statica constructiilor-structuri static determinate-indrumator pentru lucrari

Click here to load reader

Post on 27-Dec-2015

117 views

Category:

Documents

12 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Nicolae CHIRA Roxana BLC Alexandru CTRIG

    Aliz MTH Cristian CIPLEA Cristian MOJOLIC

    Ioana MUREAN Cristian CUCEU Radu HULEA

    Daniela PETRIC

    STATICA CONSTRUCIILOR

    STRUCTURI STATIC DETERMINATE - ndrumtor pentru lucrri -

    U.T. PRESS

    Cluj-Napoca, 2014

    ISBN 978-973-662-975-4

  • 2

    Editura U.T.PRESS

    Str.Observatorului nr. 34

    C.P.42, O.P. 2, 400775 Cluj-Napoca

    Tel.:0264-401.999 / Fax: 0264 - 430.408

    e-mail: [email protected]

    www.utcluj.ro/editura

    Director: Prof.dr.ing. Daniela Manea

    Consilier editorial: Ing. Clin D. Cmpean

    Copyright 2014 Editura U.T.PRESS

    ISBN 978-973-662-964-8 Bun de tipar: 25.05.2014

  • 3

    CUPRINS

    Capitolul 1: Grinzi drepte 4

    1.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 4

    1.2. Probleme rezolvate 7

    1.3. Probleme propuse 20

    Capitolul 2: Grinzi cu console i articulaii (grinzi Gerber) 28

    2.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 28

    2.2. Exemplu de calcul 30

    2.3. Probleme propuse 33

    Capitolul 3: Cadre static determinate 43

    3.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 43

    3.2. Exemple de calcul 45

    3.3. Probleme propuse 54

    Capitolul 4: Arce static determinate 62

    4.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 62

    4.2. Exemplu numeric 65

    4.3. Probleme propuse 69

    Capitolul 5: Structuri articulate plane 74

    5.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 74

    5.2. Exemple de calcul 76

    5.3. Probleme propuse 80

    Capitolul 6: Calculul eforturilor cu ajutorul Principiului Lucrului Mecanic Virtual 84

    6.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 84

    6.2. Exemplu de calcul 85

    6.3. Probleme propuse 89

    Capitolul 7: Linii de influen 93

    7.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare 93

    7.2. Exemple de calcul 94

    7.3. Probleme propuse 111

    Capitolul 8: Deplasri punctuale 122

    8.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de calcul 122

    8.2. Exemple de calcul 125

    8.3. Probleme propuse 128

    Capitolul 9: Rspunsuri probleme propuse 133

  • 4

    Capitolul 1: Grinzi drepte

    1.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare. Grinzile drepte static determinate sunt structuri solicitate predominant la ncovoiere. n funcie de modul de dispunere a celor trei legturi simple (necesare asigurrii invariabilitii geometrice i fixrii de teren), se disting:

    o grinzi ncastrate la un capt (console), o grinzi cu un reazem fix i unul mobil, dispuse la capete sau nu (grinzi simplu

    rezemate cu/fr console).

    Reaciunile care se dezvolt n dispozitivele de fixare fa de teren se determin scriind trei ecuaii de echilibru astfel:

    - 2 ecuaii de echilibru (sum de moment nul) fa de reazemele cu terenul, - o ecuaie de sum de proiecii de fore dup o direcie din plan (orizontal, axa barei, sau alt

    direcie convenabil) Verificarea valorilor calculate ale reaciunilor se realizeaz scriind o ecuaie de sum de proiecii de fore egal cu zero dup orice alt direcie din plan.

    n cazul consolelor nu este obligatorie determinarea prealabil a reaciunilor, ntruct aceste grinzi au un capat liber pornind de la care se pot determina toate eforturile.

    Eforturile se evideniaz prin secionarea barei n punctul respectiv. La trasarea diagramelor de eforturi se ine seama de conveniile de semn.

    Cele trei eforturi care apar n urma solicitrii n orice seciune a unei grinzi drepte sunt:

    Efortul axial (N) - se dezvolt pe direcia axei barei, - este pozitiv cnd este de ntindere (iese din seciune),

    n diagrama de efort axial se inregistreaz salt n dreptul forelor concentrate care au component pe direcia axei barei. Forele uniform distribuite pe bar produc o variaie liniar a efortului axial, dac au proiecie dup axa barei.

    Marcarea semnului pe diagrama de efort axial este esenial n definirea variaiei acestui efort.

    Fora tietoare (T) - apare normal pe direcia axei barei; - este pozitiv cnd produce o rotire a feelor seciunii n sens orar;

    n diagrama de for tietoare se nregistreaz salt n dreptul forelor concentrate care au component perpendicular pe direcia axei barei i n sensul acestora. Marcarea semnului pe diagrama de for tietoare este esenial n definirea variaiei acestui efort. Pe barele (intervalele) nencrcate cu fore, fora tietoare este constant. Forele uniform distribuite pe bar dau, dac au component pe direcia perpendicular pe axa barei, o variaie liniar pe distana pe care sunt repartizate.

    Momentul ncovoietor (M) - este pozitiv cnd ntinde fibra dinspre un observator care parcurge bara de

    la stnga la dreapta (fibra de jos, n cazul grinzilor);

  • 5

    Diagrama de moment ncovoietor se traseaz pe fibra ntins i nu necesit semn. n dreptul forelor concentrate se nregistreaz vrfuri (schimbri de pant), n sensul de aciune al acestora.

    n dreptul momentelor concentrate se nregistreaz salturi n sensul acestora (n funcie de fibra ntins). Forele uniform distribuite produc o variaie parabolic a momentului ncovoietor. Existena punctelor de extrem este marcat prin anularea forei tietoare. n acest punct, tangenta la diagrama de moment ncovoietor este paralel cu axa barei.

    Cunoaterea comportrii grinzilor drepte este esenial, ntruct orice structur solicitat predominant la ncovoiere (exceptnd cele care au n componen bare curbe) se poate descompune n grinzi drepte.

    Rezolvarea grinzilor nclinate (calculul reaciunilor, trasarea diagramelor de eforturi) se poate face prin:

    a) Determinarea reaciunilor n sistemul de referin xOy (orizontal, vertical). Eforturile de tip fore (N i T), acionnd pe direcia axei barei i perpendicular pe ea, se determin prin proiecii ale forelor (inclusiv reaciuni) pe aceste direcii. Diagrama de moment ncovoietor se traseaz pe intervale, innd cont de tipul ncrcrii i de fibra ntins, dup determinarea prealabil a momentelor ncovoietoare n seciunile caracteristice.

    b) Determinarea reaciunilor n sistemul de referin xOy (pe direcia axei barei i perpendicular pe ea). ncrcrile direct aplicate pe bar se proiecteaz pe aceleai direcii. Starea de solicitare a barei este astfel foarte vizibil:

    - ncrcrile normale pe axa barei definesc comportarea barei la ncovoiere (trasarea diagramelor T i M)

    - ncrcrile de pe direcia axei barei definesc variaia efortului axial (diagrama N).

    Articulaia dezvolt o reaciune de direcie i mrime necunoscute care se poate proiecta dup oricare dou direcii din plan, n timp ce n cazul reazemului simplu direcia reaciunii este bine definit de suprafaa de rezemare (perpendicular pe aceasta).

    n funcie de orientarea reazemului simplu, se opteaz pentru un sistem de referin sau altul. n cazul n care se dorete evidenierea strii de solicitare din bar prin proiectarea ncrcrilor dup direcia axei barei i perpendicular pe aceasta, principalele situaii care pot s apar, n funcie de distribuia i orientarea ncrcrii sunt:

    ncrcarea vertical distribuit uniform pe orizontal simuleaza aciunea zpezii (Fig. 1.1): Se observ c fora vertical q distribuit uniform pe proiecia pe orizontal a lungimii barei nclinate

    este echivalent cu o for qcos, tot vertical, distribuit uniform pe lungimea barei.

    Aceast ncrcare are proiecii pe direcia axei barei (qcossin) i perpendicular pe aceasta (qcos2). Cele dou ncrcri definesc strile de solicitare ale barei: efort axial (N) i ncovoiere (M i T).

  • 6

    Fig. 1.1

    ncrcarea vertical distribuit pe lungimea axei barei simuleaz ncrcarea din greutatea proprie (Fig. 1.2):

    Fig. 1.2

    n acest caz, fora vertical q, uniform distribuit pe lungimea barei nclinate, are componente: qsin pe direcia axei barei care produce variaia liniar a efortului axial, i qcos, perpendicular pe axa barei care definete comportarea barei la ncovoiere.

    ncrcarea orizontal distribui pe vertical (specific aciunii vntului) este echivalent cu o for

    orizontal qsin distribuit pe lungimea barei nclinate, care se proiecteaz n lungul axei barei cu valoarea qsincos i normal la axa barei cu valoarea qsin2 (Fig. 1.3).

    Fig. 1.3

  • 7

    1.2. Probleme rezolvate

    n acest capitol sunt tratate n mod special grinzile nclinate acionate de cele mai frecvente ncrcri (zpad, greutate proprie i vnt), considernd pentru fiecare tip de ncrcare dou orientri ale reazemului simplu al grinzii. Fiecare structur a fost rezolvat prin determinarea reaciunilor n cele dou sisteme de referin.

    1.2.1. Grinda dreapt din figura 1.4 este legat de teren n captul A printr-o articulaie i n captul B printr-un reazem simplu cu suprafaa de rezemare orizontal. Bara este ncrcat cu o for vertical, uniform distribuit dup proiecia pe orizontal a lungimii barei (distribuie care modeleaz ncrcarea din aciunea zpezii). Geometria structurii este definit prin:

    = 2 + 2

    cos =

    , sin =

    a. Reaciuni conform sistemului de referin xOy: - grinda este ncrcat numai cu fore verticale: Fig. 1.4

    Fx = 0 HA = 0

    MA = 0 VB x qxx

    2= 0 VB =

    qx

    2

    MB = 0 VA x qxx

    2= 0 VA =

    qx

    2

    ncrcarea este preluat n mod egal de cele dou reazeme. Determinarea eforturilor

    - de tip fore - se secioneaz bara n seciunea dorit i se proiecteaz forele care acioneaz pn n acel punct, dup direcia perpendicular pe bar (T) i n lungul barei (N).

    Pentru o seciune oarecare i, plasat la xi de captul A, expresiile eforturilor sunt:

    = ( ) cos (

    2 ) cos

    = 0 pentru =

    2

    = ( + ) sin = (

    2+ ) sin

    - de tip moment ncovoietor Fig. 1.5

    =

    2

    2

    2

    =

    2

    2

    4=

    2

    8

    Variaiile eforturilor n lungul axei barei sunt prezentate n figura 1.5 ntruct reazemul simplu este vertical (VB este vertical), lucrnd n sistemul de referin xOy, se

  • 8

    observ c toate forele sunt verticale. Ele se proiecteaz pe direcia axei barei (N, cu ) i perpendicular pe ea (T, cu ).

    b. Reaciunile din articulaie se calculeaz fa de sistemul de referin xOy (fig. 1.6)

    MA = 0 VB cos l q cos2 l

    l

    2= 0 VB =

    ql

    2cos

    MB = 0 VA l q cos2 l

    l

    2= 0 VA =

    ql

    2cos2

    Fx = 0 HA q sin cos l + VB sin = 0 HA =ql

    2cos sin

    Pentru determinarea eforturilor, n acest caz se pot descompune i ncrcrile direct aplicate, dup direcia axei barei i perpendicular pe ea (conform explicaiilor date n paragraful 1.1, fig.1.1).

    Fig. 1.6

    Variaia efortului axial este dat de componenta forei uniform distribuite dezvoltat pe direcia axei barei.

    NA = HA = ql

    2sin cos

    Ni = ql

    2sin cos + qxi sin cos = q (

    l

    2+ xi) sin cos

    Variaia forei tietoare i a momentului ncovoietor este dat de componentele forelor dezvoltate perpendicular pe direcia barei.

