Spis treści

1 Aksjomaty geometrii 31.1 Aksjomaty Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Aksjomaty Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Geometria metryczna 62.1 Przestrzenie metryczne i izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Pojęcia metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Geometria euklidesowa 103.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej . . . . . . . . . . . . . 103.2 Wzory trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Pole trójkąta i długość krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Geometria sferyczna 144.1 Odległość sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Trygonometria sferyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Izometrie sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Pole trójkąta sferycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Geometria konforemna 185.1 Inwersje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Dyfeomorfizmy konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Geometria hiperboliczna 216.1 Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna . . . . . . . . . . . 226.3 Odległość hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 Trygonometria hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.5 Model w kuli i na półprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

6.6 Brzeg idealny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.7 Izometrie hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.8 Pole hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.9 Podzbiory przestrzeni hiperbolicznej . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Geometria w niskich wymiarach 357.1 Rozmaitości topologiczne i różniczkowe . . . . . . . . . . . . . 357.2 Grupy i ich działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Struktury geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.4 Uniformizacja w wymiarze 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.5 Geometryzacja w wymiarze 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

Rozdział 1

Aksjomaty geometrii

1.1 Aksjomaty Euklidesa

Euklides sformułował w dziele Elementy następujące aksjomaty geometriipłaskiej:

1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.

2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując pro-stą.

3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jegopunktów końcowych i promieniu równym jego długości.

4. Wszystkie kąty proste są przystające.

5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą roz-łączną z daną prostą.

1.2 Aksjomaty Hilberta

David Hilbert podał układ aksjomatów dla geometrii bez względu na wymiar.Ograniczenie się do przypadku dwuwymiarowego daje nieco prostszy, bardziejintuicyjny i bliższy euklidesowemy pierwowzorowi układ pewników.

Pojęciami pierwotnymi są:

• płaszczyzna P ,

• proste — podbiory płaszczyzny P ; ich zbiór oznaczymy przez L,

• odległość geometryczna — funkcja d : P × P → R ∪ {0}.

3

Aksjomatami Hilberta geometrii dwuwymiarowej są:

Aksjomaty incydencji

(I1) Dla dowolnych różnych punktów A,B ∈ P istnieje dokładniejedna prosta l ∈ L taka, że A,B ∈ l.Oznaczamy ją przez (AB)

(I2) Każda prosta ma co najmniej dwa punkty.

(I3) Istnieją trzy punkty nie należące do jednej prostej.Takie punkty nazywamy niewspółliniowymi.

Aksjomaty uporządkowania

(O1) Na każdej prostej istnieją dwa wzajemnie odwrotne relacjeliniowego porządku.Jeżeli jedną z nich oznaczymy przez ≺ (a przez X � Y rozumiemy X ≺Y lub X = Y ), to odcinkiem [AB] nazywamy zbiór {X ∈ (AB) ; A �X � B}, a półprostą AB→ zbiór {X ∈ (AB) ; A � X � B}, gdyA ≺ B

(O2) (aksjomat Pascha) Jeżeli punkty A,B,C są niewspółliniowe,a l ∈ L, to jeżeli l ∩ [AB] 6= ∅, to l ∩ [AC] 6= ∅ lub l ∩ [BC] 6= ∅.

Aksjomaty odległości

(D1) Dla dowolnych A,B ∈ P : d(B,A) = d(A,B)

(D2) Dla dowolnych A,B ∈ P : d(A,B) = 0 wtedy i tylko wtedy,gdy A = B.

(D3) C ∈ [AB] wtedy i tylko wtedy, gdy d(A,B) = d(A,C) +d(C,B).

Aksjomaty symetrii

(S1) Dla dowolnej prostej l ∈ L istnieje dokładnie jedna funk-cja sl odwzorowująca płaszczyznę P na siebie przeprowadzającaproste na proste, zachowująca odległość d i taka, że zbiorem jejwszystkich punktów stałych jest prosta l.

(S2) Dla dowolnych półprostych AB→ i AC→ istnieje co najmniejjedna prosta l taka, że sl (AB→) = AC→.

Aksjomat równoległości

4

(E) (aksjomat Euklidesa) Dla dowolnej prostej l ∈ L i dowolnegopunktu A ∈ P \ l istnieje dokładnie jedna prosta m ∈ L taka, żeA ∈ m oraz m ∩ l = ∅.

5

Rozdział 2

Geometria metryczna

2.1 Przestrzenie metryczne i izometrie

Definicja 2.1.1. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną(X, d), gdzie X jest zbiorem niepustym, zaś d : X × X → R, spełniającąwarunki:

∀x,x′∈X (d(x, x′) = 0⇐⇒ x = x′)∀x,x′∈X d(x, x′) = d(x′, x)∀x,x′,x′′∈X d(x, x′) + d(x′, x′′) ¬ d(x, x′′)

Funkcję d nazywamy wówczas odległością (lub metryką) w zbiorze X.

Przykład 2.1.2. Każda przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym (w szcze-gólności każda przestrzeń euklidesowa) lub z normą jest przestrzenią me-tryczną, gdy odległość określimy wzorem (u, v) 7→ ‖u− v‖.

Definicja 2.1.3. Włożeniem izometrycznym przestrzeni metrycznej (X, d)w przestrzeń metryczną (Y, ρ) nazywamy funkcję f : X → Y spełniającąwarunek

∀x,x′∈X ρ(f(x), f(x′)) = d(x, x′).

Izometrią nazywamy funkcję działającą z X na Y spełniającą powyższy wa-runek.

Zbiór wszystkich izometrii przestrzeniX na siebie oznaczamy przez Isom(X).

Definicja 2.1.4. W przestrzeni metrycznej (X, d) kulą (otwartą) o środkuz ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór

B(z, r) = {x ∈ X ; d(x, z) < r}.

6

ZbiórB(z, r) = {x ∈ X ; d(x, z) ¬ r}

nazywamy kulą domkniętą.

Uwaga 2.1.5. Przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną T4 (nor-malną), a bazę topologii pochodzącej od metryki stanowią kule otwarte.

2.2 Geodezyjne

Definicja 2.2.1. Geodezyjną w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamyfunkcję c : [a, b]→ X spełniającą warunek

∀t,t′∈[a,b] d (c(t), c(t′)) = |t− t′|

Innymi słowy, geodezyjna jest włożeniem izometrycznym przedziału domknię-tego i ograniczonego zawartego w R w przestrzeń metryczną (X, d).

Funkcję c : [a, b]→ X dla której istnieje K > 0 takie, że

∀t,t′∈[a,b] d (c(t), c(t′)) = K |t− t′|

nosi nazwę geodezyjnej sparametryzowanej liniowo.

Definicja 2.2.2. Prostą (odpowiednio półprostą) geodezyjną w przestrzenimetrycznej nazywamy włożenie prostej rzeczywistej R (odpowiednio półpro-stej rzeczywistej [a,+∞)) w tę przestrzeń metryczną.

Definicja 2.2.3. Odcinkiem (odpowiednio półprostą, prostą) w przestrzenimetrycznej nazywamy obraz geodezyjnej (odpowiednio półprostej geodezyj-nej, prostej geodezyjnej).

Przykład 2.2.4. 1. W przestrzeni dyskretnej nie ma geodezyjnych.

2. Tożsamość na dowolnym odcinku prostej rzeczywistej R jest geode-zyjną.

3. W przestrzeni E2 funkcja t 7→ (t, 0) jest geodeyzjną.

4. Na sferze jednostkowej

S2 = {(x, y, z) ; x2 + y2 + z2 = 1} ⊂ R3

z odległością kątową odcinkami geodezyjnymi są łuki okręgów wielkichczyli przekrojów sfery S2 płaszczyznami przechodzącymi przez począ-tek układu współrzędnych.

7

5. Biegun północny N(0, 0, 1) z biegunem południowym S(0, 0,−1) sferyS2 łączy nieskończenie wiele geodezyjnych — są nimi południki.

6. Na płaszczyźnie R2 z metryką miejską

ρ((x1, x2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2|

każde dwa różne punkty łączy nieskończenie wiele geodezyjnych.

Definicja 2.2.5. Mówimy, że przestrzeń metryczna (X, d) jest geodezyjnąprzestrzenią metryczną jeżeli dowolne dwa jej punkty można połączyć geo-dezyjną w tym sensie, że istnieje odcinek geodezyjny zawierający te punktyjako obrazy początku i końca przedziału.

