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Taller 1

Algebra lineal y relatividad especial

Algebra Lineal

1. Sea T : R2 → R2 una transformacion lineal con matriz asociada M , en la base canonica euclidiana de R2. Si X = (x, y)T , entonces la transformacion T preserva la forma cuadratica:

P Q( X ) = X T Q X = ax2 + bxy + cy2 (1)

Donde Q =

a b/2b/2 c

, si y solo si se cumple que M T QM = Q.

a ) Si Q = I, entonces P I( X ) = x2 + y2 = | X |2, y las transformaciones preservan la norma (este es el grupoO(2)). ¿Cual es el lugar geometrico de los vectores con mismo valor de la forma? O sea, ¿cual es el

conjunto solucion a la ecuacion P I

(

X ) = C , para un C constante? Hagase un dibujito. ¿Que significa quelos elementos de O(2) preserven esto?

b) ¿Como serıa lo anterior si Q =

4 00 1

? ¿Si Q =

1 00 −1

? (En este caso el grupo de matrices que

preservan estas formas cuadraticas no son O(2)).

c ) ¿Cual es el lugar geometrico de los vectores con mismo valor de la forma cuadratica general (1)?

d ) En particular, en el subgrupo SO(2), considere la transformacion dada por la matriz:

Rθ =

sin θ − cos θcos θ sin θ

(2)

Las ecuaciones de transformacion toman la forma:

x =x sin θ − y cos θ

y =x cos θ + y sin θ

¿Como transforman los ejes coordenados (x = 0 y y = 0)? Hagase un dibujito.

2. Considere el grupo de transformaciones Λ que preservan la forma cuadratica (1) con Q = η = diag(1,−1). Enparticular, considere la transformacion:

Λφ =

cosh φ − sinh φ− sinh φ cosh φ

(3)

a ) Muestre que Λφ efectivamente preserva dicha forma cuadratica.

b) ¿Como transforman los ejes coordenados (x = 0 y y = 0)? Hagase un dibujito.

c ) Muestre que ΛφΛψ = Λφ+ψ.

En particular, el grupo de transformaciones que preservan la forma cuadratica (de n variables) con Q = η :=diag(1,−1,−1, . . . ,−1) se llama el grupo de Lorentz.

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Relatividad Especial

3. Lo malo del electromagnetismo. Muestre que la ecuacion de onda en una dimension:

∂ 2ϕ

∂x2 −

1

c2∂ 2ϕ

∂t2 = 0 (4)

No es invariante bajo la transformacion de Galileo:

x → x = x − vt

t → t = t (5)

Pero sı es invariante ba jo una transformacion de Lorentz:

ct = γ (ct − βx)

x = γ (x − βct) (6)

Donde β = v/c y γ = (1 − β 2)−1/2 es el factor de Lorentz.

4. Aberraci´ on de la luz. Los astronomos del siglo XVII y principios del siglo XVIII observaron que duranteciertas epocas del ano, habıa variaciones entre las posiciones esperadas de algunas estrellas (θ0 en la figura 1) y

la posicion observada (θ). James Bradley hizo mediciones sistematicas de esta aberracion, y descubrio que eranperiodicas en un ciclo anual. ¿Como puede explicar esto con el movimiento relativo de la Tierra y las estrellas,y la finitud de la velocidad de la luz, sin efectos relativistas (¡Bradley lo hizo en 1728!)? ¿Que suposicionesdebe hacer sobre la naturaleza de la luz? Aproxime la diferencia θ − θ0 en terminos de la velocidad relativade la tierra con respecto a la fuente de luz.

Figura 1: Aberracion de la luz

5. Intervalo espaciotemporal . En un sistema S , dos eventos ocurren en el mismo lugar, con 3 segundos deseparacion entre ellos. ¿Cual es la distancia espacial entre estos dos eventos si son vistos desde un marco dereferencia S en el cual los eventos se ven con una separacion temporal de 5 segundos? ¿Cual es la velocidadrelativa entre S y S ?