    TA = VA =ql

    2cos2

    rotete captul A n sens orar > 0

  • 9

    Ti = VA qxi cos2 =

    ql

    2cos2 qxi cos

    2 = q (l

    2 xi) cos

    2

    Ti = 0 pentru xi =

    l

    2

    Momentul ncovoietor variaz dup o parabol simetric de gradul II

    MA = MB = 0

    Mi = VA xi q xi2 cos2 =

    q l

    2 xi cos

    2 q xi

    2

    2 cos2 =

    q

    2(xi xi

    2) cos2

    Mmax =ql2 cos2

    8=

    q x2

    8

    n cazul prezentat ambele metode sunt aplicabile, cu remarca: - Varianta a - este mai rapid. - Varianta b - distribuia forelor vizualizeaz direct variaia eforturilor de tip fore.

    1.2.2. Grinda nclinat, supus aciunii zpezii, este rezemat simplu la captul superior, paralel cu axa barei.

    a. Sistemul de referin xOy

    Reaciunea din B, , este perpendicular pe bar

    = 0

    2= 0

    VB =qx

    2llcos =

    qx cos

    2

    = 0 = 0

    HA =qx

    2cos sin

    MB = 0 VA x qxx

    2 HAy = 0

    VA =qx

    2(sin2 + 1)

    y=xsin

    cos

    Verificare:

    F =qx

    2(sin2 + 1) +

    qx

    2 cos cos qx

    = qx (sin2 + cos2

    2+

    1

    2 1) = 0

    Diagrama N:

    NA = VA sin HA cos

    NA = qx

    2(sin2 + 1)sin

    qx

    2cos sin cos

    = sin

    = 0, (VB este perpendicular pe bar) = sin cos + sin Fig. 1.7

  • 10

    Diagrama T:

    TA = VA cos HA sin

    TA =qx

    2(sin2 + 1) cos

    qx

    2cos sin sin =

    2cos (sin2 + 1 sin2 ) =

    2cos

    = = cos

    2

    b. Sistemul de referin xO y n aceast situaie pare avantajoas determinarea reaciunilor n sistemul de referin axa barei-normala pe ea, att pentru determinarea reaciunilor ct i pentru calculul eforturilor:

    Fx = 0 HA qlcos sin = 0 HA = q l cos sin

    MA = 0 VBl qcos2 l

    l

    2= 0 VB =

    ql

    2cos2

    MB = 0 VA l q cos2 l

    l

    2= 0 VA =

    ql

    2cos2

    Fora uniform distribuit perpendicular pe axa barei este preluat simetric de cele dou reaciuni normale la bar, iar componenta forei uniform distribuite pe lungimea barei este preluat de reazemul A.

    Fig. 1.8

    ncrcarea perpendicular pe bar este simetric cele 2 reaciuni perpendiculare pe bar vor fi egale.

    Eforturi:

    Diagrama N:

    NA=-H'A =-qlcos sin NB=0 Ni=-H'A +qxicos sin

  • 11

    Diagrama T:

    TA = VA =ql

    2cos2, acioneaz perpendicular pe bar, rotete n sens orar

    Txi = VA qxi cos =ql

    2cos2 qxicos

    2 = q (l

    2 xi) cos

    2

    Anularea forei tietoare se produce la distana xi fa de captul A:

    qlcos2

    2 qxicos

    2 = 0 xi =l

    2

    Diagrama M:

    Mmax = Txi = VA l

    2 qcos2

    l

    2

    l

    4=

    ql2cos2

    4

    ql2cos2

    8=

    ql2cos2

    8=

    qx2

    8

    Cele dou structuri ncrcate identic (1.2.1 i 1.2.2) au o comportare identic la ncovoiere (diagramele T i M sunt identice); orientarea diferit a reazemului simplu afecteaz numai preluarea efortului axial (diagrama N).

    1.2.3. ncrcarea din greutatea proprie este modelat n codurile de proiectare ca o for vertical uniform distribuit pe toat lungimea barei (Fig.1.9).

    a. n S.R. xOy (Fig. 1.9) Forele direct aplicate sunt verticale. Fx = 0 HA = 0

    MA = 0 VBx qlx

    2= 0 VB =

    ql

    2

    MB = 0 VAx qlx

    2= 0 VA =

    ql

    2

    ncrcarea vertical descarc egal n cele doua reazeme.

    Efortul axial:

    NA = VA sin = ql

    2sin

    NB = VB sin =ql

    2sin

    Fora tietoare:

    TA = VA cos =ql

    2cos =

    qx

    2

    TB = VB cos = ql

    2cos =

    qx

    2

    T(xi) = VA cos qxi =

    qx

    2

    qxi2cos

    xi =xi

    cos

    Momentul ncovoietor :

    M(xi) = VAxi qxixi2

    =q x

    2xi

    q xi2cos

    xi2

    Fig. 1.9

  • 12

    xi =l

    2

    Mmax = VAx

    2 q

    l

    2

    x

    4=

    qlx

    4

    qlx

    8=

    ql2

    8cos

    b. n S.R. xO y(Fig. 1.10) - ncrcare numai din fore verticale

    MA = 0 VB cos l ql cos l

    2= 0 VB =

    ql

    2

    = 0 + = 0 HA =

    ql

    2sin

    MB = 0 VAl ql cos l

    2= 0 VA =

    ql

    2cos

    Forele , , au acelai suport axa barei nu dau momente fa de punctele de rezemare ale grinzii.

    Fig. 1.10

    Calculul eforturilor

    Efortul axial are o variaie liniar produs de componenta forei uniform distribuite proiectat pe axa barei.

    NA = HA = ql

    2sin

    NB = VB sin =ql

    2sin

    Fora tietoare are o variaie liniar, antisimetric, produs de componenta perpendicular pe axa barei a forei uniform distribuite.

  • 13

    TA = VA =ql

    2cos

    TB = VB cos = ql

    2cos

    T(x'i)=V'A-q cos x'i=

    ql

    2cos -qx'i cos

    T(x'i)=q (l

    2-x'i) cos variaia forei taietoare este liniar

    T=0 pentru x'i=l

    2

    TB=-VBcos=-ql

    2cos (VBcos rotete captul B n sens antiorar)

    Momentul ncovoietor variaz dup o parabol de gradul II, simetric.

    MA = MB = 0

    Momentul maxim se obine pentru: xi =l

    2

    Mmax =ql2 cos

    8

    1.2.4. Pentru aceeai ncrcare, se consider cazul n care reazemul simplu este perpendicular pe direcia axei barei.

    a. Sistemul de referin xOy (Fig. 1.11) Sistemul de fore:

    Pe direcia Ox: sin', BA VH

    Pe direcia Oy: cos',, BA VqV

    Fx = 0 HA VB sin = 0 HA =qx

    2sin

    MA = 0 VB l ql

    x

    2= 0 VB =

    qx

    2

    MB = 0 VA x ql x

    2 HA y = 0

    VA x =q2

    2cos+

    2sin

    sin

    cos

    VA =q

    2 cos (1 + sin2 )

    Verificare:

    Fy =qx

    2cos +

    qx

    2 cos (1 + sin2 ) q

    x

    cos=

    =qx

    2(cos +

    1

    cos+

    sin2

    cos

    2

    cos)

    =qx

    2 cos (cos2 + sin2 + 1 2) = 0

    Trasarea diagramelor de eforturi

    Diagrama N:

    NA = VA sin cos Fig. 1.11

  • 14

    NA = qx

    2 cos (1 + sin2 ) sin

    qx

    2sin cos = ql sin

    NB = 0 Reazemul simplu din B permite translaia pe direcia axei barei

    Efortul axial are o variaie liniar ntre A i B.

    Diagrama T:

    TA = VA cos HA sin

    TA =ql

    2cos (sin2 + 1)

    qx

    2sin2 =

    qx

    2

    (Rotete n sens orar)

    = VB = qx

    2

    (Rotete n sens anti orar) Diagrama de for tietoare este liniar i antisimetric. Diagrama de moment ncovoietor este o parabol simetric de ordinul II cu ordonata maxim:

    Mmax = VAx

    2 HA

    y

    2

    qx

    2cos

    x

    4=

    qx2

    2 cos (2sin2 + 2 1 2sin2) =

    ql2

    8cos

    b. Sistemul de referin xO y (Fig. 1.12)

    Fore perpendiculare pe bar: VA, VB, q cos Fore paralele cu bara: HA, q sin Fx = 0 HA = ql sin

    MA = 0 VB l ql cos l

    2= 0

    VB =

    2cos

    MB = 0 VA l ql cos l

    2= 0

    VA =

    2cos

    Trasarea diagramelor de eforturi

    Pentru determinarea diagramei de efort axial N se

    nsumeaz algebric proieciile forelor pe direcia

    axei barei, innd cont de sensul acestora:

    NA = HA = ql sin

    = 0, variaie liniar

    Diagrama T:

    TA = VA =

    2cos

    Fig. 1.12

    TB = VB =

    2cos

    Diagrama M:

    Mmax = VA

    2

    2cos

    l

    4=

    ql2

    4cos

    ql2

    8cos =

    ql2

    8cos

  • 15

    Determinarea reaciunilor n sistemul de referin xOy pentru acest caz de ncrcare i de rezemare, necesit un volum mai mare de calcule, iar probabilitatea de a grei este mai mare. Utilizarea sistemului de referin xOy conduce, n acest caz, mai rapid la calculul reaciunilor, iar determinarea eforturilor este vizibil, fr a necesita proiecii ale ncrcrilor (acestea fiind proiectate anterior n sistemul de referin ales).

    Orientarea reazemului simplu afecteaz doar variaia efortului axial. Comportarea la ncovoiere depinde numai de ncrcarea direct aplicat pe bar.

    1.2.5. Se consider cazul ncrcrii unei grinzi nclinate cu presiunea din aciunea vntului. Reazemul simplu este vertical.

    a. Sistemul de referin x0y (Fig. 1.13)

    = 0 + sin = 0 = sin

    = 0 +

    2= 0 =

    2 cos

    = 0 +

    2= 0

    x VA = qll

    2 ql2sin2 = ql2 (

    1

    2 sin2)

    Verificare:

    = VA + VB ql cos =ql

    2 cos (cos2 sin2)

    VA=ql

    2 cos (1+cos2-sin2)-ql cos =

    2qlcos2

    2 cos - ql cos =0

    Eforturi:

    = VA sin + HAcos = ql sin

    2 cos (cos2 sin2)

    + sin cos = sin

    2 cos (cos2 + sin2 + 2cos2) =

    ql

    2tg

    = VB sin =ql sin

    2 cos =

    ql

    2tg

    Fig. 1.13

    Observaie: bara nu este ncrcat cu fore distribuite pe direcia axei sale efortul axial este constant.

    Diagrama T:

    Fora uniform distribuit acioneaz perpendicular pe bar, prin urmare produce variaia liniar a forei tietoare.

    TA = VA cos + HA sin =ql

    2 cos (cos2 sin2) cos + ql cos sin

    =ql

    2(cos2 sin2 + 2sin2) =

    ql

    2

    TB = VB cos = ql

    2

  • 16

    Tx = TA q xi =ql

    2 q

    xicos

    =q

    cos (

    x

    2 xi)

    Diagrama M: parabol de gradul II

    Mmax = VAx

    2+ HA

    y

    2

    ql2

    2=

    ql

    2 cos (cos2 sin2)

    l cos

    2+ ql sin

    l sin

    2

    ql2

    8

    b. Sistemul de referin xO y (Fig. 1.14)

    Fore proiectate pe axa Ox: HA, sinBV

    Fore proiectate pe axa Oy: VA, cosBV , q

    MA = 0 VBx qll

    2= 0

    =

    2 cos

    Fx = 0 HA + VB sin = 0

    HA = VB sin =ql

    2tg

    MB = 0 VAl qll

    2= 0

    VA =ql

    2

    Trasarea diagramelor de eforturi:

    Diagrama N:

    '2

    A A

    qlN H tg

    sin2

    B B

    qlN V tg

    Diagrama T:

    '2

    A A

    qlT V

    cos2

    B B

    qlT V Fig. 1.14

    1.2.6 Pentru aceeai ncrcare, se consider reazemul simplu dispus normal pe bar. Avnd n vedere dispunerea forelor i direcia reaciunii din captul B, determinarea reaciunilor din A n sistemul de referin xOy este practic inutil. Structura este o grind simplu rezemat de lungime l, ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat lungimea ei.

    a. n sistemul de referin xOy (Fig. 1.15)

    MA = 0 VB l q ll

    2= 0 VB =

    q l

    2

    FX = 0 HA + q l sin VB sin = 0 HA = q l

    2 sin + q l sin =

    q l

    2 sin

    MB = 0 VA x + HA y q ll

    2= 0

  • 17

    VA = (q l2

    2

    q l

    2 sin l sin )

    1

    x=

    q l2

    2(1 sin2)

    1

    l cos

    Trasarea diagramelor de eforturi

    NA = VA sin + HA cos = q l

    2sin cos +

    q l

    2sin cos = 0

    Reazemul simplu din B este orientat perpendicular pe bar, ncrcarea este perpendicular pe bar si rezult c efortul axial in bar este nul.

