stat ti 03

STATISTIK TERAPAN

DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi Frekuensi

PENDAHULUAN

ata kasar umumnya diperoleh langsung dari hasil pengukuran dan observasi. Data demikian dapat juga diperoleh dari hasil pengumpulan data sekunder yang sudah ada. Seringkali data yang terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar sehingga akan mengalami kesulitan

untuk mengenali cirri-cirinya. Oleh sebab itu data tersebut perlu penataan atau pengorganisasian dengan cara meringkastersebut ke dalam bentuk kelompok data. Pengelompokan data dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas yang disebut frekuensi kelas.

SASARAN

Setelah mempelajari Angka indeks ini anda diharapkan dapat :

Mendefinisikan pengertian Distribusi Frekuensi Mengetahui cara pembuatan Distribusi Frekuensi Menyajikan Grafik Frekuensi Membuat Distribusi Kumulatif dan Kurva Ogive Membuat Distribusi Frekuensi Relatif

3.1 DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi Frekuensi adalah penglompokan data ke dalam beberapa kategori (kelas-kelas) yang menunjukkan banyaknya pengamatan dalam setiap kelas yang tidak saling tumpang tindih

Distribusi frekuensi di sebut juga table frekuensi karena biasanya distrbusi frekuensi digambarkan dalam table disamping dapat pula digambarkan dengan grafik.

Data yang telah dikelaompokkan dalam didtribsi frekuensi mempunyai kelebihan dan kekurangan. Kelebihannya adalah kita mempunyai gambaran menyeluruh secara jelas mengenai data yang kita miliki namun kekurangannya adalah rincin data atau informasi awal menjadi hilang sehingga data berkelompok menjadi semu atau tidak nyata .

Statistika Terapan Hal: 21

3

D

STATISTIK TERAPAN

Sebagai contoh table berikut merupakan distribusi frekuensi dari data tinggi badan (dalam cm) 150 orang Mahasiwa jurusan Akuntansi

TABEL 3.1

Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 150 Mahasiswa Jurusan Akuntansi

Tinggi Badan(dalam cm)

Frekuensi

151 – 153154 –156157 – 159160 – 162163 – 165166 – 168169 – 171172 – 174

410182741251718

Tabel diatas terdiri dari 2 kolom, kolom pertama menunjukkan kelas dari 151-153 sampai dengan 172-174 dengan jumlah sebanyak 8 kelas. Dimana lambing 151-153 disebut selang kelas (interval kelas) sedangkan kolom kedua disebut frekuensi sehingga table diatas disebut daftar distribusi frekuensi dan datanya disebut data berkelompok (group data).

Terdapat beberapa istilah dalam distribusi frekuensi. Nilai terkecil dan terbesar dari setiap kelas disebut tepi kelas atau limit kelas atau ujung kelas. Pada kelas interval 151-153, nilai 151 disebut ujung bawah kelas interval atau disingkat ujung bawah , sedangkan nilai 153 disebut ujung atas. Pada table diatas diukur dalam sentimeter terdekat, artinya tidak selamanya tepat. Misalnya ukuran 151-153 tersebut mencakup pengukuran dari 150,500 cm sampai dengan 153,500 cm. Nilai 150,5 dan 153,5 disebut batas kelas dari interval kelas 151-153. Nilai 150,5 disebut batas bawah , sedangkan nilai 153,5 disebut batas atas.Nilai tengah antara batas bawah dan batas atas disebut nilai tengah kelas atau sering juga disebut tanda kelas.

Nilai Tengah Kelas/ Tanda Kelas =

Batas bawah kelas + batas atas kelas2

Sebagai contoh tanda kelas untuk kelas interval 151 - 153 adalah ½ (150,5 + 153,5) = 152

Selisih antara batas atas dan batas bawah disebut panjang kelas interval atau lebar kelas, sebagai contoh untuk kelas interval 151-153 dengan batas kelas adalah 153,5-150,5 = 152

3.2 PEMBUATAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Secara Umum langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat Tabel disitribusi frekuensi adalah sebagai berikut :


STATISTIK TERAPAN

3.2.1 Menentukan range atatu jangkauan dengan mengurangakan antara nilai terbesar dengan nilai terkecil dari data mentah yang tersedia.

r = nilai maksimum – nilai minimum

3.2.2 Menentukan banyaknya kelas interval dengan mengguakan rumus empiris Sturgess yaitu:

k = 1 + 3,322 log n

Biasanya banyaknya kelas diambil antara 5 sampai dengan 20 kelas tergantung banyaknya data. Terlalu sedikit atau terlalu banyak jumlah kelas maka gambaran data secara menyeluruh tidak dapat digambarkan dengan baik.

