DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGA UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES Roque Senz Pea 352 (B1876BXD) Bernal Buenos Aires Argentina

Spread spectrum 1

TEORA DE LAS TELECOMUNICACIONES

SPREAD SPECTRUM

En varios de los captulos desarrollados a lo largo de esta materia, se ha puesto de manifiesto que el diseo de un buen sistema de comunicaciones implica utilizar el mnimo ancho de banda posible como as tambin la menor potencia de transmisin posible, entre otros parmetros importantes a tener en cuenta. Esto se debe a que ambos son dos recursos escasos y por lo tanto hay que hacer un uso cuidadoso de ellos (sobre todo del ancho de banda). Sin embargo, en este captulo estudiaremos un caso en donde se sacrifica ancho de banda, es decir, se transmite con un ancho de banda mucho mayor que el mnimo necesario, a cambio de obtener otros beneficios, como por ejemplo una forma de comunicacin segura dentro de un ambiente hostil que implique posibilidades de interferir la seal transmitida por oyentes o receptores no autorizados. Esta tcnica se denomina modulacin spread spectrum y el nombre deriva del hecho de expandir el espectro original en forma intencional (la traduccin de spread spectrum sera algo as como espectro expandido).

Bsicamente, spread spectrum es una tcnica mediante la cual una seal modulada es nuevamente modulada, de manera tal de producir una seal que interfiera muy poco con otra seal que est ocupando la misma banda de frecuencia. As, por ejemplo, una seal de banda AM comercial, podra no notar la presencia de una seal spread spectrum que est operando en la misma banda. De manera recproca, una seal de spread spectrum podra no detectar la presencia de una seal AM de broadcasting. Podemos decir entonces que las seales son transparentes por el hecho de que no se interfieren una a otra.

Por lo tanto, la principal ventaja de un sistema de comunicacin spread spectrum es su capacidad para rechazar las interferencias, ya sea las de origen no intencional, como por ejemplo las de un usuario que quiere transmitir en la misma banda de frecuencia, como las de origen intencional, de quien intenta daar la transmisin.

Podemos decir que spread spectrum debe cumplir con dos caractersticas:

1. Spread spectrum es un modo de transmisin por el cual los datos de inters a transmitir ocupan un ancho de banda mayor que el mnimo necesario.

2. La expansin del espectro (spreading) se lleva a cabo antes de la transmisin a travs de un cdigo que es independiente de la secuencia de datos. Este mismo cdigo es usado en el receptor (en forma sincronizada) para comprimir1 de nuevo el espectro y as recuperar la secuencia de datos original.

Como comentario podemos agregar que, por ejemplo, un esquema de modulacin FM analgico satisface la condicin 1, pero no llegar a ser una tcnica de spread spectrum ya que no satisface la condicin 2.

La modulacin spread spectrum fue desarrollada inicialmente para uso militar, donde se buscaba obtener una satisfactoria resistencia a las interferencias (jamming). Sin embargo, este esquema tiene tambin aplicaciones comerciales, como ser en radiocomunicaciones mviles o en tcnicas de acceso mltiple.

1 Despreading en Ingls.

2 Spread spectrum

Fundamentalmente existen dos tcnicas de spread spectrum, llamadas de secuencia directa (DS abreviado en Ingls) y frecuency hopping (salto de frecuencia o FH abreviado en Ingls). Para la primera tcnica se utilizan dos etapas de modulacin. Primeramente, la secuencia de datos a transmitir se usa para modular un cdigo de banda ancha. Este cdigo transforma la secuencia de datos de banda angosta en una seal de banda ancha similar a la del ruido. Esta seal de banda ancha resultante es modulada nuevamente mediante una tcnica de modulacin de fase (PSK). Por otro lado, en la tcnica de salto de frecuencia, el espectro modulado de una secuencia de datos, es expandido cambiando la frecuencia de la portadora de una manera pseudo aleatoria. El cdigo del cual se habl para ambas tcnicas se llama secuencia pseudo aleatoria o secuencia de pseudo ruido.