    TA = VA cos + HA sin =ql

    2cos2 +

    ql

    2sin2 =

    ql

    2

    TB = VB = ql

    2

    Diagrama de for tietoare este antisimetric. Diagrama de moment ncovoietor este simetric.

    Fig. 1.15

    b. n sistemul de referin xO y (Fig. 1.16)

    = 0 = 0

    = 0

    2= 0

    =

    2=

    ncrcarea fiind simetric si perpendicular pe bar, rezult dou reaciuni egale si perpendiculare pe bar

    N=0

    = =

    2

    = =

    2

    Fig. 1.16

    1.2.7. Grinda din fig.1.17. este ncrcat cu o for concentrat vertical, aplicat la mijlocul grinzii, iar reazemul simplu este vertical.

    ntruct fora concentrat i reaciunea din B sunt verticale, se opteaz pentru determinarea reaciunilor n sistemul de referin xOy, respectiv proiectarea reaciunii din A pe direciile vertical

  • 18

    i orizontal. Se observ astfel c fora vertical va fi preluat simetric de cele dou reazeme prin reaciunile verticale VA i VB, iar n articulaie reaciunea nu are proiecie pe orizontal.

    = 0 = 0

    = 0

    2= 0 =

    2

    = 0

    2= 0 =

    2

    Trasarea diagramelor de eforturi:

    Efortul axial este constant pn n punctul de aplicaie al forei concentrate, unde se produce un salt egal cu proiecia forei P, pe

    direcia axei barei (Psin0), dup care efortul axial rmne constant pn n captul B al barei unde diagrama se nchide cu

    valoarea .

    = =

    2sin

    = =

    2sin

    Fig. 1.17

    Fora tietoare este constant pn n punctul de aplicaie al forei concentrate, unde se nregistreaz un salt egal cu proiecia pe direcia perpendicular pe axa barei a forei concentrate, n sensul

    acesteia (Pcos0). Din acest punct, pn n captul B, pe bar nu mai acioneaz nici o for, deci fora tietoare este constant, iar diagrama se nchide n B cu valoarea .

    = =

    2cos

    = =

    2cos

    Diagrama de moment ncovoietor este liniar pe cele dou intervale generate de punctul de aplicaie al forei concentrate, nregistrnd un vrf n acest punct n sensul de aciune al forei.

    = =

    2 ntinde fibra de jos

    = (

    2) = ( ) ntinde fibra de jos

    (Am notat cu I punctul de aplicaie al forei concentrate)

    1.2.8. Aceeai ncrcare este aplicat pe grinda din fig. 1.18 rezemat simplu n B perpendicular pe bar. ntruct reazemul simplu este orientat perpendicular pe bar, este avantajoas alegerea sistemului de referin xOy. = 0 = Componenta perpendicular pe bar a forei concentrate P, descarc simetric n cele dou reazeme perpendiculare pe bar.

  • 19

    = =

    2

    Forele pe direcia axei barei: , , dau variaia efortului axial N:

    = = = 1

    1 = 1

    = 0

    = 0

    = =

    2 = 1

    T1dr=T1

    st-P cos = -P

    2cos = T1-B=TB

    1 =

    2

    2=

    4

    =

    1 =

    2

    2=

    4

    =

    } 1 =

    4

    Fig. 1.18

  • 20

    1.3. Probleme propuse

    1.3.1. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de efort axial este cea corect?

    a)

    b) c)

    d) e)

    1.3.2. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de for tietoare este cea corect?

    a)

    b) c)

  • 21

    d) e)

    1.3.3. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de moment ncovoietor este cea corect?

    a)

    b) c)

    d) e)

    1.3.4. S se identifice diagrama de for tietoare T corect pentru structura din figura de mai jos.

    a)

  • 22

    b)

    c)

    d) e)

  • 23

    1.3.5. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietor M pentru structura din figura de mai jos.

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 24

    1.3.6. S se identifice diagrama corect de efort axial N pentru structura din figura de mai jos.

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 25

    1.3.7. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru urmatoarea grind?

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 26

    1.3.8. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru grinda din figura de mai jos?

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 27

    1.3.9. Care este diagrama corect de efort axial N, pentru grinda din figura de mai jos? Ma ma

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 28

    Capitolul 2: Grinzi cu console i articulaii (grinzi Gerber)

    2.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare.

    Grinzile cu console i articulaii sunt structuri static determinate alctuite din bare drepte conectate ntre ele prin articulaii. Legturile simple cu terenul sunt dispuse astfel nct unul dintre reazeme s fie fix (articulaie sau ncastrare), iar celelalte mobile (reazeme simple). Dac forele direct aplicate pe structur au proiecii pe direcia axei barei, acestea sunt preluate de reazemul fix.

    n funcie de modul de dispunere a legturilor simple cu terenul, n cadrul acestor ansambluri se disting dou categorii de grinzi:

    Grinzile Principale (G.P.) sunt cele care au asigurat invariabilitatea geometric i fixarea fa de teren, altfel spus, sunt grinzi static determinate (simplu rezemate, cu sau fr console sau grinzi ncastrate la un capt).

    Grinzile Secundare (G.S.) sunt cele care nu au suficiente legturi cu terenul (cel mult una) i descarc pe grinzile principale n punctele de contact.

    n funcie de dispunerea articulaiilor intermediare i a reazemelor cu terenul, se disting dou configuraii prezentate n figura 2.1, alturi de schemele de descrcare specifice fiecreia:

    a) Grinzile secundare alterneaz cu cele principale (fig. 2.1, a i b) b) Grinda principal se afl la un capt (fig. 2.1, c i d)

    Rezolvarea grinzilor Gerber (determinarea reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi) se poate face fie pe structura n ansamblu, fie prin descompunerea acesteia n grinzi secundare i principale.

    n general se opteaz pentru a doua variant. n acest caz, principalele etape parcurse pentru determinarea diagramelor de eforturi pe o grind Gerber sunt:

    Se detecteaz tipul grinzilor (GP, GS) dup numrul legturilor cu terenul existente pe fiecare.

    Se desprind din structur grinzile secundare (care au unul sau nici un reazem cu terenul) i se calculeaz reaciunile, produse de ncrcrile direct aplicate.

    Se izoleaz grinzile principale i se ncarc cu forele direct aplicate pe ele i cu reaciunile din grinzile secundare n punctele de contact, luate ca aciuni (egale i de sens contrar). Din aceast ncrcare se determin reaciunile grinzilor principale.

    Diagramele de eforturi se pot trana fie pe structura n ansamblu, fie pe fiecare grind n parte, urmnd apoi asamblarea diagramelor pariale.

    n cazul n care grinda principal se afl la un capt (Fig.2.1, c i d), reaciunile se pot calcula uor fr descompunerea ansamblului n grinzi componente, scriind succesiv ecuaii de moment nul fa de articulaiile intermediare, pornind de la cea mai ndeprtat grind de cea principal. Astfel, n fiecare ecuaie va interveni o singur necunoscut.

  • 29

    a)

    b)

    c)

    d)

    Fig. 2.1

  • 30

    n ceea ce privete trasarea diagramelor de eforturi sunt necesare urmtoarele precizri:

    Articulaia intermediar transmite fora tietoare i efortul axial i anuleaz momentul ncovoietor, fr s modifice legile de variaie ale eforturilor.

    Forele concentrate verticale aplicate n articulaiile intermediare sunt preluate de grinda principal sau de grinda secundar cea mai apropiat de cea principal. Ele produc:

    - n diagrama de for tietoare - salturi n sensul de aplicare, egale cu valoarea acestora. - n diagrama de moment ncovoietor - schimarea pantei, n sensul de aplicare al forei (n

    articulaie momentul rmne nul). Aplicarea unui moment concentrat de o parte a unei articulaii intermediare produce n

    diagrama de moment ncovoietor un salt egal cu valoarea momentului concentrat, pe fibra ntins. De cealalt parte a articulaiei momentul este egal cu zero.

    2.2. Exemplu de calcul

    Grinda Gerber din figura 2.2 va fi rezolvat prin descompunere n grinzile componente. Structura se ncadreaz n categoria a) prezentat mai sus, fiind alctuit din grinda principal A-1, grinda secundar 1-2 i grinda principal 2-C-D.

    Grinda secundar 1-2:

    - ncrcri verticale: ,64,34sin kNP V1, V2

    - ncrcri orizontale: ,20cos kNP H1 Componenta orizontal a forei nclinate se transmite prin articulaia intermediar 1 (H1) i este preluat de reazemul fix A.

    ncrcarea vertical este simetric descarc simetric n cele dou reazeme:

    kNP

    VV 32,172

    cos21

    kNPH 20sin1

    Grinda principal A-1: FX = 0 HA = H1 = 20 MA = 0 17,32 6 20 6 + 5 = 0 = 44,78 MB = 0 17,32 1 20 1 5 = 0 = 7,46

    Verificare:

    Fy=17,32-44,78+20+7,46=0

    Grinda principal 2-C-D: = 0 17,32 2 + 4 8 6 1 30 5 = 0 = 40,84 = 0 17,32 6 + 4 8 6 3 + 30 1 = 0 = 54,48

    Verificare: = 40,84 + 54,48 8 6 30 17,32 = 0

  • 31

    Fig. 2.2

    Trasarea diagramei de for tietoare

    ntre A i B, bara nu este ncrcat fora tietoare este constant i egal cu valoarea reaciunii verticale din A, TA0 (VA=7,46 kN, rotete n sens antiorar). n dreptul forelor concentrate (direct aplicate i reaciuni din reazemele cu terenul) se produc salturi n sensul i egale cu valoarea acestora. Pe intervalele 2-C i C-D, fora tietoare variaz liniar, iar dreptele aferente celor dou intervale sunt paralele, ntruct ncrcarea are aceeai valoare pe ambele poriuni. n articulaia intermediar 2 fora tietoare are aceeai valoare la stnga i la dreapta ei, respectiv forele tietoare n captul 2, pe cele dou grinzi (secundar i principal), au aceeai valoare.

    TA = VA = 7,46kN = TA1 = TBst

    TBdr = TB

    st + VB = 37,32 kN = TB1 = T1st

    T1dr = T1

    st 20 = 17,32 kN = T13 = T3st

    T3dr = T3

    st 40 sin = 17,32 kN = T32 = 2

  • 32

    TCst = T2 8 2 = 17,32 8 2 = 33,32 N

    TCdr = TC

    st + VC = 33,32 + 54,48 = 21,16 N

    Pe intervalul C-D, fora tietoare schimb semnul; se anuleaz la distana xmax fa de reazemul C, egal cu raportul dintre fora tietoare din captul fa de care se calculeaz distana i valoarea forei uniform distribuite care acioneaz pe acel interval.