Przestrzeń jest r–geodezyjna, gdzie r > 0, gdy dowolne dwa jej punktyodległe o co najwyżej r można połączyć geodezyjną.

Definicja 2.2.6. Przestrzeń metryczna (X, d) jest jednoznacznie geodezyjna,gdy dla dowolnych punktów x, x′ ∈ X takich, że d(x, x′) = l > 0 istniejedokładnie jedna geodezyjna c : [0, l] → X spełniająca warunki c(0) = x,c(l) = x′.

O przestrzeni r–jednoznacznie geodezyjnej mówimy, gdy powyższy waru-nek jest spełniony dla punktów odległych o co najwyżej r.

2.3 Pojęcia metryczne

Definicja 2.3.1. Podzbiór A geodezyjnej przestrzeni metrycznej jest wy-pukły, gdy dla dowolnych punktów x, x′ ∈ A dowolny odcinek geodezyjnyłączący te punkty jest zawarty w A.

Definicja 2.3.2. Niech (X, d) będzie geodezyjna przestrzenią metryczną.Dla ustalonych geodezyjnych c : [0, l] → X i c′ : [0, l′] → X o wspólnympoczątku p = c(0) = c′(0) i ustalonych t ∈ (0, l] oraz t′ ∈ (0, l′] rozważmy kątporównawczy punktów c(t) i c′(t′) w punkcie p

^p(c(t), c′(t′)) = arc cost2 + (t′)2 − (d(c(t), c′(t′))2

2tt′,

czyli kąt trójkącie euklidesowym o bokach długości

d(p, c(t)), d(p, c′(t′)), d(c(t), c′(t′))

leżący naprzeciwko boku o długości d(c(t), c′(t′)).Kątem pomiędzy geodezyjnymi c i c′ nazywamy liczbę

^(c, c′) = lim supt,t′→0

^p(c(t), c′(t′))

8

Definicja 2.3.3. Niech γ : [a, b]→ X będzie funkcją ciągłą. Długością krzy-wej γ jest

l(γ) = sup{n−1∑i=0

d(γ(ti), γ(ti+1)) ; a = t0 < t1 < . . . < tn = b

}

9

Rozdział 3

Geometria euklidesowa

W przestrzeni liniowej Rn rozważamy standardowy iloczyn skalarny 〈., .〉 ipochodzącą od niego normę ‖.‖ .

3.1 Geodezyjne w przestrzeni euklidesowej

Definicja 3.1.1. Przestrzeń afiniczną En = (Rn,Rn,−) z odległością pocho-dzącą od standardowego iloczynu skalarnego, tzn, daną wzorem

d(A,B) = ‖B − A‖ =

√√√√ n∑i=1

(Bi − Ai)2 dla A,B ∈ En,

nazywamy n–wymiarową przestrzenią euklidesową.

Stwierdzenie 3.1.2. Dla danego punktu A ∈ En i wektora u ∈ Rn takiego,że ‖u‖ = 1 oraz liczby a ­ 0 funkcja c : [0, a]→ En dana wzorem

c(t) = A+ tu dla t ∈ [0, a]

jest geodezyjną w przestrzeni euklidesowej En.

Wniosek 3.1.3. Dla dowolnego punktu A ∈ En i wektora jednostkowego u ∈Rn funkcja c : I → En dana wzorem c(t) = A + tu jest prostą geodezyjną wprzestrzeni euklidesowej En, gdy I = R (odpowiednio półprostą geodezyjną,gdy I = [0,+∞)).

Twierdzenie 3.1.4. Niech A,B ∈ En oraz a = d(A,B) > 0.Funkcja c : [0, a] → En jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B

wtedy i tylko wtedy, gdy

c(t) = A+t

a(B − A) dla t ∈ [0, a].

10

Wniosek 3.1.5. Przestrzeń metryczna En jest jednoznacznie geodezyjna.

Stwierdzenie 3.1.6. Każda kula w przestrzeni En jest wypukła.

3.2 Wzory trygonometryczne

Definicja 3.2.1. Dla danych punktów A,B,C ∈ En nie leżących na jednejprostej odcinki [A,B], [B,C], [C,A] nazywamy bokami, liczby

a = d(B,C), b = d(C,A), c = d(A,B)

— długościami boków, a liczby

α = arc cos〈B − A,C − A〉‖B − A‖ ‖C − A‖

,

β = arc cos〈A−B,C −B〉‖A−B‖ ‖C −B‖

,

γ = arc cos〈A− C,B − C〉‖A− C‖ ‖B − C‖

— kątami wewnętrznymi trójkąta (euklidesowego) ABC.

Twierdzenie 3.2.2. (twierdzenie cosinusów) W trójkącie euklidesowymABC

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

Wniosek 3.2.3. (twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie euklidesowymABC

c2 = a2 + b2 ⇐⇒ γ =π

2.

Stwierdzenie 3.2.4. (twierdzenie sinusów) W trójkącie euklidesowymABC

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ.

Stwierdzenie 3.2.5. Suma kątów w trójkącie euklidesowym wynosi π.

3.3 Izometrie przestrzeni euklidesowej

Definicja 3.3.1. Hiperpłaszczyzną w przestrzeni euklidesowej En nazywamykażdy jest podzbiór postaci

{Q ∈ En ; 〈Q− P, u〉 = 0},

11

gdzie P ∈ En, u ∈ Rn, ‖u‖ = 1.Mówimy wtedy, że hiperpłaszczyzna przechodzi przez punkt P i jest pro-

stopadła do wektora jednostkowego u.

Definicja 3.3.2. Symetrią hiperpłaszczyznową względem hiperpłaszczyznyH przechodzącej przez punkt P i jest prostopadłej do wektora jednostkowegou nazywamy przekształcenie rH przestrzenie En na siebie dane wzorem

rH(X) = X − 2〈X − P, u〉u dla X ∈ En.

Stwierdzenie 3.3.3. Symetria hiperpłaszczyznowa rH względem hiperpłasz-czyzny H ma następujące własności:

1. rH jest inwolucją,

2. rH jest izometrią,

3. H jest zbiorem punktów stałych przekształcenia rH .

Twierdzenie 3.3.4. Grupa Isom (En) jest izomorficzna z iloczynem półpro-stym grupy (Rn,+) oraz grupy (O(n), ·).

Innymi słowy, każda izometria przestrzeni euklidesowej En jest złożeniemtranslacji o wektor v ∈ Rn z przekształceniem ortogonalnym ϕ o macierzy wbazie kanonicznej A ∈ O(n), przy czym wektor v i macierz A są wyznaczonejednoznacznie.

Stwierdzenie 3.3.5. Każda izometria przestrzeni euklidesowej En może byćprzedstawiona jako złożenie co najwyżej n+1 symetrii hiperpłaszczyznowych.

Stwierdzenie 3.3.6. Przestrzeń metryczna E2 spełnia aksjomaty Hilbertadla geometrii dwuwymiarowej.

3.4 Pole trójkąta i długość krzywej

Definicja 3.4.1. Polem trójkąta euklidesowego ABC nazywamy liczbę

A(4ABC) =12

√detG(B − A,C − A)

=12

√√√√∣∣∣∣∣ ‖B − A‖2 〈B − A,C − A〉〈C − A,B − A〉 ‖C − A‖2

∣∣∣∣∣Stwierdzenie 3.4.2. Pole trójkąta euklidesowego ABC wyraża się wzorami

1. A(4ABC) = 12ab sin γ,

12

2. A(4ABC) =√p(p− a)(p− b)(p− c), gdzie p = a+b+c

2 .

Uwaga 3.4.3. Każdy wielokąt jest sumą mnogościową rodziny trójkątów,w której częścią wspólną dowolnej nierozłącznej pary jest wspólny wierzcho-łek lub bok, zatem wzór na pole trójkąta pozwala obliczać pola dowolnychwielokątów euklidesowych.

Przybliżając dostatecznie ”porządną”figurę zawartą w E2 sumą rodzinytrójkątów można obliczyć także jej pole.

Miary euklidesowe w wyższych wymiarach buduje się w oparciu o wyra-żony wyznacznikiem Grama wzór na objętość sympleksu.

