Spontaneous motion of an alcohol droplet

by the Marangoni effect

永井　健

• (1),(2) General introduction and Background

• (3) Mode change of motion depending on the size of a dropletK. Nagai, et al., Phys. Rev. E, 71, 065301 (2005).K. Nagai, et al., Colloids Surf. B Biointerfaces, 56, 197 (2007).

• (4) Spontaneous instability of alcohol-water interface by the Marangoni effect

• (5) Mode change of motion depending on temperatureK. Nagai, et al., Prog. Theor. Phys. Suppl., 161, 286 (2006).

• (6) Irregular motion of an alcohol dropletK. Nagai, RIMS Kokyuroku Bessatsu, B3, 139 (2007).

• (7) General conclusion

散逸構造

S. Kondo, et al., Nature, 376, 765 (1995).

1 cm

非平衡開放系での運動

A. B. Verkhovsky, et al., Curr. Biol., 9, 11 (2005).

20 l

非平衡開放系

生命現象の理解のためには非平衡開放系で起こる自発的運動のさらなる理解が必要。

単純な系であるマランゴニ効果による自発的運動を用いて非平衡開放系で起こる自発的運動の普遍的な側面を見つけ出せないだろうか？

？食事などによるエネルギー注入 運動エネルギー

非平衡開放系(生命等)

マランゴニ効果表面張力

()

濃度(c)

圧力勾配水

1 cm

自発的運動のモード変化

直進運動 回転運動S. Nakata, et al., Langmuir, 13, 4454 (1997) .

2 cm

目的

非平衡開放系において、パターン形成と運動がどのようにカップルしているかを明らかにするために…

• マランゴニ効果によるアルコール液滴の自発的運動において液滴の変形と運動がどのようにカップルしているかを調べる。

• 固定されたアルコール相の自発的変形がどのように起きているかを明らかにする。

アルコール液滴の自発的運動

実験状況

水相のペンタノール濃度は 2.3 ml/100 ml water 。アルコールは界面活性剤なのでマランゴニ効果によって自発的に運動する。

液滴の運動

液滴の体積は 0.02 l 。

円形の液滴が動くメカニズム

液滴が動くと前方の濃度勾配が大きくなるため前方から強く引かれることになる。そのため液滴は静止状態が不安定である。運動方向は摂動に対して中立安定である。

静止しているとき

運動中

液滴の運動モード

0.02 l 10 l 400 l

不規則運動 直進運動 分裂

不規則 直進 分裂

10-2 10-1 1 10 102 103 104

体積 [

液滴の変形によるモード変化

境界が凸に変形していた方が境界の周りのペンタノール濃度が薄くなり、濃度勾配が大きくなるため直進運動を起こす。

濃度

水

ペンタノール

水

ペンタノール

境界が凹に変形 境界が凸に変形

境界の不安定化の原因

表面張力によって波が減衰する（ 1 波長あたりの力は2 ）

1>2 のとき界面は不安定化する

波の凹部と凸部の界面張力勾配差によって波は成長する（ 1 波長あたりの力は 1 ）

界面張力勾配

界面張力勾配

ペンタノール

水

ペンタノール

水

バルク相－空気界面で

)()( wa2 cccccD

t

c

kxeD

ccc

ecc

ccc

yxc

yk

y

D

D

sin

),(

2wa

0

wa0

wa

使用したモデル

水

ペンタノール kxy sin

x

y

境界が y=sin kx であるとして界面は ( c( x, sin kx) = c0 ) より、

摂摂摂摂摂摂摂摂摂摂摂摂

k

kcb DDDcc

2

01

wa4

kdr

dc

dr

dcb

21

凹凸 (b は定数 )

界面張力勾配

界面張力勾配

ペンタノール

水

減衰力 (2) の計算

kaL

a

2 (a は定数 )

