Spis treściPOMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY..............................................................................1METODY POMIAROWE................................................................................................................................5NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA..................................................................7

Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich..................................................................................8Ocena niepewności pomiarowej typu A................................................................................................8Ocena niepewności pomiarowej typu B..............................................................................................15

Niepewność standardowa pomiarów pośrednich .....................................................................................17Niepewność rozszerzona...........................................................................................................................21Dokładność metody zerowej mostkowej - przykład.................................................................................23

WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY

Pomiar jest podstawowym źródłem informacji w fizyce. Pomiarem nazywa się

czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości badanej wielkości

fizycznej. Istotą każdego pomiaru jest porównanie wartości mierzonej z wzorcem miary

tej wielkości przyjętym za jednostkę (np. pomiar długości w m, km itp.). Wynik pomiaru

musi zatem składać się z dwóch części: wartości liczbowej, określającej ile razy

mierzona wielkość jest większa lub mniejsza od przyjętego wzorca oraz rodzaju

jednostki.

Pomiary wielkości fizycznych dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary

bezpośrednie polegają wprost na porównaniu danej wielkości z odpowiednią miarą

wzorcową, wynik pomiaru otrzymuje się bezpośrednio bez wykonywania jakichkolwiek

obliczeń.

W pomiarach pośrednich wartość badanej wielkości jest wyznaczana na podstawie

pomiarów bezpośrednich innych wielkości fizycznych, które są z nią powiązane znanym

prawem fizycznym, czyli występuje konieczność wyliczenia wartości wielkości

mierzonej y na podstawie bezpośrednich pomiarów innych wielkości x1, x2,..., xn

związanych z nią znaną zależnością funkcyjną ),....,,,( 321 nxxxxfy = .

W trakcie pomiaru nigdy nie można bezwzględnie dokładnie wyznaczyć rzeczywistej

wartości mierzonej wielkości, uzyskana wartość liczbowa zawsze różni się od

przewidywań teorii. W odniesieniu do przyczyn tej rozbieżności używa się terminu błąd

pomiaru. W tym zastosowaniu pojęcie błąd pomiaru występuje w znaczeniu

jakościowym, natomiast w znaczeniu ilościowym błąd pomiarowy oznacza różnicę

pomiędzy wynikiem pomiaru a rzeczywistą wartością. Błąd bezwzględny definiujemy

jako różnicę wyniku pomiaru x i wartości rzeczywistej xR:

Rxxx −=∆ (1)

a błąd względny jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej:

1−=∆=δRR

x xx

xx

(2)

Należy podkreślić, że pojęcie wartości rzeczywistej jest czysto teoretyczne, gdyż

praktycznie nie jest znana. Z tego względu operowanie wartością błędu jest utrudnione.

Uwzględniając przyczyny powstawania błędów występujących podczas wykonywania

pomiarów można wyróżnić następujące trzy kategorie: błędy grube, błędy

systematyczne i błędy przypadkowe.

Błędy grube powstają na skutek nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłek przy

odczytywaniu i zapisie wyników, nagłej zmiany warunków pomiaru itp. Dla błędów

grubych różnica między wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest na ogół bardzo

duża. Dla serii pomiarów wyniki obarczone błędem grubym są łatwe do wykrycia i

usunięcia. Na wykresach mierzonych lub wyznaczanych wielkości punkty pomiarowe nie

obarczone błędami grubymi układają się zgodnie z prawidłowością występująca w teorii

badanego zjawiska, natomiast wyniki obarczone tym błędem odbiegają znacznie od

pozostałych. Błędy grube eliminuje się poprzez:

•wychwytywanie ich w czasie wykonywania doświadczeń i powtarzanie odpowiednich

pomiarów (uwaga słuszna, gdy eksperymentator posiada doświadczenie w

przeprowadzaniu pomiarów),

•wychwytywanie ich w czasie opracowywania wyników, pojedyncze podejrzane

przypadki należy eliminować, w przypadku pewnej liczby błędnych danych w serii

należy poszukać przyczyn natury systematycznej.

Pomiary są obarczone błędami systematycznymi, gdy przy powtarzaniu pomiarów dla

serii pomiarowej występuje różnica między wartościami zmierzonymi a wartością

rzeczywistą podlegająca pewnej prawidłowości, natomiast rozrzut wyników

poszczególnych pomiarów jest niewielki lub w ogóle nie występuje. Błędy

systematyczne wynikają z:

•mało dokładnego ustawienia eksperymentu (np. nieuwzględnienie siły wyporu

powietrza przy dokładnym ważeniu),

•wad urządzeń pomiarowych (np. waga dźwigniowa z przesuniętym punktem

zawieszenia, czasomierz wskazówkowy ze środkiem skali nie pokrywającym się z osią

wskazówek, źle wyskalowane przyrządy),

•ze stanu zewnętrznych warunków pomiaru (zbyt wysoka temperatura w pomieszczeniu),

•niedoskonałości eksperymentatora (błąd paralaksy w trakcie odczytu wskaźników

analogowych).

Obecnie błąd systematyczny można w pewnych wypadkach traktować jako zjawisko

przypadkowe, gdyż nie znamy zazwyczaj jego wielkości i znaku. W tym ujęciu

wykonując pomiar danym przyrządem dysponujemy tylko jedną realizacją zmiennej

losowej. Losową próbkę można jednak uzyskać, jeżeli pomiary zostaną wykonane przy

użyciu zbioru przyrządów o tej samej dokładności. Postępując w ten sposób można

uzyskać doświadczalny rozkład prawdopodobieństwa dla błędu uważanego za

systematyczny. Wynikające z tego konsekwencje matematyczne zostaną przedstawione

przy omawianiu niepewności pomiaru.