Secuencias pseudo aleatorias

Una secuencia pseudo aleatoria o de pseudo ruido (pseudo noise, PN la abreviatura en Ingls), es definida como un cdigo formado por una secuencia de unos y ceros con ciertas propiedades de autocorrelacin. Esta clase de secuencias utilizada en spread spectrum, normalmente son peridicas, de tal manera que la secuencia se repite exactamente de manera peridica. Es decir, se trata de una secuencia determinstica, de una cierta longitud fija conocida, que se repite peridicamente. Una secuencia tpica usada en PN es la llamada secuencia de longitud mxima. Estas secuencias se generan utilizando registros de desplazamiento (shift registers). Un registro de desplazamiento de longitud m consiste en m flip flops activados por un clock comn. A cada pulso de clock el estado de un flip flop se desplaza al siguiente flip flop. El conjunto de registros de desplazamiento consta de una realimentacin que ingresa al primer flip flop. En un registro de desplazamiento de tipo lineal, con realimentacin, sta se obtiene usando una suma en mdulo 2 a partir de la salida de varios de los flip flops. Una secuencia de longitud mxima tiene un perodo de

12 = mN (1) donde m es la longitud del registro de desplazamiento. Se ve adems que N es siempre

impar. El esquema de esta generacin se puede ver en la Figura 1.

Figura 1. Generador de secuencia pseudo aleatoria de longitud mxima.

Ejemplo. Supongamos un registro de desplazamiento de 3 etapas con realimentacin, como se muestra en la Figura 1. Asumamos que el estado inicial del registro de desplazamiento es 100, vindolo de izquierda a derecha. Entonces, la sucesin de estados sera:

100, 110, 111, 011, 101, 010, 001, 100, ...

La secuencia de salida, es decir, la ltima posicin del estado del registro, es:

0011101

Spread spectrum 3

la cual se repite con perodo 7.

En el ejemplo, la eleccin de 100 como estado inicial, fue arbitraria. Cualquiera de los otros 6 estados posibles podra tomarse como inicial. La secuencia de salida resultante entonces podra tener cierto desplazamiento cclico respecto de la secuencia dada. Tambin debe notarse que, la secuencia 000 no podra usarse ya que nunca se saldra de ese estado.

Propiedades de las secuencias de longitud mxima

Algunas de las propiedades de las secuencias de longitud mxima son:

1. En cada perodo de una secuencia de longitud mxima el nmero de unos es siempre uno ms que el nmero de ceros. Esto se llama propiedad de balance.

2. Cada perodo de una secuencia tiene series de unos y ceros consecutivos. La mitad de esas series son de longitud 1, un cuarto son de longitud 2, un octavo de longitud 3, etc. El nmero total de series, en un perodo, es (N+1)/2.

3. La funcin de autocorrelacin de una secuencia de longitud mxima es peridica y binaria. Puede demostrarse que la funcin de autocorrelacin es:

=

=lNk

N

lNkkRc

1 1

)( (2)

donde l es un entero. Cuando N se hace infinitamente largo la secuencia de auto correlacin Rc(k) se aproxima a una secuencia binaria completamente aleatoria.

Volvamos al ejemplo visto anteriormente, donde obtenamos la secuencia

{ } K434217

0011101=

=N

nc (3)

En trminos de niveles 1 y +1 la secuencia es

{ } K4444 34444 217

,1,1,1,1,1,1,1=

++++=N

nc (4)

Vemos que hay tres ceros y cuatro unos, lo que confirma la propiedad (1).

Con N = 7 hay un total de cuatro series en un perodo de la secuencia. Leyendo de izquierda a derecha la ecuacin (3) vemos que las series son 00, 111, 0 y 1. Dos de las series (la mitad del total) son de longitud uno, y una de las series (un cuarto del total) es de longitud dos, lo que comprueba la propiedad (2).

En la Figura 2 se muestran dos perodos completos de una secuencia de longitud mxima y su funcin de autocorrelacin correspondiente, Rc(). Tc es la duracin de un smbolo binario 1 0 y N es la longitud de un perodo de la secuencia.

Nocin de spread spectrum

Uno de los atributos importantes de la modulacin spread spectrum es que puede proveer proteccin contra seales interferentes (jamming) de potencia finita. La seal de jamming puede ser ruido de banda ancha bastante potente o una seal multitono que es dirigida al receptor en forma intencional para interferir la comunicacin. La proteccin contra jamming se logra haciendo que la seal de informacin ocupe un ancho de banda mayor que el mnimo necesario. Esto hace que la seal transmitida adopte la apariencia de una seal de

4 Spread spectrum

ruido. De esa manera, se puede propagar por el canal sin que sea detectada por otros usuarios. De manera que podemos pensar que se trata de un mtodo de camuflaje.