Stwierdzenie 3.4.4. Długość (euklidesowa) krzywej γ = (γ1, . . . , γn) : [a, b]→En klasy C1 wyraża się wzorem

l(γ) =∫ b

a‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a

√(γ′1(t))2 + . . .+ (γ′n(t))2 dt

13

Rozdział 4

Geometria sferyczna

4.1 Odległość sferyczna

Niech 〈., .〉 i ‖.‖ oznaczają standardowy iloczyn skalarny i pochodzącą odniego normę w przestrzeni Rn+1, n ­ 2.

Definicja 4.1.1. Zbiór

Sn = {x ∈ Rn+1 ; ‖x‖ = 1}

nazywamy sferą n–wymiarową.

Twierdzenie 4.1.2. Niech d : Sn × Sn → R będzie funkcją, która dowolnymdwóm punktom A,B ∈ Sn przypisuje jedyną liczbę d(A,B) ∈ [0, π] spełniającąwarunek

cos d(A,B) = 〈A,B〉.

Wtedy (Sn, d) jest przestrzenią metryczną.

Lemat 4.1.3. Niech P,Q ∈ Sn, d(P,Q) = r ∈ (0, π) oraz u = Q−cos r Psin r .

Wówczas

〈u, P 〉 = 0, ‖u‖ = 1, Q = cos r P + sin r u.

Wniosek 4.1.4. Różne punkty A,B,C ∈ Sn spełniają warunek

d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)

wtedy i tylko wtedy, gdy B = −A lub C = xA+ yB dla pewnych x, y > 0.

14

Stwierdzenie 4.1.5. Dla dowolnego punktu A ∈ Sn i wektora u ∈ Rn+1

takiego, że ‖u‖ = 1 i 〈u,A〉 = 0 funkcja c : [0, l]→ Sn, przy czym 0 ¬ l ¬ π,dana wzorem

c(t) = cos t A+ sin t u dla t ∈ [0, l]

jest geodezyjną na sferze Sn.

Twierdzenie 4.1.6. 1. Niech A,B ∈ Sn, d(A,B) = r ∈ (0, π). Wówczasfunkcja c : [0, r] → Sn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem Bwtedy i tylko wtedy, gdy

c(t) = cos t A+ sin t u dla t ∈ [0, r],

przy czym u = B−cos r Asin r .

2. Dla A ∈ Sn funkcja c : [0, π] → Sn jest geodezyjną łączącą punkt A zpunktem −A wtedy i tylko wtedy, gdy

c(t) = cos t A+ sin t u dla t ∈ [0, π],

przy czym ‖u‖ = 1 i 〈u,A〉 = 0.

Wniosek 4.1.7. Śladem geodezyjnej łączącej dwa różne punkty A,B ∈ Snjest łuk okręgu (okręgu wielkiego) będącego przekrojem sfery Sn dwuwymia-rową podprzestrzenią liniową zawierającą punkty A i B (gdy B = −A takichpłaszczyzn jest nieskończenie wiele).

Wniosek 4.1.8. Przestrzeń metryczna (Sn, d) jest przestrzenią geodezyjnąi przestrzenią r–jednoznacznie geodezyjną dla każdego r < π.

Stwierdzenie 4.1.9. Otwarta (odpowiednio domknięta) kula na sferze (Sn, d)jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej promień nie przekracza π

2 (odpo-wiednio jest mniejszy od π

2 ).

4.2 Trygonometria sferyczna

Definicja 4.2.1. Dla dowolnych różnych punktów P,Q ∈ Sn takich, żeQ 6= −P niech cPQ oznacza jedyną geodezyjną, sparametryzowaną na prze-dziale o początku 0, łączącą punkt P z punktem Q, zaś [P,Q] — obraz tejgeodezyjnej.

Wektorem kierunkowym geodezyjnej łączącej P z Q /∈ {P,−P} nazywamywektor

uPQ =Q− cos r P

sin r,

15

gdzie d(P,Q) = r ∈ (0, π). Wektor ten jest styczny w punkcie P (a dokładniejw punkcie 0) do geodezyjnej cPQ.

Hiperpłaszczyzna przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektoraP jest przestrzenią styczną do Sn w punkcie P ; wektor uPQ jest do niejrównoległy.

Definicja 4.2.2. Dla danych punktów A,B,C ∈ Sn nie leżących na jednymokręgu wielkim odcinki sferyczne [A,B], [B,C], [C,A] nazywamy bokami,liczby

a = d(B,C), b = d(C,A), c = d(A,B)

— długościami boków, a liczby

α = arc cos〈uAB, uAC〉‖uAB‖ ‖uAC‖

,

β = arc cos〈uBC , uBA〉‖uBC‖ ‖uBA‖

,

γ = arc cos〈uCA, uCB〉‖uCA‖ ‖uCB‖

— kątami wewnętrznymi trójkąta sferycznego ABC.

Twierdzenie 4.2.3. (sferyczne twierdzenie cosinusów) W trójkącie sfe-rycznym ABC

cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos γ.

Wniosek 4.2.4. (sferyczne twierdzenie Pitagorasa) W trójkącie sfe-rycznym ABC

cos c = cos a cos b⇐⇒ γ =π

2.

Stwierdzenie 4.2.5. (sferyczne twierdzenie sinusów) W trójkącie sfe-rycznym ABC

sin asinα

=sin bsin β

=sin csin γ

.

Stwierdzenie 4.2.6. (drugie sferyczne twierdzenie cosinusów) W trój-kącie sferycznym ABC

cos γ = − cosα cos β + sinα sin β cos c.

Wniosek 4.2.7. Suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa niż π.

16

4.3 Izometrie sferyczne

Stwierdzenie 4.3.1. Dla dowolnej izometrii sferycznej f ∈ Isom (Sn) ist-nieje taka izometria euklidesowa F ∈ Isom (En+1), że F (θ) = θ i F |Sn = f .

Wniosek 4.3.2. Grupa izometrii sferycznych Isom (Sn) jest izomorficzna zgrupą ortogonalną (O(n+ 1), ·).

Definicja 4.3.3. Hiperpłaszczyzną sferyczną nazywamy przekrój sfery Snhiperpłaszczyzną liniową w przestrzeni euklidensowej En.

Innymi słowy, hiperpłaszczyzna sferyczna jest zbiorem postaci h⊥ ∩ Sn,gdzie h ∈ Sn.

Definicja 4.3.4. Sferyczną symetrią hiperpłaszczyznową względem hiper-płaszczyny sferycznej h⊥ ∩ Sn nazywamy obcięcie (euklidesowej) symetriihiperpłaszczyznowej rh⊥ do sfery Sn.

Stwierdzenie 4.3.5. Każda izometria sfery Sn może być przedstawiona jakozłożenie co najwyżej n+ 1 sferycznych symetrii hiperpłaszczyznowych.

4.4 Pole trójkąta sferycznego

Sfera Sn jest hiperpowierzchnią w przestrzeni euklidesowej En. Objętość nasferze (w szczególności pole na sferze S2) określamy więc jako miarę na hi-perpowierzchni Sn (odpowiednio na powierzchni S2) indukowaną przez miaręLebesgue’a w En+1 (odpowiednio w E3).

Stwierdzenie 4.4.1. Pole sfery S2 wynosi 4π.

Definicja 4.4.2. Niech dane będą punkt P ∈ S2 i wektory u, v ∈ R3 takie,że ‖u‖ = ‖v‖ = 1 i 〈u, P 〉 = 〈v, P 〉 = 0.

Dwukątem sferycznym o wierzchołkach P,−P ∈ S2 wyznaczonym przezwektory u i v nazywamy obszar ograniczony geodezyjnymi biegnącymi od Pdo −P o wektorach kierunkowych odpowiednio u oraz v, zawarty w półsferze.

Stwierdzenie 4.4.3. Pole dwukąta sferycznego wyznaczonego przez wektoryu i v wynosi 2^(u, v).

Stwierdzenie 4.4.4. Pole trójkąta sferycznego położonego na sferze S2 okątach wewnętrznych α, β, γ wynosi α + β + γ − π.

Uwaga 4.4.5. Długość krzywej położonej na sferze mierzymy tak samo jakdługość tej krzywej traktowanej jako krzywa w En+1.

