3

Spis treści

O założeniach i konstrukcji zestawu Matematyka 3 (uwagi metodyczne autorek) ...................................................................... 5

Liczby wymierne dodatnie – utrwalenie i rozszerzenie wiadomości o czterech działaniach arytmetycznych ................................... 7• Dodawanie i odejmowanie liczb wielocyfrowych. Równania. Tabelki

dziesiątkowe (7–11)• Prawo przemienności i łączności dodawania. Algorytmy pisemne dodawania

i odejmowania. Oś liczbowa (12–14)• Rzymski sposób zapisu liczb do 3000. Oś czasu. Zadania realistyczne (15–17)• Kolejność działań. Równania. Zadania tekstowe na szacowanie i obliczenia

zegarowe (18–22)• Pisemne dodawanie i odejmowanie. Test wyboru – rozumienie tekstu. Plan

rozwiązania zadania tekstowego. Dodawanie i odejmowanie na osi. Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Obliczenia zegarowe (23–29)

• Przykłady funkcji, tabelka, graf, przepis, diagram (30–33)

Własności podstawowych figur płaskich – utrwalenie i rozszerzenie wiadomości ......................................................................... 34• Proste równoległe i prostopadłe; kreślenie, wysokość trójkąta (34–37)• Odległość punktu od prostej. Prosta i okrąg. Styczna do okręgu. Figury

geometryczne w sławnych budowlach. Położenia dwóch okręgów. Konstrukcja prostopadłej (38–42)

• Konstrukcja trójkąta z trzech odcinków, kąta równego danemu (43–44)• Klasyfikacja wielokątów; własności, osie symetrii, wysokości,

konstrukcje (45–46)• Figury przystające; obrazy w przesunięciu równoległym, symetrii osiowej,

symetrii środkowej, obrocie (47–49)• Suma kątów trójkąta (50)• Figury podobne; skala boków, pola, kąty (51–53)• Wzory na pole kwadratu i prostokąta, trójkąta, równoległoboku,

wielokąta (54–58)• Wzór na pole koła. Twierdzenie Pitagorasa (59–60)

I

II

4

Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie – utrwalenie i rozszerzenie wiadomości o mnożeniu i dzieleniu ..................................... 61• Tabliczka mnożenia. Dzielenie. Rozdzielność mnożenia względem

dodawania (61–65)• Wielkości proporcjonalne. Prostokąty podobne, obwód, pole. Przemienność

mnożenia. Porównywanie ilorazowe. Skala podobieństwa (66–72)• Obliczenia zegarowe. Łączność mnożenia. Równania. Porównywanie

różnicowe i ilorazowe (73–75)• Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania. Rozdzielność

dzielenia względem dodawania i odejmowania. Kolejność działań. Dzielenie z resztą (76–79)

• Funkcje, proporcjonalność prosta, wykres (80–81)

Bryły – graniastosłupy proste, ostrosłupy, kule, walce, stożki. Własności, pole powierzchni i objętość ............................................................................... 82• Klasyfikacja brył. Graniastosłupy proste. Przekroje (82–86)• Pole powierzchni kuli, prostopadłościanu, graniastosłupa (87–92)• Objętość bryły, jednostki. Objętość brył podobnych (93–94)• Objętość prostopadłościanu, sześcianu, graniastosłupa prostego (95–99)• Bryły przystające i podobne (100–101)• Objętość kuli (102)

Podzielność i wielokrotność liczb naturalnych. Doświadczenia losowe, prawdopodobieństwo. Potęgi i pierwiastki ................................................ 103• Dzielniki, liczby pierwsze i złożone, wielokrotności (103–105)• Cechy podzielności przez 2, 5, 10; 4, 3, 9 (106–110)• Doświadczenia losowe, prawdopodobieństwo (111–112)• Potęga o wykładniku naturalnym. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych

podstawach, wykładnikach. Potęga potęgi (113–116)• Pierwiastki kwadratowe i sześcienne (117)• Potęga o wykładniku całkowitym (118)

