spieltheorie - startseite - mikroökonomik technische … · 2013-01-08 · stephan schosser 45...
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts • Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien
• Einführung des Konzepts • Existenz von evolutionär stabilen Strategien • Umgebungen evolutionär stabiler Strategien • Populationsdynamik
• Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 2
Agenda
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Grundidee bei Evolutionsmodellen • Menschen bzw. deren Gene pflanzen sich in Generationen fort • Jede Generation besteht aus (unendlich) vielen Genen • Für jedes Gen wird Erfolg („Fitness“) bestimmt • Anzahl der Nachkommen des Gens abhängig von Fitness • Zentrale Frage:
Welches Gen setzt sich (langfristig) durch?
• In der Spieltheorie • Gene sind Strategien von Spielern • Generation besteht aus unendlich großer Population von Strategien • Fitness mit zufälligem Partner ermittelt • Zentrale Frage:
Welche Strategie ist langfristig keiner anderen Strategie unterlegen?
• Nutzen von spieltheoretischer Evolutionsbetrachtung • Vorhersagen für dynamische Systeme • Anwendung in Biologie
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 3
Evolution und Spieltheorie
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Hier: • Unser Ziel ist Verständnis des Konzepts, ... • ... nicht Lösung komplexer Fragestellungen
• Nur symmetrische Spiele mit 2 Spielern, d.h. • G = {Σ1, Σ2; π1,, π2; {1, 2}} mit Σ1 = Σ2 = Σ und π1(σ1, σ2) = π2(σ2, σ1) = π • ... oder verständlich:
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 4
Vereinfachende Annahmen I
Spieler 2 x y
Spieler 1 x a, a b, c y c, b d, d
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Warum ist Einschränkung auf symmetrische Spiele sinnvoll? • „Auszahlungsmatrix“ als Matrix darstellbar
• Gemischte Strategien als Vektoren darstellbar
•
s1 = (x1 ... xm) = x s2 = (y1 ... ym) = yT
• Damit: Auszahlung ist Produkt aus Vektoren und Matritzen
• Wichtig: • xAy ist Auszahlung des Spielers mit Strategie x an, wenn Mitspieler y wählt! • Spiel jetzt vereinfacht G = (A, Σ) statt G = {Σ1, Σ2; π1,, π2; {1, 2}}
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 5
Vereinfachende Annahmen II
A1 =a bc d
!
"#
$
%&= A A2 =
a cb d
!
"#
$
%&= AT
Sp. 2 x y
Sp. 1 x a, a b, c
y c, b d, d
S = {x ∈ R+m | xi =1
i=1
m
∑ }
π1(s1, s2 ) = x ⋅A ⋅ y = xiaij y jj∑
i∑
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Zurück zur AusgangsüberlegungInteresse an Strategien, die sich langfristig gegenüber anderen durchsetzen
• ... oder anders • Interesse an Strategie x∗, die ...
... in Population mit wenigen y Spielern höhere Auszahlung als y erreicht • x* nennen wir Evolutionär Stabile Strategie (ESS)
• Anforderung lässt sich überführen in
• Formalx* heißt evolutionär stabile Strategie (ESS), wenn gilt(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy
• Nebenbemerkung:In der Forschung oft Überprüfung/Ergänzung durch Simulationen
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 6
Evolutionär Stabile Strategie
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• ESS besser als jede beliebige Mutanten-Strategie...... solange Anteil der Mutanten klein genug
• Formal: ∀y ≠ x*: x* A ((1 – ε)x* + εy) > yA((1 – ε)x* + εy) für ε klein genug
• Geht ε gegen 0, so erhält man x*Ax* ≧ yAx* ... also die ursprüngliche Beschreibung evolutionärer Strategien
• Damit lassen sich mit ESS auch biologische Prozesse interpretierbar • Zwei Individuen treffen zufällig aufeinander • Individuen interagieren in Spiel mit 2 Spielern • Individuen reproduzieren sich dann asexuell (jeder erzeugt Nachkommen) • Individiuen können auch gemischte Strategien wählen • Nachkommen wählen Strategie des Erzeugers
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 7
Alternative Interpretation
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Die Story: • Population von Tieren besetzt Lebensraum • Jedes Tier hat ein bestimmtes Territorium / „Herrschaftsgebiet“ • Tier kann eigenes Herrschaftsgebiet ausdehnen durch Angriff anderer...