2

2

dsin1

2

0

2

dd

2

k

k

xkxL k

x

1-2 の波数依存性

wawa

wa

0

2

0c

20

21

816

,4

cccc

DDDcc

ca

bc

a

b

Dk

kak

kcb

ca 、 cw が大きくなると kc が小さくなり、運動モードが切り替わる体積が大きくなる。

液滴の周りには n/R の波数の摂動しか立たないので、液滴の半径に応じて境界の自発的変形がどのように起こるかが変わる。

1-

k

0

kc

1-

k

0

kc

1-

0

kc k半径小 半径中 半径大

理論的予測の確認

シャーレの上にふたがあるとき（ ca→ 大）、液滴の動きは直進から不規則に変わる。

2.4 vol%

不規則 直進 分裂

10-2 10-1 1 10 102 103 104

体積 [l]

不規則 直進 分裂

2.3 vol%

10-2 10-1 1 10 102 103 104

体積

バルク相のペンタノール濃度を上げると cw が増えるため、モードの切り替わりが起こる体積が大きくなる。

wawa

0

2

0c 816 cccc ca

bc

a

b

Dk

ここまでの結論• 水面上のペンタノール液滴は自発的に運

動し、大きさに応じて運動のモードが変化する。

• このモード変化はアルコール・水・空気三重線の自発的変形が特定波数以下のものしか不安定化しないために起こる。

アルコール水界面の自発的変形

実験装置

水相は 2.35 vol% のペンタノール水溶液。

横から見た図 上から見た図

水相

ペンタノール相

14 cm

5.3 cm

5 cm

ライト

カメラ

水相ペンタノール相

三重線

小シャーレ

実験結果

振幅の時空間プロット。明るさが rを表す。この図から界面上に進行波が出ていることが確認できる。

1 cm4 倍速

0.5 1.5 20

q

0

5

10

15

20

25

30

35

40

tq

水相

ペンタノール相

パワースペクトル

ピンクの線は 10 l 、青の線は 0.1 l 、緑の線は0.05 l の液滴周囲の 1 モードに対応する。

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

振幅

[a.u

.]

波数

モデル１

三重線は内部の面積を保存しながら、 c （ペンタノール濃度）に応じた界面張力に引かれる。

三重線の運動の表現にフェーズフィールドモデルを用いる (u=1 はペンタノール相、 u=0 は水相を表す )

u=1

u=0

(c)ペンタノール相

モデル２

1.01

21

2

tanh)(

)1()(),(

d

d ),(

cc

ucuucuf

cucxDt

c

u

fucufu

t

u

x

x

=0.005, =0.005, D=0.00078, =1

液滴運動のシミュレーション

=2.1 =3

一つの波数しか持たないときの界面不安定化

=2.1

進行波

=2.1

8.0/)1(tanh)(

)1()(),(

))((

d

d ),(

21

0

2

cc

ucuucuf

cccuccDt

c

u

fucufu

t

u

x

x

=0.004,=0.001,D=0.01,=50,=0.5,c0=0.85

後半の結論• アルコール・水・空気三重線は自発的に

変形し、進行波が現れる。そこに現れる構造は特定波数以下の構造である。

• フェーズフィールドモデルを基にしたモデルで界面の変形を再現した。

全体のまとめ • アルコール・水相分離系において水上のアル

コール液滴は自発的に運動する。アルコール・水・空気三重線の自発的変形と運動がカップルし、液滴の運動モードが変化する。

• アルコール・水・空気三重線上には特定波数以下の構造しか不安定化せず、そのために、液滴の大きさに応じて運動モードが変わる。

• フェーズフィールドモデルを基にしたモデルを用いてアルコール相の運動を再現した。

展望• 今回の系を用いて液滴を集団にしたとき

の運動を調べ、生物等の自発的に変形しながら運動する系が集団になったときに起こる現象の議論につなげたい。

• 形状と運動の関係をさらに調べ、アメーバなどの運動の議論につなげていきたい。

suqccbc

cuuuuu

t

xcuuut

d )1)(5.0(1 )1)(5.0(2

HcKNcKNV

suqccbc

ttn

t

d )1()1(

0

t は境界、 Vn は境界の各点における速度の法線成分。

u=1

u=0

(c)ペンタノール相

液滴周りの対流

ccacD

ccDcca

ccDcvct

)(

温度を変えたときのモード変化

今回の研究• アルコール液滴の運動モードが温度に応

じてどのように変化するか調べ、ペンタノールの物性値の温度依存性との比較を行う。

バルク相は 2.35 ml/100 ml water のペンタノール水溶液。湯煎で水相の温度を調整しておき、ペルチェ素子で温度を固定しながら実験を行う。

結果

溶解度の温度依存性

低温で 3 ml/100 ml water～ 2.3 ml/100 ml water のペンタノール水溶液を作り、セルの温度を 20　℃から徐々に上げていく。相分離を起こしたときの濃度を溶解度とする。