Figura 2. (a) Forma de onda de una secuencia pseudoaleatoria. (b) Funcin de autocorrelacin de dicha secuencia.

Un mtodo para extender el ancho de banda correspondiente a la secuencia de datos de informacin consiste en usar modulacin. Concretamente, una secuencia de datos b(t) se usa para modular una secuencia PN de banda ancha, c(t), por medio de un multiplicador, como se muestra en la Figura 3. Ambas secuencias son de la forma NRZ (es decir, toman valores +1 y 1). De la teora de Fourier sabemos que la multiplicacin de estas dos seales en el dominio del tiempo, produce, en el dominio de la frecuencia, un espectro resultante de la convolucin de los espectros individuales. Por lo tanto, si la secuencia b(t) tiene un espectro angosto y la secuencia c(t) es de banda ancha, la seal producto, m(t), tendr un espectro similar al de c(t). En este contexto, la secuencia PN juega el rol de cdigo expansor (spreading code).

Con la multiplicacin de b(t) por c(t), cada bit de informacin es choppeado (dividido, partido) en pequeos elementos, comnmente llamados chips.

Para transmisin en banda base, m(t) representa la seal transmitida. Entonces podemos escribir:

)()()( tbtctm = (5)

La seal recibida, r(t), consiste en la seal transmitida m(t) ms una interferencia aditiva i(t). Por lo tanto:

)()()(

)()()(titbtc

titmtr+=

+= (6)

Para recuperar la secuencia de datos original b(t), la seal recibida r(t) es aplicada a un demodulador que consiste de un multiplicador seguido de un filtro pasabajo, como se muestra en la Figura 3(c). El multiplicador genera una rplica local de la secuencia PN generada por el transmisor y la multiplica por r(t). Adems, esa secuencia PN del receptor debe estar en

Spread spectrum 5

sincronismo con la secuencia que gener el transmisor. La seal demodulada resultante se puede escribir como:

)()()()(

)()()(2 titctbtc

trtctz

+==

(7)

Se ve en la ecuacin (7) que la seal que se desea recuperar, b(t) es multiplicada dos veces por c(t), mientras que la seal interferente i(t) es multiplicada una sola vez. Como c(t) vale 1 resulta:

ttc todo para 1)(2 = (8)

Por lo tanto, la (7) se puede simplificar as:

)()()()( titctbtz += (9)

Figura 3. Modelo idealizado de un sistema spread spectrum. (a) Transmisor. (b) Canal. (c) Receptor.

Vemos por lo tanto, que la secuencia b(t) se vuelve a reproducir a la salida el multiplicador del receptor, salvo por el efecto de la interferencia, que aparece bajo el trmino c(t)i(t). La secuencia c(t) afectar a la seal interferente i(t) de la misma manera que lo hizo con la seal original en el transmisor. Vemos entonces que la seal b(t) es de banda angosta, mientras que la seal espuria, c(t)i(t), es de banda ancha. Por lo tanto, aplicando a la salida del multiplicador un filtro pasabajo con un ancho suficiente para recuperar la seal b(t), la seal espuria c(t)i(t) adquiere un ancho de banda pequeo, removindose la mayor parte de la potencia. El efecto de la seal interferente se reduce significativamente a la salida del receptor. En la Figura 4 se esquematizan las formas de onda para el transmisor de la Figura 3.

En resumen, el uso de un spreading code (con propiedades pseudo aleatorias) en el transmisor produce una seal transmitida de banda ancha que aparece como si fuera ruido para aquel receptor que no conoce el cdigo de la secuencia de spreading. Cuando ms larga sea la secuencia PN, ms difcil ser detectar (por un desconocido) la informacin transmitida. El costo de esto es, mayor ancho de banda, mayor complejidad y retardo de procesamiento. Si el objetivo primario es la seguridad, se trata de un costo razonable.

6 Spread spectrum

Figura 4. Formas de onda del transmisor de la Figura 3.

