Speckurss

6. lekcija

materiālu pretestībā

Deformācijas un spriegumi

Atkarībā no tā, kādi iekšējo spēku faktori darbojas stieņa šķēlumā, ir četri raksturīgi stieņa pamatslogojuma veidi: stiepe (spiede), bīde (cirpe), liece un vērpe.

Aksiālā stiepe (spiede)Par stiepi (spiedi) sauc tādu slogojuma veidu,

kad stieņa šķērsgriezumā vienīgais iekšējo spēku faktors ir aksiālais spēks N.

Stiepes (spiedes) slogojumā stieņa šķērsgriezumos (A) darbojas tikai normālie spriegumi σ un to sadalījums pa stieņa šķērsgriezumu ir vienmērīgs. Tātad:

� =�

�

Stieni stiepjot, tas stiepes virzienā pagarinās, bet šķērsvirzienā sašaurinās. Savukārt spiežot stieni, tas garenvirzienā saīsinās, bet šķērsvirzienā paplašinās. Tātad:

stieņa absolūtā lineārā deformācija būs - Dl=l1-l,šķērsdeformācija - Da=a1-a

Angļu fiziķis Roberts Huks jau 1676. gadā pamatojoties uz rezultātiem, kas gūti eksperimentālos pētījumos, izdarīja lakonisku secinājumu – „kāds ir pagarinājums, tāds ir spēks (Ut tensiosic uis):

Dl=kF.

Tā tika likti materiālu deformāciju teorijas pirmie pamati. Huka izvirzīto apgalvojumu par pārvietojumu un spēku kopsakarību izsaka formula:

kur E – Junga, jeb elastības, modulis. Raksturo materiāla īpašības stiepē (spiedē),EA – stieņa stingums stiepē (spiedē),

Dl/l - relatīvā deformācija e,

N/A - spriegums s.

Tātad Dl formulai atbilst izteiksmes:

Huka likumsl=��

��

�=�

�vai � = ��

Šķērsdeformāciju attiecība ar mīnus zīmi pret garendeformāciju ir materiālam raksturīgs parametrs. Tā skaitlisko vērtību katram materiālam atsevišķi nosaka eksperimentāli un sauc par Puasonakoeficientu (μ).

Šī koeficienta vērtība var mainīties intervālā no 0 līdz 0,5. Vērtība μ = 0 attiecas uz materiālu, kurš slogots kādā no virzieniem deformējas vienīgi šajā virzienā un nedeformējas šķērsvirzienos. Praktiski tāds materiāls ir korķis. Otras galējības piemērs ir kaučuks, kuram μ= 0,47.

�� = ��

Stieni stiepjot, tas šķērsvirzienā sašaurinās. Tātad rodas šķērsdeformācijas ��:

MateriālsElastības modulis, E Puasona

koeficients, μGPa 106 kG/cm2

Dimants 1000 10

Bors 441 4,42

Tērauds 185 – 216 1,9 – 2,2 0,24 – 0,33

Oglekļaplasti 70 – 200 0,7 – 2 0,05 – 0,4

Kvarca stikls 94 0.95

Granīts 62 0,62

Čuguns 78 – 147 0,8 – 1,6 0,23 – 0,27

Alumīnijs 69 – 71 0,7 – 0,72 0,32 – 0,36

Koks - šķiedru virzienā 8,8 – 15,4 0,09 – 0,16

Koks - šķērsām šķiedrām 0,4 – 1,0 0,004 – 0,01

Ķieģeļu mūris 2,45 – 2,95 0,025 – 0,03

Betons, cements 30 - 50 0,3 – 0,5 0,08 – 0,18

Stiklaplasts(daudzvirzienu)

7 – 45 0,07 – 0,46 0,08 – 0,35

Neilons 2 – 4 0,02 – 0,04

Epoksīdi 2,6 – 3 0,026 – 0,03

Gumijas 0,01 – 0,1 0,0001 – 0,001

Mate

riā

lu d

efo

rma

tīvā

s

ko

nsta

nte

s

Bīde (cirpe)Bīdes (cirpes) slogojums rodas, ja spēki F

darbojas savstarpēji paralēli un stieņa asij perpendiku-lārās plaknēs, un attālums a starp tiem ir niecīgs. Var pieņemt, ka tangenciālie spriegumi τ, kuri rodas no šķērsspēka Q iedarbības, pa šķērsgriezuma laukumu sadalās vienmērīgi. Tā kā attālums a ir ļoti mazs, tad

lieces momenta M=Fa radītos spriegumus σ ignorējam.