... oder mit eigenem Herrschaftsgebiet zufrieden sein • Zusätzliches Herrschaftsgebiet hat Wert V > 0
• Verletzung im Kampf führt zu Verwundungskosten C > 0 (und V < C)
• Die Spieler:n Tiere (Stopp: Nicht so wichtig - Wird bewegen uns im Kontext von ESS!)
• Die Strategien:Produktionsmenge Σ ∈ {H (Angreifen, Falke), D (nicht Angreifen, Taube)}
• Die Auszahlung
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Evolutionär stabile Strategien 8
Taube/Falke-Spiel (oder Hawk/Dove Game)
A = (V −C) / 2 V0 V / 2
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Darstellung als Auszahlungsmatrix
• Zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien:(D, H) und (H, D)
• Ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: (V-C)/2 · q + V · (1-q) = V/2 · (1-q) (V-C)/2 · q = V/2 · (q-1) C/2 · q = V/2 → q = V/C
Nash-Gleichgewicht: ((V/C, 1-V/C); (V/C, 1-V/C))
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 9
Taube/Falke Spiel – Traditionelle Betrachtung A = (V −C) / 2 V
0 V / 2
"
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%
&''Spieler 2
H (q) D (1-q)
Spieler 1 H (p) (V-C)/2, (V-C)/2 V, 0 D (1-p) 0, V V/2, V/2
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Frage: Ist gemischtes Gleichgewicht ESS?
• Ermittlung: Gilt für alle x: x*Ax* ≧ xAx* mit x* = (V/C 1-V/C)?
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 10
Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien I
(x* − x)Ax* ≥ 0
(x* − x)Ax* = VC− p 1− V
C− (1− p)
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&''(V −C) / 2 V
0 V / 2
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V /C1−V /C
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=VC− p −
VC− p
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V /C( ) ⋅ (V −C) / 2+ (1−V /C) ⋅V(V / 2) ⋅ (1−V /C)
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''
=VC− p −
VC− p
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&''(V 2 −VC) / 2C +V −V 2 /C
(V −V 2 /C) / 2
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=12C
VC− p −
VC− p
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&''
V 2 −VC + 2CV − 2V 2
VC −V 2
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=12C
(VC− p)(V 2 −VC + 2CV − 2V 2 )− (V
C− p)(VC −V 2 )
"
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A = (V −C) / 2 V0 V / 2
"
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%
&''
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Frage: Ist gemischtes Gleichgewicht ESS?
• Ermittlung: Gilt für alle x: x*Ax* ≧ xAx* mit x* = (V/C 1-V/C)?
• Ergebnis:Egal welchen Wert p annimmt: x*Ax* = xAx* ist immer erfüllt!
• Randbemerkung:Ergebnis nicht überraschend, da x* = (V/C 1-V/C) gemischtes GleichgewichtLogisch?
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 11
Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien II A = (V −C) / 2 V
0 V / 2
"
#$$
%
&''
(x* − x)Ax* ≥ 0
(x* − x)Ax* = 12C
(VC− p)(V 2 −VC + 2CV − 2V 2 )− (V
C− p)(VC −V 2 )
"
#$%
&'
=12C
(VC− p)(2V 2 − 2VC + 2CV − 2V 2 )
"
#$%
&'= 0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Frage: Ist gemischtes Gleichgewicht ESS?
• Da für alle x: x*Ax* = xAx* mit x* = (V/C 1-V/C) gilt, ...noch zu zeigen, dass ∀y ≠ x∗: x∗Ay > yAy mit y = (p 1-p)
• Damit ist q = p = V/C eine evolutionär stabile Strategie!
