stabilnost konstrukcija 1 18 - grf.bg.ac.rs · m. Đurić: “stabilnost i dinamika...

Matrična analiza konstrukcija 3. Stabilnost konstrukcija 1

STABILNOST KONSTRUKCIJA

Uvodno predavanjeMarija Nefovska-Danilović


Literatura M. Sekulović: “ Teorija linijskih nosača “

GK, Beograd, 2005. M. Đurić: “Stabilnost i dinamika

konstrukcija”, Građevinski fakultet, Beograd, 1977.

S. Ranković, B. Ćorić: “Stabilnost konstrukcija – Zbirka rešenih zadataka”, Građevinski fakultet, Beograd, 1983.


Stabilnost konstrukcija je sposobnostkonstrukcije da pri zadatom opterećenjuočuva svoj prvobitan položaj i formuravnoteže usled dodatnih, malihporemećaja.

Pojam stabilnosti


Stabilno stanje je stanje pri kome se pri malom poremećaju javljaju mala odstupanja od ravnotežnog položaja, tako da se pri prestanku poremećaja konstrukcija vraća u prvobitno stanje.

Nestabilno stanje je stanje pri kome ne dolazi do vraćanja u prvobitno stanje, već konstrukcija zauzima nov položaj.

Neutralno (indiferentno) stanje je stanje pri kome dolazi do prelaska iz stabilnog u nestabilno stanje, tj. do gubitka stabilnosti.

Kritično opterećenje je opterećenje pri kome dolazi do gubitka stabilnosti.

Pojam stabilnosti


A-stabilno stanjeB- indiferentno stanjeC- nestabilno stanje

Matrična analiza konstrukcija3. Stabilnost konstrukcija 6

Linearna stabilnost Zasniva se na pretpostavci o međusobnoj

nezavisnosti aksijalnih i poprečnihdeformacija štapa

3. Stabilnost konstrukcija 7

Tačka u kojoj konstrukcija gubi stabilnost se naziva kritična tačka (critical point). Postoje 2 vrste kritične tačke: granična tačka (limit point) tačka bifurkacije (bifurcation point)

Gubitak stabilnosti konstrukcije


Granična tačka(limit point) je tačka u kojoj je iscrpljena sposobnost sistema da primi dodatno opterećenje, tako da prirast deformacije dovodi do pada kapaciteta opterećenja.


Tačka bifurkacije je tačka u kojoj se pored jednog ravnotežnog položaja javlja i drugi ravnotežni položaj.

Fenomen koji se pritome javlja naziva se izvijanje.


bifurkacija

limit (granica elastične stabilnosti)

I

II

Horizontalno pomeranje

Horiz

onta

lno

opte

reće

nje

H

H=P

H=P

P P

Primarna ravnotežna grana

Sekundarna ravnotežna grana (post-kritično ponašanje)

Post-kritični kolaps


Kritično opterećenje je opterećenje pri kome se javljaju dva moguća ravnotežna položaja.

Postupak određivanja kritične tačke tj. kritičnog opterećenja nije jednostavan. Kritična tačka se globalno može definisati kao tačka posle koje matrica krutosti sistema prestaje da bude pozitivno definitna.


U tački bifurkacije matrica krutosti sistema postaje singularna.

Za inženjersku praksu je od najvećeg interesa određivanje kritičnog opterećenja, tj. opterećenja pri kome dolazi do gubitka stabilnosti konstrukcije.


Praktično imamo 2 problema: Određivanje kritične tačke (tačka bifurkacije) Određivanje ponašanja konstrukcije posle

kritičnog položaja Samo mali broj konstrukcija se ponaša tako

da se javlja idealna bifurkacija (imperfekcija u geomeriji, materijalu i opterećenju smanjuje mogućnost pojave bifurkacije)


U okviru analize stabilnosti konstrukcija bavićemo se samo problemom određivanja kritičnog opterećenja, tj. tačke bifurkacije.

Problem post-kritičnog ponašanja konstrukcije je daleko složeniji, zahteva primenu nelinearne analize i nije predmet proučavanja.


Kriterijumi za stabilnost nosača

Statički kriterijum stabilnosti Dinamički kriterijum stabilnosti


Statički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje je najmanjeopterećenje konstrukcije pri kome poredprvobitnog (osnovnog) ravnotežnogpoložaja postoji bar još jedan ravnotežnipoložaj.