Występowanie błędów przypadkowych objawia się jako rozrzut wyników pomiaru

wokół wartości rzeczywistej. Wynik każdego kolejnego pomiaru jest inny. O tym jaka

jest szansa uzyskania wyników większych lub mniejszych od x0 decyduje rodzaj rozkładu

statystycznego (np. Gaussa, prostokątny, jednostajny), któremu te wyniki podlegają.

Błędy przypadkowe wynikają z różnych przypadkowych i nie dających się uwzględnić

czynników. W fizyce klasycznej, gdzie większość zjawisk jest opisywana przez prawa

deterministyczne, przyczyną statystycznego rozrzutu wyników pomiaru mogą być:

•niedokładność i przypadkowość działania ludzkich zmysłów (eksperymentator każdy

kolejny pomiar wykona nieco inaczej),

•fluktuacji warunków pomiaru (wilgotność, temperatura, ciśnienie, zużycie elementów

biorących udział w doświadczeniu),

•nieokreślenie samej mierzonej wielkości fizycznej,

•szumy (elektromagnetyczne, termiczne) generowane w samym układzie pomiarowym

oraz zakłócenia zewnętrzne.

W ogólności przyczyny występowania błędów podczas pomiarów wynikają z:

•niedoskonałości eksperymentatora,

•niedoskonałości przyrządów pomiarowych,

•niedoskonałości metod pomiarowych,

•niedoskonałości mierzonych obiektów,

a analiza ich prowadzi do następujących wniosków:

•błędy grube należy całkowicie wyeliminować odpowiednio starannie przeprowadzając

pomiary i uważnie analizując wyniki (wynik pomiaru nie powinien być obarczony ich

wpływem),

•błędy systematyczne mogą być korygowane na etapie wyboru metody pomiarowej i

analizy wyników pomiarów, ich granice powinny być wyraźnie określone,

•błędów przypadkowych ze względu na ich losowy (przypadkowy) charakter nie można

całkowicie uniknąć ani skorygować, ale można minimalizować ich wpływ na wynik

końcowy.

METODY POMIAROWE

Metoda pomiarowa to zastosowany podczas pomiaru sposób porównania wartości

mierzonej z wzorcem miary tej wielkości. Istnieje wiele metod pomiarowych różniących

się sposobem postępowania i zastosowanymi narzędziami. Uwzględniając sposób

postępowania podczas pomiaru i rodzaj zastosowanych narzędzi pomiarowych, z czym

wiąże się zwykle osiągalna dokładność wyniku, rozróżnia się metody bezpośredniego

odczytu i metody porównawcze. Wśród metod porównawczych można wyróżnić

następujące rodzaje: metodę różnicową, metodę przez podstawienie i metody zerowe.

W metodzie bezpośredniego odczytu, zwanej też metodą odchyleniową, wartość

wielkości mierzonej zostaje określona na podstawie odchylenia wskazówki lub innego

wskazania (np. cyfrowego) narzędzia pomiarowego. Podczas pomiaru wzorzec wielkości

mierzonej nie występuje bezpośrednio, natomiast przy produkcji narzędzia pomiarowego

cały szereg wartości wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego wykonania

podziałki (wzorcowanie podziałki). Metoda ta jest najprostsza, najłatwiejsza w

zastosowaniu, daje natychmiastowe wyniki, ale przy wykorzystaniu analogowych

narzędzi pomiarowych jest stosunkowo mało dokładna. Dokładność metody znacznie

zwiększyła się z chwilą zastosowania bardzo dokładnych przyrządów cyfrowych.

Niedokładność pomiaru wykonywanego tą metodą wynika głównie z istnienia

dopuszczalnego błędu systematycznego narzędzia pomiarowego określonego jego klasą

dokładności.

Metoda różnicowa jest metodą porównawczą, w której w układzie pomiarowym

występuje wzorzec wielkości o wartości zbliżonej do wartości mierzonej (np.

jednowartościowy wzorzec nienastawialny). W tym przypadku bezpośrednio mierzy się

różnicę obu wartości, a wynik pomiaru określa się następująco: xxx W ∆+= , gdzie: xW –

wartość wzorcowa, ∆x – zmierzona bezpośrednio różnica z uwzględnieniem jej znaku.

Ponieważ wartość wzorcowa jest zwykle określona z pomijalnie małym błędem, błąd

pomiaru wartości x wynika z niedokładności bezpośredniego pomiaru różnicy ∆x.

Metoda pomiarowa przez podstawienie jest metodą porównania bezpośredniego. W

układzie pomiarowym znajduje się wzorzec wielkości mierzonej o wartościach

nastawianych w szerokich granicach. Podczas pomiaru wartość mierzoną x zastępuje się

wartością wzorcową xW dobraną w taki sposób, aby skutki (np. odchylenia wskazówki

miernika) wywoływane przez obie wartości były takie same, z czego wynika zależność:

Wxx = .

Metoda przez podstawienie jest metodą bardzo dokładną, ponieważ praktycznie eliminuje

błędy wprowadzane przez układ porównania. Po wielokrotnym powtórzeniu pomiaru i

obliczeniu wartości średniej (zminimalizowaniu błędów przypadkowych) błąd wyniku

pomiaru jest praktycznie równy błędowi dopuszczalnemu dla wzorca.