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 12
Taube/Falke Spiel – Evolutionär Stabile Strategien III A = (V −C) / 2 V
0 V / 2
"
#$$
%
&''
yAy− x*Ay = (y− x*)AyyAy− x*Ay < 0
= (y− x*)Ay− yAx* − x*Ax*( )=0
= (y− x*)Ay− (y− x*)Ax*
= (y− x*)A(y− x*)
= ( p− VC
−(p− VC) ) (V −C) / 2 V
0 V / 2
"
#$$
%
&''( p− V
C−(p− V
C) )T
= p− VC
"
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&'2
((V −C) / 2−V +V / 2)
= −C2
p− VC
"
#$
%
&'2
< 0∀p ≠ VC
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts • Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien
• Einführung des Konzepts • Existenz von evolutionär stabilen Strategien • Umgebungen evolutionär stabiler Strategien • Populationsdynamik
• Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele
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Evolutionär stabile Strategien 13
Agenda
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• BisherJedes Spiel besitzt mindestens ein Nash-Gleichgewicht
• JetztExistiert auch für jedes beliebige Spiel eine evolutionär stabile Strategie
• Gegeben sei
• Hier gilt: xAx = yAx = 1, wegen
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 14
Existenz von Evolutionär Stabilen Strategien I
A = 1 11 1
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p 1− p( ) 1 11 1
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q1− q
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&''= p+1− p p+1− p( ) q
1− q
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&''= 1 1( ) q
1− q
"
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&''=1
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Es gilt: xAx = yAx = 1
• Jetzt Prüfung der Bedingungen für (ESS) • ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗
Immer erfüllt, da xAx = yAx = 1
• ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy Nie erfüllt, da xAx = yAx = 1
• Es gibt also keine evolutionär stabilen Strategien, für A...... damit kann es nicht für jedes Spiel eine ESS geben!
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 15
Existenz von Evolutionär Stabilen Strategien II A = 1 1
1 1
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%&
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Wenn x* vollständig gemischt ist, gilt immer für Bedingung (a):∀x: x∗Ax∗ = xAx∗, da bei Mischung Abweichen zu anderem Verhältnis
• Damit muss immer Bedingung (b) gelten:∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy
• D.h. keine andere Strategie y kann evolutionär stabil sein.
• ⇒ Ist eine gemischte Strategie eine evolutionär stabile Strategie, ...⇒ ... ist diese immer die einzige evolutionär stabile Strategie!
• Anwendung auf Taube/Falke-Spiel • Die gefunden evolutionär stabile Strategie (q = p = V/C)...
... ist die einzige im Spiel
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 16
Eindeutigkeit von evolutionär stabilen Strategien
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Gegeben sei folgende symmetrische Auszahlungsmatrix
• Ermittlung der Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: {(X,Y), (Y,X)} • Ermittlung der Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien:
• Spieler i πi(X,⋅) = p ⋅ 0 + (1-p) ⋅ 3 = 3 – 3p πi(Y,⋅) = p ⋅ 1 + (1-p) ⋅ 2 = 2 – p ⇒ πi(X,⋅) = πi(Y,⋅) ⇒ 3 – 3p = 2 – p ⇒ p = 1/2
• Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2))
• keine Randlösungen: offensichtlich keine Indifferenz an den Rändern
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel I
X (q) Y (1-q)
X (p) 0,0 3,1 Y (1-p) 1,3 2,2
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Prüfung auf evolutionär stabile Strategien • Bestimmung der Auszahlungsmatrix
• Evolutionär stabile Strategien sind immer Nash-Gleichgewichtsstrategien
• Kandidaten für evolutionär stabile Strategien (X, Y); (Y, X); ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2))
• Weiteres Vorgehen:
Prüfung der Bedingungen für evolutionär stabile Strategien, d.h.(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel II X (q) Y (1-q)
X (p) 0,0 3,1
Y (1-p) 1,3 2,2 A = 0 3
1 2
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18
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Kandidat: x*(1) = (1 0) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗
Es gilt: x∗Ax∗ < xAx∗, da sonst x = x*
⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie nicht erfüllt.
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel III A = 0 3
1 2
!
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%&
19
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAyNicht zu prüfen, da Bedingung (a) nicht erfüllt
• ⇒ Kandidat x*(1) = (1 0) ist keine evolutionär stabile Strategie
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel IV A = 0 3
1 2
!