3.2.3 Menentukan panjang kelas interval dengan cara membagi antara range dengan jumlah kelas interval yng telah diperolah

Panjang kelas Interval (c) =Range / jangkauan

Jumlah kelas interval=

rk

Namun demikian, hasil perhitungan dengan menggunakan rumus ini seringkali tidak praktis. Misalnya terdapat interval kelas sebesar 7,5 sehingga menghasilkan batas bawah dan batas atas dengan angka yang tidak bulat dan yang sulit diingat.

Besarnya interval kelas untuk tiap-tiap kelas dalam distribusi sebaiknya diusahakan agar semua sama, serta dalam bilangan-bilangan yang praktis.

Umunya bilangan yang praktis adalah bilangan yang mudah digunakan dalam perhitungan atau sebagai pedoman untuk menentukan batas kelas . Bilangan 5, 10, 15, 20 dan seterusna umumnya merupakan bilangan praktis.

3.2.4 Menentukan limit bawah kelas (ujung kelas bawah ) dan ujung atas untuk masing-masing kelas interval.

Untuk kelas pertama tentukan nilai limit bawahnya dengan mengambil nilai yang terendah dari data mentah atau nilai yang praktis yang lebih kecil dari data terendah dan kemudian menambah dengan nilai panjang kelas interval untuk batas bawah kelasnya.

Penentuan batas kelas sebaiknya diusahakan sedemikian rupa agar tidak ada satu angka pun dari data asal yang idak dapat dimasukkan ke dalam kelas tertentu (exhaustive), dan tidak terdapat keragua-raguan dalam memasukkan angka – angka ke dalam kelas-kelas yang sesuai.

Berdasarkan hal tersebut diatas, maka terdapat 3 hal penting yang harus diperhatikan oleh pengolah data :

Penentuan jarak untuk menentukan jumlah kelas dan besarnya interval kelas sebaiknys dilakukan atas dasar perbedaan angka terendah yang


k = jumlah kelas intervaln = jumlah data mentah

STATISTIK TERAPAN

telah mengalami pembulatan ke bawah dan angka tertinggiyang telah mengalami pembulatan keatas seperlunya.

Pengulangan penggunaan abates kelas atas untuk kelas bawah dari kelas berikutnya sebaiknya dihindari.

Batas kelas sebaiknya dinyatakan dalam bilangan bulat . Jika tidak memungkinkan maka penggunaan jumlah desimal harus sesuai dengan kebutuhan.

Contoh 3.1

Jika diketahui dari pengukuran diameter 100 gelas ukur yang di produksi adalah sebagai berikut :

Data Diameter 100 Gelas Ukur

73,8 73.9 72.3 74.0 73.6 74.1 73.5 73.1 72.6 73.7

73,0 73.7 73.6 73.5 72.4 73.3 74.2 73.6 73.9 73.5

74.5 73.6 74.2 74.0 73.2 73.8 72.5 73.3 73.4 73.2

73,3 73.0 73.2 73.2 73.9 73.4 73.8 73.9 72.7 73.5

73.5 73.2 73.5 73.7 73.2 73.2 73.6 74.1 73.6 74.4

73.2 73.7 73.1 74.4 73.5 73.5 72.9 73.4 73.2 74.0

73.4 74.0 73.8 72.8 73.7 74.0 73.5 74.1 72.6 73.8

73.6 73.8 74.2 74.3 73.6 73.9 73.6 74.0 72.8 73.4

74.0 73.7 74.0 73.0 73.6 73.9 72.9 73.8 73.7 73.5

72.9 73.8 72.9 74.1 73.8 72.9 73.8 73.7 73.4 73.9

Untuk mempermudah membuat distribusi frekuensi, sebaiknya data mentah diatas diurutkan lebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya . Data yang telah diurutkan disebut jajaran data (data Array). Data terkecil sampai dengan data terbesar dari data mentah adalah sebagai berikut :

