Speciella Relativitetsteorin

Bestäm en bils hastighet

Mät en sträcka, s, och bestäm tiden, t, det tar för bilen att färdas denna sträcka

Δs=100 m

smt

svbil /10

10

100

t0=0 st1=10 s

Bestäm hastighet om du själv rör dig

Idé: Se till att du kan mäta hastigheten vid 2 tillfällen, dels när ni möts och dels när ni kör om varandra. Notera: Vi mäter nu hastigheter i förhållande till den egna bilen

Vi mäter hastigheten på den andra bilen

Vi mäter upp hastighet v1. v1 är en kombination av båda bilarnas hastighet. v1= vandra bilen + vjag

Vi mäter upp hastighet v2. v2 är en kombination av båda bilarnas hastighet. v2= vandra bilen - vjag

Bestäm bilarnas hastigheter

andraandrajagandrajagandra

jagandra

jagandra vvvvvvvv

vvv

vvv

2

2

2221

2

1

jagjagjagandrajagandra

jagandrajagandra

jagandra

jagandra

vvvvvv

vvvvvvvvv

vvv

2

2

2

2

)(

221

2

1

Bestäm den andra bilens hastighet

Bestäm min bils hastighet

Michelson-Morley experiment

• Genomfördes av Albert Michelson och Edward Morley

• År 1887

• Mål: Studera relativa hastigheter

Idé: Vi mäter hastigheten på ljuset från en stjärna vid två tillfällen. Dels när vi åker ”med” ljuset och dels när vi åker ”mot” ljuset. Vi kan då bestämma vår egen hastighet och ljusets hastighet

vjord

vjord

Stjärna

v1= vljus + vjord

v2= vljus - vjord

Resultat M-M Experiment

Resultat: De mätte upp SAMMA hastighet på ljuset i båda fallen. Vad betyder det?• Att de misslyckats med mätningen?• Att Michelson-Morley är dåliga forskare?• Att mätfelen är för stora?• Att jorden står still i universum?• Att antagandet var fel?• Något annat?

Speciella Relativitetsteorin

Einstein tänkte ”Michelson-Morley mätte upp att ljusets hastighet är konstant. Låt oss säga att ljusets hastighet är konstant för alla observatörer”

• Postulat 1: Ljusets hastighet i vakuum är lika för alla observatörer oavsett hastighet

• Postulat 2: Fysikens lagar är lika för alla observatörer oavsett hastighet

Bestäm ljushastigheten – du sitter i en raket

Ljushastigheten blir: t

h

t

sv

2

h

h

α

Ljushastigheten blir: t

h

t

sv

cos/2

Ljuset går nu en längre sträcka

Bestäm ljushastigheten – du står utanför en raket

Låt båda bestämma ljushastigheten samtidigt

h

α

Ljushastigheten blir: t

h

t

sv

cos/2

Ljushastigheten blir: t

h

t

sv

2

h

Ljushastighetens invarians ger

Minns

Postulat 1: Ljusets hastighet i vakuum är lika för alla observatörer oavsett hastighet

Minns

Notera: Enligt postulatet skall båda uttrycken på höger sida ge samma svar!

Hur kan det vara möjligt?

Svar ”t” är olika i de båda fallen. Båda observatörerna mäter samma sak med får olika värden på tiden

Ljushastigheten:

Ljushastigheten: t

h

t

sv

cos/2

t

h

t

sv

2

Tidsdilatation

• t0 - den tid som uppmäts av en observatör som står stilla i förhållande till det som mäts• t - den tid som uppmäts av en observatör som rör sig med hastigheten v i förhållande till det som mäts• Om du rör dig mäter du upp en kortare tid, tiden går alltså långsammare

2

2

0

1cv

tt

Ex: En partikel med halveringstiden t1/2=5,0 ns skapas vid ett strålmål. 100 meter bort finns en detektor. Partiklarna rör sig med v=0,999c. Hur många % av partiklarna når detektorn? Jämför med det värde som du får om du räknar klassiskt.

s=100 m

v=0,999c=0,999·2,998·108 m/s

s

c

c

c

vtt

c

v

tt

sv

st

827

2

27

2

2

0

2

2

0

78

1049,1999,011034,3

)999,0(11034,31

1

1034,310998,2999,0

100

0108,75,05,0:

%1313,05,05,0:

5,0""5,0

21105

1034,3

0

105

1049,1

0

00

9

7

2/1

9

8

2/1

2/12/1

t

t

t

t

t

t

t

t

N

NklassisktJämför

N

NenverklighetI

N

NöverleverAndelNN

Hastigheter och sträckor

Du ser Partikeln ser

Notera: Två olika observatörer mäter upp samma sträcka men får olika svar

Ex: En partikel med halveringstiden t1/2=5,0 ns skapas vid ett strålmål. 100 meter bort finns en detektor. Partiklarna rör sig med v=0,999c.

mcvts

tidigareenligtst

cv

1001034,3999,0

)(1034,3

999,0

7

7

mcvts

tidigareenligtst

cv

5,41049,1999,0

)(1049,1

999,0

8

8

Längdkontraktion

• l0 - den sträcka som uppmäts av en observatör som står stilla i förhållande till det som mäts• l - den sträcka som uppmäts av en observatör som rör sig med hastigheten v i förhållande till det som mäts• Om du rör dig mäter du upp en kortare sträcka, rummet är alltså hoptryckt i färdriktningen.

2

2

0 1 c

vll

Massa-Energi-ekvivalens

Formeln för total energi

W=mc2 eller E=mc2 säger att Energi=Massa• Ex 1: Elektron+positron: 2x9,11·10-31 kg=1,637·10-13

J=1,022 MeV• Ex 2: I ett kärnkraftverk och i atombomber omvandlas

materia till energi

2

22

2

2

22

2

2

22

)11(

01

1

1

1

1

1

mcW

mcmcW

vsätt

cv

mcmcW

cv

mcWmenWmcW

tot

tot

tot

kktot

Ex Ett föremål väger 1 kg. 1 MJ värmeenergi tillförs. Hur mycket ökar massan hos föremålet?

kgc

WmmcW

smc

JW

1128

6

22

8

6

101,1)10998,2(

101

/10998,2

101

Notera: När man tillför energi till ett tungt föremål har viktökningen ingen betydelse. När man tillför energi till en elektron eller en proton har det stor betydelse. Acceleratorer skulle vara omöjliga att bygga om man inte tog hänsyn till relativistiska massan

Följd av relativitetsteorin: Det är omöjligt att resa snabbare än ljushastigheten

• Relativistisk massa

• När v närmar sig c kommer massan att öka → tyngre föremål är svårare att accelerera

• Massan går mot ∞ → ∞-igt tungt föremål kan inte accelereras

vilomassanärmdär

cv

mM

2

2

1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 20 40 60 80 100 120

Massan hos ett föremål med vilomassan 1 kg vid olika hastigheter i % av c

Räkneövning sid 292

Följande uppgifter är lämpliga: 12.3-12.5, 12.7-12.9

2223-04-21