Zadania utrwalające i sprawdzające ........................................................... 119• Zadania powtórzeniowe i kontrolne (119–124)

Wyprawki:

I (do str. 88 – pole powierzchni sześcianu) II (do str. 88 – pole powierzchni prostopadłościanu) III (do str. 60 – twierdzenie Pitagorasa, str. 91 – pole powierzchni graniastosłupa, str. 112 – kostka do gry)

IV (Użyteczne zestawienia do wykorzystania podczas wykonywania obliczeń, do str. 113 – potęgi i do str. 117 – pierwiastki)

III

IV

VV

VI

5

O założeniach i konstrukcji zestawu Matematyka 3

1. Podręcznik ma formę tekstów sterujących samodzielną pracą ucznia pod kierunkiem nauczyciela. Zawiera zarówno zadania z planem rozwiązania, zapoznające ucznia ze sposobami i podstawowymi strategiami rozwiązywania zadań, jak też same tema-ty zadań do rozwiązywania w zeszycie. W klasie 3. gimnazjum dużo zadań należy rozwiązywać w zeszycie, postępując zgodnie z przykładami umieszczonymi w pod-ręczniku. Rozwiązując zadania tekstowe, uczeń powinien próbować samodzielnie zapisywać dane, ilustrować zależności między danymi i szukanymi, wykorzystując tekst zadania i rysunki z podręcznika. Dopiero później powinien układać plan, zapisać działanie lub równianie, wykonać obliczenia, sprawdzać i formułować odpowiedzi, redagując rozwiązanie zgodnie z indywidualnymi preferencjami.

2. W zadaniach występuje ciągłe powtarzanie materiału z poprzednich klas wraz z elementami poszerzającymi i pogłębiającymi dotychczasową wiedzę uczniów. Opracowanie zagadnień „starych” i „nowych” odbywa się głównie na bazie kon-kretnych działań, pomiarów, obserwacji, rysunków, w mniejszym stopniu na dedukcji, rozumowaniu formalnym i algorytmicznym. Doświadczenie pokazuje, że wiedza słowno-symboliczna jest przez uczniów opanowywana pamięciowo, a nie operatywnie. Odwoływanie się w czasie nauki do różnych sytuacji rzeczywistych (ży-ciowych) ułatwi uczniom wykorzystywanie wiedzy matematycznej w życiu. Fabuła wielu zadań tekstowych jest związania z tematyką innych przedmiotów nauczania.

3. Treści matematyczne są wyłożone językiem prostym i zrozumiałym. Często zamiast sformułowań słowno-symbolicznych, ujmujących jakieś własności, stosuje się przed-stawienia rysunkowe uwypuklające te własności, aby ułatwić uczniowi zrozumienie zadania i jego rozwiązanie. Również, jeśli występują twierdzenia w postaci rów-noważności, formułuje się je tylko jako implikacje, aby podkreślić związek między założeniem i tezą. Natomiast w zadaniach korzysta się nieraz z implikacji odwrotnej, nie wdając się w logiczne rozważania, które są zbyt trudne dla uczniów.

4. Do gruntownego poznania brył nie wystarczy rysunek danej bryły i jej opis w podręcz-niku. Każdy uczeń powinien samodzielnie wykonać bryły w różnych technikach: bryły szkieletowe, budowane z prętów i złączy; bryły z siatek, budowane z kartonu; bryły pełne, lepione z plasteliny lub wykrawane z ziemniaka. Różne techniki wykonywania brył przyczynią się do lepszego zauważenia ich własności.

5. W ostatnich rozdziałach podręcznika wyodrębnia się wyraźniej materiał „czysto matematyczny”. Jest on w miarę możliwości przeplatany zadaniami związanymi z sytuacjami z życia, dotyczącymi zagadnień opracowywanych na innych przed-miotach nauczania.