Dinamički kriterijum stabilnosti

Kritično opterećenje konstrukcije jenajmanje opterećenje pri kome maliporemećaji izazivaju kretanje konstrukcijekoje nije ograničeno na neposrednuokolinu prvobitnog ravnotežnog položaja.


Određivanje kritičnog opterećenja Statički kriterijum:

Kritično opterećenje se dobija iz uslova ravnoteže susedne konfiguracije ili iz minimuma potencijalneenergije sistema

Dinamički kriterijum:Kritično opterećenje se dobija iz diferencijalne jednačine kretanja slobodnih vibracija


Statički kriterijum stabilnosti Konstrukciji se zadaje nova

(pretpostavljena tj. očekivana) formadeformacije, pa se određuje opterećenjekoje je u stanju da održi sistem u novompoložaju ravnoteže.

Dve metode: - direktna - energetska


a) Direktna metoda

Uslovi ravnoteže se postavljaju na novom (pretpostavljenom) ravnotežnom položaju.Na taj način se dobijaju:

- diferencijalne jednačine ravnoteže za kontinualne sisteme,

- algebarske jednačine ravnoteže za diskretnesisteme.


Direktna metoda. Primer: sistem sa jednim stepenom slobode


Uslov ravnoteže na (novoj) deformisanoj konfiguraciji:

gde je:k - krutost opruge

Za mali ugao je sin cos:

0cossin0 aFPlM opA

sinkaFop

0)(0 22 kaPlkaPl


Trivijalno rešenje (prvobitna konfiguracja):

Netrivijalno rešenje (nova ravnotežna konfiguracija):

0

lkaPkaPl kr

22 0


Grafički prikaz: sila – pomeranje


b)Energetske metodeStabilan, labilan, indiferentan položaj ravnoteže

Stabilan položaj

Nestabilan položaj

Indiferentan položaj

>0<0

2 0


2

2

2

- stabilan položaj0, 0 , 0

nestabilan položaj0, 0 , 0

indiferentan položaj0, 0 0

min

max


Ukupna potencijala energija u novoj(pretpostavljenoj) ravnotežnoj konfiguracijisistema jednaka je:

( )

s s

s s

A A RA deformacioni rad

potencijalna energija unutrasnjih silaR potencijalna energija spoljašnjih sila

negativnom radu spoljašnjih sila


Posle izvođenja sistema u blisko susednostanje, izjednačava se rad spoljašnjih silasa prirastom potencijalne energijesistema, odnosno sa negativnim radomunutrašnjih sila


Kritična sila se dobija iz stava o stacionarnostipotencijalne energije

0gde je

1 ( ) - varijacija energije deformacije2

- varijacija rada spoljašnjih sila

s

s

s i iis

A R

A N M dx

R p vdx P


Primer: sistem sa jednim stepenom slobode


s s

0R A

Princip o minimumu potencijalne energije:

s

2 2op

2 2

R P Pl(1 cos )1 1A F a sin ka sin2 2

1Pl(1 cos ) ka sin2


2

2

0

Pl sin ka sin cos 0sin ( Pl ka cos ) 0

a) trivijalno rešenjesin 0 0

netrivijalno rešenje

2

2 2

b )Pl ka cos 0

ka kaP cos za 1 : cos 1 Pl l


Domaći zadatak


Za sisteme sa više nepoznatihOčekivana deformacija u novoj ravnotežnoj konfiguraciji se prikazuje preko konačnog broja parametara pomeranja v1, v2, ..., vn. Unoseći pretpostavljenu konfiguraciju u izraz za dobija se zavisnost sile P i parametara pomeranja:

),,,( 21 nvvvPP


Iz uslova minimuma za silu P:

dobija se oblik nove ravnotežne konfiguracije i odgovarajuće kritično opterećenje

),,2,1(0 nivPi

1 2( , , ..., )kr kr krkr nP P v v v


Matrična formulacija elastične stabilosti linijskih nosača

U okviru ovog predmeta bavićemo se matričnom formulacijom elastične stabilosti linijskih nosača.

Matrična formulacija se zasniva na geometrijski nelinearnoj analizi štapa, odnosno na teoriji drugog reda.

Formulišu se matrice krutosti štapa K po linearizovanoj teoriji drugog reda, kao i matrica krutosti sistema (nosača)

Formiraju se jednačine sistema iz kojih se može odrediti kritično opterećenje, ili uticaji po teoriji II reda

stabilnost konstrukcija 1 18 - grf.bg.ac.rs · m. Đurić: “stabilnost i dinamika...

Documents