    =

    =

    21,16

    8= 2,645

    TDst = TC

    dr 8 4 = 21,16 8 4 = 10,84 N TD

    dr = TDst + VD = 10,84 + 40,84 = 30 N

    Trasarea diagramei de moment ncovoietor

    = 7,46 5 = 37,30 1 = 0 2 = 0 = 17,32 3 = 51,96 pe grinda secundar = 17,32 2 8 2 1 = 50,64 pe grinda principal = 30 1 = 30 pe grinda principal Pe intervalul C-D momentul ncovoietor nregistreaz un punct de extrem, iar valoarea acestuia se poate calcula n modul urmtor:

    Pentru bara C-D, fora tietoare pe captul C este = 21,16, iar momentul ncovoietor n C

    este = 50,64. Parcurgnd bara de la C spre D, la distana = 2,645 de C, momentul ncovoietor va avea valoarea:

    =

    2 = 21,16 2,645 8 2,645

    2,645

    2 50,64 = 22,66

  • 33

    2.3. Probleme propuse

    2.3.1. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietor M pentru structura din figur.

    a)

    b

    c)

    d)

    e)

  • 34

    2.3.2. S se identifice diagrama corect de for tietoare T pentru structura din figur.

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 35

    2.3.3. S se identifice diagrama corect de efort axial N pentru structura din figur.

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 36

    2.3.4. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru urmtoarea grind Gerber?

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 37

    2.3.5. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru urmtoarea grind Gerber?

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 38

    2.3.6. S se identifice diagrama de for tietoare corect pentru structura din figur.

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 39

    2.3.7. S se identifice diagrama de moment ncovoietor corect pentru structura din figur.

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 40

    2.3.8. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de for tietoare este cea corect?

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 41

    2.3.9. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de moment ncovoietor este cea corect?

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

  • 42

    2.3.10. S se identifice momentul ncovoietor maxim Mmax pentru structura din figur.

    a) 10,00 KNm

    b) 5,00 KNm

    c) -5,00 KNm

    d) 30,00 KNm

    e) 51,96 KNm

  • 43

    Capitolul 3: Cadre static determinate

    3.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare.

    Cadrele sunt structuri alctuite din bare drepte (sau din bare drepte i curbe) conectate n noduri rigide sau rigide i articulate. Aceste structuri sunt solicitate predominant la ncovoiere. Nodul rigid - are trei grade de libertate: 2 translaii dup 2 direcii din plan i o rotire;

    - deplasrile tuturor capetelor de bare concurente ntr-un nod rigid sunt egale; - tangentele duse n nod la axele deformate ale barelor formeaz ntre ele aceleai

    unghiuri cu cele pe care le fac barele n poziia iniial, nedeformat. Nodul rigid se deplaseaz ca un corp rigid, fr a permite rotiri relative ntre capetele barelor concurente n el.

    Nodul articulat - are dou grade de libertate: translaii dup cele 2 direcii din plan; - barele se pot roti liber n nod.

    Nodul articulat nu transmite moment ncovoietor i permite rotirea relativ a capetelor barelor conectate.

    Reaciunile dezvoltate n structurile de rezemare ale cadrelor plane se determin din ecuaii de echilibru, n funcie de tipul structurii:

    - Cadre simplu rezemate: dou ecuaii de sum de moment nul fa de cele dou reazeme cu terenul i o ecuaie de sum de fore egal cu zero dup o direcie din plan. Verificarea corectitudinii calculului se face scriind sum de fore dup alt direcie din plan. Dac rezultatul sumei este zero, valorile reaciunilor calculate, pentru ncrcrile considerate sunt corecte.

    - Cadre cu trei articulaii: dou ecuaii de echilibru global al structurii fa de cele dou reazeme cu terenul i dou ecuaii de sum de moment nul fa de articulaia intermediar de o parte i de alta a acesteia.

    Verificarea corectitudinii calculului se face scriind sum de fore dup dou direcii distincte din plan. Dac rezultatul sumelor este zero, valorile reaciunilor calculate, pentru ncrcrile considerate sunt corecte.

    Vom prezenta dou metode de trasare a diagramelor de eforturi:

    A. Diagramele de eforturi se traseaz prin parcurgerea structurii ntr-un sens stabilit n prealabil, urmrind, pe fiecare interval, ncrcarea exterioar i direcia barelor. Eforturile n seciunile caracteristice (puncte care marcheaz modificarea ncrcrii, schimbarea direciei axei barelor, .a.) se calculeaz cu metoda seciunilor. Diagrama de moment ncovoietor se traseaz n concordan cu diagrama de for tietoare.

    B. O alt metod de trasare a diagramelor de eforturi pe cadre const n descompunerea cadrului n prile sale componente: BARE i NODURI. Se calculeaz valoarea momentului ncovoietor la capetele barelor. Se izoleaz barele din structur (Fig.3.1.) i se ncarc cu efectul prilor nlturate: forele tietoare i momentele ncovoietoare de la capete. Altfel spus, fiecare bar a cadrului se consider simplu rezemat i se ncarc cu forele direct aplicate pe ea i cu momentele ncovoietoare de la capete (valori calculate anterior). Pentru fiecare bar se traseaz diagrama de for tietoare i de moment ncovoietor. Eforturile axiale n barele cadrului se determin izolnd nodurile cadrului prin secionarea capetelor barelor concurente n nodul respectiv i ncrcarea acestuia cu forele exterioare direct aplicate i cu efectul barelor secionate: forele tietoare de la capetele barelor

  • 44

    (determinate n prealabil) i cu eforturile axiale - necunoscute. Pentru fiecare nod se scriu ecuaii de echilibru exprimate prin sum de fore egale cu zero dup dou direcii din plan. Eforturile axiale din barele structurii se determin din condiia de echilibru a nodurilor dup izolarea prealabil a acestora.

    Fig. 3.1

    De la caz la caz, se abordeaz una dintre cele dou variante, cealalt putnd fi folosit ca verificare.

  • 45

    3.2. Exemple de calcul

    3.2.1. Structura din figura 3.2 este un cadru simplu rezemat.

    Fig. 3.2

    Calculul reaciunilor = 0 10 6 20 = 0 = 40 = 0 8 + 20 3 10 6 3 30 3 = 0 = 33,75 = 0 8 + 1 + 10 6 2 30 3 20 2 = 0 = 3,75

    Verificare: = 33,75 3,75 30 = 0

    n ecuaiile de echilibru conteaz doar sensul relativ al momentelor date de fore. Semnul + sau se utilizeaz doar pentru a exprima acest lucru, sensul de referin + se alege arbitrar.

    Diagramele de eforturi (Fig.3.2.)

    Moment:

    - pe consol capt liber: M1C = 10 1 0,5 = 5 kNm (fibra ntins este cea exterioar) M1A = 40 5 10 5 2,5 = 75 kNm M12 = 40 5 10 6 2 = 80 kNm - se verific echilibrul nodului 1 innd cont de sensurile de rotire ale momentelor calculate pe capetele barelor.

    M21 = M2a = 3,75 5 + 40 5 10 6 2 = 61,25 kNm (considernd forele din stnga ), sau M21 = M2a = 33,75 3 20 2 = 61,25 kNm (considernd forele din dreapta) Aciunea forei concentrate n nodul 2 nu afecteaz valoarea momentului ncovoietor la capetele barelor.

    Pentru calculul momentului ncovoietor ntr-o seciune se ine cont numai de fibra ntins de ctre fiecare for, indiferent de corpul pe care se lucreaz. Punctul n care se determin momentul ncovoietor se consider fix.

    MaB = 33,75 1,5 = 50,625 kNm Pe barele nencrcate cu fore se poate trasa diagrama de moment ncovoietor unind cu segmente de dreapt valorile calculate la capetele acestora. Diagrama M se traseaz pe fibra ntins. Trasarea diagramelor M pe barele ncrcate cu for uniform distribuit necesit cunoaterea diagramei de for tietoare, nefiind suficiente dou valori pentru trasarea unei parabole de gradul II.

    Pe consola C-1 TC=0 diagrama de moment ncovoietor va fi tangent la axa barei n acest punct. MA1

    max = 40 4 10 4 2 = 80 kNm (fa de A) MA1

    max = 10 1 10 1 0,5 + 75 = 80 kNm (fa de 1)

  • 46

    8,05

    4sin

    6,05

    3cos

    Fig. 3.3

    T1-2

    12 = 21 = 12 = 80 61,25

    5= 3,75kN

    Fora tietoare acioneaz pe capetele barei ca un cuplu de fore care anuleaz valoarea momentelor concentrate pe capetele barelor.

    - Valoarea forei tietoare = suma algebric a momentelor de pe capete (n funcie de sensul acestora) mprit la lungimea barei (Fig. 3.4).

    - Semnul este desemnat de sensul de rotire din condiia de anulare a momentului (rezultant) de pe capetele barei.

    Pentru bara ncrcat cu o for concentrat se procedeaz astfel: - Fie se determin valoarea forei tietoare pe cele dou intervale liniare ale momentului

    delimitate de fora concentrat; - Fie se izoleaz bara 1-B i se ncarc cu componenta forei concentrate perpendicular pe

    bar aplicat la mijlocul acesteia i cu momentul din captul 2.

  • 47

    Verificare: kNVT BB 25,20cos

    Fig. 3.4

    Echilibrul nodurilor: Forele tietoare de la capetele barelor se trec n funcie de semnul lor:

    +(Tik0) rotete nodul n sens orar -(Tik0) rotete nodul n sens antiorar

    Nodul 1

    Fx = 0 10 + N12 + 10 = 0 12 = 20 Fy = 0 N1A + 3,75 = 0 12 = 3,75 =

    Nodul 2

    Fx = 0 10 + N12 + 10 = 0 12 = 20 Fy = 0 N1A + 3,75 = 0 12 = 3,75 =

  • 48

    3.2.2. Cadrul cu trei articulaii din figura 3.5.are articulaiile cu terenul dispuse la acelai nivel.

    Fig. 3.5

    Determinarea reaciunilor Ecuaiile de echilibru global faa de reazemele cu terenul. Reazemele fiind la acelai nivel, suportul reaciunilor orizontale trece prin ele, rezult c HA i HB nu dau momente n raport cu B i A

    {MA = 0 10 VB 30 12 12 5 2,5 25 4 = 0MB = 0 10 VA + 25 4 12 5 7,5 + 30 2 = 0

    {VB = 61 kNVA = 29 kN

    Verificare: Fy = 61 + 29 12 5 30 = 0 Ecuaiile de moment nul fa de articulaia intermediar la stnga si la dreapta acesteia (echilibrul fiecrei pri)

    {MC

    st = 0 29 5 + HA 6 25 2 12 5 2,5 = 0

    MCdr = 0 61 5 HB 30 7 = 0

    {HA = 9,17 kNHB = 15,83 kN

    Verificare: Fx = 25 9,17 15,83 = 0

    Calculul momentelor incovoietoare la capetele barelor

    MA1 = 0 articulaie M1A = HA 4 = 36,68 kNm ntinde fibra din interior

    M1A = M1C seciuni infinit vecine {aceeai valoare aceeai fibr ntins fora concentrat nu are bra

    nodul 1 este rigid

    MC = 0 M2C = 15,38 6 30 2 = 154,98 kNm M2a = 30 2 = 60 kNm M2B = 15,38 6 = 94,98 kNm Se verific echilibrul nodului 2 la moment ncovoietor inmd cont de sensul de rotire al momentelor ncovoietoare de la capetele barelor.

    M2i = 0

    2-C nencrcat M-liniar 2-a nencrcat M-liniar 2-B nencrcat M-liniar

  • 49

    Trasarea diagramelor T i M pe bara 1-C(Fig.3.6.):

    Fig. 3.6

    - Se izoleaz bara 1-C prin secionarea ei dup nodul 1 i nainte de nodul C (Fig. 3.6), se

    consider simplu rezemat i ncrcat cu forele exterioare direct aplicate i cu momentul de la

    captul 1.