6. Pożądane jest przepisywanie i przerysowywanie niektórych zadań, układanie zadań analogicznych dla kolegi czy całej klasy, prezentowanie różnych sposobów roz-wiązań i zapisywanie ich w zeszycie. Chodzi o to, aby uczniowie mieli okazję do ugruntowywania i powtarzania podstawowych wiadomości.

7. Do niektórych tematów programu nauczania warto przygotować zadania na pod-stawie aktualnych zdarzeń opisywanych w gazetach czy podawanych w dziennikach telewizyjnych, aby zainteresować i umotywować uczniów do pracy. Również wska-zane jest użycie takich środków poglądowych, jak mapa, plan, globus itp.

8. Podstawowa własność proporcji O równości ilo czynu wyrazów skrajnych i środ-kowych wystę puje w podręczniku w postaci użytecznej reguły, jako mnożenie „na krzyż”, przy porównywaniu ułamków. Równość ułamków jest wtedy równo ważna równości iloczynów uzyskanych przy mnożeniu „na krzyż”:

ab =

cd ⇔ a · d = b · c

Regułę tę zaprzestano stosować w okresie reformy z lat 60. XX w. i nie stosowano później, preferując ujęcie pojęciowe nad algorytmicznym. Jest ona jednak ciągle po wszechnie używana jako niezawodne narzędzie w obliczaniu czwartej wielkości proporcjonalnej i teraz wraca do łask. Oczywiście nie oznacza to rezygnacji z uję-cia pojęciowego, które ma po przedzać ujęcie algorytmiczne. Mnożenie „na krzyż” stosujemy najpierw przy porównywaniu ułamków, a następnie przy wielkościach wprost proporcjonalnych.

9. Postać skrócona algorytmu pisemnego mnożenia ułamków dziesiętnych przez licz-by naturalne, podobnie jak algorytmy pisemnych działań na liczbach naturalnych, poprzedza się pełnym zapisem uzyskanych wyników częścio wych. Dlatego też naj-pierw mnożymy i zapisu jemy pełne wyniki w kratkach oznaczających ko lejne rzędy, a później porządkujemy liczby w tabelce dziesiątkowej, aby w każdym rzędzie wy-stąpiła tylko jedna cyfra. Po objaśnieniu sen su działań pisemnych przechodzimy do zapi sów skróconych i ćwiczeń wyrabiających spraw ność rachunkową.

10. Rozdział dotyczący geometrii jest podsumowaniem dotychczasowej wiedzy ucz-niów i skupia się na formułowaniu wzorów na pola i obwody figur płaskich oraz pola powierzchni i objętości figur przestrzennych. Jednocześnie zwraca się w nim uwagę na umiejętność stosowania wzorów i instrukcji oraz poprawność obliczania żądanych wielkości.

11. Wskazane jest stosowanie różnych sposobów rozwiązywania zadań i to nie tylko ze względu na sposób obliczania (np. znajdowania pola z własności figur przystają-cych lub z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa, szukaniem długości czwartego proporcjonalnego odcinka itp.), ale również ze względu na metodę postępowa-nia – symulację na konkretach, mierzenie, zgadywanie i sprawdzanie, ilustrowanie na modelu, przekształcanie rysunku itd. Nie zawsze bowiem sposób czysto mate-matyczny, z wykorzystaniem definicji i twierdzeń, jest uczniom dostępny. Trzeba pamiętać, że lepiej, jeśli rozwiążą oni zadanie na poziomie konkretnym, niż gdy ulegną blokadom spowodowanym brakiem rozumienia zadania na poziomie abs-trakcyjnym.

12. Wiele zadań w podręczniku wymaga wykonania przez ucznia pod kierunkiem na-uczyciela pełnych rozwiązań, a nie tylko uzupełniania pojedynczych wyrazów, liczb czy symboli. Wypełnianie pustych okienek zaowocowało we wszystkich typach szkół nieumiejętnością czytania ze zrozumieniem dłuższych tekstów i niedostatecznym poziomem umiejętności redagowania samodzielnych wypowiedzi. W podręczniku jest bardzo dużo zadań z treścią do rozwiązywania w zeszycie. Uczeń, po prze-czytaniu tekstu z podręcznika, powinien zapisać w zeszycie dane i szukane, nieraz zrobić schematyczny rysunek, wykorzystać precyzyjny rysunek z podręcznika bez jego przerysowywania, wykonać obliczenia i zapisać odpowiedź pełnym zdaniem.