17

Rozdział 5

Geometria konforemna

5.1 Inwersje

Definicja 5.1.1. Dla danego punktu x0 ∈ En i danej liczby r > 0 przekształ-cenie ιx0,r : En \ {x0} → En dane wzorem

ιx0,r(x) = r2 x− x0

‖x− x0‖2+ x0 dla x ∈ En \ {x0}

nazywamy inwersją względem sfery S(x0, r) o środku x0 i promieniu r.

Uwaga 5.1.2. Utożsamiając poprzez rzut stereograficzny sferę n–wymiarowąz przestrzenią En uzupełnioną punktem ∞ możemy traktować inwersję jakoprzekształcenie Sn → Sn.

Przykład 5.1.3. Na płaszczyźnie E2 inwersja względem okręgu o środku Oi promieniu r przekształca punkt X 6= O na punkt X ′ ∈ OX→ spełniającywarunek |OX| |OX ′| = r2.

Stwierdzenie 5.1.4. Złożenie inwersji o tym samym środku pokrywa się zjednokładnością:

ιx0,r ◦ ιx0,R = Jr2

R2

x0

Stwierdzenie 5.1.5. Każda inwersja jest złożeniem inwesji podstawowej ιθ,1z jednokładnością i translacjami:

ιx0,r = Tx0 ◦ Jr2

θ ◦ ιθ,1 ◦ T−x0

Stwierdzenie 5.1.6. Każda inwersja ma następujące własności:

1. jest inwolucją (tzn. przekształceniem do siebie odwrotnym) klasy C∞,

18

2. obcięta do sfery tej inwersji jest tożsamością,

3. zachowuje kąty.

Stwierdzenie 5.1.7. Dla danych różnych punktów x0, x1 ∈ En oraz liczbr, r1 > 0 następujące warunki są równoważne:

1. ιx0,r (S(x1, r1)) = S(x1, r1),

2. ιx1,r1 (S(x0, r)) = S(x0, r),

3. ‖x0 − x1‖2 = r2 + r21.

4. sfery S(x0, r) oraz S(x1, r1) są prostopadłe w każdym punkcie przecię-cia.

Stwierdzenie 5.1.8. Niech ι = ιx0,r. Wówczas:

1. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 ∈ H, to ι(H) = H.

2. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną i x0 /∈ H, to ι(H) jest sferą oraz x0 ∈ι(H).

3. Jeżeli S jest sferą i x0 ∈ S, to ι(S) jest hiperpłaszczyzną oraz x0 /∈ ι(S).

4. Jeżeli S jest sferą i x0 /∈ S, to ι(S) jest sferą oraz x0 /∈ ι(S).

5.2 Dyfeomorfizmy konforemne

Definicja 5.2.1. Dyfeomorfizm f : D → E pomiędzy obszarami w En nazy-wamy dyfeomorfizmem konforemnym, jeżeli istnieje funkcja λ : D → R+ taka,że dla dowolnego punktu p ∈ D i dowolnych wektorów v, w ∈ Rn spełnionyjest warunek.

〈dfp(v), dfp(w)〉 = λ(p)〈v, w〉.

Zbiór wszystkich dyfeomorfizmów konforemnych obszaruD na siebie ozna-czamy przez Conf (D).

Przykład 5.2.2. Warunek konforemności oznacza, że różniczka odwzorowa-nia konforemnego zachowuje kąt pomiędzy wektorami.

Inwersja ιx0,r jest dyfeomorfizmem konforemnym obszaru En \ {x0} nasiebie (lub sfery Sn na siebie).

W przestrzeni En, n ­ 2, przyjmijmy oznaczenia

Bn = {x ∈ En ; ‖x‖ < 1} (kula jednostkowa)

19

Πn,+ = {x ∈ En ; xn > 0} (górna półprzestrzeń)

Twierdzenie 5.2.3. Każdy dyfeomorfizm pomiędzy obszarami w E2 = Cjest funkcją holomorficzną lub antyholomorficzną (tzn. taką, której złożenieze sprzężeniem zespolonym jest funkcją holomorficzną).

Wniosek 5.2.4. 1.

Conf (C) = {az + b ; a,∈ C, a 6= 0} ∪ {az + b ; a, b ∈ C, a 6= 0}

2.

Conf(B2)

={z 7→ eiβ

z − α1− αz

; α ∈ B2, β ∈ R}

∪{z 7→ eiβ

z − α1− αz

; α ∈ B2, β ∈ R}

3.

Conf(Π2,+

)={z 7→ az + b

cz + d; a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1

}

∪{z 7→ az + b

cz + d; a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1

}

Twierdzenie 5.2.5. (Liouville’a) Każdy dyfeomorfizm konforemny pomię-dzy obszarami w En, n ­ 3, jest postaci

x 7→ λAι(x) + b,

gdzie λ > 0, A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją.

Wniosek 5.2.6. Dla n ­ 3

1. Conf (En) = {x 7→ λA+ b ; λ > 0, A ∈ O(n)}

2. Conf (Bn) składa się z przekształceń postaci

x 7→ Aι(x),

gdzie A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją względem sferyortogonalnej do sfery ∂Bn.

3. Conf (Πn,+) składa się z przekształceń postaci

λ

[A θθ 1

]ι+

[b0

],

gdzie λ > 0, A ∈ O(n−1), b ∈ Rn−1, zaś ι jest tożsamością lub inwersjąwzględem sfery o środku na hiperpłaszczyźnie Rn−1 × {0}.

20

Rozdział 6

Geometria hiperboliczna

6.1 Funkcje hiperboliczne

Definicja 6.1.1. 1. Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh : R→R daną wzorem

sinhx =ex − e−x

2, x ∈ R.

2. Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh : R→ R daną wzo-rem

coshx =ex + e−x

2, x ∈ R.

3. Tangesem hiperbolicznym nazywamy funkcję tgh : R→ R daną wzorem

tghx =ex − e−x

ex + e−x, x ∈ R.

Stwierdzenie 6.1.2. 1. Pochodne funkcji hiperbolicznych wyrażają sięwzorami:

sinh′ = cosh, cosh′ = sinh, tgh′ =1

cosh2 .

2. Funkcje sinh, cosh |[0,+∞), tgh są rosnące, a w przedziale (0,+∞) przyj-mują tylko wartości dodatnie.

Stwierdzenie 6.1.3. Dla dowolnych x, y ∈ R

1. sinh(x± y) = sinh x cosh y ± coshx sinh y,

2. cosh(x± y) = cosh x cosh y ± sinhx sinh y,

21

3. cosh2 x− sinh2 x = 1.

4. tghx = sinhxcoshx

Stwierdzenie 6.1.4. 1. Funkcją odwrotną do funkcji cosh |[0,+∞) jest funk-cja ach : [1,+∞)→ [0,+∞) dana wzorem

achx = ln(x+√x2 − 1), x ∈ [1,+∞).

2. Funkcją odwrotną do funkcji tgh jest funkcja ath : (−1, 1)→ (−∞,+∞)dana wzorem

athx = ln

√1 + x

1− x, x ∈ (−1, 1).

6.2 Czasoprzestrzeń i przestrzeń hiperboliczna

Definicja 6.2.1. Formę dwuliniową 〈.|.〉 w przestrzeni liniowej Rn+1, gdzien ­ 2, daną wzorem

〈x|y〉 = x1y1 + . . .+ xnyn − xn+1yn+1,

x = (x1, . . . , xn, xn+1), y = (y1, . . . , yn, yn+1) ∈ Rn+1

nazywamy formą Lorentza.Przestrzeń Rn+1 wraz z formą Lorentza nazywamy n–wymiarową cza-

soprzestrzenią i oznaczamy przez Rn,1. Elementy tej przestrzeni będziemyzapisywać w postaci x = (x, xn+1), gdzie x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Możemy wówczas pisać

〈x|y〉 = 〈x, y〉 − xn+1yn+1.

Definicja 6.2.2. Wektor x ∈ Rn,1 nazywamy

1. wektorem przestrzennym, gdy 〈x|x〉 > 0,

2. wektorem czasowym, gdy 〈x|x〉 < 0,

3. wektorem świetlnym, gdy 〈x|x〉 = 0.

Definicja 6.2.3. Zbiór

Hn = {x ∈ Rn,1 ; 〈x|x〉 = −1, xn+1 > 0}

z określoną niżej metryką nazywamy n–wymiarową przestrzenią hiperboliczną.