    - Componenta forei uniform distribuite perpendicular pe bar = 12 cos2 = 10,345 kN/m

    (vezi 1.1. fig.1.1) descarc simetric n cele dou reazeme prin dou reaciuni egale cu

    10,345 5,385

    2= 27,85 kN

    Momentul M1C descarc printr-un cuplu de forte de valoare: 36,68

    5,385=6,81kN

  • 50

    Pe barele ncrcate doar cu moment concentrat pe capt, fora tietoare acioneaza sub forma unui cuplu de fore care anuleaz momentul concentrat deschide diagrama de moment (M),de valoare:

    val =M

    Trasarea diagramei de efort axial

    Echilibrul nodului 1

    sin = 0,3714 = 0,9285 Fx = 0 21,044 + N1C 9,17 + 25 = 0 N1C = 25,45 kN Fy = 0 N1A 21,044 + 25,47 = 0

    N1A = 29 kN Pe bara 1-C, distribuia forei uniforme produce o variaie liniar a efortului axial Din acest motiv se impune izolarea nodului C pentru

    calculul valorii NC1 Fy = 0 NC1 34,664 + 31 = 0

    NC1 = 3,19 kN Fx = 0 34,664 + NC2 + 3,19 = 0 NC2 = 15,83 kN

    Verificare:

    Se scrie echilibrul barei exprimat prin suma forelor pe direcia axei barei:

    NC1 + N1C 4,138 5,385 = 0 NC1 = 25,47 + 4,138 5,385 = 3,19 kN

    Echilibrul nodului 2:

    Fx = 0 N2C = 15,83 kN Fy = 0 N2B = 30 31 = 61 kN

    Verificare:

    N2B = VB = 61 kN N1A = VA = 29 kN N2C = NC2 = HB = 15,83 kN Pe consol nu acioneaz nici o fora pe direcia axei barei N=0

  • 51

    3.2.3. Structura din figura 3.7. este un cadru cu trei articulaii cu reazemele decalate. Se propune, pentru rezolvare prima metod prezentat, cea clasic.

    Determinarea reaciunilor: ntruct reazemele nu sunt la acelai nivel, n fiecare ecuaie vor interveni cte dou necunoscute. Se obin dou sisteme de dou ecuaii cu dou necunoscute fiecare: reaciunile din cele dou reazeme.

    Astfel, combinnd ecuaiile de echilibru global cu cele de moment nul fa de articulaia intermediar, se obine:

    {MA = 0 11 VB 1 HB 20 9 15 4 9 30 1 = 0

    MCdr = 0 4 VB 5 HB 20 2 15 4 2 = 0

    {11VB-HB=750

    4VB-5HB=160 {

    VB=70,39 kNHB=24,31 kN

    i

    {MB = 0 11 VA + 1 HA 30 10 15 4 2 20 2 = 0

    MCst = 0 7 VA 4 HA 30 6 = 0

    {11 VA + HA = 4607 VA 4 HB = 180

    {VA = 39,61 kNHA = 24,31 kN

    Verificare:

    Fy = 70,39 + 39,61 30 15 4 20 = 0

    Fx = 24,31 24,31 = 0

    Fig. 3.7

    Trasarea diagramelor de eforturi (Fig.3.8):

    Eforturile tip for se calculeaza prin proiecia forelor pe direcia axei barei si perpendicular pe ea.

    Efortul axial

    NA1 = 39,61 sin 24,31 cos = 46,27 kN A 1 nencrcat 1A = NA1 = 46,27 kN a 1 nu sunt fore pe direcia axei barei(orizontale) a1 = 0 kN Bara 1-C orizontal i nencrcat

    N1C = HA = 24,31 kN = N1C = NC1 = NC2 = N2C

    Fora tietoare Conform schemei de proiecie a forelor n punctul A,

    TA = VA cos HA sin = 39,61 cos 24,31 sin = 4,318 kN.

    sin =4

    5= 0,8

    =3

    5= 0,6

  • 52

    Pe consola orizontaldin nodul 1:

    Ta = 30 kN = Ta1 (nencrcat ntre a i 1) T1C = 39,31 30 = 9,61 kN = TC1 T2C = TC1 15 4 = 9,61 60 = 50,39 kN Pe bara C-2, fora tietoare schimb semnul

    Tx = TC 15 x = 0 =TC15

    =9,61

    15= 0,64 m fa de articulaia C

    Tb = 20 kN = Tb3 = T3b

    Eliminnd corpul din dreapta, singura for perpendicular pe bara 2-B este HB, care rotete n sens orar.

    Fig. 3.8

    T23 = T3B = HB = 34,31 kN Efectul consolei asupra stlpului: ! Consola (fora concentrat P) nu afecteaz diagrama T pe stlp ! Fora concentrat de pe consol se reduce la faa stlpului la o for concentrat P=20 kN i un moment ncovoietor M=40 kNm care ntinde fibra din interior a seciunii stlpului.

    Diagrama de moment ncovoietor

    M1A = VA 3 HA 4 = 21,59 kNm Ma1 = 30 2 = 60 kNm M1C = VA 3 HA 4 30 2 = 38,41 kNm

    Se verific echilibrul nodului 1 la moment ncovoietor.

    MC = 0 ; M2C = VA 11 HA 4 30 10 15 4 2 = 81,55 kNm = M23

  • 53

    Pe intervalul C-2: Momentul ncovoietor are un punct de extrem, la distana = 0,64 m fa de articulaia C

    Mmax = TC x 15 x2

    2= 9,61 0,64 15

    0,642

    2= 3,08 kNm

    n C, parabola este tangent la variaia liniar a momentului de pe intervalul 1-C

    M3B = HB 3 = 72,43 kNm M3c = 20 2 = 40 kNm M32 = HB 3 + 20 2 = 32,43 kNm

    Se verific echilibrul nodului 3:

    Valorile forei tietoare se pot verifica urmrind diagrama de moment ncovoietor.

    Astfel, baraA-1 este nencrcat i valoarea momentului ncovoietor din captul 1 este 21,59kNm

    TA-1=21,59

    5deschide diagrama M n sens orar

    } T1A=4,318 kN, egal cu valoarea determinat prin

    proiecii ale forelor pe normala la axa barei nclinate.

    Bara 1-C

    T1-C=38,41

    4=9,61 kN (deschide diagrama M1-C n sens orar)

    Bara 2-3

    T2-3=81,55-32,93

    2=24,31 kN (deschide diagrama M2-3 n sens orar)

    Bara 3-B

    T2-3=72,93

    3=24,31 kN (deschide diagrama M3-B n sens orar)

    M2-3 i M3-B sunt paralele, fora tietoare este constant

    Se verific echilibrul nodului 1 dup izolarea prealabil a acestuia, prin scrierea ecuaiilor de sum de fore egale cu zero dup cele dou direcii perpendiculare din plan.

    Fx = 46,27 4,318 24,31 = 0 Fy = 30 9,61 + 4,318 + 46,27 = 0

    Echilibrul celorlalte noduri se poate verifica cu uurin n figura 3.9.

    Fig. 3.9

  • 54

    3.3. Probleme propuse 3.3.1. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietor M pentru structura din figur.

    a)

    b) c)

    d) e)

    3.3.2. S se identifice diagrama corect de for tietoare T pentru structura din figur.

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 55

    3.3.3. S se identifice diagrama corect de efort axial N pentru structura din figur.

    a)

    b) c)

    d) e)

    3.3.4. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru cadrul din figura urmtoare?

    a)

    b) c)

  • 56

    d)

    e)

    3.3.5. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru cadrul din figura de mai jos?

    a)

    b) c)

  • 57

    d) e)

    3.3.6. Care este diagrama corect de efort axial N pentru cadrul din figura de mai jos?

    a)

    b) c)

  • 58

    d) e)

    3.3.7. S se identifice diagrama de for tietoare T corect pentru structura din figur.

    a)

    b) c)

    d) e)

  • 59

    3.3.8. S se identifice diagrama de moment ncovoietor M corect pentru structura din figur.

    a)

    b) c)

    d) e)

    3.3.9. S se identifice diagrama de efort axial N corect pentru structura din figur.

    a)

  • 60

    b) c)

    d) e)

    3.3.10. Care este diagrama de for tietoare T pentru structura din figur, cunoscnd diagrama de moment ncovoietor M?

    a) b)

  • 61

    c) d)

    e)

  • 62

    Capitolul 4: Arce static determinate

    4.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare. Arcele sunt structuri cu axa curb, solicitate predominant la ncovoiere i efort axial. Arcele static determinate sunt rar ntlnite ca elemente de construcie, dar rezolvarea lor st la baza calcului arcelor static nedeterminate.

    n funcie de forma axei lor, arcele pot fi ciculare, parabolice sau o alt curb. Dup modul de rezemare, arcele static determinate pot fi simplu rezemate sau cu trei articulaii.

    Rezolvarea arcelor static determinate, respectiv determinarea reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi, se realizeaz dup aceleai principii cu cele prezentate la structurile tip cadru.

    Caracteristic comportrii arcelor este dezvoltarea n reazemele cu terenul, a unor reaciuni orizontale mari, numite mpingeri, care reduc esenial valoarea momentului ncovoietor din cmp, conferind astfel acestor structuri capacitatea de a acoperi deschideri mari comparativ cu grinzile drepte.

    Elementele caracteristice ale unui arc cu trei articulaii cu reazemele la acelai nivel sunt prezentate n figura 4.1.

    Fig. 4.1

    Variaia eforturilor, n acest caz, depinde de forma axei arcului, prin urmare va fi curbilinie. Orice seciune, i, a unui arc este definit prin: coordonatele sale xi, yi i unghiul pe care-l face

    tangenta la axa arcului n punctul respectiv cu orizontala, i.

    Aceste mrimi se determin n mod diferit n funcie de forma axei arcului.

    Arcul parabolic Ecuaia parabolei de gradul al doilea este:

    =4

    2( )

    Derivata de ordinul nti a funciei definete panta acesteia, respectiv :

    = =4

    2( 2)

    Astfel, dac pentru o seciune a unui arc parabolic se cunoate xi, prin nlocuirea valorii acestuia

    n ecuaia arcului, se calculeaz valoarea ordonatei yi, i n expresia derivatei de ordinul I a acesteia, se determin , dup care

    prin aplicarea funciei inverse, se determin i implicit orice alt funcie trigonometric a acestuia.

  • 63

    Arcul circular Caracteristicile geometrice ale seciunilor unui arc circular se determin din considerente geometrice. Astfel, n funcie de elementele care se cunosc, se pot determina coordonatele

    seciunii i i unghiul .

    Fig. 4.2

    Din figura 4.2 se vede c unghiul pe care l face tangenta la axa arcului cu orizontala are aceeai msur cu unghiul la centru format de razele aferente seciunii i i seciunii de cheie C. Din triunghiurile dreptunghice AMO i iNO se pot determina, n funcie de elementele cunoscute, celelalte mrimi geometrice care definesc seciunea i.

    Calculul eforturilor de tip fore n orice seciune a unui arc (parabolic sau circular) se face prin proiecia forelor pe direcia tangentei la axa arcului n punctul respectiv (Ni) i perpendicular pe aceasta (Ti).

    n cazul ncrcrii arcelor cu trei articulaii doar cu fore verticale, determinarea eforturilor se poate face prin analogie cu grinda simplu rezemat ataat arcului, ncrcat identic cu acesta. ntruct ncrcrile sunt verticale, reaciunile verticale pe cele dou structuri sunt identice (depind doar de poziia forelor verticale). n orice seciune a arcului, efectul forelor verticale este reprezentat de fora tietoare de pe grinda simplu rezemat ataat arcului, n seciunea corespunztoare celei de pe arc.

    Utiliznd aceast analogie, n cazul ncrcrii doar cu fore verticale, eforturile n orice seciune a unui arc cu trei articulaii sunt:

    = 0

    = 0

    = 0

    Eforturile notate la exponent cu 0 sunt cele din grinda simplu rezemat ataat arcului. Dac ncrcarea pe arc este oarecare (fore orizontale i verticale), pentru calculul eforturilor n

  • 64

    seciunea i, se analizeaz efectul fiecrei ncrcri asupra feei seciunii i, prin proiecii pe direcia tangentei la axa arcului n i i perpendicular pe aceasta.

    Momentul ncovoietor ntr-o seciune a unui arc se poate determina prin secionarea structurii n punctul respectiv i fixarea acesteia printr-o ncastrare fictiv. Se determin efectul fiecrei fore asupra seciunii, identificnd pentru

    fiecare aciune fibra ntins.