Data Array Pengukuran diameter 100 Gelas Ukur

72.3 72.9 73.2 73.4 73.5 73.6 73.7 73.8 73.9 74.1

72.4 72.9 73.2 73.4 73.5 73.6 73.7 73.8 74.0 74.1

72.5 72.9 73.2 73.4 73.5 73.6 73.7 73.8 74.0 74.1

72.6 73.0 73.2 73.4 73.5 73.6 73.7 73.8 74.0 74.2

72.6 73.0 73.2 73.4 73.5 73.6 73.8 73.9 74.0 74.2

72.7 73.0 73.2 73.4 73.5 73.6 73.8 73.9 74.0 74.2

72.8 73.1 73.2 73.5 73.6 73.7 73.8 73.9 74.0 74.3

72.8 73.1 73.3 73.5 73.6 73.7 73.8 73.9 74.0 74.4

72.9 73.2 73.3 73.5 73.6 73.7 73.8 73.9 74.0 74.4

72.9 73.2 73.3 73.5 73.6 73.7 73.8 73.9 74.1 74.5

Dari jajaran data tersebut diperoleh jangkauan atau range data yaitu :


STATISTIK TERAPAN

r = nilai maksimum – nilai minimum = 74,5 – 72,3 = 2,2

Banyaknya kelas menurut aturan Sturgess :k = 1 + 3,322 log 100 = 7,6 dibulatkan menjadi 8

Panjang kelas interval (p) = atau mendekati 0.3

Hasil ini merupakan ancar-ancar panjang kelas interval. Hendaknya panajng kelas interval diambil dari sekitar bilangan ini jadi tidak perlu tepat benar. Pembulatan untuk panjang kelas interval harus disesuaikan dengan datanya. Jika data tercatat hingga satu desimal maka panjang kelaspun harus teliti hingga satu desimal.Tentukan ujung bawah kelas interval pertama dengan mengambil data terkecil atau suatu bilangan yang “baik” yang lebih kecil dari data terkecil.

Tabel 3.2DIAMETER GELAS UKUR

(dalam mm)

D I a m e t e r Banyaknya

72,3 ― 72,5 372,6 ― 72,8 672,9 ― 73,1 1073,2 ― 73,4 1873,5 ― 73,7 2773,8 ― 74,0 2574,1 ― 74,3 874,4 ― 74,6 3

Jumlah 100

Hal lain yang perlu diperhatikan lagi adalah ujung-ujung kelas interval. Ujung-ujung kelas interval ini tidak boleh berimpitan karena hal ini akan menimbulkan ketidak jelasan. Perhatikan kelas-kelas interval dibawah ini .

5 ― 1010 ― 1515 ― 20 ………… dst

Pembagian kelas interval tersebut tidak jelas selama simbol 5 ― 10 diartikan semua data yang besarnya mulai dari 5 sampai dengan 10, maka dalam pembagian tersebut data yang besarnya 10 dimasukkan ke dalam kelas interval yang mana? demikian juga untuk nilai 15. pengelompokan data semacam ini jangan dilakukan karena kurang jelas. Jika data tercatat hingga satuan , maka perbedaan antara ujung bawah dan ujung atas kelas interval sebelumnya adalah satu.

5 ― 910 ― 14

Dan sebaiknya data tersebut ditulis dalam bentuk disamping ini. Apabila data tercatat hingga satu desimal , maka perbedaan tersebut adalah 0,1. Jika data tercatat hingga dua desimal maka


Contohnya apabila data terkecil 7,58 maka ujung bawah kelas interval pertama lebih baik 7,50 atau 7,55. Pengambilan bilangan yang lebih kecil ini bedanya dengan data terkecil harus lebih kecil dari pada panjang kelas interval. Tentukan kelas interval selanjutnya dengan menambahkan panjang kelas interval (dalam hal ini 0,3). Dengan demikian siaplah kita membuat daftar seperti daftar I diatas. Apabila ujung bawah interval diambil data yang terkecil yaitu 72,3 maka hasilnya nampak seperti daftar disamping.