6. Transformaciones de Lorentz. Tome un boost en direccion x:

t = γ

t −

β

cx

x

= γ (x − βt)y = y

z = z

(7)

Donde β = v/c y γ = (1 − β 2)−1/2. Pruebe que la transformacion es lineal, halle su representacion matricialΛ, y halle su inversa Λ−1. Si η es la metrica de Lorentz, η = Diag(1,−1,−1,−1), muestre que:

ΛT ηΛ = η

¿Que forma cuadratica preserva la transformacion? ¿Como es un boost en y y en z ? ¿Es lo mismo hacer unboost en x y luego uno en y , que hacer uno en y y luego uno en x?

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7. Taquiones. Un taquion es una partıcula teorica que se mueve con velocidad u > c. Suponga que en un marcoS hay un emisor de taquiones. Si se le envıa un mensaje taquionico a un observador en reposo ubicado a unadistancia L del emisor (y el observador responde inmediatamente con un mensaje taqui onico), ¿cuanto tiempopasa antes de que llegue la respuesta? ¿Cuanto tiempo pasarıa si el observador se aleja con una velocidad vy esta a distancia L en el momento en que recibe el mensaje? ¡Muestre que existen casos donde la respuestallega antes que la primera senal!

8. Distancia y tiempo propio. Dos eventos A y B estan separados por un intervalo spacelike . Muestre queexiste un marco de referencia fısico (i.e. con velocidad relativa v < c) donde A y B ocurren simultaneamente.Si los eventos A, B estan separados por un intervalo timelike , muestre que existe un marco de referencia fısicodonde estos ocurren en el mismo lugar.

9. Matrices del grupo del Lorentz. Considere la siguiente transformacion de coordenadas:

t

x

=

cosh φ − sinh φ− sinh φ cosh φ

tx

(8)

¿Preserva esta transformacion el intervalo espaciotemporal ∆S 2? Grafique el eje t = 0. ¿Que significa estatransformacion? Halle la velocidad v en terminos de φ.

10. Contracci´ on de longitudes y dilataci´ on del tiempo. Partiendo de las transformaciones de Lorentz (7)

, obtenga las expresiones para la contraccion de longitud y dilatacion del tiempo:

∆t = γ ∆τ

∆L = 1

γ ∆L0

(9)

Preste particular atencion a la contraccion de longitud. ¿Como se miden las longitudes?

11. Paradoja de la vara y el establo. Un hombre corre con una vara que tiene longitud en reposo L0 = 20m.Suponga que corre con una velocidad v tal que el un observador en reposo mide que la vara que carga elcorredor tiene una longitud de L = 10 m. El corredor entra a un establo (que esta en reposo) de longitudLe = 10 m, entonces su vara cabe dentro del establo. Pero para el corredor, el establo esta contraido a unalongitud L

e = 5m. ¿Como puede caber la vara (que para el corredor tiene 20 m) dentro de un establo de 5 m?

Para solucionar esta “paradoja”, dibuje dos diagramas de espacio-tiempo uno para el observador en reposo yotro para el corredor. Marque las lıneas de mundo de ambas puertas del establo y de ambas puntas de la vara.Identifique los eventos P = “la punta delantera de la vara entra al establo” y Q = “la punta trasera entra alestablo”, y los eventos A = “la punta delantera sale del establo” y B = “la punta trasera sale del establo”.¿Como se ven estos eventos en ambos diagramas?

12. Transformaci´ on de velocidades transversas. Suponga que una partıcula se mueve en direccion y convelocidad v. ¿Que velocidad mide un observador moviendose en direccion x con velocidad u? Use las ecuacionesde transformacion (7).

13. Boost en direcci´ on arbitraria . Muestre que una transformacion de Lorentz con velocidad en direccionarbitraria v = vxi + vy j + vzk tiene la siguiente forma:

t

x

y

z

=

γ −γvx −γvy −γvz−γvx 1 + 1

v2 (γ − 1)v2x1

v2 (γ − 1)vxvy1

v2 (γ − 1)vxvz−γvy

1

v2 (γ − 1)vxvy 1 + 1

v2 (γ − 1)v2y1

v2 (γ − 1)vyvz−γvz

1

v2 (γ − 1)vxvz1

v2 (γ − 1)vyvz 1 + 1

v2 (γ − 1)v2z

txyz

(10)

Esto puede escribirse de la siguiente forma como matrices de bloque:

t

r

=

γ −γ vT

−γ v I + 1

v2 (γ − 1)V

tr

Donde V es una matriz simetrica con entradas [V]ij = vivj .