22

Przykład 6.2.4. Płaszczyzna hiperboliczna, czyli 2–wymiarowa przestrzeńhiperboliczna

H2 ={x ∈ R3 ; x3 =

√1 + x2

1 + x22

},

jest górną powłoką hiperboloidy dwupowłokowej −x21 − x2

2 + x23 = 1.

Stwierdzenie 6.2.5. Dla dowolnych x, y ∈ Hn

1. 〈x|y〉 ¬ −1,

2. 〈x|y〉 = −1⇔ x = y.

6.3 Odległość hiperboliczna

Twierdzenie 6.3.1. Niech d : Hn × Hn → R będzie funkcją, która dowol-nym dwóm punktom A,B ∈ Hn przypisuje jedyną liczbę d(A,B) spełniającąwarunek

cosh d(A,B) = −〈A|B〉.Wtedy (Hn, d) jest przestrzenią metryczną.

Lemat 6.3.2. Niech P,Q ∈ Hn, d(P,Q) = r > 0 oraz u = Q−cosh r Psinh r . Wów-

czas〈u|P 〉 = 0, 〈u|u〉 = 1, Q = cosh r P + sinh r u.

Lemat 6.3.3. Dla dowolnego punktu P ∈ Hn forma Lorentza jest iloczynemskalarnym na podprzestrzeni P⊥ = {v ∈ Rn,1 ; 〈v|P 〉 = 0}.Wniosek 6.3.4. Różne punkty A,B,C ∈ Hn spełniają warunek

d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)

wtedy i tylko wtedy, gdy C = sA+ tB dla pewnych s, t > 0.

Twierdzenie 6.3.5. Niech A,B ∈ Hn, d(A,B) = r > 0. Wówczas funkcjac : [0, r] → Hn jest geodezyjną łączącą punkt A z punktem B wtedy i tylkowtedy, gdy

c(t) = cosh t A+ sinh t u dla t ∈ [0, r],

przy czym u = B−cosh r Asinh r .

Wniosek 6.3.6. Przestrzeń metryczna (Hn, d) jest przestrzenią jednoznacz-nie geodezyjną.

Definicja 6.3.7. Prostą hiperboliczną nazywamy obraz prostej geodezyjnejR→ Hn.

Wniosek 6.3.8. Przez dwa różne punkty A,B ∈ Hn przechodzi dokładniejedna prosta hiperboliczna. Jest nią przekrój Hn dwuwymiarową podprze-strzenią liniową lin (A,B).

23

6.4 Trygonometria hiperboliczna

Definicja 6.4.1. Dla dowolnych różnych punktów P,Q ∈ Hn niech cPQoznacza jedyną geodezyjną, sparametryzowaną na przedziale o początku 0,łączącą punkt P z punktem Q, zaś [P,Q] — obraz tej geodezyjnej.

Wektorem kierunkowym geodezyjnej łączącej P z Q nazywamy wektor

vPQ =Q− cosh r P

sinh r,

gdzie d(P,Q) = r > 0. Wektor ten jest styczny w punkcie P (a dokładniej wpunkcie 0) do geodezyjnej cPQ; należy również do P⊥, która jest przestrzeniąstyczną do Hn w punkcie P .

Definicja 6.4.2. Dla danych punktów A,B,C ∈ Hn nie leżących na jednejprostej hiperbolicznej odcinki hiperboliczne [A,B], [B,C], [C,A] nazywamybokami, liczby

a = d(B,C), b = d(C,A), c = d(A,B)

— długościami boków, a liczby

α = arc cos〈vAB|vAC〉√

〈vAB|vAB〉√〈vAC |vAC〉

,

β = arc cos〈vBC |vBA〉√

〈vBC |vBC〉√〈vBA|vBA〉

,

γ = arc cos〈vCA|vBC〉√

〈vCA|vCA〉√〈vCB|vCB〉

— kątami wewnętrznymi trójkąta hiperbolicznego ABC.

Uwaga 6.4.3. Kąty wewnętrzne trójkąta hiperbolicznego są kątami pomię-dzy wektorami liczonymi względem iloczynu skalarnego pochodzącego odformy Lorentza, np. α = ^(vAB, vAC) względem iloczynu skalarnego 〈.|.〉na przestrzeni A⊥. Ten iloczyn skalarny pokrywa się ze standardowym ilo-czynem skalarnym tylko, gdy A = (0, . . . , 0, 1).

Twierdzenie 6.4.4. (hiperboliczne twierdzenie cosinusów) W trójką-cie hiperbolicznym ABC

cosh c = cosh a cosh b− sinh a sinh b cos γ.

24

Wniosek 6.4.5. (hiperboliczne twierdzenie Pitagorasa) W trójkąciehiperbolicznym ABC

cosh c = cosh a cosh b⇐⇒ γ =π

2.

Stwierdzenie 6.4.6. (hiperboliczne twierdzenie sinusów) W trójkąciehiperbolicznym ABC

sinh asinα

=sinh bsin β

=sinh csin γ

.

Stwierdzenie 6.4.7. (drugie hiperboliczne twierdzenie cosinusów) Wtrójkącie hiperbolicznym ABC

cos γ = − cosα cos β + sinα sin β cosh c.

Wniosek 6.4.8. Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym jest mniejsza niżπ.

6.5 Model w kuli i na półprzestrzeni

Stwierdzenie 6.5.1. Przekształcenie πB : Hn → Bn, gdzie Bn = {y ∈Rn ; ‖y‖ < 1}, dane wzorem

πB(x) =x

1 + xn+1, x ∈ Hn

jest homeomorfizmem.

Definicja 6.5.2. Kulę Bn z odległością dB indukowaną przez przekształcenieπB, czyli daną wzorem

dB(y, y′) = d(π−1B (y), π−1

B (y′)), y, y′ ∈ Bn,

nazywamy modelem Poincare w kuli dla n–wymiarowej przestrzeni hiperbo-licznej.

Stwierdzenie 6.5.3. Odległość w modelu Poincare w kuli wyraża się wzo-rem

dB(y, y′) = ach(

1 +2‖y − y′‖

(1− ‖y‖2) (1− ‖y′‖2)

)

= 2 ath‖y − y′‖√

1− 2〈y, y′〉+ ‖y‖2‖y′‖2

dla y, y′ ∈ Bn.

25

Wniosek 6.5.4. Dla y ∈ Bn

dB(θ, y) = 2 ath ‖y‖ = ln1 + ‖y‖1− ‖y‖

.

Wniosek 6.5.5. W kole B2 ⊂ C odległość hiperboliczna wyraża się wzorem

dB(w, z) = 2 ath∣∣∣∣ w − z1− wz

∣∣∣∣ = ln|1− wz|+ |w − z||1− wz| − |w − z|

dla w, z ∈ B2.

W przestrzeni Rn n − 1 pierwszych współrzędnych punktu(wektora) woznaczać będziemy przez w.

Stwierdzenie 6.5.6. W przestrzeni Rn obcięcie inwersji ιU,√2 względemsfery o środku U = (0, . . . , 0,−1) i promieniu

√2 jest homeomorfizmem kuli

Bn na górną półprzestrzeń Πn,+ = {u ∈ Rn ; un > 0}.

Definicja 6.5.7. Górną półprzestrzeń Πn,+ z odległością dΠ indukowanąprzez inwersję ιU,√2, czyli daną wzorem

dΠ(u, u′) = dB(ι−1U,√

2(u), ι−1

U,√

2(u′)), u, u′ ∈ Πn,+,

nazywamy modelem Poincare na półprzestrzeni dla n–wymiarowej przestrzenihiperbolicznej.

Stwierdzenie 6.5.8. Odległość w modelu Poincare na półprzestrzeni wyrażasię wzorem

dΠ(u, u′) = ach(

1 +‖u− u′‖2

2unu′n

)

= 2 ath

√√√√‖u− u′‖+ (un − u′n)2

‖u− u′‖+ (un + u′n)2

dla u, u′ ∈ Πn,+.

Wniosek 6.5.9. Na półpłaszczyźnie Π2,+ ⊂ C odległość hiperboliczna wy-raża się wzorem

dΠ(w, z) = 2 ath∣∣∣∣w − zw − z

∣∣∣∣ = ln|w − z|+ |w − z||w − z| − |w − z|

dla w, z ∈ Π2,+.