Metody pomiarowe zerowe są najdokładniejszymi metodami porównania

bezpośredniego. Porównanie wartości mierzonej z wartością wzorcową (lub z zespołem

wartości wzorcowych) odbywa się za pomocą układu pomiarowego, w którym przez

zmianę parametrów elementów składowych doprowadza się do zaniku (do zera) napięcia

lub prądu w kontrolowanej gałęzi układu. Czynność doprowadzania do zaniku napięcia

lub prądu nazywa się równoważeniem układu, a wskaźnik służący do zaobserwowania

tego stanu (np. galwanometr) nazywa się wskaźnikiem równowagi. Dokładność

zerowych metod pomiaru jest bardzo duża, zależy od dokładności wykonania

zastosowanych w układzie wzorców oraz od czułości wskaźnika równowagi.

Zastosowanie bardzo dokładnych wzorców oraz zastosowanie wskaźnika równowagi o

wysokiej czułości ogranicza błędy systematyczne metody do wartości pomijalnych

wobec błędów przypadkowych. Podczas dokładnych pomiarów wykonuje się zwykle

serię pomiarów i statystyczną analizę wyników pomiaru.

Rozróżniamy zerowe metody mostkowe oraz zerowe metody kompensacyjne. Metody

mostkowe stosuje się najczęściej do dokładnych pomiarów takich parametrów jak

rezystancja, pojemność i indukcyjność w układach z prądem stały lub przemienny.

Metody kompensacyjne służą zwykle do pomiaru napięcia lub do pośredniego pomiaru

innych wielkości przetworzonych uprzednio na napięcie. W metodzie kompensacyjnej

nieznaną wartość napięcia mierzonego U porównuje się z nastawianą dokładnie znaną

wartością wzorcową UW, wytworzoną za pomocą kompensatora. Układ pomiarowy

doprowadza się do równowagi przez zmianę wartości UW, a w chwili równowagi

zachodzi równość: WUU = . Szczególnie ważną zaletą metod kompensacyjnych jest to,

że w chwili zrównoważenia układu przez badany obiekt nie płynie prąd, zatem nie

występuje błąd systematyczny metody, wynikający ze spadku napięcia na rezystancji

wewnętrznej obiektu badanego.

NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA

Z istoty natury pomiaru wynika zatem, że nie można nigdy niezależnie od metody

pomiarowej, bezwzględnie dokładnie wyznaczyć rzeczywistej wartości wielkości

fizycznej, czyli dokonać pomiaru absolutnie dokładnego. Pomiary mogą być

wykonywane tylko ze skończoną dokładnością. Ponieważ nie jest znana nigdy

rzeczywista wartość mierzonej wielkości posługiwanie się pojęciem błędu pomiaru,

zdefiniowanym jako różnica pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą, jest

niewygodne. Podawanie tylko wyniku pomiaru jest jednak niewystarczające,

opracowanie wyników pomiaru powinno zawierać także ocenę ich wiarygodności, czyli

niepewność pomiaru. Takie podejście jest zgodne z zaleceniami Międzynarodowej

Normy Oceny Niepewności Pomiaru [1], uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w

Polsce w 1999 roku [2].

Niepewność pomiaru jest ogólnie zdefiniowana jako parametr związany z rezultatem

pomiaru, charakteryzujący rozrzut wyników, który można w uzasadniony sposób

przypisać mierzonej wartości. Pojęciem jakościowym związanym z terminem

niepewność jest dokładność. Pomiarem dokładniejszym jest pomiar o mniejszej

niepewności.

Miarą niepewności pomiarowej jest niepewność standardowa, która może być

szacowana na dwa sposoby:

•ocena typu A – wynika ze statystycznej analizy serii n równoważnych i

nieskorelowanych obserwacji wielkości x podlegającej błędowi przypadkowemu,

•ocena typu B – wynika z naukowego osądu eksperymentatora, biorącego pod uwagę

wszystkie posiadane informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności. Stosowana jest

w przypadku niemożności przeprowadzenia statystycznej analizy serii pomiarów np. dla

błędu systematycznego.

Jako symbol niepewności standardowej przyjęto oznaczenie u (od angielskiego słowa

uncertainity), które może być zapisane na trzy sposoby:

•u – niepewność standardowa dowolnej wielkości

•u(x) – niepewność standardowa wielkości x wyrażonej symbolem

•u(długość wahadła) – niepewność wielkości wyrażonej słownie.

Niepewność względna jest definiowana jako stosunek niepewności standardowej do

wielkości mierzonej:

( ) ( )xxuxur = (W.3)

Wymiar niepewności standardowej u(x) jest taki sam jak wymiar wielkości mierzonej,

natomiast niepewność względna jest wielkością bezwymiarową, co umożliwia

porównywanie za jej pomocą niepewności wielkości fizycznych posiadających różny

wymiar.

Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich

Ocena niepewności pomiarowej typu A

Ocena niepewności pomiarowej typu A dotyczy określenia niepewności dla pomiarów

obarczonych błędami przypadkowymi. Z jednego pomiaru nie można wnioskować o jego

dokładności. Dlatego konieczne jest wykonanie serii n bezpośrednich pomiarów

wielkości fizycznej x, poprzez wielokrotne, niezależne powtórzenie rozpatrywanego

pomiaru. Wyniki w serii będą różnić się losowo, oznaczmy je x1, x2, x3, ....... xn, gdzie n

jest ilością powtórzeń pomiaru w serii. Wyniki można traktować jako n realizacji

zmiennej losowej o wartości oczekiwanej xo (utożsamianej z wartością rzeczywistą) oraz

odchyleniu standardowym σ i stosować standardowe rezultaty teorii błędów. Wartość

rzeczywista jest nieznana, ale w większości przypadków dla serii pomiarów najlepszym

oszacowaniem mierzonej wartości jest średnia arytmetyczna:

∑=

=n

iix

nx

1

1(W.4)

Jest to podstawowe twierdzenie teorii pomiarów tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wynika

ono z faktu równości prawdopodobieństw zawyżenia jak i zaniżenia wielkości mierzonej.

