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Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOLaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

SPECIFICHE DI PROGETTOSPECIFICHE DI PROGETTODI SISTEMI DI CONTROLLODI SISTEMI DI CONTROLLO

Tipi di Specifiche

Nel progetto di un sistema di controllo, il progettista cerca di far sì che il sistemain retroazione complessivo abbia alcune caratteristiche statiche e/o dinamichedesiderate. Queste caratteristiche vengono usualmente assegnate comespecifiche che il sistema deve soddisfare in condizioni statiche (o di regime) edurante i transitori. Tali specifiche possono essere definite sia nel dominiotemporale che nel dominio frequenziale e riguardano in generale:

• precisione a regime: capacità di un sistema di seguire alcuni segnali diriferimento con il minimo errore.

• risposta nel transitorio: andamento per tempi finiti dell’uscita del sistemain retroazione in risposta a tipici segnali in ingresso.

• stabilità relativa: rifacendosi ai diagrammi di Nyquist, è possibile valutare il“grado” di stabilità di un sistema osservando la “distanza” del diagrammapolare dal punto critico −1 + j0. Si possono quindi definire parametri chepermettono di valutare la stabilità relativa di un sistema discreto, in modoanalogo a quanto fatto per quelli continui (margini di stabilità);

Cristian Secchi 2005-2006 ITSC05 – p. 2/30

Tipi di specifiche

• sensitività parametrica: si desidera che le prestazioni del sistema nonvengano alterate da variazioni dei parametri rispetto ai valori nominali.

• reiezione di disturbi: capacità del sistema controllato di ridurre al minimol’influenza sull’uscita di eventuali disturbi che entrano nell’anello di controllo,quali errori di misura, variazioni di carico, rumore sulle variabili acquisite,ecc.;

• azione di controllo: vincoli sull’ampiezza massima della variabilemanipolabile v(t).


Errori a regime

D(s) G(s)� � � ��

�-

E(s)R(s) C(s)

• Dato il sistema

G(s) =K(1 + sq1)(1 + sq2) . . . (1 + sqm)sN (1 + sp1)(1 + sp2) . . . (1 + spp)

si definisce tipo del sistema il numero N di poli di G(s) presenti nell’origine.

• Il tipo indica il numero di integratori presenti nel sistema. Un sistema di tipo0 non presenta integratori puri tra ingresso ed uscita, un sistema di tipo 1ne presenta uno ...

• Nel caso discreto la definizione di tipo fa riferimento al numero di poli nelpunto z = 1.


Errori a regime

Si consideri il seguente sistema di controllo digitale a retroazione unitaria:

D(z) Hold P (s) ��

-

R(z) C(z)E(z)��

HP (z)

�

�

La funzione di trasferimento discreta del ramo diretto è

G(z) = D(z)HP (z)

con (nel caso di ricostruttore di ordine 0)

HP (z) = (1 − z−1)Z[P (s)

s

]


Errori a regime

E(z) = R(z) − G(z)E(z)

E(z) =1

1 + G(z)R(z)

Assumendo che il sistema stabile, é possibile calcolare l’errore a regimemediante il teorema del valore finale:

ereg = limk→∞ e(k) = limz→1

[(1 − z−1)E(z)

]

= limz→1

[(1 − z−1) 1

1+G(z)R(z)]

= limz→1

[z−1

z1

1+G(z)R(z)]


Errore di posizione

Si consideri come riferimento un gradino di ampiezza r0:

R(z) =r0

1 − z−1

L’errore a regime vale:

ep = limz→1

[(1 − z−1)

11 + G(z)

r0

1 − z−1

]= lim

z→1

[r0

1 + G(z)

]

Definendo la costante di posizione (o costante di guadagno) come

kp = limz→1

G(z) (1)

L’errore a regime ep diventa

ep =r0

1 + kp(2)

Per valori finiti di kp l’errore a regime è sempre non nullo, mentre si ha ep = 0solo nel caso in cui kp = ∞. La condizione kp = ∞ è verificata per sistemi di tipo1, 2, . . .Cristian Secchi 2005-2006 ITSC05 – p. 7/30

Errore di velocità

Si consideri come riferimento un segnale a rampa:

R(z) =Tz−1r0

(1 − z−1)2

L’errore a regime vale

ev = limz→1

[(1 − z−1)

11 + G(z)

Tz−1r0

(1 − z−1)2

]= lim

z→1

[Tr0

(1 − z−1)G(z)

]

Definendo la costante di velocità come

kv = limz→1

(1 − z−1)G(z)T

l’errore a regime diventa

ev =r0

kv


Errore di velocità

Per valori finiti di kv l’errore a regime per ingresso a rampa assume valori nonnulli, mentre si ha ev = 0 solo per kv = ∞. Questa condizione è verificata persistemi di tipo 2,3, . . . , mentre non lo è per sistemi di tipo 0 e 1. Si noti infine cheper sistemi di tipo 0, si ha kv = 0 e quindi l’errore diverge.