Przykład 6.5.10. Na półpłaszczyźnie Π2,+ ⊂ C

dΠ(ai, bi) =∣∣∣∣ln ab

∣∣∣∣26

6.6 Brzeg idealny

Definicja 6.6.1. Brzegiem idealnym n–wymiarowej przestrzeni hiperbolicz-nej nazywamy zbiór

Hn(∞) = {z ∈ Rn,1 ; 〈z|z〉 = 0, zn+1 = 1} = {(w, 1) ∈ Rn,1 ; ‖w‖ = 1}

Uwaga 6.6.2. Pojęcie brzegu idealnego związane jest z zachowaniem geodezyj-nych ”w nieskończoności”. Górna powłoka hiperboloidy danej równaniem〈x|x〉 = −1 ma naturalną asymptotę w postaci stożka 〈x|x〉 = 0.

Brzegiem powłoki hiperboloidy jest (n− 1)–wymiarowa sfera w nieskoń-czoności. Łatwiej jest ją obserwować na skończonym poziomie np. xn+1 = 1.Wówczas jest ona sferą jednostkową w przestrzeni stycznej ((θ, 1))⊥.

Stwierdzenie 6.6.3. Dla dowolnego punktu A ∈ Hn oraz dowolnego z ∈Hn(∞) istnieje półprosta geodezyjna c : [0,+∞) → Hn taka, że c(0) = Aoraz c(+∞) = z w tym sensie, że istnieje funkcja f : [0,+∞)→ R taka, że

limt→+∞

f(t) = +∞

limt→+∞

(c(t)− f(t)z) = 0

Przykład 6.6.4. Od punktu (θ, 1) ∈ Hn do punktu z ∈ Hn(∞) prowadzipółprosta geodezyjna

[0,+∞) 3 t 7→ cosh t (θ, 1) + sinh t z.

Definicja 6.6.5. Dla półprostej geodezyjnej c(t) = cosh t A+ sinh t v, t ­ 0,gdzie A ∈ Hn, 〈v|A〉 = 0 oraz 〈v|v〉 = 1 element

z =A+ v

An+1 + vn+1∈ Hn(∞)

nazywamy końcem tej półprostej i oznaczamy przez c(+∞).

Stwierdzenie 6.6.6. Dla dowolnych różnych elementów z1, z2 ∈ Hn(∞) ist-nieje dokładnie jedna prosta geodezyjna c : R → Hn taka, że z1 = c(−∞) iz2 = c(+∞).

Definicja 6.6.7. W zbiorze Hn = Hn∪Hn(∞) wprowadzamy topologię tak,aby podzbiór Hn miał swoją naturalną topologię oraz aby bijekcja πB : Hn →Bn dana wzorem

πB(x) ={πB(x) , x ∈ Hn

x , x ∈ Hn(∞)

była homeomorfizmem.Tak określoną topologię nazywamy topologią stożkową w przestrzeni hi-

perbolicznej z brzegiem idealnym.

27

Uwaga 6.6.8. Topologia stożkowa w Hn uzwarca kulę otwartą, którą wsensie topologicznym jest Hn (bo otwarta kula n–wymiarowa jest nawet dy-feomorficzna z Rn, a ta z kolei z powłoką hiperboloidy) do kuli domnkniętej.

Tym samym brzeg idealny w modelu Poincare w kuli jest sferą Sn−1 =∂Bn.

Wniosek 6.6.9. Brzegiem idealnym modelu Poincare na półprzestrzeni Πn,+

jest (Rn−1 × {0}

)∪ {∞},

przy czym∞ oznacza obraz punktu U = (θ,−1) w inwersji ιU,√2 traktowanejjako odwzorowanie sfery Sn = Rn ∪ {∞} na siebie.

Wniosek 6.6.10. Półprosta geodezyjna o początku (θ, 1) i końcu z ∈ Hn(∞)ma po zrzutowaniu do modelu w kuli równanie

γ(t) = tght

2z , t ­ 0.

6.7 Izometrie hiperboliczne

Definicja 6.7.1. Hiperpłaszczyzną hiperboliczną nazywamy niepusty prze-krój przestrzeni Hn n–wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn,1.

Stwierdzenie 6.7.2. Pozbiór H ⊂ Hn jest hiperpłaszczyzną hiperbolicznąwtedy i tylko wtedy, gdy H = u⊥ ∩Hn dla pewnego jednostkowego wektoraprzestrzennego u ∈ Rn,1.

Definicja 6.7.3. Niech H będzie hiperpłaszczyzną hiperboliczną, a u — jejjednostkowym wektorem normalnym. Przekształcenie rH : Hn → Hn danewzorem

rH(x) = x− 2〈x|u〉u, x ∈ Hn

nazywamy hiperboliczną symetrią hiperpłaszczyznową względem hiperpłasz-czyzny hiperbolicznej H.

Stwierdzenie 6.7.4. Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa rH wzglę-dem hiperpłaszczyzny hiperbolicznej H ma następujące własności

1. rH jest inwolucją,

2. rH jest izometrią (hiperboliczną),

3. H jest zbiorem punktów stałych przekształcenia rH .

28

Stwierdzenie 6.7.5. Dla dowolnych różnych punktów A,B ∈ Hn istniejedokładnie jedna hiperpłaszczyzna hiperboliczna H taka, że rH(A) = B.

Przykład 6.7.6. Punkt A ∈ Hn \ {(θ, 1)} na punkt (θ, 1) przeprowadzahiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa względem hiperpłaszczyny u⊥ ∩Hn, gdzie u = (A,An+1−1)√

2(An+1−1).

Stwierdzenie 6.7.7. W modelu Poincare w kuli hiperboliczna symetriahiperpłaszczyznowa jest symetrią względem liniowej hiperpłaszczyny prze-strzeni Rn lub inwersją względem sfery ortogonalnej do Sn−1 = ∂Bn.

Wniosek 6.7.8. Prosta hiperboliczna w modelu Poincare w kuli jest (otwartą)średnicą kuliBn lub (otwartym) łukiem okręgu ortogonalnego do sfery Sn−1 =∂Bn.

Wniosek 6.7.9. Prosta hiperboliczna w modelu Poincare na półprzestrzenijest (otwartą) półprostą ortogonalną do hiperpłaszczyny Rn−1×{0} = ∂Πn,+

lub (otwartym) półokręgiem ortogonalnym do hiperpłaszczyny Rn−1×{0} =∂Πn,+

Definicja 6.7.10. Na płaszczyźnie hiperbolicznej dwie proste hiperbolicznesą równoległe, gdy są rozłączne, są zaś nadrównoległe, gdy są rozłączne i ichkońce na brzegu idealnym są także rozłączne.

Twierdzenie 6.7.11. (hiperboliczny V postulat) Na płaszczyźnie hi-perbolicznej dla dowolnej prostej hiperbolicznej i dowolnego punktu nie na-leżącego do tej prostej istnieje nieskończenie wiele prostych hiperbolicznychprzechodzących przez ten punkt i równoległych do danej prostej.

Dowód: Rozważmy model na półpłaszczyźnie.Niech l będzie prostą hiperboliczną, zaś A = d′ + d′′i punktem nie nale-

żącym do prostej l. Rozważymy dwa przypadki:

I. l jest półprostą Re z = d,

II. l jest półokręgiem |z − γ| = ρ, γ ∈ R.

I. Możemy założyć, że np. d′ > d. Wówczas prosta hiperboliczna l′ :Re z = d′ jest równoległa do l (asymptotyczna w ∞) i przechodzi przez A.

Zauważmy także, że jeżeli c0 = d′2−d2+d′′22(d′−d) oraz r0 = c0 − d, to prosta

hiperboliczna l0 : |z− c0| = r0 przechodzi przez A i jest asymptotyczna do l(w punkcie d).

Biorąc dowolne c > c0 i r takie, że r2 = (d′ − c)2 + d′′2 otrzymujemy, żec − r > d, czyli prosta hiperboliczna lc : |z − c| = r jest nadrównoległa do

29

l. Istotnie, funkcja c 7→ c −√

(d′ − c)2 + d′′2 jest rosnąca i przyjmuje w c0

wartość d.II. Fakt, że A /∈ l może przyjąć postać (d′ − γ)2 + d′′2 > ρ2 i d′ ­ γ.Jeżeli ponadto d′ > γ + ρ, to można postąpić jak w punkcie I, bo proste

hiperboliczne przechodzące przez A i równoległe do prostej hiperbolicznejRe z = γ + ρ są także równoległe do l.

