01/11/2017

1

TEMA 2PROGRESSIONS

Sèries numèriques:

Intenta endevinar quins serien els dos termes següents: Sèrie 1: 1, 4, 9, 16, 25,........

36, 49 an =n2

Sèrie 2: 3, 5,10,12,24,...... 26,52

(+2, · 2 alternadament)

01/11/2017

2

Sèrie 3: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 ......

13, 21

És la coneguda sèrie de Fibonacci.

Partint dels dos primers, ja fixats, per

calcular un terme es sumen els dos

anteriors: (definició per “recurrència”)

Espiral àuria

Progressions aritmètiques

Una progressió aritmètica és una sèrie numèricaque es construeix sumant una quantitat fixa,anomenada diferència, al terme anterior.

Altres exemples:

2,4,6,8,10,........ P. A. d = 2

15,17.5,20, 22.5,........ P. A. d = 2.5

1,-2, -5 , - 8, ......... P. A. d = -3

01/11/2017

3

A) Terme general (P.A)

P. A a1, a2, a3, a4, ....., an amb diferència d

a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d =a1 + 3d

.....

an = a1 + (n - 1)· d

01/11/2017

4

14

19

24

29

34

Exercicis de terme general

01/11/2017

5

Troba el terme general an i a10 de laprogressió aritmètica:

13, 5, - 3, -11, -19,.......

a1 = 13 d = - 8

an = a1 + (n - 1)d = 13 + (n - 1)(- 8)

an = 13 – 8n + 8 = - 8n + 21

a 10 = - 8 · 10 + 21 = - 80 + 21 = -59

En una progressió aritmètica el terme a6

és -32 i la diferència és -6. Troba’n elterme general

a6 = a1 + 5d

-32 = a1 – 30 a1 = -32 +30 = -2

an = a1 + (n - 1)d = -2 + (n - 1)(- 6)

an = - 2 – 6n + 6 = - 6n + 4

01/11/2017

6

En una P.A. a4 és 6 i a16 és -6. Troba’n

el terme general.

a4 = a1 + 3d = 6

a16 = a1 + 15d = - 6

Resolem el sistema anterior:

a1 = 9 d = - 1

Per tant:

an = a1 + (n - 1)d = 9 + (n - 1)(- 1)

an = 9 – n + 1 = - n + 10

B)Suma de n termes (P. A.)

Exemple : 1, 2, 3,......... P.A. a1 = 1 d = 1

Sumeu els primers 100 termes (S100)

Gauss, 10 anys (1787): S = 50 ·101 = 5050

01/11/2017

7

En general, la suma dels n primers termes d'unaprogressió aritmètica

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

i es pot escriure també

Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a1

sumant ordenadament les dues expressions:

Sn + Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an + a1)

a2 + an-1= a1 + d + an – d = a1 + an

a3 + an-2 = a1 + 2d + an - 2d = a1+ an etc. etc.

Finalment: Sn + Sn = = n (a1 + an)

i per tant: 2Sn = n (a1 + an) ; Sn = 𝒏·(𝒂𝟏+𝒂𝒏)

𝟐

Donada la progressió geomètrica de

terme general an = - 1 + 5n troba la

suma dels 20 primers termes:

a1 = -1 + 5 = 4

a20 = - 1 + 5 · 20 = -1 + 100 = 99

𝑆20 =20 · (4 + 99)

2= 1030

01/11/2017

8

Calcular la suma dels múltiples de7 compresos entre 52 i 822

Localitzem el primer i últim múltiplea1 = 56 an = 819

Trobem el nombre de termes que cal sumar:819 = 56 + (n – 1)· 7819 = 56 + 7n - 7 - 7n = 56 – 7 – 819

- 7n = - 770 n = 110

𝑆110 =110 · (56 + 819)

2= 48125

Calcular la suma dels termes d’una P.A.

de diferència 6 si sabem que el primer

terme és 9 i l’últim és 123.

Hem de trobar el nombre de termes que cal sumar:

123 = 9 + (n - 1)· 6 123 = 9 + 6n – 6

-6n = 9 – 6 – 123 -6n = - 120 n = 20

𝑆20 =20 · (9 + 123)

2= 1320

01/11/2017

9

Progressions geomètriques

Una progressió geomètrica és una sèrienumèrica que es construeix multiplicant unaquantitat fixa, r, anomenada raó, al termeanterior.

Exemples:

2,4,8,16,........ P. G. r = 2

5,-15, 45, -135,........ P. G. r = - 3

2, 2/3, 2/9 , 2/27, ......... P. G. r = 1/3

Si r < 0, la progressió és oscil·lant (ni creixent, ni decreixent)

2, -6, 18, -54,........ (r = -3)

Si r >1 la progressió és creixent

2, 6,18, 54, ...... (r = 3)

Si r = 1 la progressió és constant

2, 2, 2, 2, 2 (r = 1)

Si 0<r<1 la progressió és decreixent

2, 1, ½, ¼, 1/8 ,.... (r = ½)

01/11/2017

10

A) Terme general (P.G.)

P. G a1, a2, a3, a4, ....., an amb raó r

a1

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = a1 · r3

.....

an = a1 · rn-1

Troba el terme general de la P.G.:

-7,-14, -28, -56,....... I troba a15

Obtenim la raó dividint dos termesconsecutius: r = 2

Terme general: an = - 7 · 2n-1

a15 = - 7 · 214 = -7 · 16384 = - 114688

01/11/2017

11

En una P.G. creixent el segon terme és216 i el quart és 279936. Troba el termegeneral.

Trobem la raó: a4 = a2 ·r2

Per tant r2 = 279936: 216 = 1296Calculem l’arrel quadrada: r = 36Només és valida r = 36 (P.G. creixent)

Trobem a1: a2 = a1 · r 216 = a1 · 36 a1 = 6

Trobem el terme general: an = 6 · 6n-1 = 6n

B) Suma de n termes (P.G.)

La suma dels n primers termes d'una PG és:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

si multipliquem per la raó r la igualtat anterior

r · Sn = r · a1 + r · a2 + r · a3 + ... + r · an = a2 + a3 + a4 + ... + an+ r · an

Restant ordenadament les dues expressions:

r · Sn - Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + r · an

- a1 - a2 - a3 – a4 - .........- an = r · an - a1

Així: r · Sn - Sn = r · an - a1 ; Sn (r - 1) = r · an - a1 ;

𝑆𝑛 =𝑟·𝑎𝑛−𝑎1

𝑟−1= 𝑎1

𝑟𝑛−1

𝑟−1

01/11/2017

12

Troba la suma dels 10 primers termes

de la P.G.: -3, -12, - 48, - 192,...........

És una P.G. amb a1 = - 3 i r = 4

Sn =𝑟·𝑎𝑛−𝑎1

𝑟−1= 𝑎1

𝑟𝑛−1

𝑟−1

Amb la segona fórmula:

𝑆10 = −3 ·410−1

4−1= −3 ·

1048575

3

S10 = - 104875

En una P.G creixent el terme 5è és 64 i elterme 6è és 128. Troba la suma dels 8primer termes.

Trobem la raó dividint els dos termesconeguts que són consecutius :

r = 128:64 = 2

Trobem el primer terme a partir del terme5è: 64 = a1 · 24 a1 = 64:16 = 4

Sn =𝑟·𝑎𝑛−𝑎1

𝑟−1= 𝑎1

𝑟𝑛−1

𝑟−1

Amb la segona fórmula sumem:

𝑆8 = 𝑎128−1

2−1= 4 ·

255

1= 1020