Tym samym błędy powinny kompensować się. Przy skończonej ilości pomiarów w serii

może jednak wystąpić nierównomiernie rozłożenie wyników wokół wartości

rzeczywistej. Tym samym wartość średnia x jest jedynie bliska wielkości rzeczywistej

xR, ale jej nie równa. Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria pomiarowa.

Równość Rxx = występuje tylko dla nieskończenie dużych serii pomiarów, praktycznie

niemożliwej do wykonania.

W serii wyniki pomiarów rozkładają się wokół wartości średniej w tzw. krzywą Gaussa.

Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały o równej

szerokości ∆x i obliczyć, ile pomiarów z serii mieści się w każdym z nich (rys. 1).

Oczywiście zwiększając n można zmniejszyć szerokości poszczególnych przedziałów

rozkładu, ale nadal zostanie zachowany jego dyskretny charakter. Obwiednia dzwonowa

poprowadzona po środkach przedziałów (patrz rys. 1) jest pewnym wyidealizowaniem,

pokazuje wygląd rozkładu normalnego, gdyby był funkcją ciągłą (dla ∞=n ). Taka

postać łatwiej poddaje się analizie matematycznej i dlatego jest często stosowana, ale nie

należy zapominać, że realny rozkład normalny ma strukturę ziarnistą. Ciągły rozkład

Gaussa jest następującą funkcją matematyczną:

( )( )

2

2

2

21 σ

−−

πσ=

xx

exP (W.5)

gdzie parametr σ , zwany w statystyce odchyleniem standardowym, określa rozkład

wyników pomiarów wokół wartości średniej.

Kształt krzywej Gaussa, zwanej również krzywą dzwonową, bardzo silnie zależy od

wartości odchylenia standardowego σ . Na rys. 2 pokazano przebiegi krzywej Gaussa dla

kilku różnych wartości odchylenia standardowego. Dla małych odchyleń standardowych

krzywa jest bardzo stroma i odchylenia od wartości oczekiwanej są bardzo małe. Im

większe odchylenie standardowe tym krzywa jest bardziej płaska. Zauważmy, że na

krzywej Gaussa można wyróżnić obszary o przeciwnie skierowanej krzywiźnie. W

okolicy maksimum krzywa jest wypukła, a daleko poza maksimum wklęsła. Obszary o

przeciwnej krzywiźnie są oddzielone punktami przegięcia, odpowiadają im na osi

odciętych punkty σ−x i σ+x .

Ponieważ rozkład Gaussa opisuje zjawisko probabilistyczne można określić jedynie

prawdopodobieństwo znalezienia się dowolnego wyniku pomiaru xi (i = 1, 2, 3....n) w

określonym przedziale wartości BA xx , . I tak:

•w przedziale σ+σ− xx , mieści się 68,26% wyników z serii,

•w przedziale σ+σ− 2,2 xx mieści się 95,45% wyników z serii,

•w przedziale σ+σ− 3,3 xx mieści się 99,73% wyników z serii.

Prawdopodobieństwo, że dany wynik pomiaru z serii pomiarowej znajdzie się w

przedziale σ+σ− xx , wynosi zatem 0,683. Prawdopodobieństwo, z jakim w zadanym

przedziale znajdzie się dowolny pomiar z serii nosi nazwę poziomu ufności, a przedział

przedziału ufności.

Rys. 1. Rozkład pomiarów w serii wokół wartości średniej x jest rozkładem Gaussa.

Rys. 2. Przebieg krzywej ciągłego rozkładu normalnego w zależności od odchylenia

standardowego. Im większe jest odchylenie standardowe, tym krzywa jest szersza i

bardziej spłaszczona.

Rys. 3. Interpretacja graficzna przedziałów ufności i poziomów ufności p oraz

współzależność między nimi.

W interpretacji graficznej prawdopodobieństwu znalezienia wyniku pomiaru w

odpowiednim przedziale odpowiada pole pod krzywą Gaussa odcięte tym przedziałem

przy założeniu, że pole pod całą krzywą równa się jeden (rys. 3a, 3b).

Analiza kształtu krzywej Gaussa prowadzi do wniosku, że wybór przedziału

σ+σ− xx , jako określającego rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej jest

najbardziej optymalny, co wynika z faktu, że jest on wyznaczony przez punkty przegięcia

krzywej. Sztuczne zmniejszenie przedziału ufności do dxdx +− , (rys. 3c) prowadzi

do znacznego obniżenia poziomu ufności (o pole pod krzywą Gaussa odcięte

przedziałami dxx −σ− , , dxx +σ+ , , które jest duże, bo na tych odcinkach krzywa

Gaussa jest wypukła). Podniesienie poziomu ufności (rys. 3d) jest możliwe tylko przez

znaczne poszerzenie przedziału ufności do cxcx +− , , gdyż pola pod krzywą w

przedziałach oddalonych od średniej x dalej niż o σ wnoszą mały wkład do poziomu

ufności (krzywa Gaussa na tych obszarach jest wklęsła).