Załóżmy więc, że d′ ∈ [γ, γ + ρ]. Oczywiście prosta hiperboliczna l′ :|z − γ| =

√(d′ − γ)2 + d′′2 przechodzi przez A i jest nadrównoległa do l.

Gdy γ + ρ > d′, to biorąc c0 = (γ+ρ)2−d′2−d′′22(γ+ρ−d′) oraz r0 = γ + ρ − c0

otrzymujemy prostą hiperboliczną l0 : |z − c0| = r0 przechodzącą przez Ai asymptotyczną do l. Gdy γ + ρ = d′ rolę tę pełni prosta hiperbolicznaRe z = d′.

Biorąc teraz dowolne c ∈ (c0, γ) i r takie, że r2 = (d′ − c)2 + d′′2 otrzy-mujemy , że c+ r > γ + ρ oraz c− r < γ − ρ, czyli prosta hiperboliczna lc :|z− c| = r jest nadrównoległa do l. Istotnie, funkcja c 7→ c−

√(d′ − c)2 + d′′2

jest rosnąca i przyjmuje w γ wartość γ−√

(d′ − γ)2 + d′′2 < γ−ρ, zaś funkcja

c 7→ c +√

(d′ − c)2 + d′′2 jest także rosnąca i przyjmuje w c0 wartość γ + ρ

(w przypadku d′ = γ + ρ można przyjąć c0 = −∞).�

Twierdzenie 6.7.12. Grupą izometrii przestrzeni metrycznej (Hn, d) jestO(n, 1)+, czyli grupa macierzy zachowujących formę Lorentza i górną półprze-strzeń.

Stwierdzenie 6.7.13. Każda izometria przestrzeni hiperbolicznej Hn jestzłożeniem co najwyżej n+ 1 hiperbolicznych symetrii hiperpłaszczynowych.

Wniosek 6.7.14. Grupą izometrii modelu Poincare w kuli (Bn, dB), n ­ 3,jest grupa dyfeomorfizmów konforemnych kuli Bn na siebie, czyli przekształ-ceń postaci

Aι ,

gdzie A ∈ O(n), zaś ι jest tożsamością lub inwersją względem sfery ortogo-nalnej do ∂Bn (obejmuje to też symetrie względem hiperpłaszczyzn przecho-dzących przez θ).

Wniosek 6.7.15. Grupą izometrii modelu Poincare na półprzestrzeni (Πn,+, dΠ),n ­ 3, jest grupa dyfeomorfizmów konforemnych półprzestrzeni Πn,+ na sie-bie, czyli przekształceń postaci

λ

[A θθ 1

]ι+

[b0

],

30

gdzie λ > 0, A ∈ O(n − 1), b ∈ Rn−1, zaś ι jest tożsamością lub inwersjąwzględem sfery ortogonalnej do ∂Πn,+ (obejmuje to też symetrie względemhiperpłaszczyzn ortogonalnych do ∂Πn,+).

Wniosek 6.7.16. Grupą izometrii hiperbolicznych w kole B2 ⊂ C jest{z 7→ eiβ

z − α1− αz

; α ∈ B2, β ∈ R}∪{z 7→ eiβ

z − α1− αz

; α ∈ B2, β ∈ R}

Wniosek 6.7.17. Grupą izometrii hiperbolicznych na półpłaszczyźnieΠ2,+ ⊂ C jest {

z 7→ az + b

cz + d; a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1

}

∪{z 7→ az + b

cz + d; a, b, c, d ∈ R, ad− bc = 1

}

6.8 Pole hiperboliczne

Stwierdzenie 6.8.1. Iloczyn skalarny wektorów stycznych do przestrzenihiperbolicznej wyraża się wzorem

1. w modelu na hiperboloidzie:

〈w1|w2〉, w1, w2 ∈ Tx(Hn) = x⊥ ⊂ Rn,1,

2. w modelu w kuli:

4(1− ‖y‖2)2

〈w1, w2〉, w1, w2 ∈ Ty(Bn) = Rn,

3. w modelu na półprzestrzeni:

1u2n

〈w1, w2〉, w1, w2 ∈ Tu(Πn,+) = Rn.

Definicja 6.8.2. Niech R będzie obszarem zawartym w górnej półpłaszczyź-nie (odpowiednio kuli). Pole hiperbolicznym obszaru R nazywamy wartośćwyrażenia

A(R) =∫R

1y2dxdy ;

w modelu w kuli jest to odpowiednio wartość wyrażenia

A(R) =∫R

4(1− x2 − y2)2

dxdy .

31

Definicja 6.8.3. Uogólnionym trójkatem hiperbolicznym nazywamy trójkępunktów należących do Hn ∪ Hn(∞), nie leżących na jednej prostej wrazz końcami. Jego bokami są odcinki (odpowiednio półproste hiperboliczne,proste hiperboliczne) łączące wierzchołki.

Wierzchołki należące do brzegu idealnego nazywamy wierzchołkami ide-alnymi, a trójkąt o wszystkich trzech wierzchołkach idealnych — trójkątemidealnym.

Stwierdzenie 6.8.4. Niech T (α) będzie uogólnionym trójkątem hiperbo-licznym o dwóch wierzchołach idealnych i kącie wewnętrznym α przy trzecimwierzchołku. Wówczas

A(T (α)) = π − α.

Dowód: W modelu na półpłaszczyźnie rozważmy trójkąt uogólniony owierzchołkach A = (d, b) ∈ Π2,+, 0,∞ ∈ Π2,+(∞), przy czym kąt przy wierz-chołku A jest równy α ∈ (0, π). Wówczas boki tego trójkąta zawarte są wprostych hiperbolicznych x = 0, x = d oraz (x− c)2 + y2 = r2, przy czym

c = r, d = r + r cos s, b = r sin s, ^ ((−r sin s, r cos s), (0, 1)) = α,

skąd A = (r + r cosα, r sinα).Tym samym trójkąt uogólniony T (α) jest obszarem

{(r − r cos t, y) ; 0 ¬ t ¬ π − α, y ­ r sin t},

a jego pole hiperboliczne wynosi

A (T (α)) =∫T (α)

1y2dxdy =

∫ π−α

0

∫ +∞

r sin t

1y2r sin t dtdy

=∫ π−α

0r sin t dt

∫ +∞

r sin t

1y2dy =

∫ π−α

0r sin t dt

1r sin t

=∫ π−α

0dt = π − α

�

Wniosek 6.8.5. Pole trójkąta idealnego jest równe π.

Twierdzenie 6.8.6. Pole trójkąta hiperbolicznego o kątach wewnętrznychα, β, γ wynosi π − (α + β + γ).

Dowód: Niech ABC będzie trójkątem hiperbolicznym o kątach α, β, γ iniech z1, z2, z3 ∈ Hn będą punktami końcowymi półprostych geodezyjnychodpowiednio AB, BC, CA.

32

Wówczas trójkąt idealny z1z2z3 jest sumą trójkątów hiperbolicznych uogól-nionych: Az1z3 o kącie w A równym π−α, Bz1z2 o kącie w B równym π−β,Cz2z3 o kącie w C równym π−γ oraz trójkąta ABC. Ponadto części wspólnetych trójkątów zawierają się w półprostych hiperbolicznych o polu 0.

Stąd i z 6.8.4 oraz 6.8.5 otrzymujemy

π = π − (π − α) + π − (π − β) + π − (π − γ) +A(ABC),

co jest równoważne tezie. �

6.9 Podzbiory przestrzeni hiperbolicznej

Stwierdzenie 6.9.1. W modelu Poincare w kuli (odpowiednio, na półprze-strzeni) sferą względem metryki dB (odpowiednio dΠ) jest sfera euklidesowa,na ogół o innym środku i promieniu.

Wniosek 6.9.2. W modelu w kuli lub na półprzestrzeni kula hiperboliczna(otwarta lub domknięta) jest kulą euklidesową.

Wniosek 6.9.3. Każda kula hiperboliczna (otwarta lub domknięta) jest wy-pukła.