81.16.1238.2solubility TT

表面張力の温度依存性ウィルヘルミー法で測定

Twa 36.02.36 Tpa 043.02.26

kc の温度依存性

温度

15 ℃ 3.81

20 ℃ 0.50

25 ℃ 0.21

)35.2(pa

wa 溶解度

0

2

0c 816 ca

bc

a

b

Dk

とすると温度が高くなると kc は小さくなる

),35.2( ,35.2 , , ,pa

wa00

pa

wawa 溶解度溶解度

ca

bc

a

baconst

D

他のモード

振動

不規則運動と直進運動が切り替わる大きさで観察される。

ゆらゆら

2.4 vol% 、 23℃ 、 900l 。温度上昇や水層の濃度を上げて不安定化しにくくすると、大きくても割れない

まとめと今後の課題

• ペンタノールの蒸発速度ととけこみの速度によって決まる波長の波だけが界面で不安定化するため、ペンタノール液滴の大きさによって運動モードが変わる。

• 間欠運動や振動運動など今回の議論では説明できない運動のでる原因を調べていきたい。

K. Nagai, et al., Phys. Rev. E, 71, 065301 (2005)

K. Nagai, et al.,Prog. Theor. Phys. Supp. 161, 286 (2006)

物性値とパラメータの関係付け

35.2 , , 0pa

wa 溶解度ca

bconst

D

の液滴の円周

の液滴の円周

l 0.11

0

2

0c

l 400100

max

10.9816

88.0142

ca

bc

a

b

Dk

a

bc

Da

bc

DDk

) (20 0131.0 ,2.240 ℃でD

ca

b

b ・・・水溶液中の界面張力に起因する力の比例係数a ・・・液滴を円形に保つ力の比例係数

k

k

ka DDDa

bc

2

21

04２０℃のときの値の比較から を求める。120 , , ,

aD

ca

b

2-1 を計算

15 ℃ 20 ℃ 25 ℃

0.1 l 7.83 0 -0.69

1 l 8.28 0.49 -0.21

10 l 8.48 0.76 0.068

100 l 8.50 0.96 0.28

400 l 8.23 1 0.35

20 ℃ 、 400 l の時に 1 になるよう規格化。

いろいろなアルコールの動き

オクタノール

純水の上 0.02 vol%

ヘキサノール

1-ブタノール

2-ブタノール

物性

物質名 密度 蒸発速度 飽和蒸気圧 hPa g/ 100g溶解度1- ブタノール 0.81 6.4 4 7.33 6.322- ブタノール 0.806 12.5 17.4 151- ペンタノール 0.815 0.26 2 1.3- 13.3 1,51- ヘキサノール 0.819 0.05 0.7 1.331- オクタノール 0.826 0.0794 0.3 0.54

温度を下げたとき（１２℃）

相図は左にずれる。

気温が下がると水に溶けるペンタノールの量が増えるため（ c0 が増える）

Appendix1

I0I1

K0 K1

I0 と K0 はディリクレ条件を円境界で課したときの　　　　　　の解。 また

02 cc)( ),( 1

)(1

)( 00 rKrI drrdK

drrdI

Appendix2

変形ベッセル関数の漸近展開から const./1ln2ln)()(ln 2

00 rOrrKrI

2

2w0

w0

/00w02

8

/

1

ln

Akccb

RDDccb

rKrIdr

d

Dccb

RDr

のとき1R

のとき1R 変形ベッセル関数の多項式展開から

rrOrKrI ln))(1()()(ln 200

DAk

Akccb

rr

ccb

D

rdr

d

Dccb

RDr

RDr

//8ln

8

ln

lnln

222

2w0

/

w0

/w02