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20
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Kandidat: x*(2) = (0 1) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗
Es gilt: x∗Ax∗ < xAx∗, da sonst x = x*
⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie nicht erfüllt.
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel V A = 0 3
1 2
!
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21
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAyNicht zu prüfen, da Bedingung (a) nicht erfüllt
• ⇒ Kandidat x*(2) = (0 1) ist keine evolutionär stabile Strategie
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel VI A = 0 3
1 2
!
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22
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Kandidat: x*(3) = (0,5 0,5) • Bedingung (a): ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗
Es gilt: x∗Ax∗ = xAx∗
⇒ Bedingung (a) für evolutionär stabile Strategie erfüllt.
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel VII A = 0 3
1 2
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel VIII A = 0 3
1 2
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24
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Bedingung (b): ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy (forts.)⇒ Einsetzten in Ungleichung:Ungleichung erfüllt für⇒ Kandidat x*(3) = (0,5 0,5) ist evolutionär stabile Strategie
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Umfangreiches Beispiel IX A = 0 3
1 2
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Lässt sich ein Spiel ohne evolutionär stabile Strategie konstruieren?
• Bedingungen evolutionär stabiler Strategien (ESS)(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy ⇒ Finde ein A, das Bedingung (b) widerspricht.
• Widerspruchsbedingung: ∀x∗: x∗Ay ≤ yAy mit x* = (q 1-q)
• Allgemeine Auszahlungsmatrix:
• Eingesetzt in Widerspruchsbedingung
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Formales Beispiel I
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Auflösen der Widerspruchsbedingung
• Da p ≠ q, ist die Ungleichung nur (mit Gleichheit) erfüllt für
• Erfüllt für a1 = a2 und a3 = a4
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Formales Beispiel II
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Bisher: Bedingungen evolutionär stabiler Strategien (a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy ⇒ Bedingung (b) nicht erfüllt mit ⇒ Dabei gilt x∗Ay = yAy
• Damit auch: x∗Ax∗ = xAx∗
• Gesuchtes 2-Personen-Normalformspiel ohne evolutionär stabile Strategie
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien
Formales Beispiel III
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Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts • Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien
• Einführung des Konzepts • Existenz von evolutionär stabilen Strategien • Umgebungen evolutionär stabiler Strategien • Populationsdynamik
• Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 29
Agenda
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Gegeben sei ein symmetrisches Koordinationsspiel mit Auszahlungsmatrix
• Im Spiel existieren zwei Nash-Gleichgewichte x1 = (1, 0) und x2= (0, 1)
• Beide Nash-Gleichgewichte sind auch evolutionär stabil: • x1 = (1, 0)
• • ⇒ x1Ax1 > xAx1 • x1 = (0, 1)
• • ⇒ x1Ax1 > xAx1
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 30
Umgebungen evolutionär stabiler Strategien I
A = 2 00 4
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xAx1 = (q 1-q) 2 00 4
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%& 1
0
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%&= 2q
x1Ax1 = (1 0) 2 00 4
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0
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xAx1 = (q 1-q) 2 00 4
!
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1
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%&= (q 1-q) 0
4
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$
%&= 4− 4q
x1Ax1 = (0 1) 2 00 4
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%& 0
1
!
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%&= (0 1) 0
4
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%&= 4
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Zentrale Frage:Gibt es eine „Umgebung“, d.h. eine Teilmenge von Strategien gegen die sich die Gleichgewichtsstrategie immer durchsetzt
• Bedingungen von evolutionär stabilen Strategien(a) ∀x: x∗Ax∗ ≥ xAx∗(b) ∀y ≠ x∗ mit x∗Ax∗ = yAx∗: x∗Ay > yAy
• D.h. wir konzentrieren uns auf Bedingung (b) • Eine Strategie x* setzt sich gegen y durch, ...