Errore di accelerazione

Si consideri come riferimento un segnale parabolico:

R(z) =T 2z−1(1 + z−1)r0

2(1 − z−1)3

Applicando il teorema del valore finale, l’errore a regime vale

ea = limz→1

[(1 − z−1)

11 + G(z)

T 2z−1(1 + z−1)r0

2(1 − z−1)3

]= lim

z→1

[T 2r0

(1 − z−1)2G(z)

]

Definendo la costante di accelerazione come

ka = limz→1

(1 − z−1)2G(z)T 2

l’errore a regime per ingresso a parabola vale

ea =r0

ka


Errore di accelerazione

Per valori finiti di ka risulta ea �= 0, mentre ea = 0 solo per ka = ∞, condizioneverificata per sistemi di tipo 3, 4, . . . . Per sistemi di tipo 0 e 1 si ha ka = 0 equindi l’errore diverge.

Per trovare l’errore a regime nel caso di segnali canonici di grado superiore(cubici, ...) si prosegue esattamente nello stesso modo.


Esempio: sistema di tipo 0

G(z) =z−1

1 − 0.5z−1

con T = 0.25 s.Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione si ottiene:

kp = limz→1

G(z) = 2

kv = limz→1

(1 − z−1)G(z)T

= 0

ka = limz→1

(1 − z−1)G(z)T 2

= 0

e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente(r0 = 1):

ep =1

1 + 2= 0.333, ev =

10

= ∞, ea =10

= ∞



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Sistema di ordine 0 con ingresso a gradino

y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Errore

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Sistema di ordine 0 con ingresso a rampa

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Errore

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Sistema di ordine 0 con ingresso a parabola

s

y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Errore

s



G(z) =0.3z−2

1 − 1.2z−1 + 0.2z−2=

0.3z−2

(1 − z−1)(1 − 0.2z−1)

con T = 0.5 s.Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione sono:

kp = limz→1

G(z) = ∞

kv = limz→1

(1 − z−1)G(z)T

= 0.75

ka = limz→1

(1 − z−1)G(z)T 2

= 0

e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente(r0 = 1):

ep = 0, ev = 1.333, ea = ∞



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistema di ordine 1 con ingresso a gradino

y

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Errore

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistema di ordine 1 con ingresso a rampa

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Errore

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistema di ordine 1 con ingresso a parabola

s

y

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Errore

s


Specifiche sul transitorio

• Il comportamento di un sistema dinamico stabile a partire da certecondizioni iniziali (tipicamente di quiete) in risposta a sollecitazioni esternepuò essere distinto in una fase di evoluzione transitoria, di durata limitata,ed una fase a regime, che viene raggiunta in pratica per t sufficientementegrande. Le caratteristiche del transitorio sono di particolare interesse per ilprogetto del sistema di controllo.

• Solitamente, le specifiche che il sistema in retroazione deve soddisfare neltransitorio sono riferite alla risposta del sistema al segnale a gradino.



Nel caso tempo-continuo, si definiscono le seguenti caratteristiche temporalidella risposta a gradino:

• tempo di salita Ts: tempo impiegato dall’uscita per passare dal 10% al90% (o anche dal 5% al 95%) del valore finale;

• tempo di assestamento Ta: tempo oltre il quale l’uscita si discosta menodel 5% rispetto al valore finale (si può considerare, con specifiche piùrestrittive, anche lo scostamento del 2%);

• tempo di ritardo Tr: tempo richiesto perché l’uscita raggiunga il 50% delvalore finale;

• istante di massima sovraelongazione Tm: istante di tempo in cui si ha lamassima sovraelongazione;

• massimo sorpasso o massima sovraelongazione S: valore del massimoscostamento dell’uscita rispetto al valore di regime c(∞). Solitamente S èdefinito in valore percentuale rispetto al valore di regime:

S =c(Tm) − c(∞)

c(∞)100



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ta

|

0.05S

Tm

|

Tr

|

Ts

c(t)

t


Specifiche sul transitorio per sistemi del 2o ordine

• Queste grandezze sono quantificate in rapporto a sistemi del secondoordine, e sono direttamente collegate alla posizione nel piano s della coppiadi poli del sistema.

• Nel caso di sistemi di ordine superiore, nella quasi totalità dei casi diinteresse pratico, è presente una coppia di poli dominanti, cioè di unacoppia di poli a parte reale (negativa) in modulo molto minore della partereale di altri poli eventualmente presenti nel sistema. In tal caso, le stesseformule valide per i sistemi del secondo ordine continuano ad essereadottate in modo approssimato.