Odchylenie standardowe σ w teorii pomiarów przyjmuje się za miarę rozrzutu wyników

pomiaru i definiuje sią jako niepewność standardową pojedynczego pomiaru, którą

oblicza się przy pomocy wyrażenia:

( )( )

( )11

2

−

−==

∑=

n

xxxu

n

ii

σ(W.6)

Występujący w wyrażeniu czynnik ( )1−n można uzasadnić faktem, że ponieważ część

informacji zawartej w serii x1,x2,x3, ....... xn została wykorzystana do określenia wartości

średniej x , uśrednianie związane z odchyleniem standardowym następuje z mniejszą

liczbą punktów swobody i stąd dzielenie przez ( )1−n zamiast przez n.

Natomiast dla wartości średniej x uznawanej za wynik serii n pomiarów jako

niepewność standardową przyjmuje się odchylenie standardowe wartości średniej xσ i

wynosi ona:

( )( )

( )( )nxu

nn

xxxu

n

ii

x =−

−==

∑=

11

2

σ(W.7)

Wartość niepewności standardowej wartości średniej jest n razy mniejsza od

niepewności standardowej pojedynczego pomiaru. Wartości niepewności standardowych

( )xu lub ( )xu , choć wyznaczone przy pomocy jednoznacznych wzorów są równe

prawdziwym wartościom odchylenia standardowego i odchylenia standardowego średniej

tylko w granicy dla nieskończonej ilości pomiarów. Dla skończonej liczby pomiarów

niepewność pomiaru jest określona ze skończoną dokładnością. Przyjmuje się, że dla

wyznaczenia niepewności standardowej jako odchylenia standardowego należy wykonać

5÷10 pomiarów, co pozwala na ocenę niepewności pojedynczego pomiaru rzędu 20÷

30%. Wykonywanie zbyt dużej liczby pomiarów nie jest opłacalne, ponieważ dokładność

wyznaczenia niepewności dość powoli zwiększa się ze wzrostem n ilości pomiarów.

Reasumując wykonanie serii n pomiarów umożliwia:

•oszacowanie niepewności spowodowanych błędami przypadkowymi,

•zwiększenie dokładność niepewności.

Wykonanie niewielkiej liczby 2 lub 3 pomiarów można przyjąć jako sprawdzian

powtarzalności, za wynik pomiaru należy wówczas przyjąć średnią, a dla oceny

niepewności pomiaru stosować ocenę typu B.

Trzeba zdecydowanie silnie podkreślić, że same parametry rozkładu )σ,x( nie dają

pełnej informacji statystycznej. Taką informacją jest jedynie wykres rozkładu w postaci

dyskretnej (tzw. histogram) lub w postaci ciągłej. Punkty eksperymentalnie otrzymanego

histogramu niejednokrotnie znacznie odbiegają od teoretycznej krzywej Gaussa,

ponieważ N nie jest wystarczająco duże. W ćwiczeniu w celu ułatwienia otrzymania

docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsona umożliwiającą

przeliczenie punktów eksperymentalnych P(xi ) na punkty położone bliżej docelowej

krzywej PS(xi ) i w związku z tym ułatwiające jej znalezienie. Zależność Simpsona ma

postać:

[ ])()()(,)( 11 2250 +− +⋅+= iiiiS xPxPxPxP (1.1)

i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależność trzech sąsiednich

punktów pomiarowych. Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć

następującymi sposobami:

średnia x : na bazie wzoru (W.4); z wykresu rozkładu normalnego - jako miejsce

położenia jego maksimum;

odchylenie standardowe σ : na bazie wzoru (W.6); z wykresu rozkładu normalnego

określając położenie punktów przegięć.

Ocena niepewności pomiarowej typu B

Ocena niepewności pomiarowej typu B jest stosowana, gdy statystyczna analiza serii

pomiarów nie jest możliwa. Taka sytuacja zachodzi dla błędu systematycznego lub dla

błędu przypadkowego, gdy dostępnych jest tylko kilka rezultatów pomiaru. Co ma

miejsce, gdy ze względów eksperymentalnych nie ma możliwości powtórzenia

doświadczenia.

Ocena niepewności typu B opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora, możliwie

obiektywnym, wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego

niepewności. W tym celu może on wykorzystać między innymi:

•doświadczenie i wiedzę na temat przyrządów i obiektów mierzonych,

•informacje producenta przyrządów (np. klasę przyrządów, działkę elementarną),

•dane z poprzednich pomiarów,

•niepewności przypisane danym zaczerpniętym z literatury.

Ocena niepewności typu B polega na oszacowaniu niepewności maksymalnej,

oznaczanej symbolem ∆ (duża delta), czyli największej jaka może wystąpić w danym

pomiarze.

Najczęściej ocena typu B dotyczy określenia niepewności wynikających ze skończonej

dokładności przyrządów. Aktualnie prawie wszystkie używane przyrządy pomiarowe to

proste przyrządy mechaniczne lub elektroniczne mierniki cyfrowe. Dla prostych

przyrządów mechanicznych, do których można zaliczyć linijkę, termometr, śrubę

mikrometryczną, jako niepewność maksymalną przyjmuje się działkę elementarną

przyrządu, np. oszacowana niepewność maksymalna pomiaru temperatury przy pomocy

typowego termometru wynosi C1tΔ o= .

W elektronicznych przyrządach cyfrowych wartość odpowiadająca zmianie ostatniej

cyfry, zwana działką elementarną, określa rozdzielczość przyrządu. Niepewność

maksymalna zazwyczaj jest kilkakrotnie większa od działki elementarnej. Podawana jest

przez producenta przyrządu i najczęściej zależy od wielkości mierzonej x oraz zakresu z,

na którym dokonuje się pomiaru i wyznaczana jest z zależności: zcxcx 21 +=∆ .