... wenn gilt x∗Ay > yAy bzw. x∗Ay – yAy > 0
• In unserem Beispiel: • x1 = (1, 0): (1 0)Ay – yAy > 0 • x2 = (0, 1): (0 1)Ay – yAy > 0
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 31
Umgebungen evolutionär stabiler Strategien II
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• x1 = (1, 0): • (1 0)Ay – yAy > 0
• • = 2q (1-q) – (4-4q)(1-q) = (6q-4)(1-q) = 6q – 4 – 6q2 +4q=-6q2 + 10q – 4
• Visualisierung
• Für q ∈ ]2/3, 1[ gilt x1Ay > yAy und ...
... Umgebung des ESS: U(x1) = {(q, 1-q) ∈ [0,1]2 | q > 2/3}
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 32
Umgebungen evolutionär stabiler Strategien II
1 0( ) 2 00 4
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q1− q
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"##
$
%&&− q 1− q( ) 2 0
0 4
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q1− q
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"##
$
%&&= 1− q q−1( ) 2q
4− 4q
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"##
$
%&&
-4.50 -3.50 -2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• x2 = (0, 1): • (0 1)Ay – yAy > 0
• • = -2q2 + (4-4q)q = -6q2 + 4q
• Visualisierung
• Für q ∈ ]0, 2/3 [ gilt x2Ay > yAy und ...
... Umgebung des ESS: U(x2) = {(q, 1-q) ∈ [0,1]2 | q < 2/3}
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 33
Umgebungen evolutionär stabiler Strategien III
0 1( ) 2 00 4
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"#
$
%&
q1− q
!
"##
$
%&&− q 1− q( ) 2 0
0 4
!
"#
$
%&
q1− q
!
"##
$
%&&= −q q( ) 2q
4− 4q
!
"##
$
%&&
-4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts • Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien
• Einführung des Konzepts • Existenz von evolutionär stabilen Strategien • Umgebungen evolutionär stabiler Strategien • Populationsdynamik
• Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 34
Agenda
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• BisherStatische Betrachtung evolutionärer (End-)Zustände
• JetztBetrachtung dynamischer Anpassungsprozesse (Replikatordynamik)
• Neue Annahmen • Individuen spielen immer reine Strategien (keine gemischten mehr) • Verschiedene Individuen können simultan verschiedene Strategien wählen • Betrachtung polymorpher Populationen ersetzt gemischte Strategie
(d.h. Anteil der Spieler mit reiner Strategie i wird beschrieben) • Strategieverteilung: x = (x1, …, xk) • Zeitpunktbetrachtung: Strategieverteilung zum Zeitpunkt t: xt
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 35
Populationsdynamik (diskret) I
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• AnpassungshypotheseAnpassung der relativen Strategiewahlen ist:
• (Axt)k ist durchschnittliche Auszahlung der reinen Strategie σk • xtAxt ist durchschnittliche Auszahlung die Population erreicht
• Eigenschaften der Anpassung („to beat the average“) • Überdurchschnittlich erfolgreiche Strategien vermehren sich • Unterdurchschnittlich erfolgreiche Strategien verringern sich
• Anmerkungen • Sämtliche Elemente der Auszahlungsmatrix aij müssen größer 0 sein...
... sonst Gefahr negativer Populationsanteile oder Nenner = 0
• Population bleibt immer gleich groß:
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 36
Populationsdynamik (diskret) II
xk,t+1 = xk,t(Axt )kxtAxt
xk,t+1k∑ =
xk,t (Axt )kk∑xtAxt
=xtAxtxtAxt
=1
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Anpassungshypothese aus diskretem Fall ableitbar:
• • Geht Dauer der Anpassungsperiode gegen 0, so gilt:
mit xk(t) ist Anteil von σk zum Zeitpunkt t
• Da nur Richtung der Anpassung (und nicht Betrag) relevant:
• Anmerkungen • Verzicht auf Nenner: negative Elemente in Auszahlungsmatrix möglich • Jede Nash-Gleichgewichtsstrategie ist stationärer Zustand, ...
... d.h. im Nash-Gleichgewicht gilt mit wenn σk gespielt • Wählt gesamte Population eine Strategie ist dies ein stationärer Zustand...