Spread spectrum de secuencia directa (DS) en PSK

La descripcin que vimos anteriormente se la conoce como spread spectrum de secuencia directa. La discusin que se hizo estaba en el contexto de transmisin en banda base. Veremos ahora cmo se aplica este esquema en un sistema de modulacin pasa banda. Lo haremos sobre PSK. En la Figura 5 se muestran dos etapas de modulacin. La primera etapa consiste en un producto modulador o multiplicador con la secuencia de datos b(t) y la secuencia PN como entradas. La segunda etapa consiste de un modulador BPSK. La seal transmitida, x(t), es una seal spread BPSK de secuencia directa (DS/BPSK). La modulacin de fase (t) de x(t) tiene dos valores, 0 y , dependiendo de las polaridades de b(t) y de la secuencia PN c(t). El receptor consiste en dos etapas de demodulacin. La seal recibida y(t) y una rplica local de la secuencia PN se aplican al multiplicador. Esto representa la primera etapa. La segunda etapa de la demodulacin consiste en un detector coherente, cuya salida provee una estimacin de la secuencia de datos original.

Figura 5. Spread spectrum de secuencia directa. (a) Transmisor. (b) Receptor.

Spread spectrum 7

Modelo para el anlisis

En la forma normal del transmisor, mostrada en la Figura 5(a), la expansin del espectro se hace antes de la modulacin. Para facilitar el anlisis podemos intercambiar el orden de las operaciones. Segn la Figura 6, la salida del canal viene dada por:

)()()(

)()()(tjtstc

tjtxty+=

+= (10)

donde s(t) es la seal BPSK y c(t) es la secuencia PN. En el receptor, la seal y(t) primero es multiplicada por la secuencia PN c(t), produciendo una salida u(t) que se aplica al detector coherente. Entonces:

)()()(

)()()()(

)()()(2

tjtctstjtctstc

tytctu

+=+=

= (11)

En la ltima lnea de la ecuacin (11) se ha tomado en cuenta que 1)(2 =tc para todo t.

Figura 6. Modelo para un sistema DS/PSK.

La ecuacin (11) muestra que la entrada u(t) al detector coherente consiste en una seal BPSK s(t) ms una interferencia modulada por codificacin, denotada por c(t)j(t). La naturaleza modulada de esta ltima expresin hace que la seal interferente expanda su espectro, de tal manera que la deteccin de la informacin a la salida del receptor tiene mayor confiabilidad.

Veamos a continuacin algunas ecuaciones como para cuantificar este tema. La obtencin de algunas de estas frmulas o ecuaciones implica el desarrollo de otras ecuaciones que, si bien no son muy complejas (aunque tampoco demasiado sencillas) requieren bastante extensin para desarrollarlas. Por lo tanto trataremos de expresar los resultados finales y tratar de comprender su significado.

Veremos cmo vincular mediante alguna expresin, la relacin entre la seal a transmitir y la seal de jamming o seal interferente. Si llamamos j(t) a la seal de interferencia entonces podemos expresar a la potencia media de interferencia como:

= bTb

dttjT

J0

2 )(1

(12)

8 Spread spectrum

Tambin definiremos, obviando como se dijo, los desarrollos matemticos, la relacin seal a ruido a la salida del detector:

( )c

bO JT

ESNR

2= (13)

donde Eb es la energa de bit de la seal, J es la potencia media de la seal interferente y Tc es el tiempo de bit de la secuencia pseudo aleatoria PN. La potencia media, a la entrada del receptor, es Eb/Tb. De esta manera, definimos la relacin seal a ruido de entrada como:

( )JTE

SNR bbI = (14)

Eliminando Eb/J entre las ecuaciones (13) y (14) podemos expresar la SNR de salida en funcin de la SNR de entrada:

( ) ( )Ic

bO SNRT

TSNR

2= (15)

La ecuacin (15), expresada en decibeles queda:

( ) ( ) ( ) [ ]dB log103log10log10 1010 PGSNRSNR IO ++= (16) donde

c

b

TT

PG = (17)

El trmino de 3 dB de la (16) tiene en cuenta la ganancia que se obtiene en la SNR como consecuencia del uso de deteccin coherente (en donde se presume un conocimiento exacto de la fase de la seal en el receptor). Esta ganancia no tiene nada que ver con el uso de spread spectrum. En cambio, el ltimo trmino, 10log10(PG) s se debe al uso de spread spectrum. La relacin PG, definida en la (17), representa la ganancia de procesamiento. Concretamente, representa la ganancia que se obtiene al procesar una seal spread spectrum sobre una que no es spread spectrum. Ntese que la ganancia de procesamiento y la longitud de la secuencia pseudoaleatoria coinciden (ambas son Tb/Tc). Por lo tanto, cuando ms larga es la secuencia PN (o sea, ms pequeo Tc), mayor es la ganancia de procesamiento.