Atkarībā no materiāla īpašībām zināmās robežās starp bīdes deformācijām un bīdes spriegumiem pastāv lineāra sakarība – Huka likums bīdē:

t = GgBīdes modulis G ir materiāla konstante un

raksturo materiāla stingrību bīdē. Tā dimensija sakrīt ar bīdes sprieguma dimensiju, t.i. Pa.

Ja pieņemam, ka tangenciālie spriegumi pa šķērsgriezuma laukumu sadalās vienmērīgi, tad to aprēķinam varam izmantot formulu:

� =�

�

Var pierādīt, ka izotropu materiālu gadījumā starp trim elastīgām konstantēm – elastības moduli E, Puasona koeficientu m un bīdes moduli G – ir spēkā sakarība:

Jau iepriekš konstatējām, ka Puasona koeficienta m vērtības iespējamas robežās 0≤m≤0,5. Tātad bīdes modulis G sastāda 0,33...0,5 no elastības moduļa E.

Tā kā materiālu elastīgo konstanšu vērtības tiek noteiktas eksperimentāli, tad varam secināt, ka no neatkarīgiem eksperimentiem pietiek noteikt jebkuras divas no šīm konstantēm, bet trešo var izskaitļot ar augstāk uzrādītās sakarības palīdzību.

� =�

�(� + �)

Vērpe

Par vērpi sauc tādu slogojuma veidu, kad stieņa šķēlumos darbojas tikai vērpes moments (M).

Tangenciālie spriegumi t pa stieņa šķērsgriezumu sadalās tieši proporcionāli attālumam r no stieņa ass.

kur –Mv – vērpes moments,Ip – polārais inerces

moments pret stieņa asi z.

� =��

���

To noteikšanai izmantojam izteiksmi:

Lielākie tangenciālie spriegumi atbilst

maksimālam attāluma r =r vērtībām no stieņa ass z.

Tātad maksimālie spriegumi vērpē būs:

kur Wp – stieņa šķērsgriezuma polārais pretestības moments.

���� =��

��,

Ir noskaidrots, ka stieņa stiprība ir atkarīga no šķēluma laukuma formas.

Stieņa savērpes lenķi aprēķina pēc formulas:

kur G – bīdes modulis.

� =��

�

���

tīrā liecešķērsliece

un par šķērslieci, ja bez lieces momentiem rodas arī šķērsspēki.

LiecePar lieci sauc slogojuma veidu, kad stieņa

šķēlumos rodas lieces momenti.

Lieci sauc par tīru, ja stieņa šķēlumos rodas tikai lieces momenti,

Spriegumi sijas liecē

Liektās sijās šķērslieces gadījumā (darbojas Qun M) rodas divu veidu spriegumi: normālie (ass) (izsauc lieces moments M) un tangenciālie (bīdes) (izsauc šķērsspēks Q).

Normālie spriegumi s pa sijas šķērsgriezumu sadalās tieši proporcionāli attālumam y no neitrālā slāņa.

kur –Mx – lieces moments,Ix – aksiālais inerces moments pret neitrālo asi x.

� =��

���

To noteikšanai izmantojam izteiksmi:

Lielākie stiepes un spiedes spriegumi atbilst mak-

simālām attāluma y=ymax vērtībām no neitrālās ass x.

Tātad maksimālie spriegumi liecē būs:

kur Wx – sijas šķērsgriezuma pretestības momentsliecei:

±���� =��

��,

�� =��

����

Tangenciālo spriegumu t attālumā y no neitrālās ass aprēķina izteiksme:

kur

Qy – šķērsspēks, kas darbojas aplūkojamā šķēlumā;Ix – šķēluma aksiālais inerces moments pret neitrālo asi;b1 – šķēluma platums, kurā aprēķinām tangenciālos

spriegumus (taisnstūrim b1=b);Sx – šķēluma laukuma virs y statiskais moments pret

neitrālo asi.

� =����

����

Taisnstūrim –

���� =���

��

Koka sijas skalde

Tātad veselai sijai pretestības moments ir 2 reizes lielāks kā dalītai.