... Verlassen des Zustands nicht mehr möglich
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 37
Populationsdynamik (stetig) II
xk,t+1 − xk,t = xk,t(Axt )k − xtAxt
xtAxt
xk (t) = xk (t)(Ax(t))k − x(t)Ax(t)
x(t)Ax(t)
xk (t) = xk ((Ax)k − xAx)
x = xk = 0 xk > 0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Evolutionär stabile Strategie • Erlaubt reine und gemischte Strategien • Im Gleichgewicht spielen alle eine dieser Strategien
• Replikatordynamik • Erlaubt nur reine Strategien • Mischung durch Zusammensetzung der Population
• Allgemein gilt • Ist x* eine evolutionär stabile Strategie, so ist x* ein asymptotisch
stabiles Gleichgewicht (Grenzwert des Zeitpfades) der Replikatordynamik • Die Umkehrung gilt nicht
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 38
Beziehung zwischen ESS und Replikatordynamik
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Allgemeine Form von symmetrischen Spielen mit 2 Spielern und 2 Strategien
• Anpassungsgleichung
• Folglich hat jedes dieser Spiele zwei stationäre Zustände • p = 0 • p = 1
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 39
ESS und Replikatordynamik – Beispiel I
A = a bc d
!
"#
$
%&
xk (t) = xk ((Ax)k − xAx)p = p((Ax)1 − xAx)
= p ap+ b(1− p)− ( p 1− p )ap+ b(1− p)cp+ d(1− p)
"
#$$
%
&''
"
#
$$
%
&
''
= p ap+ b(1− p)− p(ap+ b(1− p))− (1− p)(cp+ d(1− p))( )
= p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)]
p = 0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Dominante Strategien (z.B. a > c und b > d) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:
• D.h. p wächst im Intervall ]0,1[
• Einziges asymptotisch stabiles dynamisches Gleichgewicht in p∗ = 1
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 40
ESS und Replikatordynamik – Beispiel II
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
%&
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)]= p(1− p)[p(a− c>0)+ (1− p)(b− d
>0)]> 0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Dominante Strategien (z.B. a > c und b > d) • Illustration (a = 5, b = 4, c = 1, d = 2)
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 41
ESS und Replikatordynamik – Beispiel III
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
%&
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
dp/d
t
p
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Koordinationsspiele (z.B. a > c und d > b) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:
• Eckige Klammer > 0, wenn
• D.h. dp/dt hat Nullstelle im Intervall ]0,1[... ... und dp/dt fällt (steigt) für p < (>) p*
• p* ist instabil ⇒ System tendiert zu den beiden Extremen⇒ zwei asymptotisch stabile dynamisches Gleichgewichte in p*=0 und p*=1
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 42
ESS und Replikatordynamik – Beispiel IV
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
%&
p = p(1− p)[b− d<0 + p(a− c
>0 + d − b
>0)]> 0
p* > d − b>0
a− c>0 + d − b
>0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
dp/d
t
p
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Koordinationsspiele (z.B. a > c und d > b) • Illustration (a = 2, b = 0, c = 0, d = 4)
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 43
ESS und Replikatordynamik – Beispiel V
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
%&
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Taube/Falke Spiele (z.B. a < c und d < b) • Es gilt ∀p ∈ ]0,1[:
• Eckige Klammer > 0, wenn
• D.h. dp/dt hat Nullstelle im Intervall ]0,1[... ... und dp/dt fällt (steigt) für p > (<) p*
• p* ist stabil ⇒ System tendiert von den beiden Extremen zu p*⇒ ein asymptotisch stabiles dynamisches Gleichgewicht in p*
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 44
ESS und Replikatordynamik – Beispiel VI
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
%&
p = p(1− p)[b− d>0 + p(a− c
<0 + d − b
<0)]> 0
p* > d − b<0
a− c<0 + d − b
<0
Stephan Schosser 45
Spieltheorie
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
dp/d
t
p
• Anpassungsgleichung mit zwei Spielern
• Koordinationsspiele (z.B. a < c und d < b) • Illustration (a = 1, b = 3, c = 2, d = 0)
WS12/13
Evolutionär stabile Strategien 45
ESS und Replikatordynamik – Beispiel VII
p = p(1− p)[b− d + p(a− c+ d − b)] A = a bc d
!
"#
$
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