13. Ponieważ podręcznikowi nie towarzyszy przewodnik dla nauczyciela, sugestie pra-cy z zadaniem zawarte są często w podręczniku, np. opowiedz…, ułóż zadanie…, wymyśl inny sposób rozwiązania…, porównaj…, zinterpretuj na modelu… Chodzi o realizację podstawowych zasad czynnościowego i realistycznego nauczania, o ra-dzenie sobie z zadaniami z życia i stosowanie matematyki w sytuacjach wziętych z rzeczywistości. To jest oczywiście trudniejsze niż wyuczenie algorytmów i reguł czystej matematyki, ale tego wymaga nowoczesna edukacja ukierunkowana na in-tegrację.

7

DODAWANIE I ODEJMOWANIE. ROZWI�ZYWANIE RÓWNA�

Wpisz w okienko i odczytaj wynik. Dowolne 4 wyniki zapisz słowami w zeszycie.

a) 8 + 7 =

b) 13 – 5 =

80 + 70 =

130 – 50 =

800 + 700 =

1300 – 500 =

8000 + 7000 =

13000 – 5000 =

Oblicz w myśli. Wpisz odpowiednie liczby. Sprawdź na kalkulatorze.

+ 5 = 32

19 – = 15

354 = + 250

150 = – 40

+ 264 = 300

– 250 = 250

a) W okienka wpisz liczby, które odpowiadają punktom na osi.

b) Odczytaj na osi brakujące składniki i wpisz w miejsce kropek.

976 + .......... = 1000

990 – .......... = 970

980 + .......... = 1014

1000 – .......... = 970

990 + .......... = 1014

1036 – .......... = 990

Znajdź niewiadomą liczbę, podobnie jak w przykładzie.

Przykład.x – 29 = 58

50 + 20 = 70 8 + 9 = 17 Obliczeniapomocnicze58 + 29 = 87

x = 87 Wynik wpisz w kółko.

x – 36 = 42 x – 37 = 54

1

2

3

4

18

CZTERY DZIA�ANIA ARYTMETYCZNE. KOLEJNO�� WYKONYWANIA DZIA�A�

Zapisz nazwy liczb i wyrażeń występujących w dodawaniu, odejmowaniu, mnoże-niu i dzieleniu. Uzupełnij liczby w okienkach.

Wykonaj najpierw działania w nawiasach według wzoru.

17 + (12 + 18) = 17 + 30 = 47

15 + (23 – 17) = .......................................

36 – (25 – 18) = .........................................

(5 · 13) · 2 = ...........................................

48 : (3 · 4) = ...........................................

(84 : 4) : 3 = ...........................................

Obrysuj pętlami działania, które wykonasz na początku. Oblicz według wzoru.

6 · 8 + 2 · 15 – 25 : 5 = 48 + 30 – 5 = 78 – 5 = 73

7 · 5 + 3 · 13 – 3 · 7 = ..........................................................................................................

36 : 6 – 25 : 5 + 8 · 8 = ........................................................................................................

3 · 17 – 28 : 7 – 15 : 5 = .......................................................................................................

Wykonaj działania najpierw na dwóch pierwszych liczbach w pętlach. Oblicz we-dług wzoru.

75 : 5 : 3 + 48 : 6 : 2 + 8 · 5 · 3 = 15 : 3 + 8 : 2 + 40 · 3 = 5 + 4 + 120 = 129

7 · 2 · 5 + 3 · 2 · 9 – 20 : 4 · 5 = .........................................................................................

125 – 3 · 2 · 7 + 60 : 4 : 3 = ...............................................................................................

