spatii vectoriale

Spaţii vectoriale

Matematici aplicate in economie

5

SPAŢII VECTORIALE Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care

serveşte disciplinelor economice si ingineresti.

DEFINITIE

Fie (K,+,⋅) un corp comutativ şi 1K elementul său unitate. Tripletul format din:

- o mulţime V≠Φ

- o lege de compoziţie internă, aditivă, definită pe V, notata : ⊕ , +,…….

⊕ : VVV →×

( ) vuvu ⊕→, , ∀ u,v∈V

- o lege de compoziţie externă, multiplicativă, notata : ∗, ⋅,….

∗ V VK : →×

(α,u)→ α∗u, ∀ α∈K, u∈V

care verifică axiomele:

(V1) (V,⊕) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat θ )

(x⊕y) ⊕z=x⊕ (y⊕z), ∀x,y,z∈V (asociativitate)

x⊕y=y⊕x, ∀x,y∈V (comutativitate)

∃θ∈V, ∀x∈V, x⊕θ=θ⊕x=x (element neutru)

∀x∈V, ∃x’∈V, x⊕x’=x’⊕x=θ (elemente simetrizabile)

(V2) ( ) K V,vu, ∈∀∈∀∗⊕∗=⊕∗ αααα vuvu

(V3) ( ) K, V,u ∈∀∈∀∗⊕∗=∗+ βαβαβα uuu

(V4) ( ) ( ) uu ∗=∗∗ αββα ∀ u∈V , K∈∀ βα,

(V5) uuK =∗1 Vu ∈∀

se numeşte spaţiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaţiu vectorial).

Spaţii vectoriale


6

In cazul in care K=R (respectiv K=C) vom spune că V este un spaţiu

vectorial real (respectiv complex).

Elementele unui K-spaţiu vectorial se numesc vectori, iar elementele

corpului K se numesc scalari. Legea aditiva se numeste adunarea vectorilor, iar legea multiplicativa se

numeste inmultirea vectorilor cu scalari.

Vectorul θ se numeste vectorul nul al spatiului vectorial.

Proprietaţi

Intr-un K-spaţiu vectorial (V,+,⋅)/K, următoarele afirmaţii sunt adevărate:

VuK , v-uu)-( 2)Vvu,K v-uv)-u( )1

∈∀∈∀⋅⋅=⋅∈∀∈∀⋅⋅=⋅

βαβαβααααα

3) K ∈∀=⋅ αθθα

4) Vu 0 ∈∀=⋅ θuk

5) Vu )( ∈∀−=⋅− uuK1

6) dacă θα =⋅u , atunci K0=α sau θ=u .

Exemple.

1. Spaţiul aritmetic cu n dimensiuni, nK

Fie K un corp comutativ şi n∈N* .Vom considera produsul cartezian

=nK 44 344 21orin

KKK−

××× .... .

Elementele lui Kn sunt de forma )...,( 21 nxxxx = şi se numesc n-uple ordonate.

nK are structură de spaţiu vectorial peste corpul K, impreună cu urmatoarele

legi de compozitie:

-o lege de compoziţie aditivă, definită prin:

∀x=(x1,x2,…xn), y=(y1, y2,…yn)∈Kn x+ydef= (x1+y1,x2+y2,…xn+yn)

-o lege de compoziţie externă peste K definită prin:

x=(x1,x2,…xn)∈Kn ,∀α∈K α⋅xdef= (αx1,αx2,…αxn).

Spaţii vectoriale


7

2. Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente reale, formează un

spaţiu liniar real, notat (R). Operaţiile acestui spaţiu liniar sunt: adunarea

matricelor şi înmulţirea dintre un număr real şi o matrice.

mxnM

3. Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali constituie un

spaţiu vectorial real notat R , cu adunarea polinoamelor si inmultirea cu un

numar real a unui polinom.

[ ]Xn

DEFINITIE

Fie (V,+,⋅)/K, , Vvvv n ∈..., 21 ...., 21 Kn ∈ααα

Vectorul nnvvvv ααα +++= ...2211 = se numeşte combinaţia liniară a ∑=

n

jjjv

1α

vectorilor . nvv ,...,1

Fie (V,+,⋅)/K, spatiu vectorial peste corpul K.

DEFINITIE

W⊆V, W spaţiu vectorial peste K în raport cu legile de compozitie din V

(restrictionate la W), se numeste subspaţiu vectorial a lui V.