Jeśli za pomocą woltomierza, dla którego podane przez producenta wartości c1 i c2

wynoszą odpowiednio: c1=0,2% i c2=0,1% zmierzono napięcie o wartości U = 98,25 V na

zakresie z = 150 V, to niepewność maksymalna tego pomiaru jest równa 0,35 V.

Na końcowy wynik oszacowania niepewności oprócz dokładności przyrządów składa się

również dokładność samego eksperymentatora. Własną niepewność odczytu, czy

niedoskonałość zmysłów, szczególnie trudno jest ocenić. Podczas pomiaru czasu przy

pomocy stopera należy uwzględnić szybkość reakcji fizjologicznej podczas jego

włączania i wyłączania, która może być rzędu 0,2 s lub mniejsza. Można ją oszacować

próbując kilkukrotnie zatrzymać stoper na określonej pozycji. Łączna niepewność

pomiaru czasu jest dwukrotnie większa, ponieważ niedokładności włączania i wyłączania

stopera sumują się. W wyniku takiej analizy może się okazać, że w celu zwiększenia

dokładności pomiaru użycie precyzyjniejszego stopera jest bezcelowe. Lepszym

rozwiązaniem będzie zastosowanie elektronicznego pomiaru czasu z użyciem

fotokomórki.

Jak wynika z określenia niepewności maksymalnej, jeśli nie występują żadne dodatkowe

informacje, wynik pomiaru powinien wystąpić z jednakowym prawdopodobieństwem w

przedziale x∆± . Dla rozkładu jednostajnego, który występuje w tym przypadku jako

odchylenie standardowe przyjmuje się połowę szerokości rozkładu podzieloną przez 3 .

Zgodnie z zaleceniami normy [1] zaleca się niepewność standardową wyrazić poprzez

niepewność maksymalną za pomocą wzoru:

( )3xxu ∆= (W.8)

Gdy występują oba typy niepewności zarówno statystyczny rozrzut wynikający z błędów

przypadkowych jak i niepewność wynikająca z dokładności przyrządów i obie są tego

samego rzędu, to żadna z nich nie może być pominięta. W tym przypadku całkowita

niepewność standardową wyraża się wzorem:

( ) ( )3

22 xxu x

∆+σ= (W.9)

Niepewność standardowa pomiarów pośrednich

Wiele wielkości fizycznych nie można wyznaczyć jako wynik pomiaru bezpośredniego.

Takie wielkości są związane z k innymi wielkościami fizycznymi x1, x2,...xk

wyznaczanymi z pomiarów bezpośrednich odpowiednią zależnością funkcyjną:

( )kxxxfy ,...,, 21= (W.10)

Po przeprowadzeniu pomiarów znane są wyniki 1x , 2x ,...., kx i niepewności

standardowe ( )1xu , ( )2xu , ...., ( )kxu mierzonych wielkości x1 , x2 ,...xk.

Jako wynik pomiaru wielkości y przyjmuje się wielkość y wyznaczoną z zależności:

( )kxxxfyy ,...,, 21=≈ (W.11)

Wartość y obarczona jest pewną skończoną niepewnością ( )yuc , na która przenoszą się

niepewności standardowe wielkości mierzonych bezpośrednio ( )1xu , ( )2xu ,.., ( )kxu .

Niepewność ( )yuc nosi nazwę niepewności złożonej (od angielskiego terminu

combined uncertainty), a sposoby jej obliczania to prawo przenoszenia niepewności lub

prawo propagacji niepewności.

W przypadku pomiarów bezpośrednich nieskorelowanych tzn. gdy każdą z wielkości x1 ,

x2 ,...xk wyznacza się niezależnie, bezwzględną niepewność złożoną ( )yuc wielkości y

szacuje się przy pomocy następującego wzoru:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

∂∂=

∂∂++

∂∂+

∂∂=

k

ii

ik

kc xu

xyxu

xyxu

xyxu

xyyu

1

222

22

2

11

.....

(W.12)

Pochodne cząstkowe ix

y∂∂

oblicza się różniczkując związek ( )kxxxfy ,...,, 21=

względem zmiennej ix traktując pozostałe zmienne jak stałe.

Prawo przenoszenia niepewności przyjmuje przejrzystą i wygodną do praktycznych

obliczeń postać, gdy zamiast niepewności złożonej bezwzględnej zostanie wyznaczona

niepewność złożona względna ( )yu rc, :

( ) ( )y

yuyu c

rc =, (W.13)

W tym celu wyrażenie (W.12) dzielimy obustronnie przez y, a następnie wyrażenia

wewnątrz nawiasów po prawej stronie równości mnożymy i dzielimy przez kx , co

prowadzi do postaci:

( ) ( )∑=

∂∂=

k

i i

ii

i

c

xxu

yx

xy

yyu

1

2

(W.14)

Niepewność złożoną względną można zatem wyrazić jako sumę geometryczną

niepewności względnych ( )

i

i

xxu

wielkości mierzonych bezpośrednio pomnożonych przez

bezwymiarowe wagi iw w postaci yx

xyw i

ii ∂

∂= , czyli

( ) ( )( )∑ ⋅==

k

iirirc xuwyu

1

2, (W.15)

Jeśli zależność funkcyjna pomiędzy wielkościami x1, x2,...xk wyrażona jest w postaci

potęgowo – iloczynowej typu:

knk

nn xxxCy ⋅⋅⋅⋅= ...2121 (W.16)

to wagi yx

xyw i

ii ∂

∂= są odpowiednio równe:

( )in

kni

nni

i

nk

ni

nni

ii n

xxxxC

xx

xxxxCyx

xyw

ki

ki

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂=

∂∂=

......