Kolejność wykonywania działań:

1. Na początku wykonujesz działania w nawiasach.2. Obrysowujesz pętelkami mnożenia i dzielenia, które wykonasz najpierw.3. Wykonujesz po kolei mnożenia i dzielenia, od lewej do prawej.4. Wykonujesz po kolei dodawania i odejmowania, od lewej do prawej.

1

2

3

4

19

SZACOWANIE ODLEG�O�CI

Znajdź Polskę na mapie. Od-ległość z Tatr nad Bałtyk wynosi około 700 km. Zmierz tę odległość na mapie. Oszacuj długość dwóch tras bocianich (zaznaczonych na pomarańczo-wo) na mapie Europy i Afryki. Nad jakimi krajami przelatują bociany?

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

........................................................

Bocian pokonuje około 200 km w ciągu jednego dnia. Jaką drogę przebyłyby bociany, gdyby leciały codziennie przez 60 dni? Oblicz to na trzy-częściowej osi, odmierzając po 200. Podpisz potrzebne Ci punkty.

1

2

34

ODCINKI I PROSTE: RÓWNOLEG�E, PROSTOPAD�E, PRZECINAJ�CE SI�

Zmierz odległość między prostymi równoległymi. Zapisz wynik pomiaru podobnie jak w przykładzie.

Odległość między dwiema prostymi równoległymi jest wszędzie taka sama.

Zmierz kąty między prostymi przecinającymi się. Zapisz ich miary.

Proste przecinające się pod kątem prostym to proste prostopadłe.

1

2

35

ROZPOZNAWANIE I RYSOWANIE ODCINKÓW (PROSTYCH) RÓWNOLEG�YCH

Pokoloruj na czerwono litery, w których występują odcinki równoległe. Pokoloruj na zielono litery, w których występują odcinki prostopadłe. Które litery pokoloro-wałaś(eś) dwoma kolorami? Dlaczego?

Narysuj kilka par odcinków lub prostych równoległych, według instrukcji. Użyj linijki i ekierki.

I Rysuję prostą a za pomocą linijki. II Przesuwam ekierkę wzdłuż linijki i rysuję prostą.

III Rysuję za pomocą ekierki proste d i c.

Narysuj drogę z Nazaretu do Betlejem.

Uzupełnij. Droga z Nazaretu do Betlejem przebie-

ga ............................................ do rzeki Jordan.

Oszacuj długość drogi z Nazaretu do Betlejem (1 cm na mapie to 25 km w rzeczywistości).

.........................................................................................

.........................................................................................

1

2

3

4

61

MNO�ENIE LICZB NATURALNYCH. CZYNNIKI, ILOCZYN. TABLICZKA MNO�ENIA

Prostokąt jest podzielony na duże i małe kwadraty. Podpisz prostokąty o polach równych iloczynom: 3 · 6, 10 · 10, 3 · 100, 10 · 30, 3 · 60, 10 · 60, 6 · 100. Oblicz.

W drugiej ramce narysuj strzałki od nazw do liczb.

5 · 6 = 30

iloczyn iloczyn

czynnik czynnik

48 = 6 · 8

iloczyn

iloczyn czynniki

Oblicz.

2 · 40 =

3 · 50 =

5 · 20 =

2 · 400 =

3 · 500 =

5 · 200 =

2 · 4000 =

3 · 5000 =

5 · 2000 =

1

2

4

Wypełnij tabliczkę mnożenia do 50.

· 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3

2 2 4 6

3

4

5

3

62

TABLICZKA MNO�ENIA DO 100. �WICZENIA RACHUNKOWE

Wypełnij poniższą część tabliczki mnożenia do 100.

· 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7 28

8

9 72

10

Oblicz.

7 · 8 = ..........

6 · 9 = ..........

9 · 8 = ..........

7 · 7 = ..........

7 · 80 = ..........

6 · 90 = ..........

9 · 80 = ..........

7 · 70 = ..........

7 · 800 = ..............

6 · 900 = ..............

9 · 800 = ..............

7 · 700 = ..............

7 · 8000 = ................