Podemos definir la ganancia de procesamiento de otra manera teniendo en cuenta lo siguiente. La tasa de bit de los datos transmitidos es:

b

b TR

1= (18)

y el ancho de banda de la secuencia PN es

c

c TB

1= (19)

Entonces PG quedara expresado como

b

c

RB

PG = (20)

En cuanto a la probabilidad de error de bit se puede demostrar que:

Spread spectrum 9

=

=

c

b

c

bB JT

EQ

JTE

P2

erfc21

(21)

Si recordamos que la probabilidad de error de bit para un sistema BPSK es

=

=

00

2erfc

21

NE

QNE

P bbB (22)

entonces, comparando la (21) con la (22) podemos establecer la siguiente igualdad:

22

0 cJTN = (23)

Teniendo en cuenta adems que la energa de bit es Eb = PTb, donde P es la potencia media de la seal y Tb es el tiempo de bit, podemos expresar Eb/N0 como:

=

JP

TT

NE

c

bb

0 (24)

Usando la definicin de ganancia de procesamiento podemos obtener el siguiente resultado:

0NE

PGPJ

b= (25)

La relacin J/P se llama margen de jamming. En decibeles se puede expresar como:

( ) ( )

=

010log10ntoprocesamie de gananciajamming de margen N

EbdBdB (26)

Ejemplo. Un sistema de comunicacin spread spectrum tiene los siguientes parmetros:

Tiempo de bit, Tb = 4,095 ms

Duracin del chip PN, Tc = 1s Entonces, de la (17) obtenemos PG = 4095. Por lo tanto, la longitud de la secuencia PN

tambin es 4095 y la longitud del registro de desplazamiento es m = 12.

Supongamos que para una recepcin adecuada la probabilidad de error de bit no debe superar 10-5. De la frmula de BPSK coherente hallamos que con Eb/N0 = 10 conduce a una probabilidad de error de 0,387 10-5. Por lo tanto, usando este valor de Eb/N0 y el valor calculado de la ganancia de procesamiento, vemos de la ecuacin (26) que el margen de jamming es

( )

dB

dB

1,26101,36

)10(log104095log10jamming de margen 1010

==

=

Esto es, los bits de informacin pueden ser detectados confiablemente en el detector an cuando el nivel de ruido o interferencia es 409,5 veces el nivel de potencia de la seal. Se ve aqu, entonces, la ventaja del uso del spread spectrum cuando se requiere transmitir en canales hostiles. Por supuesto, como se dijo antes, el costo es el mayor ancho de banda.

10 Spread spectrum

Spread spectrum por salto de frecuencia (frecuency hopping, FH)

En el esquema de spread spectrum discutido anteriormente, el uso de una secuencia PN para modular una seal PSK produce una expansin instantnea del espectro de transmisin. La capacidad de tal sistema para combatir el jamming viene determinada por la ganancia de procesamiento, la cual es una funcin de la longitud de la secuencia PN. La ganancia de procesamiento se puede hacer grande haciendo grande la secuencia PN, es decir usando chips de corta duracin, lo que produce ms chips por bits de datos y un ancho de banda mayor.

Una alternativa a la tcnica del prrafo anterior es forzar al jammer (interferente) a cubrir un espectro ms grande cambiando, de manera aleatoria, la frecuencia de la portadora (salto de frecuencia). Es decir, el espectro de la seal transmitida es expandido en forma secuencial en lugar de hacerlo instantneamente. El trmino secuencial se refiere al orden pseudo aleatorio de los saltos de frecuencia.

Este tipo de tcnica se llama frecuency hopping (FH) spread spectrum. El formato ms comn de modulacin para este sistema es FSK o MFSK. Normalmente se habla de FH/MFSK.

Ya que frecuency hopping no cubre el espectro expandido en forma instantnea tendremos que hablar de la rapidez a la que ocurren los saltos de frecuencia. En este contexto, podemos caracterizar dos tipos de FH:

1. Salto de frecuencia lento, en el cual la tasa de smbolo de la seal MFSK es un mltiplo entero de la tasa de salto (hop rate) Rh. Esto es, se transmiten varios smbolos en cada salto de frecuencia.