......21

21

21

21

(W.17)

czyli niepewność złożona względna wielkości y wyraża się zależnością:

(W.18)

W szczególnym przypadku jeśli wielkość y wyraża się zależnością

iloczynowo - ilorazową wielkości x1, x2,...xk, przy obliczaniu wag otrzymuje się jako

wynik jedność. W tym przypadku złożona niepewność względna jest sumą geometryczną

względnych niepewności wielkości ix :

( ) ( )( )∑=

=k

iircrc xuyu

1

2,, (W.19)

Wartości wag dla najczęściej spotykanych funkcji zebrane są w poniższej tabeli, gdzie

symbol C oznacza nie tylko stałą, ale również pozostałą cześć wzoru funkcyjnego nie

zawierającą zmiennej ix , czyli stanowiącą czynnik stały przy obliczaniu odpowiedniej

pochodnej cząstkowej.

typ zależności funkcyjnej waga yx

xyw i

ii ∂

∂=

nCxy = naxCey = ax

( )axCy ln= ( )axln/1

Otrzymane zgodnie z prawem przenoszenia niepewności wyrażenie (W.12) wiążące

niepewność złożoną ( )yuc wielkości y z niepewnościami standardowymi ( )1xu , ( )2xu ,..,

( )kxu wielkości x1, x2,...xk mierzonych bezpośrednio jest słuszne zarówno w przypadku

wyznaczenia niepewności ( )1xu , ( )2xu ,.., ( )kxu z zastosowaniem metody oceny

niepewności typu A jak i oceny typu B.

Jeżeli bezpośrednie pomiary wielkości x1, x2,...xk pozwalają jedynie na zastosowanie

metody oceny niepewności typu B, czyli wyznaczenie niepewności maksymalnych 1x∆ ,

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑==

⋅=⋅==

k

i i

ii

k

iiri

crc x

xunxuny

yuyu1

2

1

2,

2x∆ ,... kx∆ , wówczas uwzględniając jednostajny rozkład mierzonych wielkości w

przedziałach ii xx ∆± należy zgodnie z wyrażeniem (W.8) obliczyć niepewności

standardowe pomiarów bezpośrednich jako:

( )3i

ixxu ∆= (W.20)

W tym przypadku wyrażenie opisujące niepewność złożoną sprowadza się do postaci:

( ) ∑=

∆

∂∂=

∆

∂∂++

∆

∂∂+

∆

∂∂=

k

ii

ik

kc x

xyx

xyx

xyx

xyyu

1

222

22

2

11 3

1.....3

1

(W.21)

a dla zależności potęgowo – iloczynowej (W.16) niepewność złożona względna

( ) ( ) ∑=

∆⋅==k

i i

ii

crc x

xny

yuyu1

2

, 31 (W.22)

Prawidłowo przeprowadzony rachunek błędów, automatycznie odpowiada na pytania:

•które wielkości fizyczne ix należy zmierzyć z większą dokładnością dla uzyskania

zmniejszenia niepewność pomiarowej wielkości wynikowej y;

•która niepewność standardowa bezwzględna ( )ixu wnosi największy wkład do

policzonej niepewności złożonej ( )yu rc,

Otrzymane wnioski z analizy błędów są ważne i pouczające, pozwalają na ewentualne

efektywniejsze powtórzenie doświadczenia.

Niepewność rozszerzona

Niepewności standardowa ( )xu i niepewność złożona ( )yuc wyznaczają przedziały

domknięte, takie że prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej pomiaru

odpowiednio w przedziale od ( )xux − do ( )xux + lub od ( )yuy c− do ( )yuy c+ wynosi

0,683. Niepewności te są miarą dokładności pomiarów i umożliwiają porównywanie

dokładności różnych metod pomiarowych.

Aby wyciągać wnioski o zgodności wyniku pomiaru z innymi wynikami

Międzynarodowa Norma Niepewności Pomiarów [1] wprowadza pojęcie niepewności

rozszerzonej (z języka angielskiego expanded uncertainty), oznaczanej ( )xU .

Niepewność rozszerzoną wybiera się tak, aby w przedziale ± ( )xU , zwanym przedziałem

objęcia znajdowała się przeważająca większość wyników pomiaru, potrzebna do

określonych zastosowań. Wartość niepewności rozszerzonej ( )xU jest iloczynem

niepewności standardowej i bezwymiarowego współczynnika rozszerzenia k:

( ) ( )xukxU ⋅= (W.23)

Tak zdefiniowany przedział objęcia można utożsamiać z przedziałem ufności, a

prawdopodobieństwo objęcia z poziomem ufności. Przykładowe poziomy ufności dla

kilku najczęściej stosowanych współczynników k podaje poniższa tabela:

Tabela 1. Poziomy ufności dla wybranych współczynników rozszerzenia k.

współczynnik rozszerzenia k poziom ufności1 0,6831,28 0,81,65 0,92 0,9542,33 0,983 0,997

W przypadku oceny typu B dla niepewności standardowej przedział objęcia nie ma

ścisłej interpretacji statystycznej. W zgodzie z międzynarodową praktyką do obliczenia

niepewności rozszerzonej przyjmuje się wówczas domyślnie wartość k=2, wartości inne

niż 2 mogą być stosowane tylko w wyniku decyzji uprawnionego eksperta i powinny

wynikać z ustalonych i udokumentowanych wymagań [3].