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Sugerencia: Descomponga el vector de posicion r en una componente paralela y una ortogonal a v; r = r+r⊥, ynote que las distancias en direccion perpendicular a la velocidad no cambian bajo transformaciones de Lorentz(i.e r⊥ = r⊥), mientras que las distancias paralelas a la velocidad transforman segun la ecuacion 6.

14. Ondas planas en relatividad especial . Una solucion a la ecuacion de onda

ϕ :=

1

c2∂ 2ϕ

∂t2 − ∇2

ϕ = 0 (11)

Es una onda plana:ϕ(x) = ϕ0eiΦ, (12)

donde la fase Φ = ωt − k · x, y hemos definido x = (ct, x). Defina el 4-vector de onda k = (ω/c, k).

a ) Muestre que Φ = kµxµ, y que k es un vector nulo.

b) Sea Λx,v un boost en direccion x, con velocidad v. Muestre que la ecuacion de onda (11) es invariante bajotransformaciones x → x = Λx,vx. Muestre que Φ tambien es invariante bajo este tipo de transformacion.

c ) Segun el punto anterior, si un observador O observa una onda plana (12), y otro observador O se muevecon velocidad −v en direccion x con respecto a O, ¿que tipo de fenomeno fısico observa? ¿Cuales son suspropiedades?

d ) Repita los dos puntos anteriores, pero para una transformacion de Lorentz arbitraria Λ. (Sugerencia:recuerde que las transformaciones de Lorentz satisfacen que ΛT ηΛ = η).

15. Lıneas de mundo en el espacio de Minkowski. Considere la siguiente curva en el espacio de Minkowski:

x(ξ ) =

x(ξ )t(ξ )

≡

ξ 0

(Pienselo igual que una curva parametrizada en R2, donde las coordenadas x = x(ξ ) y t = t(ξ ) estanparametrizadas por un parametro ξ ∈ R.) Halle el vector tangente V a la curva. ¿Cual es su norma? (Recuerdeque esta en el espacio de Minkowski) ¿Que representa esta lınea de mundo?

Considere un boost en direccion x con velocidad −v. Halle la lınea de mundo en las nuevas coordenadas.¿Que representa esta lınea de mundo? ¿Cual es su vector tangente? ¿Cual es la norma del vector tangente?

Ahora considere la lınea de mundo:

x(ξ ) =

ξ

uξ

(13)

Para algun |u| < 1. ¿Que representa esta lınea de mundo? Halle el vector tangente, y normalıcelo de sernecesario. ¿Como se ve la lınea de mundo despues de un boost en x con velocidad −v? Con esto, pruebe laformula de adicion de velocidades (otra vez).

16. Aceleraci´ on. Considere una lınea de mundo parametrizada por su tiempo propio x = x(τ ). Defina la cua-

drivelocidad como:

U = dx

dτ (14)

Ademas, muestre que U es el vector base e0 (temporal) del marco de referencia comovil con la partıcula quesigue la linea de mundo. Pruebe que

a ) Muestre que |U |2 = ηµν U µU ν = 1. Con esto, muestre que en el marco de referencia comovil con unapartıcula que sigue la lınea de mundo, se cumple que U es el vector base e0 (el vector base en direcciondel tiempo).

b) Muestre que U · dU/dτ = 0 (¡Ojo! ¿Que es ese producto punto?). Con esto, concluya que en el marco dereferencia comovil, dU/dτ = (0, a1, a2, a3) para algunos ai (que pueden ser, en general, no constantes).

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c ) Sea a = dU/dτ . Suponga que una partıcula se mueve solo en direccion +x, y que en el marco de referenciacomovil, |a| = −a2 es constante. En otro marco de referencia inercial, ¿que es |a|? Escriba las expresionespara |a|2, U · a y |U|2 en este marco. Usando estas ecuaciones, pruebe que:

ax = aU 0

a0 = aU x (15)

d ) Considerando que a = dU/dτ , pruebe que:

U 0(τ ) = A cosh(aτ ) + B sinh(aτ )

U x(τ ) = C cosh(aτ ) + D sinh(aτ )(16)

Para algunas A,B, C, D constantes indeterminadas. Si en τ = 0, la partıcula parte del reposo desde elorigen, ¿cual es la trayectoria que sigue?

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