2. Salto de frecuencia rpido, en donde la tasa de salto Rh es un mltiplo entero de la tasa de smbolo Rs de la seal MFSK. Esto es, la frecuencia portadora cambia o salta varias veces durante la transmisin de un smbolo.

En la Figura 7 se muestra un transmisor FH/MFSK, el cual presenta modulacin de frecuencia seguido de mezclado. Primeramente, los datos de entrada son aplicados a un modulador MFSK. Esta seal modulada es aplicada, junto con la salida de un sintetizador de frecuencia, a un mezclador que consiste de un multiplicador seguido de un filtro. El filtro est diseado para seleccionar las componentes suma, resultantes del proceso de multiplicacin. En particular, sucesivos segmentos de K bits de una secuencia PN alimentan al sintetizador de frecuencia, el cual permite a la portadora saltar sobre 2K valores de frecuencia distintos. En un salto simple, el ancho de banda de la seal transmitida es igual al de MFSK convencional con un alfabeto de M = 2k seales ortogonales. Sin embargo, para un rango de 2K saltos de frecuencia, la seal transmitida FH/MFSK ocupa un ancho de banda mucho mayor. Normalmente, con la tecnologa actual, el ancho de banda de FH es del orden de varios GHz, y es bastante mayor que para el caso de secuencia directa. Una de las consecuencias de este gran ancho de banda FH es que la deteccin coherente es posible solamente dentro de cada salto, ya que el sintetizador de frecuencia es incapaz de mantener la coherencia de fase sobre los sucesivos saltos. En efecto, la mayora de los sistemas spread spectrum FH usan esquemas de modulacin no coherentes.

En el receptor, los saltos de frecuencia son removidos por mezclado (down converter) entre la seal recibida y la seal de un sintetizador de frecuencia local que est sincronizado de igual manera que en el transmisor. La seal de salida es filtrada y luego procesada por un detector no coherente MFSK. Este detector se implementa con un banco de M filtros adaptados no coherentes, cada uno adaptado a cada tono de la seal MFSK. A la salida de los filtros adaptados se obtiene una estimacin del smbolo transmitido.

Para un sistema FH/MFSK el chip rate o tasa de chip, se define como:

Rc = max(Rh,Rs) (27)

Spread spectrum 11

Donde Rh es la tasa de salto y Rs la tasa de smbolo.

Figura 7. Spread spectrum por salto de frecuencia. (a) Transmisor. (b) Receptor.

Un sistema FH/MFSK de salto lento se caracteriza por tener varios smbolos transmitidos por cada salto de frecuencia. Por lo tanto, cada smbolo es un chip. La tasa de bits Rb, la tasa de smbolo Rs y la tasa de salto de frecuencia Rh se relacionan de la siguiente manera:

hb

sc RkR

RR == (28)

donde k = log2M.

Ejemplo. En la Figura 8 se muestra la variacin de la frecuencia de un sistema FH/MFSK lento, con respecto al tiempo, para un perodo completo de la secuencia PN. El perodo de la secuencia PN es 24 1 = 15. La seal FH/MFSK tiene los siguientes parmetros:

Nmero de bits por smbolo MFSK, k = 2

Nmero de tonos MFSK, M = 2k = 4

12 Spread spectrum

Longitud del segmento PN por salto, K = 3

Nmero total de saltos de frecuencia, 2K = 8

En este ejemplo, la portadora es cambiada de frecuencia luego de transmitir dos smbolos, o, equivalentemente, cuatro bits de informacin. La Figura 8(a) tambin incluye la entrada de datos binarios y la secuencia PN que controla los saltos de frecuencia. Ntese que, a pesar de que hay ocho frecuencias distintas para saltar, slo tres son usadas por la secuencia PN.

Figura 8. Ilustracin de FH/MFSK de salto lento.

La Figura 8(b) muestra la variacin, en el tiempo, de la frecuencia, sin los saltos (como si fuera MFSK estndar).

Se puede demostrar que la performance de un sistema FH con jamming, en cuanto a probabilidad de error de smbolo, es igual a la de un sistema MFSK no coherente afectado por ruido blanco gaussiano aditivo.