dev) 18 in tm retelerini ve alt gruplarn bulunuz.

Cevap:

*sonsuz elemanlysa ve 1a reteleri olur.* 18 {0,1, 2,3, 4,5, 6,7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17} 18 elemanldr.

*Toplamsal devirli bir gruptur.*Mertebesi 18 ile aralarnda asal saylardan oluur. Yani (m,18)=1 eklindeki mleriaramalyz. m=1,3,5,7,11,13,15,17 olup

18 1 3 5 7 11 13 15 17 reteleridir.

7/25/2019 soyu zet

22/22

22

imdi alt gruplarn belirleyelim bunun iin 18in blenlerini bulmalyz.18 29 33 31 1

O halde alt gruplar;1818 181 { }a a a e

189 9 182 { , }a a a a e

186 6 12 183 { , , }a a a a a e

183 3 6 9 12 15 186 { , , , , , }a a a a a a a a e

182 2 4 6 8 10 12 14 16 189 { , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a e

18

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1818 { , , , , , , , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e Olarak bulunur.

21) 6( , ) da 6nn rettii grubu bulunuz.

Cavap:={6k| k }={---,-6,0,6,12,---}

. 6x y iken 1. 6x y dir grlmekte.

22) ( , ) 'da 4 alt grubunun farkl tm sa koset (kalan snflarn) bulunuz.Cevap: 4 ={----,-8,-4,0,4,8,----}0+ 4 ={----,-8,-4,0,4,8,----}= 4+4 = ..1+ 4 ={----,-7,-3,0,5,9,----}= 5+4 =..2+ 4 ={----,-6,-2,0,6,10,----}= 6+ 4 =..3+ 4 ={----,-5,-1,0,7,11,----}= 7+ 4 =

Snavda kacak sorular:1)alt grup olduunu gster.

2)grup olduunu gster.3)devirli her grubun alt grubu da devirlidir.

4)devlerden 1 tane.5)?