Spaţii vectoriale


8

PROPOZITIE (CONDITII ECHIVALENTE PENTRU SUBSPATII VECTORIALE)

Fie (V,+,⋅)/K si W⊆V. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

• Wvu, ∈∀

Wvu ∈+

• WuK ∈∀∈∀ ,α

Wuα ∈⋅

Wvu, ∈∀ , ∀α, β∈K,

Wvβuα ∈⋅+⋅ .

W este subspatiu

vectorial al lui V

Exemple.

1. În orice spaţiu vectorial V/K, mulţimile { }θ şi V sunt subspaţii vectoriale ale

lui V şi se numesc subspaţii improprii.

2. În Rn/R, mulţimea W={x=(0,x2,x3,…,xn), xj∈R, j=2,…,n} este subspaţiu

vectorial al lui Rn.

3. În spaţiul liniar M (R)/R al matricelor pătratice de ordinul 2, mulţimea S

a matricelor nesingulare de ordinul 2 (al cărui determinant este diferit de 0) nu este

2x2

Spaţii vectoriale


9

subspaţiu liniar, deoarece suma a două matrice nesingulare nu este mereu o

matrice nesingulară, de exemplu:

A= şi , . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1321

S∈ SB ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4012

SBA ∉⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

3333

O mulţime finită de vectori dintr-un spatiu vectorial V/K se numeşte sistem

de vectori.

DEFINITIE

Sistemul de vectori S= se numeşte liniar independent sau liber Vvvv n ⊂},...,,{ 21

(vectorii sunt liniar independenţi) dacă orice combinaţie liniară nulă a nvvv ,...,, 21

vectorilor lui S se obţine numai cu toţi scalarii nuli, adică:

nvvv inn ,1i ,02211 =∀=⇒=+++ αθααα K .

DEFINITIE

Sistemul de vectori se numeşte liniar dependent sau legat (vectorii VS ⊂

nvv ,...,1 sunt liniar dependenţi) dacă nu este liber, adică există n scalari n1,i , =iα

nu toţi nuli, astfel încât combinaţia liniară a vectorilor lui S cu aceşti scalari să fie

nulă.

Sistemul de vectori este liniar dependent dacă şi numai

dacă unul dintre vectori săi este o combinaţie liniară a celorlalţi vectori din S.

},...,,{ 21 nvvvS =

A stabili natura unui sistem de vectori înseamnă a studia dacă vectorii sunt

liniar dependenţi sau independenţi.

Exemplu.

Să se stabilească natura sistemului de vectori S⊂ 4R ,

},,,{ 321 vvvS = (0,1,1,0).v ;(-1,2,1,1)v (1,1,0,1);v 321 ===

Fie 321 ,, ααα scalari din R astfel încât combinaţia lor liniară cu vectorii lui S

să fie nulă

Spaţii vectoriale


10

)0,0,0,0()0,1,1,0()1,1,2,1()1,0,1,1( 321

332211

=+−+

=++

αααθααα vvv

Obţinem sistemul de ecuaţii liniar omogen:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

=++

=−

00

020

21

32

321

21

αααα

ααααα

Matricea sistemului liniar omogen este

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

011110121011

A .

Rangul lui A este 3. Singura soluţie a sistemului de ecuaţii este cea nulă. Atunci, S

este liniar independent

Proprietati ale sistemelor de vectori 1) }{θ=S este liniar dependent;

2) θ≠= v },{vS este liniar independent, pentru că: din θα =⋅v rezulta 0=α ;

3) În orice spaţiu vectorial V/K orice subsistem de vectori al unui

sistem S liniar independent este liniar independent;

SS ⊂'

4) Dacă S conţine vectorul nul, sistemul de vectori S este liniar dependent;

5) Orice suprasistem S’, SS ⊃' , al unui sistem de vectori liniar dependent S

este liniar dependent.

DEFINITIE

Un sistem de vectori S⊂V/K se numeşte sistem de generatori pentru V, dacă

orice vector din V se poate scrie ca o combinaţie liniară cu vectorii lui S. Vectorii lui

S se numesc generatori pentru V.

Observaţie.

Orice spaţiu vectorial V/K admite cel puţin un sistem de generatori.

• Spaţiul vectorial V/K se numeşte finit generat, dacă există S sistem de

generatori finit pentru V.

Spaţii vectoriale


11

• Două sisteme de vectori care generează acelaşi spaţiu se numesc

echivalente.