Typowe zastosowania niepewności rozszerzonej to wnioskowanie o zgodności

uzyskanego wyniku z wartością dokładną: teoretyczną (określoną przy pomocy teorii) lub

tabelaryczną np. stałą przyrody, wyznaczoną w wyniku pomiarów, ale aktualnie znaną z

bardzo dużą dokładnością. Porównanie wartości zmierzonej x z wartością dokładną x0

polega na porównaniu różnicy 0xx − z niepewnością rozszerzoną ( )xU . Jeśli spełniony

jest warunek:

( )xUxx <− 0 (W.24)

to wartość zmierzoną uznajemy za zgodną z wartością dokładną.

Aby określić, czy wyniki dwóch niezależnych pomiarów tej samej wielkości x1 i x2 są

równe w granicach niepewności pomiaru, należy porównać różnicę tych wyników z

niepewnością rozszerzoną tej różnicy. Jeśli niepewności standardowe pomiarów są równe

odpowiednio ( )1xu i ( )2xu , to zgodnie z prawem przenoszenia błędów niepewność

standardowa różnicy jest równa sumie geometrycznej ( )1xu , ( )2xu :

( ) ( )( ) ( )( ) 22

2121 xuxuxxu +=− (W.25)

a niepewność rozszerzona:

( ) ( )( ) ( )( ) 22

2121 xuxukxxU +⋅=− (W.26)

Wyniki obu pomiarów można uznać za zgodne, jeżeli ( )2121 xxUxx −<− .

Dokładność metody zerowej mostkowej - przykład

Z zasada budowy i równoważenia mostka Wheatstone’a jest zgodna z rysunkiem przedstawionym poniżej, gdzie 32 lll += to całkowita długość drutu.

Ramię AC – odpowiada mierzonej rezystancji RX, zaś ramię AD – wzorcowej rezystancji zatyczkowej R4. Wielkości rezystancji R2 i R3 (odcinki drutu ślizgowego) zależą od położenia suwaka reochordu. Przy przesuwaniu jego suwaka zmieniają się wielkości rezystancji R2 i R3, a w związku z tym ich stosunek. Pomiar nieznanej rezystancji sprowadza się do znalezienia takiego położenia suwaka reochordu, przy którym przez galwanometr nie płynie prąd. Powyższa operacja nosi nazwę równoważenia mostka. W rzeczywistych układach dodatkowo instaluje się komutator służący do zamiany miejscami rezystancji włączonych w ramiona mostka bez przełączania przewodów. Stosowanie komutatora jest wskazane z tego powodu, że drut reochordu nie bywa całkowicie jednorodny wzdłuż całej długości i dlatego stosunek R2 / R3 nie jest dokładnie równy stosunkowi l2/l3. Obwód zasilany jest prądem stałym.

Zastosujemy teraz rachunek niepewności do wyznaczenia najlepszego punktu pomiaru. Mimo braku znajomości wartości mierzonych i ich niepewności będzie można wyznaczyć jak przeprowadzić ćwiczenie, by rezultaty były obarczone jak najmniejszą niepewnością. Wartość tej niepewności będzie można wyznaczyć po wykonaniu ćwiczenia.

W przypadku, gdy oporniki R2, R3 są odcinkami drutu ślizgowego (reochordu), warunek równowagi mostka ma postać:

2

24

3

24 ll

lRllRRX −

== (P.1)

gdyż: SlR 2

2 ⋅= ρ i SlR 3

3 ⋅= ρ . (P.2)

gdzie: 32 lll += – całkowita długość drutu, ρ – opór właściwy drutu, S – powierzchnia przekroju drutu.

Rozpatrzmy zależność (P.1), z której metodą pośrednią określamy wartość nieznanej rezystancji RX. Mierzymy l2 z niepewnością maksymalną 2l∆ . Wartość l oraz R4 zostały zmierzone ze znacznie większą precyzją. Załóżmy, że ich niepewności maksymalne wynoszą odpowiednio l∆ oraz 4R∆ . Wówczas niepewność złożona bezwzględna wyznaczanej rezystancji wyniesie (patrz wzór W.21):

( )2

44

22

223

1 RRRl

lRl

lRRu XXX

Xc ∆∂∂

+∆∂

∂+∆

∂∂

= (P.3)

Przy pominięciu wkładów od błędu l∆ oraz 4R∆ jako znacznie mniejsze od wkładu pochodzącego od 2l∆ powyższy wzór przyjmuje postać:

( ) 22

24 )(3

1llllRRu Xc −

∆⋅= (P.4)

a niepewność względna:

( ) ( ))(3

1

22

2, lll

llRRu

RuX

XcXrc −

∆⋅== (P.5)

Niepewność względna osiąga minimum dla takiej wartości l2, przy której mianownik powyższego wyrażenia osiąga maksimum. Łatwo zauważyć, że warunek ten ma miejsce dla 22 ll = , czyli w sytuacji, gdy 32 ll = (tzn. R2 = R3). Wówczas spełniony jest warunek RX = R4. Dla tej szczególnej sytuacji niepewność względną wyznaczanej rezystancji możemy wyrazić niepewnością względną zmierzenia długości l2:

( )2

2, 3

2llRu Xrc

∆= (P.6)

Wzór powyższy możemy stosować, gdy RX mało różni się od R4, czyli gdy l2 jest bliskie

2l

.

Poszukiwaną wartość niepewności będzie można wyznaczyć (po wykonaniu ćwiczenia) ze wzoru (P.6) gdy suwak reochordu znajduje się blisko połowy długości drutu ślizgowego (P.1).