    Fig. 4.3

  • 65

    4.2. Exemplu numeric

    Pentru arcul parabolic din figura 4.4, se vor determina eforturile din seciunile i i j ale acestuia. ntruct arcul este ncrcat numai cu fore verticale, determinarea eforturilor n seciunile marcate se va face att prin metoda general, valabil pentru orice tip de ncrcare, ct i cu ajutorul valorilor eforturilor determinate pe grinda simplu rezemat ataat, ncrcat identic cu arcul. Sgeata arcului: f=4 m.

    Fig. 4.4

    Diagramele de eforturi pentru grinda simplu rezemat ataat arcului sunt trasate n fig. 4.4.

    1. Se determin reaciunile dup principiile generale de calcul aplicate structurilor cu trei articulaii: Se scriu ecuaiile de echilibru global ale arcului fa de cele dou reazeme cu terenul:

  • 66

    = 0 16 11 40 16 8 4 = 0 = 59,50

    = 0 16 5 40 16 8 12 = 0 = 108,50

    Verificare: = 59,50 + 108,50 16 8 40 = 0

    Se scriu ecuaiile de moment nul fa de articulaia intermediar, la stnga i la dreapta acesteia.

    = 108,5 8 4 HA 16 8 4 = 0 = 89,00

    = 59,5 8 4 HB 3 40 = 0 = 89,00

    0

    = 89,00

    Se poate observa c valoarea reaciunilor orizontale (mpingerea arcului) este mare, fapt caracteristic acestei categorii de structuri.

    2. Se calculeaz caracteristicile geometrice ale seciunilor pentru care se dorete determinarea eforturilor.

    Ecuaia parabolei este:

    =4

    2( )

    = =4

    2( 2)

    Seciunea i:

    = 2

    =4 4

    1622 14 = 1,75

    = =4

    2( 2) =

    4 4

    162 12 = 0,75

    = 36, 87 = 0,600 ; = 0,800

    Seciunea j:

    = 13

    =4 4

    16213 3 = 2,438

    = =4

    2( 2) =

    4 4

    162 (10) = 0,625

  • 67

    = 148 = 0,530 ; = 0,848

    3. Se calculeaz eforturile n cele dou seciuni: A. Seciunea i a) Se face analogia cu grinda simplu rezemat ataat arcului i se utilizeaz expresiile

    de calcul ale eforturilor prezentate n paragraful 4.1. n seciunea i , pe grinda simplu rezemat ataat arcului eforturile sunt:

    0 = 76,50

    0 = 185,00

    Eforturile n seciunea i a arcului sunt:

    = 0 = 76,50 0,600 89,00 0,800 = 177,10

    = 0 = 76,50 0,800 89,00 0,600 = 7,80

    = 0 = 185,00 89,00 1,75 = 29,25

    b) Pentru calculul efortului axial i al forei tietoare se proiecteaz forele direct aplicate care acioneaz pn n seciunea i (se parcurge arcul de la stnga la dreapta) pe direcia tangentei trasate n i la axa arcului, respectiv perpendicular pe ea:

    = 108,50 + 16 2 89,00 = 117,10 = 108,50 16 2 89,00 = 7,80 Determinarea momentului ncovoietor n seciunea i se face considernd efectul fiecrei fore i fibra ntins de acestea n seciunea i, considerat fixat:

    = 108,50 2 16 2 1 89,00 1,75 = 29,25

    B. Seciunea j Seciunea j se afl la dreapta articulaiei arcului, astfel c unghiul pe care-l face tangenta

    la axa arcului cu orizontala este > 90.

    a) Utiliznd grinda simplu rezemat ataat arcului, eforturile pe aceasta n seciunea corespunztoare seciunii j de pe arc sunt:

    0 = 59,50

    0 = 178,50

    Eforturile sunt:

    = 0 = (59,50)(0,530) 89,00 0,848 = 107,007

    = 0 = 59,50 0,848 89,00 (0,530) = 3,286

    = 0 = 178,50 89,00 2,438 = 38,482

    b) Avnd n vedere poziia seciunii j, la dreapta seciunii de cheie i mai apropiat de reazemul B, eforturile n seciunea j se pot determina mai uor, prin aceast metod dac se consider forele din dreapta seciunii (doar reaciunile din B). n acest caz,

    pentru proiecia eforturilor se va considera unghiul = 180 148 = 32pentru

    care

    = 0,530

    = 0,848 Astfel, eforturile sunt:

    = = 107,007

    = + = 59,50 0,848 + 89,00 0,530 = 3,286 = 3 = 59,50 3 89,00 2,438 = 38,482

  • 68

    n cazul ncrcrii cu fore verticale, pentru determinarea eforturilor, se poate opta pentru oricare dintre cele dou metode prezentate. Dac pe arc acioneaz i fore de alt direcie dect vertical nu se poate face analogia cu grinda simplu rezemat ataat.

    Din analiza diagramelor de moment pe arc i pe grinda simplu rezemat ncrcat identic se observ efectul mpingerilor dezvoltate n seciunile de reazem asupra reducerii momentului ncovoietor din cmp.

  • 69

    4.3. Probleme propuse

    4.3.1. Pentru arcul din figura de mai jos se cere s se determine valoarea corect a momentului

    ncovoietor n seciunea i, cunoscnd ecuaia arcului parabolic: )()( 24

    xlxxyl

    f i xi=5m.

    a) 65,215 kNm

    b) 61,143 kNm

    c) 33,502 kNm

    d) 26,457 kNm

    e) 68,186 kNm

    4.3.2. Pentru arcul din figura de mai jos se cere s se determine valoarea corect a forei tietoare n

    seciunea i, cunoscnd ecuaia arcului parabolic: )()( 24

    xlxxyl

    f i xi=5m.

    a) -21,83 kN

    b) -23,46 kN

    c) 23,46 kN

    d) -17,12 kN

    e) 26,48 kN

  • 70

    4.3.3. S se identifice valoarea corect a momentului ncovoietor n seciunea i pentru arcul parabolic

    din figur. Ecuaia arcului parabolic: xlxl

    fxy

    2

    4

    a) 187,50 kNm b) -187,50 kNm c) -33,00 kNm

    d) -37,50 kNm e) 37,50 kNm

    4.3.4. S se identifice valoarea corect a forei tietoare n seciunea i pentru arcul parabolic din

    figur. Ecuaia arcului parabolic: xlxl

    fxy

    2

    4

    a) 30,00 kN b) -15,00 kN c) 33,00 kN

    d) 37,50 kN e) 0,00 kN

    4.3.5. S se identifice valoarea corect a efortului axial n seciunea i pentru arcul parabolic din

    figur. Ecuaia arcului parabolic: xlxl

    fxy

    2

    4

    a) -33,54 kN b) 33,00 kN c) -30,00 kN

    d) -6,00 kN e) 37,50 kN

  • 71

    4.3.6. S se identifice valoarea corect a efortului din tirant pentru arcul circular din figur, avnd raza R=15m i unghiul la centru 2 = 120.

    a) -32,50 kN b) 56,25 kN c) 281,66 kN

    d) 32,50 kN e) 90,00 kN

    4.3.7. S se identifice valoarea corect a efortului din tirant pentru arcul parabolic din figur. Ecuaia

    arcului parabolic: xlxl

    fxy

    2

    4

    a) 320,00 kN b) -320,00 kN c) 160,00 kN

    d) 120,00 kN e) -145,00 kN

  • 72

    4.3.8. Pentru arcul circular din figur, avnd raza R=10m, se cere s se identifice valoarea corect a

    efortului axial n punctul Ddr.

    a) 50,354kN b) -4,453kN c) -33,878kN

    d) 33,878kN e) -50,354kN

    4.3.9. Pentru arcul circular din figur, avnd raza R=10m, se cere s se identifice valoarea corect a forei tietoare n punctul Ddr.

    a) 50,354kN b) -4,453kN c) -33,878kN

    d) 4,453kN e) -50,354kN

  • 73

    4.3.10. Pentru arcul circular din figur, avnd raza R=10m, se cere s se identifice valoarea corect a momentului ncovoietor n punctul D.

    a) -24,169kNm

    b) -4,453kNm

    c) 24,169kNm

    d) 4,453kNm

    e) -50,354kNm

  • 74

    Capitolul 5: Structuri articulate plane

    5.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare. Structurile articulate plane, numite i structuri cu zbrele, sunt alctuite din bare drepte articulate n noduri.

    Ipoteze simplificatoare acceptate pentru calculul grinzilor cu zbrele: - Axele barelor sunt concurente n noduri. - ncrcrile se aplic numai n nodurile structurii.

    - Nodurile sunt articulaii perfecte nu transmit moment ncovoietor n barele structurii iau natere numai eforturi axiale.

    Metode de calcul

    Vom prezenta doar dou dintre metodele de determinare a eforturilor din barele unei structuri cu zbrele: - Metoda izolrii nodurilor

    - Metoda seciunilor

    Metoda izolrii nodurilor are ca principiu izolarea succesiv a nodurilor structurii prin secionarea barelor concurente n acestea i scrierea de ecuaii de echilibru dup dou direcii perpendiculare din plan. Prin aceast metod, pentru a determina efortul dintr-o bar, trebuie izolate toate nodurile pn se ajunge la un nod n care se leag bara respectiv. Pentru a putea scrie echilibrul unui nod, n el trebuie s se ntlneasc cel mult dou bare cu efort necunoscut.

    Metoda seciunilor const n secionarea barelor pentru care se dorete determinarea eforturilor i scrierea echilibrului unuia dintre corpurile obinute. Pentru orice corp rigid aflat n echilibru se pot scrie trei ecuaii. Se recomand scrierea a dou ecuaii de sum de moment nul fa de dou noduri ale grinzii alese convenabil i a unei ecuaii de sum de proiecii de fore dup o direcie oarecare din plan. Metoda seciunilor se poate aplica pentru structuri la care se pot realiza seciuni care s nu taie mai mult de trei bare cu efort necunoscut.

    Metoda seciunilor permite determinarea efortului din orice bar a structurii, cu condiia ca secionarea barei respective s fie posibil (seciunea s nu intersecteze mai mult de trei bare cu efort necunoscut), motiv pentru care se utilizeaz frecvent ca verificare a eforturilor n anumite bare ale structurii.

    Reprezentarea grafic a eforturilor axiale determinate pe barele structurii se poate face: - Prin trasarea pe bare a diagramelor de efort axial (valoare i semn). - Prin scrierea valorii efortului pe fiecare bar i marcarea prin sgei a efectului efortului la

    faa nodului (efort de ntindere iese din nod, efort de compresiune intr n nod).

    nainte de a determina eforturile din barele unei structuri, se detecteaz barele cu efort nul prin identificarea situaiilor:

    a) Dac ntr-un nod se ntlnesc dou bare, iar nodul nu este ncrcat, efortul n cele dou bare este nul.

    b) Dac ntr-un nod concur trei bare, dintre care una este n prelungirea alteia, iar nodul nu este

  • 75

    ncrcat, efortul n cea de-a treia bar este nul.

  • 76

    5.2. Exemple de calcul

    5.2.1. Structura articulat din figur este rezolvat cu metoda izolrii nodurilor. Se detecteaz barele cu efort nul : - n nodul 5 se ntlnesc trei bare, nodul 5 este nencrcat i barele 5-7 i 3-5 sunt n

    prelungire N5-6=0, iar N5-7=N3-5. - ntruct N5-6=0, n nodul 6 se ntlnete aceeai situaie, prin urmare N3-6=0. - Se aplic aceeai regul pentru nodurile 3, 4, 1, 2, rezultnd efort nul n barele: 3-4, 1-4,

    1-2, A-2 i eforturi egale n toate barele aflate n prelungire.

    Fig. 5.2

    Astfel, din echilibrul nodului 7 rezult:

    sin = 0,848 cos = 0,530

    = 0 20 + 67 = 0

    67 = 20

    0,530= 37,736

    = 0 57 67 = 0

    Verificare

    = 0 20 8 = 5 = 32,00

    = = 32,00 cuplu de fore care anuleaz valoarea momentului generat de fora orizontal. Se verific ehilibrul nodului B:

  • 77

    = 0 32,00 37,736 sin = 0

    = 0 20 + 37,736 cos = 0

    5.2.2. Pentru structura cu zbrele din figura 5.3 se determin eforturile axiale n toate barele acesteia prin metoda izolrii nodurilor i se verific, cu metoda seciunilor, eforturile n barele 1-2, 2-3, 2-B.