Fie S un sistem de generatori pentru V/K. Următoarele transformări duc la

obţinerea unui nou sistem de generatori pentru V/K:

-schimbarea ordinei vectorilor lui S;

-înmulţirea unui vector din S cu un scalar nenul;

-înlocuirea unui vector din S cu o combinaţie liniară a acelui vector cu alţi vectori

din S.

DEFINITIE

Un sistem de vectori B ⊂V/K cu proprietăţile:

-B este sistem de generatori pentru V

-B este sistem liniar independent

se numeşte bază pentru spaţiul V/K.

Se poate demonstra că orice spaţiu vectorial diferit de }{θ admite cel puţin o bază.

Spaţiul vectorial V care are o bază finită sau }{θ=V se numeşte finit

dimensional; în caz contrar se numeşte infinit dimensional. Toate bazele unui spaţiu vectorial, finit dimensional au acelaşi număr de

vectori.

DEFINITIE

Numărul ⎩⎨⎧

==

}{ Vdacă 0,vectori n din formată bază o are V dacă n,

V dim K θ

se numeşte dimensiunea spaţiului vectorial V.

Un spaţiu vectorial cu dimensiunea n se numeşte n-dimensional şi se

notează cu . nV

Exemple

1) În spaţiul vectorial nK /K, vectorii

e1=(1,0,0,...,0), e2=(0,1,0,...,0),…,en=(0,0,...,0,1)

Spaţii vectoriale


12

determină o bază } ( numită baza canonică). ,...,,{ 21 neeeB =

Verificam că B este liniar independent: combinaţia liniară nulă cu scalarii

α1,α2,…αn, θααα =+++ nneee ...2211 ⇔ )0,...,0,0(),...,,( 21 =nααα ⇒

.0...21 ==== nααα

Pe de altă parte . nn2211n21 ex...exex)x,...,x,(x x, +++==∈∀ nKx

dimK = n. nK

2) Spaţiul vectorial Mmxn(K) are dimensiunea mn, o bază a sa este mulţimea

{ }njmiEB ij ≤≤≤≤= 1,1 , Eij este matricea care are elementul 1 la intersecţia

liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind nule .

3) Spaţiul vectorial Rn[X] al tuturor polinoamelor de grad are dimensiunea

n+1 şi baza canonica a acestuia este

n≤

{ }nXXXB ,...,,,1 2= .

DEFINITIE

Scalarii nααα ..., 21 cu ajutorul cărora vectorul Vv ∈ se scrie ca o combinaţie

liniară cu vectorii bazei B, se numesc coordonatele vectorului v în raport cu

baza B .

Coordonatele unui vector într-o bază sunt unice.

Fie V/K spaţiu vectorial, finit dimensional cu dim KV=n. Următoarele afirmaţii

sunt adevarate:

i) orice sistem de vectori liniar independent are cel mult n vectori ;

ii) orice sistem de vectori liniar independent format din n vectori este bază

pentru V;

iii) orice sistem de generatori al lui V are cel puţin n vectori;

iv) orice sistem de generatori format din n vectori este bază pentru V.

Dimensiunea spaţiului V/K reprezinta numărul maxim de vectori liniar

independenţi şi numărul minim de generatori ai lui V.

Spaţii vectoriale


13

§ 2. Matrice.Sisteme de ecuatii Fie K corp comutativ. Am notat mulţimea matricelor cu m linii şi n

coloane şi coeficienţi în K

)(KMmxn

)()(,1,1 KMaA mxnnjmiji ∈=

== .

)(KMmxn împreună cu adunarea matricelor şi înmulţirea unei matrice cu un scalar

are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K.

Fie matricea (K)M)(aA mxnn1,jm1,iij ∈=

== .

),...,( 112111 naaau = ; ;… ;),...,( 222212 naaau = ),...,( 21 mnmmm aaau = . miRu ni ,1 =∈

se numesc vectorii linie ai matricei A si considerăm vectorii

vi=(a1i,a2i,...,ami) n1,i , =∀∈ mR , care se numesc vectorii coloană ai matricei A.

Se numeşte rangul matricei A, numărul vectorilor coloană liniar

independenţi ai matricei A.

Sisteme de ecuaţii liniare.

Fie K corp comutativ, R sau C, aij∈K şi fie sistemul liniar de ecuaţii cu m

ecuaţii şi n necunoscute

(1) ..

......

