stage de pré rentrée 2011 rappels mathématiques et physiques
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Stage de Pré Rentrée 2011
Rappels mathématiques et physiques
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Sommaire
1) Dérivées2) Intégrales3) Fonction exponentielle4) Fonction logarithme5) Les fonctions sinusoïdales6) Equations Différentielles
7) Géométrie dans l’espace
8) Les ultiples et sous multiples/unités9) Conversions
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1) DérivéesElles sont notées f’ en maths. Traduisant , elles permettent d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à des courbes… Elles se calculent normalement de la façon suivante:
Pour tout x et x0 qui appartiennent à l’ensemble de définition,
dx
df
0
00
)()()(' lim
0xx
xfxfxf
xx
Plus x se rapproche de x0 , plus la précision sur le coefficient directeur de la droite est important.
Source: Wikipedia
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Dérivées usuelles de fonctions:
0axx 2²
1 nn nxx
²
11
xx
xx
2
1
)sin()cos( xx )cos()sin( xx
'' vuvu
'.'.. vuvuvu
²
'1
u
u
u
u
uu
2
'
1'.. uuu
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2) Intégrales
L’intégration permet de calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction f ; une intégrale s’écrit de la forme suivante:
Source: Wikipedia
dxxfIx
)(Avec I =[a,b]
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Propriétés des intégrales:
0)( dxxfa
a
dxxfdxxfa
b
b
a )()(
dxxfdxxfdxxfc
a
c
b
b
a )()()( Relation de Chasles
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a )()()()( Linéarité
dxxgdxxfalorsxgxfbaxSib
a
b
a )()()()(],,[ Monotonie
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3) Fonction Exponentielle
• Caractéristiques fondamentales :
• Points remarquables :
• Propriétés : • Limites :
• Exponentielle de base b :
f(x)=ex
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4) Fonction Logarithme• Caractéristiques fondamentales : définie sur ,
• Valeurs remarquables :
• Propriétés: Limites :
• Logarithme de base b :
ln (a*b) = ln(a) + ln(b)
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5) Les fonctions sinusoïdales
cos(x) = cos(-x) → paire
sin(x) = -sin(-x) → impaire
Périodicité
Parité
cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π ) = sin(x)
cos( - x) = sin(x)sin( - x) = cos(x)Complémentarité
Relation fondamentale
sin(π - y)
cos(x)
cos(-x)
sin(y)
sin(x)
cos(x)cos(π-x)
sin(-x)
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
→ traduit le déphasage de du sinus et du cosinus.sin(π –x) = sin(x) cos(π –x) = -cos(x)
cos(π +x) = -cos(x) sin(π +x) = -sin(x)
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Sinus et cosinus : valeurs remarquablesx
sin(x)
cos(x)
cos
sin
2/32/22/1
2/1
2/2
2/3
001
/210
2/
0
/3
1/2
3/4/
6/
2/3/4
2/2
2/2
/61/2
2/3
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6) Equations différentielles• Résolution de y’ = a*y y (x) = k* où k est une constante réelle.Pour trouver k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à-dire pour x
= 0.y (0) = k* = k donc y (x) = y (0) *
• Résolution de y’ = a*y + b y (x) = k* - où k est une constante réellePour trouver la constante k, on prend les conditions à l’origine, c’est-
à dire pour x = 0.
y (0) = k* - = k - ↔ k = y (0) +
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7) Géométrie dans l’espacea) Produit scalaire
•
• Si deux vecteurs et sont orthogonaux,
• Si deux vecteurs et sont colinéaires, , et . Ainsi, .
– linéarité et distributivité :– commutativité :
• Principe de la projection orthogonale :
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b) Produit vectoriel
•Le produit vectoriel est un vecteur tel que
est orthogonal à et donc
• Attention ! Le produit vectoriel n’est pas commutatif:
• Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors = .
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• Sens du produit vectoriel :
On se place dans un repère orthonormal direct. Ici, l’angle orienté est positif donc est dans le même sens que par rapport à et .
Inversement, si l’angle orienté est négatif, le produit vectorielest orienté dans le sens opposé à par rapport à et .
→ cf règle du « tire-bouchon ».
+
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8) Les multiples et sous-multiples
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo K 103
Mili m 10-3
Micro μ 10-6
Nano n 10-9
Pico p 10-12
Fento f 10-15
atto a 10-18
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9)Conversions
m3 dm3 cm3 mm3
1000 L1 kL
1 L 10-3 L1 mL
10-6 L1 μL
a) Les unités de volume:
• Convertir une surface de 134 mm2 en unité du SI:→ 134 mm2 = 134 (10-3m)2 = 134. (10-3)2m2 = 134.10-6 m2 =
1,34. 10-4 m2
• Convertir une vitesse angulaire de 5 tours/minute en rad.s-1 (2π rad = 1 tour = 360 degrés):
→
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b) Les unités « inverses »:
ATTENTION: Ne vous trompez pas de sens lors de la conversion d’unités « inversées ».
Ex: 1 mol.L-1 = 1 mol.dm-3 = 103 mol.m-3 = 10-3 mol.cm-3.(et non pas 10-3 mol.m-3 … ce n’est pas une dillution!).
c) La dillution:
Pour éviter la confusion avec la conversion des unités inversées, pensez en « volume initial → volume final ».
Ex 1: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L -1 dans 900 mL d’eau pure: Cf = = 0,1 mol.L-1.
Ex 2: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L -1 dans 1 L d’eau pure: Cf = = 0,09 mol.L-1.9,01,0
1,0.1.
VfVi
ViCi
11,0
1,0.1.
VfVi
ViCi