Veselai sijai �� = � =���

��unW =

���

�

Pussijai � =���

��un � =

���

��, dalītai sijai � = 2� =

���

��

Sijas deformācijas liecē

Ārējās slodzes darbības rezultātā taisna sija izliecas un tās centrālā ass iegūst līklīnijas formu.

Lai aprēķinātu pārvietojumu w no ārējās slodzes kādā apskatāmās sijas šķēlumā k, izmantojam Mora integrāli:

kur Mk,Nk,Qk – «vienības spēku (momentu)» izraisītās iekšējās piepūles;

MF,NF,QF – ārējās slodzes izraisītās iekšējās piepūles;

n – sijas posmu skaits.

�� =������

�� ��� +

��

�

���

�������� �

�� +��

�

���

�������� �

����

�

���

Mora integrāļu izskaitļošanu var vienkāršot. Pazīstamākie paņēmieni ir Vereščagina paņēmiens, Simpsona formulas izmantošana un Millera-Breslaupaņēmiens.

Vereščagina paņēmiensVereščagina formula dod iespēju noteikt stieņa

šķēlumu lineāros un leņķiskos pārvietojumus reizinot katra posma robežās iekšējo spēku faktoru epīru laukumus ωF, no ārējās slodzes, ar šo laukumusmagumcentru koordinātēm atbilstoša spēka vai momenta vieninieka epīras augstumu yk šī paša posma robežās:

�� =������� �

�

���

�� =2

������ + ���� + ����

Simpsona paņēmiensPēc Simpsona formulas ar trim locekļiem

konstanta EI gadījumā iegūst pilnīgi precīzus rezultātus, ja abas epīras ir lineāras vai ja vienai no epīrām ir parabolisks raksturs, pārējos gadījumos rezultāts ir tuvināts:

Millera -Breslau paņēmiens

Šo paņēmienu var lietot, ja abas epīras ir norobe-žotas ar taisnēm (ir trapeces):

Šķērsspēka Q un lieces momenta M epīru vispārīgās ģeometriskās īpašības

Sija slogota ar koncentrētu spēku F

Koncentrēta spēka pielikšanas vietā lieces momenta M epīrā ir jābūt lūzumam, bet šķērsspēka Q epīrā lēcienam par pieliktā spēka F vērtību.

Posmiem ar lejupejošu (no kreisās uz labo pusi) momentu epīras raksturu atbilst posmi ar pozitīvām šķērsspēka Q vērtībām, bet posmiem ar augšupejošu Mepīras raksturu – posmi ar negatīvu Q

Sija slogota ar vienmērīgi izkliedētu slodzi

Posmos ar izkliedētu slodzi lieces momentu epīrai ir līknes raksturs (vienmērīgi izkliedētas slodzes gadījumā – kvadrātiska parabola), bet šķērsspēku epīras līknes kārta ir par vienu mazāka kā momentu epīrai (vienmērīgi izkliedētas slodzes gadījumā Q epīra ierobežota ar slīpu taisni).

No diferenciālajām sakarībām liecēseko, ka šķērsspēks Q ir lieces momenta M izteiksmes atvasinājums pēc šķēluma abscisas z.

Tas norāda, ka šķērsspēka Q epīras ordinātas ir proporcionālas lieces momenta M epīras pieskares lenķa tangensam.

Tātad šķēlumos, kur šķērsspēks Q = 0, lieces momenta M epīras pieskares lenķim zīme mainās uz pretējo. Šo īpašību var izmantot lieces momenta ekstrēmās vērtības noteikšanai apskatāmajā sijas posmā.

���� =���

�un ���� = ��� +

�

��������

Sija slogota ar koncentrētu momentu M0

Koncentrēta momenta (spēkpāra) M0 pielikšanas vietā lieces momenta M epīrā ir lēciens par pieliktā momenta M0 vērtību.

Koncentrēta momenta (spēkpāra) M0 pielikšanas vietā šķērsspēka Q epīrā nav izmaiņu.

���� = �� ���� =���

3��

���� =���

2����=

���

���

���� =��

4���� =

���

48��

���� =���

8���� =

5���

384��

���� =��

8�� =

���

192��

���� =3��

16

�� =5��

32

�� =7���

768��

���� =���

12

�� =���

24

�� =���

384��

���� =���

8

�� =9���

128

�� =���

184,6��