Si consideri un sistema del secondo ordine:

G(s) =ω2

n

s2 + 2δωn + ω2n

dove δ è il coefficiente di smorzamento e ωn la pulsazione naturale del sistema.La posizione della coppia di poli nel piano s è data da:

�

��

jω

α

ωn

jωn

√1 − δ2

σ0

��

��

−δωn

�

��

��



• tempo di salita (da 0% a 100%):

Tr =π − α

ωn

√1 − δ2

• istante di massimo sorpasso:

Tm =π

ωn

√1 − δ2

• massimo sorpasso percentuale:

S = 100 [c(Tm) − 1] = 100e− δπ√

1−δ2

• tempo di assestamento

Ta =3

δωn(al 5 %), oppure Ta =

4δωn

(al 2 %)



• La massima sovraelongazione percentuale dipende unicamente dalparametro δ.

• Data una specifica sulla sovraelongazione percentuale S% < S̄, è possibiletrovare un δ = δ̄ tale per cui

S̄ = 100e− δ̄π√

1−δ̄2

• É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δ costante (δ = δ̄) entrocui devono stare i poli del sistema affinchè la specifica sulla massimasovraelongazione percentuale sia soddisfatta



• Il tempo di assestamento dipende dal parametro δωn = −σ = −Re(pi).

• Data una specifica sul tempo di assestamento Ta < T̄ , è possibile trovareun valore δωn = δ̄ω̄n tale per cui

T̄ =3

δ̄ω̄n

• É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δωn costante(δωn = δ̄ω̄n) a sinistra del quale evono stare i poli del sistema affinchè laspecifica sul massimo tempo di assestamento sia soddisfatta.



• Tutte queste specifiche hanno ovviamente la loro corrispondenza nel casodiscreto. Le definizioni rimangono le stesse, anche considerando il fatto chesolitamente il sistema controllato (da un controllore digitale) è un sistemacontinuo, la cui uscita è quindi qualitativamente simile a quella di unsistema del 2o ordine.

• Considerando la Z-trasformata della funzione G(s), si possono fare alcuneinteressanti considerazioni sull’andamento della risposta in funzione dellaposizione dei poli sul piano z, giungendo, come nel caso tempo-continuo,alla definizione di luoghi a δ costante e a δωn costante sul piano z.



Nella figura a sinistra è evidenziata la regione entro la quale devono stare i polidi un sistema del secondo ordine per soddisfare le specifiche su tempo diassestamento, massima sovraelongazione percentuale e massimo ωn (legatoalla massima banda passante). Nella figura a sinistra è evidenziata la regionecorrispondente sul piano z.


Specifiche frequenziali

Un modo alternativo per esprimere le specifiche dinamiche è quello tramitespecifiche frequenziali, ossia legate ai parametri della funzione di rispostaarmonica.

• I tipici parametri considerati sono:• margini di stabilità (di fase e ampiezza);• picco di risonanza;• banda della funzione di risposta armonica in anello chiuso.

• Tramite il prototipo del sistema di secondo ordine, possono sempre esserelegati (in modo approssimato se il sistema è di ordine superiore) aiparametri della risposta temporale al gradino.

• Nel campo discreto i parametri considerati sono definiti in modo del tuttoanalogo.



• Margine di fase MF : detto −φ l’argomento di G(ejωT ) in corrispondenzadella pulsazione ω0 che fornisce |G(ejω0T )| = 1, il margine di fase MF è ilcomplemento a π di φ, cioè

MF = π − φ

Tipici valori di specifica sono 45o ÷ 60o.

• Margine di ampiezza MA: è l’inverso del guadagno di anello allapulsazione ω′ a cui corrisponde la fase π:

MA =1

|G(ejω′T )|

dove arg{G(ejω′T )} = π.Valori usuali di specifica per questo parametro sono 4-6 (12-16 db).



• Il margine di fase e il margine di ampiezza rappresentano il “grado distabilità” del sistema, cioè quanto il sistema è “lontano” dall’instabilità.

• Questo può essere formalmente dimostrato tramite il criterio di Nyquist.

• Imporre un certo valore di questi parametri significa imporre una certarobustezza al sistema. Questo è utile nel caso il sistema presentiincertezze oppure dinamiche non modellate.



• Pulsazione di risonanza ωr: pulsazione alla quale si verifica il picco dirisonanza

ωr = ωn

√1 − 2δ2

• Banda passante ωb: pulsazione alla quale il modulo della funzione dirisposta armonica si riduce di 3 db rispetto al valore del modulo per ω = 0.


Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

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