    A. Metoda izolrii nodurilor

    sin = 0,866 = 0,500

    Fig. 5.3

    1. Se calculeaz reaciunile, scriind echilibrul global al structurii fa de cele dou reazeme cu terenul:

    = 0 6 35 4,5 20 3 30 2,6 = 0 = 49,25 = 0 = 30,00 = 0 6 35 1,5 20 3 + 30 2,6 = 0 = 5,75

    2. Se izoleaz pe rnd nodurile structurii prin secionarea barelor concurente n acestea i se scriu ecuatii de echilibru n jurul fiecrui nod.

    n nodul A sunt conectate dou bare cu efort necunoscut se pot scrie ecuaiile de echilibru:

    = 0 1 sin + 5,75 = 0

    1 = 6,640 = 0 1 cos + 2 30 = 0

    2 = 33,320

    Efortul n bara A-1 fiind calculat, se observ c n nodul 1 se ntlnesc doar

    dou bare cu efort necunoscut se scrie echilibrul nodului 1.

    = 0 12 + 6,640 = 0 12 = 6,640 = 0 12 cos + 6,640 + 30 + 13 = 0 13 =

  • 78

    36,640

    Eforturi egale i de semne contrare n diagonale

    Echilibrul nodului 2:

    = 0 23 sin + 6,640 20 = 0

    23 = 16,455 = 0 23 cos 6,640 33,320 + 2 = 0

    2 = 28,412 Echilibrul nodului 3:

    Singura bar cu efort necunoscut este 3-B. Este suficient o singur ecuaie pentru determinarea acestuia, cea de-a doua ecuaie de ehilibru se folosete ca verificare.

    = 0 3 16,455 35 = 0 3 =

    56,870

    = 0 56,870 cos 16,455 cos + 36,64 = 0

    Tot n scopul verificrii corectitudinii valorilor eforturilor calculate se izoleaz nodul B i se scrie ecuaia de echilibru a acestuia.

    Rezultatele, valorile calculate ale eforturilor din barele structurii, au fost marcate pe structur. Sgeile de pe bare indic efectul eforturilor asupra nodului. Se poate observa astfel, c n talpa inferioar a grinzii se dezvolt eforturi de ntindere, n timp ce talpa superioar este comprimat.

    Calculele trebuie efectuate cu precizie de cel puin trei cifre zecimale.

    Fig. 5.4

    B Metoda seciunilor

    Se dorete determinarea eforturilor din barele 1-3, 2-3, 2-B. Pentru aceasta se secioneaz grinda prin tierea barelor respective i se scrie echilibrul corpului A-1-2.

    Se scriu dou ecuaii de moment fa de dou noduri, alese astfel nct n fiecare ecuaie s intervin cte o singur necunoscut.

    Prin nodul 2 trec suporturile eforturilor N2-3 i N2-B, prin urmare, scriind sum de moment egal cu zero fa de nodul 2, n aceast ecuaie intervine ca necunoscut doar N1-3.

    O situaie similar se ntlnete pentru nodul 3 n care se intersecteaz eforturile din barele 1-3 i 2-3.

  • 79

    Fig. 5.5

    2 = 0 3 5,75 + 13 2,6 + 30 2,6 = 0 13 = 36,640

    3 = 0 4,5 5,75 + 30 2,6 2 2,6 20 1,5 = 0 2 = 28,412

    = 0 23 sin + 5,75 20 = 0 23 = 16,455

    Doar n barele secionate se pune n eviden efortul axial. Barele ntregi fac parte din ansamblul izolat.

    S-au obinut aceleai valori prin ambele metode.

    Caracteristici comune celor dou metode de calcul a structurilor cu zbrele:

    Ambele metode au aplicabilitate limitat de numrul ecuaiilor de echilibru care se pot scrie n fiecare situaie.

    Eforturile se determin scriind echilibrul prii izolate prin secionarea barelor cu efort necunoscut.

    Dac pentru o structur toate seciunile posibile taie mai mult de trei bare i n noduri se intersecteaz mai mult de dou bare cu efort necunoscut, pentru determinarea eforturilor n anumite bare se admit combinaii ale celor dou metode prezentate.

  • 80

    5.3. Probleme propuse 5.3.1. S se identifice efortul axial N4-5 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) -11,20 kN b) -8,39 kN c) 12,56 kN

    d) -17,98 kN e) 15,75 kN

    5.3.2. S se identifice efortul axial N7-8 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) 22,50 kN b) -23,75 kN c) 15,85 kN

    d) 16,98 kN e) -15,85 kN

    5.3.3. S se identifice efortul axial N4-7 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) 120kN b) -50kN c) 0kN

    d) 50kN e) 4010kN

    5.3.4. S se identifice efortul axial N3-5 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) -120kN b) 120kN c) 0kN

    d) 126,49kN e) -4010kN

  • 81

    5.3.5. S se identifice efortul axial N3-5 pentru structura articulat plan din figur.

    a) -20,25 kN b) -8,65 kN c) 15,59 kN

    d) 17,98 kN e) 7,33 kN

    5.3.6. S se identifice efortul axial N2-4 pentru structura articulat plan din figur.

    a) -31,26 kN b) -24,20 kN c) 31,26 kN

    d) -18,00 kN e) 15,75 kN

    5.3.7. S se identifice efortul axial N3-4 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) 52,67kN

    b) 18,03 kN

    c) 65,50 kN

    d) 29,81 kN

    e) -21,31 kN

  • 82

    5.3.8. S se identifice efortul axial N3-5 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) -36,52kN

    b) -18,03 kN

    c) -12,02 kN

    d) -29,81 kN

    e) -21,31 kN

    5.3.9. S se identifice efortul axial N6-7 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) -32,54 kN

    b) -16,21kN

    c) -18,53 kN

    d) -12,02kN

    e) -21,31 kN

  • 83

    5.3.10. S se identifice efortul axial N7-10 corect pentru structura articulat plan din figur.

    a) 10,53 kN

    b) 16,21kN

    c) 7,33 kN

    d) 32,54 kN

    e) 21,31 kN

  • 84

    Capitolul 6: Calculul eforturilor cu ajutorul Principiului

    Lucrului Mecanic Virtual

    6.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare.

    Echilibrul unui corp rigid se poate exprima i utiliznd Principiul Lucrului Mecanic Virtual (P.L.M.V.) nul.

    Acest principiu se enun astfel:

    Un sistem de fore este n echilibru dac i numai dac pentru orice deplasare virtual, infinit mic, compatibil cu legturile sistemului, lucru mecanic efectuat de fore parcurgnd deplasarea virtual dat este egal cu zero.

    Pentru a determina valoarea unui efort ntr-o seciune, utiliznd P.L.M.V., trebuie parcurse urmtoarele etape:

    n punctul n care se dorete determinarea unui efort se suprim legtura corespunztoare acestuia, rezultnd un mecanism cu un grad de libertate cinematic. o Astfel, cnd se calculeaz un moment ncovoietor, se suprim

    legtura aferent acestuia, rezultnd o legtur care nu preia moment ncovoietor (permite rotirea relativ a capetelor barelor). Momentul, necunoscut, se exteriorizeaz de o parte i de alta a articulaiei.

    o Pentru determinarea forei tietoare, se suprim legtura aferent acesteia, obinnd o legtur care permite glisarea relativ a feelor seciunii pe direcia perpendicular pe axa barei.

    o Pentru calculul efortului axial ntr-o seciune se suprim, n punctul respectiv, legtura corespunztoare acestuia i se obine o legtur care permite glisarea relativ a feelor seciunii pe direcia axei barei.

    Pentru mecanismul obinut, se traseaz diagramele de deplasri dup dou direcii perpendiculare din plan. Toate ordonatele diagramelor de deplasri se determin n funcie de un singur parametru care se alege arbitrar (rotirea unui corp sau deplasarea unei seciuni).

    Se scrie ecuaia de lucru mecanic virtual, din care se determin necunoscuta.

    Lucrul mecanic se consider pozitiv dac fora i deplasarea (respectiv momentul ncovoietor i rotirea) au acelai sens.

  • 85

    6.2. Exemplu de calcul. Pentru structura din figura 6.1 se vor determina eforturile din seciunea i, utiliznd principiul lucrului mecanic virtual nul.

    Fig. 6.1

    a. Calculul momentului ncovoietor din seciunea i (Fig. 6.2) - n i se suprim legtura aferent momentului ncovoietor (se introduce o articulaie care

    permite rotirea relativ a capetelor barelor conectate) i se exteriorizeaz perechea de momente Mi de o parte i de alta a articulaiei astfel formate.

    Fig. 6.2

    - Pe mecanismul astfel obinut, se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele de deplasri pe vertical i pe orizontal. Se alege deplasarea unui corp (rotirea unui corp sau translaia unei seciuni) ca parametru, n funcie de care se determin toate celelalte ordonate ale diagramei (Fig. 6.2).

    - Se calculeaz deplasrile (translaii i/sau rotiri) n dreptul tuturor forelor direct aplicate (fore sau momente):

  • 86

    Se alege 1 ca parametru 12 = 31; 12 = 23 datorit simetriei diagramei

    3 =233

    = 1

    Corpurile I i III au deplasri paralele, centrul (1,3) fiind la infinit.

    2 = 21 Valorile deplasrilor n dreptul forelor direct aplicate pe structur sunt marcate pe diagramele de deplasare (Fig. 6.2).

    Se scrie ecuaia de lucru mecanic virtual nul:

    10 3 61 121 + 301 20 21 = 0 Lucrul mecanic este pozitiv dac fora i deplasarea (respectiv momentul i rotirea) au acelai

    sens = 56,67.

    b. Calculul forei tietoare din seciunea i (Fig. 6.3) - n i se suprim legtura aferent forei tietoare (se obine o legtur care permite glisarea

    relativ a feelor seciunii pe direcia perpendicular pe bar) i se exteriorizeaz perechea de fore tietoare Ti

    - Se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele de deplasri ale mecanismului format. Se calculeaz deplasrile n dreptul punctelor de aplicaie ale forelor i pe direcia acestora, n funcie de parametrul ales.

    Fig. 6.3

    2 = 1 corpurile I i II se deplaseaz paralel, centrul lor relativ aflndu-se la infinit pe direcia axei barei (direcia pendulilor)

    23 = 1,51 1 = 31 2 = 1,51 12 = 4,51

  • 87

    3 =233

    = 0,51

    Ecuaia de lucru mecanic: ntruct seciunea i se afl pe bara nclinat, fora tietoare Ti are componente dup direcia vertical,

    , i dup direcia orizontal, , i implicit efectueaz lucru mecanic dup aceste direcii. Valorile deplasrilor n dreptul tuturor forelor (i a efortului exteriorizat) sunt vizualizate n figura 6.3.

    31 + 1,51 10 3 31 30 0,51 + 20 1 + 41 + 21 = 0 = 11,33

    c. Calculul efortului axial din seciunea i (Fig. 6.4) - n i se suprim legtura aferent efortului axial (se obine o legtur care permite glisarea

    relativ n lungul axei barei) i se exteriorizeaz perechea de fore axiale Ni. - Se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele de deplasri ale mecanismului

    format. Se calculeaz deplasrile n dreptul punctelor de aplicaie ale forelor i pe direcia acestora n funcie de parametrul ales.

    Fig. 6.4

    Se determin poziia centrului (2), aflat la intersecia dreptelor: (1), (1,2) i (3), (2,3). Se scriu ecuaiile celor dou drepte exprimate prin pantele lor:

    (1), (1,2): =22

    =4

    3 2 =

    324

    (3), (2,3): =2

    2 9=

    4

    3 2 =

    4(2 9)

    3

    se egaleaz expresiile ordonatei y2

    4(29)

    3=

    32

    4 2 = 20,57

  • 88

    2 = 1 corpurile I i II se deplaseaz paralel, centrul lor relativ aflndu-se la infinit pe direcia perpendicular pe axei barei (direcia pendulilor).