STATISTIK TERAPAN

15 ― 20 ………… dst

perbedaan tersebut sebesar 0,01 dan untuk tiga desimal 0,001 dan seterusnya.Kelas-kelas interval tersebut merupakan kelas interval sama dan tertutup namun tidak menutup kemungkinan jika data yang tersedia tidak mencukupi dan batas- batas data ekstrim

tidak diketahui atau tidak perlu diperhatikan kelas-kelas interval tersebut dapat diubah menjadi kelas interval terbuka.

Andaikan dalam suatu penelitian kita hanya tertarik pada banyak perempuan berumur mulai 15 sampai dengan 30 tahun, jika dalam penelitian tersebut tercatat pula perempuan yang kurang dari 15 dan lebih dari 30 tahun, maka daftar distribusi dapat terlihat pada tabel berikut:

Tabel 3.3BANYAK PEREMPUAN

DI SUATU DAERAH(menurut umur)

Tabel 3.4BANYAK PEREMPUAN

DI SUATU DAERAH(menurut umur)

Umur(dalam tahun)

FrekuensiUmur

(dalam tahun)Frekuensi

Kurang dari 15

16 sampai 20

21 sampai 25

26 sampai 29

30 dan lebih

3.657

5.513

7.256

4.805

6.139

Kurang dari 15

15 sampai 30

30 dan lebih

3.657

17.574

6.139

JUMLAH 27.370 JUMLAH 27.370

3.2.5 Notasi

Untuk keperluan perhitungan-perhitungan , nilai data suatu sampel biasanya diguna-kan simbol-simbol misalnya x1, x2, x3, dan seterusnya. Jadi jika terdapat sampel : 7; 5½; 13; 17; dan 9½, maka dengan simbol tersebut dapat ditulis : x1 = 7; x2 = 5½; x3 = 13; x4 =17; dan x5 = 9½. Makin banyak data maka makin besar indeksnya untuk x , namun untuk data yang sama tidak diberikan simbul x yang baru. Banyaknya data yang terdapat dinamakan frekuensi dan dinyatakan dengan notasi f yang diikuti dengan indeks untuk data. Jika ditulis fi maka ini berarti data yang besarnya xi terdapat sebanyak fi

kali .

Untuk sebuah sampel dengan data : 8; 8; 4½ ; 3; 8; 4½ ; 5; dan 3 misalnya , kita dapat menuliskan pasangan fi dan xi seperti berikut :

xi fi Jika data telah disusun dalam dalam daftar distribusi


STATISTIK TERAPAN

frekuensi,8

4½35

3221

simbol xi dipakai untuk menyatakan tanda kelas dari pada interval kela ke-I ; sedangkan fi , merupakan frekuensi yang terdapat dalam kelas interval dengan tanda kelas xi

Dengan menggunakan simbol ini , maka Tabel 3.2 dapat dibuat sebagai berikut :

Tabel 3.5DIAMETER GELAS UKUR

(dalam mm)Diameter xi fi

72,3 ― 72,5 72,4 3

72,6 ― 72,8 72,7 6

72,9 ― 73,1 73,0 10

73,2 ― 73,4 73,3 18

73,5 ― 73,7 73,6 27

73,8 ― 74,0 73,9 25

74,1 ― 74,3 74,2 8

74,4 ― 74,6 74,5 3JUMLAH 100

3.3 DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF

Daftar distribusi frekeuensi tidak hanya dinyatakan dalam frekuensi sebenarnya atau mutlak namun sering juga dinyatakan dalam persen atau yang disebut Daftar distrubusi frekuensi ralatifBila dafta X akan dijadikan daftar distribusi relatif maka akan didapat sebagai berikut :

Untuk kelas interval ke-1 sebesar : = 15,4 % dan seterusnya

sehingga di dapat daftar sebagai berikut :

Tabel 3.6BANYAK KECELAKAAN TIAP MINGGU PER JAM

PEKERJADI SUATU PERUSAHAAN

(selama tahun 1980)Kecelakaan X1 fi rel

1,5 – 1,92,0 – 2,42,5 – 2,9

1.72.22.7

15,430,826,9


jumlah fi = 100 %, tetapi kadang kadang tidak tepat 100 % namun harus tetap ditulis 100 % karena adanya pembulatan.