2211

222221

11212111

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxabxaxaxa

bxaxaxa

Notăm ( ) ,1,m1,i njijaA

=== matricea sistemului , şi . n

n

R

x

xx

X ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

2

1

m

m

R

b

bb

b ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=M

2

1

Atunci sistemul (1) se mai poate scrie:

,1i 1

i∑=

==n

jjij mbxa (2)

sau AX=b (3)

Spaţii vectoriale


14

sau dacă notăm n1,j 2

1

=∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= m

mj

j

j

j R

a

a

a

vM

, atunci . (4) 1

∑=

=n

jjj bxv

Sistemul liniar de ecuaţii (1) se numeşte compatibil dacă există

care verifică identic acest sistem. nn Kx ∈= ),...,,( 21 ααα

Teorema 2.3. (Kronecker-Kapelli)

Sistemul de ecuaţii (1) este compatibil dacă şi numai dacă )()( ArAr = , unde A este

matricea extinsă a sistemului.

Dacă θ=b , sistemul AX=0 sau se numeşte sistem liniar

omogen.

1

∑=

=n

jjj xv θ

Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniar omogen cu n necunoscute

formează un subspaţiu vectorial al lui Kn/K.

Spaţii vectoriale


15

Probleme rezolvate

1. Notăm cu V=(0,∞), mulţimea numerelor reale strict pozitive şi definim pe V

operaţiile: “⊕” şi “∗” date prin: x ⊕ y = xy şi α ∗ x = xα, ∀x,y ∈ V şi α ∈ R.

Este (V, ⊕, ∗) spaţiu vectorial real?

Soluţie. Verificăm, pe rând, axiomele din definiţia spaţiului vectorial. Începem

cu structura de grup abelian a mulţimii V cu operaţia “⊕”:

Asociativitatea: ∀ x, y, z∈V, (x ⊕ y) ⊕ z=x ⊕ (y ⊕ z)

(x ⊕ y) ⊕ z=(xy) ⊕ z= (xy)z=x(yz)=x(y ⊕ z)= x ⊕ (y ⊕ z)

Comutativitatea: ∀ x, y∈V, x ⊕ y= y ⊕ x

x ⊕ y=xy=yx=y ⊕ x

Existenta elementului neutru: ∃ θ ∈ V a.i. ∀ x ∈ V x ⊕ θ=θ ⊕ x=x

Deoarece avem deja verificată comutativitatea e suficient să considerăm ecuaţia:

x ⊕ θ=x xθ=x ⇔ ⇔ θ=1∈V

Elementul simetric unui element din V: ∀ x∈V ∃ x’∈V a.i. x ⊕ x’=x’ ⊕ x=θ

Deoarece avem deja verificată comutativitatea e suficient să considerăm ecuaţia:

x’ ⊕ x=θ x’x=1 ⇔ ⇔ x’=1/x ∈V

În continuare verificăm axiomele 1) – 4) din definiţia spaţiului vectorial:

1) α ∗ (x ⊕ y)= α∗x ⊕ α∗y, ∀ x, y∈V , ∀ α∈R

α ∗ (x ⊕ y)=α ∗ (xy)= (xy)α= xαyα= xα ⊕ yα=α∗x ⊕ α∗y

2) (α+β) ∗x= α∗x ⊕ β∗x, ∀ x ∈V , ∀ α, β ∈R

(α+β) ∗x= xα+β= xαxβ= xα ⊕ xβ= α∗x ⊕ β∗x

3) α ∗ (β∗x)= (αβ) ∗x, ∀ x∈V , ∀ α, β ∈R

α ∗ (β∗x)= α∗ (xβ) = (xβ)α =xαβ= (αβ) ∗x

4) 1∗x=x, ∀ x∈V

1∗x= x1=x

V împreună aceste două operaţii are structură de spaţiu vectorial real.

Spaţii vectoriale


16

2. Fie ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== Rzuyx

zuyx

AAL ,,,,0

0. Să se arate ca L este subspaţiu

vectorial al lui M2x3(R) şi să se determine o bază a sa.

Soluţie. Fie şi Lzuyx

A ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

111 0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

222 0

0zuyx

A ∈L si scalarii oarecare

βα, ∈R. Vom demonstra că orice combinaţie liniară a matricelor A1, A2 aparţine tot

lui L : L ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++=+

2121

212121 βzαzβuαu0

βyαy0βxαxβAαA ∈

L este subspatiu vectorial.

Considerăm descompunerea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100000

z010000

u000100

y000001

xzu0y0x

A

Notăm . L este subspaţiul

generat de A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

100000

A,010000

A,000100

A,000001

A 4321

1, A2, A3, A4, matrice liniar independente care formează o bază pentru

L. dim K L=4.

spatii vectoriale

Documents