    23 = 14,571 1 = 31 2 = 17,571 12 = 20,571

    3 =233

    = 4,8571

    Ecuaia de lucru mecanic:

    Similar forei tietoare, efortul axial Ni are componente dup direcia vertical, , i dup direcia orizontal, , i efectueaz lucru mecanic dup aceste direcii. Valorile deplasrilor n dreptul tuturor forelor (i a efortului exteriorizat) sunt vizualizate n figura 6.4.

    = 0,8; = 0,6 31 17,571 10 3 19,071 + 30 4,8571 20 9,7141

    19, 4271 + 41 = 0 = 24,14

    Rezultatele obinute se pot verifica prin metoda clasic. Astfel, n figura 6.5 sunt marcate valorile reaciunilor din reazemul A, cu care se pot calcula cu uurin eforturile n seciunea i de pe bara nclinat.

    = 26,11 3 5,415 4 = 56,67 = 26,11 5,415 = 11,33 = 26,11 5,415 = 24,14

    Fig. 6.5

  • 89

    6.3. Probleme propuse 6.3.1. Utiliznd P.L.M.V. s se determine reaciunea VB la structura de mai jos:

    a) 118,75 kN

    b) 98,25 kN

    c) 120,00 kN

    d) 58,50 kN

    e) 108,75 kN

    6.3.2. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor MB la structura de mai jos:

    a) 95,00 kNm

    b) -105,00 kNm

    c) 115,00 kNm

    d) -125,00 kNm

    e) 135,00 kNm

    6.3.3. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor MD la structura de mai jos:

    a) -60,00 kNm

    b) 75,00 kNm

    c) -90,00 kNm

    d) 105,00 kNm

    e) 120,00 kNm

  • 90

    6.3.4. Utiliznd P.L.M.V. s se determine fora tietoare TB,stnga la structura de mai jos:

    a) 68,75 kN

    b) -86,25 kN

    c) 50,00 kN

    d) -68,75 kN

    e) 86,25 kN

    6.3.5. Utiliznd P.L.M.V. s se determine fora tietoare TB,dreapta la structura de mai jos:

    a) -75,00 kN

    b) -50,00 kN

    c) 25,00 kN

    d) 75,00 kN

    e) 50,00 kN

    6.3.6. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura de mai jos:

    a) -275,625 kNm

    b) -255,065 kNm

    c) 290,125 kNm

    d) -260,125 kNm

    e) 295,065 kNm

  • 91

    6.3.7. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura de mai jos:

    a) 214,38 kNm

    b) 224,56 kNm

    c) 234,38 kNm

    d) 244,56 kNm

    e) 254,38 kNm

    6.3.8. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura de mai jos:

    a) 72,40 kNm

    b) -84,70 kNm

    c) -109,69 kNm

    d) 96,40 kNm

    e) -120,70 kNm

    6.3.9. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura de mai jos:

    a) 72,19 kNm

    b) 62,19 kNm

    c) 52,19 kNm

    d) 42,19 kNm

    e) 32,19 kNm

  • 92

    6.3.10. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura de mai jos:

    a) 95,16 kNm

    b) 115,32 kNm

    c) 100,16 kNm

    d) 125,32 kNm

    e) 110,16 kNm

  • 93

    Capitolul 7: Linii de influen 7.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare.

    Definiie: Linia de influen a unui efort dintr-o seciune reprezint variia efortului respectiv cnd o for mobil egal cu unitatea se deplaseaz pe linia de ncrcare a structurii.

    Modaliti de determinare: - Analitic; - Cu deplasri virtuale.

    Cea de-a doua metod este mai rapid i mai usor de aplicat. Conform acestei metode:

    Linia de influen a unui efort dintr-o seciune este deplasarea liniei de ncrcare dup direcia forei mobile a sistemului transformat, cnd pe direcia efortului exteriorizat se d o deplasare egala cu unitatea, astfel nct lucrul mecanic efectuat de efortul exteriorizat s fie negativ.

    Semnul liniei de influen este + dac deplasarea este n sensul forei mobile (sub linia de referin).

    Principalele etape care trebuie parcurse cnd se dorete trasarea liniei de influen a efortului dintr-o seciune sunt:

    Se suprim legtura corespunztoare efortului, iar acesta se exteriorizeaz n convenia de semn pozitiv, astfel:

    Momentul ncovoietor Fora tietoare Efortul axial

    ntinde fibra din interior Rotete feele seciunii n sens orar

    Este de ntindere (iese din seciune)

    Pentru mecanismul astfel obinut, denumit sistem transformat, se d o deplasare virtual egal cu unu pe direcia efortului exteriorizat, astfel nct lucrul mecanic efectuat de acesta s fie negativ i se traseaz diagrama de deplasare dup direcia forei mobile.

    Parametrul de referin (fa de care se determin toate ordonatele), va fi, n funcie de efortul pentru care se traseaz linia de influen, rotire relativ ntre corpurile generate prin suprimarea legturii (n cazul momentului ncovoietor), respectiv deplasare relativ pe direcia efortului, pentru fora tietoare i efortul axial. Aceti parametri au valoarea egal cu unitatea.

    Se identific toate corpurile care fac parte din linia de ncrcare i se contureaz poriunile aferente ale diagramei de deplasare.

    Se stabilete semnul liniei de influen - deasupra liniei de referin i + dedesubtul ei i se haureaz.

  • 94

    7.2. Exemple de calcul

    7.2.1. Pentru cadrul din figura 7.1 se determin liniile de influen pentru eforturile din seciunile i i j, marcate pe structur. Fora mobil egal cu unitatea se deplaseaz pe grinda orizontal.

    Fig. 7.1

    a) Trasarea liniei Mj Seciunea j se afl pe bara nclinat, sub grinda orizontal, la distan infinit mic de aceasta.

    n j se introduce o articulaie i se exteriorizeaz momentul Mi0 de o parte i de alta a articulaiei. Se obine un mecanism cu un grad de libertate cinematic, alctuit din trei corpuri, pentru care se stabilesc centrele instantanee de rotaie absolute i relative: (1), (3) n articulaiile cu terenul (1,2), (2,3) n articulaiile intermediare

    (2) = (1),(1,2) (2),(2,3) x(2)=4,5m, datorit simetriei reazemelor fa de articulaia intermediar

    (1,3) = (1),(3) (1,2),(2,3) la infinit pe orizontal corpurile I i III au deplasri paralele.

    Parametrul de referin: 12 = 1 Pe corpul I momentul Mj rotete n sens anti orar se d o rotire n sens orar corpului I.

    2 = 12 12 = 3

    2 =3

    4,5=

    2

    3= 0,667

    1 = 12 2 = 1 2

    3=

    1

    3= 0,333

    Datorit simetriei

    12 = 23 = 12 1 =1

    33 = 1

    1 = 3 =1

    3= 0,333

    Linia de influen a momentului din seciunea j este trasat n figura 7.2. Fiecare ordonat a liniei de influen a momentului ncovoietor din seciunea j reprezint o valoare a momentului ncovoietor din aceast seciune, variaia ei fiind dat de poziia forei mobile egale cu unitatea.

  • 95

    Fig. 7.2

    b) Linia de influen a forei tietoare din seciunea j (fig. 7.3).

    (1), (3) n articulaiile cu terenul

    (1,2) la infinit pe direcia pendulilor deplasri paralele pentru cele dou corpuri (2,3) n articulaia intermediar

    (2) = (1),(1,2) (2),(2,3) x(2)=4,5m datorit simetriei reazemelor fa de articulaia intermediar Prin punctul fix (1) se duce direcia (1,2)

    (1,3) = (1),(3) (1,2),(2,3) Parametrul de referin este deplasarea relativ dintre corpurile I i II pe direcia forei tietoare Tj (perpendicular pe bara nclinat) i este egal cu unitatea. Proiecia pe vertical a

    acestei mrimi este cos (fig. 7.3). 12 = 0,6

    2 =0,6

    4,5=

    2

    15= 0,133 = 1

    2 = 1,52 =1

    5= 0,200

    1 = 12 2 = 0,6 1

    5= 0,400

    3 =233

    =0,200

    3= 0,667

  • 96

    Fig. 7.3

    Diagrama de deplasare pe vertical este acum definit, rmne doar de identificat corpurile pe care se deplaseaz fora mobil (care fac parte din linia de ncrcare) pentru a putea contura linia de influen a forei tietoare n seciunea j. Corpul I este bara nclinat, care nu face parte din linia de ncrcare, prin urmare diagrama de deplasare a acestuia nu va face parte din linia de influen.

    Se contureaz diagrama de deplasare pe vertical a corpului II i a prii orizontale a corpului III. Se stabilete semnul liniei de influen + sub linia de referin, -deasupra ei, i se haureaz.

    c) Linia de influen a efortului axial din seciunea j (Fig. 7.4)

    (1), (3) n articulaiile cu terenul

    (1,2) la infinit pe direcia pendulilor (perpendicular pe bara nclinat) deplasri paralele pentru cele dou corpuri (2,3) n articulaia intermediar

    (2) = (1),(1,2) (2),(2,3) Prin punctul fix (1) se duce direcia (1,2)

    (1,3) = (1),(3) (1,2),(2,3)

    Determinarea poziiei centrului (2): Se scriu ecuaiile celor dou drepte exprimate prin pantele lor:

    (1), (1,2): =22

    =4

    3 2 =

    324

    (3), (2,3): =2

    2 9=

    4

    3 2 =

    4(2 9)

    3

  • 97

    se egaleaz expresiile ordonatei y2 4(2 9)

    3=

    324

    2 = 20,57

    Fig. 7.4

    Parametrul de referin este deplasarea relativ pe direcia efortului Nj (direcia barei

    nclinate) i este egal cu unitatea. Proiecia pe vertical a acestei mrimi este sin.

    12 = 0,8

    2 =0,8

    20,57= 0,039 = 1

    1 = 31 = 0,117 2 = 12 1 = 0,8 0,117 = 0,683 23 = 14,572 = 0,568

    3 =233

    =0,568

    3= 0,189

    Fora mobil se deplaseaz pe corpul II n ntregime i pe partea orizontal a corpului III. Se contureaz diagramele de deplasare aferente acestor corpuri.

  • 98

    d) Linia de influen a momentului ncovoietor din seciunea i (Fig. 7.5) Seciunea i se afl pe bara orizontal n imediata vecintate a stlpului.

    Fig. 7.5

    (1), (3) n articulaiile cu terenul (1,2), (2,3) n articulaiile intermediare

    (2) = (1),(1,2) (2),(2,3) (pe verticala dus prin (3)) (1,3) = (1),(3) (1,2),(2,3) la infinit pe orizontal corpurile I i III au deplasri paralele

    n acest caz, rotirea relativ dintre corpurile II i III nu se evideniaz clar n diagrama de

    deplasare pe vertical, dar dac se ine cont de deplasarea paralel a corpurilor I i III, 23 =12 = 1

    Pe corpul III momentul Mi rotete n sens orar se d o rotire n sens anti orar corpului III.

    1 = 312 = 3

    1 =19

    =1

    3= 0,333

    2 = 12 1 =2

    3= 0,667

    3 = 1 = 0,333

    23 = 32 = 32

    3= 2

  • 99

    e) Linia de influen a forei tietoare din seciunea i (Fig. 7.6)

    Fig. 7.6

    (1), (3) n articulaiile cu terenul (1,2) n articulaia intermediar

    (2,3) la infinit pe direcia pendulilor (orizontal) deplasare paralel pentru corpurile II i III

    (2) = (1),(1,2) (2),(2,3) (coincide cu centrul (1)) (1,3) = (1),(3) (1,2),(2,3) la infinit pe orizontal corpurile I i III au deplasri paralele Pe corpul II, Ti acioneaz n jos se d o deplasare n sus, egal cu unitatea, corpului II. Corpul III se deplaseaz paralel cu corpul II. Corpul I se deplaseaz paralel cu corpul III. Parametrul de referi