Selain data tersebut dikenal juga daftar frekuensi Kumulatif. Dalam hal ini data dalam frekuensi mutlak atau relatif dijumlahkan selangkah demi selangkah. Mengingat ada dua cara menjumlahkannya , maka juga akan ada dua macam daftar distribusi frekuensi kumulatif yaitu Daftar distribusi frekuensi kurang dari (Less than distribution) dan Daftar distribusi frekuensi atau lebih (or more distribution). Sebagai contoh dapat dilihat dibawah ini.

STATISTIK TERAPAN

3,0 – 3,43,5 – 3,9

3.74.95

11,515,4

JUMLAH 100

Tabel 3.7DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF “KURANG

DARI”UKURAN TABUNG (dalam mm)

Tabel 3.8DISTRIBUSI FREKUENSI

KUMULATIF “ATAU LEBIH”UKURAN TABUNG (dalam mm)

KecelakaanBanyak Minggu

KecelakaanBanyak Minggu

Kurang dari 72,3

Kurang dari 72,6

Kurang dari 72,9

Kurang dari 73,2

Kurang dari 73,5

Kurang dari 73,8

Kurang dari 74,1

Kurang dari 74,4

Kurang dari 74,7

0

2

7

17

30

57

80

96

100

72,3 atau lebih

72,6 atau lebih

72,9 atau lebih

73,2 atau lebih

73,5 atau lebih

73,8 atau lebih

74,1 atau lebih

74,4 atau lebih

74,7 atau lebih

100

98

93

83

70

43

20

4

0

Perlu diperhatikan bahwa dalam daftar kumulatif tidak terdapat baris jumlah.

3.4 PENYAJIAN GRAFIK FREKUENSI

Penyajian data statistik dengan grafik frekuensi yang sederhana umumnya lebih menarik perhatian . Dalam metode statistik , grafik frekuensi yng sering digunakan adala : histogram, Poligon frekuensi (Frecuency poligon) dan kurva frekuensi yang diratakan ( smoothed frecuency curve).

1. Histogram frekuensi

Histogram seringkali disebut sebagai grafik frekuensi yang bertangga, salah satu fungsinya adalah mengambarkan beda antar kelas-kelas dalam sebuah distribusi . Pembuatan histogram akan lebih mudah apabila distribusi frekuensi memliki interval kelas yang sama untuk setiap kelas . Oleh kare-nanya histogram merupakan serangkaian empat persegi panjang yang mmiliki alas sepanjang interval antara kedua tepi kelas dan memiliki luas sebanding dengan frekuensi yang terdapat dalam kelas-kelas yang bersangkutan . Untuk memberi tanda setiap kelas dapat dengan cara mencantumkan tepi kelas atau nilai tengah sepanjang sumbu x (sumbu horizontal)


STATISTIK TERAPAN

Dalam penggambaran data dengan histogram terdapat dua hal yang perlu duperhatikan yaitu :

Histogram tidak dapt digunakan untuk penggambaran distribusi frekuensi yang memiliki interval kelas terbuka (open – class-interval)

Jika distribusi frekuensi disusun dengan menggunakan interval kelas yang berbeda maka penggambaran histogram harus dilakukan penyesuaian.