Definicja 6.9.4. Dla danej prostej hiperbolicznej ` ⊂ H2 i danej liczby ρ > 0zbiór wszystkich punktów z H2 leżących po jednej stronie prostej ` odległychod niej o ρ nazywamy ρ–hipercyklem.

Uwaga 6.9.5. W modelu w kuli tę część sfery ortogonalnej do ∂Bn (lubhiperpłaszczyzny przechodzącej przez θ), która jest zawarta w kuli Bn nazy-wamy hiperpowierzchnią całkowicie geodezyjną.

Hipersferę możemy określić analogicznie do hipercyklu jako zbiór wszyst-kich punktów Bn leżących po jednej stronie hiperpowierzchni całkowicie geo-dezyjnej i równo od niej odległych.

Definicja 6.9.6. Dla danej prostej geodezyjnej c : R → Hn i danej liczbyr ∈ R zbiór wszystkich punktów x ∈ Hn spełniających warunek

limt→+∞

(d(x, c(t))− t) = r

nazywamy horosferą o końcu c(+∞).

Stwierdzenie 6.9.7. W przestrzeni hiperbolicznej Hn

1. hiperpowierzchnia całkowicie geodezyjna jest izometryczna z Hn−1,

33

2. horosfera jest izometryczna z En−1.

Przykład 6.9.8. W modelu w kuli horosfera jest sferą styczną wewnętrzniedo ∂Bn (bez punktu styczności), a hipersfera jest częścią sfery przecinającej∂Bn pod kątem różnym od prostego zawartą w Bn.

34

Rozdział 7

Geometria w niskich wymiarach

7.1 Rozmaitości topologiczne i różniczkowe

Definicja 7.1.1. Rozmaitością topologiczną n–wymiarową nazywamy prze-strzeń topologiczną Hausdorffa, która jest lokalnie homeomorficzna z prze-strzenią Rn.

Homemorfizmy przeprowadzające zbiory otwarte rozmaitości topologicz-nej na kule otwarte w Rn nazywamy mapami.

Rozmaitość topologiczna jest orientowalna, jeżeli każde odwzorowanieprzejścia ϕ ◦ ψ−1, gdzie ϕ i ψ są mapami, zachowuje orientację.

Przykład 7.1.2. Rozmaitościami topologicznymi 1–wymiarowymi są prostaR i okrąg S1.

Rozmaitościami topologicznymi 2–wymiarowymi są płaszczyzna R2, sferaS2 i torus S1 × S1.

Definicja 7.1.3. (Gładką) rozmaitością różniczkową wymiaru n nazywamyn–wymiarową rozmaitość topologiczną wraz z pewną rodziną A jej map taką,że ϕ ◦ ψ−1 ∈ C∞ dla ϕ, ψ ∈ A.

Przykład 7.1.4. Płaszczyzna i sfera są rozmaitościami gładkimi.

Definicja 7.1.5. Przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, gdy dla każdejkrzywej ciągłej c : [0, 1] → X takiej, że c(0) = c(1) = x0 istnieje odwzoro-wanie ciągłe H : [0, 1] × [0, 1] → X (zwane homotopią) spełniające warunkiH(t, 0) = c(t), H(t, 1) = x0 dla t ∈ [0, 1].

Definicja 7.1.6. Nakryciem uniwersalnym przestrzeni topologicznej X na-zywamy taką jednospójną przestrzeń topologiczną X, dla której istnieje prze-kształcenie ciągłe f : X → X (zwane przekształceniem nakrywającym), żekażdy punkt przestrzeni X ma otoczenie V , którego przeciwobraz f−1(V )

35

jest sumą otwartych podzbiorów Ui ⊂ X, i ∈ I, oraz każde f |Ui : Ui → Vjest homeomorfizmem.

Przykład 7.1.7. Płaszczyzna R2 i sfera S2 są jednospójne.Płaszczyzna R2 jest nakryciem uniwersalnym torusa S1 × S1.

7.2 Grupy i ich działania

Definicja 7.2.1. Mówimy, że grupa G działa na przestrzeni X (i piszemyGy X) poprzez homemorfizmy, dyfeomorfizmy, izometrie itp. jeżeli istniejehomomorfizm grupy G w grupę homemorfizmów, dyfeomorfizmów, izometriiitp. przestrzeni X.

Definicja 7.2.2. Mówimy, że grupa G działa na przestrzeni X w sposóbwolny, gdy z faktu gx = x zawsze wynika, że g jest tożsamością.

Grupa G działa na X w sposób przechodni, dla każdych dwóch elementówx1, x2 ∈ X istnieje g ∈ G takie, że gx1 = x2.

Definicja 7.2.3. Niech G y X. Stabilizatorem punktu x ∈ X nazywamypodgrupę {g ∈ G ; gx = x}.

Definicja 7.2.4. Grupą Liego nazywamy grupę, która jest jednocześnie gładkąrozmaitością i w której funkcja (x, y) 7→ xy−1 jest przekształceniem klasy C∞.

Definicja 7.2.5. Niech Γ będzie podgrupą grupy Liego G. Mówimy, że Γ jestpodgrupą dyskretną, jeżeli każdy punkt γ ∈ Γ ma w G otoczenie przecinająceΓ tylko w punkcie γ.

7.3 Struktury geometryczne

Definicja 7.3.1. Geometrią modelową nazywamy jednospójną gładką roz-maitość X, na której działa grupa Liego G tak, że stabilizatory wszystkichpunktów są zwarte.

Definicja 7.3.2. Strukturą geometryczną na rozmaitości gładkiej M nazy-wamy dyfeomorfizm M → X/Γ, gdzie (X,G) jest geometrią modelową, Γ —dyskretną podgupą grupy G działającą na przestrzeni X w sposób wolny.

36

7.4 Uniformizacja w wymiarze 2

Twierdzenie 7.4.1. Każda 2–wymiarowa zwarta i orientowalna rozmaitośćtopologiczna jest homeomorficzna z powierzchnią Σg dla pewnego g ∈ N∪{0},przy czym

Σ0 = S2,

Σg powstaje z Σg−1 przez doklejenie rączki S1×[0, 1] w miejsce wyciętychdwóch rozłącznym kół B2, g ­ 1.

Twierdzenie 7.4.2. 1. Na powierzchni Σ0 = S2 istnieje struktura geo-metryczna modelowana na (S2, Isom (S2)).

2. Na powierzchni Σ1 = S1 × S1 istnieje struktura geometryczna modelo-wana na (E2, Isom (E2)).

3. Dla dowolnego g ­ 2 na powierzchni Σg istnieje struktura geometrycznamodelowana na (H2, Isom (H2)).

Wniosek 7.4.3. Jedynymi geometriami modelowymi w wymiarze 2 są geo-metrie: sferyczna, euklidesowa i hiperboliczna.

7.5 Geometryzacja w wymiarze 3

Definicja 7.5.1. Geometrią modelową Thurstona nazywamy 3–wymiarowągeometrię modelową X, dla której istnieje co najmniej jedna zwarta rozma-itość ze strukturą geometryczną modelowaną na X.

Twierdzenie 7.5.2. (Thurstona) Istnieje 8 geometrii modelowych Thur-

stona: S3, E3, H3, S2 × R, H2 × R, ˜SL(2,R), Nil oraz Sol.

Twierdzenie 7.5.3. (Perelmana — hipoteza geometryzacyjna) Każdazorientowana zwarta rozmaitość 3–wymiarowa może być rozcięta wdłuż pew-nej rodziny sfer i torusów w taki sposób, że na każdej części takiego rozkładumożna wprowadzić strukturę geometryczną o skończonej objętości modelo-waną na geometrii modelowej Thurstona.

37

Bibliografia

[1] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary Geometry, American Mathemati-cal Society 2007

[2] J. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 1999

[3] R. Benedetti, C. Petronio, Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer1992

[4] D. Brannan, M. Esplen, J. Gray, Geometry, Cambridge UniversityPress 1999

[5] M. Bridson, A. Haefliger, Metric Spaces of Nonpositive Curvature,Springer 1999

[6] J. McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint, CambridgeUniversity Press 2012

[7] R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo NaukoweUAM 2001

[8] G. Jennings, Modern Geometry with Applications, Springer 1997

[9] J. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Springer 1994

[10] W. Thurston, Three–dimensional Geometry and Topology, PrincetonUniversity Press 1997

38