6 · 9000 = ................

9 · 8000 = ................

7 · 7000 = ................

Zapisz jak najwięcej iloczynów dla każdej z liczb, podobnie jak w przykładzie.

12 = 3 · 4

10 = ..........

15 = ..........

18 = ..........

12 = 2 · 6

...................

...................

...................

12 = 1 · 12

......................

......................

......................

12 = 4 · 3

...................

...................

...................

12 = 6 · 2

....................

....................

....................

12 = 12 · 1

....................

....................

....................

Według wzoru zapisz jak najwięcej iloczynów dla wybranych liczb z osi liczbowej.

1

2

3

4

63

DZIELENIE LICZB NATURALNYCH. DZIELNA, DZIELNIK, ILORAZ

Ile kratek mają prostokąty? Połącz pytanie z ilustracją i odpowiednią równością.

Ile otrzymasz, jeśli podzielisz 28 na 4 równe części?

Ile trzeba wazonów, żeby 30 kwiatów rozmieścić po 5?

Jaki otrzymasz wynik po po-dzieleniu 24 na 6 równych części?

30 : 5 = 6 28 : 4 = 7

24 : 6 = 4

Oblicz ilorazy. Zilustruj jeden z nich na rysunku w zeszycie w kratkę.

8 : 2 = 80 : 2 = 800 : 2 = 8000 : 2 =

15 : 3 = 150 : 3 = 1500 : 3 = 15000 : 3 =

W drugiej ramce narysuj strzałki od nazw do liczb.

72 : 8 = 9

iloraz iloraz

dzielna dzielnik

45 : 9 = 5

dzielna iloraz

iloraz dzielnik

Wykonaj dzielenia w zeszycie. Sprawdź w pamięci za pomocą mnożenia.

18 : 6 48 : 8 64 : 8 49 : 7 25 : 5 56 : 7 36 : 6 63 : 9

Wpisz liczby w okienkach.

56 = 7 · 24 = · 4 81 = 9 · 36 = 9 ·

Zilustruj na osi liczbowej i zapisz wynik: (– 5) + (– 5) + (– 5) = 3 · (– 5) =

1

2

3

4

5

6

64

PRZYPOMNIENIE PRAWA ROZDZIELNO�CI MNO�ENIA WZGL�DEM DODAWANIA I ODEJMOWANIA

Asia pomagała mamie w sprzedawaniu artykułów spożywczych w kiosku. Sprzedała 7 czekolad po 3 zł i 7 bombonierek po 5 zł. Ile otrzymała pieniędzy? Zadanie roz-wiąż w zeszycie.

Monika kupiła bluzkę za 47 zł i spódniczkę też za 47 zł. Ile zapłaciła razem? Dokończ obliczenia i podkreśl to, które wydaje Ci się łatwiejsze.

2 · 47 = 2 · 40 + 2 · =

2 · 47 = 2 · (50 – 3) = 2 · 50 – 2 · =

Na spotkanie urodzinowe rodzice kupili 6 dwulitrowych i 6 półlitrowych kartonów soku. Ile litrów soku kupili rodzice?

Pomaluj zgodnie z zapisem według wzoru. Oblicz, ile kratek pomalowałaś(pomalo-wałeś).

3 · 7 + 5 · 7 =

· 7 =

5 · 9 + 4 · 9 =

· 9 =

9 · 9 – 3 · 9 =

· 9 =

Oblicz według wzoru. Wynik sprawdź na kalkulatorze.

7 · 124 = 7 · 100 + 7 · 20 + 7 · 4 = ..................................................................................

5 · 138 = ..................................................................................................................................

3 · 279 = ..................................................................................................................................

Zapisz czynnik w postaci różnicy według wzoru. Oblicz. Sprawdź na kalkulatorze.

3 · 198 = 3 · (200 – 2) = 3 · 200 – 3 · 2 = ........................................................................

4 · 197 = ..................................................................................................................................

3 · 294 = ..................................................................................................................................

1

2

3

4

5

6