2. Poligon frekuensi (frequency poligon )

Distribusi frekuensi dapat digambarkan dalam bentuk poligon frekuensi. Cara penggambaran poligon frekuensi umunya dilakukan dengan cara menentukan titik tengah untuk tiap persegi panjang , kemudian menghu-bungkannya dengan garis terputus-putus. .Histogram dan Poligon frekuensi dari distribusi frekuensi data Diameter 100 Tabung dapat terlihat seperti gambar berikut :

Gambar 3.1 Histogram dan Poligon Frekuensi

3. Kurva frekuensi yang diratakn (smoothed frequency curve)

Salah satu tujuan perataan grafik frekuensi adalah ntuk menghilangkan bentuk yang tidak beraturan yang sifatnya kbetulan. Iasana perataan (penghalusan) ni dilakukan trhadap distribusi frekuensi sample, tujuannya adalah memproyeksikan cirri-ciri populasi secara umum

3.5 KURVA OGIVE

Jika distribusi kumulatif digambarkan dalam bentuk poligon, maka poligon tersebut dapat djuga disebut kurva OGIVE. Caranya adalah dengan


73,25

Fre

kue

nsi

74,4574,1573,5572,25 72,65 72,95 73,85

5

15

10

0

20

25

74,75

74,2

72,4

72,7

73,04

73,3

73,673,9

74,5

STATISTIK TERAPAN

menghubungan titik ordinat dari tepi kelas , dimulai dari titik nol yang terdapt pada tepi kelas bawah dari interval kelas pertama.

Ogive dari data ukuran tabung sebagaimana terlihat pada Distribusi frekuensi kurang dari Tabel 3.7 dan Distribusi frekuensi atau lebih Tabel 3.8 dapat digambarkan seperti terlihat dibawah ini.Kurva Ogive Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Gambar 3.2 Kurva Ogif Distribusi frekuensi kurang dari


Fre

kue

nsi

20

60

40

0

80

100

96

27

17

30

57

80

100

73,25 74,4574,1573,5572,25 72,65 72,95 73,85 74,75

Fre

kue

nsi

20

60

40

0

80

100

20

10096

93

83

70

43

4

73,25 74,4574,1573,5572,25 72,65 72,95 73,85 74,75

STATISTIK TERAPAN

Gambar 3.3 Kurva Ogif Distribusi frekuensi atau lebihRANGKUMAN

Distribusi Frekuensi adalah penglompokan data ke dalam beberapa kategori (kelas-kelas) yang menunjukkan banyaknya pengamatan dalam setiap kelas yang tidak saling tumpang tindih. Distribusi frekuensi dapat dibuat dengan terlebih dahulu menentukan range, banyaknya kelas dan interval kelas. Distribusi frekuensi dapat dibentuk terbuka maupun tertutup disamping dapat pula disusun secara kumulatif baik kurang dari maupun atau lebih, dimana kurva yang dihasilkan dari distribusi tersebut dinamakan kurva Ogive.

LATIHAN

1. Jelaskan istilah-istilah kaitanyya dengan penyajian data berikut ini :a. batas, ujung dan panjang kelas interval.b. Nilai tengah atau tanda kelas intervalc. frekuensi, frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif,d. Histogram, poligon dan Ogive

2. Dari uji 40 mobil yang menggunakan Cell bateray (Accu) merk “Yuwistamia brand” data usia penggunaan cell bateray (Accu) tersebut ternyata bervariasi. Sebenarnya produsen cell bateray (Accu) tersebut telah menjamin bahwa cell bateray (Accu) tersebut dalam kondisi normal dapat bertahan selama 3 tahun . Dengan tigkat ketelitian sepersepuluh tahun hasil pencatatan waktu penggunaan cell bateray (Accu) tersebut adalah sebagai berikut :

Tabel 3.9USIA PEMAKAIAN CELL

BATERAY ACCU “YUWISTAMIA BRAND”

40 MOBIL

Usia Accu frekuensi


a. Berapa persen accu mobil yang berumur kurang dari 2,95 tahun?

b. Berapa persen accu mobil yang berummur dari 2,0 sampai 3,9 tahun

c. Berapa persen aki mobil yang umurnya lebih dari 3,4 tahun?

d. Gambarkan grafik daftar distribusi relatif dari data tersebut.

STATISTIK TERAPAN

1,5 – 1,9

2,0 – 2,4

2,5 – 2,9

3,0 – 3,4

3,5 – 3,9

4,0 – 4,4

4,5 – 4,9

2

1

4

15

10

5

3

JUMLAH 40


stat ti 03

Documents